مقالات

الحقول المتجهة - الرياضيات


أهداف التعلم

  • التعرف على حقل متجه في مستوى أو في الفضاء.
  • ارسم حقل متجه من معادلة معينة.
  • حدد المجال المحافظ والوظيفة المحتملة المرتبطة به.

تعد حقول المتجهات أداة مهمة لوصف العديد من المفاهيم الفيزيائية ، مثل الجاذبية والكهرومغناطيسية ، والتي تؤثر على سلوك الكائنات على مساحة كبيرة من المستوى أو الفضاء. كما أنها مفيدة للتعامل مع السلوك واسع النطاق مثل العواصف الجوية أو تيارات المحيطات في أعماق البحار. في هذا القسم ، نفحص التعريفات والرسوم البيانية الأساسية لحقول المتجهات حتى نتمكن من دراستها بمزيد من التفصيل في بقية هذا الفصل.

أمثلة على الحقول المتجهة

كيف يمكننا نمذجة قوة الجاذبية التي تمارسها أجرام فلكية متعددة؟ كيف يمكننا نمذجة سرعة جزيئات الماء على سطح النهر؟ يقدم الشكل ( PageIndex {1} ) تمثيلات مرئية لمثل هذه الظواهر.

يوضح الشكل ( PageIndex {1a} ) مجال الجاذبية الذي يمارسه جسمان فلكيان ، مثل نجم وكوكب أو كوكب وقمر. في أي نقطة في الشكل ، يعطي المتجه المرتبط بنقطة صافي قوة الجاذبية التي يمارسها الجسمان على جسم كتلته. المتجهات ذات الحجم الأكبر في الشكل هي المتجهات الأقرب إلى الكائن الأكبر. الجسم الأكبر له كتلة أكبر ، لذا فهو يبذل قوة جاذبية أكبر من الجسم الأصغر.

يوضح الشكل ( PageIndex {1b} ) سرعة نهر عند نقاط على سطحه. يعطي المتجه المرتبط بنقطة معينة على سطح النهر سرعة الماء في تلك النقطة. نظرًا لأن المتجهات الموجودة على يسار الشكل صغيرة الحجم ، فإن الماء يتدفق ببطء على هذا الجزء من السطح. عندما يتحرك الماء من اليسار إلى اليمين ، فإنه يصادف بعض المنحدرات حول صخرة. تزداد سرعة الماء ، وتحدث الدوامة في جزء من منحدرات النهر.

يوضح كل شكل مثالاً لحقل متجه. بشكل حدسي ، حقل المتجه هو خريطة المتجهات. في هذا القسم ، ندرس الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 ) و (ℝ ^ 3 ).

التعريف: حقل متجه

  • حقل المتجه ( vecs {F} ) في (ℝ ^ 2 ) هو إسناد لمتجه ثنائي الأبعاد ( vecs {F} (x، y) ) لكل نقطة ((x ، y) ) من مجموعة فرعية (D ) من (ℝ ^ 2 ). المجموعة الفرعية (D ) هي مجال حقل المتجه.
  • حقل المتجه ( vecs {F} ) في (ℝ ^ 3 ) هو إسناد لمتجه ثلاثي الأبعاد ( vecs {F} (x ، y ، z) ) لكل نقطة ( (س ، ص ، ض) ) من مجموعة فرعية (د ) من (ℝ ^ 3 ). المجموعة الفرعية (D ) هي مجال حقل المتجه.

الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 )

يمكن تمثيل حقل متجه في (ℝ ^ 2 ) بإحدى الطريقتين المتكافئتين. الطريقة الأولى هي استخدام متجه مع مكونات ذات دالات ذات متغيرين:

[ vecs {F} (x، y) = ⟨P (x، y)، Q (x، y)⟩ ]

الطريقة الثانية هي استخدام متجهات الوحدة القياسية:

[ vecs {F} (x، y) = P (x، y) ، hat { mathbf i} + Q (x، y) ، hat { mathbf j}. ]

يقال إن حقل متجه يكون مستمر إذا كانت وظائف مكوناتها مستمرة.

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد متجه مرتبط بنقطة معينة

لنفترض أن ( vecs {F} (x، y) = (2y ^ 2 + x − 4) ، hat { mathbf i} + cos (x) ، hat { mathbf j} ) يكون حقل متجه في (ℝ ^ 2 ). لاحظ أن هذا مثال على حقل متجه مستمر لأن كلتا وظيفتي المكونتين متصلتان. ما المتجه المرتبط بالنقطة ((0 ، −1) )؟

حل

استبدل قيم النقاط بـ (x ) و (y ):

[ begin {align *} vecs {F} (0، -1) & = (2 {(- 1)} ^ 2 + 0−4) ، hat { mathbf i} + cos (0 ) ، hat { mathbf j} [4pt] & = - 2 ، hat { mathbf i} + hat { mathbf j}. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض أن ( vecs {G} (x، y) = x ^ 2y ، hat { mathbf i} - (x + y) ، hat { mathbf j} ) يكون حقل متجه في ( ℝ ^ 2 ). ما المتجه المرتبط بالنقطة ((- 2،3) )؟

تلميح

عوّض بقيم النقطة في دالة المتجه.

إجابه

( vecs {G} (- 2،3) = 12 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

رسم حقل متجه

يمكننا الآن تمثيل حقل متجه من حيث مكونات وظائفه أو متجهات الوحدة ، لكن تمثيله بصريًا من خلال رسمه يكون أكثر تعقيدًا لأن مجال حقل متجه موجود في (ℝ ^ 2 ) ، كما هو الحال في النطاق. لذلك فإن "الرسم البياني" لحقل متجه في (ℝ ^ 2 ) يعيش في فضاء رباعي الأبعاد. نظرًا لأننا لا نستطيع تمثيل الفضاء رباعي الأبعاد بصريًا ، فإننا بدلاً من ذلك نرسم الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 ) في المستوى نفسه. للقيام بذلك ، ارسم المتجه المرتبط بنقطة معينة عند نقطة في المستوى. على سبيل المثال ، افترض أن المتجه المرتبط بالنقطة ((4، −1) ) هو (⟨3،1⟩ ). ثم نرسم المتجه (⟨3،1، ) عند النقطة ((4، ،1) ).

يجب أن نرسم نواقل كافية لرؤية الشكل العام ، لكن ليس كثيرًا لدرجة أن الرسم التخطيطي يصبح فوضى مختلطة. إذا أردنا رسم متجه الصورة في كل نقطة في المنطقة ، فإنه سيملأ المنطقة تمامًا ولا فائدة منه. بدلاً من ذلك ، يمكننا اختيار نقاط عند تقاطعات خطوط الشبكة ورسم عينة من عدة متجهات من كل ربع من نظام إحداثيات مستطيل في (ℝ ^ 2 ).

يوجد نوعان من الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 ) يركز عليهما هذا الفصل: الحقول الشعاعية والحقول الدورانية. تشكل الحقول الشعاعية نموذجًا لحقول جاذبية معينة وحقول مصدر الطاقة ، وتضع الحقول الدورانية نموذجًا لحركة مائع في دوامة. في الحقل الشعاعي ، تشير جميع المتجهات إما مباشرة نحو أو بعيدًا عن الأصل. علاوة على ذلك ، فإن حجم أي متجه يعتمد فقط على بعده عن الأصل. في الحقل الشعاعي ، يكون المتجه الموجود عند النقطة ((x ، y) ) عموديًا على الدائرة المتمركزة في الأصل التي تحتوي على النقطة ((x ، y) ) ، وجميع المتجهات الأخرى في هذه الدائرة لها نفس القدر.

مثال ( PageIndex {2} ): رسم حقل متجه شعاعي

رسم حقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = dfrac {x} {2} hat { mathbf i} + dfrac {y} {2} hat { mathbf j} ) .

حل

لرسم هذا الحقل المتجه ، اختر عينة من النقاط من كل رباعي واحسب المتجه المقابل. يقدم الجدول التالي عينة تمثيلية من النقاط في المستوى والمتجهات المقابلة.

جدول ( PageIndex {1} )
((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) ) ((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) ) ((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) )
((1,0)) (⟨ dfrac {1} {2} ، 0⟩ )((2,0))(⟨1,0⟩)((1,1)) (⟨ dfrac {1} {2} ، dfrac {1} {2}⟩ )
((0,1)) (⟨0، dfrac {1} {2}⟩ )((0,2))(⟨0,1⟩)((−1,1)) (⟨− dfrac {1} {2} ، dfrac {1} {2}⟩ )
((−1,0)) (⟨− dfrac {1} {2} ، 0⟩ )((−2,0))(⟨−1,0⟩)((−1,−1)) (⟨− dfrac {1} {2} ، - dfrac {1} {2}⟩ )
((0,−1)) (⟨0، - dfrac {1} {2}⟩ )((0,−2))(⟨0,−1⟩)((1,−1)) (⟨ dfrac {1} {2} ، - dfrac {1} {2}⟩ )

يوضح الشكل ( PageIndex {2a} ) حقل المتجه. لمعرفة أن كل متجه عمودي على الدائرة المقابلة ، يوضح الشكل ( PageIndex {2b} ) دوائر متراكبة على حقل المتجه.

تمرين ( PageIndex {2} )

ارسم الحقل الشعاعي ( vecs {F} (x، y) = - dfrac {x} {3} hat { mathbf i} - dfrac {y} {3} hat { mathbf j} ).

تلميح

ارسم متجهات كافية للحصول على فكرة عن الشكل.

إجابه

على عكس الحقول الشعاعية ، في أ مجال الدوران، المتجه عند النقطة ((x، y) ) مماس (غير عمودي) لدائرة نصف قطرها (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ). في مجال الدوران القياسي ، تشير جميع المتجهات إما في اتجاه عقارب الساعة أو في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة ، ويعتمد حجم المتجه فقط على بعده عن الأصل. كلا المثالين التاليين هما حقلا دوران في اتجاه عقارب الساعة ، ونرى من تمثيلهما المرئي أن المتجهات تبدو وكأنها تدور حول الأصل.

مثال ( PageIndex {3} ): رسم حقل متجه دوراني

ارسم حقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = ⟨y، ، - x⟩ ).

حل

قم بإنشاء جدول (انظر الجدول التالي) باستخدام عينة تمثيلية من النقاط في المستوى والمتجهات المقابلة لها. يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) حقل المتجه الناتج.

جدول ( PageIndex {2} )
((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) ) ((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) ) ((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) )
((1,0))(⟨0,−1⟩)((2,0))(⟨0,−2⟩)((1,1))(⟨1,−1⟩)
((0,1))(⟨1,0⟩)((0,2))(⟨2,0⟩)((−1,1))(⟨1,1⟩)
((−1,0))(⟨0,1⟩)((−2,0))(⟨0,2⟩)((−1,−1))(⟨−1,1⟩)
((0,−1))(⟨−1,0⟩)((0,−2))(⟨−2,0⟩)((1,−1))(⟨−1,−1⟩)

تحليل

لاحظ أن المتجه ( vecs {F} (a، b) = ⟨b، −a⟩ ) يشير في اتجاه عقارب الساعة ويتعامد مع المتجه الشعاعي (⟨a ، b⟩ ). (يمكننا التحقق من هذا التأكيد عن طريق حساب حاصل الضرب النقطي للمتجهين: (⟨a ، b⟩ · ⟨− b ، a⟩ = −ab + ab = 0 ).) علاوة على ذلك ، المتجه (⟨b ، - a⟩ ) له طول (r = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ). وبالتالي ، لدينا وصف كامل لهذا الحقل المتجه الدوراني: المتجه المرتبط بالنقطة ((أ ، ب) ) هو المتجه مع الطول ص ظل الدائرة بنصف القطر ص، ويشير في اتجاه عقارب الساعة.

غالبًا ما تُستخدم الرسومات التخطيطية مثل تلك الموجودة في الشكل ( PageIndex {3} ) لتحليل أنظمة العواصف الرئيسية ، بما في ذلك الأعاصير والأعاصير. في نصف الكرة الشمالي ، تدور العواصف عكس اتجاه عقارب الساعة ؛ في نصف الكرة الجنوبي ، تدور العواصف في اتجاه عقارب الساعة. (هذا تأثير ناتج عن دوران الأرض حول محورها ويسمى تأثير كوريوليس.)

مثال ( PageIndex {4} ): رسم حقل متجه

حقل متجه للرسم ( vecs {F} (x، y) = dfrac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf i}، - dfrac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf j} ).

حل

لتصور حقل المتجه هذا ، لاحظ أولاً أن المنتج النقطي ( vecs {F} (a، b) · (a ، hat { mathbf i} + b ، hat { mathbf j}) ) هي صفر لأي نقطة ((أ ، ب) ). لذلك ، يكون كل متجه مماسًا للدائرة التي يقع عليها. أيضًا ، نظرًا لأن ((a، b) rightarrow (0،0) ) ، فإن حجم ( vecs {F} (a، b) ) يذهب إلى ما لا نهاية. لرؤية هذا ، لاحظ ذلك

(|| vecs {F} (a، b) || = sqrt { dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {{(a ^ 2 + b ^ 2)} ^ 2}} = sqrt { dfrac {1} {a ^ 2 + b ^ 2}} ).

بما أن ( dfrac {1} {a ^ 2 + b ^ 2} rightarrow infty ) مثل ((a، b) rightarrow (0،0) ) ، ثم (|| vecs F ( a، b) || rightarrow infty ) كـ ((a، b) rightarrow (0،0) ). يشبه حقل المتجه هذا الحقل المتجه في المثال ( PageIndex {3} ) ، ولكن في هذه الحالة تكون أحجام المتجهات القريبة من الأصل كبيرة. يعرض الجدول ( PageIndex {3} ) عينة من النقاط والمتجهات المقابلة ، ويظهر الشكل ( PageIndex {5} ) حقل المتجه. لاحظ أن حقل المتجه هذا يمثل حركة دوامة النهر في الشكل ( PageIndex {5} ) (ب). مجال هذا الحقل المتجه هو كل (ℝ ^ 2 ) باستثناء النقطة ((0،0) ).

جدول ( PageIndex {3} )
((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) ) ((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) ) ((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) )
((1,0))(⟨0,−1⟩)((2,0)) (⟨0، - dfrac {1} {2}⟩ )((1,1)) (⟨ dfrac {1} {2} ، - dfrac {1} {2}⟩ )
((0,1))(⟨1,0⟩)((0,2)) (⟨ dfrac {1} {2} ، 0⟩ )((−1,1)) (⟨ dfrac {1} {2} ، dfrac {1} {2}⟩ )
((−1,0))(⟨0,1⟩)((−2,0)) (⟨0، dfrac {1} {2}⟩ )((−1,−1)) (⟨− dfrac {1} {2} ، dfrac {1} {2}⟩ )
((0,−1))(⟨−1,0⟩)((0,−2)) (⟨− dfrac {1} {2} ، 0⟩ )((1,−1)) (⟨− dfrac {1} {2} ، - dfrac {1} {2}⟩ )

تمرين ( PageIndex {4} )

رسم حقل متجه ( vecs {F} (x، y) = ⟨− 2y، ، 2x⟩ ). هل المجال المتجه شعاعي أم دوراني أم لا؟

تلميح

استبدل النقاط الكافية في ( vecs {F} ) للحصول على فكرة عن الشكل.

إجابه

التناوب

مثال ( PageIndex {5} ): حقل السرعة للسائل

افترض أن ( vecs {v} (x، y) = - dfrac {2y} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf i} + dfrac {2x} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf j} ) هو مجال سرعة مائع. ما مدى سرعة تحرك السائل عند النقطة ((1 ، −1) )؟ (افترض أن وحدات السرعة متر في الثانية.)

حل

لإيجاد سرعة السائل عند النقطة ((1، −1) ) ، استبدل النقطة في ( vecs {v} ):

( vecs {v} (1، −1) = dfrac {−2 (−1)} {1 + 1} hat { mathbf i} + dfrac {2 (1)} {1 + 1} hat { mathbf j} = hat { mathbf i} + hat { mathbf j} ).

سرعة السائل عند ((1، −1) ) هي مقدار هذا المتجه. لذلك ، السرعة هي (|| hat { mathbf i} + hat { mathbf j} || = sqrt {2} ) متر / ثانية.

تمرين ( PageIndex {5} )

يمثل حقل المتجه ( vecs {v} (x، y) = ⟨4 | x |، ، 1⟩ ) سرعة الماء على سطح النهر. ما سرعة الماء عند النقطة ((2،3) )؟ استخدم متر في الثانية كوحدات.

تلميح

تذكر أن السرعة هي مقدار السرعة.

إجابه

( sqrt {65} ) م / ثانية

لقد قمنا بفحص الحقول المتجهة التي تحتوي على متجهات بأحجام مختلفة ، ولكن كما لدينا متجهات وحدة ، يمكننا أيضًا أن يكون لدينا حقل متجه للوحدة. حقل المتجه ( vecs {F} ) هو ملف مجال ناقلات الوحدة إذا كان حجم كل متجه في الحقل هو 1. في حقل متجه للوحدة ، تكون المعلومات الوحيدة ذات الصلة هي اتجاه كل متجه.

مثال ( PageIndex {6} ): حقل متجه للوحدة

أظهر هذا الحقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = left langle dfrac {y} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ، - dfrac {x} { sqrt { x ^ 2 + y ^ 2}} right rangle ) هو حقل متجه للوحدة.

حل

لتوضيح أن ( vecs {F} ) هو حقل وحدة ، يجب أن نبين أن حجم كل متجه هو (1 ). لاحظ أن

[ begin {align *} sqrt { left ( dfrac {y} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} right) ^ 2 + left (- dfrac {x} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} right) ^ 2} & = sqrt { dfrac {y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} + dfrac {x ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2}} [4pt] & = sqrt { dfrac {x ^ 2 + y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2}} [4pt] & = 1 end {align *} ]

لذلك ، ( vecs {F} ) هو حقل متجه للوحدة.

تمرين ( PageIndex {6} )

هل حقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = ⟨− y، ، x⟩ ) حقل متجه للوحدة؟

تلميح

احسب مقدار ( vecs {F} ) عند نقطة عشوائية ((x، y) ).

إجابه

لا.

لماذا تعتبر حقول متجه الوحدة مهمة؟ لنفترض أننا ندرس تدفق السائل ، ولا نهتم إلا بالاتجاه الذي يتدفق فيه السائل عند نقطة معينة. في هذه الحالة ، تكون سرعة المائع (وهي مقدار متجه السرعة المقابل) غير ذات صلة ، لأن كل ما يهمنا هو اتجاه كل متجه. لذلك ، فإن مجال متجه الوحدة المرتبط بالسرعة هو المجال الذي سنقوم بدراسته.

إذا كان ( vecs {F} = ⟨P، Q، R⟩ ) حقل متجه ، فإن حقل متجه الوحدة المقابل هو ( big langle tfrac {P} {|| vecs F ||} ، tfrac {Q} {|| vecs F ||}، tfrac {R} {|| vecs F ||} big rangle ). لاحظ أنه إذا كان ( vecs {F} (x، y) = ⟨y، ، - x⟩ ) هو الحقل المتجه من المثال ( PageIndex {6} ) ، فإن حجم ( vecs {F} ) هو ( sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) ، وبالتالي فإن حقل متجه الوحدة المقابل هو الحقل ( vecs {G} ) من المثال السابق.

إذا كان ( vecs {F} ) حقل متجه ، فإن عملية قسمة ( vecs {F} ) على حجمها لتشكيل حقل متجه للوحدة ( vecs {F} / || vecs { F} || ) يسمى تطبيع الحقل ( vecs {F} ).

الحقول المتجهة في (ℝ ^ 3 )

لقد رأينا العديد من الأمثلة على الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 ) ؛ دعنا نوجه انتباهنا الآن إلى الحقول المتجهة في (ℝ ^ 3 ). يمكن استخدام هذه الحقول المتجهية لنمذجة المجالات الجاذبية أو الكهرومغناطيسية ، ويمكن أيضًا استخدامها لنمذجة تدفق السوائل أو تدفق الحرارة في ثلاثة أبعاد. يمكن للحقل المتجه ثنائي الأبعاد أن يمثل نموذجًا لحركة الماء فقط على شريحة ثنائية الأبعاد من النهر (مثل سطح النهر). نظرًا لأن النهر يتدفق عبر ثلاثة أبعاد مكانية ، لنمذجة تدفق عمق النهر بالكامل ، نحتاج إلى حقل متجه بثلاثة أبعاد.

يمكن أن يجعل البعد الإضافي للحقل ثلاثي الأبعاد من الصعب تصور الحقول المتجهة في (^ 3 ) ، لكن الفكرة هي نفسها. لتصور حقل متجه في (ℝ ^ 3 ) ، ارسم متجهات كافية لإظهار الشكل العام. يمكننا استخدام طريقة مشابهة لتصور حقل متجه في (ℝ ^ 2 ) باختيار النقاط في كل ثماني.

تمامًا كما هو الحال مع الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 ) ، يمكننا تمثيل الحقول المتجهة في (ℝ ^ 3 ) بوظائف المكون. نحتاج ببساطة إلى وظيفة مكون إضافية للبعد الإضافي. نكتب إما

[ vecs {F} (x، y، z) = ⟨P (x، y، z)، Q (x، y، z)، R (x، y، z)⟩ ]

أو

[ vecs {F} (x، y، z) = P (x، y، z) hat { mathbf i} + Q (x، y، z) hat { mathbf j} + R (x ، y، z) hat { mathbf k}. ]

مثال ( PageIndex {7} ): رسم حقل متجه بثلاثة أبعاد

وصف حقل المتجه ( vecs {F} (x، y، z) = ⟨1، ، 1، ، z⟩ ).

حل

بالنسبة لهذا الحقل المتجه ، فإن المكونات (x ) - و (y ) - ثابتة ، لذا فإن كل نقطة في (ℝ ^ 3 ) لها متجه مرتبط بـ (x ) - و (y ) ) -مكونات تساوي واحد. لتصور ( vecs {F} ) ، علينا أولاً التفكير في الشكل الذي يبدو عليه الحقل في المستوى (xy ) -. في (س ص ) - الطائرة ، (ض = 0 ). ومن ثم ، فإن كل نقطة من النموذج ((أ ، ب ، 0) ) لها متجه (⟨1،1،0⟩ ) مرتبطة بها. بالنسبة للنقاط غير الموجودة في المستوى (xy ) ولكن فوقه قليلاً ، فإن المتجه المرتبط به مكون (z ) - صغير ولكنه إيجابي ، وبالتالي يشير المتجه المرتبط إلى الأعلى قليلاً. بالنسبة للنقاط التي تقع أعلى بكثير من مستوى (س ص ) ، يكون المكون (ض ) - كبيرًا ، وبالتالي يكون المتجه عموديًا تقريبًا. يوضح الشكل ( PageIndex {6} ) حقل المتجه هذا.

الشكل ( PageIndex {6} ): تمثيل مرئي لحقل المتجه ( vecs {F} (x، y، z) = ⟨1،1، z⟩ ).

تمرين ( PageIndex {7} )

حقل متجه للرسم ( vecs {G} (x، y، z) = ⟨2، ، dfrac {z} {2}، ، 1⟩ ).

تلميح

استبدل نقاطًا كافية في حقل المتجه للحصول على فكرة عن الشكل العام.

إجابه

في المثال التالي ، نستكشف إحدى الحالات الكلاسيكية للحقل المتجه ثلاثي الأبعاد: حقل الجاذبية.

مثال ( PageIndex {8} ): وصف حقل متجه الجاذبية

ينص قانون نيوتن للجاذبية على أن ( vecs {F} = - G dfrac {m_1m_2} {r ^ 2} hat { mathbf r} ) ، حيث جي هو ثابت الجاذبية الكوني. يصف مجال الجاذبية الذي يمارسه كائن (كائن 1) من الكتلة (m_1 ) الموجود في الأصل على كائن آخر (كائن 2) من الكتلة (m_2 ) يقع عند النقطة ((x ، y ، z) ). يشير الحقل ( vecs {F} ) إلى قوة الجاذبية التي يمارسها الكائن 1 على الكائن 2 ، (r ) هي المسافة بين الجسمين ، ويشير ( hat { mathbf r} ) إلى الوحدة متجه من الكائن الأول إلى الثاني. تبين علامة الطرح أن قوة الجاذبية تنجذب نحو الأصل ؛ أي أن قوة الجسم 1 جذابة. ارسم حقل المتجه المرتبط بهذه المعادلة.

حل

نظرًا لأن الكائن 1 يقع في الأصل ، يتم تحديد المسافة بين الكائنات بواسطة (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ). متجه الوحدة من الكائن 1 إلى الكائن 2 هو ( hat { mathbf r} = dfrac {⟨x، y، z⟩} {|| ⟨x، y، z⟩ ||} ) ، وبالتالي ( hat { mathbf r} = big langle dfrac {x} {r} ، dfrac {y} {r} ، dfrac {z} {r} big rangle ). لذلك ، حقل متجه الجاذبية ( vecs {F} ) الذي يمارسه الكائن 1 على الكائن 2 هو

[ vecs {F} = - Gm_1m_2 big langle dfrac {x} {r ^ 3} ، dfrac {y} {r ^ 3} ، dfrac {z} {r ^ 3} big rangle . لا يوجد رقم]

هذا مثال على حقل متجه شعاعي في (ℝ ^ 3 ).

يوضح الشكل ( PageIndex {7} ) كيف يبدو مجال الجاذبية هذا لكتلة كبيرة في الأصل. لاحظ أن مقادير المتجهات تزداد كلما اقتربت المتجهات من الأصل.

تمرين ( PageIndex {8} )

تبلغ كتلة الكويكب 1 750.000 كجم وكتلة الكويكب 2 130.000 كجم. افترض أن الكويكب 1 يقع في نقطة الأصل ، وأن الكويكب 2 يقع عند ((15، −5،10) ) ، مُقاسًا بوحدات من 10 إلى ثامن كيلومترات. إذا كان ثابت الجاذبية العام هو (G = 6.67384 × 10 ^ {- 11} m ^ 3 {kg} ^ {- 1} s ^ {- 2} ) ، فأوجد متجه قوة الجاذبية الذي يمارسه الكويكب 1 على كويكب 2.

تلميح

اتبع المثال ( PageIndex {8} ) واحسب أولاً المسافة بين الكويكبات.

إجابه

(1.49063 × {10} ^ {- 18} ) ، (4.96876 × {10} ^ {- 19} ) ، (9.93752 × {10} ^ {- 19} ) N

حقول التدرج (الحقول المحافظة)

في هذا القسم ، ندرس نوعًا خاصًا من مجال ناقل يسمى حقل التدرج أو أ مجال محافظ. هذه الحقول المتجهية مهمة للغاية في الفيزياء لأنه يمكن استخدامها لنمذجة الأنظمة الفيزيائية التي يتم فيها حفظ الطاقة. تعد مجالات الجاذبية والمجالات الكهربائية المرتبطة بشحنة ثابتة أمثلة على مجالات التدرج.

تذكر أنه إذا كان (f ) دالة (عددية) لـ (x ) و (ص ) ، فإن تدرج (f ) هو

[ text {grad} ، f = vecs nabla f (x، y) = f_x (x، y) hat { mathbf i} + f_y (x، y) hat { mathbf j}. ]

يمكننا أن نرى من الشكل الذي تمت كتابة التدرج فيه أن ( vecs nabla f ) هو حقل متجه في (ℝ ^ 2 ). وبالمثل ، إذا كانت (f ) دالة لـ (x ) و (y ) و (z ) ، فإن تدرج (f ) هو

[ text {grad} ، f = vecs nabla f (x، y، z) = f_x (x، y، z) hat { mathbf i} + f_y (x، y، z) hat { mathbf j} + f_z (x، y، z) hat { mathbf k}. ]

التدرج اللوني لوظيفة ثلاثية المتغيرات هو حقل متجه في (ℝ ^ 3 ). حقل التدرج هو حقل متجه يمكن كتابته كتدرج لوظيفة ، ولدينا التعريف التالي.

التعريف: حقل التدرج

حقل المتجه ( vecs {F} ) في (ℝ ^ 2 ) أو في (ℝ ^ 3 ) هو حقل التدرج اللوني في حالة وجود دالة عددية (f ) مثل ( vecs nabla f = vecs {F} ).

مثال ( PageIndex {9} ): رسم حقل متجه متدرج

استخدم التكنولوجيا لرسم حقل متجه التدرج (f (x، y) = x ^ 2y ^ 2 ).

حل

تدرج (f ) هو ( vecs nabla f (x، y) = ⟨2xy ^ 2، ، 2x ^ 2y⟩ ). لرسم حقل المتجه ، استخدم نظام الجبر الحاسوبي مثل Mathematica. يوضح الشكل ( PageIndex {8} ) ( vecs nabla f ).

تمرين ( PageIndex {9} )

استخدم التكنولوجيا لرسم حقل متجه التدرج (f (x، y) = sin x cos y ).

تلميح

ابحث عن تدرج (f ).

إجابه

ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x، y) = x ^ 2y ^ 2 ) من مثال ( PageIndex {9} ). يوضح الشكل ( PageIndex {9} ) منحنيات المستوى لهذه الدالة المتراكبة في حقل متجه التدرج اللوني للوظيفة. تكون متجهات التدرج متعامدة مع منحنيات المستوى ، وتزداد مقادير المتجهات كلما اقتربت منحنيات المستوى من بعضها ، لأن منحنيات المستوى المجمعة بشكل وثيق تشير إلى أن الرسم البياني شديد الانحدار ، وأن حجم متجه التدرج هو أكبر قيمة لـ مشتق اتجاهي. لذلك ، يمكنك رؤية الانحدار المحلي للرسم البياني عن طريق التحقق من حقل التدرج اللوني للوظيفة المقابلة.

كما تعلمنا سابقًا ، حقل المتجه ( vecs {F} ) هو حقل متجه متحفظ ، أو حقل متدرج إذا كانت هناك دالة عددية (f ) بحيث ( vecs nabla f = vecs {F}). في هذه الحالة ، يُطلق على (f ) اسم ملف الوظيفة المحتملة لـ ( vecs {F} ). تظهر مجالات ناقلات المحافظ في العديد من التطبيقات ، لا سيما في الفيزياء. سبب استدعاء هذه الحقول تحفظا هو أنهم يمثلون قوى الأنظمة الفيزيائية التي يتم فيها حفظ الطاقة. ندرس حقول المتجهات المحافظة بمزيد من التفصيل لاحقًا في هذا الفصل.

قد تلاحظ أنه في بعض التطبيقات ، تم تعريف دالة محتملة (f ) لـ ( vecs {F} ) بدلاً من ذلك كدالة مثل (- vecs nabla f = vecs {F} ). هذا هو الحال بالنسبة لسياقات معينة في الفيزياء ، على سبيل المثال.

مثال ( PageIndex {10} ): التحقق من دالة محتملة

هل (f (x، y، z) = x ^ 2yz− sin (xy) ) دالة محتملة لحقل المتجه

( vecs {F} (x، y، z) = ⟨2xyz − y cos (xy)، x ^ 2z − x cos (xy)، x ^ 2y⟩ )؟

حل

نحتاج إلى تأكيد ما إذا كان ( vecs nabla f = vecs {F} ). نحن لدينا

[ start {align *} f_x (x، y) = 2xyz − y cos (xy) [4pt] f_y (x، y) = x ^ 2z − x cos (xy) [4pt] f_z (x، y) = x ^ 2y end {align *}. ]

لذلك ، ( vecs nabla f = vecs {F} ) و (f ) هي وظيفة محتملة لـ ( vecs {F} ).

تمرين ( PageIndex {10} )

هل (f (x، y، z) = x ^ 2 cos (yz) + y ^ 2z ^ 2 ) دالة محتملة لـ ( vecs {F} (x، y، z) = ⟨2x cos (yz) ، - x ^ 2z sin (yz) + 2yz ^ 2 ، y ^ 2⟩ )؟

تلميح

احسب تدرج (f ).

إجابه

لا

مثال ( PageIndex {11} ): التحقق من دالة محتملة

يتم تمثيل سرعة السائل بالحقل ( vecs v (x، y) = ⟨xy، tfrac {x ^ 2} {2} −y⟩ ). تحقق من أن (f (x، y) = dfrac {x ^ 2y} {2} - dfrac {y ^ 2} {2} ) دالة محتملة لـ ( vecs {v} ).

حل

لإثبات أن (f ) وظيفة محتملة ، يجب أن نظهر أن ( vecs nabla f = vecs v ). لاحظ أن (f_x (x، y) = xy ) و (f_y (x، y) = dfrac {x ^ 2} {2} −y ). لذلك ، ( vecs nabla f (x، y) = ⟨xy، tfrac {x ^ 2} {2} −y⟩ ) و (f ) دالة محتملة لـ ( vecs {v } ) (الشكل ( PageIndex {10} )).

تمرين ( PageIndex {11} )

تحقق من أن (f (x، y) = x ^ 2y ^ 2 + x ) دالة محتملة لحقل السرعة ( vecs {v} (x، y) = ⟨3x ^ 2y ^ 2 + 1،2x ^ 3y⟩ ).

تلميح

احسب التدرج اللوني.

إجابه

( vecs nabla f (x، y) = vecs {v} (x، y) )

إذا كان ( vecs {F} ) حقل متجه متحفظًا ، فهناك على الأقل دالة محتملة واحدة (f ) مثل ( vecs nabla f = vecs {F} ). لكن ، هل يمكن أن يكون هناك أكثر من وظيفة محتملة؟ إذا كان الأمر كذلك ، فهل هناك أي علاقة بين وظيفتين محتملتين لنفس حقل المتجه؟ قبل الإجابة على هذه الأسئلة ، دعنا نتذكر بعض الحقائق من حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير لتوجيه حدسنا. تذكر أنه إذا كانت (k (x) ) دالة قابلة للتكامل ، فإن (k ) يحتوي على عدد لا نهائي من المشتقات العكسية. علاوة على ذلك ، إذا كان ( vecs {F} ) و ( vecs {G} ) كلاهما من المشتقات العكسية لـ (k ) ، إذن ( vecs {F} ) و ( vecs {G} ) تختلف فقط من خلال ثابت. أي أن هناك بعض الأرقام (C ) مثل ( vecs {F} (x) = vecs {G} (x) + C ).

لنكن الآن ( vecs {F} ) حقلاً متجهًا متحفظًا ودع (f ) و (g ) وظائف محتملة لـ ( vecs {F} ). بما أن التدرج اللوني يشبه المشتق ، فإن كون ( vecs {F} ) محافظًا يعني أن ( vecs {F} ) "قابل للتكامل" مع "المشتقات العكسية" (f ) و (g ). لذلك ، إذا كان التشابه مع حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير صحيحًا ، فإننا نتوقع وجود بعض الثوابت (C ) مثل (f (x) = g (x) + C ). تقول النظرية التالية أن هذا هو الحال بالفعل.

لتوضيح النظرية التالية بدقة ، نحتاج إلى افتراض أن مجال المجال المتجه متصل ومفتوح. يعني أن تكون متصلاً إذا كان (P_1 ) و (P_2 ) أي نقطتين في المجال ، فيمكنك المشي من (P_1 ) إلى (P_2 ) على طول مسار يبقى بالكامل داخل المجال.

تفرد الوظائف المحتملة

لنكن ( vecs {F} ) حقل متجه متحفظًا في مجال مفتوح ومتصل ودع (f ) و (g ) وظائف مثل ( vecs nabla f = vecs {F } ) و ( vecs nabla g = vecs {G} ). ثم هناك ثابت (C ) مثل (f = g + C ).

دليل

بما أن (f ) و (g ) كلاهما وظائف محتملة لـ ( vecs {F} ) ، إذن ( vecs nabla (f − g) = vecs nabla f− vecs nabla g = vecs {F} - vecs {F} = vecs 0 ). دعنا (h = f − g ) ، إذن لدينا ( vecs nabla h = vecs 0 ). نود أن نظهر أن (h ) دالة ثابتة.

افترض أن (ح ) دالة لـ (س ) و (ص ) (يمتد منطق هذا الإثبات إلى أي عدد من المتغيرات المستقلة). منذ ( vecs nabla h = vecs 0 ) ، لدينا (h_x (x، y) = 0 ) و (h_y (x، y) = 0 ). يشير التعبير (h_x (x، y) = 0 ) إلى أن (h ) دالة ثابتة بالنسبة لـ (x ) - أي (h (x، y) = k_1 (y) ) لبعض الوظائف (k_1 ). وبالمثل ، يشير (h_y (x، y) = 0 ) إلى (h (x، y) = k_2 (x) ) لبعض الوظائف (k_2 ). لذلك ، تعتمد الوظيفة (ح ) فقط على (ص ) وتعتمد أيضًا على (س ) فقط. وبالتالي ، (h (x، y) = C ) لبعض الثوابت (C ) على المجال المتصل ( vecs {F} ). لاحظ أننا نحتاج حقًا إلى الترابط في هذه المرحلة ؛ إذا كان مجال ( vecs {F} ) يأتي في قطعتين منفصلتين ، فيمكن أن يكون (k ) ثابتًا (C_1 ) على قطعة واحدة ولكن يمكن أن يكون ثابتًا مختلفًا (C_2 ) على قطعة أخرى. منذ (f − g = h = C ) ، لدينا ذلك (f = g + C ) ، كما هو مطلوب.

(ميدان)

تحتوي حقول المتجه المحافظ أيضًا على خاصية خاصة تسمى الملكية الجزئية. تساعد هذه الخاصية في اختبار ما إذا كان حقل متجه محددًا أم لا.

الملكية المشتركة للحقول المتجهية المحافظة

لنفترض أن ( vecs {F} ) حقل متجه في بعدين أو ثلاثة أبعاد بحيث يكون لوظائف المكون ( vecs {F} ) مشتقات جزئية مختلطة من الدرجة الثانية مستمرة في مجال ( vecs {F} ).

إذا كان ( vecs {F} (x، y) = ⟨P (x، y)، Q (x، y)⟩ ) هو حقل متجه محافظ في (ℝ ^ 2 ) ، إذن

[ dfrac { part P} { جزئي y} = dfrac { جزئي Q} { جزئي x}. ]

إذا كان ( vecs {F} (x ، y ، z) = ⟨P (x ، y ، z) ، Q (x ، y ، z) ، R (x ، y ، z)⟩ ) متجه متحفظ الحقل في ({ mathbb {R}} ^ 3 ) ، إذن

[ تبدأ {محاذاة *} dfrac { part P} { جزئي y} = dfrac { جزئي Q} { جزئي x} [4pt] dfrac { جزئي Q} { جزئي z} = dfrac { جزئي R} { جزئي y} [4pt] dfrac { جزئي R} { جزئي x} = dfrac { جزئي P} { جزئي z}. النهاية {محاذاة *} ]

دليل

نظرًا لأن ( vecs {F} ) محافظة ، فهناك دالة (f (x، y) ) مثل ( vecs nabla f = vecs {F} ). لذلك ، من خلال تعريف التدرج ، (f_x = P ) و (f_y = Q ). من خلال نظرية كلايروت ، (f_ {xy} = f_ {yx} ) ، لكن ، (f_ {xy} = P_y ) و (f_ {yx} = Q_ {x} ) ، وبالتالي (P_y = Q_x ).

(ميدان)

تقدم نظرية Clairaut إثباتًا سريعًا للخاصية الجزئية العرضية لحقول المتجه المحافظة في (ℝ ^ 3 ) ، تمامًا كما فعلت مع الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 ).

توضح خاصية Cross-Partial of Conservative Vector Fields أن معظم الحقول المتجهة ليست محافظة. من الصعب إرضاء خاصية الجزئية العرضية بشكل عام ، لذلك لن تحتوي معظم الحقول المتجهة على جزئيات جزئية متساوية.

أظهر أن حقل متجه الدوران ( vecs {F} (x، y) = ⟨y، ، - x⟩ ) ليس متحفظًا.

حل

دع (P (x، y) = y ) و (Q (x، y) = - x ). إذا كانت ( vecs {F} ) محافظة ، فإن الجزئيات التبادلية ستكون متساوية - أي (P_y ) ستساوي (Q_x ). لذلك ، لإظهار ذلك ( vecs {F} ) ليس متحفظًا ، تحقق من أن (P_y ≠ Q_x ). نظرًا لأن (P_y = 1 ) و (Q_x = −1 ) ، فإن حقل المتجه ليس متحفظًا.

تمرين ( PageIndex {12} )

أظهر أن الحقل المتجه ( vecs F (x، y) = xy ، hat { mathbf i} −x ^ 2y ، hat { mathbf j} ) ليس محافظًا.

تلميح

تحقق من الجزئيات المتقاطعة.

إجابه

(P_y (x، y) = x ) و (Q_x (x، y) = - 2xy ). بما أن (P_y (x، y) ≠ Q_x (x، y) ) ، ( vecs F ) ليس متحفظًا.

مثال ( PageIndex {13} ): إظهار حقل متجه ليس متحفظًا

هل حقل المتجه ( vecs {F} (x، y، z) = ⟨7، −2، x ^ 3⟩ ) محافظ؟

حل

دع (P (x ، y ، z) = 7 ) ، (Q (x ، y ، z) = - 2 ) ، و (R (x ، y ، z) = x ^ 3 ). إذا كان ( vecs {F} ) متحفظًا ، فسيتم استيفاء جميع المعادلات الجزئية العرضية الثلاثة - أي إذا كان ( vecs {F} ) محافظًا ، فسيكون (P_y ) مساويًا ( Q_x ) ، (Q_z ) سيساوي (R_y ) ، و (R_x ) سيساوي (P_z ). لاحظ أن

[P_y = Q_x = R_y = Q_z = 0 nonumber ]

لذلك فإن أول مساواة ضرورية. ومع ذلك ، (R_x (x، y، z) = x ^ 3 ) و (P_z (x، y، z) = 0 ) لذا (R_x ≠ P_z ). لذلك ، ( vecs {F} ) ليس متحفظًا.

تمرين ( PageIndex {13} )

هل حقل المتجه ( vecs {G} (x، y، z) = ⟨y، ، x، ، xyz⟩ ) محافظ؟

تلميح

تحقق من الجزئيات المتقاطعة.

إجابه

لا

نختتم هذا القسم بكلمة تحذير: تشير الخاصية Cross-Partial of Conservative Vector Fields إلى أنه إذا كان ( vecs {F} ) متحفظًا ، فإن ( vecs {F} ) لديه خاصية الجزئية العرضية . النظرية تفعل ليس لنفترض أنه إذا كان ( vecs {F} ) يحتوي على خاصية الجزئية المتقاطعة ، فإن ( vecs {F} ) يكون محافظًا (عكس التضمين لا يساوي منطقيًا الضمني الأصلي). بمعنى آخر ، يمكن أن تساعد الخاصية Cross-Partial of Conservative Vector Fields في تحديد أن الحقل ليس محافظًا ؛ لا يسمح لك باستنتاج أن حقل المتجه محافظ.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك حقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = ⟨x ^ 2y، dfrac {x ^ 3} {3}⟩ ). يحتوي هذا الحقل على خاصية جزئية متقاطعة ، لذلك من الطبيعي محاولة استخدام الخاصية Cross-Partial of Conservative Vector Fields لاستنتاج أن حقل المتجه هذا متحفظ. ومع ذلك ، هذا هو تطبيق خاطئ للنظرية. نتعلم لاحقًا كيف نستنتج أن ( vecs F ) محافظ.

المفاهيم الرئيسية

  • يعين حقل المتجه متجهًا ( vecs {F} (x، y) ) لكل نقطة ((x، y) ) في مجموعة فرعية (D ) من (ℝ ^ 2 ) أو (ℝ ^ 3 ). ( vecs {F} (س ، ص ، ض) ) لكل نقطة ((س ، ص ، ض) ) في مجموعة فرعية (د ) من (ℝ ^ 3 ).
  • يمكن أن تصف حقول المتجهات توزيع كميات المتجهات مثل القوى أو السرعات على منطقة من المستوى أو الفضاء. وهي شائعة الاستخدام في مجالات مثل الفيزياء والهندسة والأرصاد الجوية وعلوم المحيطات.
  • يمكننا رسم حقل متجه من خلال فحص معادلة تعريفه لتحديد المقادير النسبية في مواقع مختلفة ثم رسم متجهات كافية لتحديد نمط.
  • يسمى الحقل المتجه ( vecs {F} ) بالمحافظة إذا كانت هناك دالة عددية (f ) مثل ( vecs nabla f = vecs {F} ).

المعادلات الرئيسية

  • حقل متجه في (ℝ ^ 2 )
    ( vecs {F} (س ، ص) = ⟨P (س ، ص) ، ، س (س ، ص)⟩ )
    أو
    ( vecs {F} (x، y) = P (x، y) ، hat { mathbf i} + Q (x، y) ، hat { mathbf j} )
  • حقل متجه في (ℝ ^ 3 )
    ( vecs {F} (س ، ص ، ض) = ⟨P (س ، ص ، ض) ، ، س (س ، ص ، ض) ، ، ص (س ، ص ، ض)⟩ )
    أو
    ( vecs {F} (x، y، z) = P (x، y، z) ، hat { mathbf i} + Q (x، y، z) ، hat { mathbf j} + R (x، y، z) ، hat { mathbf k} )

قائمة المصطلحات

مجال محافظ
حقل متجه توجد له دالة عددية (f ) مثل ( vecs ∇f = vecs {F} )
مجال التدرج
حقل متجه ( vecs {F} ) يوجد له دالة عددية (f ) مثل ( vecs ∇f = vecs {F} ) ؛ بمعنى آخر ، حقل متجه يمثل تدرج دالة ؛ تسمى هذه الحقول المتجهة أيضًا تحفظا
الوظيفة المحتملة
دالة عددية (f ) مثل ( vecs ∇f = vecs {F} )
مجال شعاعي
حقل متجه تشير فيه جميع النواقل مباشرة نحو الأصل أو بعيدًا عنه مباشرة ؛ يعتمد حجم أي متجه فقط على بعده عن الأصل
مجال الدوران
حقل متجه يكون فيه المتجه عند النقطة ((x، y) ) مماسًا لدائرة نصف قطرها (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) ؛ في مجال الدوران ، تتدفق جميع المتجهات إما في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة ، ويعتمد حجم المتجه فقط على بعده عن الأصل
مجال ناقلات الوحدة
حقل متجه يكون فيه حجم كل متجه 1
حقل شعاعي
تقاس بـ (ℝ ^ 2 ) ، إسناد متجه ( vecs {F} (x ، y) ) لكل نقطة ((x ، y) ) من مجموعة فرعية (D ) من (ℝ ^ 2 ) ؛ في (ℝ ^ 3 ) ، تعيين متجه ( vecs {F} (x ، y ، z) ) لكل نقطة ((x ، y ، z) ) لمجموعة فرعية (D ) of (ℝ^3)


شاهد الفيديو: رياضيات بجروت--المتجهات 1-مقدمة وتعريف-احمد عمري (شهر نوفمبر 2021).