مقالات

1.2.3: الرسوم البيانية ومضلعات التردد والرسوم البيانية للسلاسل الزمنية


بالنسبة لمعظم العمل الذي تقوم به في هذا الكتاب ، سوف تستخدم مدرج تكراري لعرض البيانات. تتمثل إحدى ميزات الرسم البياني في قدرته على عرض مجموعات كبيرة من البيانات بسهولة. القاعدة الأساسية هي استخدام مدرج تكراري عندما تتكون مجموعة البيانات من 100 قيمة أو أكثر.

يتكون الرسم البياني من مربعات متجاورة (متجاورة). يحتوي على كل من المحور الأفقي والمحور الرأسي. تتم تسمية المحور الأفقي بما تمثله البيانات (على سبيل المثال ، المسافة من منزلك إلى المدرسة). تتم تسمية المحور الرأسي إما بالتردد أو التردد النسبي (أو النسبة المئوية للتردد أو الاحتمال). سيكون للرسم البياني نفس الشكل مع أي تسمية. يمكن أن يمنحك المدرج التكراري (مثل المخطط الجذعي) شكل البيانات والمركز وانتشار البيانات.

التردد النسبي يساوي التردد لقيمة ملحوظة للبيانات مقسومًا على العدد الإجمالي لقيم البيانات في العينة. (تذكر ، يتم تعريف التكرار على أنه عدد مرات حدوث إجابة.) إذا:

  • (f ) هو التردد
  • (n ) هو العدد الإجمالي لقيم البيانات (أو مجموع الترددات الفردية) ، و
  • (RF ) هو تردد نسبي ،

ومن بعد:

[RF = dfrac {f} {n} label {2.3.1} ]

على سبيل المثال ، إذا تلقى ثلاثة طلاب في فصل السيد أهاب للغة الإنجليزية المكون من 40 طالبًا من 90٪ إلى 100٪ ، إذن ، f = 3 ، n = 40 ، و RF = fn = 340 = 0.075. 7.5٪ من الطلاب حصلوا على 90-100٪. 90-100٪ هي مقاييس كمية.

لإنشاء مدرج تكراري ، حدد أولاً عدد الأشرطة أو الفواصل ، وتسمى أيضًا الفئات ، التي تمثل البيانات. تتكون العديد من الرسوم البيانية من خمسة إلى 15 شريطًا أو فئات من أجل الوضوح. يجب اختيار عدد الأشرطة. اختر نقطة بداية للفاصل الزمني الأول ليكون أقل من أصغر قيمة بيانات. نقطة البداية الملائمة هي قيمة أقل تُنفذ إلى منزلة عشرية واحدة أكثر من القيمة التي تحتوي على أكبر عدد من المنازل العشرية. على سبيل المثال ، إذا كانت القيمة التي تحتوي على أكبر عدد من المنازل العشرية 6.1 وهذه هي أصغر قيمة ، فإن نقطة البداية المناسبة هي (6.05 (6.1 - 0.05 = 6.05) ). نقول أن 6.05 أكثر دقة. إذا كانت القيمة التي تحتوي على أكبر عدد من المنازل العشرية هي 2.23 وأقل قيمة هي 1.5 ، فإن نقطة البداية المناسبة هي (1.495 (1.5 - 0.005 = 1.495) ). إذا كانت القيمة التي تحتوي على أكبر عدد من المنازل العشرية هي 3.234 وكانت أقل قيمة هي 1.0 ، فإن نقطة البداية المناسبة هي (0.9995 (1.0 - 0.0005 = 0.9995) ). إذا كانت جميع البيانات أعدادًا صحيحة وكانت أصغر قيمة هي اثنين ، فإن نقطة البداية المناسبة هي (1.5 (2 - 0.5 = 1.5) ) أيضًا ، عندما يتم نقل نقطة البداية والحدود الأخرى إلى منزلة عشرية إضافية واحدة ، فلن تقع أي قيمة بيانات على الحدود. المثالان التاليان يدخلان في التفاصيل حول كيفية إنشاء مدرج تكراري باستخدام البيانات المستمرة وكيفية إنشاء مدرج تكراري باستخدام بيانات منفصلة.

مثال ( PageIndex {1} )

البيانات التالية هي ارتفاعات 100 لاعب كرة قدم شبه محترف (بالبوصة إلى أقرب نصف بوصة). المرتفعات مستمر البيانات ، حيث يتم قياس الارتفاع.

60; 60.5; 61; 61; 61.5

63.5; 63.5; 63.5

64; 64; 64; 64; 64; 64; 64; 64.5; 64.5; 64.5; 64.5; 64.5; 64.5; 64.5; 64.5

66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66.5; 66.5; 66.5; 66.5; 66.5; 66.5; 66.5; 66.5; 66.5; 66.5; 66.5; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67.5; 67.5; 67.5; 67.5; 67.5; 67.5; 67.5

68; 68; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69.5; 69.5; 69.5; 69.5; 69.5

70; 70; 70; 70; 70; 70; 70.5; 70.5; 70.5; 71; 71; 71

72; 72; 72; 72.5; 72.5; 73; 73.5

74

أصغر قيمة للبيانات هي 60. نظرًا لأن البيانات التي تحتوي على أكبر عدد من المنازل العشرية تحتوي على رقم عشري واحد (على سبيل المثال ، 61.5) ، فإننا نريد أن تحتوي نقطة البداية على منزلتين عشريتين. نظرًا لأن الأرقام 0.5 و 0.05 و 0.005 وما إلى ذلك هي أرقام مناسبة ، فاستخدم 0.05 واطرحها من 60 ، أصغر قيمة ، لنقطة البداية المناسبة.

60 - 0.05 = 59.95 وهو أكثر دقة من 61.5 مثلاً في منزلة عشرية واحدة. نقطة البداية إذن هي 59.95.

أكبر قيمة هي 74 ، لذا 74 + 0.05 = 74.05 هي القيمة النهائية.

بعد ذلك ، احسب عرض كل شريط أو فاصل فئة. لحساب هذا العرض ، اطرح نقطة البداية من قيمة النهاية واقسمها على عدد الأشرطة (يجب عليك اختيار عدد الأشرطة التي تريدها). افترض أنك اخترت ثمانية أشرطة.

[ dfrac {74.05−59.95} {8} = 1.76 ]

سنقرب ما يصل إلى اثنين ونجعل عرض كل شريط أو فاصل زمني لوحدتين. التقريب إلى اثنين هو طريقة واحدة لمنع قيمة من الوقوع في أحد الحدود. غالبًا ما يكون التقريب إلى الرقم التالي ضروريًا حتى إذا كان يتعارض مع قواعد التقريب القياسية. في هذا المثال ، استخدام 1.76 كعرض يعمل أيضًا. المبدأ التوجيهي الذي يتبعه البعض لعرض شريط أو فاصل فئة هو أخذ الجذر التربيعي لعدد قيم البيانات ثم تقريبه إلى أقرب رقم صحيح ، إذا لزم الأمر. على سبيل المثال ، إذا كان هناك 150 قيمة من البيانات ، فخذ الجذر التربيعي لـ 150 وقم بالتقريب إلى 12 شريطًا أو فاصلاً زمنيًا.

الحدود هي:

  • 59.95
  • 59.95 + 2 = 61.95
  • 61.95 + 2 = 63.95
  • 63.95 + 2 = 65.95
  • 65.95 + 2 = 67.95
  • 67.95 + 2 = 69.95
  • 69.95 + 2 = 71.95
  • 71.95 + 2 = 73.95
  • 73.95 + 2 = 75.95

تقع الارتفاعات من 60 إلى 61.5 بوصة في الفاصل الزمني 59.95-61.95. تقع الارتفاعات التي تبلغ 63.5 في الفترة بين 61.95 و 63.95. تقع الارتفاعات التي تتراوح من 64 إلى 64.5 في الفاصل الزمني بين 63.95 و 65.95. تقع الارتفاعات من 66 إلى 67.5 في الفاصل الزمني بين 65.95 و 67.95. تقع الارتفاعات من 68 إلى 69.5 في الفترة بين 67.95 و 69.95. تقع الارتفاعات من 70 إلى 71 في الفترة بين 69.95 و 71.95. تقع الارتفاعات من 72 إلى 73.5 في الفاصل الزمني بين 71.95 و 73.95. يقع الارتفاع 74 في الفترة بين 73.95 و 75.95.

يعرض الرسم البياني التالي الارتفاعات على x-المحور والتردد النسبي على ذ-محور.

الشكل ( PageIndex {1} ): رسم بياني لشيء ما

تمرين ( PageIndex {1} )

البيانات التالية هي مقاسات الأحذية لـ 50 طالبًا. الأحجام عبارة عن بيانات منفصلة حيث يتم قياس حجم الحذاء بوحدات كاملة ونصف فقط. قم بإنشاء مدرج تكراري وحساب عرض كل شريط أو فاصل زمني للفصل. افترض أنك اخترت ستة أشرطة.

9; 9; 9.5; 9.5; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10.5; 10.5; 10.5; 10.5; 10.5; 10.5; 10.5; 10.5
11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5
12; 12; 12; 12; 12; 12; 12; 12.5; 12.5; 12.5; 12.5; 14

إجابه

أصغر قيمة: 9

أكبر قيمة: 14

قيمة بداية مناسبة: 9 - 0.05 = 8.95

قيمة نهاية مناسبة: 14 + 0.05 = 14.05

( frac {14.05-8.95} {6} ) = 0.85

تقترح الحسابات استخدام 0.85 كعرض كل شريط أو فاصل فئة. يمكنك أيضًا استخدام فاصل بعرض يساوي واحدًا.

مثال ( PageIndex {2} )

البيانات التالية هي عدد الكتب التي اشتراها 50 طالب جامعي بدوام جزئي في ABC College. عدد الكتب بيانات منعزلة، حيث يتم عد الكتب.

1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1
2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2
3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3
4; 4; 4; 4; 4; 4
5; 5; 5; 5; 5
6; 6

يشتري أحد عشر طالبًا كتابًا واحدًا. عشرة طلاب يشترون كتابين. يشتري ستة عشر طالبًا ثلاثة كتب. ستة طلاب يشترون أربعة كتب. خمسة طلاب يشترون خمسة كتب. يشتري طالبان ستة كتب.

لأن البيانات هي أعداد صحيحة ، اطرح 0.5 من 1 ، أصغر قيمة بيانات وأضف 0.5 إلى 6 ، أكبر قيمة بيانات. ثم تكون نقطة البداية 0.5 والقيمة النهائية 6.5.

بعد ذلك ، احسب عرض كل شريط أو فاصل فئة. إذا كانت البيانات منفصلة ولم يكن هناك عدد كبير جدًا من القيم المختلفة ، فإن العرض الذي يضع قيم البيانات في منتصف الشريط أو فاصل الفئة هو الأكثر ملاءمة. نظرًا لأن البيانات تتكون من الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، ونقطة البداية هي 0.5 ، فإن عرض واحد يضع 1 في منتصف الفترة من 0.5 إلى 1.5 ، والرقم 2 في منتصف الفاصل الزمني من 1.5 إلى 2.5 ، و 3 في منتصف الفترة من 2.5 إلى 3.5 ، و 4 في منتصف الفترة من _______ إلى _______ ، و 5 في منتصف الفترة من _______ إلى _______ ، و _______ في منتصف الفترة من _______ إلى _______.

إجابه

احسب عدد الأشرطة كما يلي:

( frac {6.5 - 0.5} { text {عدد الأشرطة}} ) = 1

حيث 1 هو عرض شريط. لذلك ، الأعمدة = 6.

يعرض الرسم البياني التالي عدد الكتب الموجودة على x-المحور والتردد على ذ-محور.

الشكل ( PageIndex {2} ).

ملحوظة

اذهب إلى [رابط]. توجد إرشادات حول الآلة الحاسبة لإدخال البيانات ولإنشاء مدرج تكراري مخصص. إنشاء الرسم البياني على سبيل المثال.

  • اضغط Y =. اضغط على CLEAR لحذف أية معادلات.
  • اضغط على STAT 1: EDIT. إذا كان L1 يحتوي على بيانات ، فقم بالسهم لأعلى في الاسم L1 ، واضغط على CLEAR ثم السهم لأسفل. إذا لزم الأمر ، افعل الشيء نفسه مع L2.
  • في L1 ، أدخل 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6.
  • في L2 ، أدخل 11 ، 10 ، 16 ، 6 ، 5 ، 2.
  • اضغط على WINDOW. قم بتعيين Xmin = .5 ، Xscl = (6.5 - .5) / 6 ، Ymin = –1 ، Ymax = 20 ، Yscl = 1 ، Xres = 1.
  • اضغط 2اختصار الثاني ص =. ابدأ بالضغط على 4: Plotsoff ENTER.
  • اضغط 2اختصار الثاني ص =. اضغط 1: Plot1. اضغط دخول. السهم لأسفل إلى TYPE. السهم إلى الرقم 3بحث وتطويرالصورة (الرسم البياني). اضغط دخول.
  • السهم لأسفل إلى Xlist: أدخل L1 (2اختصار الثاني 1). ارو لأسفل للتكرار. أدخل L2 (2اختصار الثاني 2).
  • اضغط على GRAPH.
  • استخدم مفتاح TRACE ومفاتيح الأسهم لفحص الرسم البياني.

تمرين ( PageIndex {2} )

البيانات التالية هي عدد الألعاب الرياضية التي قام بها 50 طالبًا رياضيًا. عدد الرياضات عبارة عن بيانات منفصلة حيث يتم احتساب عدد الرياضات.

1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1

2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2
3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3

يلعب 20 طالبًا رياضيًا رياضة واحدة. يلعب 22 طالبًا رياضيًا رياضتين. يلعب ثمانية طلاب رياضيين ثلاث رياضات.

املأ الفراغات للجملة التالية. نظرًا لأن البيانات تتكون من الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، ونقطة البداية هي 0.5 ، فإن عرض واحد يضع 1 في منتصف الفاصل الزمني 0.5 إلى _____ ، 2 في منتصف الفترة من _____ إلى _____ ، والثالث في منتصف الفترة من _____ إلى _____.

إجابه

1.5

1.5 إلى 2.5

2.5 إلى 3.5

مثال ( PageIndex {3} )

باستخدام مجموعة البيانات هذه ، قم بإنشاء مدرج تكراري.

عدد الساعات التي قضاها زملائي في ممارسة ألعاب الفيديو في عطلات نهاية الأسبوع
9.95102.2516.750
19.522.57.51512.75
5.5111020.7517.5
2321.92423.7518
201522.918.820.5

إجابه

الشكل ( PageIndex {3} ).

تقع بعض القيم في مجموعة البيانات هذه على حدود فترات الفصل الدراسي. يتم حساب القيمة في فاصل زمني للفئة إذا كانت تقع على الحد الأيسر ، ولكن ليس إذا كانت تقع على الحد الأيمن. قد يقوم باحثون مختلفون بإعداد مخططات بيانية لنفس البيانات بطرق مختلفة. هناك أكثر من طريقة صحيحة لإعداد مدرج تكراري.

تمرين ( PageIndex {3} )

تمثل البيانات التالية عدد الموظفين في المطاعم المختلفة في مدينة نيويورك. باستخدام هذه البيانات ، قم بإنشاء مدرج تكراري.

22 ؛ 35 ؛ 15؛ 26 ؛ 40 ؛ 28 ؛ 18 ؛ 20 ؛ 25 ؛ 34 ؛ 39 ؛ 42 ؛ 24 ؛ 22 ؛ 19 ؛ 27 ؛ 22 ؛ 34 ؛ 40 ؛ 20 ؛ 38 و 28

استخدم 10-19 كأول فاصل زمني.

عد النقود (الفواتير والتغييرات) في جيبك أو محفظتك. سيقوم مدرسك بتسجيل المبالغ. كفئة ، قم ببناء مدرج تكراري يعرض البيانات. ناقش عدد الفترات التي تعتقد أنها مناسبة. قد ترغب في تجربة عدد الفواصل الزمنية.

مضلعات التردد

تعد مضلعات التردد مماثلة للرسومات البيانية الخطية ، وكما أن الرسوم البيانية الخطية تجعل من السهل تفسير البيانات المستمرة بصريًا ، وكذلك الحال بالنسبة لمضلعات التردد. لإنشاء مضلع تردد ، افحص البيانات أولاً وحدد عدد الفواصل الزمنية ، أو فواصل الفئات ، لاستخدامها في x-محور و ذ-محور. بعد اختيار النطاقات المناسبة ، ابدأ في رسم نقاط البيانات. بعد رسم جميع النقاط ، ارسم مقاطع خط لربطها.

مثال ( PageIndex {4} )

تم إنشاء مضلع تردد من جدول التردد أدناه.

التوزيع التكراري لدرجات الاختبار النهائي لحساب التفاضل والتكامل
الأدنىالحد الاعلىتكررتردد التراكمي
49.559.555
59.569.51015
69.579.53045
79.589.54085
89.599.515100

الشكل ( PageIndex {4} ).

التسمية الأولى على x- المحور 44.5. هذا يمثل فترة تمتد من 39.5 إلى 49.5. نظرًا لأن أدنى درجة اختبار هي 54.5 ، يتم استخدام هذا الفاصل الزمني فقط للسماح للرسم البياني بلمس x-محور. تمثل النقطة المسماة 54.5 الفترة التالية ، أو الفترة "الحقيقية" الأولى من الجدول ، وتحتوي على خمس درجات. يتم اتباع هذا المنطق لكل من الفترات المتبقية حيث تمثل النقطة 104.5 الفترة من 99.5 إلى 109.5. مرة أخرى ، لا يحتوي هذا الفاصل الزمني على بيانات ويتم استخدامه فقط حتى يلمس الرسم البياني ملف x-محور. بالنظر إلى الرسم البياني ، نقول إن هذا التوزيع منحرف لأن أحد جانبي الرسم البياني لا يعكس الجانب الآخر.

تمرين ( PageIndex {4} )

أنشئ مضلعًا تكراريًا لأعمار رؤساء الولايات المتحدة عند التنصيب كما هو موضح في الجدول.

العمر عند التنصيبتكرر
41.5–46.54
46.5–51.511
51.5–56.514
56.5–61.59
61.5–66.54
66.5–71.52

إجابه

أول تسمية على x- المحور 39. ويمثل هذا فاصلًا يمتد من 36.5 إلى 41.5. نظرًا لعدم وجود أعمار أقل من 41.5 ، يتم استخدام هذا الفاصل فقط للسماح للرسم البياني بلمس x-محور. تمثل النقطة المسمى 44 الفاصل الزمني التالي ، أو الفترة "الحقيقية" الأولى من الجدول ، وتحتوي على أربع درجات. يتم اتباع هذا المنطق لكل من الفترات المتبقية حيث تمثل النقطة 74 الفاصل الزمني من 71.5 إلى 76.5. بالنظر إلى الرسم البياني ، نقول إن هذا التوزيع منحرف لأن أحد جانبي الرسم البياني لا يعكس الجانب الآخر.

.
الشكل ( PageIndex {5} ).

مضلعات التردد مفيدة لمقارنة التوزيعات. يتم تحقيق ذلك عن طريق تراكب مضلعات التردد المرسومة لمجموعات بيانات مختلفة.

مثال ( PageIndex {5} )

سنقوم بإنشاء مضلع تكرار تراكب يقارن النتائج من المثال مع التقدير الرقمي النهائي للطلاب.

التوزيع التكراري لدرجات الاختبار النهائي لحساب التفاضل والتكامل
الأدنىالحد الاعلىتكررتردد التراكمي
49.559.555
59.569.51015
69.579.53045
79.589.54085
89.599.515100
التوزيع التكراري للدرجات النهائية لحساب التفاضل والتكامل
الأدنىالحد الاعلىتكررتردد التراكمي
49.559.51010
59.569.51020
69.579.53050
79.589.54595
89.599.55100

الشكل ( PageIndex {6} ).

افترض أننا نريد دراسة نطاق درجة حرارة منطقة ما لمدة شهر كامل. كل يوم عند الظهر نلاحظ درجة الحرارة ونكتب ذلك في سجل. يمكن إجراء مجموعة متنوعة من الدراسات الإحصائية باستخدام هذه البيانات. يمكننا إيجاد المتوسط ​​أو متوسط ​​درجة الحرارة للشهر. يمكننا إنشاء رسم بياني يعرض عدد الأيام التي تصل فيها درجات الحرارة إلى نطاق معين من القيم. ومع ذلك ، تتجاهل كل هذه الطرق جزءًا من البيانات التي قمنا بجمعها.

إحدى ميزات البيانات التي قد نرغب في أخذها في الاعتبار هي ميزة الوقت. نظرًا لأنه يتم إقران كل تاريخ بقراءة درجة الحرارة لهذا اليوم ، فلا يتعين علينا التفكير في البيانات على أنها عشوائية. يمكننا بدلاً من ذلك استخدام الأوقات المعطاة لفرض ترتيب زمني على البيانات. الرسم البياني الذي يتعرف على هذا الترتيب ويعرض درجة الحرارة المتغيرة مع تقدم الشهر يسمى الرسم البياني للسلسلة الزمنية.

إنشاء رسم بياني متسلسل زمني

لإنشاء رسم بياني للسلسلة الزمنية ، يجب أن ننظر إلى كلا الجزأين مجموعة البيانات المقترنة. نبدأ بنظام إحداثيات ديكارتي قياسي. يتم استخدام المحور الأفقي لرسم زيادات التاريخ أو الوقت ، ويتم استخدام المحور الرأسي لرسم قيم المتغير الذي نقيسه. من خلال القيام بذلك ، نجعل كل نقطة على الرسم البياني تتوافق مع تاريخ وكمية مُقاسة. ترتبط النقاط على الرسم البياني عادةً بخطوط مستقيمة بالترتيب الذي تحدث به.

مثال ( PageIndex {6} )

توضح البيانات التالية الرقم القياسي السنوي لأسعار المستهلك ، كل شهر ، لمدة عشر سنوات. أنشئ رسمًا بيانيًا للسلسلة الزمنية لبيانات مؤشر أسعار المستهلك السنوي فقط.

سنةينايرفبرايرمارسأبريلمايويونيويوليو
2003181.7183.1184.2183.8183.5183.7183.9
2004185.2186.2187.4188.0189.1189.7189.4
2005190.7191.8193.3194.6194.4194.5195.4
2006198.3198.7199.8201.5202.5202.9203.5
2007202.416203.499205.352206.686207.949208.352208.299
2008211.080211.693213.528214.823216.632218.815219.964
2009211.143212.193212.709213.240213.856215.693215.351
2010216.687216.741217.631218.009218.178217.965218.011
2011220.223221.309223.467224.906225.964225.722225.922
2012226.665227.663229.392230.085229.815229.478229.104
سنةأغسطسسبتمبرأكتوبرنوفمبرديسمبرسنوي
2003184.6185.2185.0184.5184.3184.0
2004189.5189.9190.9191.0190.3188.9
2005196.4198.8199.2197.6196.8195.3
2006203.9202.9201.8201.5201.8201.6
2007207.917208.490208.936210.177210.036207.342
2008219.086218.783216.573212.425210.228215.303
2009215.834215.969216.177216.330215.949214.537
2010218.312218.439218.711218.803219.179218.056
2011226.545226.889226.421226.230225.672224.939
2012230.379231.407231.317230.221229.601229.594

إجابه

الشكل ( PageIndex {7} ).

تمرين ( PageIndex {5} )

الجدول التالي هو جزء من مجموعة بيانات من www.worldbank.org. استخدم الجدول لإنشاء رسم بياني للسلاسل الزمنية لـ CO2 انبعاثات الولايات المتحدة.

كو2 الانبعاثات
أوكرانياالمملكة المتحدةالولايات المتحدة الأمريكية
2003352,259540,6405,681,664
2004343,121540,4095,790,761
2005339,029541,9905,826,394
2006327,797542,0455,737,615
2007328,357528,6315,828,697
2008323,657522,2475,656,839
2009272,176474,5795,299,563

الشكل ( PageIndex {8} ).

استخدامات الرسم البياني للسلاسل الزمنية

الرسوم البيانية للسلاسل الزمنية هي أدوات مهمة في مختلف تطبيقات الإحصاء. عند تسجيل قيم نفس المتغير على مدى فترة زمنية طويلة ، يصعب أحيانًا تمييز أي اتجاه أو نمط. ومع ذلك ، بمجرد عرض نفس نقاط البيانات بيانياً ، تظهر بعض الميزات. الرسوم البيانية للسلاسل الزمنية تجعل من السهل تحديد الاتجاهات.

إعادة النظر

أ الرسم البياني هي نسخة بيانية لتوزيع التردد. يمثل المقياس الأفقي فئات قيم البيانات الكمية ويمثل المقياس العمودي الترددات. تتوافق ارتفاعات الأشرطة مع قيم التردد. تُستخدم الرسوم البيانية عادةً لمجموعات البيانات الكمية الكبيرة والمستمرة. يمكن أيضًا استخدام مضلع التردد عند رسم مجموعات البيانات الكبيرة مع نقاط البيانات التي تتكرر. عادة ما تستمر البيانات ذ-المحور مع تردد الرسم البياني على x-محور. يمكن أن تكون الرسوم البيانية للسلاسل الزمنية مفيدة عند النظر إلى كميات كبيرة من البيانات لمتغير واحد خلال فترة زمنية

مراجع

  1. بيانات عن جرائم القتل السنوية في ديترويت ، 1961-1973 ، من كتاب Gunst & Mason "تحليل الانحدار وتطبيقاته" ، مارسيل ديكر
  2. "التسلسل الزمني: دليل لرؤساء الولايات المتحدة: معلومات عن مسقط رأس كل رئيس ، وحزب سياسي ، ومدة تولي المنصب ، والمزيد." Scholastic ، 2013. متاح على الإنترنت على www.scholastic.com/teachers/a...-us-presidents (تمت الزيارة في 3 أبريل / نيسان 2013).
  3. "الرؤساء". حقيقة الوحش. Pearson Education، 2007. متاح على الإنترنت على http://www.factmonster.com/ipka/A0194030.html (تمت الزيارة في 3 أبريل / نيسان 2013).
  4. "إحصاءات الأمن الغذائي". منظمة الأغذية والزراعة للأمم المتحدة. متاح على الإنترنت على http://www.fao.org/economic/ess/ess-fs/en/ (تمت الزيارة في 3 أبريل / نيسان 2013).
  5. "الرقم القياسي لأسعار المستهلك." وزارة العمل الأمريكية: مكتب إحصاءات العمل. متاح على الإنترنت على http://data.bls.gov/pdq/SurveyOutputServlet (تم الوصول إليه في 3 أبريل 2013).
  6. "انبعاثات ثاني أكسيد الكربون (كيلو طن)". البنك الدولي ، 2013. متاح على الإنترنت على http://databank.worldbank.org/data/home.aspx (تمت الزيارة في 3 أبريل / نيسان 2013).
  7. "بيانات السلاسل الزمنية للولادة". مكتب التسجيل العام لاسكتلندا ، 2013. متاح على الإنترنت على www.gro-scotland.gov.uk/stati...me-series.html (تمت الزيارة في 3 أبريل / نيسان 2013).
  8. "التركيبة السكانية: الأطفال الذين تقل أعمارهم عن 5 سنوات يعانون من نقص الوزن." إندكسموندي. متاح على الإنترنت على http://www.indexmundi.com/g/r.aspx؟t=50&v=2224&aml=en (تمت الزيارة في 3 أبريل / نيسان 2013).
  9. جونست ، ريتشارد ، روبرت ماسون. تحليل الانحدار وتطبيقاته: منهج قائم على البيانات. مطبعة CRC: 1980.
  10. "زيادة الوزن والسمنة: حقائق سمنة البالغين". مراكز السيطرة على الأمراض والوقاية منها. متاح على الإنترنت على http://www.cdc.gov/obesity/data/adult.html (تم الوصول إليه في 13 سبتمبر 2013).
تكرر
عدد مرات حدوث قيمة البيانات
الرسم البياني
تمثيل رسومي في شكل (x-y ) لتوزيع البيانات في مجموعة بيانات ؛ (x ) يمثل البيانات ويمثل (y ) التردد أو التردد النسبي. يتكون الرسم البياني من مستطيلات متجاورة.
التردد النسبي
نسبة عدد المرات التي تحدث فيها قيمة البيانات في مجموعة جميع النتائج إلى عدد جميع النتائج

1.2.3: الرسوم البيانية ومضلعات التردد والرسوم البيانية للسلاسل الزمنية

واحدة من النكسات الرئيسية لطرق تصور البيانات المختلفة هي أنها تزداد صعوبة في القراءة مع مجموعات البيانات الأكبر. تختلف الحالة تمامًا بالنسبة إلى الرسوم البيانية ، والتي تُستخدم في الغالب لتصور مجموعات البيانات الكبيرة من البيانات المنفصلة والمستمرة.

توفر الرسوم البيانية تمثيلاً مرئيًا للبيانات الكمية باستخدام ارتفاع الأشرطة المستطيلة المرتبطة بدقة للإشارة إلى تكرار النقاط في فاصل زمني للفصل. يمكن إنشاء هذا الرسم البياني يدويًا عن طريق رسمه باستخدام مسطرة مستقيمة أو رقميًا باستخدام Excel.

يعد إنشاء المدرج التكراري أمرًا سهلاً للغاية عند القيام به رقميًا. لذلك ، ستغطي هذه المقالة تفاصيل حول ماهية الرسم البياني وكيف يمكننا إنشاؤه رقميًا باستخدام Excel.


تجربة جمع البيانات

استبيان الفيلم اسأل خمسة زملاء من فصل مختلف عن عدد الأفلام التي شاهدوها في المسرح الشهر الماضي. لا تقم بتضمين الأفلام المستأجرة.

  1. سجل البيانات.
  2. في الفصل ، اختر شخصًا واحدًا بشكل عشوائي. في قائمة الفصل ، ضع علامة على اسم هذا الشخص. انزل أربعة أسماء في قائمة الفصل. ضع علامة على اسم هذا الشخص. استمر في القيام بذلك حتى تقوم بتمييز 12 اسمًا. قد تحتاج إلى العودة إلى بداية القائمة. لكل اسم ملحوظ سجل قيم البيانات الخمس. لديك الآن إجمالي 60 قيمة بيانات.
  3. لكل اسم تم تحديده ، قم بتسجيل البيانات.
    ____________________________________
    ____________________________________
    ____________________________________
    ____________________________________
    ____________________________________

اطلب البيانات أكمل جدولي التكرار النسبيين أدناه باستخدام بيانات فصلك.


2.6 تدابير مركز

يمكن حساب المتوسط ​​والمتوسط ​​لمساعدتك في العثور على "مركز" مجموعة البيانات. غالبًا ما يكون المتوسط ​​هو أفضل تمثيل لمركز مجموعة البيانات ، ولكن الوسيط غالبًا ما يكون أكثر ملاءمة عندما تحتوي مجموعة البيانات على قيم متطرفة أو قيم متطرفة. سيخبرك الوضع بالمرجع (أو البيانات) الأكثر تكرارا في مجموعة البيانات الخاصة بك.

يمكن تقريب متوسط ​​مجموعة البيانات من جدول تكراري عن طريق:


المدرج التكراري ومضلعات التردد ورسومات السلاسل الزمنية

الوفيات بسبب التدخل القانوني تشير الوفيات الناجمة عن التدخل القانوني إلى الإصابات التي يلحقها موظفو إنفاذ القانون أثناء اعتقال أو محاولة اعتقال منتهكي القانون ، وقمع الاضطرابات ، والحفاظ على النظام ، والإجراءات القانونية الأخرى (بما في ذلك التنفيذ القانوني). في عام 2006 ، حدثت 174 حالة وفاة من هذا القبيل في 16 ولاية في الولايات المتحدة. يمثل مضلع التردد التالي هذه الوفيات حسب العمر.
(لا يمكن نسخ الجدول)
(أ) ما هو عرض الفئة؟ كم عدد الفئات الممثلة في الرسم البياني؟
(ب) ما هى نقطة المنتصف فى الدرجة الأولى؟ ما هي الحدين الأدنى والعليا للدرجة الأولى؟
(ج) ما هى نقطة المنتصف فى الفصل الأخير؟ ما هي الحدين الأدنى والعليا للفئة الأخيرة؟
(د) ما هي الفئة العمرية التي سجلت 35 حالة وفاة بسبب التدخل القانوني؟
(هـ) أي فئتين عمريتين تسجلان أعلى عدد من الوفيات بسبب التدخل القانوني؟ تقدير عدد الوفيات لهذه الفئات العمرية.
(و) تقدير التردد النسبي للفئة $ 20-29 $

لكل متغير مقدم ، حدد ما إذا كنت تتوقع أن يكون الرسم البياني للبيانات على شكل جرس ، أو منتظم ، أو منحرف إلى اليسار ، أو منحرف إلى اليمين. قم بتبرير تفكيرك: في المسألتين 13 و 14 دولارًا لكل متغير معروض ، حدد ما إذا كنت تتوقع أن يكون الرسم البياني للبيانات على شكل جرس ، أو منتظم ، أو منحرف إلى اليسار ، أو منحرف إلى اليمين. برر تفكيرك.
(أ) عدد المشروبات الكحولية المستهلكة في الأسبوع
(ب) أعمار الطلاب في منطقة المدارس العامة
(ج) أعمار مرضى السمع
(د) مرتفعات الرجال الناضجين

لكل متغير مقدم ، حدد ما إذا كنت تتوقع أن يكون الرسم البياني للبيانات على شكل جرس ، أو منتظم ، أو منحرف إلى اليسار ، أو منحرف إلى اليمين. قم بتبرير تفكيرك: في المسألتين 13 و 14 دولارًا لكل متغير معروض ، حدد ما إذا كنت تتوقع أن يكون الرسم البياني للبيانات على شكل جرس ، أو منتظم ، أو منحرف إلى اليسار ، أو منحرف إلى اليمين. برر تفكيرك.
(أ) دخل الأسرة السنوي في الولايات المتحدة
(ب) الدرجات في اختبار موحد مثل SAT
(ج) عدد الأشخاص الذين يعيشون في أسرة معيشية
(د) أعمار المرضى المصابين بمرض الزهايمر ومرض الزهايمر

عمر السكان يوضح مضلع التردد التالي التوزيع العمري للمقيمين في الولايات المتحدة الذين تقل أعمارهم عن 100 عام في 1 يوليو 2009.
(لا يمكن نسخ الجدول)
(أ) ما هو عرض الفئة؟ كم عدد الفئات الممثلة في الرسم البياني؟
(ب) ما هى نقطة المنتصف فى الدرجة الأولى؟ ما هي الحدين الأدنى والعليا للدرجة الأولى؟
(ج) ما هى نقطة المنتصف فى الفصل الأخير؟ ما هي الحدين الأدنى والعليا للفئة الأخيرة؟
(د) ما هي الفئة العمرية التي تضم أكبر عدد من السكان؟ تقدير عدد سكان هذه الفئة العمرية.
(هـ) ما هي الفئة العمرية التي لديها أقل عدد من السكان؟ تقدير عدد سكان هذه الفئة العمرية.
(و) تقريب العدد الإجمالي للمقيمين في الولايات المتحدة الذين تقل أعمارهم عن 100 عام في 1 يوليو 2009
(ز) بين أي فئتين يكون التغيير في عدد السكان أكثر تطرفًا؟ الأقل تطرفا؟

يمثل الرسم البياني للتردد في العمود التالي عدد الوفيات المرورية المرتبطة بالكحول حسب الولاية (بما في ذلك واشنطن العاصمة) في عام 2008 وفقًا للإدارة الوطنية لسلامة المرور على الطرق السريعة.
(أ) تحديد عرض الفئة.
(ب) تحديد الفئات.
(ج) أي فئة لها أعلى تردد؟
(د) وصف شكل التوزيع.
(هـ) يكتب أحد المراسلين البيان التالي: & quot ؛ وفقًا للبيانات ، سجلت تكساس 1463 حالة وفاة مرتبطة بالكحول ، بينما كان في فيرمونت 15 دولارًا فقط. لذا فإن الطرق في فيرمونت أكثر أمانًا. & quot اشرح ما الخطأ في هذا البيان وكيف أن يمكن إجراء مقارنة عادلة بين الوفيات المرورية المرتبطة بالكحول في تكساس مقابل فيرمونت. (يمكن للشكل & # x27T نسخ)

صواب أم خطأ: عند رسم مضلع تردد ، نرسم النسب المئوية لكل فئة فوق نقطة المنتصف وربط النقاط بمقاطع الخط.

صواب أم خطأ: عند رسم غطاس ، تحتوي النقاط المرسومة على إحداثيات $ x $ التي تساوي الحدود العليا لكل فئة.

يمثل الرسم البياني للتردد التالي درجات الذكاء لعينة عشوائية من طلاب الصف السابع. يتم قياس معدل الذكاء لأقرب رقم صحيح. يتم تمييز تردد كل فئة فوق كل مستطيل. (يمكن للشكل & # x27T نسخ)
(أ) كم عدد الطلاب الذين تم أخذ عينات منهم؟
(ب) تحديد عرض الفئة.
(ج) تحديد الفئات وتردداتها.
(د) أي فئة لها أعلى تردد؟
(هـ) أي فئة لها أقل تردد؟
(و) ما هي نسبة الطلاب الذين حصلوا على معدل ذكاء لا يقل عن 130 دولارًا؟
(ز) هل كان معدل ذكاء أي من الطلاب 165 دولارًا؟

بائع سيارات يسجل عدد السيارات التي باعها كل أسبوع على مدار العام الماضي. يظهر الرسم البياني للتردد التالي النتائج. (يمكن أن & # x27T نسخة)
(أ) ما هو أكثر عدد للسيارات المباعة في الأسبوع؟
(ب) كم أسبوعًا تم بيع سيارتين؟
(ج) تحديد النسبة المئوية لبيع سيارتين.
(د) وصف شكل التوزيع.

تم إجراء تجربة تم فيها إلقاء نردتين عادلتين 100 مرة. ثم تم تسجيل مجموع النقاط التي تظهر على النرد. يعطي الرسم البياني للتردد التالي النتائج. (يمكن للشكل & # x27T نسخ)
(أ) ما هي النتيجة الأكثر شيوعًا للتجربة؟
(ب) ما هو الأقل تكرارًا؟
(ج) كم مرة لاحظنا $ 7؟
(د) كم عدد الثواني 5 & # x27 التي تمت ملاحظتها أكثر من 4 & # x27s؟
(هـ) تحديد النسبة المئوية للوقت الذي تم فيه ملاحظة 7.
(و) وصف شكل التوزيع.


التوزيع المنفصل (تجربة بطاقة اللعب)

الإجراء الإجراء التجريبي للبيانات التجريبية هو انتقاء بطاقة واحدة من مجموعة البطاقات التي تم خلطها.

  1. الاحتمال النظري لاختيار الماس من سطح السفينة هو _________.
  2. خلط أوراق اللعب.
  3. اختر بطاقة واحدة منها.
  4. سجل ما إذا كان الماس أم لا.
  5. ضع البطاقة في الخلف وأعد خلطها.
  6. افعل هذا ما مجموعه عشر مرات.
  7. سجل عدد الماسات المختارة.
  8. يترك X = عدد الماسات. نظريا، X

  1. سجل عدد الماسات المختارة لفصلك باستخدام أوراق اللعب في (الشكل). ثم احسب التردد النسبي.
    xتكررالتردد النسبي
    0____________________
    1____________________
    2____________________
    3____________________
    4____________________
    5____________________
    6____________________
    7____________________
    8____________________
    9____________________
    10____________________
  2. احسب الآتي:
    1. = ________
    2. س = ________

    1. قم ببناء مخطط PDF النظري بناءً على التوزيع في قسم الإجراءات.
      xص(x)
      0
      1
      2
      3
      4
      5
      6
      7
      8
      9
      10
    2. احسب الآتي:
      1. ميكرومتر = ____________
      2. σ = ____________

      استخدم الجدول من قسم التوزيع النظري لحساب الإجابات التالية. قرب إجابتك لأقرب أربع منازل عشرية.

      • ص(x = 3) = _______________________
      • ص(1 & lt x & lt 4) = _______________________
      • ص(x ≥ 8) = _______________________

      استخدم البيانات من قسم تنظيم البيانات لحساب الإجابات التالية. قرب إجابتك لأقرب أربع منازل عشرية.

      • الترددات اللاسلكية(x = 3) = _______________________
      • الترددات اللاسلكية(1 & lt x & lt 4) = _______________________
      • الترددات اللاسلكية(x ≥ 8) = _______________________

      أسئلة المناقشة بالنسبة للسؤالين 1 و 2 ، فكر في أشكال الرسمين البيانيين ، والاحتمالات ، والترددات النسبية ، والوسيلة ، والانحرافات المعيارية.


      يتيح لك pyplot.hist () في matplotlib رسم الرسم البياني. يتطلب المصفوفة كمدخلات مطلوبة ويمكنك تحديد عدد الصناديق المطلوبة. الرسم البياني

      يمكنك رسم مخططات متعددة في نفس المؤامرة. يمكن أن يكون هذا مفيدًا إذا كنت تريد مقارنة توزيع متغير مستمر مجمّع حسب فئات مختلفة.

      دعنا نستخدم مجموعة بيانات الماس من حزمة R’s ggplot2. طاولة الماس

      دعونا نقارن توزيع عمق الماس لثلاث قيم مختلفة للماس المقطوع في نفس قطعة الأرض. متعدد الرسم البياني

      حسنًا ، توزيعات التخفيضات الثلاثة المختلفة مختلفة تمامًا. ولكن نظرًا لأن عدد نقاط البيانات أكثر بالنسبة للقطع المثالي ، فإنه أكثر شيوعًا.

      إذن ، كيف يتم تصحيح الطبقة السائدة مع الحفاظ على فصل التوزيعات؟

      يمكنك تطبيعه عن طريق ضبط الكثافة = صحيح ومكدس = صحيح. من خلال القيام بذلك ، تصبح المساحة الإجمالية تحت كل توزيع 1. مخطط بياني متعدد 2


      :: برامج الإحصاء والتنبؤ المجانية ::

      كل الحقوق محفوظة. الاستخدام غير التجاري (الأكاديمي) لهذا البرنامج مجاني. الشيء الوحيد المطلوب في المقابل هو الاستشهاد بهذا البرنامج عند استخدام النتائج في المنشورات.

      يحسب هذا البرنامج المجاني على الإنترنت (آلة حاسبة) نماذج السلاسل الزمنية الهيكلية التالية: نموذج المستوى المحلي ، ونموذج الاتجاه المحلي ، والنموذج الهيكلي الأساسي.

      أدخل (أو الصق) بياناتك مفصولة بإرجاع صعب.

      استشهد بهذا البرنامج على النحو التالي:
      Wessa P.، (2016)، Structural Time Series Models (v1.0.6) in Free Statistics Software (v1.2.1)، Office for Research Development and Education، URL http://www.wessa.net/rwasp_structuraltimeseries.wasp/
      يعتمد رمز R على :
      Durbin، J. and Koopman، S. J. (2001)، Time Series Analysis by State Space Methods، Oxford University Press.
      هارفي ، إيه سي (1993) نماذج السلاسل الزمنية. الإصدار الثاني ، حصادة القمح.

      للإشارة إلى موقع Wessa.net في المنشورات ، استخدم:
      Wessa، P. (2021)، Free Statistics Software، Office for Research Development and Education،
      الإصدار 1.2.1 ، URL https://www.wessa.net/

      & نسخ جميع الحقوق محفوظة. الترخيص الأكاديمي للاستخدام غير التجاري فقط.
      يتم منح الاستخدام المجاني للمحتوى العلمي والخدمات والتطبيقات في هذا الموقع للاستخدام غير التجاري فقط. في أي حال ، يجب دائمًا عرض المصدر (url) بوضوح. لا يُسمح لك تحت أي ظرف من الظروف بإعادة إنتاج أو نسخ أو إعادة توزيع التصميم أو التخطيط أو أي محتوى لهذا الموقع (للاستخدام التجاري) بما في ذلك أي مواد واردة هنا دون إذن كتابي صريح.

      يتم توفير المعلومات المقدمة على موقع الويب هذا & quotAS IS & quot دون أي ضمان من أي نوع ، سواء صريحًا أو ضمنيًا ، بما في ذلك ، على سبيل المثال لا الحصر ، ضمانات القابلية للتسويق والملاءمة لغرض معين وعدم الانتهاك. نحن نبذل جهودًا معقولة لتضمين معلومات دقيقة وفي الوقت المناسب وتحديث المعلومات والبرامج بشكل دوري دون إشعار. نحن لا نقدم أي ضمانات أو إقرارات فيما يتعلق بدقة أو اكتمال هذه المعلومات (أو البرامج) ، ولا نتحمل أي مسؤولية أو مسؤولية عن الأخطاء أو السهو في محتوى هذا الموقع ، أو أي أخطاء برمجية في التطبيقات عبر الإنترنت. استخدامك لهذا الموقع على مسؤوليتك الخاصة. تحت أي ظرف من الظروف وتحت أي نظرية قانونية ، لن نكون مسؤولين تجاهك أو تجاه أي شخص آخر عن أي أضرار مباشرة أو غير مباشرة أو خاصة أو عرضية أو نموذجية أو تبعية تنشأ عن وصولك إلى هذا الموقع أو استخدامه.


      كيفية إنشاء المدرج التكراري

      1. اجمع ما لا يقل عن 50 نقطة بيانات متتالية من العملية.
      2. استخدم ورقة عمل الرسم البياني لإعداد الرسم البياني. سيساعدك هذا في تحديد عدد الأشرطة ونطاق الأرقام التي تدخل في كل شريط وتسميات حواف الشريط. بعد الحساب دبليو في الخطوة 2 من ورقة العمل ، استخدم حكمك لتعديله إلى رقم مناسب. على سبيل المثال ، قد تقرر تقريب 0.9 إلى 1.0 زوجي. قيمة دبليو يجب ألا تحتوي على منازل عشرية أكثر من الأرقام التي سترسمها.
      3. ارسم محوري س وص على ورق الرسم البياني. قم بتمييز وتسمية المحور ص لحساب قيم البيانات. قم بتمييز وتسمية المحور السيني بامتداد إل القيم من ورقة العمل. ستكون المسافات بين هذه الأرقام هي أشرطة الرسم البياني. لا تسمح بوجود مسافات بين القضبان.
      4. لكل نقطة بيانات ، قم بتمييز عدد واحد أعلى الشريط المناسب بعلامة X أو عن طريق تظليل هذا الجزء من الشريط.

      ارسم & # xa0ogives & # xa0 للجدول التالي الذي يمثل التوزيع التكراري لأوزان 36 طالبًا. & # xa0

      لرسم ogives لتوزيع التردد أعلاه ، يتعين علينا كتابة أقل من التردد التراكمي وأكثر من ذلك كما هو موضح أدناه.

      الآن ، يتعين علينا كتابة النقاط من أقل من التردد التراكمي كما هو موضح أدناه.

      النقاط من أقل من التردد التراكمي:

      (43.50 ، 0) ، (48.50 ، 3) ، (53.50 ، 7) ، (58.50 ، 12) ، (63.50 ، 19) ، (68.50 ، 28) و (73.50 ، 36)

      النقاط من أكثر & # xa0 التردد التراكمي:

      (43.50 ، 36 (48.50 ، 33) ، (53.50 ، 29) ، (58.50 ، 24) ، (63.50 ، 17) ، (68.50 ، 8) و (73.50 ، 0)

      الآن ، بأخذ التردد على المحور الأفقي ، الأوزان على المحور الرأسي ورسم النقاط أعلاه ، نحصل على ogives كما هو موضح أدناه.

      بعد الاطلاع على الأشياء المذكورة أعلاه ، نأمل أن يفهم الطلاب "التمثيل الرسومي لتوزيع التردد". & # xa0

      بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت تريد معرفة المزيد عن "التمثيل الرسومي لتوزيع التردد" ، فالرجاء النقر هنا

      بصرف النظر عن الأشياء "تمثيل رسومي لتوزيع التردد" ، إذا كنت بحاجة إلى أي مادة أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

      إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

      نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

      يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


      شاهد الفيديو: طريقة عمل رسم بياني على الاكسل 2007 و 2010 Excel (ديسمبر 2021).