مقالات

7.2E: مراجعة سلسلة الطاقة (تمارين)


Q7.1.1

1. لكل سلسلة قوى استخدم نظرية 7.1.3 لإيجاد نصف قطر التقارب (R ). إذا (R> 0 ) ، ابحث عن الفاصل الزمني المفتوح للتقارب.

  1. ({displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty {(-1) ^ n over2 ^ nn} (x-1) ^ n})
  2. ({ displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty 2 ^ nn (x-2) ^ n} )
  3. ({ displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty {n! over9 ^ n} x ^ n} )
  4. ({displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty {n (n + 1) over16 ^ n} (x-2) ^ n})
  5. ({ displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ n {7 ^ n over n!} x ^ n} )
  6. ({ displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty {3 ^ n over4 ^ {n + 1} (n + 1) ^ 2} (x + 7) ^ n} )

2. افترض أن هناك عددًا صحيحًا (M ) مثل (b_m ne0 ) لـ (m ge M ) و [ lim_ {m to infty} left | b_ {m + 1 } over b_m right | = L، nonumber ] حيث (0 le L le infty ). بيّن أن نصف قطر تقارب [ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty b_m (x-x_0) ^ {2m} nonumber ] هو (R = 1 / sqrt L ) ، وهو يفسر على أنه يعني أن (R = 0 ) إذا (L = infty ) أو (R = infty ) إذا (L = 0 ).

3. لكل سلسلة طاقة ، استخدم النتيجة تمرين 7.1.2 لإيجاد نصف قطر التقارب (ص ). إذا (R> 0 ) ، ابحث عن الفاصل الزمني المفتوح للتقارب.

  1. ({displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m (3m + 1) (x-1) ^ {2m + 1}})
  2. ({displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {m (2m + 1) over2 ^ m} (x + 2) ^ {2m}})
  3. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {m! over (2m)!} (x-1) ^ {2m}} )
  4. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {m! over9 ^ m} (x + 8) ^ {2m}} )
  5. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {(2m-1) over3 ^ m} x ^ {2m + 1}} )
  6. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (x-1) ^ {2m}} )

4. لنكن (k ) عددًا صحيحًا موجبًا. بيّن أن نصف قطر التقارب [ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty b_m (x-x_0) ^ {km} nonumber ] هو (R = 1 / sqrt [k] L ) ، والذي يتم تفسيره على أنه يعني أن (R = 0 ) إذا (L = infty ) أو (R = infty ) إذا (L = 0 ).

5. لكل سلسلة طاقة استخدم النتيجة تمرين 7.1.4 لإيجاد نصف قطر التقارب (ص ). إذا (R> 0 ) ، ابحث عن الفاصل الزمني المفتوح للتقارب.

  1. ({displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {(- 1) ^ m over (27) ^ m} (x-3) ^ {3m + 2}} )
  2. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {x ^ {7m + 6} over m}} )
  3. ({displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {9 ^ m (m + 1) over (m + 2)} (x-3) ^ {4m + 2}})
  4. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {2 ^ m over m!} x ^ {4m + 3}} )
  5. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {m! over (26) ^ m} (x + 1) ^ {4m + 3}} )
  6. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {(- 1) ^ m over8 ^ mm (m + 1)} (x-1) ^ {3m + 1}} )

6. رسم بياني (y = sin x ) ومتعدد حدود تايلور [T_ {2M + 1} (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ M {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1} over (2n + 1)!} nonumber ] على الفاصل ((- 2 pi، 2 pi) ) لـ (M = 1 ) ، (2 ) ، (3 ) ،… ، حتى تجد قيمة (M ) التي لا يوجد فرق محسوس بين الرسمين البيانيين.

7. رسم بياني (y = cos x ) ومتعدد حدود تايلور [T_ {2M} (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ M {(- 1) ^ nx ^ {2n} over (2n)!} nonumber ] على الفاصل ((- 2 pi، 2 pi) ) لـ (M = 1 ) ، (2 ) ، (3 ) ، ... ، حتى تجد قيمة (م ) التي لا يوجد فرق محسوس بين الرسمين البيانيين.

8. رسم بياني (y = 1 / (1-x) ) ومتعدد حدود تايلور [T_N (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ Nx ^ n nonumber ] على الفاصل الزمني ([ 0 ، .95] ) لـ (N = 1 ) ، (2 ) ، (3 ) ، ... ، حتى تجد قيمة (N ) التي لا يوجد فرق محسوس بين الاثنين الرسوم البيانية. اختر المقياس على المحور (y ) بحيث (0 le y le20 ).

9. رسم بياني (y = cosh x ) ومتعدد حدود تايلور [T_ {2M} (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ M {x ^ {2n} over (2n)!} nonumber ] على الفاصل ((- 5،5) ) لـ (M = 1 ) ، (2 ) ، (3 ) ، ... ، حتى تجد قيمة (M ) ) التي لا يوجد فرق محسوس بين الرسمين البيانيين. اختر المقياس على المحور (y ) بحيث (0 le y le75 ).

10. رسم بياني (y = sinh x ) ومتعدد حدود تايلور [T_ {2M + 1} (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ M {x ^ {2n + 1} over ( 2n + 1)!} nonumber ] على الفاصل ((- 5،5) ) لـ (M = 0 ) ، (1 ) ، (2 ) ، ... ، حتى تجد قيمة (م ) التي لا يوجد فرق محسوس بين الرسمين البيانيين. اختر المقياس على المحور (y ) بحيث (- 75 ~ le ~ y le ~ 75 ).

Q7.1.2

في تمارين 7.1.11-7.1.15 ابحث عن حل لسلسلة الطاقة (y (x) = sum_ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} x ^ {n} ].

11. ((2 + x) y '+ xy' + 3y )

12. ((1 + 3x ^ 2) ص '' + 3x ^ 2y'-2y )

13. ((1 + 2x ^ 2) y '+ (2-3x) y' + 4y )

14. ((1 + x ^ 2) y '+ (2-x) y' + 3y )

15. ((1 + 3x ^ 2) ص "- 2xy '+ 4y )

Q7.1.3

16. افترض (y (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x + 1) ^ n ) في فترة مفتوحة تحتوي على (x_0 ~ = ~ -1 ). ابحث عن سلسلة قوى في (x + 1 ) من أجل [xy '' + (4 + 2x) y '+ (2 + x) y. nonumber ]

17. افترض (y (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-2) ^ n ) في فترة مفتوحة تحتوي على (x_0 ~ = ~ 2 ). ابحث عن سلسلة قوى في (x-2 ) لـ [x ^ 2y '' + 2xy'-3xy. nonumber ]

18. قم بالتجربة التالية للاختيارات المختلفة للأرقام الحقيقية (a_0 ) و (a_1 ).

  1. استخدم برنامج المعادلات التفاضلية لحل مشكلة القيمة الأولية [(2-x) y '' + 2y = 0، quad y (0) = a_0، quad y '(0) = a_1، nonumber ] عدديًا ((- 1.95،1.95) ). اختر الطريقة الأكثر دقة التي توفرها حزمة البرامج الخاصة بك. (انظر القسم 10.1 للاطلاع على مناقشة موجزة لإحدى هذه الطرق.)
  2. بالنسبة إلى (N = 2 ) ، (3 ) ، (4 ) ، ... ، حساب (a_2 ) ، ... ، (a_N ) من المعادلة 7.1.18 والرسم البياني [T_N (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ N a_nx ^ n nonumber ] والحل الذي تم الحصول عليه في (أ) على نفس المحاور. استمر في زيادة (N ) حتى يتضح أنه لا جدوى من الاستمرار. (يبدو هذا غامضًا ، لكنك ستعرف متى تتوقف.)

19. اتبع توجيهات تمرين 7.1.18 لمشكلة القيمة الأولية [(1 + x) y '' + 2 (x-1) ^ 2y '+ 3y = 0، quad y (1) = a_0، quad y' (1) = a_1، nonumber ] على الفاصل ((0،2) ). استخدم المعادلتين 7.1.24 و 7.1.25 لحساب ( {a_n } ).

20. افترض أن السلسلة ( displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ) تتقارب في فترة مفتوحة ((- R ، R) ) ، دع (r ) يكون حقيقيًا تعسفيًا number ، وحدد [y (x) = x ^ r displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n = displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ {n + r} nonumber ] في ((0، R) ). استخدم النظرية 7.1.4 وقاعدة التفريق بين ناتج دالتين لتوضيح أن [ begin {align} y '(x) & = { displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty (n + r) a_nx ^ {n + r-1}}، [10pt] y '(x) & = { displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty (n + r) (n + r-1) a_nx ^ {n + r-2}}، & vdots & y ^ {(k)} (x) & = {displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty (n + r) (n + r-1) cdots (n + rk) a_nx ^ {n + rk}} end {align} nonumber ] on ((0، R) )

Q7.1.4

21. (x ^ 2 (1-x) y '+ x (4 + x) y' + (2-x) y )

22. (x ^ 2 (1 + x) y '' + x (1 + 2x) y '- (4 + 6x) y )

23. (x ^ 2 (1 + x) y '' - x (1-6x-x ^ 2) y '+ (1 + 6x + x ^ 2) y )

24. (x ^ 2 (1 + 3x) y '+ x (2 + 12x + x ^ 2) y' + 2x (3 + x) y )

25. (x ^ 2 (1 + 2x ^ 2) y '' + x (4 + 2x ^ 2) y '+ 2 (1-x ^ 2) y )

26. (x ^ 2 (2 + x ^ 2) y '+ 2x (5 + x ^ 2) y' + 2 (3-x ^ 2) y )


كما أوضحت ميشيل ستانتن ، خبيرة اللياقة في جامعة هارفارد ، أن تغيير إيقاعك يمكن أن يحول تمارين تدريبات القوة المألوفة إلى تمارين قوة. بدلاً من استخدام حركة بطيئة وسلسة في جميع أنحاء المصعد ، اجعل الانكماش متحدة المركز - الجزء الذي ترفع فيه الوزن مقابل الجاذبية - سريعًا وقويًا ، لكن حافظ على وتيرة بطيئة وثابتة في الانكماش اللامتراكز. هذا هو جزء التمرين حيث تقوم بتخفيض الوزن إلى وضع البداية.

تتضمن أمثلة تمارين القوة التي يمكنك التكيف معها في تمارين القوة بهذه الطريقة القرفصاء ، والاندفاع ، والضغطات العلوية ، وتمارين العضلة ذات الرأسين ، وتمديد العضلة ثلاثية الرؤوس ، وتمارين الضغط ، ومكابس البنش - وغيرها الكثير.


7.2E: مراجعة سلسلة الطاقة (تمارين)

1. بالنسبة لسلسلة القدرة التالية ، حدد فاصل التقارب ونصف قطره.

إظهار كل الخطوات إخفاء كل الخطوات

حسنًا ، لنبدأ باختبار النسبة للحصول على (L ).

لذلك ، نعلم أن السلسلة سوف تتقارب إذا ،

لذلك ، من الخطوة السابقة ، نرى أن نصف قطر التقارب هو ( need bbox [2pt، border: 1px أسود خالص] <<4>>>).

الآن ، لنبدأ العمل على فترة التقارب. دعنا نفصل عدم المساواة التي حصلنا عليها في الخطوة 2.

لإنهاء فترة التقارب ، نحتاج إلى التحقق من نقاط نهاية المتباينة من الخطوة 4.

الآن ، يمكننا إجراء اختبار مقارنة سريع على السلسلة الأولى لنرى أنها تتقارب ويمكننا إجراء اختبار سلسلة متناوب سريع على السلسلة الثانية لنرى أنه يتقارب أيضًا.

سنترك الأمر لك للتحقق من هذين البيانين.

الفاصل الزمني للتقارب أدناه ولأغراض التلخيص ، يظهر أيضًا نصف قطر التقارب.


7.2E: مراجعة سلسلة الطاقة (تمارين)

لقد فتحنا القسم الأخير بالقول إننا سنبدأ في التفكير في تطبيقات السلسلة ثم سرعان ما قضينا القسم نتحدث عن التقارب مرة أخرى. حان الوقت الآن للبدء فعليًا في تطبيقات السلسلة.

سنبدأ في هذا القسم بالحديث عن كيفية تمثيل الوظائف بسلسلة الطاقة. ستتم الإجابة على السؤال الطبيعي حول سبب رغبتنا في القيام بذلك في قسمين بمجرد أن نتعلم بالفعل كيفية القيام بذلك.

دعنا نبدأ بواحدة نعرف بالفعل كيف نقوم بها ، على الرغم من أننا عندما مررنا عبر هذه السلسلة لأول مرة لم نفكر فيها كسلسلة قوى ولم نعترف بأنها تمثل وظيفة.

تذكر أن السلسلة الهندسية هي

لا تنس أيضًا أنه إذا ( left | r right | ge 1 ) تباعدت السلسلة.

الآن ، إذا أخذنا (أ = 1 ) و (ص = س ) يصبح هذا ،

بقلب هذا ، يمكننا أن نرى أنه يمكننا تمثيل الوظيفة

هذا الحكم مهم. يمكننا بوضوح توصيل أي رقم بخلاف (x = 1 ) في الوظيفة ، ومع ذلك ، سنحصل فقط على سلسلة طاقة متقاربة إذا ( left | x right | & lt 1 ). هذا يعني المساواة في ( eqref) سيستمر فقط في حالة ( left | x right | & lt 1 ). لأي قيمة أخرى لـ (س ) لن تصمد المساواة. لاحظ أيضًا أنه يمكننا أيضًا استخدام هذا للإقرار بأن نصف قطر التقارب لسلسلة الطاقة هذه هو (R = 1 ) وفاصل التقارب هو ( يسار | س يمين | & lt 1 ).

فكرة التقارب هذه مهمة هنا. سنقوم بتمثيل العديد من الوظائف كسلسلة طاقة وسيكون من المهم إدراك أن التمثيلات غالبًا ما تكون صالحة فقط لنطاق (س ) وأنه قد تكون هناك قيم (س ) يمكننا ذلك أدخل في الدالة التي لا يمكننا إدخالها في تمثيل سلسلة الأس.

في هذا القسم ، سنركز على تمثيل الوظائف بسلسلة الطاقة حيث يمكن ربط الوظائف مرة أخرى بـ ( eqref).

بهذه الطريقة نأمل أن نتعرف على بعض أنواع التلاعب التي سنحتاج إليها أحيانًا عند العمل مع سلسلة الطاقة.

لذا ، دعنا ننتقل إلى بعض الأمثلة.

ما يتعين علينا القيام به هنا هو إعادة ربط هذه الوظيفة بـ ( eqref). هذا في الواقع أسهل مما قد يبدو. تذكر أن (x ) في ( eqref) هو ببساطة متغير ويمكنه تمثيل أي شيء. إذن ، إعادة كتابة سريعة لـ (g left (x right) ) تعطي ،

وهكذا فإن (- ) في (g left (x right) ) يحمل نفس مكان (x ) في ( eqref). لذلك ، كل ما علينا فعله هو استبدال (x ) في ( eqref) ولدينا تمثيل لسلسلة القوة لـ (g left (x right) ).

لاحظ أننا استبدلنا كلاً من (x ) في سلسلة الأس وفي فترة التقارب.

كل ما علينا فعله الآن هو بعض التبسيط.

لذلك ، في هذه الحالة ، يكون الفاصل الزمني للتقارب هو نفسه سلسلة الأس الأصلية. هذا لن يحدث عادة. في كثير من الأحيان ، سيكون الفاصل الزمني الجديد للتقارب مختلفًا عن الفاصل الزمني الأصلي للتقارب.

هذه الوظيفة مشابهة للوظيفة السابقة. الفرق هو البسط ويبدو للوهلة الأولى أنه فرق مهم. منذ ( eqref) لا يحتوي على (x ) في البسط ، يبدو أنه لا يمكننا ربط هذه الوظيفة بذلك مرة أخرى.

ومع ذلك ، بعد أن عملنا على المثال الأول ، يعد هذا المثال في الواقع بسيطًا للغاية حيث يمكننا استخدام نتيجة الإجابة من هذا المثال. لمعرفة كيفية القيام بذلك ، دعونا أولاً نعيد كتابة الوظيفة قليلاً.

الآن ، من المثال الأول لدينا بالفعل سلسلة قوى للمصطلح الثاني ، لذا دعنا نستخدم ذلك لكتابة الوظيفة على النحو التالي ،

لاحظ أن وجود (x ) 'خارج السلسلة لن يؤثر على تقاربها وبالتالي يظل الفاصل الزمني للتقارب كما هو.

الخطوة الأخيرة هي إدخال المعامل في السلسلة وسننتهي. عندما نفعل ذلك ، تأكد من دمج (x ) أيضًا ودمجها. عادة ما نريد فقط (x ) واحد في سلسلة الطاقة.

كما رأينا في المثال السابق ، يمكننا غالبًا استخدام النتائج السابقة لمساعدتنا. هذه فكرة مهمة يجب تذكرها لأنها غالبًا ما تبسط عملنا إلى حد كبير.

إذن ، مرة أخرى ، لدينا (x ) في البسط. لذا ، كما هو الحال مع المثال الأخير ، دعنا نخرج ذلك ونرى ما تبقى لدينا.

إذا كان لدينا تمثيل السلطة لسلسلة

يمكننا الحصول على تمثيل لسلسلة الطاقة لـ (f left (x right) ).

لذا ، دعونا نجد واحدة. سنلاحظ ذلك أولاً من أجل استخدام ( eqref) سنحتاج أن يكون الرقم الموجود في المقام واحدًا. هذا سهل بما يكفي للحصول عليه.

الآن كل ما نحتاج إلى القيام به للحصول على تمثيل سلسلة الطاقة هو استبدال (x ) في ( eqref) مع ( frac<5> ). القيام بهذا يعطي ،

الآن دعونا نجري تبسيطًا بسيطًا لهذه السلسلة.

الفاصل الزمني للتقارب لهذه السلسلة هو ،

[ اليسار | < فارك<5>> حق | & lt 1 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> frac <1> <5> left | x حق | & lt 1 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> left | x حق | & lt 5 ]

حسنًا ، كان هذا هو العمل الخاص بتمثيل سلسلة الطاقة لـ (g left (x right) ) ، فلنجد الآن تمثيلاً لسلسلة القوة للوظيفة الأصلية. كل ما نحتاج إلى القيام به من أجل ذلك هو ضرب تمثيل سلسلة الأس لـ (g left (x right) ) في (x ) وسنحصل عليها.

لا يتغير الفاصل الزمني للتقارب ولذا سيكون ( left | x right | & lt 5 ).

لذا ، نأمل الآن أن تكون لدينا فكرة عن كيفية إيجاد تمثيل المتسلسلة الأسّية لبعض الدوال. من المسلم به أن جميع الوظائف يمكن أن ترتبط مرة أخرى بـ ( eqref) لكنها بداية.

نحتاج الآن إلى النظر في مزيد من التلاعب في سلسلة الطاقة التي سنحتاج إلى القيام بها في بعض الأحيان. نحن بحاجة لمناقشة التفاضل والتكامل بين متسلسلات القوة.

لنبدأ بالتمييز بين سلسلة القوة ،

الآن ، نعلم أننا إذا اشتقنا مجموعًا محدودًا من الحدود ، فكل ما علينا فعله هو اشتقاق كل حد ثم جمعهما مرة أخرى. مع وجود مبالغ لا نهائية ، هناك بعض التفاصيل الدقيقة التي نحتاج إلى توخي الحذر معها ولكنها إلى حد ما خارج نطاق هذه الدورة.

بشكل جيد بما فيه الكفاية بالنسبة لنا ، من المعروف أنه إذا كان تمثيل سلسلة القوة لـ (f left (x right) ) له نصف قطر تقارب (R & gt 0 ) فإن المصطلح حسب مصطلح تمايز القوة سيكون للسلسلة أيضًا نصف قطر تقارب (R ) و (الأهم من ذلك) سيكون في الواقع تمثيل سلسلة الطاقة لـ (f ' left (x right) ) بشرط أن نبقى ضمن نصف قطر التقارب.

مرة أخرى ، يجب أن نوضح أنه إذا لم نتعامل مع سلسلة قوى ، فقد نتمكن أو لا نكون قادرين على التفريق بين كل حد في السلسلة للحصول على مشتق المتسلسلة.

لذا ، ما يعنيه كل هذا بالنسبة لنا هو

لاحظ القيمة الأولية لهذه السلسلة. تم تغييره من (n = 0 ) إلى (n = 1 ). هذا إقرار بحقيقة أن مشتق المصطلح الأول هو صفر وبالتالي ليس في المشتق. ومع ذلك ، لاحظ أنه منذ ن = 0 مصطلح السلسلة أعلاه هو أيضًا صفر ، يمكننا بدء السلسلة عند (n = 0 ) إذا كانت مطلوبة لمشكلة معينة. بشكل عام ، ومع ذلك ، لن يتم ذلك في هذه الفئة.

يمكننا الآن إيجاد صيغ للمشتقات ذات الرتبة الأعلى أيضًا.

مرة أخرى ، لاحظ أن القيمة الأولية لـ (n ) تتغير مع كل تمايز من أجل الاعتراف بأن المصطلح من السلسلة الأصلية متمايز إلى الصفر.

لنتحدث الآن بإيجاز عن التكامل. تمامًا كما هو الحال مع التفاضل ، عندما يكون لدينا سلسلة لا نهائية ، نحتاج إلى توخي الحذر بشأن مجرد مصطلح تكامل بمصطلح. كما هو الحال مع المشتقات ، يتضح أنه طالما أننا نعمل مع متسلسلة قوى ، يمكننا فقط دمج شروط المتسلسلة للحصول على تكامل المتسلسلة نفسها. بعبارات أخرى،

لاحظ أننا نلتقط ثابت تكامل ، (C ) ، خارج السلسلة هنا.

دعونا نلخص أفكار التمايز والتكامل قبل الانتقال إلى مثال أو مثالين.

إذا (و يسار (س يمين) = مجموع حدود_^ infty < << اليسار ( right)> ^ n >> ) له نصف قطر تقارب (R & gt 0 ) ثم ،

وكلاهما لهما أيضًا نصف قطر تقارب (R ).

الآن ، دعونا نرى كيف يمكننا استخدام هذه الحقائق لتوليد المزيد من تمثيلات سلسلة الطاقة للوظائف.

للقيام بهذه المشكلة ، دعونا نلاحظ ذلك

ثم منذ أن حصلنا على تمثيل لسلسلة القوة لـ

كل ما علينا القيام به هو التفريق بين تلك المتسلسلة للحصول على تمثيل لسلسلة القوة لـ (g left (x right) ).

ثم بما أن سلسلة الأس الأصلية لها نصف قطر تقارب (R = 1 ) المشتق ، وبالتالي ز (س)، سيكون لها أيضًا نصف قطر تقارب (R = 1 ).

في هذه الحالة علينا أن نلاحظ ذلك

ثم نتذكر أن لدينا تمثيلاً لسلسلة قوى لـ

تذكر أننا وجدنا تمثيلاً لهذا في المثال 3. لذا ،

يمكننا إيجاد ثابت التكامل ، (C ) ، بالتعويض بقيمة (س ). الاختيار الجيد هو (x = 0 ) لأن ذلك سيجعل من السهل تقييم المتسلسلة.

لاحظ أنه من المقبول أن يكون لديك جلوس ثابت خارج السلسلة مثل هذا. في الواقع ، لا توجد طريقة لإدخالها في المسلسل ، لذا لا تتحمس لذلك.

أخيرًا ، نظرًا لأن تمثيل سلسلة القدرة من المثال 3 له نصف قطر تقارب (R = 5 ) فإن هذه السلسلة سيكون لها أيضًا نصف قطر تقارب (R = 5 ).


رفوف القرفصاء التجارية

رفوف القرفصاء التجارية الحقيقية لا توفر تقريبًا أي تنوع. تشغل مساحة أكبر ، وتكلف المزيد من المال ، ولكنها لا تقدم أي تعديلات أمان أو شريط سحب. إجمالي الهدر للمال.

أنا & # 8217m لست من محبي رفوف القرفصاء في صالة الألعاب الرياضية المنزلية. عند كتابة هذا المقال ، لم أستطع العثور على رف قرفصاء واحد يحتوي على خزائن قابلة للتعديل في أي مكان بالقرب من السعر الذي يبرر شرائه عبر قفص طاقة حقيقي. يصنع Freemotion رفًا للجلوس يتكيف مع 1300 دولار ، ولكن لا يوجد سبب لإنفاق هذا النوع من المال وعدم الحصول على سحب. رفوف القرفصاء مثل هذه مخصصة للصالات الرياضية التجارية ، وليس الصالات الرياضية المنزلية

قم بشراء رف كهربائي أو حامل القرفصاء ، وليس رف القرفصاء التجاري.


نظرة عامة على مسابقة BMW M5 2021: ما مدى الراحة التي يمكن أن تكون بها 617 حصان حقًا؟

إن عدد السيارات عالية الأداء التي دخلت السوق خلال العقد الماضي أمر محير للعقل. مهما كان ما تبحث عنه - من العربات عالية الأداء إلى شاحنات البيك أب بقوة 700 حصان - فأنت ملزم بالعثور عليه. سيارات السيدان عالية الأداء مثل BMW M5 ليست شيئًا جديدًا ، لكن الأرقام التي نراها اليوم من هذه الآلات هي بالتأكيد. ومع ذلك ، بالنسبة للبعض ، فإن M5 العادية لن تقطعها ، ولهذا السبب توجد متغيرات عالية الأداء مثل مسابقة BMW M5 2021.

بينما أنا جميعًا من أجل هذا النوع من السيارات ذات الأداء المنحني مثل M5 Competition ، فأنا في الواقع منخرط للغاية في حروب القدرة الحصانية اليوم. يؤدي هذا فقط إلى استيلاء صانعي السيارات على السيارات السريعة المناسبة بالفعل وتحويلها إلى شياطين السرعة من خلال إبطال كل أوقية من الجوانب العملية لديهم. نتيجة لذلك ، فإن السيارات كل شيء إلا أنها مفيدة أو مريحة على الطرق العامة. فهل هذا هو الحال هنا؟ ليس تماما.


سهولة الاستعمال

في النهاية ، يشبه برج الطاقة Gold & # 8217s Gym XR 10.9 إلى حد بعيد أبراج الطاقة المماثلة في كيفية استخدامه ، وسيجد معظم الناس أنه من السهل جدًا ممارسة التمارين. ومع ذلك ، هناك مشكلتان ثانويتان نريد أن نذكرهما مباشرة:

  1. الإطار أعرض من بعض أبراج الطاقة الأخرى ، حيث تبلغ المسافة بين قضبان الانحدار حوالي 24 & # 8243. بالنسبة لمعظم الناس ، لا يمثل هذا & # 8217t أي مشاكل ، ولكن بالنسبة لأولئك الذين لديهم أكتاف ضيقة إلى حد ما ، قد تضع محطة الغطس ومحطة VKR بعض الضغط الإضافي على مفاصل الكتف وتكون غير مريحة للاستخدام.
  1. تم وضع العارضة المتقاطعة بين القوائم على مثل هذا الارتفاع الذي قد تجد نفسك تضرب فيه ظهور ساقيك أثناء استخدام محطة VKR. يعد هذا مصدر إزعاج أكثر من أي شيء آخر ، وستكتشف بسرعة الأسلوب الذي تحتاجه لتجنبه.

كما ناقشنا بالفعل ، يمكن أن يحصل برج الطاقة هذا على القليل من الحركة (خاصة ذهابًا وإيابًا) أثناء الاستخدام. كما هو الحال مع معظم أبراج الطاقة ، سيكون هذا أكثر وضوحًا عند القيام بالغطس ، حيث تقع مقابض الانحدار في أبعد نقطة عن المركز. ومع ذلك ، نظرًا للوزن الزائد لبرج الطاقة هذا ، فمن المحتمل أن يكون هذا ملحوظًا فقط للأشخاص الموجودين في الجانب الأثقل وزنًا. ومع ذلك ، برج الطاقة هذا ليس مناسب للقيام بحركات وزن الجسم المتقدمة مثل شد العضلات ، وهو بالتأكيد ليس مناسبًا للقيام بعمليات سحب شد (أي عمليات سحب نمط crossfit). طالما أنك تقوم بممارسة عمليات السحب والسحب المتحكم فيها ، فهناك & # 8217s فرصة ضئيلة لانقلاب برج الطاقة هذا. ومع ذلك ، إذا كنت & # 8217re قلقًا بشأن ثباتها ، فضع ألواح الأوزان أو أكياس الرمل على القاعدة. بدلاً من ذلك ، قد تحتاج إلى إنفاق بعض النقود الإضافية والحصول على برج طاقة أكثر ثقلاً ، مثل هذا البرج.

أخيرًا ، يقع شريط السحب Gold & # 8217s Gym XR 10.9 Power Tower & # 8217s على بعد 7 أقدام بالضبط من الأرض. لذلك ، ستحتاج الغرفة التي لديك بها إلى أسقف تبلغ 8 أقدام على الأقل بحيث يكون لديك خلوص كافٍ لرأسك أثناء القيام بعمليات السحب. برج الطاقة هذا غير قابل للتعديل.


سعتها الرائعة التي تبلغ 600 رطل ، والاستقرار الذي توفره قاعدة مفلطحة ، وأكمام قدم واسعة تجعل DlandHome متعدد الوظائف (حوالي 119 دولارًا) مناسبة للمستخدمين من جميع الأحجام. يعتبر قضيب الدعم الثابت مفيدًا للمساعدة في إجراءات المرونة وتمدد أوتار الركبة.

  • عرض سخي 35 بوصة
  • يمكن تعديل ارتفاع شريط الذقن
  • سعر معقول جدا

ملاحظات المحرر

07 أبريل 2021:

لا تزال هذه القائمة تبدو في حالة جيدة جدًا ، ولم نر أي حاجة رئيسية لإجراء أي عمليات حذف جديدة ، باستثناء حالة Hi-Mat Adjust ، التي قررنا التخلص منها تدريجياً بسبب مخاوف التوفر. وجدنا أيضًا خيارين جديدين لتضمينهما في هذه التصنيفات.

لفتت Soozier Home Gym انتباهنا بحقيبة الملاكمة الصغيرة التي يبلغ وزنها 44 رطلاً ، والتي اعتقدنا أنها قد تكون لمسة لطيفة لفناني الدفاع عن النفس الشباب أو الهواة الذين قد يكونون مهتمين بارتداء زوج من القفازات الحقائب من أجل اللياقة البدنية ، ولكن يجب أن تكون كذلك. لاحظ أن هذه ليست بأي حال من الأحوال حقيبة ثقيلة بحسن نية ، ومن غير المرجح أن تقدم هدفًا جيدًا لأي ملاكمين جديين.

تتفاخر قائمة Kicode Multi-Function بطول المقعد الممتد ، ولكن عند أقل من ثلاثة أقدام - والتي تبدو أقل بكثير من متوسط ​​المقعد المسطح - من الصعب تخيل مدى قصرها من قبل. ومع ذلك ، مع الأخذ في الاعتبار أن معظم الخيارات في هذه الفئة لا تتضمن أي مكون مقاعد البدلاء ، فقد اعتقدنا أن المقعد كان مكافأة جيدة سيجدها العديد من المستخدمين مفيدة - لكن المستخدمين طويل القامة حذار.

يمكن أن تكون أبراج الطاقة طريقة ممتازة لبدء صالة الألعاب الرياضية في المنزل ، ولكن إذا كنت قلقًا من أن أحدهم قد يشغل مساحة أكبر قليلاً مما يجب عليك توفيره ، فقد يكون شريط الذقن البسيط بديلاً ميسور التكلفة التي توفر فائدة كافية للحصول على فوج اللياقة الجديد الخاص بك.

23 فبراير 2020:

بالنسبة لهذا التحديث ، قمنا باستبدال Golds Gym XR بـ Relife Rebuild ، التي تجعل أكواب الشفط وإطارها المربع خيارًا أكثر استقرارًا.

كان الاستقرار هو العامل الأساسي في الاعتبار عند اختيار بدائلنا الأخرى أيضًا ، مثل Hi-Mat القابل للتعديل. يتميز هذا الطراز بإطار فولاذي سميك وقاع على شكل حرف U ، مما يتيح لك زيادة شدة التمرين دون القلق بشأن متانته.

تعد DlandHome Multi-Function إضافة جديدة أخرى ، قادرة على دعم ما يصل إلى 600 رطل من الوزن. بالإضافة إلى إطاره الثابت ، قمنا أيضًا بإحضار هذا النموذج لإضافة خيار آخر استبعد مسند الظهر. إذا كنت تعلم أنك لن تفعل أي تمارين تتطلب مسند ظهر ، مثل رفع الساق أو رفع الركبة ، فإن التخلص منها يمكن أن يوفر مساحة أكبر للساقين عند إجراء عمليات السحب.

عند التفكير في أي برج طاقة للتمرين يجب شراؤه ، يجب عليك أولاً تحديد ما تريد استخدامه من أجله. إذا كنت تتطلع فقط إلى التركيز على عمليات السحب والغطس ، فسيكون الطراز الأساسي مثل Stamina Outdoor جيدًا. ولكن إذا كنت ترغب في إضافة بعض التنوع ، مثل منصة للقفزات الصندوقية ، فقد يكون السعر الإضافي لـ Stamina Fortress يستحق ذلك.

من المهم أيضًا أن تضع في اعتبارك ارتفاع الشخص الذي يستخدم الجهاز. إذا كانت مخصصة للاستخدام من قبل مجموعة متنوعة من الأشخاص ، أو إذا لم تكن متأكدًا من الحجم المثالي لك ، فستحتاج إلى التأكد من الحصول على نموذج قابل للتعديل.

تعتبر أبراج الطاقة رائعة لتمارين وزن الجسم ، ولكن إذا كان هدفك الرئيسي هو زيادة العضلات ، فإن التمرين القائم على الوزن سيحقق نتائج أفضل. تميل إلى أن تكون أكثر تكلفة ، وعادة ما تتطلب منك شراء الأوزان بشكل منفصل ، ولكن قد يكون من المفيد التحقق من جهاز سميث ، أو إعداد مقعد الوزن.


معلومات المنتج الأخرى

واحدة من أفضل الطرق للحفاظ على لياقتك وصحتك مع تقدمك في العمر هي ممارسة تمارين القوة والقوة. قد تعلم أنه بدءًا من الثلاثينيات من العمر ، بدأنا جميعًا في فقدان كتلة العضلات. تساهم هذه الخسارة في الواقع في آلام المفاصل ، وزيادة خطر الإصابة ، وانتشار العمر المتوسط ​​ u200b u200b & rdquo جميعنا نخشى. ما هو أكثر من ذلك ، كلما تقدمنا ​​في السن ، اختفت كتلة العضلات بشكل أسرع. هذا يعني أنه في النهاية ، قد تصبح المهام البسيطة مثل النهوض من الكرسي وصعود السلالم أكثر صعوبة.

يمكن أن تساعدك تمارين القوة على بناء العضلات وتقويتك وزيادة قدرتك على التحمل وتجعل الأنشطة اليومية أسهل. من خلال الجمع بين تمارين القوة وتمارين القوة ، لن تصبح أقوى فحسب ، بل تبني السرعة وتحسن وقت رد فعلك. هذا & rsquos حرج مع تقدمك في العمر ، لأنه يمكن أن يساعد في منع السقوط.

احصل على نسختك من تدريب القوة والقوة لجميع الأعمار اليوم وتعلم:

  • العضلات الأساسية للعمل من أجل جسم سليم وخالٍ من الإصابات
  • لماذا يجب أن تعد بصوت عالٍ أثناء رفع الأثقال
  • كيفية تقوية العظام الأكثر عرضة للكسر و [مدش] مثل الوركين والعمود الفقري والمعصم
  • كيف تضغط على ركبتيك عند المشي أو الجري
  • تمرن على الاحتياطات التي يجب أن تتخذها إذا كنت تتناول حاصرات بيتا
  • لماذا تريد & rsquoll تطبيق الحرارة على المفاصل المؤلمة قبل التمرين
  • كيف مجرد التفكير في العضلات التي تعمل عليها تعمل بالفعل على تحسين النتائج
  • كيف تعرف مقدار الوزن المناسب لك و mdas ، وكم عدد مجموعات كل تمرين يجب عليك القيام به
  • و اكثر

ساعد صحتك من خلال 4 تمارين لكامل الجسم:

  • تقوية العضلات
  • بناء العظام
  • تحسين التوازن
  • زيادة قوة العضلات
  • حرق الدهون
  • مقاومة المرض

بالإضافة إلى الحصول على 2 أقسام مكافأة خاصة بدون تكلفة إضافية: حركات الطاقة Plyometrics و تمارين الإطالة

أعدها محررو Harvard Health Publishing بالتشاور مع Elizabeth Pegg Frates ، دكتوراه في الطب ، أستاذ مساعد إكلينيكي في كلية الطب بجامعة هارفارد ومستشارة اللياقة البدنية ، ميشيل ستانتن ، وهي مدربة لياقة معتمدة في المجلس الأمريكي للتمرين. (2021)

  • الأساسيات: تدريب القوة ، تدريب القوة ، وعضلاتك
    • تدريب القوة: نهج تقليدي
    • تدريب القوة: نهج تكميلي
    • نظرة على العضلات والحركة
    • الفوائد الصحية لتدريب القوة
    • الفوائد الصحية لتدريب القوة
    • شراء المعدات
    • أسئلة مكررة
    • الوضعية والمحاذاة: اتخاذ الوضعية الصحيحة
    • تسخين
    • ترطيب
    • مفاتيح التعليمات

    التقدم في السن وفقدان العضلات

    بغض النظر عن عدد أعياد الميلاد التي تأتي وتذهب ، تؤدي العضلات نفس النوع من الحركة. ولكن مع تقلص كتلة العضلات في الجسم مع مرور السنين ، تنخفض القوة أيضًا. قلة الكريات البيض و [مدش] الانخفاض التدريجي في الأنسجة العضلية و mdashstarts في حوالي سن 30. يمكن أن يتوقع متوسط ​​العمر 30 عامًا أن يفقد حوالي 25٪ من كتلة العضلات وقوتها بحلول سن 70 و 25٪ أخرى بحلول سن 90.

    تنبع بعض هذه التغييرات من التأثيرات الفسيولوجية للشيخوخة ، لكن الإهمال يلعب دورًا أكبر مما يعتقده الكثير من الناس. تثبت الدراسات التي أجريت على كبار السن باستمرار أنه يمكن تعويض قدر كبير من الانخفاض في القوة بتمارين القوة.

    وبالمثل ، يمكن استعادة السلطة. مع تقدم العمر وقلة الاستخدام ، يتدهور نظام الإشارات العصبية الذي يجند ألياف العضلات لأداء المهام. تُفقد ألياف النتوء السريع ، التي توفر رشقات من الطاقة ، بمعدل أكبر من الألياف ذات النتوء البطيء. قد تفكر في مسار العصب على أنه مجموعة من حجارة الرصف تؤدي إلى وجهة. مع مرور السنين ، قد يصبح المسار متضخمًا ويختفي في مناطق بدلاً من أن يظل سائرًا جيدًا ومميزًا بشكل واضح. تشير الدراسات الأولية لتدريب القوة إلى أن الحركات المصممة لاستعادة المسارات العصبية يمكن أن تعكس هذا التأثير.

    إن امتلاك عضلات أصغر وأضعف لا يغير فقط الطريقة التي ينظر بها الناس أو يتحركون. يؤثر فقدان العضلات على الجسم بعدة طرق. تمتص العضلات القوية الأكسجين والمواد المغذية من الدم بكفاءة أكبر بكثير من العضلات الضعيفة. هذا يعني أن أي نشاط يتطلب جهدًا أقل من القلب وبالتالي يضع ضغطًا أقل عليه. العضلات القوية هي الأفضل أيضًا في امتصاص السكر في الدم ومساعدة الجسم على البقاء حساسًا للأنسولين (الذي يساعد الخلايا على استخراج السكر من الدم). بهذه الطرق ، يمكن أن تساعد العضلات القوية في الحفاظ على مستويات السكر في الدم تحت السيطرة ، وهذا بدوره يساعد في الوقاية من مرض السكري من النوع 2 أو السيطرة عليه. تعزز العضلات القوية التحكم في الوزن أيضًا.

    من ناحية أخرى ، فإن العضلات الضعيفة تسرع من فقدان الاستقلال ، لأن الأنشطة اليومية و [مدش] مثل المشي ، والتنظيف ، والتسوق ، وحتى ارتداء الملابس و [مدش] تصبح أكثر صعوبة. كما أنها تزيد من صعوبة موازنة جسمك بشكل صحيح عند التحرك أو حتى الوقوف دون حراك ، أو الإمساك بنفسك إذا كنت تعثر. يؤدي فقدان الطاقة إلى تفاقم هذا. ربما لا يكون مفاجئًا أنه في سن 65 ، يعاني أكثر من واحد من كل ثلاثة أشخاص من السقوط. نظرًا لضعف العظام أيضًا بمرور الوقت ، يتسبب سقوط واحد من كل 20 حالة في حدوث كسر ، عادةً في الورك أو الرسغ أو الساق. يمكن أن تؤدي بعض هذه الكسور إلى مضاعفات خطيرة أو حتى مميتة ، ولكن بشكل عام ، الأشخاص الذين لديهم قوة عضلية أكبر قبل السقوط هم أقل عرضة للإصابة بإصابة خطيرة.

    المراجعات

    لم يتم ترك أي مراجعات لهذه النشرة الإخبارية. سجل الدخول واترك مراجعة خاصة بك.

    قد تكون مهتم ايضا ب…


    الخط السفلي على الطاقة 90

    ما هي الصفقة الحقيقية مع Power 90؟ إنها سلسلة من أقراص DVD للتمارين الرياضية الشهيرة والتي تحتوي على بعض الشهادات المثيرة للإعجاب حقًا قبل وبعد الشهادات. ومع ذلك ، قد يكون البرنامج نفسه صعبًا للغاية بالنسبة لبعض المستهلكين الخارجين عن الشكل أو الذين بدأوا للتو. نشعر بالقلق أيضًا من أن تمرين P90 قد يكلف الكثير ، وهذا يترك لنا تحفظات بشأن التوصية به.

    إذا حان الوقت لبدء رحلة إنقاص الوزن ، فنحن نعتقد أن نظام الدعم القوي هو مفتاح النجاح.

    من بين المنتجات التي رأيناها هذا العام ، يُطلق على أحد أفضل المنتجات نوم. برامج مثل هذه تجمع بين تطبيق بسيط وجميل مع التدريب البشري والدعم الفردي الذي يجعل Noom قوة يجب التعامل معها.

    صانعو Noom واثقون جدًا من منتجاتهم لدرجة أنهم يقدمون عرض تجريبي مجاني.

    قد يكون اختيار نظام إنقاص الوزن الصحيح أمرًا محيرًا ومحبطًا في كثير من الأحيان. دعنا نساعد. دعنا نعرف المزيد عنك وعن أهدافك.