مقالات

1.5: دوران وانعكاسات الزوايا - رياضيات


الآن بعد أن عرفنا كيفية التعامل مع زوايا أي قياس ، سنلقي نظرة على كيف يمكن لعمليات هندسية معينة أن تساعد في تبسيط استخدام الدوال المثلثية لأي زاوية ، وكيف يمكن إنشاء بعض العلاقات الأساسية بين هذه الدوال. العمليتان اللتان سنركز عليهما في هذا القسم هما دوران و انعكاس.

ل قم بتدوير زاوية يعني تدوير جانبه النهائي حول الأصل عندما تكون الزاوية في الوضع القياسي. على سبيل المثال ، لنفترض أننا قمنا بتدوير زاوية ( theta ) حول الأصل بمقدار (90 ^ circ ) في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة. في الشكل 1.5.1 ، نرى زاوية ( theta ) في QI والتي يتم تدويرها بواسطة (90 ^ circ ) ، مما ينتج عنه الزاوية ( theta + 90 ^ circ ) في QII. لاحظ أن تكملة ( theta ) في المثلث الأيمن في QI هي نفس ملحق الزاوية ( theta + 90 ^ circ ) في QII ، بما أن مجموع ( theta ) ، ومكملتها ، و (90 ^ circ ) تساوي (180 ^ circ ). هذا يفرض على الزاوية الأخرى للمثلث الأيمن في QII أن تكون ( theta ).

وبالتالي ، فإن المثلث الأيمن في QI يشبه المثلث الأيمن في QII ، لأن المثلثات لها نفس الزوايا. لا يغير دوران ( theta ) بمقدار (90 ^ circ ) طول (r ) جانبه الطرفي ، لذا فإن الوتر في المثلثات اليمنى المتشابهة متساوية ، وبالتالي بالتشابه المتبقي الأضلاع المتناظرة متساوية أيضًا. يوضح استخدام الشكل 1.5.1 لمطابقة الجوانب المقابلة أن النقطة ((- y ، x) ) موجودة على الجانب الطرفي من ( theta + 90 ^ circ ) عندما ((x، y) ) على الجانب الطرفي من ( ثيتا ). ومن ثم ، بحكم التعريف ،

[ nonumber sin ؛ ( theta + 90 ^ circ) ~ = ~ frac {x} {r} ~ = ~ cos ؛ theta ~، ~~
cos ؛ ( theta + 90 ^ circ) ~ = ~ frac {-y} {r} ~ = ~ - sin ؛ theta ~، ~~
tan ؛ ( theta + 90 ^ circ) ~ = ~ frac {x} {- y} ~ = ~ - cot ؛ theta ~. ]
على الرغم من أننا أظهرنا هذا لـ ( theta ) في QI ، فمن السهل (انظر التمرين 4) استخدام حجج مماثلة للأرباع الأخرى. بشكل عام ، تنطبق العلاقات التالية على جميع الزوايا ( ثيتا ):

[ sin ؛ ( theta + 90 ^ circ) ~ = ~ cos ؛ ثيتا التسمية {1.4} ]

[ cos ؛ ( theta + 90 ^ circ) ~ = ~ - sin ؛ theta label {1.5} ]

[ tan ؛ ( theta + 90 ^ circ) ~ = ~ - cot ؛ theta label {1.6} ]

مثال 1.26

تذكر أن أي خط غير عمودي في (xy ) - مستوى الإحداثيات يمكن كتابته كـ (y = mx + b ) ، حيث (m ) هو ميل من السطر (المعرّف على أنه (m = frac { text {height}} { text {run}} )) و (b ) هو (y ) -تقاطع} ، أي حيث يعبر الخط المحور (ص ) - (انظر الشكل 1.5.2 (أ)). سنبين أن ميل المستقيمين المتعامدين سالب مقلوب. بمعنى ، إذا كان (y = m_ {1} x + b_1 ) و (y = m_ {2} x + b_2 ) خطوطًا متعامدة غير عمودية وغير أفقية ، إذن (m_2 = - frac {1} { m_1} ) (انظر الشكل 1.5.2 (ب)).

أولاً ، افترض أن الخط (y = mx + b ) به ميل غير صفري. يقطع الخط المحور (س ) - في مكان ما ، لذا دع ( ثيتا ) هو الزاوية التي يصنعها المحور الموجب مع جزء الخط الموجود أعلى المحور (س ) ، كما في الشكل 1.5.3. بالنسبة إلى (m> 0 ) نرى أن ( theta ) حاد و ( tan ؛ theta = frac { text {height}} { text {run}} = m ).

إذا كان (m <0 ) ، فإننا نرى أن ( theta ) منفرجة وأن الارتفاع سلبي. نظرًا لأن التشغيل يكون دائمًا إيجابيًا ، فإن تعريفنا لـ ( tan ؛ theta ) من القسم 1.4 يعني أن ( tan ؛ theta = frac {- text {height}} {- text {run }} = frac { text {height}} { text {run}} = m ) (تخيل فقط في الشكل 1.5.3 (ب) أن السطر بأكمله يتم إزاحته أفقيًا ليخترق الأصل ، بحيث ( theta ) لم يتغير والنقطة ((- text {run}، - text {height}) ) على الجانب الطرفي من ( theta )). لذلك:

بالنسبة للخط (y = mx + b ) مع (m ne 0 ) ، يتم إعطاء الميل بواسطة (m = tan ؛ theta ، ) ، حيث ( theta ) هو الزاوية المكونة من المحور (س ) الموجب وجزء الخط الموجود فوق المحور (س ) -.}

الآن ، في الشكل 1.5.2 (ب) ، نرى أنه إذا كان الخطان (y = m_ {1} x + b_1 ) و (y = m_ {2} x + b_2 ) متعامدين ، فإنهما يدوران سطرًا واحدًا عكس اتجاه عقارب الساعة عن طريق (90 ^ circ ) حول نقطة التقاطع يعطينا السطر الثاني. لذا إذا كانت ( theta ) هي الزاوية التي يصنعها الخط (y = m_ {1} x + b_1 ) بالمحور الموجب (x ) - إذن ( theta + 90 ^ circ ) هي الزاوية التي يصنعها الخط (y = m_ {2} x + b_2 ) مع المحور (x ) - الموجب. من خلال ما أظهرناه للتو ، (m_1 = tan ؛ theta ) و (m_2 = tan ؛ ( theta + 90 ^ circ) ). لكن من خلال الصيغة المعادلة ref {1.6} نعلم أن ( tan ؛ ( theta + 90 ^ circ) = - cot ؛ theta ). ومن ثم ، (m_2 = - cot ؛ theta = - frac {1} { tan ؛ theta} = - frac {1} {m_1} ). ( textbf {QED} )

ينتج عن تدوير الزاوية ( theta ) بمقدار (90 ^ circ ) في اتجاه عقارب الساعة الزاوية ( theta - 90 ^ circ ). يمكننا استخدام وسيطة هندسية أخرى لاشتقاق العلاقات المثلثية التي تتضمن ( theta - 90 ^ circ ) ، ولكن من الأسهل استخدام خدعة بسيطة: بما أن المعادلات ref {1.4} - ref {1.6} احتفظ بـ أي زاوية ( ثيتا ) ، فقط استبدل ( ثيتا ) ب ( ثيتا - 90 ^ دائرة ) في كل صيغة. بما أن (( theta - 90 ^ circ) + 90 ^ circ = theta ) ، فهذا يعطينا:

[ label {1.7} sin ؛ ( theta - 90 ^ circ) ~ = ~ - cos ؛ theta ]

[ label {1.8} cos ؛ ( theta - 90 ^ circ) ~ = ~ sin ؛ theta ]

[ label {1.9} tan ؛ ( theta - 90 ^ circ) ~ = ~ - cot ؛ theta ]

نفكر الآن في تدوير الزاوية ( theta ) بمقدار (180 ^ circ ). لاحظ من الشكل 1.5.4 أن الزوايا ( theta pm 180 ^ circ ) لها نفس الجانب الطرفي وتقع في الربع المقابل ( theta ).

بما أن ((- x، -y) ) يقع على الجانب الطرفي لـ ( theta pm 180 ^ circ ) عندما يكون ((x، y) ) على الجانب الطرفي لـ ( ثيتا ) ، نحصل على العلاقات التالية ، والتي تنطبق على الجميع ( theta ):

[ label {1.10} sin ؛ ( theta pm 180 ^ circ) ~ = ~ - sin ؛ theta ]

[ label {1.11} cos ؛ ( theta pm 180 ^ circ) ~ = ~ - cos ؛ theta ]

[ label {1.12} tan ؛ ( theta pm 180 ^ circ) ~ = ~ tan ؛ theta ]

أ انعكاس هي ببساطة صورة معكوسة لجسم ما. على سبيل المثال ، في الشكل 1.5.5 ، يكون الكائن الأصلي في QI ، وانعكاسه حول المحور (y ) - في QII ، وانعكاسه حول المحور (x ) - في QIV. لاحظ أنه إذا قمنا أولاً بعكس الكائن في QI حول المحور (y ) ثم اتبعنا ذلك بانعكاس حول المحور (x ) ، نحصل على صورة في QIII. تلك الصورة هي انعكاس حول الأصل من الكائن الأصلي ، وهو يكافئ دوران (180 ^ circ ) حول الأصل. لاحظ أيضًا أن الانعكاس حول المحور (y ) - يكافئ انعكاسًا حول المحور (x ) متبوعًا بتناوب (180 ^ circ ) حول الأصل.

بتطبيق هذا على الزوايا ، نرى أن انعكاس الزاوية ( ثيتا ) حول (س ) - هو الزاوية (- ثيتا ) ، كما في الشكل 1.5.6.

لذلك نرى أن عكس نقطة ((س ، ص) ) حول (س ) - يستبدل فقط (ص ) ب (- ص ). لذلك:

[ التسمية {1.13} الخطيئة ؛ (- ثيتا) ~ = ~ - الخطيئة ؛ ثيتا ]

[ التسمية {1.14} كوس ؛ (- ثيتا) ~ = ~ كوس ؛ ثيتا ]

[ التسمية {1.15} تان ؛ (- ثيتا) ~ = ~ - تان ؛ ثيتا ]

لاحظ أن دالة جيب التمام لا تتغير في المعادلة المرجع {1.14} لأنها تعتمد على (س ) وليس على (ص ) ، لنقطة ((س ، ص) ) على الجانب النهائي من ( ثيتا ).

بشكل عام ، الدالة (f (x) ) هي ملف دالة زوجية إذا (f (-x) = f (x) ) للجميع (x ) ، ويسمى وظيفة غريبة إذا (f (-x) = -f (x) ) للجميع (x ). وبالتالي ، فإن دالة جيب التمام تكون زوجية ، في حين أن وظائف الجيب والظل فردية.

استبدال ( theta ) بـ (- theta ) في المعادلات ref {1.4} - ref {1.6} ، ثم استخدام المعادلات ref {1.13} - ref {1.15} ، يعطي:

[ label {1.16} sin ؛ (90 ^ circ - theta) ~ = ~ cos ؛ theta ]

[ label {1.17} cos ؛ (90 ^ circ - theta) ~ = ~ sin ؛ theta ]

[ label {1.18} tan ؛ (90 ^ circ - theta) ~ = ~ cot ؛ theta ]

لاحظ أن المعادلات ref {1.16} - ref {1.18} توسع نظرية الوظيفة المشتركة من القسم 1.2 إلى الكل ( theta ) ليست فقط الزوايا الحادة. وبالمثل ، المعادلات ref {1.10} - ref {1.12} و ref {1.13} - ref {1.15} أعط:

[ label {1.19} sin ؛ (180 ^ circ - theta) ~ = ~ sin ؛ theta ]

[ label {1.20} cos ؛ (180 ^ circ - theta) ~ = ~ - cos ؛ theta ]

[ label {1.21} tan ؛ (180 ^ circ - theta) ~ = ~ - tan ؛ theta ]

لاحظ أن الانعكاس حول (y ) - المحور يكافئ الانعكاس حول (x ) - المحور ( ( theta mapsto - theta )) متبوعًا بتدوير (180 ^ circ ) ) ( (- theta mapsto - theta + 180 ^ circ = 180 ^ circ - theta )) ، كما في الشكل 1.5.7.

قد يبدو أن هذه العمليات والصيغ الهندسية ليست ضرورية لتقييم الدوال المثلثية ، حيث يمكننا فقط استخدام الآلة الحاسبة. ومع ذلك ، هناك سببان لسبب فائدتها. أولاً ، الصيغ تعمل مع أي زوايا ، لذلك غالبًا ما تستخدم لإثبات الصيغ العامة في الرياضيات والمجالات الأخرى ، كما سنرى لاحقًا في النص. ثانيًا ، يمكن أن تساعد في تحديد الزوايا التي لها قيمة دالة مثلثية معينة.

مثال 1.27

ابحث عن جميع الزوايا (0 ^ circ le theta <360 ^ circ ) بحيث ( sin ؛ theta = -0.682 ).

حل

باستخدام الزر ( fbox { ( sin ^ {- 1} )} ) في آلة حاسبة مع (- 0.682 ) كمدخل ، نحصل على ( theta = -43 ^ circ ) ، وهو ليس بين (0 ^ circ ) و (360 ^ circ ). نظرًا لأن ( theta = -43 ^ circ ) موجود في QIV ، فإن انعكاسه (180 ^ circ - theta ) حول (y ) - سيكون في QIII وله نفس قيمة الجيب. لكن (180 ^ circ - theta = 180 ^ circ - (-43 ^ circ) = 223 ^ circ ) (انظر الشكل 1.5.8). نعلم أيضًا أن (- 43 ^ circ ) و (- 43 ^ circ + 360 ^ circ = 317 ^ circ ) لهما نفس قيم الدالة المثلثية. نظرًا لأن الزوايا في QI و QII لها قيم جيب موجبة ، نرى أن الزوايا الوحيدة بين (0 ^ circ ) و (360 ^ circ ) مع جيب (- 0.682 ) هي ( محاصر { theta = 223 ^ circ ~ text {and} ~ 317 ^ circ} ~ ).


تأملات وتناوب وترجمات

في هذه المهمة ، باستخدام برامج الكمبيوتر ، ستقوم بتطبيق انعكاسات وتدويرات وترجمات على مثلث. ستدرس بعد ذلك ما يحدث لأطوال الأضلاع وقياسات الزوايا للمثلث بعد تطبيق هذه التحولات. في كل جزء من السؤال ، يتم توفير صورة نموذجية للمثلث جنبًا إلى جنب مع خط انعكاس وزاوية دوران وجزء من الترجمة: سيسمح لك برنامج GeoGebra المرفق بتجربة تغيير موقع خط الانعكاس ، تغيير قياس زاوية الدوران ، وتغيير موقع وطول مقطع الترجمة.

يوجد أدناه مثلث $ ABC $ وخط $ overleftrightarrow$:

استخدم تطبيق GeoGebra المقدم لعكس $ triangle ABC $ فوق $ overleftrightarrow$. قم بتسمية المثلث المنعكس $ A'B'C '$. ما أطوال أضلاع وقياسات زوايا المثلث $ A'B'C '$؟ ماذا يحدث عند تغيير موقع أحد رؤوس المثلث $ المثلث ABC $؟ ماذا يحدث عند تغيير موقع السطر $ overleftrightarrow$?

يوجد أدناه مثلث $ ABC $ ونقطة $ E $. ارسم دوران $ مثلث ABC $ حوالي $ E $ بزاوية 85 درجة في اتجاه عكس عقارب الساعة.

قم بتسمية صورة $ triangle ABC $ كـ $ triangle A'B'C '$. ماذا يحدث لأطوال الأضلاع ومقاييس الزوايا $ مثلث A'B'C '$ عندما تغير قياس زاوية الدوران؟ ماذا يحدث عندما تحرك مركز الدوران $ E $؟

يوجد أدناه مثلث $ ABC $ وقطعة خط موجه $ overline$.

ارسم ترجمة $ triangle ABC $ بواسطة $ overline$ وقم بتسميته $ triangle A'B'C '$. ماذا يحدث لأطوال الأضلاع ومقاييس الزوايا للمثلث $ A'B'C '$ عندما تغير أحد الرؤوس ، $ A $ ، $ B $ ، أو $ C $؟ ماذا لو قمت بتغيير موضع أو طول أو اتجاه قطعة الخط الموجه $ overline$?


    أشرطة فيديو
    R.1 حل المعادلات

ص .3 نموذج تقاطع الميل لخط

R.4 حل نظام المعادلات

R.5 مضاعفة كثيرات الحدود

R.10 أساسيات المنطقة والمحيط

1.3 المعدلات والنسب والنسب

1.4 الترجمة في المستوى الإحداثي

1.6 الانعكاس والدوران والتماثل

1.7 تكوين التحولات

2. أرقام متشابهة واتساع

2.2 التوسّع والأشكال المماثلة

2.3 التشابه والمضلعات والدوائر

2.4 التشابه والتحولات

3.2 الجمل الشرطية

4. الخطوط المتوازية والعمودية

4.2 المزيد عن الخطوط المتوازية والزوايا

4.4 المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة والمنحدرات

4.5 الخطوط والمثلثات المتوازية

    أشرطة فيديو
    5.1 المثلثات متساوية الساقين والمتساوية الأضلاع

5.3 إثبات تطابق المثلثات مع SSS و SAS

5.4 إثبات تطابق المثلثات مع ASA و AAS

6. العلاقات داخل المثلثات

6.2 المنصفات العمودية والزاوية

6.4 Centroids و Orthocenters

6.6 اختياري: المتباينات في مثلث واحد

6.7 اختياري: التفكير غير المباشر

7. التشابه وعلم المثلثات

7.2 المثلثات المتشابهة: نظرية الزوايا الجانبية

7.4 مثلثات قائمة مماثلة

7.5 مثلثات قائمة خاصة

7.7 اختياري: معكوسات الدوال المثلثية

7.8 قانون جيب التمام وقانون الجيب

8.4 المزيد عن الأوتار والزوايا

    أشرطة فيديو
    9.1 متوازيات الأضلاع وأقطارها

9.2 تحديد ما إذا كان متوازي الأضلاع هو أيضًا مستطيل أم مربع أم معين

9.3 تقرير ما إذا كان الشكل الرباعي هو متوازي الأضلاع

9.4 اختياري: المضلعات وزواياها

9.6 المناطق والمستوى الإحداثي

9.7 منطقة المضلعات المنتظمة

    أشرطة فيديو
    10.1 الأشكال ثلاثية الأبعاد والمقاطع العرضية والرسومات


1.5: دوران وانعكاسات الزوايا - رياضيات

3844 أيام منذ ذلك الحين
العطلة الشتوية

المعلمين-الطلاب الموارد

الترجمة والتأمل

التحويل الهندسي

هدف: سيكون الطلاب قادرين على

سيتمكن الطلاب من تحديد ومقارنة تحويلات التطابق الثلاثة ،

تطبيق تحويلات التطابق الثلاثة على إحداثيات رؤوس الأشكال ،

تحديد وتطبيق التمددات ، وتطبيق التحولات على مواقف العالم الحقيقي.

- تمثيل / رسم وتفسير نتائج التحولات المتتالية

التحولات على الأشكال في المستوى الإحداثي.

• التدوير (90 درجة ، 180 درجة ، في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة حول الأصل)

- تحديد المواقع وتطبيق التحويلات ووصف العلاقات باستخدام هندسة الإحداثيات.

قارن التحولات التي تحافظ على المسافة والزوايا بتلك التي لا تحافظ عليها.

حل المشاكل التي تنطوي على عمليات تحويل من أجل حل مشكلة العالم الحقيقي.

القدرة على عمل وصلات بين تحويلات الوظائف (F.BF.3) والهندسية

معرفة أن التحولات الجامدة تحافظ على شكل الشكل

القدرة على استخدام المفردات المناسبة لوصف التناوب والتأملات

القدرة على استخدام خصائص الشكل لتحديد ثم وصف ما يحدث لـ

الشكل كما هو مستدير (مثل محور التناظر أو الزوايا المتطابقة أو الجوانب….

القدرة على تفسير وتنفيذ سلسلة معينة من التحولات واستخلاص النتيجة

القدرة على استخدام المفردات الهندسية بدقة لوصف تسلسل التحولات

سيحمل رقمًا معينًا على آخر

باستخدام الهندسة التحويلية ، يمكنك إنشاء انعكاس وترجمة وتدوير وانزلاق انعكاس وتوسيع نطاق

الشكل وتطبيق التحولات واستخدام التناظر لتحليل المواقف الرياضية

تجربة التحولات في المستوى

ملاحظة المجموعة: قم بالبناء على تجربة الطلاب من خلال الحركات الصارمة من الصفوف السابقة. أشر إلى أساس جامد

الحركات في المفاهيم الهندسية ، على سبيل المثال ، تنقل الترجمات النقاط لمسافة محددة على طول خط موازٍ لخط معين.

G.CO.2 تمثيل التحولات في المستوى باستخدام ، على سبيل المثال ، وصف الورق الشفاف وبرنامج الهندسة

التحويلات كوظائف تأخذ النقاط في المستوى كمدخلات وتعطي نقاطًا أخرى كمخرجات. قارن

التحويلات التي تحافظ على المسافة والزاوية لتلك التي لا تفعل ذلك (على سبيل المثال ، الترجمة مقابل الامتداد الأفقي)

اصنع تشكيلات هندسية

GCO.3 إعطاء مستطيل أو متوازي أضلاع أو شبه منحرف أو مضلع منتظم ، صِف التدويرات والانعكاسات التي تحمله على نفسه.

GCO.4 تطوير تعريفات التدوير والانعكاسات والترجمات من حيث الزوايا والدوائر والخطوط العمودية والخطوط المتوازية ومقاطع الخط

G.CO.5 بالنظر إلى الشكل الهندسي والدوران أو الانعكاس أو الترجمة ، ارسم الشكل المحول باستخدام ، على سبيل المثال ، ورقة الرسم البياني أو ورقة التتبع أو برنامج الهندسة. حدد سلسلة من التحويلات التي ستحمل شكلاً معينًا إلى شكل آخر.

ماذا يعني "التحول" ، وماذا يمكننا أن نفهم؟

لماذا من المهم أن تكون قادرًا على ذلك

ما هي أوجه الشبه والاختلاف بين الصور وما قبل الصور

ولدت عن طريق الترجمات؟

ما العلاقة بين إحداثيات رءوس الشكل و

إحداثيات رؤوس صورة الشكل الناتجة عن الترجمات؟

كيف يمكن تطبيق الترجمات على مواقف العالم الحقيقي؟

يمكن التلاعب بالأشكال الهندسية

أن تكون أداة مفيدة في مواقف العالم الحقيقي

الصورة قبل الصورة أو الأصلية

ناقلات الترجمة الترجمة

زاوية دوران مركز الدوران

خط انعكاس تحول جامد

أوراق عمل ، منقلة ، مسطرة ، ورق فطيرة ، ميرا ™

اختياري - برنامج الهندسة الديناميكية

تسخين: استخدم المصفوفات أدناه للإجابة على السؤال ،

أي مصفوفة تمثل التعبير؟

انعكاس عبر الخط ك (الرموز صك ) هو تحويل يكون فيه لكل نقطة من الشكل الأصلي (الصورة السابقة) صورة على نفس المسافة من خط الانعكاس مثل النقطة الأصلية ولكنها على الجانب الآخر من الخط. تذكر أن الانعكاس هو قلب. تحت الانعكاس ، لا يغير الشكل الحجم.
خط الانعكاس هو المنصف العمودي للقطعة التي تربط كل نقطة وصورتها.

يخلق انعكاس الخط شكلاً مطابقًا للشكل الأصلي ويسمى التساوي القياس (تحويل يحافظ على الطول). نظرًا لأن تسمية (كتابة) الشكل في الانعكاس يتطلب تغيير ترتيب الأحرف (مثل من اتجاه عقارب الساعة إلى عكس اتجاه عقارب الساعة) ، يُطلق على الانعكاس بشكل أكثر تحديدًا التساوي القياس غير المباشر أو المعاكس.

الخصائص المحفوظة (ثابت) تحت انعكاس خطي:
1. المسافة (أطوال الأجزاء هي نفسها) 2. مقاييس الزاوية (تظل كما هي)
3. التوازي (الخطوط المتوازية تبقى متوازية)
4. العلاقة الخطية (تبقى النقاط على نفس الخطوط)
5. نقطة المنتصف (تظل نقاط المنتصف كما هي في كل رقم)
6. اتجاه (ترتيب الحروف ليس محفوظة. تم عكس الطلب.)

يعكس أكثر من x -محور : (ال x- المحور كخط انعكاس)

عندما تعكس نقطة عبر x-المحور x- يظل التنسيق كما هو ، لكن ملف ذ- يتحول التنسيق إلى نقيضه.

انعكاس النقطة عبر المحور x هو نقطة.

تلميح: إذا نسيت قواعد الانعكاسات عند الرسم البياني ، فما عليك سوى طي ورقة الرسم البياني على طول خط الانعكاس (في هذا المثال ، x-المحور) لمعرفة مكان الشكل الجديد الخاص بك. أو يمكنك قياس مدى بُعد نقاطك عن خط الانعكاس لتحديد موقع صورتك الجديدة. ستسمح لك هذه العمليات بمعرفة ما يحدث للإحداثيات وتساعدك على تذكر القاعدة.

التفكير أكثر : (بالتوازي مع المحور السيني)

عندما تعكس نقطة عبر ، فإن x- يظل التنسيق كما هو ، لكن ملف ذ- يتحول التنسيق إلى 2k-y.

انعكاس النقطة عبر المحور x هو نقطة.

يعكس أكثر من ذ -محور : (ال ذ- المحور كخط انعكاس)

عندما تعكس نقطة عبر ذ-المحور ذ- يظل التنسيق كما هو ، لكن ملف x- يتحول التنسيق إلى نقيضه. انعكاس النقطة عبر المحور الصادي هو نقطة.

يعكس أكثر من : (بالتوازي مع ذ-محور)

عندما تعكس نقطة عبر ، فإن ذ- يظل التنسيق كما هو ، لكن ملف x- يتحول المنسق إلى. انعكاس النقطة عبر المحور الصادي هو نقطة.

يعكس من خلال الأصل استدعاء أيضًا دوران 180 درجة

عندما تعكس نقطة عبر الأصل ، ال ذ- يتحول التنسيق إلى نقيضه ، و x- يتحول التنسيق إلى نقيضه. في الأساس ، فقط قم بتغيير العلامات. انعكاس النقطة عبر الأصل هو النقطة.

التفكير من خلال نقطة مختلفة انعكاس النقطة عبر نقطة هو نقطة.

يعكس فوق الخط ص = س أو ص = -x :

(الخطوط ص = س أو ص = -x كخطوط انعكاس) عندما تعكس نقطة عبر الخط ص = س، ال x-تنسيق و ذ-تنسيق أماكن التغيير. عندما تعكس نقطة عبر الخط ص = -x, ال x-تنسيق و ذ-تنسيق أماكن التغيير وإبطالها (يتم تغيير العلامات).

انعكاس النقطة عبر الخط هو النقطة.

انعكاس النقطة عبر الخط هو النقطة.

تعكس على أي خط:

كل نقطة في الصورة المنعكسة هي نفس المسافة من خط الانعكاس مثل النقطة المقابلة للشكل الأصلي. بعبارة أخرى ، يقع خط الانعكاس مباشرة في المنتصف بين الشكل وصورته - إنه المنصف العمودي للقطعة التي تربط أي نقطة بصورتها. ضع هذه الفكرة في الاعتبار عند العمل بخطوط انعكاسات ليست هي x-المحور ولا ذ-محور.

كل نقطة من الشكل الأصلي وصورته هي نفس المسافة بعيدًا عن خط الانعكاس (والذي يمكن حسابه بسهولة في هذا الرسم التخطيطي لأن خط الانعكاس عمودي).

ترتيب انعكاس x و y. قم بتغيير اللافتات وفقًا للربع الذي يوجد فيه.

ثم دوران النقطة M حول زاوية حول الأصل يرسمها إلى نقطة مثل دوران المصفوفة حول الأصل من خلال زاوية.
للتدوير حول نقطة ليست هي الأصل ، عليك أولاً تحريك جميع النقاط بحيث يكون المركز هو الأصل ، واستخدام مصفوفة التدوير المعتادة ، ثم إعادة جميع النقاط إلى حيث وجدتها.

مثال: إذا تم الاستدارة حول زاوية ما ، فحدد نقطة الصورة.

هنا ، ، ​​. يتم إعطاء مصفوفة الدوران بواسطة

استبدال القيم المذكورة أعلاه

لذلك ، يتم إعطاء نقطة الصورة بواسطة

ممارسة مستقلة

ارسم صورة الشكل باستخدام التحويل المعطى

1) انعكاس عبر المحور السيني

2) انعكاس عبر y = 3

انعكاس عبر y = 1

انعكاس عبر المحور السيني

انعكاس عبر المحور السيني

انعكاس عبر y = −2

اكتب قاعدة لوصف كل تحول

ارسم الصورة حسب القاعدة وحدد نوع التحويل

أكمل قاعدة الزوج المرتب التي تحول كل مثلث إلى صورته. تحديد التحول. البحث عن جميع الإحداثيات المفقودة.

BCR: يستخدم نظام التحكم في الحركة الجوية في مطار ليتل روك ناشيونال (LIT) ، الموجود في (2 ، 3) على الشبكة أدناه ، نظام رادار يرسل إشارات لتحديد مواقع الطائرات. يمكن لهذا النظام اكتشاف الطائرات داخل منطقة دائرية يبلغ نصف قطرها 35 ميلاً من LIT. تمثل كل وحدة شبكة 5 أميال.

تتجه الطائرة مباشرة نحو LIT من الموقع الذي يمثله الإحداثيات على الشبكة.

1. هل يمكن للرادار الكشف عن الطائرة؟ ادعم إجابتك بالأدلة الرياضية.

2. مراقب الحركة الجوية يأمر الطيار بالبدء بالدوران حول المطار في منتصف الطريق بين المطار

وموقعها الحالي. ماذا ستكون إحداثيات موقع الطائرة عندما يبدأ الطيار

للدوران حول المطار؟ اعرض عملك أو اشرح إجابتك.

1) هو مبين أدناه

إذا تم الاستدارة في اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل ، فما هي إحداثيات صورة النقطة T؟

2) استخدم الرسم البياني أدناه للإجابة على السؤال

أي رسم بياني يظهر انعكاسًا عبر المحور السيني للصورة أعلاه؟

3) يتم تدوير الشكل أدناه في اتجاه عقارب الساعة حول الأصل ، ثم يتم عكسه عبر المحور الصادي.

4) يقوم جوش بتصميم غلاف لكتاب ورقي الغلاف. سوف يستخدم الرسم الموضح أعلاه. يخطط لعكس الرسم البياني على المحور الصادي. ما إحداثيات انعكاس النقطة أ؟

5) روبرتو مصمم رسومات كمبيوتر ويعمل على إعلان لمقهى محلي. يوضح الشكل أعلاه فنجان قهوة في وضعين مختلفين. ما الذي يصف تحول فنجان القهوة في الموضع I إلى الصورة في الموضع II؟

أ. انعكاس على خط أفقي وترجمة لأسفل

* ب. الترجمة لأسفل وانعكاس على خط عمودي C. دوران 180 درجة

د- ترجمة إلى اليمين وانعكاس على خط عمودي

6) يتم تدوير الشكل الموضح أدناه في اتجاه عقارب الساعة حول الأصل وترجمته وحدة واحدة.

ما هي الصورة الناتجة؟

7) أي صورة ستنتج عن الشكل أدناه يتم تدويره 90q في اتجاه عقارب الساعة حول الأصل ثم

تنعكس عبر المحور ص؟

8) يظهر مضلع STUVW أدناه.

بعد انعكاس مضلع STUVW عبر المحور الصادي ، ما إحداثيات S ′ ، صورة النقطة S

9) يتم ترجمة الشكل أدناه 3 وحدات إلى اليمين ، ثم 5 وحدات لأسفل ، وينعكس أخيرًا على المحور x.

ما هي إحداثيات صورة النقطة X بعد التحولات؟

إذا تم تدويره في اتجاه عقارب الساعة حول الأصل ، فما هي إحداثيات

11) إذا تمت ترجمة متوازي الأضلاع أدناه 3 وحدات لليسار و 6 وحدات لأسفل ، فماذا سيكون

إحداثيات الصورة الجديدة W′X′Y′Z ′؟

أ. W ′ (- 2، –1)، X ′ (0، 3)، Y ′ (5، 3)، Z ′ (3، –1) B. W ′ (- 1، –2)، X ′ (3 ، 0) ، ص (3 ، 5) ، Z ′ (- 1 ، 3)

ج. W ′ (4، –1)، X ′ (6، 3)، Y ′ (11، 3)، Z ′ (9، –1) D. W ′ (7، 8)، X ′ (9، 12) ، ص (14 ، 12) ، Z ′ (12 ، 8)

12) يتم ترجمة Triangle JKL 4 وحدات يسار و 5 وحدات لأعلى. ما هي إحداثيات ملف

أ (2 ، 6) ب (3 ، -3) * ج. (- 6 ، 6) د (-2 ، 6)

13) كيف سيبدو الشكل أدناه إذا انعكس على المحور السيني؟

14) يظهر المثلث QRS في الرسم البياني أدناه.

أي من الرسوم البيانية التالية يوضح showsQRS استدارة 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة حول الأصل؟

15) ينعكس المقطع JK عبر المحور الصادي ليشكل. ما إحداثيات J ′ و K

أ.ج (- 4 ، –5) ، ك ′ (- 2 ، 1) ب. J ′ (5 ، - 4) ، ك ′ (- 1 ، 2)

16) السهم أعلاه يمثل الإبرة على البوصلة. يتم تدوير الإبرة 180 درجة في اتجاه عقارب الساعة. ما إحداثيات النقطة "أ" بعد الدوران؟

17) المثلث PQR له رؤوس P (–2 ، –1) ، Q (1 ، 6) ، R (3 ، –2). ما إحداثيات رؤوس صورة ∆PQR إذا تمت ترجمة الشكل 4 وحدات يمينًا و 3 وحدات لأعلى؟

الفوسفور ′ (2 ، 2) ، س ′ (5 ، 9) ، ص (7 ، 1) ب. الفوسفور ′ (1 ، 3) ، س ′ (4 ، 10) ، ص (0 ، 2)

ج (- ٦ ، ٢) ، س ′ (- ٣ ، ٩) ، ص (- ١ ، ١) د. ف ′ (- ٨ ، –٣) ، س ′ (٤ ، ١٨) ، ص (12 ، - 6)

18) نقطة القلب (H) لها إحداثي (–5، –7) كما هو موضح أعلاه. ينعكس القلب على المحور الصادي ثم ينعكس على المحور السيني. بعد كلا الانعكاسين ، ما إحداثيات النقطة H؟

19) المضلع أعلاه هو رسم خرائط لمبنى المدرسة. ما هي قاعدة الترجمة التي تحرك النقطة أ

20) ما هو التحول الذي يصف التغيير من الشكل م إلى الشكل ن؟

أ- تمدد ب- انعكاس ج- دوران د

21) خطط ساشا لتصميم نسيج من خلال عكس المثلث الموضح أعلاه فوق المحور السيني. الذي

قائمة الإحداثيات تمثل رءوس المثلث المنعكس على المحور x؟

أ (–2 ، –3) ، (–4 ، –6) ، (–8 ، 1) ب (–2 ، 3) ، (–4 ، 6) ، (–8 ، 1)

ج. (2، –3)، (4، –6)، (8، –1) د (3، 2)، (6، 4)، (1، 8)

22) أيهما سينقل العلم "أ" إلى "ب" في الرسم البياني أدناه؟

*أ. دوران في اتجاه عقارب الساعة بمقدار 180 درجة ب. انعكاس على المحور س ، ثم دوران في اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90 درجة

ج- ترجمة 8 وحدات اليسار و 7 وحدات أسفل

انعكاس على المحور ص ، ثم ترجم 8 وحدات يسارًا و 7 وحدات لأسفل

23) لتخطيط مشهد في فيلم رسوم متحركة ، يقوم روجر بتدوير الشكل أدناه حول النقطة P بمقدار 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة. أي رسم يوضح الصورة الأولية والصورة النهائية؟

24) يتكون تصميم اللحاف من خلال ترجمة مضلع عبر مستوى الإحداثيات كما هو موضح في الشكل أدناه. ما هي قاعدة الترجمة التي ستحول النقطة أ إلى النقطة ب؟

أ. ب. ج. * د.

25) بعد هذه الترجمة للنقطة تي ، ما هي إحداثيات النقطة الجديدة؟

أ (-1 ، 3) ب (0 ، 4) ج (3 ، -2) د (5 ، -1)

26) جانيل وفرانز يلعبان لعبة. قاعدة اللعبة هي أن كل قطعة تلعب يجب أن تمر بتحويل واحد. تعكس Janelle القطعة X على السطر 3. أين قطعة الأرض X؟

أ على القطعة أ * ب على القطعة ب ج على القطعة ج د على القطعة د

27) أي رسم بياني يمثل الشكل أدناه المنعكس عبر المحور ص؟

28) إحداثيات ج هي (--4 ، 1). إلى أي ترجمة تنتقل؟

ترجمة 8 وحدات اليسار ، 4 وحدات فوق باء ترجمة 3 وحدات اليسار ، 8 وحدات لأعلى

جيم ترجمة 3 وحدات الحق ، 8 وحدات أسفل * د ترجمة 8 وحدات الحق ، 4 وحدات أسفل

29) تنعكس النقطة على الشبكة عبر المحور ص. ما هي إحداثياتها الجديدة؟

أ (--5، 2) ب (--2، 5) ج (2، --5) د (2، 5)

30) بعد ترجمة النقطة (س ، ص) أربع وحدات إلى اليمين ، ما إحداثياتها الجديدة؟

أ. ب. ج. د.

31) ما هو الشكل الذي يمثل دوران الشكل 1؟

الشكل 2 * B. الشكل 3 C. الشكل 4 D. الشكل 5

32) ما هي إحداثيات PQRS بعد ترجمة 6 وحدات إلى اليمين و 6 وحدات لأعلى؟

33) المثلث ABC منعكس على المحور السيني. ما هي إحداثيات "أ" و "ب" و "ج"؟

34) أي الظل يظهر انعكاسًا للشكل المقابل؟

35) أي من الأشكال التالية يمثل دورانًا في اتجاه عقارب الساعة للعلم حول النقطة أ؟


التناوب

الرياضيات في المدرسة الثانوية بناءً على الموضوعات المطلوبة لامتحان Regents الذي أجرته NYSED.

التناوب الهندسي
الدوران هو تحويل متساوي القياس: الشكل الأصلي والصورة متطابقان. يظل اتجاه الصورة كما هو ، على عكس الانعكاسات. لإجراء دوران هندسي ، نحتاج أولاً إلى معرفة نقطة الدوران وزاوية الدوران والاتجاه (إما في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة). الدوران هو أيضًا نفس تكوين الانعكاسات على الخطوط المتقاطعة.

توضح الأشكال التالية الدوران حول نقطة والدوران باعتباره انعكاسًا مزدوجًا.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


ما هي الترجمة؟

بالإضافة إلى عكس الكائن أو تدويره ، يمكننا أيضًا ترجمة الكائن إلى مكان آخر على مستوى الإحداثي. الترجمة هي عملية "تحريك" نقطتنا أو شكلنا على طول مستوى الإحداثيات في اتجاه معين.

يمكن ترجمة الشكل لأعلى أو لأسفل (أو كليهما!) أي مقدار من المسافة على طول المستوى. إنها تحافظ على شكلها وتحملها ، ولكنها تقع ببساطة في مكان آخر من الطائرة.

طريقة ملاحظة حدوث الترجمة هي أن نقول:

هذا يعني أن إحداثياتك النهائية لهذه النقطة ستكون:

ما هي النقطة الجديدة لـ $ T_ <5، −2> (- 3،6) $؟

نعلم أنه يجب علينا جمع النقاط المترجمة إلى قيم $ x $ و $ y $ المناظرة لإحداثياتنا الأصلية. وبالتالي:

إحداثياتنا الجديدة لهذه النقطة هي $ (2، 4) $

يمكنك معرفة سبب صحة ذلك إذا نظرنا إليه على الرسم البياني.

هنا ، لدينا نقطة البداية $ (- 3، 6) $.

الآن ، نحن نتحرك بشكل إيجابي (إلى اليمين) 5 مسافات وسلبية (أسفل) 3 مسافات. إذا بدأنا من $ (- 3، 6) $ ، فسيضع هذا نقطتنا الجديدة عند $ (2، 4) $.

إجابتنا النهائية هي ب , $(2, 4)$.


التناظر الدوراني

أخيرًا ، يكون للشكل في المستوى تناظر دوراني إذا كان من الممكن تعيين الشكل على نفسه عن طريق دوران 180 درجة أو أقل. هذا يعني أنه إذا قمنا بإدارة كائن بزاوية 180 درجة أو أقل ، فإن الصورة الجديدة ستبدو مماثلة للصورة الأصلية. وعند وصف التناظر الدوراني ، من المفيد دائمًا تحديد ترتيب التدوير وحجم التدويرات.

ال ترتيب التناوب هو عدد المرات التي يمكننا فيها قلب الكائن لإنشاء تناظر ، و حجم الدورات هي الزاوية في الدرجة لكل منعطف ، كما هو مذكور بشكل جيد بواسطة Math Bits Notebook.

في الفيديو التالي ، ستنظر في كيفية:

  1. وصف رسم بياني التناظر الدوراني.
  2. صف التحويل الدوراني الذي يرسم بعد انعكاسين متتاليين على خطوط متقاطعة.
  3. حدد ما إذا كان يمكن تعيين شكل على نفسه باستخدام التناظر الدوراني.

ترجمة
الترجمة تحرك الشكل. الترجمة عبارة عن شريحة ذات شكل: بدون تدويرها أو عكسها أو تغيير حجمها.
Each point on the shape moves the same direction and the same distance.

Translate a Shape
To translate a shape, break the translation down into:

- how far we move the shape in a horizontal direction (left or right).
- how far we move the shape in a vertical direction (up or down).

Use a column vector to describe how far to move the shape in these directions.

- find how far a shape has moved in a horizontal direction (left or right).
- find how far a shape has moved in a vertical direction (up or down).

Write these in a column vector.


Rotation

In geometry, a rotation is a type of transformation where a shape or geometric figure is turned around a fixed point. It may also be referred to as a turn. A rotation is a type of rigid transformation, which means that the size and shape of the figure does not change the figures are congruent before and after the transformation. Below are two examples.

In the figure above, the wind rotates the blades of a windmill. On the right, a parallelogram rotates around the red dot.

The term "preimage" is used to describe a geometric figure before it has been transformed and the term "image" is used to describe it after it has been transformed. For 2D figures, a rotation turns each point on a preimage around a fixed point, called the center of rotation, a given angle measure. Two Triangles are rotated around point R in the figure below. For 3D figures, a rotation turns each point on a figure around a line or axis.


Rotational Symmetry

These lessons help Geometry students learn about rotational symmetry, with video lessons, examples and solutions.

In these lessons, we will learn

  • what is rotational symmetry?
  • how to find the order of rotation.
  • how to find the angle of rotation.

The following table gives the order of rotational symmetry for parallelogram, regular polygon, rhombus, circle, trapezium, kite. Scroll down the page for examples and solutions.

What Is Rotational Symmetry?

Symmetry in a figure exists if there is a reflection, rotation, or translation that can be performed and the image is identical. Rotational symmetry exists when the figure can be rotated and the image is identical to the original.

A regular polygon has a degree of rotational symmetry equal to its number of sides.

What Is The Order Of Rotation And Angle Of Rotation?

A figure has rotational symmetry if it coincides with itself in a rotation less than 360°.

The order of rotation of a figure is the number of times it coincides with itself in a rotation of 360°.

The angle of rotation for a regular figure is 360 divided by the order of rotation.

How To Find The Order Of Rotational Symmetry Of A Shape?

The order of rotational symmetry is the number of times you can rotate a shape so that it looks the same. The original position is counted only once (i.e. not when it returns to its original position)

The order of rotational symmetry of a regular polygon is the same as the number of sides of the polygon.

You can also deduce the order of rotational symmetry by knowing the smallest angle you can rotate the shape through to look the same.
180° = order 2,
120° = order 3,
90° = order 4.

The product of the angle and the order would be 360°.

How to relate between a reflection and a rotation and examine rotational symmetry within an individual figure

The following video will give the solutions for the Rotations, Reflections and Symmetry Worksheet. (Common Core, Geometry Lesson 15, Module 1)

Opening Exercise
The original triangle, labeled A, has been reflected across the first line, resulting in the image labeled B. Reflect the image across the second line. Carlos looked at the image of the reflection across the second line and said, “That’s not the image of triangle A after two reflections that’s the image of triangle A after a rotation!” Do you agree? لما و لما لا؟

Discussion
When you reflect a figure across a line, the original figure and its image share a line of symmetry, which we have called the line of reflection. When you reflect a figure across a line and then reflect the image across a line that intersects the first line, your final image is a rotation of the original figure. The center of rotation is the point at which the two lines of reflection intersect. The angle of rotation is determined by connecting the center of rotation to a pair of corresponding vertices on the original figure and the final image. The figure above is a 210° rotation (or 150° clockwise rotation).

Exploratory Challenge
Line of symmetry of a figure: This is an isosceles triangle. By definition, an isosceles triangle has at least two congruent sides. A line of symmetry of the triangle can be drawn from the top vertex to the midpoint of the base, decomposing the original triangle into two congruent right triangles. This line of symmetry can be thought of as a reflection across itself that takes the isosceles triangle to itself. Every point of the triangle on one side of the line of symmetry has a corresponding point on the triangle on the other side of the line of symmetry, given by reflecting the point across the line. In particular, the line of symmetry is equidistant from all corresponding pairs of points. Another way of thinking about line symmetry is that a figure has line symmetry if there exists a line (or lines) such that the image of the figure when reflected over the line is itself.

Does every figure have a line of symmetry?

How to find the angle of rotation for regular polygons?

The angle of rotation of a regular polygon is equal to 360° divided by the number of sides.

Rotational Symmetry

The order of Rotational Symmetry tells us how many times a shape looks the same when it rotate 360 degrees. Determine the order of rotational symmetry for a square, a rectangle and an equilateral triangle.

Basic Rotational Symmetry

Introduction to rotational symmetry with fun shapes.

Rotational Symmetry

Learn to identify and describe rotational symmetry.

Tell whether each figure has rotational symmetry. If it does, find the smallest fraction of a full turn needed for it to look the same.

How many times will the figure show rotational symmetry within one full rotation?

Also, identify the degree of rotational symmetry.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


شاهد الفيديو: الدوران الزوايا و المضلعات -الدرس 12-السنة الرابعة متوسط رياضيات (ديسمبر 2021).