مقالات

4.9: تخفيض الترتيب - الرياضيات


نقدم في هذا القسم طريقة لإيجاد الحل العام لـ

[ label {eq: 5.6.1} P_0 (x) y '+ P_1 (x) y' + P_2 (x) y = F (x) ]

إذا عرفنا حلاً غير بديهي (y_1 ) للمعادلة التكميلية

[ label {eq: 5.6.2} P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0. ]

الطريقة تسمى تخفيض النظام لأنه يقلل من مهمة حل المعادلة المرجع {eq: 5.6.1} لحل معادلة من الدرجة الأولى. على عكس طريقة المعاملات غير المحددة ، لا تتطلب أن تكون (P_0 ) و (P_1 ) و (P_2 ) ثوابت أو أن تكون (F ) بأي شكل خاص.

الآن لا يجب أن تتفاجأ لأننا نبحث عن حلول للمعادلة المرجع {eq: 5.6.1} في النموذج

[ التسمية {eq: 5.6.3} ص = uy_1 ]

حيث يتم تحديد (u ) بحيث يفي (y ) بالمعادلة المرجع {eq: 5.6.1}. معادلة الاستبدال المرجع {eq: 5.6.3} و

[ start {align *} y '& = u'y_1 + uy_1' [4pt] y '& = u''y_1 + 2u'y_1' + uy_1 '' end {align *} ]

في المعادلة المرجع {eq: 5.6.1} العائد

[P_0 (x) (u''y_1 + 2u'y_1 '+ uy_1' ') + P_1 (x) (u'y_1 + uy_1') + P_2 (x) uy_1 = F (x). لا يوجد رقم]

جمع معاملات عوائد (u ) و (u ') و (u' ')

[ label {eq: 5.6.4} (P_0y_1) u '+ (2P_0y_1' + P_1y_1) u '+ (P_0y_1' '+ P_1y_1' + P_2y_1) u = F. ]

ومع ذلك ، فإن معامل (u ) هو صفر ، لأن (y_1 ) يفي بالمعادلة المرجع {eq: 5.6.2}. لذلك فإن المعادلة المرجع {eq: 5.6.4} تقلل إلى

[ label {eq: 5.6.5} Q_0 (x) u '' + Q_1 (x) u '= F، ]

مع

[Q_0 = P_0y_1 quad text {and} quad Q_1 = 2P_0y_1 '+ P_1y_1. nonumber ]

(ليس من المجدي حفظ معادلات (Q_0 ) و (Q_1 )!) بما أن المعادلة المرجع {eq: 5.6.5} هي معادلة خطية من الدرجة الأولى في (u ') ، نحن يمكن حلها من أجل (u ') عن طريق تغيير المعلمات كما في القسم 1.2 ، ودمج الحل للحصول على (u ) ، ثم الحصول على (y ) من المعادلة المرجع {eq: 5.6.3}.

مثال ( PageIndex {1} )

  1. أوجد الحل العام لـ [ label {eq: 5.6.6} xy '' - (2x + 1) y '+ (x + 1) y = x ^ 2، ] بالنظر إلى أن (y_1 = e ^ x ) هو حل المعادلة التكميلية [ label {eq: 5.6.7} xy "- (2x + 1) y '+ (x + 1) y = 0. ]
  2. كمنتج ثانوي لـ (أ) ، ابحث عن مجموعة أساسية من حلول المعادلة المرجع {eq: 5.6.7}.

حل

أ. إذا (y = ue ^ x ) ، إذن (y '= u'e ^ x + ue ^ x ) و (y' = u '' e ^ x + 2u'e ^ x + ue ^ x ) ، لذلك

[ start {align *} xy '' - (2x + 1) y '+ (x + 1) y & = x (u''e ^ x + 2u'e ^ x + ue ^ x) - (2x + 1) (u'e ^ x + ue ^ x) + (x + 1) ue ^ x & = (xu '' - u ') e ^ x. end {align *} ]

لذلك (y = ue ^ x ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 5.6.6} إذا وفقط إذا

[(xu '' - u ') e ^ x = x ^ 2، nonumber ]

وهي معادلة من الدرجة الأولى في (u '). نعيد كتابتها كـ

[ label {eq: 5.6.8} u '- {u' over x} = xe ^ {- x}. ]

للتركيز على كيفية تطبيق تنوع المعلمات على هذه المعادلة ، نكتب مؤقتًا (z = u ') ، بحيث تصبح المعادلة المرجع {eq: 5.6.8}

[ label {eq: 5.6.9} z '- {z over x} = xe ^ {- x}. ]

نترك الأمر لك لتظهر (بفصل المتغيرات) أن (z_1 = x ) هو حل للمعادلة التكميلية

[z '- {z over x} = 0 nonumber ]

للمعادلة المرجع {eq: 5.6.9}. من خلال تطبيق تباين المعلمات كما في القسم 1.2 ، يمكننا الآن أن نرى أن كل حل من حل المعادلة المرجع {eq: 5.6.9} هو من الشكل

[z = vx quad text {where} quad v'x = xe ^ {- x}، quad text {so} quad v '= e ^ {- x} quad text {and} quad v = -e ^ {- x} + C_1. nonumber ]

بما أن (u '= z = vx ) ، (u ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 5.6.8} إذا وفقط إذا

[u '= vx = -xe ^ {- x} + C_1x. nonumber ]

دمج هذا ينتج

[u = (x + 1) e ^ {- x} + {C_1 over2} x ^ 2 + C_2. nonumber ]

لذلك فإن الحل العام للمعادلة المرجع {eq: 5.6.6} هو

[ label {eq: 5.6.10} y = ue ^ x = x + 1 + {C_1 over2} x ^ 2e ^ x + C_2e ^ x. ]

ب. من خلال السماح (C_1 = C_2 = 0 ) في المعادلة المرجع {eq: 5.6.10} ، نرى أن (y_ {p_1} = x + 1 ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 5.6. 6}. من خلال السماح (C_1 = 2 ) و (C_2 = 0 ) ، نرى أن (y_ {p_2} = x + 1 + x ^ 2e ^ x ) هو أيضًا حل المعادلة المرجع {eq: 5.6.6}. نظرًا لأن الاختلاف بين حلين في المعادلة المرجع {eq: 5.6.6} هو حل المعادلة المرجع {eq: 5.6.7} ، (y_2 = y_ {p_1} -y_ {p_2} = x ^ 2e ^ x ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 5.6.7}. نظرًا لأن (y_2 / y_1 ) غير ثابت ونحن نعلم بالفعل أن (y_1 = e ^ x ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 5.6.6} ، فإن النظرية 5.1.6 تعني أن ( {e ^ x، x ^ 2e ^ x } ) هي مجموعة أساسية من حلول المعادلة المرجع {eq: 5.6.7}.

على الرغم من أن المعادلة ref {eq: 5.6.10} هي الصيغة الصحيحة للحل العام للمعادلة المرجع {eq: 5.6.6} ، فمن السخف ترك المعامل التعسفي لـ (x ^ 2e ^ x ) على النحو التالي (C_1 / 2 ) حيث (C_1 ) ثابت اعتباطي. علاوة على ذلك ، من المنطقي جعل رموز المعامِلات (y_1 = e ^ x ) و (y_2 = x ^ 2e ^ x ) متسقة مع رموز الدوال نفسها. لذلك نعيد كتابة المعادلة المرجع {eq: 5.6.10} كـ

[y = x + 1 + c_1e ^ x + c_2x ^ 2e ^ x non Number ]

ببساطة عن طريق إعادة تسمية الثوابت التعسفية. سنفعل هذا أيضًا في المثالين التاليين وفي إجابات التمارين.

مثال ( PageIndex {2} )

  1. أوجد الحل العام لـ [x ^ 2y '' + xy'-y = x ^ 2 + 1، nonumber ] بالنظر إلى أن (y_1 = x ) هو حل للمعادلة التكميلية [ label {eq : 5.6.11} x ^ 2y '' + xy'-y = 0. ] كمنتج ثانوي لهذه النتيجة ، ابحث عن مجموعة أساسية من حلول المعادلة المرجع {eq: 5.6.11}.
  2. حل مشكلة القيمة الأولية [ label {eq: 5.6.12} x ^ 2y '+ xy'-y = x ^ 2 + 1، quad y (1) = 2، ؛ ص '(1) = - 3. ]

حل

أ. إذا (y = ux ) ، إذن (y '= u'x + u ) و (y' = u 'x + 2u' ) ، لذلك

[ start {align} x ^ 2y '' + xy'-y & = x ^ 2 (u''x + 2u ') + x (u'x + u) -ux & = x ^ 3u' ' + 3x ^ 2u '. end {align} ]

لذلك (y = ux ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 5.6.12} إذا وفقط إذا

[x ^ 3u '' + 3x ^ 2u '= x ^ 2 + 1، non Number ]

وهي معادلة من الدرجة الأولى في (u '). نعيد كتابتها كـ

[ label {eq: 5.6.13} u '+ {3 over x} u' = {1 over x} + {1 over x ^ 3}. ]

للتركيز على كيفية تطبيق تباين المعلمات على هذه المعادلة ، نكتب مؤقتًا (z = u ') ، بحيث تصبح المعادلة المرجع {eq: 5.6.13}

[ label {eq: 5.6.14} z '+ {3 over x} z = {1 over x} + {1 over x ^ 3}. ]

نترك الأمر لك لتظهر بفصل المتغيرات أن (z_1 = 1 / x ^ 3 ) هو حل للمعادلة التكميلية

[z '+ {3 over x} z = 0 nonumber ]

للمعادلة المرجع {eq: 5.6.14}. من خلال اختلاف المعلمات ، يكون كل حل للمعادلة المرجع {eq: 5.6.14} من النموذج

[z = {v over x ^ 3} quad text {where} quad {v ' over x ^ 3} = {1 over x} + {1 over x ^ 3}، quad نص {so} quad v '= x ^ 2 + 1 quad text {and} quad v = {x ^ 3 over 3} + x + C_1. لا يوجد رقم]

بما أن (u '= z = v / x ^ 3 ) ، (u ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 5.6.14} إذا وفقط إذا

[u '= {v over x ^ 3} = {1 over3} + {1 over x ^ 2} + {C_1 over x ^ 3}. nonumber ]

دمج هذا ينتج

[u = {x over 3} - {1 over x} - {C_1 over2x ^ 2} + C_2. nonumber ]

لذلك فإن الحل العام للمعادلة المرجع {eq: 5.6.12} هو

[ label {eq: 5.6.15} y = ux = {x ^ 2 over 3} -1- {C_1 over2x} + C_2x. ]

الاستدلال كما في حل المثال ( PageIndex {1a} ) ، نستنتج أن (y_1 = x ) و (y_2 = 1 / x ) يشكلان مجموعة أساسية من الحلول للمعادلة المرجع {eq: 5.6.11}.

كما أوضحنا أعلاه ، نعيد تسمية الثوابت في المعادلة المرجع {eq: 5.6.15} ونعيد كتابتها كـ

[ label {eq: 5.6.16} y = {x ^ 2 over3} -1 + c_1x + {c_2 over x}. ]

ب. تفريق المعادلة المرجع {eq: 5.6.16} ينتج

[ label {eq: 5.6.17} y '= {2x over 3} + c_1- {c_2 over x ^ 2}. ]

ضبط (x = 1 ) في المعادلة المرجع {eq: 5.6.16} والمعادلة المرجع {eq: 5.6.17} وفرض الشروط الأولية (y (1) = 2 ) و (y ' (1) = - 3 ) ينتج

[ start {align} c_1 + c_2 & = phantom {-} {8 over 3} c_1-c_2 & = - {11 over 3}. end {align} ]

ينتج عن حل هذه المعادلات (c_1 = -1 / 2 ) ، (c_2 = 19/6 ). لذلك فإن حل المعادلة المرجع {eq: 5.6.12} هو

[y = {x ^ 2 over 3} -1- {x over 2} + {19 over 6x}. nonumber ]

يؤدي استخدام تقليل الترتيب لإيجاد الحل العام لمعادلة الدرجة الثانية الخطية المتجانسة إلى معادلة خطية من الدرجة الأولى متجانسة في (u ') يمكن حلها عن طريق فصل المتغيرات. المثال التالي يوضح هذا.

مثال ( PageIndex {3} )

ابحث عن الحل العام ومجموعة الحلول الأساسية لـ

[ label {eq: 5.6.18} x ^ 2y '' - 3xy '+ 3y = 0، ]

بالنظر إلى أن (y_1 = x ) حل.

حل

إذا (y = ux ) ثم (y '= u'x + u ) و (y' '= u''x + 2u' ) ، لذلك

[ start {align} x ^ 2y '' - 3xy '+ 3y & = x ^ 2 (u'x + 2u') - 3x (u'x + u) + 3ux & = x ^ 3u '' -x ^ 2u '. end {align} ]

لذلك (y = ux ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 5.6.18} إذا وفقط إذا

[x ^ 3u '' - x ^ 2u '= 0. nonumber ]

فصل المتغيرات (u ') و (س ) ينتج

[{u '' over u '} = {1 over x}، nonumber ]

وبالتالي

[ ln | u '| = ln | x | + k، quad text {أو ما يعادله} quad u' = C_1x. nonumber ]

لذلك

[u = {C_1 over2} × ^ 2 + C_2 ، غير رقم ]

لذا فإن الحل العام للمعادلة المرجع {eq: 5.6.18} هو

[y = ux = {C_1 over2} x ^ 3 + C_2x ، non Number ]

التي نعيد كتابتها كـ

[y = c_1x + c_2x ^ 3. nonumber ]

لذلك فإن ( {x، x ^ 3 } ) هي مجموعة أساسية من حلول المعادلة ref {eq: 5.6.18}.


شاهد الفيديو: . التــــــرتيب والعمليـــــــــــات للثالثة إعداديالجزء الأول. الأستاذ عبد الكريم (ديسمبر 2021).