مقالات

8.1: قياس الزاوية


الزاوية هي قياس حجم فتح خطين يتقاطعان. ال فيرتيكس هي نقطة التقاطع ، بينما تسمى الخطوط التي تشكل الفتحة بـ الجانبين.

يمكن استدعاء الزاوية بواسطة

3 أحرف مع الرأس في المنتصف: ( الزاوية ABC ) أو بواسطة الرأس فقط ( الزاوية ب ) أو برقم أو حرف موضوع داخل الزاوية.

هناك 360 درجة في الدائرة. يتم قياس الزوايا بالدرجات.

أ زاوية مستقيمة 90 درجة أو 1/4 دائرة. أ زاوية مستقيمة سيبدو كما يلي.

ان زاوية حادة هي زاوية أقل من 90 درجة. فيما يلي أمثلة على الزوايا الحادة

ان زاوية منفرجة هي زاوية أكبر من 90 درجة وأقل من 180 درجة. فيما يلي أمثلة لزوايا Obtuse.

أ زاوية قائمة هي زاوية تساوي 180 درجة.

الزوايا العمودي

عندما يتقاطع خطان مستقيمان ، فإنهما يشكلان أربع زوايا.

لنفترض أن ( الزاوية أ ) 65 درجة ، ( الزاوية ب ) 115 درجة ، ( الزاوية ج ) 65 درجة ، ( الزاوية د ) 115 درجة

هل لاحظت أن الزوايا المتقابلة متساوية في القياس؟ تسمى الزوايا المعاكسة أيضًا الزوايا العمودي. عندما يتقاطع خطان مستقيمان أو يتقاطعان ، فإن الزوايا العمودي نكون دائما متساو. الزاوية المستقيمة 180 درجة.

تشكل الزاويتان W و X خطًا مستقيمًا ، عند جمعهما معًا ، فهما قياسهما 180 درجة.

هم أيضا يعرفون باسم الزوايا المجاورة. مجموع الزوايا المجاورة يصل إلى 180 درجة. الزوايا المجاورة هي أيضا

  • ( الزاوية Y ) و ( الزاوية Z ) ،
  • ( زاوية ث ) و ( زاوية ص )
  • ( الزاوية X ) و ( الزاوية Z ).

سيكون مجموع زوايا المثلث الثلاث دائمًا 180 درجة.

الخطان Z و Y متوازيان. الخط P يتقاطع مع كلا الخطين أ مستعرض.

( الزاوية C ) و ( الزاوية F ) تسمى الزوايا الداخلية بديلة؛ هم متساوون في القياس.

( الزاوية د ) و ( الزاوية هـ ) تسمى أيضًا الزوايا الداخلية بديلة.

مع قياس الزاوية 70 درجة ، ( الزاوية P ) يساوي 110 درجة ، ومجموعهم يساوي 180 درجة.

  • ( الزاوية P ) و ( الزاوية Q ) ملائكة متقابلة لذلك تساوي 110 درجة لأن الزوايا الرأسية متساوية مع بعضها البعض.
  • ( الزاوية P ) و ( الزاوية T ) والزوايا المتناظرة بحيث يساوي كلاهما 110 درجات.
  • ( الزاوية W ) يساوي 70 درجة لأن ( الزاوية T ) زائد ( الزاوية W ) يجب أن يساوي إجمالي 180 درجة.

8.1: قياس الزاوية

في الرياضيات ، تم الحصول على كلمة "علم المثلثات" من الكلمتين اليونانيتين حيث "المثلث" و "المترون" والتي تعني "قياس جوانب المثلث. لذلك ، تعبر الدوال المثلثية عن العلاقة بين زاوية مثلث قائم الزاوية ونسب ضلعيها ، وتُعرف الدوال المثلثية أيضًا باسم وظائف الزاوية. بشكل عام ، يتم استخدام الجيب وجيب التمام والظل في الرياضيات الحديثة بالمقارنة مع قاطع التمام والقاطع والظل. الآن كل من هذه الدوال المثلثية الست لها دالة عكسية مقابلة تُعرف باسم الدالة المثلثية العكسية.

هناك عدد من المعادلات والمطابقات المثلثية التي تدل على العلاقة بين الدوال وتساعد في إيجاد الزوايا. في هذه المقالة ، سوف ندرس مفهوم المثلث والنسب المثلثية والوظائف جنبًا إلى جنب مع الزوايا المختلفة ودرجات القياس.

المفهوم الأساسي للمثلث

  • يحتوي المثلث على 3 جوانب و 3 رؤوس و 3 زوايا.
  • مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي دائمًا 180 درجة ، ويُعرف باسم خاصية مجموع الزوايا للمثلث.
  • دائمًا ما يكون الفرق بين طول أي ضلع أقل من طول الضلع الثالث.
  • مساحة المثلث 1/2 × القاعدة × الارتفاع
  • مثلث قائم الزاوية: له زاوية قائمة واحدة. الزاوية اليمنى هي زاوية قياسها 90 درجة.
  • مثلث منفرج: له زاوية منفرجة واحدة. الزاوية المنفرجة هي زاوية حجمها أكبر من 90 درجة ولكنها أقل من 180 درجة.
  • المثلث الحاد: له زوايا حادة تقل عن 90 درجة ولكنها أكبر من 0 درجة.

فيثاغورس نظرية:

في المثلث القائم الزاوية ، يكون مجموع مربعي ضلعي المثلث القائم الزاوية (بخلاف الوتر) يساوي مربع ضلع الوتر. أو بعبارة أخرى ، الوتر هو أطول ضلع في مثلث قائم الزاوية وهو المقابل للزاوية التي قياسها 90 درجة.

الوتر 2 = عمودي 2 + القاعدة 2

أو ج 2 = أ 2 + ب 2

حيث أ هو الضلع العمودي ، ب هو الضلع ، ج هو الضلع الوتر

ملاحظة: نظرية فيثاغورس تنطبق فقط على المثلثات القائمة الزاوية.

إثبات نظرية فيثاغورس:

معطى: مثلث قائم الزاوية ABC ، ​​وزاويته القائمة عند B.



للإثبات: AC 2 = AB 2 + BC 2

البناء: أنشئ خطًا من الزاوية B إلى الخط AC بحيث يصنع زاوية 90 درجة مع التيار المتردد.

دليل:

كما نعلم ذلك ، △ ADB

△ ABC

لذلك ، AD / AB = AB / AC (الأضلاع المقابلة لمثلثات متشابهة)

أو AB 2 = AD × AC ……………… (1)

أيضا ، △ BDC

△ ABC

لذلك ، CD / BC = BC / AC (الأضلاع المقابلة لمثلثات متشابهة)

أو BC 2 = CD × AC ……………… (2)

عند إضافة المعادلتين (1) و (2) نحصل عليها ،

AB 2 + BC 2 = AD × AC + CD × AC

AB 2 + BC 2 = AC (AD + CD)

منذ ذلك الحين ، AD + CD = AC

إذن ، AC 2 = AB 2 + BC 2

ومن ثم ثبت

النسب المثلثية

في علم المثلثات ، هناك 6 نسب تُستخدم لإيجاد الزوايا ، وتُعرف باسم الدوال المثلثية. وهذه الدوال الست المثلثية هي جيب ، جيب التمام ، القاطع ، القاطع المشترك ، الظل ، والظل المشترك.

يتم استخراج الدوال المثلثية باستخدام نظرية فيثاغورس ومثلثات الزاوية اليمنى. النسب المثلثية هي:

الخطيئة θ = P / H

كوس θ = ب / ح

تان θ = P / B = sin θ / cos θ



cot θ = 1 / tan θ = cos θ / sin θ = B / P.

cosec θ = 1 / sin θ = H / P.

ثانية θ = 1 / cos θ = H / B

هوية فيثاغورس هي تلك المطابقات التي تستخدم في إظهار نظرية فيثاغورس في مصطلحات الدوال المثلثية.

الخطيئة 2 θ + كوس 2 θ = 1

1 + tan 2 θ = sin 2 θ

1 + سرير 2 θ = cosec 2 θ


ثانية θ = 1 / كوس θ

سرير نقال θ = 1 / تان θ

الخطيئة θ = 1 / cosec θ

كوس θ = 1 / ثانية θ

تان θ = 1 / سرير θ

تشير هويات الوظيفة المشتركة إلى العلاقة بين sin و cos و tan و cot و sec و cosec. قيمة الدالة المثلثية لزاوية تساوي قيمة الدالة المشتركة للمكمل. يجب أن تتذكر هذا & # 8216 أن المكمل يتم تعريفه على أنه زاويتان مجموعهما 90 درجة & # 8217.

الخطيئة (90 - θ) = كوس θ

كوس (90 - θ) = الخطيئة θ

تان (90 - θ) = سرير θ

سرير (90 - θ) = تان θ

ثانية (90 - θ) = cosec θ

cosec (90 - θ) = ثانية θ

الخطيئة (x + y) = sinx دافئ + cosx siny

cos (x + y) = cosx دافئ - sinx siny

تان (س + ص) =

sin (x - y) = sinx دافئ - cosx siny

cos (x - y) = cosx دافئ + sinx siny

تان (س - ص) =

سرير (x + y) =

سرير (x & # 8211 y) =


مزدوج ، يعني عندما يصبح حجم الزاوية ضعف السابق.

الخطيئة (2x) = 2 sinx cosx =

cos (2x) = cos2x - sin2x =

cos (2x) = 2 cos2x - 1 = 1 - 2 sin2x

تان (2x) =

ثانية (2x) =

sin 3x = 3 sinx - 4 sin3x

cos 3x = 4 cos3x-3 cos x

تان 3x =

sinx + siny =



sinx & # 8211 siny =

كوسكس + دافئ =

cosx & # 8211 دافئ =

قياس الزاوية

الزاوية هي مقياس دوران شعاع معين من نقطته الأولية. يُعرف الشعاع الأصلي بالجانب الأولي للزاوية ويُعرف الموضع النهائي للشعاع بعد الدوران بالجانب النهائي. تُعرف نقطة الدوران بالرأس. إذا كان اتجاه الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة ، فيُقال إن الزاوية هي & # 8216 + & # 8217ive وإذا كان اتجاه الدوران في اتجاه عقارب الساعة ، تكون الزاوية & # 8216 - & # 8216ive. في علم المثلثات ، تتراوح قيمة الزاوية من 0 إلى 360.

قياس الدرجة:

بشكل عام ، يمكننا قياس الزاوية عن طريق تحديد مقدار الدوران الذي تستغرقه من الجانب الأولي إلى الجانب النهائي. إذن ، يمكننا قياس زاوية باستخدام الدرجات. مقياس درجة واحدة (1 درجة) يعادل دوران 1/360 من ثورة كاملة. هنا ، تُستخدم الثورة لقياس الزاوية التي يتم إنشاؤها عندما يدور الجانب الأولي على طول الطريق حول رأسه حتى يصل مرة أخرى إلى موضعه الأولي.

عندما نقيس زاوية ، يكون من المناسب تحديد الدرجات على محيط الدائرة. ومن ثم ، في حالة الدوران الكامل ، تكون الزاوية 360 درجة ، وعند نصف دورة تكون الزاوية 180 درجة ، وعند ربع دورة تكون الزاوية 90 درجة ، وهكذا.


درجة واحدة = دوران (1/360) لثورة كاملة

1 درجة = 60 دقيقة

1° = 60′

1 دقيقة = 60 ثانية

1′ = 60”

قياس الراديان:

يمكننا أيضًا قياس الزاوية باستخدام الراديان. قياس الراديان هو نسبة طول القوس الدائري إلى نصف قطر القوس. نظرًا لأن الراديان هو نسبة الطول إلى الطول ، فإن النتيجة هي رقم خالص لا يحتاج إلى أي رمز وحدة.

1 راديان = 1 ج

1 راديان = زاوية يقابلها قوس بطول الوحدة عند النقطة المركزية للدائرة.

1 وحدة طول القوس = 1 راديان

2 وحدة طول القوس = 2 راديان

2π وحدة طول القوس (دورة كاملة) = 2π راديان

1 ثورة كاملة = 360 درجة = 2 درجة مئوية

360 درجة = 2π راديان

في الدائرة ، إذا كان نصف قطر الدائرة هو r ، فإن طول القوس l يقابل الزاوية θ عند المركز ، ثم θ (بالراديان) = l / r أو l = rθ. حيث l = طول القوس و r = نصف قطر الدائرة.

العلاقة بين الدرجات والراديان:

كما نعلم أن الدائرة تقابل عند مركزها زاوية قياسها 2π راديان بالإضافة إلى 360 درجة.

لذا 1 راديان = 180 درجة / π = 57 درجة 16 & # 8242 (تقريبًا)

أيضًا ، 1 ° = π / 180 = 0.0174 (تقريبًا)

الزاوية بالراديان = الزاوية بالدرجة x π / 180

أو

الزاوية في الدرجة = الزاوية بالراديان x π / 180

عينة من المشاكل

السؤال 1. حوّل 90 درجة إلى راديان.

معطى ، 90 درجة أي الزاوية

كما نعلم ذلك ،

الزاوية بالتقدير الدائري = الزاوية بالدرجة × (π / 180)

= 90 × (/ 180)

= π / 2

ومن ثم ، فإن 90 درجة تساوي π / 2 بالراديان.

السؤال 2. حوّل π / 6 إلى درجات.

السؤال 3. حوّل 15 درجة إلى راديان.

باستخدام الصيغة أعلاه ،

نحصل على 15 × π / 180

= π / 12

السؤال 4. إذا كان cos x = -4/5 و x يقع في الربع الثالث ، فأوجد قيمة sin x ، tan x.

إذا كان cos x = -4/5 وتقع في الربع الثالث

ثم ، باستخدام المتطابقة sin 2 θ + cos 2 θ = 1 ، نحصل عليها

الخطيئة 2 θ = 1 & # 8211 كوس 2 θ

الخطيئة 2 س = 1 & # 8211 (-4 / 5) 2

= 1 – (16/25)

= (25 – 16)/25

= 9/25

الخطيئة س = ± 3/5

من المعلوم أن x تقع في الربع الثالث
إذن ، sin x = -3/5

الآن نجد tan x

كما نعلم أن tan x = الخطيئة س / كوس س

إذن ، tan x = -3/5 /-4/5 = 3/4

السؤال 5. أوجد قيمة الخطيئة 21 π / 2

وفقًا للسؤال ، علينا إيجاد قيمة sin 21 π / 2

الخطيئة 21π / 2 = الخطيئة (10π + / 2) = الخطيئة π / 2 = 1

السؤال 6. مثلث قائم الزاوية ABC ، ​​زاوية قائمة عند B ، وتر المثلث AC = 10 سم ، القاعدة BC = 2 سم ، وعمودي AB = 5 سم ، وإذا كان ACB = θ ، فأوجد قيمة جميع النسب المثلثية.

بالنظر إلى ذلك في المثلث ABC

الوتر أس = 10 سم

قاعدة BC = 2 سم

عمودي AB = 5 سم

كما نعلم ذلك

الخطيئة θ = P / H = 5/10 = 1/2

كوس θ = B / H = 2/10 = 1/5

تان θ = P / B = 5/2

سرير θ = B / P = 2/5

cosec θ = H / P = 10/5 = 2

ثانية θ = H / B = 10/2 = 5

السؤال 7. أوجد قيمة cot θ إذا كانت sin θ = 10 و cos θ = 5.

إذا كان sin θ = 10 و cos θ = 5

علينا إيجاد سرير نقال θ

كما نعلم أن cot θ = cosθ / sinθ

سرير θ = 5/10

سرير θ = 1/5

السؤال 8. أوجد قيمة cosec θ إذا كانت sin θ = 10.

إذا كان الخطيئة θ = 10

علينا إيجاد cosec θ

كما نعلم أن cosec θ = 1 / sinθ

إذن cosec θ = 1/10

السؤال 9. مثلث قائم الزاوية ABC ، ​​زاوية قائمة عند B ، وتر المثلث AC = 20 سم ، القاعدة BC = 5 سم ، وعمودي AB = 10 سم ، وإذا كان ACB = θ ، فأوجد القيمة tanθ و cos θ.

بالنظر إلى ذلك في المثلث ABC

الوتر أس = 20 سم

قاعدة BC = 5 سم

عمودي AB = 10 سم

كما نعلم ذلك

الخطيئة θ = P / H = 10/20 = 1/2

كوس θ = B / H = 5/20 = 1/4

تان θ = P / B = 10/5 = 2

السؤال 10. أوجد قيمة tan θ إذا كانت sin θ = 30 و cos θ = 5.

إذا كان sin θ = 30 و cos θ = 5

علينا إيجاد tan θ

كما نعلم أن tan θ = sinθ / cosθ

تان θ = 30/5 = 6


صورة 1/12 إلى 12/12 سقف الملعب
7/12 الملعب

طاولة درجة سقف الملعب
1-12 4.76 درجة
2-12 9.46 درجة
3-12 14.04 درجة
4-12 18.43 درجة
5-12 22.62 درجة
6-12 26.57 درجة
7-12 30.26 درجة
8-12 33.69 درجة
9-12 36.87 درجة
10-12 39.81 درجة
11-12 42.51 درجة
12-12 45 درجة

هذه هي الآلة الحاسبة الخاصة بنا والتي ستحول الميل إلى زاوية أو زاوية إلى ميل لحسابات ميل السقف بنصف درجة. أدخل أي درجة أو جزء من درجة لإيجاد زاوية. أدخل أي زاوية أو جزء من الزاوية لإيجاد درجة الصوت.


ملخص الدرس 14

عندما يتقاطع خطان ، تكون الزوايا الرأسية متساوية والزوايا المجاورة مكملة ، أي أن مجموع قياساتها هو 180 ^ circ. على سبيل المثال ، في هذا الشكل الزاويتان 1 و 3 متساويتان ، الزاويتان 2 و 4 متساويتان ، الزاويتان 1 و 4 مكملتان ، والزاويتان 2 و 3 مكملتان.

عندما يتم قطع خطين متوازيين بواسطة خط آخر ، يسمى a مستعرض، زوجان من الزوايا الداخلية بديلة تم انشاؤها. ("الداخلية" تعني في الداخل أو بين الخطين المتوازيين.) على سبيل المثال ، في هذا الشكل ، الزاويتان 3 و 5 هما زاويتان داخليتان متبادلتان والزاويتان 4 و 6 هما زاويتان داخليتان متبادلتان.

الزوايا الداخلية البديلة متساوية لأن الدوران 180 ^ circ حول نقطة منتصف المقطع الذي يربط رؤوسهم يأخذ كل زاوية إلى الأخرى. تخيل نقطة M في منتصف المسافة بين التقاطعين - هل يمكنك أن ترى كيف أن الدوران 180 ^ circ حول M يأخذ الزاوية 3 إلى الزاوية 5؟

باستخدام ما نعرفه عن الزوايا الرأسية ، والزوايا المتجاورة ، والزوايا الداخلية البديلة ، يمكننا إيجاد قياسات أي من الزوايا الثماني التي تم إنشاؤها بواسطة مستعرض إذا عرفنا إحداها فقط. على سبيل المثال ، بدءًا من حقيقة أن الزاوية 1 هي 70 ^ circ ، نستخدم الزوايا الرأسية لنرى أن الزاوية 3 هي 70 ^ circ ، ثم نستخدم الزوايا الداخلية البديلة لنرى أن الزاوية 5 هي 70 ^ circ ، ثم نستخدمها حقيقة أن الزاوية 5 مكملة للزاوية 8 لرؤية أن الزاوية 8 هي 110 ^ circ لأن 180-70 = 110. اتضح أن هناك مقياسين مختلفين فقط. في هذا المثال ، الزوايا 1 و 3 و 5 و 7 قياس 70 ^ دائرة والزوايا 2 و 4 و 6 و 8 قياس 110 ^ دائرة.


أوجد زاوية الارتفاع

تُعرف الزاوية المؤطرة بخط الرؤية والأفقي (الخط من الراصد والنقطة العمودية للكائن) بزاوية الارتفاع. يمكن تقديره من القيم المعروفة لارتفاع ومسافة الجسم. بمعنى آخر ، زوايا الارتفاع أو الميل هي زوايا فوق الأفقي. مثل النظر من مستوى الأرض إلى أعلى سارية العلم. استخدم هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت لإيجاد زاوية الارتفاع عن طريق إدخال قيم ارتفاع الجسم ومسافته.


كيف تقرأ شريط القياس

شارك Gino Colucci في تأليف المقال. جينو كولوتشي هو أخصائي تحسين المنزل ومالك Crackerjacks Handyman Services (ليس مقاولًا مرخصًا) في تشاندلر ، أريزونا. تقدم Crackerjacks Handyman Services حلاً فعالاً وموفرًا للتكلفة لاحتياجات الإصلاح والصيانة التجارية والسكنية ، وتتخصص في المشاريع الصغيرة. تحمل Crackerjacks Handyman Services تأمينًا ضد المسؤولية ويخضع جميع الفنيين لفحص الخلفية.

هناك 7 مراجع تم الاستشهاد بها في هذه المقالة ، والتي يمكن العثور عليها في أسفل الصفحة.

يضع موقع wikiHow علامة على المقالة كموافقة القارئ بمجرد تلقيها ردود فعل إيجابية كافية. تلقت هذه المقالة 17 شهادة ووجد 84 ٪ من القراء الذين صوتوا أنها مفيدة ، مما أكسبها حالة موافقة القراء.

تمت مشاهدة هذا المقال 2،981،832 مرة.

عندما يتعلق الأمر بالبناء والحرفية ، يمكن أن يكون أخذ قياسات دقيقة هو الفرق بين منتج نهائي رائع ومنتج دون المستوى. لحسن الحظ ، باستخدام النهج الصحيح ، يمكن أن يكون استخدام شريط القياس طريقة سريعة وسهلة للحصول على المعلومات التي تحتاجها حول مشروعك. يمكن أن تكون معرفة كيفية استخدام وقراءة كل من مقياس قابل للسحب وشريط قياس تقليدي على شكل شريط من الأصول الرئيسية لأي شخص يعمل بيديه ، لذا تعلم اليوم وابدأ القياس!


8.1: قياس الزاوية

المسلمات والنظريات

الفصل 2 نظام هندسي

افترض 2-1 من خلال أي نقطتين يوجد سطر واحد بالضبط.

افترض 2-2 من خلال أي ثلاث نقاط ليست على نفس الخط هناك مستوى واحد بالضبط.

افترض 2-3 أن سطر يحتوي على نقطتين على الأقل.

افترض 2-4 تحتوي الطائرة على ثلاث نقاط على الأقل ليست على نفس الخط.

افترض 2-5 إذا كانت نقطتان تقعان في مستوى ، فإن الخط الذي يحتوي على هاتين النقطتين يقع في ذلك المستوى.

افترض 2-6 إذا تقاطعت طائرتان ، فإن تقاطعهما يكون خطًا.

النظرية 2-1 إذا كان هناك خط ونقطة ليست على الخط ، فهناك مستوى واحد بالضبط يحتوي عليهما.

النظرية 2-2 إذا تقاطع خطان ، فإن مستوى واحد بالضبط يحتوي على كلا الخطين.

الفصل 3 القياس

افترض 3-1 افترض المسطرة يمكن إقران النقاط الموجودة على أي سطر بأرقام حقيقية بحيث يتم إعطاء أي نقطتين P
و Q على الخط ، P تقابل الصفر ، و Q تقابل رقمًا موجبًا.

افترض 3-2 بعد افترض لأي نقطتين على خط ووحدة قياس معينة ، هناك قيمة موجبة فريدة
رقم يسمى قياس المسافة بين النقطتين.

افترض 3-3 إضافة قطعة مسلمة إذا كان السطر PQR ، ثم PQ + RQ = PR

النظرية 3-1 لكل جزء نقطة وسط واحدة بالضبط.

النظرية 3-2 تطابق المقاطع انعكاسية ومتناظرة ومتعدية.

نظرية 3-3 نقطة المنتصف إذا كانت M هي نقطة منتصف السطر PQ ، فإن السطر PM يكون مطابقًا للخط MQ

النظرية 3-4 نظرية المنصف إذا تم تقسيم السطر PQ عند النقطة M ، فإن الخط PM يكون مطابقًا للخط MQ

الفصل 4 الزوايا والعمودية

افترض 4-1 قياس الزاوية افترض لكل زاوية عدد موجب unque بين 0 و 180 يسمى
درجة قياس الزاوية

افترض 4-2 منقلة فرضية بالنظر إلى أي شعاع على حافة نصف مستوى ، g لكل رقم موجب r بين 0
و 180 يوجد شعاع واحد بالضبط في نصف المستوى بحيث تكون درجة قياس الزاوية
الشعاعين هما r.

افترض 4-3 إضافة الزاوية افترض إذا كان R في الخارج للزاوية PQS ، ثم قياس الزاوية PQR + the
قياس الزاوية RQS = قياس الزاوية PQS

افترض 4-4 ملحق افترض إذا كانت زاويتان تشكلان زوجًا خطيًا ، فإنهما زاويتان مكملتان.

نظرية 4-1 تطابق الزوايا انعكاسية ومتناظرة ومتعدية.

نظرية 4-2 إذا كانت الزاويتان مكملتان للزاوية نفسها ، فإنهما متطابقتان.

نظرية 4-3 إذا كانت الزاويتان مكملتان لزاويتين متطابقتين ، فإن الزاويتين متطابقتين مع كل منهما
آخر.

نظرية 4-4 إذا كانت الزاويتان مكملتان لزاوية واحدة ، فإنهما متطابقتان مع بعضهما البعض.

نظرية 4-5 إذا كانت الزاويتان مكملتان لزاويتين متطابقتين ، فإن الزاويتين متطابقتين مع كل منهما
آخر.

نظرية 4-6 إذا كانت زاويتان قائمتين ، فإن الزاويتين متطابقتان.

نظرية 4-7 إذا كانت إحدى الزوايا في زوج خطي هي الزاوية القائمة ، فإن الزاوية الأخرى هي الزاوية القائمة.

النظرية 4-8 إذا كانت الزاويتان متطابقتان ومتكملتان ، فإن كل زاوية تكون زاوية قائمة.

نظرية 4-9 إذا كان خطان متقاطعان يشكلان زاوية قائمة واحدة ، فإنهما يشكلان أربع زوايا قائمة.

النظرية 4-10 إذا كانت الزاويتان عموديتان ، فإنهما متطابقتان.

نظرية 4-11 إذا كان الخطان متعامدين ، فإنهما يشكلان أربع زوايا قائمة.

النظرية 4-12 إذا كانت النقطة على خط في مستوى معين ، فعندئذ يكون هناك خط واحد بالضبط في هذا المستوى عموديًا على
خط معين عند نقطة معينة.

النظرية 4-13 المستقيمان المتقاطعان يكونان متعامدين إذا كانا يشكلان زوايا متجاورة متطابقة فقط.

النظرية 4-14 مساحة المثلث إذا كانت مساحة المثلث أ وحدات مربعة ، قاعدة ب وحدات وما يقابلها
ارتفاع ح وحدات ، إذن أ = 1 / 2bh.

الفصل 5 الموازي

افترض 5-1 التسليم المتوازي إذا كان هناك خط ونقطة ليست على خط ، فعندئذ يكون هناك سطر واحد بالضبط عبر
النقطة الموازية للخط المعطى.

نظرية 5-1 إذا تم قطع خطين متوازيين بواسطة مستعرض ، فإن كل زوج من الزوايا المتناظرة يكون متطابقًا.

النظرية 5-2 إذا تم قطع خطين متوازيين بواسطة مستعرض ، فإن كل زوج من الزوايا الداخلية المتناوبة يكون متطابقًا.

نظرية 5-3 إذا تم قطع خطين متوازيين بواسطة مستعرض ، فإن كل زوج من الزوايا الداخلية المتتالية يكون
تكميلي.

نظرية 5-4 إذا تم قطع خطين متوازيين بواسطة مستعرض ، فإن كل زوج من الزوايا الخارجية المتناوبة يكون متطابقًا.

النظرية 5-5 في المستوى ، إذا كان الخط متعامدًا على أحد الخطين المتوازيين ، فإنه يكون متعامدًا على الآخر.

النظرية 5-6 في المستوى ، إذا تم قطع خطين بواسطة مستعرض بحيث يكون زوج من الزوايا الداخلية المتناوبة متطابقًا ،
ثم الخطان متوازيان.

نظرية 5-7 في المستوى ، إذا تم قطع خطين بواسطة مستعرض بحيث يكون زوج من الزوايا المتناظرة متطابقًا ، إذن
الخطان متوازيان.

نظرية 5-8 في المستوى ، إذا تم قطع خطين بواسطة مستعرض بحيث يكون زوج من الزوايا الداخلية المتتالية
تكميلي ، ثم الخطوط متوازية.

النظرية 5-9 في المستوى ، إذا تم قطع خطين بواسطة مستعرض بحيث يكون زوج من الزوايا الخارجية البديلة متطابقة ،
ثم الخطوط متوازية.

النظرية 5-10 في المستوى ، إذا كان الخطان متعامدين على نفس الخط ، فإن الخطين يكونان متوازيان.

نظرية 5-11 خطان لهما نفس الميل إذا وفقط إذا كانا متوازيين وغير عموديين.

نظرية 5-12 خطان غير عموديان يكونان متعامدين إذا وفقط إذا كان حاصل ضرب ميلهما هو -1.

الفصل 6 مثلثات

افترض 6-1 SSS إذا كان كل جانب من أضلاع مثلث واحد مطابقًا للجانب المقابل لمثلث آخر ، فعندئذٍ
المثلثات متطابقة.

افترض 6-2 SAS إذا كان جانبان والزاوية المضمنة لمثلث واحد متطابقتين مع الأضلاع المقابلة و
تضمين الزاوية لمثلث آخر ، ثم المثلثات متطابقة.

افترض 6-3 ASA إذا كانت زاويتان والجانب المغطى لمثلث واحد متطابقتين مع الزوايا المقابلة و
تضمين جانب من مثلث آخر ، ثم المثلثات متطابقة.

نظرية مجموع الزوايا 6-1 مجموع مقاييس درجات زوايا المثلث هو 180.

نظرية 6-2 إذا كان المثلث مثلث قائم الزاوية ، فإن الزوايا الحادة تكون متكاملة.

نظرية 6-3 إذا كان المثلث متساوي الزوايا ، فإن قياس درجة كل زاوية هو 60.

نظرية الزاوية الخارجية 6-4 نظرية الزاوية الخارجية إذا كانت الزاوية زاوية خارجية لمثلث ، فإن قياسها يساوي المجموع
من قياسات الزاويتين الداخليتين البعيدتين.

نظرية عدم المساواة 6-5 لأية أرقام أ و ب ، أ و ج ت ب إذا وفقط إذا كان هناك رقم موجب ج مثل ذلك
أ = ب + ج.

النظرية 6-6 إذا كانت الزاوية زاوية خارجية لمثلث ، فإن قياسها يكون أكبر من قياس أيٍّ منهما
الزاوية الداخلية.

نظرية 6-7 تطابق المثلثات انعكاسية ومتناسقة ومتعدية.

نظرية 6-8 AAS إذا كانت الزاويتان والجانب غير المتضمن لمثلث واحد متطابقتين مع الزوايا المقابلة
والجانب غير المتضمن لمثلث آخر ، فإن المثلثات متطابقة.

الفصل 7 المزيد عن المثلثات

افترض 7-1 HL إذا كان الوتر وساق مثلث قائم الزاوية متطابقين مع الأضلاع المقابلة لمثلث آخر
مثلث قائم الزاوية ، ثم المثلثات متطابقة.

نظرية 7-1 نظرية المثلث متساوي الساقين إذا كان ضلعان من المثلث متطابقين ، فإن الزاوية المقابلة لهذين الضلعين
متطابقة.

نظرية 7-2 المثلث متساوي الأضلاع فقط إذا كان متساوي الزوايا.

نظرية 7-3 كل زاوية في مثلث متساوي الأضلاع لها درجة قياسها 60.

نظرية 7-4 إذا كانت زاويتان في المثلث متطابقتين ، فإن الأضلاع المقابلة لهاتين الزاويتين متطابقتان.

نظرية 7-5 HA إذا كان الوتر والزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية متطابقتين مع المقابل
الوتر والزاوية الحادة لمثلث قائم آخر ، ثم المثلثات متطابقة.

Theorem 7-6 LL إذا كانت أرجل مثلث قائم الزاوية متطابقة مع الأرجل المقابلة لمثلث قائم الزاوية آخر ، إذن
المثلثات متطابقة.

نظرية 7-7 LA إذا كانت إحدى الأرجل والزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية متطابقة مع الساق المقابلة والحادة
زاوية مثلث قائم الزاوية آخر ، ثم المثلثات متطابقة.

نظرية 7-8 إذا كانت قياسات ضلعي المثلث غير متساوية ، فإن قياسات الزوايا المقابلة لها
الجوانب غير متساوية في نفس الترتيب.

النظرية 7-9 إذا كان قياس زاويتين في المثلث غير متساوٍ ، فإن قياسات الأضلاع المقابلة لها
الزوايا غير متساوية بنفس الترتيب.

النظرية 7-10 المقطع هو أقصر مقطع من نقطة إلى خط إذا وفقط إذا كان المقطع متعامدًا مع
الخط.

النظرية 7-11 المقطع هو أقصر مقطع من نقطة إلى مستوى إذا وفقط إذا كان مقطعًا متعامدًا مع
الطائرة.

نظرية 7-12 مثلث عدم المساواة مجموع قياسات أي ضلعين لمثلث آخر وقياس
الزوايا المتضمنة غير متساوية ، فإن قياسات الجانب الثالث غير متساوية بنفس الترتيب.

نظرية 7-13 Hidge Theorem إذا كان جانبان من مثلث واحد متطابقين مع ضلعين لمثلث آخر
قياسات الزوايا المتضمنة غير متساوية ، ثم تكون قياسات الجوانب الثالثة متساوية في نفس الوقت
ترتيب.

Theorem 7-14 Converse of the Hinge Theorem إذا كان جانبان من مثلث واحد متطابقين مع جانبين من جانب آخر
المثلث وقياسات الأضلاع الثالثة غير متساوية ، ثم مقاييس الزوايا متضمنة
بين أزواج الأضلاع المتطابقة غير متساوية في نفس الترتيب.

الفصل 8 المضلعات

نظرية 8-1 إذا كان للمضلع المحدب ن الجانبين و س هو مجموع مقاييس زواياها ،
ومن بعد س = (ن - 2)180.

نظرية 8-2 إذا كان المضلع محدبًا ، فإن مجموع مقاييس درجات الزوايا الخارجية ، واحدة عند كل رأس ،
هو 360.

نظرية 8-3 إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع ، فإن القطر يقسمه إلى مثلثين متطابقين.

نظرية 8-4 إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع ، فإن زواياه المقابلة متطابقة.

نظرية 8-5 إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع ، فإن أضلاعه المقابلة متطابقة.

نظرية 8-6 إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع ، فإن قطريه ينقسمان إلى نصفين.

النظرية 8-7 إذا كان كلا الزوجين من الضلعين المتقابلين في الشكل الرباعي متطابقين ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

نظرية 8-8 إذا كان ضلعان في الشكل الرباعي متوازيين ومتطابقين ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

نظرية 8-9 إذا كانت أقطار الشكل الرباعي تنقسم إلى بعضها البعض ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

نظرية 8-10 إذا كان الشكل الرباعي مستطيلًا ، فإن أقطاره متطابقة.

نظرية 8-11 إذا كان الشكل الرباعي معينًا ، فإن كل قطري يشطر زوجًا من الزوايا المتقابلة.

نظرية 8-12 إذا كان الشكل الرباعي معينًا ، فإن أقطاره تكون متعامدة.

نظرية 8-13 إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين ، فإن كل زوج من زوايا القاعدة يكون متطابقًا.

نظرية 8-14 إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين ، فإن قطره يكون متطابقًا.

نظرية 8-15 إذا كان الشكل الرباعي شبه منحرف ، فإن الوسيط موازٍ للقواعد ، وقياسه هو نصف
مجموع مقاييس القواعد.

النظرية 8-16 إذا كان المقطع عبارة عن مجموعة من المضلع المنتظم ، فإنه يكون عموديًا على أحد جوانب المضلع عند
نقطة التماس مع الدائرة المنقوشة.

الفصل 9 التشابه

افترض تشابه 9-1 AA إذا كانت زاويتان لمثلث متطابقتين مع زاويتين متناظرتين في مثلث آخر
المثلث ، ثم المثلثات متشابهة.

نظرية 9-1 المساواة في النواتج المتقاطعة لأي أرقام أ وج ، وأي أرقام غير صفرية ب ود ، أ / ب = ج / د إذا
وفقط إذا كان الإعلان = قبل الميلاد

نظرية 9-2 خصائص الجمع والطرح للنسب

أ / ب = ج / د إذا وفقط إذا أ + ب / ب = ج + د / د
أ / ب = ج / د إذا وفقط إذا أ ب / ب = ج د / د

نظرية 9-3 خاصية الجمع للنسب أ / ب = ج / د إذا وفقط إذا أ / ب = أ + ج / ب + د أو ج / د أ + ج / ب + د

نظرية 9-4 SSS تشابه إذا كان هناك تطابق بين المثلثين بحيث تكون قياساتهما
الأضلاع المتناظرة متناسبة ، ثم يتشابه المثلثان.

نظرية 9-5 SAS تشابه إذا كانت قياسات ضلعي المثلث متناسبة مع قياسات اثنين
الأضلاع المتناظرة لمثلث آخر ، والزوايا المتضمنة متطابقة ، ثم المثلثات
مماثل

نظرية 9-6 إذا كان الخط موازياً لأحد جوانب المثلث ويتقاطع مع الجانبين الآخرين ، فإنه يفصل بين الجانبين
إلى شرائح ذات أطوال متناسبة.

نظرية 9-7 إذا تقاطع خط مع ضلعين من مثلث ، وفصل الجانبين إلى مقاطع ذات أطوال متناسبة ،
ثم الخط موازٍ للضلع الثالث.

النظرية 9-8 إذا كان للقطعة نقاط نهايتها لنقاط المنتصف في ضلعين من المثلث ، فإنها تكون موازية للثالث
طول الضلع وطوله نصف طول الضلع الثالث.

نظرية 9-9 إذا تقاطعت ثلاثة خطوط متوازية مستعرضين ، فإنهم يقسمون المستعرض بالتناسب.

نظرية 9-10 إذا قطعت ثلاثة خطوط متوازية مقاطعًا متطابقة في مستعرض واحد ، فإنها تقطع الأجزاء المتطابقة
شرائح على أي مستعرض.

نظرية 9-11 إذا كان هناك مثلثين متشابهين ، فإن قياسات المحيطات المقابلة تتناسب مع
قياسات الجوانب المقابلة.

نظرية 9-12 إذا كان مثلثين متشابهين ، فإن قياسات الارتفاعات المقابلة تتناسب مع
قياسات الجوانب المقابلة.

نظرية 9-13 إذا كان مثلثين متشابهين ، فإن قياسات منصفات الزوايا المقابلة للمثلثين تكون
يتناسب مع قياسات الجوانب المقابلة.

نظرية 9-14 إذا كان مثلثين متشابهين ، فإن قياسات المتوسطات المقابلة تتناسب مع
قياسات الجوانب المقابلة.

نظرية 9-15 إذا تمدد مع المركز ج وعامل مقياس ك خرائط أ على ه و ب على د، ومن بعد ED = ك(AB)

الفصل 10 مثلثات قائمة

النظرية 10-1 إذا تم رسم الارتفاع من رأس الزاوية اليمنى إلى وتر المثلث القائم ، فعندئذٍ
تم تشكيل مثلثين متشابهين مع المثلث المحدد ولكل منهما الآخر.

النظرية 10-2 قياس الارتفاع المرسوم من الزاوية اليمنى إلى وتر المثلث القائم هو
الوسط الهندسي بين قياسات جزأين من الوتر.

نظرية 10-3 إذا تم رسم الارتفاع على وتر المثلث القائم ، فإن قياس رجل المثلث يكون
المتوسط ​​الهندسي بين قياس الوتر وقياس المقطع
وتر المثلث المجاور لتلك الساق.

Thorem 10-4 The Phythagorean Theorem إذا كان المثلث هو مثلث قائم الزاوية ، إذن مجموع مربعات القياسات
من الساقين يساوي مربع قياس الوتر.

النظرية 10-5 عكس نظرية فيثاغورس إذا كان مجموع مربعات قياسات ضلعي
المثلث يساوي مربع قياس الضلع الأطول ، ثم المثلث هو مثلث قائم الزاوية.

نظرية 10-6 45-45-90 نظرية في مثلث 45-45-90 قياس الوتر هو الجذر التربيعي لمرتين
قياس الساق.

نظرية 10-7 30-60-90 نظرية في مثلث 30-60-90 قياس الوتر هو 2 مرة قياس
الساق الأقصر وقياس الساق الأطول هو الجذر التربيعي لثلاثة أضعاف قياس
ساق أقصر.

الفصل 11 الدوائر

افترض 11-1 فرض إضافة القوس إذا كانت Q نقطة على القوس PQR ، فإن قياس القوس PQ + قياس القوس
QR = قياس القوس PQR.

نظرية 11-1: جميع أنصاف أقطار الدائرة متطابقة.

نظرية 11-2 في دائرة في دوائر متطابقة ، زاويتان مركزيتان متطابقتان إذا وفقط إذا كانت أقواسهم الصغيرة
تتطابق.

النظرية 11-3 في دائرة أو في دوائر متطابقة ، يتطابق قوسان صغيران إذا وفقط إذا كانت الأوتار المقابلة لها
متطابقة.

نظرية 11-4 في الدائرة ، إذا كان القطر متعامدًا على الوتر ، فإنه يشطر الوتر وقوسه.

النظرية 11-5 في دائرة أو في دوائر متطابقة ، يتطابق وتران إذا وفقط إذا كانا على مسافة متساوية من
المركز.

نظرية 11-6 إذا كانت الزاوية منقوشة في دائرة ، فإن قياس الزاوية يساوي نصف قياسها
القوس المعترض.

نظرية 11-7 إذا اعترضت زاويتان محطتان لدائرة أو دائرتان متطابقتان أقواسًا متطابقة ، فإن الزوايا تكون
تتطابق.

نظرية 11-8 إذا كانت الزاوية منقوشة في نصف دائرة ، فإن الزاوية هي الزاوية القائمة.

نظرية 11-9 إذا كان الخط مماسًا لدائرة ، فإنه يكون عموديًا على نصف القطر المرسوم إلى نقطة التماس.

النظرية 11-10 في المستوى ، إذا كان الخط متعامدًا على نصف قطر دائرة عند نقطة نهايته على الدائرة ، فإن الخط يكون
ظل.

Theorem 11-11 If two segments from the same exterior point are tangent to a circle, then they are congruent.

Theorem 11-12 If two secants intersect in the interior of a circle, then the measures of an angle formed is one-half the
sum of the measures of the arcs intercepted by the angle and its vertical angle.

Theorem 11-13 If two secants intersect in the exterior of a circle, then the measure of an angle formed is one-half the
positive difference of the measures of the intercepted arcs.

Theorem 11-14 If a secant and a tangent intersect at the point of tangency, then the measure of each angle formed is
one-half the measure of its intercepted arc.

Theorem 11-15 If a secant and a tangent, or two tangents, intersect in the exterior of a circle, then the measure of the
angle formed is one-half the positive difference of the measures of the intercepted arcs.

Theorem 11-16 If two chords intersect in a circle, then the product of the measures of the segments of one chord equals
the product of the measures of the segments of the other chord.

Theorem 11-17 If two secant segments are drawn to a circle from an exterior point, then the product of the measures of
one secant segment and its external secant segment equals the product of the measures of the other
secant segments and its external secant segment.

Theorem 11-18 If a tangent segment and a secant segment are drawn to a circle from an exterior point, then the square
of the measure of the tangent segment equals the product of the measures of the secant segment and its
external secant segment.

Theorem 11-19 General Equation of a Circle The equation of a circle with center at (h, k) and radius measuring ص units
is (x - h) 2 + (y - k) 2 = ص 2

Theorem 11-20 Circumference of a Circle If a circle has an area of أ square units and a radius of ص units,
then C = 2 pi (r).

Theorem 11-21 Area of a Circle If a circle has an area of أ square units and a radius of ص units, then أ = pi(ص) 2 .

Chapter 12 Area and Volume

Postulate 12-1 Volume Postulate For any solid region and a given unit of measure, there is a unique positive number
called the measure of the volume of the region.

Postulate 12-2 If two solid regions are congruent, then they have equal volumes.

Postulate 12-3 Volume Addition Postulate If a solid region is separated into nonoverlapping regions, then the sum of
the volumes of these equals the volume of the given region.

Postulate 12-4 If a right prism has a volume of الخامس cubic units, a base with an area of ب square units, and a height of ح
units, then الخامس = Bh.

Postulate 12-5 Cavalieri's Principle If two solids have the same cross-sectional area at every level, and the same
height, then they have the same volumes.

Theorem 12-1 Lateral Area of a Right Prism If a right prism has a lateral area of إل square units, a heights of ح units,
and each base has a perimeter of ص units, then إل = ph.

Theorem 12-2 Total Surface Area of a Right Prism If the total surface area of a right prism is تي square units, each base
has an area of ب square units, a perimeter of ص units, and a height of ح units, then T = ph + 2ب.

Theorem 12-3 Lateral Area of a Right Cylinder If a right cylinder has a lateral area of إل square units, a height of ح
units, and the bases have radii of ص units, then إل = 2pi(ص)(ح).

Theorem 12-4 Total Surface Area of a Right Cylinder If a right cylinder has a total surface area of تي square units, a
height of ح units, and the bases have radii of ص units, then تي = 2pi(ص)(ح) + 2pi(ص) 2 .

Theorem 12-5 Lateral Area for a Regular Pyramid If a regular pyramid has a lateral area of إل square units, a slant
height of ل units, and its base has a perimeter of ص units, then إل = 1/2pl.

Theorem 12-6 Lateral and Total Surface Area of a Right Circular Cone If a right circular cone has a lateral area of إل
square units, a total surface area of تي square units, a slant height of ل units, and the radius of the base is
ص units, then إل = pi(ص)(ل) + piص) 2 .

Theorem 12-7 Surface Area of a Sphere If a sphere has a surface area of أ square units and a radius of ص units, then
أ = 4pi(ص) 2 .

Theorem 12-8 Volume of a Right Cylinder If a right pyramid has a volume of الخامس cubic units, a height of ح units, and the
area of the base is ب square units, then الخامس = pi(ص) 2 (ح).

Theorem 12-9 Volume of a Right Pyramid If a right pyramid has a volume of الخامس cubic units, a height of ح units, and the
area of the base is ب square units, then الخامس = 1/3Bh.

Theorem 12-10 Volume of a Right Circular Cone If a right circular cone has a volume of الخامس cubic units, a height of ح
units, and the area of the base is ب square units, then الخامس = 1/3Bh.

Theorem 12-11 Volume of a Sphere If a sphere has a volume of الخامس cubic units and a radius of ص units, then
الخامس = 4/3pi(ص) 2 .

Theorem 12-12 Given two points أ(x1,ذ1,ض1) و ب(x2,ذ2,ض2) in space, the distance between أ و ب is given by the
following equation. AB - the square root of (x2-x1) 2 +(ذ2-ذ1) 2 +(ض2+ض1) 2 .

Chapter 13 Loci

Postulate 13-1 In a given rotation, if أ is the preimage, ص is the image, and دبليو is the center of rotation, then the
measure of the angle of rotation, angle AWP, equals twice the measure of the angle between the
intersecting lines of reflection.


Area of an isosceles right triangle

Isosceles right triangle is a special right triangle, sometimes called a 45-45-90 triangle. In such triangle the legs are equal in length (as a hypotenuse always must be the longest of the right triangle sides):

One leg is a base and the other is the height - there is a right angle between them. So the area of an isosceles right triangle is:


8.1: Angle Measurement

Definition of the six trigonometric functions

We will begin by considering an angle in standard position.

تعريف- An angle in standard position is an angle lying in the Cartesian plane whose vertex is at the origin and whose initial ray lies along the positive x-محور.

The following diagram depicts an angle ثيتا in standard position.

The rotation of an angle in standard position originates from the initial ray. Angles formed by counterclockwise rotation have positive measure, while angles formed by clockwise rotation have negative measure as pictured above. Two angles in standard position that have the same terminal ray are called coterminal. For example, the angles in the above figure are coterminal. Suppose we choose a point (x, ذ) &ne (0, 0) lying on the terminal ray of an angle in standard position. If we let ص be the distance from the origin to the point (x, ذ) then,

according to the distance formula. Using the variables x, ذ، و ص, we define the six trigonometric functions as follows,

The six trigonometric functions are read as follows:

Abbreviation دور
كوس ثيتا cosine ثيتا
الخطيئة ثيتا شرط ثيتا
tan ثيتا ظل ثيتا
sec ثيتا قاطع ثيتا
csc ثيتا قاطع التمام ثيتا
cot ثيتا cotangent ثيتا

There are two important points to notice as you study these definitions. First, the the secant, cosecant, and cotangent functions are the reciprocals of the cosine, sine, and tangent functions, respectively. Second, there is no value for which the cosine and sine functions are undefined. هذا بسبب ص is the distant from the origin to the point (x,ذ) &ne (0,0) on the terminal ray.

Now let's apply these definitions to a real situation. Consider the following angle in standard position:

Using the above diagram, we compute ص as,

We can now find the values of the six trigonometric functions with x = &minus4, ذ = 3, and ص = 5 as,

Radian Measure

We have not specifically discussed the angle ثيتا yet, but it can be measured in degrees or in radians. While you are probably comfortable with degree measure, you may be less so with radian measure. To define a radian, consider the following circle with radius ص centered at the origin:

In the above picture, the angle ثيتا has measure 1 radian. To be specific,

Definition- ال radian measure of an angle whose vertex lies at the center of a circle is the ratio of the arc length to the radius of the circle.

The radius and arc length in the above picture are equal (both equal ص), so ثيتا = 1. Likewise, if the radius of a circle is ص and the central angle intercepts an arc length of 2ص, then the central angle measures 2ص/ص = 2 radians.

التحويل بين الدرجات والراديان

The angle corresponding to one complete rotation has measure 360 ° or 2&pi radians. To convert from degrees to radians or radians to degrees we simply use the following conversion factors:

2&pi radians = 360°
or &pi radians = 180°.

For example, if we want to convert ل ذ radians, we simply write,

On the other hand, if we want to convert ذ radians to x°, we simply write,

To look at a concrete example, suppose we want to convert 512° to radians. Since we are going from degrees to radians, we set the conversion up so that degrees cancel,

In general, we will work with radian measure. Unless the degree unit (°) is explicitly written, all angles are assumed to be in radians.

Domain and Range of Trigonometric Functions

We will now discuss the domain and range of each trigonometric function. Remember that elements in the domain are valid inputs, in this case angle measurements, and elements in the range are the corresponding outputs. Outputs of the trigonometric functions are simply ratios of the variables x, ذ، و ص. To begin, let&rsquos look at the domain and range of the trigonometric functionذ = cos ثيتا و ذ = sin ثيتا . Both of these trigonometric functions have domain all real numbers and range <ذ | &minus 1 &le ذ &le 1>. To determine the domain, we ask ourselves, "for what values of ثيتا are cos ثيتا and sin ثيتا defined?" To answer this, recall the definitions of cos ثيتا و
الخطيئة ثيتا,

The ratios x/ص و ذ/ص are well defined provided ص &ne 0. Recall that ص measures the distance from the point (x, ذ) &ne (0, 0) lying on the terminal side of an angle in standard position to the origin. By definition, ص cannot be zero. Thus, all values of ثيتا are valid inputs.

To see that, <ذ| &minus 1 &le ذ &le 1> is the range of ذ = cos ثيتا و ذ = sin ثيتا, we need to inspect the ratios x/ص و ذ/ص . If we write ص من ناحية x و ذ we have,

Notice that Thus, cos ثيتا = x/ ص and sin ثيتا = y/r cannot be greater than 1 or less than &minus1, depending on whether x و ذ are positive or negative (ص = x متي ذ = 0 and ص = ذ متي x = 0). So we conclude that the range of cos ثيتا and sin ثيتا is,

The other trigonometric functions, specifically tan ثيتا , sec ثيتا , csc ثيتا , and cot ثيتا, contain an additional statement, either x &ne 0 or ذ &ne 0. We will use these restrictions to determine their domain and range. We will begin with ذ = tan ثيتا = y / x . Notice that y / x is not defined when x = 0. Since x هل x-coordinate of a point lying on the terminal ray of an angle in standard position, we need to remove angles that correspond to points whose x-coordinate is zero. Points lying on the ذ-axis have x-coordinate equal to zero, so we must remove angles whose terminal ray lies along either the positive or negative ذ-محور. Two such angles are pictured below:

These two angles measure 90° (along the positive ذ-axis) and 270° (along the negative ذ-axis) corresponding to &pi/2 and 3&pi/2 radians. We also need to consider all coterminal angles by adding and subtracting multiples of 2&pi (e.g., &pi/2 + 2&pi = 5&pi/2 and &pi/2 &minus 2&pi = &minus3&pi/2 ). Therefore, we conclude that ذ = tan ثيتا has domain,

The range of tan ثيتا is easier to determine. Since y = tan ثيتا = ذ / x ، و ذ و x are coordinates of a point, ذ can be any real number and x can be any real number except 0. Thus, the ratio ذ / x can be any real number, and we conclude that the range of ذ = tan ثيتا is all real numbers.

The domain of ذ = sec ثيتا = ص / x is the same as the domain of ذ = tan ثيتا= ذ / x since x &ne 0 in both cases,

Knowing that the range of ذ = cos ثيتا = x / ص is <ذ | &minus 1 &le ذ &le 1>, we can easily find the range of
ذ
= sec = ص / x , since cos ثيتا and sec ثيتا are reciprocals of one another. Reciprocating changes the direction of inequalities in the range and we have,

To find the domain of ذ = csc ثيتا = ص / ذ , we notice that this function is not defined when ذ = 0. Since ذ هل ذ-coordinate of a point lying on the terminal ray of an angle in standard position, we need to remove angles that correspond to points whose ذ-coordinate is zero. Points lying on the x-axis have ذ-coordinate equal to zero, so we must remove angles whose terminal ray lies along either the positive or negative x-محور. Two such angles are pictured below:

These two angles measure 180° along the negative x-axis and 360° along the positive x-axis corresponding to &pi and 2&pi radians, respectively. Of course we also need to consider all coterminal angles by adding and subtracting multiples of 2&pi (e.g., &pi + 2&pi = 3&pi
and &pi &minus 2&pi = &minus&pi ). Therefore, we conclude that ذ = csc ثيتا has domain,

Knowing that the range of ذ = sin ثيتا= ذ / ص is <ذ | &minus 1 &le ذ &le 1>, we can easily find the range of

since sin ثيتا and csc ثيتا are reciprocals of one another. Thus, the range of ذ = csc ثيتا is,

The domain of ذ = cot ثيتا = x / ذ is the same as the domain of ذ = csc ثيتا = ص / ذ since ذ &ne 0 in both cases,

Using the same argument to find the range of ذ = tan ثيتا, the range of ذ = cot ثيتا is also all real numbers. The domains and ranges of the six trigonometric functions are summarized in the following table:

In the next section we will find the trigonometric functional values of some special angles.


8.1: Angle Measurement

Configurable screen ruler for measuring in pixels, centimeters, inches, points and percent.

Screen Ruler is a lightweight and configurable ruler tool for Windows Desktop. It allows you to measure the size of elements on the screen in different units, including pixels, centimeters and inches. Measuring is possible either using a two-dimensional, rectangular ruler scale or a one-dimensional, horizontal or vertical scale. The ruler can be moved and resized precisely using either the mouse or the keyboard and custom marking lines can be added. Besides coming with a light and a dark theme, Screen Ruler also allows you to fully customize its appearance by changing all color settings.

Measure in pixels, centimeters, inches, points and percent

Two-dimensional, rectangular ruler scale

One-dimensional, horizontal or vertical ruler scale

Dark theme and option for custom coloring

Automatically measure the size of windows on screen

Add arbitrary number of custom marking lines

Auto-mark center, thirds or golden ratio

Precise moving and resizing with keyboard shortcuts

Fully portable with no installation needed

Screen Ruler requires Windows 7 or newer and .NET Framework 4.5 or higher.

From the help window (press F1 in the app):

Keyboard Actions:
Space - Switch ruler mode between horizontal, vertical and two-dimensional.
Z - Select a window to measure. Cancel with 'Esc'.
Arrow keys - Move the ruler by one pixel.
Shift + Arrow keys - Move the ruler by one medium step (defaults to 5px).
Ctrl + Arrow keys - Resize the ruler by one pixel.
Ctrl + Shift + Arrow keys - Resize the ruler by one medium step (defaults to 5px).
Alt + Arrow keys - Dock the ruler to screen boundaries.
Ctrl + C - Copy current length to clipboard.
L - Set marker at current length.
C - Remove the first custom marking line.
Esc - Exit Screen Ruler, window selection or help.
See more keyboard actions in context menu.

Mouse Actions:
Click on a position where a marker is set - Open dialog to view/ delete marker.
Double-click on ruler - Set marker at the clicked position.
Mouse wheel - Resize the ruler.
Shift + Mouse wheel - Fast resizing of the ruler (large steps).

Read the changelog to see changes in each version.

Please leave a feedback on Sourceforge, on AlternativeTo or anywhere else. شكرا لك!

You are very welcome to support the development of this app by reporting bugs, adding fixes, translating or suggesting new features. The easiest way to contribute is to open pull request on GitHub.

See all the great people that have contributed in the list of contributors. Make sure to add yourself in your pull request!


شاهد الفيديو: Finding Interior and Exterior Angles in a Polygon (شهر نوفمبر 2021).