مقالات

2.2E: معادلات قابلة للفصل (تمارين)


Q2.2.1

في تمارين 2.2.1-2.2.6 تجد كل الحلول.

1. ({y '= {3x ^ 2 + 2x + 1 على y-2}} )

2. (( sin x) ( sin y) + ( cos y) y '= 0 )

3. (س ص '+ ص ^ 2 + ص = 0 )

4. (y ' ln | y | + x ^ 2y = 0 )

5. ({(3y ^ 3 + 3y cos y + 1) y '+ {(2x + 1) y over 1 + x ^ 2} = 0} )

6. (x ^ 2yy '= (y ^ 2-1) ^ {3/2} )

Q2.2.2

في تمارين 2.2.7-2.2.10 تجد كل الحلول. ارسم أيضًا حقل اتجاه وبعض المنحنيات المتكاملة على المنطقة المستطيلة المشار إليها.

7. ({y '= x ^ 2 (1 + y ^ 2)}؛ ؛ {- 1 le x le1، -1 le y le1 } )

8. (y '(1 + x ^ 2) + xy = 0 ؛ ؛ {- 2 le x le2، -1 le y le1 } )

9. (y '= (x-1) (y-1) (y-2) ؛ ؛ {- 2 le x le2، -3 le y le3 } )

10. ((y-1) ^ 2y '= 2x + 3 ؛ ؛ {- 2 le x le2، -2 le y le5 } )

Q2.2.3

في تمارين 2.2.11 و 2.2.12 حل مشكلة القيمة الأولية.

11. ({y '= {x ^ 2 + 3x + 2 over y-2}، quad y (1) = 4} )

12. (ص '+ س (ص ^ 2 + ص) = 0 ، رباعي ص (2) = 1 )

Q2.2.4

في تمارين 2.2.13-2.2.16 حل مشكلة القيمة الأولية ورسم الحل بيانيًا.

13. ((3y ^ 2 + 4y) y '+ 2x + cos x = 0، quad y (0) = 1 )

14. ({y '+ {(y + 1) (y-1) (y-2) على x + 1} = 0، quad y (1) = 0} )

15. (ص '+ 2 س (ص + 1) = 0 ، رباعي ص (0) = 2 )

16. (ص '= 2 س ص (1 + ص ^ 2) ، رباعي ص (0) = 1 )

Q2.2.5

في تمارين 2.2.17 - 2.2.23 حل مسألة القيمة الأولية وإيجاد الفترة الزمنية لصلاحية الحل.

17. (y '(x ^ 2 + 2) + 4x (y ^ 2 + 2y + 1) = 0 ، quad y (1) = - 1 )

18. (ص '= - 2 س (ص ^ 2-3 ص + 2) ، رباعي ص (0) = 3 )

19. ({y '= {2x over 1 + 2y}، quad y (2) = 0} ) &

20. (y '= 2y-y ^ 2، quad y (0) = 1 )

21. (س + ص ص = 0 ، رباعي ص (3) = -4 )

22. (y '+ x ^ 2 (y + 1) (y-2) ^ 2 = 0 ، quad y (4) = 2 )

23. ((س + 1) (س -2) ص '+ ص = 0 ، رباعي ص (1) = - 3 )

Q2.2.6

24. حل ({y '= {(1 + y ^ 2) over (1 + x ^ 2)}} ) صراحة.

25. حل ({y ' sqrt {1-x ^ 2} + sqrt {1-y ^ 2} = 0} ) بشكل صريح.

26. حل ({y '= { cos x over sin y}، quad y ( pi) = { pi over2}} ) بشكل صريح.

27. حل مشكلة القيمة الأولية [y '= ay-by ^ 2، quad y (0) = y_0. ] ناقش سلوك الحل إذا a (y_0 ge0 )؛ ب (y_0 <0 ).

28. السكان (P = P (t) ) من الأنواع تحقق المعادلة اللوجستية [P '= aP (1- alpha P) ] و (P (0) = P_0> 0 ). ابحث عن (P ) من أجل (t> 0 ) ، وابحث عن ( lim_ {t to infty} P (t) ).

29 - ينتشر الوباء بين السكان بمعدل يتناسب مع ناتج عدد الأشخاص المصابين بالفعل وعدد الأشخاص المعرضين للإصابة ولكن لم يصابوا بعد. لذلك ، إذا كان (S ) يشير إلى إجمالي عدد الأشخاص المعرضين للإصابة و (I = I (t) ) يشير إلى عدد الأشخاص المصابين في الوقت (t ) ، فإن [I '= rI (SI) ، ] حيث (r ) ثابت موجب. بافتراض أن (I (0) = I_0 ) ، ابحث عن (I (t) ) لـ (t> 0 ) ، وأظهر أن ( lim_ {t to infty} I (t) = س).

30. نتيجة تمرين 2.2.29 أمر محبط: إذا أصيب أي عضو حساس في المجموعة بالعدوى في البداية ، فسيصاب جميع الأعضاء المعرضين للإصابة على المدى الطويل! في ملاحظة أكثر تفاؤلاً ، افترض أن المرض ينتشر وفقًا لنموذج تمرين 2.2.29، ولكن هناك دواء يعالج السكان المصابين بمعدل يتناسب مع عدد الأفراد المصابين. الآن معادلة عدد الأفراد المصابين تصبح [I '= rI (S-I) -qI tag {A} ] حيث (q ) ثابت موجب.

  1. اختر (r ) و (S ) موجب. من خلال رسم حقول الاتجاه وحلول (أ) على شبكات مستطيلة مناسبة [R = {0 le t le T، 0 le I le d } ] في ((t، I) ) - الطائرة ، تحقق مما إذا كان (I ) هو أي حل لـ (A) مثل (I (0)> 0 ) ، ثم ( lim_ {t to infty} I (t) = Sq / r ) إذا (q
  2. للتحقق من النتائج التجريبية لـ (أ) ، استخدم فصل المتغيرات لحل (A) مع الحالة الأولية (I (0) = I_0> 0 ) ، وابحث عن ( lim_ {t to infty} I ( ر) ).

31. ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية [y '= ay-by ^ 2-q و tag {A} ] حيث (a ) و (b ) ثوابت موجبة و (q ) ثابت تعسفي. افترض أن (y ) يدل على حل هذه المعادلة الذي يفي بالشرط الأولي (y (0) = y_0 ).

  1. اختر (a ) و (b ) موجب و (q y_1 ) ثم ( lim_ {t to infty} y (t) = y_2 ) ، وإذا (y_0
  2. اختر (أ ) و (ب ) موجب و (ف = أ ^ 2/4 ب ). من خلال رسم حقول الاتجاه وحلول (أ) على شبكات مستطيلة مناسبة بالشكل (ب) ، اكتشف أن هناك عددًا (y_1 ) بحيث إذا (y_0 ge y_1 ) ثم ( lim_ {t ) إلى infty} y (t) = y_1 ) ، بينما إذا (y_0
  3. اختر (a ) و (b ) و (q> a ^ 2 / 4b ). من خلال رسم حقول الاتجاه وحلول (أ) على شبكات مستطيلة مناسبة للشكل (ب) ، اكتشف أنه بغض النظر عن ماهية (y_0 ) ، (y (t) = - infty ) لبعض القيمة المحدودة (ر ).
  4. تحقق من نتائج التجارب بشكل تحليلي. ابدأ بفصل المتغيرات في (أ) للحصول على [{y ' over ay-by ^ 2-q} = 1. ] لتحديد ما يجب فعله بعد ذلك ، سيتعين عليك استخدام الصيغة التربيعية. يجب أن يقودك هذا إلى معرفة سبب وجود ثلاث حالات. خذها من هناك! بسبب دوره في الانتقال بين هذه الحالات الثلاث ، يسمى (q_0 = a ^ 2 / 4b ) قيمة التشعب من (ف ). بشكل عام ، إذا كان (q ) معلمة في أي معادلة تفاضلية ، يُقال إن (q_0 ) قيمة تشعب لـ (q ) إذا كانت طبيعة حلول المعادلة بـ (q q_0 ).

32. من خلال رسم حقول الاتجاه وحلول ​​[y '= qy-y ^ 3 ، ] اقنع نفسك بأن (q_0 = 0 ) قيمة تشعب لـ (q ) لهذه المعادلة. اشرح ما الذي يجعلك تتوصل إلى هذا الاستنتاج.

33. افترض أن مرضا ينتشر وفقا لنموذج تمرين 2.2.29، ولكن هناك دواء يعالج السكان المصابين بمعدل ثابت (q ) فرد لكل وحدة زمنية ، حيث (q> 0 ). ثم تصبح معادلة عدد الأفراد المصابين [I '= rI (S-I) -q. ]

بافتراض أن (I (0) = I_0> 0 ) ، استخدم نتائج تمرين 2.2.31 لوصف ما يحدث بأنه (t to infty ).

34. بافتراض أن (p not equiv 0 ) ، حدد الشروط التي بموجبها يمكن فصل المعادلة الخطية [y '+ p (x) y = f (x) ]. إذا كانت المعادلة تفي بهذه الشروط ، قم بحلها عن طريق فصل المتغيرات وبالطريقة التي تم تطويرها في القسم 2.1.

Q2.2.7

حل المعادلات في تمارين 2.2.35-2.2.38 باستخدام تباين المعلمات متبوعًا بفصل المتغيرات.

35. ({y '+ y = {2xe ^ {- x} over1 + ye ^ x}} ) &

36. ({xy'-2y = {x ^ 6 over y + x ^ 2}} )

37. ({y'-y} = {(x + 1) e ^ {4x} over (y + e ^ x) ^ 2} ) &

38. (y'-2y = {xe ^ {2x} over1-ye ^ {- 2x}} )

39. استخدم تباين المعلمات لإظهار أن حلول المعادلات التالية هي من الشكل (y = uy_1 ) ، حيث (u ) يفي بمعادلة قابلة للفصل (u '= g (x) p (u) ). ابحث عن (y_1 ) و (ز ) لكل معادلة.

  1. (س ص '+ ص = ح (س) ص (س ص) )
  2. ({xy'-y = h (x) p left ({y over x} right)} )
  3. (y '+ y = h (x) p (e ^ xy) )
  4. (xy '+ ry = h (x) p (x ^ ry) )
  5. ({y '+ {v' (x) over v (x)} y = h (x) p left (v (x) y right)} )

حساب التفاضل والتكامل APEX

هناك تقنيات محددة يمكن استخدامها لحل أنواع معينة من المعادلات التفاضلية. هذا مشابه لحل المعادلات الجبرية. في الجبر ، يمكننا استخدام الصيغة التربيعية لحل المعادلة التربيعية ، لكن ليس المعادلة الخطية أو التكعيبية. بالطريقة نفسها ، غالبًا ما تكون التقنيات التي يمكن استخدامها لنوع معين من المعادلات التفاضلية غير فعالة لمعادلة تفاضلية من نوع مختلف. في هذا القسم ، نصف وممارسة تقنية لحل فئة من المعادلات التفاضلية تسمى معادلات قابلة للفصل.

التعريف 8.2.2. معادلة تفاضلية قابلة للفصل.

A هو الذي يمكن كتابته في النموذج

حيث (n ) هي دالة تعتمد فقط على المتغير التابع (y text <،> ) و (m ) هي وظيفة تعتمد فقط على المتغير المستقل (x text <.> )

أدناه ، نعرض بعض الأمثلة على المعادلات التفاضلية القابلة للفصل ، جنبًا إلى جنب مع المعادلات المتشابهة التي لا يمكن فصلها.

  1. ( displaystyle displaystyle frac= x ^ 2y )
  2. ( displaystyle displaystyle y sqrt فارك- sin (x) cos (x) = 0 )
  3. ( displaystyle displaystyle frac= فارك <(س ^ 2 + 1) ه ^>)
  1. ( displaystyle displaystyle frac= س ^ 2 + ص )
  2. ( displaystyle displaystyle y sqrt فارك- sin (x) cos y = 0 )
  3. ( displaystyle displaystyle frac= فارك <(س ص + 1) ه ^>)

لاحظ أن المعادلة القابلة للفصل تتطلب مضاعفة وظائف المتغيرات التابعة والمستقلة ، وليس إضافتها (مثل البند 8.2.4: 1 في القائمة 8.2.4). ينص تعريف بديل لمعادلة تفاضلية قابلة للفصل على أن المعادلة قابلة للفصل إذا كان من الممكن كتابتها بالشكل

لبعض الوظائف (f ) و (g text <.> )

القسم الفرعي 8.2.1 فصل المتغيرات

لنجد حلًا رسميًا للمعادلة القابلة للفصل

نظرًا لأن الدوال الموجودة على الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة متساوية ، يجب أن تكون المشتقات العكسية مساوية لثابت تكامل عشوائي. هذا هو

على الرغم من أن التكامل الموجود على اليسار قد يبدو غريبًا بعض الشيء ، تذكر أن (y ) نفسها هي دالة لـ (x text <.> ) ضع في اعتبارك الاستبدال (u = y (x) text <.> ) التفاضل هو (du = displaystyle frac، dx text <.> ) باستخدام هذا الاستبدال ، تصبح المعادلة أعلاه

لنفترض أن (N (u) ) و (M (x) ) من المشتقات العكسية لـ (n (u) ) و (m (x) text <،> ) على التوالي. ثم

هذه العلاقة بين (y ) و (x ) هي شكل ضمني لحل المعادلة التفاضلية. في بعض الأحيان (ولكن ليس دائمًا) من الممكن حل (y ) للعثور على نسخة واضحة من الحل.

على الرغم من أن التقنية الموضحة أعلاه صحيحة رسميًا ، إلا أن ما فعلناه يرقى أساسًا إلى تكامل الوظيفة (n ) فيما يتعلق بمتغيرها ودمج الوظيفة (م ) فيما يتعلق بمتغيرها. الطريقة غير الرسمية لحل المعادلة القابلة للفصل هي التعامل مع المشتق ( displaystyle frac) كما لو كان كسرًا. الصيغة المنفصلة للمعادلة هي

لحل هذه المشكلة ، ندمج الطرف الأيسر بالنسبة إلى (y ) والجانب الأيمن بالنسبة إلى (x ) ونضيف ثابت التكامل. طالما أننا قادرون على إيجاد المشتقات العكسية ، فيمكننا إيجاد صيغة ضمنية للحل. أحيانًا نكون قادرين على حل المعادلة التفاضلية من أجل (y ) في الحل الضمني لإيجاد صيغة واضحة لحل المعادلة التفاضلية. نحن نمارس هذه التقنية من خلال حل المعادلات التفاضلية الثلاث المدرجة في العمود القابل للفصل أعلاه ، ونختتم بإعادة النظر وإيجاد الحل العام للمعادلة التفاضلية اللوجستية من القسم 8.1.

مثال 8.2.5. حل معادلة تفاضلية قابلة للفصل.

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية ( yp = x ^ 2y text <.> )

باستخدام طريقة الحل غير الرسمية الموضحة أعلاه ، نتعامل مع ( displaystyle frac) على شكل كسر ، واكتب الصيغة المنفصلة للمعادلة التفاضلية كـ

التكاملات غير المحددة ( int frac) و ( int x ^ 2 ، dx ) كلاهما ينتج ثوابت عشوائية. نظرًا لأن كلا الثابتين تعسفيان ، فإننا نجمعهما في ثابت تكامل واحد.

دمج الجانب الأيسر من المعادلة بالنسبة إلى (y ) والجانب الأيمن من المعادلة بالنسبة إلى (x ) ينتج عنه

هذا شكل ضمني لحل المعادلة التفاضلية. ينتج عن حل (y ) شكل واضح للحل. نحن نؤس كلا الجانبين

هذا الحل هو مشكلة بعض الشيء. أولاً ، القيمة المطلقة تجعل الحل صعب الفهم. المسألة الثانية تأتي من رغبتنا في العثور على حل عام. تذكر أن الحل العام يتضمن جميع الحلول الممكنة للمعادلة التفاضلية. بعبارة أخرى ، لأي حالة أولية معينة ، يجب أن يتضمن الحل العام الحل لمشكلة القيمة الأولية المحددة. يمكننا في كثير من الأحيان تلبية أي شرط أولي معين عن طريق اختيار قيمة (C ) مناسبة. عند حل المعادلات القابلة للفصل ، من الممكن أن تفقد الحلول التي لها الشكل (y = text <ثابت> نص <.> ) لاحظ أن (y = 0 ) يحل المعادلة التفاضلية ، لكنه كذلك لا يمكن اختيار منتهي (C ) لجعل الحل يبدو مثل (y = 0 text <.>> ) لا يمكن لحلنا حل مشكلة القيمة الأولية ( displaystyle frac = x ^ 2y text <،> ) مع (y (a) = 0 ) (حيث (a ) هو أي قيمة). وبالتالي ، لم نجد حلاً عامًا للمشكلة. يمكننا تنظيف الحل واستعادة الحل المفقود بقليل من التفكير الذكي.

لا يمكن دائمًا استعادة الحلول الثابتة المفقودة عن طريق إعادة تعريف الثابت التعسفي بذكاء. المعادلة التفاضلية ( yp = y ^ 2 - 1 ) هي مثال على هذه الحقيقة. كلاهما (y = 1 ) و (y = -1 ) حلان ثابتان لهذه المعادلة التفاضلية. ينتج عن فصل المتغيرات حلاً حيث يمكن تحقيق (y = 1 ) باختيار قيمة (C ) مناسبة ، لكن (y = -1 ) لا يمكن تحقيقه. الحل العام هو المجموعة التي تحتوي على الحل الناتج عن فصل المتغيرات و الحل المفقود (y = -1 text <.> ) يجب أن نكون حريصين دائمًا للبحث عن الحلول الثابتة المفقودة عند البحث عن الحل العام لمعادلة تفاضلية قابلة للفصل.

أذكر التعريف الرسمي للقيمة المطلقة: ( abs = y ) إذا (y geq 0 ) و ( القيمة المطلقة = -y ) إذا (y lt 0 text <.> ) حلنا إما (y = e ^ C e ^ < frac<3>> ) أو (y = - e ^ C e ^ << frac<3> >> text <.> ) علاوة على ذلك ، لاحظ أن (C ) ثابت ، لذلك (e ^ C ) ثابت أيضًا. إذا كتبنا الحل على النحو التالي (y = Ae ^ < frac<3>> text <،> ) والسماح للثابت (A ) بأخذ قيم موجبة أو سالبة ، نقوم بدمج كلتا الحالتين للقيمة المطلقة. أخيرًا ، إذا سمحنا أن يكون (A ) صفرًا ، فإننا نستعيد الحل المفقود الذي نوقش أعلاه. أفضل طريقة للتعبير عن الحل العام لمعادلتنا التفاضلية هي

مثال 8.2.6. حل مشكلة القيمة الأولية القابلة للفصل.

حل مشكلة القيمة الأولية ( displaystyle (y sqrt) yp - sin (x) cos (x) = 0 text <،> ) مع (y (0) = -3 text <.> )

نضع المعادلة التفاضلية أولاً في صورة منفصلة

التكامل غير المحدود ( displaystyle int y sqrtيتطلب ، dy ) الاستبدال (u = y ^ 2-5 text <.> ) استخدام هذا البديل ينتج عنه المعادلة العكسية ( displaystyle frac <1> <3> (y ^ 2-5) ^ <3/2> text <.> ) يتطلب التكامل غير المحدد ( displaystyle int sin (x) cos (x) ، dx ) الاستبدال (u = sin (x) text <.> ) باستخدام هذا الاستبدال ينتج عنه المشتق العكسي ( displaystyle frac <1> <2> sin ^ 2 x text <.> ) وهكذا ، لدينا صيغة ضمنية لحل المعادلة التفاضلية المعطاة بواسطة

ينص الشرط الأولي على أن (y ) يجب أن يكون (- 3 ) عندما يكون (x ) هو (0 text <،> ) أو

عند تقييم السطر أعلاه ، نجد (C = 8/3 text <،> ) ينتج عنه حل معين لمشكلة القيمة الأولية

مثال 8.2.7. حل معادلة تفاضلية قابلة للفصل.

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية ( displaystyle frac = فارك <(س ^ 2 + 1) ه ^> نص <.> )

نبدأ بملاحظة أنه لا توجد حلول ثابتة لهذه المعادلة التفاضلية لأنه لا توجد قيم (y ) ثابتة تجعل الجانب الأيمن من المعادلة صفرًا بشكل مماثل. وبالتالي ، لا داعي للقلق بشأن فقدان الحلول أثناء عملية فصل المتغيرات. يتم إعطاء الصيغة المنفصلة للمعادلة بواسطة

تتطلب المشتقة العكسية للجانب الأيسر التكامل بالأجزاء. ينتج عن حساب كل من التكاملات غير المحددة الحل الضمني

نظرًا لأننا لا نستطيع إيجاد حل لـ (y text <،> ) ، لا يمكننا العثور على شكل واضح للحل.

مثال 8.2.8. حل المعادلة التفاضلية اللوجيستية.

حل المعادلة التفاضلية اللوجستية ( displaystyle frac

= ky left (1 - fracحق))

نظرنا إلى حقل المنحدر لهذه المعادلة في القسم 8.1 في الحالة المحددة لـ (k = M = 1 text <.> ) هنا ، نستخدم فصل المتغيرات لإيجاد حل تحليلي للمعادلة الأكثر عمومية. لاحظ أن المتغير المستقل (t ) لا يظهر صراحة في المعادلة التفاضلية. ذكرنا أن معادلة من هذا النوع تسمى واثق من نفسه. جميع المعادلات التفاضلية المستقلة من الدرجة الأولى قابلة للفصل.

نبدأ بملاحظة أن كلا من (y = 0 ) و (y = M ) حلان ثابتان للمعادلة التفاضلية. يجب أن نتحقق من أن هذه الحلول لا تضيع أثناء عملية فصل المتغيرات. الصيغة المنفصلة للمعادلة هي

يمكن إيجاد المشتق العكسي للطرف الأيسر من المعادلة باستخدام الكسور الجزئية. نكتب باستخدام الأساليب التي تمت مناقشتها في القسم 6.5

ثم يتم إعطاء شكل ضمني للحل بواسطة

على غرار المثال 8.2.5 ، يمكننا الكتابة

إن السماح (A ) بأخذ قيم موجبة أو قيم سلبية يدمج كلتا الحالتين للقيمة المطلقة. هذا شكل ضمني آخر للحل. يعطي حل (y ) الشكل الصريح

حيث (ب ) ثابت اعتباطي. لاحظ أن (b = 0 ) يستعيد الحل الثابت (y = M text <.> ) لا يمكن إنتاج الحل الثابت (y = 0 ) بقيمة محدودة (b ) ، ولديه ضاعت. الحل العام المعادلة التفاضلية اللوجستية هو المجموعة التي تحتوي على ( displaystyle y = frac<1 + be ^ <-kt>> ) و (y = 0 text <.> )

ينتج عن حل (y ) في البداية الحل الصريح ( displaystyle y = frac<>> <1 + Ae ^> text <.> ) قسمة البسط والمقام على (Ae ^) وتعريف (ب = 1 / أ ) ينتج عنه الشكل الشائع للحل الوارد في المثال 8.2.8.

تمارين 8.2.2 تمارين

مشاكل

في التدريبات التالية ، حدد ما إذا كانت المعادلة التفاضلية قابلة للفصل أم لا. إذا كانت المعادلة قابلة للفصل. اكتبها في شكل منفصل.

(displaystyle x yp + x ^ 2y = frac )

(displaystyle (y + 3) yp + (ln (x)) yp - x sin y = (y + 3) ln (x))

( displaystyle yp -x ^ 2 cos y + y = cos y - x ^ 2 y )

في التمارين التالية ، أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية القابلة للفصل. تأكد من التحقق من عدم وجود حلول ثابتة مفقودة.

(displaystyle e ^ xy yp = e ^ <-y> + e ^ <- 2x - y>)

( displaystyle (x ^ 2 + 1) yp = frac)

في التدريبات التالية ، أوجد الحل الخاص لمشكلة القيمة الأولية القابلة للفصل.

(displaystyle yp = frac text <،>) with (y (0) = displaystyle frac <2>)


المعادلات التفاضلية المنفصلة

ص '= و (س) / ز (ص)
يتم تقديم أمثلة مع الحلول التفصيلية وعرض مجموعة من التمارين بعد الدروس التعليمية. اعتمادًا على f (x) و g (y) ، يمكن حل هذه المعادلات تحليليًا.

مثال 1: حل المعادلة التفاضلية وإيجاد حل عام لها.
ص '= 3 ص ص س 2
حل المثال 1:
نعيد كتابة المعادلات المعطاة أولاً بصيغة تفاضلية وباستخدام المتغيرات فصل، الحرفان y على أحد الجانبين و x على الجانب الآخر على النحو التالي.
e -y dy = 3 x 2 dx
ادمج كلا الجانبين.
e e -y dy = 3 x 2 dx
الذي يعطي
-e -y + C1 = x 3 + C2 و C1 و C2 هي ثوابت تكامل.
نحل الآن المعادلة أعلاه لـ y
y = - ln (- x 3 - C) ، حيث C = C2 - C1.
كممارسة ، تحقق من أن الحل الذي تم الحصول عليه يلبي المعادلة التفاضلية المذكورة أعلاه.

المثال 2: حل المعادلة التفاضلية وإيجاد حل عام لها.
y '= sin x / (y cos y)
حل المثال 2:
منفصل المتغيرات والكتابة في شكل تفاضلي.
y cos y dy = sin x dx
ادمج كلا الجانبين
y cos y dy = sin x dx
قد يتكامل الجانب الأيسر بواسطة أجزاء
y sin y - sin y dy = - cos x
y sin y + cos y + C1 = - cos x + C2 و C1 و C2 ثوابت تكامل.
في هذه الحالة ، لا توجد صيغة بسيطة لـ y كدالة في x.
y = (-cos x - cos y + C) / sin y ، حيث C = C2 - C1

حل المعادلات التفاضلية التالية القابلة للفصل.
أ) ص '= -9 × 2 ص 2
ب) ص '= - 2 س ص ص

حلول للتمارين المذكورة أعلاه
أ) ص = 1 / (3 س 3 + ج)
ب) ص = - ن (س 2 + ج)


تطبيقات الحياة الواقعية [عدل | تحرير المصدر]

  1. نمو السكان: متي
  2. تحويل التفاعل الكيميائي:
  3. قانون نيوتن الثاني للحركة:
  4. تستخدم المعادلات التفاضلية في نقل الحرارة والهندسة الكهربائية وميكانيكا الموائع ودوائر النمذجة.

فصل المتغيرات

يتضمن حل الدوال التفاضلية إيجاد دالة واحدة ، أو مجموعة من الدوال التي تحقق المعادلة.

المعادلات التفاضلية القابلة للفصل هي فئة واحدة من المعادلات التفاضلية التي يمكن حلها بسهولة. نستخدم تقنية تسمى فصل المتغيرات لحلها.

على سبيل المثال ، المعادلة التفاضلية

يمكنك حل معادلة تفاضلية باستخدام فصل المتغيرات عندما تكون المعادلة قابلة للفصل

أي عندما يمكنك نقل جميع المصطلحات في (y ) (بما في ذلك (dy )) إلى جانب واحد من المعادلة ، و

جميع الشروط في (x ) (بما في ذلك (dx )) للآخر.

خطوات في الطريقة

تتضمن طريقة فصل المتغيرات ثلاث خطوات:

  1. انقل جميع المصطلحات في (y ) ، بما في ذلك (dy ) ، إلى جانب واحد من المعادلة وجميع المصطلحات الموجودة في (x ) ، بما في ذلك (dx ) ، إلى الجانب الآخر.
  2. ادمج كلا الجانبين: الجانب (ص ) - الجانب بالنسبة إلى (ص ) ، والجانب (س ) بالنسبة إلى (س ).
  3. بسّط معادلتك.

مثال:

الخطوة 1: افصل المتغيرات عن طريق نقل جميع المصطلحات في (y ) ، بما في ذلك (dy ) ، إلى جانب واحد من المعادلة وجميع المصطلحات الموجودة في (x ) ، بما في ذلك (dx ) ، إلى الجانب الآخر.

الخطوة 2: ادمج طرفي المعادلة.

الخطوه 3: بسّط المعادلة (تخلص من السجل بأخذ الأس لكل جانب).

مثال (ذباب الفاكهة)

من المحتمل أنك واجهت ذباب الفاكهة من قبل. إنها الأشياء الصغيرة المزعجة التي يبدو أنها تتجسد من فراغ وتطير حول الفاكهة المحجورة في الصيف. يهتم علماء الأحياء بذباب الفاكهة لأنها تتكاثر بسرعة وسهولة ، وهي مفيدة لاستكشاف انتقال الصفات الجينية.

يهتم علماء الأحياء أيضًا بنمذجة نمو السكان ، وبالتأكيد تنمو أعداد ذباب الفاكهة! أنت بحاجة إلى ذباب الفاكهة لإنتاج المزيد من ذباب الفاكهة ، وكلما زاد عدد ذباب الفاكهة ، يزداد عدد ذباب الفاكهة بسرعة أكبر. لذلك ، إذا كنت أرغب في تصميم نموذج لنمو ذبابة الفاكهة داخل وعاء الفاكهة وحوله ، فأنا بحاجة إلى الخروج ببعض المعلمات (المتغيرات) لنموذجي. أعتقد أن ما يلي سيكون مفيدًا:

  • الوقت (ر ).
  • عدد ذباب الفاكهة المتواجد في أي وقت (ر ). دعنا نسميها (F ).
  • معدل التغير في عدد ذبابة الفاكهة ( dfrac
    ).

يزداد عدد ذباب الفاكهة لدي باستمرار وبشكل مزعج وأريد أن أصمم نموه في أي وقت. معدل التغير (في أي وقت) في ذباب الفاكهة يساوي معدل النمو السكاني مضروبًا في عدد ذباب الفاكهة الموجود في ذلك الوقت ، لذلك يمكننا إعداد المعادلة التفاضلية التالية:

الخطوة 1: افصل المتغيرات عن طريق نقل جميع المصطلحات في (F ) ، بما في ذلك (dF ) ، إلى جانب واحد من المعادلة وجميع المصطلحات الموجودة في (t ) ، بما في ذلك (dt ) ، إلى الجانب الآخر.

الخطوة 2: ادمج طرفي المعادلة.

الخطوه 3: بسّط المعادلة (تخلص من السجل بأخذ الأس لكل جانب).

للمتعة فقط ، دعنا نختار بعض قيم (A ) و (k ) ، قل (A = 0.7 ) ، و (k = 0.9 ) ، ونلقي نظرة على الرسم البياني:

ملحوظة: تظهر المعادلة التفاضلية في هذا المثال في كل مكان عندما نقوم بنمذجة نمو السكان أو الاستثمارات ، أو أشياء مثل الاضمحلال الإشعاعي. في الواقع ، معادلة جوس التفاضلية لها هذا النوع. دعونا نحلها!

حل مشكلة كاتربيلر الوحشية لجوس

إذا كنت تتذكر ، فقد انتشرت اليرقات في حديقة جوس ، وهم يأكلون ملفوفه. لقد صاغ الموقف باستخدام المعادلة التفاضلية:

حسنًا ، لقد تم بالفعل تنفيذ الخطوة الأولى بالنسبة لنا. إذا قمنا بتوصيل (F = text) و (ك = 5 ) في المعادلة أعلاه ، نحصل على معادلة جوس ، وحلها هو


سنحصل أحيانًا على معادلة تفاضلية في الشكل

وطلب إيجاد حل عام للمعادلة التي ستكون معادلة لـ. ذ. من ناحية . x.

في هذه الحالة ، قد يكون من المفيد حقًا استخدام تغيير المتغير لإيجاد الحل. لاستخدام تغيير المتغير ، سنتبع الخطوات التالية:

استبدل . ش = ص. بحيث تصبح المعادلة. u = Q (x) -P (x) y.

خذ مشتق كلا الطرفين للحصول على. ذ ".

حيث . ش = ص. استبدال الظهر والاستبدال. ذ ". مع . ش.

حل من أجل. ش '. ثم استبدل. ش '. مع . du / dx.

متغيرات منفصلة لوضعها. ش. على جانب واحد و. x. من جهة أخرى.

تكامل كلا الجانبين فيما يتعلق. x. ثم حل ل. ش.

حيث . u = Q (x) -P (x) y. استبدال الظهر والاستبدال. ش. مع . ق (س) - ف (س) ص.

حل من أجل. ذ. من ناحية . x. للعثور على الحل العام.

قد يكون من الصعب تذكر هذه الخطوات ويصعب اتباعها ، ولكن المفتاح هو التخلص من جميع ملفات. ذ. . ذ ". و . x. القيم ، واستبدالها بـ. ش. و . ش '. إذا كان يمكنك الحصول على المعادلة بالكامل من حيث. ش. و . ش '. ثم يجب أن تقع بقية المشكلة في مكانها.


الأساليب الرياضية للنظرية الاقتصادية

الآن النظر في إمكانية وجود حل فيها ز(x(ر)) = 0 بالنسبة للبعض ر. إذا ز(x*) = 0 بالنسبة للبعض x* ومن بعد x(ر) = x* للجميع ر هو أيضًا حل ، لأنه إذا ز(x(ر)) = 0 ثم x'(ر) = 0.

هذه الحجة صالحة فقط للحلول x(ر) مع x(ر) & # 8800 0 للجميع ر. بالنظر إلى المعادلة التفاضلية الأصلية ، نرى أن الدالة x المعرفة من قبل x(ر) = 0 للجميع ر هو أيضا حل.

إذا كان لدينا حالة أولية x(ر0) = x0 ثم يتم تحديد قيمة C بواسطة المعادلة

كما في السابق ، تحدد الحالة الأولية الحل الدقيق. إذا x(0) = 1 ، على سبيل المثال ، نحتاج

معادلة L قابلة للفصل. ينتج عن دمج كلا الجانبين ln L = & # 955ر + C أو L (ر) = ج ه λر . بالنظر إلى الشرط الأولي ، لدينا C = L 0.


المعادلات التفاضلية القابلة للفصل: dy / dx = x ^ 4 (y-2)

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية dy / dx = x ^ 4 (y-2) وابحث عن الحل المعين y = f (x) للمعادلة التفاضلية المحددة مع الشرط الأولي f (0) = 0.

حصلت على ln | y-2 | = x ^ 5/5 + c وفعلت y-2 = ce ^ (x ^ 5/5) قبل وضع القيم المعطاة للحصول على c = -2. ثم حصلت على الحل كما يلي: y = 2-2e ^ (x ^ 5/5).

ومع ذلك ، يريد أستاذي أن أجد c مباشرة بعد الحصول على ln | y-2 | = س ^ 5/5 + ج. يبدو أن هذا يؤدي إلى قيمة وحل مختلفين.

ln | 0-2 | = ج
ln2 = ج
ln | y-2 | = س ^ 5/5 + ln2
البريد ln | y-2 | = e ^ (x ^ 5/5) * e ^ ln2
ص = 2 + 2 هـ ^ (س ^ 5/5)

تقول الآلة الحاسبة عبر الإنترنت أن 2-2e ^ (x ^ 5/5) هي الإجابة الصحيحة. كيف يمكنني العثور على c كما يريدني أستاذي ، وما الخطأ في ما سبق؟

هالسوفيفي

عضو النخبة

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية dy / dx = x ^ 4 (y-2) وابحث عن الحل المعين y = f (x) للمعادلة التفاضلية المحددة مع الشرط الأولي f (0) = 0.

حصلت على ln | y-2 | = x ^ 5/5 + c وفعلت y-2 = ce ^ (x ^ 5/5) قبل وضع القيم المعطاة للحصول على c = -2. ثم حصلت على الحل كما يلي: y = 2-2e ^ (x ^ 5/5).

ومع ذلك ، يريد أستاذي أن أجد c مباشرة بعد الحصول على ln | y-2 | = س ^ 5/5 + ج. يبدو أن هذا يؤدي إلى قيمة وحل مختلفين.

ln | 0-2 | = ج
ln2 = ج
ln | y-2 | = س ^ 5/5 + ln2
البريد ln | y-2 | = e ^ (x ^ 5/5) * e ^ ln2

تقول الآلة الحاسبة عبر الإنترنت أن 2-2e ^ (x ^ 5/5) هي الإجابة الصحيحة. كيف يمكنني العثور على c كما يريدني أستاذي ، وما الخطأ في ما سبق؟

إيشودا

عضو النخبة

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية dy / dx = x ^ 4 (y-2) وابحث عن الحل المعين y = f (x) للمعادلة التفاضلية المحددة مع الشرط الأولي f (0) = 0.

حصلت على ln | y-2 | = x ^ 5/5 + c وفعلت y-2 = ce ^ (x ^ 5/5) قبل وضع القيم المعطاة للحصول على c = -2. ثم حصلت على الحل كما يلي: y = 2-2e ^ (x ^ 5/5).

ومع ذلك ، يريد أستاذي أن أجد c مباشرة بعد الحصول على ln | y-2 | = س ^ 5/5 + ج. يبدو أن هذا يؤدي إلى قيمة وحل مختلفين.

ln | 0-2 | = ج
ln2 = ج
ln | y-2 | = س ^ 5/5 + ln2
البريد ln | y-2 | = e ^ (x ^ 5/5) * e ^ ln2
ص = 2 + 2 هـ ^ (س ^ 5/5)

تقول الآلة الحاسبة عبر الإنترنت أن 2-2e ^ (x ^ 5/5) هي الإجابة الصحيحة. كيف يمكنني العثور على c كما يريدني أستاذي ، وما الخطأ في ما سبق؟


موازنة تفاعلات ريدوكس

في طريقة تغيير رقم الأكسدة ، المبدأ الأساسي هو أن الكسب في عدد الأكسدة (عدد الإلكترونات) في متفاعل واحد يجب أن يكون مساويًا للخسارة في رقم الأكسدة للمتفاعل الآخر.

الخطوة 1. اكتب المعادلة غير المتوازنة ("المعادلة الهيكلية") للتفاعل الكيميائي. يجب معرفة جميع المواد المتفاعلة والمنتجات. للحصول على نتيجة أفضل اكتب رد الفعل في شكل أيوني.

الخطوة 2. افصل العملية إلى نصف تفاعلات. تفاعل الأكسدة والاختزال ليس سوى تفاعلات الأكسدة والاختزال التي تحدث في وقت واحد.

أ) عيّن أرقام الأكسدة لكل ذرة في المعادلة. رقم الأكسدة (يسمى أيضًا حالة الأكسدة) هو مقياس لدرجة أكسدة ذرة في مادة ما (انظر: قواعد تعيين أرقام الأكسدة).

ب) حدد واكتب جميع أزواج الأكسدة والاختزال كرد فعل. حدد المواد المتفاعلة التي تتأكسد (يزيد عدد الأكسدة عندما تتفاعل) والتي يتم تقليلها (ينخفض ​​عدد الأكسدة). اكتب انتقال الإلكترونات. بعناية ، أدخل المعاملات ، إذا لزم الأمر ، لجعل أعداد الذرات المؤكسدة والمختزلة متساوية على جانبي كل من أزواج الأكسدة والاختزال.

ج) اجمع بين أزواج الأكسدة والاختزال هذه في نصف تفاعلات: واحد للأكسدة ، والآخر للاختزال (انظر: قسّم تفاعل الأكسدة والاختزال إلى تفاعلين نصفين).

الخطوه 3. توازن الذرات في كل رد فعل نصف. يجب أن تحتوي المعادلة الكيميائية على نفس عدد ذرات كل عنصر على طرفي المعادلة. أضف المعاملات المناسبة (المعاملات المتكافئة) أمام الصيغ الكيميائية لموازنة عدد الذرات. لا تقم أبدًا بتغيير أي صيغ.

أ) توازن جميع الذرات الأخرى باستثناء الهيدروجين والأكسجين. يمكننا استخدام أي من الأنواع التي تظهر في معادلات الهيكل العظمي لهذا الغرض. ضع في اعتبارك أنه يجب إضافة المواد المتفاعلة فقط إلى الجانب الأيسر من المعادلة والنواتج إلى اليمين.

ب) وازن الشحنة. للتفاعلات في محلول أساسي ، قم بموازنة الشحنة بحيث يكون لكلا الجانبين نفس الشحنة الكلية بإضافة OH - أيون إلى الجانب ناقص الشحنة السالبة.

ج) موازنة ذرات الأكسجين. تحقق مما إذا كان هناك نفس عدد ذرات الأكسجين على الجانبين الأيسر والأيمن ، إذا لم يتم موازنة هذه الذرات عن طريق إضافة جزيئات الماء.

تمت جدولة نصف التفاعلات المتوازنة بشكل جيد في الكتيبات وعلى الويب في "جداول جهد القطب القياسي". تحتوي هذه الجداول ، حسب الاتفاقية ، على إمكانات نصف الخلية للتخفيض. لعمل تفاعل الأكسدة ، ما عليك سوى عكس تفاعل الاختزال وتغيير العلامة الموجودة على الحرف E.1/2 القيمة.

الخطوة 4. جعل كسب الإلكترون معادلاً للإلكترون المفقود. يجب أن تكون الإلكترونات المفقودة في تفاعل نصف الأكسدة مساوية للإلكترونات المكتسبة في تفاعل نصف الاختزال. لجعل الاثنين متساويين ، اضرب معاملات جميع الأنواع في الأعداد الصحيحة التي تنتج المضاعف المشترك الأصغر بين نصف التفاعلات.

الخطوة الخامسة. اجمع أنصاف التفاعلات معًا. يمكن دمج نصفي التفاعل تمامًا مثل معادلتين جبريتين ، بحيث يكون السهم بمثابة علامة التساوي. أعد تجميع نصفي التفاعلات بإضافة كل المواد المتفاعلة معًا على جانب واحد وجميع النواتج معًا على الجانب الآخر.

الخطوة 6. بسّط المعادلة. يمكن إلغاء نفس الأنواع الموجودة على جانبي السهم المتقابلين. اكتب المعادلة بحيث تكون المعاملات هي أصغر مجموعة ممكنة من الأعداد الصحيحة.

أخيرا، تأكد دائمًا من أن المعادلة متوازنة. أولاً ، تحقق من أن المعادلة تحتوي على نفس نوع وعدد الذرات على جانبي المعادلة.

ثانيًا ، تحقق من أن مجموع الرسوم على جانب واحد من المعادلة يساوي مجموع الرسوم على الجانب الآخر. لا يهم ماهية الشحنة طالما أنها متماثلة في كلا الجانبين.

نظرًا لأن مجموع الذرات الفردية على الجانب الأيسر من المعادلة يتطابق مع مجموع الذرات نفسها على الجانب الأيمن ، وبما أن الشحنات على كلا الجانبين متساوية ، يمكننا كتابة معادلة متوازنة.


2.2E: معادلات قابلة للفصل (تمارين)

في إحداثيات أسطوانية. افترض أن مجال الحل يمتد على كل المساحة ، وأن الإمكانات تخضع لشرط الحدود البسيط

في هذه الحالة ، يكون الحل مكتوبًا (انظر القسم 2.3)

حيث يكون التكامل على كل مساحة ، وهو دالة خضراء متماثلة [أي - انظر المعادلة (143)] التي ترضي

تخضع للقيد [انظر المعادلة (143)]

في إحداثيات أسطوانية ،

يتبع هذا لأنه ، حسب التعريف (انظر القسم 1.5) ،

عندما يقع داخل الحجم. وهكذا تصبح المعادلة (446)

الهويات الرياضية المعروفة

تستخدم تقليديا لعكس سلسلة فورييه وتحويلات فورييه ، على التوالي. في هذه الحالة ، إذا كتبنا

إذن ، بالاستفادة من هذه المطابقات ، تصبح المعادلة (450)

في الحالة العامة ، عندما تقلل المعادلة السابقة إلى معادلة بيسل المعدلة ،

As we saw in Section 3.10, the modified Bessel function [defined in Equation (435)] is a solution of the modified Bessel equation that is well behaved at , and badly behaved as . On the other hand, the modified Bessel function , where

is a solution that is badly behaved at , and well behaved as . حقيقة،

We are searching for a solution of Equation (454) that is well behaved at (because there is no reason for the potential to be infinite at ) and goes to zero as , in accordance with the constraint (447). It follows that

However, given that is a symmetric function, we expect to also be symmetric: that is, . بالتالي،

where is the lesser of and , and the greater. Integration of Equation (454) across yields

where denotes differentiation with respect to argument. However, the modified Bessel functions and satisfy the well-known mathematical identity

Hence, we deduce that . Thus, our general Green's function becomes

The previous expression for the Green's function, in combination with Equation (445), leads to the following expressions for the general solution to Poisson's equation in cylindrical geometry, subject to the boundary condition (444):

Suppose that we wish to solve Poisson's equation within a finite cylindrical volume, , bounded by the surfaces , , and . Let the boundary conditions imposed at the surface be

where is a specified function. According to Section 2.10, the solution to this Dirichlet problem is written

where represents the bounding surface. Here, the Green's function is the symmetric solution to

As before, in cylindrical coordinates, Equation (474) is written

If we search for a separable solution of the form then it is clear that

is the appropriate expression for that satisfies the constraint when and . The Fourier series (477) can be inverted in the usual fashion to give

Thus, searching for a Green's function of the form

Of course, must be well behaved at . Moreover, the constraint when implies that . Hence,

Now, the Green's function must be continuous when (otherwise, it would not be a symmetric function of and ): that is,

Integration of Equation (476) across again gives (461), which leads to

where use has been made of Equations (463) and (485). It follows that

Our general expression for the Dirichlet Green's function becomes

It is easily demonstrated that

Hence, making use of Equation (473), in combination with the previous two expressions, our general solution to the problem under discussion is specified by the following set of equations: