مقالات

5: متجه حساب التفاضل والتكامل


في هذا الفصل ، نتعلم نمذجة أنواع جديدة من التكاملات على مجالات مثل المجالات المغناطيسية أو مجالات الجاذبية أو مجالات السرعة. نتعلم أيضًا كيفية حساب الشغل المبذول على جسيم مشحون ينتقل عبر مجال مغناطيسي ، والعمل المنجز على جسيم بكتلة تنتقل عبر حقل الجاذبية ، والحجم لكل وحدة زمنية من تدفق الماء عبر شبكة سقطت في نهر. تعتمد كل هذه التطبيقات على مفهوم المجال المتجه. يتم استكمال المحتوى الموجود في هذا الفصل من Textmap بوحدات Vector Calculus في Core و Vector Calculus (UCD Mat 21D) Libretext.

  • 5.1: مقدمة لحساب المتجهات
    تمتلك حقول المتجهات العديد من التطبيقات لأنه يمكن استخدامها لنمذجة الحقول الحقيقية مثل المجالات الكهرومغناطيسية أو الجاذبية. إن الفهم العميق للفيزياء أو الهندسة أمر مستحيل دون فهم مجالات ناقلات. علاوة على ذلك ، تتمتع الحقول المتجهة بخصائص رياضية تستحق الدراسة في حد ذاتها. على وجه الخصوص ، يمكن استخدام الحقول المتجهة لتطوير العديد من الإصدارات عالية الأبعاد من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل.
  • 5.2: الحقول المتجهة
    تعد حقول المتجهات أداة مهمة لوصف العديد من المفاهيم الفيزيائية ، مثل الجاذبية والكهرومغناطيسية ، والتي تؤثر على سلوك الكائنات على مساحة كبيرة من المستوى أو الفضاء. كما أنها مفيدة للتعامل مع السلوك واسع النطاق مثل العواصف الجوية أو تيارات المحيطات في أعماق البحار. في هذا القسم ، نفحص التعريفات والرسوم البيانية الأساسية لحقول المتجهات حتى نتمكن من دراستها بمزيد من التفصيل في بقية هذا الفصل.
  • 5.3: تكاملات الخط
    تكاملات الخط لها العديد من التطبيقات في الهندسة والفيزياء. كما أنها تسمح لنا بعمل عدة تعميمات مفيدة للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. وهي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بخصائص الحقول المتجهة ، كما سنرى.
  • 5.4: حقول المتجهات المحافظة
    في هذا القسم ، نواصل دراسة الحقول الموجهة المحافظة. ندرس النظرية الأساسية لتكامل الخط ، وهو تعميم مفيد للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل إلى تكاملات خطية لحقول المتجه المحافظة. نكتشف أيضًا كيفية اختبار ما إذا كان حقل ناقل معين متحفظًا ، وتحديد كيفية بناء وظيفة محتملة لحقل ناقل معروف بأنه متحفظ.
  • 5.5: نظرية جرين
    نظرية جرين هي امتداد للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل إلى بعدين. له شكلين: شكل دوران ونموذج تدفق ، وكلاهما يتطلب منطقة (D ) في التكامل المزدوج ليتم توصيلهما ببساطة. ومع ذلك ، سنقوم بتوسيع نظرية جرين لتشمل المناطق غير المتصلة ببساطة. ترتبط نظرية جرين بخط متكامل حول منحنى مستوي مغلق ببساطة (C ) وتكامل مزدوج فوق المنطقة المحاطة بـ (C ).
  • 5.6: التباعد والضفيرة
    الاختلاف والتجعيد عمليتان مهمتان في حقل متجه. إنها مهمة في مجال حساب التفاضل والتكامل لعدة أسباب ، بما في ذلك استخدام الضفيرة والتباعد لتطوير بعض الإصدارات عالية الأبعاد من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. بالإضافة إلى ذلك ، يظهر الانحناء والتباعد في الأوصاف الرياضية لميكانيكا الموائع ، والكهرومغناطيسية ، ونظرية المرونة ، وهي مفاهيم مهمة في الفيزياء والهندسة.
  • 5.7: تكاملات السطح
    إذا كنا نرغب في التكامل على سطح (كائن ثنائي الأبعاد) بدلاً من مسار (كائن أحادي البعد) في الفضاء ، فنحن بحاجة إلى نوع جديد من التكامل. يمكننا توسيع مفهوم الخط المتكامل إلى السطح المتكامل للسماح لنا بإجراء هذا التكامل. تكاملات السطح مهمة لنفس الأسباب التي تجعل تكاملات الخط مهمة. لديهم العديد من التطبيقات في الفيزياء والهندسة ، ويسمحون لنا بتوسيع النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل إلى أبعاد أعلى.
  • 5.8: نظرية ستوكس
    في هذا القسم ، ندرس نظرية ستوكس ، وهي تعميم عالي الأبعاد لنظرية جرين. هذه النظرية ، مثل النظرية الأساسية لتكاملات الخط ونظرية جرين ، هي تعميم للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل على أبعاد أعلى. ترتبط نظرية ستوكس بسطح متجه متكامل على السطح S في الفضاء بخط متكامل حول حدود S.
  • 5.9: نظرية الاختلاف
    لقد درسنا عدة إصدارات من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل في أبعاد أعلى تربط التكامل حول حد موجه لمجال إلى "مشتق" من ذلك الكيان في المجال الموجه. في هذا القسم ، نذكر نظرية الاختلاف ، وهي النظرية النهائية من هذا النوع التي سنقوم بدراستها.
  • 5.E: متجه حساب التفاضل والتكامل (تمارين)
    هذه هي تمارين الواجب المنزلي لمرافقة الفصل 16 من OpenStax's "Calculus" Textmap.

الصورة المصغرة: السطح (Σ ) بحدود مغلقة (∂Σ ). ( vec {F} ) يمكن أن يكون الحقول ( vec {E} ) أو ( vec {B} ). (n ) هي الوحدة العادية. الصورة مستخدمة بإذن (المجال العام ؛ Maschen).

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


حساب التفاضل والتكامل النشط - متعدد المتغيرات

كيف نجمع متجهين معًا ونضرب متجهًا في عدد قياسي؟

كيف نحدد حجم المتجه؟ ما هو متجه الوحدة ، وكيف نجد متجه الوحدة في اتجاه متجه معين؟

يتم قياس جميع الكميات مثل الطول والسرعة والمساحة والكتلة بالأرقام (تسمى عددي). الكميات الأخرى ، مثل السرعة والقوة والإزاحة ، لها خاصيتان: الحجم والاتجاه. يتم تمثيل هذه الكميات بواسطة ثلاثة أبعاد ويتم دراسة هذا القسم. على سبيل المثال ، سوف نستخدم المتجهات لحساب الشغل الذي تقوم به قوة ثابتة ، ونحسب عزم الدوران ، ونحدد متجهات الاتجاه للخطوط والمتجهات العادية للطائرات ، ونحدد الانحناء ، ونحدد اتجاه أكبر زيادة على السطح. بالنسبة لمعظم هذه التطبيقات ، سنكون مهتمين باستخدام المتجهات لقياس الاتجاه و / أو السرعة. ستكون المتجهات أداة رئيسية لنا في تحديد سلوك وظائف العديد من المتغيرات.

إذا كنا عند نقطة (س ) في مجال دالة لمتغير واحد ، فلا يوجد سوى اتجاهين يمكننا التحرك فيهما: في الاتجاه الموجب أو السالب (س ) -. ومع ذلك ، إذا كنا عند نقطة ((x ، y) ) في مجال دالة من متغيرين ، فهناك العديد من الاتجاهات التي يمكننا التحرك فيها. وبالتالي ، من المهم بالنسبة لنا أن يكون لدينا وسيلة للإشارة إلى الاتجاه ، وسنفعل ذلك باستخدام المتجهات. ستكون فكرة الاتجاه في الفضاء مهمة بالنسبة لنا للعثور على متجهات الاتجاه للخطوط ، والخطوط المماس للمنحنيات ، والمتجهات العادية للمستويات ، ولتحديد اتجاه الحركة.

معاينة النشاط 9.2.1.

بوستسكريبت هي لغة برمجة هدفها الأساسي هو وصف مظهر النص أو الرسومات. مجموعة بسيطة من أوامر بوستسكريبت التي تنتج المثلث في المستوى برؤوس ((0،0) نص <،> ) ((1،1) نص <،> ) و ((1 ، - 1) ) هو التالي:

الفكرة الأساسية في هذه الأوامر هي أننا نبدأ من الأصل ، ثم نخبر بوستسكريبت أننا نريد أن نبدأ من النقطة ((0،0) text <،> ) ارسم خطًا من النقطة ((0، 0) ) إلى النقطة ((1،1) ) (هذا ما تفعله أوامر الخط والخط) ، ثم ارسم خطوطًا من ((1،1) ) إلى ((1 ، -1) ) و ((1، -1) ) إلى الأصل. يشفر كل من هذه الأوامر جزأين مهمين من المعلومات: اتجاه يتحرك فيه ومسافة للتحرك. رياضيا ، يمكننا التقاط هذه المعلومات بإيجاز في متجه. للقيام بذلك ، نسجل الحركة على الخريطة في زوج ( langle x ، y rangle ) (هذا الزوج ( langle x ، y rangle ) هو أ) ، حيث (x ) هو الإزاحة الأفقية و (ص ) الإزاحة الرأسية من نقطة إلى أخرى. لذلك ، على سبيل المثال ، المتجه من الأصل إلى النقطة ((1،1) ) يمثله المتجه ( langle 1،1 rangle text <.> )

ما هو المتجه ( vv_1 = langle x، y rangle ) الذي يصف الإزاحة من النقطة ((1،1) ) إلى النقطة ((1، -1) text <؟> ) كيف يمكننا استخدام هذا المتجه لتحديد المسافة من النقطة ((1،1) ) إلى النقطة ((1، -1) text <؟> )

لنفترض أننا نريد رسم المثلث بالرؤوس (A = (2،3) text <،> ) (B = (- 3،1) text <،> ) و (C = (4، -2) نص <.> ) كتدوين مختصر ، سنشير إلى المتجه من النقطة (A ) إلى النقطة (B ) كـ ( overrightarrow)

حدد المتجهات ( overrightarrow text <،> ) ( overrightarrow text <،> ) و ( overrightarrow نص <.> )

ما العلاقة التي تراها بين المتجهات ( overrightarrow text <،> ) ( overrightarrow text <،> ) و ( overrightarrow text <؟> ) اشرح لماذا يجب أن تصمد هذه العلاقة.

القسم الفرعي 9.2.1 تمثيلات النواقل

يُظهر نشاط المعاينة 9.2.1 كيف يمكننا تسجيل حجم واتجاه التغيير في الموضع باستخدام زوج مرتب من الأرقام ( langle x ، y rangle text <.> ) هناك العديد من الكميات الأخرى ، مثل القوة والسرعة ، التي تمتلك سمات الحجم والاتجاه ، وسوف نسمي كل كمية من هذا القبيل أ المتجه.

التعريف 9.2.1.

أ هي الكمية التي تمتلك سمات الحجم والاتجاه.

يمكننا تمثيل المتجه هندسيًا كقطعة مستقيمة موجهة ، مع مقدار طول المقطع ورأس سهم يشير إلى الاتجاه ، كما هو موضح على اليسار في الشكل 9.2.2.

وفقًا للتعريف ، يمتلك المتجه سمات الطول (الحجم) والاتجاه ، ومع ذلك ، لم يتم ذكر موضع المتجه. وبالتالي ، فإننا نعتبر أي متجهين لهما نفس الحجم والاتجاه ، كما هو موضح على اليمين في الشكل 9.2.2. بمعنى آخر ، يتم توفير متجهين لهما نفس الحجم والاتجاه.

هذا يعني أنه يمكن رسم نفس المتجه في المستوى بعدة طرق مختلفة. على سبيل المثال ، لنفترض أننا نرغب في رسم المتجه ( langle 3، 4 rangle text <،> ) الذي يمثل تغييرًا أفقيًا لثلاث وحدات وتغير رأسي بأربع وحدات. قد نضع ملف ذيل من المتجه (النقطة التي ينشأ منها المتجه) في الأصل و تلميح (النقطة النهائية للمتجه) عند ((3،4) نص <،> ) كما هو موضح على اليسار في الشكل 9.2.3. يقال إن المتجه مع ذيله في الأصل موجود الموقف القياسي.

بدلاً من ذلك ، قد نضع ذيل المتجه ( langle 3،4 rangle ) في نقطة أخرى ، مثل (Q (1،1) text <.> ) بعد إزاحة ثلاث وحدات إلى يمينًا وأربع وحدات لأعلى ، يكون طرف المتجه عند النقطة (R (4،5) ) (انظر المتجه على اليمين في الشكل 9.2.3).

في هذا المثال ، أدى المتجه إلى مقطع الخط الموجه من (Q ) إلى (R text <،> ) والذي نشير إليه على أنه ( overrightarrow text <.> ) قد نغير الموقف أيضًا: بالنظر إلى النقطتين (Q ) و (R text <،> ) نحصل على المتجه ( langle 3،4 rangle ) لأننا نتحرك أفقيًا ثلاث وحدات وأربع وحدات عموديًا للانتقال من (Q ) إلى (R text <.> ) وبعبارة أخرى ، ( overrightarrow = langle 3،4 rangle text <.> ) بشكل عام ، المتجه ( overrightarrow) من النقطة (Q = (q_1، q_2) ) إلى (R = (r_1، r_2) ) تم العثور عليها بأخذ اختلاف الإحداثيات ، بحيث

سنستخدم الأحرف الغامقة لتمثيل المتجهات ، مثل ( vv = langle 3 ، 4 rangle text <،> ) لتمييزها عن الحجميات. يتم استدعاء إدخالات المتجه الخاص به عناصر في المتجه ( langle 3، 4 rangle text <،> ) المكون (x ) هو 3 والمكون (y ) هو 4. نستخدم الأقواس المدببة ( langle ، rangle ) والمصطلح عناصر لتمييز متجه من نقطة (( ،) ) ونقاطه إحداثيات. ومع ذلك ، هناك علاقة وثيقة بين المتجهات والنقاط. بالنظر إلى النقطة (P text <،> ) سننظر كثيرًا في المتجه ( overrightarrow) من الأصل (O ) إلى (P text <.> ) على سبيل المثال ، إذا (P = (3،4) text <،> ) ثم ( overrightarrow= langle 3،4 rangle ) كما في الشكل 9.2.4. بهذه الطريقة ، نفكر في النقطة (P ) على أنها تعريف متجه ( overrightarrow) التي تتوافق مكوناتها مع إحداثيات (P text <.> ) المتجه ( overrightarrow) يسمى ناقل الموقف من (ف نص <.> )

بينما نقوم في كثير من الأحيان بتوضيح المتجهات في المستوى لأنه من الأسهل رسم الصور ، تتطلب المواقف المختلفة استخدام متجهات في ثلاثة أبعاد أو أكثر. على سبيل المثال ، يحتوي المتجه ( vv ) في (n ) - مساحة الأبعاد ، ( R ^ n text <،> ) على (n ) مكونات ويمكن تمثيله على أنه

سيساعدنا النشاط التالي على التعود على المتجهات والعمليات على المتجهات في ثلاثة أبعاد.

النشاط 9.2.2.

يقول مقال بقلم سي كينيث تانر من جامعة جورجيا أنه نظرًا لمفهوم المسافة الاجتماعية ، يجب أن يكون للفصل الدراسي بالمدرسة الثانوية لـ 20 طالبًا مساحة أرضية تبلغ 1344 قدمًا مربعًا. افترض أن مساحة الفصل الدراسي 32 قدمًا في 42 قدمًا في 8 أقدام. تعيين أصل الفصل ليكون مركزه. في هذا الفصل الدراسي ، يجلس الطالب على كرسي يوجد مقعده في الموقع (A = (9، -6، -1.5) text <،> ) يوجد جهاز عرض علوي في الموضع (B = (0 ، 1،7) text <،> ) ويقف المعلم عند النقطة (C = (-2، 20، -4) text <،> ) تقاس جميع المسافات بالأقدام. حدد مكونات المتجهات المشار إليها واشرح في السياق ما يمثله كل منها.

أ. ( سهم مفرط) ب. ( سهم مفرط) ج. ( سهم مفرط) د. ( سهم مفرط) ه. ( سهم مفرط) F. ( سهم مفرط)

القسم الفرعي 9.2.2 المساواة في النواقل

نظرًا لعدم ذكر الموقع في تعريف المتجه ، فإن أي متجهين لهما نفس الحجم والاتجاه متساويان. من المفيد أن يكون لديك طريقة جبرية لتحديد وقت حدوث ذلك. بمعنى ، إذا عرفنا مكونات متجهين ( vu ) و ( vv text <،> ) ، فسنريد أن نكون قادرين على تحديد متى جبريًا ( vu ) و ( vv ) متساوية. هناك مجموعة واضحة من الشروط التي نستخدمها.

مساواة النواقل.

متجهان ( vu = langle u_1 ، u_2 rangle ) و ( vv = langle v_1 ، v_2 rangle ) في ( R ^ 2 ) متساويان إذا وفقط إذا كانت المكونات المقابلة لها يساوي: (u_1 = v_1 ) و (u_2 = v_2 text <.> ) بشكل عام ، متجهان ( vu = langle u_1 ، u_2 ، ldots ، u_n rangle ) و ( vv = langle v_1 ، v_2 ، ldots ، v_n rangle ) في ( R ^ n ) متساوية إذا وفقط إذا (u_i = v_i ) لكل قيمة ممكنة لـ (i text <. > )

القسم الفرعي 9.2.3 العمليات على المتجهات

المتجهات ليست أرقامًا ، ولكن يمكننا الآن تمثيلها بمكونات تمثل أعدادًا حقيقية. على هذا النحو ، نتساءل بطبيعة الحال عما إذا كان من الممكن إضافة متجهين معًا ، أو ضرب متجهين ، أو دمج متجهين بأي طريقة أخرى. في هذا القسم ، سوف ندرس عمليتين على المتجهات: الجمع المتجه والضرب القياسي. للبدء ، نتحرى عن طريقة طبيعية لإضافة متجهين معًا ، وكذلك لضرب المتجه في عدد قياسي.

النشاط 9.2.3.

دع ( vu = langle 2، 3 rangle text <،> ) ( vv = langle -1، 4 rangle text <.> )

باستخدام المتجهين المحددين أعلاه ، ما هي الطريقة الطبيعية لتعريف المجموع المتجه ( vu + vv text <؟> )

بشكل عام ، كيف تعتقد أن مجموع المتجهات ( va + vb ) المتجهات ( va = langle a_1 ، a_2 rangle ) و ( vb = langle b_1 ، b_2 rangle ) في ( R ^ 2 )؟ اكتب تعريفًا رسميًا لمجموع متجه بناءً على حدسك.

بشكل عام ، كيف تعتقد أن مجموع المتجهات ( va + vb ) المتجهات ( va = langle a_1 ، a_2 ، a_3 rangle ) و ( vb = langle b_1 ، b_2 ، b_3 يجب تعريف rangle ) في ( R ^ 3 )؟ اكتب تعريفًا رسميًا لمجموع متجه بناءً على حدسك.

بالعودة إلى المتجه المحدد ( vv = langle -1، 4 rangle ) الموضح أعلاه ، ما هي الطريقة الطبيعية لتعريف العددية المتعددة ( frac <1> <2> vv text <؟> )

بشكل عام ، كيف تعتقد أنه يجب تحديد المضاعف القياسي للمتجه ( va = langle a_1 ، a_2 rangle ) في ( R ^ 2 ) بواسطة الحجمي (c )؟ ماذا عن المضاعف العددي للمتجه ( va = langle a_1، a_2، a_3 rangle ) في ( R ^ 3 ) بواسطة الحجمي (c text <؟> ) اكتب رسمي تعريف مضاعف عددي لمتجه بناءً على حدسك.

يمكننا الآن إضافة المتجهات وضربها في العدد القياسي ، وبالتالي يمكننا جمع المضاعفات العددية للمتجهات. هذا يسمح لنا بالتعريف ناقلات الطرح، ( vv - vu text <،> ) كمجموع ( vv ) و (- 1 ) مرات ( vu text <،> ) بحيث

باستخدام إضافة المتجه والضرب القياسي ، سنقوم غالبًا بتمثيل المتجهات من حيث المتجهات الخاصة ( vi = langle 1، 0 rangle ) و ( vj = langle 0،1 rangle text <.> ) على سبيل المثال ، يمكننا كتابة المتجه ( langle a، b rangle ) في ( R ^ 2 ) بالشكل

في سياق ( R ^ 3 text <،> ) نسمح ( vi = langle 1، 0، 0 rangle text <،> ) ( vj = langle 0،1 ، 0 rangle text <،> ) و ( vk = langle 0،0،1 rangle text <،> ) ويمكننا كتابة المتجه ( langle a ، b ، c rangle ) في ( R ^ 3 ) مثل

المتجهات ( vi text <،> ) ( vj text <،> ) و ( vk ) تسمى نواقل الوحدة القياسية (كما سنتعلم للحظات ، نواقل الوحدة لها طول 1) ، وهي مهمة في العلوم الفيزيائية.

القسم الفرعي 9.2.4 خصائص عمليات المتجهات

نعلم أن المجموع القياسي (1 + 2 ) يساوي المجموع القياسي (2 + 1 نص <.> ) وهذا ما يسمى تبادلي خاصية الإضافة العددية. في أي وقت نحدد فيه العمليات على الكائنات (مثل إضافة المتجهات) ، نريد عادةً معرفة أنواع الخصائص التي تمتلكها العمليات. على سبيل المثال ، هل إضافة النواقل عملية تبادلية؟ للإجابة على هذا السؤال نأخذ اثنين اعتباطيا المتجهات ( vv ) و ( vu ) وأضفهم معًا وانظر ماذا سيحدث. دعونا ( vv = langle v_1 ، v_2 rangle ) و ( vu = langle u_1 ، u_2 rangle text <.> ) الآن نستخدم حقيقة أن (v_1 text <،> ) (v_2 text <،> ) (u_1 text <،> ) و (u_2 ) هي مقاييس ، وأن إضافة الحجميات تبادلية لرؤية ذلك

لذا فإن مجموع المتجه هو عملية تبادلية. يمكن استخدام وسيطات مماثلة لإظهار الخصائص التالية للجمع المتجه والضرب القياسي.

خصائص عمليات المتجهات.

دع ( vv text <،> ) ( vu text <،> ) و ( vw ) يكونان متجهين في ( R ^ n ) ودع (أ ) و (ب ) تكون عددي. ثم

( displaystyle vv + vu = vu + vv )

( displaystyle ( vv + vu) + vw = vv + ( vu + vw) )

المتجه ( vzero = langle 0، 0، ldots، 0 rangle ) له خاصية ( vv + vzero = vv text <.> ) المتجه ( vzero ) يسمى ناقل صفر.

((- 1) vv + vv = vzero text <.> ) المتجه ((- 1) vv = - vv ) يسمى المعكوس الجمعي من المتجه ( vv text <.> )

( displaystyle (a + b) vv = a vv + b vv )

( displaystyle a ( vv + vu) = a vv + a vu )

لقد تحققنا من الخاصية الأولى للمتجهات في ( R ^ 2 text <> ) ، من السهل التحقق من أن الخصائص الثمانية المتبقية قد سجلت تعليقًا لجميع المتجهات في ( R ^ n text <.> )

القسم الفرعي 9.2.5 التفسير الهندسي لعمليات المتجهات

بعد ذلك ، نستكشف تفسيرًا هندسيًا لإضافة المتجهات والضرب القياسي الذي يسمح لنا بتصور هذه العمليات. دعونا ( vu = langle 4 ، 6 rangle ) و ( vv = langle 3 ، -2 rangle text <.> ) ثم ( vw = vu + vv = langle 7، 4 rangle text <،> ) كما هو موضح على اليسار في الشكل 9.2.5.

إذا فكرنا في هذه المتجهات على أنها إزاحات في المستوى ، فسنجد طريقة هندسية لتصور إضافة المتجه. على سبيل المثال ، المتجه ( vu + vv ) سيمثل الإزاحة التي تم الحصول عليها باتباع الإزاحة ( vu ) مع الإزاحة ( vv text <.> ) يمكننا تصور ذلك عن طريق وضع ذيل ( vv ) عند طرف ( vu text <،> ) كما يظهر في وسط الشكل 9.2.5.

بالطبع ، تعد إضافة المتجه تبادلية ، لذا نحصل على نفس المجموع إذا وضعنا ذيل ( vu ) في طرف ( vv text <.> ) لذلك نرى أن ( vu + vv ) يظهر كقطر متوازي الأضلاع محدد بواسطة ( vu ) و ( vv text <،> ) كما هو موضح على اليمين في الشكل 9.2.5.

الطرح المتجه له تفسير مماثل. على اليسار في الشكل 9.2.6 نرى المتجهات ( vu text <،> ) ( vv text <،> ) و ( vw = vu + vv text <.> ) إذا أعدنا كتابة ( vv = vw - vu text <،> ) لدينا الترتيب الموضح على اليمين في الشكل 9.2.6. بمعنى آخر ، لتشكيل الفرق ( vw- vu text <،> ) نرسم متجهًا من طرف ( vu ) إلى طرف ( vw text <.> )

بطريقة مماثلة ، قد نمثل هندسيًا مضاعفًا عدديًا لمتجه. على سبيل المثال ، إذا ( vv = langle 2،3 rangle text <،> ) ثم (2 vv = langle 4،6 rangle text <.> ) كما هو موضح في الشكل 9.2. 7 ، ضرب ( vv ) في 2 يترك الاتجاه دون تغيير ، لكنه يمتد ( vv ) في 2. أيضًا ، (- 2 vv = langle -4 ، -6 rangle text <،> ) مما يدل على أن الضرب في عدد سالب يعطي متجهًا يشير في الاتجاه المعاكس لـ ( vv text <.> )

النشاط 9.2.4.

افترض أن ( vu ) و ( vv ) هما المتجهات الموضحة في الشكل 9.2.8.

على المحاور الموجودة على اليسار في الشكل 9.2.8 ، ارسم المتجهات ( vu + vv text <،> ) ( vv - vu text <،> ) (2 vu text < ،> ) (- 2 vu text <،> ) و (- 3 vv text <.> )

على المحاور الموجودة على اليمين في الشكل 9.2.8 ، ارسم المتجهات (- 3 vv text <،> ) (- 2 vv text <،> ) (- 1 vv text <، > ) (2 vv text <،> ) و (3 vv text <.> )

أعط وصفًا هندسيًا لمجموعة النقاط الطرفية للمتجهات (t vv ) حيث (t ) هو أي عدد.

على مجموعة المحاور الموجودة على اليمين في الشكل 9.2.8 ، ارسم المتجهات ( vu-3 vv text <،> ) ( vu-2 vv text <،> ) ( vu - vv text <،> ) ( vu + vv text <،> ) و ( vu + 2 vv text <.> )

أعط وصفًا هندسيًا لمجموعة النقاط الطرفية للمتجهات ( vu + t vv ) حيث (t ) هو أي عدد.

القسم الفرعي 9.2.6 حجم المتجه

بحكم التعريف ، يكون للمتجهات كل من الاتجاه والحجم (أو الطول). نحن الآن نبحث في كيفية حساب حجم المتجه. نظرًا لأنه يمكن تمثيل المتجه ( vv ) بقطعة مستقيمة موجهة ، يمكننا استخدام صيغة المسافة لحساب طول المقطع. هذا الطول هو الحجم من المتجه ( vv ) ويشار إليه (| vv | نص <.> )

النشاط 9.2.5.

دع (A = (2،3) ) و (B = (4،7) text <،> ) كما هو موضح على اليسار في الشكل 9.2.9. حساب (| overrightarrow| نص <.> )

دع ( vv = langle v_1 ، v_2 rangle ) يكون المتجه في ( R ^ 2 ) مع المكونات (v_1 ) و (v_2 ) كما هو موضح على اليمين في الشكل 9.2.9. استخدم صيغة المسافة للعثور على صيغة عامة لـ (| vv | text <.> )

لنفترض أن ( vv = langle v_1، v_2، v_3 rangle ) يكون متجهًا في ( R ^ 3 text <.> ) استخدم صيغة المسافة للعثور على صيغة عامة لـ (| vv | نص <.> )

افترض أن ( vu = langle 2،3 rangle ) و ( vv = langle -1،2 rangle text <.> ) Find (| vu | text <،> ) (| vv | text <،> ) و (| vu + vv | text <.> ) هل صحيح أن (| vu + vv | = | vu | + | vv | text <؟> )

تحت أي ظروف سوف (| vu + vv | = | vu | + | vv | text <؟> ) (تلميح: فكر في كيفية ( vu text <،> ) ( vv text <،> ) و ( vu + vv ) تشكل جوانب المثلث.)

باستخدام المتجه ( vu = langle 2،3 rangle text <،> ) ابحث عن أطوال (2 vu text <،> ) (3 vu text <،> ) و (- 2 vu text <،> ) على التوالي ، واستخدم الترميز المناسب لتسمية النتائج.

إذا كان (t ) أي عددية ، فكيف يرتبط (| t vu | ) بـ (| vu | text <؟> )

أ حتى النصر هو متجه حجمه 1. من المتجهات ( textbf text <،> ) ( textbf text <،> ) و ( textbf + textbf text <،> ) ما هي متجهات الوحدة؟

ابحث عن متجه الوحدة ( vv ) الذي يكون اتجاهه هو نفسه ( vu = langle 2، 3 rangle text <.> ) (تلميح: ضع في اعتبارك نتيجة الجزء (g).)

ملخص القسم الفرعي 9.2.7

المتجه هو كائن يمتلك سمات الحجم والاتجاه. أمثلة الكميات المتجهة هي الموضع والسرعة والتسارع والقوة.

متجهان متساويان إذا كان لهما نفس الاتجاه والحجم. لاحظ أن هذا الموضع لا يؤخذ في الاعتبار ، وبالتالي فإن المتجه مستقل عن موقعه.

إذا كان ( vu = langle u_1 ، u_2 ، ldots ، u_n rangle ) و ( vv = langle v_1 ، v_2 ، ldots ، v_n rangle ) متجهان في ( R ^ n text <،> ) فإن مجموع المتجه هو المتجه

إذا كان ( vu = langle u_1 ، u_2 ، ldots ، u_n rangle ) متجهًا في ( R ^ n ) و (c ) عددًا ، فإن المضاعف العددي (c ) vu ) هو المتجه

حجم المتجه ( vv = langle v_1، v_2، ldots، v_n rangle ) في ( R ^ n ) هو الحجم

المتجه ( vu ) هو ناقل وحدة بشرط أن (| vu | = 1 text <.> ) إذا كان ( vv ) متجهًا غير صفري ، فإن المتجه ( frac < vv> <| vv |> ) هو متجه وحدة بنفس اتجاه ( vv text <.> )


5: متجه حساب التفاضل والتكامل

لا أحب البراهين الرياضية ، فأنا لا أجيدها بشكل خاص. أنا أفضل قليلاً في الاشتقاقات ، لكن ليس كثيرًا. ومع ذلك ، هذا أحد الاشتقاقات التي أحبها ، لذا سأعمل من خلالها هنا كاشتقاق متجهي المفضل لحساب التفاضل والتكامل.

مثل معظم مشاكل الرياضيات والفيزياء ، يمكن حلها بعدة طرق ، لذا فهذه طريقة واحدة فقط. ومع ذلك ، فإن هذا هو النهج الذي أعتقد أنه الأكثر جوهرية.

س: ماذا نحن على وشك أن نفعل؟

G-load هو عدد المرات التي يمكن فيها الشعور بقوة الجاذبية أثناء الدوران ، بحيث تكون & quota & quot هي مرات تحميل g قوة الجاذبية. نظرًا لأن F-15 يمكنها سحب 9 جم عند 440 كيلوطن ، فإن الأمر يتعلق بحل & quotr & quot وإجراء بعض تحويلات الوحدات:

استخدم التحليل البعدي لتحويل 440 عقدة إلى قدم / ثانية:

440 عقدة = (440 نانومتر / ساعة) (1 ساعة / 3600 ثانية) (6076 قدم / نانومتر) = 746 قدم / ثانية

التسارع هو زمن الحمل g قوة الجاذبية:

r = (746 قدمًا / ثانية) 2 / (9) (32 قدمًا / ثانية 2) =

التحقق من الصحة: ​​هذه الإجابة صحيحة. إن أضيق ما يمكن أن تدور حوله طائرة F-15 هو أكثر من 2500 إلى 3000 قدم لأن 1900 قدم هي قدرة فورية. عند 9 جرام ، تتحلل سرعة الهواء بسرعة وينخفض ​​التحميل بالجر ، لذا فإن 2500-3000 قدم فوق 180-270 درجة من الدوران أكثر واقعية ، لكن الرياضيات دقيقة لتلك اللقطة في الوقت المناسب.

كلما كان الدوران ضيقًا ، كان من الصعب على طائرة معادية أن تحصل على موقع متميز لتوجيه المدافع والصواريخ والعكس صحيح.

كل الأشياء التي يمكن أن تقتل خصمًا تأتي من مقدمة المقاتلة النفاثة: الصواريخ والرصاص. إذا تمكنت من إبقاء أنفك على الطائرة الأخرى (أو إبقاء أنف العدو بعيدة) ، فيمكنك الفوز بالمشاركة. يمكن للطائرة ذات الجاذبية الأعلى أن تصبح أكثر إحكامًا وتتفوق على الخصم.

أتيحت لي فرصة واحدة للطيران ضد F-14 Tomcats خلال مهمة Roving Sands. لقد اعتدت على التدريب ضد طائرات F-15 أو F-16 ، وهي طائرات قادرة على 9g. الطائرة F-14 هي حوالي طائرة 7g. عندما رأيت مقاتلات F-14 لأول مرة ، كنت في وضع أفضل من ذي قبل وتدخلت للهجوم. كان هناك ثلاثة منهم ، وأول ما أدهشني هو حجمهم. وهذا قادم من سائق F-15! رمى Tomcats أجنحتهم على الفور وبدأوا منعطفًا دفاعيًا. لأكون صادقًا ، تساءلت عما كانوا يفعلونه في البداية لأنهم لم يتمكنوا من الالتفاف بما يكفي لمنع هجومي. لقد اتصلت للتو بـ 9 جرام ، وبدءًا من الجزء الخلفي من عبوتهم ، قمت للتو بحفر كل واحدة برصاصة مسدس بينما كانوا يندفعون.

المتجه r مكتوب بشكل صحيح (باستخدام غامق للإشارة إلى متجه):

هذا هو. ومع ذلك ، فإنه يطرح السؤال عن سبب عدم وجود مكون ثيتا. ما زلت لا أملك إجابة مثالية لهذا السؤال ، لكن الزاوية ليس لها نقطة مرجعية لأنه لا يوجد & quotx-axis & quot للبدء منه يشير فقط إلى اتجاه إيجابي للحركة. متجه الموقف ص يبدأ من الصفر من الأصل ، لكن لا يوجد & quotzero & quot في ثيتا.

يتحرك e-sub-theta أيضًا ، وبهذه الطريقة المتناهية الصغر ، تتحرك e-dot-theta في اتجاه e-sub-r السالب بسرعة ثيتا نقطة.

تصحيح هذا الجزء هو مفتاح العملية برمتها. هذه ليست حركات كبيرة ، ولكن كما هو الحال مع حساب التفاضل والتكامل بشكل عام ، فهي حركات متناهية الصغر ويمكن تصويرها للقيام بتلك الحركات الطفيفة في نظام الإحداثيات الأصلي.

خذ مشتق الموضع لأول مرة ، باستخدام قاعدة الضرب لكل مضاعف: مشتق r مضروبًا في e-sub-r زائد r مضروبًا في مشتق e-sub-r. إنها قاعدة المنتج القياسية ونواقل الوحدة هذه تحسب في العملية!

الآن ، لا يمكننا فعل الكثير باستخدام مصطلح e-dot-r ، لذا أعد كتابته مرة أخرى في نظام الإحداثيات الأصلي كما تمت مناقشته أعلاه.

أعد كتابة المصطلحين المزعجين e-dot-r و e-dot-theta مرة أخرى في نظام الإحداثيات الأصلي كما تمت مناقشته في القسم 5 أعلاه.

إذا كنا نحتفظ بدورة نصف قطر ثابتة ، فإننا لا نتحرك في الاتجاه r ، لذا فإن r-dot-dot تساوي صفرًا.

محظوظ بالنسبة لنا ، لقد حللناها بالفعل أعلاه! عد إلى القسم 6 ، السطر الثالث ، ولدينا أول مشتق للموضع r ، وهو السرعة. لها حدين شعاعي وماس ، تمامًا مثل معادلة العجلة.


يرجى التحقق من هذه: أي مما يلي مثال على كمية متجه؟ أ. السرعة ب. درجة الحرارة ج. حجم د. الكتلة التي اخترتها تحديدًا على أنها vecor أو سلمي 1. سرعة الحلزون --- ناقل 2. الوقت الذي يستغرقه الجري على مسافة ميل 3. السقوط الحر

2 قوتان من 5N و 7N على التوالي تعمل على كائن. أ) متى تكون نتيجة اثنين من المتجهات كحد أقصى؟ ب) متى تكون نتيجة المتجهين كحد أدنى؟ ج) ما هي النتائج القصوى والدنيا لـ القوتين؟ د) رسم رسم تخطيطي لتوضيح


ناقلات حساب التفاضل والتكامل

ماذا يعني حساب المشتق الجزئي للمتجه u بالنسبة إلى أحد إحداثياته؟ هل هو ناقل أم عددي؟

هذا لا معنى له. تأخذ المشتق الجزئي لمتجه ذي قيمة وظيفة، وليس من ناقل عادي.

قدم بعض الأمثلة التي رأيتها والتي أدت بك إلى طرح سؤالك.

كنت نوعًا ما أبحث في رمز Del (دلتا مقلوبة) وكيف تم تعريف ذلك وقالت ويكيبيديا أن أحد التعريفات هو مجموع جميع المتجهات الأساسية لأوقات الفضاء - ما بدا لي على أنه تدوين مشتق جزئي

لا يحتوي المتجه على & # x27t & # x27 منسقات & # x27 حتى تقدم نوعًا من & # x27 نظامًا منسقًا. & # x27 ثم أي فكرة عن المشتقات الجزئية يجب أن تشير إلى هذا. نظرًا لأن الإحداثيات تُعتبر عادةً بناءًا اصطناعيًا ، يبحث المرء عادةً عن تعريفات للأشياء المستقلة عن اختيار الإحداثيات. طريقة واحدة للقيام بذلك هي عمل تعريفات لا تشير & # x27t إلى الإحداثيات. أحد هذه التعريفات التي تذكرنا بسؤالك هو مفهوم & # x27Lie المشتق & # x27 لحقل متجه فيما يتعلق بآخر. إذا تمت صياغة الحقول المتجهة كمشتقات (عوامل تفاضلية) ، فإن مشتق لي من v فيما يتعلق بـ w هو wv-vw. هذا يعادل إجابة Matthewshead & # x27s ، على ما أعتقد.

2) إذا فسرنا سؤالك بأبسط طريقة ممكنة ، فإن & # x27vector & # x27 تعني مجموعة من الأرقام مثل (3،4،5) ، إذا سألت ، ما هو المشتق الجزئي لـ (3،4،5) ) فيما يتعلق بالمدخل الأول ، عليك & # x27d التفكير في موقف تعتمد فيه الإدخالات الأخرى على هذا الإدخال الأول. هناك مثل هذه المواقف ، على سبيل المثال إذا كنت قد قررت أن (3،4،5) ينتمي إلى منحنى معين في 3 مساحات يتم عرضها بطريقة سلسة وغير متولدة إلى المحور الأول & # x27x & # x27 ثم نظرية الدالة العكسية يخبرك أن الإحداثي الثاني والثالث عبارة عن وظائف سلسة للإحداثي الأول ، ويمكنك التفريق بينهما. هذه الإجابة الثانية هي حالة خاصة للإجابة الأولى.

3) كمثال على السبب الذي يجعل فكرة & # x27 مشتق جزئي & # x27 مربكة على أي حال ، ضع في اعتبارك وظيفة مثل المسافة من الأصل في 3 مسافة ، وقل ، ما هو المشتق الجزئي لهذا فيما يتعلق بـ x- المعتاد تنسيق؟ إذا اخترت الإحداثيات x و u و v حيث u = x + y و v = z فإن المسافة من الأصل هي الجذر التربيعي لـ x 2 + (ux) 2 + v 2 والمشتق الجزئي بالنسبة إلى x هو - 2ux = -2x2 -2xy مضروبة في عامل آخر. حتى الدوال لا تحتوي على & # x27t مشتقات جزئية محددة جيدًا ومستقلة عن نظام الإحداثيات. حتى إذا حددت الدالتين f و g ، فإن المشتق الجزئي لـ f فيما يتعلق بـ g يكون غير معرّف إلا في حالات خاصة عندما يكون مشتقًا عاديًا. إن مفهوم المشتق & # x27 الجزئي & # x27 ليس بالفعل مفهومًا رياضيًا للغاية ، وعادة عندما تفكر فيه ، فإنك تقصد الإشارة إلى مفهوم آخر أكثر طبيعية.


المصفوفات والقياسات والمتجهات وحساب المتجهات 1

دعونا نتخيل أن لدينا نظام إحداثيات ونظام إحداثيات يتم تدويره نسبيًا. دعونا نفكر في نقطة لها إحداثيات وإحداثيات على.

بشكل عام من الواضح أن وذاك.

نظرًا لأن التحول من إلى هو مجرد دوران ، يمكننا افتراض أن التحول خطي. ومن ثم يمكننا أن نكتب صراحة

هناك طريقة أخرى لكتابة المعادلات الثلاث السابقة بطريقة أكثر إحكاما وهي:

في حال لم تكن & # 8217t ترى كيف أن المعادلة السابقة هي طريقة أكثر إحكاما لكتابة المعادلات الأولى I & # 8217ll فقط وضع الحالة.

كل ما علينا فعله الآن هو أن نجمع من إلى ونحصل على المعادلة الأولى. بالنسبة للاثنين الآخرين ينطبق نفس المنطق.

إذا أردنا إجراء تحول من التحويل العكسي

يشير التدوين السابق إلى أنه يمكن ترتيب الفهارس في شكل مصفوفة:

في الأدبيات ، تحتوي المصفوفة السابقة على اسم مصفوفة الدوران أو مصفوفة التحويل.

و [مدش] 1. خصائص مصفوفة التناوب و [مدش]

أين توجد مصفوفة تعرف باسم دلتا كرونيكر وتعريفها

للتحول العكسي هو

تسمى العلاقات السابقة علاقات التعامد.

و [مدش] 2. عمليات مصفوفة وتعريفات وخصائص و [مدش]

دعونا نمثل إحداثيات نقطة بواسطة متجه العمود

باستخدام الترميز المعتاد للجبر الخطي يمكننا كتابة معادلات التحويل على النحو التالي

حيث نحدد منتج المصفوفة ، لن يكون ممكنًا إلا عندما يكون عدد الأعمدة يساوي عدد صفوف

طريقة حساب عنصر معين في المصفوفة ، سوف نشير إلى هذا العنصر بالرمز ،

بالنظر إلى تعريف منتج المصفوفة ، يجب أن يكون واضحًا أنه يمتلكه بشكل عام

كمثال دعونا ننظر في

نحن & # 8217 نقول أن هذا هو منقول وحساب عناصر المصفوفة للمصفوفة المنقولة بواسطة. بطريقة أكثر للمشاة ، يمكن للمرء أن يقول أنه من أجل الحصول على تبديل مصفوفة معينة يحتاج المرء فقط إلى تبادل صفوفها وأعمدتها.

بالنسبة لمصفوفة معينة ، توجد مصفوفة أخرى مثل. يُقال أن المصفوفة هي مصفوفة الوحدة ويمكن للمرء أن يمثلها عادةً.

إذا ، إذن ، وقيل أنه معكوس بعضهما البعض و ،.

الآن لمصفوفات الدوران هو

حيث تأتي المساواة الأخيرة الثانية مما رأيناه & # 8217 في القسم 1.

فقط لإنهاء هذا القسم ، اسمحوا لي فقط أن أذكر أنه على الرغم من أن ضرب المصفوفة بشكل عام ليس تبادليًا إلا أنه لا يزال ترابطيًا. هكذا . بالإضافة إلى ذلك ، تحتوي إضافة المصفوفة على التعريف الذي يتوقعه المرء. يسمى .

إذا عكس المرء جميع المحاور الثلاثة في نفس الوقت ، فإن المصفوفة التي نحصل عليها هي ما يسمى بمصفوفة الانعكاس وهي

نظرًا لأنه يمكن إثبات أن مصفوفات التدوير لها دائمًا محددها يساوي وأن مصفوفة الانعكاس لها محدد ، فإننا نعلم أنه لا يوجد أي تحويل مستمر يرسم الدوران إلى انعكاس.

و [مدش] 3. المتجهات والعدادات و [مدش]

في الفيزياء ، تكون الكميات إما عددية أو متجهات (يمكن أن تكون أيضًا موترات ولكن نظرًا لأنها ليست ضرورية على الفور ، فأنا أتظاهر بأنها غير موجودة في الوقت الحالي). يتم تعريف هذين الكيانين وفقًا لخصائص التحويل الخاصة بهما.

يجب أن يكون تحويل تنسيق ، إذا كان:

& [مدش] 3.1. العمليات بين الحجميات والمتجهات و [مدش]

أعتقد أن معظم الناس هنا يعرفون هذا بالفعل ولكن لمصلحة قدر ضئيل من الاحتواء الذاتي ، سأقوم فقط بتعداد بعض خصائص الحجميات والمتجهات.

As an example we will show the second proposition 5 and the reader has to show the veracity of the last proposition.

In order to show that is a vector we have to show that it transforms like a vector.

Hence transforms like a vector.

The operations between scalars are pretty much well know by everybody, hence we won’t take a look at them, but maybe it is best for us to take a look at two operations between vectors that are crucial for our future development.

We can construct a scalar by using two vectors. This scalar is a measure of the projection of one vector into the other. Its definition is

For this operation deserve its name, one still has to prove that the result indeed is a scalar.

First one writes and , where one changes the index of the second summation because we’ll have to multiply the two quantities and that way the final result can be achieved much more easily.

First we have to introduce the permutation symbol . Its definition is if two or three of its indices are equal if is an even permutation of (the even permutations are , and ) if is an odd permutation of (the odd permutations , and ).

The vector product, , of two vectors and is denoted by .

To calculate the components the components of the vector the following equation is to be used:

Where is shorthand notation for .

As an example let us look into

where we have used the definition of throughout the reasoning.

One can also see that (this another exercise for the reader) and that .

If one only wants to know the magnitude of the following equation should be used .

After choosing the three axes that define our frame of reference one can choose as the basis of this space a set of three linearly independent vectors that have unit norm. These vectors are called unit vectors.

If we denote these vectors by any vector can be written as . We also have that and . Another way to write the last equation is .

&mdash 5. Vector differentiation with respect to a scalar &mdash

Let be a scalar function of : . Since both and are scalars we know that their transformation equations are and . Hence it also is and

Thus it follows that for differentiation it is .

In order to define the derivative of a vector with respect to a scalar we will follow an analogous road.

We already know that it is hence

where the last equality follows from the fact that is a scalar.

From what we saw we can write

Hence transforms like the coordinates of a vector which is the same as saying that is a vector.

The rules for differentiating vectors are:

The proof of these rules isn’t needed in order for us to develop any kind of special skills but if the reader isn’t very used to this, then it is better for him to do them just to see how things happen.


An Illustrative Guide to Multivariable and Vector Calculus 3030334589, 9783030334581

Table of contents :
غطاء، يغطي
S Title
Title: An Illustrative Guide to Multivariable and Vector Calculus
Copyright © Springer Nature Switzerland AG 2020
تفان
Preface
شكر وتقدير
محتويات
Important Formulæ
Multivariable calculus
ناقلات حساب التفاضل والتكامل
Chapter 1 Vectors and functions
1.A Some vector algebra essentials
1.B Introduction to sets
1.C Real-valued functions
1.D Coordinate systems
1.E Drawing or visualizing surfaces in $mathbbR3$
1.F Level sets
1.G Supplementary problems
Chapter 2 Differentiation of multivariable functions
2.A The derivative
2.B Limits and continuity
2.C Partial derivatives
2.D Differentiability of f:mathbbRn-3murightarrow mathbbR
2.E Directional derivatives and the gradient
2.F Higher-order derivatives
2.G Composite functions and the chain rule
2.H Implicit functions
2.I Taylor's formula and Taylor series
2.J Supplementary problems
Chapter 3 Applications of the differential calculus
3.A Extreme values of f:mathbbRn-3murightarrowmathbbR
3.B Extreme points: The complete story
3.C Differentials and error analysis
3.D Method of least squares
3.E Partial derivatives in equations: Partial differential equations
3.F Supplementary problems
Chapter 4 Integration of multivariable functions
4.A Multiple integrals
4.B Iterated integration in $mathbbR2$
4.C Integration over complex domains
4.D Generalized (improper) integrals in $mathbbR2$
4.E Change of variables in $mathbbR2$
4.F Triple integrals
4.G Iterated integration in $mathbbR3$
4.H Change of variables in $mathbbR3$
4.I $n$-tuple integrals
4.J Epilogue: Some practical tips for evaluating integrals
4.K Supplementary problems
Chapter 5 Vector calculus
5.A Vector-valued functions
5.B Vector fields
5.C Line integrals
5.D Surface integrals
5.E Gauss's theorem
5.F Green's and Stokes's theorems
5.G Supplementary problems
Glossary of symbols
فهرس
فهرس

Citation preview

An Illustrative Guide to Multivariable and Vector Calculus

An Illustrative Guide to Multivariable and Vector Calculus

An Illustrative Guide to Multivariable and Vector Calculus In collaboration with Ross A. Frick

Stanley J. Miklavcic University of South Australia (Mawson Lakes Campus) Adelaide, SA, Australia

ISBN 978-3-030-33458-1 ISBN 978-3-030-33459-8 https://doi.org/10.1007/978-3-030-33459-8

Mathematics Subject Classification (2010): 26B05, 26B10, 26B12, 26B15, 26B20 © Springer Nature Switzerland AG 2020 This work is subject to copyright. All rights are reserved by the Publisher, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed. The use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this publication does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use. The publisher, the authors and the editors are safe to assume that the advice and information in this book are believed to be true and accurate at the date of publication. Neither the publisher nor the authors or the editors give a warranty, expressed or implied, with respect to the material contained herein or for any errors or omissions that may have been made. The publisher remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations. This Springer imprint is published by the registered company Springer Nature Switzerland AG The registered company address is: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland

To my children Arya, Nadia, Jacob, and David.

Preface This book originated as a set of lectures prepared for courses given by me at the University of Linköping in Sweden and at the University of South Australia in Australia. At Linköping University the material (apart from Section 3.E) was delivered in a second year, single semester course (14 weeks, 2 two-hour lectures per week) to engineering students, with the first half focused on the differential calculus of real-valued multivariable functions, while the second half was divided between integral calculus and vector calculus. At the University of South Australia the subject was delivered in two separate semester courses (12 weeks, 2 two-hour lectures per week), the first of which was offered to second year engineering, science and mathematics students and featured differential and integral calculus, including an introduction to partial differential equations. The second course, taken mostly by third year mathematics and science students, dealt with vector calculus, although only the first five weeks of that course was covered by the material in this book. The lectures generally were so well-received by students that it was thought the material might appeal to a wider audience. Having taken the decision to convert my notes into a book, I aimed for a document of manageable size rather than generate yet another bulky tome on calculus. The result is a book that students can carry easily to and from class, can take out and leaf through on the library lawn, or in a booth of a pub, or while lying on the banks of a river waiting for the fish to bite. Very many ideas in mathematics are more readily conveyed and more easily appreciated when presented visually. This is certainly true of multivariable and vector calculus, and as my lecture material took advantage of many visual devices, I sought to capture the spirit if not the body of these same devices in printed form. Consequently, the majority of concepts are introduced and explained with the support of figures and graphics as well as the generous use of colour. Indeed, colour is used to highlight specific pieces of information, to emphasize relationships between variables in different

equations, and to distinguish different roles or actions. The inevitable issue of colour blindness was raised in the course of the book’s development. To minimize difficulties, colour typesetting has been configured to allow for some degree of differentiation even by those readers with impaired colour vision. In addition, colour has been implemented so as only to benefit one’s understanding, and not as an essential condition for understanding. The book is self-contained and complete as an introduction to the theory of the differential and integral calculus of both real-valued and vector-valued multivariable functions. The entire material is suitable as a textbook in its own right for one to two, semester-long courses in either the second year or third year of University studies, and for students who have already completed courses in single variable calculus and linear algebra. Some selection of content may be necessary depending on student need and time available. For instance, as the topic of partial differential equations (PDEs) is normally offered as a separate course to mathematics students, Section 3.E can be skipped in a multivariable calculus course. On the other hand, a course in PDEs is not always included in engineering and science curricula, so Section 3.E is a pragmatic, albeit brief, introduction to the subject, particularly as its focus is on solving PDEs in simple cases. Alternatively, because of its illustrative emphasis, the book can also perform the role of a reference text to complement one of the more standard textbooks in advanced calculus, such as [1], thus providing the student with a different visual perspective. Consequent to the ambition of producing a portable book, the reader should not be surprised that some areas of the calculus are not covered in detail. One other notable sacrifice is mathematical rigour. There are very few proofs included and those that have been are deliberately sketchy, included only to give students a rational justification for, or to illustrate the origin of, an idea. Consequently, students of pure mathematics may want to complement this book with one that offers a deeper analysis, such as [2]. Within each chapter is a sequence of Mastery Checks, exercises on the topic under discussion that are usually preceded by solved examples. Students are encouraged to attempt these Mastery Checks and keep a record of their solutions for future reference. To reinforce the ideas, additional exercises appear at the end of each chapter to supplement the Mastery Checks. Solutions to both sets of exercises are available to instructors upon request. I have limited the number of problems in order to restrict the size of the book, assuming that students would have access to auxiliary exercises in more standard treatises. All the same, the book contains over 90 Mastery Checks and over 120 Supplementary Exercises, many with multiple parts. The reader should be aware that I have made use of mathematical symbols (such as ¼) and 9) and abbreviations (w.r.t., 3D) in place of text, a common

practice in mathematics texts and research literature. A glossary of definitions can be found at the end of the book. Wherever they appear in the book they should be read as the pieces of text they replace. Finally, for easy reference a list of Important Formulae, covering various topics in multivariable and vector calculus, is given on page xiii.

Acknowledgements In drafting this book I had great pleasure in working closely with my colleague Ross Frick who was instrumental in turning my original lecture material and supplementary notes into book form. His skill with LATEX and MATLAB was critical in this endeavour. I would also like to thank Dr. Loretta Bartolini, Mathematics Editor at Springer, for her strong support and encouragement of this venture and for her efficient handling of the publication of this book. I will forever be indebted to Julie for her patience and enduring support over the many, many months of editing and re-editing to which this book was subjected. It is no exaggeration to say that without her understanding the task of completing this book would have been a far greater challenge than it has been. Lastly, I would like to thank the students who have taken my course over the years, particularly those (now graduate) students who gave feedback on the notes prior to their publication. Their general enthusiasm has been an absolutely essential factor in getting the book to this point. I hope that future students of this important area of mathematics will also enjoy and be inspired by what this little volume has to offer. Adelaide, Australia December 2019

Some vector algebra essentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Calculus 1 — Single variable calculus

Chapter Index
Disk 1

Section 1: What Is A Derivative?
Section 2: The Derivative Defined As A Limit
Section 3: Differentiation Formulas
Section 4: Derivatives Of Trigonometric Functions
Section 5: The Chain Rule
Section 6: Higher Order Derivatives
Section 7: Related Rates
Section 8: Curve Sketching Using Derivatives

Disk 2
Section 9: Introduction To Integrals
Section 10: Solving Integrals
Section 11: Integration By Substitution
Section 12: Calculating Volume With Integrals
Section 13: Derivatives and Integrals Of Exponentials
Section 14: Derivatives Of Logarithms
Section 15: Integration By Parts
Section 16: Integration By Trig Substitution
Section 17: Improper Integrals

Calculus 2 — Advanced Calculus

Chapter Index
Disk 1
Section 1: Inverse Trigonometric Functions
Section 2: Derivatives of Inverse Trigonometric Functions
Section 3: Hyperbolic Functions
Section 4: Inverse Hyperbolic Functions
Section 5: L'Hospital's Rule
Section 6: Trigonometric Integrals

Disk 2
Section 7: Integration By Partial Fractions
Section 8: Arc Length
Section 9: Area Of A Surface Of Revolution
Section 10: Parametric Equations
Section 11: Arc Length In Parametric Equations
Section 12: Surface Area Of Revolution In Parametric Equations

Disk 3
Section 13: Polar Coordinates
Section 14: Polar Equations
Section 15: Area And Length In Polar Coordinates
Section 16: Sequences


Disk 4
Section 17: Series
Section 18: Integral Test Of Series Convergence
Section 19: Comparison Tests Of Series Convergence
Section 20: Alternating Series Test Of Convergence
Section 21: Ratio and Root Test Of Series Convergence

Calculus 3 Vol 1 — Multivariate Calculus

Disk 1
Section 1: 3D Cartesian Coordinates
Section 2: Introduction To Vectors
Section 3: The Vector Dot Product
Section 4: The Vector Cross Product
Section 5: Vector Valued Functions

Disk 2
Section 6: Multivariable Functions And Partial Derivatives
Section 7: The Chain Rule For Partial Derivatives
Section 8: The Directional Derivative

Disk 3
Section 9: The Gradient
Section 10: Double Integrals
Section 11: Double Integrals In Polar Coordinates

Calculus 3 Vol 2 — Multivariate Calculus

Disk 1
Section 1: Triple Integrals
Section 2: Triple Integrals In Cylindrical Coordinates

Disk 2
Section 3: Triple Integrals In Spherical Coordinates
Section 4: Divergence And Curl Of A Vector Field
Section 5: Line Integrals

Disk 3
Section 6: Line Integrals In A Vector Field
Section 7: Alternative Form Of Line Integrals In Vector Fields
Section 8: Fundamental Theorem Of Line Integrals

Disk 4
Section 9: Green's Theorem
Section 10: Surface Integrals
Section 11: Flux Integrals
Section 12: Stokes Theorem
Section 13: The Divergence Theorem


5: Vector Calculus

Prelude: A vector, as defined below, is a specific mathematical structure. It has numerous physical and geometric applications, which result mainly from its ability to represent الحجم و اتجاه الوقت ذاته. Wind, for example, had both a speed and a direction and, hence, is conveniently expressed as a vector. The same can be said of moving objects and forces. The location of a points on a cartesian coordinate plane is usually expressed as an ordered pair (x, y), which is a specific example of a vector. Being a vector, (x, y) has a a certain distance (magnitude) from and angle (direction) relative to the origin (0, 0). Vectors are quite useful in simplifying problems from three-dimensional geometry.

تعريف: أ العددية, generally speaking, is another name for "real number."

تعريف: أ المتجه of dimension n is an ordered collection of n elements, which are called عناصر.

Notation: We often represent a vector by some letter, just as we use a letter to denote a scalar (real number) in algebra. In typewritten work, a vector is usually given a bold letter, such as أ, to distinguish it from a scalar quantity, such as أ. In handwritten work, writing bold letters is difficult, so we typically just place a right-handed arrow over the letter to denote a vector. An n-dimensional vector أ has n elements denoted as A1, A2, . ان. Symbolically, this can be written in multiple ways:

أ = <A1, A2, . An>
أ = (A1, A2, . An)

Example: (2,-5), (-1, 0, 2), (4.5), and (PI, a, b, 2/3) are all examples of vectors of dimension 2, 3, 1, and 4 respectively. The first vector has components 2 and -5.

Note: Alternately, an "unordered" collection of n elements is called a "set."

Definition: Two vectors are مساو if their corresponding components are equal.

مثال: إذا أ = (-2, 1) and ب = (-2, 1), then أ = ب since -2 = -2 and 1 = 1. However, (5, 3) not_equal (3, 5) because even though they have the same components, 3 and 5, the component do not occur in the same order. Contrast this with sets, where <5, 3>= <3, 5>.

Definition: The magnitude of a vector أ of dimension n, denoted |أ|, is defined as

Geometrically speaking, magnitude is synonymous with "length," "distance", or "speed." In the two-dimensional case, the point represented by the vector A = (A1, A2) has a distance from the origin (0, 0) of sqrt(A1^2 + A2^2) according to the pythagorean theorem. In the three-dimension case, the point represented by the vector A = (A1, A2, A3) has a distance from the origin of sqrt(A1^2 + A2^2 + A3^2) according to the three-dimensional form of the Pythagorean theorem (A box with sides a, b, and c has a diagonal of length sqrt(a2+b2+c2) ). With vectors of dimension n greater than three, our geometric intuition fails, but the algebraic definition remains.

التعريف: إن مجموع of two vectors أ = (A1, A2, . An) and ب = (B1, B2, . Bn) is defined as

أ + ب = (A1 + B1, A2 + B2, . An + Bn)

Note: Addition of vectors is only defined if both vectors have the same dimension.

Justification: Physical and geometric applications warrant such a definition. IF a train travels East at 5 meters/second relative to the ground, which will be denoted in vector notation as VT = (0, 5), and a person on the train walks South at 1 meter/second relative to the train, which will be denoted as VP = (-1, 0), THEN the direction and speed that the person is traveling relative to the ground is represented by the vector VG = VT + VP = (0, 5) + (-1, 0) = (0 + -1, 5 + 0) = (-1, 5). This vector has a magnitude of |VG| = sqrt((-1)^2 + 5^2) = sqrt(26) = 5.099. which means that the person is traveling at about 5.099 meters/second relative to the ground and the net direction is mostly East but slightly South.

التعريف: إن منتج عددي of a scalar k by a vector أ = (A1, A2, . An) is defined as

Note: In general, 0أ = (0, 0, . 0) and 1أ = أ, just as in the algebra of scalars. The vector of any dimension n with all zero elements (0, 0, . 0) is called the zero vector and is denoted 0.


الملخص

We suggest a generalization of vector calculus for the case of non-integer dimensional space. The first and second orders operations such as gradient, divergence, the scalar and vector Laplace operators for non-integer dimensional space are defined. For simplification we consider scalar and vector fields that are independent of angles. We formulate a generalization of vector calculus for rotationally covariant scalar and vector functions. This generalization allows us to describe fractal media and materials in the framework of continuum models with non-integer dimensional space. As examples of application of the suggested calculus, we consider elasticity of fractal materials (fractal hollow ball and fractal cylindrical pipe with pressure inside and outside), steady distribution of heat in fractal media, electric field of fractal charged cylinder. We solve the correspondent equations for non-integer dimensional space models.


شاهد الفيديو: حساب التفاضل والتكامل - الوحدة 1: المتباينات - 5 - Inequale (شهر نوفمبر 2021).