مقالات

10: المشتقات الجزئية ومعادلة الانتشار


10: المشتقات الجزئية ومعادلة الانتشار

نعتبر أولاً حالة التوصيل الحراري أحادية البعد. يمكن تحقيق ذلك بقضيب طويل رفيع بتقريب جيد جدًا. نفترض أن الحرارة تنتقل فقط على طول القضيب وليس أفقيًا إلى المناطق المحيطة (قضيب معزول حراريًا).

الشكل: توزيع درجة الحرارة على طول قضيب رقيق مسخن

بالإضافة إلى ذلك ، تعتبر خصائص المواد للقضيب المتجانس ، مثل السعة الحرارية والكثافة ، ثابتة. الآن يتم تسخين القضيب عند نقطة واحدة أو حتى في عدة نقاط. ثم تتدفق الحرارة من الأماكن ذات درجات الحرارة المرتفعة إلى الأماكن ذات درجات الحرارة المنخفضة. ونتيجة لذلك ، تصبح البقع الساخنة أكثر برودة وأكثر سخونة ، حتى تتساوى درجات الحرارة في نقطة ما ويكون للقضيب درجة حرارة موحدة وثابتة مؤقتًا.

الرسوم المتحركة: توزيع درجة الحرارة بمرور الوقت على طول قضيب رقيق مسخن

أثناء معادلة درجة الحرارة ، نعتبر الآن قسمًا متناهي الصغر dx في أي نقطة. يغير هذا القسم درجة حرارته بمقدار dT خلال الفترة الزمنية dt بسبب الحرارة Qن. العلاقة التالية تنطبق بين الحرارة Qن وتغير درجة الحرارة dT (c يدل على السعة الحرارية محددة):

يبدأ
& ampQ_n = m cdot c cdot textT [5 بكسل]
& ampQ_n = underbrace < overbracex> ^ cdot rho> _ cdot c cdot textT [5 بكسل]
نهاية

الشكل: العلاقة بين التدفق الحراري وتغير درجة الحرارة بمرور الوقت

في المعادلة أعلاه ، تم التعبير عن الكتلة m لقسم القضيب بحجمه V وكثافته ϱ ، حيث يمكن وصف الحجم بدوره بالمنطقة A وطول المقطع dx.

منذ الحرارة سن يتم نقله خلال الوقت dt ، تنطبق العلاقة التالية بين معدل تدفق الحرارة Q *ن= سن/ dt والتغير الزمني لدرجة الحرارة dT / dt:

يبدأ
& أمبير فارك< نصt> = A cdot textx cdot rho cdot c cdot frac < textT> < نصر> [5 بكسل]
ضع الكلمة المناسبة
& amp dot Q_n = A cdot textx cdot rho cdot c cdot frac < textT> < نصر> [5 بكسل]
نهاية

في المعادلة أعلاه ، س *ن يدل على صافي تدفق الحرارة يقوم بتسخين أو تبريد القسم المدروس (ومن هنا جاء الفهرس & # 8220n & # 8221). تصف هذه المعادلة في النهاية تأثير من تدفق الحرارة على درجة الحرارة ، ولكن ليس موجه من تدفق الحرارة نفسه. سبب التدفق الحراري هو وجود درجة حرارة متدرجة dT / dx وفقًا لقانون فورييه & # 8217s (λ تشير إلى التوصيل الحراري):

يمكن تحديد التدفق الحراري الصافي للقسم المدروس باستخدام قانون فورييه & # 8217. لهذا يجب على المرء أن يحدد ، من ناحية ، أي تدفق حراري Q *في يؤدي إلى القسم ، ومن ناحية أخرى ، التي تتدفق فيها الحرارة Q *خارج يترك القسم. الفرق يتوافق أخيرًا مع التدفق الحراري الصافي. وبالتالي ، فإن التدفق الحراري الصافي ليس سوى الفرق المتناهي الصغر dQ * في تدفقات الحرارة بين أحد طرفي القسم والطرف الآخر:

الشكل: معادلة الحرارة مع توليد الحرارة الداخلي

عند هذه النقطة ، للحصول على تمثيل رياضي صحيح ، يجب ملاحظة أن الزيادة في تدفق الحرارة على طول الاتجاه x (الموجب) للقضيب يعني أن تدفق الحرارة الخارج أكبر من تدفق الحرارة الوارد. نتيجة لذلك ، تتم إزالة الحرارة من القسم. يجب حساب هذه الحرارة سلبياً حتى تتغير درجة الحرارة حسب المعادلة ( ref) يتوافق في الواقع مع انخفاض في درجة الحرارة (dT & lt0). لذلك يجب إضافة علامة سالبة إلى المعادلة العليا:

إذا كان في المعادلة ( ref) التدفق الحراري الصافي Q *ن يتم استبداله باختلاف التدفق الحراري الصادر والوارد dQ * ، ثم تنطبق العلاقة التالية على التغير الزمني لدرجة الحرارة:

المصطلح dQ * / dx يتوافق مع المشتق الأول لتدفق الحرارة فيما يتعلق بـ x (التدرج في تدفق الحرارة). وفقًا لقانون Fourier & # 8217s ، فإن هذا بدوره يتوافق مع المشتق الثاني لدرجة الحرارة فيما يتعلق بـ x. استخدام قانون فورييه & # 8217s ( ref) في المعادلة أعلاه يكشف هذه العلاقة:

وبالتالي ، فإن التغيير الزمني لدرجة الحرارة في موقع معين يتم الحصول عليه من خلال المشتق الثاني لتوزيع درجة الحرارة (فيما يتعلق بـ x). المشتق الثاني يتوافق مع تغيير التدرج في درجة الحرارة في النقطة المدروسة.

ينتج التغيير الزمني لدرجة الحرارة في نقطة معينة عن التغيير المكاني لتدرج درجة الحرارة عند هذه النقطة. تصف معادلة الحرارة للحالة غير المستقرة انتشار درجة الحرارة في المادة.

بشكل عام ، لا تعد درجة الحرارة دالة للوقت فحسب ، بل هي أيضًا دالة على المكان ، لأنه بعد كل شيء يكون للقضيب درجات حرارة مختلفة على طوله. في المعادلة أعلاه ، يكون الجانب الأيسر من المعادلة أ اشتقاق جزئي من درجة الحرارة فيما يتعلق بالوقت والجانب الأيمن من المعادلة هو ثانية اشتقاق جزئي فيما يتعلق بالفضاء. لذلك فإن الترميز الرياضي الصحيح هو:

هذه المعادلة التفاضلية تسمى معادلة تفاضلية جزئية مكافئ (معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية).


10: المشتقات الجزئية ومعادلة الانتشار

احصل على شهادة كخبير في ما يصل إلى 15 موضوعًا فريدًا في العلوم والتكنولوجيا والهندسة والرياضيات هذا الصيف. دورات المعسكرات التدريبية مجانية. اشترك الآن للحصول على شهادتك.

أوه لا! يعمل معلمونا حاليًا بجد لحل هذا السؤال.

في غضون ذلك ، يوصي مدرس الذكاء الاصطناعي لدينا بهذا الفيديو الخبير المماثل خطوة بخطوة الذي يغطي نفس الموضوعات.

المشكلة 7 صعوبة سهلة

معادلة الانتشار ثنائي الأبعاد
$
فارك < جزئي n ( mathbf، t)> < part t> = D left ( frac < جزئي ^ <2> n ( mathbf، t)> < جزئي x ^ <2>> + frac < جزئي ^ <2> n ( mathbf، t)> < جزئي y ^ <2>> right)
$
حيث $ n ( mathbf، t)، mathbf= (x، y) $ تشير إلى الكثافة السكانية عند النقطة $ mathbf= (x، y) $ في الطائرة في الوقت $ t $، يمكن استخدامها لوصف انتشار الكائنات الحية. افترض أنه تم إطلاق عدد كبير من الحشرات في الوقت 0 عند النقطة $ (0،0) $. علاوة على ذلك ، افترض أنه في أوقات لاحقة ، يمكن وصف كثافة هذه الحشرات بمعادلة الانتشار (10.50). اظهر ذلك
$
n (x، y، t) = frac> <4 pi D t> exp left [- frac+ y ^ <2>> <4 D t> right]
$
يرضي (10.50) دولار


10: المشتقات الجزئية ومعادلة الانتشار

تتمثل الفكرة الأساسية لطريقة الفروق المحدودة في حل معادلات PDE في استبدال المشتقات المكانية والزمنية بتقديرات مناسبة ، ثم حل معادلات الفروق الناتجة عدديًا. على وجه التحديد ، بدلًا من إيجاد قيمة مع ومستمر ، قمنا بإيجاد قيمة ، أين

حدد الشبكة الموضحة في الشكل 1.

يتم تقريب مشتقات من حيث قيم نقاط الشبكة. على سبيل المثال ، نحن نعلم ذلك

يمكن تقريب المشتق الثاني عند نقطة الشبكة باستخدام

بدلاً من استخدام التقديرات التقريبية من حيث قيم at as للاختلاف الأمامي ، أو عند نقاط الاختلاف الخلفي ، دعنا نتخيل بدلاً من ذلك أننا نقوم بتقييمه عند النقاط (الوهمية) المحددة بطريقة واضحة. ثم ، باستخدام تقديرات الفرق المركزية للمشتقات المكانية المقيمة عند هذه النقاط ،

يمكننا تقريب المشتقات فيما يتعلق بالوقت بنفس الطريقة. على سبيل المثال ، تقريب الفرق الأمامي عند نقطة الشبكة هو

وتجدر الإشارة إلى أن تقديرات الفروق المحدودة هذه صالحة فقط لبعض الترتيب في أو. يسمى الخطأ في التقديرات خطأ الاقتطاع. من الممكن الحصول على تقديرات تقريبية صالحة للترتيب الأعلى باستخدام المزيد من نقاط الشبكة في التقديرات التقريبية. كل هذا مهم جدًا ، ولكن بالنسبة لأغراضنا ، ستكون التقديرات الواردة أعلاه كافية.

باستخدام التقريبين (3) و (4) في (2) ، وإعادة الترتيب ، نحصل على معادلة الفرق التالية التي يمكن تكرارها لإيجاد الحل التقريبي للمعادلة (2):

يسمى هذا بالمخطط العددي الصريح لأن حساب at يتم تحديده تمامًا من خلال حسابنا لـ at. يُطلق على هذا المخطط أيضًا اسم ثابت لأن تقديرات الفروق المحدودة لها خطأ اقتطاع يقترب من الصفر في الحد الذي ،.

على الرغم من أن هذه طريقة متسقة ، إلا أننا لا نضمن أن المعادلة التكرارية (5) ستعطي تقريبًا جيدًا للحل الحقيقي لمعادلة الانتشار (2). يسمى المخطط العددي متقارب إذا كان حل المعادلات المنفصلة (هنا ، حل (5)) يقترب من الحل الدقيق (هنا ، حل (2)) في الحد الذي ،.

بالنسبة للمعادلات الخطية مثل معادلة الانتشار ، ترتبط مسألة التقارب ارتباطًا وثيقًا بمسألة استقرار المخطط العددي (يسمى المخطط مستقرًا إذا لم يكبر الأخطاء التي تنشأ أثناء الحساب). في الواقع ، تقول نظرية Lax Equivalence أنه بالنسبة لمشكلة القيمة الأولية المطروحة بشكل صحيح لـ PDE الخطي ، وتقريب الفرق المحدود المتسق ، فإن الاستقرار هو الشرط الضروري والكافي للتقارب. علاوة على ذلك ، يمكن إثبات أن المخطط المقدم بواسطة (5) يكون متقاربًا فقط عندما

هذه القضايا مهمة جدًا أيضًا ، لكن هذا ليس المكان المناسب للخوض فيها بمزيد من التفاصيل. تم وصف جميع التفاصيل ، على سبيل المثال ، في دورة أولى في التحليل العددي للمعادلات التفاضلية بواسطة Arieh Iserles ، Cambridge University Press ، 1996.

ومع ذلك ، قبل المضي قدمًا ، اسمحوا لي أن أؤكد أنه مع تصغير الأحجام ، يتناقص خطأ الاقتطاع لتقريب المشتقات الجزئية بالاختلافات المحدودة. ومع ذلك ، بالنسبة للأحجام الأصغر ، يلزم إجراء المزيد من العمليات الحسابية للحصول على حلول لنفس المجال والوقت الإجمالي ، مما يؤدي إلى زيادة خطأ التقريب. تم رسم إجمالي الخطأ كدالة لهذه الأحجام في الشكل 2.


3. ترميز عامل الانتشار التقديري في numpy & # 182

هنا سنقسم مجالنا إلى 20 نقطة شبكية.

سيتم حل التدفقات على الشبكة المتداخلة بـ 21 نقطة.

سيتم حل $ u $ على شبكة 20 نقطة.

إليك طريقة واحدة لتنفيذ الاختلاف المحدود باستخدام فهرسة المصفوفة.

يمكننا أيضًا استخدام الدالة numpy.diff () لإنجاز الشيء نفسه:

هذه وظيفة تحسب التدفق الانتشار $ F $ على الشبكة المتداخلة ، بما في ذلك الحدود.

الاتجاه الزمني لـ $ u $ هو مجرد تقارب لهذا التدفق ، والذي يتطلب فرقًا محدودًا آخر:

مثال سلس & # 182

لنفترض أن لدينا حقلًا أوليًا $ u $ به حد أقصى محلي في الداخل.

تعتبر وظيفة gaussian (منحنى الجرس) طريقة ملائمة لإنشاء مثل هذا المجال.

نأمل أن يكون هذا منطقيًا. يعمل الانتشار على تهدئة $ u $ عن طريق تقليل الذروة وزيادة $ u $ على جوانب النتوء الغاوسي.

بعض الأمثلة غير السلسة & # 182

استخدم مولد أرقام عشوائي لإنشاء بعض الظروف الأولية الصاخبة.


يحدث انتشار الحرارة عبر شبكة بلورية من خلال عمليتين. أولاً ، يمكن أن تحمل الإلكترونات الحرارة في شكل طاقة حركية في الصخور المعدنية. إذا تم تسخين منطقة من الصخر في أحد طرفيها ، فإن الطاقة الحرارية يثير الإلكترونات ، مما يمنحها طاقة إضافية للتنقل عبر الصخر من مناطق ذات حرارة عالية إلى مناطق منخفضة الحرارة. عندما تتحرك الإلكترونات ، تفقد بعضًا من هذه الطاقة الزائدة على شكل حرارة ، وبالتالي تسخن المنطقة التي انتقلت إليها. ثانيًا ، يضيف تسخين بنية شبكية طاقة حركية للشبكة نفسها ، عن طريق زيادة الروابط الاهتزازية بين الذرات (فكر في الذرات المتصلة ببعضها البعض بواسطة نوابض صغيرة). تسمى حركة هذه الطاقة الاهتزازية من خلال الهيكل الشبكي a فونون. يعمل كلا الأسلوبين لتمرير الطاقة عبر البنية الشبكية على توصيل الحرارة من مناطق ذات درجة حرارة أعلى إلى مناطق ذات درجة حرارة منخفضة ، مما يؤدي إلى تغيير التوزيع (وربما الكمية الإجمالية) للحرارة داخل الصخر.

الشكل ( PageIndex <4> ): انتشار الحرارة من خلال شبكة بلورية

معادلة التدفق الحراري: قضيب أحادي الأبعاد

ابدأ بقضيب أسطواني بطول (L ) ومساحة المقطع العرضي (A ) محاذاة مع المحور z. قم بإصلاح درجة الحرارة عند (z = 0 ) إلى (T_1 ) ودرجة الحرارة من (z & gt0 ) إلى (z = L ) إلى (T_2 ) ، حيث (T_2 & gtT_1 ). الحرارة ، (س ) ، ستنتقل من منطقة درجة الحرارة المرتفعة إلى منطقة درجة الحرارة المنخفضة ، في اتجاه -z.

الشكل ( PageIndex <5> ): التدفق الحراري في قضيب أحادي الأبعاد

يُعطى التغير في الحرارة داخل القضيب ( Delta Q ) من خلال:

[ Delta Q = kA left (d frac right) Delta t nonumber ]

حيث (ك ) هو توصيل حراري بوحدات من ( frac) (واط لكل متر كلفن). لذلك ، يحتوي ( Delta Q ) على وحدات الجول (الملاحظة 1 W = 1 ( frac)). أعد ترتيب المعادلة أعلاه على النحو التالي ،

الجانب الأيسر هو التغير في الحرارة لكل وحدة مساحة لكل وحدة زمنية ، وهو تدفق حراري ، بالنظر إلى الرمز (q ).

بالتعويض عن (q ) في المعادلة أعلاه ثم إعادة كتابة الجانب الآخر كمشتق كامل نصل إلى معادلة التدفق الحراري:

لاحظ أن علامة الطرح توضح أن الحرارة تتحرك في الاتجاه -z من درجة حرارة عالية إلى درجة حرارة منخفضة.

معادلة الانتشار لحجم ثلاثي الأبعاد

بشكل عام ، يجب أن نفكر في عنصر حجم ثلاثي الأبعاد (من صخرة) ونفحص كيف يتغير المحتوى الحراري داخل هذا الحجم كدالة للوقت. ضع في اعتبارك عنصر حجم مكعب مع جوانب الطول (dx ) و (dy ) و (dz ) والحجم (dV = dxdydz ).

الشكل ( PageIndex <6> ): التدفق الحراري ثلاثي الأبعاد

ضع في اعتبارك تدفق الحرارة على طول المحور z. الحرارة التي تدخل الحجم عند z + dz هي (Q_z ) والحرارة التي تترك الحجم عند z هي (Q_z -dQ_z ). عندئذٍ يكون التغيير في الحرارة داخل الحجم:

[ Delta Q = Q_z- (Q_z-dQz) nonumber ]

[ Delta Q = Q_z- (Q_z- left ( dfrac right) (- dz)) nonumber ]

[ Delta Q = - left ( frac حق) دز نونبر ]

من معادلة تدفق الحرارة (المعادلة المرجع) نحن نعلم ذلك أيضًا

استبدال (q ) في معادلة (دق ) ثم إدخال (دق ) في معادلة ( دلتا ف ) نجد ،

حيث (dV = Adz = dxdydz ). إذا كانت الموصلية (ك ) مستقلة عن الموضع (ثابت في جميع أنحاء الصخرة) ، فيمكن كتابتها على النحو التالي:

حيث تم إلغاء كلتا العلامتين السلبيتين بحيث يكون ( Delta Q ) موجبًا. تنص هذه المعادلة على أن التغييرات في تدفق الحرارة في عنصر الحجم للصخر تتناسب مع انحناء (المشتق الثاني) لملف درجة الحرارة. هذا مثير للاهتمام ، لأننا عادة ما نفكر في التوصيل على أنه أسرع حيث يكون التدرج أكبر ، ولكنه في الواقع أسرع حيث يكون تغيير في التدرج هو الأكبر.

يمكن أيضًا اعتبار الحرارة الإجمالية داخل الصخر من منظور السعة الحرارية الإجمالية للصخرة (مقدار الحرارة التي يمكن أن تحملها الصخور) ، والتي تعتمد على الحرارة النوعية ، (ج ) ، والكثافة ، ( rho ) ، من الصخرة:

[ Delta Q = c rho dV Delta T nonumber ]

ضبط التعبيرين لـ ( Delta Q ) متساويين:

[c rho dV Delta T = k ( frac) dV dt nonumber ]

والتي يمكن إعادة ترتيبها كـ ،

حيث تم استبدال (dT ) بـ ( Delta T ). تركيبة الثوابت الفيزيائية ( frac) هل الانتشار الحراري ولها وحدات من (( frac) ). يُعطى الانتشار الحراري الرمز اليوناني ( kappa ) (كابا). الاستبدال في ( kappa ) نصل إلى 1-د معادلة الانتشار:

لاحظ أن هذه المعادلة تتعلق بالتغير في درجة الحرارة لكل وحدة زمنية بانحناء ملف درجة الحرارة في اتجاه تدفق الحرارة.

الشكل الكامل لمعادلة الانتشار

بشكل عام ، يمكن أن يأتي تدفق الحرارة من أي اتجاه ، لذلك ستعتمد درجة الحرارة على x و y و z و t. نظرًا لأن (T = T (x ، y ، z ، t) ) ولا يعتمد فقط على متغير واحد ، فمن الضروري إعادة كتابة المشتقات في معادلة الانتشار كمشتقات جزئية:

في هذه الحالة على سبيل المثال ، بالنسبة للمشتق الجزئي فيما يتعلق بالوقت ، يتم التعامل مع كل من المتغيرات (x ، y ، z) على أنها ثوابت ، وهكذا دواليك لكل متغير آخر. لا تدع المشتقات الجزئية تربكك ، فهي مجرد مشتقات. بشكل عام ، ما زلت تريد التفكير في هذه المعادلة على أنها مجموعة من التغييرات الصغيرة في درجة الحرارة ، ( Delta T ) ، التي تحدث على فترات زمنية صغيرة ، ( Delta t ) ، وعلى مسافات صغيرة ( ( دلتا ض )):

هذه هي & quot؛ معادلة الانتشار المبسطة & quot

تقدير الوقت / مقياس الطول لعمليات الانتشار

مقياس الطول للانتشار

يمكن حل النسخة المبسطة أعلاه من معادلة الانتشار من أجل ( Delta z ) لإعطاء إشارة إلى المدى الذي يمكن أن تتحرك فيه الحرارة في فترة زمنية معينة:

بالنسبة للأرض ، فإن القيمة المتوسطة الجيدة للانتشار الحراري هي ( kappa = 1x10 ^ <-6> frac). إلى أي مدى تنتشر الحرارة عبر صخرة في مليون سنة؟

حيث يوجد حوالي (3.15 مرات 10 ^ 7 ) ثانية في السنة ،

ماذا يخبرنا مقياس الطول هذا؟ إنه لا يخبرنا بدرجة الحرارة عند أي مسافة معينة ، ولكنه يخبرنا بدلاً من ذلك أن كمية ملحوظة من الحرارة ستقطع هذه المسافة في الوقت المحدد.

النطاق الزمني للانتشار

هناك طريقة أخرى لبناء حدسك الخاص بالانتشار وهي حل معادلة الانتشار المبسطة لـ ( Delta t ):

يمكننا استخدام هذا المقياس الزمني للنظر في السؤال كم من الوقت يستغرق تدخل الصهارة الحرارية للتأثير على الصخور المحيطة على بعد 100 متر؟

ماذا يخبرنا هذا الجدول الزمني؟ لا تخبرنا درجة الحرارة على المسافة المحددة ، ولكنها تخبرنا بدلاً من ذلك أن كمية ملحوظة من الحرارة ستصل إلى المسافة المحددة في هذا الوقت.

من المهم أن تضع في اعتبارك أن التدرج في درجة الحرارة ، الذي يتحكم في تدفق الحرارة ، يتغير مكانيًا ومؤقتًا ، لذلك يكون نقل الحرارة أسرع في البداية ، وأبطأ لاحقًا. لذا ، فإن المقياس الزمني للانتشار ومقياس الطول يعطيان فقط ترتيبًا لتقدير المقدار للمقاييس الزمنية ومقاييس الطول التي ستكون مهمة في المشكلة.

الانتشار والانتشار بأبعاد 1 أو 2 أو 3

لاحظ أن ( kappa ) به وحدات من ( frac) التي لا تعتمد على درجة الحرارة أو تدفق الحرارة. يصف الانتشار ، بشكل عام ، انتشار بعض الكمية (مثل درجة الحرارة والتركيز) عبر منطقة في وحدة زمنية معينة. سيكون لكل عملية انتشار انتشار خاص بها ، والذي يحدد كيفية حدوث عملية الانتشار لتلك المادة. سيكون لكل وحدة انتشار نفس الوحدات ، ( frac) ، بغض النظر عن العملية الانتشار التي يتم النظر فيها.

إذا كان ( kappa ) ثابتًا (وهو عادةً ما يكون) ، فسيكون الانتشار متناحياً (نفس الشيء في كل الاتجاهات). ومع ذلك ، تذكر أنه في حالة وجود اختلافات أولية في تدرجات درجة الحرارة (بسبب كيفية حدوث اضطراب درجة الحرارة الأولي) ، يمكن أن يختلف معدل التبريد أو التسخين في اتجاهات مختلفة.

الشكل ( PageIndex <1> ): انتشار الحرارة ثنائي الأبعاد

تتشابه الخطوط العريضة في الشكل أعلاه مع الخطوط العريضة على الخريطة الطبوغرافية. تتباعد الخطوط عن كثب في الاتجاه x وبالتالي يكون تدرج درجة الحرارة كبيرًا هناك. وبالتالي ، كلما ارتفعت درجة الانحناء على الرسم البياني ، تشير إلى اتجاه أقصى قدر من التبريد أو التسخين.

الشكل ( PageIndex <2> ): معدلات التبريد


مخطط كرنك-نيكلسون¶

الفكرة في مخطط Crank-Nicolson هي تطبيق اختلافات مركزة في المكان والزمان ، جنبًا إلى جنب مع متوسط ​​الوقت. نطالب بتنفيذ PDE في نقاط الشبكة المكانية ، ولكن بين النقاط في الشبكة الزمنية:

لـ (i = 1 ، ldots ، N_x-1 ) و (n = 0 ، ldots ، N_t-1 ).

مع الاختلافات المركزة في المكان والزمان ، نحصل على ذلك

على الجانب الأيمن نحصل على تعبير

هذا التعبير إشكالي منذ (u ^<2>> _i ) ليس من الأشياء المجهولة التي نحسبها. الاحتمال هو استبدال (u ^<2>> _i ) بمتوسط ​​حسابي:

في التدوين المضغوط ، يمكننا استخدام تدوين المتوسط ​​الحسابي ( overline^ t ):

بعد كتابة الفروق والمتوسط ​​، والضرب في ( Delta t ) ، وجمع كل المصطلحات غير المعروفة على الجانب الأيسر ، نحصل على

هنا أيضًا ، كما في مخطط Backward Euler ، المجهول الجديد (u ^_) ، (u ^_) و (u ^_) يقترن بنظام خطي (AU = b ) ، حيث (A ) له نفس البنية كما في (14) ، ولكن مع إدخالات مختلفة قليلاً:

لمعادلات النقاط الداخلية ، (i = 1 ، ldots ، N_x-1 ). تتوافق معادلات النقاط الحدودية مع


1 إجابة 1

نعم ، صحيح أن $ u_ alpha & gt u_ beta $ لـ $ t & gt 0، 0 & lt x & lt 1 $.

ضع في اعتبارك أولاً المشكلة $ part_t u = gamma (x) جزئي ^ 2_x u، ، 0 & lt x & lt 1، ، u (0) = u (1) = 1 ،. $ مع $ gamma $ السلس الذي يكون موجبًا على $ [0،1] $.

ليما. إذا كان $ u (0، cdot) $ مقعرًا ، فإن $ جزئي ^ 2_x u (t، cdot) le 0 $ للجميع $ t & gt 0 $.

دليل. بدون فقدان العمومية ، يكون $ u (0، cdot) $ سلسًا. قم بتعيين $ w = جزئي ^ 2_x u $. ثم $ w (0، cdot) le 0 $ و $ w $ يرضي $ part_t w = gamma (x) جزئي ^ 2_x w + 2 gamma '(x) جزئي_x w + gamma' '( x) w $ أيضًا ، بالنسبة إلى $ x in <0،1 > $ ، نعلم أن $ gamma (x) w (t، x) = gamma (x) جزئي_t u (t، x) = gamma (x) cdot 0 = 0 $ وبالتالي $ w (t، x) = 0 $ مقابل $ x in <0،1 > $. وفقًا لمبدأ المقارنة المعتاد لحلول المعادلات المكافئة ، $ u_(t، x) = w ( cdot، x) le 0 $ مقابل $ t & gt 0، ، 0 & lt x & lt 1 $.

الآن ضع في اعتبارك مشكلتين $ part_t u_ alpha = alpha (x) جزئي ^ 2_x u_ alpha، quad جزئي_t u_ beta = beta (x) جزئي ^ 2_x u_ beta $ مع $ alpha & lt beta $ على $ [0،1] $. افترض أيضًا أن $ alpha، beta $ كلاهما مستمر. اعثر على $ gamma $ سلس مثل $ alpha & lt gamma & lt beta $. دع $ u_ gamma $ حل معادلة الحرارة باستخدام دالة المعامل هذه وقم بتعيين $ v = u_ alpha - u_ gamma $ ، بنفس البيانات الأولية والحدودية. ثم $ v $ يرضي $ part_t v = alpha (x) جزئي ^ 2_x v + ( alpha (x) - gamma (x)) جزئي ^ 2_x u_ gamma $ مع البيانات $ v (0، x ) = 0، ، v (t، 0) = v (t، 1) = 0 دولار. بما أن $ جزئي ^ 2_x u_ gamma le 0 $ و $ alpha - gamma & gt 0 $ ، يتبع ذلك $ v & gt 0 $ لـ $ t & gt 0، ، 0 & lt x & lt 1 $. وبالتالي $ u_ alpha & gt u_ gamma $ في هذه المجموعة. بنفس الوسيطة أيضًا $ u_ gamma & gt u_ beta $ في هذه المجموعة.


10: المشتقات الجزئية ومعادلة الانتشار

оличество зарегистрированных учащихся: 43 тыс.

تتناول هذه الدورة المعادلات التفاضلية وتغطي المواد التي يجب على جميع المهندسين معرفتها. يتم تدريس كل من النظرية والتطبيقات الأساسية. في الأسابيع الخمسة الأولى سنتعرف على المعادلات التفاضلية العادية ، وفي الأسبوع الأخير ، سنتعرف على المعادلات التفاضلية الجزئية. تتكون الدورة من 56 مقطع فيديو محاضرة قصيرة ، مع بعض المشاكل البسيطة لحلها بعد كل محاضرة. وبعد كل موضوع جوهري ، هناك اختبار تمرين قصير. يمكن العثور على حلول للمشكلات واختبارات الممارسة في ملاحظات المحاضرات التي يقدمها المعلم. هناك إجمالي ستة أسابيع في الدورة التدريبية ، وفي نهاية كل أسبوع يوجد اختبار تم تقييمه. قم بتنزيل ملاحظات المحاضرة: http://www.math.ust.hk/

machas / differential-equations-for-engineering.pdf شاهد الفيديو الترويجي: https://youtu.be/eSty7oo09ZI

Получаемые навыки

معادلة تفاضلية عادية ، معادلة تفاضلية جزئية (PDE) ، رياضيات هندسية

Рецензии

أفضل مسار. شرح الجوانب النظرية والعملية للمعادلات التفاضلية وفي نفس الوقت قام بتغطية جزء كبير من الموضوع بطريقة سهلة وتعليمية للغاية.

أعتقد أن هذه الدورة مناسبة جدًا لأي عقل فضولي. يمكنك تعلم مفاهيم مهمة وضرورية للغاية من خلال هذه الدورة. n n الدورات التي يدرسها الأستاذ الدكتور شاسنوف ممتازة.

المعادلات التفاضلية الجزئية

لمعرفة كيفية حل معادلة تفاضلية جزئية (pde) ، نحدد أولاً سلسلة فورييه. ثم نشتق معادلة الانتشار أحادية البعد ، وهي pde لانتشار الصبغة في الأنبوب. ننتقل إلى حل هذا pde باستخدام طريقة فصل المتغيرات.

Реподаватели

جيفري ر.شاسنوف

Екст видео

تمام. نحن في المراحل النهائية لحل معادلة الانتشار. لقد قمنا بفصل المتغيرات ansatz ، لذلك كتبنا التركيز ، وهو دالة للموضع في الوقت ، كناتج لوظيفتين إحداهما ليست سوى دالة في x والثانية هي دالة t فقط. من خلال الاستبدال في معادلة الانتشار ، تمكنا من الحصول على معادلتين تفاضليتين عاديتين ، واحدة من أجل X ، X مزدوج ، زائد lambda X يساوي صفرًا ، والتي أظهرناها تعطي قيمًا ذاتية ووظائف ذاتية كحلول عندما يكون لديك شروط حد قيمة نقطتين ، X صفر يساوي صفرًا ، و X sub L يساوي صفرًا. لذلك ، قلنا أن حل هذه المعادلة يحدث لغير الصفر X ، عندما تأخذ lambda n هذه القيم المنفصلة n تربيع Pi تربيع على L تربيع ، ثم تكون الوظيفة المقابلة هي sine n Pi x على L ، n هنا موجب عدد صحيح. المعادلة الثانية التي حصلنا عليها من فصل المتغيرات كانت معادلة T ، وهي T Prime زائد lambda DT يساوي صفرًا ، لكننا الآن & # x27ve حددنا lambda على أنها lambda n حتى نتمكن من وضع lambda n في المعادلة T. هذه المعادلة سهلة الحل. & # x27re نبحث عن دالة مشتقها يساوي سالب lambda n D مضروبًا في الدالة ، أي & # x27s فقط الدالة الأسية ذات الوسيطة المناسبة. يمكننا كتابة الحل هنا. إذن ، T لـ t ، هناك & # x27s ثابت في المقدمة ولكننا سنمتص هذا الثابت في حلولنا عندما نطبق مبدأ التراكب. لذا ، دعني أجعل الثابت يساوي واحدًا. إذن لدينا دالة أسية ، ثم يجب أن تكون ناقص lambda n D مضروبًا في T والتي ستكون ناقص n تربيع Pi تربيع D على L تربيع في t. ثم يعتمد هذا على n أيضًا بسبب lambda n ، لذا يمكنني وضع حرف n هنا. لدينا xn و tn الخاص بنا هنا. يمكننا تجميعها معًا ، لذلك قمنا & # x27ve ببناء هذه الدوال U ، يمكنني تسميتها U sub n ، وهي دالة في x و t ، تساوي X sub n وهي sine n Pi x على L ، مضروبًا في T sub n ، وهي الدالة الأسية لـ e أس ناقص n تربيع Pi تربيع Dt هنا مقسومًا على L تربيع. لذلك ، في ansatz ، نفترض أن U يساوي x في t. ما وجدناه إذن هو مجموعة كاملة من الحلول من هذا النوع ، ومجموعة كاملة تعني عددًا لا نهائيًا من الحلول من هذا النوع ، بجيب مضروبًا في دالة أسية. إذن هذا صالح لـ n يساوي واحدًا ، اثنان ، ثلاثة ، وصولًا إلى ما لا نهاية. تمام. الخطوة النهائية ، مبدأ التراكب. لذلك ، نطبق مبدأ التراكب الصالح للمعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة ، ثم نحصل على الحل العام. إذن ، الفكرة هنا هي كتابة الحل العام. إذن ، الحل العام لـ U هو أن U لـ xt يساوي مجموع n يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية لهذه الدوال ، مضروبًا في ثابت. إذن ، يمكننا تسمية هذا الثابت b n ، ثم لدينا sine n Pi x على L ، ولدينا دالة أسية e أس سالب n تربيع ، Pi تربيع D في t على L تربيع. تمام. هذا & # x27s هو حلنا العام للتركيز U. في مشكلة معينة ، ستحدد ما هو التركيز في الأنبوب عند T يساوي صفرًا ، وهذا & # x27s يسمى الحالة الأولية. إذن ، ما هو الشرط الأولي؟ المشكلة التي سنقوم بها في الفيديو التالي هي عندما تتركز الصبغة كلها في منتصف الأنبوب عند t يساوي صفرًا ثم نسأل كيف تنتشر الصبغة الأولية عبر طول الأنبوب. هنا ، يمكننا أن نكون أكثر عمومية. يمكننا القول إن U لـ x عند t يساوي صفرًا هي مجرد دالة في المتغير x. إذن ، هذا هو التركيز الأولي للصبغة في الأنبوب كدالة في x. إذن ، ماذا يحدث إذا وضعنا t يساوي صفرًا في هذا التعبير؟ ثم نحصل على f في المتغير x يساوي مجموع n يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية ، لـ b n في sin n Pi x على L ، في e أس صفر ، وهو واحد. إذن فالدالة الأسية تصبح واحدة. أتمنى أن تتعرف على هذا ، هذه سلسلة فورييه سين ، سلسلة فورييه جيبية. كان هذا هو الغرض الأساسي من تقديم سلسلة فورييه في بداية هذه الوحدة. لأننا نحتاجها الآن في الحل النهائي لـ PDE. في الواقع ، اخترع جوزيف فورييه سلسلة فورييه لأنه كان بحاجة إليها في الحل النهائي لـ PDE. لذلك ، نحن نعرف ما هو bn ، من تحليل سلسلة فورييه. نعلم إذن أن b sub n يساوي اثنين على L في التكامل من صفر إلى L لـ f لـ x في sin n Pi x على Ldx. هذا يكمل حل معادلة الانتشار. لذا ، اسمحوا لي أن أراجع بسرعة ما فعلناه. كنا نحل معادلة الانتشار. لقد استخدمنا تقنية فصل المتغيرات. في فيديو سابق ، حللنا معادلة x. في هذا الفيديو ، نحل معادلة t ثم. ثم لاحظنا أننا وجدنا مجموعة كاملة من الحلول ترضي x مضروبًا في t ، وتُعطى هذه باستخدام U sub n هنا ، وهي دالة جيب مضروبة في دالة أسية. ثم طبقنا مبدأ التراكب ، لذلك لدينا الحل العام للتركيز. الآن ، نحن محددون جدًا ، ما هي الشروط الأولية للصبغة؟ ما التركيز عند t يساوي صفرًا؟ نحدد ذلك كدالة f في المتغير x. في الفيديو التالي ، نحدد & # x27ll كذلك ما سيكون f في المتغير x في مشكلة كمثال. بمجرد القيام بذلك ، نلاحظ أن الدالة f في المتغير x مكتوبة بالفعل في صورة سلسلة فورييه للجيب يمكننا بعد ذلك تحديد المعاملات b n بدلالة تكامل الدالة f في المتغير x. & # x27m Jeff Chasnoff ، شكرًا على المشاهدة ، وسأراك في الفيديو التالي.


الفصل 2: ​​أساسيات أشباه الموصلات

تصف معادلة الاستمرارية مفهومًا أساسيًا ، وهو أن التغيير في كثافة الموجة الحاملة بمرور الوقت يرجع إلى الاختلاف بين التدفق الوارد والصادر للحوامل بالإضافة إلى التوليد وناقص إعادة التركيب. يوضح الشكل 2.9.1 تدفق الموجات الحاملة وإعادة التركيب ومعدلات التوليد.

معدل تغيير الموجات الحاملة بين x و x + d x يساوي الفرق بين التدفق الوارد والتدفق الخارج بالإضافة إلى التوليد وناقص إعادة التركيب:

حيث n (x ، t) هي كثافة الموجة الحاملة ، A هي المنطقة ، G ن(x، t) هو معدل التوليد و R ن(س ، ر) هو معدل إعادة التركيب. باستخدام توسع سلسلة تايلور ،

يمكن صياغة هذه المعادلة كدالة لمشتق التيار:

وبالمثل في الثقوب التي يجدها المرء:

يمكن الحصول على حل لهذه المعادلات باستبدال التعبير عن تيار الإلكترون والثقب ، (2.7.31) و (2.7.32). ينتج عن هذا بعد ذلك معادلتين تفاضليتين جزئيتين كدالة لكثافة الإلكترون ، وكثافة الثقب والمجال الكهربائي. يتم الحصول على المجال الكهربائي نفسه من قانون جاوس.

ينتج عن التعميم في ثلاثة أبعاد معادلات الاستمرارية التالية للإلكترونات والثقوب:

2.9.2. معادلة الانتشار

في المنطقة شبه المحايدة - منطقة تحتوي على ناقلات متنقلة ، حيث يكون المجال الكهربائي صغيرًا - يرجع التيار إلى الانتشار فقط. بالإضافة إلى ذلك ، يمكننا استخدام نموذج إعادة التركيب البسيط لمعدل إعادة التركيب الصافي نظرًا لأن معدلات إعادة التركيب تعتمد فقط على كثافة حامل الأقلية. يؤدي هذا إلى معادلات الانتشار المعتمدة على الوقت للإلكترونات في المواد من النوع p وللثقوب في المواد من النوع n:

2.9.3. حل الحالة الثابتة لمعادلة الانتشار

في حالة الثبات ، تكون المشتقات الجزئية فيما يتعلق بالوقت صفرًا ، مما ينتج عنه:

الحل العام لهذه المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية هو:

حيث لام ن و أنا ص هي أطوال الانتشار التي قدمها:

ثوابت الانتشار ، د ن و د ص، يتم الحصول عليها باستخدام علاقات أينشتاين (2.7.29) و (2.7.30). يمكن أيضًا كتابة معادلات الانتشار كدالة لـ الزائدة> / i> كثافات الموجة الحاملة ، d n و d p ، المرتبطة بكثافة الموجة الحاملة الإجمالية ، n و p ، وكثافة التوازن الحراري ، n 0 و ص 0، بواسطة:

سيتم استخدام معادلة الانتشار لحساب تيار الانتشار في تقاطعات pn والترانزستورات ثنائية القطب.


شاهد الفيديو: 1 المشتقات الجزئية ذات المتغيرين من الرتبة الاولى. Partial derivativeالدكتور عبدالستار العسافي (ديسمبر 2021).