مقالات

4.6: طريقة المعاملات غير المحددة 1 - الرياضيات


في هذا القسم نعتبر معادلة المعامل الثابت

[ label {eq: 5.4.1} ay '' + by '+ cy = e ^ { alpha x} G (x)، ]

حيث ( alpha ) ثابت و (G ) كثير الحدود.

من النظرية 5.3.2 ، الحل العام للمعادلة المرجع {eq: 5.4.1} هو (y = y_p + c_1y_1 + c_2y_2 ) ، حيث (y_p ) هو حل معين للمعادلة المرجع {eq: 5.4.1} و ( {y_1، y_2 } ) مجموعة أساسية من حلول المعادلة التكميلية

[ay '' + بواسطة '+ cy = 0. لا يوجد رقم ]

أوضحنا في القسم 5.2 كيفية العثور على ( {y_1، y_2 } ). سنوضح في هذا القسم كيفية العثور على (y_p ). الإجراء الذي سنستخدمه يسمى طريقة المعاملات غير المحددة. مثالنا الأول مشابه لـ تمارين 5.3.16-5.3.21.

مثال ( PageIndex {1} ):

ابحث عن حل خاص لـ

[ label {eq: 5.4.2} y '- 7y' + 12y = 4e ^ {2x}. ]

ثم ابحث عن الحل العام.

حل

استبدال (y_p = Ae ^ {2x} ) بـ (y ) في المعادلة المرجع {eq: 5.4.2} سينتج عنه مضاعف ثابت لـ (Ae ^ {2x} ) على الجانب الأيسر من المعادلة المرجع {eq: 5.4.2} ، لذلك قد يكون من الممكن اختيار (A ) بحيث يكون (y_p ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 5.4.2}. فلنجربها؛ إذا (y_p = Ae ^ {2x} ) إذن

[y_p '' - 7y_p '+ 12y_p = 4Ae ^ {2x} -14Ae ^ {2x} + 12Ae ^ {2x} = 2Ae ^ {2x} = 4e ^ {2x} nonumber ]

إذا (أ = 2 ). لذلك (y_p = 2e ^ {2x} ) هو حل معين للمعادلة المرجع {eq: 5.4.2}. لإيجاد الحل العام ، نلاحظ أن كثير الحدود المميز للمعادلة التكميلية

[ label {eq: 5.4.3} y '- 7y' + 12y = 0 ]

هو (p (r) = r ^ 2-7r + 12 = (r-3) (r-4) ) ، لذلك ( {e ^ {3x}، e ^ {4x} } ) هو مجموعة أساسية من حلول المعادلة المرجع {eq: 5.4.3}. لذلك فإن الحل العام للمعادلة المرجع {eq: 5.4.2} هو

[y = 2e ^ {2x} + c_1e ^ {3x} + c_2e ^ {4x}. لا يوجد رقم]

مثال ( PageIndex {2} )

ابحث عن حل خاص لـ

[ label {eq: 5.4.4} y '- 7y' + 12y = 5e ^ {4x}. ]

ثم ابحث عن الحل العام.

حل

جديد من نجاحنا في إيجاد حل معين للمعادلة المرجع {eq: 5.4.2} - حيث اخترنا (y_p = Ae ^ {2x} ) لأن الجانب الأيمن من المعادلة المرجع {eq: 5.4.2} هو مضاعف ثابت لـ (e ^ {2x} ) - قد يبدو من المعقول محاولة (y_p = Ae ^ {4x} ) كحل معين للمعادلة المرجع {eq: 5.4.4}. ومع ذلك ، لن يعمل هذا ، لأننا رأينا في المثال ( PageIndex {1} ) أن (e ^ {4x} ) هو حل المعادلة التكميلية المرجع {eq: 5.4.3} ، لذلك استبدال (y_p = Ae ^ {4x} ) في الجانب الأيسر من المعادلة المرجع {eq: 5.4.4}) ينتج صفرًا على اليسار ، بغض النظر عن كيفية اختيارنا (A ). لاكتشاف نموذج مناسب لـ (y_p ) ، نستخدم نفس الطريقة التي استخدمناها في القسم 5.2 لإيجاد حل ثانٍ لـ

[ay '' + بواسطة '+ cy = 0 nonumber ]

في الحالة التي تحتوي فيها المعادلة المميزة على جذر حقيقي متكرر: نبحث عن حلول المعادلة المرجع {eq: 5.4.4} بالصيغة (y = ue ^ {4x} ) ، حيث (u ) هي وظيفة يتم تحديدها. أستعاض

[ label {eq: 5.4.5} y = ue ^ {4x}، quad y '= u'e ^ {4x} + 4ue ^ {4x}، quad text {and} quad y' ' = u''e ^ {4x} + 8u'e ^ {4x} + 16ue ^ {4x} ]

في المعادلة المرجع {eq: 5.4.4} وإلغاء إنتاج العامل المشترك (e ^ {4x} )

[(u '' + 8u '+ 16u) -7 (u' + 4u) + 12u = 5، nonumber ]

أو

[u '' + u '= 5. لا يوجد رقم]

من خلال الفحص ، نرى أن (u_p = 5x ) هو حل معين لهذه المعادلة ، لذلك (y_p = 5xe ^ {4x} ) هو حل معين للمعادلة المرجع {eq: 5.4.4}. لذلك

[y = 5xe ^ {4x} + c_1e ^ {3x} + c_2e ^ {4x} nonumber ]

هو الحل العام.

مثال ( PageIndex {3} )

ابحث عن حل خاص لـ

[ label {eq: 5.4.6} y '- 8y' + 16y = 2e ^ {4x}. ]

حل

منذ كثير الحدود المميزة للمعادلة التكميلية

[ label {eq: 5.4.7} y '- 8y' + 16y = 0 ]

هو (p (r) = r ^ 2-8r + 16 = (r-4) ^ 2 ) ، وكلاهما (y_1 = e ^ {4x} ) و (y_2 = xe ^ {4x} ) هي حلول المعادلة المرجع {eq: 5.4.7}. لذلك لا تحتوي المعادلة المرجع {eq: 5.4.6}) على حل بالصيغة (y_p = Ae ^ {4x} ) أو (y_p = Ax ^ {4x} ). كما في المثال ( PageIndex {2} ) ، نبحث عن حلول المعادلة المرجع {eq: 5.4.6} بالصيغة (y = ue ^ {4x} ) ، حيث (u ) هي وظيفة يتم تحديدها. الاستبدال من المعادلة ref {eq: 5.4.5} في المعادلة ref {eq: 5.4.6} وإلغاء إنتاج العامل المشترك (e ^ {4x} )

[(u '' + 8u '+ 16u) -8 (u' + 4u) + 16u = 2، nonumber ]

أو

[u '' = 2. لا يوجد رقم]

يُظهر التكامل مرتين وأخذ ثوابت التكامل لتكون صفرًا أن (u_p = x ^ 2 ) هو حل معين لهذه المعادلة ، لذلك (y_p = x ^ 2e ^ {4x} ) هو حل معين للمعادلة المرجع {eq: 5.4.4}. لذلك

[y = e ^ {4x} (x ^ 2 + c_1 + c_2x) nonumber ]

هو الحل العام.

توضح الأمثلة السابقة الحقائق التالية المتعلقة بشكل حل معين (y_p ) لمعادلة معامل ثابتة

[ay '' + بواسطة '+ cy = ke ^ { alpha x} ، nonumber ]

حيث (ك ) ثابت غير صفري:

  1. إذا لم يكن (e ^ { alpha x} ) حلاً للمعادلة التكميلية [ label {eq: 5.4.8} ay '' + by '+ cy = 0، ] ثم (y_p = Ae ^ { alpha x} ) ، حيث (A ) ثابت. (راجع المثال ( PageIndex {1} )).
  2. إذا كان (e ^ { alpha x} ) هو حل المعادلة ref {eq: 5.4.8} ولكن (xe ^ { alpha x} ) ليس كذلك ، إذن (y_p = Ax ^ { alpha x} ) ، حيث (A ) ثابت. (راجع المثال ( PageIndex {2} ).)
  3. إذا كان كلا من (e ^ { alpha x} ) و (xe ^ { alpha x} ) حلان للمعادلة ref {eq: 5.4.8} ، إذن (y_p = Ax ^ 2e ^ { alpha x} ) ، حيث (A ) ثابت. (راجع المثال ( PageIndex {3} ).)

يرى تمرين 5.4.30 لإثباتات هذه الحقائق.

في جميع الحالات الثلاث ، يمكنك فقط استبدال الصيغة المناسبة لـ (y_p ) ومشتقاتها مباشرةً

[ay_p '' + by_p '+ cy_p = ke ^ { alpha x}، nonumber ]

وحل من أجل الثابت (A ) ، كما فعلنا في المثال ( PageIndex {1} ). (يرى تمارين 5.4.31-5.4.33.) ومع ذلك ، إذا كانت المعادلة

[ay '' + بواسطة '+ cy = k e ^ { alpha x} G (x) ، nonumber ]

حيث (G ) هو كثير حدود من الدرجة أكبر من الصفر ، نوصي باستخدام الاستبدال (y = ue ^ { alpha x} ) كما فعلنا في الأمثلة ( PageIndex {2} ) و ( PageIndex {3} ). سوف تتحول معادلة (u ) إلى أن تكون

[ label {eq: 5.4.9} au '' + p '( alpha) u' + p ( alpha) u = G (x)، ]

حيث (p (r) = ar ^ 2 + br + c ) هو كثير الحدود المميز للمعادلة التكميلية و (p '(r) = 2ar + b ) (تمرين 5.4.30) ؛ ومع ذلك ، لا يجب عليك حفظ هذا لأنه من السهل اشتقاق معادلة (u ) في أي حالة معينة. لاحظ ، مع ذلك ، أنه إذا كان (e ^ { alpha x} ) حلًا للمعادلة التكميلية ، فإن (p ( alpha) = 0 ) ، لذا فإن المعادلة ref {eq: 5.4.9} تقلل إلى

[au '' + p '( alpha) u' = G (x)، nonumber ]

بينما إذا كان كلا من (e ^ { alpha x} ) و (xe ^ { alpha x} ) حلان للمعادلة التكميلية ، فإن (p (r) = a (r- alpha) ^ 2 ) و (p '(r) = 2a (r- alpha) ) ، لذلك (p ( alpha) = p' ( alpha) = 0 ) والمعادلة المرجع {eq: 5.4.9} ) يقلل ل

[au '' = G (x). لا يوجد رقم]

مثال ( PageIndex {4} )

ابحث عن حل خاص لـ

[ label {eq: 5.4.10} y '- 3y' + 2y = e ^ {3x} (- 1 + 2x + x ^ 2). ]

حل

أستعاض

[y = ue ^ {3x}، quad y '= u'e ^ {3x} + 3ue ^ {3x}، quad text {and} y' '= u''e ^ {3x} + 6u 'e ^ {3x} + 9ue ^ {3x} nonumber ]

في المعادلة المرجع {eq: 5.4.10}) وإلغاء عوائد (e ^ {3x} )

[(u '' + 6u '+ 9u) -3 (u' + 3u) + 2u = -1 + 2x + x ^ 2، nonumber ]

أو

[ label {eq: 5.4.11} u '+ 3u' + 2u = -1 + 2x + x ^ 2. ]

كما في المثال 5.3.2 ، من أجل تخمين نموذج لحل معين من المعادلة المرجع {eq: 5.4.11}) ، نلاحظ أن استبدال كثير الحدود من الدرجة الثانية (u_p = A + Bx + Cx ^ 2 ) لـ (u ) في الجانب الأيسر من المعادلة المرجع {eq: 5.4.11}) ينتج كثير حدود آخر من الدرجة الثانية مع معاملات تعتمد على (A ) و (B ) و (C ) ؛ هكذا،

[ text {if} quad u_p = A + Bx + Cx ^ 2 quad text {then} quad u_p '= B + 2Cx quad text {and} quad u_p' '= 2C. لا يوجد رقم]

إذا كان (u_p ) لإرضاء المعادلة المرجع {eq: 5.4.11}) ، يجب أن يكون لدينا

[ start {align} u_p '' + 3u_p '+ 2u_p & = 2C + 3 (B + 2Cx) +2 (A + Bx + Cx ^ 2) & = (2C + 3B + 2A) + (6C + 2B) x + 2Cx ^ 2 = -1 + 2x + x ^ 2. end {align} nonumber ]

معادلة معاملات القوى المتشابهة لـ (س ) على جانبي آخر مساواة ينتج عنها

[ start {array} {rcr} 2C & = 1 phantom {.} 2B + 6C & = 2 phantom {.} 2A + 3B + 2C & = -1. نهاية {مجموعة} غير رقم ]

ينتج عن حل هذه المعادلات من أجل (C ) و (B ) و (A ) (بهذا الترتيب) (C = 1/2 ، B = -1 / 2 ، A = -1 / 4 ). لذلك

[u_p = - {1 over4} (1 + 2x-2x ^ 2) nonumber ]

هو حل معين للمعادلة المرجع {eq: 5.4.11} ، و

[y_p = u_pe ^ {3x} = - {e ^ {3x} over4} (1 + 2x-2x ^ 2) nonumber ]

هو حل معين للمعادلة المرجع {eq: 5.4.10}.

مثال ( PageIndex {5} )

ابحث عن حل خاص لـ

[ label {eq: 5.4.12} y '- 4y' + 3y = e ^ {3x} (6 + 8x + 12x ^ 2). ]

حل

أستعاض

[y = ue ^ {3x}، quad y '= u'e ^ {3x} + 3ue ^ {3x}، quad text {and} y' '= u''e ^ {3x} + 6u 'e ^ {3x} + 9ue ^ {3x} nonumber ]

في المعادلة المرجع {eq: 5.4.12}) وإلغاء عوائد (e ^ {3x} )

[(u '' + 6u '+ 9u) -4 (u' + 3u) + 3u = 6 + 8x + 12x ^ 2، nonumber ]

أو

[ label {eq: 5.4.13} u '' + 2u '= 6 + 8x + 12x ^ 2. ]

لا يوجد حد (u ) في هذه المعادلة ، لأن (e ^ {3x} ) هو حل للمعادلة التكميلية للمعادلة المرجع {eq: 5.4.12}). (يرى تمرين 5.4.30.) لذلك لا تحتوي المعادلة المرجع {eq: 5.4.13}) على حل معين بالشكل (u_p = A + Bx + Cx ^ 2 ) الذي استخدمناه بنجاح في المثال ( PageIndex {4} ) ، لأنه مع اختيار (u_p ) ،

[u_p '' + 2u_p '= 2C + (B + 2Cx) nonumber ]

لا يمكن أن تحتوي على المصطلح الأخير ( (12x ^ 2 )) في الجانب الأيمن من المعادلة المرجع {eq: 5.4.13}). بدلاً من ذلك ، دعنا نجرب (u_p = Ax + Bx ^ 2 + Cx ^ 3 ) على أساس أن

[u_p '= A + 2Bx + 3Cx ^ 2 quad text {and} quad u_p' '= 2B + 6Cx nonumber ]

تحتوي معًا على جميع قوى (x ) التي تظهر على الجانب الأيمن من المعادلة المرجع {eq: 5.4.13}).

يؤدي استبدال هذه التعبيرات بدلاً من (u ') و (u' ') في المعادلة المرجع {eq: 5.4.13})

[(2B + 6Cx) +2 (A + 2Bx + 3Cx ^ 2) = (2B + 2A) + (6C + 4B) x + 6Cx ^ 2 = 6 + 8x + 12x ^ 2. لا يوجد رقم]

تُظهر مقارنة معاملات مثل قوى (x ) على جانبي المساواة الأخيرة أن (u_p ) يفي بالمعادلة المرجع {eq: 5.4.13}) إذا

[ start {array} {rcr} 6C & = 12 phantom {.} 4B + 6C & = 8 phantom {.} 2A + 2B phantom {+ 6u_2} & = 6. نهاية {مجموعة} غير رقم ]

ينتج عن حل هذه المعادلات على التوالي (C = 2 ) و (B = -1 ) و (A = 4 ). لذلك

[u_p = x (4-x + 2x ^ 2) nonumber ]

هو حل معين للمعادلة المرجع {eq: 5.4.13}) ، و

[y_p = u_pe ^ {3x} = xe ^ {3x} (4-x + 2x ^ 2) nonumber ]

هو حل معين للمعادلة المرجع {eq: 5.4.12}).

مثال ( PageIndex {6} )

ابحث عن حل خاص لـ

[ label {eq: 5.4.14} 4y '+ 4y' + y = e ^ {- x / 2} (- 8 + 48x + 144x ^ 2). ]

حل

أستعاض

[y = ue ^ {- x / 2}، quad y '= u'e ^ {- x / 2} - {1 over2} ue ^ {- x / 2}، quad text {and} quad y '' = u''e ^ {- x / 2} -u'e ^ {- x / 2} + {1 over4} ue ^ {- x / 2} nonumber ]

في المعادلة المرجع {eq: 5.4.14}) وإلغاء عوائد (e ^ {- x / 2} )

[4 left (u '' - u '+ {u over4} right) +4 left (u' - {u over2} right) + u = 4u '= - 8 + 48x + 144x ^ 2 ، غير رقم ]

أو

[ label {eq: 5.4.15} u '= - 2 + 12x + 36x ^ 2، ]

التي لا تحتوي على (u ) أو (u ') لأن (e ^ {- x / 2} ) و (xe ^ {- x / 2} ) كلاهما حلين للمعادلة التكميلية. (يرى تمرين 5.4.30.) للحصول على حل معين للمعادلة المرجع {eq: 5.4.15}) نتكامل مرتين ، معتبرين ثوابت التكامل صفرًا ؛ هكذا،

[u_p '= - 2x + 6x ^ 2 + 12x ^ 3 quad text {and} quad u_p = -x ^ 2 + 2x ^ 3 + 3x ^ 4 = x ^ 2 (-1 + 2x + 3x ^ 2). عدد ]

لذلك

[y_p = u_pe ^ {- x / 2} = x ^ 2e ^ {- x / 2} (- 1 + 2x + 3x ^ 2) nonumber ]

هو حل معين للمعادلة المرجع {eq: 5.4.14}).

ملخص

توضح الأمثلة السابقة الحقائق التالية المتعلقة بحلول معينة لمعادلة معامل ثابتة من النموذج

[ay '' + بواسطة '+ cy = e ^ { alpha x} G (x) ، nonumber ]

حيث (G ) هو كثير الحدود (انظر تمرين 5.4.30):

  1. إذا لم يكن (e ^ { alpha x} ) حلاً للمعادلة التكميلية [ label {eq: 5.4.16} ay '' + by '+ cy = 0، ] ثم (y_p = e ^ { alpha x} Q (x) ) ، حيث (Q ) هو متعدد الحدود من نفس الدرجة مثل (G ). (راجع المثال ( PageIndex {4} )).
  2. إذا كان (e ^ { alpha x} ) هو حل المعادلة ref {eq: 5.4.16} ولكن (xe ^ { alpha x} ) ليس كذلك ، إذن (y_p = xe ^ { alpha x} Q (x) ) ، حيث (Q ) هو متعدد الحدود من نفس الدرجة مثل (G ). (راجع المثال ( PageIndex {5} ).)
  3. إذا كان كلا من (e ^ { alpha x} ) و (xe ^ { alpha x} ) حلان للمعادلة ref {eq: 5.4.16} ، إذن (y_p = x ^ 2e ^ { alpha x} Q (x) ) ، حيث (Q ) هو متعدد الحدود من نفس الدرجة مثل (G ). (راجع المثال ( PageIndex {6} ).)

في جميع الحالات الثلاث ، يمكنك فقط استبدال النموذج المناسب لـ (y_p ) ومشتقاته مباشرة في

[ay_p '' + by_p '+ cy_p = e ^ { alpha x} G (x) ، nonumber ]

وحل من أجل معاملات كثير الحدود (Q ). ومع ذلك ، إذا جربت هذا ، فسترى أن العمليات الحسابية مملة أكثر من تلك التي تواجهها من خلال إجراء الاستبدال (y = ue ^ { alpha x} ) وإيجاد حل معين للمعادلة الناتجة لـ (u ). (يرى تمارين 5.4.34-5.4.36.) في حالة (أ) ستكون معادلة (u ) بالشكل

[au '' + p '( alpha) u' + p ( alpha) u = G (x)، nonumber ]

مع حل خاص بالصيغة (u_p = Q (x) ) ، متعدد الحدود من نفس الدرجة مثل (G ) ، يمكن العثور على معاملاتها بالطريقة المستخدمة في المثال ( PageIndex {4} ). في الحالة (ب) ستكون معادلة (u ) من النموذج

[au '' + p '( alpha) u' = G (x) nonumber ]

(لا يوجد مصطلح (u ) على اليسار) ، مع حل معين من النموذج (u_p = xQ (x) ) ، حيث (Q ) هو متعدد الحدود من نفس الدرجة مثل (G ) يمكن إيجاد معاملاتها بالطريقة المستخدمة في المثال ( PageIndex {5} ). في الحالة (ج) ، ستكون معادلة (ش ) من النموذج

[au '= G (x) nonumber ]

مع حل معين من النموذج (u_p = x ^ 2Q (x) ) الذي يمكن الحصول عليه من خلال دمج (G (x) / a ) مرتين وأخذ ثوابت التكامل على أنها صفر ، كما في المثال ( PageIndex {6} ).

باستخدام مبدأ التراكب

يوضح المثال التالي كيفية الجمع بين طريقة المعاملات غير المحددة والنظرية 5.3.3 ، مبدأ التراكب.

مثال ( PageIndex {7} )

ابحث عن حل خاص لـ

[ label {eq: 5.4.17} y '- 7y' + 12y = 4e ^ {2x} + 5e ^ {4x}. ]

حل

في المثال ( PageIndex {1} ) وجدنا أن (y_ {p_1} = 2e ^ {2x} ) هو حل خاص لـ

[y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x}، nonumber ]

وفي المثال ( PageIndex {2} ) وجدنا أن (y_ {p_2} = 5xe ^ {4x} ) هو حل خاص لـ

[y '' - 7y '+ 12y = 5e ^ {4x}. لا يوجد رقم]

لذلك فإن مبدأ التراكب يعني أن (y_p = 2e ^ {2x} + 5xe ^ {4x} ) هو حل معين للمعادلة المرجع {eq: 5.4.17}).


4.6: طريقة المعاملات غير المحددة 1 - الرياضيات

خريف 2019 @ ISU

  • وصف الدورة التدريبية: يهدف هذا المساق إلى تعريف الطلاب بأساليب الحل الأساسية للمعادلات التفاضلية العادية. معادلات من الدرجة الأولى ، معادلات خطية ، معادلات معامل ثابت. طرق القيمة الذاتية لأنظمة المعادلات الخطية من الدرجة الأولى. مقدمة في الاستقرار وتحليل مستوى الطور. يحول لابلاس وحلول المتسلسلة للمعادلات التفاضلية العادية.

(3-0) س. 3. F.S.SS. متطلب سابق: الحد الأدنى C- في MATH 166 أو MATH 166H

طرق حل المعادلات التفاضلية العادية. معادلات من الدرجة الأولى ، معادلات خطية ، معادلات معامل ثابت. طرق القيمة الذاتية لأنظمة المعادلات الخطية من الدرجة الأولى. مقدمة في الاستقرار وتحليل مستوى الطور.

  • كتاب مدرسي:المعادلات التفاضلية ومشكلات القيمة الحدية Cengage ، الإصدار التاسع ، بواسطة Zill مع إمكانية الوصول إلى منصة WebAssign للواجبات المنزلية عبر الإنترنت
  • مدرب:هايليانج ليو
    • المكتب: كارفر 434 ، الهاتف: 294-0392 ، البريد الإلكتروني: [email protected]
    • ساعات العمل: MWF 10:00 صباحًا - 11:30 صباحًا وأيضًا عن طريق التعيين
    • وقت اجتماع المحاضرة: MWF: 1: 10P- 2: 00P Carver 0202
    • الواجب المنزلي:

    نستخدم WebAssign للواجب المنزلي جنبًا إلى جنب مع الكتاب النصي. لدى متجر الكتب ISU وناشر الكتب المدرسية برنامج `` وصول فوري '' يتيح لك الانتقال إلى WebAssign باستخدام الرابط الموجود في Canvas على https://canvas.iastate.edu وإليك كيفية عمله. لا تحتاج إلى رمز منفصل للدخول إلى WebAssign. الرجاء النقر فوق الارتباط الذي يشير إلى WebAssign في Canvas. سينقلك إلى موقع ويب WebAssign حيث توجد واجباتك المنزلية. سيتعين عليك إنشاء حساب في WebAssign (إذا لم يكن لديك حساب بالفعل). بمجرد القيام بذلك ، تكون جاهزًا للعمل على الواجب المنزلي المتاح. في كل مرة تريد العمل على HWs ، يرجى اتباع الرابط الموجود في Canvas. ستتم مزامنة نتائج HW الخاصة بك بهذه الطريقة.


    الامتحان 1
    يوم الجمعة 27 سبتمبر.
    الامتحان 2 يوم الجمعة 25 أكتوبر

    الامتحان 3 يوم الجمعة 22 نوفمبر

    النهائي شامل ويبدأ في أسبوع النهائيات.

    الآلات الحاسبة لن يسمح بها. كما يجب عليك إظهار عملك على الأوراق خطوة بخطوة للحصول على الائتمان الكامل. لا يوجد امتحانات تعويضية باستثناء الظروف الخاصة. إذا تسببت حالة طارئة في تفويتك لأحد الاختبارات ، فاتصل بالمعلم في أسرع وقت ممكن.

      وضع العلامات: يحتسب كل اختبار نصفي 15٪ من درجاتك ، ويحتسب الواجب المنزلي والاختبار 30٪ والامتحان النهائي 25٪. يمكن تطبيق مقياس مناسب في نهاية الفصل الدراسي لتحديد الدرجة النهائية.

      أهداف المقرر لمادة الرياضيات 266

    o تكون قادرة على استخدام طريقة تكامل العوامل لحل المعادلات الخطية من الدرجة الأولى.

    o تكون قادرًا على فصل المتغيرات وحساب التكاملات في حل المعادلات القابلة للفصل من الدرجة الأولى.

    o معرفة كيفية إيجاد حل عام لمعادلة تفاضلية متجانسة ذات معامل خطي من الدرجة الثانية من خلال البحث عن حلول أسية.

    o تكون قادرة على استخدام طريقة المعاملات غير المحددة لإيجاد حل معين لمعادلة تفاضلية غير متجانسة ذات معامل خطي من الدرجة الثانية.

    o تكون قادرة على إيجاد حل عام لمعادلة غير متجانسة ذات معامل ثابت من الدرجة الثانية الخطية.

    o تكون قادرة على حل مشكلة القيمة الأولية المرتبطة بمعامل خطي ثابت من الدرجة الثانية متجانسة أو غير متجانسة.

    o أن تكون قادرًا على توسيع الطرق المستخدمة في معادلات المعامل الثابت الخطي من الدرجة الثانية إلى معادلات معامل ثابت خطي أعلى مرتبة ، سواء كانت متجانسة أو غير متجانسة.

    o أن تكون قادرًا على استخدام طريقة eigenvalue-eigenvector لإيجاد حلول عامة لأنظمة المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى الخطية للمعادلات التفاضلية ذات الحجم 2 أو 3.

    o أن تكون قادرًا على إيجاد مصفوفة أساسية لنظام المعامل الثابت الخطي من الدرجة الأولى للمعادلات التفاضلية ذات الحجم 2 أو 3.

    o أن تكون قادرًا على استخدام طريقة تغيير المعلمات لإيجاد حل معين لنظام معامل ثابت خطي من الدرجة الأولى غير متجانسة بالحجم 2.

    تعرف على كيفية استخدام المعادلات التفاضلية لنمذجة الأنظمة الفيزيائية والمشكلات التطبيقية الأخرى. يمكن أن تشمل هذه الأنواع التالية من المشاكل.

    o تكون قادرة على صياغة واستخدام النماذج الأولية لديناميات السكان ، مثل المعادلة اللوجستية ، لوصف سلوك الحالة العابرة والثابتة.

    o أن تكون قادرًا على العمل مع نماذج للحركة الخطية للأجسام باستخدام افتراضات حول سرعة الجسم وتسارعه.

    o أن تكون قادرًا على إعداد وحل مشكلة تتعلق بديناميكيات مفاعل الخزان المقلوب.

    o تكون قادرًا على استخدام قانون نيوتن الثاني لإعداد نموذج لنظام كتلة زنبركية بسيط واستخدام الطرق المناسبة للحصول على حل لمشكلة النموذج.

    o أن تكون قادرًا على استخدام نماذج للمضاعفة المستمرة للفائدة لوصف مشكلات المدخرات والقروض الأولية.

    اكتساب فهم أولي لنظرية المعادلات التفاضلية العادية.

    o فهم العبارات المتعلقة بوجود الحلول وتفردها.

    o فهم دور الاستقلال الخطي للحلول في إيجاد حلول عامة للمعادلات التفاضلية.

    o فهم ما يشكل الحل العام للمعادلة التفاضلية.

    o فهم مفهوم الاستقرار من حيث علاقته بحلول التوازن.

    • معلومات وموارد إضافية

    سياسات قسم الرياضيات الرسمية & # 8232 تصف صفحة سياسات فصل قسم الرياضيات السياسات الرسمية التي يجب على جميع المعلمين اتباعها. يغطي قواعد الامتحانات التعويضية والغش وسلوك الطلاب وما إلى ذلك. & # 8232

    بيان إمكانية الوصول & # 8232 Iowa State University ملتزمة بضمان خلو جميع الأنشطة التعليمية من التمييز والتحرش على أساس حالة الإعاقة. يُطلب من الطلاب الذين يطلبون تسهيلات لإعاقة موثقة العمل مباشرة مع الموظفين في خدمات تسهيل الوصول للطلاب (SAS) لتحديد الأهلية والتعرف على العمليات ذات الصلة قبل تحديد أماكن الإقامة. & # 8232 بعد تحديد الأهلية ، سيقوم موظفو SAS بإنشاء وإصدار خطاب إشعار لكل دورة تدريبية تتضمن وسائل الراحة المعقولة المعتمدة. سيتم توفير هذه الوثيقة للطالب والمدرس إما إلكترونيًا أو في نسخة ورقية في كل فصل دراسي. يتم تشجيع الطلاب والمدرسين على مراجعة محتويات رسائل الإخطار في وقت مبكر من الفصل الدراسي قدر الإمكان & # 8232 لتحديد خطة محددة في الوقت المناسب لتقديم / استلام وسائل الراحة المشار إليها. ليست التسهيلات المعقولة ذات أثر رجعي ولا يُقصد بها أن تكون ميزة غير عادلة.


    بالطبع مخطط

    مدرب
    الدكتور جانتومور تسوجتغيرل
    المكتب: Burnside Hall 1123
    ساعات العمل: W 14: 35 & # 821115: 55 ، أو عن طريق موعد
    البريد الإلكتروني: gantumur -at- math.mcgill.ca

    ملحوظة: الكتب الثلاثة الأولى هي نفسها في الأساس. الكتاب الأول (Zill) هو مجموعة فرعية من الثاني (Zill-Wright) والثالث (Zill-Cullen) ، ولن نغطي الفصول الإضافية الموجودة في Zill-Wright و Zill-Cullen. الكتاب الرابع (Trench) هو كتاب مجاني على الإنترنت ، ويحتوي على مادة مماثلة كما في Zill.

    وضع العلامات
    الويب 15٪ + الواجب الكتابي 15٪ + كحد أقصى

    وصف الكتالوج
    معادلات تفاضلية عادية من الدرجة الأولى بما في ذلك الطرق العددية الأولية. المعادلات التفاضلية الخطية. يتحول لابلاس. حلول متسلسلة.

    المتطلبات المسبقة
    222 ريض (حساب التفاضل والتكامل 3)

    متطلب
    رياضيات 133 (الجبر الخطي والهندسة)

    تقييد
    ليس مفتوحًا للطلاب الذين درسوا أو يدرسون مادة 325 MATH.


    4.6: طريقة المعاملات غير المحددة 1 - الرياضيات

      اسم الدورة التدريبية: رياضيات 266 ، القسم 4 ، خريف 2014.

    مواد الدورة

    • كتاب مدرسي المعادلات التفاضلية مع مشاكل القيمة الحدودية ، ISU Custom ed. بواسطة D.G. زيل و دبليو إس رايت
    • المنهج:
      • المقدمة والتوجيه (الفصل 1)
      • المعادلات من الدرجة الأولى (الفصول 2 ، 3)
      • المعادلات الخطية من الدرجة الثانية والأعلى (الفصل 4 ، 5)
      • أنظمة المعادلات من الدرجة الأولى (الفصول 8،10)

      سياسة الدورة

      • الواجب المنزلي:
        • سيتم استخدام نظام الواجبات المنزلية عبر الإنترنت WebAssign لتقديم الواجبات المنزلية وتصحيحها. سيتم تحديد تاريخ الاستحقاق بوضوح مع كل مجموعة من المشاكل. لا يقبل نظام الواجبات المنزلية عبر الإنترنت الواجب المنزلي المتأخر. قد أقدم لك أيضًا المزيد من المشكلات من النص من وقت لآخر غير المتوفرة في WebAssign. معظم هذه المشاكل ستكون مشاكل في الممارسة ، لا يجب تسليمها.
        • سيتم نشر جميع الواجبات المنزلية (المشكلات المخصصة ومشكلات التدريب) في سجل الدورة التدريبية في أسفل هذه الصفحة. ستتمكن أيضًا من رؤية الواجبات المنزلية المخصصة بمجرد تسجيل الدخول إلى WebAssign.
        • الاختبارات القصيرة والواجبات المنزلية: 20٪ من الدرجة.
        • النصف الأول: 25٪ (جمعة الأسبوع 6)
        • النصف الثاني: 25٪ (الجمعة من الأسبوع 12)
        • نهائي: 30٪.
        • يجب إغلاق الهواتف المحمولة وأجهزة الاتصالات الأخرى أثناء وقت الدراسة. في حالة احتياج الطالب إلى الاحتفاظ بهاتفه الخلوي في حالة الطوارئ ، يرجى إبلاغ المعلم قبل الفصل. خلال وقت الفصل ، يجب استخدام أجهزة الكمبيوتر المحمولة فقط للأغراض المناسبة للفصل.
        • يجب أن يتم الاختبار النهائي في الوقت والمكان المحددين في جدول الاختبار النهائي للجامعة.
        • لن يكون هناك امتحانات تعويضية (نصفية أو نهائية) إلا في ظروف نادرة ومتطرفة (بناءً على تقدير المعلم). في هذه الحالات ، سيكون الإثبات الكتابي لسبب الغياب إلزاميًا.

        الروابط

        • لمزيد من المعلومات حول هذه الدورة ، مثل منهج أكثر تفصيلاً ، وأهداف الدورة ، راجع هذه الصفحة

        أهداف الدورة

        • هذا لتتبع ما يجب تغطيته ، ما تم تغطيته حتى الآن ، لإصلاح الأشياء التي قد أضعها في الفصل. هذا أيضًا حيث سأضع الواجبات المنزلية.

        القسم 1.2: # 1 ، 3 ، 7 ، 9 ، 11 (مستحق في WebAssign يوم الجمعة 5 سبتمبر ، 11:59 مساءً).

        محاضرة مناهج تعليمية مفتوحة 1 من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (حقول الاتجاه وما إلى ذلك) ، إليك الرابط إلى الصفحة الرئيسية لدورة التدريب على البرامج التعليمية المفتوحة في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا حيث يمكن العثور على الكثير من المواد.

        القسم 2.2 ، رقم 2 ، 6 ، 9 ، 16 ، 22 ، 25
        القسم 2.3 ، # 7 ، 10 ، 16 ، 27 ، 34
        القسم 2.4 ، # 2 ، 5 ، 8 ، 9 ، 14 ، 23
        القسم 2.5 ، # 3 ، 5 ، 12 ، 13 ، 16 ، 24 ، 25

        القسم 4.1 ، # 7 ، 13 ، 19 ، 32.
        القسم 4.3 ، # 2 ، 4 ، 12 ، 16 ، 21 ، 23 ، 30 ، 34
        القسم 4.4 ، رقم 4 ، 5 ، 8 ، 12 ، 15 ، 20 ، 21 ، 30
        القسم 4.6 ، رقم 5 ، 10 ، 15 ، 20
        القسم 4.7 ، # 3 ، 9 ، 12 ، 21

        القسم 8.1 ، # 2 ، 9 ، 25.
        القسم 8.2 # 2 و 10 و 19 و 27 و 41.
        القسم 8.3 # 2 و 6 و 17 و 26.


        15.3. الطريقة 2: استخدام المونومالات من الدرجة حتى (p + k-1 ) ¶

        من درجة الدقة المذكورة أعلاه ، يمكن تحديد المعاملات من خلال طلب درجة من الدقة (p + k-1 ) ، ولهذا يكفي طلب الدقة لكل من الوظائف الأحادية البسيطة (1 ) ، (x ) و (x ^ 2 ) وهكذا حتى (x ^) .

        أيضًا ، يجب اختبار هذا فقط عند (x = 0 ) ، لأن "ترجمة" المتغيرات لا تؤثر على النتيجة.

        ربما يكون هذا هو أبسط طريقة في الممارسة.

        مثال 4 (تمت إعادة النظر في المثال 2)

        الهدف هو الحصول على الدقة

        بالنسبة للأحادية (f (x) = 1 ) ، (f (x) = x ) ، وما إلى ذلك ، إلى أعلى قوة ممكنة ، وهذا يحتاج فقط إلى التحقق من (x = 0 ) .

        نحتاج إلى ثلاث معادلات على الأقل للمعاملات الثلاثة غير المعروفة ، لذا تابع مع (f (x) = x ^ 2 ) ، (Df (0) = 0 ):

        يمكننا حلها عن طريق الحذف على سبيل المثال:

        المعادلة الأخيرة تعطي (C_1 = -4C_2 )

        يعطي الشكل السابق (- 4C_2 + 2C_2 = 1 ) ، لذا (C_2 = -1/2 ) وبالتالي (C_1 = -4C_2 = 2 ).

        تعطي المعادلة الأولى (C_0 = -C_1 - C_2 = -3/2 ) كل ما هو مذكور أعلاه.

        حتى الآن تم إثبات أن درجة الدقة لا تقل عن 2. في بعض الحالات تكون أفضل ، لذلك دعونا نتحقق من خلال النظر إلى (f (x) = x ^ 3 ):

        لذلك ، لا حظ هذه المرة (يتطلب ذلك عادةً بعض التناظر) ، ولكن هذا الحساب يشير بطريقة بسيطة نسبيًا إلى أن الخطأ هو (O (h ^ 2) ).

        إذا كنت تريد التحقق بشكل أكثر صرامة من ترتيب دقة الصيغة التي تم ابتكارها بهذه الطريقة ، فيمكن للمرء استخدام إجراء "التحقق" مع كثيرات الحدود من Taylor وشروط الخطأ الخاصة بها كما هو الحال في المثال 2 أعلاه.

        15.3.1. التمرين 2: مثل التمرين 1 ، ولكن باستخدام الطريقة 2¶

        15.3.1.1. أ)¶

        تحقق من النتيجة في المثال 2 ، هذه المرة بالطريقة الثانية.

        بمعنى ، فرض شرط إعطاء القيمة الدقيقة للمشتق عند (x = 0 ) للأحادية (f (x) = 1 ) ، ثم نفس الشيء لـ (f (x) = x ) ، وهكذا إلى أن توجد معادلات كافية لتحديد حل فريد للمعاملات.


        ماجستير 101: الرياضيات 1 (4-1-0-4)
        مراجعة الحدود ، الاستمرارية ، التفاضل ، نظرية القيمة المتوسطة ، نظرية تايلور ، تكاملات ماكسيما والحد الأدنى من ريمان ، النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، التكاملات غير الصحيحة ، تطبيقات على المنطقة ، حجم تقارب المتتاليات والمتسلسلات ، طريقة نيوتن ، طريقة بيكارد ، وظائف متعددة المتغيرات ، جزئية المشتقات ، ومشتقات التدرج والاتجاه ، وقاعدة السلسلة ، والحد الأقصى والحد الأدنى ، ومضاعفات لاجرانج تكامل مزدوج وثلاثي ، ويعاكوبيون وتغيير المتغيرات معادلة معاملات المنحنيات والأسطح ، وحقول المتجهات ، والتباعد والتجعيد الخطي والسطحي ، ونظريات الأخضر ، وجاوس ، وستوكس.
        ماجستير 102: الرياضيات 2 (3-1-0-4)
        الجبر الخطي: المتجهات في الفراغات الفرعية لـ Rn لـ Rn أساس أنظمة الفضاء الجزئي المتجه للمعادلات الخطية المصفوفات ومحددات إزالة Gauss ورتبة المصفوفة فضاءات المتجهات المجردة ، التحولات الخطية ، مصفوفة التحويل الخطي ، تغيير الأساس والتشابه ، صفية الرتبة نظرية مساحات المنتج الداخلية ، عملية جرام-شميدت ، إسقاطات القواعد المتعامدة وتقريب المربعات الصغرى ، القيم الذاتية والمتجهات الذاتية ، متعددات الحدود المميزة ، القيم الذاتية للمصفوفات الخاصة: التعدد ، التقليل ، النظرية الطيفية ، الأشكال التربيعية. المعادلات التفاضلية: المعادلات الدقيقة ، تكامل العوامل ومعادلة برنولي & # 8217s المسارات المتعامدة حالة ليبشيتز ، نظرية بيكارد Wronskians أبعاد مساحة الحلول ، صيغة Abel-Liouville Linear ODE's مع المعاملات الثابتة معادلات Cauchy-Euler طريقة معاملات التباين غير المحددة لطريقة Lipschitz يحولات ، التحول النظريات ، نظرية الالتواء.
        ماجستير 201: الرياضيات 3 (3-1-0-4)
        التحليل المعقد: تعريف وخصائص وظائف التحليلات معادلات كوشي-ريمان ، الدوال التوافقية ، متسلسلة القوة وخصائصها الدوال الأولية نظرية كوشي وتطبيقاتها سلسلة تايلور وبقايا توسعات لوران وصيغة كوشي المتبقية تقييم التكاملات غير الصحيحة التعيينات المطابقة. المعادلات التفاضلية: مراجعة سلسلة الطاقة وحلول السلاسل لمعادلة ODE's Legendre ومتعدد الحدود الأسطوري نقاط مفردة منتظمة وغير منتظمة ، طريقة معادلة Frobenius Bessel ووظائف Bessel مشاكل Sturm-Liouville سلسلة فورييه حل D'Alembert لمعادلة الموجة تصنيف الدرجة الثانية الخطية PDE في متغيرين اهتزاز غشاء دائري تكاملات فورييه ، معادلة حرارية في نصف مساحة.
        202 ماجستير: الرياضيات الرابع (3-2-0-4)
        الاحتمال والاحصاء

        أحداث التجارب العشوائية الاحتمالية المتغيرات العشوائية التوزيعات الاحتمالية: التوزيعات المنفصلة والمستمرة ، متوسطات التوزيعات وتباينها ، توزيعات العديد من المتغيرات العشوائية تقدير أخذ العينات العشوائي للمعلمات فواصل الثقة اختبار الفرضيات جودة الملاءمة & # 8211 اختبار مراقبة الجودة وفترات الثقة لأخذ العينات للقبول معلمات الانحدار.

        بديهيات الفصل: مسافات Hausdorff ، الانتظام ، الانتظام الكامل ، الوضع الطبيعي ، Urysohn Lemma ، تضمين Tychonoff و UrysohnMetrization Theorem ،

        نظرية تمديد Tietze ، نظرية Tychnoff ، ضغط نقطة واحدة.

        المساحات المترية الكاملة والمساحات الوظيفية ، توصيف المساحات المترية المدمجة ، الاستمرارية ، نظرية أسكولي-أرزيلا ، نظرية فئة باير.

        التطبيقات: منحنى ملء الفراغ ، وظيفة مستمرة لا يمكن التفاضل بها في أي مكان ،

        معادلات الاستيفاء لاجرانج ونيوتن ، خطأ في الاستيفاء متعدد الحدود ، الاستيفاء الهرماتي ، الاستيفاء بوظائف المفتاح ، المفتاح المكعب والخطوط العريضة B.

        الوحدة 2 ، نظام المعادلات الخطية:

        القضاء الغاوسي ، خوارزمية Gauss-Jordan ، تحلل Cholesky ، تحلل Q-R ، تقريب المربعات الصغرى ، الطرق التكرارية ونظريات التقارب.

        الوحدة 3 ، المعادلات غير الخطية في R ^ n:

        المشتقات والمفاهيم الأساسية الأخرى والوظائف المحدبة والتقلصات ونظريات الوظيفة المعكوسة والضمنية وطرق نيوتن وتنوعاتها وطرق تصغيرها.

        الوحدة 4 ، المعادلات التفاضلية ومشكلات القيمة الحدودية:

        طرق خطوة واحدة مع التقارب ، طرق متعددة الخطوات مع التقارب ، طرق التصوير البسيطة والمتعددة ، طريقة الفروق والطريقة المتغيرة.


        مزيد من المعلومات

        • قانون الشرف: ينطبق قانون الشرف على جميع الأعمال الخاصة بهذه الدورة. يرجى مراجعة قانون الشرف على [هذا الرابط]. سيخضع الطلاب الذين يثبت انتهاكهم لقانون الشرف إلى الانضباط.
        • سيتم تخزين بعض المواد في Dropbox. في هذه الحالة ، ستحتاج إلى حساب لاسترداده. إذا لم يكن لديك واحد بالفعل ، فقم بتسجيل الدخول من خلال [هذا الرابط] باستخدام عنوان البريد الإلكتروني الأكاديمي الخاص بك للحصول على سعة تخزين أساسية 4 جيجابايت ، بالإضافة إلى 500 ميجابايت إضافية مجانًا.
        • تذكر تغيير عنوان بريدك الإلكتروني على Blackboard إذا لزم الأمر [blackboard.sc.edu]
        • ADA: إذا كان لديك احتياجات خاصة كما تتناولها قانون الأمريكيين ذوي الإعاقات وتحتاج إلى أي مساعدة ، يرجى إبلاغ المدرب على الفور
        • الدروس الخصوصية للأقران: تتوفر دروس خصوصية لهذه الدورة لمساعدتك في فهم مادة الدورة بشكل أفضل. يوفر برنامج التدريس للأقران في مركز نجاح الطلاب جلسات دراسية مجانية يديرها الأقران يقودها مدرسون جامعيون مؤهلون ومدربون سبق لهم الالتحاق بهذه الدورة وتفوقوا فيها. الجلسات مفتوحة لجميع الطلاب الذين يرغبون في تحسين فهمهم للمادة ، وكذلك درجاتهم. يتم تقديم الدروس الخصوصية من يوم الأحد من 6 إلى 10 مساءً ومن الاثنين إلى الخميس من 2 إلى 9 مساءً. ستعقد جميع جلسات التدريس في طابق الميزانين بمكتبة توماس كوبر ما لم يذكر خلاف ذلك. يرجى زيارة www.sc.edu/tutoring للعثور على جدول الدروس الخصوصية الكامل وتحديد موعد. يمكنك أيضًا الاتصال بمركز نجاح الطلاب على 803-777-1000 و [email protected] لطرح أسئلة إضافية. The tutor for your course is Alexandra Ruppe

        4.6: The Method of Undetermined Coefficients I - Mathematics

        Instructor: Dr. Jessica M. Conway.
        Lectures: MWF 1-2pm, Henn 200.
        Office hours: Mathematics Annex, Room 1110 - Wednesdays 4-6pm + by appointment.
        OFFICE HOURS DURING FINAL EXAMS (DEC 6-20): Tuesdays/Thursdays from 3-5pm Saturday Dec 18/Sunday Dec 19 from 4-7pm.
        Email: conway (at) math (dot) ubc (dot) ca OR math255s104.fall2010 (at) gmail (dot) com
        Phone: (604)822-6754
        The Mathematics Department offers Drop in tutoring, ODEs included!
        Schedule and locations available at http://www.math.ubc.ca/Ugrad/ugradTutorials.shtml. Printable course outline available HERE.

        Text: Boyce and Diprima, Elementary differential equations and boundary value problems, 9th edition.
        We will cover chapters 1-3, 6, 7, and 9.
        Note: If you have instead an 8th edition of the text, that's fine. Problems and readings for the 8th edition are also provided below.

        ANNOUNCEMENTS:

        Exam Dates:

        Grading

        Homework

        الواجب المنزلي 2 , due Sept 24th 2010:
        9th edition: p.47: 34 p.59: 32 p.75: 3 p.88: 15,22 p.99: 13.
        أو 8th edition: p.47: 34 p.59: 32 p.75: 3 p.88: 15,22 p.99: 13.
        SOLUTIONS هنا

        الواجب المنزلي 3 , due Oct 1st 2010:
        9th edition: p.144: 1, 9, 13, 23 p.155: 1.
        أو 8th edition: p.142: 1, 9, 13, 23 p.151: 1.
        SOLUTIONS هنا

        الواجب المنزلي 4 , due Oct 8th 2010:
        9th edition: p.163: 2, 17, 29, 32 p.171: 23 p.183: 17, 28.
        أو 8th edition:p.164: 2, 17, 29, 32 p.173: 23 p.184: 17, 28.
        SOLUTIONS هنا

        الواجب المنزلي 5 , due WEDNESDAY Oct 20th 2010:
        9th edition: p.189: 1, 19, 21, 28 p.202: 5, 15, 16 p.216: 17.
        أو 8th edition:p.190: 1, 19, 21, 28 p.203: 5, 15, 16 p.214: 17.
        SOLUTIONS هنا

        الواجب المنزلي 6 , due Friday October 29th 2010:
        9th edition: p.311: 14, 18, 26 p.320: 27a p.328: 13, 25, 29, 30.
        أو 8th edition:p.312: 14, 18, 26 p.322: 27a p.329: 7, 19, 23, 24.
        SOLUTIONS هنا

        الواجب المنزلي 7 , due Friday November 5th 2010:
        9th edition: p.336: 1, 10 p.343: 25 p.350: 7, 13, 22, 29.
        أو 8th edition: p.337: 1, 10 p.344: 25 p.351: 7, 13, 22, 29.
        Note: p.351: 22b,c and 29 will not be graded.
        SOLUTIONS here and, for 6.4.1 and 6.4.10, here.

        الواجب المنزلي 8 , due Friday November 12th 2010:
        9th edition:p.398: 15, 28, 29, 32, 33 p.409: 26, 27 p.428: 1.
        أو 8th edition: p.398: 15, 28, 29, 32, 33 p.410 26, 27 p.428: 1.
        SOLUTIONS here and, for 7.8.1, here.

        الواجب المنزلي 9 , due Friday November 19th 2010:
        9th edition: p.439: 1,3 p494: 2(a)-(c).
        أو 8th edition: p.439: 1,3 p492: 2(a)-(c).
        SOLUTIONS here and, for 7.9.3: undetermined vectors, variation of vectors.

        الواجب المنزلي 10 , due Friday November 26th 2010:
        9th edition: p.494: 3, 4, 5 Page 506: 19.
        أو 8th edition: p.492: 3, 4, 5 Page 501: 17..
        SOLUTIONS هنا.

        الواجب المنزلي 11 , due Wednesday Dec 1st 2010:
        9th edition: p.516: 5,6, 19, 27, 30.
        أو 8th edition: p.511: 5,6, 19, 26, 28.
        SOLUTIONS هنا.


        4.6: The Method of Undetermined Coefficients I - Mathematics

        The book is Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems The authors are Boyce and DiPrima

        Please note This is the tenth edition! (It seems to differ little from earlier editions, so you are probably safe with them. I have the 9th as well so I can help you align the exercises)

        Software

        Some of the exercises will require you to use a computer to create pictures. هناك عدة طرق للقيام بذلك. Some of you are probably familiar with MatLab which has something called PPLANE which will be helpful. I wrote a software package XPPAUT for solving and graphing differential equations. This runs on all PCs and also runs on iOS devices (sorry, no Android). You can get this at This site . I can help you get it on your computer as it requires a small amount of effort

        Syllabus:

        Homework due: 9/5: 1.1:15-20,23,24,26,29,302.1:13,15,16,31,322.2:1,5,8,9,10,17,31,37,36

        • Here is a handout for using XPP and doing some of the computer problems How to plot
        • Simple XPP code for direction fields
          • Run this in XPP. Click on (D)ir.field (S)caled and then Return to accept the default. See the nice direction fields!
          • Click (I)nitialconds m(I)ce and click around on the screen near the dashed line. See the trajectories. Tap ESC when done.
          • Take a screen shot of this to print it if you want
            Homework Due 9/26
        • 3.1:1,7,9,12,17,20,23,28
        • 3.2:1,2,4,7,12,13,16,17,23,28,29
        • 3.3:1,4,6,10,15,21,34,35,39
          • Homework Due 10/3
      • 3.4:7,11,12,17,20,21
      • 3.5: 1,6(4),10(8),14(12),16(14),20(18) [Note 9th edition in parentheses]
      • 3.6: 1,2,9,13
        • 3.7: 1,5,7,13,18
        • 3.8: 1,11,17,24
        • 4.1:3,6,7,11,15,24 (you can assume without proving it, the result of problem 20 on page 225)
        • Read pages 3-5 of this handout
        • Sample exam 1 (note problem 4 is page 157 in the 10th edition)
        • Review 10/6
          • Phase line (2.5)
          • Direction fields (1.1)
          • Applications of 1D linear (2.3)
          • Methods of solving:
            • Linear 1st order (2.1)
            • Bernoulli equations (2.4 exercise 27)
            • Exact equations (2.6)
            • homogeneous equations (2.2 exercise 29)
            • Second order linear equations (3.1-3.3)
            • Chapter 4. 4.2:11,18,214.3:1(see 4.2,11)4.4:1
            • Chapt 7.1 1,4,6,23
            • 7.3:1,4,15,18,21,23
            • 7.4:2abc,6
            • 7.5:1,2,5,7,11,15,16,20,24,25,27,31
            • 7.6:1,3,5,13,14,28
            • 7.7:1,3,5
            • 7.8:1,2,11
            • Let A be a 3x3 matrix with eigenvalues -1, -1+2 i. Express exp(At) in terms of the matrix A. (Use Fulmer's method)
            • Use Fulmer's method to do problem 1 in 7.7
            • 7.9:3,12
            • 9.1: 1,3,5,6,13
            • 9.2:1,4,5,9,17,21

            They have infinitely many periodic solutions. Let T be the period of one of the solutions and let x(t),y(t) be the solution. Compute the average values of x(t),y(t):


            MATH 351 (Spring 2014): Differential Equations

            Midterm Exam 1: (date to be announed) in class.
            Midterm Exam 2: (date to be annouced) in class.
            Midterm Exam 3: (date to be annouced) in class.

            Lecture times and locations

            Mondays & Wednesdays 11:00 am - 12:15 pm in LO (Live Oak Hall) 1326

            Course text

            Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (10th edition), or the short version of Elementary Differential Equations by William E. Boyce and Richard C. DiPrima.

            الإعلانات

            Course syllabus and tentative timetable

            I will post all assigments, solutions and additional material in this space. You should therefore consult this spot frequently.

            ثانية. 1.3: Classification of Differential Equations

            Exercises 1.3 (page 24): 1, 3, 5, 7, 11, 14, 17, 19

            (due Feb 5) Exercises 1.2 (page 15): 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 19

            Exercises 1.3 (page 24): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 16, 18, 20, 29

            Exercises 2.2 (page 48): 2-26 (even), 23, 32(a)(b), 34(a)(b), 36(a)(b), 38(a)(b)

            ثانية. 2.3: Modeling with First Order Equations

            Exercises 2.3 (page 60): 1, 4, 8, 16, 19, 24

            Exercises 2.4 (page 76): 1, 3, 7, 9, 11, 15, 22, 28, 33

            Exercises 2.4 (page 76): 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13, 21, 23-26, 29

            (Exercises 2.6 due Mar 5) Exercises 2.6 (page 101): 2-12 (even), 16, 20, 26, 28, 30

            ثانية. 2.7: Numerical Approximations: Euler's Method

            ثانية. 2.8: The Existence and Uniqueness Theorem

            ثانية. 3.1: Homogeneous Equations with Constant Coefficient

            ثانية. 3.2: Solutions of Linear Homogeneous Equations the Wronskian

            Exercises 3.1 (page 144): 10, 11, 12, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27

            Exercises 3.2 (page 155): 5, 6, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 19, 22, 26, 31, 34

            (Exercises 3.1 due March 24)

            Miscellaneous Problems for Chapter 2 (page 133): 1-35

            Exercises 3.1 (page 144): 1-7, 9, 13, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28

            Exercises 3.2 (page 155): 2, 3, 4, 7, 8, 10, 13, 16, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 35

            ثانية. 3.4: Repeated Roots Reduction of Order

            Exercises 3.3 (page 164): 5, 8, 9, 12, 13, 18, 19, 20, 25, 34, 39, 40

            Exercises 3.6 (page 190): 3, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 31 5.1 (page 253): 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 15, 17, 21, 22, 23, 24, 27 -->

            ثانية. 4.1: General Theory of nth Order Linear Equations

            ثانية. 4.2: Homogeneous Equations with Constant Coefficients

            ثانية. 4.3: The Method of Undetermined Coefficients

            Exercises 4.2 (page 233): 2, 5, 9, 11, 13, 15, 16, 19, 20 Exercises 4.3 (page 239): 1, 4, 5, 6, 9, 11, 13, 15, 17

            Exercises 4.4 (page 244): 1, 2, 3, 9 5.2 (page 263): 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 21

            Exercises 5.3 (page 269): 2, 3, 6, 7, 10, 12, 13, 16, 19, 22, 23

            (Exercises 4.2 due April 16 )

            (Exercises 4.3 due April 16)

            Exercises 4.2 (page 233): 1, 3, 4, 6, 10, 12, 14, 17, 18, 21-24

            Exercises 4.3 (page 239): 3, 8, 10, 14, 16, 18

            Exercises 4.4 (page 244): 4, 5, 7, 11, 13 5.2 (page 263): 5, 6, 13, 14, 20, 22

            Exercises 5.3 (page 269): 1, 4, 5, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 20, 21

            ثانية. 7.2: Review of Matrices

            ثانية. 7.3: Systems of Linear Algebraic Equations: Linear Independence, Eigenvalues, Eigenvectors

            Exercises 7.2 (page 376): 2, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 23, 25

            Exercises 7.3 (page 388): 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13, 16, 17, 22, 23, 25

            (Exercises 7.2 due April 23)

            Exercises 7.2 (page 376): 1, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 16, 18, 19, 20, 22, 24, 26

            Exercises 7.3 (page 388): 6, 8, 9, 10, 14, 18, 19, 20, 21, 24

            ثانية. 7.5: Homogeneous Linear Systems with Constant Coefficients

            ثانية. 7.6: Complex Eigenvalues

            ثانية. 7.7: Fundamental Matrices

            Exercises 7.5 (page 405): 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 25, 27 7.6 (page ): -->

            Exercises 7.6 (page 417): 4, 5, 6, 7, 9, 19

            Exercises 7.7 (page 427): 1, 3, 5, 7, 9, 11

            (Exercises 7.5 due April 30)

            Exercises 7.4 (page 394): 1, 3, 7

            Exercises 7.5 (page 405): 1, 4, 5, 8, 12, 14, 15, 18-24, 26, 28, 29, 30

            7.6 (page ): --> Exercises 7.6 (page 417): 1, 2, 3, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

            Exercises 7.7 (page 427): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 17

            Exercises 7.8 (page 436): 1, 6, 8, 10, 11, 12, 15

            ثانية. 9.2: Autonomous Systems and Stability

            ثانية. 9.3: Locally Linear Systems

            Exercises 9.2 (page 517): 1, 2, 3, 4, 17, 19, 21

            Exercises 9.3 (page 527): 1, 3, 5, 6, 7, 12, 15, 16, 19, 21, 26, 27, 28

            Exercises 9.4 (page 541): 1, 3, 5, 8, 9, 10

            Exercises 9.2 (page 517): 5-16, 18, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28

            Exercises 9.3 (page 527): 2, 4, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 20, 23, 24, 25, 30


            شاهد الفيديو: المعادلات التفاضلية الاعتيادية. حل المعادلة الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابته. محاضرة 12 (ديسمبر 2021).