مقالات

8.11: نظرية الرادون ونيكوديم. تحلل ليبيسج


أنا. كما تعلم ، التكامل غير المحدود

[ int f dm ]

هو مقياس معمم. نحن نبحث الآن عن شروط يمكن بموجبها تمثيل مقياس عام معين ( mu ) كـ

[ mu = int f dm ]

بالنسبة لبعض (و ) (يمكن العثور عليها). نبدأ مع اثنين من lemas.

Lemma ( PageIndex {1} )

لنفترض (m، mu: mathcal {M} rightarrow [0، infty) ) أن تكون مقاييس محدودة في (S. ) لنفترض (S in mathcal {M}، mu S> 0 ) (على سبيل المثال ، ( mu not equiv 0 )) و ( mu ) هو (m ) - مستمر (الفصل 7 ، §11).

ثم هناك ( delta> 0 ) و (a ) مجموعة (P in mathcal {M} ) بحيث (m P> 0 ) و

[( forall X in mathcal {M}) quad mu X geq delta cdot m (X cap P). ]

دليل

حيث (m < infty ) و ( mu S> 0 ، ) يوجد ( delta> 0 ) مثل

[ mu S- delta cdot m S> 0. ]

إصلاح مثل هذا ( delta ) وتحديد مقياس موقع (Lemma 2 من الفصل 7 ، §11)

[ Phi = mu- delta m، ]

لهذا السبب

[( forall Y in mathcal {M}) quad Phi Y = mu Y- delta cdot m Y؛ ]

بالتالي

[ Phi S = mu S- delta cdot m S> 0. ]

حسب النظرية 3 في الفصل 7 ، §11 (تحليل هان) ، هناك ( Phi ) - مجموعة موجبة (P in mathcal {M} ) مع ( Phi ) - مكمل سالب (-P = SP in mathcal {M}. )

من الواضح ، (m P> 0 ؛ ) إذا (m P = 0 ، ) فإن (m ) - استمرارية ( mu ) تعني ( mu P = 0 ) ، وبالتالي

[ Phi P = mu P- delta cdot m P = 0 ، ]

على عكس ( Phi P geq Phi S> 0 ).

أيضًا ، يشير (P supseteq Y ) و (Y in mathcal {M} ) إلى ( Phi Y geq 0 ؛ ) لذا من خلال (1) ،

[0 leq mu Y- delta cdot m Y. ]

أخذ (Y = X cap P ، ) نحصل عليها

[ delta cdot m (X cap P) leq mu (X cap P) leq mu X ، ]

كما هو مطلوب. ( رباعي مربع )

Lemma ( PageIndex {2} )

باستخدام (m، mu، ) و (S ) كما في Lemma 1 ، دع ( mathcal {H} ) يكون مجموعة جميع الخرائط (g: S rightarrow E ^ {*} ، mathcal {M} ) - قابل للقياس وغير سالب في (S ، ) مثل ذلك

[ int_ {X} g dm leq mu X ]

لكل مجموعة (X ) من ( mathcal {M} ).

ثم هناك (f in mathcal {H} ) مع

[ int_ {S} f dm = max _ {g in mathcal {H}} int_ {S} g dm. ]

دليل

( mathcal {H} ) ليس فارغًا ؛ على سبيل المثال ، (g = 0 ) موجود في ( mathcal {H}. ) نعرض الآن ذلك

[( forall g، h in mathcal {H}) quad g vee h = max (g، h) in mathcal {H}. ]

في الواقع ، (g vee h ) هو ( geq 0 ) و ( mathcal {M} ) - قابل للقياس على (S ، ) مثل (g ) و (h ) .

الآن ، معطى (X in mathcal {M}، ) let (Y = X (g> h) ) و (Z = X (g leq h). ) إسقاط " (dm ) ) "للإيجاز ، لدينا

[ int_ {X} (g vee h) = int_ {Y} (g vee h) + int_ {Z} (g vee h) = int_ {Y} g + int_ {Z} h leq mu Y + mu Z = mu X ، ]

إثبات (2).

يترك

[k = sup _ {g in mathcal {H}} int_ {S} g d m in E ^ {*}. ]

بالمتابعة كما في المسألة 13 من الفصل 7 ، §6 ، وباستخدام (2) ، يجد المرء بسهولة تسلسلًا ( left {g_ {n} right } uparrow، g_ {n} in mathcal {H }،) مثل ذلك

[ lim _ {n rightarrow infty} int_ {S} g_ {n} dm = k. ]

(تحقق!)

[f = lim _ {n rightarrow infty} g_ {n}. ]

(يوجد منذ ( left {g_ {n} right } uparrow. )) حسب النظرية 4 في §6 ،

[k = lim _ {n rightarrow infty} int_ {S} g_ {n} = int_ {S} f. ]

أيضًا ، (f ) ( mathcal {M} ) - قابل للقياس و ( geq 0 ) على (S ، ) مثل الكل (g_ {n} ) ؛ وإذا كان (X in mathcal {M}، ) إذن

[( forall n) رباعي int_ {X} g_ {n} leq mu X؛ ]

بالتالي

[ int_ {X} f = lim _ {n rightarrow infty} int_ {X} g_ {n} leq mu X. ]

هكذا (f in mathcal {H} ) و

[ int_ {S} f = k = sup _ {g in H} int_ {S} g، ]

بمعنى آخر.،

[ int_ {S} f = max _ {g in mathcal {H}} int_ {S} g leq mu S < infty. ]

هذا يكمل البرهان. ( رباعي مربع )

ملاحظة 1. بما أن ( mu < infty ) و (f geq 0، ) النتيجة الطبيعية 1 في §5 توضح أنه يمكن جعل (f ) محدودًا في جميع (S. ) أيضًا ، (f ) هو (م ) - قابل للتكامل في (S. )

نظرية ( PageIndex {1} ) (رادون-نيكوديم)

إذا كان ((S، mathcal {M}، m) ) عبارة عن ( sigma ) - مساحة قياس محدودة ، إذا (S in mathcal {M} ، ) وإذا

[ mu: mathcal {M} rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right) ]

هو معمم (م ) - قياس مستمر ، إذن

[ mu = int f dm text {on} mathcal {M} ]

لخريطة واحدة على الأقل

[f: S rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right) ، ]

( mathcal {M} ) - قابل للقياس على (S ).

علاوة على ذلك ، إذا كانت (h ) خريطة أخرى من هذا القبيل ، إذن (m S ) ((f neq h) = 0 )

الجزء الأخير من النظرية 1 يعني أن (f ) "فريد جوهريًا". نسمي (f ) مشتق Radon-Nikodym ((RN) ) من ( mu، ) بالنسبة لـ (m. )

دليل

من خلال المكونات (النظرية 5 في الفصل 7 ، الفقرة 11) ، تختزل جميعها في الحالة

[ mu: mathcal {M} rightarrow E ^ {1}. ]

ثم تعطي النظرية 4 (تحلل الأردن) في الفصل 7 ، الفقرة 11

[ mu = mu ^ {+} - mu ^ {-}، ]

حيث ( mu ^ {+} ) و ( mu ^ {-} ) قياسات محدودة (( geq 0) ، ) كلاهما (m ) - مستمر (النتيجة الطبيعية 3 من الفصل 7 ، §11). لذلك ، يتم تقليل الكل إلى الحالة (0 leq mu < infty. )

افترض أولاً أن (m، ) أيضًا محدود. ثم إذا ( mu = 0، ) فقط خذ (f = 0 ).

ومع ذلك ، إذا كان ( mu S> 0 ، ) يأخذ (f in mathcal {H} ) كما في Lemma 2 والملاحظة 1 ؛ (f ) غير سلبي ومحدود و ( mathcal {M} ) - قابل للقياس على (S ) ،

[ int f leq mu < infty، ]

و

[ int_ {S} f dm = k = sup _ {g in mathcal {H}} int_ {S} g dm. ]

ندعي أن (f ) هي الخريطة المطلوبة.

في الواقع ، دعنا

[ nu = mu- int f dm؛ ]

لذلك ( nu ) منتهي (م ) - قياس مستمر (( geq 0) ) على ( mathcal {M}. ) (لماذا؟) يجب أن نبين ذلك ( nu = 0 ).

البحث عن تناقض ، افترض ( nu S> 0. ) ثم بواسطة Lemma 1 ، هناك (P in mathcal {M} ) و ( delta> 0 ) مثل (m P> 0 ) و

[( forall X in mathcal {M}) quad nu X geq delta cdot m (X cap P). ]

الآن دع

[g = f + delta cdot C_ {P} ؛ ]

لذلك (g ) هو ( mathcal {M} ) - قابل للقياس و ( geq 0. ) أيضًا ،

[ begin {align} ( forall X in mathcal {M}) quad int_ {X} g = int_ {X} f + delta int_ {X} C_ {P} & = int_ { X} f + delta cdot m (X cap P) & leq int_ {X} f + nu (X cap P) & leq int_ {X} f + nu X = mu X end {align} ]

باختيارنا لـ ( دلتا ) و ( nu. ) وبالتالي (g in mathcal {H}. ) من ناحية أخرى ،

[ int_ {S} g = int_ {S} f + delta int_ {S} C_ {P} = k + delta m P> k، ]

على عكس

[k = sup _ {g in mathcal {H}} int_ {S} g. ]

هذا يثبت أن ( int f = mu، ) بالفعل.

افترض الآن أن هناك خريطة أخرى (h in mathcal {H} ) بها

[ mu = int h d m = int f d m neq infty؛ ]

وبالتالي

[ int (f-h) dm = 0. ]

(لماذا؟)

[Y = S (f geq h) text {and} Z = S (f

لذلك (Y، Z in mathcal {M} ) (النظرية 3 من §2) و (f-h ) هي إشارة ثابتة على (Y ) و (Z. ) أيضًا ، من خلال البناء ،

[ int_ {Y} (f-h) dm = 0 = int_ {Z} (f-h) dm. ]

وهكذا من خلال النظرية 1 (h) في §5 ، (f-h = 0 ) a.e. على (Y ، ) على (Z ، ) وبالتالي على (S = Y كوب Z ) أي ،

[مللي ثانية (f neq h) = 0. ]

وهكذا ثبت كل شيء في القضية (مللي ثانية < إنفتي ).

بعد ذلك ، دع (م ) يكون ( سيجما ) - محدود:

[S = bigcup_ {k = 1} ^ { infty} S_ {k} text {(disjoint)} ]

لبعض المجموعات (S_ {k} in mathcal {M} ) مع (m S_ {k} < infty ).

من خلال ما تم عرضه أعلاه ، يوجد في كل (S_ {k} ) ( mathcal {M} ) - خريطة قابلة للقياس (f_ {k} geq 0 ) بحيث

[ int_ {X} f_ {k} dm = mu X ]

لجميع ( mathcal {M} ) - المجموعات (X المجموعة الفرعية S_ {k}. ) تحديد (f_ {k} ) لكل (k ، ) حدد (f: S rightarrow E ^ {1} ) بقلم

[f = f_ {k} quad text {on} S_ {k}، quad k = 1،2، ldots. ]

ثم (النتيجة الطبيعية 3 في §1) (f ) هي ( mathcal {M} ) - قابلة للقياس و ( geq 0 ) في (S ).

أخذ أي (X in mathcal {M}، ) set (X_ {k} = X cap S_ {k}. ) ثم

[X = bigcup_ {k = 1} ^ { infty} X_ {k} text {(disjoint)} ]

و (X_ {k} in mathcal {M}. ) أيضًا ،

[( forall k) quad int_ {X_ {k}} f d m = int_ {X_ {k}} f_ {k} d m = mu X_ {k}. ]

وهكذا عن طريق ( سيجما ) - الجمع (النظرية 2 في §5) ،

[ int_ {X} fdm = sum_ {k = 1} ^ { infty} int_ {X_ {k}} fdm = sum_ {k} mu X_ {k} = mu X < infty رباعي ( mu text {منتهي!}). ]

وبالتالي فإن (f ) يكون كما هو مطلوب ، ويتبع "تفرده" كما كان من قبل. ( quad square )

ملاحظة 2. من خلال التعريف 3 في الفقرة 10 ، قد نكتب

["d mu = f dm" ]

ل

[" int f dm = mu." ]

ملاحظة 3. باستخدام التعريف 2 في الفقرة 10 والبرهان السهل "المكون" ، يوضح المرء أن النظرية 1 تنطبق أيضًا مع استبدال (m ) بمقياس معمم (s ). الصيغ

[ mu = int f dm text {and} مللي ثانية (f neq h) = 0 ]

ثم يتم استبدالها بـ

[ mu = int f ds text {and} v_ {s} S (f neq h) = 0. ]

II. تتطلب النظرية 1 أن يكون ( mu ) (m ) - مستمر (( mu ll m). ) نريد تعميم النظرية 1 لرفع هذا القيد. أولاً ، نقدم مفهومًا جديدًا.

تعريف

بالنظر إلى وظيفتين محددتين (s، t: mathcal {M} rightarrow E left ( mathcal {M} subseteq 2 ^ {S} right) ، ) نقول أن (s ) هو ( t ) - المفرد ((s perp t) ) إذا كان هناك مجموعة (P in mathcal {M} ) مثل (v_ {t} P = 0 ) و

[( forall X in mathcal {M} | X subseteq-P) quad s X = 0. ]

(ثم ​​نقول بإيجاز "s موجود في (P. )")

بالنسبة للقياسات المعممة ، هذا يعني أن

[( forall X in mathcal {M}) quad s X = s (X cap P). ]

لماذا ا؟

نتيجة طبيعية ( PageIndex {1} )

إذا كانت المقاييس المعممة (s، u: mathcal {M} rightarrow E ) (t ) - مفرد ، كذلك (ks ) لأي عددية (k ) (if (s ) ) ذات قيمة عددية ، قد يكون (ك ) متجهًا).

لذلك أيضًا (s pm u ، ) متوفرة (t ) مضافة.

دليل

(تمرين! انظر المشكلة 3 أدناه.)

نتيجة طبيعية ( PageIndex {2} )

إذا كان المقياس المعمم (s: mathcal {M} rightarrow E ) هو (t ) - مستمر ((s ll t) ) وأيضًا (t ) - مفرد ((s ) perp t) ، ) ثم (s = 0 ) في ( mathcal {M}. )

دليل

كما (s perp t، ) الصيغة (3) تنطبق على بعض (P in mathcal {M}، v_ {t} P = 0. ) ومن ثم للجميع (X in mathcal {M } ، )

[s (X-P) = 0 text {(for} X-P subseteq-P text {)} ]

و

[v_ {t} (X cap P) = 0 text {(for} X cap P subseteq P text {).} ]

كما (s ll t ، ) لدينا أيضًا (s (X cap P) = 0 ) حسب التعريف 3 (i) في الفصل 7 ، §11. وهكذا عن طريق الجمع ،

[sX = s (X cap P) + s (X-P) = 0 ، ]

كما ادعى. ( رباعي مربع )

نظرية ( PageIndex {2} ) (تحليل ليبيغ)

لنفترض أن (s، t: mathcal {M} rightarrow E ) تدابير عامة.

إذا كان (v_ {s} ) (t ) - محدودًا (التعريف 3 (iii) في الفصل 7 ، §11) ، فهناك مقاييس عامة (s ^ { prime} ، s ^ { prime Prime}: mathcal {M} rightarrow E ) مثل ذلك

[s ^ { prime} ll t text {and} s ^ { prime prime} perp t ]

و

[s = s ^ { prime} + s ^ { prime prime}. ]

دليل

لنفترض أن (v_ {0} ) هو تقييد (v_ {s} ) على

[ mathcal {M} _ {o} = left {X in mathcal {M} | v_ {t} X = 0 right }. ]

نظرًا لأن (v_ {s} ) مقياس (النظرية 1 من الفصل 7 ، §11) ، كذلك (v_ {0} ) (بالنسبة إلى ( mathcal {M} _ {0} ) هو ( سيجما ) - خاتم ؛ تحقق!).

وبالتالي من خلال المشكلة 13 في الفصل 7 ، §6 ، نصلح (P in mathcal {M} _ {0}، ) باستخدام

[v_ {s} P = v_ {0} P = max left {v_ {s} X | X in mathcal {M} _ {0} right }. ]

بصفتنا (P in mathcal {M} _ {0} ، ) لدينا (v_ {t} P = 0 ؛ ) وبالتالي

[| sP | leq v_ {s} P < infty ]

(لـ (v_ {s} ) هو (t ) - محدود).

الآن حدد (s ^ { prime} ، s ^ { prime prime} ، v ^ { prime} ، ) و (v ^ { prime prime} ) عن طريق الإعداد ، لكل (X in mathcal {M} ) ،

[ begin {align} s ^ { prime} X & = s (X-P) ؛ s ^ { prime prime} X & = s (X cap P) ؛ v ^ { prime} X & = v_ {s} (X-P) ؛ v ^ { prime prime} X & = v_ {s} (X cap P). نهاية {محاذاة} ]

بما أن (s ) و (v_ {s} ) ( sigma ) - مضافان ، كذلك (s ^ { prime} ، s ^ { prime prime} ، v ^ { prime } و ) و (v ^ { prime prime} ). (تحقق!) وبالتالي فإن (s ^ { prime}، s ^ { prime prime}: mathcal {M} rightarrow E ) هي مقاييس عامة ، بينما (v ^ { prime} ) و (v ^ { prime prime} ) هي مقاييس (( geq 0) ).

نحن لدينا

[( forall X in mathcal {M}) quad s X = s (XP) + s (X cap P) = s ^ { prime} X + s ^ { prime prime} X ؛ ]

بمعنى آخر.،

[s = s ^ { prime} + s ^ { prime prime}. ]

وبالمثل ، يحصل المرء على (v_ {s} = v ^ { prime} + v ^ { prime prime} ).

أيضًا ، بواسطة (5) ، منذ (X cap P = emptyset ) ،

[- P supseteq X text {and} X in mathcal {M} Longrightarrow s ^ { prime prime} X = 0، ]

بينما (v_ {t} P = 0 ) (انظر أعلاه). وبالتالي (s ^ { prime ) ) هو (t ) - مفرد ، مقيم في (P ).

لإثبات (s ^ { prime} ll t، ) يكفي إظهار أن (v ^ { prime} ll t ) (لـ (4) و (6) ، (v ^ { prime} X = 0 ) يعني ( left | s ^ { prime} X right | = 0 )).

افترض العكس. ثم

[( موجود Y في mathcal {M}) quad v_ {t} Y = 0 ]

(على سبيل المثال ، (Y in mathcal {M} _ {0} )) ، لكن

[0

لذلك عن طريق الجمع ،

[v_ {s} (Y cup P) = v_ {s} P + v_ {s} (Y-P)> v_ {s} P، ]

مع (Y cup P in mathcal {M} _ {0}، ) على عكس

[v_ {s} P = max left {v_ {s} X | X in mathcal {M} _ {0} right }. ]

هذا التناقض يكمل البرهان. ( رباعي مربع )

ملاحظة 4. وظيفة المجموعة (s ^ { prime prime} ) في النظرية 2 مقيدة بـ ( mathcal {M}. ) في الواقع ، (s ^ { prime prime} perp t ) ينتج عنه مجموعة (P in mathcal {M} ) بحيث

[( forall X in mathcal {M}) quad s ^ { prime prime} (X-P) = 0 ؛ ]

و (v_ {t} P = 0 ) يعني (v_ {s} P < infty. ) (لماذا؟) ومن ثم

[s ^ { prime prime} X = s ^ { prime prime} (X cap P) + s ^ { prime prime} (XP) = s ^ { prime prime} (X غطاء P). ]

مثل (s = s ^ { prime} + s ^ { prime prime} ، ) لدينا

[ left | s ^ { prime prime} right | leq | s | + left | s ^ { prime} right | leq v_ {s} + v_ {s ^ { prime}}؛ ]

وبالتالي

[ left | s ^ { prime prime} X right | = left | s ^ { prime prime} (X cap P) right | leq v_ {s} P + v_ {s ^ { prime}} P. ]

لكن (v_ {s ^ { prime}} P = 0 ) بواسطة (t ) - الاستمرارية (النظرية 2 من الفصل 7 ، §11). وبالتالي ( left | s ^ { prime prime} right | leq v_ {s} P < infty ) في ( mathcal {M}. )

ملاحظة 5. تحلل Lebesgue (s = s ^ { prime} + s ^ { prime prime} ) في النظرية 2 فريد. إذا كان أيضا

[u ^ { prime} ll t text {and} u ^ { prime prime} perp t ]

و

[u ^ { prime} + u ^ { prime prime} = s = s ^ { prime} + s ^ { prime prime} ، ]

ثم مع (P ) كما في المشكلة 3 ، (( forall X in mathcal {M}) )

[s ^ { prime} (X cap P) + s ^ { prime prime} (X cap P) = u ^ { prime} (X cap P) + u ^ { prime prime } (X cap P) ]

و (v_ {t} (X cap P) = 0. ) لكن

[s ^ { prime} (X cap P) = 0 = u ^ { prime} (X cap P) ]

عن طريق (t ) - الاستمرارية ؛ لذلك (8) يقلل إلى

[s ^ { prime prime} (X cap P) = u ^ { prime prime} (X cap P) ، ]

أو (s ^ { prime prime} X = u ^ { prime prime} X ) (لـ (s ^ { prime prime} ) و (u ^ { prime prime} ) يقيم في (ف )). وبالتالي (s ^ { prime prime} = u ^ { prime prime} ) على ( mathcal {M} ).

من خلال الملاحظة 4 ، يجوز لنا إلغاء (s ^ { prime prime} ) و (u ^ { prime prime} ) في

[s ^ { prime} + s ^ { prime prime} = u ^ { prime} + u ^ { prime prime} ]

للحصول على (s ^ { prime} = u ^ { prime} ) أيضًا.

ملاحظة 6. إذا كان (E = E ^ {n} left (C ^ {n} right) ، ) فإن (t ) - محدودية (v_ {s} ) في النظرية 2 زائدة عن الحاجة ، لـ ( v_ {s} ) محدود (النظرية 6 في الفصل 7 ، §11).

نحصل الآن على التعميم المطلوب للنظرية 1.

نتيجة طبيعية ( PageIndex {3} )

إذا كان ((S، mathcal {M}، m) ) عبارة عن ( سيجما ) - مساحة قياس محدودة ((S in mathcal {M}) ، ) ثم لأي مقياس عام

[ mu: mathcal {M} rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right) ، ]

هناك مقياس فريد معمم (م )

[s ^ { prime prime}: mathcal {M} rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right) ]

وخريطة ("فريدة" بشكل أساسي)

[f: S rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right) ، ]

( mathcal {M} ) - قابل للقياس و (م ) - قابل للتكامل على (S ، ) مع

[ mu = int f dm + s ^ { prime prime}. ]

(تنطبق الملاحظة 3 هنا.)

دليل

من خلال النظرية 2 والملاحظة 5 ، ( mu = s ^ { prime} + s ^ { prime prime} ) لبعض التدابير المعممة (الفريدة) (s ^ { prime} ، s ^ { prime prime}: mathcal {M} rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right) ، ) مع (s ^ { prime} ll m ) و (s ^ { رئيس رئيس} بيرب م. )

الآن استخدم Theorem 1 لتمثيل (s ^ { prime} ) كـ ( int f dm، ) مع (f ) كما هو مذكور. ينتج عن هذا النتيجة. ( رباعي مربع )


التحميل الان!

لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر لديك ، ستحصل على إجابات ملائمة مع حلول Bartle Lebesgue Integration. للبدء في العثور على حلول التكامل من Bartle Lebesgue ، فأنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

أخيرًا حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا على كل حلول Bartle Lebesgue للتكامل التي يمكنني الحصول عليها الآن!

لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

wtf هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

wtffff أنا لا أفهم هذا!

ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


الحدود الإسقاطية لمسافات الاحتمال ☆

تم تعميم نظرية Kolmogorov الكلاسيكية حول وجود عملية عشوائية في عدة اتجاهات بعد صياغتها المجردة من قبل Bochner. في النصف الأول من الورقة يتم تقديم عرض موحد للنتائج الرئيسية للعمل الحالي. يتكون النصف الثاني من بعض توصيفات الأنظمة الإسقاطية التي تسمح بحدود الإسقاط وبعض التطبيقات. يتضمن الأخير تعميمًا لنظرية تولسيا على مقاييس المنتج التي تتضمن احتمالات شرطية ، والتي لا تحتاج الآن إلى أن تكون منتظمة ، وتوصيف مارتينجال العادي من تشاو وسنيل ، كنظام إسقاطي خاص يعترف بالحد الإسقاطي. تم تضمين مقارنات مع أعمال أخرى وبعض الملاحظات ذات الصلة في عدة أماكن.


عزام ، ج ، ديفيد ، ج ، تورو ، ت: مسافة واسرشتاين وإمكانية تصحيح الإجراءات المضاعفة: الجزء الأول. آن. 364(1–2), 151–224 (2016)

ديفيد ، جي: مجموعات مفردة من Minimizers لوظيفة Mumford-Shah. التقدم في الرياضيات. Birkhäuser Verlag ، بازل (2005)

David، G.، Kenig، C.، Toro، T: بشكل مقارب مضاعفة التدابير بشكل مثالي ومجموعات reifenberg المسطحة مع ثابت التلاشي. كومون. تطبيق نقي. رياضيات. 54, 385–449 (2001)

فيدرر ، إتش: نظرية القياس الهندسي ، Grundlehren der Mathematishen Wissenschaften 153. Springer ، Berlin (1969)

ماتيلا ، ف: هندسة المجموعات والقياسات في المساحات الإقليدية: الفركتلات وقابلية التصحيح. دراسات كامبردج في الرياضيات المتقدمة ، المجلد. 44. مطبعة جامعة كامبريدج ، كامبريدج (1995)

برييس ، د: هندسة المقاييس في (^ n ): التوزيع وقابلية التصحيح والكثافة. آن. رياضيات. (2) 125(3), 537–643 (1987)

تولسا ، إكس: قابلية التصحيح الموحدة ، وعوامل كالديرون زيجموند ذات النواة الفردية ، وشبه المتعامدة. بروك. لوند. رياضيات. شركة (3) 98(2), 393–426 (2009)

تولسا ، X: النقل الجماعي وقابلية التصحيح الموحد. جيوم. Funct. شرجي. 22(2), 478–527 (2012)

تولسا ، إكس: مقاييس قابلة للتصحيح ، وظائف مربعة تتضمن كثافات ، وتحويل كوشي (2014). ما قبل الطباعة arXiv: 1408.6979

فيلاني ، سي: النقل الأمثل: القديم والجديد. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [المبادئ الأساسية للعلوم الرياضية] ، المجلد. 338- سبرينغر ، برلين (2009)


خيارات الوصول

شراء مقال واحد

الوصول الفوري إلى المقال الكامل PDF.

سيتم الانتهاء من حساب الضريبة أثناء الخروج.

اشترك في المجلة

الوصول الفوري عبر الإنترنت إلى جميع الإصدارات اعتبارًا من عام 2019. سيتم تجديد الاشتراك تلقائيًا سنويًا.

سيتم الانتهاء من حساب الضريبة أثناء الخروج.


التحميل الان!

لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر لديك ، ستحصل على إجابات ملائمة مع حلول Measure And Integral Zygmund. لتبدأ في العثور على حلول Measure And Integral Zygmund ، أنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

أخيرًا حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا على كل حلول القياس والتكامل Zygmund التي يمكنني الحصول عليها الآن!

لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

wtf هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

wtffff أنا لا أفهم هذا!

ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


نظرية الاحتمالية i، m loeve 1

مجموعات المساحات والقياسات ، والفئات ، والفئات • 1.1 1.2 1.3 1.4 التعريفات والرموز الاختلافات والنقابات والتقاطعات التسلسلات والحدود مؤشرات المجموعات xi 55 55 56 57 59 محتويات المجلد I Xll PAGE SECTION الحقول وحقول u- فئات أحادية اللون مجموعات المنتجات الوظائف والوظائف العكسية مسافات ووظائف قابلة للقياس 59 60 61 62 64 * 2 مساحات طبوغرافية * 2.1 طبولوجيا وحدود * 2.2 نقاط حدود ومساحات مدمجة * 2.3 إمكانية العد والمسافات المترية * 2.4 الخطية والمسافات المعيارية 65 1.5 1.6 * 1.7 * 1.8 * 1.9 قواعد المجموعة الإضافية 3.1 الإضافة والاستمرارية 3.2 تحلل وظائف المجموعة المضافة * 4 مجموعة المقاييس على الحقول u * 4.1 تمديد المقاييس * 4.2 احتمالات المنتج * 4.3 الاحتمالات المتسقة في حقول بوريل * 4.4 مقاييس Lebesgue-Stieltjes ووظائف التوزيع CoMPLEMENTS والتفاصيل 66 69 72 78 83 83 87 88 88 91 93 96100 الفصل الثاني: الوظائف القابلة للقياس والتكامل القابلة للقياس 5.1 الأرقام 5.2 الوظيفة العددية 5.3 الدوال القابلة للقياس 103105105107 القياسات والتقاربات 6.1 التعريفات والخصائص العامة 6.2 التقارب في كل مكان تقريبًا 6.3 التقارب في القياس 111 Ill 114116 التكامل 7.1 التكاملات 7.2 نظريات التقارب 118119125 التكامل غير المحدد التكاملات المتكررة 8.1 التحلل غير المحدود وقياسات المنتج والتكاملات المتكررة * 8.3 التكاملات المتكررة ومساحات المنتج اللانهائية 130130135137 المكونات والتفاصيل 139 فهرس نظرية أبيل ، 400 خاصية إضافة ، 10 دالة مجموعة مضافة ، 83 استمرارية ، 85 نظرية الاستمرارية ، 85 عدديًا ، 83 تحللًا ، 87 نظرية التحلل ، 88 التمديد ، 88 نظرية التمديد ، 88 محدود ، 83 ، 111 نهائيًا ، 83 تقييد ، 88 u-additive ، 83 ، 111 u-fini te ، 83 ، 111 التزام ، 66 نقطة ملتصقة ، 66 Alexandrov ، 190 ، 409 Allard ، 44 تقريبًا في كل مكان ، 112 تقارب ، 114 تقارب متبادل ، 114 شبه مؤكد ، 148 تقارب ، 152 ، 248 ، 260 تقارب متبادل ، 153 استقرار ، 244 ، 249 ، 274 ، 26 0 معيار الاستقرار ، 264 تقارب موحد تقريبًا ، 140 Andersen and Jessen ، 92 ، 408 نظرية مرور مقارب (تابع) ، 36 إهمال موحد ، 302 ذرة ، 100 مجال جذب ، 360 جزئيًا ، 403 استقرار ومعايير ، 364 معيار ، 402 بديهيات الحالة المعدودة ، 16 حالة محدودة ، نظرية فئة Baire ، 75 دالة ، 109 Banach ، مساحة 407 ، 81 عدًا أساسيًا ، 72 من الأسطوانة ، 62 Baxter ، 369 ، 390 ، 411 Bawly ، 302 ، 410 برنولي ، 407 القضية ، 12 ، 244 ، 280 ممتدة ، 26 قانون الأعداد الكبيرة ، 14 ، 244 ، 282 بيري ، 294 ، 410 بيلينجسلي ، 196 ، 409 بيناييمي ، 408 مساواة ، 12 ، 246 بلاكويل ، 369 ، 411 بوشنر ، 408 ، 409 نظرية ، 220 Boltzmann، 42، 43 Bolzano-Weierstrass property، 70 Ande

411 تكافؤ ، 377 ، 391 تكافؤ lemma ، 378 Andre ، Desire ، 47 Arcsine law ، 379 ، 404 نظرية السلوك المقارب ، 399413414 INDEX Borel (ian) ، 107 ، 407 ، 410 Can telli lemma ، 240 cylinder ، 93 field ، 93 ، 104 دالة ، 111 ، 156 نظرية دالة ، 156 سطرًا ، 93 ، 107 مجموعة ، 93 ، 104 مساحة ، 93 ، 107 قانون قوي للأعداد الكبيرة ، 18 ، 19 ، 26 ، 244 معيار صفر واحد ، 240 إحصائيات بوز آينشتاين ، 43 ، 44 محدد وظيفي ، 80 نظرية ليابونوف ، 213 ، 282 مجموعة ، 74 كليًا ، 75 اختلافًا ، 303 نظرية حد التباين ، 305 بورباكي ، 407 بريمان ، 409 براي ، 409 برانك ، 271 ، 410 كانتيللي ، 20 ، 240 ، 409 ، 410 نظرية كانتور ، 74 نظرية الامتداد Caratheodory ، 88 الفئة الأولى ، 75 ثانية ، 75 نظرية ، 75 معيار Cauchy التقارب المتبادل ، 74 ، 104 ، 114 توسيط ، 244 عند التوقعات ، 244 عند المتوسطات ، 256 دالة ، 350 معيار التقارب المركزي ، 323 ، 326 متباينات ، 316 مشكلة نهائية ، 302 نظرية نهائية ، 321 ، 322 نظرية إحصائية ، 20 سلسلة ، 29 ثابت ، 29 ابتدائي ، 29 ثابت ، 39 فصول متسلسلة ، 28 حدثًا ، 28 متغيرًا عشوائيًا ، 29 تغيير اللمة المتغيرة ، 190 وظيفة (وظائف) مميزة ، 198 نظرية التركيب ، 226 نظرية الاستمرارية ، 204 ، 224 معيار التقارب ، 204 والانقسام ، نظرية التمديد 386 ، 224 خاصية عامة ، 207 قابلة للتحلل بلا حدود ، 306 متكامل ، 202 صيغة انعكاس ، 199 مثلث ، 386 قابل للتحلل ذاتيًا ، 334 ثابتًا ، 338 ، 363 نظرية تقارب موحدة ، 204 Chung ، 407،409،410 and Fuchs ، 368 ، 383 ، 411 and Ornstein ، 383 ، 411 فئة مغلقة تحت ، 59 أقل ، 272 رتابة ، 60 مجموعة ، 55 العلوي ، 272 معيار التقارب المنحل الكلاسيكي ، 290 مشكلة حد ، 286 معيار تقارب عادي ، 292 فئة مغلقة من الحالات ، 36 نموذجًا ، 22 مجموعة ، 66 نظرية الإغلاق قوانين قابلة للتحلل بلا حدود ، 309 فهرس اندماجي ليمما ، 378 طريقة ، 47 مدمجة محليًا ، 71 مجموعة ، 69 مساحة ، 69 كومباكتيفاتي على ، 71 خصائص ضغط ، 70 نسبي ، 195 نسبي ، معيار ، 195 نظرية الضغط لوظائف التوزيع ، 181 مساحة مترية ، 76 مساحة منفصلة ، 70 مقارنة نظرية التقارب ، 117 lemma (s) ، 303 ، 320 مكمل ، 4 ، 56 تقارب كامل ، 180 معيار تقارب ، 204 قياس ، 91 مساحة مترية ، 74 نظرية الاكتمال ، Lr- ، 163 إكمال مساحة متري ، 77 مجال u ، 91 متغير عشوائي معقد، 154 التركيب، 204، 283 ونظرية التحلل، 283 lemma، 227 نظرية، 206 مركب (s) Poisson، 347 نظرية، 237 u-field، 237 توقع شرطي، 24 احتمال، 24 احتمال منتظم، 138 تناسق نظرية ، 94 متسق ، 93 سلسلة ثابتة ، 29415 دالة مجموعة الاستمرارية - theo rem ، 85 نظرية وظائف مميزة ، 204 ، 224 F- ، فاصل ، 187 P- ، مجموعة ، 189 دالة مستمرة ، 67 وظيفية ، 80 دالة Pset ، 85 التقارب في كل مكان تقريبًا ، 114 شبه مؤكد ، 153 شبه منتظم ، 140 كامل ، 180 أساسي ، 262 في المتوسط ​​التربيعي ، 260 في متوسط ​​rth ، 159 من تسلسل المجموعات ، 58 نوعًا ، 216 زيًا موحدًا ، 114 ضعيفًا ، 180 معيار التقارب (ria) في كل مكان تقريبًا ، 116 مركزيًا ، 323 ، 327 مكتملاً ، 204 متدهورًا ، 290 ، 329 iid، 346 iid central، 348 normal، 292، 328 Poisson، 308، 329 pr.'s on metric space، 190 ضعيف ، 203 مقارنة نظرية (ق) التقارب ، 117 مهيمن ، 126 Fatou-Lebesgu e ، 12 Lr- ، 165 لحظات ، 186 رتيبة ، 125 نوعًا ، 216 زيًا ، 20416 وظيفة مؤشر محدب ، 161 لمة مراسلة ، نظرية 344 ، 97 قابل للعد (لاي) ، 16 قاعدة ، 72 فئة ، 57 مجموعة ، 57 عملية مجموعة ، 57 قيمة ، 64 ، 106 تغطية مفتوحة ، قاعدة 69 ، 16 ج - عدم المساواة ، 157 كريمر ، 271 ، 408 ، 409 اسطوانة بوريل ، 62 منتج ، 62 دانييل ، 94 ، 408 قابل للتحلل بلا حدود ، 308 ذاتيًا ، 334 نظرية (سلاسل) تحلل ، 37 تكوين و ، نظرية، 283 نوع منحل، 283 دالة توزيع، 178،200 هان، 87 Lebesgue، 131 نوع عادي، 283 نوع بواسون، 283 دالة مميزة متدهورة، 215 معيار التقارب، 290، 329 دالة توزيع، 215 قانون، 215 وقت عشوائي، 376 متغير عشوائي ، 215 مشي عشوائي ، 370 نوع ، 215 مجموعة كثيفة ، 72 في أي مكان ، 75 دينوميرابل ، 16 فئة ، 57 مجموعة قابلة للكسر (متابعة) ، 57 عملية مجموعة ، 57 قيمة ، 64 ، 106 قطر مجموعة ، 74 تقسيم مزدوج ، معيار 380 ، 382 معادلات فرق ، 48 صحيح ، 56 مجموعة ، 56 اتجاه (تيد) ، 67 مجموعة ، 68 ديريتشليت ، 187 فئة منفصلة ، 57 حدثًا ، مجموعة ، 57 مسافة من النقاط ، 73 نقطة ومجموعات ، 78 مجموعة ، 77 توزيع ، 168 ، 172 ، 175 دالة توزيع تجريبي ، 20 دالة ، 20 ، 96 ، 169 ، 177 ثابتًا ، 39 Ld- ، احتمال 370 ، 168 دوبلين ، 30 ، 302 ، 354 ، 403 ، 410 ، 411 المجال ، 62 ، 108 من الجذب ، 360 جزئي ، 401 قياسي ، 402 نظرية التقارب المهيمن ، 126 Doubrovsky ، 408 Duality rule ، 57 Dugue ، 409 Dunford ، 408 Egorov theorem ، 141 Einstein ، 43 ، 44 Elementary chain ، 29 دالة INDEX الابتدائية (تابع) ، 64 ، 107 مجال احتمالية ، 16 متغير عشوائي ، 17 ، 152 دالة توزيع تجريبية ، 20 مجموعة فارغة ، 4 ، 54 تكافؤ Andersen ، 377 ، 393 Andersen ، lemma ، فئة 378 ، 154 تقارب ، 245 lemma ، قوانين، 290 lemma، سلسلة، 245 ذيل، 245 نظرية (نظريات)، 263، 379 دالة توزيع مكافئة، 96 دالة، 114 متغيرًا عشوائيًا، 154 ولاية، 36 Erdos، 34 Esseen، 294، 410 تقارب أساسي، 262 اختلاف، 262 أويلر، 47 أحداث، 3، 8، 151 منفصلة، ​​ابتدائية، 151 قابلة للاستبدال، 45، 21 مستحيل، 4، 151 مستقل، 11، 73، 235 فارغة، 152 عشوائي، 5 ، متأكد ، 4 ، 151 ذيل ، 241 حالة Everreturn ، 36 حدثًا قابلًا للتبادل ، 45 ، 373 متغيرًا عشوائيًا ، 373 مركز توقع عند ، معيار 244 ، 384 غير محدد ، 153417 توقع (تابع) لدالة عشوائية ، 156 من عشوائي تسلسل ، 154 متغير عشوائي ، 10 ، 17 ، 153 ، 154 حدًا أسيًا ، 266 هوية ، 388 ، 396 قانون برنولي الموسع للأعداد الكبيرة ، 26 خط بوريل ، 93 ، 107 مساحة بوريل ، 93 ، 107 قانون بوريل القوي للأعداد الكبيرة ، 26 معيار التقارب المركزي ، 326 نظرية الحد المركزي ، 322 معيار التقارب ، 306 Helly-Bray lemma ، 183 هوية ، 395 ملحق ، 88 من الوظائف المميزة ، 225 من الوظائف الخطية ، 81 من المقاييس ، 88 عامل (عوامل) متطرف ، 396 عينة الفضاء ، 392 ، 396 فريد ، نظرية ، 389 فيلر ، 34 ، 292 ، 302 ، 353 ، 354 ، 369 ، 371 ، 383 ، 407 ، 409-411 فيرمي دي Rac Statistics، 42، 43 Field (s)، 59 Borel، 93، 104 complex، 156 Lebesgue، 129 of results، probability، product، 61، 62 u-، 59 Finite intersection property، 70 period lemma، 45 Finetti، de، 302 ، 411418 ، محدودية القيمة ، 64 ، 106 الفئة الأولى ، 75 نظريات الحد ، 282 Fortet ، 409 Frechet ، 187 ، 408 نظرية Fubini ، 136 مجموعة الوظيفة (الوظائف) المضافة ، 83 Baire ، 111 توسيط ، 350 مميزة ، 199 ، 202 مستمر ، 67 محدب ، 161 ذو قيمة معدودة ، 64 ، 106 ذو قيمة قابلة للعد ، 64 ، 106 توزيع ، 20 ، 96 ، 169 ، 177 مجال ، 62 ، 107 ابتدائي ، 64 ، 107 مكافئ ، 114 F مستمر ، 187 محدود ، 105 ذو قيمة محدودة ، 64 ، 106 دالة ، 64 ، 106 معكوس ، 63 ، 106 قابل للقياس ، 65 ، 107 غير سالب محدد ، 219 عددي ، 105 P مستمر ، 187 جزء إيجابي من ، 105 عشوائي ، 152 ، 156 نطاق من ، 63 مدى فضاء، 62، 105 بسيط، 64، 107 ذيل، 241 وظيفي، 80 محدد، 80 مستمر، 80 خطي، 80 معياري، 80 خراب مقامر، 48 احتمالية هندسية، 49 Glivenko، 408 -Cantelli، 21 INDEX Gnedenko، 302 ، 3 54، 407، 409، 411 Gumbel، 45 Hadamard، 30 Hahn and Rosenthal، 408 Hahn decomposition theorem، 87 Halmos، 196، 408 Hausdorff، 408 space، 68 Heine-Borel property، 70 Helly، 409 Helly-Bray lemma، 182 extended ، 183 معمم ، 187 نظرية Helly-Bray ، 184 Herglotz lemma ، 220 Hewitt-Savage ، 374 ، 411 قانون واحد ، 374 مساحة هيلبرت ، 80 وقت الضرب ، 377 lemma ، 374 عدم مساواة حامل ، 158 Huygens مبدأ ، 28 خاصية تحديد الهوية ، 73 صورة ، معكوس فئة ، 63 ، 106 من مجموعة ، 63 ، 106 حدث مستحيل ، 4 ، 110 تكامل غير صحيح ، 130 زيادة عدم المساواة ، 208 حالة لا يمكن حلها ، 36 توقع غير محدد ، 154 متكامل ، 130 فئة مستقلة ، 11 ، 235 حدثًا ، 11 ، 235 دالة عشوائية ، 237 متغيرًا عشوائيًا ، 11 ، 237 متجهًا عشوائيًا ، 237 حقل u ، 236 تجربة ، مؤشر (مؤشرات) ، 9 ، 59 طريقة ، 44 قسم مستحث ، 64 ، 106 مساحة احتمالية ، 168 ، 171 u-field ، 64 طوبولوجيا ، 66 عدم المساواة (الروابط) الأساسية ، 159 المركزية ، 316 كر ، 157 حامل ، 158 متكامل ، 208 كولموغوروف ، 25 ، 247 ، 275 ليفي ، 259 Liapounov ، 177 Schwarz ، 158 تناظر ، 259 Tchebichev ، 11 ، 160 اقتطاع ، 209 تناظر ضعيف ، 258 حد أدنى ، 58 Infimum ، 56 ، 103 تحلل لانهائي ، 308 رقمًا ، 103 في كثير من الأحيان ، 241 تكامل ، 119 موحد ، 164 خاصية متكاملة دالة ، 202 عدم مساواة ، 208 نظرية التمثيل ، 166 تكامل (ق) دانييل ، 146 داربوكس يونغ ، 144 تعريف ، 119 خاصية أولية ، 120 غير لائق ، 130 مكرر ، نظرية ، 137 كولموغوروف ، 145 ليبيغ ، 129 ، 143 ليبيسغ-ستيل تي جي إس ، 128 Riemann، 129 Riemann-Stieltjes، 129419 تكامل بأجزاء lemma، 358 داخلي، 66 نقطة، 66 نظرية القيمة المتوسطة، 102 تقاطع (تقاطع)، 4، 56 خاصية محدودة، 70 فترة (فترات)، 61، 62، 104 لوغاريتم محدود ، 397 نظرية الثوابت ، 39 توزيع ثابت ، 39 دالة عكسية ، 63 ، 106 صورة ، 63 ، 106 صيغة معكوسة ، 199 لوغاريتم متكرر ، قانون ، 219 نظرية احتمالية شرطية منتظمة ، 138 Kac ، 407 ، 410 كاتز ، 411 كاراماتا ، 354 نظرية رئيسية ، 356 كواتا ، 210 ، 409 كيلي ، 4 08 Kemperman, 369, 393, 395, 410 Khintchine, 28, 302, 410 measure, 343 representation, 343 Kolmogorov, 30, 94, 302,407, 408, 410 approach, 145 inequalities, 25, 247, 275 strong law of large numbers, 251 three series criterion, 249 zero-one law, 241 Kronecker lemma, 250 Lambert, 46 Laplace, 22, 281, 286, 287, 407 Law of large numbers Bernoulli, 14, 26, 244, 282 Borel, strong, 18, 19, 26, 244 classical, 290 Kolmogorov, strong, 251 420 INDEX Law(s), 174 degenerate, 215, 281 equivalence lemma, 290 infinitely decomposable, 308 normal, 213, 281 of the iterated logarithm, 219 Poisson, 282 probability, 174, 214 self-decomposable, 334 stable, 326, 363 types of, 215 universal, 403 zero-one, 241, 374 Lebesgue, 408 approach, 143 decomposition theorem, 131 field, 129 integral, 129 measure, 128 sets, 129 Lebesgue-Stieltjes field, 128 integral, 128 measure, 128 Le Cam, 193, 409 Levy, P., 199, 301, 302, 408, 410 continuity theorem, 204 inequalities, 259 function(s), 361 measure, 343 representation, 34 3 Liapounov, 411 inequality, 174 theorem, 213, 287, 289 Limit of a directed set, 68 along a direction, 68 inferior, 58 superior, 58 Limit of a sequence of functions, 113 laws, 214 numbers, 104 sets, 58 Limit problem central, 302 classical, 286 Lindeberg, 292, 411 Line Borel, 93, 107 extended real, 104 real, 93, 103 Linear closure, 79 functional, 80 space, 70 Linearly ordered, 67 Liouville theorem, 369 Lomnicki, 409 Lower class, 272 variation, 87 £,completeness theorem, 163 convergence theorem, 164 spaces, 162 Lusin theorem, 140 Marcinkiewitz, 225, 254, 302, 409 Markov, 407 chain, 28 dependence, 28 inequality, 160 Lukacz, 408 Matrices, method of, 48 Matrix, transition probability, 29 Mean rth mean, 159 Measurable function, 107 sets, 60, 64, 107 space, 60, 64, 107 Measure, 84, 112 convergence in, 116 Khin tchine, 343 Lebesgue, 129 Lebesgue-Stieltjes, 128 Levy, 343 normed, 91, 151 INDEX Measure (Cont.) outer, 88 outer extension of, 89 product, 136 signed, 87 space, 112 Median, 256 centeri ng at, 256 Metric compactness theorem, 76 linear space, 79 space, 73 topology, 73 Minimal class over, 60 Minkowski inequality, 158 Moment(s) convergence problem, 187 convergence theorem, 186 kth, 157, 186 lemma, 254 rth absolute, 157, 186 Monotone class, 60 convergence theorem, 125 sequences of sets, 58 Montmort, 46 JL -measurable, 88 Multiplication lemma, 238 property, 11 rule, 24 theorem, 238 Negligibility, uniform asymptotic, 302, 314 Neighborhood, 66 Neyman, 407 Nikodym, 133, 408 Nonhereditary systems, 28 Nonrecurrent state, 31 No-return state, 31 Norm of a functional, 79 Hilbert, 80 of a mapping, 79 421 Normal approximation theorem, 300 convergence criterion, 307 decomposition theorem, 283 law, 213, 281 type, 283 Normalized distribution function, 199 Normed functional, 80 linear space, 79 measure, 91, 151 sums, 331 Nowhere dense, 75 Null set, 91, 112 state, 32 Numerical function, 105 Open covering, 69 set, 66 Ordering, partial, 67 Orthogonal random variables, 246 Outcome(s), of an experiment, field of, Outer extension, 89 measure, 88 Owen, 411 Parseval relation, 386 Parzen, 407 Petrov, 410 Physical statistics, 42 Planck, 44 Poincare recurrence theorem, 28 Poisson compound, 347 convergence criterion, 229, 329 decomposition theorem, 283 law, 282 theorem, 15 type, 283 422 INDEX Pollaczec, 396, 394, 400, 411 -Spitzer identity, 393, 400 Pollard, 34 Polya, 368, 409 Port, 369, 393, 412 Positive part, 105 state, 32 Positivity criterion, 33 Possible state(s), 370 value(s), 370 values theorem, 371 Probability, 5, 8, 16, 91, 151, 152 condi tiona!, 6, 24 convergence in, 153 convergence on metric spaces, 189, 190 distribution, 168 field, law, 214 product-theorem, 92 rule, total, 24 stability in, 244 sub, 187 transition, 29 Probability space, 91, 151, 152 induced, 168 product, 92 transition, 29 product, 92 sample, 168 Product cylinder, 62 field, 61, 62 measurable space, 61, 62, 137 measure, 136 probability, 92 probability theorem, 242 scalar, 80 set, 61 u-field, 61, 62 space , 61, 62 Prohorov, 190, 193, 264, 409 Quadratic mean convergence in, 260 Radon-Nikodym theorem, 133 extension, 134 Raikov, 283, 411 Random event, 5, function, 152, 156 sequence, 152, 155 time, 375 time identities, 390 time translations, 376 trial, variable, 6, 9, 17, 152 vector, 152, 155 walk, 47, 378, 379 Range, 63 space, 62, 105 Ranked random variables, 350 sums, 405 Ray, 369, 395, 412 Real line, 93 line, extended, 93, 107 number, 93 number extended, 93 space, 93 Recurrence, 380 criterion, 32 theorem(s), 27, 384 Recurrent state(s), 31, 380 walk, 28 Regular variation, 354 criterion, 354 Relative compactness, 190 theorem, 195 Representation theorem, 313 integral, 166 Restriction, 88 Return criterion, 32 state, 31 Riemann integral, 129 INDEX Riemann-Stieltjes integral, 129 Riesz, F., 222, rth absolute moment, 157, 186 mean, 159 Ruin, gambler's, 48 Saks,408 Savage,374 Scalar product, 80 Scheffe, 408 Schwarz inequality, 158 Section, 61, 62, 135 Self-decomposable(bili ty), 334 criterion, 3 35 Separable space, 68 Separation theorem, 68 Sequence(s) convergence equivalent, 245 random, 152, 155 tail of, 241 tail equivalent, 245 Series criterion three, 249 two, 263 Set function additive, 83 continuous, 85 countably additive, 83 finite, 82, 111 finitely, 83 u-additive, 83, 111 u-finite, 83, 11 Set(s) Borel, 93, 104 bounded, 74 closed, 66 compact, 69 dense, 72 directed, 68 empty, 4, 54 Lebesgue, 129 measurable, 60, 64, 107 null, 91, 112 open, 66 423 Set(s) (Cont.) product, 61 su bdirected, 69 totally bounded, 75 Shohat, 187 u-additive, 83, 111 u-field(s), 59 compound, 156, 235 independent, 236 induced, 64 product, 61, 62 tail, 241 Signed measure, 87 Simple function, 64, 107 random variable, 6, 152 Snell, 66 Space adjoint, 81 Banach, 79 Borel, 93, 107 compact, 69 complete, 74 Hausdorff, 68 Hilbert, 80 induced probability, 168 linear, 79 measurable, 60, 64, 107 measure, 112 metric, 73 metric linear, 79 normal, 78 normed linear, 79 probability, 91, 151, 152 product, 61, 62 product measurable, 61, 62, 137 product measure, 136 product probability, 91 range, 62, 105 sample probability, 168 separated, 68 of sets, 55 topological, 66 Sphere, 73 424 Spitzer, 369, 393, 394, 404, 410, 412 basic identity, 396 basic theorem, 401 Stability almost sure, 244 almost sure criterion, 264 and attraction criterion, 364 in probability, 244, 246 Stable characteristic function, 338 law, 338, 363 State(s) closed class of, 36 equivalent, 36 everreturn, 36 indecomposable class of, 36 nonrecurrent, 31, 380 no return, 31 nu1,32 period of, 33 positive, 32 possible, 370 recurrent, 31, 380 return, 31 transient, 380 Stationary chain, 39 Steinhaus, 409 Stiel tj es, 128, 129 Stochastic variable, 174 Stochastically independent, 11 Strong law of large numbers Borel, 18, 19, 26, 244 Kolmogorov, 241 Structure corollary, 348 theorem, 310 Subspace linear, 79 topological, 66 Sum of sets, 4, 51 Superior limit, 58 Supremum, 56, 103 Sure almost, 151 INDEX Sure (Cont.) event, 4, 151 Symmetrization, 257 inequalities, 259 inequalities, weak, 257 Tail equivalence, 245 event, 241 function, 241 of a sequence, 241 u-field, 241 Tchebichev, 409 inequality, 11, 160 theorem, 287 Tight(ness), 194 lemma, 194 and relative compactness, 195 theorem, 194 Three alternatives, 375 alternatives criteria, 399 series criterion, 249 Toeplitz lemma, 250 Topological space, 66 subspace, 66 Topology, 66 metric, 73 reduced, 66 Total(ly) bounded set, 75 probability rule, 24 variation, 87 Transition probability, 29 Trial(s) deterministic, identical, 5, independent, 5, random, repeated, 5, Triangle property, 73 Triangular characteristic function, 386 probability density, 386 INDEX Truncation, 245 inequality, 209 Tulcea, 138, 408 Tucker, 410 Two-series criterion, 251 Type(s), 215 convergence of, 216 degenerate, 215, 282 normal, 282 Poisson, 282 Ugakawa, 102 Uniform asymptotic negligibility, 302, 314 continuity, 77 convergence, 114 convergence theorem, 204 Union, 4, 56 Upper class, 272 variation, 87 Urysohn, 78 Uspe nsky, 407 Value(s), possible, 370 theorem, 371 Variable, random, 69, 17, 152 Variance, 12, 244 425 Variances, bounded, 302 limit theorem, 305 Variation lower, 87 regular, 354 slow, 354 total, 87 of truncated moments, 359 upper, 87 Vector, random, 152, 155 Wald's relation, 377, 397 Weak compactness theorem, 181 convergence, 180 convergence, to a pr., 190 symmetrization inequalities, 257 convergence, to a pr., 190 Weierstrass theorem, Wendel, 412 Zero-one criterion, Borel, 24 law, Kolmogorov, 241 law, Hewitt-Savage, 374 Zygmund, 409 Graduate Texts in Mathematics Soft and hard cover editions are available for each volume up to Vol 14, hard cover only from Vol 15 TAKEUTI/ZARING Introduction to Axiomatic Set Theory vii, 250 pages 1971 OxTOBY Measure and Category viii, 95 pages 1971 ScHAEFFER Topological Vector Spaces xi, 294 pages 1971 HILTON/STAMMBACH A Course in Homological Algebra ix, 338 pages 1971 (Hard cover edition only) MACLANE Categories for the Working Mathematician ix, 262 pages 1972 HUGHES/PIPER Projective Planes xii, 291 pages 1973 SERRE A Course in Arithmetic x, 115 pages 1973 TAKEUTI/ZARING Axiomatic Set Theory viii, 238 pages 1973 HUMPHREYS Introduction to Lie Algebras and Representation Theory xiv, 169 pages 1972 10 11 COHEN A course in Simple Homotopy Theory xii, 114 pages 1973 CONWAY Functions of One Complex Variable 2nd corrected reprint xiii, 313 pages 1975 (Hard cover edition only.) 12 13 BEALS Advanced Mathematical Analysis xi, 230 pages 1973 ANDERSON/FULLER Rings and Categories of Modules ix, 339 pages 1974 14 GoLUBITSKY/GVILLEMIN Stable Mappings and Their Singularities x, 211 pages 1974 15 BERBERIAN Lectures in Functional Analysis and Operator Theory x, 356 pages 1974 16 WINTER The Structure of Fields xiii, 205 pages 1974 17 RoSENBLATT Random Processes 2nd ed x, 228 pages 1974 18 HALMOS Measure Theory xi, 304 pages 1974 19 HALMOS A Hilbert Space Problem Book xvii, 365 pages 1974 20 HusEMOLLER Fibre Bundles 2nd ed xvi, 344 pages 1975 21 HUMPHREYS Linear Algebraic Groups xiv 272 pages 1975 22 BARNES/MAcK An Algebraic Introduction to Mathematical Logic x, 137 pages 1975 23 24 GREUB Linear Algebra 4th ed xvii, 451 pages 1975 HoLMES Geometric Functional Analysis and Its Applications x, 246 pages 1975 25 HEWITT/STROMBERG Real and Abstract Analysis 3rd printing viii, 476 pages 1975 26 MANES Algebraic Theories x, 356 pages 1976 27 KELLEY General Topology xiv, 298 pages 1975 28 ZARISKI/SAMUEL Commutative Algebra I xi, 329 pages 1975 29 ZARISKI/SAMUEL Commutative Algebra II x, 414 pages 1976 30 JACOBSON Lectures in Abstract Algebra I: Basic Concepts xii, 205 pages 1976 31 JACOBSON Lectures in Abstract Algebra II: Linear Algebra xii, 280 pages 1975 32 JACOBSON Lectures in Abstract Algebra III: Theory of Fields and Galois Theory ix, 324 pages 1976 33 HIRSCH Differential Topology x, 222 pages 1976 34 SPITZER Principles of Random Walk 2nd ed xiii, 408 pages 1976 35 WERMER Banach Algebras and Several Complex Variabl


Download Now!

We have made it easy for you to find a PDF Ebooks without any digging. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Measure And Integration An Introduction Henk De Snoo . To get started finding Measure And Integration An Introduction Henk De Snoo , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Our library is the biggest of these that have literally hundreds of thousands of different products represented.

Finally I get this ebook, thanks for all these Measure And Integration An Introduction Henk De Snoo I can get now!

I did not think that this would work, my best friend showed me this website, and it does! I get my most wanted eBook

wtf this great ebook for free?!

My friends are so mad that they do not know how I have all the high quality ebook which they do not!

It's very easy to get quality ebooks )

so many fake sites. this is the first one which worked! Many thanks

wtffff i do not understand this!

Just select your click then download button, and complete an offer to start downloading the ebook. If there is a survey it only takes 5 minutes, try any survey which works for you.


Download Now!

We have made it easy for you to find a PDF Ebooks without any digging. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Measure Theory Integration Exercises With Solution . To get started finding Measure Theory Integration Exercises With Solution , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Our library is the biggest of these that have literally hundreds of thousands of different products represented.

Finally I get this ebook, thanks for all these Measure Theory Integration Exercises With Solution I can get now!

I did not think that this would work, my best friend showed me this website, and it does! I get my most wanted eBook

wtf this great ebook for free?!

My friends are so mad that they do not know how I have all the high quality ebook which they do not!

It's very easy to get quality ebooks )

so many fake sites. this is the first one which worked! Many thanks

wtffff i do not understand this!

Just select your click then download button, and complete an offer to start downloading the ebook. If there is a survey it only takes 5 minutes, try any survey which works for you.


Πραγματική Ανάλυση (μεταπτ.)

Το μεταπτυχιακό μάθημα «Πραγματική Ανάλυση» είναι μια εισαγωγή στη θεωρία ολοκλήρωσης καθώς και σε συναφείς έννοιες και αποτελέσματα της Πραγματικής και Συναρτησιακής ανάλυσης και της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Σκοπός του μαθήματος είναι να διδάξει στο φοιτητή τις βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στο χτίσιμο της θεωρίας του ολοκληρώματος αλλά και χρήση του ολοκληρώματος αυτού (ολοκλήρωμα Lebesgue) στη Μαθηματική πράξη.

Θα ακολουθήσουμε το βιβλίο του Walter Rudin, «Real and Complex Analysis, 3rd Edition».

Σε κάποιες περιπτώσεις όμως μπορεί να στηριχθούμε σε άλλα βιβλία ή σημειώσεις.

Ο βαθμός του φοιτητή θα προκύψει κατά 20% από τα σετ ασκήσεων που θα λύνει κάθε εβδομάδα, κατά 30% από το ενδιάμεσο διαγώνισμα (περί την 7η εβδομάδα του εξαμήνου) και κατά 50% από το τελικό διαγώνισμα.

Κάθε εβδομάδα, συνήθως Πέμπτη, θα σας δίνω από ένα φυλλάδιο ασκήσεων, τις λύσεις των οποίων θα πρέπει να μου επιστρέψετε μια βδομάδα μετά, στο μάθημα.

Θα πρέπει οι λύσεις που θα παραδίδετε να είναι σωστές, σύντομες (χωρίς να μακρυγορείτε αλλά και χωρίς να αφήνετε απ' έξω κάτι σημαντικό) και να είναι δικές σας . Το να παραδώσετε ασκήσεις που έχετε γράψει από άλλους δεν επιτρέπεται. Μπορείτε φυσικά να συζητάτε τα προβλήματα με άλλους αλλά η λύση που θα μου δίνετε θα πρέπει να είναι γραμμένη από σας και να έχει κατανοηθεί πλήρως από εσάς. Το να μου δίνετε ασκήσεις που δεν έχετε λύσει δε βοηθάει ούτε και μένα (γιατί δε θα καταλαβαίνω αν έχετε πρόβλημα να κατανοήσετε κάτι) αλλά ούτε και σας.

Περιοδικά θα ζητώ από κάποιους από σας να μας παρουσιάσουν τη λύση κάποιας άσκησης στο μάθημα.

Είδαμε τι είναι μια σ-άλγεβρα πάνω σε ένα σύνολο . Σε ένα τέτοιο μετρήσιμο χώρο ορίζεται έπειτα η έννοια της μετρήσιμης συνάρτησης , όπου είναι ένας μετρικός (ή, γενικότερα, τοπολογικός) χώρος. Κάναμε μια πολύ σύντομη ανασκόπηση του τι είναι μετρική και μετρικός χώρος και ορίσαμε επίσης την έννοια του τοπολογικού χώρου (αν και κυρίως θα χρησιμοποιούμε μετρικούς χώρους). Δείξαμε τέλος ότι η σύνθεση μιας συνεχούς συνάρτησης με μια μετρήσιμη συνάρτηση διατηρεί τη μετρησιμότητα (Θεώρημα 1.7 του βιβλίου σας). Διαβάστε μόνοι σας και το Θεώρημα 1.8 που είναι πολύ παρόμοιο.

Όσοι από εσάς έχετε ξεχάσει τα περί μετρικών χώρων ή δεν τα μάθατε ποτέ, θα πρέπει να θυμηθείτε διάφορα βασικά. Αρχίστε διαβάζοντας τις πρώτες 17 σελίδες από τις πολύ καλές σημειώσεις του συναδέλφου κ. Μήτση.

Την Πέμπτη θα πάρετε το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων, με παράδοση μια βδομάδα μετά.

Διατήρηση της μετρησιμότητας από αλγεβρικές πράξεις μεταξύ συναρτήσεων, όπως και από μέγιστα, ελάχιστα, sup και inf, καθώς και limsup, liminf και lim μετρησίμων συναρτήσεων.

σ-άλγεβρα που παράγεται από μια οικογένεια συνόλων. Σύνολα Borel σ' ένα τοπολογικό χώρο. Σύνολα και παραδείγματα.

Οι επεκτεταμένοι πραγματικοί αριθμοί και αλγεβρικές πράξεις με τα άπειρα.

Απλές συνάρτήσεις (μη αρνητικές προς το παρόν) και θεώρημα μονότονης προσέγγισης κάθε μη αρνητικής μετρήσιμης συνάρτησης από κάτω από ακολουθία απλών συναρτήσεων.

Μη αρνητικά μέτρα και μιγαδικά μέτρα.

Σήμερα είδαμε μερικά παραδείγματα χώρων μέτρου (κυρίως το counting measure, τη μάζα Dirac) και έπειτα ορίσαμε το ολοκλήρωμα απλής μη αρνητική συνάρτηση και από αυτό τον ορισμό και το θέωρημα που δείξαμε την προηγούμενη φορά που μας επιτρέπει να προσεγγίσουμε κάθε μη αρνητική μετρήσιμη συνάρτηση από μια αύξουσα ακολουθία απλών ορίσαμε και το ολοκλήρωμα οποασδήποτε μη αρνητικής μετρήσιμης συνάρτησης. Είδαμε διάφορες ιδιότητες του ολοκληρώματος και καταλήξαμε να αποδείξουμε το θεώρημα μονότονης σύγκλισης καθώς και το πόρισμά του για την ολοκλήρωση κατά όρους σειράς μη αρνητικών συναρτήσεων. Είδαμε επίσης με ποια μεθοδολογία μπορεί κανείς να μεταγράψει κάποια θεωρήματα που αφορούν ολοκληρώματα σε αντίστοιχα θεωρήματα που αφορούν σειρές, χρησιμοποιώντας το counting measure.

Αποδείξαμε το Λήμμα του Fatou και το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης (Dominated Convergence Theorem). Ορίσαμε το ολοκλήρωμα μιγαδικών (και πραγματικών) συναρτήσεων και πλέον δε μιλάμε μόνο για ολοκληρώματα μη αρνητικών συναρτήσεων. Είδαμε τις βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος (γραμμικότητα, τριγωνική ανισότητα). Μιλήσαμε για το τι σημαίνει για μια ιδιότητα να ισχύει «σχεδόν παντού» και το πώς μπορεί κανείς σε διάφορα θεωρήματα, όπως το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης, να απαιτεί τις υποθέσεις του να ισχύουν μόνο σχεδόν παντού (και όχι κατ' ανάγκην παντού). Είδαμε ότι μια σειρά συγκλίνει σχεδόν παντού όταν η σειρά των ολοκληρωμάτων των απολύτων όρων συγκλίνει και στην περίπτωση αυτή μπορούμε να αλλάξουμε το ολοκλήρωμα με το άθροισμα.

Έχουμε ουσιαστικά τελειώσει με το Κεφάλαιο 1 του βιβλίου.

  1. Παρακαλώ πολύ γράφετε πιο καθαρά. Σε ορισμένες περιπτώσεις μου είναι δύσκολο να καταλάβω τι γράφετε. Δεν είστε γιατροί και δεν είμαι φαρμακοποιός.
  2. Κοιτάτε τις λύσεις που ανεβάζω και συγκρίνετε με τις δικές σας. (Καλό είναι να κρατάτε ένα αντίγραφο των ασκήσεων που μου δίνετε μήπως και είτε αργήσω να τα διορθώσω ή χαθεί κάτι. Όσοι έχετε smartphone ένα πολύ καλό πρόγραμμα για «σκανάρισμα» εγγράφων είναι το camscanner.)
  3. Κάποιοι μου γράφουν μερικές φοβερά πολύπλοκες λύσεις που σχεδόν σίγουρα τις έχουν διαβάσει από κάπου. Το πρόβλημα είναι ότι δεν τις καταλαβαίνουν. Αν δε καταλαβαίνετε κάτι μην το γράφετε. Ο βαθμός που θα πάρετε στα φυλλάδια των ασκήσεων δεν είναι τόσο μεγάλος. Είναι πολύ προτιμότερο αν δε καταλαβαίνετε μια άσκηση να μην τη γράφετε, ώστε κι εγώ να βλέπω πού έχετε δυσκολίες.
  4. Προσπαθείτε να μη γράφετε πάρα πολλά. (Ορισμένα γραπτά είναι κανονική οικολογική καταστροφή.) Είναι κι αυτό μια τέχνη που πρέπει να μάθετε, το να μην υπερεξηγείτε αυτά που θα όφειλαν να είναι προφανή. Αλλιώς ο αναγνώστης δεν καταλαβαίνει ποιο κομμάτι της λύσης σας είναι το σημαντικό.
  5. Δεν εναλλάσουμε όρια χωρίς αιτιολόγηση (το είδα σε μερικά γραπτά). Τα δύο όρια και της διπλής ακολουθίας δεν είναι κατ' ανάγκη ίσα. Πάρτε π.χ. την .
  6. Σε πολλά γραπτά είδα τη συνεπαγωγή «η είναι σ.π. πεπερασμένη, άρα υπάρχει κάποιο τέτοιο ώστε σ.π.» Αυτό είναι λάθος (σοβαρό). Σχεδόν παντού πεπερασμένη δε συνεπάγεται ότι είναι φραγμένη η . Πάρτε π.χ. την για . Είναι παντού πεπερασμένη αλλά σίγουρα όχι φραγμένη.
  7. Όπυ βάζω στα γραπτά το σημάδι +++ σημαίνει ότι θα ήθελα να επεξηγήσετε περισσότερο το σημείο αυτό.

Είδαμε κατ' αρχήν την έννοια του θετικού γραμμικού συναρτησοειδούς, παρατηρήσαμε ότι στο γραμμικό χώρο το ολοκλήρωμα Riemann μιας συνάρτησης

υπάρχει (το ξανααποδείξαμε) και είναι θετικό γραμμικό συναρτησοειδές και έπειτα αναφέραμε (χωρίς απόδειξη) το θεώρημα αναπαράστασης του Riesz (Θ. 2.14 στο βιβλίο του Rudin). Δείξαμε πώς από το θεώρημα αυτό συνάγεται η ύπαρξη του μέτρου Lebesgue, ενός μέτρου που ορίζεται σε μια σ-άλγεβρα μεγαλύτερη από τη Borel σ-άλγεβρα, και που γενικεύει το ολοκλήρωμα Riemann (που το έχουμε μόνο για συνεχείς ή, έστω, τμηματικά συνεχείς συναρτήσεις) σε όλες τις Borel μετρήσιμες συναρτήσεις στο ή στο . Δείξαμε μερικές βασικές ιδιότητες του μέτρου Lebesgue, πως π.χ. δίνει μέτρο 0 σε κάθε αριθμήσιμο σύνολο. Δεν είναι απαραίτητο όμως γιαένα να αι αμμο για να μέτρο ليبزيج 0 αι α βλέπου π ράδειγ τρι. Δεν είπαμε ακόμη αράδειγμα συνόλου στο που δεν είναι Lebesgue μετρήσιμο (Θ. 2.22).

. Ίσως α ανεί μη μαζί με τις ασκήσεις που περιέχονται.

Μιλήσαμε με λεπτομέρεια για το σύνολο του كانتور (ένα υπαριθμήσιμο σύνολο στο που έχει μέτρο Lebesgue μηδέν). Το σύνολο كانتور (του οποίου υπάρχουν πολλές παραλλαγές) έχει. Ρίξτε μια ματιά εδώ.

Αποδείξαμε ότι υπάρχουν υποσύνολα που δεν είναι Lebesgue μετρήσιμα (& # 1672.22 στο Rudin - δεν πήγαμε πέρα ​​από κει στο Κεφ.2).

Από το Κεφ. 3 αποδείξαμε την ανισότητα του جنسن για κυρτές συναρτήσεις (που είδαμε ότι αποτελεί κατά κάποιον τρόπο μια γενίκευση του ορισμού της κυρτότητας συνάρτησης) και αποδείξαμε επίσης και την ανισότητα του H & # 246lder (Θ 3.5 στο رودين).

Δείξαμε σήμερα ξανά την ανισότητα H & # 246 أقدم (χρησιμοποιώντας την ανισότητα του يونغ: για αι ). Από νισότητ ανισότητα H & # 246 أقدم δείξαμε μετά την ανισότητα Minkowski που είναι η ανισότητα για νόρμες . Είδαε υτές α οι α μας δίνουν (مقياس عد μοποιώντας) Αποδείξαμε ότι οι χώροι είναι πλήρεις μετρικοί χώροι.

Δείξαμε ότι σε κάθε χώρο μέτρου οι απλές συναρτήσεις είναι πυκνές στους χώρους , . (Για το χώρο . Για τους ολοκληρωτικούς χώρους αυτό δε χρειάζεται.)

Δείξαμε έπειτα ότι ο χώρος (συνεχείς συναρτήσεις με συμπαγή φορέα) αι επίσης πυκνές στους , ، φτάνει ο χώρος αείν ας τοπικά μπαγής μετρικός χώρος. Η πυκνότητα .

μοποιώντας προηγούμενο δείξαμε ότι οι ολοκληρωτικοί χώροι είναι διαχωρίσιμοι ، ότι δηλ. έχουν κάποιο αριθμήσιμο πυκνό. Αυτό δεν ισχύει για τον αι το αποδείξαμε.

μερα κάναμε μια μικρή εισαγωγή στους هلبرت. Ξεκινήσαμε το Κεφ. 4 και καλύψαμε τις μέχρι και το Θ. 4.11 (διάσπαση χώρου Hilbert στο άθροισμα ενός κλειστού υπόχωρου και του μπληρώματός του (ορθογώνιες προβολές).

Σήμερα συνεχίσαμε να μιλάμε για هلبرت. αμ το τομα αναπαράστασης 4.12 αι μιλήσαμε μετά για ορθοκανονικά σύνολα. Υπολογίσαμε την ορθογώνια προβολή του σε ένα που πααι από ένα πεπερασμένο ορθοκανονικό ، και είδαμε ότι οι συντελεστές της προβολής ως προς τα αι οι αριθμοί . Από αυτό αποδείξαμε την ανισότητα Bessel για ορθοκανονικό σύνολο. Καταλήξαμε με το Θ. 4.18 συνοψίζει κάποιες β αυτά.

Το μεσο διαγώνισμα α την μπτη 3-11-2016 ، την πτηα του μαθήματος. Να στην αίθουσα ακριβώς στις 9:00 (ίθουσαα αι να αλλάξει-θα ενημερωθείτε). .

εδώ ν -2016 2016. Το διαγώνισμα α διάρκεια 2 ώρες. . Θα και 2ο υπόδειγμα μενο Σαββατοκύριακο. Δε θ.

Μιλήσαμε κατ 'αρχήν για τους χώρους αι (χώροι 1-περιοδικών συναρτήσεων) και για ορθοκανονική βάση

χωρίς ό εκθετικών. Είδαμε ότι οι συντελεστές فورييه

ορίζονται ευρύτερα για όλες τις συναρτήσεις στο (με άλλα α για όλες τις 1-συν συναρτήσεις στο που είναι ολοκληρώσιμες στο . Μιλήσαμε επίσης για ετ μετασχηματισμό فورييه

που ορίζεται για κάθε αι αποδείξαμε το Λήμμα Riemann-Lebesgue (δηλ. ) αι το ότι ο μετασχηματισμός فورييه είναι ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση στο .

فيجر

Αυτά που είπαμε (και που θα με και την μπτη) μπορείτε να α α Κεφ. 2 και 3 του βιβλίου αυτού.

Συνεχίσαμε σήμερα συζήτηση α νάλυσηνάλυση فورييه περιοδιώναρτήσεων Αποδείξαμε το Θεώρημα του Fejer που λέει ότι οι سيزارو έσοι των μερικών ερικών θροισ فورييه μια περιοδικής συνάρτησης ο Αυτό έχει ως συνέπεια την πληρότητα των εκθετικών (πυκνότητα των τριγωνομετρικών πολυωνύμων) στο χώρο .

Στο μμα Τρίτης θα ασχοληθούμε με α και θα αλύψουμε νέα & # 171ύλη & # 187.

μερα ασχοληθήκαμε με διάφορες από σκήσεις ασκήσεις των υποδειγμάτων διαγωνίσματος.

Το διαγώνισμα α γίνει στην Α208. αρακαλώ α εκεί στις 9:00 ακριβώς.