مقالات

2.5: التكافؤ المنطقي - الرياضيات


2.5: التكافؤ المنطقي - الرياضيات

الرضا

يكون الاقتراح مرضيًا إذا كان جدول الحقيقة يحتوي على True مرة واحدة على الأقل.

علم التحمل

الاقتراح هو حشو إذا كان صحيحًا دائمًا (يتكون جدول الحقيقة من القيمة True).

تناقض

إذا كان جدول الحقيقة خاطئًا دائمًا.

طارئ

الاقتراح مرضي لكنه ليس حشوًا.

التكافؤ المنطقي

إذا كان الافتراضان ، p و q ، لهما نفس القيمة في جميع الحالات الممكنة يسمى مكافئ منطقيًا ، p ≡ q ، إذا p↔q.

التكافؤ اسم
ص ∧ تي ≡ ص
ص ∨ F ≡ ص
قوانين الهوية
ص ∨ تيتي
ص ∧ FF
قوانين الهيمنة
ص ∨ ص ≡ ص
pp≡p
قوانين عديمة الفاعلية
¬ (ص) ≡ ص قانون النفي المزدوج
ص ∨ ف ≡ س ∨ ص
p∧q≡q∧p
القوانين التبادلية
(ص ∨ ف) ∨ ص ≡ ف ∨ (ف ∨ ص)
(ص ∧ ف) ∧ ص ≡ ف ∧ (ف ∧ ص)
قوانين الجمعيات
ص ∨ (ف ∧ ص) ≡ (ف ∨ ف) ∧ (ص ∨ ص)
ص ∧ (ف ∨ ص) ≡ (ف ∧ ف) ∨ (ص ∧ ص)
قوانين التوزيع
¬ (ص ∧ ف) ≡ ¬ ص ¬q
¬ (ص ∨ ف) ≡ ¬ ص ¬q
قوانين دي مورغان
ص ∨ (ص ∧ ف) ≡ ص
ص ∧ (ص ∨ ف) ≡ ص
قوانين الامتصاص
ص ∨ ص تي
ص ∧ ص F
قوانين النفي

موانع

النسخة السلبية من الاقتراح المنطقي الإيجابي ، p∨q≡¬p∧¬q.

الحديث

المرآة عكس الاقتراح المنطقي.

ص ف ص → ف ف → ص
تي تي تي تي
تي F F تي
F تي تي F
F F تي تي


الرياضيات 321 ملاحظات الفصل

قبل أن نبدأ ، نحتاج إلى تحديد بعض المفاهيم الأساسية للأرقام رسميًا.

التعريف 2.5.1.

يُقال أن الرقم (n ) يكون إذا كان مضاعفًا للعدد 2. أي إذا كان هناك عدد صحيح (ك ) مثل (n = 2k text <،> ) ثم (n ) زوجي.

مثال 2.5.2.
  1. 6 حتى منذ (6 = 2 cdot 3 )
  2. 0 زوجي ، منذ (0 = 2 cdot 0 )
  3. -8 زوجي ، بما أن (- 8 = 2 cdot (-4) )
  4. 9 ليس زوجيًا ، حيث لا يوجد عدد صحيح (ك ) بحيث (9 = 2 كيلو )
التعريف 2.5.3.

يُقال إن الرقم (n ) يكون إذا لم يكن مضاعفًا للعدد 2. أي إذا كان هناك عدد صحيح (ك ) مثل (n = 2k + 1 text <،> ) إذن (n ) غريب.

مثال 2.5.4.
  1. الرقم 7 غريب منذ (7 = 2 cdot 3 + 1 )
  2. -1 فردي ، منذ (- 1 = 2 cdot (-1) + 1 )
  3. 8 ليس غريبًا ، لأنه لا يوجد عدد صحيح (ك ) بحيث (8 = 2 كيلو + 1 )
التعريف 2.5.5.

يُقال أن الرقم (n ) موجود في حالة وجود أعداد صحيحة (أ ، ب ) مع (ب ليس = 0 ) بحيث (n = dfrac text <.> ) إذا كان الرقم غير منطقي ، نقول إنه كذلك.

مثال 2.5.6.

القسم الفرعي 2.5.2 المفاهيم الأساسية للإثبات

التعريف 2.5.7.
  • A عبارة يمكن إظهار أنها صحيحة. نحن نحتفظ عمومًا بنظرية الكلمة لبيان مهم.
  • أ هي نظرية "أقل أهمية".
  • الأدوات التي نستخدمها لإثبات النظرية هي (أو) الافتراضات الأساسية التي نصنعها ، بالإضافة إلى النظريات الأخرى التي أثبتناها بالفعل.
  • النظرية الأقل أهمية والتي ستكون مفيدة في إثبات الآخرين تسمى أ.
  • أ هي نظرية تتبع مباشرة من نظرية تم إثباتها للتو.
  • A عبارة نعتقد أنها صحيحة (حدسنا يوحي بذلك)
مثال 2.5.8.

إليك اقتراح: "إذا كان (n ) عددًا صحيحًا فرديًا ، فإن (n ^ 2 ) يكون عددًا فرديًا."

هذا البيان يعني لعالم خطاب جميع الأعداد الصحيحة:

الملاحظة 2.5.9.

تم تضمين عالم الخطاب في البيان العام أعلاه. ستحذف الافتراضات الرياضية دائمًا الكلمات "للجميع".

القسم الفرعي 2.5.3 إثبات مباشر

يتم استخدام الدليل المباشر عند إثبات اقتراح من النموذج (p to q text <.> ) الهدف هو إظهار أن (q ) صحيح عندما نفترض أن (p ) صحيح. هذا هو النموذج:

دليل .

. استخدام المعادلات المنطقية (و / أو الرياضيات).

مثال 2.5.10.

إثبات أن مجموع عددين فرديين زوجي.

مثال 2.5.11.

أثبت أنه إذا كان (n ) زوجيًا ، فإن (n ^ 2 ) يكون زوجيًا.

مثال 2.5.12.

أثبت أنه إذا كان (m + n ) و (n + p ) أعدادًا صحيحة ، فإن (m + p ) يكون زوجيًا.

القسم الفرعي 2.5.4 البراهين غير المباشرة

ما زلنا نريد أن نظهر أن العبارة صحيحة ، ولكن ربما يصعب التعامل معها بشكل مباشر. هناك عدة براهين مختلفة غير مباشرة. أكثر الأساليب غير المباشرة شيوعًا هي البراهين بالمعارضة والبراهين بالتناقض.

القسم الفرعي 2.5.4.1 الإثبات بالتعارض

. الإثبات بالتعارض هو إثبات مباشر لـ ( neg q to neg p text <.> ) هذا هو النموذج:

دليل .

. استخدام المعادلات المنطقية (و / أو الرياضيات).

إظهار ( neg p ) صحيح. لذلك ، (p to q ) صحيح بالتعارض.

تذكر أن ( neg q to neg p equiv p to q text <،> ) لذا فهذه وسيطة صالحة.

مثال 2.5.13.

أظهر أنه إذا كان (n ) عددًا صحيحًا و (n ^ 3 + 5 ) غريبًا ، فإن (n ) يكون زوجيًا.

مثال 2.5.14.

أثبت أنه إذا كان (n ^ 2 ) زوجيًا ، فإن (n ) يكون زوجيًا.

القسم الفرعي 2.5.4.2 الإثبات بالتناقض

يسمح لنا الإثبات عن طريق التناقض بإثبات عبارة (ع ) ليست بالضرورة مشروطة. نحقق ذلك بافتراض أن ( neg p ) صحيح ، وإيجاد التناقض. هذا يعمل لأن

كما أظهرنا في المثال 2.1.9. هذا هو النموذج:

دليل .

افترض ، على العكس من ذلك ، أن (p ) خطأ ، أي أن ( neg p ) صحيح.

. استخدام المعادلات المنطقية (و / أو الرياضيات).

توصل إلى تناقض منطقي. بعض الاستحالة. لذلك ، (ع ) صحيح بالتناقض.

مثال 2.5.15.

إثبات أن ( sqrt <2> ) غير منطقي

القسم الفرعي 2.5.5 إثباتات المعادلة

بالنسبة للتعليمات التي تكون "إذا كان فقط إذا:" (p iff q ) نحتاج إلى إثبات كل من (p to q ) ومعارضه (q to p text <.> )

مثال 2.5.16.

أثبت أن (n ) حتى لو وفقط إذا كان (n ^ 2 ) زوجيًا.

لقد فعلنا ذلك بالفعل في القسمين الفرعيين السابقين. الاتجاه الأمامي 2.5.11 والعكس 2.5.14.

مثال 2.5.17.

أثبت أن (n ) حتى لو وفقط إذا كان (7n + 4 ) زوجيًا.

مثال 2.5.18.

إثبات ما يلي متكافئ:

  1. (displaystyle a lt b)
  2. متوسط ​​ (أ ) و (ب ) أكبر من (أ )
  3. متوسط ​​ (أ ) و (ب ) أقل من (ب )

القسم الفرعي 2.5.6 إثبات حسب الحالات

قسّم الحجة إلى أجزاء منفصلة تمامًا. في المثال أدناه لدينا حالتين. إما (x ge y ) أو (x lt y text <:> )

مثال 2.5.19.

أظهر أنه إذا كانت (س ) و (ص ) أرقام حقيقية ، إذن:

الملاحظة 2.5.20.

نحتاج إلى إثبات كل مطالبة على حدة لكل حالة!

مثال 2.5.21.

أثبت أن (5x + 5y ) هو عدد صحيح فردي عندما يكون (x ) و (y ) عددًا صحيحًا من التكافؤ المعاكس (ليس كلاهما زوجيًا وليس كلاهما فرديًا).

القسم الفرعي 2.5.7 إثباتات الوجود

ادعاء نظرية الوجود هو أن هناك كائنًا له خاصية. أ هو الذي يخبر القارئ ، أثناء المناقشة ، على وجه التحديد بكيفية التوصل إلى الشيء المعني. يؤكد A فقط وجود كائن ، لكنه لا يعطي أي تفاصيل حول كيفية العثور عليه.

مثال 2.5.22.

أثبت أن إما (2 cdot 10 ^ <500> + 15 ) أو (2 cdot 10 ^ <500> + 16 ) ليس مربعًا كاملاً.

دعني أبدأ في ذلك ، ويمكننا مناقشته أدناه. لاحظ أن العددين متباعدان عن بعضهما البعض. إنها ضخمة ، لذلك لا نعرف بالضرورة ما إذا كانت مربعة ، لكننا نحتاج فقط إلى إظهار أنه ليس أكثر من واحد منها مربع.

لنتخيل أن لدي رقمًا مربعًا ، أي (n ^ 2 text <.> ) هل من الممكن أن يكون (n ^ 2 - 1 ) أو (n ^ 2 + 1 ) أيضًا رقمًا مربعًا ؟ ما هو الشرط المطلوب على (n )؟

مثال 2.5.23.

بيّن أن بين أي رقمين منطقيين هو رقم نسبي آخر.

إذا كان لدينا رقمان منطقيان (أ / ب ) و (ج / د ) مع (أ ، ب ، ج ، د في Z ) و (ب ، د ني 0 نص <، > ) ثم يمكننا بناء ( frac text <.> ) أظهر أن هذا رقم نسبي موجود بين العددين الأصليين.

القسم الفرعي 2.5.8 براهين التفرد

إن ادعاء نظرية التفرد هو أن هناك عنصرًا له خاصية مرغوبة ، وأنه لا يوجد عنصر آخر له هذه الخاصية. غالبًا ما تكون الخطوط العريضة لإثباتنا:

  • إثبات وجود (x text <،> ) بعض العناصر التي لها الخاصية التي نريدها.
  • افترض أن العنصر الثاني ، (y ) له هذه الخاصية أيضًا.
  • استنتج أن (س = ص )
مثال 2.5.24.

أظهر أنه إذا كانت (a ، b ، c ) أرقامًا حقيقية مع (a ne 0 text <،> ) ، فهناك حل فريد للمعادلة الجبرية (ax + b = c text <. > )

أنت تعرف كيف تحل معادلة جبرية. افترض الآن أن هناك حلًا ثانيًا. بيّن أن الحلين متساويان.

مثال 2.5.25.

أظهر أنه إذا كان (n ) عددًا صحيحًا فرديًا ، فهناك عدد صحيح فريد (k ) مثل (n = (k-2) + (k + 3) )

على غرار ما ورد أعلاه ، أظهر أن (k ) يشبع هذه المعادلة ، ثم أظهر أنه إذا كان لديك رقم آخر ، قل (l ) هذا أيضًا ، يجب أن تكون الحالة (k = l text <. > )

القسم الفرعي 2.5.9 البراهين الفارغة والتافهة

التعريف 2.5.26.

A صحيح لأن الفرضية خاطئة. يمكنك "إثبات" صحة بيان ما على الفور.

مثال 2.5.27.

إذا لعبت في Super Bowl ، فسوف أقوم برمي المباراة الفائزة.

نظرًا لأنني لن ألعب مطلقًا في Super Bowl ، فلا يهم القيمة الحقيقية لبيان الهبوط. (F to T equiv T ) و (F to F equiv T ) نفس الشيء.

التعريف 2.5.28.

إذا علمنا أن استنتاج البيان صحيح ، فإن البيان له دليل.

مثال 2.5.29.

لنفترض أن (P (x) ) هي العبارة "If (x in mathbb) و (x gt 0 ) ، ثم (x ^ 2 + 1 ge 0 ) ".

بما أننا نعلم أن (x ^ 2 ge 0 ) لأي رقم حقيقي ، (x ^ 2 + 1 ge x ^ 2 ge 0 text <.> ) لم نكن بحاجة إلى الفرضية ( x gt 0 text <.> ) هذا دليل تافه.

القسم الفرعي 2.5.10 تمت إعادة النظر في الأمثلة المضادة

أذكر في اقتراحات الرياضيات ، المُحدِّد الشامل ضمنيًا وعادة ما يتم حذفه. لإظهار خطأ ما ، نحتاج فقط إلى إيجاد مثال مضاد واحد.

مثال 2.5.30.

كل من العبارات التالية خاطئة. ابحث عن مثال مضاد محدد واشرح سبب خطأ العبارة.

  1. إذا كان (n ) رقمًا حقيقيًا ، إذن ((n + 4) ^ 2 = n ^ 2 + 16 text <.> )
  2. كل عدد صحيح هو مجموع مربعات عددين صحيحين.
  3. ( forall x forall y (x ^ 2 = y ^ 2 to x = y) ) حيث يكون مجال جميع المتغيرات هو مجموعة جميع الأعداد الصحيحة.
  4. حاصل ضرب عددين غير منطقيين غير منطقي.
  5. مجموع عددين غير منطقيين غير منطقي.
  1. على سبيل المثال ، يعمل (n = 1 ) منذ ((1 + 4) ^ 2 = 25 ne 17 = 1 + 16 text <.> )
  2. الرقم 7 ليس مجموع مربعين. المربعات الوحيدة الأصغر من 7 هي 1 و 4. لا تضيف إلى 7.
  3. اختيار (x = -1 و y = = 1 ) لدينا ((- 1) ^ 2 = (1) ^ 2 ) ولكن بالتأكيد (- 1 ne 1 text <.> )
  4. نعلم (من الأعلى) أن ( sqrt <2> ) غير منطقي. اضربها بنفسها. تحصل على (2 ) وهو أمر منطقي.
  5. ضع في اعتبارك (a = sqrt <2> ) و (b = - sqrt <2> text <.> ) ثم مجموعهم ، (a + b = 0 text <،> ) وهو معقول.

تمارين 2.5.11 تمارين

ضع في اعتبارك العبارة "لجميع الأعداد الصحيحة (أ ) و (ب نص <،> ) إذا كان (أ + ب ) زوجيًا ، إذن (أ ) و (ب ) زوجي"

اكتب ما يخالف البيان.

اكتب عكس البيان.

اكتب نفي البيان.

هل البيان الأصلي صحيح أم خطأ؟ أثبت إجابتك.

هل نقيض البيان الأصلي صحيح أم خطأ؟ أثبت إجابتك.

هل عكس البيان الأصلي صحيح أم خطأ؟ أثبت إجابتك.

هل نفي البيان الأصلي صحيح أم خطأ؟ أثبت إجابتك.

لجميع الأعداد الصحيحة (أ ) و (ب نص <،> ) إذا كان (أ ) أو (ب ) ليس زوجيًا ، فإن (أ + ب ) ليس زوجيًا.

لجميع الأعداد الصحيحة (أ ) و (ب نص <،> ) إذا (أ ) و (ب ) زوجي ، إذن (أ + ب ) زوجي.

هناك أرقام (أ ) و (ب ) مثل أن (أ + ب ) زوجي ولكن (أ ) و (ب ) ليسا كلاهما زوجي.

خطأ شنيع. على سبيل المثال ، (أ = 3 ) و (ب = 5 نص <.> ) (أ + ب = 8 نص <،> ) ولكن لا (أ ) ولا (ب ) بل هي.

خطأ ، لأنه يعادل البيان الأصلي.

حقيقي. لنفترض أن (أ ) و (ب ) أعداد صحيحة. افترض أن كلاهما زوجي. ثم (a = 2k ) و (b = 2j ) لبعض الأعداد الصحيحة (k ) و (j text <.> ) ولكن بعد ذلك (a + b = 2k + 2j = 2 (k + j) ) وهو زوجي.

صحيح ، لأن البيان خاطئ.

ضع في اعتبارك العبارة: لجميع الأعداد الصحيحة (n text <،> ) إذا كان (n ) حتى يكون (8n ) زوجيًا.

إثبات البيان. ما نوع الدليل الذي تستخدمه؟

هل العكس صحيح؟ إثبات أو دحض.

دليل .

لنكن (n ) عددًا صحيحًا. افترض أن (n ) زوجي. ثم (n = 2k ) لبعض الأعداد الصحيحة (k text <.> ) وبالتالي (8n = 16k = 2 (8k) text <.> ) لذلك (8n ) هو زوجي.

العكس خاطئ. أي أن هناك عددًا صحيحًا (n ) بحيث يكون (8n ) زوجيًا ولكن (n ) فردي. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك (n = 3 text <.> ) ثم (8n = 24 ) وهو زوجي ولكن (n = 3 ) غريب.

لقد أظهر لك "صديقك" "دليلًا" كتبه ليبين أن (1 = 3 نص <.> ) هذا هو الدليل:

دليل .

أنا أدعي أن (1 = 3 نص <.> ) بالطبع يمكننا فعل أي شيء على جانب واحد من المعادلة طالما أننا نفعل ذلك أيضًا على الجانب الآخر. لذا اطرح 2 من كلا الطرفين. هذا يعطي (- 1 = 1 نص <.> ) الآن قم بتربيع كلا الجانبين ، للحصول على (1 = 1 نص <.> ) ونتفق جميعًا على أن هذا صحيح.

ما الذي يجري هنا؟ هل حجة صديقك صحيحة؟ هل الحجة دليل على الادعاء (1 = 3 نص <؟> ) اشرح بعناية باستخدام ما نعرفه عن المنطق.

تلميح: ما المعنى الذي يترتب على الدليل المعطى؟

افترض أنك تريد إثبات المعنى الضمني التالي:

لجميع الأرقام (n text <،> ) إذا كان (n ) عددًا أوليًا ، فإن (n ) يكون منفردًا.

اكتب بداية الحجة ونهايتها إذا كنت تريد إثبات العبارة ،

لا تحتاج إلى تقديم تفاصيل عن البراهين (بما أنك لا تعرف معنى الحبس الانفرادي). ومع ذلك ، تأكد من تقديم الأسطر القليلة الأولى والأخيرة من البراهين حتى نتمكن من رؤية الهيكل المنطقي الذي ستتبعه.

  1. افترض أن (n ) عدد أولي. ( النقاط ) لذلك (ن ) منعزل.
  2. افترض أن (n ) ليس منعزلاً. ( dots ) ​​لذلك (n ) هو عدد أولي عن طريق التناقض.
  3. افترض أن (n ) عدد أولي وليس منفردًا. ( dots ) ​​هذا يناقض افتراضنا. وبالتالي إذا كان (n ) عددًا أوليًا ، فإن (n ) يكون منفردًا.

لكل من العبارات الواردة أدناه ، اذكر طريقة الإثبات التي يجب أن تستخدمها لإثباتها. ثم قل كيف يبدأ الدليل وكيف ينتهي. تظاهر بنقاط المكافأة لملء الوسط.

لا توجد أعداد صحيحة (س ) و (ص ) بحيث يكون (س ) عددًا أوليًا أكبر من 5 و (س = 6 ص + 3 نص <.> )

لجميع الأعداد الصحيحة (n text <،> ) إذا كان (n ) مضاعف 3 ، إذن (n ) يمكن كتابتها كمجموع الأعداد الصحيحة المتتالية.

لجميع الأعداد الصحيحة (أ ) و (ب نص <،> ) إذا كان (أ ^ 2 + ب ^ 2 ) غريبًا ، إذن (أ ) أو (ب ) أمر فردي.

الإثبات بالتناقض. بداية الإثبات: افترض ، من أجل التناقض ، أن هناك أعدادًا صحيحة (س ) و (ص ) بحيث يكون (س ) عددًا أوليًا أكبر من 5 و (س = 6 ص + 3 نص <.> ) نهاية الإثبات: ... هذا تناقض ، لذا لا توجد مثل هذه الأعداد الصحيحة.

دليل مباشر. بداية الإثبات: لنكن (n ) عددًا صحيحًا. افترض (n ) مضاعف 3. نهاية الإثبات: لذلك (n ) يمكن كتابتها كمجموع الأعداد الصحيحة المتتالية.

دليل موانع. بداية الإثبات: لنفترض أن (أ ) و (ب ) أعداد صحيحة. افترض أن (أ ) و (ب ) زوجي. نهاية الإثبات: إذن (a ^ 2 + b ^ 2 ) زوجي.

أثبت أنه إذا كان (n ^ 2 ) من مضاعفات الثلاثة ، فإن (n ) هو مضاعف ثلاثة حيث (n ) هو عدد صحيح.

إذا لم يكن الرقم من مضاعفات الثلاثة ، فإنه إما أن يكون 1 أكثر من مضاعف ثلاثة أو 2 أكثر من مضاعف الثلاثة ، أي سيكون لديك حالتان ، إما (n = 3k + 1 ) أو (3k + 2 text <.> )

دليل .

إثبات بالمعارضة: افترض أن (n ) ليس من مضاعفات الثلاثة. ثم:

الحالة 1: يوجد عدد صحيح (k ) بحيث (n = 3k + 1 text <.> ) ضع في اعتبارك:

ومن ثم ، فإن (n ^ 2 ) ليس عددًا من ثلاثة.

الحالة 1: يوجد عدد صحيح (l ) بحيث (n = 3l + 2 text <.> ) ضع في اعتبارك:

ومن ثم ، فإن (n ^ 2 ) ليس عددًا من ثلاثة.

وبالتالي ، فقد أثبتنا أنه إذا كان (n ^ 2 ) مضاعفًا لثلاثة ، فإن (n ) مضاعف ثلاثة عن طريق التناقض.


قيمة الحقيقة لبيان (الشيء الوحيد المهم)

لاحظ أن الحجج المكتوبة نحويًا فيما يتعلق بالأمثلة التالية لا تعبر أو تمثل أي شيء للرياضيات ما لم يتم تعريف هذه الحجج لهذه العبارات بشكل صحيح ، لذا فإن تفسيرنا شخصي للرياضيات.

في حساب التفاضل والتكامل (ولكن ليس كل شيء في المنطق الرياضي) يهتم فقط بقيم الحقيقة للبيان أكثر من اهتمامه ببنية الحجة نفسها. سنقوم بتوضيح هذه النقطة مباشرة بعد المثال التالي.

توضح الأمثلة التالية الجمل التي تكون أو لا تكون جمل:

  1. كل كلب له أذنان (صحيح).
  2. الخنفساء حمار (خطأ).
  3. أنا & # 8217m متحمس! (ليس بيان).
  4. هذا الشخص هو امرأة (وليس بيان).

شرح كل بيان.

  1. المثال الأول يعتمد على تجربتنا البصرية ، يمكننا التحقق من أن كل كلب له أذنان ينتج عنها بيان حقيقي.
  2. نعلم من تجربتنا أن الخنفساء ليست حمارًا ، والافتراض هنا خاطئ.
  3. لا يشير التعجب إلى أن هناك شيئًا ما صحيحًا أو خاطئًا ، مما يعني أن الجملة ليست بيانًا.
  4. تشير هذه الجملة إلى أن الشخص يمكن أن يكون امرأة ، ولكنه أيضًا لا يكون كذلك ، أي لا يمكننا أن نقول إنها صحيحة أو خاطئة ، لذا فهي ليست تصريحًا. تسمى هذه الأنواع من الجمل بالوظائف المقترحة أو المسندات لأنها تحتوي على متغيرات غير معروفة وتستخدم على نطاق واسع في منطق الدرجة الأولى.

الرياضيات لا تعرف أو تتعرف على ما إذا كانت هذه الجملة & # 8220 كل كلب له أذنان & # 8221 صحيحة أم خاطئة ، لم يتم تعريفها في مفرداتها & # 8220dog & # 8221 و & # 8220ears & # 8221 ، في الواقع ، كل كلمة من الجملة لم يتم تعريفه بواسطة الرياضيات ما لم يتم وضع تعريف سابق وخصائص كل جزء من الجملة وحتى ترتيب كل كلمة من الجملة.

يقتصر حساب التفاضل والتكامل على استخلاص قيم الحقيقة بغض النظر عن الحجج لأنها ليست أكثر من تفسيرات ذاتية بسيطة للرياضيات.

هناك فرع من المنطق الرياضي يمكنه دراسة بنية العبارات ولكنه موضوع خارج نطاق هذه الدورة.


الهياكل المنفصلة التطبيقية

الاقتراح هو جملة واحدة فقط من المصطلحات حقيقية أو خاطئة يمكن تطبيقها بشكل مفيد.

مثال 3.1.2. بعض الاقتراحات.

"أربعة زوجي" و " (4 in <1،3، 5 > )" و " (43 & gt 21 )" هي اقتراحات.

في المنطق التقليدي ، يعتبر البيان التصريحي ذو قيمة حقيقة محددة عرضًا. على الرغم من أن هدفنا النهائي هو مناقشة المنطق الرياضي ، إلا أننا لن نفصل أنفسنا تمامًا عن الوضع التقليدي. هذا أمر طبيعي لأن الافتراضات أو المسلمات الأساسية للمنطق الرياضي تم تصميمها على غرار المنطق الذي نستخدمه في الحياة اليومية. نظرًا لاستخدام الجمل المركبة بشكل متكرر في الكلام اليومي ، نتوقع أن تحتوي الافتراضات المنطقية على روابط مثل كلمة "و". إن العبارة "تدعم أوروبا الحياة أو المريخ يدعم الحياة" هي اقتراح ، وبالتالي يجب أن يكون لها قيمة حقيقة محددة. مهما كانت قيمة الحقيقة هذه ، يجب أن تكون هي نفسها القيمة الحقيقية لـ "المريخ يدعم الحياة أو يوروبا يدعم الحياة."

القسم الفرعي 3.1.2 العمليات المنطقية

هناك العديد من الطرق التي نجمع بها عادة عبارات بسيطة في عبارات مركبة. الكلمات / العبارات و, أو, ليس, إذا . ومن بعد. ، و . إذا وفقط إذا . يمكن إضافتها إلى واحد أو أكثر من المقترحات لإنشاء اقتراح جديد. لتجنب أي لبس ، سنحدد بدقة معنى كل واحد ونقدم رمزه القياسي. باستثناء النفي (ليس) ، تعمل جميع العمليات على أزواج من المقترحات. نظرًا لأن كل اقتراح يحتوي على قيمتين محتملتين للحقيقة ، فهناك أربع طرق يمكن من خلالها تخصيص الحقيقة لاثنين من الافتراضات. عند تحديد تأثير عملية منطقية على اقتراحين ، يجب تحديد النتيجة لجميع الحالات الأربع. الطريقة الأكثر ملاءمة للقيام بذلك هي باستخدام جدول الحقيقة ، والذي سنوضحه من خلال تعريف الكلمة و.

التعريف 3.1.3. الاقتران المنطقي.

إذا كان (p ) و (q ) عبارة عن مقترحات ، فإن اقترانهما ، (p textrm <و> q ) (يُشار إليه (p land q )) ، يتم تعريفه بواسطة جدول الحقيقة

لقراءة جدول الحقيقة هذا ، يجب أن تدرك أن أي سطر يمثل حالة: مجموعة واحدة محتملة من القيم لـ (p ) و (q text <.> )

يتم استخدام الأرقام 0 و 1 للإشارة إلى خطأ وصحيح ، على التوالي. هذا يتوافق مع الطريقة التي تعامل بها العديد من لغات البرمجة المتغيرات المنطقية أو المنطقية ، حيث يمكن أن يمثل بت واحد ، 0 أو 1 ، قيمة حقيقية.

لكل حالة ، يمثل الرمز الموجود أسفل (p ) القيمة الحقيقية لـ (p text <.> ) وينطبق الشيء نفسه على (q text <.> ) الرمز الموجود أسفل (p land q ) يمثل قيمة الحقيقة لهذه الحالة. على سبيل المثال ، يمثل الصف الثاني من جدول الحقيقة الحالة التي يكون فيها (p ) خطأ ، و (q ) صحيحًا ، وقيمة الحقيقة الناتجة لـ (p land q ) خاطئة. كما هو الحال في الكلام اليومي ، يكون (p land q ) صحيحًا فقط عندما يكون كلا الافتراضين صحيحًا.

مثلما تستخدم الأحرف (x text <،> ) (y ) و (z ) بشكل متكرر في الجبر لتمثيل المتغيرات الرقمية ، (p text <،> ) (q ) و (r ) يبدو أنهما الرموز الأكثر استخدامًا للمتغيرات المنطقية. عندما نقول أن (p ) متغير منطقي ، فإننا نعني أن أي اقتراح يمكن أن يحل محل (p text <.> )

تعليق أخير: الترتيب الذي نسرد به الحالات في جدول الحقيقة موحد في هذا الكتاب. إذا كان جدول الحقيقة يتضمن افتراضين بسيطين ، فيمكن تفسير الأرقام الموجودة ضمن الافتراضات البسيطة على أنها أعداد صحيحة ثنائية ثنائية العدد بترتيب تصاعدي ، 00 ، 01 ، 10 ، 11 ، للأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 على التوالي.

التعريف 3.1.4. الفصل المنطقي.

إذا كان (p ) و (q ) عبارة عن مقترحات ، فإن فصلها ، (p textrm <أو> q ) (يشار إليه (p lor q )) ، يتم تعريفه بواسطة جدول الحقيقة

التعريف 3.1.5. النفي المنطقي.

إذا كان (p ) اقتراحًا ، فإن نفيه ( textrm p text <،> ) يشير إلى ( neg p text <،> ) ويتم تعريفه بواسطة جدول الحقيقة

ملاحظة: النفي هو العامل القياسي الوحيد الذي يعمل على اقتراح واحد ، وبالتالي هناك حاجة إلى حالتين فقط.

ضع في اعتبارك المقترحات التالية من الكلام اليومي:

سأستقيل إذا لم أحصل على علاوة.

إذا نجحت في النهائي ، سأتخرج.

سأذهب إلى السينما بشرط أن تبدأ سيارتي.

جميع الافتراضات الثلاثة مشروطة ، ويمكن إعادة صياغتها جميعًا لتلائم صيغة "If شرط، ومن بعد استنتاج. " على سبيل المثال ، يمكن إعادة كتابة العبارة الأولى على النحو التالي "إذا لم أحصل على زيادة ، فسأستقيل".

من المفترض أن يتم تفسير البيان الشرطي على أنه ضمان إذا كان الشرط صحيحًا ، فمن المتوقع أن يكون الاستنتاج صحيحًا. تقول لا أكثر ولا أقل.

التعريف 3.1.6. عبارة شرطية.

العبارة الشرطية "If (p ) ثم (q text <،> )" المشار إليها (p rightarrow q text <،> ) يتم تعريفها بواسطة جدول الحقيقة

الجدول 3.1.7. جدول الحقيقة لـ (p rightarrow q )

مثال 3.1.8. تحليل العرض الشرطي.

افترض أن مدرسك أخبرك "إذا حصلت على درجة 95 أو أعلى في الاختبار النهائي ، فستحصل على درجة A في هذه الدورة التدريبية." لقد قدم لك مدرسك وعدًا. إذا استوفيت شرطه ، فإنك تتوقع أن تكون النتيجة (الحصول على A) وشيكة. افترض أنه قد تم إرجاعك النهائي الذي تم تقديره إليك. هل قال معلمك الحقيقة أم أن معلمك مذنب بالكذب؟

الحالة الأولى: كانت درجة امتحانك النهائي أقل من 95 (الشرط خاطئ) ولم تحصل على A (الاستنتاج خاطئ). قال المدرب الحقيقة.

الحالة الثانية: كانت درجة امتحانك النهائي أقل من 95 ، لكنك حصلت على درجة A في الدورة التدريبية. قال المدرب الحقيقة. (ربما كان المعدل العام للدورة التدريبية ممتازًا).

الحالة الثالثة: كانت درجة امتحانك النهائي أكبر من 95 ، لكنك لم تحصل على علامة أ. كذب المعلم.

الحالة الرابعة: كانت نتيجة الاختبار النهائي الخاصة بك أكبر من 95 ، وحصلت على أ. قال المعلم الحقيقة.

باختصار ، الحالة الوحيدة التي يكون فيها الاقتراح الشرطي خاطئًا هي عندما يكون الشرط صحيحًا والاستنتاج خاطئ.

ترتيب الشرط والاستنتاج في اقتراح شرطي مهم. إذا تم تبادل الشرط والاستنتاج ، يتم إنتاج اقتراح مختلف.

التعريف 3.1.9. الحديث.

عكس الاقتراح (p rightarrow q ) هو الاقتراح (q rightarrow p text <.> )

على العكس من "إذا حصلت على درجة 95 أو أعلى في الاختبار النهائي ، فستحصل على درجة A في هذه الدورة التدريبية" ، هو "إذا حصلت على درجة A في هذه الدورة ، فستحصل على درجة 95 أو أفضل في الامتحان النهائي ". يجب أن يكون واضحًا أن هذين البيانين يقولان أشياء مختلفة.

هناك هو اقتراح متعلق بـ (p rightarrow q ) له نفس المعنى المنطقي. هذا هو موانع.

التعريف 3.1.10. موانع.

تعارض الاقتراح (p rightarrow q ) هو الاقتراح ( neg q rightarrow neg p text <.> )

كما سنرى عندما نناقش البراهين المنطقية ، يمكننا إثبات اقتراح مشروط من خلال إثبات تناقضه ، والذي قد يكون أسهل إلى حد ما.

التعريف 3.1.11. عرض ثنائي الشرط.

إذا كان (p ) و (q ) عبارة عن مقترحات ، فإن العبارة ذات الشرطين " (p ) إذا وفقط إذا كان (q text <،> )" يشير إلى (p leftrightarrow q text <، > ) من خلال جدول الحقيقة

لاحظ أن (p leftrightarrow q ) يكون صحيحًا عندما يكون (p ) و (q ) لهما نفس قيم الحقيقة. من الشائع اختصار "if and only if" إلى "iff".

على الرغم من "إذا. ومن بعد. " و ". إذا وفقط إذا . كثيرا ما تستخدم في الحديث اليومي ، وهناك العديد من الأشكال البديلة التي يجب أن تكون على دراية بها. تم تلخيصها في القوائم التالية.

كل ما يلي يكافئ "If (p ) then (q )":

(p ) كافٍ لـ (q text <.> )

كل ما يلي يكافئ " (p ) إذا وفقط إذا (q )":

(p ) ضروري وكافي لـ (q text <.> )

إذا كان (p text <،> ) ثم (q text <،> ) وإذا (q text <،> ) ثم (p text <.> )

إذا كان (p text <،> ) ثم (q ) والعكس بالعكس.

تمارين 3.1.3 تمارين

لنفترض أن (د ) = "أحب الهياكل المنفصلة" ، (ج ) = "سأجتاز هذه الدورة التدريبية" و (ق ) = "سأقوم بمهامي." عبر عن كل من المقترحات التالية بصيغة رمزية:

أنا أحب الهياكل المنفصلة وسأجتاز هذه الدورة.

سأقوم بمهامي وإلا لن أنجح في هذه الدورة.

ليس صحيحًا أنني أحب الهياكل المنفصلة ، وسأقوم بمهامي.

لن أقوم بمهمتي ولن أنجح في هذه الدورة.

  1. (displaystyle d land c)
  2. (displaystyle s lor neg c)
  3. (displaystyle neg (d land s))
  4. ( displaystyle neg s land neg c )

لكل من الافتراضات التالية ، حدد الافتراضات البسيطة ، وعبر عن الاقتراح المركب في شكل رمزي ، وحدد ما إذا كان صحيحًا أم خطأ:

العالم مسطح أو الصفر عدد صحيح زوجي.

إذا كان 432،802 هو مضاعف 4 ، فإن 432،802 يساوي عدد زوجي.

5 عدد أولي و 6 لا يقبل القسمة على 4.

(3 في mathbb) و (3 في mathbb نص <.> )

(2/3 في mathbb) و (2/3 في mathbb نص <.> )

مجموع عددين زوجي زوجي ومجموع عددين فرديين فردي.

لنفترض (p = ) " (2 leq 5 )" ، (q ) = "8 عدد صحيح زوجي ،" و (r ) = "11 عدد أولي." قم بالتعبير عما يلي في صورة بيان باللغة الإنجليزية وحدد ما إذا كانت العبارة صحيحة أم خاطئة:

(displaystyle neg p land q)

(displaystyle p rightarrow q)

(displaystyle (p land q) to r)

(displaystyle p rightarrow (q lor (neg r)))

(displaystyle p rightarrow ((neg q) lor (neg r)))

(displaystyle (neg q) rightarrow (neg p))

  1. (2 & gt5 ) و 8 عدد صحيح زوجي. خطأ شنيع.
  2. إذا كان (2 leqslant 5 ) فإن 8 عدد صحيح زوجي. حقيقي.
  3. إذا كان (2 leqslant 5 ) و 8 عددًا صحيحًا زوجيًا ، فإن 11 عددًا أوليًا. حقيقي.
  4. إذا كان (2 leqslant 5 ) ، فإما أن 8 عدد صحيح زوجي أو 11 ليس عددًا أوليًا. حقيقي.
  5. إذا كان (2 leqslant 5 ) فإما أن 8 عدد صحيح فردي أو 11 ليس عددًا أوليًا. خطأ شنيع.
  6. إذا لم يكن الرقم 8 عددًا صحيحًا زوجيًا ، فسيكون (2 & gt5 text <.> ) صحيحًا.

أعد كتابة كل من العبارات التالية باستخدام الأشكال الشرطية الأخرى:

إذا كان العدد الصحيح من مضاعفات 4 ، فإنه يكون زوجيًا.

حقيقة أن المضلع مربع هو شرط كافٍ لكونه مستطيلاً.

إذا كان (x = 5 text <،> ) ثم (x ^ 2 = 25 text <.> )

إذا كان (x ^ 2 - 5x + 6 = 0 text <،> ) ثم (x = 2 ) أو (x = 3 text <.> )

(x ^ 2 = y ^ 2 ) شرط ضروري لـ (x = y text <.> )

اكتب عكس الافتراضات في التمرين 4. قارن بين حقيقة كل اقتراح وعكسه.


2.5: التكافؤ المنطقي - الرياضيات

1.2.5. الفضاء المنطقي وجبر القضايا

يهتم المنطق بالقضايا في طريقة اهتمام الرياضيات بالأرقام ، لكن الافتراضات ليست أرقامًا. بينما يمكن ترتيب الأرقام بطريقة خطية ، فإن مجموعة الافتراضات لها بنية أكثر تعقيدًا. شكلت سلسلة الأمثلة على زيادة القوة التي نظرنا إليها في 1.2.3 سلسلة واحدة ، ولكن يجب أن يكون واضحًا أنه كان بإمكاننا الذهاب في العديد من الاتجاهات المختلفة للعثور على مقترحات مطالبات أقوى أو أضعف. على سبيل المثال ، ستصل الحزمة يوم الأربعاء المقبل ، وهو ما يعني ضمنيًا أن الحزمة ستصل صباح الأربعاء المقبل ولكن أيضًا ستصل الحزمة بعد ظهر الأربعاء المقبل ، ولا تشير أي من الجملتين الأخيرتين إلى الأخرى. وستصل الحزمة يوم الأربعاء المقبل ، مما يدل على أن العبوة ستصل الأسبوع المقبل وستصل الحزمة يوم الأربعاء ، ولم يتم ترتيب الجملتين الأخيرتين بطريقة أو بأخرى ضمنيًا.

يشير هذا الاستعارة للعديد من الاتجاهات إلى مساحة أكثر من بُعد واحد ، وعلى الرغم من اختلاف بنية مجموعة من القضايا ليس فقط عن خط الأرقام أحادي البعد ، ولكن أيضًا عن بنية الفضاء العادي ثنائي أو ثلاثي الأبعاد ، إلا أن الاستعارات المكانية يمكن أن تساعد المخططات في التفكير في هيكلها. ويمكن ربط هذه الاستعارات بمصطلح الفضاء المنطقي الذي قدمه الفيلسوف لودفيج فيتجنشتاين (1889-1951).

سنستخدم نوعين مختلفين من الاستعارة المكانية. استعارة واحدة هي تلك المستخدمة في 1.2.2 لتصوير الافتراضات. في ذلك ، تكون العوالم المحتملة هي نقاط الفضاء المنطقي ، وتحدد الافتراضات مناطق في الفضاء من خلال رسم حدود بين الاحتمالات التي تستبعدها وتلك التي تتركها مفتوحة. لكننا نستخدم استعارة مختلفة عندما نتحدث عن زيادة القوة في العديد من الاتجاهات المختلفة. وفقًا لهذا الاستعارة الثانية ، فإن الافتراضات هي نقاط في الفضاء وليست مناطق ، وتعمل العوالم المحتملة فيها خلف الكواليس كشيء يشبه أبعاد الفضاء. إذا طبقنا هذه الفكرة بأي طريقة واقعية للغاية ، فسيكون للمساحة أبعاد كثيرة جدًا بحيث لا يمكن تصورها ، ولكن في حالات بسيطة مصطنعة ، يمكن تصوير هذا النوع من الفضاء من خلال شكل في الفضاء العادي ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد.

دعنا نبدأ في النظر أكثر في هذه الأفكار من خلال النظر في مثال بسيط للغاية للنوع الأول من الفضاء المنطقي. افترض أنه لم يكن هناك سوى 4 عوالم محتملة. الاقتراح إما يستبعد أو يترك مفتوحًا لكل من هذه الاحتمالات. يهدف الشكل 1.2.5-1 إلى توضيح مقترحين من هذا القبيل.

الشكل 1.2.5-1. الاحتمالات (النصف السفلي المحسوس والنصف الأيمن) التي تم استبعادها من قبل افتراضين.

كل من هذه الافتراضات يستبعد اثنين من الاحتمالات الأربعة (في المناطق المفككة) ويترك اثنين آخرين مفتوحين. يستبعد الاقتراح المعبر عنه في الجملة φ الاحتمالين الموجودين أسفل الرسم التخطيطي والآخر الذي يعبر عنه يستبعد الاحتمالين على اليمين. نتيجة لذلك ، يستبعد كلاهما العالم المحتمل في أسفل يمين الرسم البياني ولا يستبعد أي منهما العالم الموجود في أعلى اليسار.

بالطبع ، ليست هذه هي الافتراضات الوحيدة التي يمكن التعبير عنها في ظل هذا النطاق من الاحتمالات. الاقتراح له خياران لكل عالم محتمل: قد يستبعده أو يتركه مفتوحًا. مع وجود 4 عوالم محتملة ، فهذا يعني أن هناك 2 × 2 × 2 × 2 = 16 اقتراحًا في المجموع ، و 6 منها تستبعد بالضبط عالمين ممكنين.

يمكننا توضيح كل هذه الافتراضات الستة عشر باستخدام مساحة منطقية من النوع الثاني. يصور الشكل 1.2.5-2 (في بعدين) شكلاً ثلاثي الأبعاد يمثل أحد التمثيلات الممكنة لمكعب رباعي الأبعاد. تم تسميته لاقتراح أنواع الجمل التي قد تعبر عن هذه الافتراضات.

الشكل 1.2.5-2. The sixteen propositions when there are 4 possible worlds.

You can imagine that the propositions φ (which appears at the left) and ψ (near the center) are the two propositions depicted in Figure 1.2.5-1.

The levels in the structure correspond to grades of strength, with Absurdity at the bottom ruling out all possible worlds and Tautology at the top ruling out none. A line connects propositions that differ only with respect to one possible world. The proposition lower in the diagram rules out this world and the one above it leaves the world open, so the lower proposition implies the one above it. Each of the four propositions immediately above Absurdity then leaves open just one possible world. Lines connecting propositions that differ with respect to a given world are parallel (in the 3-dimensional figure, not in its 2-dimensional projection) and, in this sense, the worlds can be thought of as the dimensions on which the content of propositions can vary.

The relation between the two sorts of diagram can be seen by replacing each proposition in Figure 1.2.5-2 by its representation using a diagram of the sort illustrated in Figure 1.2.5-1. Putting the two sorts of illustration together in this way gives us the following picture of the same 16 propositions.

Fig. 1.2.5-3. The propositions generated by 4 possible worlds depicted as regions in one logical space (the repeated rectangle) and as points in another (the overall diagram).

The spacing of the nodes differs between Figures 1.2.5-2 and 1.2.5-3 but the left-to-right order at each level is the same, and the regions associated with φ and ψ are the same as those depicted in Figure 1.2.5-1. Since a sentence that rules out more possibilities makes a stronger claim, the size of the region occupied by the possibilities it rules out can be thought to correspond to the strength of the claim it makes. Notice that the regions ruled out here increase towards the bottom of the diagram and that they are the same in size for all nodes on the same level.

The whole structure of Figure 1.2.5-2 can be seen as a complex diamond formed of four diamonds whose corresponding vertices are linked. A simple diamond is the structure of the 2 × 2 = 4 propositions we would have with only 2 possible worlds. The structure in Figure 1.2.5-2 doubles the number of possible worlds and squares the number of propositions. If we were to double the number of possible worlds again to 8, we would square the number of propositions to get 256. The structure they would form could be obtained by replacing each node in the structure of Figure 1.2.5-2 by a small structure of the same form and replacing each line by a bundle of 16 lines connecting the corresponding nodes.

To get a sense of the structure of the set of propositions for a realistically large set of possible worlds, imagine carrying out this process over and over again. The result will always have an upper and lower limit (⊤ and ⊥) and many different nodes on each of its intermediate levels. As the number of possible worlds increases, the distribution of possible worlds among the various degrees of strength (which is 1, 4, 6, 4, 1 in Figure 1.2.5-2) will more and more closely approximate a bell curve. But the bell shape of the curve will also narrow significantly, and bulk of the propositions will be found in intermediate degrees of strength. In short, as the space of propositions gets closer to a realistic degree of complexity, it departs further and further from a single line with ⊤ at the top and ⊥ at the bottom.


Calculating Equivalent Mass

Equivalent mass, as said earlier, depends upon the valency of the element. The formula to calculate the equivalent mass of an element is given by

Sometimes if we don't know the valency of the atom, we cannot find the equivalent mass. But then, we have different solutions to get rid of this problem. We have many methods to determine the equivalent mass of an element, and we will discuss in detail three most popular methods:

1. Hydrogen Displacement Method

We know that metals react with acids to produce hydrogen. Hydrogen displacement method just uses this fact to calculate the equivalent mass. Here some mass of an element reacts with an acid to produce some amount of hydrogen gas under standard temperature and pressure (STP).

Next, we formulate the mass of the metal required to displace 11200 cm 3 11200 ext< cm>^3 1 1 2 0 0 cm 3 of hydrogen, which is nothing but 1 g 1 ext < g>1 g of hydrogen as we learned in mole concept. Thus we arrive at this formula:

2. Oxide Method

We have studied that metals react with oxygen and produce metal oxides, and the oxide method evaluates the mass of the metal oxide generated when some mass of a metal readily reacts with oxygen. Then, as we need a standard ratio, we determine the mass of the metal that combines with 8 g 8 ext < g>8 g of oxygen, which in turn is the equivalent mass of the metal:

3. Chloride Method

This is another alternative method used when the above two methods aren't compatible to calculate the equivalent mass. According to this method, when some mass of an element reacts with chlorine to form the respective chloride, we calculate the ratio at which a metal combines with 35.5 g 35.5 ext < g>3 5 . 5 g of chlorine, which gives us the equivalent mass:


2.5: Logical Equivalence - Mathematics

What Our Students Really Know About Proof and Reasoning in Geometry: A Look at Classroom-based Research Data

T ami S. Martin
[email protected]
Sharon M. Soucy McCrone
[email protected]
Cynthia A. Pulley
[email protected]

Illinois State University

  • خلفية
  • Models of Proof Understanding
  • Students' Beliefs About Proofs
  • Students' Ability to Construct Proofs
  • مقتطفات فيديو
  • Concluding Remarks

Standard 7: Reasoning and Proof

Mathematics instructional programs should focus on learning to reason and construct proofs as part of understanding mathematics so that all students --

recognize reasoning and proof as essential and powerful parts of mathematics
make and investigate mathematical conjectures
develop and evaluate mathematical arguments and proofs
select and use various types of reasoning and methods of proof as appropriate.

Exploration Formulating
and Conjectures
Problem (bullet #2)
Posing
(bullet #2)

Need for Proof or
Verification
(bullet #1)

Proof and Justification
(bullets #3 and 4)

"Throughout the history of American education, learning to write proofs has been an important objective of the geometry curriculum for college-bound students. At the same time, proof writing has also been perceived as one of the most difficult topics for students to learn."
(Senk, 1985)

"fewer than 15% of high school graduates in the United States master proof writing."
(Senk, 1985)

"research on mathematics education needs to identify cognitive and affective prerequisites ."
(Senk, 1985)

Data from the Third International Mathematics and Science Study (TIMSS) indicate that students at the 8th grade and 12th grade level perform poorly in geometry.

In the geometry portion of the TIMSS, the United States scored the lowest of all countries.

TIMSS results show that, in general, students worldwide have particular difficulties organizing arguments.

(National Center
for Education Statistics, 1998)


Background ­ TIMSS Results

Background ­ Research Goals

Overall Goal:
To develop a theoretical model that relates pedagogy to student understanding of geometric proofs.

Students' beliefs about what constitutes a proof.
-What are their beliefs?
-How are beliefs influenced by instruction and pedagogy?

Students' proof-construction ability
-How well do students construct proofs?
-How is ability linked to pedagogy?

Three-year study: Pedagogical Factors Influencing Student Understanding of Geometric Proof

Pilot study: An Investigation of High School Students' Understanding of Geometric Proof

Focus on the assessment instruments

Focus on student understanding of proof

Models of Proof Understanding


Types of Proof or Justification Schemes (Sowder & Harel, 1998)

Proof Scheme ­ whatever constitutes ascertaining and persuading for that person

Externally-based ­ Appeal to an external source for convincing and persuading
Authoritarian ­ rely on textbook, teacher, or more knowledgeable classmate
Ritual ­ correctness judged by the form of the argument rather than the reasoning
Symbolic - rely on symbol manipulation, regardless of correctness

Empirical ­ Justifications made on the basis of examples
Perceptual ­ rely on how a figure looks (e.g., the triangle looks equilateral)
Examples-based ­ convinced by one or more examples (e.g., seeing the pattern)

Analytic ­ Mathematical proofs
Transformational ­ based on general aspects of a situation, perceiving underlying structure behind a pattern
Axiomatic ­ an ability to work within an axiomatic system


Balacheff's 4 Stages of Understanding Mathematical Proof

1) Naïve Empiricism
Inductive perspective
Conclusions based on small number of cases

2) Crucial Experiment
Question of generalization is considered
Examination of extreme cases

3) Generic Example
Arguments based on a class of objects
Highest level prior to deductive proof

4) Thought Experiment
Transition from practical to intellectual proofs
Development of deductive proofs


Six Principles of Geometric Proof

1) Implications of Truth ­ Statements are true if and only if they are true for all cases.

a) A theorem has no exceptions.
b) A counterexample disproves a general statement.

2) Purposes of Proof - The dual role of proof is to convince and to explain.

a) Proofs are required to establish truth.
b) Proofs can explain.

3) Generality Requirements - A proof must be general.

a) Generality can be achieved by checking all cases.
b) Generality can be achieved by reasoning about general statements.
c) Generality is not achieved by reasoning inductively.
d) Generality is not achieved by checking special cases.

4) Internal Logic Requirements - The validity of a proof depends on its internal logic.
a) Conditional statements contain distinct components.
b) The logical order of statements matters.
c) Ritualistic aspects of proof are irrelevant to its validity.

5) Logical Equivalences - Statements are logically equivalent to their contrapositives, but not necessarily to their converses or inverses.

6) Role of Diagrams - Diagrams that illustrate statements have benefits and limitations.

a) Diagrams are limited by their specificity.
b) Diagrams may assist with visualization of relationships.

Students' Beliefs
About Proofs


Questionnaire Results Summary

Principle Range of Item Averages
1. Implications of Truth 50 ­ 83%
2. Purposes of Proof 50 ­ 100%
3. Generality Requirements 22 ­ 78%
4. Internal Logic Requirements 17 ­ 53%
5. Logical Equivalences 67 ­ 83%
6. Role of Diagrams 42 ­ 75%
Scores: 1 for correct 0 for incorrect 0.5 for unsure


Questionnaire ­ Best Performance
Prin. 2: Purposes of Proof - The dual role of proof is to convince and to explain.

1. Consider the true statement, "When you add the measures of the interior angles of any triangle, your answer is always 180º."

د. A proof of this statement might show me why this statement is true.

Reply Sem. 1 Sem. 2 Overall
True 100% 100% 100%
False 0% 0% 0%
Unsure 0% 0% 0%

Questionnaire ­ Strong Performance
Prin. 2: Purposes of Proof - The dual role of proof is to convince and to explain.

13. If a statement makes sense and seems to be true, then it doesn't need to be proven.

Reply Sem. 1 Sem. 2 Overall
True 0% 25% 11%
False 100% 75% 89%
Unsure 0% 0% 0%

Questionnaire ­ Strong Performance
Prin. 1: Implications of Truth ­ Statements are true if and only if they are true for all cases.

17. If you determine that a statement is true for 1,000,000 examples and false for one example, then you have proven that the statement is false.

Reply Sem. 1 Sem. 2 Overall
True 80% 88% 83%
False 20% 12% 17%
Unsure 0% 0% 0%

Questionnaire ­ Strong Performance
Prin. 5: Logical Equivalences ­ Statements are logically equivalent to their contrapositives, but not necessarily to their converses or inverses.

1. Consider the true statement, "When you add the measures of the interior angles of any triangle, your answer is always 180º."

ج. Since this statement is true, I know that if the measures of the interior angles of a polygon do not add to 180º, then the polygon is not a triangle.

Reply Sem. 1 Sem. 2 Overall
True 80% 88% 83%
False 20% 12% 17%
Unsure 0% 0% 0%


Questionnaire ­ Strong Performance
Prin. 3: Generality Requirements - A proof must be general.

1. Consider the true statement, "When you add the measures of the interior angles of any triangle, your answer is always 180º."

ه. If someone could make a list of all possible triangles and confirm that the measures of the interior angles in each triangle summed to 180º, then they would have proven that the statement is true.

Reply Sem. 1 Sem. 2 Overall
True 60% 100% 78%
False 30% 0% 17%
Unsure 10% 0% 6%


Questionnaire ­ Poor Performance
Prin. 4: Internal Logic Requirements - The validity of a proof depends on its internal logic.

15. You are given the statement "The base angles of an isosceles triangle are congruent." You may use the fact that the base angles are congruent as given information in your proof.

Reply Sem. 1 Sem. 2 Overall
True 70% 88% 78%
False 20% 0% 11%
Unsure 10% 12% 11%


Questionnaire ­ Poor Performance
Prin. 3: Generality Requirements - A proof must be general.

2. Dylan attempted to prove the statement, "When you add the measures of the interior angles of any triangle, your answer is always 180º." His work is shown below.

Dylan's Work
I measured the angles of all sorts of triangles accurately and made a table.
A B C Total
34 110 36 180
95 43 42 180
35 72 73 180
10 27 143 180
They all added up to 180º, so the statement is true.

Questionnaire ­ Poor Performance (continued)

2a. Since Dylan checked that the statement is true for both obtuse and acute triangles, his work shows that the statement is always true.

Reply Sem. 1 Sem. 2 Overall
True 60% 100% 78%
False 40% 0% 22%
Unsure 0% 0% 0%


Questionnaire ­ Poor Performance
Prin. 4: Internal Logic Requirements - The validity of a proof depends on its internal logic.

12. Geometric proofs must list statements and reasons in two separate columns.

Reply Sem. 1 Sem. 2 Overall
True 90% 50% 72%
False 0% 50% 22%
Unsure 10% 0% 6%


Questionnaire ­ Poor Performance
Prin. 4: Internal Logic Requirements - The validity of a proof depends on its internal logic.

8. Natalie attempted to prove the statement, "If C is any point on the perpendicular bisector of segment AB, then ABC is always isosceles."

Natalie's work shows that the statement is true.

Reply Sem. 1 Sem. 2 Overall
True 80% 50% 67%
False 20% 25% 22%
Unsure 0% 25% 11%

Questionnaire ­ Poor Performance (continued)

Statements Reasons
1. CD is the | bisector of segment AB. 1. Given.
2. m ­ADC = 90° 2. Def. of perp. bisector.
3. m­BDC = 90° 3. Def. of perp.bisector.
4. AD = BD 4. Def. of perp. bisector.
5. ­CAD @ ­CBD 5. Base angles of an isosceles triangle are @.
6. CAD @ CBD 6. Two sides and included angle the same (ASA).
7. AC = BC 7. Corresponding parts of congruent triangles are equal.
8. ABC is isosceles 8. Def. of isos. triangle.


Questionnaire ­ Moderate Performance
Prin. 6: Role of Diagrams - Diagrams that illustrate statements have benefits and limitations.

9. Consider the dialogue between Juan and Ling.
Juan : In both of our diagrams ABCD is a rectangle and E is a point on segment AD. The height of BEC is the length of segment CD. Since the area of a triangle is 1/2(baseoheight), the area of BEC is half the area of rectangle ABCD. The same is true in your diagram Ling.

Ling : In my diagram, E is in a different place on segment AD. So, your argument doesn't apply to my diagram.

Juan's Diagram Ling's Diagram


Questionnaire ­ Moderate Performance (continued)

ب. Ling is correct. Since the diagrams are different, the conclusion that Juan made for his diagram doesn't apply to Ling's diagram.

Reply Sem. 1 Sem. 2 Overall
True 60% 37% 50%
False 30% 63% 44%
Unsure 10% 0% 6%

Open-ended Questionnaire Results
Prin. 3: Generality Requirements

Statement 1:
"In a triangle, a line connecting the midpoints of two of its sides is parallel to the third side."

Argument 1:
I drew three different triangles. I labeled each triangle ABC. In each triangle, D and E are the midpoints of the sides AB and AC, respectively. I measured the angles in each of the three different triangles and in each case was congruent to . Since these angles are corresponding angles (relative to line , line , and transversal ), is parallel to . Therefore, the statement is always true.
1. Does argument 1 show that the statement is true for all triangles? Why or why not?


Open-ended Questionnaire Results
Prin. 3: Generality Requirements

Question 1 responses:
Correct ­ 4 (not all with valid reasons)
Incorrect ­ 14


Open-ended Questionnaire Results
Prin. 4: Internal Logic Requirements

Statement 3:
"Supplements of congruent angles are congruent."
Or, equivalently.
"If ­A is supplementary to ­B, ­C is supplementary to ­D, and ­B is congruent to ­D, then ­A and ­C are congruent."

Argument 3:
Statements Reasons
1. ­A and ­B are supplementary angles 1. Given
2. ­C and ­D are supplementary angles 2. Given

3. m­A + m­B = 180° and m­C + m­D = 180° 3. Definition of suppl. angles
4. m­A = 180° - m­B and m­C = 180° - m­D 4. Subtraction prop. of equality
5. m­A = 180° - m­D 5. Substitution since ­B @ ­D
6. ­B @ ­D 6. Given
7. ­A @ ­C 7. Substitution.


Open-ended Questionnaire Results
Prin. 4: Internal Logic Requirements

Can the ordering of the statements in a proof affect its validity? Explain.

Question 6 responses:
Correct ­ 13 (most reasonable)
Incorrect ­ 1


Open-ended Questionnaire Results
Prin. 5: Logical Equivalences

Statement 4:
"If a figure is a zapazoid , then it has six vertices."

7. If we assume that statement 4 is true, say whether each of the following statements is TRUE or FALSE. برر إجاباتك.

If a figure has six vertices, then it is a zapazoid .

Question 7a responses:
Correct ­ 6 (about half without valid reasons)
Incorrect ­ 10

Students' Ability to
Construct Proofs
Proof Quiz
Summary of Results

Problem Range of Average Scores
1 29% ­ 44%
2 6% - 31%
3 29% - 60%
4 0% - 22%
5 17% - 33%

6 22% - 32% (sem. I)
14% - 29% (sem. II)

Proof Quiz Results
1.
Fill in missing statements or reasons to form a valid proof.

Given: ­ABE @ ­DCE
Prove: ­EBC @ ­ECB

Statements Reasons
1. 1. Given.
2. m­EBC+m­ABE=180° 2.
3. 3. Straight angle or linear pair.
4. m­EBC + m­ABE =
m­DCE + m­ECB 4.
5. m­EBC + m­ABE =
m­ABE + m­ECB 5.
6. m­EBC = m­ECB 6. Subtraction property of equality.
7. 7. Definition of congruent angles.

Results for Problem 1 (5 pts.):

Semester Mean Score
Version 1 Mean Score
Version 2
I 2.22 (44%) 2.22 (44%)
II 1.43 (29%) 2.14 (43%)
Combined 1.88 (38%) 2.19 (44%)

2. In the quadrilateral WXYZ below, diagonals and intersect at point P.

PROVE that point P is the midpoint of segments and . Show all your work. Be sure to provide reasons for your statements.

Results for Problem 2 (5 pts.):

Semester Mean Score
Version 1 Mean Score
Version 2
I 1.56 (31%) 1.11 (22%)
II 0.57 (11%) 0.29 (6%)
Combined 1.13 (23%) 0.75 (15%)


Proof Quiz Results
3. Conjecture: When I draw a line parallel to a side of a triangle it creates a new triangle. I checked several examples and noticed that this smaller triangle is always similar to the original triangle.

Write the conjecture as a conditional statement (a statement in "if-then" form).
Conditional Statement :

If you were asked to prove this statement you would first need to identify the "given" and the "prove." Write the "given" and "prove" information below, but DO NOT PROVE the statement.


Results for Problem 3 (7 pts.):

Semester Mean Score
Version 1 Mean Score
Version 2
I 4.22 (60%) 3.67 (52%)
II 4 (57%) 2 (29%)
Combined 4.13 (59%) 2.94 (42%)

Proof Quiz Results
4. Consider the conditional statement and the accompanying diagram.
"If two altitudes, and , in ABC intersect at point S and are congruent, then ABC is isosceles."

Write a proof of the statement.
Give geometric reasons for the statements in your proof.

Results for Problem 4 (5 pts.):

Semester Mean Score
Version 1 Mean Score
Version 2
I 0 (0%) 1.11 (22%)
II 0.43 (9%) 0.57 (11%)
Combined 0.19 (4%) 0.87 (17%)

Proof Quiz Results
5.
Given: Quadrilateral KLMN is a parallelogram.
Segments and intersect at P.
N is on line

Prove:
KLP is similar to NQP

Several hints about how this proof may be constructed are provided below. Please use some of these hints to write a valid proof that KLP is similar to NQP.

Hints:
Recall that proving that triangles are similar requires the identification of several pairs of congruent angles. Use the quadrilateral to identify a pair of parallel lines. Use properties of parallel lines and related angles to identify pairs of congruent angles.

Results for Problem 5 (5 pts.):

Semester Mean Score
Version 1 Mean Score
Version 2
I 1.44 (29%) 1.67 (33%)
II 0.86 (17%) 1.29 (26%)
Combined 1.19 (24%) 1.5 (30%)

Proof Quiz Results
6.
For each part, write a logical conclusion that follows from the given set of conditions. Also, record a reason that supports each conclusion.

أ. Given: Three distinct points A, B, and C lie on a line. AB=BC.
Conclusion:__________________________________
Reason:_____________________________________

ب. Given: intersects at point P. Point P is between X and Y. Point P is between Z and W.
Conclusion:__________________________________
Reason:_____________________________________

ج. Given: LMN and PQR. . . .
Conclusion:__________________________________
Reason:_____________________________________

د. Given: Line l and line m are both cut by transversal line n . Line n is not perpendicular to either line l or line m . The alternate exterior angles are supplementary.
Conclusion:__________________________________
Reason:_____________________________________

Results for Problem 6 (12 pts.):

Semester Mean Score
Version 1 Mean Score
Version 2
I 3.67 (30%) 2.67 (22%)

Proof Quiz Results
6.
Given: Circle A with radius .
is the perpendicular bisector of .
Point C is on the circle.

Several hints about how this proof may be constructed are provided below. Please use some of these hints to write a valid proof that ABC is equilateral.

Hints:
Recall that proving a triangle to be equilateral requires showing that several segments are congruent. Use the circle to find some congruent segments. Using 's relationship to may help you find a relationship between ADC and BDC.

Results for Problem 6 (5 pts.):

Semester Mean Score
Version 1 Mean Score
Version 2
II 1.43 (29%) 0.71 (14%)

Balacheff, N. (1987). Treatment of refutations: Aspects of the complexity of a constructivist approach to mathematics learning. Radical Constructivism in Mathematics Education , 89-110.

Elliot, L., & Knuth, E. (1998). Characterizing students' understandings of mathematical proof. Mathematics Teacher , 91, 714-717.

Harel, G., & Sowder, L. (1998). Types of students' justifications. Mathematics Teacher , 91, 670-675.

Senk, S. (1985). How well do students write geometry proofs? Mathematics Teacher , 78 (6), 448-456.


2.5.2.1. ?: Operator¶

conditionally evaluate an expression depending on the result of an expression.

2.5.2.2. Arithmetic¶

Squirrel supports the standard arithmetic operators +, -, *, / and % . Other than that is also supports compact operators ( +=,-=,*=,/=,%= ) and increment and decrement operators(++ and –):

All operators work normally with integers and floats if one operand is an integer and one is a float the result of the expression will be float. The + operator has a special behavior with strings if one of the operands is a string the operator + will try to convert the other operand to string as well and concatenate both together. For instances and tables, _tostring is invoked.

2.5.2.3. Relational¶

Relational operators in Squirrel are : ==, <, <=, <, <=, !=

These operators return true if the expression is false and a value different than true if the expression is true. Internally the VM uses the integer 1 as true but this could change in the future.

2.5.2.4. 3 ways compare¶

the 3 ways compare operator <=> compares 2 values A and B and returns an integer less than 0 if A < B, 0 if A == B and an integer greater than 0 if A > B.

2.5.2.5. Logical¶

Logical operators in Squirrel are : &&, ||, !

The operator && (logical and) returns null if its first argument is null, otherwise returns its second argument. The operator || (logical or) returns its first argument if is different than null, otherwise returns the second argument.

The ‘!’ operator will return null if the given value to negate was different than null, or a value different than null if the given value was null.

2.5.2.6. in operator¶

Tests the existence of a slot in a table. Returns true if keyexp is a valid key in tableexp

2.5.2.7. instanceof operator¶

Tests if a class instance is an instance of a certain class. Returns true if instanceexp is an instance of classexp.


Direct Admission Criteria (With Viva Voce)

Subject requirements

Admission Test is mendatory

Admission Test is mendatory

Direct Admission &ge GPA 9.00

Direct Admission &ge GPA 8.00

Direct Admission &ge GPA 9.00

Direct Admission GPA 10.00

After completing your Application form, please come to Admission Office for collecting Admit card by paying taka 1200/- through bKash or by Bank (deposit slip is available at Admission Office) with submitting 2 copies of PP size of Photographs of student and Application Reference Number.

In case of bKash payment, Please keep the bkash Transaction ID and date of the bKash payment and show it to the Admission for confirming your payment.


شاهد الفيديو: أسس رياضيات - التكافؤ المنطقي (شهر نوفمبر 2021).