مقالات

1.6: حل المتباينات المركبة - الرياضيات


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • حل عدم المساواة المركبة باستخدام الحرفين "و"
  • حل المتباينات المركبة باستخدام "أو"
  • حل التطبيقات ذات المتباينات المركبة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. بسّط: ( frac {2} {5} (x + 10) ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  2. بسّط: (- (x − 4) ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].

حل المتباينات المركبة باستخدام "و"

الآن بعد أن عرفنا كيفية حل المتباينات الخطية ، فإن الخطوة التالية هي النظر إلى المتباينات المركبة. أ عدم المساواة المركبة يتكون من متباينين ​​مرتبطين بكلمة "و" أو كلمة "أو". على سبيل المثال ، فيما يلي عدم المساواة المركبة.

[ start {array} {lll} {x + 3> −4} & { text {and}} & {4x − 5 leq 3} {2 (y + 1) <0} & { text {or}} & {y − 5 geq −2} end {array} nonumber ]

عدم مساواة المركب

أ عدم المساواة المركبة يتكون من متباينين ​​مرتبطين بكلمة "و" أو كلمة "أو".

لحل متباينة مركبة ، يعني إيجاد جميع قيم المتغير التي تجعل المتباينة المركبة بيانًا صحيحًا. نحل المتباينات المركبة باستخدام نفس الأساليب التي استخدمناها لحل المتباينات الخطية. نحل كل متباينة على حدة ثم ننظر في الحلين.

لحل متباينة مركبة باستخدام كلمة "و" ، نبحث عن جميع الأعداد التي تتكون منها على حد سواء عدم المساواة صحيح. لحل متباينة مركبة باستخدام كلمة "أو" ، نبحث عن جميع الأعداد التي تتكون منها إما عدم المساواة صحيح.

لنبدأ مع عدم المساواة المركبة بـ "و". سيكون حلنا هو الأرقام التي تمثل حلولًا لـ على حد سواء عدم المساواة المعروفة باسم تقاطع اثنين من المتباينات. ضع في اعتبارك أن تقاطع شارعين - الجزء الذي تتداخل فيه الشوارع - ينتمي إلى كلا الشارعين.

لإيجاد حل المتباينة المركبة "و" ، ننظر إلى الرسوم البيانية لكل متباينة ثم نجد الأرقام التي تنتمي إلى كلا الرسمين البيانيين - حيث تتداخل الرسوم البيانية.

بالنسبة إلى المتباينة المركبة (x> −3 ) و (x leq 2 ) ، فإننا نرسم كل متباينة بيانيًا. ثم نبحث عن مكان "تداخل" الرسوم البيانية. سيتم تظليل الأرقام المظللة في كلا التمثيلين على التمثيل البياني لحل المتباينة المركبة. راجع الشكل ( PageIndex {1} ).

يمكننا أن نرى أن الأرقام بين (- 3 ) و (2 ) مظللة في كلا الرسمين البيانيين الأولين. ثم يتم تظليلها على الرسم البياني للحل.

الرقم (- 3 ) غير مظلل في الرسم البياني الأول ، وبالتالي نظرًا لأنه غير مظلل في كلا الرسمين البيانيين ، فإنه غير مضمن في الرسم البياني للحل.

الرقم اثنان مظلل في الرسمين البيانيين الأول والثاني. لذلك ، فهو مظلل على الرسم البياني للحل.

هذه هي الطريقة التي سنعرض بها حلنا في الأمثلة التالية.

مثال ( PageIndex {1} )

حل (6x − 3 <9 ) و (2x + 7 geq 3 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
(6 س − 3 <9 )و (2x + 9 جيك 3 )
الخطوة 1. حل كل
عدم المساواة.
(6 س − 3 <9 ) (2x + 9 جيك 3 )
(6x <12 ) (2x geq −6 )
(س <2 )و (س جيك -3 )
الخطوة 2. ارسم كل حل بيانيًا. سيظهر الرسم البياني النهائي جميع الأرقام التي تجعل كلا المتراجحتين صحيحين — الأعداد المظللة على حد سواء من أول رسمين بيانيين.
الخطوه 3. اكتب الحل في تدوين الفترة.([−3,2))
كل الأعداد التي تجعل كلا المتراجحتين صحيحة هي حل المتباينة المركبة.

مثال ( PageIndex {2} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة: (4x − 7 <9 ) و (5x + 8 geq 3 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {3} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة: (3x − 4 <5 ) و (4x + 9 geq 1 ).

إجابه

حل مشكلة عدم المساواة المركبة باستخدام "و."

  1. حل كل متباينة.
  2. ارسم كل حل بيانيًا. ثم رسم بياني الأرقام التي تصنع على حد سواء عدم المساواة صحيح.
    يوضح هذا الرسم البياني حل المتباينة المركبة.
  3. اكتب الحل في تدوين الفترة.

مثال ( PageIndex {4} )

حل (3 (2x + 5) leq 18 ) و (2 (x − 7) <- 6 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
(3 (2x + 5) leq 18 )و (2 (س − 7) <- 6 )
حل كل
عدم المساواة.
(6x + 15 leq 18 ) (2 س − 14 <6 )
(6x leq 3 ) (2x <8 )
(x leq frac {1} {2} )و (س <4 )
رسم بياني لكل منهما
المحلول.
ارسم الأرقام
التي تجعل كلاهما
عدم المساواة صحيح.
اكتب الحل
في تدوين الفاصل.
((- infty، frac {1} {2}] )

مثال ( PageIndex {5} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في شكل الفترة الزمنية: (2 (3x + 1) leq 20 ) و (4 (x − 1) <2 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {6} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة: (5 (3x − 1) leq 10 ) و (4 (x + 3) <8 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {7} )

حل ( frac {1} {3} x − 4 geq −2 ) و (- 2 (x − 3) geq 4 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
( frac {1} {3} x − 4 geq −2 )و (- 2 (x − 3) geq 4 )
حل كل متباينة. ( frac {1} {3} x − 4 geq −2 ) (- 2 س + 6 جيك 4 )
( frac {1} {3} x geq 2 ) (- 2x geq −2 )
(س جيك 6 )و (س leq 1 )
ارسم كل حل بيانيًا.
ارسم الأرقام التي
جعل كلا من عدم المساواة
حقيقية.
لا توجد أرقام تجعل كلا التفاوتين صحيحين.

هذا تناقض لذلك لا يوجد حل ، لا توجد أرقام تجعل كلا التفاوتين صحيحين.

هذا تناقض لذلك لا يوجد حل ، لا توجد أرقام تجعل كلا التفاوتين صحيحين.

هذا تناقض لذا لا يوجد حل.

مثال ( PageIndex {8} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل بترميز الفترة الزمنية: ( frac {1} {4} x − 3 geq −1 ) و (- 3 (x − 2) geq 2 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {9} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل بترميز الفترة الزمنية: ( frac {1} {5} x − 5 geq −3 ) و (- 4 (x − 1) geq −2 ).

إجابه

أحيانًا يكون لدينا متباينة مركبة يمكن كتابتها بإيجاز أكبر. على سبيل المثال ، يمكن كتابة (a عدم المساواة المزدوجة. الشكلين متكافئان.

ضعف عدم المساواة

المتباينة المزدوجة هي متباينة مركبة مثل (a

[ text {Other Forms:} quad begin {array} {lllll} {a x> b} & { text {يعادل}} & {a> x} & { text {and}} & {x> b} {a geq x geq b} & { text {يعادل}} & {a geq x} & { text {and}} & {x geq b} end {array} nonumber ]

لحل المتباينة المزدوجة ، نقوم بإجراء نفس العملية على "الأجزاء" الثلاثة من المتباينة المزدوجة بهدف عزل المتغير في المركز.

مثال ( PageIndex {10} )

حل (- 4 leq 3x − 7 <8 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
أضف 7 إلى الأجزاء الثلاثة.
تبسيط. (3 لو 3 س <15 )
قسّم كل جزء على ثلاثة. ( dfrac {3} { color {red} {3}} leq dfrac {3x} { color {red} {3}} < dfrac {15} { color {red} {3}} )
تبسيط. (1 leq x <5 )
ارسم الحل.
اكتب الحل في تدوين الفترة.( [1, 5) )

عند كتابتها في صورة متباينة مزدوجة ، (1 leq x <5 ) ، من السهل أن نرى أن الحلول هي الأرقام المحصورة بين واحد وخمسة ، بما في ذلك واحد ، ولكن ليس خمسة. يمكننا بعد ذلك رسم الحل على الفور كما فعلنا أعلاه.

هناك طريقة أخرى لرسم حل (1 leq x <5 ) وهي رسم كل من حل (x geq 1 ) وحل (x <5 ). ثم نوجد الأعداد التي تجعل كلا المتباينات صحيحة كما فعلنا في الأمثلة السابقة.

مثال ( PageIndex {11} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل بعلامة الفترة: (- 5 leq 4x − 1 <7 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {12} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل على شكل الفترة الزمنية: (- 3 <2x − 5 leq 1 ).

إجابه

حل المتباينات المركبة باستخدام "أو"

لحل أ عدم المساواة المركبة بـ "أو" ، نبدأ تمامًا كما فعلنا مع المتباينات المركبة بـ "و" - نحل المتراجعتين. ثم نجد كل الأرقام التي تصنعها إما عدم المساواة صحيح.

تمامًا كما أن الولايات المتحدة هي اتحاد جميع الولايات الخمسين ، فإن الحل سيكون اتحاد جميع الأرقام التي تجعل أيًا من عدم المساواة صحيحًا. لإيجاد حل المتباينة المركبة ، نلقي نظرة على الرسوم البيانية لكل متباينة ، ونوجد الأعداد التي تنتمي إلى أي من الرسمين البيانيين ونجمع كل هذه الأرقام معًا.

لكتابة الحل في تدوين الفاصل، سنستخدم غالبًا ملحق رمز الاتحاد، ( كوب ) ، لإظهار اتحاد الحلول الموضحة في الرسوم البيانية.

حل مشكلة عدم المساواة المركبة باستخدام "أو."

  1. حل كل متباينة.
  2. ارسم كل حل بيانيًا. ثم رسم بيانيًا الأرقام التي تجعل عدم المساواة صحيحة.
  3. اكتب الحل في تدوين الفترة.

مثال ( PageIndex {13} )

حل (5−3x leq −1 ) أو (8 + 2x leq 5 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
(5−3x leq −1 )أو (8 + 2x leq 5 )
حل كل متباينة. (5−3x leq −1 ) (8 + 2x leq 5 )
(- 3x leq −6 ) (2x leq −3 )
(س جيك 2 )أو (x leq - frac {3} {2} )
ارسم كل حل بيانيًا.
أرقام الرسم البياني
جعل إما عدم المساواة
حقيقية.
((- infty، −32] كوب [2، infty) )

مثال ( PageIndex {14} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة الزمنية: (1−2x leq −3 ) أو (7 + 3x leq 4 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {15} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة الزمنية: (2−5x leq −3 ) أو (5 + 2x leq 3 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {16} )

حل ( frac {2} {3} x − 4 leq 3 ) أو ( frac {1} {4} (x + 8) geq −1 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
( frac {2} {3} x − 4 leq 3 )أو ( frac {1} {4} (x + 8) geq −1 )
حل كل منهما
عدم المساواة.
(3 ( frac {2} {3} x − 4) leq 3 (3) ) (4⋅ فارك {1} {4} (س + 8) geq 4⋅ (−1) )
(2x − 12 leq 9 ) (س + 8 جيك −4 )
(2x leq 21 ) (س جيك −12 )
(x leq frac {21} {2} )
(x leq frac {21} {2} )أو (س جيك −12 )
رسم بياني لكل منهما
المحلول.
أرقام الرسم البياني
التي تجعل إما
عدم المساواة صحيح.
الحل يغطي جميع الأرقام الحقيقية.
((- infty، infty) )

مثال ( PageIndex {17} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل بتدوين الفترة: ( frac {3} {5} x − 7 leq −1 ) أو ( frac {1} {3} (x + 6) geq −2 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {18} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل بتدوين الفترة: ( frac {3} {4} x − 3 leq 3 ) أو ( frac {2} {5} (x + 10) geq 0 ) .

إجابه

حل التطبيقات ذات المتباينات المركبة

المواقف في العالم الحقيقي تنطوي أيضًا على عدم مساواة مركبة. سنستخدم نفس استراتيجية حل المشكلات التي استخدمناها لحل المعادلات الخطية وتطبيقات عدم المساواة.

تذكر أن استراتيجيات حل المشكلات هي قراءة المشكلة أولاً والتأكد من فهم كل الكلمات. ثم حدد ما نبحث عنه وقم بتعيين متغير لتمثيله. بعد ذلك ، أعد صياغة المشكلة في جملة واحدة لتسهيل الترجمة إلى ملف عدم المساواة المركبة. أخيرًا ، سنحل المتباينة المركبة.

مثال ( PageIndex {19} )

بسبب الجفاف في ولاية كاليفورنيا ، فإن العديد من المجتمعات لديها معدلات مياه متدرجة. هناك معدلات مختلفة لاستخدام الحفظ والاستخدام العادي والاستخدام المفرط. يقاس الاستخدام بعدد مائة قدم مكعب يستخدمها صاحب العقار.

خلال فصل الصيف ، سيدفع مالك العقار 24.72 دولارًا أمريكيًا بالإضافة إلى 1.54 دولارًا أمريكيًا لكل hcf للاستخدام العادي. ستكون فاتورة الاستخدام العادي بين أو تساوي 57.06 دولارًا و 171.02 دولارًا. كم hcf يمكن للمالك استخدامه إذا أراد أن يظل استخدامه في النطاق الطبيعي؟

إجابه
حدد ما نبحث عنه.عدد hcf الذي يمكنه استخدامه والبقاء في نطاق فواتير "الاستخدام العادي".
اسم ما نبحث عنه.دع x = x = عدد hcf الذي يمكنه استخدامه.
ترجمة إلى عدم المساواة.الفاتورة هي 24.72 دولارًا أمريكيًا بالإضافة إلى 1.54 دولارًا لعدد مضاعفات hcf التي يستخدمها أو (24.72 + 1.54x ).

( color {Cerulean} { underbrace { color {black} { text {ستكون فاتورته بين أو تساوي} $ 57.06 text {and} $ 171.02.}}} )

(57.06 leq 24.74 + 1.54x leq 171.02 )

حل المتباينة.

(57.06 leq 24.74 + 1.54x leq 171.02 )

(32.34 leq 1.54x leq 146.3 )

( dfrac {32.34} { color {red} {1.54}} leq dfrac {1.54x} { color {red} {1.54}} leq dfrac {146.3} { color {red} {1.54 }} )

(21 leq x leq 95 )

اجب على السؤال.يمكن لمالك العقار استخدام (21–95 ) hcf ولا يزال يقع ضمن نطاق فواتير "الاستخدام العادي".

مثال ( PageIndex {20} )

بسبب الجفاف في كاليفورنيا ، أصبح لدى العديد من المجتمعات الآن معدلات مياه متدرجة. يقاس الاستخدام بعدد مائة قدم مكعب يستخدمها صاحب العقار.

خلال الصيف ، سيدفع مالك العقار 24.72 دولارًا أمريكيًا بالإضافة إلى 1.32 دولارًا أمريكيًا لكل hcf لاستخدام الحفظ. ستكون فاتورة استخدام الحفظ بين أو تساوي 31.32 دولارًا أمريكيًا و 52.12 دولارًا أمريكيًا. كم عدد hcf الذي يمكن للمالك استخدامه إذا أراد أن يظل استخدامه في نطاق الحفظ؟

إجابه

يمكن لمالك المنزل استخدام (5–20 ) hcf ولا يزال يقع ضمن نطاق فواتير "استخدام الحفظ".

مثال ( PageIndex {21} )

بسبب الجفاف في ولاية كاليفورنيا ، فإن العديد من المجتمعات لديها معدلات مياه متدرجة. يقاس الاستخدام بعدد مائة قدم مكعب يستخدمها صاحب العقار.

خلال فصل الشتاء ، سيدفع مالك العقار 24.72 دولارًا أمريكيًا بالإضافة إلى 1.54 دولارًا أمريكيًا لكل hcf للاستخدام العادي. ستكون فاتورة الاستخدام العادي بين أو تساوي 49.36 دولارًا أمريكيًا و 86.32 دولارًا أمريكيًا. كم عدد hcf الذي سيسمح له باستخدامه إذا أراد أن يظل استخدامه في النطاق الطبيعي؟

إجابه

يمكن لمالك المنزل استخدام (16–40 ) hcf ولا يزال يقع ضمن نطاق فواتير "الاستخدام العادي".

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية لحل التفاوتات المركبة.

  • عدم المساواة المركبة

المفاهيم الرئيسية

  • كيفية حل مشكلة عدم المساواة المركبة باستخدام "و"
    1. حل كل متباينة.
    2. ارسم كل حل بيانيًا. ثم رسم بياني الأرقام التي تصنع على حد سواء عدم المساواة صحيح. يوضح هذا الرسم البياني حل المتباينة المركبة.
    3. اكتب الحل في تدوين الفترة.
  • عدم المساواة المزدوجة
    • أ عدم المساواة المزدوجة هي متباينة مركبة مثل (a أشكال أخرى: [ start {align *} a a≤x≤b & & text {مكافئ لـ} & & a≤x ؛ text {and} ؛ x≤b
      a> x> b & & text {يكافئ} & & a> x ؛ text {and} ؛ x> b
      a≥x≥b & & text {مكافئ لـ} & & a≥x ؛ text {and} ؛ x≥b end {align *} ]

  • كيفية حل مشكلة عدم المساواة المركبة باستخدام "أو"
    1. حل كل متباينة.
    2. ارسم كل حل بيانيًا. ثم رسم بيانيًا الأرقام التي تجعل عدم المساواة صحيحة.
    3. اكتب الحل في تدوين الفترة.

قائمة المصطلحات

عدم المساواة المركبة
تتكون المتباينة المركبة من متباينين ​​مرتبطين بكلمة "و" أو كلمة "أو".

حل المتباينات المركبة

عند حل المتباينات المركبة ، سنتعامل مع حالتين أو نوعين عامين.

  • ال الحالة الأولى يتضمن حل اثنين من المتباينات الخطية المرتبطة بالكلمة & # 8220 و & # 8221. تُعرف الكلمة & # 8220 و & # 8221 أيضًا بالتزامن. حل المتباينة المركبة & # 8220 و & # 8221 هو مجموعة جميع قيم x التي تحقق كلا المتراجعتين. بعبارة أخرى ، تريد مجموعة حلول تعمل مع كلا المتراجحتين. الطريقة الأخرى لقول ذلك هي أن مجموعة حل المتباينة المركبة & # 8220 و & # 8221 هي تداخل، ممثلة بالرمز كبير < لون cap> ، من المتباينتين.
  • أما بالنسبة لل الحالة الثانية، فهو ينطوي على حل اثنين من المتباينات الخطية المرتبطة بالكلمة & # 8220 أو & # 8221. حل المتباينة المركبة & # 8220or & # 8221 هو مجموعة x التي تحقق أيًا من المتباينتين أو في بعض الأحيان تحقق المتراجعتين في نفس الوقت. بعبارة أخرى ، تريد حلاً يعمل على متباينة واحدة على الأقل. الطريقة الأخرى لقول ذلك هي أن مجموعة حل المتباينة المركبة & # 8220or & # 8221 هي اتحاد، ممثلة بالرمز كبير < لون كوب> ، من المتراجعتين.

في كلتا الحالتين ، يمكن التعبير عن حلول المتباينات المركبة في صورة رسوم بيانية على خط الأعداد وأيضًا في صورة رموز فاصلة.

أقترح عليك أولًا رسم بياني لحل المتراجعتين على خط الأعداد قبل كتابة حل المتباينة المركبة في رمز الفترة. من خلال الحصول على تمثيل مرئي لكيفية تصرف المتباينتين على خط الأعداد ، يكون من الأسهل بكثير كتابة تدوين الفترة المقابلة لها.

سنستعرض أيضًا بعض الأمثلة التي لا يوجد فيها حل للمتباينة المركبة أو حل لا نهائي.

في مكان ما في الأمثلة لدينا ، سنناقش حالة & # 8220 و & # 8221 عدم المساواة المركبة التي يمكن تكثيفها في متباينة واحدة من ثلاثة أجزاء: الجانب الأيسر ، والجزء الأوسط ، والجانب الأيمن. مثال على ذلك - 1 le x le 3 المشتق من -1 le x و س لو 3. من خلال كتابتها بهذه الصورة ، يمكن أن تسمح لنا بحل المتباينة المركبة بشكل أسرع.


حل المتباينات المركبة

تحتوي المتباينة المركبة على متباينتين على الأقل مفصولة إما بعلامة "و" أو "أو".

يمثل الرسم البياني لمتباينة مركبة مع "و" تقاطع الرسم البياني للمتباينات. الرقم هو حل للمتباينة المركبة إذا كان الرقم حلًا لكلا المتراجحتين. يمكن كتابتها إما x & gt -1 و x & lt 2 أو -1 & lt x & lt 2.

يمثل الرسم البياني لمتباينة مركبة مع "أو" اتحاد الرسوم البيانية للمتباينات. الرقم هو حل للمتباينة المركبة إذا كان الرقم حلًا لواحدة على الأقل من المتباينات. تتم كتابته كـ x & lt -1 أو x & gt 2


عدم المساواة المركبة

المتباينة المركبة هي متباينة تجمع بين متباينتين بسيطتين من خلال & # 8220و& # 8221 أو & # 8220أو“.

تظهر عدم المساواة المركبة مع & # 8220AND & # 8221 أن إحدى العبارتين صحيحة في الطبيعة. إذا كان هناك تداخل في حل البيانات الفردية للمتباينة المركبة. في حين أن "Or" تشير إلى أنه طالما أن أيًا من العبارات الواحدة صحيحة ، فإن الجملة المركبة بأكملها صحيحة. يطلق عليه اتحاد مجموعات الحلول للبيانات الفردية.

عدم المساواة المركبة: أو

يمثل الرسم البياني لعدم المساواة مع & # 8220OR & # 8221 الاتحاد حيث أن أيًا من العبارة الواحدة صحيح ، الجملة المركبة بأكملها صحيحة. حل أو عدم المساواة ، يجب أن تجعل القيمة جزءًا واحدًا فقط من عدم المساواة صحيحًا. الرقم هو حل للمتباينة المركبة إذا كان الرقم هو حل لواحدة على الأقل من المتباينات .. يشكل العطف "أو" - عند استخدامه في متباينة مركبة - ما يُشار إليه بـ & # 8217s انفصال.

مثال: x & lt 3 OR x> 5

العددين 0 و 6 كلاهما حل المتباينة ، لكن الرقم 4 ليس حلاً للمتباينة المعطاة

عدم المساواة المركبة: AND

يمثل الرسم البياني لمتباينة مركبة مع & # 8220 و & # 8221 تقاطع الرسم البياني للمتباينات. لكي تكون إجابة على متباينة AND ، يجب أن تجعل كلا الجزأين صحيحين. إنه التداخل أو التقاطع بين مجموعات الإجابات للبيانات الفردية. قد يكون العدد حلاً للمتباينة المركبة إذا كان المقدار هو حل لكلتا المتراجحتين. تُفهم المتباينة المركبة التي تستخدم كلمة "و" على أنها بالاشتراك.

مثال: x> 0 AND x & lt 4

إذن ، في هذه الحالة ، 2 هو حل للمتباينة المركبة ، لكن 5 ليس لأنه يفي بإحدى المتباينات فقط ، وليس كليهما.

ملاحظة: يمكن كتابتها أيضًا باسم ،

0 & lt x & lt 4


مشاكل عدم المساواة المركبة

المسألة 1: حل من أجل x في 2x + 3≥7 أو 2x + 9> 11

بحل المتباينة الأولى لـ x ، نحصل على:

2x + 3≥7

2x≥4

x2

بحل المتباينة الثانية لـ x ، نحصل على:

2x + 9> 11

2x> 2

x> 1

بيانيا ، نحصل على:

يمكن التعبير عن عدم المساواة على أنها عدم المساواة البسيطة:

x> 1

المشكلة 2: حل من أجل y في 2y + 7 & lt 13 أو 3y - 2 & lt10


الحل هو كل الأعداد الحقيقية.

يوضح خط الأعداد هذا مجموعة حل y & lt 3 أو y ≥ 4.

المسألة 3: حل 5−3x≤ − 1 أو 8 + 2x ≤5. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

معطى 5 & # 8211 3x ≤ & # 8211 1 أو 8 + 2x ≤ 5

حل كل متباينة. 5 & ​​# 8211 3x ≤ & # 8211 1 8 + 2x ≤ 5

−3x ≤ −6 2x ≤ −3

x ≥ 2 أو x ≤ −32

ارسم بيانيًا للأرقام التي تجعل عدم المساواة صحيحة.

إجابة المتباينات المعطاة هي (−∞، −32] ∪ [2، ∞)

المشكلة 4: حل من أجل x: 3 x + 2 & lt 14 و 2 x & # 8211 5> -11.

لحل هذه المشكلة ، سنبدأ بحل كل معادلة على حدة. وبما أنه تم ربطهما بـ "و" ، فهذا يعني أن الحل المطلوب هو تداخل أو تقاطع.

3x + 2 & lt14

الآن ، اطرح 2 من الشكل واقسمه على 3 على كلا الجانبين

3x + 2 & # 8211 2 & lt 14 & # 8211 2

3x / 3 & lt 12/3

x & lt 4 2x & # 8211 5> -11

الآن،

أضف 5 لطرفي المعادلة وقسم المعادلة على 2

2x & # 8211 6 + 5> -11 + 5

2x> -6

س> -3

تشير x & lt 4 إلى أن جميع الأرقام الموجودة على اليسار هي 4 ، بينما تشير x> (-3) إلى أن جميع الأعداد على يمين المتباينة هي -3. ومن ثم ، فإن حل هذه المتباينات المركبة سيكون x> –3 و x & lt 4

المشكلة 5: حل 3 (2x + 5) ≤ 18 و 2 (x & # 8211 7) & lt -6. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

3 (2x + 5) 18 و 2 (x & # 8211 7) & lt − 6

حل كل متباينة. 6x + 15≤18 2x & # 8211 14 & lt-6

6x ≤ 3 2x & lt8

x ≤ 12 و x & lt4

إجابة المتباينات المعطاة هي (−∞ ، 12]

المسألة 6: حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة: 5 (3x & # 8211 1) ≤ 10 و 4 (x + 3) & lt 8.


عدم المساواة المركبة

المتباينة المركبة هي بيان يتم فيه ربط اثنين من المتباينات بواسطة كلمة "و" أو الكلمة "أو".

على سبيل المثال ، x & # 62 5 و x & # 8804 7 و x & # 8804 -1 أو x & # 62 7 هي أمثلة على عدم المساواة المركبة

عندما تكون الكلمة التي تربط كلا المتباينات هي "و" ، يكون الحل هو أي رقم يجعل كلا التفاوتين صحيحين.

عندما تكون الكلمة التي تربط كلا المتباينات هي "أو" ، يكون الحل هو أي رقم يجعل أي من المتباينات صحيحة.

على سبيل المثال ، ارسم المتباينة المركبة التالية بالرسم البياني: x & # 8805 2 و x & # 60 4

يجب أن تبدو الرسوم البيانية لـ x & # 8805 2 و x & # 60 4 كما يلي:

يعطي وضع الرسمين البيانيين معًا ما يلي:

الحل هو ذلك الجزء من الرسم البياني حيث ترى اللونين الأحمر والأزرق في نفس الوقت (أو الجزء المظلل مرتين)

إذا قمت بسحب هذا من الرسم البياني أعلاه ، فسنحصل على:

هذا يعني أن الحل هو أي رقم يقع بين 2 و 4 ليشمل 2 وليس 4.

لاحظ أن الدائرة المفتوحة (باللون الأحمر) تعني أن الرقم 4 غير متضمن

يجب أن تبدو الرسوم البيانية لـ x & # 8805-2 و x & # 62 1 كما يلي:

يعطي وضع الرسمين البيانيين معًا ما يلي:

الحل هو ذلك الجزء من الرسم البياني حيث ترى اللونين الأحمر والأزرق في نفس الوقت (أو الجزء المظلل مرتين)

إذا قمت بسحب هذا من الرسم البياني أعلاه ، فسنحصل على:

الحل هو أي رقم بعد 1

ومع ذلك ، إذا قمنا بتحريف نفس المشكلة أعلاه والرسم البياني x & # 8805-2 أو x & # 62 ، فهذه قصة مختلفة

بما أن "or" تعني أيًا منهما ، فإن الحل سيكون المنطقة المظللة التي تحتوي على كلا المتراجحتين.

وبالتالي فإن الحل هو أي رقم بعد -2

ومع ذلك ، إذا استبدلت "أو" بـ "و" لنفس المشكلة أعلاه ، فلن تكون هناك حلول لهذا المركب

انظر بعناية مرة أخرى إلى الرسم البياني أعلاه مباشرة وسترى أن اللونين الأزرق والأحمر لا يلتقيان. هذا هو السبب في أنه ليس لديهم أي شيء مشترك وبالتالي لا توجد حلول


عدم المساواة المركبة

يمكنك تحديد نطاق من القيم باستخدام ملف أعزب بيان عدم المساواة ، يسمى أ عدم المساواة المركبة. بدلاً من قول ذلك ، بالنسبة إلى معادلة معينة ، x & GT 2 وأيضا x 9 ، يمكنك كتابة 2 x x ، وهي أقل من 9 أو تساويها ، "ولكن قد تفهمها بشكل أفضل إذا أعدت صياغتها على هذا النحو:"x لها قيمة بين 2 و 9 ، بل قد تكون 9 ، لكنها لا يمكن أن تكون 2. "

تحدث الحديث

أ عدم المساواة المركبة عبارة واحدة تستخدم لتمثيل متباينتين في وقت واحد ، مثل أ س ب. يصف نطاقًا (أو فترة) من الأعداد التي يكون حدها الأدنى أ، وحدودها العلوية ب. يتم تحديد ما إذا كانت هذه الأرقام مضمنة بالفعل في الفترة الزمنية أم لا من خلال علامة عدم المساواة المرفقة. إذا كان الرمز كذلك ، فسيتم تضمين الرقم إذا كان كذلك

في الشكل 7.3 ، أوضحت أجزاء المتباينة المركبة. لاحظ أنه يجب عليك دائمًا كتابة الحد السفلي على اليسار والحد الأعلى على اليمين. علاوة على ذلك ، يجب عليك دائمًا استخدام أي من الامتدادات

حل المتباينات المركبة

لاحظ أن المتباينة المركبة لها ثلاثة أجزاء ، بدلاً من الجانبين المعتادين للمعادلة أو المتباينة البسيطة. من أجل حل متباينة مركبة ، مهمتك هي عزل المتغير في منتصف العبارة. افعل ذلك عن طريق الجمع والطرح والضرب والقسمة على نفس الشيء كل الأجزاء الثلاثة من عدم المساواة في نفس الوقت.

تحذر كيلي

إذا كان عليك قسمة الأجزاء الثلاثة من المتباينة المركبة على عدد سالب ، فسيتعين عليك عكسها على حد سواء علامات عدم المساواة تنتهي بهذا: ب & GT x & GT أ، أين ب هو الحد الأعلى و أ هي الحد الأدنى. هذا جيد ، لكنني أفضل إعادة كتابته كـ أ x b ، مع وجود أقل من علامات والحد السفلي مرة أخرى على اليسار ، حيث تنتمي.

مثال 4: حل المتباينة - 4 3x + 2

حل: تريد عزل x حيث 3x +2 الآن ، لذا ابدأ بطرح 2 ، ليس فقط من هناك ، ولكن من الأجزاء الثلاثة للمتباينة.

للقضاء على xمعامل قسمة كل شىء بنسبة 3.

هذا يعني أن أي عدد بين -2 و 6 (بما في ذلك -2 ولكن باستثناء 6) سيجعل المتباينة المركبة صحيحة.

لديك مشاكل

المسألة 4: حل المتباينة -1 س + 5

رسم المتباينات المركبة

لرسم متباينة مركبة ، استخدم النقاط لتمييز نقاط النهاية على خط الأعداد. تمامًا كما هو الحال في الرسوم البيانية الأساسية لعدم المساواة ، تتوافق نقاط عدم المساواة المركبة مع نوع رمز عدم المساواة. على وجه التحديد ، يجب تمييز الرمز بنقطة صلبة والرمز

بمجرد رسم النقاط ، ارسم مقطعًا داكنًا يربط بينها. يشير هذا الجزء المظلم إلى أن جميع الأرقام بين نقاط النهاية هي حلول لعدم المساواة.

مثال 5: بيّن المتباينة المركبة -14 x -6.

حل: منذ -14 ، يكون لنقطة النهاية السفلية لهذا الفاصل الزمني

لديك مشاكل

المشكلة 5: بيّن المتباينة المركبة -2 x

الشكل 7.4 الرسم البياني -14

مقتطف من كتاب The Complete Idiot's Guide to Algebra 2004 بقلم دبليو مايكل كيلي. جميع الحقوق محفوظة بما في ذلك حق الاستنساخ كليًا أو جزئيًا بأي شكل. تستخدم بالترتيب مع كتب ألفا، عضو في Penguin Group (USA) Inc.


عدم المساواة المركبة "أو"

الشيء الجميل في عدم المساواة "أو" هو أنك سترى دائمًا كلمة "أو" في المشكلة. هذا يجعل من السهل التمييز بين نوعي المتباينات.

الحل ل عدم المساواة المركبة التي تحتوي على كلمة "أو" هل اتحاد من مجموعات الحلول. هذا يعني أن مجموعات الحلول لن تتداخل أو تتقاطع. سنقوم بتوحيد مجموعات الحلول بدلاً من ذلك. دعنا نلقي نظرة على الرسم البياني للحصول على صورة أفضل.

سيبدو الرسم البياني النهائي لهذه المتباينة المركبة كما هو موضح تمامًا:

هل لاحظت كيف أن مجموعة الحلول لكل متباينة فردية لم تتداخل على الإطلاق؟ لذلك ، يجب أن تشتمل مجموعة الحلول الخاصة بنا للمتباينة المركبة على مجموعتي الحلول. بمعنى أننا نوحد هاتين الإجابتين من أجل تضمين كليهما.

وأخيرًا ، إليك بعض المفردات التي يمكنك إضافتها إلى قائمتك:


دع & # 8217s ننتقل إلى حل المتباينات المركبة.

عدم المساواة المركبة تعني أن لدينا متراجعتان مرتبطتان.

هنا لدينا قيدان على قيمة.

دع & # 8217s نحل أول واحد أولاً.

لنطرح & # 8217s من كلا الجانبين.

لحل هذه المشكلة ، دع & # 8217s نقسم كلا الجانبين على.

ولكن ليس فقط أقل من. يجب أن تفي أيضًا بعدم المساواة الأخرى.

لذا دع & # 8217s نحل هذا عن طريق طرح كلا الجانبين أولاً.

لنحل الآن & # 8217s بقسمة كلا الطرفين على.

والذي يمكننا كتابته أيضًا في صورة كسر غير فعلي

إذا رسمنا هذا الرسم البياني ، فقم برسم خط أعداد بأقل رقم عند وأعلى رقم.

نظرًا لأن أقل من ، دع & # 8217s ترسم دائرة مفتوحة على الرقم. نعلم أيضًا ذلك ، لذا دع & # 8217s نرسم دائرة صلبة ثم ارسم خطًا بين النقطتين.

لذلك يمكن كتابة الحل على النحو التالي:

مثالنا التالي مكتوب في صورة متباينة طويلة واحدة.

لذلك فإننا & # 8217 سنحل هذا ككل مرة واحدة.

لنبدأ بالطرح من جميع جوانب المتباينة.

لنحل الآن & # 8217s بقسمة عدم المساواة على.

دع & # 8217s يرسم الحل برسم خط أرقام بأقل رقم وأعلى رقم لأن كل شيء يقع بين الاثنين.

لنرسم & # 8217s دائرة متصلة عند الرقم لتمثل علامة التساوي ودائرة مفتوحة عند. ثم ارسم خطًا بينهما.

الآن ، & # 8217s ليس دائمًا نفس الرقم.

دعونا & # 8217s لدينا مثال آخر

دع & # 8217s يحلها بنفس الطريقة المذكورة أعلاه.

هذه المرة يبدأ خط الأعداد عند وينتهي بـ.

الدائرة على صلبة لأنها تحتوي على علامة يساوي ودائرة مفتوحة عند.

دع & # 8217s ننتقل إلى نوع آخر من عدم المساواة المركبة.

علينا حل هذا بشكل فردي.

لنبدأ & # 8217s بالواحد الموجود على اليسار.

لحلها ، اقسم كلا الطرفين على.

الآن دع & # 8217s يحل الآخر.

لنحل & # 8217s بقسمة كلا الجانبين على.

لنرسم & # 8217s رقم السطر على أنه أقل رقم وأعلى رقم هو.

نرسم دائرة مفتوحة عند ونرسم خطًا يتجه إلى اليسار. ثم ارسم دائرة صلبة عند وخط يتجه إلى اليمين.

لاحظ أن الخطوط التي رسمناها معاكسة لبعضها البعض.

لأن عدم المساواة التي لدينا هي & # 8220 أو & # 8221. إذن ، فإن الأرقام بين الاثنين ليست هي الإجابة.


عدم المساواة المركبة

تحاول حل متباينة مركبة؟ لا مشكلة! سيأخذك هذا البرنامج التعليمي خلال عملية تقسيم المتباينة المركبة إلى متباينتين. سترى بعد ذلك كيفية حل هذه المتباينات ، وكتابة الإجابة في رمز منشئ المجموعات ، ورسم الحل على خط الأعداد بيانيًا.

كيف تحل مشكلة كلمة باستخدام و عدم المساواة المركبة؟

تسمح لك مشاكل الكلمات برؤية الرياضيات أثناء العمل! يتعامل هذا البرنامج التعليمي مع تحويل مشكلة كلامية إلى متباينة مركبة وحل تلك المتباينة المركبة للحصول على الإجابة. تعلم كيف في هذا البرنامج التعليمي!

كيف ترسم تقاطع متباينتين؟

تساعد خطوط الأعداد في جعل رسم تقاطع متباينتين أمرًا سهلاً! يوضح لك هذا البرنامج التعليمي كيفية رسم متباينتين على نفس خط الأعداد ثم إيجاد التقاطع. إلق نظرة!

كيف ترسم اتحاد متباينتين؟

تساعد خطوط الأعداد في جعل رسم اتحاد متباينتين أمرًا سهلاً! يوضح لك هذا البرنامج التعليمي كيفية رسم متباينتين على نفس خط الأعداد ثم إيجاد الاتحاد. تحقق من ذلك!

كيف تحل وتركب عدم المساواة؟

تحاول حل متباينة مركبة؟ لا مشكلة! سيأخذك هذا البرنامج التعليمي خلال عملية تقسيم المتباينة المركبة إلى متباينتين. سترى بعد ذلك كيفية حل هذه المتباينات وكتابة الإجابة في تدوين منشئ المجموعات.

كيف تحل وتجمع عدم المساواة وترسمها على خط الأعداد؟

تحاول حل متباينة مركبة؟ لا عرق! سيأخذك هذا البرنامج التعليمي خلال عملية حل عدم المساواة. ثم سترى كيفية كتابة الإجابة في تدوين منشئ المجموعة ورسمها على خط الأعداد. سترى كل شيء في هذا البرنامج التعليمي!

ما هو عدم المساواة المركبة؟

أتساءل ما هو عدم المساواة المركبة؟ ثم تحقق من هذا البرنامج التعليمي! ستتعلم تعريف المتباينة المركبة وستجد أيضًا كيف يمكن كتابتها في تدوين منشئ المجموعة. إلق نظرة!


المتاهة - حل المتباينات المركبة - AND & amp OR

يُعد هذا النشاط مراجعة جيدة لفهم كيفية "حل التفاوتات المركبة باستخدام" AND "& amp" OR ". يتم تقييم النماذج التالية في هذا النشاط:

- حل خطوة واحدة "و / أو" عدم المساواة المركبة

- حل خطوتين "و / أو" عدم المساواة المركبة

- حل متعدد الخطوات "و / أو" عدم المساواة المركبة

تتم كتابة المتباينة المركبة "و" في شكلين مختلفين:

- استخدام "و" مثل: 3x & gt -2 و 3 x & lt 3.5

- استخدام المتباينة المزدوجة مثل: -5 & lt = x +1 & lt6

هناك 15 عدم المساواة المقدمة. من البداية إلى النهاية ، سيتمكن الطالب من الإجابة على 12 سؤالًا من أصل 15 سؤالًا تم توفيره للوصول إلى نهاية المتاهة.

يمكن استخدام هذه المتاهة على النحو التالي: طريقة للتحقق من الفهم ، المراجعة ، تلخيص الدرس ، المشاركة الزوجية ، التعلم التعاوني ، تذكرة الخروج ، تذكرة الدخول ، الواجبات المنزلية ، الممارسة الفردية ، عندما يكون لديك وقت متبقي في نهاية الفترة ، بداية الفترة ( as a warm up or bell work), before a quiz on the topic, and more.

☺Would love to hear your feedback☺. Please don't forget to come back and rate this product when you have a chance. You will also earn TPT credits. Enjoy and I ☺thank you☺ for visiting my ☺Never Give Up On Math☺ store.


شاهد الفيديو: القدرة المعرفية المكعبات (شهر نوفمبر 2021).