مقالات

2.2: حدود الوظيفة


أهداف التعلم

  • باستخدام الترميز الصحيح ، صِف حد الدالة.
  • استخدم جدول القيم لتقدير حد دالة أو لتحديد متى لا يوجد الحد.
  • استخدم رسمًا بيانيًا لتقدير حد دالة أو لتحديد متى لا يكون الحد موجودًا.
  • حدد الحدود من جانب واحد وقدم أمثلة.
  • اشرح العلاقة بين الحدود من جانب واحد والحد من جانبين.
  • باستخدام الترميز الصحيح ، قم بوصف حد لانهائي.
  • تحديد خط مقارب عمودي.

كان مفهوم عملية التحديد أو التحديد ، الضروري لفهم التفاضل والتكامل ، موجودًا منذ آلاف السنين. في الواقع ، استخدم علماء الرياضيات الأوائل عملية تقييد للحصول على تقديرات تقريبية أفضل وأفضل لمناطق الدوائر. ومع ذلك ، فإن التعريف الرسمي للحد - كما نعرفه ونفهمه اليوم - لم يظهر حتى أواخر القرن التاسع عشر. لذلك نبدأ سعينا لفهم الحدود ، كما فعل أسلافنا في الرياضيات ، باستخدام نهج حدسي. في نهاية هذا الفصل ، مسلحين بفهم مفاهيمي للحدود ، ندرس التعريف الرسمي للحدود.

نبدأ استكشاف النهايات بإلقاء نظرة على الرسوم البيانية للدوال

  • (f (x) = dfrac {x ^ 2−4} {x − 2} ) ،
  • (g (x) = dfrac {| x − 2 |} {x − 2} ) ، و
  • (h (x) = dfrac {1} {(x − 2) ^ 2} ) ،

والتي تظهر في الشكل ( PageIndex {1} ). على وجه الخصوص ، دعنا نركز انتباهنا على سلوك كل رسم بياني عند وحول (س = 2 ).

كل وظيفة من الوظائف الثلاث غير محددة في (x = 2 ) ، ولكن إذا قدمنا ​​هذه العبارة دون غيرها ، فإننا نعطي صورة غير كاملة عن كيفية تصرف كل وظيفة بالقرب من (x = 2 ). للتعبير عن سلوك كل رسم بياني بالقرب من (2 ) بشكل كامل ، نحتاج إلى تقديم مفهوم الحد.

تعريف حدسي للحد

دعنا أولاً نلقي نظرة فاحصة على كيفية تصرف الدالة (f (x) = (x ^ 2−4) / (x − 2) ) حول (x = 2 ) في الشكل ( PageIndex {1} ). نظرًا لأن قيم (x ) تقترب من (2 ) من جانبي (2 ) ، فإن قيم (y = f (x) ) تقترب من (4 ). رياضياً ، نقول إن حد (f (x) ) عندما يقترب (x ) من (2 ) هو (4 ). رمزيا ، نعبر عن هذه النهاية كـ

(displaystyle lim_ {x to 2} f (x) = 4).

من هذه النظرة غير الرسمية الموجزة للغاية على حد واحد ، فلنبدأ في تطوير تعريف حدسي للحد. يمكننا أن نفكر في حد الدالة عند رقم a على أنه الرقم الحقيقي الوحيد (L ) الذي تقترب منه القيم الوظيفية مثل (x ) - القيم تقترب من a ، بشرط مثل هذا الرقم الحقيقي (L ) ) موجود. بمزيد من الدقة ، لدينا التعريف التالي:

التعريف (حدسي): محدد

لنفترض أن (f (x) ) دالة معرّفة في جميع القيم في فاصل زمني مفتوح يحتوي على (a ) ، مع استثناء محتمل لنفسه ، واجعل (L ) رقمًا حقيقيًا. إذا اقتربت جميع قيم الوظيفة (f (x) ) من الرقم الحقيقي (L ) حيث تقترب قيم (x (≠ a) ) من الرقم a ، فإننا نقول إن حد ( f (x) ) عندما تقترب (x ) من (a ) هي (L ). (أكثر إيجازًا ، حيث إن (س ) يقترب من (أ ) ، (و (س) ) يقترب ويظل قريبًا من (ل ).) من الناحية الرمزية ، نعبر عن هذه الفكرة على أنها

[ lim_ {x to a} f (x) = L. التسمية {الحد} ]

يمكننا تقدير الحدود بإنشاء جداول للقيم الوظيفية وبالنظر إلى الرسوم البيانية الخاصة بهم. تم وصف هذه العملية في إستراتيجية حل المشكلات التالية.

إستراتيجية حل المشكلات: تقييم حد باستخدام جدول القيم الوظيفية

1. لتقييم ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) ) ، نبدأ بإكمال جدول القيم الوظيفية. يجب أن نختار مجموعتين من (x ) - القيم- مجموعة واحدة من القيم تقترب من (أ ) وأقل من (أ ) ، ومجموعة أخرى من القيم تقترب من (أ ) وأكبر من (أ) ). يوضح الجدول ( PageIndex {1} ) الشكل الذي قد تبدو عليه جداولك.

جدول ( PageIndex {1} )
(س ) (و (س) ) (س ) (و (س) )
(أ -0.1 ) (و (أ-0.1) ) (أ + 0.1 ) (و (أ + 0.1) )
(أ-0.01 ) (و (أ-0.01) ) (أ + 0.001 ) (و (أ + 0.001) )
(أ-0.001 ) (و (أ -0.001) ) (أ + 0.0001 ) (و (أ + 0.001) )
(أ-0.0001 ) (و (أ-0.0001) ) (أ + 0.00001 ) (و (أ + 0.0001) )
استخدم القيم الإضافية حسب الضرورة.استخدم القيم الإضافية حسب الضرورة.

2. بعد ذلك ، دعنا نلقي نظرة على القيم الموجودة في كل عمود (f (x) ) وتحديد ما إذا كانت القيم تبدو وكأنها تقترب من قيمة واحدة بينما نتحرك لأسفل في كل عمود. في أعمدتنا ، ننظر إلى التسلسل (f (a − 0.1) ) ، (f (a − 0.01) ) ، (f (a − 0.001) ) ، (f (a − 0.0001) ) وما إلى ذلك ، و (f (a + 0.1) ، ؛ f (a + 0.01) ، ؛ f (a + 0.001) ، ؛ f (a + 0.0001) ) ، وهكذا. (ملاحظة: على الرغم من أننا اخترنا (x ) - القيم (a ± 0.1، ؛ a ± 0.01، ؛ a ± 0.001، ؛ a ± 0.0001 ) وما إلى ذلك ، ومن المحتمل أن تكون هذه القيم العمل تقريبًا في كل مرة ، في مناسبات نادرة جدًا ، قد نحتاج إلى تعديل خياراتنا.)

3. إذا اقترب كلا العمودين من (y ) - القيمة (L ) ، فإننا نذكر ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = L ). يمكننا استخدام الاستراتيجية التالية لتأكيد النتيجة التي تم الحصول عليها من الجدول أو كطريقة بديلة لتقدير الحد.

4. باستخدام آلة حاسبة بيانية أو برنامج كمبيوتر يتيح لنا وظائف الرسم البياني ، يمكننا رسم الوظيفة (f (x) ) ، مع التأكد من القيم الوظيفية لـ (f (x) ) لـ (x ) - القيم بالقرب من a موجودة في نافذتنا. يمكننا استخدام ميزة التتبع للتحرك على طول الرسم البياني للوظيفة ومشاهدة قراءات (y ) - القيمة حيث تقترب القيم (x ) - أ. إذا كانت (y ) - القيم تقترب (L ) مثل (x ) - تقترب القيم (a ) من كلا الاتجاهين ، إذن ( displaystyle lim_ {x to a} f (x ) = L ). قد نحتاج إلى تكبير الرسم البياني وتكرار هذه العملية عدة مرات.

نحن نطبق إستراتيجية حل المشكلات هذه لحساب حد في الأمثلة ( PageIndex {1A} ) و ( PageIndex {1B} ).

مثال ( PageIndex {1A} ): تقييم حد باستخدام جدول القيم الوظيفية

أوجد قيمة ( displaystyle lim_ {x to 0} frac { sin x} {x} ) باستخدام جدول القيم الوظيفية.

حل

لقد حسبنا قيم (f (x) = dfrac { sin x} {x} ) لقيم (x ) المدرجة في Table ( PageIndex {2} ).

جدول ( PageIndex {2} )
(س ) ( frac { sin x} {x} ) (س ) ( frac { sin x} {x} )
-0.10.9983341664680.10.998334166468
-0.010.9999833334170.010.999983333417
-0.0010.9999998333330.0010.999999833333
-0.00010.9999999983330.00010.999999998333

ملاحظة: تم الحصول على القيم الواردة في هذا الجدول باستخدام الآلة الحاسبة وباستخدام جميع الأماكن الواردة في ناتج الآلة الحاسبة.

أثناء قراءة كل عمود ( dfrac { sin x} {x} ) ، نرى أن القيم في كل عمود تقترب من أحدها. وبالتالي ، فمن المعقول أن نستنتج أن ( displaystyle lim_ {x to0} frac { sin x} {x} = 1 ). سيكون الرسم البياني الذي تم إنشاؤه بواسطة الآلة الحاسبة أو الكمبيوتر لـ (f (x) = dfrac { sin x} {x} ) مشابهًا لما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ) ، وهو يؤكد تقدير.

مثال ( PageIndex {1B} ): تقييم حد باستخدام جدول القيم الوظيفية

أوجد قيمة ( displaystyle lim_ {x to4} frac { sqrt {x} −2} {x − 4} ) باستخدام جدول القيم الوظيفية.

حل

كما في السابق ، نستخدم جدولاً - في هذه الحالة ، Table ( PageIndex {3} ) - لسرد قيم الدالة للقيم المعطاة لـ (x ).

جدول ( PageIndex {3} )
(س ) ( frac { sqrt {x} −2} {x − 4} ) (س ) ( frac { sqrt {x} −2} {x − 4} )
3.90.2515823418694.10.248456731317
3.990.250156445624.010.24984394501
3.9990.2500156274.0010.249984377
3.99990.2500015634.00010.249998438
3.999990.250000164.000010.24999984

بعد فحص هذا الجدول ، نرى أن القيم الوظيفية الأقل من 4 يبدو أنها تتناقص نحو 0.25 بينما يبدو أن القيم الوظيفية الأكبر من 4 تزداد نحو 0.25. نستنتج أن ( displaystyle lim_ {x to4} frac { sqrt {x} −2} {x − 4} = 0.25 ). نؤكد هذا التقدير باستخدام الرسم البياني (f (x) = dfrac { sqrt {x} −2} {x − 4} ) الموضح في الشكل ( PageIndex {3} ).

تمرين ( PageIndex {1} )

قدر ( displaystyle lim_ {x to 1} frac { frac {1} {x} −1} {x − 1} ) باستخدام جدول القيم الوظيفية. استخدم الرسم البياني لتأكيد تقديرك.

تلميح

استخدم 0.9 و 0.99 و 0.999 و 0.9999 و 0.99999 و 1.1 و 1.01 و 1.001 و 1.0001 و 1.00001 كقيم لجدولك.

إجابه

[ lim_ {x to1} frac { frac {1} {x} −1} {x − 1} = - 1 nonumber ]

في هذه المرحلة ، نرى من الأمثلة ( PageIndex {1A} ) و ( PageIndex {1b} ) أنه قد يكون بنفس السهولة ، إن لم يكن أسهل ، تقدير حد دالة عن طريق فحص الرسم البياني الخاص بها كما هو الحال في تقدير الحد باستخدام جدول القيم الوظيفية. في المثال ( PageIndex {2} ) ، نقوم بتقييم الحد بشكل حصري من خلال النظر إلى الرسم البياني بدلاً من استخدام جدول القيم الوظيفية.

مثال ( PageIndex {2} ): تقييم حد باستخدام رسم بياني

بالنسبة إلى (g (x) ) الموضحة في الشكل ( PageIndex {4} ) ، قم بتقييم ( displaystyle lim_ {x to − 1} g (x) ).

حل:

على الرغم من حقيقة أن (g (−1) = 4 ) ، نظرًا لأن (x ) - القيم تقترب (- 1 ) من أي جانب ، فإن (g (x) ) تقترب القيم (3 ). لذلك ، ( displaystyle lim_ {x to − 1} g (x) = 3 ). لاحظ أنه يمكننا تحديد هذه النهاية دون معرفة التعبير الجبري للدالة.

استنادًا إلى المثال ( PageIndex {2} ) ، نجري الملاحظة التالية: من الممكن أن يكون حد الدالة موجودًا عند نقطة ما ، وأن يتم تحديد الوظيفة في هذه المرحلة ، ولكن حد وظيفة وقيمة الوظيفة عند النقطة قد تكون مختلفة.

تمرين ( PageIndex {2} )

استخدم الرسم البياني لـ (h (x) ) في الشكل ( PageIndex {5} ) لتقييم ( displaystyle lim_ {x to 2} h (x) ) إن أمكن.

تلميح

ما (y ) - القيمة التي تقترب بها الدالة مثل (x ) - القيم تقترب (2 )؟

حل

(displaystyle lim_ {x to 2} h (x) = - 1.)

إن النظر إلى جدول القيم الوظيفية أو النظر إلى الرسم البياني لوظيفة ما يوفر لنا نظرة ثاقبة مفيدة لقيمة حد الوظيفة عند نقطة معينة. ومع ذلك ، فإن هذه الأساليب تعتمد كثيرًا على التخمين. نحتاج في النهاية إلى تطوير طرق بديلة لتقييم الحدود. هذه الأساليب الجديدة هي أكثر جبرية بطبيعتها وسنستكشفها في القسم التالي ؛ ومع ذلك ، في هذه المرحلة ، نقدم حدين خاصين أساسيين للتقنيات القادمة.

حدان مهمان

لنفترض (أ ) أن يكون عددًا حقيقيًا و (ج ) يكون ثابتًا.

  1. ( displaystyle lim_ {x to a} x = a )
  2. ( displaystyle lim_ {x to a} c = c )

يمكننا تقديم الملاحظات التالية حول هذين الحدين.

  1. بالنسبة للحد الأول ، لاحظ أنه عندما يقترب (x ) من (a ) ، كذلك (f (x) ) ، لأن (f (x) = x ). وبالتالي ، ( displaystyle lim_ {x to a} x = a ).
  2. للحد الثاني ، ضع في الاعتبار Table ( PageIndex {4} ).
جدول ( PageIndex {4} )
(س ) (و (س) = ج ) (س ) (و (س) = ج )
(أ-0.1 ) (ج ) (أ + 0.1 ) (ج )
(أ-0.01 ) (ج ) (أ + 0.01 ) (ج )
(أ-0.001 ) (ج ) (أ + 0.001 ) (ج )
(أ-0.0001 ) (ج ) (أ + 0.0001 ) (ج )

لاحظ أنه بالنسبة لجميع قيم (س ) (بغض النظر عما إذا كانت تقترب من (أ )) ، فإن القيم (و (س) ) تظل ثابتة عند (ج ). ليس لدينا خيار سوى أن نستنتج ( displaystyle lim_ {x to a} c = c ).

وجود حد

عندما ننظر إلى الحد في المثال التالي ، ضع في اعتبارك أنه من أجل وجود حد دالة في نقطة ما ، يجب أن تقترب القيم الوظيفية من قيمة رقم حقيقي واحد في تلك النقطة. إذا كانت القيم الوظيفية لا تقترب من قيمة واحدة ، فإن الحد غير موجود.

مثال ( PageIndex {3} ): تقييم حد لم يوجد

أوجد قيمة ( displaystyle lim_ {x to 0} sin (1 / x) ) باستخدام جدول القيم.

حل

يسرد الجدول ( PageIndex {5} ) قيم الوظيفة ( sin (1 / x) ) لقيم (x ) المعطاة.

جدول ( PageIndex {5} )
(س ) ( الخطيئة (1 / س) ) (س ) ( الخطيئة (1 / س) )
-0.10.5440211108890.1−0.544021110889
-0.010.506365641110.01−0.50636564111
-0.001−0.82687954053120.0010.8268795405312
-0.00010.3056143888880.0001−0.305614388888
-0.00001−0.0357487979870.000010.035748797987
-0.0000010.3499935041870.000001−0.349993504187

بعد فحص جدول القيم الوظيفية ، يمكننا أن نرى أن قيم (y ) - لا يبدو أنها تقترب من أي قيمة مفردة. يبدو أن الحد غير موجود. قبل استخلاص هذا الاستنتاج ، دعونا نتبع نهجًا أكثر منهجية. خذ التسلسل التالي من (x ) - القيم التي تقترب من (0 ):

[ frac {2} {π}، ؛ frac {2} {3π}، ؛ frac {2} {5π}، ؛ frac {2} {7π}، ؛ frac {2 } {9π}، ؛ frac {2} {11π}، ؛…. nonumber ]

القيم المقابلة (y ) - هي

[1، ؛ - 1، ؛ 1، ؛ - 1، ؛ 1، ؛ - 1، ؛ .... بلا رقم ]

في هذه المرحلة يمكننا بالفعل أن نستنتج أن ( displaystyle lim_ {x to 0} sin (1 / x) ) غير موجود. (كثيرًا ما يختصر علماء الرياضيات "غير موجود" كـ DNE. وهكذا ، سنكتب ( displaystyle lim_ {x to 0} sin (1 / x) ) DNE.) الرسم البياني لـ (f (x) = sin (1 / x) ) موضح في الشكل ( PageIndex {6} ) ويعطي صورة أوضح لسلوك ( sin (1 / x) ) كـ (x ) يقترب (0 ). يمكنك أن ترى أن ( sin (1 / x) ) يتأرجح أكثر فأكثر بين (- 1 ) و (1 ) عندما يقترب (x ) من (0 ).

تمرين ( PageIndex {3} )

استخدم جدول القيم الوظيفية لتقييم ( displaystyle lim_ {x to 2} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} ) ، إن أمكن.

تلميح

استخدم (x ) - القيم 1.9 و 1.99 و 1.999 و 1.9999 و 1.9999 و 2.1 و 2.01 و 2.001 و 2.0001 و 2.00001 في جدولك.

إجابه

( displaystyle lim_ {x to 2} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} ) غير موجود.

حدود من جانب واحد

إن الإشارة في بعض الأحيان إلى أن حد الوظيفة فشل في الوجود عند نقطة ما لا يزودنا بمعلومات كافية حول سلوك الوظيفة في تلك النقطة بالذات. لرؤية هذا ، نعيد النظر في الوظيفة (g (x) = | x − 2 | / (x − 2) ) المقدمة في بداية القسم (انظر الشكل ( PageIndex {1} ) (b )). نظرًا لأننا نختار قيم (x ) القريبة من (2 ) ، فإن (g (x) ) لا يقترب من قيمة واحدة ، وبالتالي فإن الحد كما يقترب (x ) من (2 ) لا موجود — أي ( displaystyle lim_ {x to 2} g (x) ) DNE. ومع ذلك ، فإن هذه العبارة وحدها لا تعطينا صورة كاملة لسلوك الوظيفة حول (x ) - القيمة (2 ). لتقديم وصف أكثر دقة ، نقدم فكرة أ حد من جانب واحد. لجميع القيم الموجودة على يسار (2 ) (أو الجانب السالب من (2 )) ، (ز (س) = - 1 ). وهكذا ، عندما تقترب (x ) من (2 ) من اليسار ، (g (x) ) تقترب (- 1 ). رياضيا ، نقول أن الحد عند (س ) يقترب من (2 ) من اليسار هو (- 1 ). من الناحية الرمزية ، نعبر عن هذه الفكرة كـ

[ lim_ {x to 2 ^ -} g (x) = - 1. لا يوجد رقم]

وبالمثل ، عندما تقترب (x ) من (2 ) من اليمين (أو من الجانب الإيجابي) ، تقترب (g (x) ) من (1 ). من الناحية الرمزية ، نعبر عن هذه الفكرة كـ

[ lim_ {x to 2 ^ +} g (x) = 1. nonumber ]

يمكننا الآن تقديم تعريف غير رسمي للحدود أحادية الجانب.

التعريف: حدود من جانب واحد

نحدد نوعين من الحدود من جانب واحد.

الحد من اليسار:

لنفترض أن (f (x) ) دالة محددة في جميع القيم في فاصل مفتوح من النموذج ((z، a) ) ، واجعل (L ) رقمًا حقيقيًا. إذا كانت قيم الدالة (f (x) ) تقترب من الرقم الحقيقي (L ) كقيم (x ) (حيث (x

[ lim_ {x to a ^ -} f (x) = L. ]

حد من اليمين:

لنفترض أن (f (x) ) دالة محددة في جميع القيم في فاصل زمني مفتوح من النموذج ((a، c) ) ، واجعل (L ) رقمًا حقيقيًا. إذا كانت قيم الدالة (f (x) ) تقترب من الرقم الحقيقي (L ) كقيم (x ) (حيث (x> a )) اقترب من الرقم (a ) ، ثم نقول أن (L ) هو حد (f (x) ) حيث يقترب (x ) من (a ) من اليمين. من الناحية الرمزية ، نعبر عن هذه الفكرة كـ

[ lim_ {x to a ^ +} f (x) = L. ]

مثال ( PageIndex {4} ): تقييم الحدود من جانب واحد

للدالة (f (x) = start {cases} x + 1، & text {if} x <2 x ^ 2−4، & text {if} x≥2 end {cases} ) ، قم بتقييم كل من الحدود التالية.

  1. (displaystyle lim_ {x to 2 ^ -} f (x))
  2. ( displaystyle lim_ {x to 2 ^ +} f (x) )

حل

يمكننا استخدام جداول القيم الوظيفية مرة أخرى. لاحظ في Table ( PageIndex {6} ) أنه بالنسبة لقيم (x ) أقل من (2 ) ، نستخدم (f (x) = x + 1 ) ولقيم (x) ) أكبر من (2 ) نستخدم (f (x) = x ^ 2−4. )

جدول ( PageIndex {6} )
(س ) (و (س) = س + 1 ) (س ) (و (س) = س ^ 2-4 )
1.92.92.10.41
1.992.992.010.0401
1.9992.9992.0010.004001
1.99992.99992.00010.00040001
1.999992.999992.000010.0000400001

بناءً على هذا الجدول ، يمكننا أن نستنتج أن أ. (displaystyle lim_ {x to 2 ^ -} f (x) = 3) و ب. (displaystyle lim_ {x to 2 ^ +} f (x) = 0). لذلك ، لا يوجد حد (على الوجهين) لـ (f (x) ) في (x = 2 ). يوضح الشكل ( PageIndex {7} ) رسمًا بيانيًا لـ (f (x) ) ويعزز استنتاجنا حول هذه الحدود.

تمرين ( PageIndex {4} )

استخدم جدول القيم الوظيفية لتقدير الحدود التالية ، إن أمكن.

  1. ( displaystyle lim_ {x → 2 ^ -} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} )
  2. ( displaystyle lim_ {x → 2 ^ +} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} )
تلميح

استخدم (x ) - القيم 1.9، 1.99، 1.999، 1.9999، 1.9999 لتقدير ( displaystyle lim_ {x → 2 ^ -} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} ) .

استخدم (x ) - القيم 2.1 ، 2.01 ، 2.001 ، 2.0001 ، 2.00001 لتقدير ( displaystyle lim_ {x → 2 ^ +} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2}. )

(هذه الجداول متوفرة من مشكلة Checkpoint سابقة.)

الحل أ

أ. ( displaystyle lim_ {x → 2 ^ -} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} = - 4 )

الحل ب

( displaystyle lim_ {x → 2 ^ +} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} = 4 )

دعونا نفكر الآن في العلاقة بين نهاية الدالة عند نقطة والحدود من اليمين واليسار عند تلك النقطة. يبدو واضحًا أنه إذا كان الحد من اليمين والحد من اليسار لهما قيمة مشتركة ، فإن هذه القيمة المشتركة هي حد الوظيفة في تلك النقطة. وبالمثل ، إذا كان الحد من اليسار والحد من اليمين يأخذان قيمًا مختلفة ، فإن حد الوظيفة غير موجود. تم تلخيص هذه الاستنتاجات في الملاحظة.

ربط الحدود من جانب واحد وذات جانبين

لنفترض أن (f (x) ) دالة محددة في جميع القيم في فترة زمنية مفتوحة تحتوي على (a ) ، مع استثناء محتمل لـ (a ) نفسها ، وليكن (L ) رقمًا حقيقيًا . ثم،

[ lim_ {x to a} f (x) = L ]

إذا وفقط إذا ( displaystyle lim_ {x to a ^ -} f (x) = L ) و ( displaystyle lim_ {x to a ^ +} f (x) = L ).

حدود لانهائية

يساعدنا تقييم حد دالة عند نقطة ما أو تقييم حد دالة من اليمين واليسار عند نقطة ما على توصيف سلوك دالة حول قيمة معينة. كما سنرى ، يمكننا أيضًا وصف سلوك الوظائف التي ليس لها حدود محدودة.

نوجه انتباهنا الآن إلى (h (x) = 1 / (x − 2) ^ 2 ) ، الوظيفة الثالثة والأخيرة المقدمة في بداية هذا القسم (انظر الشكل ( PageIndex {1} ) ( ج)). من الرسم البياني الخاص به ، نرى أنه مع اقتراب قيم (x ) (2 ) ، تصبح قيم (h (x) = 1 / (x − 2) ^ 2 ) أكبر وأكبر ، وفي حقيقة ، تصبح لانهائية. رياضياً ، نقول إن حد (h (x) ) عندما يقترب (x ) من (2 ) هو ما لا نهاية موجب. من الناحية الرمزية ، نعبر عن هذه الفكرة كـ

[ lim_ {x to 2} h (x) = + ∞. لا يوجد رقم]

بشكل عام ، نحن نحدد حدود لانهائية كما يلي:

التعاريف: حدود لانهائية

نحدد ثلاثة أنواع من حدود لانهائية.

حدود لا نهائية من اليسار: لنفترض أن (f (x) ) دالة محددة في جميع القيم في فاصل زمني مفتوح من النموذج ((b، a) ).

أنا. إذا كانت قيم (f (x) ) تزداد بلا حدود لأن قيم (x ) (حيث (x

ثانيا. إذا كانت قيم (f (x) ) تنخفض بلا حدود حيث أن قيم (x ) (حيث (x

حدود لا نهائية من اليمين: لنفترض أن (f (x) ) دالة محددة في جميع القيم في فاصل زمني مفتوح من النموذج ((a، c) ).

أنا. إذا كانت قيم (f (x) ) تزداد بلا حدود لأن قيم (x ) (حيث (x> a )) تقترب من الرقم (a ) ، فإننا نقول أن الحد هو (x ) النهج (أ ) من اليسار هو ما لا نهاية موجب ونكتب [ lim_ {x إلى a ^ +} f (x) = + ∞. ]

ثانيا. إذا كانت قيم (f (x) ) تنخفض بلا حدود لأن قيم (x ) (حيث (x> a )) تقترب من الرقم (a ) ، فإننا نقول أن الحد هو (x ) النهج (أ ) من اليسار هو ما لا نهاية سالب ونكتب [ lim_ {x إلى a ^ +} f (x) = - ∞. ]

حد لانهائي على الوجهين: دع (f (x) ) يتم تعريفه لجميع (x ≠ a ) في فاصل مفتوح يحتوي على (a )

أنا. إذا كانت قيم (f (x) ) تزداد بلا حدود لأن قيم (x ) (حيث (x ≠ a )) تقترب من الرقم (a ) ، فإننا نقول أن الحد هو (x ) النهج (a ) هو اللانهاية الموجبة ونكتب [ lim_ {x إلى a} f (x) = + ∞. ]

ثانيا. إذا كانت قيم (f (x) ) تنخفض بلا حدود حيث أن قيم (x ) (حيث (x ≠ a )) تقترب من الرقم (a ) ، فإننا نقول أن الحد هو (x ) النهج (a ) هو اللانهاية السالبة ونكتب [ lim_ {x إلى a} f (x) = - ∞. ]

من المهم أن نفهم أنه عندما نكتب عبارات مثل ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = + ∞ ) أو ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = −∞ ) نحن نصف سلوك الوظيفة كما حددناها للتو. نحن لا نؤكد وجود حد. من أجل وجود حد دالة (f (x) ) في (a ) ، يجب أن تقترب من رقم حقيقي (L ) حيث يقترب (x ) من (a ). ومع ذلك ، إذا كان ، على سبيل المثال ، ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = + ∞ ) ، نكتب دائمًا ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = + ∞ ) بدلاً من ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) ) DNE.

مثال ( PageIndex {5} ): التعرف على حد لانهائي

قم بتقييم كل من الحدود التالية ، إن أمكن. استخدم جدول القيم الوظيفية والرسم البياني (f (x) = 1 / x ) لتأكيد استنتاجك.

  1. ( displaystyle lim_ {x to 0 ^ -} frac {1} {x} )
  2. ( displaystyle lim_ {x to 0 ^ +} frac {1} {x} )
  3. ( displaystyle lim_ {x to 0} frac {1} {x} )

حل

ابدأ ببناء جدول القيم الوظيفية.

جدول ( PageIndex {7} )
(س ) ( dfrac {1} {x} ) (س ) ( dfrac {1} {x} )
-0.1-100.110
-0.01-1000.01100
-0.001-10000.0011000
-0.0001-10,0000.000110,000
-0.00001-100,0000.00001100,000
-0.000001-1,000,0000.0000011,000,000

أ. تنخفض قيم (1 / x ) بلا حدود حيث تقترب (x ) من (0 ) من اليسار. نستنتج أن

[ lim_ {x to 0 ^ -} frac {1} {x} = - ∞. nonumber ]

ب. تزداد قيم (1 / x ) بلا حدود حيث تقترب (x ) من (0 ) من اليمين. نستنتج أن

[ lim_ {x to 0 ^ +} frac {1} {x} = + ∞. لا يوجد رقم]

ج. بما أن ( displaystyle lim_ {x to 0 ^ -} frac {1} {x} = - ∞ ) و ( displaystyle lim_ {x to 0 ^ +} frac {1} {x } = + ∞ ) لها قيم مختلفة ، نستنتج ذلك

[ lim_ {x to 0} frac {1} {x} quad text {DNE.} nonumber ]

يؤكد الرسم البياني (f (x) = 1 / x ) في الشكل ( PageIndex {8} ) هذه الاستنتاجات.

تمرين ( PageIndex {5} )

قم بتقييم كل من الحدود التالية ، إن أمكن. استخدم جدول القيم الوظيفية والرسم البياني (f (x) = 1 / x ^ 2 ) لتأكيد استنتاجك.

  1. ( displaystyle lim_ {x to 0 ^ -} frac {1} {x ^ 2} )
  2. ( displaystyle lim_ {x to 0 ^ +} frac {1} {x ^ 2} )
  3. ( displaystyle lim_ {x to 0} frac {1} {x ^ 2} )

تمرين ( PageIndex {6} )

قم بتقييم كل من الحدود التالية. حدد أي خطوط مقاربة عمودية للدالة (f (x) = dfrac {1} {(x − 2) ^ 3} ).

  1. ( displaystyle lim_ {x → 2 ^ -} frac {1} {(x − 2) ^ 3} )
  2. ( displaystyle lim_ {x → 2 ^ +} frac {1} {(x − 2) ^ 3} )
  3. ( displaystyle lim_ {x → 2} frac {1} {(x − 2) ^ 3} )
الإجابة أ

( displaystyle lim_ {x → 2 ^ -} frac {1} {(x − 2) ^ 3} = - ∞ )

الجواب ب

( displaystyle lim_ {x → 2 ^ +} frac {1} {(x − 2) ^ 3} = + ∞ )

الجواب ج

( displaystyle lim_ {x → 2} frac {1} {(x − 2) ^ 3} ) DNE. الخط (x = 2 ) هو الخط المقارب العمودي لـ (f (x) = 1 / (x − 2) ^ 3. )

في المثال التالي نضع معرفتنا بأنواع مختلفة من الحدود لاستخدامها في تحليل سلوك وظيفة في عدة نقاط مختلفة.

مثال ( PageIndex {7} ): سلوك وظيفة في نقاط مختلفة

استخدم الرسم البياني (f (x) ) في الشكل ( PageIndex {10} ) لتحديد كل من القيم التالية:

  1. ( displaystyle lim_ {x to −4 ^ -} f (x) )؛ ( displaystyle lim_ {x to −4 ^ +} f (x) )؛ ( displaystyle lim_ {x → −4} f (x)؛؛ f (−4) )
  2. ( displaystyle lim_ {x to −2 ^ -} f (x )) ؛ ( displaystyle lim_ {x to −2 ^ +} f (x) )؛ ( displaystyle lim_ {x → −2} f (x)؛؛ f (−2) )
  3. ( displaystyle lim_ {x to 1 ^ -} f (x) )؛ ( displaystyle lim_ {x to 1 ^ +} f (x) )؛ ( displaystyle lim_ {x to 1} f (x)؛؛ f (1) )
  4. ( displaystyle lim_ {x to 3 ^ -} f (x) )؛ ( displaystyle lim_ {x to 3 ^ +} f (x) )؛ ( displaystyle lim_ {x to 3} f (x)؛؛ f (3) )

حل

باستخدام التعريفات أعلاه والرسم البياني كمرجع ، نصل إلى القيم التالية:

  1. ( displaystyle lim_ {x to −4 ^ -} f (x) = 0 )؛ ( displaystyle lim_ {x to −4 ^ +} f (x) = 0 )؛ ( displaystyle lim_ {x to −4} f (x) = 0؛ ؛ f (−4) = 0 )
  2. ( displaystyle lim_ {x to −2 ^ -} f (x) = 3 )؛ ( displaystyle lim_ {x to −2 ^ +} f (x) = 3 )؛ ( displaystyle lim_ {x to −2} f (x) = 3؛ ؛ f (−2) ) غير محدد
  3. ( displaystyle lim_ {x to 1 ^ -} f (x) = 6 )؛ ( displaystyle lim_ {x to 1 ^ +} f (x) = 3 )؛ ( displaystyle lim_ {x to 1} f (x) ) DNE؛ (و (1) = 6 )
  4. ( displaystyle lim_ {x to 3 ^ -} f (x) = - ∞ )؛ ( displaystyle lim_ {x to 3 ^ +} f (x) = - ∞ )؛ ( displaystyle lim_ {x to 3} f (x) = - ∞ )؛ (f (3) ) غير محدد

تمرين ( PageIndex {7} )

أوجد قيمة ( displaystyle lim_ {x to 1} f (x) ) من أجل (f (x) ) الموضحة هنا:

تلميح

قارن بين النهاية اليمنى والنهاية اليسرى.

إجابه

( displaystyle lim_ {x to 1} f (x) ) غير موجود

مثال ( PageIndex {8} ): معادلة آينشتاين

في افتتاح الفصل ، ذكرنا بإيجاز كيف أظهر ألبرت أينشتاين أن هناك حدًا لمدى سرعة تحرك أي جسم. بالنظر إلى معادلة أينشتاين لكتلة الجسم المتحرك

[m = dfrac {m_0} { sqrt {1− frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} ، nonumber ]

ما هي قيمة هذا الالتزام؟

حل

نقطة البداية لدينا هي معادلة أينشتاين لكتلة الجسم المتحرك ،

[m = dfrac {m_0} { sqrt {1− frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} ، nonumber ]

حيث (m_0 ) هي كتلة الجسم في حالة السكون ، و (v ) هي سرعته ، و (ج ) هي سرعة الضوء. لمعرفة كيف تتغير الكتلة بسرعات عالية ، يمكننا رسم بياني لنسبة الكتل (م / م_0 ) كدالة لنسبة السرعات ، (ت / ج ) (الشكل ( فهرس الصفحة {13} ) )).

يمكننا أن نرى أنه مع اقتراب نسبة السرعات من 1 - أي عندما تقترب سرعة الجسم من سرعة الضوء - تزداد نسبة الكتل بدون قيود. بمعنى آخر ، الوظيفة لها خط مقارب عمودي في (v / c = 1 ). يمكننا تجربة بعض قيم هذه النسبة لاختبار هذه الفكرة.

جدول ( PageIndex {8} )
(ت / ج ) ( sqrt {1- frac {v ^ 2} {c ^ 2}} ) (م / م_و )
0.990.14117.089
0.9990.044722.37
0.99990.014170.7

وبالتالي ، وفقًا للجدول ( PageIndex {8} ): إذا كان جسم كتلته 100 كجم يتحرك عند 0.9999c ، تصبح كتلته 7071 كجم. نظرًا لأنه لا يمكن لأي جسم أن يكون له كتلة لا نهائية ، فإننا نستنتج أنه لا يمكن لأي جسم أن ينتقل بسرعة الضوء أو تزيد عنها.

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن استخدام جدول القيم أو الرسم البياني لتقدير حد.
  • إذا كان حد الدالة في نقطة ما غير موجود ، فلا يزال من الممكن أن تكون الحدود من اليسار واليمين موجودة في تلك النقطة.
  • إذا كانت حدود الدالة من اليسار واليمين موجودة ومتساوية ، فإن نهاية الدالة هي تلك القيمة المشتركة.
  • قد نستخدم حدودًا لوصف السلوك اللانهائي لوظيفة ما في نقطة ما.

المعادلات الرئيسية

  • التعريف الحدسي

( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = L )

  • حدان مهمان

( displaystyle lim_ {x to a} x = a qquad lim_ {x to a} c = c )

  • حدود من جانب واحد

( displaystyle lim_ {x to a ^ -} f (x) = L qquad lim_ {x to a ^ +} f (x) = L )

  • حدود لا نهائية من اليسار

( displaystyle lim_ {x to a ^ -} f (x) = + ∞ qquad lim_ {x to a ^ -} f (x) = - ∞ )

  • حدود لا نهائية من اليمين

( displaystyle lim_ {x to a ^ +} f (x) = + ∞ qquad lim_ {x to a ^ +} f (x) = - ∞ )

  • حدود لانهائية على الوجهين

( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = + ∞ ): ( displaystyle lim_ {x to a ^ -} f (x) = + ∞) and ( displaystyle lim_ {x to a ^ +} f (x) = + ∞ )

( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = - ∞ ): ( displaystyle lim_ {x to a ^ -} f (x) = - ∞) and ( displaystyle lim_ {x to a ^ +} f (x) = - ∞ )

قائمة المصطلحات

حد لانهائي
الوظيفة لها حد لانهائي عند نقطة (أ ) إذا كانت تزيد أو تنقص بلا حدود عندما تقترب من (أ )
تعريف حدسي للحد
إذا اقتربت جميع قيم الوظيفة (f (x) ) من الرقم الحقيقي (L ) كقيم (x (≠ a) ) تقترب من a ، (f (x) ) تقترب من L
حد من جانب واحد
الحد أحادي الجانب للدالة هو حد مأخوذ من اليسار أو اليمين
الخط المقارب الرأسي
دالة لها خط مقارب عمودي عند (س = أ ) إذا كان الحد عند (س ) يقترب (أ ) من اليمين أو اليسار لا نهائي


شاهد الفيديو: Limit of a Function (ديسمبر 2021).