مقالات

5.2: استخدام التدوين العلمي - الرياضيات


https://www.applestemhomeschool.com/module/topic/223

5.2 خصائص الأس والترميز العلمي

تذكر أن الأس يشير إلى الضرب المتكرر لنفس الكمية. على سبيل المثال ، في التعبير أ م ، م ، ال الأس م يخبرنا كم مرة نستخدم فيها قاعدة أ كعامل.

دعونا نراجع مفردات التعبيرات ذات الأسس.

الأسية

هذا مقروء أ للقوة m t h m t h.

عندما نجمع الحدود المتشابهة عن طريق الجمع والطرح ، نحتاج إلى الحصول على نفس الأساس بنفس الأس. ولكن عند الضرب والقسمة ، قد تختلف الأسس ، وفي بعض الأحيان قد تكون الأسس مختلفة أيضًا.

أولاً ، سنلقي نظرة على مثال يؤدي إلى خاصية المنتج.

لاحظ أن 5 هو مجموع الأس ، 2 و 3. نرى x 2 · x 3 x 2 · x 3 هو x 2 + 3 x 2 + 3 أو x 5. × 5.

بقيت القاعدة كما هي وقمنا بإضافة الأس. هذا يؤدي إلى خاصية المنتج للأسس.

خاصية المنتج للأسس

إذا أ هو رقم حقيقي و م و ن هي إذن أعداد صحيحة

للضرب بأساسيات متشابهة ، اجمع الأسس.

مثال 5.12

حل

الآن سننظر في خاصية الأس للقسمة. كما في السابق ، سنحاول اكتشاف خاصية من خلال النظر في بعض الأمثلة.

حاصل الملكية للأسس

مثال 5.13

حل

لتبسيط المقدار باستخدام خارج القسمة ، علينا أولًا مقارنة الأسس في البسط والمقام.

لاحظ أنه عندما يكون الأس الأكبر في البسط ، يتبقى لدينا عوامل في البسط.

لاحظ أنه عندما يكون الأس الأكبر في المقام ، يتبقى لدينا عوامل في المقام.

هناك حالة خاصة لخاصية الحاصل عندما يكون أس البسط والمقام متساويين ، مثل تعبير مثل a m a m. م على م. نعلم ، x x = 1 ، x x = 1 ، لأي x (x ≠ 0) x (x ≠ 0) بما أن أي عدد مقسوم على نفسه هو 1.

خاصية الأس الصفري

إذا أ هو رقم غير صفري ، ثم 0 = 1. أ 0 = 1.

إذا أ هو رقم غير صفري ، إذن أ أس صفر يساوي 1.

أي عدد غير صفري مرفوع إلى الأس الصفري هو 1.

في هذا النص ، نفترض أن أي متغير نرفعه إلى الأس صفر ليس صفرًا.

مثال 5.14

بسّط كل تعبير: ⓐ 9 0 9 0 ⓑ n 0. ن 0.

حل

ينص التعريف على أن أي رقم غير صفري مرفوع إلى أس صفر هو 1.


9 0 استخدم تعريف الأس الصفري. 1 9 0 استخدم تعريف الأس الصفري. 1


n 0 استخدم تعريف الأس صفر. 1 n 0 استخدم تعريف الأس الصفري. 1

لتبسيط التعبير ن مرفوعة إلى الأس صفر ، نستخدم فقط تعريف الأس الصفري. النتيجة هي 1.

بسّط كل تعبير: ⓐ 11 0 11 0 ⓑ q 0. س 0.

بسّط كل تعبير: ⓐ 23 0 23 0 ⓑ r 0. ص 0.

استخدم تعريف الأس السالب

لقد رأينا أن خاصية الحاصل للأُس لها شكلين اعتمادًا على ما إذا كان الأس أكبر في البسط أو المقام. ماذا لو طرحنا الأسس بغض النظر عن أيهما أكبر؟

دعونا الآن نلقي نظرة على ما يحدث لكسر بسطه واحد ومقامه عدد صحيح مرفوع إلى أس سالب.

خواص الأسس السالبة

يخبرنا الأس السالب أنه يمكننا إعادة كتابة التعبير بأخذ مقلوب الأساس ثم تغيير إشارة الأس.

أي تعبير يحتوي على أسس سالبة لا يعتبر في أبسط صورة. سنستخدم تعريف الأس السالب والخصائص الأخرى للأسس لكتابة التعبير بأسس موجبة فقط.

مثال 5.15

حل

افترض الآن أن لدينا كسرًا مرفوعًا إلى أس سالب. دعونا نستخدم تعريفنا للأسس السلبية ليقودنا إلى خاصية جديدة.

للانتقال من الكسر الأصلي المرفوع إلى الأس السالب إلى النتيجة النهائية ، أخذنا مقلوب الأساس - الكسر - وغيرنا علامة الأس.

يقودنا هذا إلى حاصل القسمة إلى قوة سالبة ملكية.

حاصل على خاصية القوة السلبية

مثال 5.16

بسّط كل تعبير: ⓐ (5 7) −2 (5 7) −2 ⓑ (- x y) −3. (- س ص) −3.

حل

بسّط كل تعبير: ⓐ (2 3) −4 (2 3) −4 ⓑ (- m n) −2. (- م ن) −2.

بسّط كل تعبير: ⓐ (3 5) −3 (3 5) −3 ⓑ (- a b) −4. (- أ ب) −4.

الآن بعد أن أصبح لدينا أسس سالبة ، سنستخدم خاصية المنتج مع التعبيرات التي لها أسس سالبة.

مثال 5.17

حل

الآن دعونا نلقي نظرة على التعبير الأسي الذي يحتوي على قوة مرفوعة إلى قوة. معرفة ما إذا كان يمكنك اكتشاف خاصية عامة.

(x 2) 3 ماذا يعني هذا؟ x 2 · x 2 · x 2 (x 2) 3 ماذا يعني هذا؟ × 2 × 2 × 2

لاحظ أن الرقم 6 هو منتج من الأس ، 2 و 3. نرى أن (x 2) 3 (x 2) 3 هي x 2 · 3 x 2 · 3 أو x 6. × 6.

قمنا بضرب الأسس. هذا يؤدي إلى خاصية الطاقة للأسس.

خاصية القوة للأسس

إذا أ هو رقم حقيقي و م و ن هي إذن أعداد صحيحة

لرفع أس إلى أس ، اضرب الأسس.

مثال 5.18

حل

سننظر الآن إلى تعبير يحتوي على منتج مرفوع إلى قوة. هل يمكنك أن تجد هذا النمط؟

لاحظ أنه تم رفع كل عامل إلى أس وأن (2 x) 3 (2 x) 3 هي 2 3 · x 3. 2 3 × 3.

الأس ينطبق على كل من العوامل! هذا يؤدي إلى المنتج إلى قوة خاصية للأسس.

المنتج إلى خاصية الطاقة للأسس

إذا أ و ب هي أرقام حقيقية و م هو عدد صحيح ، إذن

لرفع منتج إلى قوة ، ارفع كل عامل إلى تلك القوة.

مثال 5.19

حل

الآن سنلقي نظرة على مثال يقودنا إلى الحاصل إلى خاصية الطاقة.

لاحظ أن الأس ينطبق على كل من البسط والمقام.

هذا يؤدي إلى الحاصل إلى خاصية الطاقة للأسس.

حاصل على خاصية الطاقة للأسس

لرفع الكسر إلى أس ، ارفع البسط والمقام إلى تلك الأس.

مثال 5.20

حل

لدينا الآن العديد من الخصائص للأسس. دعونا نلخصها ومن ثم سنقوم ببعض الأمثلة التي تستخدم أكثر من خاصية واحدة.

ملخص خصائص الأس

إذا أ و ب هي أرقام حقيقية ، و م و ن هي إذن أعداد صحيحة

مثال 5.21

بسّط كل تعبير بتطبيق عدة خصائص:

حل

استخدم الترميز العلمي

قد يكون العمل مع أعداد كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا أمرًا محرجًا. نظرًا لأن نظام الأعداد لدينا هو أساس عشرة ، يمكننا استخدام قوى العدد عشرة لإعادة كتابة الأعداد الكبيرة جدًا أو الصغيرة جدًا لتسهيل التعامل معها. ضع في اعتبارك الأرقام 4000 و 0.004.

باستخدام القيمة المكانية ، يمكننا إعادة كتابة العددين 4000 و 0.004. نعلم أن 4000 تعني 4 × 1000 4 × 1000 وأن 0.004 تعني 4 × 1 1000. 4 × 1 1،000.

إذا كتبنا 1000 في صورة قوة عشرة في الصورة الأسية ، فيمكننا إعادة كتابة هذه الأرقام بهذه الطريقة:

عندما يتم كتابة رقم على أنه حاصل ضرب رقمين ، حيث يكون العامل الأول أكبر من أو يساوي واحدًا ولكن أقل من عشرة ، والعامل الثاني هو قوة 10 مكتوبة في شكل أسي ، يُقال إنه في الترميز العلمي .

الترميز العلمي

يتم التعبير عن الرقم في الترميز العلمي عندما يكون من الشكل

إذا نظرنا إلى ما حدث للفاصلة العشرية ، يمكننا أن نرى طريقة للتحويل بسهولة من التدوين العشري إلى التدوين العلمي.

في كلتا الحالتين ، تم نقل العلامة العشرية 3 أماكن للحصول على العامل الأول بين 1 و 10.

قوة 10 موجبة عندما يكون الرقم أكبر من 1: 4000 = 4 × 10 3 4000 = 4 × 10 3

قوة 10 سالبة عندما يكون الرقم بين 0 و 1: 0.004 = 4 × 10 −3 0.004 = 4 × 10 3

كيف

لتحويل عدد عشري إلى تدوين علمي.

  1. الخطوة 1. حرك الفاصلة العشرية بحيث يكون العامل الأول أكبر من أو يساوي 1 ولكن أقل من 10.
  2. الخطوة 2. عد عدد المنازل العشرية ، ن، أن الفاصلة العشرية قد تم نقلها.
  3. الخطوة 3. اكتب الرقم كمنتج بقوة 10. إذا كان الرقم الأصلي هو.
    • أكبر من 1 ، قوة 10 ستكون 10 ن. 10 ن.
    • بين 0 و 1 ، قوة 10 ستكون 10 - ن. 10 - ن.
  4. الخطوة 4. تحقق.

مثال 5.22

اكتب بالتدوين العلمي: 37000 ،000 0.0052. 0.0052.

حل

اكتب تدوينًا علميًا: ⓐ 96000 0.0078.

اكتب بالتدوين العلمي: ⓐ 48300 ⓑ 0.0129.

كيف يمكننا التحويل من التدوين العلمي إلى الشكل العشري؟ دعونا نلقي نظرة على رقمين مكتوبين بالتدوين العلمي ونرى.

إذا نظرنا إلى موقع الفاصلة العشرية ، يمكننا أن نرى طريقة سهلة لتحويل رقم من التدوين العلمي إلى الشكل العشري.

في كلتا الحالتين ، تحركت العلامة العشرية 4 أماكن. عندما كان الأس موجبًا ، انتقلت العلامة العشرية إلى اليمين. عندما كان الأس سالبًا ، انتقلت الفاصلة العشرية إلى اليسار.

كيف

تحويل الترميز العلمي إلى شكل عشري.

  1. الخطوة 1. تحديد الأس ، ن، على العامل 10.
  2. الخطوة 2. انقل العلامة العشرية ن الأماكن ، مضيفا الأصفار إذا لزم الأمر.
    • إذا كان الأس موجبًا ، حرك الفاصلة العشرية ن أماكن على اليمين.
    • إذا كان الأس سالبًا ، حرك الفاصلة العشرية | ن | | ن | أماكن على اليسار.
  3. الخطوة 3. تحقق.

مثال 5.23

حوّل إلى صورة عشرية: 6.2 × 10 3 6.2 × 10 3 ⓑ −8.9 × 10 −2. −8.9 × 10 −2.

حل

حدد الأس ، ن، على العامل 10.
الأس هو 3.
بما أن الأس موجب ، حرك
العلامة العشرية 3 أماكن على اليمين.
أضف الأصفار حسب الحاجة للعناصر النائبة.

حوّل إلى صورة عشرية: ⓐ 1.3 × 10 3 1.3 × 10 3 ⓑ −1.2 × 10 −4. −1.2 × 10 −4.

حوّل إلى صورة عشرية: ⓐ −9.5 × 10 4 −9.5 × 10 4 ⓑ 7.5 × 10 2. 7.5 × 10 2.

عندما يقوم العلماء بإجراء حسابات بأعداد كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا ، فإنهم يستخدمون الرموز العلمية. يوفر الترميز العلمي طريقة لإجراء العمليات الحسابية دون كتابة الكثير من الأصفار. سنرى كيف تُستخدم خصائص الأس في ضرب وقسمة الأرقام في شكل علمي.

مثال 5.24

اضرب أو اقسم كما هو محدد. اكتب الإجابات بالصيغة العشرية: ⓐ (4 × 10 5) (2 × 10 −7) (−4 × 10 5) (2 × 10 −7) ⓑ 9 × 10 3 3 × 10 2. 9 × 10 3 3 × 10 2.

حل

اضرب أو اقسم كما هو محدد. اكتب الإجابات بالصيغة العشرية:

اضرب أو اقسم كما هو محدد. اكتب الإجابات بالصيغة العشرية:

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسات إضافية باستخدام خصائص الضرب للأسس.

القسم 5.2 تمارين

مع التدريب يأتي الإتقان

تبسيط التعابير باستخدام خصائص الأس

في التدريبات التالية ، بسّط كل تعبير باستخدام خصائص الأس.

استخدم تعريف الأس السالب

في التمارين التالية ، بسّط كل تعبير.

في التدريبات التالية ، قم بتبسيط كل تعبير باستخدام خاصية المنتج.

في التدريبات التالية ، قم بتبسيط كل تعبير باستخدام خاصية الطاقة.

في التدريبات التالية ، قم بتبسيط كل تعبير باستخدام المنتج إلى خاصية الطاقة.

في التدريبات التالية ، قم بتبسيط كل تعبير باستخدام الحاصل إلى خاصية الطاقة.

في التدريبات التالية ، قم بتبسيط كل تعبير بتطبيق عدة خصائص.

الممارسة المختلطة

في التمارين التالية ، بسّط كل تعبير.

(1 2 x 2 y 3) 4 (4 x 5 y 3) 2 (1 2 x 2 y 3) 4 (4 x 5 y 3) 2

(1 3 م 3 ن 2) 4 (9 م 8 ن 3) 2 (1 3 م 3 ن 2) 4 (9 م 8 ن 3) 2

(−4 م −3) 2 (5 م 4) 3 (−10 م 6) 3 (−4 م −3) 2 (5 م 4) 3 (−10 م 6) 3

(−10 ن −2) 3 (4 ن 5) 2 (2 ن 8) 2 (−10 ن −2) 3 (4 ن 5) 2 (2 ن 8) 2

استخدم الترميز العلمي

في التدريبات التالية ، اكتب كل رقم بالتدوين العلمي.

في التدريبات التالية ، قم بتحويل كل رقم إلى شكل عشري.

في التدريبات التالية ، اضرب أو اقسم كما هو محدد. اكتب إجابتك في صورة عشرية.

تمارين الكتابة

استخدم خاصية المنتج للأسس لتوضيح سبب x · x = x 2. س · س = س 2.

عندما تحول رقمًا من رمز عشري إلى رمز علمي ، كيف تعرف أن الأس سيكون موجبًا أم سالبًا؟

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ بعد مراجعة قائمة التحقق هذه ، ما الذي ستفعله لتصبح واثقًا من جميع الأهداف؟

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة اقتباس مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Intermediate Algebra 2e
    • تاريخ النشر: 6 مايو 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/5-2-properties-of-exponents-and-scientific-notation

    © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    نظرًا لأن العدد الأصلي كان أكبر من 10 ، فإن الأس 10 موجب. تذكر أننا نقلنا العلامة العشرية 1 مرات ، إذن الأس هو موجب 1:

    يجعل الترميز العلمي ، أو النموذج القياسي ، الأمور أسهل عند العمل بأرقام صغيرة جدًا أو كبيرة جدًا ، وكلاهما يظهر بشكل متكرر في مجالات العلوم والهندسة. يتم استخدامه في العلم ، على سبيل المثال ، لنقل كتلة الأجرام السماوية: كتلة كوكب المشتري هي 1.898 * 10 ^ (27) كجم ، وهو أسهل في الفهم من كتابة الرقم 1898 متبوعًا بـ 24 صفرًا. يجعل الترميز العلمي أيضًا حل المشكلات التي تستخدم مثل هذه الأرقام العالية أو المنخفضة أكثر وضوحًا.


    المصادر المفتوحة لكلية الجبر في المجتمع

    قد يكون من الصعب الكتابة والحساب باستخدام الأرقام الكبيرة والصغيرة جدًا. يمكن أن تظهر هذه الأنواع من الأرقام في العلوم. على سبيل المثال في علم الأحياء ، قد يكون سمك شعرة الإنسان (0.000181 ) مترًا. وأقرب ما يصل إليه المريخ من الشمس هو (206620000 ) متر. يؤدي تتبع الخانات العشرية والأصفار الزائدة إلى زيادة احتمالية ارتكاب الأخطاء. في هذا القسم ، نناقش تنسيقًا يستخدم للأعداد الكبيرة جدًا والصغيرة جدًا والتي تساعد في التخفيف من المشكلات المتعلقة بهذه الأرقام.

    الشكل 8.1.1. درس فيديو بديل

    القسم الفرعي 8.1.1 أساسيات التدوين العلمي

    قفز الدين الفيدرالي في السنة المالية 2016 ( 1 $ <،> 422 <،> 827 <،> 047 <،> 452.46 ) - هذا ($ 12 <،> 036 ) لكل أسرة.

    تنص المقالة أيضًا لاحقًا على:

    بحلول نهاية العمل في 30 سبتمبر 2016 ، اليوم الأخير من السنة المالية 2016 ، ارتفع إلى ( 19 $ <،> 573 <،> 444 <،> 713 <،> 936.79 text <.> )

    عند تقديمه في هذا التنسيق ، قد تكون محاولة فهم قيمة هذه الأرقام ساحقة. بشكل أكثر شيوعًا ، سيتم تقديم هذه الأرقام بطريقة وصفية:

    ارتفع الدين الاتحادي بمقدار (1.42 ) تريليون دولار عام 2016.

    بلغ الدين الفيدرالي (19.6 ) تريليون دولار في ختام العمل يوم 30 سبتمبر 2016.

    في العلوم والحكومة والأعمال والعديد من التخصصات الأخرى ، ليس من غير المألوف التعامل مع أعداد كبيرة جدًا مثل هذه. عندما تصبح الأرقام كبيرة بهذا الحجم ، قد يكون من الصعب التمييز عندما يتكون الرقم من أحد عشر رقمًا وعندما يتكون من اثني عشر.

    لدينا لغة وصفية لجميع الأرقام بناءً على القيمة المكانية للأرقام المختلفة: واحد ، عشرات ، آلاف ، عشرة آلاف ، إلخ. نحن نميل إلى الاعتماد على هذه اللغة أكثر عندما نبدأ في التعامل مع أعداد أكبر. فيما يلي مخطط لبعض الأرقام الأكثر شيوعًا التي نراها ونستخدمها في العالم من حولنا:

    عدد الاسم باللغة الإنجليزية الأمريكية قوة (10 ​​)
    (1) واحد (10^<0>)
    (10) عشرة (10^<1>)
    (100) مائة (10^<2>)
    (1<,>000) ألف (10^<3>)
    (10<,>000) عشرة آلاف (10^<4>)
    (100<,>000) مئة الف (10^<5>)
    (1<,>000<,>000) مليون واحد (10^<6>)
    (1<,>000<,>000<,>000) مليار واحد (10^<9>)
    الشكل 8.1.2. عدد صلاحيات (10 ​​)

    كل رقم أعلاه له قوة مقابلة تساوي عشرة وستكون قوة العشرة هذه مهمة عندما نبدأ العمل مع المحتوى في هذا القسم. تغطي هذه اللغة الوصفية أيضًا أعدادًا أكبر: تريليون ، كوادريليون ، كوينتيليون ، سكستيليون ، سبتيليون ، وما إلى ذلك. هناك أيضًا لغة مقابلة لوصف أعداد صغيرة جدًا ، مثل الألف ، المليون ، المليار ، التريليون ، إلخ.

    عبر قرون من التقدم العلمي ، أصبحت البشرية تدرك بشكل متزايد الأعداد الكبيرة جدًا والقياسات الصغيرة جدًا. على سبيل المثال ، النجم الأقرب لشمسنا هو Proxima Centauri 2 imagine.gsfc.nasa.gov/features/cosmic/nearest_star_info.html. يقع Proxima Centauri على بعد حوالي (25 <،> 000 <،> 000 <،> 000 <،> 000 ) ميل من شمسنا. مرة أخرى ، سيجد الكثيرون اللغة الوصفية أسهل في القراءة: يقع Proxima Centauri على بعد حوالي (25 ) تريليون ميل من شمسنا.

    لجعل الحسابات التي تتضمن مثل هذه الأرقام أكثر قابلية للإدارة ، تم إنشاء تدوين موحد يسمى "التدوين العلمي". أساس الترميز العلمي هو حقيقة أن الضرب أو القسمة على قوة (10 ​​) سيؤدي إلى تحريك الفاصلة العشرية لعدد كبير من الأماكن إلى اليمين أو اليسار ، على التوالي. لذلك أولاً ، دعنا نتوقف لحظة لمراجعة هذا المستوى من الحساب الأساسي.

    نقطة تفتيش 8.1.3.

    ضرب رقم في (10 ​​^ n ) حيث (n ) عدد صحيح موجب له تأثير نقل الفاصلة العشرية (n ) أماكن إلى اليمين.

    يمكن كتابة كل رقم كمنتج لعدد بين (1 ) و (10 ​​) وقوة (10 ​​ نص <.> ) على سبيل المثال ، (650 = 6.5 مرات 100 نص) <.> ) بما أن (100 = 10 ^ 2 text <،> ) يمكننا أيضًا الكتابة

    وهذا هو أول مثال لنا لكتابة رقم بالتدوين العلمي.

    التعريف 8.1.4.

    يتم كتابة الرقم الموجب عندما يكون على الشكل (a times 10 ^ n ) حيث (n ) عبارة عن عدد صحيح و (1 le a lt 10 text <.> ) بمعنى آخر ، (أ ) به رقم واحد غير صفري على يسار المكان العشري. الأس (n ) المستخدم هنا يسمى الرقم. يُطلق على الرقم (أ ) أحيانًا اسم أو.

    لا تتطلب بعض الاصطلاحات أن يكون (أ ) بين (1 ) و (10 ​​ نص <،> ) باستثناء القيمتين ، ولكن هذا هو العرف المستخدم في هذا الكتاب.

    بعض الآلات الحاسبة وقراءات الكمبيوتر لا يمكنها عرض الأس بخط مرتفع. في بعض الحالات ، ستعرض هذه الأجهزة الترميز العلمي بالصيغة 6.5E2 بدلاً من (6.5 times10 ^ 2 text <.> )

    القسم الفرعي 8.1.2 الترميز العلمي للأعداد الكبيرة

    لكتابة رقم أكبر من (10 ​​) في التدوين العلمي ، مثل (89412 text <،> ) أولاً ، اكتب الرقم بالفاصلة العشرية مباشرةً بعد الرقم الأول ، مثل (8.9412 text <.> ) ) الآن قم بحساب عدد الأماكن الموجودة بين مكان العلامة العشرية في الأصل ومكانها الآن.

    استخدم هذا العدد كقوة لـ (10 ​​ text <.> ) في هذا المثال ، لدينا

    ينقل الترميز العلمي "جوهر" الرقم ( (8.9412 )) ثم حجمه أو ترتيب المقدار ( (10 ​​^ 4 )).

    مثال 8.1.5.

    للتعرف على كيفية عمل الترميز العلمي ، دعنا نفكر في تحويل الأطوال المألوفة من الوقت إلى الثواني.

    طول الوقت الطول بالثواني الترميز العلمي
    ثانية واحدة 1 ثانية (1 مرات 10 ^ <0> ) ثانية
    دقيقة واحدة 60 ثانية (6 مرات 10 ^ <1> ) ثانية
    ساعة واحدة 3600 ثانية (3.6 مرات 10 ^ <3> ) ثانية
    شهر واحد 2628000 ثانية (2.628 مرات 10 ^ <6> ) ثانية
    عشر سنوات 315400000 ثانية (3.154 times 10 ^ <8> ) ثانية
    79 سنة (حوالي العمر) 2،491،000،000 ثانية (2.491 مرات 10 ^ <9> ) ثانية

    لاحظ أن تقريبًا (2.6 ) مليون الثواني شهر واحد بينما تقريبًا (2.5 ) مليار الثواني هي عمر كامل.

    نقطة تفتيش 8.1.6.
    نقطة تفتيش 8.1.7.

    القسم الفرعي 8.1.3 الترميز العلمي للأعداد الصغيرة

    يمكن أن يكون الترميز العلمي مفيدًا أيضًا عند العمل بأرقام أصغر من (1 نص <.> ) كما رأينا في الشكل 8.1.2 ، يمكننا تمثيل الآلاف والملايين والمليارات والتريليونات وما إلى ذلك ، مع الأسس الصحيحة الموجبة على (10 ​​ نص <.> ) يمكننا بالمثل تمثيل الأرقام الأصغر من (1 ) (والتي تُكتب في صورة أعشار ، ومئات ، وأجزاء ، ومليون ، ومليار ، وتريليون ، وما إلى ذلك) ، باستخدام نفي الأسس الصحيحة على (10 ​​ text <.> ) تم توضيح هذه العلاقة في الشكل 8.1.8.

    عدد الاسم الانجليزي قوة (10 ​​)
    (1) واحد (10^<0>)
    (0.1) عشر ( فارك <1> <10> = 10 ^ <-1> )
    (0.01) المائة ( فارك <1> <100> = 10 ^ <-2> )
    (0.001) ألف ( فارك <1> <1 <،> 000> = 10 ^ <-3> )
    (0.0001) واحد على عشرة آلاف ( frac <1> <10 <،> 000> = 10 ^ <-4> )
    (0.00001) مائة ألف ( frac <1> <100 <،> 000> = 10 ^ <-5> )
    (0.000001) واحد مليون ( frac <1> <1 <،> 000 <،> 000> = 10 ^ <-6> )
    (0.000000001) واحد مليار ( frac <1> <1 <،> 000 <،> 000 <،> 000> = 10 ^ <-9> )
    الشكل 8.1.8. عدد صحيح سلبي من (10 ​​)

    لنرى كيف يعمل هذا مع رقم آخر غير (1 text <،> ) دعنا نلقي نظرة على (0.005 text <.> ) عندما نذكر (0.005 ) كرقم ، نقول "خمسة آلاف . " وبالتالي (0.005 = 5 times frac <1> <1000> text <.> ) يمكن كتابة الكسر ( frac <1> <1000> ) كـ ( frac <1> <10 ^ 3> text <،> ) الذي نعرف أنه يعادل (10 ​​^ <-3> text <.> ) باستخدام الأس السالب ، يمكننا بعد ذلك إعادة كتابة (0.005 ) كـ (5 times10 ^ <-3> text <.> ) هذا هو التدوين العلمي لـ (0.005 text <.> )

    من الناحية العملية ، لن نقوم بهذا القدر من العمليات الحسابية بشكل عام. لكتابة عدد صغير في الترميز العلمي ، نبدأ كما فعلنا من قبل ونضع الفاصلة العشرية خلف أول رقم غير صفري. ثم نحسب عدد المنازل العشرية بين المكان الذي كانت فيه العلامة العشرية في الأصل ومكانها الآن. ضع في اعتبارك أن الأسس السالبة للعشرة تُستخدم للمساعدة في تمثيل أعداد صغيرة جدًا (أصغر من (1 )) وتستخدم قوى موجبة العشرة لتمثيل أعداد كبيرة جدًا (أكبر من (1 )). لذلك لتحويل (0.005 ) إلى رمز علمي ، لدينا:

    مثال 8.1.9.

    في ميكانيكا الكم ، توجد قيمة مهمة تسمى ثابت بلانك 3 en.wikipedia.org/wiki/Planck_constant. مكتوبًا في صورة رقم عشري ، فإن قيمة ثابت بلانك (مقربًا إلى ستة أرقام معنوية) هي

    في التدوين العلمي ، سيكون هذا الرقم (6.62607 مرات 10 ^ < mathord <؟ >> text <.> ) لتحديد الأس ، نحتاج إلى حساب عدد الأماكن من حيث العدد العشري في الأصل إلى المكان سنقوم بنقلها (باتباع "6" الأولى):

    إذن في التدوين العلمي ، ثابت بلانك هو (6.62607 مرات 10 ^ <-34> نص <.> ) سيكون من الأسهل بكثير استخدام (6.62607 مرات 10 ^ <-34> ) في الحساب ، ومن المزايا الإضافية أن التدوين العلمي ينقل بسرعة كلاً من قيمة وترتيب حجم ثابت بلانك.

    نقطة تفتيش 8.1.10.
    نقطة تفتيش 8.1.11.
    نقطة تفتيش 8.1.12.

    القسم الفرعي 8.1.4 الضرب والقسمة باستخدام الترميز العلمي

    أحد الأسباب الرئيسية لوجود تدوين علمي هو جعل الحسابات التي تتضمن أعدادًا كبيرة أو صغيرة للغاية أسهل في الأداء. من خلال فصل ترتيب المقدار في الترميز العلمي ، يمكننا فصل أي عملية حسابية إلى مكونين.

    مثال 8.1.13.

    في 30 سبتمبر 2016 ، كان الدين الفيدرالي للولايات المتحدة حوالي ( 19 $ <،> 600 <،> 000 <،> 000 <،> 000 ) وكان عدد سكان الولايات المتحدة حوالي (323 <،> 000 <، > 000 text <.> ) ما هو متوسط ​​الدين للفرد في ذلك اليوم؟

    احسب الإجابة باستخدام الأرقام المقدمة ، والتي ليست في صيغة علمية.

    أولاً ، تأكد من أن القيم المعطاة في التدوين العلمي هي (1.96 times 10 ^ <13> ) و (3.23 times 10 ^ 8 text <.> ) ثم احسب الإجابة باستخدام الترميز العلمي.

    لقد طُلب منا الإجابة عن نفس السؤال ، ولكن لإجراء العملية الحسابية باستخدام طريقتين مختلفتين. في كلتا الحالتين ، سنحتاج إلى تقسيم الدين على عدد السكان.

    قد نحتاج إلى استخدام آلة حاسبة للتعامل مع مثل هذه الأعداد الكبيرة وعلينا أن نكون حريصين على كتابة العدد الصحيح من 0 ثانية.

    لإجراء هذا الحساب باستخدام التدوين العلمي ، سيبدأ عملنا بإعداد حاصل القسمة على النحو ( frac <1.96 times 10 ^ <13>> <3.23 times 10 ^ 8> text <.> ) قسمة حاصل القسمة يتبع نفس العملية التي فعلناها مع التعبيرات المتغيرة من نفس التنسيق ، مثل ( frac <1.96 w ^ <13>> <3.23 w ^ 8> text <.> ) في كلتا الحالتين ، سنقسم المعاملات ثم استخدم قواعد الأس لتبسيط القوى.

    كان نصيب الفرد من الدين الفيدرالي في الولايات المتحدة في 30 سبتمبر 2016 حوالي ( 60 دولارًا <،> 681.11 ) للفرد. يعطينا كلا الحسابين نفس الإجابة ، لكن الحساب الذي يعتمد على التدوين العلمي به مساحة أقل للخطأ ويسمح لنا بإجراء الحساب كخطوتين أصغر.

    عندما نضرب أو نقسم الأعداد المكتوبة بنظام التدوين العلمي ، يجب أن نفصل حساب المعاملات عن حساب قوى العشرة ، تمامًا كما قمنا بتبسيط التعبيرات السابقة باستخدام المتغيرات وقواعد الأس.

    مثال 8.1.14.

    اضرب ( يسار (2 مرات 10 ^ 5 يمين) يسار (3 مرات 10 ^ 4 يمين) نص <.> )

    سنبسط جزئي الدلالة / الجزء العشري كخطوة واحدة ثم نبسط قوى (10 ​​) كخطوة منفصلة.

    (يبدأ[t] يسار (2 مرات 10 ^ 5 يمين) يسار (3 مرات 10 ^ 4 يمين) أمبير = يسار (2 مرات 3 يمين) مرات يسار (10 ^ 5 مرات 10 ^ 4 يمين) أمبير = 6 مرات 10 ^ <9> نهاية)

    في كثير من الأحيان عندما نضرب أو نقسم الأرقام في الترميز العلمي ، فلن تكون القيمة الناتجة في التدوين العلمي. لنفترض أننا نضرب ( left (9.3 times 10 ^ <17> right) left (8.2 times 10 ^ <-6> right) ) ونحتاج إلى ذكر إجابتنا باستخدام الترميز العلمي. سنبدأ كما فعلنا سابقًا:

    في حين أن هذه قيمة صحيحة ، إلا أنها لا تكتب باستخدام الرموز العلمية. تتمثل إحدى طرق تحويل هذه الإجابة إلى تدوين علمي في تحويل المعامل فقط إلى رمز علمي وتجاهل قوة العشرة مؤقتًا:

    الآن بعد أن يتناسب المعامل مع الصيغة الصحيحة ، يمكننا جمع قوى العدد عشرة وكتابة إجابتنا باستخدام الترميز العلمي.

    مثال 8.1.15.

    اضرب أو اقسم كما هو محدد. اكتب إجابتك باستخدام التدوين العلمي.

    مرة أخرى ، سنفصل عمل الدلالة / الجزء العشري من الشغل لقوى العدد عشرة. إذا لم يكن المعامل الناتج بين (1 ) و (10 ​​ نص <،> ) ، فسنحتاج إلى تعديل هذا المعامل لوضعه في الترميز العلمي.

    (يبدأ[t] left (8 times 10 ^ <21> right) left (2 times 10 ^ <-7> right) amp = left (8 times 2 right) times left ( 10 ^ <21> مرات 10 ^ <-7> يمين) أمبير = تمييز <16> مرات 10 ^ <14> amp = تمييز <1.6 مرات 10 ^ 1> مرات 10 ^ <14> amp = 1.6 مرات 10 ^ <15> end)

    علينا أن نتذكر تطبيق قاعدة حاصل الضرب للأسس على أس عشرة.

    هناك أوقات يتعين علينا فيها رفع الأرقام المكتوبة بالتدوين العلمي إلى قوة. على سبيل المثال ، افترض أن علينا إيجاد مساحة مربع نصف قطره (3 ضرب 10 ^ 7 ) قدم. لإجراء هذا الحساب ، نتذكر أولاً صيغة مساحة المربع ، (A = s ^ 2 ) ثم نستبدل (3 times 10 ^ 7 ) بـ (s text <:> ) (A = left (3 times 10 ^ 7 right) ^ 2 text <.> ) لإجراء هذه العملية الحسابية ، علينا أن نتذكر استخدام حاصل الضرب لقاعدة الأس والقوة إلى أس. قاعدة:

    أسئلة القراءة 8.1.5 أسئلة القراءة

    أي رقم كبير جدًا وأي رقم صغير جدًا؟

    نظرًا لأن بعض شاشات الكمبيوتر / الآلة الحاسبة لا يمكنها عرض الأس ، فكيف يمكن لجهاز كمبيوتر / آلة حاسبة عرض الرقم (2.318 times10 ^ <13> text <؟> )

    لماذا نهتم بالحصول على تدوين علمي للأرقام؟

    تمارين 8.1.6 تمارين

    التحويل من وإلى التدوين العلمي

    اكتب الرقم التالي في التدوين العلمي.

    اكتب الرقم التالي في التدوين العلمي.

    اكتب الرقم التالي في التدوين العلمي.

    اكتب الرقم التالي في التدوين العلمي.

    اكتب الرقم التالي في التدوين العلمي.

    اكتب الرقم التالي في التدوين العلمي.

    اكتب الرقم التالي في التدوين العلمي.

    اكتب الرقم التالي في التدوين العلمي.

    اكتب الرقم التالي بالتدوين العشري بدون استخدام الأس.

    اكتب الرقم التالي بالتدوين العشري بدون استخدام الأس.

    اكتب الرقم التالي بالتدوين العشري بدون استخدام الأس.

    اكتب الرقم التالي بالتدوين العشري بدون استخدام الأس.

    اكتب الرقم التالي بالتدوين العشري بدون استخدام الأس.

    اكتب الرقم التالي بالتدوين العشري بدون استخدام الأس.

    اكتب الرقم التالي بالتدوين العشري بدون استخدام الأس.

    اكتب الرقم التالي بالتدوين العشري بدون استخدام الأس.

    اكتب الرقم التالي بالتدوين العشري بدون استخدام الأس.

    اكتب الرقم التالي بالتدوين العشري بدون استخدام الأس.

    الحساب مع التدوين العلمي

    اضرب الأرقام التالية ، اكتب إجابتك بالترميز العلمي.

    اضرب الأرقام التالية ، اكتب إجابتك بالترميز العلمي.

    اضرب الأرقام التالية ، اكتب إجابتك بالترميز العلمي.

    اضرب الأرقام التالية ، اكتب إجابتك بالترميز العلمي.

    اضرب الأرقام التالية ، اكتب إجابتك بالترميز العلمي.

    اضرب الأرقام التالية ، اكتب إجابتك بالترميز العلمي.

    اقسم الأرقام التالية ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    اقسم الأرقام التالية ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    اقسم الأرقام التالية ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    اقسم الأرقام التالية ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    اقسم الأرقام التالية ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    اقسم الأرقام التالية ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    اقسم الأرقام التالية ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    اقسم الأرقام التالية ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    اقسم الأرقام التالية ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    اقسم الأرقام التالية ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    اقسم الأرقام التالية ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    اقسم الأرقام التالية ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    بسّط التعبير التالي ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    بسّط التعبير التالي ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    بسّط التعبير التالي ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    بسّط التعبير التالي ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    بسّط التعبير التالي ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.

    بسّط التعبير التالي ، واكتب إجابتك بالتدوين العلمي.


    5.2: استخدام التدوين العلمي - الرياضيات

    يجب أن يكون كل رقم في الترميز العلمي بصيغة & # xa0

    أين & # xa0 1 & # xa0 ≤ a & lt 10 & # xa0and & # xa0 ن & # xa0 يجب أن يكون عددًا صحيحًا موجبًا أو سالبًا. & # xa0

    لتحويل رقم إلى رمز علمي ، علينا أولاً تحديد مكان الفاصلة العشرية والأرقام غير الصفرية. & # xa0

    فيه حالتان & # xa0

    لتحريك الفاصلة العشرية إلى اليسار ، يتعين علينا حساب عدد الأرقام كما هو موضح في المثال الموضح أدناه. & # xa0

    وفقًا للمثال الموضح أعلاه ، يتعين علينا تحريك العلامة العشرية 3 أرقام إلى اليسار ويجب أن يكون الأس 10 هو 3 (عدد صحيح موجب)

    عندما نفعل ذلك ، نحصل على الترميز العلمي للرقم المحدد. & # xa0

    ومن ثم ، 2301.8 = 2.3018 × 10³

    لتحريك الفاصلة العشرية إلى اليمين ، يتعين علينا حساب عدد الأرقام كما هو موضح في المثال الموضح أدناه. & # xa0

    وفقًا للمثال الموضح أعلاه ، يتعين علينا نقل العلامة العشرية 5 أرقام إلى اليمين ويجب أن يكون الأس 10 هو -5 (عدد صحيح سالب)

    عندما نفعل ذلك ، نحصل على الترميز العلمي للرقم المحدد. & # xa0

    ومن ثم ، 0.000023 = 2.3 × 10

    إذا لم نجد فاصلة عشرية في أي مكان من الرقم المحدد ، فعلينا أن نفترض أن هناك فاصلة عشرية في نهاية الرقم.

    هنا ، يأتي الرقم غير الصفري أولاً ، وتأتي العلامة العشرية بعد ذلك. لذلك علينا تطبيق الحالة 1 لتحويل هذا الرقم إلى رمز علمي. & # xa0 & # xa0

    إذا كنت ترغب في ممارسة مشاكل على الأس ،

    إذا كنت ترغب في ممارسة مشاكل في التدوين العلمي ،

    بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا. & # xa0

    إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

    نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

    يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


    5.2: استخدام التدوين العلمي - الرياضيات

    التعبيرات والمعادلات 8.EE

    اعمل مع الجذور والأسس الصحيحة.

    يتواصل الطلاب المتمرسون رياضيًا بدقة من خلال الانخراط في مناقشة حول تفكيرهم باستخدام لغة رياضية مناسبة. المصطلحات التي يجب على الطلاب تعلم استخدامها بدقة متزايدة مع هذه المجموعة هي: قوانين الأس ، القوة ، المربعات الكاملة ، المكعبات الكاملة ، الجذر ، الجذر التربيعي ، الجذر التكعيبي ، الترميز العلمي ، الشكل القياسي للعدد. يجب أن يكون الطلاب أيضًا قادرين على قراءة واستخدام الرمز: ±

    التفريغ: ماذا يعني هذا المعيار أن الطالب سيعرف ويكون قادرًا على فعله؟

    8.EE.1 يعرف ويطبق خصائص الأس الصحيح لتوليد تعبيرات عددية مكافئة. على سبيل المثال،

    8.EE.1 في الصف السادس ، كتب الطلاب وقيموا التعبيرات العددية البسيطة ذات الأسس الصحيحة (أي 5 3 = 5 • 5 • 5 = 125). يتم تطوير الأس الصحيح (الموجب والسالب) بشكل أكبر لتوليد تعبيرات عددية مكافئة عند ضرب أو تقسيم أو رفع قوة إلى أس. Using numerical bases and the laws of exponents, students generate equivalent expressions. Students understand:

    • Bases must be the same before exponents can be added, subtracted or multiplied. (Example 1)

    • Exponents are subtracted when like bases are being divided

    • A number raised to the zero (0) power is equal to one. (Example 3)

    • Negative exponents occur when there are more factors in the

    denominator. These exponents can be expressed as a positive if left

    in the denominator. (Example 4)

    • Exponents are added when like bases are being multiplied

    • Exponents are multiplied when an exponents is raised to an exponent

    • Several properties may be used to simplify an expression

    2 2 2 6 = 2 2-6 = 2 -4 = 1 2 4 =1/16

    6 0 =1 Students understand this relationship from examples such as

    6 2 6 2 . This expression could be simplified as 36 36 =1 . Using the laws

    of exponents this expression could also be written as 6 2-2 = 6 0 .

    Combining these gives 6 0 =1 .

    3 -2 2 4 = 3 -2 1 2 4 = 1 3 2 1 2 4 = 1 9 1 16 = 1 144

    ( 3 2 ) 4 ( 3 2 )( 3 3 ) = 3 2 4 3 2+3 = 3 8 3 5 = 3 8-5 = 3 3 =27

    Unpacking: What does this standard mean that a student will know and be able to do?

    8.EE.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions to equations of the form x 2 = and x 3 =p , where p is a positive rational number. Evaluate square roots of small perfect squares and cube roots of small perfect cubes. Know that √2 is irrational.

    8.EE.2 Students recognize perfect squares and cubes, understanding that non-perfect squares and non-perfect cubes are irrational. Students recognize that squaring a number and taking the square root √ of a number are inverse operations likewise, cubing a number and taking the cube root 3 are inverse operations.

    NOTE: (-4 ) 2 =16 while - 4 2 =16 since the negative is not

    being squared. This difference is often problematic for students,

    especially with calculator use.

    ( 1 3 ) 3 = 1 3 3 3 = 1 27 and 3 1 27 = 3 1 3 27 = 1 3

    NOTE: there is no negative cube root since multiplying 3 negatives

    would give a negative. This understanding is used to solve equations

    containing square or cube numbers. Rational numbers would have

    perfect squares or perfect cubes for the numerator and denominator.

    In the standard, the value of p for square root and cube root

    equations must be positive.

    NOTE: There are two solutions because 5 • 5 and -5 • -5 will both

    Students understand that in geometry the square root of the area is

    the length of the side of a square and a cube root of the volume is the

    length of the side of a cube. Students use this information to solve

    problems, such as finding the perimeter.

    What is the side length of a square with an area of 49 f t 2 ?

    The length of one side is 7 ft.

    Unpacking: What does this standard mean that a student will know and be able to do?

    8.EE.3 Use numbers expressed in the form of a single digit times an integer power of 10 to estimate very large or very small quantities, and to express how many times as much one is than the other. For example, estimate the population of the United States as 3 1 0 8 and the population of the world as 7 1 0 9 , and determine that the world population is more than 20 times larger.

    8.EE.3 Students use scientific notation to express very large or very small numbers. Students compare and interpret scientific notation quantities in the context of the situation, recognizing that if the exponent increases by one, the value increases 10 times. Likewise, if the exponent decreases by one, the value decreases 10 times. Students solve problems using addition, subtraction or multiplication, expressing the answer in scientific notation.

    Write 75,000,000,000 in scientific notation.

    Write 0.0000429 in scientific notation.

    Express 2.45 x 1 0 5 in standard form.

    How much larger is 6 1 0 5 compared to 2 1 0 3

    Solution: 300 times larger since 6 is 3 times larger than 2 and 1 0 5 is

    100 times larger than 1 0 3 .

    Which is the larger value: 2 1 0 6 or 9 1 0 5 ?

    Solution: 2 1 0 6 because the exponent is larger

    Unpacking: What does this standard mean that a student will know and be able to do?

    8.EE.4 Perform operations with numbers expressed in scientific notation, including problems where both decimal and scientific notation are used. Use scientific notation and choose units of appropriate size for measurements of very large or very small quantities (e.g., use millimeters per year for seafloor spreading). Interpret scientific notation that has been generated by technology.

    Multiplication/Division with Scientific Notation

    8.EE.4 Students understand scientific notation as generated on various calculators or other technology. Students enter scientific notation using E or EE (scientific notation), * (multiplication), and ^ (exponent) symbols.

    2.45E+23 is 2.45 1 0 23 and 3.5E-4 is 3.5 1 0 -4 (NOTE: There are

    other notations for scientific notation depending on the calculator

    being used.) Students add and subtract with scientific notation.

    In July 2010 there were approximately 500 million facebook users. في

    July 2011 there were approximately 750 million facebook users. How

    many more users were there in 2011. Write your answer in scientific

    Solution: Subtract the two numbers:

    750,000,000 - 500,000,000 = 250,000,000 or 2.5 1 0 8

    Students use laws of exponents to multiply or divide numbers written

    in scientific notation, writing the product or quotient in proper

    (6.45 1 0 11 )(3.2 1 0 11 ) =(6.45 3.2)(1 0 11 1 0 4 ) Rearrange factors

    = 20.64 1 0 15 Add exponents when multiplying powers of 10

    = 2.064 1 0 16 Write in scientific notation

    3.45 6.7 1 0 5-(-2) Subtract exponents when dividing powers of 10

    =.515 1 0 7 Write in scientific notation

    (.0025)(5.2 1 0 4 )=(2.5 1 0 -3 )(5.2 1 0 5 ) Write factors in scientific

    =(2.5 5.2)(1 0 -3 1 0 5 ) Rearrange factors

    =13 1 0 2 Add exponents when multiplying powers of 10

    =1.3 1 0 3 Write in scientific notation

    The speed of light is 3 1 0 8 meters/second. If the sun is 1.5 1 0 11

    meters from earth, how many seconds does it take light to reach the

    earth? Express your answer in scientific notation.

    (light)(x) = sun, where x is the time in seconds

    Students understand the magnitude of the number being expressed

    in scientific notation and choose an appropriate corresponding unit.

    Example 7: 3 1 0 8 is equivalent to 300 million, which represents a

    large quantity. Therefore, this value will affect the unit chosen.

    Expressions and Equations 8.EE

    Understand the connections between proportional relationships, lines, and linear equations.

    Mathematically proficient students communicate precisely by engaging in discussion about their reasoning using appropriate mathematical language. The terms students should learn to use with increasing precision with this cluster are: unit rate, proportional relationships, slope, vertical, horizontal, similar triangles, y-intercept

    Unpacking: What does this standard mean that a student will know and be able to do?

    8.EE.5 Graph proportional relationships, interpreting the unit rate as the slope of the graph. Compare two different proportional relationships represented in different ways. For example, compare a distance-time graph to a distance-time equation to determine which of two moving objects has greater speed.

    Proportional Vs. NonProportional

    Graphing Proportional Relationships

    8.EE.5 Students build on their work with unit rates from 6th grade and proportional relationships in 7th grade to compare graphs, tables and equations of proportional relationships. Students identify the unit rate (or slope) in graphs, tables and equations to compare two proportional relationships represented in different ways.

    Example 1: Compare the scenarios to determine which represents a greater speed. Explain your choice including a written description of each scenario. Be sure to include the unit rates in your explanation.

    Solution: Scenario 1 has the greater speed since the unit rate is 60 miles per hour. The graph shows this rate since 60 is the distance traveled in one hour. Scenario 2 has a unit rate of 55 miles per hour shown as the coefficient in the equation.

    Given an equation of a proportional relationship, students draw a graph of the relationship. Students recognize that the unit rate is the coefficient of x and that this value is also the slope of the line.

    Unpacking: What does this standard mean that a student will know and be able to do?

    8.EE.6 Use similar triangles to explain why the slope m is the same between any two distinct points on a non-vertical line in the coordinate plane derive the equation y = mx for a line through the origin and the equation y = mx + b for a line intercepting the vertical axis at b.

    Slope and Similar Triangles

    Unpacking: What does this standard mean that a student will know and be able to do?

    8.EE.7 Solve linear equations in one variable.

    أ. Give examples of linear equations in one variable with one solution, infinitely many solutions, or no solutions. Show which of these possibilities is the case by successively transforming the given equation into simpler forms, until an equivalent equation of the form x = a, a = a, or a = b results (where a and b are different numbers).

    ب. Solve linear equations with rational number coefficients, including equations whose solutions require expanding expressions using the distributive property and collecting like terms.

    8.EE.7 Students solve one-variable equations including those with the variables being on both sides of the equals sign. Students recognize that the solution to the equation is the value(s) of the variable, which make a true equality when substituted back into the equation. Equations shall include rational numbers, distributive property and combining like terms. مثال 1:

    Equations have one solution when the variables do not cancel out. For example, 10x – 23 = 29 – 3x can be solved to x = 4. This means that when the value of x is 4, both sides will be equal. If each side of the equation were treated as a linear equation and graphed, the solution of the equation represents the coordinates of the point where the two lines would intersect. In this example, the ordered pair would be (4, 17).

    Equations having no solution have variables that will cancel out and constants that are not equal. This means that there is not a value that can be substituted for x that will make the sides equal.

    -x + 7 – 6x = 19 – 7x Combine like terms

    -7x + 7 = 19 – 7x Add 7x to each side

    This solution means that no matter what value is substituted for x the final result will never be equal to each other.

    If each side of the equation were treated as a linear equation and graphed, the lines would be parallel.

    An equation with infinitely many solutions occurs when both sides of the equation are the same. Any value of x will produce a valid equation. For example the following equation, when simplified will give the same values on both sides.

    If each side of the equation were treated as a linear equation and
    graphed, the graph would be the same line.

    Students write equations from verbal descriptions and solve.

    Two more than a certain number is 15 less than twice the number. Find the number.

    Unpacking: What does this standard mean that a student will know and be able to do?

    8.EE.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations.

    أ. Understand that solutions to a system of two linear equations in two variables correspond to points of intersection of their graphs, because points of intersection satisfy both equations simultaneously.

    ب. Solve systems of two linear equations in two variables algebraically, and estimate solutions by graphing the equations. Solve simple cases by inspection. For example, 3x + 2y = 5 and 3x + 2y = 6 have no solution because 3x + 2y cannot simultaneously be 5 and 6.

    ج. Solve real-world and mathematical problems leading to two linear equations in two variables. For example, given coordinates for two pairs of points, determine whether the line through the first pair of points intersects the line through the second pair.

    Solving Systems by Graphing

    8.EE.8 Systems of linear equations can also have one solution, infinitely many solutions or no solutions. Students will discover these cases as they graph systems of linear equations and solve them algebraically. Students graph a system of two linear equations, recognizing that the ordered pair for the point of intersection is the x-value that will generate the given y-value for both equations. Students recognize that graphed lines with one point of intersection (different slopes) will have one solution, parallel lines (same slope, different y-intercepts) have no solutions, and lines that are the same (same slope, same y-intercept) will have infinitely many solutions. By making connections between algebraic and graphical solutions and the context of the system of linear equations, students are able to make sense of their solutions. Students need opportunities to work with equations and context that include whole number and/or decimals/fractions. Students define variables and create a system of linear equations in two variables

    1. Plant A and Plant B are on different watering schedules. This affects their rate of growth. Compare the growth of the two plants to determine when their heights will be the same.

    Solution: Let W = number of weeks Let H = height of the plant after W weeks

    2. Based on the coordinates from the table, graph lines to represent each plant.

    3. Write an equation that represents the growth rate of Plant A and Plant B.

    Solution: Plant A H = 2W + 4

    4. At which week will the plants have the same height?

    After one week, the height of Plant A and Plant B are both 6 inches.

    Given two equations in slope-intercept form (Example 1) or one equation in standard form and one equation in slope-intercept form, students use substitution to solve the system.

    Solve: Victor is half as old as Maria. The sum of their ages is 54. How old is Victor?

    If Maria is 36, then substitute 36 into v + m = 54 to find Victor’s age of 18. Note: Students are not expected to change linear equations written in standard form to slope-intercept form or solve systems using elimination. For many real world contexts, equations may be written in standard form. Students are not expected to change the standard form to slope-intercept form. However, students may generate ordered pairs recognizing that the values of the ordered pairs would be solutions for the equation. For example, in the equation above, students could make a list of the possible ages of Victor and Maria that would add to 54. The graph of these ordered pairs would be a line with all the possible ages for Victor and Maria.


    DMCA Complaint

    If you believe that content available by means of the Website (as defined in our Terms of Service) infringes one or more of your copyrights, please notify us by providing a written notice (“Infringement Notice”) containing the information described below to the designated agent listed below. If Varsity Tutors takes action in response to an Infringement Notice, it will make a good faith attempt to contact the party that made such content available by means of the most recent email address, if any, provided by such party to Varsity Tutors.

    Your Infringement Notice may be forwarded to the party that made the content available or to third parties such as ChillingEffects.org.

    Please be advised that you will be liable for damages (including costs and attorneys’ fees) if you materially misrepresent that a product or activity is infringing your copyrights. Thus, if you are not sure content located on or linked-to by the Website infringes your copyright, you should consider first contacting an attorney.

    Please follow these steps to file a notice:

    You must include the following:

    A physical or electronic signature of the copyright owner or a person authorized to act on their behalf An identification of the copyright claimed to have been infringed A description of the nature and exact location of the content that you claim to infringe your copyright, in sufficient detail to permit Varsity Tutors to find and positively identify that content for example we require a link to the specific question (not just the name of the question) that contains the content and a description of which specific portion of the question – an image, a link, the text, etc – your complaint refers to Your name, address, telephone number and email address and A statement by you: (a) that you believe in good faith that the use of the content that you claim to infringe your copyright is not authorized by law, or by the copyright owner or such owner’s agent (b) that all of the information contained in your Infringement Notice is accurate, and (c) under penalty of perjury, that you are either the copyright owner or a person authorized to act on their behalf.

    Send your complaint to our designated agent at:

    Charles Cohn Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105


    What is scientific notation?

    Scientific notation is a way to express numbers that are too big or little to write in basic decimal form. Scientific notation is also referred to as standard form, scientific form or standard index form in some settings. Most frequently used by scientists, mathematicians and engineers, scientific notation allows professionals and others to write very long numbers in a much easier-to-understand manner. When using a scientific calculator, the scientific notation can be implemented by selecting the "SCI" display mode.

    Engineering notation, not to be confused with normalized scientific notation, is another type of scientific notation that restricts exponents to multiples of three, whereas normalized scientific notation uses a value to denote any number from one to ten. On scientific calculators, scientific notation is often denoted by the symbol "ENG."


    Respond to this Question

    Ms. Sue please help! 7. Suppose you earned 7t – 1 dollars on Monday and 8t + 5 dollars on Tuesday. What were your total earnings? Simplify your answer. (1 point) –t + 4 dollars –t – 6 dollars 15t – 6 dollars 15t + 4

    What are the coefficients in the polynomial 5x^2 + 2x - 4? A. 5,2 B. -5,2 C. 5,2,-4 ** D. 5,-2,-4 For questions 2 and 3 add or subtract. 2. (m^2 - m - 4) + (m - 5) A. m^2 - 2m + 9 B. m^2 + 2m - 9 C. m^2 - 2m - 9 ** D. m^2 - 9 3.

    أرض

    The radius of the sun is 695 500 km What is its approximate volume written in Scientific notation?

    Math PLZ HELP

    1. Which of the following expressions is written in scientific notation? 1. 73.4 x 105 2. 0.09 × 107 3. 80 x 103 4. 4.22 x 10–3 2. Which of the following is 0.0000000708 written in scientific notation? 1. 7.08 x 10–8 2. 7.8 x

    1. What are the steps to solve this problem? 0.000027 ÷ 0.000009 Requirements: • Explain how to use scientific notation to solve the problem. • Describe how to divide numbers written in scientific notation. • Give you final

    What are the coefficients in the polynomial 5x^2 + 2x - 4? A. 5,2 B. -5,2 C. 5,2,-4 ** D. 5,-2,-4 For questions 2 and 3 add or subtract. 2. (m^2 - m - 4) + (m - 5) A. m^2 - 2m + 9 B. m^2 + 2m - 9 C. m^2 - 2m - 9 ** D. m^2 - 9 3.

    7. Suppose you earned 7t – 1 dollars on Monday and 8t + 5 dollars on Tuesday. What were your total earnings? Simplify your answer. (1 point) –t + 4 dollars –t – 6 dollars 15t – 6 dollars 15t + 4 dollars 8. f 2 ∙ f 3 (1

    Pre-Algebra

    1. What makes the statement true? 8^-2 =? A. 64 B. 16 C. -1/64 D. 1/64 2. What is the solution to (4 x 10^3) x (6 x 10^6), written in a scientific notation? A. 24 x 10^9 B. 2.4 x 10^9 C. 24 x 10^18 D. 2.4 x 10^10 3. What is

    HELP ME. One of your friends missed the class on scientific notation. Describe how you would explain to your friend what it means for a number to be in scientific notation and how to convert a number from standard form to

    1. –(10)^–1 (1 point) –1/10*** -1/-1^10 1/10 10 2. 1/c^-5 (1 point) c^5 5c –c^5*** –5/c 3. What is the value of y^-5/x^-3 for x = 2 and y = –4? (1 point) 10/3 128 -1/128 –128*** 4. Is the number written in scientific

    . what are the steps to solve this problem? 0.000027/0.000009 requirements: explain how to use scientific notation to solve the problem describe how to divide written in scientific notation give your final answer in simplest form.

    PLEASE HELP

    What is the solution to (4 x 10^3) x (3 x 10^4) written in scientific notation? a)) 12 x 10^8 b)) 1.2 x 10^7 c)) 1.2 x 10^8 d)) 12 x 10^7 **


    Use of Scientific Notation

    Scientific notation is, essentially, a method for writing really big or really small numbers. It is called scientific notation because these tiny or huge numbers are often found in scientific work -- imagine describing the size of an atom or the mass of the earth!

    For example, you might have the number 6000000000000. That’s really big, right? Unfortunately, it isn’t easy to tell exactly كيف big at first glance with all those zeroes stuck on the end. Instead, the number could be written as 6 * 1000000000000. Then you can change the 1000000000000 to an easier to understand number: (10^12). Putting it all together, we have (6 * 10^12). Now you can compare that number to others, because the (10^12) means there are 12 zeroes at the end.

    The value of scientific notation becomes clear when you try to multiply or divide these numbers. What is (50000000 * 3000000)? You could do this relatively easily by multiplying 3 times 5 and then adding up all the zeroes, but that still takes time, and you could easily miscount all the zeroes. Instead, scientific notation allows us to multiply (5 * 10^7) times (3 *10^6). You multiply the 5 and the 3 to get 15, and then add the exponents. The answer is (15*10^13). However, in order for scientific notation to be completely correct, the number at the beginning must be between 1 and 10. The 15 has to be changed into 1.5, and to make up for this we multiply the whole thing by another factor of 10, giving (1.5*10^14).

    Scientific notation can also be used for very صغير numbers in much the same way. 0.000005 is written as (5*10^-6), because you use negative exponents on the 10 when the number is very small. Remember, negative exponents do not make the number negative, but just very small. Try multiplying (.00009 * .00003). The numbers in scientific notation are (9*10^-5) times (3*10^-5). The answer is computed the same way as before, yielding (27*10^-10), or (2.7*10^-9). Here are a few more examples to illustrate the principles of scientific notation:

    $ 5*10^3 = 5000 $ $ 8*10^-1 = .8 $ $ 7*10^-3 = .007 $

    Here's multiplication examples:

    $ (5*10^8)(4*10^15) = 20 * 10^23 = 2*10^24 $ $ (5*10^-8)(4*10^15) = 20 * 10^7 = 2*10^8 $

    $ 5*10^7 - 4*10^7 = 1*10^7 $ $ 2*10^3 + 3*10^3 = 5*10^3 $ $ 2*10^4 + 2*10^3 = 2*10^4+0.2*10^4 = 2.2*10^4 $


    شاهد الفيديو: ماده الرياضيات السادس العلمي القطع الناقص (شهر نوفمبر 2021).