مقالات

3: وظائف خطية


تذكر أن الوظيفة هي علاقة تعين لكل عنصر في المجال عنصرًا واحدًا بالضبط في النطاق. الوظائف الخطية هي نوع محدد من الوظائف التي يمكن استخدامها لنمذجة العديد من تطبيقات العالم الحقيقي ، مثل نمو النبات بمرور الوقت. في هذا الفصل ، سوف نستكشف الدوال الخطية والرسوم البيانية وكيفية ربطها بالبيانات.

  • 3.1: مقدمة في الوظائف الخطية
    تخيل وضع نبات في الأرض ذات يوم ووجد أنه قد تضاعف ارتفاعه بعد أيام قليلة فقط. على الرغم من أنه قد يبدو أمرًا لا يصدق ، إلا أنه يمكن أن يحدث مع أنواع معينة من أنواع الخيزران. هؤلاء أعضاء عائلة العشب هم النباتات الأسرع نموًا في العالم. لوحظ أن نوعًا واحدًا من الخيزران ينمو حوالي 1.5 بوصة كل ساعة. معدل التغيير الثابت ، مثل دورة نمو نبات الخيزران هذا ، هو دالة خطية.
  • 3.2: وظائف خطية
    تمثل الأزواج المرتبة التي تقدمها دالة خطية نقاطًا على خط ما. يمكن تمثيل الوظائف الخطية في الكلمات ، وترميز الوظيفة ، والصيغة الجدولية ، والشكل الرسومي. يُعرف معدل تغير الدالة الخطية أيضًا بالمنحدر. تتضمن المعادلة في صيغة الميل والمقطع للخط الميل والقيمة الأولية للدالة. القيمة الأولية ، أو تقاطع y ، هي قيمة الإخراج عندما يكون إدخال دالة خطية صفرًا.
  • 3.3: النمذجة ذات الوظائف الخطية
    يمكننا استخدام نفس استراتيجيات المشكلة التي قد نستخدمها لأي نوع من الوظائف. عند نمذجة مشكلة ما وحلها ، حدد المتغيرات وابحث عن القيم الأساسية ، بما في ذلك الميل وتقاطع y. ارسم مخططًا ، حيثما كان ذلك مناسبًا. تحقق من معقولية الإجابة. يمكن بناء النماذج الخطية عن طريق تحديد الميل أو حسابه واستخدام تقاطع y. يمكن العثور على تقاطع x عن طريق ضبط y = 0 ، مما يجعل التعبير mx + b يساوي 0.

الوحدة 3 & # 8211 الدالات الخطية والمعادلات والجبر الخاص بهم

لماذا. نحن ناشر صغير ومستقل أسسه مدرس الرياضيات وزوجته. نحن نؤمن بالقيمة التي نقدمها للمعلمين والمدارس ، ونريد الاستمرار في القيام بذلك. نحافظ على أسعارنا منخفضة حتى يتمكن جميع المعلمين والمدارس من الاستفادة من منتجاتنا وخدماتنا. نطلب منك مساعدتنا في مهمتنا من خلال الامتثال لهذه الشروط والأحكام.

من فضلك لا تقاسم. نحن نعلم أنه من الجيد المشاركة ، ولكن يُرجى عدم مشاركة محتوى عضويتك أو معلومات تسجيل الدخول أو التحقق من الصحة. عضويتك عبارة عن ترخيص مستخدم فردي ، مما يعني أنه يمنح شخصًا واحدًا - أنت - الحق في الوصول إلى محتوى العضوية (مفاتيح الإجابة وملفات الدروس القابلة للتحرير وملفات PDF وما إلى ذلك) ولكن لا يُقصد مشاركتها.

  • الرجاء عدم نسخ أو مشاركة "مفاتيح الإجابة" أو محتويات العضوية الأخرى.
  • الرجاء عدم نشر "مفاتيح الإجابة" أو أي محتوى عضوية آخر على موقع ويب ليتمكن الآخرون من مشاهدته. وهذا يشمل مواقع المدرسة وصفحات المدرسين على مواقع المدرسة.
  • يمكنك عمل نسخ من "مفاتيح الإجابة" لتوزيعها على فصلك ، ولكن يرجى جمعها عند انتهاء الطلاب من استخدامها.
  • إذا كنت مدرسة ، يرجى شراء ترخيص لكل معلم / مستخدم.

يرجى احترام حقوق الطبع والنشر الخاصة بنا والأسرار التجارية. نحن نملك حقوق الطبع والنشر في جميع المواد التي نقوم بإنشائها ، ونرخص بعض حقوق النشر في البرامج التي نستخدمها لتشغيل موقعنا وإدارة بيانات الاعتماد وإنشاء موادنا ، وقد يتم تضمين بعض هذه البرامج المحمية بحقوق الطبع والنشر في المواد التي تقوم بتنزيلها. عند الاشتراك ، نمنحك إذنًا ("ترخيص مستخدم فردي") لاستخدام حقوق النشر والأسرار التجارية الخاصة بنا وتلك التي نرخصها من الآخرين ، وفقًا للشروط والأحكام الخاصة بنا. لذلك بالإضافة إلى الموافقة على عدم النسخ أو المشاركة ، نطلب منك:

  • يُرجى عدم إجراء هندسة عكسية للبرنامج والرجاء عدم تغيير أو حذف أي حقوق تأليف أو إصدار أو خاصية أو بيانات وصفية أخرى.
  • من فضلك لا تحاول اختراق نظام التحقق لدينا ، أو تطلب من أي شخص آخر محاولة الالتفاف حوله.
  • من فضلك لا تضع البرنامج أو معلومات تسجيل الدخول الخاصة بك أو أي من موادنا على شبكة حيث يمكن لأشخاص غيرك الوصول إليها
  • يُرجى عدم نسخ البرنامج أو محتوى العضوية أو تعديله بأي شكل من الأشكال ما لم تكن قد اشتريت ملفات قابلة للتحرير
  • إذا قمت بإنشاء مهمة معدلة باستخدام ملف قابل للتحرير تم شراؤه ، فالرجاء اعتمادنا على النحو التالي في جميع صفحات التخصيص والإجابة الرئيسية:

"هذه المهمة عبارة عن نسخة معدلة من قِبل المعلم من [عنوان eMath] حقوق الطبع والنشر © 201x eMATHinstruction، LLC ، تُستخدم بموجب إذن"

طلب ردود الفعل. نحن نقدر ملاحظاتك حول منتجاتنا وخدماتنا. نعتقد أن الآخرين سيقدرونها أيضًا. لهذا السبب قد نقوم بما يلي (ونطلب منك الموافقة):

  • استخدم ملاحظاتك لإجراء تحسينات على منتجاتنا وخدماتنا وحتى إطلاق منتجات وخدمات جديدة ، مع العلم أنك لن تحصل على أي أموال أو تمتلك أي جزء من المنتجات والخدمات الجديدة أو المحسّنة (ما لم نتفق على خلاف ذلك كتابيًا مسبقًا ).
  • شارك بتعليقاتك ، بما في ذلك الشهادات ، على موقعنا الإلكتروني أو مواد إعلانية وترويجية أخرى ، مع العلم بأنك لن تحصل على أجر أو تملك أي جزء من المواد الإعلانية أو الترويجية (ما لم نتفق على خلاف ذلك كتابيًا في وقت مبكر).

الرضا مضمون. إذا لم تكن راضيًا بنسبة 100٪ ، فسنرد لك سعر الشراء الذي دفعته في غضون 30 يومًا. لاسترداد الأموال:

  • في غضون 30 يومًا من الشراء ،
  • احذف البرنامج وجميع محتويات العضوية من جميع أجهزة الكمبيوتر لديك ، وقم بتدمير جميع النسخ المصورة أو المطبوعات الخاصة بموادنا وأعد جميع النسخ الملموسة (الأقراص ، المصنفات ، إلخ) والمواد الأخرى التي تلقيتها منا إلى:

قسم مرتجعات التعليمات
10 حارة برعم الفاكهة
ريد هوك ، نيويورك 12571

دعم فني: إذا كنت تواجه مشكلة في تسجيل الدخول أو الوصول إلى المواد الخاصة بك ، أو إذا لم يتم فتح المواد التي تم تنزيلها أو كانت غير مقروءة ، فيرجى إخطارنا على الفور عبر البريد الإلكتروني على [email & # 160protected] حتى نتمكن من إصلاحها.

بدون كفالة. نحن نؤمن بجودة منتجاتنا وخدماتنا وقيمتها ، ونعمل بجد للتأكد من أنها تعمل بشكل جيد وخلوها من الأخطاء. ولكن بعد قولي هذا ، فإننا نقدم لك منتجاتنا وخدماتنا "كما هي" ، مما يعني أننا لسنا مسؤولين إذا حدث شيء سيء لك أو لنظام الكمبيوتر لديك نتيجة لاستخدام منتجاتنا وخدماتنا. للحصول على إخلاء المسؤولية الكامل عن الضمانات ، يرجى الاطلاع على النسخة القانونية الخاصة بنا من هذه الشروط والأحكام هنا.

النزاعات. إذا كان لدينا نزاع لا يمكننا حله بمفردنا ، فسنستخدم التحكيم الملزم بدلاً من رفع دعوى قضائية في محكمة عادية (باستثناء أنه يمكنك استخدام محكمة الدعاوى الصغيرة). التحكيم الملزم يعني أن قضيتنا سيتم الفصل فيها من قبل محكم واحد أو أكثر يتم اختيارهم ودفعهم من قبل جميع أطراف النزاع. التحكيم هو طريقة أسرع وأقل رسمية لحل النزاعات وبالتالي يكون أقل تكلفة.

  • لبدء إجراءات التحكيم ، يرجى إرسال خطاب يطلب التحكيم ووصف مطالبتك إلى:

Emath Instruction Inc.
10 حارة برعم الفاكهة
ريد هوك ، نيويورك 12571

تحديد المسؤولية. إذا ربحت قضية ضدنا ، فإن أقصى ما يمكنك استرداده منا هو المبلغ الذي دفعته لنا.

للاطلاع على النسخة القانونية من الشروط والأحكام الخاصة بنا ، يرجى النقر هنا. لقد قدمنا ​​لك النقاط البارزة أعلاه ، بلغة إنجليزية بسيطة ، ولكن من الجيد إلقاء نظرة على Legalese أيضًا ، لأنه من خلال تحديد المربع أدناه ومتابعة عملية الشراء ، فإنك توافق على كل من اللغة الإنجليزية والقانونية.

شكرًا لك على استخدام مواد eMATHinstruction. من أجل الاستمرار في تقديم موارد رياضية عالية الجودة لك ولطلابك ، نطلب منك بكل احترام لا نشر هذا أو أي من ملفاتنا على أي موقع. القيام بذلك يعد انتهاكًا لحقوق النشر.

المحتوى الذي تحاول الوصول إليه يتطلب عضوية. إذا كان لديك بالفعل خطة ، يرجى تسجيل الدخول. إذا كنت بحاجة إلى شراء عضوية ، فنحن نقدم عضويات سنوية للمدرسين والمعلمين وخصومات كبيرة خاصة للمدارس.

عذرا ، المحتوى الذي تحاول الوصول إليه يتطلب التحقق أنك مدرس رياضيات. الرجاء النقر فوق الارتباط أدناه لتقديم طلب التحقق الخاص بك.


رسم وظيفة عن طريق رسم النقاط

للعثور على نقاط دالة ، يمكننا اختيار قيم الإدخال وتقييم الوظيفة عند قيم الإدخال هذه وحساب قيم المخرجات. قيم الإدخال وقيم الإخراج المقابلة تشكل أزواج إحداثيات. ثم نرسم أزواج الإحداثيات على شبكة. بشكل عام ، يجب علينا تقييم الدالة عند مدخلين على الأقل لإيجاد نقطتين على الأقل في الرسم البياني للدالة. على سبيل المثال ، بالنظر إلى الوظيفة [اللاتكس] f left (x right) = 2x [/ latex] ، قد نستخدم قيم الإدخال 1 و 2. ينتج عن تقييم الدالة لقيمة الإدخال 1 قيمة الإخراج 2 والتي تمثله النقطة (1 ، 2). يؤدي تقييم الدالة لقيمة الإدخال 2 إلى الحصول على قيمة إخراج قدرها 4 والتي تمثلها النقطة (2 ، 4). غالبًا ما يُنصح باختيار النقاط الثلاث لأنه إذا لم تقع النقاط الثلاث في نفس الخط ، فنحن نعلم أننا ارتكبنا خطأ.

الكيفية: إعطاء دالة خطية ، رسم بيانيًا عن طريق رسم النقاط.

  1. اختر ما لا يقل عن اثنين من قيم الإدخال.
  2. قيم الدالة عند كل قيمة إدخال.
  3. استخدم قيم الإخراج الناتجة لتحديد أزواج الإحداثيات.
  4. ارسم أزواج الإحداثيات على الشبكة.
  5. ارسم خطًا عبر النقاط.

مثال: الرسم البياني من خلال نقاط التآمر

الرسم البياني [اللاتكس] f left (x right) = - frac <2> <3> x + 5 [/ latex] عن طريق رسم النقاط.

ابدأ باختيار قيم الإدخال. تتضمن هذه الوظيفة كسرًا مقامه 3 ، لذا دعنا نختار مضاعفات 3 كقيم إدخال. سنختار 0 و 3 و 6.

قم بتقييم الوظيفة عند كل قيمة إدخال واستخدم قيمة المخرجات لتحديد أزواج الإحداثيات.

[اللاتكس] ابدأx = 0 & & f left (0 right) = - frac <2> <3> left (0 right) + 5 = 5 rightarrow left (0،5 right) x = 3 & & f left (3 right) = - frac <2> <3> left (3 right) + 5 = 3 rightarrow left (3،3 right) x = 6 & & f left ( 6 يمين) = - فارك <2> <3> يسار (6 يمين) + 5 = 1 يمين يسار (6،1 يمين) نهاية[/ اللاتكس]

ارسم أزواج الإحداثيات وارسم خطًا عبر النقاط. الرسم البياني أدناه للدالة [اللاتكس] f left (x right) = - frac <2> <3> x + 5 [/ latex].

تحليل الحل

الرسم البياني للدالة هو خط كما هو متوقع لوظيفة خطية. بالإضافة إلى ذلك ، يحتوي الرسم البياني على ميل هبوطي يشير إلى ميل سلبي. هذا متوقع أيضًا من معدل التغيير الثابت السلبي في معادلة الوظيفة.

جربها

الرسم البياني [اللاتكس] f left (x right) = - frac <3> <4> x + 6 [/ latex] عن طريق رسم النقاط.


دالة خطية

في حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية والمجالات ذات الصلة ، فإن الوظيفة الخطية هي متعدد الحدود من الدرجة الأولى أو أقل ، بما في ذلك كثير الحدود الصفري (الأخير لا يعتبر درجة صفر).

عندما تكون الوظيفة لمتغير واحد فقط ، فهي ذات شكل

أين أ و ب هي ثوابت ، غالبًا أرقام حقيقية. الرسم البياني لمثل هذه الوظيفة لمتغير واحد هو خط غير عمودي. أ كثيرًا ما يشار إليه بميل الخط ، و ب مثل التقاطع.

والرسم البياني هو مستوي فائق الأبعاد ك .

تعتبر الوظيفة الثابتة أيضًا خطية في هذا السياق ، لأنها متعددة الحدود من الدرجة صفر أو كثيرة الحدود الصفرية. الرسم البياني الخاص به ، عندما يكون هناك متغير واحد فقط ، هو خط أفقي.

في هذا السياق ، يمكن الإشارة إلى الوظيفة التي تكون أيضًا خريطة خطية (المعنى الآخر) على أنها دالة خطية متجانسة أو شكل خطي. في سياق الجبر الخطي ، فإن وظائف كثيرة الحدود من الدرجة 0 أو 1 هي الخرائط الأفينية ذات القيمة العددية.

في الجبر الخطي ، الوظيفة الخطية هي الخريطة F بين مسافتين متجهتين s.t.

هنا أ يدل على انتماء ثابت لبعض الحقول ك العددية (على سبيل المثال ، الأرقام الحقيقية) و x و ذ هي عناصر من فضاء متجه ، والتي قد تكون ك بحد ذاتها.

بعبارات أخرى ، تحافظ الدالة الخطية على الجمع المتجه والضرب القياسي.

يستخدم بعض المؤلفين "دالة خطية" فقط للخرائط الخطية التي تأخذ قيمًا في الحقل القياسي [6] وهي أكثر شيوعًا تسمى النماذج الخطية.

تتأهل "الوظائف الخطية" لحساب التفاضل والتكامل كـ "خرائط خطية" عندما (وفقط عندما) F(0 ، 0) = 0 ، أو على نحو مكافئ ، عندما يكون الثابت أعلاه ب يساوي صفرًا. هندسيًا ، يجب أن يمر الرسم البياني للوظيفة عبر الأصل.


وظائف خطية

إذا أ هي 0 ، ثم سنفكر في F كثابت وليس كدالة خطية.

مجال الدالة الخطية هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ، وبالتالي نطاقها:

يوضح الشكل التالي (f left (x right) = 2x + 3 ) و (g left (x right) = 4 - x ) مرسومًا على نفس المحاور:

لاحظ أن كلا الدالتين تأخذ قيمًا حقيقية لجميع قيم x، مما يعني أن مجال كل دالة هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. انظر على طول x-محور لتأكيد ذلك. لكل قيمة x، لدينا نقطة على الرسم البياني.

أيضًا ، يتراوح ناتج كل دالة بشكل مستمر من اللانهاية السالبة إلى اللانهاية الموجبة ، مما يعني أن نطاق أي من الدالتين هو أيضًا ( mathbb). يمكن تأكيد ذلك من خلال النظر على طول ذ-المحور ، والذي يظهر بوضوح أن هناك نقطة على كل رسم بياني لكل منها ذ-القيمة.

كما رأينا في هندسة الإحداثيات ، فإن ميل الخط في الرسم البياني (f left (x right) = ax + b ) سيكون (m = a ) ، وسوف يمر عبر النقطة ( left (<0، b> right) ) ، لأنها ذ- اعتراض سيكون ب.

مثال 1: ارسم الرسم البياني لـ

[f left (x right) = left < startx + 2، & amp x in left [<- 2،1> right) 2x - 3، & amp x in left [<1،2> right] end حق.]


الرياضيات PreCalculus Mathematics في نبراسكا

العلاقات الخطية هي العلاقات التي يكون فيها معدل التغيير ثابتًا.

معادلة خط مستقيم

أ هي دالة لها معدل تغير ثابت.

يمكن نمذجة العديد من الظواهر باستخدام الدوال الخطية (y = f (x) ) حيث يكون للمعادلات الشكل

معدل التغيير هو ميل الرسم البياني ، وقيمة (f (0) text <.> ) على الرسم البياني (f text <،> ) تتوافق القيمة الأولية مع النقطة التي تقع على المحور الرأسي.

التقاطع العمودي / (y ) - التقاطع

النقطة A هي نقطة يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور الرأسي. بالنسبة للدالة (f text <،> ) ، فإن التقاطع الرأسي للرسم البياني لـ (f ) هو النقطة ((0، f (0)) text <.> ) لأننا غالبًا ما نستخدم متغير (ص ) على المحور الرأسي ، غالبًا ما يطلق على التقاطع الرأسي اسم.

للتبسيط ، غالبًا ما نستخدم المتغير (b ) من أجل (f (0) ) بحيث يكون التقاطع الرأسي للدالة (f ) عند ((0 ، ب) نص <.> )

الحذر 77

غالبًا ما نسيء استخدام التدوين ونقول أن (y ) - intecept للرسم البياني هو (b text <.> ) ما نحن حقا يعني أن (y ) - التقاطع هو النقطة ((0 ، ب) النص <.> )

يمكننا كتابة معادلة دالة خطية بشكل صريح

حيث يكون الحد الثابت ، (b text <،> ) هو (y ) - التقاطع و (m text <،> ) معامل (x text <،> ) هو ميل الخط. هذه الصيغة لمعادلة الخط تسمى.

شكل معادلة الميلان المحصور

إذا كتبنا معادلة دالة خطية في الصورة ،

ثم (م ) هو ميل الخط ، و (ب ) هو (ص ) - إحداثيات (ص ) - تقاطع الخط.

(ربما تكون قد صادفت معادلة تقاطع الميل بالشكل المكافئ (y = mx + b text <.> ))

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الدالتين الخطيتين والرسوم البيانية الخاصة بهما الموضحة في الشكل 78 والشكل 79.

من خلال فحص جدول القيم ، يمكننا أيضًا معرفة سبب إعطاء معامل (x ) ميل الخط:

  • بالنسبة إلى (f (x) text <،> ) في كل مرة يزيد (x ) بمقدار (1 ) وحدة ، ينقص (y ) بمقدار (3 ) وحدات.
  • بالنسبة إلى (g (x) text <،> ) في كل مرة يزيد (x ) بمقدار (1 ) وحدة ، (y ) يزيد بمقدار (2 ) وحدة.

لكل رسم بياني ، معامل (س ) هو عامل مقياس يخبرنا عن عدد الوحدات (ص ) التغييرات في (1 ) زيادة الوحدة في (س نص <.> ) ولكن هذا هو بالضبط ما يخبرنا به المنحدر عن الخط المستقيم.

من المفيد أيضًا تقديم المصطلح (x ) - التقاطع في هذه المرحلة.

(س ) - اعتراض

النقطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع محور (س ). يتطابق مع النقطة ((أ ، 0) ) حيث (أ ) هي قيمة مثل (f (أ) = 0 نص <.> )

مثال 80

تقوم فرانسين باختيار مزود خدمة الإنترنت. دفعت 30 دولارًا مقابل مودم ، وهي تدرس ثلاث شركات للخدمة:

  • يتقاضى Juno 14.95 دولارًا شهريًا ،
  • يتقاضى ISP.com 12.95 دولارًا شهريًا ،
  • ويتقاضى peoplepc 15.95 دولارًا شهريًا.

طابق الرسوم البيانية في الشكل 81 مع تكلفة الإنترنت لفرانسين مع كل شركة.

تدفع فرانسين نفس المبلغ الأولي ، 30 دولارًا للمودم ، بموجب كل خطة. الرسم الشهري هو معدل التغيير في إجمالي تكلفتها بالدولار في الشهر. يمكننا كتابة صيغة لتكلفتها تحت كل خطة.

الرسوم البيانية لهذه الوظائف الثلاث جميعها لها نفس (ص ) - التقاطع ، ولكن يتم تحديد منحدراتها من خلال الرسوم الشهرية. الرسم البياني الأكثر انحدارًا ، III ، هو الرسم الذي يحتوي على أكبر رسوم شهرية ، و peoplepc ، و ISP.com ، الذي يحتوي على أقل رسوم شهرية ، ويحتوي على الرسم البياني الأقل حدة ، I.

مثال 82

قرر Delbert استخدام DSL لخدمة الإنترنت الخاصة به.

  • تتقاضى إيرثلنك رسوم تفعيل قدرها 99 دولارًا و 39.95 دولارًا شهريًا ،
  • تتقاضى شركة DigitalRain رسومًا قدرها 50 دولارًا مقابل التنشيط و 34.95 دولارًا شهريًا ،
  • و FreeAmerica تتقاضى 149 دولارًا مقابل التنشيط و 34.95 دولارًا شهريًا.

اكتب معادلة لتكاليف الإنترنت الخاصة بـ Delbert تحت كل خطة.

قم بمطابقة تكلفة الإنترنت لشركة Delbert تحت كل شركة مع الرسم البياني الخاص بها في الشكل 83.

Earthlink: (f (x) = 99 + 39.95x text <> ) DigitalRain: (g (x) = 50 + 34.95x text <> ) FreeAmerica: (h (x) = 149 + 34.95 س )

DigitalRain: I Earthlink: II FreeAmerica: III

الملاحظة 84

في المعادلة (f (x) = b + mx text <،> ) نسمي (m ) و (b ). تم إصلاح قيمها لأي معادلة خطية معينة على سبيل المثال ، في المعادلة (ص = 2 س + 3 نص <،> ) (م = 2 ) و (ب = 3 نص <،> ) و المتغيرات هي (س ) و (ص نص <.> ) بتغيير قيم (م ) و (ب نص <،> ) يمكننا كتابة المعادلة لأي سطر باستثناء الخط العمودي (انظر الشكل 85). تسمى مجموعة جميع الوظائف الخطية (f (x) = b + mx ) عائلة من الوظائف.

طريقة تقاطع الانحدار في الرسم البياني

انظر مرة أخرى إلى الخطوط الموجودة في الشكل 85: يوجد خط واحد فقط له ميل محدد ويمر عبر نقطة معينة. أي أن قيم (م ) و (ب ) تحدد السطر المعين. تعطينا قيمة (ب ) نقطة بداية ، وقيمة (م ) تخبرنا بالاتجاه الذي يجب أن نذهب إليه لرسم نقطة ثانية. وبالتالي ، يمكننا رسم خط معطى بصيغة الميل والمقطع دون الحاجة إلى عمل جدول للقيم.

مثال 86
  1. نحل معادلة (y ) بدلالة (x text <.> ) start -3y amp = 6 - 4x y amp = frac <6 - 4x> <-3> = frac <6> <-3> + frac <-4x> <-3> y amp = -2+ frac <4> <3> x end
  2. نرى أن ميل الخط هو (م = dfrac <4> <3> نص <،> ) وتقاطعها الرأسي هو (ب = -2 نص <.> ) نبدأ بالتخطيط the (y ) - intercept، ((0، -2) text <.> ) ثم نستخدم الميل لإيجاد نقطة أخرى على السطر. نحن لدينا
الملاحظة 88

ميل الخط هو نسبة ويمكن كتابته بعدة طرق مكافئة. في المثال 86 ، الميل يساوي ( dfrac <8> <6> text <،> ) ( dfrac <12> <9> text <،> ) و ( dfrac <-4 > <-3> text <.> ) يمكننا استخدام أي من هذه الكسور لتحديد نقطة ثالثة على السطر كشيك. إذا استخدمنا (m = dfrac < Delta y> < Delta x> = dfrac <-4> <-3> text <،> ) نتحرك لأسفل (4 ) وحدات ويسار ( 3 ) وحدات من (y ) - تقاطع للعثور على النقطة ((- 3 ، -6) ) على السطر.

طريقة تقاطع الانحدار لرسم خط بياني

ارسم النقطة المرتبطة بالتقاطع الرأسي ، ((0 ، ب) نص <.> )

استخدم تعريف الميل لإيجاد نقطة ثانية على السطر: بدءًا من التقاطع الرأسي ، انقل الوحدات ( Delta y ) في (y ) - الاتجاه و ( Delta x ) الوحدات في (x ) - الاتجاه. ارسم نقطة ثانية في هذا الموقع.

استخدم شكلًا مكافئًا للميل لإيجاد نقطة ثالثة ، وارسم خطًا عبر النقاط.


تحديد المجال والمدى على غرار دالة خطية

لتحديد مجال حالة معينة ، حدد كل ما هو ممكن x- قيم أو قيم المتغير المستقل. لتحديد نطاق حالة معينة ، حدد كل ما هو ممكن ذ- قيم أو قيم المتغير التابع.

مثال 1
يمكن للمهرج في حفلة عيد ميلاد أن يفجر خمسة بالونات في الدقيقة. يمكن التعبير عن العلاقة بين عدد البالونات المتضخمة والوقت المنقضي بالمعادلة ذ = 5x، أين x هو عدد الدقائق التي مرت و ذ هو عدد البالونات المتضخمة. أوجد مجال ومدى العلاقات.

في هذا المثال ، المتغير المستقل (x) هو عدد الدقائق. الممكن x-تشمل القيم جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي 0 ، حيث يمكن قياس الوقت بأجزاء كسرية من الدقيقة.

المتغير التابع (ذ) هو عدد البالونات المنتفخة. الممكن ذ-تشمل القيم جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي 0.

لذلك ، المجال هو <x ≥ 0> ، والمدى هو <ذ ≥ 0>.


مقدمة للاعتراضات والأصفار

لنتدرب على إيجاد تقاطعات وأصفار للدوال الخطية. هناك نوعان من الاعتراضات: x- اعتراضات و ذ- اعتراضات. عندما تكتب معادلة بصيغة الميل والمقطع ، فإن ذ-درج التقاطع ب. ال ذ- التقاطع هو المكان الذي يتقاطع فيه الرسم البياني مع ذ-محور.

ال x - التقاطع هو المكان الذي يتقاطع فيه الرسم البياني مع x -محور. ماذا عن أصفار الدالة الخطية؟ صفر من الوظيفة حيث ذ - القيمة صفر.

يمكن رؤية كل هذه المفاهيم الثلاثة من خلال النظر إلى الرسم البياني الخطي. اتبع هذه الإرشادات للعثور على نقاط التقاطع والصفر.

  1. بحث عن ذ-تقاطع حيث يتقاطع الرسم البياني مع ذ-محور.
  2. بحث عن x-تقاطع حيث يتقاطع الرسم البياني مع x-محور.
  3. ابحث عن أصفار الدالة الخطية حيث يكون ذ- القيمة صفر.

هل لاحظت شيئًا غير عادي في الخطوتين 2 و 3؟ عندما تجد مكان xيقع التقاطع ، و ذ-القيمة صفر! هذا يعني أن صفر الدالة الخطية هو x-قيمة x-تقاطع. لذلك بمجرد العثور على رقم 2 ، يمكنك بسهولة العثور على رقم 3.


المعادلات الخطية في العالم الحقيقي

صفحة عن كيفية العثور على المعادلة وكيفية رسم تطبيقات العالم الحقيقي للمعادلات الخطية.

المشكلة 1

تتقاضى شركة سيارات الأجرة معدل صعود يبلغ 3 دولارات بالإضافة إلى عدادها وهو 2 دولار لكل ميل. ما هي معادلة الخط الذي يمثل سعر شركة الكابينة هذه؟

المشكلة 2

تتقاضى شركة سيارات الأجرة معدل صعود قدره 5 دولارات بالإضافة إلى عدادها وهو 3 دولارات لكل ميل. ما هي معادلة الخط الذي يمثل سعر شركة الكابينة هذه؟

مشكلة 3

تتقاضى شركة سيارات الأجرة معدل صعود قدره 3 دولارات بالإضافة إلى عدادها وهو frac12 لكل ميل. ما هي معادلة الخط الذي يمثل سعر شركة الكابينة هذه؟

المشكلة 4

تتقاضى شركة سيارات الأجرة معدل صعود يبلغ 4 دولارات بالإضافة إلى عدادها الذي يبلغ 34 دولارًا أمريكيًا و frac34 لكل ميل. ما هي معادلة الخط الذي يمثل سعر شركة الكابينة هذه؟

المشكلة 5

لا تتقاضى شركة سيارات الأجرة رسومًا للصعود إلى الطائرة ، ولكن بعد ذلك يكون المتر بها 4 دولارات للساعة. ما المعادلة التي تمثل سعر شركة الكابينة هذه؟


3: وظائف خطية

استكشاف مفهوم المنحدر

شكل معادلة الميلان المحصور

يتم تمثيل الوظائف الخطية بيانياً بالخطوط ويتم كتابتها بشكل رمزي المنحدر اعتراض شكل ،

أين م هو منحدر الخط و ب هل ذ-تقاطع. نحن نتصل ب ال ذ-تقاطع لأن الرسم البياني لـ ذ = مكس + ب يتقاطع مع ذ-المحور عند النقطة (0 ، ب). يمكننا التحقق من ذلك عن طريق الاستبدال x = 0 في المعادلة على النحو التالي ،

لاحظ أننا استبدلنا x = 0 لتحديد مكان تقاطع دالة مع المحور y لأن x-تنسيق نقطة ملقاة على ذ-يجب أن يكون المحور صفرًا.

تعريف المنحدر:

ثابت م معبراً عنه في شكل خط الانحدار والتقاطع ، ذ = مكس + ب، هو ميل الخط. يُعرّف المنحدر بأنه نسبة ارتفاع الخط (أي مقدار ارتفاع الخط عموديًا) إلى مسار الخط (أي مقدار تشغيل الخط أفقيًا).

لأي نقطتين مميزتين على الخط ، (x1, ذ1) و (x2, ذ2)، ال ميل هو،

حدسيًا ، يمكننا التفكير في المنحدر على أنه قياس انحدار الخط. يمكن أن يكون ميل الخط موجبًا أو سالبًا أو صفرًا أو غير محدد. ميل الخط الأفقي يساوي صفرًا لأنه لا يرتفع عموديًا (أي ذ1 &ناقص ذ2 = 0) ، بينما الخط العمودي له ميل غير محدد لأنه لا يعمل أفقيًا (أي x1 &ناقص x2 = 0).

منحدر صفري وغير محدد

كما هو مذكور أعلاه ، فإن ميل الخطوط الأفقية يساوي صفرًا. هذا لا يعني أن الخطوط الأفقية لها لا ميل. حيث م = 0 في حالة الخطوط الأفقية ، يتم تمثيلها رمزياً بالمعادلة ، ذ = ب. غالبًا ما يتم استدعاء الوظائف التي تمثلها الخطوط الأفقية وظائف ثابتة. الخطوط العمودية لها ميل غير محدد. نظرًا لأن أي نقطتين على خط عمودي لها نفس الشيء x- منسق ، لا يمكن حساب المنحدر كرقم محدد وفقًا للصيغة ،

لأن القسمة على الصفر هي عملية غير محددة. يتم تمثيل الخطوط العمودية رمزياً بالمعادلة ، x = أ أين أ هل x-تقاطع. الخطوط العمودية ليست وظائف فهي لا تجتاز اختبار الخط العمودي عند النقطة x = أ.

المنحدرات الإيجابية

خطوط في شكل تقاطع ميل مع م & gt 0 لها منحدر موجب. هذا يعني لكل وحدة زيادة في x، هناك مقابل م زيادة الوحدة في ذ (أي أن الخط يرتفع بمقدار م الوحدات). ترتفع الخطوط ذات الميل الموجب إلى اليمين على الرسم البياني كما هو موضح في الصورة التالية ،

ترتفع الخطوط ذات المنحدرات الأكبر بشكل أكثر حدة. لزيادة وحدة واحدة في x، خط مع منحدر
م1 = 1 يرتفع وحدة واحدة بينما الخط المنحدر م2 = 2 يرتفع وحدتين كما هو موضح ،

المنحدرات السلبية

خطوط في شكل تقاطع ميل مع م & lt 0 لها ميل سلبي. هذا يعني لكل وحدة زيادة في x، هناك المقابل |م| وحدة انخفاض في ذ (على سبيل المثال ، يقع الخط بمقدار |م| الوحدات). تنخفض الخطوط ذات المنحدر السلبي إلى اليمين على الرسم البياني كما هو موضح في الصورة التالية ،

يمكن أيضًا مقارنة انحدار الخطوط ذات الانحدار السلبي. على وجه التحديد ، إذا كان لخطين ميل سلبي ، فإن الخط الذي يكون ميله أكبر حجم (المعروف بالقيمة المطلقة) ينخفض ​​بشكل أكثر حدة. لزيادة وحدة واحدة في x، خط مع منحدر م3 = & ناقص 1 يسقط وحدة واحدة بينما الخط المنحدر م4= & ناقص 2 يسقط وحدتين كما هو موضح ،

المستقيمات المتوازية والعمودية

سطرين في س صيمكن تصنيف الطائرة على أنها متوازية أو متعامدة على أساس ميلها. الخطوط المتوازية والعمودية لها ترتيبات هندسية خاصة جدًا ، ومعظم أزواج الخطوط ليست متوازية ولا متعامدة. المستقيمات المتوازية لها نفس الميل. على سبيل المثال ، الخطوط المعطاة بواسطة المعادلات ،

موازية لبعضها البعض. هذان الخطان مختلفان ذ- تتقاطع وبالتالي لن تتقاطع أبدًا مع بعضها البعض لأنها تتغير بنفس المعدل (يسقط كلا الخطين 3 وحدات لكل وحدة زيادة في x). الرسوم البيانية لـ ذ1 و ذ2 يتم توفيرها أدناه ،

المستقيمات المتعامدة لها منحدرات سالبة مقلوبة لبعضها البعض. بمعنى آخر ، إذا كان للخط ميل م1، الخط العمودي سيكون له ميل ،

يتم إعطاء مثال على خطين متعامدين من خلال ما يلي ،

يتقاطع هذان الخطان مع بعضهما ويشكلان تسعين درجة (90 درجة) عند نقطة التقاطع. الرسوم البيانية لـ ذ3 و ذ4 يتم توفيرها أدناه ،

في القسم التالي سنصف كيفية حل المعادلات الخطية.


شاهد الفيديو: تعرف على الوظائف والمهن الأعلى أجرا في العالم (شهر نوفمبر 2021).