مقالات

4.E: وظائف عقلانية (تمارين) - رياضيات


4.1: مقدمة في الوظائف العقلانية

القسم الفرعي {التمارين}

في التمارين ref {alltheasympfirst} - ref {alltheasymplast} للدالة المنطقية المعطاة $ f $:

ابدأ {itemize}

item ابحث عن مجال $ f $.

item حدد أي خطوط مقاربة عمودية للرسم البياني لـ $ y = f (x) $.

عنصر تحديد أي ثقوب في الرسم البياني.

item ابحث عن الخط المقارب الأفقي ، إذا كان موجودًا.

item ابحث عن الخط المقارب المائل ، إذا كان موجودًا.

عنصر رسم بيانيًا للوظيفة باستخدام أداة الرسم البياني ووصف السلوك بالقرب من الخطوط المقاربة.

النهاية {itemize}

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

item $ f (x) = dfrac {x} {3x - 6} $ label {alltheasympfirst}

item $ f (x) = dfrac {3 + 7x} {5 - 2x} $

item $ f (x) = dfrac {x} {x ^ {2} + x - 12} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {x} {x ^ {2} + 1} $

item $ f (x) = dfrac {x + 7} {(x + 3) ^ {2}} $

item $ f (x) = dfrac {x ^ {3} + 1} {x ^ {2} - 1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {4x} {x ^ 2 + 4} $

item $ f (x) = dfrac {4x} {x ^ 2-4} $

item $ f (x) = dfrac {x ^ 2-x-12} {x ^ 2 + x-6} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {3x ^ 2-5x-2} {x ^ 2-9} $

item $ f (x) = dfrac {x ^ 3 + 2x ^ 2 + x} {x ^ 2-x-2} $

item $ f (x) = dfrac {x ^ {3} - 3x + 1} {x ^ {2} + 1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {2x ^ {2} + 5x - 3} {3x + 2} $

item $ f (x) = dfrac {-x ^ {3} + 4x} {x ^ {2} - 9} $

item small $ f (x) = dfrac {-5x ^ {4} - 3x ^ {3} + x ^ {2} - 10} {x ^ {3} - 3x ^ {2} + 3x - 1 } $ عادي

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {x ^ 3} {1-x} $

item $ f (x) = dfrac {18-2x ^ 2} {x ^ 2-9} $

item $ f (x) = dfrac {x ^ 3-4x ^ 2-4x-5} {x ^ 2 + x + 1} $ label {alltheasymplast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

عنصر التكلفة $ C $ بالدولار لإزالة $ p $ ٪ من الأنواع الغازية لأسماك Ippizuti من Sasquatch Pond يتم الحصول عليها بواسطة [C (p) = frac {1770p} {100 - p}، quad 0 leq p <100 ]

ابدأ {تعداد}

item ابحث عن وتفسير $ C (25) $ و $ C (95) $.

item ماذا يعني الخط المقارب العمودي عند $ x = 100 $ ضمن سياق المشكلة؟

item ما هي النسبة المئوية لأسماك Ippizuti التي يمكنك إزالتها مقابل 40000 $؟

نهاية {تعداد}

item In Exercise ref {Sasquatchfunc1} في Section ref {FunctionNotation} ، تم تصميم سكان Sasquatch في Portage County على غرار الوظيفة [P (t) = frac {150t} {t + 15}، ] حيث $ t = 0 $ يمثل العام 1803. أوجد الخط المقارب الأفقي للرسم البياني $ y = P (t) $ واشرح ما يعنيه.

item تذكر من مثال ref {costrevenueprofitex1} أن تكلفة $ C $ (بالدولار) لصنع مشغلات وسائط $ x $ dOpi هي $ C (x) = 100x + 2000 $، $ x geq 0 $.

ابدأ {تعداد}

item ابحث عن صيغة لمتوسط ​​التكلفة $ overline {C} (x) $. استدعاء: $ overline {C} (x) = frac {C (x)} {x} $.

item البحث عن وتفسير $ overline {C} (1) $ و $ overline {C} (100) $.

item كم عدد dOpis المطلوب إنتاجه بحيث يكون متوسط ​​تكلفة dOpi $ 200 $ $؟

item فسر سلوك $ overline {C} (x) $ كـ $ x rightarrow 0 ^ {+} $. (تلميح: قد ترغب في العثور على التكلفة الثابتة $ C (0) $ للمساعدة في تفسيرك.)

item فسر سلوك $ overline {C} (x) $ كـ $ x rightarrow infty $. (تلميح: قد ترغب في العثور على التكلفة المتغيرة (المحددة في المثال المرجع {PortaBoyCost} في القسم المرجع {LinearFunctions}) للمساعدة في تفسيرك.)

نهاية {تعداد}

item In Exercise ref {circuitexercisepoly} في القسم المرجع {GraphsofPolynomials} ، قمنا بملاءمة بعض النماذج متعددة الحدود لبيانات الدائرة الكهربائية التالية. (تم بناء الدائرة بمقاوم متغير. لكل من قيم المقاومة التالية (مقاسة بالكيلو أوم ، $ k Omega $) ، تُعطى القدرة المقابلة للحمل (تقاس بالملي واط ، $ mW $) في الجدول أدناه.) الحاشية السفلية {يرغب المؤلفون في شكر دون أنتان وكين وايت من كلية المجتمع في ليكلاند على ابتكار هذه المشكلة وإنشاء مجموعة البيانات المصاحبة لها.}

smallskip

noindent start {tabular} {| l | r | r | r | r | r | r |} hline

المقاومة: ($ k Omega $) & 1.012 & 2.199 & 3.275 & 4.676 & 6.805 & 9.975 hline

الطاقة: ($ mW $) & 1.063 & 1.496 & 1.610 & 1.613 & 1.505 & 1.314 hline

نهاية {جدول}

smallskip

noindent باستخدام بعض القوانين الأساسية لتحليل الدوائر الممزوجة بجرعة صحية من الجبر ، يمكننا اشتقاق الصيغة الفعلية التي تربط القوة بالمقاومة. بالنسبة لهذه الدائرة ، فهي $ P (x) = frac {25x} {(x + 3.9) ^ 2} $ ، حيث $ x $ هي قيمة المقاومة ، $ x geq 0 $.

ابدأ {تعداد}

item قم برسم البيانات مع الوظيفة $ y = P (x) $ على الآلة الحاسبة.

عنصر استخدم الآلة الحاسبة لتقريب الطاقة القصوى التي يمكن توصيلها للحمل. ما هي قيمة المقاومة المقابلة؟

item البحث عن السلوك النهائي لـ $ P (x) $ وتفسيره كـ $ x rightarrow infty $.

نهاية {تعداد}

عنصر فهرس {معادلة منحنى التعلم} الفهرس {ثورستون ، لويس ليون} في أطروحته الشهيرة عام 1919 تسطير {معادلة منحنى التعلم} ، يقدم لويس ليون ثورستون دالة منطقية تحدد عدد الكلمات التي يمكن للشخص كتابتها أربع دقائق كدالة لعدد صفحات الممارسة التي أكملها المرء. (هذه الورقة ، الموجودة الآن في المجال العام ويمكن العثور عليها href {http://books.google.com/books؟id=pb5...derline {here}} ، من حقبة ماضية عندما كان الطلاب في أخذت كليات إدارة الأعمال دروسًا في الكتابة على الآلات الكاتبة اليدوية.) باستخدام تدوينه الأصلي ولغته الأصلية ، لدينا $ Y = frac {L (X + P)} {(X + P) + R} $ حيث $ L $ هو المتوقع حد الممارسة من حيث وحدات السرعة ، $ X $ صفحات مكتوبة ، $ Y $ هو سرعة الكتابة من حيث الكلمات في أربع دقائق ، $ P $ هو ممارسة سابقة مماثلة من حيث الصفحات و $ R $ هو معدل التعلم. في الشكل 5 من الورقة ، يرسم مخططًا مبعثرًا والمنحنى $ Y = frac {216 (X + 19)} {X + 148} $. ناقش هذه المعادلة مع زملائك في الفصل. كيف يمكنك تحديث التدوين؟ اشرح معنى الخط المقارب الأفقي للرسم البياني. يجب أن تأخذ بعض الوقت لإلقاء نظرة على الورقة الأصلية. تخطى الحسابات التي لم تفهمها بعد وحاول التعرف على الزمان والمكان اللذين أجريت فيهما الدراسة.

نهاية {تعداد}

صفحة جديدة

القسم الفرعي {الإجابات}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

item $ f (x) = dfrac {x} {3x - 6} $ vphantom {$ dfrac {7x} {7x} $}

المجال: $ (- infty، 2) cup (2، infty) $

الخط المقارب العمودي: $ x = 2 $

كـ $ x rightarrow 2 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 2 ^ {+}، f (x) rightarrow infty $

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب أفقي: $ y = frac {1} {3} $

كـ $ x rightarrow - infty، f (x) rightarrow frac {1} {3} ^ {-} $

كـ $ x rightarrow infty، f (x) rightarrow frac {1} {3} ^ {+} $

vfill

فاصل

عنصر $ f (x) = dfrac {3 + 7x} {5 - 2x} $

المجال: $ (- infty، frac {5} {2}) cup ( frac {5} {2}، infty) $

الخط المقارب العمودي: $ x = frac {5} {2} $

كـ $ x rightarrow frac {5} {2} ^ {-}، f ​​(x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow frac {5} {2} ^ {+}، f (x) rightarrow - infty $

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب أفقي: $ y = - frac {7} {2} $

كـ $ x rightarrow - infty، f (x) rightarrow - frac {7} {2} ^ {+} $

كـ $ x rightarrow infty، f (x) rightarrow - frac {7} {2} ^ {-} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {x} {x ^ {2} + x - 12} = dfrac {x} {(x + 4) (x - 3)} $

المجال: $ (- infty، -4) cup (-4، 3) cup (3، infty) $

الخطوط المقاربة العمودية: $ x = -4 ، x = 3 $

كـ $ x rightarrow -4 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow -4 ^ {+}، f (x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {+}، f (x) rightarrow infty $

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب أفقي: $ y = 0 $

كـ $ x rightarrow - infty، f (x) rightarrow 0 ^ {-} $

كـ $ x rightarrow infty، f (x) rightarrow 0 ^ {+} $

vfill

فاصل

item $ f (x) = dfrac {x} {x ^ {2} + 1} $

المجال: $ (- infty، infty) $

لا توجد خطوط مقاربة عمودية

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب أفقي: $ y = 0 $

كـ $ x rightarrow - infty، f (x) rightarrow 0 ^ {-} $

كـ $ x rightarrow infty، f (x) rightarrow 0 ^ {+} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {x + 7} {(x + 3) ^ {2}} $ vphantom {$ dfrac {x ^ {3}} {x ^ {2}} $}

المجال: $ (- infty، -3) cup (-3، infty) $

الخط المقارب العمودي: $ x = -3 $

كـ $ x rightarrow -3 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow -3 ^ {+} ، f (x) rightarrow infty $

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب أفقي: $ y = 0 $

حاشية سفلية {هذا يصعب رؤيته على الآلة الحاسبة ، لكن صدقني ، الرسم البياني أقل من المحور $ x $ على يسار $ x = -7 $.} مثل $ x rightarrow - infty، f (x ) rightarrow 0 ^ {-} $

كـ $ x rightarrow infty، f (x) rightarrow 0 ^ {+} $

vfill

فاصل

item $ f (x) = dfrac {x ^ {3} + 1} {x ^ {2} - 1} = dfrac {x ^ {2} - x + 1} {x-1} $

المجال: $ (- infty، -1) cup (-1، 1) cup (1، infty) $

الخط المقارب العمودي: $ x = 1 $

كـ $ x rightarrow 1 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 1 ^ {+}، f (x) rightarrow infty $

ثقب عند $ (- 1، - frac {3} {2}) $

خط مقارب مائل: $ y = x $

بما أن $ x rightarrow - infty $ ، فإن الرسم البياني أقل من $ y = x $

بما أن $ x rightarrow infty $ ، فإن الرسم البياني أعلى من $ y = x $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {4x} {x ^ {2} + 4} $

المجال: $ (- infty، infty) $

لا توجد خطوط مقاربة عمودية

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب أفقي: $ y = 0 $

كـ $ x rightarrow - infty، f (x) rightarrow 0 ^ {-} $

كـ $ x rightarrow infty، f (x) rightarrow 0 ^ {+} $

vfill

فاصل

item $ f (x) = dfrac {4x} {x ^ {2} -4} = dfrac {4x} {(x + 2) (x - 2)} $

المجال: $ (- infty، -2) cup (-2، 2) cup (2، infty) $

الخطوط المقاربة العمودية: $ x = -2 ، x = 2 $

كـ $ x rightarrow -2 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow -2 ^ {+}، f (x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow 2 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 2 ^ {+}، f (x) rightarrow infty $

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب أفقي: $ y = 0 $

كـ $ x rightarrow - infty، f (x) rightarrow 0 ^ {-} $

كـ $ x rightarrow infty، f (x) rightarrow 0 ^ {+} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {x ^ 2-x-12} {x ^ {2} + x - 6} = dfrac {x-4} {x - 2} $

المجال: $ (- infty، -3) cup (-3، 2) cup (2، infty) $

الخط المقارب العمودي: $ x = 2 $

كـ $ x rightarrow 2 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow 2 ^ {+}، f (x) rightarrow - infty $

ثقب عند $ left (-3، frac {7} {5} right) $

خط مقارب أفقي: $ y = 1 $

كـ $ x rightarrow - infty، f (x) rightarrow 1 ^ {+} $

كـ $ x rightarrow infty، f (x) rightarrow 1 ^ {-} $

vfill

فاصل

item $ f (x) = dfrac {3x ^ 2-5x-2} {x ^ {2} -9} = dfrac {(3x + 1) (x-2)} {(x + 3) ( x - 3)} $

المجال: $ (- infty، -3) cup (-3، 3) cup (3، infty) $

الخطوط المقاربة العمودية: $ x = -3 ، x = 3 $

كـ $ x rightarrow -3 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow -3 ^ {+}، f (x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {+}، f (x) rightarrow infty $

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب أفقي: $ y = 3 $

كـ $ x rightarrow - infty، f (x) rightarrow 3 ^ {+} $

كـ $ x rightarrow infty، f (x) rightarrow 3 ^ {-} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {x ^ 3 + 2x ^ 2 + x} {x ^ {2} -x-2} = dfrac {x (x + 1)} {x - 2} $

المجال: $ (- infty، -1) cup (-1، 2) cup (2، infty) $

الخط المقارب العمودي: $ x = 2 $

كـ $ x rightarrow 2 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 2 ^ {+}، f (x) rightarrow infty $

الثقب عند $ (- 1،0) $

خط مقارب مائل: $ y = x + 3 $

بما أن $ x rightarrow - infty $ ، فإن الرسم البياني أقل من $ y = x + 3 $

نظرًا لأن $ x rightarrow infty $ ، فإن الرسم البياني أعلى من $ y = x + 3 $

vfill

فاصل

item $ f (x) = dfrac {x ^ 3-3x + 1} {x ^ 2 + 1} $

المجال: $ (- infty، infty) $

لا توجد خطوط مقاربة عمودية

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب مائل: $ y = x $

بما أن $ x rightarrow - infty $ ، فإن الرسم البياني أعلى من $ y = x $

بما أن $ x rightarrow infty $ ، فإن الرسم البياني أقل من $ y = x $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

صفحة جديدة

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {2x ^ {2} + 5x - 3} {3x + 2} $

المجال: $ left (- infty، - frac {2} {3} right) cup left (- frac {2} {3}، infty right) $

الخط المقارب العمودي: $ x = - frac {2} {3} $

كـ $ x rightarrow - frac {2} {3} ^ {-}، f ​​(x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow - frac {2} {3} ^ {+}، f (x) rightarrow - infty $

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب مائل: $ y = frac {2} {3} x + frac {11} {9} $

مثل $ x rightarrow - infty $ ، يكون الرسم البياني أعلى small $ y = frac {2} {3} x + frac {11} {9} $

normalsize كـ $ x rightarrow infty $ ، الرسم البياني أقل من small $ y = frac {2} {3} x + frac {11} {9} $ normalsize

vfill

فاصل

item $ f (x) = dfrac {-x ^ {3} + 4x} {x ^ {2} - 9} = dfrac {-x ^ {3} + 4x} {(x-3) (x +3)} $

المجال: $ (- infty، -3) cup (-3، 3) cup (3، infty) $

الخطوط المقاربة العمودية: $ x = -3 $ ، $ x = 3 $

كـ $ x rightarrow -3 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow -3 ^ {+}، f (x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {+}، f (x) rightarrow - infty $

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب مائل: $ y = -x $

بما أن $ x rightarrow - infty $ ، فإن الرسم البياني أعلى من $ y = -x $

بما أن $ x rightarrow infty $ ، فإن الرسم البياني أقل من $ y = -x $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item small $ f (x) = dfrac {-5x ^ {4} - 3x ^ {3} + x ^ {2} - 10} {x ^ {3} - 3x ^ {2} + 3x - 1 } phantom {f (x)} = dfrac {-5x ^ {4} - 3x ^ {3} + x ^ {2} - 10} {(x-1) ^ 3} $ normalsize

المجال: $ (- infty، 1) cup (1، infty) $

الخطوط المقاربة العمودية: $ x = 1 $

كـ $ x rightarrow 1 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow 1 ^ {+}، f (x) rightarrow - infty $

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب مائل: $ y = -5x-18 $

صغير مثل $ x rightarrow - infty $ ، الرسم البياني أعلى من $ y = -5x-18 $ normalsize

صغير مثل $ x rightarrow infty $ ، الرسم البياني أقل من $ y = -5x-18 $ normalsize

vfill

فاصل

item $ f (x) = dfrac {x ^ 3} {1-x} $

المجال: $ (- infty، 1) cup (1، infty) $

الخط المقارب العمودي: $ x = 1 $

كـ $ x rightarrow 1 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow 1 ^ {+}، f (x) rightarrow - infty $

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

لا يوجد خط مقارب أفقي أو مائل

كـ $ x rightarrow - infty $، $ f (x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow infty $ ، $ f (x) rightarrow - infty $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {18-2x ^ 2} {x ^ 2-9} = -2 $

المجال: $ (- infty، -3) cup (-3،3) cup (3، infty) $

لا توجد خطوط مقاربة عمودية

الثقوب في الرسم البياني عند $ (- 3، -2) $ و $ (3، -2) $

خط مقارب أفقي $ y = -2 $

كـ $ x rightarrow pm infty $ ، $ f (x) = -2 $

vfill

فاصل

item $ f (x) = dfrac {x ^ 3-4x ^ 2-4x-5} {x ^ 2 + x + 1} = x-5 $

المجال: $ (- infty، infty) $

لا توجد خطوط مقاربة عمودية

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب مائل: $ y = x-5 $

$ f (x) = x-5 $ في كل مكان.

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

عنصر ابدأ {تعداد}

item $ C (25) = 590 $ يعني أن $ 590 لإزالة 25 ٪ من السمك و $ C (95) = 33630 $ يعني أنه سيتكلف $ 33630 لإزالة 95 ٪ من الأسماك من البركة .

عنصر الخط المقارب العمودي عند $ x = 100 $ يعني أنه عندما نحاول إزالة 100 ٪ من الأسماك من البركة ، تزداد التكلفة بدون قيود ؛ أي أنه من المستحيل إزالة كل الأسماك.

عنصر مقابل $ 40000 يمكنك إزالة حوالي 95.76 ٪ من الأسماك.

نهاية {تعداد}

item الخط المقارب الأفقي للرسم البياني لـ $ P (t) = frac {150t} {t + 15} $ هو $ y = 150 $ وهذا يعني أن النموذج يتوقع أن عدد سكان Sasquatch في مقاطعة Portage لن يتجاوز أبدًا 150 .

عنصر ابدأ {تعداد}

item $ overline {C} (x) = frac {100x + 2000} {x} $، $ x> 0 $.

item $ overline {C} (1) = 2100 $ و $ overline {C} (100) = 120 $. عند إنتاج $ 1 $ dOpi فقط ، تكون تكلفة dOpi $ 2100 $ ، ولكن عند إنتاج $ 100 $ dOpis ، تكون تكلفة dOpi $ 120 $.

item $ overline {C} (x) = 200 $ عندما $ x = 20 $. لذا للحصول على تكلفة dOpi إلى $ 200 $ ، يجب إنتاج $ 20 $ dOpis.

item باسم $ x rightarrow 0 ^ {+} $، $ overline {C} (x) rightarrow infty $. هذا يعني أنه كلما قل إنتاج dOpis ، تصبح تكلفة dOpi غير محدودة. في هذه الحالة ، هناك تكلفة ثابتة قدرها $ 2000 $ ($ C (0) = 2000 $) ، ونحن نحاول نشر 2000 $ $ على عدد أقل من dOpis.

item باسم $ x rightarrow infty $، $ overline {C} (x) rightarrow 100 ^ {+} $. هذا يعني أنه مع إنتاج المزيد والمزيد من dOpis ، فإن تكلفة dOpi تقترب من $ $ 100 $ ، ولكنها دائمًا ما تكون أكثر بقليل من $ $ 100 $. نظرًا لأن $ $ 100 $ هي التكلفة المتغيرة لكل dOpi ($ C (x) = underline {100} x + 2000 $) ، فهذا يعني أنه بغض النظر عن عدد dOpis الذي يتم إنتاجه ، فإن متوسط ​​التكلفة لكل dOpi سيكون دائمًا قليلاً أعلى من التكلفة المتغيرة لإنتاج dOpi. كما في السابق ، يمكننا أن نعزو ذلك إلى التكلفة الثابتة التي تبلغ 2000 دولار ، والتي تؤثر في متوسط ​​تكلفة dOpi بغض النظر عن عدد dOpis الذي يتم إنتاجه.

نهاية {تعداد}

عنصر ابدأ {تعداد}

عنصر $ ~ $

centline { includeegraphics [width = 2in] {./ RationalsGraphics / CIRCRAT.jpg}}

عنصر الطاقة القصوى حوالي 1.603 دولار ؛ ميغاواط $ الذي يتوافق مع $ 3.9 ؛ ك أوميغا $.

عنصر كـ $ x rightarrow infty ، ؛ P (x) rightarrow 0 ^ {+} $ مما يعني أنه كلما زادت المقاومة بدون حدود ، تقل القوة إلى الصفر.

نهاية {تعداد}

نهاية {تعداد}

كلوسجرافسلفيل

4.2: الرسوم البيانية للوظائف العقلانية

القسم الفرعي {التمارين}

في التمارين ref {sixstepfirst} - ref {sixsteplast} ، استخدم الإجراء المكون من ست خطوات لرسم الدالة الكسرية. تأكد من رسم أي خطوط مقاربة كخطوط متقطعة.

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

item $ f (x) = dfrac {4} {x + 2} $ label {sixstepfirst}

item $ f (x) = dfrac {5x} {6 - 2x} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {1} {x ^ {2}} $

item $ f (x) = dfrac {1} {x ^ {2} + x - 12} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {2x - 1} {- 2x ^ {2} - 5x + 3} $

item $ f (x) = dfrac {x} {x ^ {2} + x - 12} $ vphantom {$ dfrac {2x} {2x} $}

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {4x} {x ^ 2 + 4} $

item $ f (x) = dfrac {4x} {x ^ 2-4} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {x ^ 2-x-12} {x ^ 2 + x-6} $

item $ f (x) = dfrac {3x ^ 2-5x-2} {x ^ 2-9} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {x ^ 2-x-6} {x + 1} $

item $ f (x) = dfrac {x ^ 2-x} {3-x} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {x ^ 3 + 2x ^ 2 + x} {x ^ 2-x-2} $

item $ f (x) = dfrac {-x ^ {3} + 4x} {x ^ {2} - 9} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {x ^ 3-2x ^ 2 + 3x} {2x ^ 2 + 2} $

item hspace {-0.1in} حاشية سفلية {بمجرد الانتهاء من إجراء الخطوات الست ، استخدم الآلة الحاسبة لرسم هذه الوظيفة لرسم بياني على نافذة العرض $ [0، 12] times [0، 0.25] $. ماذا ترى؟} $ f (x) = dfrac {x ^ {2} - 2x + 1} {x ^ {3} + x ^ {2} - 2x} $ label {sixsteplast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

في التمارين ref {usetransratfirst} - ref {usetransratlast} ، ارسم بيانيًا دالة منطقية عن طريق تطبيق التحويلات على الرسم البياني $ y = dfrac {1} {x} $.

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {1} {x - 2} $ label {usetransratfirst}

item $ g (x) = 1 - dfrac {3} {x} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ h (x) = dfrac {-2x + 1} {x} $ (تلميح: تقسيم)

item $ j (x) = dfrac {3x - 7} {x - 2} $ (تلميح: Divide) label {usetransratlast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item ناقش مع زملائك في الفصل كيف ترسم $ f (x) = dfrac {ax + b} {cx + d} $. ما القيود التي يجب وضعها على $ a و b و c $ و $ d $ بحيث يكون الرسم البياني بالفعل تحولًا لـ $ y = dfrac {1} {x} $؟

item In example ref {intropolyexample} في القسم ref {GraphsofPolynomials} لقد أظهرنا أن $ p (x) = frac {4x + x ^ 3} {x} $ ليست كثيرة الحدود على الرغم من أن صيغتها تم تخفيضها إلى $ 4 + x ^ {2} $ مقابل $ x neq 0 $. ومع ذلك ، فهي وظيفة عقلانية مماثلة لتلك التي تمت دراستها في القسم. بمساعدة زملائك في الفصل ، ارسم بيانيًا $ p (x) $.

item Let $ g (x) = displaystyle frac {x ^ {4} - 8x ^ {3} + 24x ^ {2} - 72x + 135} {x ^ {3} - 9x ^ {2} + 15x - 7}. ؛ $ بمساعدة زملائك في الفصل ، ابحث عن تقاطع $ x $ - و $ y $ - للرسم البياني لـ $ g $. أوجد الفترات التي تتزايد فيها الدالة ، والفترات التي تتناقص فيها ، والقيمة القصوى المحلية. ابحث عن جميع الخطوط المقاربة للرسم البياني لـ $ g $ وأي ثقوب في الرسم البياني ، إن وجدت. تأكد من عرض كل أعمالك بما في ذلك أي تقسيم متعدد الحدود أو تركيبي. ارسم الرسم البياني لـ $ g $ ، باستخدام أكثر من صورة واحدة إذا لزم الأمر لإظهار جميع الميزات المهمة للرسم البياني.

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

يوضح المثال ref {calcisneededhere} أن إجراء الخطوات الست لا يمكن أن يخبرنا بكل شيء مهم عن التمثيل البياني للدالة الكسرية. بدون حساب التفاضل والتكامل ، نحتاج إلى استخدام آلات حاسبة الرسوم البيانية لدينا للكشف عن الألغاز الخفية لسلوك الدالة المنطقية. من خلال العمل مع زملائك في الفصل ، استخدم حاسبة بيانية لفحص الرسوم البيانية للوظائف المنطقية الواردة في التمارين ref {reasonneedcalcfirst} - ref {reasonneedcalclast}. قارن وقابل بين ميزاتها. ما الميزات التي يمكن أن تكشفها العملية المكونة من ست خطوات وأي الميزات لا يمكن اكتشافها؟

ابدأ {multicols} {4}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {1} {x ^ {2} + 1} $ vphantom {$ dfrac {2x ^ {3}} {2x ^ {2}} $} label {reasonneedcalcfirst}

item $ f (x) = dfrac {x} {x ^ {2} + 1} $ vphantom {$ dfrac {2x ^ {3}} {2x ^ {2}} $}

item $ f (x) = dfrac {x ^ {2}} {x ^ {2} + 1} $ vphantom {$ dfrac {2x ^ {3}} {2x ^ {2}} $}

item $ f (x) = dfrac {x ^ {3}} {x ^ {2} + 1} $ vphantom {$ dfrac {2x ^ {3}} {2x ^ {2}} $} تسمية {منطقية_تعليمية_الكلاست}

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

صفحة جديدة

القسم الفرعي {الإجابات}

ابدأ {تعداد}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {4} {x + 2} $

المجال: $ (- infty، -2) cup (-2، infty) $

لا $ x $-intercepts

$ y $ - التقاطع: $ (0، 2) $

الخط المقارب العمودي: $ x = -2 $

كـ $ x rightarrow -2 ^ {-}، ؛ f (x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow -2 ^ {+}، ؛ f (x) rightarrow infty $

خط مقارب أفقي: $ y = 0 $

كـ $ x rightarrow - infty، ؛ و (س) rightarrow 0 ^ {-} $

كـ $ x rightarrow infty، ؛ و (س) rightarrow 0 ^ {+} $

ابدأ {mfpic} [10] {- 8} {6} {- 6} {6}

سهم عكس سهم وظيفة {-8، -2.7،0.1} {4 / (س + 2)}

سهم عكس سهم وظيفة {-1.3،6،0.1} {4 / (س + 2)}

النقطة [3pt] {(0،2)}

متقطع متعدد الخطوط {(- 2، -6)، (-2،6)}

t التسمية [cc] (6، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،6) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-7 الخطوة 1 حتى 5}

ymarks {-5 الخطوة 1 حتى 5}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 7 hspace {7pt} $} -7، {$ -6 hspace {7pt} $} -6، {$ -5 hspace {7pt} $} -5، {$ -4 hspace {7pt} $} -4 ، {$ -3 hspace {7pt} $} -3 ، {$ -2 hspace {7pt} $} -2 ، {$ -1 hspace {7pt} $ } -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5}

axislabels {y} {{$ - 5 $} -5، {$ -4 $} -4، {$ -3 $} -3، {$ -2 $} -2، {$ -1 $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {5x} {6 - 2x} $

المجال: $ (- infty، 3) cup (3، infty) $

$ x $ - التقاطع: $ (0، 0) $

$ y $ - التقاطع: $ (0، 0) $

الخط المقارب العمودي: $ x = 3 $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {-}، ؛ f (x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {+}، ؛ f (x) rightarrow - infty $

خط مقارب أفقي: $ y = - frac {5} {2} $

كـ $ x rightarrow - infty، ؛ f (x) rightarrow - frac {5} {2} ^ {+} $

كـ $ x rightarrow infty، ؛ f (x) rightarrow - frac {5} {2} ^ {-} $

ابدأ {mfpic} [10] {- 4} {10} {- 8} {4}

سهم عكس سهم وظيفة {-4،1.8،0.1} {(5 * x) / (6 - (2 * x))}

سهم عكس سهم وظيفة {4.4،10،0.1} {(5 * x) / (6 - (2 * x))}

النقطة [3pt] {(0،0)}

متقطع متعدد الخطوط {(3، -8)، (3،4)}

متقطع متعدد الخطوط {(- 4، -2.5)، (10، -2.5)}

t التسمية [cc] (10، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،4) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-3 الخطوة 1 حتى 9}

ymarks {-7 الخطوة 1 حتى 3}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 3 hspace {7pt} $} -3 ، {$ -2 hspace {7pt} $} -2 ، {$ -1 hspace {7pt} $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5 ، {$ 6 $} 6 ، {$ 7 $} 7 ، {$ 8 $} 8 ، {$ 9 $} 9}

axislabels {y} {{$ - 7 $} -7، {$ -6 $} -6، {$ -5 $} -5، {$ -4 $} -4، {$ -3 $} -3 ، {$ -2 $} -2 ، {$ -1 $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {1} {x ^ {2}} $

المجال: $ (- infty، 0) cup (0، infty) $

لا $ x $ -intercepts

لا $ y $ -intercepts

الخط المقارب العمودي: $ x = 0 $

كـ $ x rightarrow 0 ^ {-}، ؛ f (x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow 0 ^ {+}، ؛ f (x) rightarrow infty $

خط مقارب أفقي: $ y = 0 $

كـ $ x rightarrow - infty، ؛ و (س) rightarrow 0 ^ {+} $

كـ $ x rightarrow infty، ؛ و (س) rightarrow 0 ^ {+} $

ابدأ {mfpic} [15] [20] {- 5} {5} {- 1} {6}

سهم عكس سهم وظيفة {-5، -0.42،0.1} {1 / (س ** 2)}

سهم عكس سهم وظيفة {0.42،5،0.1} {1 / (س ** 2)}

t التسمية [cc] (5، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،6) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-4 الخطوة 1 حتى 4}

ymarks {1 الخطوة 1 حتى 5}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 4 hspace {7pt} $} -4، {$ -3 hspace {7pt} $} -3، {$ -2 hspace {7pt} $} -2، {$ -1 hspace {7pt} $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

فاصل صفحة

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {1} {x ^ {2} + x - 12} = dfrac {1} {(x - 3) (x + 4)} $

المجال: $ (- infty، -4) cup (-4، 3) cup (3، infty) $

لا $ x $-intercepts

$ y $ -intercept: $ (0، - frac {1} {12}) $

الخطوط المقاربة العمودية: $ x = -4 $ و $ x = 3 $

كـ $ x rightarrow -4 ^ {-}، ؛ f (x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow -4 ^ {+}، ؛ f (x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {-}، ؛ f (x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {+}، ؛ f (x) rightarrow infty $

خط مقارب أفقي: $ y = 0 $

كـ $ x rightarrow - infty، ؛ و (س) rightarrow 0 ^ {+} $

كـ $ x rightarrow infty، ؛ و (س) rightarrow 0 ^ {+} $

البدء {mfpic} [13] [50] {- 7} {5} {- 1.5} {1.5}

arrow reverse arrow function {-6.5، -4.15،0.1} {1 / ((x ** 2) + x - 12)}

سهم عكس سهم وظيفة {-3.85، 2.85،0.1} {1 / ((س ** 2) + س - 12)}

سهم عكس سهم وظيفة {3.15،4.5،0.1} {1 / ((س ** 2) + س - 12)}

النقطة [3pt] {(0، -0.08333)}

متقطع متعدد الخطوط {(3، -1.5)، (3،1.5)}

متقطع متعدد الخطوط {(- 4، -1.5)، (-4،1.5)}

t التسمية [cc] (5، -0.1) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،1.5) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-6 الخطوة 1 حتى 4}

ymarks {-1 الخطوة 1 حتى 1}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 6 hspace {7pt} $} -6، {$ -5 hspace {7pt} $} -5، {$ -4 hspace {7pt} $} -4، {$ -3 hspace {7pt} $} -3 ، {$ -2 hspace {7pt} $} -2 ، {$ -1 hspace {7pt} $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4}

axislabels {y} {{$ - 1 $} -1 ، {$ 1 $} 1}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {2x - 1} {- 2x ^ {2} - 5x + 3} = - dfrac {2x - 1} {(2x - 1) (x + 3)} $

المجال: $ (- infty، -3) cup (-3، frac {1} {2}) cup ( frac {1} {2}، infty) $

لا $ x $-intercepts

$ y $ -intercept: $ (0، - frac {1} {3}) $

$ f (x) = dfrac {-1} {x + 3} ، ؛ x neq frac {1} {2} $

ثقب في الرسم البياني عند $ ( frac {1} {2}، - frac {2} {7}) $

الخط المقارب العمودي: $ x = -3 $

كـ $ x rightarrow -3 ^ {-}، ؛ f (x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow -3 ^ {+}، ؛ f (x) rightarrow - infty $

خط مقارب أفقي: $ y = 0 $

كـ $ x rightarrow - infty، ؛ و (س) rightarrow 0 ^ {+} $

كـ $ x rightarrow infty، ؛ و (س) rightarrow 0 ^ {-} $

ابدأ {mfpic} [15] [45] {- 8} {3} {- 2} {2}

سهم عكس سهم وظيفة {-8، -3.5،0.1} {- 1 / (س + 3)}

سهم عكس سهم وظيفة {-2.5،3،0.1} {- 1 / (س + 3)}

متقطع متعدد الخطوط {(- 3، -2)، (-3،2)}

gclear ellipse {(0.5، -0.2857)، 0.1،0.033}

القطع الناقص {(0.5، -0.2857)، 0.1،0.033}

النقطة [3pt] {(0، -0.333)}

t التسمية [cc] (3،0.1) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،2) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-7 الخطوة 1 حتى 2}

ymarks {-1،1}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 7 hspace {7pt} $} -7، {$ -6 hspace {7pt} $} -6، {$ -5 hspace {7pt} $} -5، {$ -4 hspace {7pt} $} -4 ، {$ -3 hspace {7pt} $} -3 ، {$ -2 hspace {7pt} $} -2 ، {$ -1 hspace {7pt} $ } -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2}

axislabels {y} {{$ - 1 $} -1 ، {$ 1 $} 1}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {x} {x ^ {2} + x - 12} = dfrac {x} {(x - 3) (x + 4)} $

المجال: $ (- infty، -4) cup (-4، 3) cup (3، infty) $

$ x $ - التقاطع: $ (0، 0) $

$ y $ - التقاطع: $ (0، 0) $

الخطوط المقاربة العمودية: $ x = -4 $ و $ x = 3 $

كـ $ x rightarrow -4 ^ {-}، ؛ f (x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow -4 ^ {+}، ؛ f (x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {-}، ؛ f (x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {+}، ؛ f (x) rightarrow infty $

خط مقارب أفقي: $ y = 0 $

كـ $ x rightarrow - infty، ؛ و (س) rightarrow 0 ^ {-} $

كـ $ x rightarrow infty، ؛ و (س) rightarrow 0 ^ {+} $

البدء {mfpic} [13] [50] {- 7} {6} {- 1.5} {1.5}

arrow reverse arrow function {-6.5، -4.4،0.1} {x / ((x ** 2) + x - 12)}

سهم عكس سهم وظيفة {-3.6، 2.72،0.1} {x / ((x ** 2) + x - 12)}

سهم عكس سهم وظيفة {3.35،5.5،0.1} {x / ((x ** 2) + x - 12)}

النقطة [3pt] {(0،0)}

متقطع متعدد الخطوط {(3، -1.5)، (3،1.5)}

متقطع متعدد الخطوط {(- 4، -1.5)، (-4،1.5)}

t التسمية [cc] (6، -0.1) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،1.5) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-6 الخطوة 1 حتى 5}

ymarks {-1 الخطوة 1 حتى 1}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 6 hspace {7pt} $} -6، {$ -5 hspace {7pt} $} -5، {$ -4 hspace {7pt} $} -4، {$ -3 hspace {7pt} $} -3 ، {$ -2 hspace {7pt} $} -2 ، {$ -1 hspace {7pt} $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5}

axislabels {y} {{$ - 1 $} -1 ، {$ 1 $} 1}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {4x} {x ^ {2} + 4} $

المجال: $ (- infty، infty) $

$ x $ - التقاطع $ (0،0) $

$ y $ - التقاطع: $ (0،0) $

لا توجد خطوط مقاربة عمودية

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب أفقي: $ y = 0 $

كـ $ x rightarrow - infty، f (x) rightarrow 0 ^ {-} $

كـ $ x rightarrow infty، f (x) rightarrow 0 ^ {+} $

ابدأ {mfpic} [10] [25] {- 8} {8} {- 2} {2}

سهم عكس سهم وظيفة {-8،8،0.1} {(4 * x) / ((x ** 2) +4)}

النقطة [3pt] {(0،0)}

t التسمية [cc] (8، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،2) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-7 الخطوة 1 حتى 7}

ymarks {-1 الخطوة 1 حتى 1}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 7 hspace {7pt} $} -7، {$ - 6 hspace {7pt} $} -6، {$ - 5 hspace {7pt} $} -5، {$ -4 hspace {7pt} $} -4 ، {$ -3 hspace {7pt} $} -3 ، {$ -2 hspace {7pt} $} -2 ، {$ -1 hspace {7pt} $ } -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5 ، {$ 6 $} 6 ، {$ 7 $} 7}

axislabels {y} {{$ - 1 $} -1 ، {$ 1 $} 1}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {4x} {x ^ {2} -4} = dfrac {4x} {(x + 2) (x - 2)} $

المجال: $ (- infty، -2) cup (-2، 2) cup (2، infty) $

$ x $ - التقاطع $ (0،0) $

$ y $ - التقاطع: $ (0،0) $

الخطوط المقاربة العمودية: $ x = -2 ، x = 2 $

كـ $ x rightarrow -2 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow -2 ^ {+}، f (x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow 2 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 2 ^ {+}، f (x) rightarrow infty $

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب أفقي: $ y = 0 $

كـ $ x rightarrow - infty، f (x) rightarrow 0 ^ {-} $

كـ $ x rightarrow infty، f (x) rightarrow 0 ^ {+} $

ابدأ {mfpic} [15] {- 6} {6} {- 6} {6}

arrow reverse arrow function {-6، -2.4،0.1} {(4 * x) / ((x ** 2) -4)}

arrow reverse arrow function {-1.64،1.64،0.1} {(4 * x) / ((x ** 2) -4)}

arrow reverse arrow function {-6، -2.4،0.1} {(4 * x) / ((x ** 2) -4)}

سهم عكس سهم وظيفة {2.4،6،0.1} {(4 * x) / ((x ** 2) -4)}

النقطة [3pt] {(0،0)}

متقطع متعدد الخطوط {(- 2، -6)، (-2،6)}

متقطع متعدد الخطوط {(2، -6)، (2،6)}

t التسمية [cc] (6، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،6) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-5 الخطوة 1 حتى 5}

ymarks {-5 الخطوة 1 حتى 5}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 5 hspace {7pt} $} -5، {$ -4 hspace {7pt} $} -4، {$ -3 hspace {7pt} $} -3، {$ -2 hspace {7pt} $} -2 ، {$ -1 hspace {7pt} $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5}

axislabels {y} {{$ - 5 $} -5، {$ -4 $} -4، {$ -3 $} -3، {$ -2 $} -2، {$ -1 $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {x ^ 2-x-12} {x ^ {2} + x - 6} = dfrac {x-4} {x - 2} ، x neq -3 $

المجال: $ (- infty، -3) cup (-3، 2) cup (2، infty) $

$ x $ - التقاطع: $ (4،0) $

$ y $ - التقاطع: $ (0،2) $

الخط المقارب العمودي: $ x = 2 $

كـ $ x rightarrow 2 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow 2 ^ {+}، f (x) rightarrow - infty $

ثقب عند $ left (-3، frac {7} {5} right) $

خط مقارب أفقي: $ y = 1 $

كـ $ x rightarrow - infty، f (x) rightarrow 1 ^ {+} $

كـ $ x rightarrow infty، f (x) rightarrow 1 ^ {-} $

ابدأ {mfpic} [15] {- 6} {6} {- 6} {6}

سهم عكس سهم وظيفة {-6،1.5،0.1} {(x-4) / (x-2)}

سهم عكس سهم وظيفة {2.333،6،0.1} {(x-4) / (x-2)}

النقطة [3pt] {(4،0)، (0،2)}

gclear Circle {(- 3،1.4)، 0.1}

دائرة {(- 3،1.4) ، 0.1}

متقطع متعدد الخطوط {(2، -6)، (2،6)}

متقطع متعدد الخطوط {(- 6،1)، (6،1)}

t التسمية [cc] (6، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،6) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-5 الخطوة 1 حتى 5}

ymarks {-5 الخطوة 1 حتى 5}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 5 hspace {7pt} $} -5، {$ -4 hspace {7pt} $} -4، {$ -3 hspace {7pt} $} -3، {$ -2 hspace {7pt} $} -2 ، {$ -1 hspace {7pt} $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5}

axislabels {y} {{$ - 5 $} -5، {$ -4 $} -4، {$ -3 $} -3، {$ -2 $} -2، {$ -1 $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

فاصل صفحة

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {3x ^ 2-5x-2} {x ^ {2} -9} = dfrac {(3x + 1) (x-2)} {(x + 3) (x - 3)} $

المجال: $ (- infty، -3) cup (-3، 3) cup (3، infty) $

$ x $ -intercepts: $ left (- frac {1} {3}، 0 right) $، $ (2،0) $

$ y $ -intercept: $ left (0، frac {2} {9} right) $

الخطوط المقاربة العمودية: $ x = -3 ، x = 3 $

كـ $ x rightarrow -3 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow -3 ^ {+}، f (x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {+}، f (x) rightarrow infty $

لا توجد ثقوب في الرسم البياني

خط مقارب أفقي: $ y = 3 $

كـ $ x rightarrow - infty، f (x) rightarrow 3 ^ {+} $

كـ $ x rightarrow infty، f (x) rightarrow 3 ^ {-} $

ابدأ {mfpic} [9] {- 10} {10} {- 10} {10}

سهم عكس سهم وظيفة {-10، -3.9،0.1} {(3 * (x ** 2) -5 * x-2) / ((x ** 2) -9)}

سهم عكس سهم وظيفة {-2.4،2.8،0.1} {(3 * (x ** 2) -5 * x-2) / ((x ** 2) -9)}

سهم عكس سهم وظيفة {3.2،10،0.1} {(3 * (x ** 2) -5 * x-2) / ((x ** 2) -9)}

النقطة [3pt] {(- 0.3333،0)، (2،0)، (0،0.2222)}

متقطع متعدد الخطوط {(3، -10)، (3،10)}

متقطع متعدد الخطوط {(- 3، -10)، (-3،10)}

متقطع متعدد الخطوط {(- 10،3) ، (10،3)}

t التسمية [cc] (10، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،10) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-9 الخطوة 1 حتى 9}

ymarks {-9 الخطوة 1 حتى 9}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 9 hspace {7pt} $} -9، {$ - 8 hspace {7pt} $} -8، {$ - 7 hspace {7pt} $} -7، {$ -7 hspace {7pt} $} -7 ، {$ - 6 hspace {7pt} $} -6 ، {$ - 5 hspace {7pt} $} -5 ، {$ -4 hspace {7pt} $ } -4 ، {$ -3 hspace {7pt} $} -3 ، {$ -2 hspace {7pt} $} -2 ، {$ -1 hspace {7pt} $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5 ، {$ 6 $} 6 ، {$ 7 $} 7 ، {$ 8 $} 8 ، {$ 9 $} 9}

axislabels {y} {{$ - 9 $} -9، {$ - 8 $} -8، {$ - 7 $} -7، {$ - 6 $} -6، {$ - 5 $} -5 ، {$ -4 $} -4 ، {$ -3 $} -3 ، {$ -2 $} -2 ، {$ -1 $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، { 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5 ، {$ 6 $} 6 ، {$ 7 $} 7 ، {$ 8 $} 8 ، {$ 9 $} 9}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {x ^ 2-x-6} {x + 1} = dfrac {(x-3) (x + 2)} {x + 1} $

المجال: $ (- infty، -1) cup (-1، infty) $

$ x $ - التداخلات: $ (- 2،0) $، $ (3،0) $

$ y $ - التقاطع: $ (0، -6) $

الخط المقارب العمودي: $ x = -1 $

كـ $ x rightarrow -1 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow -1 ^ {+} ، f (x) rightarrow - infty $

خط مقارب مائل: $ y = x-2 $

بما أن $ x rightarrow - infty $ ، فإن الرسم البياني أعلى من $ y = x-2 $

بما أن $ x rightarrow infty $ ، فإن الرسم البياني أقل من $ y = x-2 $

ابدأ {mfpic} [10] [8] {- 5} {5} {- 10} {10}

سهم عكس سهم وظيفة {-5، -1.3،0.1} {((x-3) * (x + 2)) / (x + 1)}

سهم عكس سهم وظيفة {-0.45،5،0.1} {((x-3) * (x + 2)) / (x + 1)}

متقطع دالة {-5،5،0.1} {x-2}

النقطة [3pt] {(0، -6)، (3،0)، (-2،0)}

متقطع متعدد الخطوط {(- 1، -10)، (-1،10)}

t التسمية [cc] (5، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،10) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-4 الخطوة 1 حتى 4}

ymarks {-9 الخطوة 1 حتى 9}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 4 hspace {7pt} $} -4، {$ -3 hspace {7pt} $} -3، {$ -2 hspace {7pt} $} -2، {$ -1 hspace {7pt} $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4}

axislabels {y} {{$ - 6 $} -6، {$ -4 $} -4، {$ -2 $} -2، {$ 2 $} 2، {$ 4 $} 4، {$ 6 $} 6 ، {$ 8 $} 8 ، {$ 9 $} 9 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 5 $} 5 ، {$ 7 $} 7}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {x ^ 2-x} {3-x} = dfrac {x (x-1)} {3-x} $

المجال: $ (- infty، 3) cup (3، infty) $

$ x $ - التداخلات: $ (0،0) $، $ (1،0) $

$ y $ - التقاطع: $ (0،0) $

الخط المقارب العمودي: $ x = 3 $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {+}، f (x) rightarrow - infty $

خط مقارب مائل: $ y = -x-2 $

بما أن $ x rightarrow - infty $ ، فإن الرسم البياني أعلى من $ y = -x-2 $

بما أن $ x rightarrow infty $ ، فإن الرسم البياني أقل من $ y = -x-2 $

ابدأ {mfpic} [8] [6] {- 9} {11} {- 20} {11}

سهم عكس سهم وظيفة {-9،2.6،0.1} {(x * (x-1)) / (3-x)}

سهم عكس سهم وظيفة {3.4،11،0.1} {(x * (x-1)) / (3-x)}

متقطع دالة {-9،11،0.1} {- x-2}

النقطة [3pt] {(0،0)، (1،0)}

متقطع متعدد الخطوط {(3، -20)، (3،11)}

t التسمية [cc] (11، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،11) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-8 الخطوة 1 حتى 9}

ymarks {-19 الخطوة 1 حتى 10}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 8 hspace {7pt} $} -8، {$ - 7 hspace {7pt} $} -7، {$ - 6 hspace {7pt} $} -6، {$ -5 hspace {7pt} $} -5 ، {$ - 4 hspace {7pt} $} -4 ، {$ -3 hspace {7pt} $} -3 ، {$ -2 hspace {7pt} $ } -2 ، {$ -1 hspace {7pt} $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5 ، {$ 6 $} 6 ، {$ 7 $} 7 ، {$ 8 $} 8 ، {$ 9 $} 9 ، {$ 10 $} 10}

axislabels {y} {{$ - 12 $} -12، {$ - 14 $} -14، {$ - 16 $} -16، {$ - 18 $} -18، {$ - 10 $} -10 ، {$ -8 $} -8 ، {$ -6 $} -6 ، {$ -4 $} -4 ، {$ -2 $} -2 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 4 $} 4 ، { 6 دولارات} 6 دولارات ، {8 دولارات} 8}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {x ^ 3 + 2x ^ 2 + x} {x ^ {2} -x-2} = dfrac {x (x + 1)} {x - 2} ، x neq -1 $

المجال: $ (- infty، -1) cup (-1، 2) cup (2، infty) $

$ x $ - التقاطع: $ (0،0) $

$ y $ - التقاطع: $ (0،0) $

الخط المقارب العمودي: $ x = 2 $

كـ $ x rightarrow 2 ^ {-}، f ​​(x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 2 ^ {+}، f (x) rightarrow infty $

الثقب عند $ (- 1،0) $

خط مقارب مائل: $ y = x + 3 $

بما أن $ x rightarrow - infty $ ، فإن الرسم البياني أقل من $ y = x + 3 $

نظرًا لأن $ x rightarrow infty $ ، فإن الرسم البياني أعلى من $ y = x + 3 $

ابدأ {mfpic} [8] [6] {- 10} {10} {- 11} {20}

سهم عكس سهم وظيفة {-10،1.6،0.1} {(x * (x + 1)) / (x-2)}

سهم عكس سهم وظيفة {2.4،10،0.1} {(x * (x + 1)) / (x-2)}

متقطع دالة {-10،10،0.1} {x + 3}

النقطة [3pt] {(0،0)}

متقطع متعدد الخطوط {(2، -11)، (2،20)}

t التسمية [cc] (10، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،20) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-9 الخطوة 1 حتى 9}

gclear ellipse {(- 1،0)، 0.2،0.27}

القطع الناقص {(- 1،0)، 0.2،0.27}

ymarks {-11 الخطوة 1 حتى 19}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 9 hspace {7pt} $} -9، {$ - 8 hspace {7pt} $} -8، {$ - 7 hspace {7pt} $} -7، {$ -6 hspace {7pt} $} -6 ، {$ - 5 hspace {7pt} $} -5 ، {$ - 4 hspace {7pt} $} -4 ، {$ -3 hspace {7pt} $ } -3 ، {$ -2 hspace {7pt} $} -2 ، {$ -1 hspace {7pt} $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5 ، {$ 6 $} 6 ، {$ 7 $} 7 ، {$ 8 $} 8 ، {$ 9 $} 9}

axislabels {y} {{$ - 10 $} -10، {$ -8 $} -8، {$ -6 $} -6، {$ -4 $} -4، {$ -2 $} -2 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 6 $} 6 ، {$ 8 $} 8 ، {$ 10 $} 10 ، {$ 12 $} 12 ، {$ 14 $} 14 ، {$ 16 $} 16 ، { 18 دولارًا أمريكيًا} 18} دولارًا

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {-x ^ {3} + 4x} {x ^ {2} - 9} $

المجال: $ (- infty، -3) cup (-3، 3) cup (3، infty) $

$ x $ - التداخلات: $ (- 2، 0)، (0، 0)، (2، 0) $

$ y $ - التقاطع: $ (0، 0) $

الخطوط المقاربة العمودية: $ x = -3 ، x = 3 $

كـ $ x rightarrow -3 ^ {-}، ؛ f (x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow -3 ^ {+}، ؛ f (x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {-}، ؛ f (x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow 3 ^ {+}، ؛ f (x) rightarrow - infty $

خط مقارب مائل: $ y = -x $

بما أن $ x rightarrow - infty $ ، فإن الرسم البياني أعلى من $ y = -x $

بما أن $ x rightarrow infty $ ، فإن الرسم البياني أقل من $ y = -x $

ابدأ {mfpic} [10] {- 7} {7} {- 8} {8}

سهم عكس سهم وظيفة {-7، -3.7،0.1} {((4 * x) - (x ** 3)) / ((x ** 2) - 9)}

سهم عكس سهم وظيفة {-2.76،2.76،0.1} {((4 * x) - (x ** 3)) / ((x ** 2) - 9)}

سهم عكس سهم وظيفة {3.7،7،0.1} {((4 * x) - (x ** 3)) / ((x ** 2) - 9)}

النقطة [3 نقطة] {(- 2،0)، (0،0)، (2، 0)}

متقطع متعدد الخطوط {(- 3، -8)، (-3،8)}

متقطع متعدد الخطوط {(3، -8)، (3،8)}

متقطع دالة {-7،7،0.1} {- x}

t التسمية [cc] (7، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،8) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-6 الخطوة 1 حتى 6}

ymarks {-7 الخطوة 1 حتى 7}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 6 hspace {7pt} $} -6، {$ -5 hspace {7pt} $} -5، {$ -4 hspace {7pt} $} -4، {$ -3 hspace {7pt} $} -3 ، {$ -2 hspace {7pt} $} -2 ، {$ -1 hspace {7pt} $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5 ، {$ 6 $} 6}

axislabels {y} {{$ - 7 $} -7، {$ -6 $} -6، {$ -5 $} -5، {$ -4 $} -4، {$ -3 $} -3 ، {$ -2 $} -2 ، {$ -1 $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5 ، { 6 دولارات} 6 دولارات ، {7 دولارات} 7}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {x ^ 3-2x ^ 2 + 3x} {2x ^ 2 + 2} $

المجال: $ (- infty، infty) $

$ x $ - التقاطع $ (0،0) $

$ y $ - التقاطع: $ (0،0) $

خط مقارب مائل: $ y = frac {1} {2} x-1 $

مثل $ x rightarrow - infty $ ، فإن الرسم البياني أقل من $ y = frac {1} {2} x-1 $

بما أن $ x rightarrow infty $ ، فإن الرسم البياني أعلى من $ y = frac {1} {2} x-1 $

ابدأ {mfpic} [15] {- 5} {5} {- 3} {3}

سهم عكس سهم وظيفة {-5،5،0.1} {(x * ((x ** 2) -2 * x + 3)) / (2 * (x ** 2) +2)}

متقطع متعدد الخطوط {(- 5، -3.5)، (5،1.5)}

t التسمية [cc] (5، -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5،3) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-4، -3، -2، -1،2،3،4}

ymarks {-2 الخطوة 1 حتى 2}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 4 hspace {7pt} $} -4، {$ -3 hspace {7pt} $} -3، {$ -2 hspace {7pt} $} -2، {$ -1 hspace {7pt} $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4}

axislabels {y} {{$ - 2 $} -2 ، {$ -1 $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

فاصل صفحة

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {x ^ {2} - 2x + 1} {x ^ {3} + x ^ {2} - 2x} $

المجال: $ (- infty، -2) cup (-2، 0) cup (0، 1) cup (1، infty) $

$ f (x) = dfrac {x - 1} {x (x + 2)} ، ؛ x neq 1 $

لا $ x $ -intercepts

لا $ y $ -intercepts

الخطوط المقاربة العمودية: $ x = -2 $ و $ x = 0 $

كـ $ x rightarrow -2 ^ {-}، ؛ f (x) rightarrow - infty $

كـ $ x rightarrow -2 ^ {+}، ؛ f (x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow 0 ^ {-}، ؛ f (x) rightarrow infty $

كـ $ x rightarrow 0 ^ {+}، ؛ f (x) rightarrow - infty $

ثقب في الرسم البياني عند $ (1، 0) $

خط مقارب أفقي: $ y = 0 $

كـ $ x rightarrow - infty، ؛ و (س) rightarrow 0 ^ {-} $

كـ $ x rightarrow infty، ؛ و (س) rightarrow 0 ^ {+} $

ابدأ {mfpic} [15] {- 6} {6} {- 6} {6}

سهم عكس سهم وظيفة {-6، -2.25،0.1} {(x-1) / ((x ** 2) + (2 * x))}

سهم عكس سهم وظيفة {-1.73، -0.1،0.1} {(x-1) / ((x ** 2) + (2 * x))}

سهم عكس سهم وظيفة {0.08،6،0.1} {(x-1) / ((x ** 2) + (2 * x))}

متقطع متعدد الخطوط {(- 2، -6)، (-2،6)}

t التسمية [cc] (6، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،6) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-5، -4، -3، -2، -1،2،3،4،5}

ymarks {-5 الخطوة 1 حتى 5}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 5 hspace {7pt} $} -5، {$ -4 hspace {7pt} $} -4، {$ -3 hspace {7pt} $} -3، {$ -2 hspace {7pt} $} -2 ، {$ -1 hspace {7pt} $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5}

axislabels {y} {{$ - 5 $} -5، {$ -4 $} -4، {$ -3 $} -3، {$ -2 $} -2، {$ -1 $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5}

مقياس عادى

gclear Circle {(1،0)، 0.1}

دائرة {(1،0) ، 0.1}

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ f (x) = dfrac {1} {x - 2} $

انقل الرسم البياني لـ $ y = dfrac {1} {x} $

إلى اليمين 2 وحدة.

ابدأ {mfpic} [18] {- 2} {6} {- 4} {4}

سهم عكس سهم وظيفة {-2،1.75،0.1} {1 / (x-2)}

سهم عكس سهم وظيفة {2.25،6،0.1} {1 / (x-2)}

النقطة [3pt] {(1، -1)، (3،1)}

متقطع متعدد الخطوط {(2، -4)، (2،4)}

t التسمية [cc] (6، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،4) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-1 الخطوة 1 حتى 5}

ymarks {-3 الخطوة 1 حتى 3}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 1 hspace {7pt} $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5}

axislabels {y} {{$ - 3 $} -3، {$ -2 $} -2، {$ -1 $} -1، {$ 1 $} 1، {$ 2 $} 2، {$ 3 $} 3 }

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ g (x) = 1 - dfrac {3} {x} $

مد الرسم البياني رأسيًا لـ $ y = dfrac {1} {x} $

بمعامل 3. ​​

عكس الرسم البياني لـ $ y = dfrac {3} {x} $

حول المحور $ x $.

انقل الرسم البياني لـ $ y = - dfrac {3} {x} $

ما يصل 1 وحدة.

ابدأ {mfpic} [10] {- 7} {7} {- 6} {8}

سهم عكس سهم وظيفة {-7، -0.45،0.1} {1 - (3 / س)}

سهم عكس سهم وظيفة {0.45،7،0.1} {1 - (3 / س)}

النقطة [3 نقطة] {(- 3،2)، (-1،4)، (1، -2)، (3،0)}

متقطع متعدد الخطوط {(- 7،1)، (7،1)}

t التسمية [cc] (7، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،8) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-6 الخطوة 1 حتى 6}

ymarks {-5 الخطوة 1 حتى 7}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 6 hspace {7pt} $} -6، {$ -5 hspace {7pt} $} -5، {$ -4 hspace {7pt} $} -4، {$ -3 hspace {7pt} $} -3 ، {$ -2 hspace {7pt} $} -2 ، {$ -1 hspace {7pt} $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5 ، {$ 6 $} 6}

axislabels {y} {{$ - 5 $} -5، {$ -4 $} -4، {$ -3 $} -3، {$ -2 $} -2، {$ -1 $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5 ، {$ 6 $} 6 ، {$ 7 $} 7}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

فاصل صفحة

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ h (x) = dfrac {-2x + 1} {x} = -2 + dfrac {1} {x} $

انقل الرسم البياني لـ $ y = dfrac {1} {x} $

أسفل 2 وحدة.

ابدأ {mfpic} [18] {- 4} {4} {- 6} {2}

سهم عكس سهم وظيفة {-4، -0.25،0.1} {(1 / س) -2}

سهم عكس سهم وظيفة {0.25،4،0.1} {(1 / x) -2}

النقطة [3pt] {(1، -1)، (-1، -3)}

متقطع متعدد الخطوط {(- 4، -2)، (4، -2)}

t التسمية [cc] (4، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (- 0.5،2) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-3 الخطوة 1 حتى 3}

ymarks {-5 الخطوة 1 حتى 1}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 3 hspace {7pt} $} -3، {$ -2 hspace {7pt} $} -2، {$ -1 hspace {7pt} $} -1، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3}

axislabels {y} {{$ - 5 $} -5، {$ -4 $} -4، {$ -3 $} -3، {$ -2 $} -2، {$ -1 $} -1 ، {$ 1 $} 1}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

عنصر start {multicols} {2} raggedcolumns

$ j (x) = dfrac {3x - 7} {x - 2} = 3 - dfrac {1} {x - 2} $

انقل الرسم البياني لـ $ y = dfrac {1} {x} $

إلى اليمين 2 وحدة.

عكس الرسم البياني لـ $ y = dfrac {1} {x - 2} $

حول المحور $ x $.

انقل الرسم البياني لـ $ y = - dfrac {1} {x - 2} $

ما يصل 3 وحدات.

ابدأ {mfpic} [15] {- 4} {6} {- 2} {8}

سهم عكس سهم وظيفة {-4،1.8،0.1} {3 - (1 / (س - 2))}

سهم عكس سهم وظيفة {2.2،6،0.1} {3 - (1 / (س - 2))}

النقطة [3pt] {(3،2)، (1،4)}

متقطع متعدد الخطوط {(- 4،3)، (6،3)}

متقطع متعدد الخطوط {(2، -2)، (2،8)}

t التسمية [cc] (6، -0.5) { scriptsize $ x $}

t التسمية [cc] (0.5،8) { scriptsize $ y $}

محاور

xmarks {-3 الخطوة 1 حتى 5}

ymarks {-1 الخطوة 1 حتى 7}

صغير الحجم

t نقطة الخطوة {4pt}

axislabels {x} {{$ - 3 hspace {7pt} $} -3، {$ -2 hspace {7pt} $} -2، {$ -1 hspace {7pt} $} -1، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5}

axislabels {y} {{$ - 1 $} -1 ، {$ 1 $} 1 ، {$ 2 $} 2 ، {$ 3 $} 3 ، {$ 4 $} 4 ، {$ 5 $} 5 ، {$ 6 $} 6 ، {$ 7 $} 7}

مقياس عادى

نهاية {mfpic}

نهاية {multicols}

نهاية {تعداد}

كلوسجرافسلفيل

4.3: المتباينات العقلانية والتطبيقات

القسم الفرعي {التمارين}

في التمارين المرجع {ratleqnexercisefirst} - المرجع {ratleqnexerciselast} ، حل المعادلة المنطقية. تأكد من البحث عن حلول دخيلة.

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

item $ dfrac {x} {5x + 4} = 3 $ label {ratleqnexercisefirst}

item $ dfrac {3x - 1} {x ^ {2} + 1} = 1 دولار

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ dfrac {1} {x + 3} + dfrac {1} {x - 3} = dfrac {x ^ {2} - 3} {x ^ {2} - 9} $

item $ dfrac {2x + 17} {x + 1} = x + 5 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ dfrac {x ^ {2} - 2x + 1} {x ^ {3} + x ^ {2} - 2x} = 1 $

item $ dfrac {-x ^ {3} + 4x} {x ^ {2} - 9} = 4x $ label {ratleqnexerciselast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

في التمارين المرجع {ratlineqexercisefirst} - ref {ratlineqexerciselast} ، حل المتباينة المنطقية. عبر عن إجابتك باستخدام تدوين الفترة.

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ dfrac {1} {x + 2} geq 0 $ label {ratlineqexercisefirst}

item $ dfrac {x - 3} {x + 2} leq 0 $

item $ dfrac {x} {x ^ {2} - 1}> 0 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ dfrac {4x} {x ^ 2 + 4} geq 0 $

item $ dfrac {x ^ 2-x-12} {x ^ 2 + x-6}> 0 $

item $ dfrac {3x ^ 2-5x-2} {x ^ 2-9} <0 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ dfrac {x ^ 3 + 2x ^ 2 + x} {x ^ 2-x-2} geq 0 $

item $ dfrac {x ^ {2} + 5x + 6} {x ^ {2} - 1}> 0 $

item $ dfrac {3x - 1} {x ^ {2} + 1} leq 1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ dfrac {2x + 17} {x + 1}> x + 5 $

item $ dfrac {-x ^ {3} + 4x} {x ^ {2} - 9} geq 4x $

item $ dfrac {1} {x ^ {2} + 1} <0 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ dfrac {x ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2-2x-15} {x ^ 3-4x ^ 2} geq x $

item $ dfrac {5x ^ 3-12x ^ 2 + 9x + 10} {x ^ 2-1} geq 3x-1 $ label {ratlineqexerciselast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

العنصر كارل ومايك يبدأان سباق 3 أميال في نفس الوقت. إذا ركض مايك السباق بسرعة 6 أميال في الساعة وأنهى السباق قبل كارل بعشر دقائق ، فما سرعة تشغيل كارل؟

عنصر في أحد الأيام ، لاحظ دوني أن الرياح تهب بسرعة 6 أميال في الساعة. طائر السنونو الذي يعشش بالقرب من منزل دوني يطير ثلاثة أرباع ميل على الطريق (في اتجاه الريح) ، ويستدير ، ويعود بعد 4 دقائق بالضبط. ما هي السرعة الجوية للابتلاع غير المحمل؟ (هنا ، السرعة الجوية هي السرعة التي يمكن أن يطير بها السنونو في الهواء الساكن).

عنصر لإزالة المياه من الطابق السفلي المغمور ، يتم استخدام مضختين ، كل منهما 40 جالون في الدقيقة. بعد نصف ساعة ، تحترق المضخة الواحدة ، وتنتهي المضخة الثانية من إزالة الماء بعد نصف ساعة. كم جالونًا من الماء تمت إزالته من الطابق السفلي؟

عنصر يمكن للصنبور ملء الحوض في 5 دقائق بينما سيفرغ الصرف نفس الحوض في 8 دقائق. إذا تم تشغيل الصنبور وترك المصرف مفتوحًا ، فكم من الوقت سيستغرق لملء الحوض؟

item يعمل دانيال ودوني معًا على تنظيف قلم اللاما في 45 دقيقة. يستطيع دانيال تنظيف القلم بمفرده في غضون ساعة. كم من الوقت يستغرق دوني لتنظيف قلم اللاما بمفرده؟

item In Exercise ref {newportaboycost} ، تم استخدام الوظيفة $ C (x) = .03x ^ {3} - 4.5x ^ {2} + 225x + 250 $ ، مقابل $ x geq 0 $ لنمذجة التكلفة (بالدولار) لإنتاج أنظمة ألعاب PortaBoy بالدولار × دولار. باستخدام دالة التكلفة هذه ، ابحث عن عدد PortaBoys التي يجب إنتاجها لتقليل متوسط ​​التكلفة $ overline {C} $. قرب إجابتك لأقرب عدد من الأنظمة.

item افترض أننا في نفس الموقف مثل مثال المرجع {boxnotopfixedvolume}. إذا كان حجم الصندوق هو 500 دولار أمريكي سنتيمتر مكعب ، فاستخدم الآلة الحاسبة للعثور على أبعاد الصندوق التي تقلل مساحة السطح. ما هو الحد الأدنى من مساحة السطح؟ قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

item يجب أن يكون حجم الصندوق الخاص بحبوب Sasquatch الجديد ، "Crypt-Os" ، 140 دولارًا أمريكيًا بوصة مكعبة. لأسباب جمالية ، يجب أن يكون ارتفاع الصندوق 1.62 دولارًا أمريكيًا ضعف عرض قاعدة الصندوق. الحاشية السفلية {1.62 هي تقدير تقريبي لما يسمى بـ "النسبة الذهبية" $ phi = frac {1 + sqrt {5}} {2} $.} ابحث عن أبعاد الصندوق التي ستقلل من مساحة سطح الصندوق. ما هو الحد الأدنى من مساحة السطح؟ قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

item label {fixedareaminperimetergarden} سالي هي جارة Skippy من التمرين المرجع {fixedperimetermaxareagarden} في القسم المرجع {QuadraticFunctions}. تريد سالي أيضًا أن تزرع حديقة نباتية بجانب منزلها. ليس لديها أي سياج ، لكنها تريد إبقاء مساحة الحديقة 100 قدم مربع. ما هي أبعاد الحديقة التي ستقلل من كمية السياج التي تحتاج إلى شرائها؟ ما هو الحد الأدنى لمبلغ السياج الذي تحتاجه لشرائه؟ قرِّب إجاباتك لأقرب قدم. (ملاحظة: نظرًا لأن جانبًا واحدًا من الحديقة سيحد المنزل ، فإن سالي لا تحتاج إلى سياج على طول هذا الجانب.)

item مشكلة كلاسيكية أخرى: العلبة مصنوعة على شكل أسطوانة دائرية قائمة وتتسع نصف لتر. (بالنسبة للسلع الجافة ، نصف لتر واحد يساوي $ 33.6 $ بوصة مكعبة.) حاشية سفلية {وفقًا لـ href {Dictionary.reference.com/brow ... ctionary.com}} ، هناك قيم مختلفة معطاة لهذا التحويل. سنبقى مع $ 33.6 mbox {in} ^ {3} $ لهذه المشكلة.}

ابدأ {تعداد}

item ابحث عن تعبير للحجم $ V $ للعلبة من حيث الارتفاع $ h $ ونصف قطر القاعدة $ r $.

item ابحث عن تعبير لمساحة السطح $ S $ للعلبة بدلالة الارتفاع $ h $ ونصف قطر القاعدة $ r $. (تلميح: الجزء العلوي والسفلي من العلبة عبارة عن دوائر نصف قطرها $ r $ وجانب العلبة هو في الحقيقة مجرد مستطيل منحني في أسطوانة.)

item باستخدام حقيقة أن $ V = 33.6 $ ، اكتب $ S $ كدالة لـ $ r $ وحدد المجال المطبق.

عنصر استخدم الآلة الحاسبة الخاصة بالرسوم البيانية للعثور على أبعاد العلبة ذات مساحة سطح صغيرة.

نهاية {تعداد}

الصنف: الأسطوانة الأسطوانية اليمنى تستوعب 7.35 قدم مكعب من السائل. ابحث عن أبعاد (نصف قطر القاعدة والارتفاع) للأسطوانة التي من شأنها تقليل مساحة السطح. ما هو الحد الأدنى من مساحة السطح؟ قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

item In Exercise ref {Sasquatchfunc1} في القسم المرجع {FunctionNotation} ، تم نمذجة تعداد سكان Sasquatch في Portage County بالدالة $ P (t) = frac {150t} {t + 15} $ ، حيث $ t = 0 $ تمثل العام 1803. متى كان هناك أقل من 100 Sasquatch في Portage County؟

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

في التمارين ref {varexercisefirst} - ref {varexerciselast} ، ترجم ما يلي إلى معادلات رياضية.

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

عنصر عند ضغط ثابت ، درجة حرارة $ T $ للغاز المثالي تتناسب طرديًا مع حجمه $ V $. (هذا href {en.Wikipedia.org/wiki/Charles ... line {Charles's Law}}) index {Charles's Law} label {varexercisefirst}

عنصر تردد الموجة $ f $ يتناسب عكسيا مع الطول الموجي للموجة $ lambda $.

عنصر كثافة المادة $ d $ تتناسب طرديًا مع كتلة الكائن $ m $ وتتناسب عكسًا مع حجمها $ V $.

عنصر مربع الدورة المدارية لكوكب $ P $ يتناسب طرديًا مع مكعب المحور شبه الرئيسي لمدار الكوكب $ a $. (هذا href {en.Wikipedia.org/wiki/Kepler} ... rline {قانون كبلر الثالث لحركة الكواكب}}) الفهرس {قانون كيبلر الثالث لحركة الكواكب}

عنصر سحب كائن يمر عبر مائع $ D $ يختلف بشكل مشترك مع كثافة السائل $ rho $ ومربع سرعة الكائن $ nu $.

عنصر افترض أن شحنتين من النقاط الكهربائية ، إحداهما بتكلفة $ q $ والأخرى بتكلفة $ Q $ ، تم وضعها على حدة $ r $ للوحدات. تختلف القوة الكهروستاتيكية التي تمارس على الشحنات بشكل مباشر مع حاصل ضرب الشحنتين وعكسًا مع مربع المسافة بين الشحنتين. (هذا href {en.Wikipedia.org/wiki/Electro ... line {Coulomb's Law}}) index {Coulomb's Law} label {varexerciselast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item وفقًا لـ href {en.Wikipedia.org/wiki/Vibrati ... underline {this webpage}} ، يتم إعطاء التردد $ f $ لسلسلة مهتزة بواسطة $ f = dfrac {1} {2L} sqrt { dfrac {T} { mu}} $ حيث $ T $ هو التوتر ، $ mu $ الكتلة الخطية الحاشية السفلية {تُعرف أيضًا بالكثافة الخطية. إنه ببساطة مقياس للكتلة لكل وحدة طول} من الوتر و $ L $ هو طول الجزء المهتز من الخيط. عبر عن هذه العلاقة باستخدام لغة الاختلاف.

item وفقًا لمراكز السيطرة على الأمراض والوقاية منها href {http://www.cdc.gov} { underline {www.cdc.gov}} ، يتناسب مؤشر كتلة جسم الشخص $ B $ بشكل مباشر مع وزنه $ W $ بالجنيه ويتناسب عكسياً مع مربع ارتفاعه $ h $ بالبوصة. الفهرس {مؤشر كتلة الجسم ، مؤشر كتلة الجسم}

ابدأ {تعداد}

عنصر التعبير عن هذه العلاقة كمعادلة رياضية. التسمية {BMIfirst}

عنصر إذا كان الشخص الذي كان يبلغ 5 دولارات للأقدام وطوله 10 دولارات ووزنه 235 رطلاً وكان مؤشر كتلة الجسم فيه 33.7 فما قيمة ثابت التناسب؟ التسمية {BMIsecond}

item أعد كتابة المعادلة الرياضية الموجودة في الجزء المرجع {BMIfirst} لتشمل قيمة الثابت الموجود في الجزء المرجع {BMIsecond} ثم ابحث عن مؤشر كتلة الجسم.

نهاية {تعداد}

item نحن نعلم أن محيط الدائرة يختلف بشكل مباشر مع نصف قطرها حيث يكون $ 2 pi $ ثابت التناسب. (أي أننا نعلم أن $ C = 2 pi r. $) بمساعدة زملائك في الفصل ، قم بتجميع قائمة بالعلاقات الهندسية الأساسية الأخرى التي يمكن اعتبارها اختلافات.

نهاية {تعداد}

صفحة جديدة

القسم الفرعي {الإجابات}

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

item $ x = - frac {6} {7} $

العنصر $ x = 1 ، ؛ س = 2 دولار

العنصر $ x = -1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

العنصر $ x = -6 ، ؛ س = 2 دولار

البند لا يوجد حل

العنصر $ x = 0 ، ؛ x = pm 2 sqrt {2} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

عنصر $ (- 2، infty) $

عنصر $ (- 2، 3] $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

عنصر $ (- 1، 0) كوب (1، infty) $

عنصر $ [0، infty) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

عنصر $ (- infty، -3) كوب (-3،2) كوب (4، infty) $

item $ left (-3، - frac {1} {3} right) cup (2،3) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

عنصر $ (- 1،0] كوب (2، infty) $

عنصر $ (- infty، -3) كوب (-2، -1) كوب (1، infty) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

عنصر $ (- infty، 1] cup [2، infty) $

عنصر $ (- infty، -6) كوب (-1، 2) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (- infty، -3) cup left [-2 sqrt {2}، 0 right] cup left [2 sqrt {2}، 3 right) $

البند لا يوجد حل

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

عنصر $ [- 3،0) كوب (0،4) كوب [5، infty) $

item $ left (-1، - frac {1} {2} right] cup (1، infty) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

البند 4.5 ميلا في الساعة

البند 24 ميلا في الساعة

الصنف 3600 جالون

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ frac {40} {3} حوالي 13.33 دولارًا دقيقة

البند 3 ساعات

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item الحد الأدنى المطلق $ y = overline {C} (x) $ يحدث عند $ almost (75.73، 59.57) $. نظرًا لأن $ x $ يمثل عدد أنظمة الألعاب ، فإننا نتحقق من $ overline {C} (75) حوالي 59.58 $ و $ overline {C} (76) حوالي 59.57 $. وبالتالي ، لتقليل متوسط ​​التكلفة ، يجب إنتاج أنظمة بقيمة 76 دولارًا بمتوسط ​​تكلفة يبلغ 59.57 دولارًا لكل نظام.

item يجب أن يكون العرض (والعمق) 10.00 دولارات للسنتيمتر ، والارتفاع 5.00 دولارات للسنتيمتر. الحد الأدنى لمساحة السطح هو 300.00 دولارًا للسنتيمتر المربع.

عنصر يجب أن يكون عرض قاعدة الصندوق $ حوالي 4.12 $ بوصة ، ويجب أن يكون ارتفاع الصندوق $ حوالي 6.67 $ بوصة ، وعمق قاعدة الصندوق يجب أن يكون $ حوالي 5.09 $ بوصة ؛ الحد الأدنى لمساحة السطح دولار تقريبا 164.91 $ بوصة مربعة.

عنصر الأبعاد $ حوالي 7 $ قدم في $ حوالي 14 $ قدم؛ الحد الأدنى المطلوب من السياج $ حوالي 28 $ قدم.

العنصر

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

item $ V = pi r ^ {2} h $

عنصر $ S = 2 pi r ^ {2} + 2 pi r h $

setcounter {HWindent} { القيمة {enumii}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {2}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumii} { value {HWindent}}

item $ S (r) = 2 pi r ^ {2} + frac {67.2} {r}، ؛ $ المجال $ r> 0 $

عنصر $ r حوالي 1.749 ، $ في. و $ h حوالي 3.498 ، $ in.

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

عنصر يجب أن يكون نصف قطر الأسطوانة $ حوالي 1.05 $ قدم وارتفاع الأسطوانة يجب أن يكون $ حوالي 2.12 $ قدم. الحد الأدنى لمساحة الأسطوانة هو $ حوالي 20.93 $ قدم مكعب.

item $ P (t) <100 $ on $ (- 15، 30) $ ، والجزء الذي يقع في المجال المطبق هو $ [0،30) $. نظرًا لأن $ t = 0 $ يتوافق مع العام 1803 ، من 1803 حتى نهاية عام 1832 ، كان هناك أقل من 100 Sasquatch في مقاطعة Portage.

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

العنصر $ T = k V $

item hspace {-. 1in} footnote {الحرف $ lambda $ هو الحرف اليوناني الصغير "lambda."} $ f = dfrac {k} { lambda} $

item $ d = dfrac {k m} {V} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

عنصر $ P ^ 2 = k a ^ 3 $

عنصر hspace {-. 1in} حاشية سفلية {الأحرف $ rho $ و $ nu $ هي الأحرف اليونانية الصغيرة "rho" و "nu" على التوالي.} $ D = k rho nu ^ 2 $

item hspace {-. 1in} footnote {لاحظ التشابه بين هذه الصيغة وقانون نيوتن للجاذبية العالمية كما تمت مناقشته في المثال المرجع {gravitylaw}.} $ F = dfrac {kqQ} {r ^ 2} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

ابدأ {تعداد}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item إعادة كتابة $ f = dfrac {1} {2L} sqrt { dfrac {T} { mu}} $ as $ f = dfrac { frac {1} {2} sqrt {T}} { L sqrt { mu}} $ نرى أن التردد $ f $ يختلف بشكل مباشر مع الجذر التربيعي للشد ويختلف عكسيًا مع الطول والجذر التربيعي للكتلة الخطية.

عنصر ابدأ {multicols} {3}

ابدأ {تعداد}

item $ B = dfrac {kW} {h ^ {2}} $

item hspace {-. 1in} حاشية سفلية {CDC يستخدم 703.} $ k = 702.68 $

item $ B = dfrac {702.68W} {h ^ {2}} $

نهاية {تعداد}

نهاية {multicols}

نهاية {تعداد}

كلوسجرافسلفيل


المصادر المفتوحة لكلية الجبر في المجتمع

نفتح هذا القسم بالنظر إلى المثال 12.3.2. جوليا تأخذ عائلتها في رحلة بالقارب (12 ) ميلاً أسفل النهر والعودة. يتدفق النهر بسرعة (2 ) ميل في الساعة وتريد قيادة القارب بسرعة ثابتة ، (v ) ميل في الساعة باتجاه مجرى النهر والعودة إلى المنبع. نظرًا لتيار النهر ، فإن السرعة الفعلية للسفر هي (v + 2 ) ميل في الساعة في اتجاه مجرى النهر ، و (v-2 ) ميلًا في الساعة في اتجاه التيار. إذا كانت جوليا تخطط لقضاء (8 ) ساعات طوال الرحلة ، فما السرعة التي يجب أن تقود بها القارب؟

الوقت الذي تستغرقه جوليا لقيادة القارب باتجاه مجرى النهر هو ( frac <12>) ساعات ، والمصدر هو ( frac <12>) ساعات. وظيفة نمذجة وقت الرحلة بأكملها هي

حيث (t ) تعني الوقت بالساعات. ستستغرق الرحلة (8 ) ساعات ، لذلك نريد (t (v) ) أن يساوي (8 text <،> ) ولدينا:

بدلًا من استخدام التمثيل البياني للدالة ، سنحل هذه المعادلة جبريًا. قد ترغب في مراجعة أسلوب إزالة القواسم التي تمت مناقشتها في القسم الفرعي 2.3.2. يمكننا استخدام نفس الأسلوب مع التعبيرات المتغيرة في المقامات. لإزالة الكسور في هذه المعادلة ، سنضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك الأصغر ((v-2) (v + 2) text <،> ) ولدينا:

ملاحظة 12.5.2.

في هذه المرحلة ، كل ما نعرفه منطقيًا هو أن الشيء الوحيد ممكن الحلول هي (- 1 ) و (4 نص <.> ) نظرًا للخطوة التي تم فيها إلغاء العوامل ، فمن المحتمل ألا تكون هذه في الواقع حلولًا للمعادلة الأصلية. قد يكون كل منهم ما يسمى. الحل الخارجي هو الرقم الذي يبدو أنه حل يعتمد على عملية الحل ، ولكنه في الواقع لا يجعل المعادلة الأصلية صحيحة. لهذا السبب ، من المهم فحص هذه الحلول المقترحة. لاحظ أننا لا نتحقق لمعرفة ما إذا كنا قد ارتكبنا خطأ في الحساب ، ولكننا بدلاً من ذلك نتحقق لمعرفة ما إذا كانت الحلول المقترحة تحل بالفعل المعادلة الأصلية.

جبريًا ، يتم التحقق من كلا القيمتين لتكونا حلين. في سياق هذا السيناريو ، لا يمكن أن تكون سرعة القارب سالبة ، لذلك نحن نأخذ الحل فقط (4 نص <.> ) إذا كانت جوليا تقود بسرعة (4 ) ميلاً في الساعة ، فستستغرق الرحلة بأكملها (8 ساعات. هذه النتيجة تطابق الحل في المثال 12.3.2.

التعريف 12.5.3. معادلة عقلانية.

المعادلة المنطقية هي معادلة تتضمن تعبيرًا منطقيًا واحدًا أو أكثر. عادة ، نعتبر هذه معادلات لها متغير في مقامها لمصطلح واحد على الأقل.

لنلقِ نظرة على مشكلة التطبيق الأخرى.

مثال 12.5.4.

يستغرق طلاء الغرفة كو (3 ) ساعات ويستغرق جاكوب (6 ) ساعات لطلاء نفس الغرفة. إذا عملوا معًا ، فكم من الوقت سيستغرقون لطلاء الغرفة؟

نظرًا لأن طلاء الغرفة يستغرق Ku (3 ) ساعات ، فإنه يرسم ( frac <1> <3> ) من الغرفة كل ساعة. وبالمثل ، يرسم جاكوب ( frac <1> <6> ) من الغرفة كل ساعة. إذا عملوا معًا ، فإنهم يرسمون ( frac <1> <3> + frac <1> <6> ) من الغرفة كل ساعة.

افترض أن طلاء الغرفة يستغرق (س ) ساعات إذا عمل كو وجاكوب معًا. هذا يعني أنهم يرسمون ( frac <1>) من الغرفة معًا كل ساعة. الآن يمكننا كتابة هذه المعادلة:

لإزالة القواسم ، نضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك (3 text <،> ) (6 ) و (x text <،> ) وهو (6x text <:> )

هل الحل الممكن (س = 2 ) يفحص كحل فعلي؟

إنه كذلك ، لذا فهو حل. إذا عمل Ku و Jacob معًا ، فسيستغرق طلاء الغرفة (2 ) ساعة.

نحن على استعداد لتحديد الخطوط العريضة لعملية عامة لحل معادلة عقلانية.

العملية 12.5.5. حل المعادلات المنطقية.

لحل معادلة عقلانية ،

أوجد المقام المشترك الأصغر لجميع حدود المعادلة.

تتضاعف كل مصطلح في المعادلة بالقاسم المشترك الأصغر

يجب أن يُلغى كل مقام تاركًا نوعًا أبسط من المعادلة لحلها. استخدم الطريقة السابقة لحل تلك المعادلة.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة الأخرى لحل المعادلات المنطقية.

مثال 12.5.6.

المقام المشترك هو (y (y + 1) text <.> ) سنضرب طرفي المعادلة في (y (y + 1) text <:> )

هل الحل المحتمل (y = -3 ) يفحصه كحل فعلي؟

يتحقق ، لذلك (- 3 ) هو الحل. نكتب مجموعة الحلول كـ ( <- 3 > نص <.> )

مثال 12.5.7.

المقام المشترك هو (z-4 text <.> ) سنضرب طرفي المعادلة في (z-4 text <:> )

هل الحلول الممكنة (z = 1 ) و (z = 4 ) تحقق من الحلول الفعلية؟

الحل المحتمل (z = 4 ) لا يعمل بالفعل ، لأنه يؤدي إلى القسمة على (0 ) في المعادلة. إنه حل غريب. ومع ذلك ، (z = 1 ) هو حل صالح. الحل الوحيد للمعادلة هو (1 نص <،> ) وبالتالي يمكننا كتابة مجموعة الحل كـ ( <1 > نص <.> )

مثال 12.5.8.

لإيجاد المقام المشترك ، علينا تحليل جميع القواسم إذا أمكن:

الآن يمكننا أن نرى أن المقام المشترك هو ((p + 2) (p-2) text <.> ) سنقوم بضرب طرفي المعادلة في ((p + 2) (p-2) text <:> )

هل الحل الممكن (ع = 2 ) يفحص كحل فعلي؟

الحل المحتمل (p = 2 ) لا يعمل بالفعل ، لأنه يؤدي إلى القسمة على (0 ) في المعادلة. إذن هذا حل غريب ، ولا يوجد حل للمعادلة في الواقع. يمكننا القول أن مجموعة الحلول الخاصة بها هي المجموعة الفارغة ، ( emptyset text <.> )

مثال 12.5.9.

حل (C (t) = 0.35 نص <،> ) حيث (C (t) = frac <3t>) يعطي تركيز الدواء بالمليجرام لكل لتر (t ) ساعات منذ الحقن. (تم استكشاف هذه الوظيفة في مقدمة القسم 12.1.)

لحل (C (t) = 0.35 text <،> ) سنبدأ بإعداد ( frac <3t>= 0.35 نص <.> ) سنبدأ بتحديد أن شاشة LCD هي (t ^ 2 + 8 text <،> ) ونضرب كل جانب من جوانب المعادلة في هذا:

ينتج عن هذا معادلة من الدرجة الثانية ، لذلك سنضعها في الشكل القياسي ونستخدم الصيغة التربيعية:

يجب التحقق من كل من هذه الإجابات في المعادلة الأصلية التي يعمل بها كلاهما. في السياق ، هذا يعني أن تركيز الدواء سيصل (0.35 ) ملليغرام لكل لتر حوالي (1.066 ) ساعة بعد إعطاء الحقنة ، ومرة ​​أخرى (7.506 ) ساعات بعد إعطاء الحقنة.

القسم الفرعي 12.5.2 حل المعادلات المنطقية لمتغير معين

يمكن أن تحتوي المعادلات النسبية على العديد من المتغيرات والثوابت ويمكننا حل أي منها. لا تزال عملية الحل تتضمن ضرب كل جانب من جوانب المعادلة في شاشة LCD. بدلًا من الحصول على إجابة عددية ، ستحتوي النتيجة النهائية على متغيرات وثوابت أخرى.

مثال 12.5.10.

في الفيزياء ، عندما يتم توصيل مقاومين ، (R_1 ) و (R_2 text <،> ) في دائرة متوازية ، يمكن حساب المقاومة المجمعة ، (R text <،> ) من خلال الصيغة

حل من أجل (R ) في هذه الصيغة.

المقام المشترك هو (R R_1 R_2 text <.> ) سنضرب طرفي المعادلة في (R R_1 R_2 text <:> )

مثال 12.5.11.

ها هي صيغة الميل

حل من أجل (x_1 ) في هذه الصيغة.

المقام المشترك هو (x_2-x_1 text <.> ) سنضرب طرفي المعادلة في (x_2-x_1 text <:> )

مثال 12.5.12.

حل المعادلة المنطقية (x = frac <4y-1> <2y-3> ) من أجل (y text <.> )

ستكون خطوتنا الأولى هي ضرب كل جانب في شاشة LCD ، وهي ببساطة (2y-3 text <.> ) بعد ذلك ، سنعزل جميع المصطلحات التي تحتوي على (y text <،> ). (y text <،> ) ثم انتهي من حل هذا المتغير.

القسم الفرعي 12.5.3 حل المعادلات المنطقية باستخدام التكنولوجيا

في بعض الحالات ، قد يكون من الصعب حل المعادلات المنطقية جبريًا. يمكننا بدلاً من ذلك استخدام تقنية الرسوم البيانية للحصول على حلول تقريبية. لنلقِ نظرة على أحد الأمثلة.

مثال 12.5.13.

حل المعادلة ( frac <2>= فارك<8> ) باستخدام تقنية الرسوم البيانية.

سنقوم بتعريف (f (x) = frac <2>) و (ز (س) = فارك<8> text <،> ) ثم ابحث عن نقاط التقاطع.

نظرًا لأن الوظيفتين تتقاطعان تقريبًا عند ((- 1.524، -0.442) ) و ((3.405،4.936) text <،> ) الحلول لـ ( frac <2>= فارك<8> ) تقريبًا (- 1.524 ) و (3.405 text <.> ) يمكننا كتابة مجموعة الحل كـ ( <- 1.524 ldots، 3.405 ldots > ) أو في عدة أشكال أخرى. قد يكون من المهم القيام به شيئا ما للتعبير عن أن هذه الحلول تقريبية. استخدمنا هنا " ( ldots )" ، ولكن يمكنك أيضًا أن تقول بكلمات أن الحلول تقريبية.

أسئلة القراءة 12.5.4 أسئلة القراءة

صف ما هو "الحل الدخيل" لمعادلة عقلانية.

بشكل عام ، عند حل معادلة منطقية ، سيترك لك الضرب في معادلة أبسط لحلها.

عندما تعتقد أن لديك حلولًا لمعادلة منطقية ، ما هو الشيء الأكثر أهمية من المعتاد (مقارنة بأنواع المعادلات الأخرى) بالنسبة لك؟

تمارين 12.5.5 تمارين

مراجعة والاحماء

هل تتذكر الوقت الذي سافر فيه فيليب مع أطفاله لركل كرة القدم على المريخ؟ يجب أن نفحص زاوية أخرى لسؤال ركلة كرة القدم. توضح الصيغة (H (t) = - 6.07t ^ 2 + 27.1t ) ارتفاع كرة القدم بالأقدام فوق الأرض في وقت (t ) ثوانٍ بعد الركل.

باستخدام التكنولوجيا ، اكتشف الحد الأقصى لارتفاع الكرة ومتى وصلت إلى هذا الارتفاع.

باستخدام التكنولوجيا ، أوجد متى (H (t) = 20 ) وفسر معنى هذا في جملة كاملة.

باستخدام التكنولوجيا ، أوجد متى (H (t) = 0 ) وفسر معنى هذا في جملة كاملة.

حل المعادلات المنطقية
حل المعادلات المنطقية لمتغير معين

حل هذه المعادلة من أجل (a text <:> )

حل هذه المعادلة من أجل (م نص <:> )

حل هذه المعادلة من أجل (x text <:> )

حل هذه المعادلة من أجل (C text <:> )

حل هذه المعادلة من أجل (a text <:> )

حل هذه المعادلة من أجل (c text <:> )

حل هذه المعادلة من أجل (B text <:> )

حل هذه المعادلة من أجل (a text <:> )

حل المعادلات المنطقية باستخدام التكنولوجيا

استخدم التكنولوجيا لحل المعادلة.

استخدم التكنولوجيا لحل المعادلة.

استخدم التكنولوجيا لحل المعادلة.

استخدم التكنولوجيا لحل المعادلة.

استخدم التكنولوجيا لحل المعادلة.

استخدم التكنولوجيا لحل المعادلة.

مشاكل التطبيق

يعمل سكوت وجاي معًا لطلاء غرفة. إذا قام سكوت برسم الغرفة بمفرده ، فسيستغرق الأمر (18 ) ساعة لإكمال المهمة. إذا رسم جاي الغرفة بمفرده ، فسيستغرق الأمر (12 ) ساعة لإكمال المهمة. أجب على السؤال التالي:

إذا عملوا معًا ، فسيستغرق الأمر ساعات لإكمال المهمة. استخدم علامة عشرية في إجابتك إذا لزم الأمر.

هناك ثلاثة أنابيب في الخزان. لملء الخزان ، سوف يستغرق الأنبوب A (3 ) ساعات ، والأنبوب B (12 ) ساعة ، والأنبوب C (4 ) ساعات. أجب على السؤال التالي:

إذا تم تشغيل جميع الأنابيب الثلاثة ، فسيستغرق ملء الخزان عدة ساعات.

يعمل Casandra و Tien معًا لرسم غرفة. يعمل Casandra (1.5 ) بأسرع ما يعمل Tien. إذا عملوا معًا ، فقد استغرق الأمر (9 ) ساعات لإكمال المهمة. اجب على الاسئلة التالية:

إذا رسمت كاساندرا الغرفة بمفردها ، فستستغرق ساعات لإكمال المهمة.

إذا رسم تيان الغرفة بمفرده ، فسيستغرق الأمر ساعات لإكمال المهمة.

يتم استخدام أنبوبين لملء الخزان. يمكن أن يملأ الأنبوب A الخزان (4.5 ) أسرع من الأنبوب B. عند تشغيل كلا الأنبوبين ، يستغرق ملء الخزان (18 ) ساعة. اجب على الاسئلة التالية:

إذا تم تشغيل الأنبوب A فقط ، فسيستغرق ملء الخزان عدة ساعات.

إذا تم تشغيل الأنبوب B فقط ، فسيستغرق ملء الخزان عدة ساعات.

عمل Kandace و Jenny معًا لطلاء غرفة ، واستغرق الأمر (2 ) ساعة لإكمال المهمة. إذا عملوا بمفردهم ، فستستغرق جيني (3 ) ساعات أكثر من كانديس لإكمال المهمة. اجب على الاسئلة التالية:

إذا كانت كانداس ترسم الغرفة بمفردها ، فستستغرق ساعات لإكمال المهمة.

إذا كانت جيني ترسم الغرفة بمفردها ، فستستغرق ساعات لإكمال المهمة.

إذا تم تشغيل كل من الأنبوب A و B ، فسيستغرق ملء الخزان (2 ) ساعة. إذا تم تشغيل كل أنبوب بمفرده ، يستغرق الأنبوب B (3 ) ساعات أقل من الأنبوب A لملء الخزان. اجب على الاسئلة التالية:

إذا تم تشغيل الأنبوب A فقط ، فسيستغرق ملء الخزان عدة ساعات.

إذا تم تشغيل الأنبوب B فقط ، فسيستغرق ملء الخزان عدة ساعات.

المدينة أ والمدينة ب على مسافة (570 ) ميلا. سافر قارب من المدينة أ إلى المدينة ب ، ثم عاد إلى المدينة أ ، نظرًا لأن النهر يتدفق من المدينة ب إلى المدينة أ ، كانت سرعة القارب (25 ) ميلًا في الساعة أسرع عندما سافر من المدينة ب إلى المدينة أ - استغرقت الرحلة بأكملها / (19 /) ساعة. اجب على الاسئلة التالية:

سافر القارب من المدينة أ إلى المدينة ب بسرعة أميال في الساعة.

سافر القارب من المدينة B عائداً إلى المدينة A بسرعة أميال في الساعة.

يتدفق النهر بسرعة (7 ) ميل في الساعة. سافر قارب مع التيار من المدينة أ إلى المدينة ب ، والتي تفصل بينها مسافة (260 ) ميلاً. بعد ذلك ، استدار القارب ، وسافر عكس التيار للوصول إلى المدينة C ، التي تبعد (160 ) ميلاً عن المدينة B. استغرقت المحطة الثانية من الرحلة (من المدينة B إلى المدينة C) نفس الوقت الذي استغرقه الأول الساق (من المدينة أ إلى المدينة ب). خلال هذه الرحلة بأكملها ، كان القارب يسير بسرعة ثابتة في المياه الساكنة. أجب على السؤال التالي:

خلال هذه الرحلة ، كانت سرعة القارب على المياه الساكنة ميلًا في الساعة.

يتدفق النهر بسرعة (5 ) ميل في الساعة. سافر قارب مع التيار من المدينة أ إلى المدينة ب ، والتي تفصل بينها مسافة (100 ) ميل. بقي القارب طوال الليل في المدينة ب. في اليوم التالي ، توقف تيار المياه ، وسافر القارب على المياه الراكدة للوصول إلى المدينة C ، التي تبعد (190 ) ميلاً عن المدينة ب. المحطة الثانية من الرحلة (المدينة ب) إلى المدينة C) استغرق (9 ) ساعات أطول من مباراة الذهاب (المدينة أ إلى المدينة ب). خلال هذه الرحلة بأكملها ، كان القارب يسير بسرعة ثابتة في المياه الساكنة. ابحث عن هذه السرعة.

لاحظ أنه لا ينبغي عليك التفكير في الإجابة غير المعقولة.

خلال هذه الرحلة ، كانت سرعة القارب على المياه الساكنة ميلًا في الساعة.

المدينة أ والمدينة ب على مسافة (600 ) ميل. بسرعة ثابتة في المياه الساكنة ، سافر قارب من المدينة أ إلى المدينة ب ، ثم عاد إلى المدينة أ خلال هذه الرحلة بأكملها ، طار النهر من المدينة أ إلى المدينة ب بسرعة (20 ) ميلًا في الساعة. استغرقت الرحلة كاملة (16 ) ساعة. أجب على السؤال التالي:

خلال هذه الرحلة ، كانت سرعة القارب على المياه الساكنة ميلًا في الساعة.

المدينة أ والمدينة ب على مسافة (350 ) ميلا. مع سرعة ثابتة للمياه الساكنة تبلغ (24 ) ميلاً في الساعة ، سافر قارب من المدينة أ إلى المدينة ب ، ثم عاد إلى المدينة أ. خلال هذه الرحلة بأكملها ، طار النهر من المدينة ب إلى المدينة أ بسرعة أ سرعة ثابتة. استغرقت الرحلة بأكملها (30 ) ساعة. أجب على السؤال التالي:

خلال هذه الرحلة ، كانت سرعة النهر ميلاً في الساعة.

افترض أن مضخة كبيرة يمكنها إفراغ حمام سباحة في (43 < rm hr> ) وأن مضخة صغيرة يمكنها إفراغ نفس البركة في (53 < rm hr> text <.> ) إذا كلا المضختين تستخدمان في نفس الوقت ، كم من الوقت سيستغرق إفراغ البركة؟

إذا تم استخدام كلتا المضختين في نفس الوقت ، فسيتطلب الأمر إفراغ البركة.

الفائز في (9 < rm ميل> ) أنهى السباق (14.73 < rm min> ) متقدمًا على المركز الثاني. في المتوسط ​​، ركض الفائز (0.6 < textstyle frac < rm mathstrut mi> < rm mathstrut hr >> ) أسرع من عداء المركز الثاني. ابحث عن متوسط ​​سرعة الجري لكل عداء.

كان متوسط ​​سرعة الفائز وكان متوسط ​​سرعة صاحب المركز الثاني.

في المياه الراكدة ، يمكن للزورق أن يسافر (15 < textstyle frac < rm mathstrut mi> < rm mathstrut hr >> text <.> ) يسافر (42 < rm mi> ) ) المنبع ثم (42 < rm ميل> ) في وقت إجمالي (5.96 < rm hr> text <.> ) أوجد سرعة التيار.

بدون أي رياح ، تطير الطائرة عند (300 < textstyle frac < rm mathstrut mi> < rm mathstrut hr >> text <.> ) تسافر الطائرة (600 < rm mi> ) في الريح ثم تعود مع الريح في زمن إجمالي (4.04 < rm hr> text <.> ) أوجد متوسط ​​سرعة الريح.

عندما يكون هناك رياح (11.8 < rm mathstrut hr >> ) ، يمكن للطائرة أن تطير (770 < rm mi> ) مع الريح في نفس الوقت الذي يمكن أن تطير فيه (702 < rm mi> ) عكس الريح. أوجد سرعة الطائرة في حالة عدم وجود رياح.

يستغرق موظف واحد (2.5 < rm ساعة> ) وقتًا أطول لقص ملعب كرة قدم مما يتطلبه موظف أكثر خبرة. معًا يمكنهم جز العشب في (1.9 < rm hr> text <.> ) ما هو الوقت الذي يستغرقه كل شخص لقص العشب بمفرده؟

العامل الأكثر خبرة يتولى قص الحقل بمفرده ، ويأخذ العامل الأقل خبرة.

يستغرق رسامًا واحدًا (13 < rm hr> ) وقتًا أطول لطلاء المنزل مقارنةً بالرسام الأكثر خبرة. يمكنهم معًا طلاء المنزل في (30 < rm hr> text <.> ) ما هو الوقت الذي يستغرقه كل رسام لطلاء المنزل يعمل بمفرده؟

يحتاج الرسام الأكثر خبرة لطلاء المنزل وحده ، والرسام الأقل خبرة.


النقاط المنطقية على المنحنيات الإهليلجية

تتضمن نظرية المنحنيات الناقصية مزيجًا ممتعًا من الجبر والهندسة والتحليل ونظرية الأعداد. تؤكد النقاط المنطقية في المنحنيات الإهليلجية على هذا التفاعل حيث أنها تطور النظرية الأساسية ، مما يوفر فرصة للطلاب الجامعيين المتقدمين لتقدير وحدة الرياضيات الحديثة. في الوقت نفسه ، تم بذل كل جهد لاستخدام الأساليب والنتائج التي يتم تضمينها بشكل شائع في المناهج الجامعية. توفر إمكانية الوصول هذه ، وأسلوب الكتابة غير الرسمي ، والعديد من التمارين النقاط المنطقية على المنحنيات الإهليلجية مقدمة مثالية للطلاب من جميع المستويات المهتمين بتعلم معادلات أبوت ديوفانتين والهندسة الحسابية.

بشكل ملموس ، المنحنى الإهليلجي عبارة عن مجموعة من الأصفار لكثير حدود تكعيبية في متغيرين. إذا كان لكثير الحدود معاملات منطقية ، فيمكن للمرء أن يطلب وصفًا لتلك الأصفار التي تكون إحداثياتها إما أعدادًا صحيحة أو أرقامًا منطقية. هذا هو العدد النظري السؤال الذي هو الموضوع الرئيسي ل النقاط المنطقية على المنحنيات الإهليلجية. تشمل الموضوعات التي يتم تناولها الهندسة والبنية الجماعية للمنحنيات الإهليلجية ، نظرية Nagell & ndashLutz التي تصف نقاط الترتيب المحدود ، نظرية Mordell & ndash Weil حول التوليد المحدود لمجموعة النقاط المنطقية ، نظرية Thue & ndashSiegel حول محدودية مجموعة poitns الصحيحة ، نتيجة من Gauss لحساب عدد النقاط ذات الإحداثيات في حقل محدد ، وخوارزمية Lenstra باستخدام المنحنيات الناقصية إلى عوامل الأعداد الصحيحة الكبيرة ، ومناقشة الضرب المعقد وتمثيلات Galois المرتبطة بنقاط الالتواء. تشمل الموضوعات الإضافية الجديدة في الإصدار الثاني مقدمة عن تشفير المنحنى الإهليلجي ومناقشة موجزة للإثبات المذهل لنظرية فيرما الأخيرة بواسطة Wiles et al. عن طريق استخدام المنحنيات الناقصية.


أمثلة & # xa0

ابحث عن الثقب (إن وجد) للوظيفة الواردة أدناه

في دالة كسرية معينة ، من الواضح أنه لا يوجد عامل مشترك في كل من البسط والمقام. & # xa0

إذن ، لا توجد فجوة للدالة الكسرية المعطاة.

ابحث عن الثقب (إن وجد) للوظيفة الواردة أدناه.

في الدالة الكسرية المعطاة ، دعونا نحلل البسط والمقام.

بعد التحليل إلى عوامل ، لا يوجد عامل مشترك في كل من البسط والمقام. & # xa0

وبالتالي ، لا توجد فجوة للدالة المنطقية المحددة.

ابحث عن الثقب (إن وجد) للوظيفة الواردة أدناه.

في الدالة الكسرية التالية ، دعونا نحلل البسط.

بعد التحليل ، العامل المشترك الموجود في كل من البسط والمقام هو (x - 2). & # xa0

الآن ، علينا أن نجعل العامل المشترك (x-2) يساوي صفرًا.

بعد شطب العوامل المشتركة في كل من البسط والمقام في دالة كسرية معينة ، نحصل على

إذا عوضنا بـ 2 عن x ، فسنحصل على

لذلك ، ستظهر الفتحة على الرسم البياني عند النقطة (2 ، 3).

بصرف النظر عن الأشياء الواردة في هذا القسم ، & # xa0 إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


أوراق عمل جداول الوظائف

جرب أوراق عمل جدول الوظائف القابلة للطباعة الخاصة بنا لفهم الأنواع المختلفة من الوظائف مثل الخطية والتربيعية ومتعددة الحدود والجذرية والأسية والعقلانية. يقوم طلاب المدرسة الثانوية بإدخال قيمة إدخال في قاعدة الوظيفة وكتابة قيم الإخراج المقابلة في الجداول. تتوفر أوراق عمل pdf بمستويات سهلة ومتوسطة تتضمن قيمًا صحيحة وكسرية على التوالي. يتم أيضًا تضمين أوراق عمل المراجعة ذات الوظائف المختلطة. انطلق في العمل مع أوراق العمل المجانية الخاصة بنا!

قم بتقييم كل دالة f (x) الواردة في الجداول في الجزء A والوظائف f (x) و g (x) في الجزء B. يتوقع من طلاب المدرسة الثانوية ملاحظة قيم x في الجدول وكتابة القيم المقابلة لـ f (خ).

عوّض بكل قيمة من قيم x في التعبير الخطي وابحث عن قيم الإخراج أو f (x) لإكمال جداول الوظائف. يتم عرض جداول الوظائف في هذه التمارين أفقيًا ورأسيًا مما يضيف تنوعًا لممارستك.

مع إضافة الكسور العشرية والكسور ، من المؤكد أن هذا سيزيد من مهارات طلابك. قم بتوجيه المتعلمين ببساطة إلى إدخال القيم العشرية والكسرية لـ x في قاعدة الوظيفة وتغيير f (x) لملء الجدول.

التالي هو مجموعة من أوراق عمل جدول الوظائف التي من المؤكد أنها ستختبر مهارات طلاب المدرسة الثانوية. أكمل جدول كل وظيفة من خلال معرفة قيم الإدخال باستخدام قيم f (x) المحددة أو قيم الإخراج عن طريق استبدال قيم x.

سواء كنت تبحث عن قيم الإدخال أو الإخراج ، أو تحاول استخدام يديك في استخدام القيم الكسرية أو العشرية ، فإن ملفات PDF هذه لا تدخر جهداً. الهدف هنا هو اختبار مهارات الطلاب في تطبيق المفاهيم.

الانتقال بسلاسة من قواعد الدالة الخطية إلى التربيعية التي لها الدرجة 2.يُتوقع من طلاب المدارس الثانوية استبدال قيمة x في كل قاعدة دالة تربيعية للعثور على قيم الإخراج وإدراجها في جداول الوظائف.

افحص جدول الوظائف ، وحدد قيم الإدخال التي تكون إما كسورًا عشرية أو قيمًا كسرية. قم بتعيين قيم الإدخال في قاعدة الدالة التربيعية لتوليد قيم الإخراج غير المعروفة وإكمال جداول الوظائف.

استعد للعمل مع قواعد الدالة متعددة الحدود في هذه المجموعة من أوراق عمل جدول الوظائف القابلة للطباعة. قم بتعيين القيم الصحيحة لـ x في دالة كثيرة الحدود ، وابحث عن قيم المخرجات في الجداول وقم بتعبئتها بسهولة.

احصل على التدريب المناسب الذي توفره هذه التمارين في تحديد قيم المخرجات بمجرد إدخال القيم العشرية أو الكسرية المحددة في قاعدة الدالة متعددة الحدود وإكمال جداول الوظائف.

طور المهارات باستخدام ملفات PDF الخاصة بورقة عمل جدول الوظائف هذه التي تتضمن وظائف عقلانية ، وهي نسبة اثنين من كثيرات الحدود. أدخل قيمة x في الدالة الكسرية واملأ الجدول.

تُعد أوراق عمل الوظائف الأسية والجذرية القابلة للطباعة إضافة إلى منهج مدرستك الثانوية. يتم تقديم الوظائف كجذور تتضمن الجذور والأسي بالصيغة f (x) = b x.

تتميز أوراق عمل جدول الوظائف هنا بمزيج من قواعد الوظيفة مثل الدوال الخطية والتربيعية ومتعددة الحدود والجذرية والأسية والعقلانية. استبدل x بقيم الأعداد الصحيحة المحددة في كل تعبير وقم بإنشاء قيم الإخراج.

هذا مكان جيد للحصول على المعرفة المفاهيمية لطلابك الذين يتم اختبارهم. وجه الطلاب لمعرفة قيم المخرجات عن طريق استبدال قيم الإدخال العشري والكسري باستخدام قواعد الوظيفة التي تأتي في أنواع مختلفة.


الوظائف: التحولات والخصائص

تقدم هذه الوحدة وظائف جنبًا إلى جنب مع العديد من المصطلحات والرموز التي ستتم مواجهتها عند العمل معهم. يتعامل جزء كبير من الوحدة مع وظائف الرسم باستخدام عمليات التحويل. تختتم الوحدة بإلقاء نظرة على الانعكاسات.

تبدأ الوحدة بتعريف الوظيفة وكيف يتم تمثيل الوظائف. يتم تقديم وتطوير المجال والمدى ، تدوين الوظيفة ، والوظائف المركبة في هذه الوحدة.

غالبًا في الرياضيات ، تكمن الحلول في فترة. يتم تقديم ثلاث تقنيات تستخدم لوصف الفواصل الزمنية في هذه الوحدة. تختتم الوحدة بمثال يتم استخدامه لتقديم تعريفات للمفاهيم التي سيتم استخدامها خلال الدورة التدريبية.

هل هناك اختلاف في كيفية حل المتباينة مقابل حل المعادلة؟ في هذه الوحدة ، يتم فحص هذا السؤال ويتم حل مجموعة متنوعة من الأمثلة المختلفة.

في هذه الوحدة ، ننظر إلى الرسوم البيانية لخمس وظائف أساسية: الدالة التربيعية ، ودالة الجذر التربيعي ، والدالة المقلوبة ، والدالة الأسية ، ودالة القيمة المطلقة. لكل دالة ، سننظر في طرق فعالة لرسم الرسم البياني ، ومناقشة المجال والمدى ، وإبداء ملاحظات حول بعض ميزات كل رسم بياني.

تبدأ دراستنا للتحولات بإلقاء نظرة على الترجمات. في هذه الوحدة ، نطور قاعدة عامة للترجمات ، ونرسم الرسوم البيانية وفقًا لوظيفة أساسية وترجمة ، ونحدد معادلات الرسوم البيانية التي تمت ترجمتها ، ونجد الترجمة التي تم تطبيقها على وظيفة ما للحصول على وظيفة أخرى.

كيف يتأثر الرسم البياني أو المعادلة لوظيفة ما بانعكاس حول المحور (س ) - أو (ص ) -؟ في هذه الوحدة ، نطور قاعدة عامة لهذه الانعكاسات ، ونفحص الوظائف الفردية والزوجية ، ونرسم الصور التي تمثل انعكاسات للوظائف الأساسية ، ونحدد معادلات الدوال التي انعكست.

عندما يتم تمديد دالة حول المحور (س ) - أو (ص ) - ، ما هو التأثير على الرسم البياني والمعادلة؟ في هذه الوحدة ، نطور قاعدة عامة لهذه الأنواع من التحولات ، ونرسم وظائف مختلفة بمخطط أساسي ونمتد باستخدام الكلمات أو تدوين الخرائط ، ونحدد التحويل في ضوء المعادلة أو الرسم البياني للصورة المسبقة والصورة.

في هذه الوحدة ، نضع كل قطع التحويل معًا. من خلال النظر إلى المعادلة ، نحدد الوظيفة الأساسية التي يتم تحويلها والتحولات التي تم تطبيقها. يتم عرض طريقتين لرسم الوظائف باستخدام التحويلات.

في هذه الوحدة ، يتم تعريف الانعكاسات جبريًا وهندسيًا. بالنظر إلى التمثيل البياني للدالة ، نرسم المعكوس ، ونظرًا لمعادلة الدالة ، نحدد معادلة المعكوس.


مشاكل الوظيفة العقلانية

يتم تجميع هذه الدروس لمساعدة طلاب PreCalculus في التعرف على مشكلات الوظائف المنطقية والتطبيقات.

يوضح الشكل التالي كيفية حل المعادلات المنطقية. قم بالتمرير لأسفل الصفحة للحصول على أمثلة وحلول حول كيفية حل المشكلات الوظيفية المنطقية والتطبيقات.

مشاكل الوظيفة العقلانية - العمل والدبابات

يشرح الفيديو مشاكل التطبيق التي تستخدم المعادلات المنطقية. جزء 1 من 2.

  1. يمكن لمارتن صب ممر خرساني في 6 ساعات من العمل بمفرده. يتمتع فيكتور بخبرة أكبر ويمكنه صب نفس الممشى في 4 ساعات من العمل بمفرده. كم من الوقت سيستغرق كلا الشخصين لصب الممر الخرساني يعملان معًا؟
  2. يمكن أن يملأ أنبوب المدخل خزان المياه خلال 12 ساعة. يمكن أن يستنزف أنبوب المخرج الخزان في غضون 20 ساعة. إذا تم ترك كلا الأنبوبين مفتوحين عن طريق الخطأ ، فكم من الوقت سيستغرق ملء الخزان؟

تطبيقات الوظيفة العقلانية - العمل والمعدل

يشرح الفيديو مشاكل التطبيق التي تستخدم المعادلات المنطقية. الجزء 2 من 2.

  1. يمكن لشخص واحد إكمال مهمة قبل 8 ساعات من شخص آخر. بالعمل معًا ، يمكن لكلا الشخصين أداء المهمة في 3 ساعات. كم عدد الساعات التي يستغرقها كل شخص لإكمال مهمة العمل بمفرده؟
  2. سرعة قطار الركاب أسرع بـ 12 ميلاً في الساعة من سرعة قطار الشحن. يسافر قطار الركاب 330 ميلاً في نفس الوقت الذي يستغرق فيه قطار الشحن مسافة 270 ميلاً. أوجد سرعة كل قطار.

مشاكل الكلمات المنطقية - العمل ، الخزان والأنابيب

فيما يلي بعض الأمثلة على مشاكل العمل التي تم حلها باستخدام المعادلات المنطقية.

  1. يمكن لسام أن يرسم المنزل في 5 ساعات. يستطيع جاري القيام بذلك في 4 ساعات. كم من الوقت سيستغرق العمل معًا؟
  2. يمكن لـ Joy تقديم 100 مطالبة في 5 ساعات. يمكن لستيفن تقديم 100 مطالبة في 8 ساعات. إذا عملوا معًا ، فكم من الوقت سيستغرق تقديم 100 مطالبة؟
  3. يتم تفريغ خزان المياه من خلال مصرفين في غضون 50 دقيقة. إذا تم استخدام الصرف الأكبر فقط ، فسيتم إفراغ الخزان في غضون 85 دقيقة. كم من الوقت سيستغرق التفريغ إذا تم استخدام المصرف الصغير فقط؟
  4. يمكن لجهاز كمبيوتر واحد تشغيل خوارزمية الفرز في 24 دقيقة. إذا تم استخدام كمبيوتر ثانٍ مع الأول ، فسيستغرق الأمر 13 دقيقة. كم من الوقت سيستغرق الكمبيوتر الثاني وحده؟
  5. أنبوبان يملآن الخزان. أنبوب واحد يملأ ثلاثة أضعاف سرعة الآخر. مع عمل كلا الأنبوبين ، يملأ الخزان في 84 دقيقة. كم من الوقت سيستغرق كل أنبوب العمل بمفرده؟

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


4.E: وظائف عقلانية (تمارين) - رياضيات

ما هو الفرق بين التمثيل البياني للدالة y = x 2 و y = x 2 + 4؟ ماذا عن الاختلافات بين y = x 2 و y = (x + 4) 2؟ يبدو غريزيًا كما لو أن الرسوم البيانية الخاصة بهم يجب أن تكون متشابهة جدًا ، وهي بالفعل كذلك. ومع ذلك ، من أجل رسم الرسوم البيانية ، نحتاج إلى ارتباط دقيق بين الاختلافات الجبرية والاختلافات الرسومية.

هناك عدد من المفاهيم التي سنناقشها في هذا القسم من أجل تعلم كيفية رسم الرسوم البيانية: التناظر (الدوال الزوجية والفردية) ، التحولات الأفقية والرأسية ، والقياس الرأسي (التمدد والانكماش).

نبدأ بالتماثل الفردي والزوجي.

  • يتم استدعاء الدالة f (x) حتى إذا كانت قيمتها عند x هي نفس قيمتها عند -x. أي إذا كانت f (x) = f (-x). الدالة الزوجية لها رسم بياني متماثل حول المحور y: خذ الرسم البياني للقيم الموجبة لـ x ، واقلبه على المحور y للحصول على التمثيل البياني للقيم السالبة لـ x.
  • تسمى الوظيفة f (x) فردي إذا كانت قيمتها عند -x هي سالب قيمتها عند x. أي إذا كانت f (-x) = - f (x). الدالة الفردية لها رسم بياني متماثل حول الأصل: خذ الرسم البياني للقيم الموجبة لـ x ، اقلبه على المحور y ، ثم على المحور x ، وسيكون لديك الرسم البياني للقيم السالبة لـ x! بالتساوي ، يمكنك عكس هذا الجزء من الرسم البياني حول الأصل ، نقطة بنقطة ، كما هو موضح في الرسم البياني أدناه.

تحقق من أن الدوال والرسوم البيانية الخاصة بها توضح تناظرات زوجية وغريبة على التوالي. هذا هو ، أظهر ذلك وللجميع س. وترد الرسوم البيانية الخاصة بهم أدناه.

يتم استخدام هذه الوظائف الأربع في الأمثلة والتمارين التي يجب اتباعها. يجب حفظ الرسوم البيانية والخصائص الأساسية.

تم وصف التحولات الرئيسية الثلاثة التي سنأخذها في الاعتبار ، التحولات الأفقية ، والقياسات الرأسية ، والتحولات الرأسية ، مع أمثلة. سيساعد فهم هذه الأمثلة في التدريبات التي يجب اتباعها.

تأثير القيمة المطلقة

عندما يتم احتواء دالة ضمن رموز القيمة المطلقة ، ضع في اعتبارك أولاً الرسم البياني للدالة نفسها بدون القيمة المطلقة ، ثم اقلب أجزاء الرسم البياني التي تقع أسفل المحور x. هذا يرجع إلى حقيقة أنه إذا F(x)> 0 فإن أشرطة القيمة المطلقة ليس لها تأثير وتلك النقاط فوق المحور x. إذا F(x) انقلب المحور x فوق المحور x. على سبيل المثال ، فيما يلي الرسوم البيانية لـ F(x) = x 2 - 3 و F(x) = |x 2 - 3|.

أمثلة وتمارين

  • بدءًا من الرسم البياني لـ ذ = |x|,
  • حرك هذا الرسم البياني إلى اليمين 1 ،
  • اجعله أكثر انحدارًا نظرًا لأنه تم تصغيره بمقدار 2 و
  • حرك الرسم البياني لأسفل 3.

في النشاط التالي ، سترى أمثلة على الرسوم البيانية والتأثيرات التي وصفناها أعلاه للدالة y = | x | .

  • انقر فوق أحد التأثيرات "أفقي" أو "عمودي" أو "مقياس / انعكاس" أو "كل 3" لاختيار نوع التأثير الذي تريد رؤيته.
  • انقر فوق "جديد" لإنشاء مشكلة بهذا النوع من التأثير. سترى الآن صيغة دالة جديدة سيتم تغييرها من y = | x | حسب نوع التأثير / التأثيرات التي اخترتها.
  • انقر على "رسمها بيانيًا" لرؤية الرسم البياني للوظيفة الجديدة.

الآن افعل ذلك بنفسك مع مجموعة متنوعة من الوظائف والرسوم البيانية الخاصة بهم. لاحظ أنك تحتاج فقط إلى معرفة كيفية رسم الوظيفة الأصلية بالرسم البياني لإجراء التغييرات التي وصفناها هنا. التأثيرات تراكمية لذا الترتيب مهم. على سبيل المثال ، لا يعادل القياس الذي يتبعه إزاحة رأسية الانزياح الرأسي الذي يتبعه القياس.


4.E: وظائف عقلانية (تمارين) - رياضيات

يريد مزارع في الفناء الخلفي أن يحيط بمساحة مستطيلة لحديقة جديدة. لقد اشترت 80 قدمًا من السياج السلكي لإحاطة 3 جوانب ، وستضع الجانب الرابع مقابل سياج الفناء الخلفي. ابحث عن صيغة للمنطقة المحاطة بالسياج إذا كان طول جوانب السياج المتعامد مع السياج الحالي
إل.

في مثل هذا السيناريو الذي يتضمن الهندسة ، من المفيد غالبًا رسم صورة. قد يكون من المفيد أيضًا تقديم متغير مؤقت ،
دبليو، لتمثيل جانب السياج الموازي للجانب الرابع أو سياج الفناء الخلفي.

بما أننا نعلم أنه لا يتوفر لدينا سوى 80 قدمًا من السياج ، فنحن نعرف ذلك
إل + دبليو + إل = 80 أو ببساطة أكثر 2إل + دبليو = 80. هذا يسمح لنا بتمثيل العرض ، دبليو، من ناحية إل: دبليو = 80 – 2إل

الآن نحن جاهزون لكتابة معادلة للمنطقة التي يحيط بها السياج. نعلم أن مساحة المستطيل هي الطول مضروبًا في العرض ، لذلك

تمثل هذه الصيغة مساحة السياج من حيث الطول المتغير
إل.

مثال 2

بالعودة إلى مزارعنا في الفناء الخلفي من بداية القسم ، ما الأبعاد التي يجب أن تصنعها حديقتها لتكبير المساحة المغلقة؟

في وقت سابق حددنا المنطقة التي يمكن أن تحيط بها 80 قدمًا من السياج من ثلاثة جوانب حسب المعادلة
أ(إل) = 80إل – 2إل 2. لاحظ أن المعادلة التربيعية قد انعكست رأسياً ، لأن المعامل في الحد التربيعي سالب ، لذا سينفتح الرسم البياني لأسفل ، وسيكون الرأس هو أقصى قيمة للمنطقة.

عند إيجاد الرأس ، نتوخى الحذر لأن المعادلة لم تكتب بصيغة كثيرة الحدود قياسية ذات قوى متناقصة. لكننا نعرف ذلك
أ هو المعامل على الحد التربيعي ، إذن أ = -2, ب = 80 و ج = 0.

القيمة القصوى للدالة هي مساحة 800 قدم مربع ، والتي تحدث عندما
إل = 20 قدم. عندما تكون الجوانب الأقصر 20 قدمًا ، فإن هذا يترك 40 قدمًا من السياج للجانب الأطول. لتعظيم المساحة ، يجب أن تحيط بالحديقة بحيث يكون طول الجانبين الأقصر 20 قدمًا ، والجانب الأطول الموازي للسياج الحالي بطول 40 قدمًا.

مثال 3

يتم رمي كرة لأعلى من أعلى مبنى بارتفاع 40 قدمًا بسرعة 80 قدمًا في الثانية. يمكن نمذجة ارتفاع الكرة # 8217 فوق الأرض بواسطة المعادلة
ح(ر) = –16ر2 + 80ر + 40.

ما هو أقصى ارتفاع للكرة؟

متى تصطدم الكرة بالأرض؟

لإيجاد أقصى ارتفاع للكرة ، علينا معرفة رأس المعادلة التربيعية.

تصل الكرة إلى أقصى ارتفاع 140 قدمًا بعد 2.5 ثانية.

لمعرفة متى تصطدم الكرة بالأرض ، نحتاج إلى تحديد متى يكون الارتفاع صفراً - ومتى
ح (ر) = 0. بينما يمكننا القيام بذلك باستخدام صيغة التحويل الخاصة بالمعادلة التربيعية ، يمكننا أيضًا استخدام الصيغة التربيعية:

نظرًا لأن الجذر التربيعي لا يتم تبسيطه بشكل جيد ، يمكننا استخدام الآلة الحاسبة لتقريب قيم الحلول:

الإجابة الثانية خارج النطاق المعقول لنموذجنا ، لذلك نستنتج أن الكرة ستصطدم بالأرض بعد حوالي 5.458 ثانية.

ديفيد ليبمان وميلوني راسموسن ، Open Text Bookstore ، Precalculus: An Investigation of Functions ، & # 8221
الفصل 3: متعدد الحدود والوظائف العقلانية & # 8221 مرخص بموجب ترخيص CC BY-SA 3.0.


4.E: وظائف عقلانية (تمارين) - رياضيات

في المثال 2 ، قمنا بتغيير وظيفة مجموعة الأدوات بطريقة أدت إلى الوظيفة [اللاتكس] f left (x right) = frac <3x + 7>[/ لاتكس]. هذا مثال على دالة عقلانية. أ وظيفة عقلانية هي وظيفة يمكن كتابتها على أنها حاصل قسمة دالتين كثيرتي الحدود. تتطلب منا العديد من مشاكل العالم الحقيقي إيجاد نسبة دالتين كثيرات الحدود. غالبًا ما تتضمن المشكلات التي تنطوي على معدلات وتركيزات وظائف عقلانية.

ملاحظة عامة: الوظيفة العقلانية

الوظيفة المنطقية هي دالة يمكن كتابتها على أنها حاصل قسمة دالتين كثيرتي الحدود [لاتكس] P left (x right) text س يسار (س يمين) [/ لاتكس].

مثال 3: حل مشكلة تطبيقية تنطوي على وظيفة عقلانية

يحتوي خزان الخلط الكبير حاليًا على 100 جالون من الماء حيث تم خلط 5 أرطال من السكر. سيفتح صنبور يصب 10 جالونًا من الماء في الدقيقة في الخزان في نفس الوقت الذي يُسكب فيه السكر في الخزان بمعدل 1 رطل في الدقيقة. أوجد تركيز السكر (رطل لكل جالون) في الخزان بعد 12 دقيقة. هل هذا تركيز أكبر مما كان عليه في البداية؟

حل

يترك ر يكون عدد الدقائق منذ فتح الصنبور. نظرًا لأن الماء يزيد بمعدل 10 جالونات في الدقيقة ، ويزداد السكر بمعدل رطل واحد في الدقيقة ، فهذه معدلات تغير ثابتة. يخبرنا هذا أن كمية الماء في الخزان تتغير خطيًا ، وكذلك كمية السكر في الخزان. يمكننا كتابة معادلة بشكل مستقل لكل منها:

تركيز، ج، ستكون نسبة رطل السكر إلى جالون الماء

يتم التركيز بعد 12 دقيقة من خلال تقييم [اللاتكس] C left (t right) [/ latex] عند [اللاتكس] t = text <> 12 [/ latex].

وهذا يعني أن التركيز هو 17 رطلاً من السكر مقابل 220 جالونًا من الماء.

التركيز في البداية

نظرًا لأن [latex] frac <17> <220> حوالي 0.08 & gt frac <1> <20> = 0.05 [/ latex] ، يكون التركيز أكبر بعد 12 دقيقة مما كان عليه في البداية.

تحليل الحل

لإيجاد الخط المقارب الأفقي ، اقسم المعامل الرئيسي في البسط على المعامل الرئيسي في المقام:

لاحظ أن الخط المقارب الأفقي هو [اللاتكس] y = text <> 0.1 [/ latex]. هذا يعني التركيز ، ج، فإن نسبة رطل من السكر إلى جالون من الماء ، ستقترب من 0.1 على المدى الطويل.


شاهد الفيديو: Gebroken functies - asymptoten bepalen - WiskundeAcademie (شهر نوفمبر 2021).