مقالات

1.4: المضلعات


1.4: المضلعات

تنطبق هذه الخصائص على جميع المضلعات العادية ، سواء كانت محدبة أو نجمة.

عادي نالمضلع ذو الجوانب لديه تناظر دوراني للنظام ن.

تقع جميع رؤوس المضلع المنتظم على دائرة مشتركة (الدائرة المحددة) ، أي أنها نقاط متقاربة. أي أن المضلع المنتظم هو مضلع دوري.

جنبًا إلى جنب مع خاصية الأضلاع المتساوية الطول ، يشير هذا إلى أن كل مضلع منتظم له أيضًا دائرة أو دائرة منقوشة تكون مماسًا لكل جانب عند نقطة المنتصف. وبالتالي ، فإن المضلع المنتظم هو مضلع مماسي.

عادي نيمكن إنشاء المضلع ذو الجوانب باستخدام البوصلة والمقاس إذا وفقط إذا كانت العوامل الأولية الفردية هي ن هي أعداد فيرما الأولية المتميزة. انظر المضلع القابل للإنشاء.

التماثل تحرير

مجموعة التماثل لـ نالمضلع المنتظم ذو الأضلاع هو مجموعة ثنائية السطوح دن (من أجل 2ن): د2, د3, د4و. وهو يتألف من الدورات في جن، جنبًا إلى جنب مع تناظر الانعكاس في ن المحاور التي تمر عبر المركز. إذا ن حتى أن نصف هذه المحاور تمر عبر رأسين متقابلين ، والنصف الآخر يمر عبر نقطة منتصف الضلعين المتقابلين. إذا ن أمر فردي ، ثم تمر جميع المحاور عبر قمة الرأس ونقطة المنتصف في الضلع المقابل.

جميع المضلعات العادية البسيطة (المضلع البسيط هو مضلع لا يتقاطع مع نفسه في أي مكان) محدب. أولئك الذين لديهم نفس العدد من الجوانب متشابهة أيضًا.

ان نيُشار إلى المضلع المنتظم المحدب ذو الوجهين برمز Schläfli الخاص به <ن>. ل ن & lt 3 ، لدينا حالتان منحطتان:

أحادية اللون <1> تتحلل في الفضاء العادي. (لا تعتبر معظم المراجع الأحادي مضلعًا حقيقيًا ، ويرجع ذلك جزئيًا إلى ذلك ، وأيضًا لأن الصيغ أدناه لا تعمل ، وهيكلها ليس هيكل أي مضلع مجرد.) Digon <2> "مقطع ذو خط مزدوج" تتحلل في الفضاء العادي. (بعض السلطات لا تعتبر الديجون مضلعًا حقيقيًا بسبب هذا).

في سياقات معينة ، ستكون جميع المضلعات التي يتم النظر فيها منتظمة. في مثل هذه الظروف ، من المعتاد إسقاط البادئة العادية. على سبيل المثال ، يجب أن تكون جميع أوجه متعددات الوجوه المنتظمة منتظمة وسيتم وصف الوجوه ببساطة على أنها مثلث ، ومربع ، وخماسي ، وما إلى ذلك.

تحرير الزوايا

للحصول على محدب منتظم ن-Gon ، كل زاوية داخلية لها مقياس:

مثل ن تقترب من اللانهاية ، تقترب الزاوية الداخلية من 180 درجة. بالنسبة لمضلع منتظم به 10000 جانب (ميرياجون) ، تكون الزاوية الداخلية 179.964 درجة. مع زيادة عدد الجوانب ، يمكن أن تقترب الزاوية الداخلية جدًا من 180 درجة ، ويقترب شكل المضلع من شكل الدائرة. ومع ذلك ، لا يمكن أن يصبح المضلع دائرة. لا يمكن أن تصبح قيمة الزاوية الداخلية مساوية تمامًا لـ 180 درجة ، حيث سيصبح المحيط فعليًا خطًا مستقيمًا. لهذا السبب ، فإن الدائرة ليست مضلعًا له عدد لا نهائي من الأضلاع.

الأقطار تحرير

بشكل منتظم ن-ضرب مدرج في دائرة نصف قطرها ، حاصل ضرب المسافات من رأس معين إلى جميع الرؤوس الأخرى (بما في ذلك الرؤوس والرؤوس المجاورة المتصلة بقطر) يساوي ن.

النقاط في الطائرة تحرير

للحصول على بسيط منتظم ن-دور مع محيط نصف القطر ر والمسافات دأنا من نقطة عشوائية في المستوى إلى الرؤوس ، لدينا [1]

تعديل النقاط الداخلية

بشكل منتظم ن-gon ، مجموع المسافات العمودية من أي نقطة داخلية إلى ن الجانبين ن مرات العروش [3]: ص. 72 (العروة هي المسافة من المركز إلى أي جانب). هذا تعميم لنظرية فيفياني لـ ن= 3 حالة. [4] [5]

تحرير Circumradius

محيط نصف القطر ر من مركز المضلع المنتظم إلى أحد الرؤوس المرتبطة بطول الضلع س أو إلى العيد أ بواسطة

مجموع العمودي من منتظم ن-رؤوس الغون إلى أي خط مماس للدائرة يساوي ن ضرب محيط نصف القطر. [3]: ص. 73

مجموع المسافات المربعة من رؤوس منتظم ن-الذهاب إلى أي نقطة على محيطه يساوي 2nR 2 أين ر هو محيط نصف القطر. [3]: ص 73

مجموع المسافات المربعة من نقاط المنتصف لأضلاع منتظم ن- عند أي نقطة على الدائرة تساوي 2nR 2 − نانوثانية 2/4 أين س هو طول الضلع و ر هو محيط نصف القطر. [3]: ص. 73

تحرير تشريح

ينص Coxeter على أن كل منطقة (أ 2م-الذراع الذي يكون جانبه المقابل متوازيًا ومتساوي الطول) يمكن تشريحه إلى (n 2) <2> >> أو م(م-1) / 2 متوازي الأضلاع. يتم احتواء هذه الأسقف كمجموعات فرعية من الرؤوس والحواف والوجوه في الإسقاطات المتعامدة م-مكعبات. [6] وهذا ينطبق بشكل خاص على المضلعات المنتظمة ذات الجوانب المتعددة بشكل متساوٍ ، وفي هذه الحالة تكون متوازيات الأضلاع كلها معينية. تعطي القائمة OEIS: A006245 عدد الحلول للمضلعات الأصغر.

مثال على تشريح لتحديد المضلعات المنتظمة ذات الجوانب الزوجية
2م 6 8 10 12 14 16 18 20 24 30 40 50
صورة
معينات 3 6 10 15 21 28 36 45 66 105 190 300

تحرير المنطقة

المنطقة أ من المنتظم المحدب نمضلع له جانب س، محيط نصف القطر ر، apothem أو المحيط ص تعطى بواسطة [7] [8]

للمضلعات المنتظمة مع الجانب س = 1 ، محيط نصف القطر ر = 1 ، أو apothem أ = 1 ، ينتج عن هذا الجدول التالي: [9] (لاحظ أنه منذ cot ⁡ x → 1 / x < displaystyle cot x rightarrow 1 / x> as x → 0 < displaystyle x rightarrow 0>، [10 ] المنطقة عندما s = 1 تميل إلى n 2/4 π / 4 pi> حيث أن n تكبر.)

عدد
من الجانبين
المنطقة عند الجانب س = 1 المنطقة عند محيط نصف القطر ر = 1 المنطقة عند apothem أ = 1
بالضبط تقريب بالضبط تقريب باعتباره (تقريبيًا)
جزء من
منطقة الدائرة
بالضبط تقريب باعتباره (تقريبيًا)
مضاعفات
المنطقة المحيطة
ن n 4 سرير ⁡ (π n) <4>>cot left(< frac > حق)> n 2 sin ⁡ (2 π n) <2>>sin left(< frac <2pi >> حق)> n 2 π الخطيئة ⁡ (2 π n) <2pi >>sin left(< frac <2pi >> حق)> n تان ⁡ (π n) > حق)> n π tan ⁡ (π n) > an left(< frac > حق)>
3 3 4 > <4> >> 0.433012702 3 3 4 >> <4> >> 1.299038105 0.4134966714 3 3 >> 5.196152424 1.653986686
4 1 1.000000000 2 2.000000000 0.6366197722 4 4.000000000 1.273239544
5 1 4 25 + 10 5 <4>> >>>> 1.720477401 5 4 1 2 (5 + 5) <4>> <2>> left (5 + > right ) >>> 2.377641291 0.7568267288 5 5 - 2 5 >>>> 3.632712640 1.156328347
6 3 3 2 >> <2> >> 2.598076211 3 3 2 >> <2> >> 2.598076211 0.8269933428 2 3 >> 3.464101616 1.102657791
7 3.633912444 2.736410189 0.8710264157 3.371022333 1.073029735
8 2 + 2 2 >> 4.828427125 2 2 >> 2.828427125 0.9003163160 8 (2 - 1) > -1 right)> 3.313708500 1.054786175
9 6.181824194 2.892544244 0.9207254290 3.275732109 1.042697914
10 5 2 5 + 2 5 <2>> >>>> 7.694208843 5 2 1 2 (5 - 5) <2>> <2>> left (5 - > right ) >>> 2.938926262 0.9354892840 2 25-10 5 >>>> 3.249196963 1.034251515
11 9.365639907 2.973524496 0.9465022440 3.229891423 1.028106371
12 6 + 3 3 >> 11.19615242 3 3.000000000 0.9549296586 12 (2 - 3) > right)> 3.215390309 1.023490523
13 13.18576833 3.020700617 0.9615188694 3.204212220 1.019932427
14 15.33450194 3.037186175 0.9667663859 3.195408642 1.017130161
15 [11] 17.64236291 [12] 3.050524822 0.9710122088 [13] 3.188348426 1.014882824
16 [14] 20.10935797 4 2 - 2 >>>> 3.061467460 0.9744953584 [15] 3.182597878 1.013052368
17 22.73549190 3.070554163 0.9773877456 3.177850752 1.011541311
18 25.52076819 3.078181290 0.9798155361 3.173885653 1.010279181
19 28.46518943 3.084644958 0.9818729854 3.170539238 1.009213984
20 [16] 31.56875757 [17] 3.090169944 0.9836316430 [18] 3.167688806 1.008306663
100 795.5128988 3.139525977 0.9993421565 3.142626605 1.000329117
1000 79577.20975 3.141571983 0.9999934200 3.141602989 1.000003290
10,000 7957746.893 3.141592448 0.9999999345 3.141592757 1.000000033
1,000,000 79577471545 3.141592654 1.000000000 3.141592654 1.000000000

من كل شيء ن-أضلاع بمحيط معين ، يكون المحيط الذي يحتوي على أكبر مساحة منتظمًا. [19]

من السهل إنشاء بعض المضلعات العادية باستخدام البوصلة واستقامة المضلعات العادية الأخرى غير قابلة للإنشاء على الإطلاق. عرف علماء الرياضيات اليونانيون القدماء كيفية بناء مضلع منتظم به 3 أو 4 أو 5 جوانب ، [20]: ص. xi وعرفوا كيفية بناء مضلع منتظم مع ضعف عدد أضلاع مضلع منتظم معين. [20]: ص 49-50 أدى هذا إلى طرح السؤال: هل من الممكن البناء الكل عادي ن- مع البوصلة والمسطرة؟ إن لم يكن ، أي ن-أسلحة قابلة للإنشاء وأيها ليست كذلك؟

أثبت كارل فريدريش جاوس قابلية بناء 17-gon العادي في عام 1796. بعد خمس سنوات ، طور نظرية فترات Gaussian في بلده الاكتشافات الحسابية. سمحت له هذه النظرية بصياغة شرط كافٍ لإمكانية إنشاء المضلعات المنتظمة:

عادي ن-يمكن بناؤها باستخدام البوصلة والمسطرة إذا ن هي نتاج قوة 2 وأي عدد من الأعداد الأولية المميزة لفيرمات (بما في ذلك لا شيء).

(A Fermat Prime هو رقم أولي على الشكل 2 (2 n) + 1. )> + 1.>) صرح غاوس دون دليل على أن هذا الشرط ضروري أيضًا ، لكنه لم ينشر دليله مطلقًا. تم تقديم دليل كامل على الضرورة من قبل بيير وانتزل في عام 1837. والنتيجة معروفة باسم نظرية غاوس - وانتزل.

على قدم المساواة ، منتظم ن-gon يمكن بناؤه إذا وفقط إذا كان جيب التمام للزاوية المشتركة رقمًا قابلاً للتكوين - أي يمكن كتابته من خلال العمليات الحسابية الأساسية الأربعة واستخراج الجذور التربيعية.


يحتوي المكعب على انحراف سداسي منتظم ، يُنظر إليه على أنه 6 حواف حمراء متعرجة بين مستويين متعامدين على المحور القطري للمكعب.

الحواف الجانبية المتعرجة لـ ن-مضاد يمثل انحرافًا منتظمًا 2ن-Gon ، كما هو مبين في هذا الـ 17-gonal antiprism.

أ مضلع انحراف منتظم في 3 فضاء يمكن اعتباره مسارات غير مستوية متعرجة بين مستويين متوازيين ، يُعرّفان على أنهما الحواف الجانبية لمضاد موحد. جميع الحواف والزوايا الداخلية متساوية.


تحتوي المواد الصلبة الأفلاطونية (رباعي الوجوه ، والمكعب ، والثماني الوجوه ، والعشري الوجوه ، والعشروني الوجوه) على مضلعات بيتري ، التي تظهر باللون الأحمر هنا ، مع جوانب 4 و 6 و 6 و 10 و 10 على التوالي.

بشكل عام مضلعات الانحراف المنتظم يمكن تعريفها في ن-الفضاء. تتضمن الأمثلة مضلعات بيتري ، والمسارات متعددة الأضلاع للحواف التي تقسم متعدد الأضلاع العادي إلى نصفين ، ويُنظر إليها على أنها مضلع منتظم في الإسقاط المتعامد.

في حدود لانهائية مضلعات الانحراف المنتظم تصبح قرد منحرف.

المضلع المنتظم غير المحدب هو مضلع نجمي منتظم. المثال الأكثر شيوعًا هو الشكل الخماسي ، الذي له نفس رؤوس البنتاغون ، لكنه يربط الرؤوس المتناوبة.

ل نمضلع نجمي ذو وجهين ، يتم تعديل رمز Schläfli للإشارة إلى كثافة أو "ستاررينس" م من المضلع ، مثل <ن/م>. إذا م هي 2 ، على سبيل المثال ، ثم يتم ضم كل نقطة ثانية. إذا م تساوي 3 ، ثم يتم ضم كل نقطة ثالثة. حدود رياح المضلع حول المركز م مرات.

النجوم العادية (غير المتدهورة) لما يصل إلى 12 جانبًا هي:

م و ن يجب أن تكون جريمة ، وإلا فإن الرقم سوف يتدهور.

النجوم المنتظمة المتدهورة حتى 12 جانبًا هي:

  • تيتراجون - <4/2>
  • السداسيات - <6/2> ، <6/3>
  • المثمن - <8/2> ، <8/4>
  • إينيجون - <9/3>
  • العشريات - <10/2> ، <10/4> ، <10/5>
  • Dodecagons - <12/2> ، <12/3> ، <12/4> ، <12/6>

اعتمادًا على الاشتقاق الدقيق لرمز Schläfli ، تختلف الآراء حول طبيعة الشكل المنحل. على سبيل المثال ، يمكن التعامل مع <6/2> بإحدى الطريقتين التاليتين:

    خلال معظم القرن العشرين (انظر على سبيل المثال Coxeter (1948)) ، أخذنا عادةً / 2 للإشارة إلى انضمام كل رأس محدب <6> إلى جيرانها القريبين على بعد خطوتين ، للحصول على المركب المنتظم لمثلثين أو السداسية.

جميع المضلعات المنتظمة هي ذاتيًا ثنائية التطابق ، وللشخصية ن هم مزدوجو الهوية.

بالإضافة إلى ذلك ، فإن الأشكال النجمية العادية (المركبات) ، التي تتكون من مضلعات منتظمة ، هي أيضًا ثنائية ذاتية.

يحتوي متعدد السطوح المنتظم على مضلعات منتظمة مثل الوجوه ، بحيث يوجد لكل رأسين متوازنة تقابل أحدهما في الآخر (تمامًا كما هو الحال في المضلع المنتظم).

متعدد السطوح شبه دائري هو متعدد السطوح منتظم له نوعان فقط من الوجه بالتناوب حول كل رأس.

متعدد السطوح المنتظم هو متعدد السطوح منتظم له نوع واحد فقط من الوجه.

تُعرف الأشكال المتعددة السطوح المحدبة المتبقية (غير المنتظمة) ذات الوجوه المنتظمة بأجسام جونسون الصلبة.

متعدد الوجوه له مثلثات منتظمة مثل الوجوه يسمى دلتا السطوح.

  1. ^ بارك ، بو-سونغ. "مسافات polytope العادية" ، Forum Geometricorum 16 ، 2016 ، 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
  2. ^ أبج ميشيشفيلي ، ماموكا (2020). "المتوسطات الدورية للمضلعات المنتظمة والمواد الصلبة الأفلاطونية". الاتصالات في الرياضيات والتطبيقات. 11: 335–355.
  3. ^ أبجد جونسون ، روجر أ. الهندسة الإقليدية المتقدمة، دوفر Publ. ، 2007 (الأصل. 1929).
  4. ^ بيك أوفر ، كليفورد أ ، كتاب الرياضيات، الجنيه الاسترليني ، 2009: ص. 150
  5. ^ تشين ، زيبو ، وليانغ ، تيان. "عكس نظرية فيفياني" ، مجلة رياضيات الكلية 37 (5) ، 2006 ، ص 390-391.
  6. ^كوكستر ، الاستجمام والمقالات الرياضية ، الطبعة الثالثة عشرة ، ص 141
  7. ^
  8. "مرجع الرياضيات المفتوح". تم الاسترجاع 4 فبراير 2014.
  9. ^
  10. "Mathwords".
  11. ^ نتائج ر = 1 و أ = 1 تم الحصول عليها باستخدام Maple ، باستخدام تعريف الوظيفة:

تعابير ن= 16 يتم الحصول عليها من خلال تطبيق صيغة نصف الزاوية المماس مرتين على tan (π / 4)


محتويات

الكلمة مضلع مشتق من الصفة اليونانية πολύς (بولس) "much" و "many" و γωνία (جونيا) "زاوية" أو "زاوية". لقد تم اقتراح أن γόνυ (جونو) قد يكون أصل "الركبة" غون. [1]

عدد الجوانب

يتم تصنيف المضلعات بشكل أساسي حسب عدد الأضلاع. انظر الجدول أدناه.

التحدب وعدم التحدب

يمكن أن تتميز المضلعات بتحدبها أو نوع من عدم التحدب:

    : أي خط مرسوم عبر المضلع (وليس مماسًا لحافة أو زاوية) يفي بحده مرتين بالضبط. ونتيجة لذلك ، فإن جميع زواياه الداخلية أقل من 180 درجة. بشكل مكافئ ، يمر أي مقطع خط بنقاط نهاية على الحدود عبر نقاط داخلية فقط بين نقاط النهاية الخاصة به.
  • غير محدب: يمكن العثور على خط يفي بحده أكثر من مرتين. بالتساوي ، يوجد قطعة خطية بين نقطتين حدوديتين تمر خارج المضلع. : حدود المضلع لا تتقاطع مع نفسها. جميع المضلعات المحدبة بسيطة. : غير محدب وبسيط. توجد زاوية داخلية واحدة على الأقل أكبر من 180 درجة. : يمكن رؤية الجزء الداخلي بالكامل من نقطة واحدة على الأقل ، دون عبور أي حافة. يجب أن يكون المضلع بسيطًا وقد يكون محدبًا أو مقعرًا. جميع المضلعات المحدبة على شكل نجمة. : حدود المضلع تتقاطع مع نفسه. على المدى مركب يستخدم في بعض الأحيان على النقيض من بسيط، ولكن هذا الاستخدام ينطوي على خطر الخلط مع فكرة أ مضلع معقد كواحد موجود في طائرة هيلبرت المعقدة المكونة من بعدين معقدين. : مضلع يتقاطع مع نفسه بطريقة منتظمة. لا يمكن أن يكون المضلع نجمًا ونجمًا معًا.

المساواة والتماثل

    : جميع زوايا الزوايا متساوية. : جميع الحواف بنفس الطول. : متساوي الأضلاع ومتساوي الزوايا. : جميع الزوايا تقع على دائرة واحدة تسمى الدائرة. : جميع الجوانب مماس لدائرة منقوشة.
  • متساوي الأضلاع أو انتقالي قمة الرأس: تقع جميع الزوايا في نفس مدار التماثل. المضلع أيضًا دوري ومتساوي الزوايا.
  • متساوي السمية أو متعدية الحافة: تقع جميع الجوانب في نفس مدار التماثل. المضلع متساوي الأضلاع وعرضي.

يمكن تعريف خاصية الانتظام بطرق أخرى: يكون المضلع منتظمًا إذا وفقط إذا كان متساويًا ومتساوي الأضلاع ، أو على حد سواء يكون دوريًا ومتساوي الأضلاع. يسمى المضلع المنتظم غير المحدب أ مضلع نجمي منتظم.

متفرقات

    : تتقابل أضلاع المضلع بزاوية قائمة أي أن جميع زواياه الداخلية 90 درجة أو 270 درجة. فيما يتعلق بخط معين إل: كل ​​خط متعامد مع L يتقاطع مع المضلع بما لا يزيد عن مرتين.

الزوايا

يحتوي أي مضلع على عدد من الزوايا يساوي عدد الأضلاع. كل ركن له عدة زوايا. أهمها هما:

  • الزاوية الداخلية - مجموع الزوايا الداخلية البسيطة ن-Gon هو (ن - 2) راديان أو (ن - 2) × 180 درجة. هذا لأن أي شيء بسيط ن-Gon (وجود ن الجوانب) يمكن اعتبارها مكونة من (ن - 2) مثلثات يبلغ مجموع زوايا كل منها π راديان أو 180 درجة. قياس أي زاوية داخلية لمنتظم محدب ن-gon هو (1 - 2 n) π > right) pi> راديان أو 180 - 360 n >> درجات. تمت دراسة الزوايا الداخلية للمضلعات النجمية المنتظمة لأول مرة بواسطة Poinsot ، في نفس الورقة التي يصف فيها الأشكال المتعددة السطوح الأربعة النجمية: من أجل منتظم p q < displaystyle < tfrac

    >> -غون (a ص-دور مع كثافة مركزية ف) ، كل زاوية داخلية هي π (* - 2 ف) *

    >> راديان أو 180 (ف - 2 ف) *

    >> درجات. [2]

  • خارج، الزاوية - الزاوية الخارجية هي الزاوية المكملة للزاوية الداخلية. تتبع حول محدب ن-Gon ، الزاوية "المنعطفة" في الزاوية هي الزاوية الخارجية أو الخارجية. يؤدي التتبع على طول الطريق حول المضلع إلى دورة واحدة كاملة ، لذا يجب أن يكون مجموع الزوايا الخارجية 360 درجة. يمكن تعميم هذه الحجة لتقعر المضلعات البسيطة ، إذا تم طرح الزوايا الخارجية التي تدور في الاتجاه المعاكس من إجمالي الدوران. البحث حول ن- بشكل عام ، يمكن أن يكون مجموع الزوايا الخارجية (المبلغ الإجمالي الذي يدور المرء عند الرؤوس) أي عدد صحيح مضاعف د 360 درجة ، على سبيل المثال 720 درجة لخماسي و 0 درجة للزاوية "ثمانية" أو عكس متوازي الأضلاع ، حيث د هي كثافة أو رقم دوران المضلع. انظر أيضًا المدار (الديناميات).

إذا كان المضلع غير متقاطع مع نفسه (أي بسيط) ، فإن المنطقة الموقعة تكون

تعتمد المنطقة الموقعة على ترتيب الرؤوس واتجاه المستوى. بشكل عام ، يتم تحديد الاتجاه الإيجابي من خلال الدوران (عكس اتجاه عقارب الساعة) الذي يرسم المحور x الموجب إلى المحور y الموجب. إذا تم ترتيب القمم عكس اتجاه عقارب الساعة (أي وفقًا للاتجاه الإيجابي) ، فإن المنطقة الموقعة تكون موجبة وإلا فهي سالبة. في كلتا الحالتين ، تكون صيغة المنطقة صحيحة في القيمة المطلقة. وهذا ما يسمى عادة بصيغة رباط الحذاء أو صيغة المساح. [5]

المنطقة أ يمكن أيضًا حساب المضلع البسيط إذا كانت أطوال الأضلاع ، أ1, أ2, . أن والزوايا الخارجية ، θ1, θ2, . θن معروفون ، من:

تم وصف الصيغة بواسطة Lopshits في عام 1963. [6]

إذا كان من الممكن رسم المضلع على شبكة متباعدة بشكل متساوٍ بحيث تكون جميع رؤوسه نقاط شبكة ، فإن نظرية بيك تعطي صيغة بسيطة لمساحة المضلع بناءً على عدد نقاط الشبكة الداخلية والحدود: الرقم السابق بالإضافة إلى نصف الأخير العدد ناقص 1.

في كل مضلع مع محيط ص والمنطقة أ ، المتباينة المتساوية p 2 & gt 4 π A < displaystyle p ^ <2> & gt4 pi A> يحمل. [7]

لأي مضلعين بسيطين متساويين في المساحة ، تؤكد نظرية بولياي - جيروين أنه يمكن تقطيع الأول إلى قطع متعددة الأضلاع يمكن إعادة تجميعها لتشكيل المضلع الثاني.

لا تحدد أطوال جوانب المضلع بشكل عام مساحته. [8] ومع ذلك ، إذا كان المضلع دائريًا فإن الجوانب فعل تحديد المنطقة. [9] من كل شيء ن- أضلاع مع أطوال أضلاع معينة ، يكون الجزء ذو المساحة الأكبر دوريًا. من كل شيء ن-أضلاع بمحيط معين ، يكون المحيط الذي يحتوي على أكبر مساحة منتظمًا (وبالتالي دوريًا). [10]

المضلعات المنتظمة

تنطبق العديد من الصيغ المتخصصة على مناطق المضلعات المنتظمة.

تُعطى مساحة المضلع المنتظم بدلالة نصف القطر ص من دائرتها المنقوشة ومحيطها ص بواسطة

يُطلق على هذا الشعاع أيضًا اسم apothem وغالبًا ما يتم تمثيله كـ أ.

منطقة عادية ن-غون من حيث نصف القطر ر يمكن التعبير عن دائرتها المقيدة بطريقة مثلثية على النحو التالي: [11] [12]

منطقة عادية ن-درجت في دائرة نصف قطرها وحدة ، مع الضلع س والزاوية الداخلية α ، < displaystyle alpha ،> يمكن أيضًا التعبير عنها بطريقة مثلثية على النحو التالي:

النفس المتقاطعة

يمكن تحديد مساحة المضلع المتقاطع بطريقتين مختلفتين ، مع إعطاء إجابات مختلفة:

  • باستخدام الصيغ للمضلعات البسيطة ، نسمح بأن مناطق معينة داخل المضلع قد يتم ضرب مساحتها بعامل نسميه كثافة من المنطقة. على سبيل المثال ، البنتاغون المركزي المحدب في مركز الخماسي له كثافة 2. المنطقتان المثلثيتان للشكل الرباعي المتقاطع (مثل الشكل 8) لهما كثافات معاكسة للإشارة ، وإضافة مساحتهما معًا يمكن أن يعطي مساحة إجمالية قدرها صفر للرقم كله. [13]
  • بالنظر إلى المناطق المغلقة كمجموعات نقاط ، يمكننا إيجاد مساحة مجموعة النقاط المغلقة. يتوافق هذا مع مساحة المستوى التي يغطيها المضلع أو مساحة مضلع واحد أو أكثر من المضلعات البسيطة التي لها نفس المخطط التفصيلي مثل المضلع الذاتي. في حالة الشكل الرباعي المتقاطع ، يتم التعامل معه على أنه مثلثين بسيطين. [بحاجة لمصدر]

سنترويد

باستخدام نفس الاصطلاح لإحداثيات قمة الرأس كما في القسم السابق ، فإن إحداثيات النقطه الوسطى لمضلع بسيط متصل

في هذه الصيغ ، يجب استخدام القيمة الموقعة للمنطقة A < displaystyle A>.

للمثلثات ( ن = 3) ، النقطتين الوسطى للرؤوس والشكل الصلب هي نفسها ، ولكن بشكل عام ، هذا لا ينطبق على ن & GT 3. النقطه الوسطى لمجموعة رأس المضلع مع n رؤوس لها إحداثيات

لقد تم تعميم فكرة المضلع بطرق مختلفة. بعض من أكثر أهمية تشمل:

  • المضلع الكروي عبارة عن دائرة تتكون من أقواس لدوائر كبيرة (جوانب) ورؤوس على سطح الكرة. إنه يسمح لـ digon ، وهو مضلع له جانبان وزاويتان فقط ، وهو أمر مستحيل في مستوى مسطح. تلعب المضلعات الكروية دورًا مهمًا في رسم الخرائط (صنع الخرائط) وفي بناء وايثوف لمتعدد السطوح المنتظم.
  • لا يقع مضلع الانحراف في مستوى مسطح ، ولكنه متعرج في ثلاثة أبعاد (أو أكثر). تعد مضلعات بيتري في polytopes المنتظمة أمثلة معروفة جيدًا.
  • apeirogon هو سلسلة لا نهائية من الأضلاع والزوايا ، وهي ليست مغلقة ولكن ليس لها نهايات لأنها تمتد إلى أجل غير مسمى في كلا الاتجاهين.
  • الانحراف apeirogon هو سلسلة لا نهائية من الجوانب والزوايا التي لا تقع في مستوى مسطح.
  • المضلع المركب هو تكوين مشابه لمضلع عادي ، يوجد في المستوى المركب لبعدين حقيقيين وبعدين تخيليين.
  • المضلع المجرد عبارة عن مجموعة جبرية مرتبة جزئيًا تمثل العناصر المختلفة (الجوانب والرؤوس وما إلى ذلك) واتصالها. يقال إن المضلع الهندسي الحقيقي هو أ ادراك من المضلع المجرد المرتبط. اعتمادًا على التعيين ، يمكن تحقيق جميع التعميمات الموصوفة هنا.
  • متعدد السطوح هو مادة صلبة ثلاثية الأبعاد تحدها أوجه متعددة الأضلاع مسطحة ، مماثلة لمضلع في بعدين. تسمى الأشكال المقابلة في أربعة أبعاد أو أعلى polytopes. [14] (في اتفاقيات أخرى ، فإن الكلمات متعدد الوجوه و بوليتوب تُستخدم في أي بُعد ، مع التمييز بين الاثنين الذي يقيد بالضرورة polytope. [15] )

الكلمة مضلع يأتي من اللاتينية المتأخرة مضلع (اسم) ، من اليونانية πολύγωνον (بوليجينون / بوليجنون) ، استخدام الاسم المحايد لـ πολύγωνος (polygōnos / polugnos، صفة المذكر) ، بمعنى "متعدد الزوايا". يتم تسمية المضلعات الفردية (وأحيانًا يتم تصنيفها) وفقًا لعدد الجوانب ، مع دمج بادئة رقمية مشتقة من اليونانية مع اللاحقة -Gon، على سبيل المثال خماسي الاضلاع, دوديكاجون. المثلث والرباعي وغير المضلع هي استثناءات.

ما وراء العشاري (10 جوانب) و dodecagons (12 جانبًا) ، يستخدم علماء الرياضيات عمومًا تدوينًا رقميًا ، على سبيل المثال 17-gon و 257-gon. [16]

توجد استثناءات للأعداد الجانبية التي يسهل التعبير عنها بشكل لفظي (على سبيل المثال 20 و 30) ، أو يستخدمها غير الرياضيين. تحتوي بعض المضلعات الخاصة أيضًا على أسمائها الخاصة ، على سبيل المثال ، يُعرف الخماسي النجم العادي أيضًا باسم الخماسي.

أسماء المضلعات وخصائص متنوعة
اسم الجانبين الخصائص
مونوجون 1 لا يُعرف بشكل عام على أنه مضلع ، [17] على الرغم من أن بعض التخصصات مثل نظرية الرسم البياني تستخدم المصطلح أحيانًا. [18]
ديجون 2 لا يُعرف بشكل عام على أنه مضلع في المستوى الإقليدي ، على الرغم من أنه يمكن أن يوجد كمضلع كروي. [19]
مثلث (أو تريغون) 3 أبسط مضلع يمكن أن يوجد في المستوى الإقليدي. يمكن بلاط الطائرة.
رباعي الأضلاع (أو رباعي الأضلاع) 4 أبسط مضلع يمكنه أن يتقاطع مع أبسط مضلع يمكن أن يكون مقعرًا لأبسط مضلع يمكن أن يكون غير دائري. يمكن بلاط الطائرة.
خماسي الاضلاع 5 [20] أبسط مضلع يمكن أن يوجد كنجم منتظم. يُعرف النجم الخماسي باسم الخماسي أو الخماسي.
سداسي الزوايا 6 [20] يمكن بلاط الطائرة.
سباعي (أو الحاجز) 7 [20] أبسط مضلع بحيث لا يمكن إنشاء الشكل العادي باستخدام البوصلة والاستقامة. ومع ذلك ، يمكن بناؤه باستخدام بناء Neusis.
مثمن 8 [20]
نوناجون (أو إينيجون) 9 [20] "Nonagon" تمزج بين اللاتينية [نوفمبر = 9] مع اليونانية "enneagon" هي يونانية خالصة.
عشري 10 [20]
hendecagon (أو undecagon) 11 [20] أبسط مضلع بحيث لا يمكن بناء الشكل العادي باستخدام البوصلة ، والتقويم ، وثلاجة الزاوية.
دوديكاغون (أو اثنا عشري) 12 [20]
ثلاثي عشري (أو تريسكايدكاجون) 13 [20]
رباعي عشري (أو رباعي عشري) 14 [20]
خماسي الشكل (أو خماسي الشكل) 15 [20]
سداسي الشكل (أو سداسي الشكل) 16 [20]
heptadecagon (أو heptakaidecagon) 17 مضلع قابل للإنشاء [16]
ثماني الشكل (أو ثماني الشكل) 18 [20]
enneadecagon (أو enneakaidecagon) 19 [20]
إيكوساغون 20 [20]
icositetragon (أو icosikaitetragon) 24 [20]
تريكونتاغون 30 [20]
tetracontagon (أو tessaracontagon) 40 [20] [21]
خماسي (أو خماسي) 50 [20] [21]
hexacontagon (أو hexecontagon) 60 [20] [21]
heptacontagon (أو hebdomecontagon) 70 [20] [21]
المثمن (أو ogdoëcontagon) 80 [20] [21]
enneacontagon (أو enenecontagon) 90 [20] [21]
هيكتوجون (أو هيكتاجون) [22] 100 [20]
257-جون 257 مضلع قابل للإنشاء [16]
تشيلياجون 1000 استخدم الفلاسفة بمن فيهم رينيه ديكارت ، [23] إيمانويل كانط ، [24] ديفيد هيوم ، [25] التشيلياغون كمثال في المناقشات.
ميرياجون 10,000 تستخدم كمثال في بعض المناقشات الفلسفية ، على سبيل المثال في ديكارت تأملات في الفلسفة الأولى
65537-جون 65,537 مضلع قابل للإنشاء [16]
ميغاجون [26] [27] [28] 1,000,000 كما هو الحال مع مثال رينيه ديكارت عن chiliagon ، تم استخدام المضلع المليون جانب كتوضيح لمفهوم محدد جيدًا لا يمكن تخيله. [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] يستخدم الميجون أيضًا كتوضيح لتقارب المضلعات المنتظمة مع الدائرة. [36]
أبيروجون مضلع متدهور لعدد لا نهائي من الجوانب.

بناء الأسماء العليا

لإنشاء اسم مضلع به أكثر من 20 حافة وأقل من 100 حافة ، اجمع البادئات على النحو التالي. [20] مصطلح "kai" ينطبق على 13-gons أو أعلى واستخدمه Kepler ، ودافع عنه John H. Conway لتوضيح أرقام البادئة المتسلسلة في تسمية متعدد السطوح شبه الزوايا. [22]

عشرات و منها لاحقة نهائية
-كاي- 1 -هينا- -Gon
20 icosi- (icosa- عندما يكون بمفرده) 2 -دي-
30 triaconta- (أو triconta-) 3 -ثالثاً-
40 tetraconta- (أو tessaraconta-) 4 -تترا-
50 بنتاكونتا- (أو بنتكونتا-) 5 -بنتا-
60 hexaconta- (أو hexeconta-) 6 -هكسا-
70 هيبتاكونتا- (أو hebdomeconta-) 7 -ربتا-
80 octaconta- (أو ogdoëconta-) 8 -أوكتا-
90 enneaconta- (أو eneneconta-) 9 -سنة-

عرفت المضلعات منذ العصور القديمة. كانت المضلعات المنتظمة معروفة لدى الإغريق القدماء ، مع الخماسي ، وهو مضلع منتظم غير محدب (مضلع نجمي) ، يظهر في وقت مبكر من القرن السابع قبل الميلاد. على krater بواسطة Aristophanes ، وجدت في Caere والآن في متحف Capitoline. [37] [38]

أول دراسة منهجية معروفة للمضلعات غير المحدبة بشكل عام قام بها توماس برادواردين في القرن الرابع عشر. [39]

في عام 1952 ، عمم جيفري كولين شيبارد فكرة المضلعات على المستوى المركب ، حيث يكون كل بُعد حقيقي مصحوبًا ببعد وهمي ، لإنشاء مضلعات معقدة. [40]

تظهر المضلعات في التكوينات الصخرية ، والأكثر شيوعًا على أنها الجوانب المسطحة للبلورات ، حيث تعتمد الزوايا بين الجانبين على نوع المعدن الذي يتكون منه البلورة.

يمكن أن تحدث الأشكال السداسية المنتظمة عندما يشكل تبريد الحمم البركانية مناطق من أعمدة البازلت المكدسة بإحكام ، والتي يمكن رؤيتها في Giant's Causeway في أيرلندا الشمالية ، أو في Devil's Postpile في كاليفورنيا.

في علم الأحياء ، يكون سطح قرص العسل الشمعي الذي يصنعه النحل عبارة عن مجموعة من الأشكال السداسية ، كما أن جوانب وقاعدة كل خلية عبارة عن مضلعات.

في رسومات الكمبيوتر ، يعد المضلع عنصرًا بدائيًا يستخدم في النمذجة والتصيير. يتم تعريفها في قاعدة بيانات تحتوي على مصفوفات من الرؤوس (إحداثيات الرؤوس الهندسية ، بالإضافة إلى سمات أخرى للمضلع ، مثل اللون والتظليل والملمس) ومعلومات الاتصال والمواد. [41] [42]

يتم نمذجة أي سطح على شكل فسيفساء تسمى شبكة المضلع. إذا كانت شبكة مربعة ن + 1 نقطة (رؤوس) لكل جانب ، هناك ن مربعات مربعة في الشبكة ، أو 2ن مثلثات مربعة نظرًا لوجود مثلثين في المربع. يوجد (ن + 1) 2 / 2(ن 2) رؤوس لكل مثلث. أين ن كبير ، هذا يقترب من النصف. أو ، كل رأس داخل الشبكة المربعة يربط أربعة حواف (خطوط).

يستدعي نظام التصوير بنية المضلعات اللازمة لإنشاء المشهد من قاعدة البيانات. يتم نقل هذا إلى الذاكرة النشطة وأخيرًا إلى نظام العرض (الشاشة وشاشات التلفزيون وما إلى ذلك) بحيث يمكن عرض المشهد. أثناء هذه العملية ، يعرض نظام التصوير المضلعات في منظور صحيح وجاهزة لنقل البيانات المعالجة إلى نظام العرض. على الرغم من أن المضلعات ثنائية الأبعاد ، يتم وضعها من خلال كمبيوتر النظام في مشهد مرئي في الاتجاه الصحيح ثلاثي الأبعاد.


نبدأ في اجتياز الرسم البياني من النقطة اليسرى السفلية والاستمرار حتى نعود إليه. في البداية نضع علامة على جميع الحواف على أنها لم تتم رؤيتها. في كل تكرار ، يجب تحديد النقطة التالية وتمييزها على أنها تمت زيارتها.

لاختيار النقطة التالية ، اختر حافة ذات زاوية داخلية قصوى في عكس اتجاه عقارب الساعة.

أحسب متجهين: متجه 1 للحافة الحالية والمتجه 2 لكل حافة غير مرئية تالية (كما هو معروض في الصورة).

  1. حاصل الضرب القياسي (منتج نقطي). تقوم بإرجاع قيمة مرتبطة بزاوية بين المتجهات.
  2. منتج متجه (منتج متقاطع). تقوم بإرجاع متجه جديد. إذا كان الإحداثي z لهذا المتجه موجبًا ، فإن الضرب القياسي يعطيني الزاوية اليمنى في عكس اتجاه عقارب الساعة. عدا ذلك (الإحداثي z سالب) ، أحسب زاوية الحصول بين المتجهات على أنها 360 - زاوية من المنتج القياسي.

نتيجة لذلك ، أحصل على حافة (وتتوافق مع الرأس التالي) بالزاوية القصوى.

أضيف إلى قائمة النتائج كل قمة مرت. قائمة النتائج هي مضلع الاتحاد.


تلميح

يُستخدم لعرض نصوص صغيرة أعلى طبقات الخريطة.

مثال على الاستخدام

ملاحظة حول تعويض تلميح الأدوات. يأخذ المنشور خيارين في الاعتبار لتعويض تلميح الأدوات:

  • خيار الإزاحة Tooltip: يتم تعيينه افتراضيًا على [0 ، 0] ، ويكون مخصصًا لتلميح أداة واحد. أضف إزاحة س موجبة لتحريك تلميح الأداة إلى اليمين ، وإزاحة موجبة ص لتحريكها إلى الأسفل. ستنتقل السلبيات إلى اليسار والأعلى.
  • خيار tooltipAnchor Icon: سيتم اعتبار هذا الخيار فقط لـ Marker. يجب تكييف هذه القيمة إذا كنت تستخدم رمزًا مخصصًا.

خلق

مصنع وصف
L.tooltip( والخيارات؟, مصدر؟) إنشاء كائن Tooltip مع إعطاء كائن خيارات اختياري يصف مظهره وموقعه وكائن مصدر اختياري يتم استخدامه لتمييز تلميح الأداة بمرجع إلى الطبقة التي يشير إليها.

خيارات

خيار يكتب تقصير وصف
جزء خيط & # x27 تلميح الأداة & # x27 جزء الخريطة حيث سيتم إضافة التلميح.
عوض هدف نقطة (0 ، 0) إزاحة اختيارية لموضع تلميح الأداة.
اتجاه خيط & # x27auto & # x27 الاتجاه حيث يتم فتح تلميح الأداة. القيم الممكنة هي: right، left، top، bottom، center، auto. سيتم التبديل التلقائي ديناميكيًا بين اليمين واليسار وفقًا لموضع تلميح الأداة على الخريطة.
دائم قيمة منطقية خاطئة ما إذا كان سيتم فتح التلميح بشكل دائم أو عند تمرير الماوس فقط.
لزج قيمة منطقية خاطئة إذا كان هذا صحيحًا ، فسيتبع تلميح الأداة الماوس بدلاً من تثبيته في مركز الميزات.
تفاعلي قيمة منطقية خاطئة إذا كان هذا صحيحًا ، سيستمع التلميح إلى أحداث الميزة.
العتامة عدد 0.9 تعتيم حاوية تلميح.
خيار يكتب تقصير وصف
اسم الفئة خيط & # x27 & # x27 اسم فئة CSS مخصص لتعيينه إلى النافذة المنبثقة.
خيار يكتب تقصير وصف
الإسناد خيط باطل ستظهر السلسلة في عنصر التحكم في الإحالة ، على سبيل المثال & quot © المساهمون في OpenStreetMap & quot. يصف بيانات الطبقة وغالبًا ما يكون التزامًا قانونيًا تجاه أصحاب حقوق الطبع والنشر وموفري البلاط.

الأحداث

حدث البيانات وصف
يضيفحدث تم إطلاقه بعد إضافة الطبقة إلى الخريطة
إزالةحدث تم إطلاقه بعد إزالة الطبقة من الخريطة
حدث البيانات وصف
منبثقةحدث منبثق يتم إطلاقه عند فتح نافذة منبثقة مرتبطة بهذه الطبقة
المنبثقةحدث منبثق يتم إطلاقه عند إغلاق نافذة منبثقة مرتبطة بهذه الطبقة
حدث البيانات وصف
الأدواتتلميح الحدث يتم تنشيطه عند فتح تلميح أداة مرتبط بهذه الطبقة.
الأدواتتلميح الحدث يتم تنشيطه عند إغلاق تلميح أداة مرتبط بهذه الطبقة.

أساليب

يضيف الطبقة إلى الخريطة المحددة أو مجموعة الطبقات.

يزيل الطبقة من الخريطة التي تنشط عليها حاليًا.

يزيل الطبقة من الخريطة المحددة

إرجاع HTMLElement الذي يمثل الجزء المحدد على الخريطة. إذا تم حذف الاسم ، يتم إرجاع الجزء الخاص بهذه الطبقة.

يستخدم بواسطة عنصر التحكم في الإحالة ، ويعرض خيار الإحالة.

يربط نافذة منبثقة بالطبقة ذات المحتوى الذي تم تمريره ويقوم بإعداد أدوات الاستماع إلى الأحداث الضرورية. If a Function is passed it will receive the layer as the first argument and should return a String or HTMLElement .

Removes the popup previously bound with bindPopup .

Opens the bound popup at the specified latlng or at the default popup anchor if no latlng is passed.

Closes the popup bound to this layer if it is open.

Opens or closes the popup bound to this layer depending on its current state.

Returns true if the popup bound to this layer is currently open.

Sets the content of the popup bound to this layer.

Returns the popup bound to this layer.

Binds a tooltip to the layer with the passed content and sets up the necessary event listeners. If a Function is passed it will receive the layer as the first argument and should return a String or HTMLElement .

Removes the tooltip previously bound with bindTooltip .

Opens the bound tooltip at the specified latlng or at the default tooltip anchor if no latlng is passed.

Closes the tooltip bound to this layer if it is open.

Opens or closes the tooltip bound to this layer depending on its current state.

Returns true if the tooltip bound to this layer is currently open.

Sets the content of the tooltip bound to this layer.

Returns the tooltip bound to this layer.

Adds a listener function ( fn ) to a particular event type of the object. You can optionally specify the context of the listener (object the this keyword will point to). You can also pass several space-separated types (e.g. 'click dblclick' ).

Adds a set of type/listener pairs, e.g.

Removes a previously added listener function. If no function is specified, it will remove all the listeners of that particular event from the object. Note that if you passed a custom context to on , you must pass the same context to off in order to remove the listener.

Removes a set of type/listener pairs.

Removes all listeners to all events on the object.

Fires an event of the specified type. You can optionally provide an data object — the first argument of the listener function will contain its properties. The event can optionally be propagated to event parents.

Returns true if a particular event type has any listeners attached to it.

Behaves as on(…) , except the listener will only get fired once and then removed.

Adds an event parent - an Evented that will receive propagated events

Removes an event parent, so it will stop receiving propagated events


How to find the area of a polygon?

Area of a polygon can be calculated by using the area of a polygon formula. To calculate the area of a regular polygon, follow the below steps:

  1. Identify and write down the given values to calculate the polygon area.
  2. Write down the formula for polygon area.
  3. Substitute the values in the formula to get the area of the polygon.

Suppose we have a polygon which has each side of 6 cm. There are a total of 7 sides in the polygon. Calculate the area of the polygon.

Step 1: Identify and write down the given values to calculate the polygon area. Here we have:

أ= 6 cm, ن = 7

Step 2: Write down the formula for the polygon area.

A = (1/4) na 2 cot (&pi/n) = nr 2 tan (&pi/n)

According to the given values, we will use the (1/4) na 2 cot (&pi/n) part of the equation. If the radius of the polygon would have been known instead of side length, we should use nr 2 tan (&pi/n) part of the equation. Both of them can calculate the area of the polygon.

Step 3: Substitute the values in the formula to get the area of the polygon.

A = (1/4) na 2 cot (&pi/n) = (1/4) 7 × 6 2 cot (3.1415/7)

A = (1/4) × 252 × cot (0.4488) = (1/4) × 252 × 2.07

A = 130.41 cm 2

So, a polygon with a total of 7 sides with each side of 6 cm will have an area of 130.41 cm 2 . 7 sided polygons are referred to as septagon. Refer to the below image:


1.4: Polygons

The fastest and smallest JavaScript polygon triangulation library. 2.5KB gzipped.

The library implements a modified ear slicing algorithm, optimized by z-order curve hashing and extended to handle holes, twisted polygons, degeneracies and self-intersections in a way that doesn't guarantee correctness of triangulation, but attempts to always produce acceptable results for practical data.

Why another triangulation library?

The aim of this project is to create a JS triangulation library that is fast enough for real-time triangulation in the browser, sacrificing triangulation quality for raw speed and simplicity, while being robust enough to handle most practical datasets without crashing or producing garbage. Some benchmarks using Node 0.12:

(ops/sec) pts earcut libtess poly2tri pnltri polyk
OSM building 15 795,935 50,640 61,501 122,966 175,570
dude shape 94 35,658 10,339 8,784 11,172 13,557
holed dude shape 104 28,319 8,883 7,494 2,130 n/a
complex OSM water 2523 543 77.54 failure failure n/a
huge OSM water 5667 95 29.30 failure failure n/a

The original use case it was created for is Mapbox GL, WebGL-based interactive maps.

If you want to get correct triangulation even on very bad data with lots of self-intersections and earcut is not precise enough, take a look at libtess.js.

Signature: earcut(vertices[, holes, dimensions = 2]) .

  • vertices is a flat array of vertex coordinates like [x0,y0, x1,y1, x2,y2, . ].
  • holes is an array of hole indices if any (e.g. [5, 8] for a 12-vertex input would mean one hole with vertices 5–7 and another with 8–11).
  • dimensions is the number of coordinates per vertex in the input array ( 2 by default).

Each group of three vertex indices in the resulting array forms a triangle.

If you pass a single vertex as a hole, Earcut treats it as a Steiner point.

If your input is a multi-dimensional array (e.g. GeoJSON Polygon), you can convert it to the format expected by Earcut with earcut.flatten :

After getting a triangulation, you can verify its correctness with earcut.deviation :

Returns the relative difference between the total area of triangles and the area of the input polygon. 0 means the triangulation is fully correct.

  • Fixed a rare race condition where the split routine would choose bad diagonals.
  • Fixed a rare race condition in the "cure local intersections" routine.
  • Fixed a rare race condition where a hole that shares a point with the outer ring would be handled incorrectly.
  • Fixed a bug where a closing point wouldn't be filtered as duplicate, sometimes breaking triangulation.
  • Added earcut.deviation function for verifying correctness of triangulation.
  • Added earcut.flatten function for converting GeoJSON-like input into a format Earcut expects.
  • Changed the algorithm to avoid filtering colinear/duplicate vertices unless it can't triangulate the polygon otherwise. Improves performance on simpler shapes and fixes some 3D use cases.
  • Improved robustness and reliability of the triangulation algorithm.
  • Improved performance by up to 15%.
  • Significantly improved source code clarity.
  • Fixed a z-curve hashing bug that could lead to unexpected results in very rare cases involving shapes with lots of points.
  • Fixed yet another rare race condition (multiple holes connected with colinear bridges).
  • Fixed crash on empty input.
  • Breaking: changed the API to accept a flat input array of vertices with hole indices and return triangle indices. It makes the indexed output much faster than it was before (up to 30%) and improves memory footprint.
  • Fixed indexed output to produce indices not multiplied by dimension and work with any number of dimensions.
  • Added a second argument to earcut that switches output format to flat vertex and index arrays if set to true .
  • Significantly improved performance for polygons with self-intersections (e.g. big OSM water polygons are now handled 2-3x faster)
  • Significantly improved performance on polygons with high number of vertices by using z-order curve hashing for vertex lookup.
  • Slightly improved overall performance with better point filtering.
  • Improved performance on polygons with holes by switching from Held to Eberly hole elimination algorithm
  • More robustness fixes and tests

Examples

Specifying Coordinates

Create a single polygon by specifying the ( x,y ) coordinates of each vertex. Then, add two more polygons to the figure.

Create a red square with vertices at (0,0) , (1,0) , (1,1) , and (0,1) . Specify x as the x -coordinates of the vertices and y as the ذ -coordinates. patch automatically connects the last ( x,y ) coordinate with the first ( x,y ) coordinate.

Create two polygons by specifying x and y as two-column matrices. Each column defines the coordinates for one of the polygons. patch adds the polygons to the current axes without clearing the axes.

Specifying Categorical and Duration Coordinates

Define X as a vector of categorical values, and define Y as a vector of duration values. The patch function uses a sorted list of categories, so the x -axis might display them in a different order than you expect. To specify the order, call the reordercats function. Then, create a red patch to visualize the data.

Specifying Faces and Vertices

Create a single polygon by specifying the coordinates of each unique vertex and a matrix that defines how to connect them. Then, add two more polygons to the figure.

Create a red square with corners at (0,0) , (1,0) , (1,1) , and (0,1) . Specify v so that each row defines the ( x,y ) coordinates for one vertex. Then, specify f as the vertices to connect. Set the color by specifying the FaceColor property.

Create two polygons by specifying f as a two-row matrix. Each row defines the face for one patch.

Different Polygon Face Colors

Create two polygons and use a different color for each polygon face. Use a colorbar to show how the colors map into the colormap.

Create the polygons using matrices x and y . Specify c as an column vector with two elements since there are two polygon faces, and add a colorbar.

Alternatively, you can get the same result when using f and v instead. When you create the polygons, set FaceVertexCData to a column vector with two elements since there are two polygon faces. Set FaceColor to 'flat' .

Interpolated Polygon Face Colors

Interpolate colors across polygon faces by specifying a color at each polygon vertex, and use a colorbar to show how the colors map into the colormap.

Create the polygons using matrices x and y . Specify c as a matrix the same size as x and y defining one color per vertex, and add a colorbar.

Alternatively, you can get the same result using f and v instead. When you create the polygons, set FaceVertexCData to a column vector with one value per vertex and set FaceColor to 'interp' .

Polygon Edges Without Faces

Create a polygon with green edges and do not display the face. Then, create a second polygon with a different color for each edge.

Use a different color for each edge by specifying a color for each vertex and setting EdgeColor to 'flat' .

Polygons Using Structure

Use a structure to create two polygons. First, create a structure with fields names that match patch property names. Then, use the structure to create the polygons.

Semitransparent Polygons

Create two semitransparent polygons by setting the FaceAlpha property to a value between 0 and 1 .

Create Multicolored Line

Create a multicolored line with markers at each vertex. Interpolate the colors and use a colorbar to show how the values map to the colormap.

Create the data. Set the last entry of y to NaN so that patch creates a line instead of a closed polygon. Define a color for each vertex using the y values. The values in c map to colors in the colormap.

Create the line. Show markers at each vertex and set the EdgeColor to 'interp' to interpolate the colors between vertices. Add a colorbar.


Find the area of a polygon with the given vertices? A(1, 4), B(-2, -2) C(-7, -2), D(-4, 4) Please show work.

Consider that the polygon ABCD is composed of the triangle ABC and ACD.

To find the area of a triangle whose vertices coordinates are given we can use the Cramer's Rule, described in:
Finding the area of a triangle using the determinant of a matrix

Evaluating the determinant of the Cramer's Rule we get:
#S_(triangle) =(1/2)|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_1y_3-x_2y_1-x_3y_2|#
#S_(triangle)=(1/2)|x_1*(y_2-y_3)+x_2*(y_3-y_1)+x_3*(y_1-y_2)|#

Explanation:

If we plot those points we'll see that A and D are in the same line ( #y=4# ) parallel to the x-axis and that B and C also are in the same line ( #y=-2# ) also parallel to the x-axis.

Beyond that, since A and D are in the same line and also B and C are in the same line
#DA=|x_A-x_D|=|1+4|=5#
#BC=|x_B-x_B|=|-7+2|=5#
=> #DA=BC#

Two segments of line of the same size in lines parallel to each other, yet the segments are not aligned: it means that the polygon is a parallelogram, whose equation of area is #base*height# .

The separation or distance between the two lines ( #y=4# and #y=-2# ) give us the height. The separation is #4-(-2)=6# linear units.

So the area of the polygon ABCD, a parallelogram, is
#S_(ABCD)=base*height=5*6=30#


Details

The coordinates can be passed in a plotting structure (a list with x and y components), a two-column matrix, . See xy.coords .

It is assumed that the polygon is to be closed by joining the last point to the first point.

The coordinates can contain missing values. The behaviour is similar to that of lines , except that instead of breaking a line into several lines, NA values break the polygon into several complete polygons (including closing the last point to the first point). See the examples below.

When multiple polygons are produced, the values of density , angle , col , border , and lty are recycled in the usual manner.

Shading of polygons is only implemented for linear plots: if either axis is on log scale then shading is omitted, with a warning.

Self-intersecting polygons may be filled using either the “odd-even” or “non-zero” rule. These fill a region if the polygon border encircles it an odd or non-zero number of times, respectively. Shading lines are handled internally by ر according to the fillOddEven argument, but device-based solid fills depend on the graphics device. The windows , pdf and postscript devices have their own fillOddEven argument to control this.


شاهد الفيديو: هندسة المضلعات-1 (ديسمبر 2021).