مقالات

5: الخطوط العمودية - الرياضيات


5: الخطوط العمودية - الرياضيات

الرياضيات SAT: خطوط عمودية

معادلة الخط ص هل y = 1 / 4x +6. إذا كان السطر k يحتوي على النقطة (3،5) وعمودي على الخط ص، أوجد معادلة الخط ك.

باستخدام صيغة الميل والمقطع ، يمكننا رؤية ميل الخط المستقيم p هو ¼. بما أن الخط k عمودي على الخط p فلا بد أن يكون ميله يساوي سالب مقلوب. (-4/1) إذا قمنا بإعداد الصيغة y = mx + b ، باستخدام النقطة المعطاة والميل (-4) ، فيمكننا إيجاد تقاطع b أو y. في هذه الحالة سيكون 17.

مثال السؤال رقم 1: كيفية إيجاد معادلة خط عمودي

في مستوى الإحداثيات xy ، يحتوي الخط A على النقطتين (0،0) و (3،1). إذا كان المستقيم B متعامدًا على A عند (3،1) ، فما معادلة الخط المستقيم؟

أولاً ، تحتاج إلى الحصول على معادلة السطر الأول ، أ. ميله مُعطى بواسطة:

تذكر أن ميل الخط العمودي على خط معين يساوي -1 في معكوس ميله. ومن ثم فإن منحدر B:

وهكذا مع y = mx + b ، m = -3. الآن يجب أن يتضمن السطر (3،1). هكذا:

1 = -9 + ب أضف 9 للجانبين:

مثال السؤال رقم 1: كيفية إيجاد معادلة خط عمودي

ما الخط العمودي على الخط 2x + 3y = 6 حتى (4، 1)؟

المعادلة المعطاة في شكل قياسي ، لذلك يجب تحويلها إلى صيغة الميل والمقطع: y = mx + b لاكتشاف الميل هو –2/3. لكي يكون الميل الجديد متعامدًا ، يجب أن يكون 3/2 (عكس مقلوب المنحدر القديم). باستخدام الميل الجديد والنقطة المعطاة ، يمكننا التعويض بهذه القيم مرة أخرى في صيغة الميل والمقطع لإيجاد التقاطع الجديد ، –5. في صيغة الميل والمقطع ، المعادلة الجديدة هي y = 3 / 2x - 5. الإجابة الصحيحة هي أن هذه المعادلة محولة إلى الصيغة القياسية.

مثال السؤال رقم 4: كيفية إيجاد معادلة خط عمودي

تقع نقاط نهاية القطعة المستقيمة AB عند (5 ، –2) و (–3 ، 10). ما هي معادلة الخط المستقيم الذي هو المنصف العمودي لـ AB؟

مطلوب منا إيجاد معادلة الخط المستقيم الذي يمثل المنصف العمودي لـ AB. إذا وجدنا نقطة يمر بها الخط بالإضافة إلى ميله ، فيمكننا تحديد معادلته. لكي ينصف الخط AB ، يجب أن يمر عبر نقطة المنتصف AB. وبالتالي ، فإن نقطة واحدة على الخط هي نقطة المنتصف لـ AB. يمكننا استخدام صيغة الوسط لتحديد نقطة المنتصف لـ AB بنقاط النهاية (5 ، –2) و (–3 ، 10).

يقع إحداثيات x لنقطة المنتصف عند (5 + –3) / 2 = 1.

يقع إحداثي ص لنقطة المنتصف عند (–2 + 10) / 2 = 4.

وبالتالي ، فإن نقطة المنتصف AB هي (1 ، 4).

لذلك ، نعلم أن الخط يمر عبر (1،4). يمكننا الآن استخدام حقيقة أن الخط المستقيم عمودي على AB لإيجاد ميله. حاصل ضرب ميل مقطعين مستقيرين متعامدين يساوي -1. بعبارة أخرى ، إذا ضربنا ميل الخط المستقيم في ميل AB ، فسنحصل على –1.

يمكننا استخدام صيغة الميل لإيجاد ميل AB.

ميل AB = (10 - (–2)) / (- 3 - 5) = 12 / –8 = –3/2.

نظرًا لأن ميل الخط مضروبًا في –3/2 يجب أن يساوي –1 ، فيمكننا كتابة ما يلي:

إذا ضربنا كلا الطرفين في –2/3 ، فسنوجد ميل الخط المستقيم.

ميل الخط = (–1) (- 2/3) = 2/3.

وهكذا ، يمر الخط عبر البونيت (1 ، 4) وله ميل 2/3.

سنستخدم الآن صيغة الميل والنقطة لتحديد معادلة الخط المستقيم. لنفترض أن m يمثل الميل و (x1، ذ1) تمثل ponit على الخط.

اضرب كلا الطرفين في 3 للتخلص من الكسر.

اطرح 3y من كلا الطرفين.

معادلة الخط هي 2x - 3y = –10.

مثال السؤال رقم 1: كيفية إيجاد معادلة خط عمودي

يمر الخط عبر (2 ، 8) و (4 ، 15). ما هي المعادلة المحتملة لخط عمودي على هذا؟

لا أحد من الإجابات الأخرى

تذكر أن المستقيمات المتعامدة لها ميلان متقابلان مقلوبان ، لذلك دعونا أولًا نجد ميل الخط المستقيم. تم العثور على ذلك من خلال المعادلة: الارتفاع / الجري أو y2 - ذ1/ س2 - س1

التعويض بقيمنا: (15-8) / (4-2) = 7/2

وبالتالي ، فإن المنحدر العمودي هو –2/7.

نظرًا لأن أي خط عمودي سيتقاطع مع هذا الخط في مرحلة ما. نحتاج فقط إلى اختيار الإجابة التي تحتوي على خط بميل –2/7. باتباع صيغة الميل والمقطع (y = mx + b) ، نعلم أن معامل x سيعطينا هذا ، لذا فإن إجابتنا هي: y = (–2/7) x + 4

مثال السؤال رقم 6: كيفية إيجاد معادلة خط عمودي

يتم إعطاء السطر p بواسطة المعادلة ذ = –x + 4. أي من المعادلات التالية يصف خطًا عموديًا عليه ص?

معادلة الخط ص يتم تقديمها في النموذج ذ = مكس + ب، أين م هو المنحدر و ب هل ذ-تقاطع. لأن المعادلة ذ = –x + 4 ، المنحدر م = –1.

إذا كان خطان متعامدين ، فإن حاصل ضرب ميلهما يساوي –1. وهكذا إذا اتصلنا ن ميل الخط العمودي على الخط ص، إذن المعادلة التالية صحيحة:

لأن منحدر الخط ص هو –1 ، يمكننا كتابة (–1)ن = –1. إذا قسمنا كلا الجانبين على -1 ، إذن ن = 1. باختصار ، ميل الخط العمودي على الخط المستقيم ص يجب أن يساوي 1. نبحث عن معادلة الخط الذي ميله يساوي 1.

دعونا نفحص خيارات الإجابة. المعادلة ذ = –x - 4 في الشكل ذ = مكس + ب (وهو ما يسمى بصيغة المنحدر والنقطة) ، لذا فإن ميله هو -1 ، وليس 1. وبالتالي ، يمكننا حذف هذا الاختيار.

بعد ذلك ، لنلق نظرة على الخط x + ذ = 4. هذا الخط في الشكل فأس + بواسطة = ج، أين أ, ب، و ج ثوابت. عندما يكون الخط بهذا الشكل ، فإن ميله يساوي -أ/ب. لذلك ، ميل هذا الخط يساوي –1/1 = –1 ، وهو ليس 1. لذا يمكننا الحذف x + ذ = 4. بشكل مماثل ، يمكننا حذف الخط x + ذ = –4.

الخط ذ = –4 خط أفقي ، لذا ميله يساوي 0 وليس 1.

الجواب هو الخط ذ = x + 4 ، لأنه الخط الوحيد بميل 1.

مثال السؤال رقم 7: كيفية إيجاد معادلة خط عمودي

اكتب معادلة الخط المستقيم العمودي على.

لا أحد من الإجابات الأخرى

وميل الخط العمودي هو المقلوب المقابل ، وبالتالي فإننا نبحث عن الخط الذي ميله.

هو خيار الإجابة الوحيد الذي يلبي هذه المعايير.

مثال السؤال رقم 8: كيفية إيجاد معادلة خط عمودي

أوجد معادلة الخط المستقيم العمودي والمار (٥ ، ٦).

نعلم أن ميل الخط الأصلي يساوي

وبالتالي ، يكون ميل الخط العمودي هو المقلوب السالب لـ ، أو –2.

ثم نعوض عن الميل والنقطة (5 ، 6) بالصيغة ، وهو ما ينتج عنه

عندما نبسط هذا ، نصل إلى

مثال السؤال رقم 9: كيفية إيجاد معادلة خط عمودي

أي خط عمودي على من خلال؟

علينا إيجاد ميل المعادلة المعطاة بتحويله إلى صيغة الميل والمقطع:.

يكون الميل والميل العمودي هو المقلوب المقابل ، أو.

المعادلة الجديدة من الشكل ويمكننا استخدام النقطة لحسابها. الخطوة التالية هي التحويل إلى الصيغة القياسية لـ.

مثال السؤال رقم 10: كيفية إيجاد معادلة خط عمودي

ما الخط العمودي والمار؟

المنحدرات العمودية مقلوبة متقابلة. المنحدر الأصلي هو بالتالي الميل العمودي الجديد هو 3.

نعوض بالنقطة والميل في صيغة المعادلة والنقطة والميل:

للحصول على أو في شكل قياسي.

جميع موارد الرياضيات SAT

الإبلاغ عن مشكلة مع هذا السؤال

إذا وجدت مشكلة تتعلق بهذا السؤال ، فيرجى إخبارنا بذلك. بمساعدة المجتمع يمكننا الاستمرار في تحسين مواردنا التعليمية.


الدرس الخامس

بالنسبة لبناء الخط العمودي ، يعتمد الطلاب على خبرتهم في بناء المنصف العمودي. ال زاوية منصف يتم بعد ذلك توصيل البناء ببناء الخط العمودي مع ملاحظة أن بناء خط عمودي هو نفس تقسيم الزاوية المستقيمة. يستفيد الطلاب من البنية عندما يقررون كيفية تطبيق ما يعرفونه بالفعل عن الإنشاءات لبناء خطوط عمودية ومنصفات زوايا (MP7). من المحتمل أن يواجه الطلاب صعوبة في القيام بذلك ، فهذه فرصة لتشجيعهم على المثابرة في حل المشكلات (MP1).

هناك علاقة مهمة بين منصف الزاوية والمنصف العمودي في المثلثات التي تم تكوينها في هذا الدرس وتم بناؤها في الوحدة التالية. بالنسبة للمثلثات متساوية الساقين ، على وجه الخصوص ، يكون منصف زاوية الرأس بين الأضلاع المتطابقة هو نفسه المنصف العمودي للضلع المقابل لذلك الرأس. هذا الاتصال ضروري لإثبات أن المنصف العمودي ومجموعة النقاط متساوية البعد مع نقطتين معينتين هما نفس المجموعة.


المعادلات الخطية المتوازية والعمودية

هل يمكنك معرفة ما إذا كانت هذه الخطوط متعامدة أم متوازية في ظل هذه المعادلات؟ إذا كانت المنحدرات متساوية ، ستكون الخطوط متوازية. إذا كانت المنحدرات متعاكسة مع بعضها البعض ، فإن الخطين سيكونان متعامدين. جرب هذه الأمثلة الثلاثة:

الخطان F و X متوازيان ، ويفصل بينهما اختلاف واحد فقط. يتم تبسيط الكسر 6 8 إلى 3 4 مضيفًا السطر الأول يتحرك X وحدة واحدة بعيدًا عن الخط F. الخط O عمودي على المستقيمين F و X لأنه يحتوي على مقلوب سالب قدره 3 4.


عندما يتم إعطاء خط معين مع معادلة معينة. لديه منحدر م. لذا فإن ميل الخط العمودي عليه -1 / م

لديك نقطة واحدة وتكتشف الميل المطلوب حتى تتمكن من بناء معادلة خط جديد

لا توجد إجابة محددة على هذا السؤال كما ذكر. (بافتراض أن هذا في مساحة ثلاثية الأبعاد ، حيث تسرد الإحداثيات ثلاث قيم.) من الناحية الفنية ، هناك خطوط عمودية لا نهائية تدور حول الخط الأسود.

إذا كانت لديك نقطة ثالثة ، فيمكنك استخدام حاصل الضرب المتقاطع للحصول على متجه عمودي ، مثل:

أين أ, ب، و ج هي النقاط و أنا و ي هي نواقل تمثل علاقتها. المتجه ص سيشير في الاتجاه العمودي على النقاط الثلاث و ن ستكون النقطة بالنسبة إلى الأصل ، كما في الصورة.

بالنظر إلى ذلك في سؤالك ذ التنسيق هو 0 لكلا النقطتين ، يبدو أنك قد تكون مهتمًا بإجابة في مسافة ثنائية الأبعاد. في الفضاء ثنائي الأبعاد ، هناك إجابتان محتملتان. بالنظر إلى نقطتين أ و ب:

يمكنك العثور على مزيد من المعلومات في هذه الإجابة

بالنسبة للإحداثيات التي حددتها ، سيعمل هذا إذا تجاهلت ملف ذ التنسيق والاستخدام ض في مكانها.


خصائص الخطوط المتعامدة

& bull لا يمكن أن يكون هناك سوى سطر واحد متعامد على خط معين عند نقطة معينة.

دع الخطوط m و n و l تتقاطع عند النقطة P أعلاه. إذا كانت الزاوية المكونة من l و m زاوية قائمة ، فإن الزاوية المكونة من الخطين l و n لا يمكن أن تكون أيضًا زاوية قائمة.

& bull يكون الخطان متعامدين إذا كانت ميلهما سالب (أو معاكسين) مقلوبًا لبعضهما البعض.

ميل الخط p هو & # 189 وميل الخط r هو -2 ، وهو مقلوب سالب لـ & # 189 ، لذا فإن p و q متعامدين ويلتقيان بزاوية قائمة.

إن معرفة أن خطين متعامدين يلتقيان بزاوية قائمة ، أو أنه إذا كان تقاطعهما يشكل زاوية قائمة بحيث يكونان متعامدين ، فهذه معلومات مفيدة في التعامل مع المسلمات والنظريات والخصائص الأخرى في الهندسة. في الأسفل يوجد بعض الأمثلة.

& bull إذا كان الضلعان غير المتجاورين لزاويتين متجاورتين حادتين متعامدين ، فيجب أن تكون الزاويتان متكاملتان.

& angBAD و & angCAD زاويتان متجاورتان ، مع جوانب متعامدة وغير متجاورة AB و AC. بما أن AB و AC عموديان ، و angBAC هي زاوية قائمة قياسها 90 درجة لذا ، & angBAD + & angCAD = 90 & deg.

& bull إذا كان المستعرض عموديًا على أحد زوج من الخطوط المتوازية (أو عدة خطوط متوازية) ، فيجب أن يكون عموديًا على جميع الخطوط المتوازية.

في الرسم البياني أعلاه ، m // n و l & perpm. منذ l & perpm ، جميع الزوايا الأربع التي تشكلها تقاطع l و m هي زوايا قائمة. أيضًا ، نظرًا لأن m // n جميع الزوايا الأربع هي أيضًا زوايا قائمة تتكون من الخطين l و n ، فإن خاصية الزوايا المتناظرة للخطوط المتوازية تكون متطابقة. وبالتالي ، فإن الخط l هو أيضًا عمودي على الخط n.

هل كنت تعلم؟

المحوران x و y هما خطان في مستوى الإحداثيات الديكارتية متعامدين مع بعضهما البعض.

أيضًا ، يكون كل خط شبكة أفقي عموديًا على كل خط شبكة رأسي يشتمل على شبكة النظام. يُعرف نظام الإحداثيات الديكارتية أيضًا بنظام الإحداثيات المتعامد (بمعنى الزوايا القائمة).


5: الخطوط العمودية - الرياضيات

آراء من المسلمات الموازية لإقليدس
في اليونان القديمة وفي الإسلام في العصور الوسطى

ميشيل إيدير تاريخ الرياضيات روتجرز ، ربيع 2000

على مدار التاريخ ، كان هناك العديد من التطورات الملحوظة ، الفكرية والجسدية ، والتي غيرت إطارنا المفاهيمي. أحد المجالات التي يتضح فيها هذا هو الرياضيات. في بعض الحالات ، أمضى علماء الرياضيات سنوات من حياتهم في محاولة لحل مشكلة واحدة. هؤلاء هم إقليدس ، بروكلوس ، جون واليس ، إن. Lobachevsky وأبو علي بن الهيثم ، اللذان سيتم اعتبارهما هنا فيما يتعلق بتاريخ فرضية إقليدس الموازية.

لا يُعرف سوى القليل أو لا شيء بشكل موثوق عن حياة إقليدس. يُعتقد أنه عاش في الإسكندرية باليونان حوالي 300 قبل الميلاد. (فارادارجان ، الصفحة 3). يقول البعض إنه كان أنجح كاتب كتب مدرسي عرفه العالم على الإطلاق ، وكانت مخطوطاته تسيطر على تدريس الموضوع (سميث ، الصفحة 103). في كتاباته ، قام إقليدس واقتباسات بدمج جميع الأجزاء الأساسية للمعرفة الرياضية المتراكمة في عصره (Sarton ، الصفحة 104). وعلى الرغم من أنه لم يكن أول علماء الرياضيات اليونانيين الذين دمجوا مواد الهندسة في نص ، إلا أنه فعل ذلك & quot؛ بشكل مثالي & quot؛ لأنه جاء ليحل محل أعمال أسلافه (مورو ، الصفحة 22). تم تبرير كل خطوة إلى براهين نظرياته من خلال الرجوع إلى التعريف السابق أو البديهية أو النظرية أو إثبات النظرية. ومع ذلك ، على الرغم من أن عناصر إقليدس أصبحت & quottool-box & quot للرياضيات اليونانية ، فإن فرضيته المتوازية ، الافتراض الخامس ، تثير قدرًا كبيرًا من الجدل داخل المجال الرياضي. كانت صياغة إقليدس للفرضية الموازية على النحو التالي:

ينص هذا على أنه إذا كان خط مستقيم يقع على خطين مستقيمين يجعل الزوايا الداخلية على نفس الجانب أقل من زاويتين قائمتين ، فإن الخطين المستقيمين ، إذا تم إنتاجهما إلى أجل غير مسمى ، يلتقيان في ذلك الجانب حيث تكون الزوايا أقل من tw يا الزوايا الصحيحة. (هيث ، ص 202). هذا الافتراض ، وهو أحد أكثر الموضوعات إثارة للجدل في تاريخ الرياضيات ، هو أحد الموضوعات التي حاولت المقاييس الهندسية التخلص منها لأكثر من ألفي عام.

& # 9 من بين أول من اكتشف خيارات أخرى للمسلمة الموازية كان الإغريق. المقاييس اليونانية من القرن السابع إلى الثالث قبل الميلاد. ساعد في إثراء العلم بحقائق جديدة واتخذ خطوات مهمة نحو صياغة & quotrigorou s التسلسل المنطقي & quot (Pogorelov ، الصفحة 186). لقد رأوا الفرضية الموازية كنظرية تنطوي على العديد من الصعوبات التي يتطلب إثباتها عددًا من التعريفات والنظريات. بالمقارنة مع افتراضات إقليدس الأخرى ، فإن الفرضية الموازية كانت مطروحة وغير واضحة. بالإضافة إلى ذلك ، وجد البعض صعوبة في القبول على أساس حدسي. حتى إقليدس نفسه لا بد أنه كان مستاءًا من ذلك ، لأنه بذل جهدًا لإثبات بعض افتراضاته الأخرى دون استخدام الافتراض الموازي ، وبدأ D في استخدامه فقط عندما أصبح ذلك ضروريًا للغاية (فارادراجان ، الصفحة 5). من وجهة نظره ، لم يكن هناك مخرج سوى قبولها كمسلمة والمضي قدمًا. & quot (سارتون ، الصفحة 39).

في سياق العديد من المحاولات الفاشلة لتعديل هذه الفرضية ، حاول علماء الرياضيات يائسين إيجاد طريقة أسهل للتعامل مع الفرضية الموازية. قد يقول الشخص ذو الذكاء العادي أن الاقتراح واضح ولا يحتاج إلى دليل (Sarton ، صفحة 39). ومع ذلك ، من وجهة نظر رياضية أكثر تعقيدًا ، يمكن للمرء أن يدرك الحاجة إلى إثبات ومحاولة تقديمه (Sarton ، صفحة 39). في محاولة لتوضيح وضع هذه الفرضية ، حاول بعض علماء الرياضيات حذفها تمامًا عن طريق استبدالها ببديهية أبسط وأكثر إقناعًا ، بينما حاول البعض الآخر استنتاجها من البديهيات الأخرى. في هذه المحاولات ، أثبت جميع هؤلاء الأشخاص أن الفرضية الخامسة ليست ضرورية إذا قبل أحدهم فرضية أخرى وقدم نفس الخدمة & quot ؛ ومع ذلك ، فإن استخدامها يبدو & quot ؛ اصطناعية & quot (سارتون ، الصفحة 40). ولهذا السبب اختار إقليدس ، بعد أن رأى ضرورة الفرضية ، ما وجده على ما يبدو أنه أبسط أشكالها باعتباره افتراضه الخامس (سارتون ، الصفحة 40).

من بين أولئك الذين حاولوا إثبات الفرضية الموازية كان بروكليس ، الذي عاش من 410 إلى 485 م (هيث ، الصفحة 29) ، وتلقى تدريبه في الإسكندرية واليونان وبعد ذلك أثينا ، حيث أصبح & quot؛ كاتبًا متخصصًا & quot (سميث ، الصفحة 139) . تضمنت أعماله ، التي كانت مصدرًا قيمًا للمعلومات عن تاريخ الهندسة اليونانية ، تعليقًا على الكتاب الأول من عناصر إقليدس. ربما لم يتم كتابة هذا التعليق بقصد تصحيح أو تحسين إقليدس ، ولكن هناك حالة واحدة حاول فيها تغيير & quotdifficulty & quot التي وجدها في عناصر إقليدس (هيث ، الصفحة 31). هذه الصعوبة هي ما نشير إليه عادة باسم & quot Parallel المسلمة & quot.

& # 9 البيان Proclus يثبت بدلاً من الافتراض الموازي ، & quotGiven & # 97 + & # 98 & # 60 2d ، يثبت أن الخطين المستقيمين g 'و g' يلتقيان عند نقطة معينة C. & quot

في دليله على ذلك ، يرسم Proclus خطًا مستقيمًا ، g "" عبر نقطة معينة موازية لـ g ". ثم أخذ النقطة B على g "يسقط عموديًا على g" منه. من هذا ، قال إنه نظرًا لأن المسافة من g "" تزداد بلا حدود مع نمو المسافة بين a و B وتكون المسافة بين g و g "" ثابتة ، فيجب أن تكون هناك نقطة C على g "تنتمي إلى ز '. وهذه هي النقطة التي يلتقي فيها g و g ، وبذلك يكمل برهانه. ومع ذلك ، كما هو الحال مع معظم البدائل الأخرى للافتراض الموازي ، كان لهذا الافتراض أخطاء. لقد لاحظ بوغوريلوف أن الخطوط المستقيمة المتوازية التي يعتمد عليها هذا الدليل ليست واردة صراحة في المسلمات أو البديهيات الأخرى ، وبالتالي لا يمكن استنتاجها منها. (بوجوريلوف ، الصفحة 188).

شخص آخر حاول إثبات الفرضية الموازية كان جون واليس. درس واليس في كلية إيمانويل في كامبريدج حيث حصل على شهادتي البكالوريوس. وماجستير في اللاهوت عام 1637 و 1640 على التوالي (سميث ، ص 407). على الرغم من أن درجته كانت في اللاهوت ، إلا أن & quottaste & quot له كان في صف الفيزياء والرياضيات (سميث ، صفحة 407). في عام 1649 تم انتخابه لأستاذ الهندسة السافيلية في أكسفورد (سميث ، الصفحة 407). في اهتمامه بالرياضيات ، كان واليس من أوائل الذين أدركوا أهمية & quosignificance لتعميم الأسس لتشمل الأعداد السالبة والكسرية ، وكذلك الأعداد الموجبة والمتكاملة. & quot (سميث ، صفحة 408).

بالإضافة إلى اعتراف واليس بأهمية الأس ، حاول أيضًا إثبات الفرضية الموازية. ومع ذلك ، بدلاً من إثبات النظرية مباشرةً باستخدام الهندسة المحايدة ، اقترح بديهية جديدة. عبرت هذه الفرضية عن الفكرة القائلة بأنه يمكن للمرء إما تكبير المثلث أو تصغيره بقدر ما يحب دون تشويه. باستخدام هذا ، يثبت واليس الافتراض الموازي على النحو التالي.

يبدأ بخطين مستقيمين ، بخط ثالث مستقيم لا نهائي ، زاويتان داخليتان ، أقل من زاويتين قائمتين. ثم قام & quotslides & quot زاوية واحدة أسفل الخط AF حتى يصل إلى الموضع المحدد & # 97 & # 98 ، وقطع السطر الأول عند & # 112 ثم باستخدام افتراضه الأول ، يدعي أن المثلثين & # 97 C & # 98 و يتشابه ACP ، مما يدل على أن AB و CD يلتقيان عند نقطة P ، ويثبتان النظرية. ومع ذلك ، كان هذا أيضا خطأ. في الواقع ، كان الافتراض الأصلي الذي استند إليه الدليل معادلاً منطقيًا لمسلمة إقليدس الخامسة. (هيث ، ص 210). لذلك ، فقد افترض ما كان يحاول إثباته ، مما يجعل برهانه باطلاً.

بالإضافة إلى براهين Proclus و Wallis ، في عام 1826 ، أدى استبدال عالم رياضيات آخر للافتراض الموازي إلى اكتشاف الهندسة غير الإقليدية. كان هذا العالم الرياضي ن. لوباتشيفسكي. كان Lobachevsky عالم رياضيات روسيًا عاش من 1792 إلى 1856. لإثباته على الافتراض الموازي ، أثبت Lobachevsky أنه & quot ؛ خطان مستقيمان على الأقل لا يتقاطعان مع مسار معين عبر نقطة خارجية. & quot في إثبات ذلك ، كان يأمل في العثور على تناقض في & quotEucli dean system & quot. ومع ذلك ، في تطوير نظريته ، رأى Lobachevsky ، بدلاً من ذلك ، أن النظام كان & quotN- متناقضة & quot. من هذا استنتج أن هناك هندسة مختلفة عن الإقليدية ، مع الافتراض الخامس الذي لم يتمسك به. أصبحت هذه الهندسة معروفة باسم الهندسة & quotNon-Euclidean & quot (Pogorelov ، الصفحة 190).

مجموعة أخرى للتعليق على فرضية إقليدس الموازية كانت إسلام القرون الوسطى. من القرن التاسع إلى القرن الخامس عشر ، انتعش النشاط الرياضي المكثف فقط في المدن العالمية الكبرى في الإسلام. طور المفكرون العرب التشنجات اللاإرادية في الرياضيات بطريقتين على الأقل. الأول كان عن طريق حفظ ونقل المعرفة القديمة & quot (كالينجر ، الصفحة 166). والثاني كان من خلال المساهمات الأصلية في الحساب والجبر والهندسة. في الإسلام ، أصبح المجتمع أكثر رسوخًا وبدأوا في تركيز طاقاتهم بشكل أكبر على التطورات التعليمية في الرياضيات. بالنسبة لهم ، كانت الرياضيات مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بعلم الفلك ، وعلم التنجيم ، وعلم الكونيات ، والجغرافيا ، والفلسفة الطبيعية ، والبصريات (كالينجر ، الصفحة 169). من هذا ، حول المجتمع الإسلامي اهتمامه بالفكر اليوناني. أول النصوص اليونانية التي تمت ترجمتها ، إقليدس عناصر ، جلبت القضايا المتضمنة في الفرضية الموازية انتباه علماء الرياضيات المسلمين ، وهم أيضًا ، كما فعل اليونانيون من قبلهم ، بدأوا في استكشاف إمكانية إثبات هذه الفرضية.

أحد علماء الرياضيات من هذا الوقت الذي ساهم في توضيح فرضية إقليدس الموازية كان أبو علي بن الهيثم ، عالم فيزياء ورياضيات وعالم فلك عربي. يبدأ برهانه من خلال معالجة تعريف إقليدس للخطوط المتوازية أولاً:
الخطوط المستقيمة المتوازية هي خطوط متحدة المستوى بحيث إذا تم إنتاجها إلى أجل غير مسمى في كلا الاتجاهين ، فإنها لا تتقاطع في أي من الاتجاهين
والتي تمت صياغتها بحيث تكون جميع "الخطوط" المعنية عبارة عن مقاطع ذات أطوال محدودة. ثم يبدأ برهانه. أولاً ، يبدأ بخط رأسي معطى AB. ثم من نقطة النهاية A ، قام ببناء خط AC ، مشكلاً زاوية قائمة مع AB. وبالمثل ، يقوم ببناء خط BD ، يلتقي عند نقطة النهاية D. في هذا الشكل ، يدعي الهيثم أن القرص المضغوط يساوي AB. لإثبات ذلك ، يستخدم الدليل بالتناقض. يفترض أولاً أن القرص المضغوط أكبر من AB. ثم يقوم بتمديد الخط CA عبر A لتشكيل AE. وبالمثل ، فإنه يشكل الخط BF من خلال B. يقطع الهيثم بعد ذلك الخط AE بحيث يكون AE مساويًا في الطول لـ AC ، وبعد ذلك يسقط عموديًا من E إلى F. أخيرًا قام برسم الخطين CB و BE.

لمواصلة برهانه ، يحتاج الهيثم إلى إظهار أن خط CD يساوي EF ، وأن كلاهما أكبر من AB. باستخدام ما نشير إليه الآن باسم نظرية الجانب-الزاوية-الضلع ، يقول أنه نظرًا لأن CA يساوي AE ، فإن الزاوية CAB تساوي الزاوية EAB (الزوايا القائمة) ، والضلع AB شائع ، وبالتالي فإن المثلثين CAB و EAB يجب أن تكون متساوية أيضًا. وبالتالي فإن الخط CB يساوي EB ويجب أن تكون الزاويتان المتبقيتان متساويتين أيضًا. يواصل الهيثم أن الزاوية CBA والزاوية EBA متساويتان ، وبما أن الزاويتين ABD و ABF متساويتان ، لذلك يجب أن تكون الزاويتان CBD و EBF متساويتين أيضًا. بعد ذلك ، من خلال ما نشير إليه الآن باسم نظرية الجوانب الجانبية ، يدعي أنه نظرًا لأن الزوايا CDB و EFB متساويتان والضلعان DB و BF متساويان ، لذلك يجب أن يكون المثلثان CDB و EFB متساويين. لذلك ، CD و EF متساويان أيضًا. بعد ذلك ، نظرًا لأن القرص المضغوط أكبر من AB (بالافتراض) يجب أن يكون EF أيضًا أكبر من AB. بعد ذلك في برهان الهيثم ، يقول لتخيل EF تتحرك على طول FB بحيث تظل الزاوية EFB زاوية قائمة طوال الحركة ، مع بقاء EF عموديًا على FB. ثم عندما تتطابق النقطة F مع النقطة B ، فإن الخط EF سوف "يطابق" على AB. لكنه يدعي أنه نظرًا لأن حجم EF أكبر من AB ، فإن النقطة E ستقع خارج AB (على نفس الجانب مع A). وبالتالي عند هذه النقطة تساوي EF HB. ينزلق الهيثم التالي على الخط BH على طول BD. إذا تزامنت النقطة B في هذه العملية مع النقطة D ، فسيتم "تراكب" BH على DC (لأن الزاويتين HBF و CDB متساويتان). ثم منذ BH & # 61 EF & # 61 CD ، يدعي الهيثم أن H يتزامن مع C. وهكذا أظهر الهيثم أنه إذا تم تشغيل EF على طول FD ، فإن النقطتين E و F ستتطابقان مع C و D على التوالي. بعد ذلك ، يلاحظ أنه إذا تحرك أي خط مستقيم بهذه الطريقة ، فإن نهاياته ستصف خطًا مستقيمًا. وهكذا فإن النقطة E تصف الخط المستقيم EHC. يستنتج الهيثم أنه بما أن H لا تقع على AB فلا يمكن أن تتطابق مع النقطة a وبالتالي يجب أن يكون هناك سطح مرتبط بخطين مستقيمين وجدهما & q uotabsurd & quot ، وبالتالي يثبت أن القرص المضغوط ليس أكبر ولا أقل من ج. وهكذا أظهر الهيثم أن القرص المضغوط وجميع الخطوط العمودية الأخرى التي تم إسقاطها من AC إلى BD تساوي AB. (روزنفيلد ، الصفحات 59-62).

في الختام ، طوال 2300 سنة الماضية من التاريخ الرياضي ، حاول العديد من علماء الرياضيات من جميع أنحاء العالم ، دون جدوى ، إثبات فرضية إقليدس الموازية. على الرغم من أن محاولات البراهين هذه لم تؤد إلى النتيجة المرجوة ، إلا أنها لعبت دورًا في تطوير الهندسة ، وأثروها بنظريات جديدة لم تكن مبنية على الفرضية الخامسة ، وكذلك أدت إلى بناء هندسة جديدة ، غير - الهندسة الإقليدية ، لا تستند إلى الفرضية المتوازية.


أوراق عمل الخطوط المتوازية والعمودية والمتقاطعة

تتعامل هذه الوحدة مع الخطوط المتوازية والعمودية والمتقاطعة. ستساعد مجموعة متنوعة من تمارين pdf والمشكلات الكلامية على تحسين مهارات الطلاب في الصف الثالث حتى الصف الثامن لتحديد الخطوط المتوازية والعمودية والمتقاطعة والتمييز بينها. بعضها مجاني تمامًا!

ستساعدك المخططات الوصفية الذاتية على تعلم التمثيل الرمزي وخصائص الخطوط المتوازية والعمودية والمتقاطعة.

ستساعد أوراق العمل القابلة للطباعة الطلاب على التمييز بين الخطوط بناءً على خصائصها الهندسية. حدد ما إذا كانت الخطوط متوازية أم عمودية أم متقاطعة.

من الشكل الموضح ، حدد كل زوج من الخطوط كخطوط متوازية أو متعامدة أو متقاطعة. اختر الإجابة الصحيحة من الخيارات المحددة.

سواء أكان تحديد أنواع الخطوط في كل شكل هندسي ، أو اكتشاف عدد الخطوط المتوازية والعمودية ، فإن أوراق العمل القابلة للطباعة للصف الرابع والصف الخامس والصف السادس تحتوي على التدريبات التي تم تغطيتها من أجلك.

من المخطط المحدد ، قم بتحليل الخط المستعرض. حدد الأسطر المعينة وأجب عن الأسئلة الواردة في أوراق عمل pdf المحددة.

في هذه المجموعة من أوراق العمل القابلة للطباعة للصف الثالث والرابع والصف الخامس ، يُطلب من الأطفال تحديد ما إذا كان زوج الخطوط متوازيًا أم متعامدًا مع العناصر التي يستخدمونها في الحياة اليومية.

افحص خريطة الطريق المحددة لتحديد الشوارع المتوازية والعمودية. أجب عن الأسئلة المتعلقة بخريطة الطريق.

يتكون هذا القسم من تمارين متعلقة بميل الخط. تطبيق صيغة الميل ، ومعرفة ما إذا كانت الخطوط متوازية أم متعامدة. برر جوابك.

في أوراق عمل pdf هذه ، يتم إعطاء العلاقة بين السطور. أوجد الإحداثي المفقود في كل مشكلة.

طبق صيغة الميل على المعادلات الآتية. أوجد ما إذا كان المستقيمان متوازيين أم متعامدين. برر جوابك.

في أوراق العمل القابلة للطباعة لطلاب الصف السادس والسابع والثامن ، يتم إعطاء العلاقة بين السطور. ابحث عن المعلمة غير المعروفة

احسب ميل المعادلة. إثبات أن الخطوط متوازية أو متعامدة. برر جوابك.


خطوط متعامدة

زوج من الخطوط هو عمودي إذا التقى الخطان بزاوية 9 0 ∘ 90 ^ circ 9 0 ∘. بإعطاء خطين غير عموديين في شكل تقاطع ميل

في الصورة أعلاه ، شكل تقاطع الميل للخطين

وبما أن الميلان مقلوبان سالبان لبعضهما البعض ، فإن الخطين متعامدين.

ما معادلة الخط المار بالنقطة (- ٧ ، ٣) (-7 ، ٣) (- ٧ ، ٣) والمتعامد على الخط المستقيم ص = ٥ ١ س - ٢؟ y = frac x-2؟ ص = 5 1 س - 2؟

ما مجموع كل الثوابت k k k بحيث يبدأ الخطان (k + 1) x - 3 y + 2 = 0 ، (k - 2) x + 4 y - 1 = 0 start& amp (k + 1) x-3y + 2 = 0، & amp (k-2) x + 4y-1 = 0 end (ك + 1) س - 3 ص + 2 = 0 ، (ك - 2) س + 4 ص - 1 = 0 متعامدة مع بعضها البعض؟


فسر معنى المنحدر باستخدام معادلة خطية - القيم الرئيسية المتوسطة

مثال

فسر ميل السطر الذي يصف التغيير في عدد مدخني المدارس الثانوية باستخدام الكلمات.

طبق الوحدات على معادلة الميل. ال x القيم تمثل السنوات ، و ذ تمثل القيم عدد المدخنين. تذكر أن مجموعة البيانات هذه لكل 100 طالب في المدرسة الثانوية.

ميل هذه المعادلة الخطية هو نفي، لذلك يخبرنا هذا أن هناك ملف تخفيض في عدد المدخنين في سن المدرسة الثانوية كل عام.

ينخفض ​​عدد طلاب المدارس الثانوية الذين يدخنون بنسبة 1.75 لكل 100 كل عام.


شاهد الفيديو: Vectormeetkunde - De normaalvector van een lijn VWO wiskunde B (ديسمبر 2021).