مقالات

6.5: المثلث القائم الزاوية


مهارات التطوير

  • استخدم المثلثات القائمة الزاوية لتقييم الدوال المثلثية.
  • ابحث عن قيم دالة لـ 30 ° ( left ( dfrac { pi} {6} right) ) ، و 45 ° ( left ( dfrac { pi} {4} right) ) ، و 60 ° ( left ( dfrac { pi} {3} right) ).
  • استخدم دوال مشتركة متساوية للزوايا التكميلية.
  • استخدم تعريفات الدوال المثلثية لأي زاوية.
  • استخدم حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لحل المشكلات التطبيقية.

جبل. جبل إيفرست ، الذي يقع على الحدود بين الصين ونيبال ، هو أعلى جبل في العالم. قياس ارتفاعه ليس بالمهمة السهلة ، وفي الواقع ، كان القياس الفعلي مصدرًا للجدل لمئات السنين. تتضمن عملية القياس استخدام المثلثات وفرع الرياضيات المعروف باسم علم المثلثات. في هذا القسم ، سوف ندرس الدوال المثلثية وكيفية ارتباطها بأضلاع المثلث القائم ؛ واكتشف كيف يمكن استخدامها لقياس الارتفاعات ، مثل تلك الموجودة في أعلى الجبال. يُطلب منك حل مسائل التعامل مع المثلثات القائمة الزاوية والدوال المثلثية في WeBWorK في الواجب بعنوان "الفصل 6.3."

لقد حددنا سابقًا الجيب وجيب التمام لزاوية من حيث إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي يتقاطع معها الضلع النهائي للزاوية:

[ start {align *} cos (t) & = x sin (t) & = y end {align *} ]

في هذا القسم ، سنرى طريقة أخرى لتعريف الدوال المثلثية باستخدام خصائص مثلثات قائمة.

استخدام المثلثات القائمة في حساب الدوال المثلثية

في الأقسام السابقة ، استخدمنا دائرة وحدة لتعريف الدوال المثلثية. في هذا القسم ، سوف نطبق تلك التعريفات على المثلثات القائمة الزاوية بجميع الأحجام. قيمة دالة الجيب أو جيب التمام لـ (t ) هي قيمتها عند (t ) راديان. أولًا ، علينا إنشاء مثلث قائم الزاوية. يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) نقطة على دائرة وحدة نصف قطرها 1. إذا أسقطنا مقطعًا خطيًا رأسيًا من النقطة ((س ، ص) ) إلى x-المحور ، لدينا مثلث قائم الزاوية طول ضلعه الرأسي (ص ) وطوله الأفقي (س ). يمكننا استخدام هذا المثلث القائم الزاوية لإعادة تعريف الجيب وجيب التمام والدوال المثلثية الأخرى كنسب لأضلاع مثلث قائم الزاوية.

الشكل ( PageIndex {1} )

نعلم

[ cos (t) = frac {x} {1} = x nonumber ]

وبالمثل ، نحن نعلم

[ sin (t) = frac {y} {1} = y nonumber ]

لا تزال هذه النسب تنطبق على جوانب المثلث القائم عند عدم وجود دائرة وحدة متضمنة وعندما لا يكون المثلث في الوضع القياسي ولا يتم رسمه باستخدام الإحداثيات ((س ، ص) ). لتكون قادرًا على استخدام هذه النسب بحرية ، سنعطي الأضلاع أسماء عامة أكثر: بدلاً من (x ) ، سنسمي الضلع بين الزاوية المعطاة والزاوية اليمنى الجانب المجاور لزاوية (ر ). (يعني المجاور "بجانب.") بدلاً من (y ) ، سنطلق على الضلع الأبعد عن الزاوية المعطاة الجانب المعاكس من الزاوية (ر ). وبدلاً من (1 ) ، سنسمي ضلع المثلث القائم المقابل للزاوية القائمة بـ وتر. تمت تسمية هذه الجوانب في الشكل ( PageIndex {2} ).

( PageIndex {2} ): جوانب المثلث القائم الزاوية بالنسبة للزاوية (t ).

فهم علاقات المثلث القائم

إعطاء مثلث قائم الزاوية بزاوية حادة مقدارها (t ) ،

[ start {align *} sin (t) & = dfrac { text {المقابل}} { text {hypotenuse}} cos (t) & = dfrac { text {المجاور}} { text {hypotenuse}} tan (t) & = dfrac { text {المقابل}} { text {المجاور}} end {align *} ]

يعد SohCahToa أحد الرموز الشائعة لتذكر هذه العلاقات ، ويتكون من الأحرف الأولى من "سine هو اوضع أكثر حypotenuse ، جأوسين هو أتجاور أكثر حypotenuse ، تيangent هو اوضع أكثر أتجاور. "

إذا عرفنا أضلاع المثلث القائم ، يمكننا حساب المخرجات المثلثية لزاوية دون معرفة الزاوية نفسها.

بالنظر إلى أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية وأحد الزوايا الحادة ، أوجد الجيب وجيب التمام والظل لهذه الزاوية

  1. أوجد الجيب كنسبة الضلع المقابل على الوتر.
  2. أوجد جيب التمام كنسبة الضلع المجاور على الوتر.
  3. أوجد المماس هو نسبة الضلع المقابل على الضلع المجاور.

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد قيمة دالة مثلثية لمثلث قائم الزاوية

بالنظر إلى المثلث الموضح في الشكل ( PageIndex {3} ) ، أوجد قيمة (cos ( alpha) ).

( PageIndex {3} )

حل

الضلع المجاور للزاوية يساوي 15 ، ووتر المثلث 17 ، إذن:

[ begin {align *} cos (α) = dfrac { text {المجاور}} { text {hypotenuse}} & = dfrac {15} {17} end {align *} ]

( PageIndex {1} ) بالنظر إلى المثلث الموضح في الشكل ( PageIndex {4} ) ، أوجد قيمة ( sin t ).

الشكل ( PageIndex {4} )

إجابه

( فارك {7} {25} )

ربط الزوايا ووظائفها

عند العمل بالمثلثات القائمة ، تنطبق نفس القواعد بغض النظر عن اتجاه المثلث. في الواقع ، يمكننا تقييم الدوال المثلثية الست لأي من الزاويتين الحادتين في المثلث في الشكل ( PageIndex {5} ). الضلع المقابل لإحدى الزوايا الحادة هو الضلع المجاور للزاوية الحادة الأخرى ، والعكس صحيح.

الشكل ( PageIndex {5} ): الضلع المجاور لزاوية ما يقابل الآخر.

سيطلب منا إيجاد جميع الدوال المثلثية الست لزاوية معطاة في مثلث. استراتيجيتنا هي إيجاد الجيب وجيب التمام والظل للزوايا أولاً. بعد ذلك ، يمكننا إيجاد الدوال المثلثية الأخرى بسهولة لأننا نعلم أن مقلوب الجيب هو قاطع التمام ، ومقلوب جيب التمام قاطع ، ومقلوب الظل هو ظل التمام.

بالنظر إلى أطوال أضلاع المثلث القائم ، أوجد الدوال المثلثية الست لإحدى الزوايا الحادة.

  1. إذا لزم الأمر ، ارسم المثلث الأيمن وقم بتسمية الزاوية المتوفرة.
  2. حدد الزاوية ، والضلع المجاور ، والضلع المقابل للزاوية ، ووتر المثلث القائم.
  3. ابحث عن الوظيفة المطلوبة:
    • الجيب كنسبة الضلع المقابل على الوتر
    • جيب التمام كنسبة الضلع المجاور على الوتر
    • الظل هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور
    • cosecant كنسبة الوتر إلى الضلع المقابل
    • secant كنسبة الوتر إلى الضلع المجاور
    • ظل التمام هو نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل

مثال ( PageIndex {2} ): إيجاد قيمة الدوال المثلثية للزوايا التي ليست في الوضع القياسي

باستخدام المثلث الموضح في الشكل ( PageIndex {6} ) ، قم بتقييم ( sin (α) ، cos (α) ، tan (α) ، sec (α) ، csc (α) ، ) و ( سرير الأطفال (α) ).

الشكل ( PageIndex {6} )

حل

[ start {align *} sin (α) & = dfrac { text {المقابل} α} { text {hypotenuse}} = dfrac {4} {5} cos (α) & = dfrac { text {المجاور} α} { text {hypotenuse}} = dfrac {3} {5} tan (α) & = dfrac { text {المقابل} α} { text { المجاور لـ} α} = dfrac {4} {3} csc (α) & = dfrac { text {الوتر}} { text {المقابل} α} = dfrac {5} {4} ثانية (α) & = dfrac { text {hypotenuse}} { text {المجاور} α} = dfrac {5} {3} cot (α) & = dfrac { text { بجوار} α} { text {الجهة المقابلة} α} = dfrac {3} {4} end {align *} ]

( PageIndex {2} ) باستخدام المثلث الموضح في الشكل ( PageIndex {7} ) ، قم بتقييم ( sin (t)، cos (t)، tan (t)، sec (t) ) و csc (t) و ) و ( cot (t) ).

الشكل ( PageIndex {7} )

إجابه

( start {align *} sin (t) & = frac {33} {65}، cos (t) = frac {56} {65}، tan (t) = frac {33} {56}، csc (t) = frac {65} {33}، sec (t) & = frac {65} {56}، cot (t) = frac {56} {33} end {align *} )

إيجاد الدوال المثلثية للزوايا الخاصة باستخدام أطوال الأضلاع

لقد ناقشنا بالفعل الدوال المثلثية من حيث صلتها بـ زوايا خاصة على دائرة الوحدة. الآن ، يمكننا استخدام تلك العلاقات لإيجاد قيمة المثلثات التي تحتوي على تلك الزوايا الخاصة. نقوم بهذا لأننا عندما نقيم الزوايا الخاصة في الدوال المثلثية ، فإن لها قيمًا صديقة نسبيًا ، وهي قيم لا تحتوي على جذر تربيعي واحد أو تحتوي على جذر تربيعي واحد فقط في النسبة. لذلك ، غالبًا ما تستخدم هذه الزوايا في مسائل الرياضيات والعلوم. سنستخدم مضاعفات (30 درجة ، 60 درجة ، ) و (45 درجة ) ، ومع ذلك ، تذكر أنه عند التعامل مع المثلثات القائمة ، فإننا مقيدون بالزوايا الواقعة بين (0 درجة نص {و} 90 درجة ).

لنفترض أن لدينا مثلث (30 ° ، 60 ° ، 90 ° ) ، والذي يمكن وصفه أيضًا بأنه ( frac {π} {6} ، frac {π} {3} ، frac {π} {2} ) مثلث. الأضلاع لها أطوال في العلاقة (s ، sqrt {3} s ، 2s. ) جوانب المثلث (45 درجة ، 45 درجة ، 90 درجة ) ، والتي يمكن وصفها أيضًا بأنها ( frac {π} {4} ، frac {π} {4} ، frac {π} {2} ) مثلث ، له أطوال في العلاقات (s ، s ، sqrt {2} s. ) هذه تظهر العلاقات في الشكل ( PageIndex {8} ). لاحظ أننا وضعنا مثلثاتنا داخل دائرة مركزها نقطة الأصل ، مع وضع إحدى زواياها الخاصة في موضع قياسي. كل دائرة لها نصف قطر غير معروف ، ليس بالضرورة 1، والذي يصبح الوتر لكل مثلث.

الشكل ( PageIndex {8} ): أطوال أضلاع المثلثات الخاصة

يمكننا بعد ذلك استخدام نسب أطوال الأضلاع لحساب الدوال المثلثية للزوايا الخاصة.

عند إعطاء زاوية خاصة ، أوجد الدوال المثلثية باستخدام أطوال الأضلاع.

  1. استخدم أطوال الأضلاع الموضحة في الشكل ( PageIndex {8} ) للزاوية الخاصة التي تريد تقييمها.
  2. استخدم نسبة أطوال الأضلاع المناسبة للدالة التي ترغب في تقييمها.

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد قيمة الدوال المثلثية للزوايا الخاصة باستخدام أطوال الأضلاع

أوجد القيمة الدقيقة للدوال المثلثية لـ ( frac {π} {3} ) باستخدام أطوال الأضلاع.

حل

[ start {align *} sin ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {opp}} { text {hyp}} = dfrac { sqrt {3} s} { 2s} = dfrac { sqrt {3}} {2} cos ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {adjustment}} { text {hyp}} = dfrac {s} {2s} = dfrac {1} {2} tan ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {opp}} { text {adjustment}} = dfrac { sqrt {3} s} {s} = sqrt {3} csc ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {hyp}} { text {opp}} = dfrac {2s} { sqrt {3} s} = dfrac {2} { sqrt {3}} = dfrac {2 sqrt {3}} {3} sec ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {hyp}} { text {adjustment}} = dfrac {2s} {s} = 2 cot ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {adv}} { text {opp}} = dfrac {s} { sqrt {3} s} = dfrac {1} { sqrt {3}} = dfrac { sqrt {3 }} {3} end {محاذاة *} ]

تحليل

نظرًا لأن الدوائر في الشكل ( PageIndex {8} ) لم تعد دوائر وحدة ، ( sin ( dfrac {π} {3}) ) و ( cos ( dfrac {π} {3} ) ) لا يمكن تحديده من ((x، y) ) - إحداثيات النقطة على محيط الدائرة. ومع ذلك ، تظل الزوايا كما هي ، وبالتالي ستظل مخرجاتها المثلثية كما هي.

يتيح لنا ذلك استخدام نسب الجيب وجيب التمام لحساب تلك ((x، y) ) - الإحداثيات: (y = 2s sin ( dfrac {π} {3}) ) ، و (x = 2 ثانية cos ( dfrac {π} {3}) ). بشكل عام ، بالنظر إلى دائرة نصف قطرها (r ) متمركزة في الأصل ونقطة (P ) على المحيط ، فإن ((x ، y) ) - إحداثيات (P ) هي ( (r cos theta، r sin theta) ) ، حيث ( theta ) هي الزاوية في الوضع القياسي التي يمر جانبها الطرفي (P ).

( PageIndex {3} ) أوجد القيمة الدقيقة للدوال المثلثية لـ ( frac {π} {4} ) ، باستخدام أطوال الأضلاع.

أوجد القيمة الدقيقة للدوال المثلثية لـ ( frac {π} {4} ) باستخدام أطوال الأضلاع.

إجابه

( sin ( dfrac {π} {4}) = dfrac { sqrt {2}} {2}، cos ( dfrac {π} {4}) = dfrac { sqrt {2}} {2}، tan ( dfrac {π} {4}) = 1، )
( sec ( dfrac {π} {4}) = sqrt {2}، csc ( dfrac {π} {4}) = sqrt {2}، cot ( dfrac {π} {4 }) = 1 )

علاقة دالة مشتركة للزوايا التكميلية

إذا نظرنا عن كثب إلى العلاقة بين الجيب وجيب التمام للزوايا الخاصة بالنسبة لدائرة الوحدة ، فسنلاحظ وجود نمط. في المثلث القائم الزاوية بزاوية ( frac {π} {6} ) و ( frac {π} {3} ) ، نرى أن جيب ( frac {π} {3} ) ، وبالتحديد ( frac { sqrt {3}} {2} ) ، هو أيضًا جيب تمام ( frac {π} {6} ) ، بينما جيب ( frac {π} { 6} ) ، أي ( frac {1} {2} ، ) هو أيضًا جيب تمام ( frac {π} {3} ). راجع الشكل ( PageIndex {9} ).

[ start {align *} sin frac {π} {3} & = cos frac {π} {6} = frac { sqrt {3} s} {2s} = frac { sqrt {3}} {2} sin frac {π} {6} & = cos frac {π} {3} = frac {s} {2s} = frac {1} {2} نهاية {محاذاة *} ]

الشكل ( PageIndex {9} ): جيب ( frac {π} {3} ) يساوي جيب تمام ( frac {π} {6} ) والعكس صحيح.

لا ينبغي أن تكون هذه النتيجة مفاجئة لأنه ، كما نرى من الشكل ( PageIndex {9} ) ، فإن الضلع المقابل لزاوية ( frac {π} {3} ) هو أيضًا الضلع المجاور لـ ( frac {π} {6} ) ، لذلك ( sin ( frac {π} {3}) ) و ( cos ( frac {π} {6}) ) هما نفس نسبة نفس الجانبين ، ( sqrt {3} s ) و (2s. ) بالمثل ، ( cos ( frac {π} {3}) ) و ( sin ( frac {π } {6}) ) هي أيضًا نفس النسبة باستخدام نفس الضلع ، (s ) و (2s ).

العلاقة المتبادلة بين الجيب وجيب التمام لـ ( frac {π} {6} ) و ( frac {π} {3} ) تنطبق أيضًا على الزاويتين الحادتين في أي مثلث قائم الزاوية ، لأنه في كل حالة ، تشكل النسبة بين نفس الضلعين جيب الزاوية وجيب الزاوية الأخرى. نظرًا لأن الزوايا الثلاث للمثلث تُجمع إلى π ، والزاوية القائمة هي ( frac {π} {2} ) ، يجب أن يكون مجموع الزاويتين المتبقيتين حتى ( frac {π} {2} ) . هذا يعني أنه يمكن تكوين مثلث قائم الزاوية بأي زاويتين تضيفان إلى ( frac {π} {2} ) - بعبارة أخرى ، أي زاويتين متكاملتين. لذلك قد نذكر أ هوية الوظيفة المشتركة: إذا كانت أي زاويتين متكاملتين ، فإن جيب أحدهما هو جيب تمام الآخر ، والعكس صحيح. هذه الهوية موضحة في الشكل ( PageIndex {10} ). في الواقع ، هذه المطابقة ، بالإضافة إلى المطابقات الأخرى الواردة في Table ( PageIndex {1} ) ، تنطبق على أي زاوية ، وليس فقط الزوايا الحادة.

الشكل ( PageIndex {10} ): هوية دالة مشتركة لجيب وجيب جيب التمام للزوايا التكميلية

باستخدام هذه المتطابقة ، يمكننا القول دون حساب ، على سبيل المثال ، أن جيب ( frac {π} {12} ) يساوي جيب تمام ( frac {5π} {12} ) ، وأن الجيب من ( frac {5π} {12} ) يساوي جيب تمام ( frac {π} {12} ). يمكننا أيضًا تحديد أنه لزاوية معينة (t، cos t = frac {5} {13}، ) ثم ( sin ( frac {π} {2} −t) = frac {5} {13} ) أيضًا. كما أن هويات الوظيفة المشتركة تنطبق أيضًا على القاطع وقاطع التمام ، والظل والظل.

هويات التعارف

ال هويات الوظيفة المشتركة لأي زاوية (t ) معطاة بالتقدير الدائري مذكورة في Table ( PageIndex {1} ).

جدول ( PageIndex {1} )

[ cos t = sin ( frac {π} {2} −t) nonumber ]

[ sin t = cos ( dfrac {π} {2} −t) nonumber ]

[ tan t = cot ( dfrac {π} {2} −t) nonumber ]

[ cot t = tan ( dfrac {π} {2} −t) nonumber ]

[ sec t = csc ( dfrac {π} {2} −t) nonumber ]

[ csc t = sec ( dfrac {π} {2} −t) nonumber ]

مثال ( PageIndex {4} ):

استخدام هويات الوظيفة المشتركة

إذا ( sin t = frac {5} {12}، ) ابحث عن ( cos left ( frac {π} {2} −t right) ).

حل

وفقًا لهويات الوظيفة المشتركة للجيب وجيب التمام ،

[ sin (t) = cos ( dfrac {π} {2} −t). لا يوجد رقم]

وبالتالي

[ cos ( dfrac {π} {2} −t) = dfrac {5} {12}. لا يوجد رقم]

( PageIndex {4} ):

إذا ( csc ( frac {π} {6}) = 2، ) ابحث عن ( sec ( frac {π} {3}). )

إجابه

2

استخدام الدوال المثلثية

في الأمثلة السابقة ، قيمنا الجيب وجيب التمام في المثلثات حيث عرفنا الأضلاع الثلاثة. لكن القوة الحقيقية لعلم المثلثات للمثلث القائم الزاوية تظهر عندما ننظر إلى المثلثات التي نعرف زاوية فيها ولكننا لا نعرف كل الأضلاع.

بمثلث قائم ، طول ضلع واحد ، وقياس زاوية حادة ، أوجد الأضلاع المتبقية.

  1. لكل جانب ، حدد الدالة المثلثية التي لها جانب مجهول إما البسط أو المقام. سيكون الضلع المعروف بدوره هو المقام أو البسط.
  2. اكتب معادلة تحدد قيمة دالة الزاوية المعروفة التي تساوي نسبة الأضلاع المتناظرة.
  3. باستخدام قيمة الدالة المثلثية وطول الضلع المعروف ، أوجد طول الضلع المفقود.

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد أطوال الأضلاع المفقودة باستخدام النسب المثلثية

أوجد جوانب المثلث المجهولة في الشكل ( PageIndex {11} ).

الشكل ( PageIndex {11} )

حل

نعرف الزاوية والضلع المقابل ، لذا يمكننا استخدام المماس لإيجاد الضلع المجاور.

[ tan (30 °) = dfrac {7} {a} nonumber ]

نستخدم الجبر لإيجاد قيمة (أ ).

[ start {align *} a & = dfrac {7} { tan (30 °)} & almost 12.1 end {align *} ]

يمكننا استخدام الجيب لإيجاد الوتر.

[ sin (30 °) = dfrac {7} {c} nonumber ]

مرة أخرى ، نستخدم الجبر لحل قيمة (ج ).

[ start {align *} c & = dfrac {7} { sin (30 °)} = 14 end {align *} ]

( PageIndex {5} ):

المثلث القائم الزاوية له زاوية واحدة قياسها ( frac {π} {3} ) ووتر طوله 20. أوجد أضلاع المثلث وزاويته المجهولة.

إجابه

( mathrm {المجاور = 10 ؛ المقابل = 10 sqrt {3} ؛} ) الزاوية المفقودة ( frac {π} {6} )

استخدام حساب المثلثات القائم الزاوية لحل المسائل التطبيقية

علم المثلثات للمثلث الأيمن له العديد من التطبيقات العملية. على سبيل المثال ، فإن القدرة على حساب أطوال أضلاع المثلث تجعل من الممكن العثور على ارتفاع كائن طويل دون الصعود إلى القمة أو الاضطرار إلى تمديد شريط قياس بطول ارتفاعه. نقوم بذلك بقياس المسافة من قاعدة الجسم إلى نقطة على الأرض تبعد مسافة ما ، حيث يمكننا النظر إلى أعلى الجسم الطويل بزاوية. ال زاوية الارتفاع كائن فوق مراقب بالنسبة إلى المراقب هي الزاوية بين الأفقي والخط من الكائن إلى عين المراقب. يحتوي المثلث الأيمن الذي ينشئه هذا الموضع على جوانب تمثل الارتفاع غير المعروف والمسافة المقاسة من القاعدة وخط الرؤية المائل من الأرض إلى الجزء العلوي من الكائن. بمعرفة المسافة المقاسة لقاعدة الجسم وزاوية خط البصر ، يمكننا استخدام الدوال المثلثية لحساب الارتفاع غير المعروف. وبالمثل ، يمكننا تكوين مثلث من أعلى جسم طويل بالنظر إلى الأسفل. ال زاوية الاكتئاب من كائن أسفل مراقب بالنسبة إلى المراقب هي الزاوية بين الأفقي والخط من الكائن إلى عين المراقب. راجع الشكل ( PageIndex {12} ).

الشكل ( PageIndex {12} )

بالنظر إلى جسم طويل ، قم بقياس ارتفاعه بشكل غير مباشر.

  1. قم بعمل رسم تخطيطي لحالة المشكلة لتتبع المعلومات المعروفة وغير المعروفة.
  2. ضع مسافة مُقاسة من قاعدة الكائن إلى نقطة يكون فيها الجزء العلوي من الكائن مرئيًا بوضوح.
  3. في الطرف الآخر من المسافة المقاسة ، انظر إلى أعلى الجسم. قم بقياس الزاوية التي يصنعها خط الرؤية مع الأفقي.
  4. اكتب معادلة تتعلق بالارتفاع المجهول والمسافة المقاسة وظل زاوية خط البصر.
  5. حل معادلة الارتفاع المجهول.

مثال ( PageIndex {6} ): قياس المسافة بشكل غير مباشر

للعثور على ارتفاع الشجرة ، يمشي الشخص إلى نقطة 30 قدمًا من قاعدة الشجرة. تقيس زاوية 57 درجة بين خط الرؤية لأعلى الشجرة والأرض ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {13} ). أوجد ارتفاع الشجرة.

الشكل ( PageIndex {13} )

حل

نعلم أن زاوية الارتفاع (57 ° ) وطول الضلع المجاور 30 ​​قدمًا. الضلع المقابل هو الارتفاع غير المعروف.

الدالة المثلثية التي تربط الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها هي المماس. لذلك سنذكر معلوماتنا من حيث ظل (57 درجة ) ، مع ترك (ح ) الارتفاع غير المعروف.

[ start {array} {cl} tan θ = dfrac { text {الجهة المقابلة}} { text {المجاور}} & text {} tan (57 °) = dfrac {h} { 30} & text {حل من أجل} h. h = 30 tan (57 °) & text {Multiply.} h≈46.2 & text {Use a calculator.} end {array} nonumber ]

يبلغ طول الشجرة 46 قدمًا تقريبًا.

( PageIndex {6} ):

ما هي المدة التي يحتاجها السلم للوصول إلى حافة النافذة بارتفاع 50 قدمًا عن سطح الأرض إذا كان السلم يرتكز على المبنى بحيث يصنع زاوية ( frac {5π} {12} ) مع الأرض؟ قرّب لأقرب قدم.

إجابه

حوالي 52 قدم

قم بزيارة هذا الموقع للحصول على أسئلة تدريب إضافية من Learningpod.

المعادلات الرئيسية

هويات الوظيفة المشتركة [ start {align *} cos t & = sin ( frac {π} {2} −t) sin t & = cos ( frac {π} {2} −t) tan t & = cot ( frac {π} {2} −t) cot t & = tan ( frac {π} {2} −t) sec t & = csc ( frac {π} {2} −t) csc t & = sec ( frac {π} {2} −t) end {align *} ]

المفاهيم الرئيسية

  • يمكننا تعريف الدوال المثلثية كنسب أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية.
  • يمكن استخدام نفس أطوال الأضلاع لتقييم الدوال المثلثية لأي زاوية حادة في مثلث قائم الزاوية.
  • يمكننا تقييم الدوال المثلثية للزوايا الخاصة ، مع معرفة أطوال أضلاع المثلثات التي تحدث فيها.
  • أي زاويتين متكاملتين يمكن أن تكون الزاويتين الحادتين لمثلث قائم الزاوية.
  • إذا كانت زاويتان متكاملتان ، فإن متطابقات الوظيفة المشتركة تنص على أن جيب أحدهما يساوي جيب تمام الآخر والعكس صحيح.
  • يمكننا استخدام الدوال المثلثية لزاوية لإيجاد أطوال أضلاع غير معروفة.
  • حدد الدالة المثلثية التي تمثل نسبة الضلع المجهول إلى الجانب المعروف.
  • يسمح علم المثلثات للمثلث الأيمن بقياس الارتفاعات والمسافات التي يتعذر الوصول إليها.
  • يمكن إيجاد الارتفاع أو المسافة غير المعروفة من خلال إنشاء مثلث قائم الزاوية يكون فيه الارتفاع أو المسافة غير المعروفة أحد أضلاعه ، ويكون الجانب الآخر والزاوية معروفين.
الجانب المجاور
في المثلث القائم ، الضلع بين زاوية معينة والزاوية القائمة
زاوية الاكتئاب
الزاوية بين الأفقي والخط من الكائن إلى عين المراقب ، بافتراض أن الكائن يقع في مستوى أدنى من المراقب
زاوية الارتفاع
الزاوية بين الأفقي والخط من الكائن إلى عين المراقب ، بافتراض وضع الكائن أعلى من الراصد
الجانب المعاكس
في مثلث قائم الزاوية ، وهو الضلع الأكثر بعدًا عن زاوية معينة
وتر
ضلع المثلث القائم المقابل للزاوية القائمة

التحميل الان!

لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، ستحصل على إجابات ملائمة مع درس قياس المثلثات 6 5 T Right Triangle Trigonometry Lesson 1 Exploring Pdf. للبدء في العثور على 6 5 T Right Triangle Trigonometry Lesson 1 Exploring Pdf ، أنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

أخيرًا ، حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا على كل درس حساب المثلثات القائم الزاوية 6 5 تيرابايت 1 استكشاف ملف PDF الذي يمكنني الحصول عليه الآن!

لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

wtf هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

wtffff أنا لا أفهم هذا!

ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


التحميل الان!

لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، لديك إجابات مناسبة مع درس قياس المثلثات 6 5 T Right Triangle Trigonometry Lesson 1 Exploring Pdf. للبدء في العثور على 6 5 T Right Triangle Trigonometry Lesson 1 Exploring Pdf ، أنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

أخيرًا ، حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا على كل درس حساب المثلثات القائم الزاوية 6 5 تيرابايت 1 استكشاف ملف PDF الذي يمكنني الحصول عليه الآن!

لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

wtf هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

wtffff أنا لا أفهم هذا!

ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


تطبيق دوال المثلث على زوايا الدوران

الربع الأول والثالث. يمكنك استخدام مخطط CAST الذي يخبرك بمربعات الزوايا الموجبة. بمعنى آخر. cos (ومقلوبها ثانية) هي + في الربع الرابع ، كلهم ​​+ في الربع الأول ، sin (وجيب التمام المقلوب) + في 2nd و tan و cot + في 3rd.

إجابه:

تفسير:

في الرياضيات ، دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها واحد. في علم المثلثات ، دائرة الوحدة هي دائرة نصف القطر التي تتمحور حول نقطة الأصل (0 ، 0) في نظام الإحداثيات الديكارتية في المستوى الإقليدي.

الهدف من دائرة الوحدة هو أنها تجعل الأجزاء الأخرى من الرياضيات أسهل وأكثر إتقانًا. على سبيل المثال ، في دائرة الوحدة ، لأي زاوية θ ، من الواضح أن القيم المثلثية للجيب وجيب التمام ليست أكثر من الخطيئة (θ) = y و cos (θ) = x. . زوايا معينة لها قيم مثلثية "لطيفة".

محيط دائرة الوحدة هو # 2pi #. طول قوس دائرة الوحدة هو نفس طول قياس الزاوية المركزية التي تعترض هذا القوس. أيضًا ، نظرًا لأن نصف قطر دائرة الوحدة واحد ، فإن الدوال المثلثية للجيب وجيب التمام لها صلة خاصة بدائرة الوحدة.

يمكن تمثيل أي زاوية دوران # theta # بنقطة # A # على دائرة وحدة مع مركز في أصل الإحداثيات # O # ونصف القطر # 1 #. يتم قياس الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة من الاتجاه الإيجابي للمحور X إلى خط من # O # إلى # A # ، لذلك #angle XOA = ثيتا # مع # | OA | = 1 #. وبالتالي ، يتم تمثيل الزاوية # 90 ^ 0 # بنقطة ذات إحداثيات # (0،1) # ، ويتم تمثيل الزاوية # 270 ^ 0 # بنقطة # (0 ، -1) # إلخ.

ثم، حسب التعريف، إذا كانت النقطة # A # تحتوي على إحداثيات # (A_x، A_y) # ،
#sin (ثيتا) = A_y #
#cos (ثيتا) = A_x #
#tan (ثيتا) = A_y / A_x # (لـ #A_x! = 0 #)
#sec (ثيتا) = 1 / A_x # (لـ #A_x! = 0 #)
#csc (ثيتا) = 1 / A_y # (لـ #A_y! = 0 #)

ما ورد أعلاه تعريفات من الدوال المثلثية لأي زوايا. نموذجي التعريف الهندسي للدوال المثلثية باستخدام المثلثات القائمة ليست عامة بما فيه الكفاية ، بينما التعريفات أعلاه تعمل مع جميع الزوايا ، وفي حالة بصير الزوايا في المثلثات القائمة متطابقة مع التعريف الهندسي.

قد أقترح دراسة علم المثلثات في Unizor - علم المثلثات. يحتوي الموقع على شرح مفصل للغاية لخصائص الدوال المثلثية بناءً على التعريف أعلاه.


النسب المثلثية في المثلثات القائمة الجواب: التطبيقات العملية حساب المثلثات Siyavula

النسب المثلثية في المثلثات القائمة الجواب: التطبيقات العملية حساب المثلثات Siyavula. رسم بروس المثلث على اليمين. لإيجاد جميع النسب المثلثية من المثلث القائم المعطى ، علينا أولاً تسمية الأضلاع على أنها الضلع الوتر والضلع المقابل والضلع المجاور. اختبارات الرياضيات عبر الإنترنت واختباراتها حول نظرية فيثاغورس والنسب المثلثية وعلم المثلثات القائم الزاوية. 1) 13 12 bac θ 2) 4 13 abc θ 3) 9 6 abc θ 4) 11.9 10 bac θ 5) 7.7 14 abc θ 6) 5 b 4 ac θ 7) 11 4.4 abc θ 8) 3 3 bca θ أوجد وأشار قياس كل جانب. يتيح لنا إيجاد أطوال الأضلاع عند درجاتها.

تحتاج إلى معرفة طول جانب واحد على الأقل لتحديد المنطقة. ضع في اعتبارك مثلث الزاوية القائم العام ، في الشكل 1 أدناه ، مع الزاوية β والأضلاع الموصوفة كما هو موضح أدناه أوجد النسب المثلثية باستخدام المثلثات القائمة. النسب المثلثية في المثلثات القائمة. المثلث الأيمن له أرجل قياسها وحدتان ووحدتان.

مقدمة عن النسب المثلثية فيديو أكاديمية خان من i.ytimg.com ستة نسب مثلثية لمثلث الزاوية اليمنى هي الجيب (الخطيئة) ، قاطع التمام (كوس) ، الظل (تان) ، قاطع التمام (كوس) ، القاطع (ثانية) ، ظل التمام (المهد) ) تعريف علم المثلثات: يمكننا وصف النسب المثلثية من مثلث قائم الزاوية من حيث الزاوية الحادة. نسبة الجيب هي طول الضلع المقابل لزاوية حادة معينة مقسومًا على طول الوتر. إجابة النسب المثلثية في المثلث القائم الزاوية. ضع في اعتبارك مثلث الزاوية القائم العام ، في الشكل 1 أدناه ، مع الزاوية β والأضلاع الموصوفة كما هو موضح أدناه ، يلتقيان ليشكلان ثلاث زوايا. المثلث القائم الزاوية هو مثلث تكون فيه إحدى زواياه قائمة. 2 + 2 = 2 & # 8226 أوجد النسب المثلثية باستخدام المثلثات القائمة.

المثلث القائم الزاوية هو مثلث تكون فيه إحدى زواياه قائمة.

النسب المثلثية الأساسية مع تطبيقها على المثلثات ، المثلث القائم الزاوية هو مثلث حيث تكون إحدى زواياه الداخلية 90 & # 176. أوجد النسب المثلثية باستخدام المثلثات القائمة. في مثلث قائم الزاوية ، اختر النسب المثلثية الستة من بين 390 مجموعة مختلفة من البطاقات التعليمية للنسب المثلثية للمثلثات اليمنى في Quizlet. المزيد من دروس الرياضيات في gcse اوراق عمل الرياضيات. في المثلث القائم أعلاه ، بالنسبة للزاوية 59 & # 176 ، يكون h هو الضلع المقابل والضلع الذي يبلغ طوله 45 قدمًا هو الضلع المجاور. النسبة المثلثية التي تتضمن الضلع المقابل والضلع المجاور هي مماس. إذا & # 039 ترى هذه الرسالة ، فهذا يعني أننا & # 039 نواجه مشكلة في تحميل الموارد الخارجية على موقعنا. تساعد النسب المثلثية في الإجابة فعليًا على جميع الأسئلة المتعلقة بالمثلثات العشوائية باستخدام قانون الجيب وقانون جيب التمام. يتم تعريف الدوال المثلثية لمثلث قائم الزاوية ، ولكن هذا لا يعني أنها تعمل فقط مع المثلثات القائمة. النسب المثلثية الأكثر شيوعًا هي الجيب وجيب التمام والظل. الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية هي: زاوية أخرى غالبًا ما تسمى θ.

تعلم النسب المثلثية مثلثات قائمة مع البطاقات التعليمية التفاعلية المجانية. خذ الفرق بين مجموع الأضلاع والأضلاع التي حصلت عليها من الربع. لإيجاد جميع النسب المثلثية من المثلث القائم المعطى ، علينا أولاً تسمية الأضلاع على أنها الضلع الوتر والضلع المقابل والضلع المجاور. يتم تحديد نسبة الجيب ونسبة جيب التمام ونسبة الظل ونسبة قاطع التمام ونسبة القاطع ونسبة التمام على النحو التالي: نظرًا لأن الوتر هو الضلع المقابل لأكبر زاوية ، الزاوية 90 & # 176 ، يجب أن يكون أطول جانب.

تفاعلية تفاعلية مع عدم وجود إعداد لك ، سيتطابق طلابك مع 18 حلًا لأنشطة الجبر الرياضية لكلية المثلث الأيمن المثلث الأيمن من i.pinimg.com. موقع الكتروني. سنعود في هذا الدرس إلى حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. تعرف على النسب المثلثية حول المثلثات القائمة مع البطاقات التعليمية التفاعلية المجانية. 1) استخدام نظرية فيثاغورس وعكسها. إجابة النسب المثلثية في المثلث القائم الزاوية. ورقة عمل نسب المثلثات في المثلثات القائمة تحتوي على 50 ورقة عمل عالية النسب المثلثية. في المثلث العام (حاد أو منفرج) ، تحتاج إلى استخدام تقنيات أخرى ، بما في ذلك. تساعد النسب المثلثية في الإجابة فعليًا على جميع الأسئلة المتعلقة بالمثلثات العشوائية باستخدام قانون الجيب وقانون جيب التمام.

تعرف على النسب المثلثية حول المثلثات القائمة مع البطاقات التعليمية التفاعلية المجانية.

النسب المثلثية في المثلثات القائمة. 2 + 2 = 2 & # 8226 أوجد النسب المثلثية باستخدام المثلثات القائمة. رسم بروس المثلث على اليمين. وصف النسب المثلثية في مثلثات قائمة. النسب المثلثية في المثلثات القائمة. تحتاج إلى معرفة طول جانب واحد على الأقل لتحديد المنطقة. لتغطية الإجابة مرة أخرى ، انقر فوق تحديث (إعادة تحميل). إجابة النسب المثلثية في المثلث القائم الزاوية. 3) استخدام النسب المثلثية لحل المثلثات القائمة. الوتر (الضلع الأطول) العمودي (الضلع المقابل للزاوية) ضع في اعتبارك المثلث القائم الزاوية العام ، في الشكل 1 أدناه ، مع الزاوية β والأضلاع الموضحة أدناه. ابحث عن النسب المثلثية باستخدام المثلثات القائمة. يجتمعون ليشكلوا ثلاث زوايا.

من كل زاوية حادة ، يمكنك تسمية الأضلاع على أنها الوتر والمقابل والمجاور. تدرب على التعرف على النسبة المثلثية التي يجب استخدامها لحل الجوانب. إجابة النسب المثلثية في المثلث القائم الزاوية. النسبة المثلثية التي تتضمن الضلع المقابل والضلع المجاور هي مماس. يحتوي كل مثلث قائم الزاوية على زاويتين.

The 6 Trig Ratios from www.softschools.com If you find any copyright protected images of yours, please contact us and we will remove it. Trigonometric ratios in right triangles answer. Because the hypotenuse is the side opposite the largest angle, the 90° angle, it has to be the longest side. To find all trigonometric ratios from the given right triangle, first we have to name the sides as hypotenuse side, opposite side and adjacent side. They meet to form three angles. They meet to form three. Solve word problems involving right triangles and trigonometric ratios. We don't intend to display any copyright protected images.

From each acute angle, you can label the sides as the hypotenuse, opposite, and adjacent.

A right triangle is a triangle in which one angle is a right angle. Trigonometric ratios in right triangles. Learn trigonometric ratios right triangles with free interactive flashcards. Consider the general right angle triangle, in figure 1 below, with angle β and sides labeled as shown below In the above right triangle, for the angle 59°, h is opposite side and the side has length 45 ft is adjacent side. The relation between the sides and angles of a right triangle is the basis for trigonometry. Trigonometric ratios in right triangles answer. Trigonometry ratios in right triangles worksheet with worksheets 50 beautiful trigonometric ratios worksheet high. Trigonometric ratios are defined for right triangles. Right triangles will be similar if an acute angle of one is equal to an acute angle of the other. We can describe the trigonometric ratios from a single right triangle in terms of either acute angle. The trigonometric ratio that involves opposite side and adjacent side is tangent. 2) using special relationships in right triangles.

Source: content.lessonplanet.com

We can describe the trigonometric ratios from a single right triangle in terms of either acute angle. Trigonometry ratios in right triangles worksheet with worksheets 50 beautiful trigonometric ratios worksheet high. In that case, side ab will be the hypotenuse. Every right triangle contains two angles. • use the pythagorean theorem to find missing lengths in right triangles.

Six trigonometric ratios for right angle triangle are sine(sin), cosecant(cos), tangent(tan), cosecant(cos), secant(sec), cotangent(cot) trigonometry definition: More gcse math lessons math worksheets. Basic trigonometric ratios with application to triangles a right angled triangle is a triangle where one of the internal angles is 90°. To find all trigonometric ratios from the given right triangle, first we have to name the sides as hypotenuse side, opposite side and adjacent side. In these definitions, the terms opposite, adjacent, and hypotenuse refer to the lengths of the sides.

Consider the general right angle triangle, in figure 1 below, with angle β and sides labeled as shown below A right triangle is a triangle in which one angle is a right angle. The sine ratio is the length of the side opposite a given acute angle divided by the length of the hypotenuse. Right triangles are a special case of triangles. 3) using trigonometric ratios to solve right triangles.

Bruce drew the triangle at the right. They are special ratios, called trigonometric ratios, that are of interest to us when we deal with right triangles. Trigonometric ratios in right triangles answer / ixl trigonometric ratios sin cos and tan geometry practice / in a right triangle, however, one of the angles is already known:. Every right triangle contains two angles. Write your answer correct to two decimal places.

The trigonometric ratio that involves opposite side and adjacent side is tangent. The most common trigonometric ratios are sine, cosine, and tangent. Trigonometric ratios in right triangles. Round to the nearest tenth. Right triangles will be similar if an acute angle of one is equal to an acute angle of the other.

Bruce drew the triangle at the right. Because the hypotenuse is the side opposite the largest angle, the 90° angle, it has to be the longest side. The ratios of the sides of a right triangle are called trigonometric ratios. We can describe the trigonometric ratios from a single right triangle in terms of either acute angle. To estimate the height of the tree, jacob can write a trigonometric ratio that involves the height h and the known length of 45 feet.

Trigonometry involves calculating angles and sides in triangles. Trigonometric ratios are defined for right triangles. Write your answer correct to two decimal places. In this lesson we will return to right triangle trigonometry. Description trig ratios in right triangles.

If you find any copyright protected images of yours, please contact us and we will remove it. Trigonometry ratios in right triangles worksheet with worksheets 50 beautiful trigonometric ratios worksheet high. The three major trigonometric ratios will finally relate of in one equation for triangles. They meet to form three angles. To cover the answer again, click refresh (reload).

2 + 2 = 2 • find trigonometric ratios using right triangles. The sine ratio, the cosine ratio, the tangent ratio, the cosecant ratio, the secant ratio and the cotangent ratio are defined as follows: Trigonometry ratios in right triangles worksheet with worksheets 50 beautiful trigonometric ratios worksheet high. The three major trigonometric ratios will finally relate of in one equation for triangles. The three sides of the right triangle are:

More gcse math lessons math worksheets.

Because the hypotenuse is the side opposite the largest angle, the 90° angle, it has to be the longest side.

Practice recognizing which trig ratio you should use to solve for sides.

Trigonometric ratios in right triangles.

Source: ecdn.teacherspayteachers.com

From each acute angle, you can label the sides as the hypotenuse, opposite, and adjacent.

Source: electricbookworks.github.io

Consider the general right angle triangle, in figure 1 below, with angle β and sides labeled as shown below

In the above right triangle, for the angle 59°, h is opposite side and the side has length 45 ft is adjacent side.

You need to know the length of at least one side to determine the area.

Source: www.onlinemathlearning.com

If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Basic trigonometric ratios with application to triangles a right angled triangle is a triangle where one of the internal angles is 90°.

A right triangle has legs that measure 2 units and units.

Source: www.onlinemathlearning.com

You need to know the length of at least one side to determine the area.

To find all trigonometric ratios from the given right triangle, first we have to name the sides as hypotenuse side, opposite side and adjacent side.

Right triangles will be similar if an acute angle of one is equal to an acute angle of the other.

Trigonometry ratios in right triangles worksheet with worksheets 50 beautiful trigonometric ratios worksheet high.

A right triangle is a triangle in which one angle is a right angle.

Every right triangle contains two angles.

Source: www.algebraforchildren.com

Then multiply the result with the right side of the equation.

Source: d20khd7ddkh5ls.cloudfront.net

These are defined for acute angle below:

To find all trigonometric ratios from the given right triangle, first we have to name the sides as hypotenuse side, opposite side and adjacent side.

The trigonometric ratio that involves opposite side and adjacent side is tangent.

1) using pythagorean theorem and its converse.

Source: s3-us-west-2.amazonaws.com

A right triangle is a triangle in which one angle is a right angle.

The relationships hold for all complementary angle pairs.


6.5: Right Triangle Trigonometry

Chapter 6 Triangles – Exercise 6.5 | جلس 1

Question 11. An aeroplane leaves an airport and flies due north at a speed of 1,000 km per hour. At the same time, another aeroplane leaves the same airport and flies due west at a speed of 1,200 km per hour. How far apart will be the two planes after hours?

Distance covered by place left towards north = 1000 * 1.5

Distance covered by place left towards west = 1200 * 1.5 = 1800km

In right ∆ABC by Pythagoras theorem

(AC) 2 = (AB) 2 + (BC) 2



(AC) 2 = (1500) 2 + (1800) 2

= 250000 + 3240000

= 5490000

= √(3 * 3 * 61 * 10 * 10 * 10 * 10)

= 3 * 10 * 10√61

AC = 300√61

Distance between the two poles 300√61km

Question 12. Two poles of heights 6 m and 11 m stand on a plane ground. If the distance between the feet of the poles is 12 m, find the distance between their tops.

AB is pole of height = 11m

DC is another pole of height = 6m

BC = 12m

In fig. DE = BC = 12m

AE = AB – EB

= 11 – 6

= 5m

In right ∆AED, by Pythagoras theorem

(AD) 2 = (AC) 2 + (DE) 2



(AD) 2 = (5) 2 + (12) 2

(AD) 2 = 25 + 144

AD = √169

AD = √(13 * 13)

AD = 13

Hence, the distance between the tops of the two poles is 13m.

Question 13. D and E are points on the sides CA and CB respectively of a triangle ABC right angled at C. Prove that AE 2 + BD 2 = AB 2 + DE 2 .

To prove: (AE) 2 + (BD) 2 = (AB) 2 + (DE) 2

Construction: Join AE, BD and DE

دليل:

In ∆ACE, by Pythagoras theorem

(AE) 2 = (AC) 2 + (EC) 2 -(1)

In ∆DCB, by Pythagoras theorem

(BD) 2 = (DC) 2 + (BC) 2 -(2)

In ∆ACB, by Pythagoras theorem

(AB) 2 = (AC) 2 + (CB) 2 -(3)

In ∆DCE, by Pythagoras theorem

(ED) 2 = (DC) 2 + (CE) 2

Adding eq (1) and (2)



(AE) 2 + (BD) 2 = (AC) 2 + (EC) 2 + (DC) 2 + (DC) 2

= (AC 2 + BC 2 ) + (EC 2 + DC 2 )

= AB 2 + DE 2 -(from 3 and 4)

Question 14. The perpendicular from A on side BC of a Δ ABC intersects BC at D such that DB = 3CD (see Fig.). Prove that 2AB 2 = 2AC 2 + BC 2 .

Given: DB = 3CD

To prove: 2AB 2 = 2AC 2 + BC 2

دليل: DB = 3CD

BC = CD + DB

BC = CD + 3CD

BC = 4CD

BC/4 = CD -(1)

DB = 3(BC/4) -(2)

In right ∆ADB, by Pythagoras theorem

AB 2 = AD 2 + DB 2 -(3)

In right ∆ADC, by Pythagoras theorem

AC 2 = AD 2 + CD 2 -(4)

Subtract eq(3) from (4)

AB 2 – AC 2 = AD 2 + DB 2 – (AD 2 + CD 2 )



= AD 2 + DB 2 + AD 2 – CD 2

= DB 2 – CD 2

= (3/4BC) 2 – (BC/4) 2

= 9/6BC 2 – BC/16

= 8BC 2 /16

= AB 2 – AC 2 = BC 2 /2

2AB 2 – 2AC 2 = BC 2

2AB 2 = 2AC 2 + BC 2

Question 15. In an equilateral triangle ABC, D is a point on side BC such that BD = 1/3BC. Prove that 9AD 2 = 7AB 2 .

Prove that 9AD 2 = 7AB 2

Construction: Join AD and draw AE perpendicular BC

Let each side, AB = AC = BC = a

BD = 1/3BC = 1/3a

BC = 1/2BC = 1/2a

DE = BE – BD

= 1/2a – 1/3a

= 3a – 2a/6

= DE = a/6

In right ∆AED, by Pythagoras theorem

AD 2 = AE 2 + DE 2

AD 2 = (√3a/2) 2 + (a/6) 2

= 3a 2 /4+ a 2 /36

= 27a 2 /36 + a 2 /36

AD 2 = 28a 2 /36

AD 2 = 7a 2 /9

9AD 2 = 7a 2

9AD 2 = 7AB 2

Question 16. In an equilateral triangle, prove that three times the square of one side is equal to four times the square of one of its altitudes.

To prove: 3AB 2 = 4AD 2



دليل: Let each side of one equilateral ∆ = a

BD = 1/2a -[perpendicular bisects the side in on an equilateral ∆]

In right ∆ADB, by Pythagoras theorem

(AB) 2 =(AD) 2 + (BD) 2

(a) 2 = (AD) 2 + (1/2a) 2

a 2 = AD 2 + (a/2) 2

a 2 – a 2 /4 = AD 2

3a 2 /4 = AD 2

3a 2 = 4AD 2

3AB 2 = 4AD 2

Question 17. Tick the correct answer and justify: In ΔABC, AB = 6√3 cm, AC = 12 cm and BC = 6 cm. The angle B is:

(A) 120° (B) 60°

(C) 90° (D) 45°

(AC) 2 = (12) 2 = 144

(AB) 2 = (6√3) 2 = 6 * 6√3 = 36 * 3 = 108

(BC) 2 = (6) 2 = 36

(AB) 2 + (BC) 2 = 108 + 36 = 144

∴ It is right ∆ thus ∠B = 90°


Triangles and Trigonometry Sine and Cosine Rules

Do you still remember the quest to find the highest mountain on Earth from the introduction? With Trigonometry, we finally have the tools to do it!

The surveyors in India measured the angle of the top of a mountain from two different positions , 5km apart . The results were 23° and 29° .

Because angle α is a supplementary angle , we know that it must be ° . Now we can use the sum of the internal angles of a triangle to work out that angle β is ° .

Now we know all three angles of the triangle, as well as one of the sides . This is enough to use the sine rule cosine rule to find the distance د :

sin 151° d 5 6° 5 d
د 151° × 5 sin 6°
23.2 كم

There is one final step: let’s have a look at the big, right-angled triangle . We already know the length of the hypotenuse, but what we really need is the opposite adjacent side. We can find it using the definition of الخطيئة:

sin 23° height 23 23 height
ارتفاع 23° × 23
8.987 km

And that is very close to the actual height of Mount Everest, the highest mountain on Earth: 8,848m.

This explanation greatly simplifies the extraordinary work done by the mathematicians and geographers working on the Great Trigonometrical Survey. They started from sea level at the beach, measured thousands of kilometers of distance, built surveying towers across the entire country and even accounted for the curvature of Earth.

للكشف عن المزيد من المحتوى ، عليك إكمال جميع الأنشطة والتمارين أعلاه.
هل تواجد صعوبة انتقل إلى الخطوة التالية أو تكشف عن جميع الخطوات


THE ISOSCELES RIGHT TRIANGLE

A N ISOSCELES RIGHT TRIANGLE is one of two special triangles. (The other is the 30°-60°-90° triangle.) The student should know the ratios of the sides.

(An isosceles triangle has two equal sides. See Definition 8 in Some Theorems of Plane Geometry. The theorems cited below will be found there.)

Theorem. In an isosceles right triangle the sides are in the ratio 1:1: .

Proof . In an isosceles right triangle, the equal sides make the right angle. They have the ratio of equality, 1 : 1.

To find the ratio number of the hypotenuse h , we have, according to the Pythagorean theorem,

(Lesson 26 of Algebra.) Therefore the three sides are in the ratio

Note that since the right triangle is isosceles, then the angles at the base are equal. (Theorem 3.) Therefore each of those acute angles is 45°.

(For the definition of measuring angles by "degrees," see Topic 12.)

Example 1. Evaluate sin 45° and tan 45°.

Answer . For any problem involving 45°, the student should not consult the Table. Rather, sketch the triangle and place the ratio numbers.

on rationalizing the denominator. (Lesson 26 of Algebra.)

مشكلة. Evaluate cos 45° and csc 45°.

Thus cos 45° is equal to sin 45° they are complements.

Example 2. Solve the isosceles right triangle whose side is 6.5 cm.

Answer . To solve a triangle means to know all three sides and all three angles. Since this is an isosceles right triangle, the only problem is to find the unknown hypotenuse.

But in every isosceles right triangle, the sides are in the ratio 1 : 1 : , as shown on the right. In the triangle on the left, the side corresponding to 1 has been multiplied by 6.5. Therefore every side will be multiplied by 6.5. The hypotenuse will be 6.5 . (The theorem of the same multiple.)

Whenever we know the ratio numbers, we use this method of similar figures to solve the triangle, and not the trigonometric Table.

(In Topic 6, we will solve right triangles the ratios of whose sides we do not know.)

Example 3. In an isosceles right triangle, the hypotenuse is inches. How long are the sides?

Answer . The student should sketch the triangles and place the ratio numbers.

How has the side corresponding to been multiplied?

According to the rule for multiplying radicals, it has been multiplied by . Therefore, all the sides will be multiplied by . And 1 = .

Please make a donation to keep TheMathPage online.
Even $1 will help.


Non-right Triangles: Law of Sines

Suppose two radar stations located 20 miles apart each detect an aircraft between them. The angle of elevation measured by the first station is 35 degrees, whereas the angle of elevation measured by the second station is 15 degrees. How can we determine the altitude of the aircraft? We see in [link] that the triangle formed by the aircraft and the two stations is not a right triangle, so we cannot use what we know about right triangles. In this section, we will find out how to solve problems involving non-right triangles.

Using the Law of Sines to Solve Oblique Triangles

In any triangle, we can draw an ارتفاع, a perpendicular line from one vertex to the opposite side, forming two right triangles. It would be preferable, however, to have methods that we can apply directly to non-right triangles without first having to create right triangles.

Any triangle that is not a right triangle is an oblique triangle. Solving an oblique triangle means finding the measurements of all three angles and all three sides. To do so, we need to start with at least three of these values, including at least one of the sides. We will investigate three possible oblique triangle problem situations:

ASA (angle-side-angle) We know the measurements of two angles and the included side. See [link].

AAS (angle-angle-side) We know the measurements of two angles and a side that is not between the known angles. See [link].

SSA (side-side-angle) We know the measurements of two sides and an angle that is not between the known sides. See [link].

Knowing how to approach each of these situations enables us to solve oblique triangles without having to drop a perpendicular to form two right triangles. Instead, we can use the fact that the ratio of the measurement of one of the angles to the length of its opposite side will be equal to the other two ratios of angle measure to opposite side. Let’s see how this statement is derived by considering the triangle shown in [link].

Using the right triangle relationships, we know that sin α = h b

Solving both equations for h

gives two different expressions for h .

We then set the expressions equal to each other.

Similarly, we can compare the other ratios.

Collectively, these relationships are called the Law of Sines.

Note the standard way of labeling triangles: angle α

While calculating angles and sides, be sure to carry the exact values through to the final answer. Generally, final answers are rounded to the nearest tenth, unless otherwise specified.

Given a triangle with angles and opposite sides labeled as in [link], the ratio of the measurement of an angle to the length of its opposite side will be equal to the other two ratios of angle measure to opposite side. All proportions will be equal. ال Law of Sines is based on proportions and is presented symbolically two ways.

To solve an oblique triangle, use any pair of applicable ratios.

Solve the triangle shown in [link] to the nearest tenth.

The three angles must add up to 180 degrees. From this, we can determine that

To find an unknown side, we need to know the corresponding angle and a known ratio. We know that angle α = 50°

and its corresponding side a = 10.

We can use the following proportion from the Law of Sines to find the length of c .

we set up another proportion.

Therefore, the complete set of angles and sides is

Solve the triangle shown in [link] to the nearest tenth.

Using The Law of Sines to Solve SSA Triangles

We can use the Law of Sines to solve any oblique triangle, but some solutions may not be straightforward. In some cases, more than one triangle may satisfy the given criteria, which we describe as an ambiguous case. Triangles classified as SSA, those in which we know the lengths of two sides and the measurement of the angle opposite one of the given sides, may result in one or two solutions, or even no solution.

Oblique triangles in the category SSA may have four different outcomes. [link] illustrates the solutions with the known sides a

Solve the triangle in [link] for the missing side and find the missing angle measures to the nearest tenth.

Use the Law of Sines to find angle β

However, in the diagram, angle β

appears to be an obtuse angle and may be greater than 90°. How did we get an acute angle, and how do we find the measurement of β ?

Let’s investigate further. Dropping a perpendicular from γ

and viewing the triangle from a right angle perspective, we have [link]. It appears that there may be a second triangle that will fit the given criteria.

The angle supplementary to β

is approximately equal to 49.9°, which means that β = 180° − 49.9° = 130.1° .

(Remember that the sine function is positive in both the first and second quadrants.) Solving for γ ,

We can then use these measurements to solve the other triangle. Since γ ′

is supplementary to the sum of α ′

To summarize, there are two triangles with an angle of 35°, an adjacent side of 8, and an opposite side of 6, as shown in [link].

However, we were looking for the values for the triangle with an obtuse angle β .

We can see them in the first triangle (a) in [link].

find the missing side and angles. If there is more than one possible solution, show both.


Perfect Triangles Using Heron's Formula

Pythagoras wasn't the only famous Greek mathematician who developed a special theory of numbers. Hero of Alexandria was another Greek mathematician who came up with Heron's Formula, which gives you the area of a triangle from the length of its integer sides. In algebraic terms:

If you are interested in advanced concepts, you can use this formula to solve for more perfect triangles!


شاهد الفيديو: شرح درس حل المثلث قائم الزاويةالصف التاسع أروى الغدير (شهر نوفمبر 2021).