مقالات

2.2: حقائق حول حدود المتتاليات - الرياضيات


2.2: حقائق حول حدود المتتاليات - الرياضيات

قم بتقييم حد التسلسل المحدد بواسطة $ a_1 = 1 $ و $ a_ = sqrt <6 + a_n> $.

لتقييم هذا الحد ، سنقوم باستقراء الاختزال لنوضح أولاً أن التسلسل $ $ يتزايد ويقيد أعلاه.

نلاحظ أولاً أن $ a_1 = 1 $ و $ a_2 = sqrt <6 + a_1> = sqrt <7> $ و $ a_3 = sqrt <6 + a_2> = sqrt <6 + sqrt <7> > دولار. في كلتا الحالتين ، يبدو أن تسلسلنا يتزايد ، وسنثبت ذلك بالاستقراء الرياضي. حالتنا الأساسية $ a_1 & lt a_2 $ معروضة بالفعل أعلاه. افترض أن $ a_k & lt a_$. نريد أن نظهر أن $ a_ & lt ل$. نحصل على هذا $ a_ = sqrt <6 + a_> & gt sqrt <6 + a_k> = a_$ ، وهكذا $ $ آخذ في الازدياد.

نحتاج الآن إلى إظهار أن $ $ مقيد. نفترض أن $ $ يحده أعلاه $ 3 $ بما أن $ a_1 = 1 & lt 3 $. افترض الآن أن $ a_k & lt 3 $. نريد أن نظهر أن $ a_ & lt 3 دولارات. إذن لدينا هذا $ a_ = sqrt <6 + a_k> & lt sqrt <6 + 3> = 3 $. لذلك $ a_n & lt 3 $.

تذكر الآن أنه بما أن $ f (x) = sqrt <6 + x> $ دالة مستمرة ، فلدينا ما يلي:

لذلك نحتاج إلى حل المعادلة $ L = sqrt <6 + L> $ أو بالأحرى $ L ^ 2 = 6 + L $ التي يكون لها حل عندما يكون $ L = 3 $ و $ L = -2 $. اخترنا $ L = 3 $ نظرًا لأن حدنا لا يمكن أن يكون سالبًا لأن $ $ يتزايد في النهاية.


المتواليات في الفراغات المترية

لأي تسلسل $ x_n $ يمكننا النظر في مجموعة القيم التي يصل إليها ، وهي [ = n in N >. ] من المهم تمييز هذه المجموعة عن التسلسل نفسه. على سبيل المثال ، إذا كان $ X = R $ ، و $ x_n = 1 $ لكل $ n in N $ ، فإن التسلسل $ x_n $ هو $ 1 ، 1 ، 1 ، dots $ ، أي تسلسل لا نهائي من الآحاد . مجموعة قيم هذا التسلسل هي $ <1 > $ ، وهي مجموعة فرعية من $ R $ مع عنصر واحد فقط.

سيكون من المفيد غالبًا أن ندرك أنه في تسلسل متزايد للأعداد الطبيعية $ n_k $ ، يمتلك المرء دائمًا $ n_k geq k $. هذا صحيح لأن المجموعة $ ، n_k > $ يتكون من $ k $ أرقام طبيعية مختلفة ، وكلها أقل من أو تساوي $ n_k $. يمكن أن يحدث هذا فقط إذا كان $ n_k geq k $.

نكتب $ lim_ x_n = $ أو $ x_n إلى $.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك تسلسل النقاط $ x_n = bigl ( frac1n، frac1 bigr) $ في الطائرة. يتبع من [ frac1n إلى 0 ، qquad frac1 to0، ] أن $ x_n to (0،0) $ في $ R ^ 2 $.

وبعبارة أخرى ، فإن أي نتيجة لاحقة لتسلسل متقارب تتقارب أيضًا ولها نفس الحد.

دليل. دعنا نعطي $ epsilon gt0 $. منذ $ x_n to p $ يوجد $ N_ epsilon in N $ مثل أن $ x_n في B_ epsilon (p) $ لجميع $ n geq N_ epsilon $. إذا كان $ k geq N_ epsilon $ ثم $ n_k geq k $ ، بحيث يكون $ n_k geq N_ epsilon $ ، وبالتالي $ x_ في B_ إبسيلون (ع) $. هذا يعني ، بحكم التعريف ، أن $ x_ to p $ كـ $ k to infty $. ////

إذا تقارب التسلسل $ x_n $ إلى حد ، لنقل $ x_n to ell $ ، فإن كل تتابع من $ x_n $ سيتقارب أيضًا مع $ ell $. التسلسل $ x_n $ يحتوي على التالي التالي [y_k = x_ <2k> ، qquad z_k = x_ <2k-1>. ] التسلسل $ y_يتكون $ من جميع الإدخالات الزوجية ، وبما أن $ y_k = 1 $ لكل $ k in N $ ، لدينا $ y_k to 1 $. إذا تقارب التسلسل $ x_n $ مع رقم ما $ ell $ ، فيجب أن يكون هذا الرقم $ ell = + 1 $. من ناحية أخرى ، فإن اللاحقة $ z_k = x_ <2k-1> = -1 $ تتقارب مع $ -1 $ ، لذا فإن أي حد للتسلسل $ x_n $ يجب أن يكون $ ell = -1 $. لا يمكن أن يكون الحد 1 دولار و 1 دولار في نفس الوقت.

حسب التعريف ، يُطلق على التسلسل $ x_n $ اسم رتيب إذا كان إما $ x_n leq x_يحتجز $ لكل $ n in N $ ، وفي هذه الحالة يسمى التسلسل nondecreasing ، أو if $ x_n geq x_$ لكل $ n in N $ ، وفي هذه الحالة يُقال أن التسلسل غير متزايد.


مراجعة الرياضيات من المستوى A تبحث في المتتاليات بما في ذلك التدوين والتسلسلات المتقاربة وعلاقات التكرار.

في التسلسل 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10. يوجد نمط واضح. يمكن التعبير عن مثل هذه التسلسلات من حيث المصطلح n من التسلسل. في هذه الحالة ، الحد n = 2n. للعثور على الحد الأول ، ضع n = 1 في الصيغة ، للعثور على الحد الرابع ، استبدل n "s بـ 4" s: 4th term = 2 × 4
= 8.

المحاولة و الخطأ

ما هو الحد النوني من المتتالية 2 ، 5 ، 10 ، 17 ، 26.؟
لنستخدم التجربة والخطأ (تخمين ما نعتقد أنه سينجح بشكل أساسي):

ن = 1 2 3 4 5
ن² = 1 4 9 16 25
n² + 1 = 2 5 10 17 26

هذا هو التسلسل المطلوب ، لذا فإن المصطلح n هو n² + 1. بالنسبة لبعض التسلسلات ، لا توجد طريقة سهلة لحساب الحد n من المتتالية ، بخلاف تجربة الاحتمالات المختلفة.

تلميحات: إذا كان التسلسل يرتفع بثلاثية (على سبيل المثال ، 3 ، 6 ، 9 ، 12.) ، فمن المحتمل أن يكون هناك ثلاثة في الصيغة ، إلخ.

في كثير من الحالات ، ستظهر الأعداد المربعة ، لذا حاول تربيع n ، على النحو الوارد أعلاه. أيضًا ، غالبًا ما تظهر صيغة الأرقام المثلثية. هذا هو ½n (ن + 1).

يُكتب المصطلح n من التسلسل أحيانًا على أنه Uن . لذلك في المثال الأخير ، Uن = n² + 1. وبالتالي فإن المصطلح الخامس هو U5 = 25 + 1 = 26.

متواليات متقاربة

تُعرف المتواليات التي يقترب حدها n من عدد محدد عندما يصبح n أكبر بالتسلسلات المتقاربة ويعرف الرقم الذي يتقارب معه التسلسل بحد التسلسل. على سبيل المثال: 10 ، 5 ، 2.5 ، 1.25 ، 0.625 ،. يتقارب (يقترب أكثر فأكثر) نحو الحد صفر.

علاقات التكرار

هذا هو المكان الذي يتم فيه تعريف المصطلح التالي من التسلسل باستخدام المصطلح (المصطلحات) السابقة. لتحديد علاقة التكرار ، يجب عليك إعطاء المصطلح الأول. ثم تقدم صيغة لإخبارك بكيفية تحديد المصطلح التالي من المصطلح السابق.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التسلسل: 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ،. . يتم الحصول على كل حد في التسلسل عن طريق مضاعفة الحد السابق. لذلك لتحديد علاقة التكرار ، نعطي المصطلح الأول ، مكتوبًا U1 = 2. ثم نكتب: شن = 2 (يون -1). هذا يعني فقط أن الحد n ، Uن يساوي 2 × (n-1) الحد ، Uن -1.


الرياضيات

نظرة توراتية للرياضيات

محتويات

1 المقدمة
1. دوغماتية الحياد
أ. فرضية الحياد التي لم تؤيدها ظواهر الرياضيات
2. الحقيقة الحسابية
3. معايير الإثبات
4. الحقيقة النظرية العددية
5. الحقيقة الهندسية
6. حقائق التحليل
7. الوجود الرياضي
ب- يفترض الحياد عدم التناسق الذاتي داخليًا
8. في ادعاءاته الميتافيزيقية العامة
9. في ادعاءاته المعرفية العامة
10. في مطالباتها الأخلاقية العامة

II. تناقضات الرياضيات المعادية للإيمان
11. تصنيف الصعوبات المناهضة للالوحشية & # 8217s
أ. المشاكل المعرفية للرياضيات اللا إيمانية: بداهة / لاحقة
12. الإجابة المسبقة
13. الجواب اللاحق
14. الجواب التقليدي
15. الآثار المترتبة على دليل Gödel & # 8217s
المشاكل الميتافيزيقية للرياضيات اللاإيمانية: الوحدة والتعددية
16. الوحدة وتعدد الحقيقة
17. وحدة وتعدد العلوم
18. المشاكل الأخلاقية للرياضيات المناهضة للإيمان: الدافع ، والمعيار ، والهدف

ثالثا. وجهة نظر مسيحية إيمانية للرياضيات
أ. ميتافيزيقيا مسيحية للرياضيات ، تأسست في كينونة الله
19. علم الوجود
20. الطريقة
21. الهيكلية
ب. نظرية المعرفة المسيحية للرياضيات ، التي تأسست في معرفة الله
22. صورة الله هي الأساس للرياضيات بداهة
23. يشكل الوحي الأساس للرياضيات اللاحقة
24. استطالع عن القيود
الرياضيات البشرية
25. وحدة العرق وهبة اللغة من أسس العلوم العامة
ج 26. أخلاقيات الرياضيات المسيحية ، التي تأسست في بر الله

1. مقدمة

يختلف المسيحيون وغير المسيحيين في وجهات نظرهم عن العالم في نقاط أساسية. أكيد. لكن بالتأكيد هذا لا يؤثر في الرياضيات. هنا ، أخيرًا ، منطقة محايدة يمكن أن يتفق فيها المسيحيون وغير المسيحيين. كلاهما يعرف أن 2 + 2 = 4. كيف يمكن أن تؤثر الاختلافات الدينية عليه؟

في ثقافتنا ، هذا هو رد الفعل المعتاد على ذكر & # 8220 كريستيان الرياضيات. الشكوكية. ومع ذلك ، تظهر المفارقة في حقيقة أن هذا الشك يفضح على عدة مستويات عدم حياده ، وموقفه الدوغمائي المناهض للكتاب المقدس. 1

أنا. دوغمائية & # 8220 حياد & # 8221

لننظر عن كثب إلى & # 8220 فرضية الحياد. & # 8221 تقول هذه الفرضية أن المعرفة وهيكل العلم - على سبيل المثال ، الرياضيات - لا يتأثران بالمعتقد الديني. 1 أ أو على الأقل يجب ألا يتأثر العلم بالمعتقدات الدينية. لتوضيح الأمر بشكل أكثر صلابة ، تظل المعرفة العلمية الحقيقية كما هي سواء كان الله موجودًا أم لا. نحن عازمون على انتقاد هذه الفرضية من حيث ملاءمتها للظواهر الفعلية للرياضيات ، ومن حيث تناقضها الداخلي الذاتي.

أ. فرضية الحياد لا تدعمها ظواهر الرياضيات

تحمل فرضية الحياد جاذبية خاصة عند تطبيقها على الرياضيات ، بسبب الاتفاق الواسع النطاق الواضح حول الحقائق الرياضية. & # 8220 يعلم الجميع أن 2 + 2 = 4. & # 8221 إذا كان للمعتقدات الدينية تأثير حقيقي ، فلماذا يوجد اتفاق واسع النطاق يتخطى الخطوط الدينية؟ نعتزم الإجابة على هذا السؤال على عدة مستويات: (1) من خلال إظهار أن الاتفاق في الرياضيات ليس واسع الانتشار ، وغير مرتبط بالمعتقدات الدينية ، كما تعتقد الكتب المدرسية (§§2-7) (2) من خلال إظهار أن الفلسفة غير المسيحية للرياضيات متورطة في الانقسامات العميقة والتناقضات ، في فهمها لحقيقة بسيطة مثل 2 + 2 = 4 (§§11-18) (3) من خلال إظهار ذلك فقط على أساس شامل. يمكن للأساس الكتابي أن يفهم ويؤكد بصدق الاتفاق الحقيقي حول الحقائق الرياضية (§25).

إذن ، أولاً وقبل كل شيء ، ما هي الاختلافات التي نشأت في الرياضيات فيما يتعلق بالمعتقد الديني؟ نشأت اختلافات حول الحقيقة الحسابية ، حول معايير الإثبات ، حول الحقيقة النظرية العددية ، على الحقيقة الهندسية ، حول حقائق التحليل ، على الوجود الرياضي - ناهيك عن الخلافات المعرفية طويلة الأمد حول مصدر الحقيقة الرياضية. دعونا نفكر في & # 8217s هذه المناطق واحدة تلو الأخرى.

2. الحقيقة الحسابية

قد يفاجئ القارئ عندما يعلم أنه لا يتفق الجميع على صحة & # 82162 + 2 = 4 & # 8217. ولكن ، عند التفكير الثاني ، يجب أن يكون واضحًا أنه لا يمكن لأي شخص أحادي راديكالي أن يظل راضيًا عن & # 82162 + 2 = 4. & # 8217 إذا كان مع Parmenides 2 يعتقد المرء أن الكل واحد ، إذا كان مع Vedantic Hinduism 3 يعتقد أن كل التعددية هو وهم ، & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 بيان وهمي. على أعلى مستوى من الوجود النهائي ، 1 + 1 = 1. 4

ماذا يعني هذا؟ حتى أبسط الحقائق الحسابية يمكن الحفاظ عليها فقط في نظرة للعالم تعترف بالتعددية الميتافيزيقية النهائية في العالم - سواء كانت ثالوثية أو تعدد الآلهة أو تعددية ناتجة عن الصدفة. في الوقت نفسه ، تفترض أبسط الحقائق الحسابية مسبقًا ميتافيزيقية نهائية وحدة للعالم و ampmdahs على الأقل وحدة كافية لحماية استمرار وجود & # 8220sames. & # 8221 تفاحتين يبقى التفاح أثناء عدهم ، الرمز & # 82162 & # 8217 هو بمعنى ما نفس رمز في أوقات مختلفة ، يقف ل نفس عدد.

لذلك ، في بداية الحساب ، لقد انغمسنا بالفعل في المشكلة الميتافيزيقية للوحدة والتعددية ، الخاصة بالواحد والأكثر. وكما أشار فان تيل ورشدوني ، فإن هذه المشكلة تجد حلها فقط في عقيدة الثالوث الأنطولوجي. 5 في الوقت الحالي ، لن نتطرق إلى الحجج الميتافيزيقية الشائكة ، لكن نلاحظ فقط أنه بدون بعض الوحدة والتعددية الحقيقية ، & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 يقع في طي النسيان. يتم تحقيق & # 8220agreement & # 8221 حول الحقيقة الرياضية جزئيًا من خلال العملية ، التي وصفها بأناقة توماس كون ومايكل بولاني ، المتمثلة في استبعاد الأشخاص ذوي المعتقدات المختلفة من المجتمع العلمي. 6 الراديكاليين الوحيدين ، على سبيل المثال ، ليسوا مدعوين للمساهمة في الندوات الرياضية.

3. معايير الإثبات

لا يتفق علماء الرياضيات دائمًا حول البراهين الصحيحة. لا يقبل الحدس مثل L.EJ Brouwer و Arend Heyting قانون الوسط المستبعد أو الدليل من خلال اختزال إعلان العبث (اثبات التأكيد بطرح التناقض من نفيه). 7 ومن ثم لن يقبلوا بعض الأدلة التي سيقبلها الآخرون. الاختلافات بين الحدسيين والآخرين لها جذور دينية في حقيقة أن هؤلاء الحدسيين لن يقبلوا مناشدة ذات مغزى لحقيقة أن الله يعرف حقيقة الأمر ، سواء فعلنا ذلك أم لا. 8 بالنسبة لهم بعض الحقيقة المنطقية لها موضعها النهائي في بشري عقل _ يمانع. تعنى الرياضيات & # 8220 فقط بـ عقلي الإنشاءات & # 8221 (منجم مائل). 9

4. الحقيقة النظرية العددية

يقدم الحدس أيضًا المثال الأكثر ملاءمة لكيفية أن تؤدي الاختلافات الدينية إلى الخلاف حول الحقيقة النظرية العددية. ضع في اعتبارك البيانات

ج: في مكان ما في التوسع العشري لـ pi ، يحدث تسلسل من سبعة 7 & # 8217s متتالية.

ب: هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية p مثل أن p + 2 عدد أولي.

في عام 1975 ، لا أحد يعرف ما إذا كان أ أو ب صحيحًا. ولا يوجد أي إجراء معروف يمكننا من خلاله ، في فترة زمنية محدودة ، أن نتأكد من حصولنا على إجابة محددة بنعم أو لا. بالنسبة للحدس ، هذا يعني أنه لا ينبغي اعتبار A و B على أنهما إما صحيحة أو خاطئة. 10 ليس من المنطقي أن حديث عن الحقيقة أو الباطل طالما ليس لدينا وسيلة للتحقق. من ناحية أخرى ، فإن المسيحي ، على أساس يوحنا الأولى 3:20 (& # 8220 الله أعظم من قلوبنا ، وهو يعرف كل شيء & # 8221) ، مزمور 147: 5 ، ومقاطع أخرى ، من المرجح أن يشعر بذلك في الأقل الله يعرف تمامًا ما إذا كان A أو B صحيحًا. لا تضع حدودنا حدودًا لمعرفته (§24) (راجع عيسى 55: 8-9 مزمور 139: 6 ، 12 ، 17-18).

5. الحقيقة الهندسية

قادته التزامات إيمانويل كانط الفلسفية إلى الاقتناع

أننا نعرف مسبقًا حقائق الهندسة الإقليدية. ومع ذلك ، مع ظهور الأشكال الهندسية غير الإقليدية لبولياي-لوباتشوسكي وريمان ، 11 ثم النسبية العامة لأينشتاين ، تم طرح & # 8220 حقيقة & # 8221 الهندسة الإقليدية موضع تساؤل. 12 حتى السؤال عن ماهية ذلك يعني من أجل أن تكون الهندسة & # 8220 حقيقية لـ & # 8221 العالم الآن في نزاع. 13 والاختلافات الفلسفية العميقة بين العملية والواقعية والوضعية والأفلاطونية تؤثر بشكل كبير على استنتاجات المرء.

قد يعترض المرء على أن الهندسة البديهية البحتة (على عكس الهندسة التطبيقية) خالية على الأقل من هذه الصعوبات. يمكن للجميع أن يتفقوا عندما يتم إثبات النظرية الهندسية. لكن مرة أخرى يعترض الحدس اختزال إعلان العبث البراهين. ليس ذلك فحسب ، بل يجد المرء أن الالتزام الصارم بمتطلبات الهندسة البديهية في أسلوب نظرية المجموعات الحديثة يتطلب استخدام مجموعات لا حصر لها من النقاط ومجموعات لا حصر لها من تحولات التطابق ، وبالتالي إدخال إشكاليات فلسفية اللانهاية (انظر الفقرة 7) أدناه).

6. حقائق التحليل

تنشأ الخلافات أيضًا حول حقائق التحليل. أحد الأسباب الرئيسية لذلك هو أنه لا يمكن تحديد سوى عدد قابل للعد من الأرقام الحقيقية بمعنى أنها قابلة للحساب بواسطة آلة تورينج. من خلال نظرية كانتور & # 8217s ، فإن & # 8220 الأغلبية الواسعة & # 8221 من الحقيقيات بالتالي غير قابلة للتعريف! هل يجب أن نتعامل مع هذه الحقائق غير القابلة للتحديد على نفس المستوى كعوامل قابلة للحساب؟ ستعتمد إجابتنا على هذا السؤال بشكل كبير على قناعاتنا الفلسفية السابقة. إذا كان لدينا النزعة الفلسفية الأفلاطونية التي تفترض أن الأعداد الحقيقية هي & # 8220 & # 8221 سواء كنا نستطيع تحديدها أم لا ، فنحن نميل إلى التحليل الكلاسيكي. من ناحية أخرى ، إذا كانت لدينا نظرة عالمية أكثر تمركزًا حول الإنسان والتي تعتبر الإنسان مقياسًا للأشياء ، 14 فمن المرجح أن نفضل التحليل البناء مثل:

- يلفها إريت بيشوب. 15 أخيرًا ، إذا كنا ملتزمين بوجهة نظر أكثر اتساعًا للرياضيات (انظر الفقرة 14) ، أو ، مثل لايبنيز ، لواقع اللامتناهيات في الصغر ، فمن المحتمل أن نميل بشكل إيجابي نحو التحليل غير القياسي لروبنسون. 16 وهكذا فإن ثلاث وجهات نظر مختلفة للعالم ، إذا لم تحدد بشكل مطلق ، لكنها تؤثر بشكل حاسم على موقف الفرد تجاه التركيبات البديلة للتحليل.

نظرًا لأن الطلاب الجامعيين عادةً ما يتعرضون فقط للنسخة الكلاسيكية من التحليل ، فإنه يكون لديه انطباع بأن هذه النسخة هي حقيقة الإنجيل التي لا تقبل المنازعة. ومع ذلك ، فإن نظريات النسخ المختلفة من التحليل تتعارض أحيانًا بشكل جذري. في التحليل الكلاسيكي ، مجموعة الأعداد الحقيقية

ينتج Dedekind قطعًا يقسم القيم الحقيقية إلى جزأين ، موجب وغير إيجابي في التحليل غير القياسي ، وينتج نفس التعريف قطعًا من القيم الحقيقية إلى جزأين ، موجب غير متناهي الصغر من ناحية وغير موجب بالإضافة إلى موجب متناهي الصغر الآخر في التحليل البناء ، نفس التعريف لا يزال ينتج نتيجة ثالثة ، وهي تقسيم الواقعات إلى إيجابية تمامًا ، وغير إيجابية تمامًا ، ومجموعة ثالثة من & # 8220don & # 8217t أعرف. & # 8221 مرة أخرى ، في التحليل البناء كل دالة قابلة للإنشاء على [0 ، ل] متصلة بشكل منتظم ، 17 بينما في التحليل الكلاسيكي الرقم الأساسي ج ج == 2 ج من الدوال المتقطعة في [0 ، 1] أكبر من (!) الرقم الأساسي ج من الوظائف المستمرة. لا يمكن إنكار أنه ، في هذا المجال على الأقل ، كان للاختلافات الفلسفية والدينية تأثيرها!

7. الوجود الرياضي

هل 2 موجود؟ هل 1/4 موجود؟ هل يوجد √2؟ هل -2 موجود؟ هل يوجد √-1؟ هل يوجد DX؟ هل العدد العابر للنهاية aleph-two موجود؟ هل يوجد كاردينال قابل للقياس؟

تمت مناقشة كل سؤال من هذه الأسئلة في مرحلة ما من تاريخ الرياضيات. جزء من المشكلة ، بالطبع ، هو أن نقول ما نحن يعني بدعوى وجود. لا توجد الكيانات الرياضية بنفس طريقة وجود الصخور. لكن أسئلة الوجود الرياضي مهمة مع ذلك لأنها تتعلق بشرعية استخدام رموز رياضية معينة في حساباتنا. إذا كانت بعض الكيانات الرياضية لا توجد & # 8217t & # 8220 ، & # 8221

يفترض أنه لا ينبغي استخدامها. لأن & # 82201/0 غير موجود & # 8217t ، & # 8221 يمكن للمرء أن & # 8217t يجادل

0 · 1 = 0 · 2
(1/0) · 0 · 1 = (1/0) · 0 · 2
1 · 1 = 1 · 2
1 = 2

ترتبط الآراء حول الوجود الرياضي بالاختلافات الدينية. تأمل عدة أمثلة: لم يرغب الفيثاغوريون لأسباب فلسفية دينية في الاعتراف بوجود اللاعقلانيين مثل √218 Leibniz & # 8217 s المعتقدات الفلسفية حول اللانهاية دفعته بشكل إيجابي نحو استخدام اللامتناهيات في الصغر مثل dx. 19 من وجهة نظر مسيحية واعية بذاتها ، D. H. Th. رفض فولينهوفن وهيرمان دويويرد وجود أعداد غير محدودة غير محدودة ، ظاهريًا بسبب طابعها المضاد للذرات. 20 (المؤلف لا يوافق على قرارهم في هذه المرحلة ، لكن الحقيقة هي أن معتقداتهم الرياضية كانت ذات دوافع دينية.) مثل هذه الأمثلة تظهر بوضوح أن مسألة الوجود الرياضي قد لا تكون مسألة محايدة دينياً. بشكل عام ، لم تكن الرياضيات في الماضي علمًا محايدًا دينياً. باختصار ، لا يدعم تاريخ الرياضيات افتراض الحياد.

ب. يفترض الحياد عدم التناسق الذاتي داخليًا

لقد ركزنا حتى الآن على مسألة ما إذا كانت فرضية الحياد تناسب بالفعل ظاهرة الرياضيات. لقد رأينا أن القرارات المتعلقة بالحقيقة الرياضية غالبًا ما تكون متحيزة دينياً. حتى بصرف النظر عن هذه الحقائق التاريخية ، فإن فرضية الحياد تكتنفها صعوبات داخلية خطيرة:

8. في ادعاءاتها الميتافيزيقية العامة

يجعل افتراض الحياد الادعاءات الميتافيزيقية الضمنية بأن (أ) الواقع الرياضي ليس نتيجة خلق الله & # 8217s نشاطًا بأي طريقة أساسية (ص 166) (لأنه إذا كان نتيجة لعمل الله ، فلا يمكننا تخيل ذلك) أنها & # 8220 تظل كما هي & # 8221 على الرغم من أن الله لم يكن موجودًا) (ب) طبيعة الله وطبيعة العدد ليست مشتركة بشكل كبير في بعضها البعض ، فهما ليسا مرتبطين بشكل كبير بحيث يمكن للمرء أن يستنتج خصائص أحدهما من الدراسة من جهة أخرى. وإلا ، فإن اختلاف الآراء حول الله قد يؤدي ، على حد علمنا ، إلى اختلاف الآراء حول طبيعة العدد.

الادعاء (أ) هو بالفعل إنكار للخلق بمعناه الكتابي ، كما سنرى (§19) الادعاء (ب) يتضمن إنكارًا للثالوث (انظر الفقرة 19). ومع ذلك ، في الوقت الحالي ، نحن مهتمون ، ليس في حقيقة أن هذه الادعاءات تتعارض مع العقيدة المسيحية الأرثوذكسية ، بل في حقيقة أن لديهم عقائدًا بعيدة المدى ومذهلة. غيبي حرف. تبين أن الادعاء بأن الميتافيزيقا لا علاقة لها بالرياضيات هو في حد ذاته ادعاء ميتافيزيقي عن الرياضيات. تبين أن فرضية الحياد عالية & # 8220 غير محايدة & # 8221 على أقل تقدير ، هذا موقف متناقض.

9. في ادعاءاته المعرفية العامة

تشارك مسلمة الحياد في تناقض مماثل فيما يتعلق بادعاءاتها المعرفية الضمنية. هذه الفرضية تنفي ، في الواقع ، أن الله يمكنه أن يكشف عن أي حقائق عن الرياضيات. افترض أنه يستطيع. ثم يمكن تصور أنه قد يكشف عن معلومات لم يتم إثباتها بالفعل بوسائل أخرى. ثم أولئك الذين صدقوا ما أوحيه سيقفون في موقف مختلف في الرياضيات عن أولئك الذين لم يفعلوا ذلك. مثل هذه الاختلافات الناشئة عن المعتقد الديني من شأنها أن تنتهك فرضية الحياد.

الآن قد يجادل القارئ بأن كل هذا مجرد تخمين ، لأن الله لم يختار في الواقع تسجيل النظريات الرياضية في الكتاب المقدس. لكن لاحظ ما يلي. (1) لا يمكن تحديد ما إذا كان الله قد أعطانا معلومات رياضية إلا من خلال الفحص الفعلي للكتاب المقدس ، وليس (كما يدعي الحياد المفترض) في بداهة موضه. (2) على الرغم من أن الكتاب المقدس لا يحتوي على نظريات رياضية بالمعنى الحديث ، إلا أنه يحتوي على تعاليم ترشدنا ، في بعض الحالات ، حول نوع الرياضيات المشروعة (راجع الأمثلة في الفقرات 5-9). (3) إن نشاط كشف الله العام (التعويضي) متضمن في كل نوع من المعرفة الرياضية (انظر الفقرة 23). (4) في ضوء (ل) - (3) ، فإن فرضية الحياد تتعلق بالتأكيد بنفسها بالقضايا الدينية.

في الواقع ، تدعي مسلمة الحياد معرفة ما يمكن وما لا يمكن أن تكون عليه العلاقة بين الله والأرقام ، وما يمكن وما لا يمكن أن تكون عليه العلاقة بين اللاهوت والرياضيات ، ليس فقط في الماضي ، ولكن (إذا كانت الفرضية تعني أي شيء جوهري) ) أيضًا في المستقبل. لنفترض الآن أننا نسأل كيف يمكن دعم هذه الادعاءات الكاسحة للمعرفة. يجب أن تكون الإجابة: المعرفة تأتي عن طريق الوحي - إما إعلان مسيحي أو نسخة علمانية من الوحي. من أجل دعم فرضية الحياد ، يشارك المرء في شرح كيفية ذلك يأتي ل

تعرف الحقيقة المفترضة. يشكل هذا التفسير عقيدة الوحي. عادة ما يتحدث الناس عن الوحي من بعض الميتافيزيقي المطلق غير الله (العقل ، المادة ، الخبرة الحسية ، العقل) مع ذلك ، يحتاج الناس إلى الوحي. باختصار ، فإن فرضية الحياد متشابكة في شبكة التناقض المتمثلة في القدرة على إنكار أهمية الوحي (الإيماني) فقط على أساس عقيدة أساسية للوحي (العلماني). مسلمة الحياد غير محايدة من الناحية المعرفية.

لو. في ادعاءاتها الأخلاقية العامة

ثالثًا ، إن فرضية الحياد متورطة في التناقض فيما يتعلق بادعاءاتها الأخلاقية الضمنية. إنه يدلي ببيان حول ما & # 8220 يجب & # 8221 أن يكون: & # 8220 الرياضيات & # 8220 لا & # 8221 أن تتأثر بالمعتقد الديني. دعونا نسمي هذا البيان & # 8216C. & # 8217 C يتعارض مع الأخلاق المسيحية ، كما سنرى (§26). ولكن ، مرة أخرى ، دعونا نركز على داخلي المفارقة المتضمنة في هذا الادعاء الأخلاقي. ج: الرياضيات لا يجب أن تتأثر بالمعتقد الديني. على وجه الخصوص ، من المفترض ألا يتأثر بالأحكام الأخلاقية المرتبطة بالمعتقد الديني. لذلك ، لا ينبغي أن تتأثر الرياضيات بالحكم الأخلاقي C الذي & # 8220 الرياضيات يجب ألا تتأثر بالمعتقد الديني. & # 8221 نواجه ادعاءً أخلاقيًا مدمرًا للذات.

يمكن للادعاء الأخلاقي C أن ينقذ نفسه من النسيان فقط عندما يكون مدعومًا بمطالبة أخرى ، D.

د: المطالبة ج ليست أ متدين (وإن كان اعتقادا أخلاقيا).

لكن معظم الناس يوافقون على أن الادعاءات العامة مثل D تتعلق بعلاقة الدين بالاخلاق نكون ادعاءات دينية. إنها مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بمسألة ما إذا كان الصواب والخطأ محددين (على سبيل المثال) بأوامر الله أو الضمير. لذلك دعونا نتفق على أن D هو معتقد ديني.

لكننا الآن متشابكون مرة أخرى. أولاً ، من C يتبع ذلك

هـ: يجب أن تتأثر الرياضيات بـ C.

F: بالنسبة لأي G ، إذا كانت G هي معتقد ديني ، فلا يجب أن تتأثر الرياضيات بـ G.

كحالة خاصة لـ F ، عندما يتم استبدال C بـ G ، نحصل على

H: إذا كانت C هي معتقد ديني ، فلا يجب أن تتأثر الرياضيات بـ C.

د: ج ليس عقيدة دينية.

ومن ثم فإن D هي نتيجة لـ C. وبالتالي ، فإن C لها ، نتيجة لذلك ، أ

المعتقد الديني D. ومن ثم يفترض أن C نفسها دينية ، وهو تناقض مع D.

II. تناقضات ضد التوحيد 21 الرياضيات

11. تصنيف الصعوبات المناهضة للالوحشية & # 8217s

لقد ركزنا حتى الآن على الصعوبات الخاصة بفرضية الحياد. لقد رأينا أن فرضية الحياد محاط بالصراع مع الظواهر في تاريخ الرياضيات (§§2-7) ومن عدم الاتساق الذاتي الداخلي (§§8-10).

هناك صعوبات أخرى ، ومع ذلك ، فإن فرضية الحياد تشترك مع جميع وجهات النظر العالمية غير المسيحية وغير التوحيدية (سواء كانت هذه الآراء تدعي الحياد أم لا). ننتقل الآن إلى هذه الصعوبات المشتركة بين جميع النسخ غير المسيحية للرياضيات.

بالطبع ، بكل معنى من وجهة نظر كل مادية ، مثالية ، وضعية ، ماركسية - نعم ، كل مفكر لديه صعوبات خاصة به. وبالتالي ، فإن النقد الشامل ، من وجهة نظر مسيحية ، يجب أن يتعامل مع كل مفكر على حدة. في هذه الورقة لا يمكننا أن نأمل في القيام بأكثر من رسم مخطط عام للطريقة التي يجب أن يتقدم بها النقد. إجراء موحد للنقد ممكن إلى حد ما بسبب الكل تشترك الأنظمة غير المسيحية في مشاكل مماثلة ، ناشئة عن رفضهم المشترك لإكرام الله الحقيقي.

للراحة ، نقسم المشكلات إلى ثلاثة مجالات رئيسية: ميتافيزيقية ، وإبستمولوجية ، وأخلاقية. نتوقع أن يكون لفلسفة الرياضيات غير المسيحية (أ) مشاكل ميتافيزيقية لأنها تخلت عن مصدر الوجود الحقيقي (ب) لديها مشاكل معرفية لأنها تخلت عن المصدر الحقيقي للمعرفة (ج) لديها مشاكل أخلاقية لأنها تعاني من مشاكل أخلاقية. تخلى عن المصدر الحقيقي للقيمة. نتناول هذه الموضوعات بالترتيب (ب) ، (ج) ، (أ).

أ. المشاكل المعرفية للرياضيات المناهضة للإيمان: بداهة / لاحقة

علماء الرياضيات ، مثل غيرهم من العلماء ، لديهم ثقة معينة في قناعاتهم. هذا يحتاج إلى تبرير. كيف نعرف أن 2 + 2 = 4؟ بالوسائل الداخلية (بداهة بغض النظر عن الخبرة) أو بالوسائل الخارجية (لاحقة مستمدة من التجربة)؟ هل نكتسب المعرفة عن طريق التأمل؟ بالذكريات (أفلاطون)؟ بالحجة المنطقية (راسل)؟ أم نكتسبها من خلال التجربة المتكررة لتفاحتين (ص 169) وتفاحتين (جون س.ميل)؟ أو مزيج من هؤلاء؟ أم أن & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 ليس حقيقيًا & # 8220knowledge & # 8221 على الإطلاق ، ولكنه مجرد اصطلاح لغوي حول كيفية استخدام & # 82162 & # 8217 و & # 82164 & # 8217 (A. J. Ayer)؟ 22

12. الجواب المسبق

أيًا كانت الإجابة التي يختارها الشخص المناهض للإيمان بالله ، فإنه لا بد أن يوقع نفسه في الصعوبات. افترض أن أحدهم يؤكد على بداهة طابع المعرفة الرياضية. إذن & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 نوع من الحقيقة الأبدية العالمية. ولكن لماذا ، في هذه الحالة ، يجب أن تصنع تفاحتان بالإضافة إلى تفاحتين ، في التجربة ، أربعة تفاحات؟ لماذا يجب أن يقدم لنا عالم طارئ معترف به أمثلة متكررة لهذه الحقيقة ، العديد من الأمثلة أكثر مما يمكن أن نتوقعه بالصدفة؟ إذا كان العالم الخارجي بحتة مسألة فرصة ، إذا كان أي شيء يمكن أن يحدث بأوسع معاني ممكنة ، إذا لم تشرق الشمس غدًا ، إذا ، في الواقع ، قد لا تكون هناك شمس ، أو سبوتنيك فقط ، عندما يأتي غدًا ، إذا لم يكن هناك غدا ، وما إلى ذلك ، هل يمكن أن يكون هناك أي بيان أكيد على الإطلاق حول التفاح؟ لماذا ، على سبيل المثال ، لا تختفي التفاح وتظهر بشكل عشوائي أثناء عدها؟ من ناحية أخرى ، إذا كان للعالم الخارجي درجة معينة من الانتظام الممزوج بعناصر الصدفة ، فلماذا نتوقع أن يتزامن هذا الانتظام ، حتى في أبعد الطرق ، مع بداهة التوقعات الرياضية للعقول البشرية؟ مثل هذه الأسئلة يمكن أن تتضاعف بلا حدود. بمجرد أن يتم الفصل الديكارتي بين العقل والمادة ، من بداهة و لاحقة، لا يمكن للمرء أن يجمعهم مرة أخرى مرة أخرى.

إن النظرة المسبقة الصارمة مفتوحة أيضًا لمزيد من الاعتراضات العملية. إذا كانت الرياضيات بالفعل بداهةلماذا تظهر المفارقات؟ تأتي هذه المفارقات في شكل تناقضات فعلية (مفارقة بورالي فورتي & # 8217s ، مفارقة راسل & # 8217s) وفي شكل نتائج مختلفة غير بديهية (منحنيات Peano المستمرة لملء الفراغ ، في كل مكان - مستمر في أي مكان - وظائف قابلة للتفاضل ، نظرية Löwenheim-Skolem الهابط ، وما إلى ذلك). تبدو المفارقات أقل تهديدًا اليوم ، ويرجع ذلك جزئيًا إلى أن علماء الرياضيات يتبنون موقفًا أكثر اعتدالًا تجاههم (الفقرة 14) ، ويرجع ذلك جزئيًا إلى أننا تخلصنا منها عن طريق تعديل بديهياتنا (لتجنب التناقضات) أو تعديل حدسنا (للتوافق مع النظريات). ومع ذلك ، فإن المفارقات توضح ذلك ، كما يُفترض تاريخيًا بداهة لا يمكن الاعتماد على القناعات الرياضية دائمًا.

13. الجواب اللاحق

من المفهوم أن هذه الصعوبات على بداهة الجانب قد دفع الناس إلى البحث عن لاحقة المحلول. في هذه الحالة أكد المرء على الطابع الاستقرائي للمعرفة الرياضية. يتوصل المرء إلى الاعتقاد بأن 2 + 2 = 4 من التجربة المتكررة (لاحقة) من كائنين بالإضافة إلى كائنين مما يجعل أربعة أشياء. حسنًا ، لكن لم يكرر أحد تجربة 2123.955 كائنًا بالإضافة إلى 644101 كائنًا مما يجعل 2768.056 كائنًا. فلماذا يعتقد أن 2،123،955 + 644،10l = 2،768،056؟ & # 8220Ah ، & # 8221 هكذا يقال ، & # 8220 لقد عمم من تجربته مع الأعداد الصغيرة. & # 8221 لسوء الحظ ، في كلمة & # 8220 التعميم & # 8221 مخفي إما ارتداد لانهائي أو شبح من بداهة. قد نسأل لماذا يعمم الشخص & # 8220 & # 8221 بطريقة دون أخرى؟ لماذا بعد ملاحظة أن 3 + 2 = 5 ، 4 + 2 = 6 ، & # 8230 12 + 2 = 14 ، هل يستنتج (يعمم؟) أن 13 + 2 = 15 بدلاً من 13 + 2 = 14 حتى 13؟ من حيث اتساق لاحقة وجهة نظر ، يمكن أن تكون الإجابة فقط ، بسبب الخبرة السابقة مع التعميمات الأخرى. بمعنى آخر ، لقد عمم من التعميمات السابقة. لماذا عمم في هذا بطريقة خاصة من تلك التعميمات الأخرى؟ لأنه عمم من خبرة سابقة في التعميم من التعميمات السابقة وهكذا. على ما يبدو ، لا يمكن للمرء أن يفلت من هذا الانحدار إلا بالقول في وقت ما ، & # 8220 لأن هذا هو الطريقة التي يعمل بها العقل البشري. & # 8221 ثم يواجه المرء بداهةالمعرفة ، أو على الأقل بداهة الاستدلال.

ال لاحقة الحل مفتوح أيضًا لمزيد من الاعتراضات العملية والرائعة. ماذا عن الكمية المتزايدة باستمرار من الكيانات الرياضية المجردة غير المرئية؟ إن الادعاء بأن الأعداد العابرة للحدود ، والمساحات الطوبولوجية ، والجبر المجرد قد أثرت علينا بطريقة ما من خلال التجربة الحسية يتطلب بعض الخيال.

14. الجواب التقليدي

هناك محاولة ثالثة لحل المشكلة المعرفية تستحق الذكر ، ولو فقط بسبب شعبيتها الواسعة بين علماء الرياضيات أنفسهم. هذا هو الرأي القائل بأن الرياضيات ، بمعنى ما ، مجرد اصطلاح لغتنا ، وبالتالي فهي ليست & # 8220knowledge & # 8221 على الإطلاق. 2 + 2 = 4 لأننا اتفقنا في لغتنا على استخدام الكلمات & # 8220two & # 8221 و & # 8220four & # 8221 بهذه الطريقة (فيتجنشتاين). 23 أو ، بعبارة أخرى ، بقول & # 82202 + 2 = 4 & # 8221 نقول فقط & # 8220A هو A & # 8221 بطريقة ملتوية (A. J. Ayer). 24 أو ، & # 82202 + 2 = 4 لأنه يتبع من افتراضاتنا (المحددة تقليديا) & # 8221 (الشكليات).

كل هذه الإجابات & # 8220conventionalist & # 8221 هي حقًا العديد من الاختلافات في بداهة الحل ، بقدر ما لا يزال بإمكان المرء أن يسأل نفس الأسئلة غير القابلة للإجابة حول لماذا يجب أن تكون الرياضيات مفيدة للغاية في التعامل مع العالم الخارجي. اذا كانت نقي اتفاقية ، لماذا يجب أن يكون هذا؟ أو إذا قال أحدهم أنه يتم اختيار الاتفاقيات لأن إنها مفيدة ، ينتقل المرء إلى لاحقة المعسكر ، حيث يواجه نفس الأسئلة غير القابلة للإجابة حول دور التعميم. 25

حقيقة أن الإجابة التقليدية يمكن استخدامها إما في بداهة أو أ لاحقة يشير الاتجاه إلى عامل آخر: أن المتعارف عليه & # 8220answer & # 8221 قد لا يكون حقًا إجابة على الإطلاق ، ولكنه مجرد تحول للسؤال من مجال الرياضيات إلى مجال اللغة. نفس الشيء بداهة / لاحقة تظهر المشاكل مرة أخرى عندما نسأل لماذا تعمل اللغة (الرياضية) بشكل مناسب.

L5. تداعيات دليل Gödel & # 8217s

في هذه المرحلة ، يجب أن نذكر أنه ، في رأينا ، أدت بعض نتائج الإثبات النظرية إلى تكثيف بداهة / لاحقة مشكلة لفلسفة مناهضة التوحيد في الرياضيات. نحن نشير بشكل خاص إلى دليل Gödel & # 8217s على عدم اكتمال مسلمات وايتهيد-راسل & # 8217s لنظرية الأعداد من الدرجة الأولى. لقد تم تثبيت هذا الدليل في حضن العديد من فلاسفة الرياضيات لدرجة أننا نتردد في قراءة تفسير آخر له. ومع ذلك ، يبدو لنا أن الدليل يجب أن يهز الثقة في أي ضيق بداهة أو الفلسفة التقليدية للرياضيات. لسبب واحد ، من خلال إظهار أنه لا يمكن بناء أي آلة تورينج لتوليد جميع الحقائق النظرية العددية وعدم وجود أكاذيب ، فقد أثارت علامات استفهام حول قدرة العقل البشري نفسه على معرفة الحقيقة النظرية العددية. وإذا استطعنا & # 8217t معرفة كل شيء ، فمن المؤكد أنه ليس كذلك بداهة لنا. ثانيًا ، من خلال إظهار أن أي قائمة بديهية ستكون غير مكتملة ، فإنها تثير علامات استفهام على أي ادعاء تقليدي بأن الحقيقة يتم تعريفها من خلال اختيارنا للبديهيات. بافتراض أن نظرية الأعداد متسقة ، فإن آلية الإثبات تنتج بيانًا حقيقيًا لا يتبع البديهيات ، وبالتالي ، فإن هذه الحقيقة (بالمعنى الضيق) لا يتم تعريفها تقليديًا باختيار البديهيات.

من ناحية أخرى ، يعطي دليل Gödel & # 8217s القليل من الراحة لـ لاحقة معسكر. بالنسبة للبيان الحاسم الحقيقي ولكن غير القابل للإثبات ، لا يمكن أن يكون S المعروض في دليله & # 8220 خبرة & # 8221 على أنه صحيح أو لاحقة & # 8220seen & # 8221 صحيح بأي معنى عادي. من المفترض أن يقول المعسكر اللاحق أننا نتعلم من خلال التجربة المباشرة (تفاحتان وتفاحتان يصنعان أربعة تفاحات) ثم بعد ذلك عن طريق البراهين (إجراء الإثبات نفسه هو تعميم من تجربة البراهين البسيطة). ومع ذلك ، لا يمكن أن يكون Gödel & # 8217s S من ذوي الخبرة بشكل مباشر (إنه معقد للغاية) ولا يمكن إثباته. S هو أول بيان من نوعه يتم إنتاجه على الإطلاق (لا يمكن التعميم من التجربة السابقة) ، ولكن عند فحص & # 8220intuitive & # 8221 المعنى لـ S ، يصبح المرء مقتنعًا بأن S يجب أن يكون صحيحًا.

بسبب الصعوبات المذكورة أعلاه ، فإن فلسفة الرياضيات المناهضة للإيمان محكوم عليها بالتذبذب ، كما فعلنا في حجتنا ، بين قطبي بداهة المعرفة و لاحقة المعرفه. لماذا ا؟ لن يعترف بالله الحقيقي ، الخالق الحكيم على حد سواء العقل البشري بحدسه الرياضي و العالم الخارجي بخصائصه الرياضية. سنرى في الأقسام 22-23 كيف أن النظرة الكتابية تزودنا بحل حقيقي لمشكلة & # 8220knowing & # 8221 أن 2 + 2 = 4 ومعرفة أن S صحيحة.

ب. المشاكل الميتافيزيقية للرياضيات اللاإيمانية: الوحدة والتعددية

16. الوحدة وتعدد الحقيقة

ترتبط الأسئلة المعرفية ارتباطًا وثيقًا بأسئلة حول الميتافيزيقي & # 8220 الحالة & # 8221 & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 فيما يتعلق بالحقائق الأخرى. ماذا يفعل يعني أن 2 + 2 = 4؟ إذا أردنا اختبار ما إذا كان الطفل قد فهم & # 82162 + 2 = 4 ، & # 8217 سنشعر بالرضا فقط عندما لا يظهر فقط قدرته على التلاعب بالرموز بشكل صحيح على الورق ، ولكنه يعرف أيضًا متى يستخدم & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 في مشاكل الكلمات.يعد هذا الفحص ضروريًا لأن الطفل قد يحفظ الأشكال والتلاعبات المرئية لـ & # 82162 & # 8217 و & # 82164 & # 8217 دون فهم ما كان يفعله. في الواقع ، قد نقول ذلك لمعرفة أن 2 + 2 = 4 هو معرفة كيفية استخدام هذه الرموز في الحياة اليومية. لا يمكن للمرء أن يعرف & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 دون معرفة أشياء أخرى كثيرة المتعلق ب تلك الحقيقة الواحدة. وهكذا فإننا لا محالة معنيين بتعددية كبيرة في التجارب والحقائق والعلاقات فيما بينها.

علاوة على ذلك ، كما أوضحت النظرية اللغوية الحديثة في إطار عمل تاجميمي ، لا يمكن فهم أي رمز لغوي دون تحديد بعض التباين والتباين والتوزيع. 27 على وجه الخصوص ، & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 تعني (أ) فقط ككل يمكن تحديده ، مع ثبات معين في الوقت ، على النقيض من بعض العبارات المحتملة الأخرى ، كلاهما

صواب (2 + 3 = 5 ، 1 + 2 = 3 ، 1 + 3 = 4 ، إلخ.) وكاذب (2 + 2 = 5،2 + 2 = 3 ، إلخ.) (ب) فقط كوحدة مع a تأكيد متغير النطاق ، مما يعني أنه يمكن تكراره بأشكال مختلفة دون فقد هويته (اثنان زائد اثنان يساوي أربعة ، اثنان زائد اثنان يساوي أربعة ، اثنان واثنان هما أربعة ، II + II = IV ، (1 + 1) + 2 = 4 ، إلخ) (ج) كعنصر فقط وزعت في وحدات أكبر من السلوك اللغوي والسلوك البشري العام (البراهين باستخدام & # 82162 + 2 = 4 ، & # 8217 مشاكل كلامية تشير إليه ، & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 المستخدمة في حساب أسعار البقالة ، وضريبة الدخل ، ومسارات الصواريخ ).

المشكلة هنا ، لأي وجهة نظر مناهضة للإيمان بالله ، هي ضمان أي وحدة واستقرار في نهاية المطاف لـ & # 8220sea & # 8221 من الحقائق والتجارب التي & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 مضمنة. كيف ، دون معرفة كل شيء ، هل يمكن أن يُقال لنا حقًا أننا نعرف أي شيء؟ يتم توزيع & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 في سياق أكبر ، إذا أردنا فهمه ، يجب توزيعه في سياق أكبر ، إلى ما لا نهاية. علاوة على ذلك ، كيف نعرف أن الشيء التالي الذي نكتشفه ، على حدود معرفتنا ، لن يزعج ويقلب بشكل جذري ما نسميه حتى الآن & # 8220knowledge & # 8221؟ يبدو أن مثل هذا الاحتمال ليس ممكنًا من الناحية النظرية فقط (بسبب ضرورة تعريف المعرفة جزئيًا من حيث توزيعها في سياقات أكبر) ، ولكن في الواقع قد حدثت في الماضي في أكثر من علم واحد. قامت الفيزياء بمراجعة جذرية لـ & # 8220knowledge & # 8221 خلال الثورة النيوتونية ، والثورة أينشتاين ، والآن الثورة الكمومية. حتى الرياضيات كان عليها أن تعيد النظر في نفسها في بعض الأحيان للتفكير في اكتشاف اللاعقلانيين من قبل فيثاغورس ، والتناقضات الناشئة عن الاستدلال بسلسلة لانهائية متقاربة مشروطًا ، وتناقضات مثل مفارقة راسل & # 8217 الناشئة عن التفكير مع الفكرة الساذجة للمجموعة. صحيح أن كل من هذه المشكلات الرياضية الثلاثة & # 8220problems & # 8221 تعتبر الآن قد تم حلها ، ولكن لم يتم حل أي منها دون مراجعة المعايير ، نعم ، ومفهوم التفكير الرياضي الصحيح.

في كل هذه المناقشة نطرح حقًا ، بشكل آخر ، المشكلة القديمة لمصدر الوحدة الميتافيزيقية النهائية في العالم ، في هذه الحالة وحدة الحقيقة. على الأساس المسيحي ، نسمع إجابة بسيطة جدًا وواضحة: الله يعلم كل شيء ، وحكمته تضمن أن الحقيقة لن تسقط من خلال الحقيقة التالية التي ستأتي. لقد جعل الإنسان على صورته بطريقة تمكن الإنسان من معرفة الحقيقة (& # 8220 التفكير في أفكار الله و # 8217 s من بعده & # 8221 28) دون الحاجة إلى معرفة كل شيء. (لمزيد من المناقشة ، انظر §§22 ، 24.)

من ناحية أخرى ، إذا أراد المناهض للإيمان أن يبدأ بالوحدة النهائية ، بدلاً من التعددية المطلقة ، للحقيقة ، فليس لديه طريقة لشرح كيف تنشأ التعددية من هذه الحقيقة الواحدة. لدينا هنا مشكلة الوحدة والتعددية التي واجهناها بالفعل في (2).

17. وحدة وتعدد العلوم

نفس المشكلة لا تزال تواجهنا في شكل آخر إذا سألنا عن العلاقة بين مجالات الحقيقة المختلفة أو العلوم المختلفة. كيف ترتبط الرياضيات بالفيزياء والبيولوجيا والمنطق واللغويات والاقتصاد؟ كيف ترتبط التقسيمات الفرعية في الرياضيات ، مثل الحساب والهندسة وحساب التفاضل والتكامل ونظرية المجموعات ، ببعضها البعض؟ لماذا يوجد تطبيق واسع النطاق لأي من هذه المجالات على الآخرين؟ عادة ما يحاول مناهضو الديانة الإلهية باستخدام التعددية المطلقة أو الوحدة النهائية. من ناحية ، إذا اخترنا تقسيم العلوم إلى تنوع نهائي و تعدد، لا يمكننا إعطاء إجابة تتجاوز & # 8220 حسنًا ، هذا يحدث للتو. & # 8221 لكن قلة قليلة من الناس يمكنهم التعايش مع هذا. اعترف العديد من العلماء أنهم ببساطة يصدق، يملكون إيمان أن العالم منتظم رياضيًا وجسديًا. يضعها أينشتاين على هذا النحو:

وينتمي إلى [المجال الديني] هذا أيضًا الإيمان بإمكانية أن تكون الأنظمة الصالحة لعالم الوجود عقلانية ، أي مفهومة للعقل. لا أستطيع أن أتخيل عالمًا حقيقيًا بدون هذا الإيمان العميق. يمكن التعبير عن الموقف من خلال صورة: العلم بدون دين أعرج ، والدين بدون علم أعمى. 29

ومع ذلك ، فإن مثل هذه الآلهة المفترضة لا يمكنها أبدًا أن ترتفع فوق أصنام وصف إشعياء: & # 8220 أخبرنا بما سيأتي فيما بعد ، حتى نعلم أنك آلهة تفعل الخير ، أو تضر ، وقد نشعر بالفزع والرعب. ها أنت لا شيء ، وعملك مكروه هو الذي اختارك & # 8221 (41: 23-24 راجع 44: 6-11 ، إلخ).

من ناحية أخرى ، يمكننا أن نبذل جهدًا لتقليل العلوم إلى نهايتها وحدة من خلال اشتقاق البعض من البعض الآخر. حاول فلاسفة الرياضيات في الماضي بدورهم اختزال الرياضيات (أ) إلى علم اللغة (& # 8220 الرياضيات هي علم اللغات الرسمية & # 8221 - الصيغون) ، (ب) إلى علم النفس (& # 8220 الرياضيات هي دراسة العقلية الإنشاءات الرياضية & # 8221 - الحدسون) ، (ج) إلى المنطق (& # 8220 الرياضيات هي فرع من المنطق & # 8221 - المنطقون) ، (د) إلى الفيزياء (& # 8220 الرياضيات معممة من التجربة الحسية & # 8221 - التجريبيون) ، (هـ) إلى علم الاجتماع (& # 8220 الرياضيات هي مجموعة من العبارات المفيدة اجتماعيًا & # 8221 - البراغماتيون). وبالتالي ، فإن شكل الاختزال المفترض للرياضيات يعطينا فهرسًا تقريبيًا وجاهزًا للمدارس الرئيسية لفلسفة الرياضيات.

وكما قد نتوقع ، فإن محاولات التخفيض هذه لم تنجح أبدًا. في مرحلة ما ، لا ينصفون السمة المميزة للحقيقة الرياضية ، مثل الحقيقة الجسدية واللغوية والنفسية. إن المناقشة التفصيلية للاختزالية خارج نطاق هذا العمل ، ويجب أن نحيل القارئ إلى العمل التأسيسي الشامل الذي قام به Dooyeweerd و Vollenhoven ، بالإضافة إلى تحقيق خاص في الرياضيات بواسطة Strauss. 30 يجب إثارة شكوكنا ، من خلال التنوع الكبير في محاولات الاختزال (في علم اللغة ، والمنطق ، وعلم النفس ، وما إلى ذلك) ، للتساؤل عما إذا كان أي من هذه يمكن أن تكون القصة الحقيقية. يدحض كل منهم الآخر ، من خلال إظهار جانب من الصورة لم يعترف به الآخرون بشكل كافٍ.

ج 18. المشاكل الأخلاقية للرياضيات المناهضة للإيمان: الدافع والمعيار والهدف

أخيرًا ، يجب أن نذكر بشكل عابر أن الرياضيات المعادية للإيمان ليس لها أسس أخلاقية مرضية ، أكثر من كونها لها أسس ميتافيزيقية أو معرفية. لا يمكن كتابة أي جزء من الرياضيات ، ولا يمكن لأي عالم رياضيات أن يعمل ، بدون بعض الدوافع الضمنية أو الصريحة ، والمعيار ، والهدف للعمل. قد يكون الدافع وراء عالم الرياضيات هو الأنانية ، أو الخوف ، أو الإيثار ، أو ربما يعمل الرب من أجل المال ، أو من أجل المتعة المطلقة ، أو من أجل مجد الله. لكن لا أحد على الإطلاق يمارس الرياضيات دون أن يكون لديه هذا النوع من العوامل في الخلفية. علاوة على ذلك ، ستؤثر دوافعه ومعاييره وأهدافه حتمًا على نوع المشكلة التي يختار التركيز عليها ، والوزن النسبي الذي يمنحه للرياضيات البحتة مقابل الرياضيات التطبيقية ، وما هي المعايير التي يضعها لنفسه في تعليمه وكتابته ، وكيف يقسم وقته بين التدريس والبحث ، وما إلى ذلك. إن الشخص الذي يعتبر عوامل مثل & # 8220 خارجية & # 8221 للعمل الحقيقي للرياضيات قد فقد بالفعل رؤية التركيز الكتابي المتسق على عمل الإنسان على أنه عمل الإنسان الذي يقف أمام خالقه: & # 8220 تقديم خدمة جيدة. إرادة الرب وليس البشر ، مع العلم أنه مهما كان الخير الذي يفعله أي شخص ، فإنه سيأخذ نفس الشيء مرة أخرى من الرب ، سواء كان عبداً أو حراً & # 8221 (أف 6: 7-8). لمزيد من المناقشة حول وجهة النظر الكتابية ، انظر الفقرة 26.

نظرًا لأن النظرية الأخلاقية المناهضة للإيمان متشابكة في نفس التناقضات في مجال الرياضيات كما هو الحال في أي مجال آخر من مجالات الحياة ، فنحن لا نحتاج إلى مزيد من التفصيل هنا في المناقشة الممتازة للأخلاق التي أجراها فان تيل. 31

ثالثا. وجهة نظر مسيحية ايمانية للرياضيات

حتى الآن تطورت مناقشتنا في اتجاه سلبي في الغالب ، لأننا شغلنا أنفسنا بنقد & # 8220 Neutralist ”(§§1-10) ووجهات نظر مناهضة للإيمان بالرياضيات (§§11-18). ومع ذلك ، من الصعب تقدير الفقر الحقيقي لمثل هذه الآراء دون بعض التفكير في الشكل الذي ستبدو عليه النظرة الكتابية الحقيقية للرياضيات. لهذه المهمة ننتقل الآن.

وفقًا لنقدنا السابق للميتافيزيقي ضد التوحيد (§§8 ، 16 ، 17) ، أبستمولوجي (§§9 ، 12-15) ، وأخلاقيًا (§§ 10 ، 18) ، نقترح مناقشة وجهة نظر الكتاب المقدس أيضًا من حيث الميتافيزيقيا (§§19-21) ونظرية المعرفة (§§22-25) والأخلاق (§26). بطبيعة الحال ، تتداخل الأسس الكتابية في هذه المجالات الثلاثة وتكمل بعضها البعض ، فنحن نتناول الموضوعات واحدة تلو الأخرى من أجل التخلص من التناقضات الجذرية بين وجهات النظر التوحيدية والمناهضة للإيمان.

في المناقشة التالية ، نحن لا نحاول استخدام الرياضيات (أو غيرها من العلوم) كنوع من & # 8220proof & # 8221 أو دعم للكتاب المقدس. بدلاً من ذلك ، على العكس من ذلك ، فإننا نؤكد أنه فقط على أساس الاستماع المطيع لكلمة الله يمكننا أن نجد أساسًا مناسبًا للرياضيات! إن الله هو الذي يدعم الرياضيات ، وليس العكس.

أ. الميتافيزيقيا المسيحية للرياضيات ، التي تأسست في كينونة الله

19. علم الوجود

ما هي الحالة الميتافيزيقية للأرقام والبيانات حول الأرقام؟ ما هي حالة الهندسة؟ ما هي أهمية الرياضيات في هذا العالم؟ بالنسبة للمسيحي الملتزم بالكتاب المقدس ، فإن أهم حقيقة عن الرياضيات يجب أن تكون علاقتها بالرب. بما أنه هو الخالق والسيد على الجميع ، يجب أن يجد كل شيء معناه ، نعم ، وجوده ذاته فيه: & # 8220 فيه نحيا ونتحرك ونوجد "(أعمال 17:28). & # 8220 يا رب العظمة والقوة والمجد والنصرة والجلال لكل ما في السماوات والأرض لك ملكوتك يا رب وأنت أنت. تعالى كرأس فوق كل شيء & # 8221 (أنا كرون. 29:11).

علاوة على ذلك ، فإن التمييز الوجودي الأساسي في الكتاب المقدس هو بين الله من جهة ومخلوقاته من جهة أخرى (راجع عيسى 43: 10-13). ومن ثم يتحدث فان تيل عن التمييز بين الخالق والمخلوق باعتباره أمرًا أساسيًا لكل التفكير المسيحي ، ويجعل فولنهوفن الطريقة التي تفصل بها الفلسفات بين الله والكون معياره الأساسي للتصنيف التصنيفي. 32 إذا كنا مرتبكين بشأن من هو الله ، إذا كنا

تحديد جزء من الخلق مع الله أو جزء من الله بالخليقة ، فنحن مذنبون بارتكاب الوثنية الجادة.

لذلك ، فإن السؤال الأساسي الذي يجب طرحه حول البنية والقوانين الرياضية هو: هل هي جوانب من الخلق أم من جوانب الله؟ هل هم ، كما هو ، أشياء مخلوقة أم الله ، أم أنهم ربما في فئة ثالثة؟ لا يزال هذا السؤال غامضًا ، لأن إجابته تعتمد على ما نعنيه بـ & # 8220 الرياضيات. & # 8221 & # 8220 الرياضيات & # 8221 قد تشير إلى (أ) العلم المتزايد تاريخيًا الذي يتجلى في الكتب المدرسية والمقالات والمؤتمرات والمحاضرات ، إلخ. (ب) أفكار علماء الرياضيات أو (ج) الرياضيات & # 8220 البنية & # 8221 للعالم ، بطريقة ما بشكل مستقل عن أفكارنا (تفاحتان وتفاحتان تصنعان أربع تفاحات نقطتين مميزتين تحددان خطًا فريدًا بينهما وما إلى ذلك). تتكون الرياضيات (أ) بشكل واضح من [الأشياء التي خلقت وأنشطة الإنسان المخلوق. الرياضيات (ب) تتكون من الأفكار البشرية التي ، على هذا النحو ، لا تتمتع أبدًا بمكانة إلهية (إشعياء. سيكون لدينا المزيد لنقوله عن (أ) و (ب) في § 22 ، 24.

في الوقت الحالي ، دعونا نركز على الرياضيات (ج). بما أن الرياضيات (ج) تتعلق بخصائص خلقت الأشياء ، قد نشعر بالإغراء للوهلة الأولى أن نقول ، & # 8220 الرياضيات (ج) تم إنشاؤه. & # 8221 ومع ذلك ، بينما يتحدث الكتاب المقدس مرارًا وتكرارًا عن خلق الله للأشياء (المعادن والنباتات والحيوانات والرجال ، الملائكة) ، على ما يبدو لم يتحدث أبدًا عن قيام الله & # 8217s بإنشاء الهياكل & # 8221 أو & # 8220 laws. & # 8221 القليل من التفكير يوضح لنا أن هذا ليس من قبيل الصدفة. لا يمثل الكتاب المقدس أبدًا العالم محكومًا بقوانين على هذا النحو ، مستقلة عن الخالق ، بل بالأحرى عن مراسيم الملك ، التي قالها الله نفسه (راجع تكوين 8: 22-9: 7 إرميا 33:25 مزمور). 33: 6-11 ، 18-22 147: 15-20). لأن قراراته متوافقة مع من هو (مز. 19: 7-9) ، فإننا نتوقع أن تكون حكيمة ومنظمة (مز. 104: 24 أمثال 8: 22-31 رومية 11: 33-36).

هكذا الحال مع الرياضيات (ج). الله نفسه لديه عددي طبيعة. هو ثلاثة في واحد. من المثير للاهتمام أن يسوع يستخدم ضمير الجمع "نحن & # 8221 (يوحنا 17:21 راجع يوحنا 14:23) وصيغة الجمع & # 8220are & # 8221 (esmen، يوحنا 10:30) في حديثه عن الآب والابن. الرياضيات (ج) أبدية لأن الآب والابن والروح القدس (3!) أزليون (يوحنا 1: 1 17: 5 عبرانيين 9:14). وتتجلى طبيعة الله العددية الخالدة في الخلق بقدر ما تتجلى محبته وحكمته وعدله.

باتباع & # 8220 نمط & # 8221 من تعدديته ، خلق العالم على أنه تعددية: & # 82200 يا رب ، كيف متشعب [العبرانيين ، كثيرة] هي أعمالك! بالحكمة جعلتهم تمتلئ الأرض كلها من مخلوقاتك & # 8221 (مز. 104: 24). ترجع هذه الآية إلى الطبيعة التعددية لأعمال الله وحكمته. وفي التحليل النهائي ، تجد حكمة الله تجسيدًا في يسوع المسيح ، & # 8220 الذي يخفي فيه كل كنوز الحكمة والمعرفة '(كولوسي 2: 3) ، & # 8220 الذي جعل الله حكمتنا وبرنا و التقديس والفداء & # 8221 (1 كو 1:30). يعطي يسوع دعوته بلغة استخدمها في وقت سابق ، في الجامعة ، من خلال الحكمة المجسدة

(متى 11: 25-30 سنه. سيدي 24:25 [19] 51: 23-26). 33 لأنه منذ البدء كان الابن حكمة الله الشخصية. لا يحتاج الله أن يستشير أي شخص آخر (إشعياء 40: 13-14). وهكذا يكون لنا ما يبررنا أن نقول إن تعددية هذا العالم (أعمال الله) تجد أساسها في تعددية شركة الآب والابن. ويشير سفر المزامير ١٠٤: ٢٤ أيضًا إلى أصل وحدة في هذا العالم عندما يتحدث عن حكمة واحد رب. لأن هناك ربًا واحدًا ، هناك اتساق داخلي في كل ما يفعله. تعبر الحكمة عن نفسها في حكم منظم ، في العدالة ، في محبة وكراهية متناسبين (أمثال 8: 13-17).

بقولنا & # 82201 + 1 = 2 & # 8221 فإننا نقول بذلك حقيقة عن الثالوث: حقيقة عن حكمة الله ، وثانيًا ، حقيقة عن العالم الذي يحكمه. (لاحظ ، مع ذلك ، أنه بما أن الثالوث وحكمة الله غير مفهومة ، فإن الله يمتلك & # 8220 الرياضيات ، كما كانت ، ليست في متناولنا بالكامل. لا يمكننا افتراض أن رياضياتنا (ب) بالضرورة كلها صحيحة أو مكافئة تمامًا لله & # 8217s & # 8220 الرياضيات. & # 8221) إلى أي مدى هذا بعيد عن وجهة نظر & # 8220 Neutralist & # 8221 للرياضيات ، والتي تفترض أن الرياضيات لا علاقة لها بالله!

من وجهة النظر هذه ، يمكن تصنيف فلسفات الرياضيات المناهضة للإيمان على أنها إصدارات رياضية من البدع القديمة. صارمة بداهة وجهة نظر الرياضيات (§12) ، مع التأكيد على أن الحقيقة الرياضية (ب) يجبعلى ما هو عليه ، فهو مذنب في تسوية التمييز بين العقل الإلهي والعقل البشري. ما هو بداهة لأن الله - أي الرياضيات (ج) - ليست كذلك بداهة لنا. لا يمكننا أن نفكر بشكل معصوم في النتائج الرياضية ، لأن عقل الله يختلف عن عقلنا. تنتهي عملية التسوية بالقول أن الله يجب أن يتوافق مع بداهة الرياضيات ، مما أدى إلى التثليث.

التالي ، صارم لاحقة وجهة نظر الرياضيات (§13) ، التي تؤكد على الطابع العرضي للحقائق الرياضية (§16) ، مذنبة بتجاهل ثبات طبيعة الله العددية. ينتهي هذا الرأي بالقول إن الله ليس رياضيًا ، مما يؤدي إلى وحدانية صوفية.

أخيرًا ، تعتبر النظرة التقليدية للرياضيات (§14) ، التي تؤكد على دور الافتراضات البشرية في الرياضيات ، مذنبة بتجاهل دور الله في تحديد البنية الرياضية. هذا الرأي ، إذن ، ينتهي بإنكار نشاط الله في العالم ، أي الإلحاد العملي. ربما يكون ميل عصرنا نحو الإلحاد العملي عاملاً رئيسياً

وراء التفضيل الواسع لبعض الآراء التقليدية. 34

يجب أن نلاحظ أيضًا أن النظرة الكتابية تحل بطريقة واضحة مشكلة معنى & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 فيما يتعلق بالحقائق الأخرى (§16). & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 يجد معناها النهائي وتكاملها في الامتلاء الثابت للزمالة الثالوثية الإلهية. لأن الله غير قابل للتغيير ، فإن حقيقة & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 لا تتغير بالاكتشاف البشري التالي.

20. طريقة

ما هي السمات المميزة للحقيقة الرياضية ، مقابل أنواع أخرى من الحقيقة؟ كيف ترتبط الرياضيات بالعلوم الأخرى؟ للإجابة على مثل هذه الأسئلة ، يجب أن نبتعد بشكل طبيعي عن الشهادة المباشرة للكتاب المقدس. ومع ذلك ، يبدو أن الكتاب المقدس يقدم لنا أسس التقسيم الأولي للعلوم في تكوين 1: 28-30. هناك يقسم الله خليقته إلى أربع مجموعات رئيسية: المعادن ، والنبات ، والحيوان ، والإنسان ، ويوجه آدم إلى بعض السمات والوظائف المميزة لكل مجموعة. بدراسة هذه السمات المميزة ، بدأ آدم في علوم الفيزياء والبيولوجيا وعلم الحيوان والأنثروبولوجيا. انظر الرسم التخطيطي 1.

مع مرور الوقت ، نتوقع أن يتم تحديد المزيد من الانقسامات الرئيسية داخل هذه العلوم.لتحليل مفصل للأقسام الرئيسية ، نحيل القارئ إلى عمل فلسفة أمستردام والمؤلف. 35 لأغراضنا الحالية ، دعونا نحصر أنفسنا في قسم الفيزياء. تشترك الأشياء المادية مع النباتات والحيوانات والإنسان ليس فقط في ما يسمى بالسمات الفيزيائية (علاقات القوة ، الصلابة أو عدم الصلابة ، الطاقة ، إلخ) ، ولكن أيضًا السمات الحركية (السرعة ، الحركة) ، السمات المكانية (الامتداد ، المنطقة أو الحجم والشكل) والسمات الكمية (كم؟) والسمات التجميعية (كوننا أعضاء محتملين في مجاميع مختلفة (أو مجموعات) ، وهكذا نحصل على الرسم التخطيطي 2. تضم العلوم الأربعة الأخيرة في الرسم البياني 2 الرياضيات معًا.

من السهل الآن أن نرى أن وحدة العلوم تعددية قد نشأت

الميزات أو الجوانب مملكة الأنشطة في تك 1: 28-30 علم
أنثروبولوجي رجال سيادة 28 الأنثروبولوجيا
حيواني الحيوانات الحركة والتنفس علم الحيوان
حيوي النباتات أخضر ، يخدم كغذاء (30 ب) مادة الاحياء
جسدي - بدني المعادن والأشياء المادية الدعم المادي (30 أ)
منطقة مكانية (28)
الفيزياء

الميزات أو الجوانب نشاط علم
جسدي - بدني الحصول على الطاقة الفيزياء
حركي متحرك معادلات الحركة
مكاني لها تمديد الهندسة
كمي وجود عدد الحساب الجبر الابتدائي
تجميعي كونها متميزة agorology = نظرية المجموعات الأولية

من نفس المصدر الأساسي للوحدة والتعددية في الرياضيات: من طبيعة الله وخطته. على وجه الخصوص ، يمكن إرجاع الخصائص الحركية والمكانية والتجميعية لهذا العالم إلى طبيعة الله ، بطريقة مشابهة لما فعلناه بالفعل بالنسبة للجانب الكمي. بما أن الله له طبيعة عددية (الثالوث) ، فإن لديه طبيعة حركية ومكانية وتجميعية. بالطبع ، عند استخدام لغة تتحدث عن طبيعة الله ، يجب أن نتوخى الحذر. الله كخالق هو في النهاية غير مفهوم للمخلوق. لا أحد يستطيع أن يفهم كل شيء عن الله. وهكذا نتوقع أن تكون الطبيعة الكلية والكمية والمكانية والحركية من الله ، بطريقة ما ، غير مفهومة بالنسبة لنا. المقارنات التي تم إنشاؤها تنهار حتما ، لأنها فقط محدود صور اللانهائي. في حالة طبيعة الله العددية ، هذا واضح. الله ثلاثة أقانيم ولكن في نفس الوقت واحد الله. يمكن أن يقول يسوع ، & # 8220 أنا والآب واحدة& # 8221 (يوحنا 10:30). لا يوجد شيء مخلوق هو ثلاثة وفي نفس الوقت واحد بنفس الطريقة السامية. يجب أن نرى أيضًا أن الطبيعة المجمعة والمكانية والكينماتية لله ليست مشابهة تمامًا لأي شيء في هذا العالم المخلوق. ربما كان هذا أحد الأسباب التي جعلت الناس يميلون (بشكل خاطئ) إلى إنكار أن طبيعة الله لها علاقة بالفضاء أو علم الحركة.

أولا ، الله لديه تجميعي الطبيعة بمعنى أن أقانيم الله المختلفة وصفاته هم مميز من بعضنا البعض. هذا هو الأساس الأبدي لعلم نظرية المجموعات. & # 8220 لا تضطرب قلوبكم وآمنوا بالله أيضا فيّ & # 8221 (يوحنا 14: 1). "وسأصلي الآب فيعطيك اخر المستشار ، لأكون معك إلى الأبد & # 8221 (14:16). & # 8220 من لا يحبني لا يحفظ كلامي والكلمة التي تسمعها ليس لي ولكن الأب & # 8217s الذي أرسلني & # 8221 (14:24). تشير الأسماء الشخصية ، الآب ، والابن ، والروح بالفعل إلى وجود & # 8220 مجاميع & # 8221 مميزة داخل الله. يتم التعبير عن عدم فهم الطبيعة المجمعة لله & # 8217s من خلال حقائق مثل السكنى المتبادل لأعضاء الثالوث ، وتغلغل الصفات. & # 8220 ألا تؤمن بأني في الآب والآب فيّ؟ الكلمات التي أقولها لكم لا أتكلم بها من تلقاء نفسي ولكن الآب الذي يسكن فيّ يعمل أعماله. صدقني أنني في الآب والآب فيّ وإلا صدقني من أجل
يعمل بنفسه & # 8221 (يوحنا 14: 10-11). بطريقة ما نجد أن جميع أعضاء الثالوث يشاركون ، بطريقتهم الخاصة ، حتى في تلك الأعمال التي نربطها بشكل واضح مع عضو معين واحد من الثالوث. بمعنى ما ، أعضاء الثالوث هم ليس مميز ، لأنه لا يوجد سوى رب واحد (تث 6: 4-5).

ثانياً ، لله طبيعة مكانية. هذا يعبر عن نفسه ، أولاً ، في التعاليم حول ملء الله للسماء والأرض: & # 8220 هل يمكن لرجل أن يختبئ في أماكن سرية حتى لا أتمكن من رؤيته: يقول الرب. لا أفعل ملءالجنة و الارض؟ يقول الرب & # 8221 (ارميا 23:24). & # 8220في له نحن نحيا ونتحرك ونوجد لدينا & # 8221 (أعمال 17:28). انظر أيضًا الملوك الأول 8:23 ، 27 إشعياء 66: 1-2 أعمال الرسل 7: 46-50 ومقاطع تتناول الله & # 8217s مسكن مع شعبه ، تثنية 4: 7 ، 39 إشعياء 57:15 66: 2 أنا كورنثوس 6:19 رومية 8: 9-11. لاحظ التأكيد القوي على حقيقة أن الفضاء لا يقدم مقاومة أو مشكلة لحكم الله ، بل أن الله هو رب الفضاء ، يفعل ما يشاء بداخله.

ومع ذلك ، يمكن التساؤل عما إذا كانت التعبيرات المذكورة أعلاه في الكتاب المقدس تعبر عن الله فقط علاقة للعالم المخلوق ، دون الإيحاء بأي شيء حول ماهية الله في ذاته ، أو ما كان عليه قبل أن يبدأ العالم. يبدو أن بعض التعبيرات الكتابية تتجاوز العالم المخلوق إلى الأبدية. & # 8220 انزل من السماء وانظر من قدسك ومجدك سكن& # 8221 (عيسى 63:15). & # 8220: هكذا يقول العلي العظيم الساكن خلودواسمه مقدس أسكن في المرتفعات المقدسة & # 8230 & # 8221 (57:15). تقول هذه المقاطع أن الله لم يكن بدون & # 8220 مسكن & # 8221 أو & # 8220 سكن & # 8221 قبل أن يبدأ العالم. 36 لان الابد

استقرار الله & # 8220s # 8220 السكن & # 8221 يشكل الأساس لكونه مؤمنًا & # 8217 s سكن: & # 8220 يا رب ، كنت مسكننا مكان في الكل أجيال. قبل أن تولد الجبال ، أو أقمت الأرض والعالم ، حتى من الأزل إلى الأبد ، الله & # 8221 (مز 90: 1-2).

وبالمثل ، فإن بعض المقاطع التي تتحدث عن علاقات الثالوث تتحدث بشكل مميز مكاني مصطلحات. هناك تعبيرات عن السكنى (يوحنا 14: 10-11 كولون 1: 19 2: 9) تعبيرات عن علاقة وجهاً لوجه: & # 8220 في البداية كانت الكلمة ، والكلمة كانت مع الله والكلمة كان الله & # 8221 (يوحنا 1: 1). & # 8220 لم ير أحد من قبل الله الابن الوحيد الذي هو في حضن الآب ، لقد جعله معروفًا "(يوحنا 1:18) وتعابير & # 8220 & # 8221: & # 8220 ولكن عندما يأتي المستشار ، من سأفعل إرسال لك من عند الآب روح الحق الذي عائدات الآب سيشهد لي & # 8221 (يوحنا 15:26). مرة أخرى ، نلتقي بعلاقات غير مفهومة داخل الثالوث ، لأنه إذا ملأ الآب والابن الكل وكانا في الكل (أفسس 1:23 4: 6 ارميا 23:24) ، فبالكاد يستطيع الروح أن ينطلق من الآب بأي معنى يسهل فهمه.

ولكن بدلاً من مطالبة الله بالتوافق مع أفكارنا المستمدة من ذلك خلقت في العالم ، علينا بالأحرى أن نرى ، على العكس من ذلك ، & # 8220space & # 8221 في رياضياتنا (ب) مشتق من التأثير ، على الأشياء المحدودة ، على حكم الله & # 8217. يتم استخدام الامتداد المكاني والمادي لهذا العالم في الكتاب المقدس كمؤشر واحد لعظمة الله الأصلية غير المخلوقة (إشعياء. 40: 12 ، 26 مزمور 104: 25).

ثالثًا ، لله طبيعة حركية. نعني هذا بمعنى أن الله يمتلك الأبدية نشاط، حركته & # 8220 ، & # 8221 إذا صح التعبير ، تشكل الأساس الميتافيزيقي وأصل النشاط والحركة التي تم إنشاؤها. & # 8220 هو [الابن] يعكس مجد الله ويحمل طابع طبيعته ، التمسك الكون [حرفياً ، يحمل كل الأشياء بكلمة القوة] & # 8221 (عبرانيين 1: -3). & # 8220 فيه حسب قصد من ينجز كل شيءوفقًا لمشورة مشيئته & # 8221 (أف. 1:11). يتم التعبير عن نشاط الرب بعدة طرق متنوعة: فهو يعيش (تثنية 32: 39-42 ، عيسى 8:19) ، يستريح (& # 8220 النشاط البدني & # 8221 ؟: تكوين 2: 1-3) ، يتأثر (نشاط عاطفي: تكوين 6: 6) ، يتكلم (نشاط لغوي: مزمور 33: 9 147: 4 تثنية 4: 12-13) ،
يحكم (النشاط القانوني: مز 75: 2-8).

لا شك أن معظم هذه الأوصاف تركز على علاقة الله بهذا العالم المخلوق ، بدلاً من التركيز على ما هو & # 8220 هو في نفسه. & # 8221 لكن الأنشطة داخل الثالوث لا يمكن اختزالها إلى مجرد الأنشطة داخل العالم المخلوق ، دون الانزلاق إلى نمطية. على سبيل المثال ، & # 8220 God is love & # 8221 (I John 4:16) ، والآب محبوب الابن حتى قبل تأسيس

العالم (يوحنا 3:35 أمثال 8: 30-31 كولون 1: 13-16). وبالمثل ، لاستخدام صورة أخرى من الكتاب المقدس ، كان الآب تكلم منذ الأزل ، في شركة الثالوث (يوحنا 1: 1-2). إن نشاط الله الأبدي و "حركة" الكلام والمحبة هو ما يسبب هذه الحركات ، ومن ثم الشخصية الحركية لهذا العالم: أمر الى الارض له كلمة يعمل بسرعة. يعطي الثلج مثل الصوف وينثر الصقيع مثل الرماد. يطرح جليده مثل اللقاحات من يقف أمام البرد؟ يرسل له كلمةويذوبهم يهب ريحه وتجري المياه. هو & GTيعلن له كلمة فرائضه واحكامه لاسرائيل ليعقوب. لم يتعامل بهذه الطريقة مع أي أمة أخرى لا تعرف أحكامه. سبحوا الرب & # 8221 (مز 147: 3،5-20). لاحظ ارتباط كلمته بكل من حركات الأشياء الجسدية ومحبته لإسرائيل ابنه (محبة تتحقق في حبه للابن الوحيد).

مرة أخرى ، كما في حالة الجوانب الأخرى لطبيعة الله & # 8217 ، فإن الله & # 8217 "الحركية والطبيعة # 8221 غير مفهومة. في نفس الوقت الذي يكون فيه الله نشطًا جدًا ، فهو أيضًا لا يتغير (ملا. 3: 6 مزمور 102: 27). كلمته مثبت(مز 119: 89) ولا يزول (لوقا 21:33). وهكذا ، فإن الله نفسه يشكل الأساس ، ليس فقط للتغيير في العالم (يقرره من منطلق نشاطه) ، ولكن أيضًا لاستقرار العالم (لا يتغير هو وأحكامه).

21. هيكليا

ما هي العلاقة بين الأقسام الأربعة الرئيسية للرياضيات (الشكل 2)؟ بين الرياضيات والعلوم الأخرى؟ هل توجد بالفعل علاقة ثابتة على الإطلاق (§17)؟ يجب الإجابة على مثل هذه الأسئلة في النهاية بنفس المصطلحات مثل أسئلتنا السابقة حول الوحدة والتعددية (§§16 ، 19). تجد العلوم وحدتها في حكمة الله الشخصية (مز. 104: 24). & # 8220 هو قبل كل شيء ، وفيه تتماسك كل الأشياء & # 8221 (كو 1:17). هذا هو السبب في أن الرياضيات تنطبق على الفيزياء. هذا هو السبب في أن القوانين الأساسية للفيزياء لها مثل هذا الشكل البسيط. نحن على ثقة من أن الرياضيات ستستمر في العثور على تطبيقات للفيزياء ، ليس بسبب الإيمان الأعمى (§17) ، ولكن من منطلق الاقتناع بأن قوانين الفيزياء والرياضيات هي ببساطة طريقتان مختلفتان يحكم فيهما المسيح الكون بشكل شامل.

يمكننا طرح أسئلة مماثلة حول الأقسام الرئيسية في الرياضيات. لماذا يجب أن تنطبق النظريات في الجبر الأولي ونظرية المجموعات على الهندسة والحركية؟ لماذا ، على سبيل المثال ، يجب أن يكون المرء قادرًا على إثبات المساواة في الزوايا الأساسية لمثلث متساوي الساقين إما بالوسائل الهندسية المباشرة ، أو بواسطة جبري الحساب في الهندسة التحليلية لجيب التمام لزوايا القاعدة؟ وبالمثل ، يمكن عمل العمل الحسابي والنظرية العددية إما بشكل مباشر أو كمي أو بمصطلحات نظرية المجموعة (بدءًا ، على سبيل المثال ، من بديهيات مجموعة Zermelo-Fraenkel-

نظرية). يمكن حساب المنطقة الواقعة تحت المنحنيات ، إما بالتقريب الهندسي المباشر ، أو عن طريق الحساب الجبري لتكامل محدد ، والذي يتضمن تعريفه أساسًا حركي عملية محدودة. تتفق المنطق في أجزاء مختلفة من الرياضيات (علم الزراعة = نظرية المجموعة الأولية ، الحساب ، الهندسة ، علم الحركة (بما في ذلك حساب التفاضل والتكامل]) مع بعضها البعض بسبب وحدة الله. التحولات ذهابًا وإيابًا بين الأقسام الأربعة الرئيسية للرياضيات تستغل باستمرار حقيقة أن هذه العلوم تنبع من واحد حكمة الله.

لأن الله يحتوي على كل من الوحدة والتعددية في ذاته ، فلا داعي لنا ، في الإطار المسيحي ، أن نلجأ إلى المحاولات غير المجدية للاختزال التي ناقشناها في الفقرة 17. في واقع الأمر ، يمكن اعتبار اختزال الفقرة 17 نوعًا من النسخة الرياضية لبدعة قديمة: الغنوصية. لماذا نقول ذلك؟ حسنًا ، في استكشاف الرياضيات ، يستكشف المرء طبيعة حكم الله والكون ، أي استكشاف طبيعة الله نفسه. وبالتالي ، فإن الاختزال يرقى في النهاية إلى محاولة اشتقاق بعض الجوانب1 من طبيعة الله من جوانب أخرى2, محاولة للقول أن الجوانب الأخيرة2 إن طبيعة الله هي أكثر جوهرية. الجوانب2، إذن بطريقة ما ما هو & # 8220 بالفعل هناك ، & # 8221 على عكس الوجود الظاهر الوحيد للجوانب1. أنا أصنف هذا على أنه بدعة من النوع الغنوصي ، لأن الغنوصية تطور نظرية الانبثاق حيث تستمد بعض الآلهة الدنيا وجودها من انبثاق الإله المطلق. هذا الاشتقاق الغنوصي للوجود لا يختلف كثيرًا عن الاشتقاق الحالي للجوانب.

ب. نظرية المعرفة المسيحية للرياضيات ، تأسست في معرفة الله

22. صورة الله هي أساس للرياضيات بداهة

كيف يمكننا معرفة ومناقشة الرياضيات (ب) ، أي أفكار ومعرفة علماء الرياضيات البشريين؟ هنا ، ولأول مرة ، يجب أن نركز على النظرة المسيحية للإنسان. كيف يتلاءم الإنسان مع صورة الرياضيات؟ لا يمكن أن يكون لدينا نقطة انطلاق أخرى غير & # 8220 تعريف & # 8221 للإنسان التي قدمها الكتاب المقدس: الإنسان هو صورة الله (تكوين 1: 26- 30 راجع تكوين 2: 7 1 كو 11: 7). على هذا النحو ، فإن حديثه هو تقليد الأعمال بشكل متلقٍ ، على مستوى محدود (التسمية ، تكوين 2:19 1: 4 الحاكم ، تكوين 1:28 ، مزمور 22:28 ، تحسين ، تكوين 2:15 1:31 ) والراحة (تكوين 2: 2 خروج 20:11) من الله. عقل الإنسان مخلوق بإمكانيات فهم الله (وإن لم يكن شاملاً). لديه القدرة على فهم الجوانب التجميعية والكمية والمكانية والحركية لحكم الله ، لأنه هو نفسه حاكم مثل الله. وبالتالي يمكنه التعميم بثقة من 2 + 2 = 4 ، وما إلى ذلك ، إلى 2،123،955 + 644،101 = 2،768،056.

هنا لدينا الخطوة الأولى في إجابة مسيحية على النظرية المعرفية

مشكلة بداهة / لاحقة (§§12-15). ال بداهة قدرة الإنسان & # 8217s خلق الطبيعة يتوافق حقًا مع لاحقة لما هو & # 8220 هناك ، & # 8221 لأن الإنسان في صورة الشخص الذي رسم ما هو & # 8220 هناك. & # 8221 في نفس الوقت ، فإن التفكير الرياضي للإنسان ليس دائمًا صحيحًا ، وتوقعاته البديهية لم تتحقق دائمًا (راجع الأمثلة في الفقرة 12) ، لأن الإنسان هو صورة الله اللامتناهي. بما أن الله غير مفهوم ، فإن رياضياته تحيرنا أحيانًا ، ومن المتوقع أن تفعل ذلك. ربما يوضح دليل Gödel & # 8217s (§15) مثالًا واحدًا محددًا للقيود الأساسية على معرفة الإنسان مقارنة بالله.

23. الوحي هو الأساس للرياضيات اللاحقة

بعد ذلك ، يجب أن نسأل كيف يتعرف الرجل على الحقائق الرياضية التي لم يعرفها من قبل. هذا ، قد يقول المرء ، هو لاحقة جانب الرياضيات. يجيب الكتاب المقدس أن الله يعلن للناس كل ما يعرفونه: & # 8220 من يعلّم الناس معرفة ، الرب يعرف الأفكار
من الإنسان ، هم مجرد نفس. طوبى للرجل الذي تؤدبه ، يا رب ، والذي تعلمه من شريعتك & # 8221 (مز. 94: l0b-12). & # 8220 ولكن الروح في الرجل ، نفس الله تعالى ، [تجعله يفهم. ليس كبار السن من الحكماء ، ولا المسنون هم من يفهمون الصواب & # 8221 (أيوب 32: 8-9 راجع أمثال 8). تأتي تعليمات الرب في بعض الأحيان ، بالطبع ، عن طريق الوحي & # 8220 الطبيعي & # 8221 (مز 19 إشعياء. 40:26 51: 6 أمثال 30: 24-28). وهكذا يمكننا أن ننصف الجدة الحقيقية التي توجد أحيانًا في نظرية رياضية جديدة.

لاحظ أنه ، في الإطار المسيحي ، فإن بداهة من طبيعة الإنسان و لاحقة لكون الله وإعلانه يكملان بعضهما البعض ولا يتنافسان.

24. استطراد حول حدود الرياضيات البشرية

ربما تكون هذه نقطة جيدة لاستكشاف العلاقة بين الإنسان والرياضيات الإلهية. & # 8221 عندما يكشف الله عن نفسه ، فإنه يكشف عن نفسه حقًا ، ولكن ليس بشكل شامل. هذا هو أحد القيود. في حالة الرياضيات ، فإن معرفتنا محدودة أيضًا بحقيقة أننا نرى آثار قرارات الله وحكمه على محدود العالم ، دون الوصول المباشر (إلا في حالة البيانات الكتابية) إلى تلك المراسيم وتلك التي تحكم نفسها.

خذ حالة الهندسة. على الرغم من أن الله له طبيعة مكانية (§20) ، فإنه سيكون من التجديف القول بأن لديه خصائص الفضاء الإقليدي (أو غير الإقليدي). أنظمتنا الرياضية (الإقليدية أو غير الإقليدية) غير متطابقة إلى حد ما مع نظامه & # 8220. & # 8221 يجب أن نقول ، على ما أعتقد ، أن الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية هي على حد سواء معارض (وحي) عن كيفية حكم الله للعالم سواء كانت اكتشافات أو بناءات للعقل البشري في صورة الله.

من المحتمل أن يكون الله قد خلق الكون إما بإقليدية أو غير إقليدية أو بعض الهندسة الأخرى. وهكذا فإن تنوع الأشكال الهندسية ، بعيدًا عن أن يشكل عقبة أمام وجهة النظر المسيحية ، هو مجرد توضيح لحرية الله.

هل الهندسة الإقليدية (كنظام للقول) هي الخالق أم المخلوق؟ بمعنى ما على حد سواء. توضح الحجة أعلاه أن الهندسة إلى حد ما مرتبطة بهذا العالم (وبالتالي تم إنشاؤها). الآن ، خذ العبارة G التي تشير إلى وجود خط مستقيم واحد بالضبط بين أي نقطتين متميزتين. (أو ، بالتساوي ، أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة.) افترض أن G صحيحة بالفعل في عالمنا. إذن فمن الصواب القول إن G يعبر عن أحد قوانين خلق الله. G هي واحدة من تلك الأشياء التي عينها الله لتكون حقيقية لهذا العالم (لام. 3:37).بعد كل شيء ، لا يمكننا أن نتخيل أن G يمكن أن يكون صحيحًا لأي سبب آخر غير لأن الله أمره. هو الرب! كيف يمكننا أن نعرف G بأي طريقة أخرى غير أن نعكس (§22) معرفة الله الأصلية التي يمتلكها G؟ علاوة على ذلك ، فإن قرارات الله وكلمته وكلمته (إشعياء 46: 9-12) تقول من هو الله هو (يوحنا 1: 1). يقول G من هو الله. ومع ذلك ، فإن G ليست متطابقة مع الله بكل معنى الكلمة.

من المفترض أن يكون حل هذه المفارقة موازٍ لظاهرة التجسد. يسوع هو الله ، ولكنه الله فى الصميم. الكتاب المقدس يتحدث الله بالعبرية والآرامية واليونانية. فهل من المناسب أن نقول بشكل موازٍ إن ز هو وصف الله الذي يحكم هذا محدود العالم المكاني؟ أنا اعتقد ذلك. G يشترك في خصائص المحدود والمخلوق (يشمل
الإشارة إلى النقاط والخطوط والدرجات) وخصائص اللانهائي (لا يتغير). في بعض الأحيان (كما هو الحال بالفعل مع التجسد) لا يمكن تمييز المخلوق وغير المخلوق بسهولة.

25. إن وحدة العرق وموهبة اللغة من أسس العلوم العامة

يعتمد وجود علم الرياضيات على قدرة الرجال على التواصل مع بعضهم البعض ، وعلى توافر وسيلة اتصال. كلا هذين العاملين يعود إلى الخلق. الرجال لديهم أصل عرقي واحد (أعمال 17:26) ، وهم يشتركون في طبيعة مشتركة (
صورة الله ، تكوين 1: 26-27 5: 1-3) ، وقد مُنحوا موهبة اللغة كجزء من تجهيزاتهم لتحقيق المهمة الثقافية (تكوين 2: 19-23). يوفر لنا هذا أسبابًا كافية للاعتقاد اليوم بأن الآخرين يفهموننا ، وأن لغتنا مناسبة للمهمة الثقافية التي أوكلنا إياها الله (راجع الفقرة 26).

لدينا أيضًا إجابة لسؤالنا السابق ، §1 ، لماذا يوجد الكثير من الاتفاق بين العلم على الرغم من الاختلافات الدينية. لا يمكن للبشر أن يكونوا على صورة الله ، حتى لو تمردوا عليه (تكوين 3: 5 ، 22). إنهم إما يقلدون الله في الطاعة أو يتشبهون به في محاولتهم أن يصبحوا سيدهم. ولا يمكنهم الهروب من دافع الإنجاز في البعض

صاغ التفويض الثقافي لتكوين 1: 28- 30. وهكذا ، على الرغم من أنفسهم ، فإنهم يعترفون بالله بطريقة ما من خلال "الاقتداء" به. هذا هو الوضع الموصوف في رومية 1: 18-22 يعقوب 2:19.

ومن ثم ، يمكن لغير المسيحيين ، على صورة الله ، تقديم مساهمات كبيرة في الرياضيات. يمكنهم معرفة الكثير من الحقائق الرياضية. كما رأينا في الفقرات 19-19 ، فهم يعرفون شيئًا عن الله عند معرفتهم للحقيقة الرياضية (وإن لم يكن ذلك شاملًا وفي بعض الأماكن عن طريق الخطأ). ومع ذلك ، فإن معرفتهم & # 8220 & # 8221 ليست أكثر فائدة لهم من معرفة الشياطين (يعقوب 2:19). ومن ثم ، فإن المسيحيين والملحدين ، بل في الواقع جميع أنواع المتدينين ، يتشاركون في الحقائق الرياضية ، ولكن بالنسبة لجميع غير المسيحيين ، فإن الأمر كذلك فقط. بالرغم من نظامهم. أنه لأن النصرانية هو حقيقية، لأن الله من هو لأن الإنسان صورة الله ، غير المسيحي يعرف أي شيء. 37 إن الأرضية المفترضة & # 8220 المشتركة & # 8221 للحقيقة الرياضية المشتركة تثبت عكس ما يفترض المحايد إثباته.

26. أخلاقيات رياضيات مسيحية ، تأسست في بر الله

أخيرًا ، نقدم مخططًا موجزًا ​​لكيفية تطبيق أخلاقيات الكتاب المقدس على العمل في الرياضيات. يدرك المسيحي أنه يعيش تحت سيادة الله ، ونور الله وأوامره الحالية ودينونة الله القادمة. إنه يرى أنه ، كما في حالة إبراهيم وأمة إسرائيل ، يجب أن تُبنى حياته الزوجية بالكامل ، السياسية ، الاقتصادية ، الاجتماعية ، المكانية ، وتحددها من خلال علاقته العهدية مع الله. يجب أن تكون الحياة كلها استجابة لخدمة الله (1 كورنثوس 10:31).

وبالتالي ، فإن العمل في الرياضيات يمكن أن يكون له صلة بالمسيحي فقط بقدر ما يكون الدافع وراءه محبة الله ، وأمرًا بشريعة الله ، وموجه إلى مجد الله واكتمال مملكته. هذه هي الدافع والمعيار والهدف من العمل في
الرياضيات 38 (قارن وجهة النظر غير المسيحية في §18).

لكي نكون أكثر تحديدًا ، يجب أن نأخذ في الاعتبار حقيقة أن الرجال لديهم مجموعة متنوعة من الدعوات (1 كورنثوس 7: 17-24). ليس كل الرجال مدعوون ليكونوا متخصصين في الرياضيات. بالنسبة لمن يتخصص في ذلك ، مستخدماً المواهب التي قدمها له الله (لوقا 19: 11-26 1 بطرس 4:10) ، كيف يتم ذلك؟
الأخلاق المسيحية تأتي لتحمل؟ كيف يجب أن يؤثر عليه الدافع الكتابي والمعيار والهدف؟ (أ) يجب أن يكون الدافع لعالم الرياضيات من قبل loye God لفهم الحقائق الرياضية التي رسمها الله لهذا العالم (وبالتالي فهم شيئًا من الطبيعة الرياضية لله & # 8217s ، §19) يجب أن يحفزه حب الجار أيضًا على تطبيق الرياضيات إلى الفيزياء ، والاقتصاد ، وما إلى ذلك (ب) يجب على عالم الرياضيات

تجد معياره في أمر الله ، البرنامج الذي أعطاه الله الإنسان لتحقيقه: & # 8220 أنثري واكثري ، واملئي الأرض وأخضعيها وتسلّمي. . & # 8221 (تكوين 1:28). جزء من هذا البرنامج هو أن الإنسان يجب أن يفهم أعمال الله (تكوين 2: 18-23). (ج) يجب أن يعمل عالم الرياضيات لمجد الله. يجب عليه أن يمدح الله على ما يجده من جمال وفائدة في الرياضيات ، ولطبيعة الله غير المفهومة التي تعرضها ، وللعقل البشري الذي مكنه الله من فهم الرياضيات (مز 145 ، 148). وعليه أن يبذل قصارى جهده ليُظهر للآخرين بشكل كامل وواضح أن & # 8220 كل شيء منه ومن خلاله وله وله. له المجد إلى الأبد. آمين ”(رومية 11:36).

نعتزم ، من خلال الوصف أعلاه ، تحديد ليس فقط ما يجب أن يكون عليه عالم الرياضيات والمواقف الداخلية ، ولكن أيضًا ما يجب أن يعبر عنه عمله وكلماته وكتاباته علانية وسرية. عادة ما تعبر كلمات الرجل عن هويته: & # 8220 لأنه من غزارة القلب يتكلم الفم. الإنسان الصالح من كنزه الصالح يخرج الخير ، والرجل الشرير من كنزه الشرير يخرج الشر. أقول لك ، في يوم القيامة ، سيقدم الرجال حسابًا عن كل كلمة لا مبالاة ينطقون بها من قبلك كلمات سوف يكون لك ما يبرره ، ومن قبل الخاص بك كلمات سيتم إدانتك & # 8221 (متى 12: 34b-37). إذا كان الرجل يعمل من أجل مجد الله ، فلن يكون & # 8220 سرًا & # 8221 مؤمنًا سيقوله كما يتحدث عن الرياضيات. كم يبعد هذا عن موقف & # 8220neutralist & # 8221! إن الرجل الذي يتجاهل الله أثناء قيامه بمهمته الرياضية ليس محايدًا ، ولكنه متمرد ونكران الجميل تجاه مانح كل معرفته.

1 لطالما كانت الافتراضات المعادية للإنجيل من العبارات اللاأدريّة البريئة هدفًا لانتقادات Van Til & # 8217s المخترقة. انظر ، على سبيل المثال ، Cornelius Van Til ، A Survey of Christian Epistemology ، Volume II من سلسلة In Defense of Biblical Christianity (Philadelphia: den Dulk Foundation، 1969)، pp. 212-213.

1 أ لقد انتهينا من فرضية الحياد لا يعني الدعوة إلى "نسبية الحقيقة" التي من شأنها أن تقول أن ما هو حقيقي حقًا يعتمد على الراصد. على العكس من ذلك ، فإن الحقيقة (بالتعريف) هي ما يعرفه الله ، وبالتالي فهي ثابتة تمامًا منذ البداية. هذا القدر الذي نفترضه مسبقًا. ومع ذلك ، في الجزأين الأول والثاني ، وخاصة في الجزء الأول ، نريد التركيز على ماذا اشخاص نعتقد ومعرفة عن الحقيقة الرياضية. الذي الحقائق التي يعرفونها ، وما يفعلونه بها ، تعتمد على قناعاتهم الدينية.

2 وليام ك.جوثري ، تاريخ الفلسفة اليونانية ، المجلد. II (كامبريدج: مطبعة الجامعة ، 1967) ، ص. 30.

3 "فكرًا يجب الانتباه إليه ، / هنا لا توجد تعددية في أي مكان / بالموت هو مقيد بسرعة حتى الموت / من هنا يفكر في التعددية." بول ديوسن ، فلسفة الأوبنشاد ، عبر ، بقلم أ.س.جيدن (إدنبرة: T. & amp T. كلارك ، 1906) ، ص. 232 ، مقتبس من Brih (adâranyaka) 4.4.19. & # 8230 لا تعددية ولا تغيير. الطبيعة التي تقدم مظهر التعددية والتغيير هي مجرد وهم (مايا) "(المرجع نفسه. ، ص. 237).

4 & # 8220 ولكن لا يوجد في الكون كله ، على حد سواء ، في السماء والأرض ، لا شيء سوى الآتمان: - & # 8216 لا يوجد ثانية خارجه ، ولا يوجد غيره مميز عنه. & # 8217 & # 8221 المرجع نفسه. ، ص. 157 ، اقتباس من Brih (adâranyaka) 4.3.23-30. راجع أيضا Sravepalli Radhakrishnan ، الفلسفة الهندية ، المجلد. 2 (لندن: George Allen & amp Unwin Ltd. ، 1927) ، ص. 535.

5 كورنيليوس فان تيل ، الدفاع عن الإيمان ، منقح ومختصر (فيلادلفيا: شركة النشر المشيخية والإصلاحية ، 1963) ، ص 25-26 A Survey of Christian Epistemology ، p. 96 وروساس ج. رشدوني ، الواحد والمتعددون: دراسات في فلسفة النظام والمطلق (Nutley، N.J .: Craig Press، 1971).

6 توماس س.كون ، هيكل الثورات العلمية ، الطبعة الثانية. (شيكاغو: مطبعة جامعة شيكاغو ، 1970) ، ص. 168 و Michael Polanyi، Personal Knowledge: Towards a Post-Critical Philosophy (London: Routledge & amp Kegan Paul، 1958)، pp. 160-167.

7 Arend Heyting ، & # 8220Disputation ، & # 8221 in Paul Benacerraf and Hilary Putnam، eds.، Pفلسفة الرياضيات: قراءات مختارة (إنجليوود كليفس ، إن جيه: برنتيس هول ، إنك ، 1964) ، ص. 61.

8 & # 8220 . . وجهة نظر أنه لا يوجد غير متمرس الحقائق وهذا المنطق ليس أداة موثوقة تمامًا لاكتشاف الحقائق ، وقد وجد قبولًا فيما يتعلق بالرياضيات في وقت متأخر كثيرًا عن ما يتعلق بالحياة العملية والعلم & # 8221 (منجم مائل). Luitzen E. J. Brouwer، & # 8220Consciousness، Philosophy، and Mathematics & # 8221 in Philosophy of Mathematics ، p. 78. لاحظ العلاقة التي تربط Brouwer بين & # 8220life & # 8221 و & # 8220science & # 8221 من ناحية (للتعبير عن نظرة دينية للعالم) والرياضيات من ناحية أخرى. في مكان آخر ، يعترف بدينه الفلسفي لكانط ، & # 8220 الحدسية والشكلية ، & # 8221 في المرجع نفسه. ، ص. 69.

9 Arend Heyting ، & # 8220Disputation ، & # 8221 in فلسفة الرياضيات ، ص. 61.

10 راجع Luitzen E. J. Brouwer، & # 8220 Intuitionism and Formism، & # 8221 in المرجع نفسه. ، ص. 77 ، و Arend Heyting ، & # 8220Disputation ، & # 8221 in المرجع نفسه. ، ص. 56 ، للمناقشة الحدسية لأسئلة مشابهة لـ A و B.

11 لتقييم الهندسة غير الإقليدية من وجهة نظر مسيحية ، راجع. المناقشة في Dirk H. Th. فولينهوفن ، De Wijsbegeerte der Wiskunde van Theistisch Standpunt (أمستردام: Wed.G Van Soest ، 1918) ، الصفحات 140-147.

12 راجع ، على سبيل المثال ، المناقشة في John J.C Smart، ed.، Problems of Space and Time (New York: The Macmillan Company، 1964).

13 & # 8220 هل نحن ، باتباع بوانكاريه ، نعزو هذه النتائج [للتجربة الجسدية] إلى تأثير قوة خارجية مفترضة لهذا الغرض؟ أم أننا نأخذ النتائج التي توصلنا إليها في ظاهرها ، ونقبل الهندسة التي يقودنا إليها باعتبارها هندسة طبيعية لعلم الفيزياء؟ ستعتمد الإجابة على هذا السؤال المنهجي إلى حد كبير على عالمية الهندسة التي تم العثور عليها - ما إذا كانت الهندسة الموجودة في موقف أو مجال من الخطاب المادي يمكن أن تمتد باستمرار إلى الآخرين - وفي النهاية جزئيًا على ميول الفرد أو زملائه أو من عصره. & # 8221 Howard P. Robertson، & # 8220Geometry as a Branch of Physics، & # 8221 in Paul A. Schilpp، ed.، Albert Einstein: Philosopher-Scientist (Evanston، Ill: The Library of Living Philosophers، Inc. ، 1949) ، ص. 325.

14 قارن المناقشة في الفقرة 3.

15 إيريت بيشوب ، أسس التحليل البناء (نيويورك: ماكجرو هيل ، 1967).

16 أبراهام روبنسون ، تحليل غير قياسي (أمستردام: شركة نورث هولاند للنشر ، 1966).

17 Luitzen E. J. Brouwer، & # 8220Consciousness، Philosophy، and Mathematics & # 8221 in Philosophy of Mathematics ، p. 79.

18 تاريخ الفلسفة اليونانية ، المجلد. أنا ص. 265.

19 & # 8220Toute 1 & # 8217entreprise de Leibniz تتكون من créer une logique de 1 & # 8217innni ، لا تروج لمذاهب ، الرياضيات، فيزياء ، ميتافيزيك ، théologiques وآخرون الأخلاق، ليست كطريقة لغواصين الجوانب. & # 8221 - & # 8220 تتمثل مهمة لايبنيز بأكملها في إنشاء منطق اللانهاية ، والذي تتضمن جميع عقائده ، رياضيجسدية ميتافيزيقية لاهوتي، و أخلاقي، هي جوانب متنوعة فقط & # 8221 (منجم مائل). Emile Bréhier، Histoire de la Philosophie، Tome II (Paris: Presses Universitaires de France، 1968)، p. 210.

20 فولينهوفن ، دي Wijsbegeerte der Wiskunde ، ص. 188 ، وهيرمان دويويرد ، نقد جديد للفكر النظري ، المجلد. II (فيلادلفيا: شركة النشر المشيخية والإصلاحية ، 1969) ، الصفحات 45 ، 87 ، 340. تعتبر الفلسفة المسيحية Dooyeweerd & # 8217s التناقضات علامة أكيدة للفكر التأملي الذي لا يعترف بحدود المخلوق (المرجع نفسه. ، ص. 38).

21 هنا نتبع ممارسة Van Til & # 8217s (على سبيل المثال ، مسح لنظرية المعرفة المسيحية، ص. 210-223) لوصف وجهات النظر غير المسيحية للعالم ، سواء كانت & # 8220 محايدة ، & # 8221 وحدة الوجود ، deistic ، أو إلحاد ، بألوانها الحقيقية. التوحيد الحقيقي الوحيد هو الذي يعبد ويخدم الإله الحقيقي ، أبا يسوع المسيح (يوحنا الأولى 2: 22-24 2 يوحنا 7-9) ، معترفًا به ربًا للجميع (1 كورنثوس 8: 6 أفسس. 1:21 أعمال 10 ، 36). كل ما عدا ذلك هو عبادة الأصنام (رومية 1: 22-25). سنستكشف بشكل أكبر أهمية النهج الكتابي الجذري في §§19-26.

22 & # 8220 عندما نقول أن الافتراضات التحليلية [التي يتضمن آير من بينها افتراضات رياضية] خالية من المحتوى الواقعي ، وبالتالي فهي لا تقول شيئًا ، فإننا لا نقترح أنها بلا معنى بالطريقة التي لا معنى لها في الكلام الميتافيزيقي. على الرغم من أنهم لا يقدمون لنا أي معلومات حول أي موقف تجريبي ، إلا أنهم ينوروننا من خلال توضيح الطريقة التي استخدام رموز معينة& # 8221 (منجم مائل). ألفريد جول آير & # 8220 أولوية، & # 8221 في فلسفة الرياضيات ، ص. 295. تحتوي هذه المقالة نفسها على بعض المناقشات حول وجهات نظر Mill & # 8217s و Russell & # 8217s حول المعرفة الرياضية.

23 Ludwig Wittgenstein، Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik، herausgegeben und bearbeitet von G.Hon Wright، R. Rhees، G.E M. Anscombe (Oxford: Basil Blackwell، 1967)، pp. 4،6.

24 & # 8220 أولوية، & # 8221 في فلسفة الرياضيات ، ص. 300.

25 راجع ، على سبيل المثال ، إرنست ناجل: & # 8220 لن يكون الاختيار بين الأنظمة البديلة للمبادئ التنظيمية [في المنطق والرياضيات] تعسفيًا وسيكون له أساس موضوعي ، ومع ذلك ، لن يكون الاختيار قائمًا على ما يُزعم أنه متأصل أكبر ضرورة وجود نظام منطقي على نظام آخر ، ولكن على مدى كفاية أكبر نسبيًا لأحدهما كأداة لتحقيق منهجية معينة للمعرفة. & # 8221 & # 8220 منطق بدون علم الوجود ، & # 8221 في فلسفة الرياضيات ، ص. 317.

26 Kurt Gödel، & # 8220 formalber official unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I، & # 8221 Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931): 173-198 & # 8220On رسميًا غير قابل للتقرير من مبادئ الرياضيات الإنجليزية والأنظمة ذات الصلة بواسطة # 8221 ميلتزر (إدنبرة ولندن: أوليفر وبويد ، 1962). راجع وكذلك تعميم كارناب & # 8217s بأن كل عملية حسابية رسمية بها عيوب. رودولف كارناب ، التركيب المنطقي للغة (نيويورك: هاركورت ، بريس أند كومباني ، 1937) ، §60 د.

27 كينيث إل بايك ، اللغة فيما يتعلق بالنظرية الموحدة لهيكل السلوك البشري ، الطبعة الثانية المنقحة (لاهاي-باريس: موتون وشركاه ، 1967).

28 كورنيليوس فان تيل ، دراسة استقصائية لنظرية المعرفة المسيحية ، الصفحات 200-201 ، 94-99 ، والدفاع عن الإيمان ، 13-14 ، 41-46.

29 ألبرت أينشتاين ، ص. 285 ، مقتبس من Science، Philosophy and Religion: A Symposium (New York: Harper & amp Row، 1941). وبالمثل ، يسمي إي بي فيجنر هذه القابلية للصياغة للقوانين الفيزيائية بمصطلحات رياضية & # 8220 جريدة الإيمان & # 8221 ومعجزة & # 8220. . . التي لا نفهمها ولا نستحقها. & # 8221 & # 8220 الفعالية غير المعقولة للرياضيات في العلوم الطبيعية ، & # 8221 الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية ، 13 (I960): 10،14.

30 Dooyeweerd ، نقد جديد ، المجلد. II ، pp. 47 ، 91 ، 103 ، 106 ، 385 ، إلخ. Vollenhoven، De Wijsbegeerte der Wiskunde، pp. 20-138، 200-402 Vollenhoven، & # 8220Problemen en Richtingen in de Wijsbegeerte der Wiskunde، & # 8221 Philosophia Reformata 1 (1936): 162-187 DFM Strauss ، & # 8220Number-Concept and Number-Idea ، & # 8221 Philosophia Reformata 35 (1970): 156-177 and 36 (1971): 13-42.

31 كورنيليوس فان تيل ، الأخلاق الإيمانية المسيحية ، المجلد. الثالث من سلسلة دفاعًا عن المسيحية الكتابية (فيلادلفيا: مؤسسة دين دولك المسيحية ، 1971).

32 كورنيليوس فان تيل ، مقدمة في علم اللاهوت النظامي (فيلادلفيا: مدرسة وستمنستر اللاهوتية ، منهج الفصل الدراسي ، 1966) ، ص 11-12 ديرك إتش. Vollenhoven، Het Calvinisme en de Reformatie van de Wijsbegeerte (Amsterdam: H.J Paris، 1933)، pp.50-51.

33 نحن لا نؤمن بأن يسوع ، أو الجسد العظيم لمعاصريه الفلسطينيين ، بأي حال من الأحوال ، فكر في الكنيسة ، أو غيره من الكتب الملفقة المزعومة ، على أنها كلمة الله. ومع ذلك ، فإن هذه المقاطع مثيرة للاهتمام لأنها تُظهر نوع التفكير الذي كان سائداً في الهواء بشأن مسألة الحكمة ، وهي تُظهر السياق الذي كان اليهود سيفهمون فيه يسوع & # 8217 استدعاء & # 8220 & # 8220 تعال إليه & # 8221 و & # 8220 خذ نيره. & # 8221 حتى لو أمكن إثبات أن يسوع يلمح على وجه التحديد إلى Ecclesiasticus (بدلاً من مجرد تقليد الحكمة اليهودي الذي يعتبر سيدي أحد الأمثلة عليه) ، فلن يثبت أكثر من إشارة بولس إلى اليونانية الشعراء في أعمال 17:28.

34 فلسفة فكرة القانون ، أو فلسفة أمستردام ، بينما تدعي أنها تتخذ موقفًا مسيحيًا جذريًا ، تقع أيضًا ضحية لهرطقة سابيلية قديمة. وفقًا لـ Dooyeweerd ، فإن الجانب العددي ، الخاضع للقوانين الرياضية ، يحدث فقط كواحد من الجوانب المتنوعة للنظام الكوني للوقت. نقد جديد ، المجلد. أنا ص. 3 ، 24 ، 29 ، الجبهة. 31-32. والزمن الكوني لا يشمل الله الأزلي. المرجع نفسه. ، fn. ص. 31. ومن ثم لا يمكن أن تنسب الخصائص العددية إلى الله نفسه. 1 + 1 + 1 = 3 ، كبيان نظري ، لا يمكنه التحدث عن الله. & # 8220 المفاهيم الشكلية للقوانين والموضوع والموضوع تقتصر أساسًا على جانب خاص. على عكس الفكرة الكونية ، لا تشير هذه المفاهيم النموذجية في حد ذاتها إلى ما وراء تنوع المعنى تجاه الأصل والكلية المتعالية. & # 8221 المرجع السابق. ، ص. 97.إذا تم أخذ هذه القيود في ظاهرها ، فإنها تؤدي إلى وجهة نظر Sabellian (الشكلية) للثالوث. راجع ورقة المؤلف & # 8217s ، & # 8220 السابيلية في فلسفة القانون-فكرة ، & # 8221 Philosophia Reformata (تظهر).

35 جي إم سبير ، مقدمة في الفلسفة المسيحية ، الطبعة الثانية. (نوتلي ، إن جيه: The Craig Press ، 1966) ، الصفحات 30-130. يعمم Spier تصنيف A New Critique ، المجلد. II. راجع أيضًا Vern Poythress ، & # 8220A a Approach to Evangelical Philosophy of Science & # 8221 Th.M. أطروحة ، مدرسة وستمنستر اللاهوتية ، 1974.

36 نحن لا نتحدث هنا عن السماء بالمعنى التقليدي ، لأن السماء مكان مخلوق (أعمال 4:24 نحميا 9: 6). بما أن الله صنع كل شيء خارج ذاته (كولوسي 1:16) ، فهو له أبدي لا يمكن أن يكون السكن سوى الله نفسه. لأنه ، في الشركة الثالوثية ، هو نفسه هو نفسه & # 8220 سكنًا ، & # 8221 ليس بحاجة إلى الخلق ليجعل لنفسه مسكنًا. في الواقع ، قد نتساءل عما إذا كان ينبغي وضع علامات الاقتباس لنا "المساكن" بدلاً من له: عيادته الأصل.

37 الدفاع عن الإيمان ، ص 154 ، 159.

38 لمناقشة موسعة حول الدافع والمعيار والهدف ، راجع. الأخلاق التوحيدية المسيحية.


عواقب متواليات الأعداد الحقيقية

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك تسلسل الأعداد الطبيعية $ (n) = (1، 2، 3،.) $. أحد تبعيات الأعداد الطبيعية هو تسلسل جميع الأعداد الطبيعية الزوجية $ (2n) = (2، 4، 6،.) $ حيث $ n_1 = 2 $، $ n_2 = 4 $، & # 8230، $ n_k = 2k $ آخر من التالي من الأعداد الطبيعية هو تسلسل جميع الأعداد الطبيعية الفردية $ (2n - 1) = (1، 3، 5،.) $ حيث $ n_1 = 1 $ ، $ n_2 = 3 $ ، & # 8230 ، $ n_k = 2k - 1 $.

نلاحظ أنه في كلتا الحالتين أعلاه ، يتم الاحتفاظ بترتيب شروط هذه البنود اللاحقة منذ $ n_1 & lt n_2 & lt. & lt n_k & lt. $. على سبيل المثال ، التسلسل $ (4، 2، 6، 8،.) $ ليس نتيجة تالية لـ $ (n) $ منذ $ n_1 = 4 $ و $ n_2 = 2 $ ومن الواضح $ n_1 neq & lt n_2 $.

سنلقي نظرة الآن على بعض النظريات المهمة فيما يتعلق بالآتي:

  • دليل: لنفترض أن $ (a_n) $ هو تسلسل متقارب مثل هذا $ lim_ a_n = دولار. نريد أن نظهر أن $ lim_ أ_ = دولار.
  • بما أن $ (a_n) $ هو تسلسل متقارب ، فإن $ forall epsilon & gt 0 $ يوجد $ N in mathbb$ مثل أنه إذا كان $ n ≥ N $ ثم $ mid a_n - A mid & lt epsilon $. نلاحظ أنه منذ $ n_1 & lt n_2 & lt. & lt n_k & lt. $ عبارة عن سلسلة متزايدة من الأعداد الطبيعية ، والتي هي أيضًا $ n_k ≥ k $. إذا اخترنا $ k ≥ N $ فسيكون لدينا $ n_k ≥ k ≥ N $ وهكذا $ mid a_ - A mid & lt epsilon $ وهكذا $ lim_ أ_ = دولار. $ blacksquare $

النظرية 1 أعلاه أسهل في الفهم بصريًا. ضع في اعتبارك التسلسل التالي $ (a_n) $ الموضح أدناه:

لاحظ أن أي تتابعات من التسلسل الموضح أعلاه يجب أن تتقارب أيضًا مع نفس الحد $ A $. يظهر هذا مع التآمر التاليين التاليين. المتتالية اللاحقة على اليسار هي كل الشروط الزوجية للتسلسل الأصلي ، بينما اللاحقة على اليمين هي كل المصطلحات الفردية للتسلسل الأصلي:

مع وضع هذه الفكرة في الاعتبار ، يمكننا أيضًا وصف ذيل التسلسل ليكون لاحقًا خاصًا. نلاحظ أنه إذا كان $ (a_n) $ متقاربًا مع $ A $ ، فإن أي $ m $ -tail من $ (a_n) $ هو نتيجة لاحقة تتقارب أيضًا مع الرقم الحقيقي $ A $.


2.2: حقائق حول حدود المتتاليات - الرياضيات

  • التسلسل هو كائن محدد من قبل المستخدم يقوم بإنشاء سلسلة من القيم الرقمية.
  • يتم استخدام التسلسلات بشكل متكرر في العديد من قواعد البيانات لأن العديد من التطبيقات تتطلب أن يحتوي كل صف في الجدول على قيمة فريدة وتوفر التسلسلات طريقة سهلة لإنشاءها.
  • يتم إنشاء تسلسل القيم الرقمية في ملفترتيب تنازلي أو تنازلي على فترات زمنية محددة ويمكن تهيئتها لإعادة التشغيل عند تجاوز max_value.

الآن أدخل القيم في الجدول

هذه المقالة ساهمت بها أرشيبريت سينغ. إذا كنت تحب GeeksforGeeks وترغب في المساهمة ، فيمكنك أيضًا كتابة مقال باستخدام Contrib.geeksforgeeks.org أو إرسال مقالتك بالبريد إلى [email protected] شاهد مقالتك تظهر على صفحة GeeksforGeeks الرئيسية وساعد المهوسين الآخرين.

يرجى كتابة التعليقات إذا وجدت أي شيء غير صحيح ، أو إذا كنت ترغب في مشاركة المزيد من المعلومات حول الموضوع الذي تمت مناقشته أعلاه.


حقائق وأساطير حول الدورات غير المخصصة للحصص

الحقيقة: يجب أن تكون مؤهلاً أولاً للحصول على CAMPUS قبل أن يتم فحصك لبرنامج الشهادة.

يجب أن يقوم برنامج UPG أولاً بإيقاف العمل في حرم جامعي معين تقدمت بطلب للحصول عليه قبل أن يتم النظر في الالتحاق ببرنامج للحصول على درجة علمية. إذا لم يصل UPG الخاص بك إلى الحد الأقصى للحرم الجامعي ، فلا فائدة من فحصك للبرنامج. وبالتالي ، اختر الحرم الجامعي بحكمة أولاً ، تكون الدورة التدريبية ثانوية.

كما نوقش سابقًا في التأهل لبرنامج درجة ، إذا كنت قد وصلت إلى الحرم الجامعي ولكنك لم تصل إلى الموعد النهائي للبرنامج ، فستحصل على نتيجة "برنامج الشهادة مع الفتحة المتاحة (DPWAS أو DPAS). سيجد الحرم الجامعي الذي تأهلت إليه برنامجًا يمكنه استيعابك.


شاهد الفيديو: دروس الرياضياتعموميات حول المتتاليات. مجموع حدود متتابعة لمتتالية حسابية ثانية باك علومالجزء 7 (شهر نوفمبر 2021).