مقالات

1.3: حقول الاتجاه لمعادلات الدرجة الأولى


من المستحيل العثور على صيغ صريحة لحلول بعض المعادلات التفاضلية. في هذه الحالة ، قد نلجأ إلى الطرق الرسومية أو العددية للحصول على فكرة عن كيفية عمل حلول المعادلة المعطاة.

في القسم 2.3 سنتناول مسألة وجود حلول لمعادلة من الدرجة الأولى [ label {eq: 1.3.1} y '= f (x، y). ]

في هذا القسم ، سنفترض ببساطة أن المعادلة ref {eq: 1.3.1} لها حلول ونناقش طريقة رسومية لتقريبها. في الفصل 3 نناقش الطرق العددية للحصول على حلول تقريبية للمعادلة المرجع {eq: 1.3.1}. تذكر أن حل المعادلة ref {eq: 1.3.1} هو دالة (y = y (x) ) بحيث

[y '(x) = f (x، y (x)) nonumber ]

لجميع قيم (س ) في بعض الفواصل الزمنية ، والمنحنى المتكامل هو إما رسم بياني لحل أو يتكون من مقاطع تمثل رسومًا بيانية للحلول. لذلك ، فإن عدم القدرة على حل المعادلة ref {eq: 1.3.1} يعادل عدم معرفة معادلات منحنيات المعادلة المتكاملة المرجع {eq: 1.3.1}. ومع ذلك ، فمن السهل حساب منحدرات هذه المنحنيات. لكي تكون محددًا ، يُعطى ميل منحنى متكامل للمعادلة المرجع {eq: 1.3.1} خلال نقطة معينة ((x_0، y_0) ) بالرقم (f (x_0، y_0) ). هذا هو أساس طريقة مجالات الاتجاه.

إذا تم تعريف (f ) على مجموعة (R ) ، فيمكننا إنشاء ملف مجال الاتجاه للمعادلة المرجع {eq: 1.3.1} في (R ) برسم مقطع خط قصير عبر كل نقطة ((س ، ص) ) في (ص ) بميل (و (س ، ص) ) ). بالطبع ، من الناحية العملية ، لا يمكننا في الواقع رسم خطوط مستقيمة من خلالها كل نقطة في (ص ) ؛ بدلاً من ذلك ، يجب أن نختار مجموعة محدودة من النقاط في (R ). على سبيل المثال ، افترض أنه تم تعريف (f ) في المنطقة المستطيلة المغلقة [R: {a le x le b، c le y le d }. nonumber ]

لنفترض أن [a = x_0 شكل أ شبكة مستطيلة (الشكل ( PageIndex {1} )). من خلال كل نقطة في الشبكة ، نرسم مقطعًا قصيرًا بخط منحدر (f (x_i، y_j) ). والنتيجة هي تقريب لحقل اتجاه للمعادلة المرجع {eq: 1.3.1} في (R ). إذا كانت نقاط الشبكة عديدة بشكل كافٍ وقريبة من بعضها البعض ، فيمكننا رسم منحنيات متكاملة تقريبية للمعادلة ref {eq: 1.3.1} عن طريق رسم منحنيات عبر نقاط في ظل الشبكة لأجزاء الخط المرتبطة بالنقاط في الشبكة.

لسوء الحظ ، فإن تقريب مجال الاتجاه ورسم منحنيات متكاملة بهذه الطريقة أمر شاق للغاية بحيث لا يمكن القيام به بشكل فعال باليد. ومع ذلك ، هناك برنامج للقيام بذلك. كما سترى ، فإن الجمع بين حقول الاتجاه والمنحنيات المتكاملة يعطي رؤى مفيدة حول سلوك حلول المعادلة التفاضلية حتى لو لم نتمكن من الحصول على حلول دقيقة.

سوف ندرس الطرق العددية لحل معادلة من الدرجة الأولى واحدة المرجع {eq: 1.3.1} في الفصل 3. يمكن استخدام هذه الطرق لرسم منحنيات الحل للمعادلة المرجع {eq: 1.3.1} في مستطيل المنطقة (ص ) إذا (و ) مستمر على (ص ). توضح الأشكال ( PageIndex {2} ) و ( PageIndex {3} ) و ( PageIndex {4} ) حقول الاتجاه ومنحنيات الحل للمعادلات التفاضلية:

  • (y '= frac {x ^ 2-y ^ 2} {1 + x ^ 2 + y ^ 2} ) ،
  • (y '= 1 + xy ^ 2 ) و
  • (y '= frac {x-y} {1 + x ^ 2} ).

وهي كلها من المعادلة النموذجية المرجع {eq: 1.3.1} مع (f ) مستمر للجميع ((x ، y) ).

لن تعمل طرق الفصل 3 للمعادلة [ label {eq: 1.3.2} y '= - x / y ]

إذا كان (R ) يحتوي على جزء من (x ) - المحور ، لأن (f (x ، y) = - x / y ) غير معرف عندما (y = 0 ). وبالمثل ، فإنها لن تعمل من أجل المعادلة

[ label {eq: 1.3.3} y '= {x ^ 2 over1-x ^ 2-y ^ 2} ]

إذا احتوى (R ) على أي جزء من دائرة الوحدة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) ، لأن الجانب الأيمن من المعادلة ref {eq: 1.3.3} غير محدد إذا (x ^ 2 + ص ^ 2 = 1 ). ومع ذلك ، يمكن كتابة المعادلة المرجع {eq: 1.3.2} والمعادلة المرجع {eq: 1.3.3} كـ

[ label {eq: 1.3.4} y '= {A (x، y) over B (x، y)} ]

حيث (A ) و (B ) متواصلين على أي مستطيل (R ). لهذا السبب ، تعتمد بعض برامج المعادلات التفاضلية على حل أزواج المعادلات في النموذج عدديًا

[ label {eq: 1.3.5} {dx over dt} = B (x، y)، quad {dy over dt} = A (x، y) ]

حيث (x ) و (y ) تعتبر من وظائف المعلمة (t ). إذا كانت (x = x (t) ) و (y = y (t) ) تفي بهذه المعادلات ، إذن

[y '= {dy over dx} = {dy over dt} left / {dx over dt} right. = {A (x، y) over B (x، y)}، nonumber ]

لذلك (y = y (x) ) يفي بالمعادلة المرجع {eq: 1.3.4}.

المعادلات ref {eq: 1.3.2} و ref {eq: 1.3.3} يمكن إعادة صياغتها كما في المعادلة ref {eq: 1.3.4} مع [{dx over dt} = - y، quad {dy over dt} = x nonumber ]

و

[{dx over dt} = 1-x ^ 2-y ^ 2، quad {dy over dt} = x ^ 2، nonumber ]

على التوالى. حتى إذا كان (f ) مستمرًا وكان بخلاف ذلك "لطيفًا" طوال (R ) ، فقد يطلب منك برنامجك إعادة صياغة المعادلة (y '= f (x، y) ) على النحو التالي

[{dx over dt} = 1، quad {dy over dt} = f (x، y)، nonumber ]

والتي هي من صيغة المعادلة المرجع {eq: 1.3.5} مع (A (x، y) = f (x، y) ) و (B (x، y) = 1 ).

يوضح الشكل ( PageIndex {5} ) حقل اتجاه وبعض المنحنيات المتكاملة للمعادلة المرجع {eq: 1.3.2}. كما رأينا في المثال [مثال: 1.2.1} وسنتحقق مرة أخرى في القسم 2.2 ، فإن المنحنيات المتكاملة للمعادلة المرجع {eq: 1.3.2} هي دوائر تتمحور حول الأصل.

يوضح الشكل ( PageIndex {6} ) حقل اتجاه وبعض المنحنيات المتكاملة للمعادلة المرجع {eq: 1.3.3}. المنحنيات المتكاملة بالقرب من الأعلى والأسفل هي منحنيات حل. ومع ذلك ، فإن المنحنيات المتكاملة بالقرب من المنتصف أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال ، يوضح الشكل ( PageIndex {7} ) المنحنى المتكامل من خلال الأصل. تقع رؤوس المستطيل المتقطع على الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) ( (a حوالي 846 ) ، (b حوالي 533 )) ، حيث تكون جميع منحنيات المعادلة المرجع {eq: 1.3.3} لها منحدر لانهائي. هناك ثلاثة منحنيات لحل المعادلة ref {eq: 1.3.3} على المنحنى المتكامل في الشكل: المقطع فوق المستوى (y = b ) هو الرسم البياني لحل على ((- infty، أ) ) ، الجزء الموجود أسفل المستوى (y = -b ) هو الرسم البياني للحل على ((- a ، infty) ) ، والجزء بين هذين المستويين هو الرسم البياني للحل في ((- أ ، أ) ).

باستخدام التكنولوجيا

أثناء الدراسة من هذا الكتاب ، سيُطلب منك غالبًا استخدام برامج الكمبيوتر والرسومات. تم وضع علامة على التدريبات بهذا القصد على أنها (كمبيوتر أو آلة حاسبة مطلوبة) ، (كمبيوتر و / أو رسومات مطلوبة) ، أو (عمل معمل يتطلب برامج و / أو رسومات). في كثير من الأحيان قد لا تفهم تمامًا كيف يفعل البرنامج ما يفعله. هذا مشابه للموقف الذي يواجهه معظم الأشخاص عندما يقودون السيارات أو يشاهدون التلفزيون ، ولا يقلل من قيمة استخدام التكنولوجيا الحديثة كوسيلة مساعدة للتعلم. فقط كن حذرًا من استخدام التكنولوجيا كمكمل للفكر وليس كبديل لها.


شاهد الفيديو: حل معادلة 2 معادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد # اقواس (شهر نوفمبر 2021).