مقالات

تكاملات الخط (تمارين)


1. صحيحة أو خاطئة؟ تكامل الخط ( displaystyle int _C f (x، y) ، ds ) يساوي تكاملًا محددًا إذا كان (C ) عبارة عن منحنى سلس محدد في ([a، b] ) وإذا كانت الوظيفة (f ) مستمر في بعض المناطق التي تحتوي على منحنى (C ).

إجابه:
حقيقي

2. صحيحة أو خاطئة؟ دالات المتجهات ( vecs r_1 = t ، hat { mathbf i} + t ^ 2 ، hat { mathbf j}، quad 0≤t≤1، ) و ( vecs r_2 = ( 1 − t) ، hat { mathbf i} + (1 − t) ^ 2 ، hat { mathbf j}، quad 0≤t≤1 ) ، حدد نفس المنحنى الموجه.

3. صحيحة أو خاطئة؟ ( displaystyle int _ {- C} (P ، dx + Q ، dy) = int _C (P ، dx − Q ، dy) )

إجابه:
خطأ شنيع

4. صحيحة أو خاطئة؟ يتكون المنحنى السلس متعدد الجوانب (C ) من عدد محدود من المنحنيات المتجانسة المرتبطة ببعضها البعض من النهاية إلى النهاية.

5. صحيحة أو خاطئة؟ إذا تم إعطاء (C ) بواسطة (x (t) = t، quad y (t) = t، quad 0≤t≤1 )، ثم ( displaystyle int _Cxy ، ds = int ^ 1_0t ^ 2 ، dt. )

إجابه:
خطأ شنيع

للتمارين التالية ، استخدم نظام الجبر الحاسوبي (CAS) لتقييم تكاملات الخط على المسار المشار إليه.

6. [T] (displaystyle int _C (x + y) ، ds)

(C: x = t، y = (1 − t)، z = 0 ) من ((0، 1، 0) ) إلى ((1، 0، 0) )

7. [T] (displaystyle int _C (x − y) ds)

(C: vecs r (t) = 4t ، hat { mathbf i} + 3t ، hat { mathbf j} ) عندما (0≤t≤2 )

إجابه:
(displaystyle int _C (x − y) ، ds = 10)

8. [T] ( displaystyle int _C (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ، ds )

(C: vecs r (t) = sin t ، hat { mathbf i} + cos t ، hat { mathbf j} + 8t ، hat { mathbf k} ) عندما (0≤t≤ dfrac {π} {2} )

9. [T] أوجد قيمة ( displaystyle int _Cxy ^ 4 ، ds ) حيث (C ) هو النصف الأيمن من الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 16 ) ويتم اجتيازها في اتجاه عقارب الساعة.

إجابه:
( displaystyle int _Cxy ^ 4 ، ds = frac {8192} {5} )

10. [T] أوجد قيمة ( displaystyle int _C4x ^ 3ds ) حيث ج هي القطعة المستقيمة من ((- 2 ، −1) ) إلى ((1 ، 2) ).

بالنسبة للتمارين التالية ، ابحث عن العمل المنجز.

11. ابحث عن العمل المنجز بواسطة حقل المتجه ( vecs F (x، y، z) = x ، hat { mathbf i} + 3xy ، hat { mathbf j} - (x + z) ، قبعة { mathbf k} ) على جسيم يتحرك على طول مقطع خطي يمتد من ((1،4،2) ) إلى ((0،5،1) ).

إجابه:
(W = 8 ) وحدات العمل

12. ابحث عن العمل الذي أنجزه شخص يزن 150 رطلاً ويمشي بالضبط دورة واحدة لأعلى سلم دائري حلزوني نصف قطره 3 أقدام إذا ارتفع الشخص 10 أقدام.

13. أوجد الشغل المنجز بواسطة حقل القوة ( vecs F (x، y، z) = - dfrac {1} {2} x ، hat { mathbf i} - dfrac {1} {2} y ، hat { mathbf j} + dfrac {1} {4} ، hat { mathbf k} ) على جسيم أثناء تحركه على طول اللولب ( vecs r (t) = cos t ، hat { mathbf i} + sin t ، hat { mathbf j} + t ، hat { mathbf k} ) من النقطة ((1،0،0) ) إلى النقطة ((−1،0،3π) ).

إجابه:
(W = frac {3π} {4} ) وحدات عمل

14. ابحث عن العمل المنجز بواسطة حقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = y ، hat { mathbf i} + 2x ، hat { mathbf j} ) في تحريك كائن على طول المسار (C ) ، والتي تجمع النقاط ((1 ، 0) ) و ((0 ، 1) ).

15. أوجد الشغل الذي تم إجراؤه بالقوة ( vecs {F} (x، y) = 2y ، hat { mathbf i} + 3x ، hat { mathbf j} + (x + y) ، hat { mathbf k} ) في تحريك كائن على طول المنحنى ( vecs r (t) = cos (t) ، hat { mathbf i} + sin (t) ، hat { mathbf j } +16 ، hat { mathbf k} ) حيث (0≤t≤2π ).

إجابه:
(W = π ) وحدات العمل

16. أوجد كتلة سلك على شكل دائرة نصف قطرها 2 متمركزة عند (3، 4) بكثافة كتلة خطية (x (x، y) = y ^ 2 ).

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بتقييم تكاملات الخط.

17. تقييم ( displaystyle int_C vecs F · d vecs {r} ) ، حيث ( vecs {F} (x، y) = - 1 ، hat { mathbf j} ) ، و (C ) هو جزء من الرسم البياني لـ (y = 12x ^ 3 − x ) من ((2،2) ) إلى ((- 2، −2) ).

إجابه:
( displaystyle int _C vecs F · d vecs {r} = 4 )

18. قم بتقييم ( displaystyle int _γ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {- 1} ds ) ، حيث (γ ) هو الحلزون (x = cos t، y = الخطيئة t ، z = t ، ) مع (0≤t≤T. )

19. أوجد قيمة ( displaystyle int _Cyz ، dx + xz ، dy + xy ، dz ) على مقطع من ((1،1،1) ) إلى ((3،2،0). )

إجابه:
( displaystyle int _Cyz ، dx + xz ، dy + xy ، dz = −1 )

20. دع (C ) هو الجزء المستقيم من النقطة (0 ، 1 ، 1) إلى النقطة (2 ، 2 ، 3). تقييم تكامل الخط ( displaystyle int _Cy ، ds. )

21. [T] استخدم نظام الجبر الحاسوبي لتقييم تكامل الخط ( displaystyle int _Cy ^ 2 ، dx + x ، dy ) حيث (C ) هو قوس القطع المكافئ (x = 4 − y ^ 2 ) من ((- 5 ، −3) ) إلى ((0 ، 2) ).

إجابه:
( displaystyle int _C (y ^ 2) ، dx + (x) ، dy = dfrac {245} {6} )

22. [T] استخدم نظام الجبر الحاسوبي لتقييم تكامل الخط ( displaystyle int _C (x + 3y ^ 2) ، dy ) على المسار (C ) المعطى بواسطة (x = 2t، y = 10t، ) حيث (0≤t≤1. )

23. [T] استخدم CAS لتقييم خط متكامل ( displaystyle int _C xy ، dx + y ، dy ) على المسار (C ) معطى من قبل (x = 2t، y = 10t ) حيث (0 ≤t≤1 ).

إجابه:
( displaystyle int _Cxy ، dx + y ، dy = dfrac {190} {3} )

24. احسب قيمة تكامل الخط ( displaystyle int _C (2x − y) ، dx + (x + 3y) ، dy ) حيث (C ) يقع على طول (x ) - المحور من (x = 0 ) إلى (س = 5 ).

26. [T] استخدم CAS لتقييم ( displaystyle int _C dfrac {y} {2x ^ 2 − y ^ 2} ، ds ) حيث يتم تعريف (C ) بواسطة المعادلات البارامترية (x = t، y = t ) ، لـ (1≤t≤5. )

إجابه:
( displaystyle int _C frac {y} {2x ^ 2 − y ^ 2} ، ds = sqrt {2} ln 5 )

27. [T] استخدم CAS لتقييم ( displaystyle int _Cxy ، ds ) حيث يتم تعريف (C ) بواسطة المعادلات البارامترية (x = t ^ 2، y = 4t ) من أجل (0≤t ≤1. )

في التدريبات التالية ، ابحث عن الشغل الذي تم إنجازه بواسطة حقل القوة ( vecs F ) على كائن يتحرك على طول المسار المشار إليه.

28. ( vecs {F} (x، y) = - x ، hat { mathbf i} −2y ، hat { mathbf j} )

(C: y = x ^ 3 ) من ((0 ، 0) ) إلى ((2 ، 8) )

إجابه:
(W = -66 ) وحدات العمل

29. ( vecs {F} (x، y) = 2x ، hat { mathbf i} + y ، hat { mathbf j} )

< (C ): عكس اتجاه عقارب الساعة حول المثلث ذي الرؤوس ((0 ، 0) ، (1 ، 0) ، ) و ((1 ، 1) )

30. ( vecs F (x، y، z) = x ، hat { mathbf i} + y ، hat { mathbf j} −5z ، hat { mathbf k} )

(C: vecs r (t) = 2 cos t ، hat { mathbf i} +2 sin t ، hat { mathbf j} + t ، hat { mathbf k}، ؛ 0≤t≤2π )

إجابه:
(W = −10π ^ 2 ) وحدات العمل

31. لنفترض أن ( vecs F ) يكون حقل متجه ( vecs {F} (x، y) = (y ^ 2 + 2xe ^ y + 1) ، hat { mathbf i} + (2xy + x ^ 2e ^ y + 2y) ، hat { mathbf j} ). احسب عمل التكامل ( displaystyle int _C vecs F · d vecs {r} ) حيث (C ) هو المسار ( vecs r (t) = sin t ، hat { mathbf i} + cos t ، hat { mathbf j}، quad 0≤t≤ dfrac {π} {2} ).

32. احسب العمل المنجز بالقوة ( vecs F (x، y، z) = 2x ، hat { mathbf i} + 3y ، hat { mathbf j} −z ، hat { mathbf k } ) على طول المسار ( vecs r (t) = t ، hat { mathbf i} + t ^ 2 ، hat { mathbf j} + t ^ 3 ، hat { mathbf k} ) حيث (0≤t≤1 ).

إجابه:
(W = 2 ) وحدات العمل

33. تقييم ( displaystyle int _C vecs F · d vecs {r} ) حيث ( vecs {F} (x، y) = dfrac {1} {x + y} ، hat { mathbf i} + dfrac {1} {x + y} ، hat { mathbf j} ) و (C ) هو جزء من دائرة الوحدة يسير عكس اتجاه عقارب الساعة من ((1،0) ) إلى ((0 ، 1) ).

34. فرض ( vecs F (x، y، z) = zy ، hat { mathbf i} + x ، hat { mathbf j} + z ^ 2x ، hat { mathbf k} ) يعمل على جسيم ينتقل من الأصل إلى النقطة ((1 ، 2 ، 3) ). احسب الشغل المنجز إذا كان الجسيم ينتقل:

  1. على طول المسار ((0،0،0) → (1،0،0) → (1،2،0) → (1،2،3) ) على طول مقاطع الخط المستقيم التي تربط كل زوج من نقاط النهاية ؛
  2. على طول الخط المستقيم الذي يربط بين النقاط الأولية والنهائية.
  3. هل العمل هو نفسه على طول المسارين؟

إجابه:
أ. (W = 11 ) وحدات العمل ؛
ب. (W = 11 ) وحدات العمل ؛
ج. نعم

35. ابحث عن العمل المنجز بواسطة حقل المتجه ( vecs F (x، y، z) = x ، hat { mathbf i} + 3xy ، hat { mathbf j} - (x + z) ، قبعة { mathbf k} ) على جسيم يتحرك على طول مقطع خطي يمتد من ((1 ، 4 ، 2) ) إلى ((0 ، 5 ، 1). )

36. ما مقدار العمل المطلوب لتحريك كائن في حقل متجه ( vecs {F} (x، y) = y ، hat { mathbf i} + 3x ، hat { mathbf j} ) على طول الجزء العلوي من القطع الناقص ( dfrac {x ^ 2} {4} + y ^ 2 = 1 ) من ((2، 0) ) إلى ((- 2،0) )؟

إجابه:
(W = 2π ) وحدات العمل

37. تم إعطاء حقل متجه بواسطة ( vecs {F} (x، y) = (2x + 3y) ، hat { mathbf i} + (3x + 2y) ، hat { mathbf j} ) . احسب قيمة خط الحقل حول دائرة نصف قطرها وحدة يتم اجتيازها في اتجاه عقارب الساعة.

38. قم بتقييم تكامل خط الدالة العددية (xy ) على طول المسار المكافئ (y = x ^ 2 ) الذي يربط الأصل بالنقطة ((1، 1) ).

إجابه:
( displaystyle int _C f ، ds = dfrac {25 sqrt {5} +1} {120} )

39. أوجد ( displaystyle int _Cy ^ 2 ، dx + (xy − x ^ 2) ، dy ) على طول (C: y = 3x ) من ((0، 0)) إلى ((1 ، 3). )

40. أوجد ( displaystyle int _Cy ^ 2 ، dx + (xy − x ^ 2) ، dy ) على طول (C: y ^ 2 = 9x ) from ((0، 0) ) to ( (1 ، 3). )

إجابه:
( displaystyle int _Cy ^ 2 ، dx + (xy − x ^ 2) ، dy = 6.15 )

للتمارين التالية ، استخدم CAS لتقييم تكاملات السطر المحددة.

41. [T] تقييم ( vecs F (x، y، z) = x ^ 2z ، hat { mathbf i} + 6y ، hat { mathbf j} + yz ^ 2 ، hat { mathbf k} ) ، حيث يتم تمثيل (C ) بـ ( vecs r (t) = t ، hat { mathbf i} + t ^ 2 ، hat { mathbf j} + ln t ، قبعة { mathbf k} ، 1≤t≤3 ).

42. [T] احسب قيمة تكامل الخط ( displaystyle int _γxe ^ y ، ds ) حيث ، (γ ) هو قوس المنحنى (x = e ^ y ) from ((1،0) ) to ((ه ، 1) ).

إجابه:
( displaystyle int _γxe ^ y ، ds≈7.157 )

43. [T] احسب التكامل ( displaystyle int _γxy ^ 2 ، ds ) حيث (γ ) مثلث برؤوس ((0، 1، 2)، (1، 0، 3))، و ((0، −1،0) ).

44. [T] احسب قيمة تكامل الخط ( displaystyle int _γ (y ^ 2 − xy) ، dx ) حيث (γ ) هو منحنى (y = ln x ) from ((1، 0) ) نحو ((هـ ، 1) ).

إجابه:
(displaystyle int _γ (y ^ 2 − xy) ، dx≈ − 1.379)

45. [T] احسب قيمة تكامل الخط ( displaystyle int_γ xy ^ 4 ، ds ) حيث (γ ) هو النصف الأيمن من الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 16 ).

46. ​​[T] تقييم ( int C vecs F⋅d vecs {r}، int C vecs F · d vecs {r}، ) حيث ( vecs F (x، y، z) = x ^ 2y ، mathbf { hat i} + (x − z) ، mathbf { hat j} + xyz ، mathbf { hat k} ) و

(C: vecs r (t) = t ، mathbf { hat i} + t ^ 2 ، mathbf { hat j} +2 ، mathbf { hat k}، 0≤t≤ 1 ).

إجابه:
( displaystyle int _C vecs F⋅d vecs {r} ≈ − 1.133 ) وحدات العمل

47. تقييم ( displaystyle int _C vecs F⋅d vecs {r} ) حيث ( vecs {F} (x، y) = 2x sin y ، mathbf { hat i} + ( x ^ 2 cos y − 3y ^ 2) ، mathbf { hat j} ) و

(C ) هو أي مسار من ((- 1،0) ) إلى ((5 ، 1) ).

48. ابحث عن تكامل سطر ( vecs F (x، y، z) = 12x ^ 2 ، mathbf { hat i} −5xy ، mathbf { hat j} + xz ، mathbf { hat ك} ) على المسار (C ) المحدد بواسطة (y = x ^ 2 ، z = x ^ 3 ) من النقطة ((0 ، 0 ، 0) ) إلى النقطة ((2 ، 4 ، 8) ).

إجابه:
( displaystyle int _C vecs F⋅d vecs {r} ≈22.857 ) وحدات العمل

49. أوجد تكامل خط ( displaystyle int _C (1 + x ^ 2y) ، ds ) حيث (C ) هو ellipse ( vecs r (t) = 2 cos t ، mathbf { hat i} +3 sin t ، mathbf { hat j} ) من (0≤t≤π. )

بالنسبة للتمارين التالية ، ابحث عن التدفق.

50. احسب تدفق ( vecs {F} = x ^ 2 ، mathbf { hat i} + y ، mathbf { hat j} ) عبر مقطع سطر من ((0، 0) ) إلى ((1، 2). )

إجابه:
( text {flux} = - frac {1} {3} )

51. دع ( vecs {F} = 5 ، mathbf { hat i} ) واجعل (C ) منحنى (y = 0، ) مع (0≤x≤4 ). أوجد التدفق عبر (C ).

52. دع ( vecs {F} = 5 ، mathbf { hat j} ) واجعل (C ) منحنى (y = 0، ) مع (0≤x≤4 ). أوجد التدفق عبر (C ).

إجابه:
( نص {تدفق} = - 20 )

53. دع ( vecs {F} = - y ، mathbf { hat i} + x ، mathbf { hat j} ) ودعنا (C: vecs r (t) = cos t ، mathbf { hat i} + sin t ، mathbf { hat j} ) لـ (0≤t≤2π ). احسب التدفق عبر (C ).

54. دعونا ( vecs {F} = (x ^ 2 + y ^ 3) ، mathbf { hat i} + (2xy) ، mathbf { hat j} ). حساب التدفق ( vecs F ) الموجه عكس اتجاه عقارب الساعة عبر المنحنى (C: x ^ 2 + y ^ 2 = 9. )

إجابه:
( نص {تدفق} = 0 )

أكمل باقي التمارين كما هو مذكور.

55. أوجد تكامل خط ( displaystyle int _C z ^ 2 ، dx + y ، dy + 2y ، dz، ) حيث (C ) يتكون من جزأين: (C_1) و ( C_2. ) (C_1 ) هو تقاطع الأسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 16 ) والطائرة (z = 3 ) من ((0 ، 4 ، 3) ) إلى ((−4،0،3). ) (C_2 ) هو مقطع خط من ((- 4،0،3) ) إلى ((0، 1، 5) ).

56. يتكون الربيع من سلك رفيع ملفوف على شكل حلزون دائري (x = 2 cos t، ؛ y = 2 sin t، ؛ z = t. ) أوجد كتلة دورتين من زنبرك إذا كان السلك له كثافة كتلة ثابتة (ρ ) جرام لكل سم.

إجابه:
(م = 4πρ مربع {5} ) جرام

57. سلك رفيع مثني على شكل نصف دائرة نصف قطرها (أ ). إذا كانت كثافة الكتلة الخطية عند النقطة (P ) تتناسب طرديًا مع المسافة من الخط عبر نقاط النهاية ، فأوجد كتلة السلك.

58. يتحرك كائن في حقل القوة ( vecs F (x، y، z) = y ^ 2 ، mathbf { hat i} +2 (x + 1) y ، mathbf { hat j} ) عكس اتجاه عقارب الساعة من النقطة ((2 ، 0) ) على طول المسار البيضاوي (x ^ 2 + 4y ^ 2 = 4 ) إلى ((- 2،0) ) ، والعودة إلى النقطة ((2 ، 0) ) ) على طول المحور (س ). ما مقدار الشغل الذي يبذله مجال القوة على الجسم؟

إجابه:
(W = 0 ) وحدات العمل

59. ابحث عن العمل المنجز عندما يتحرك كائن في حقل القوة ( vecs F (x، y، z) = 2x ، mathbf { hat i} - (x + z) ، mathbf { hat j} + (y − x) ، mathbf { hat k} ) على طول المسار الذي قدمه ( vecs r (t) = t ^ 2 ، mathbf { hat i} + (t ^ 2 − t) ، mathbf { hat j} +3 ، mathbf { hat k}، ؛ 0≤t≤1. )

60. إذا تم إعطاء حقل القوة العكسية ( vecs F ) بواسطة ( vecs F (x، y، z) = dfrac {k} {‖r‖ ^ 3} r ) ، حيث (k ) ثابت ، ابحث عن العمل الذي أنجزه ( vecs F ) حيث تتحرك نقطة التطبيق على طول (x ) - المحور من (A (1،0،0) ) إلى (B (2 ، 0،0) ).

إجابه:
(W = frac {k} {2} ) وحدات العمل

61. يخطط ديفيد وساندرا لتقييم خط متكامل ( displaystyle int _C vecs F · d vecs {r} ) على طول مسار في (xy ) - الطائرة من ((0، 0) ) إلى ((1 ، 1) ). حقل القوة هو ( vecs {F} (x، y) = (x + 2y) ، mathbf { hat i} + (- x + y ^ 2) ، mathbf { hat j} ). اختار ديفيد المسار الذي يمتد على طول (س ) - المحور من ((0 ، 0) ) إلى ((1 ، 0) ) ثم يمتد على طول الخط العمودي (س = 1 ) من ((1 ، 0) ) إلى النقطة الأخيرة ((1 ، 1) ). تختار ساندرا المسار المباشر على طول الخط القطري (y = x ) من ((0 ، 0) ) إلى ((1 ، 1) ). لمن تكامل الخط أكبر وكم؟

جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


متجه حساب التفاضل والتكامل

هذه هي الصفحة الرئيسية للكتاب المجاني متجه حساب التفاضل والتكاملبقلم مايكل كورال (كلية سكولكرافت).

تحميل

نماذج كود جافا من الكتاب: calc3book_java.zip
إصدارات MATLAB / Octave: ParallelizationArea.zip (بإذن من البروفيسور بنسون مويت (جامعة ميشيغان))
إصدارات Sage: calc3book_sage.zip

ملاحظة: تم إنشاء ملف PDF باستخدام TeXLive 2011 و Ghostscript 9.53 تحت نظام Linux (Fedora).
كود مصدر LaTeX: calc3book-1.0-src.tar.gz

يتم توزيع الكتاب بموجب شروط رخصة التوثيق الحرة GNU ، الإصدار 1.2.

شراء في Lulu.com

يمكنك شراء نسخة مطبوعة وذات غلاف ورقي من الكتاب مع رسومات بتدرج الرمادي مقابل 10 دولارات بالإضافة إلى الشحن على Lulu.com هنا.

شرح الكتاب

هذا نص عن حساب التفاضل والتكامل الأساسي متعدد المتغيرات ، مصمم للطلاب الذين أكملوا دورات في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير. يتم تناول الموضوعات التقليدية: خطوط الجبر المتجهية الأساسية ، والدالات والأسطح ذات القيمة المتجهية ، وظائف ذات متغيرين أو ثلاثة متغيرات ، والمشتقات الجزئية ، وتحسين تكاملات الخطوط المتعددة والتكاملات السطحية.

يتضمن الكتاب أيضًا مناقشة الطرق العددية: طريقة نيوتن للتحسين ، وطريقة مونت كارلو لتقييم التكاملات المتعددة. هناك قسم يتعامل مع تطبيقات الاحتمالات. تتضمن الملاحق إثباتًا لقاعدة اليد اليمنى للمنتج المتقاطع ، ودليلًا تعليميًا قصيرًا حول استخدام Gnuplot لوظائف الرسوم البيانية لمتغيرين.

يوجد 420 تمرين في الكتاب. يتم تضمين الإجابات على التمارين المختارة.

جدول المحتويات

  1. النواقل في الفضاء الإقليدي
    • مقدمة
    • ناقل الجبر
    • المنتج نقطة
    • المنتوج الوسيط
    • خطوط وطائرات
    • الأسطح
    • الإحداثيات المنحنية
    • الدالات ذات القيمة المتجهية
    • طول القوس
  2. وظائف عدة متغيرات
    • وظائف متغيرين أو ثلاثة
    • المشتقات الجزئية
    • مستوى الظل إلى سطح
    • المشتقات الاتجاهية والتدرج
    • ماكسيما والصغرى
    • التحسين غير المقيد: الطرق العددية
    • التحسين المقيد: مضاعفات لاغرانج
  3. تكاملات متعددة
    • تكاملات مزدوجة
    • تكاملات مزدوجة على منطقة عامة
    • ثلاثية التكاملات
    • التقريب العددي للتكاملات المتعددة
    • تغيير المتغيرات في التكاملات المتعددة
    • التطبيق: مركز الكتلة
    • التطبيق: الاحتمالية والقيمة المتوقعة
  4. تكاملات الخط والسطح
    • تكاملات الخط
    • خصائص تكاملات الخط
    • نظرية جرين
    • التكاملات السطحية ونظرية الاختلاف
    • نظرية ستوكس
    • التدرج والتباعد والضفيرة واللابلاسيان
  • فهرس
  • الملحق أ: إجابات وتلميحات حول تمارين مختارة
  • الملحق ب: دليل على قاعدة اليد اليمنى للمنتج المتقاطع
  • الملحق ج: الرسوم البيانية ثلاثية الأبعاد باستخدام Gnuplot

(2021-01-05) نظف صفحة الويب لجعلها أقل بشاعة وأكثر اتساقًا مع الصفحة التي تم تجديدها حساب التفاضل والتكامل الابتدائي.

  • الملحق أ: تم الآن إصلاح الإجابة على التمرين 5 من القسم 1.9.
  • القسم 1.1: في المثال 1.3 (د) ، أصبح R ^ 3 له البعد الصحيح.
  • القسم 1.7: في المثال 1.33 ، أصبح الطرح الآن زائدًا.
  • الملحق أ: تمت إزالة تجاوز الهامش في الإجابات للقسم 2.4.

تسببت مشاكل إعداد TeXLive 2014 في العديد من المشكلات عند محاولة تجميع الكتاب. انتهى بي الأمر بالعودة إلى TeXLive 2011 لإصلاح كل ذلك ، وقد نجح الأمر. حتى الآن ، بعد العديد من الطلبات ، استعدت أخيرًا القدرة على شراء نسخة مطبوعة ومجلدة على Lulu.com. حتى أنها أرخص من ذي قبل. انظر إلى الرابط بالقرب من أعلى هذه الصفحة.

في ملاحظة جانبية ، هناك العديد من الأشياء حول الكتاب التي أود تغييرها الآن ، بعد تجربة كتابة علم المثلثات الكتاب وخاصة حساب التفاضل والتكامل الابتدائي الكتاب ، سواء من حيث المحتوى أو الأسلوب. لم أقرر ذلك بعد ، لكن إذا أعدت الكتابة متجه حساب التفاضل والتكامل ثم سأبقي الإصدار الحالي متاحًا بالإضافة إلى الإصدار الجديد. أي قرار بشأن ذلك لن يكون لمدة عام آخر على الأقل.

(2013-05-21) أخيرًا (!) قمت بتحميل إصدارات MATLAB / Octave من البرامج في الكتاب ، والتي أرسلها لي البروفيسور بنسون مويتي (جامعة ميشيغان) منذ أكثر من عام. أعتذر عن التأخير ، عذري الوحيد هو أن جدول أعمالي أصبح محمومًا بشكل لا يصدق خلال العام الماضي. الآن بعد أن استقرت الأمور مرة أخرى ، يجب أن يكون لدي بعض الوقت لبدء العمل على ترجمة فرنسية لـ متجه حساب التفاضل والتكامل (وكذلك النهاية حساب التفاضل والتكامل الابتدائي). كان هناك العديد من العروض من الناس حول العالم لترجمة كتبي إلى لغات أخرى. على سبيل المثال ، سينشر البروفيسور كويشيرو ياماشيتا ترجمته اليابانية على http://kymst.net بعد أن ينهيها.

أحدث إصدار من متجه حساب التفاضل والتكامل يحتوي على تصحيح لخطأ مطبعي في إحدى المخططات (الشكل 1.8.3 في الصفحة 54) ، والذي وجده الأستاذ ياماشيتا.

(2012-02-13) لقد قمت بنقل أمثلة كود Java في القسمين 2.6 و 3.4 إلى Sage ، وهو نظام برامج رياضيات قوي ومجاني مفتوح المصدر يكتسب شعبية. توجد أمثلة التعليمات البرمجية لـ Sage في ملف calc3book_sage.zip ، ويمكن تشغيلها إما على سطر الأوامر أو كأوراق عمل في دفتر ملاحظات Sage. راجع ملف README المضمن لمزيد من التفاصيل.

سبب القيام بذلك هو أنني تلقيت طلبًا منذ بضع سنوات لإعادة كتابة أمثلة التعليمات البرمجية هذه لـ Sage. لم أكن على دراية بـ Sage كما أنا الآن ، لذلك تمكنت أخيرًا من القيام بذلك. بشكل عام ، سأستخدم Sage أكثر ، وعلى وجه الخصوص سيتم استخدامه على نطاق واسع لأمثلة الكود في مقالتي القادمة حساب التفاضل والتكامل الابتدائي الكتاب.

(2011-06-29) صدرت النسخة الأخيرة من الكتاب. محتوى الكتاب في الأساس هو نفسه كما كان من قبل. كان التغيير الكبير في تبديل الخط الرياضي من txfonts إلى Fourier-GUTenberg. تم القيام بذلك لجعل الخطوط أكثر اتساقًا. على وجه الخصوص ، تستخدم حزمة fouriernc الخطوط النصية العادية New Century Schoolbook للأرقام والحروف في وضع الرياضيات. بهذه الطريقة لم يعد هناك تناقض بين وجود أرقام وحروف تشبه الأحرف الرومانية من txfonts في وضع الرياضيات مقابل الأرقام والأحرف ذات المظهر المختلف لـ New Century Schoolbook في النص الرئيسي. تطلب هذا التغيير القليل من تعديل المساحة في النص ، لأن بعض الرموز في خطوط Fourier-GUTenberg أصغر قليلاً من تلك الموجودة في txfonts. تم أيضًا تغيير خط sans serif ، من Avant Garde إلى Helvetica.

كان هناك تغيير آخر يتمثل في تنظيف الرسومات ، والتي كانت تحتوي أيضًا على مزيج من الخطوط غير المتسقة ومشكلات أخرى (لا سيما الرسومات التي تم إنشاؤها باستخدام MetaPost و Gnuplot). تم تحسين رسومات Gnuplot بشكل طفيف على بعض الإعدادات الافتراضية التي استخدمتها في الأصل.

هذه التغييرات في المظهر تجعل الكتاب يبدو أفضل بشكل عام ، في رأيي ، وقد طال انتظاره. كما أنه يجعل الكتاب يتماشى مع المظهر العام والمظهر الخاص بي علم المثلثات كتابي القادم حساب التفاضل والتكامل الابتدائي كتاب (مقدمة لهذا الكتاب).

فيما يتعلق بالمحتوى في النص الرئيسي نفسه ، فإن التغييرات الوحيدة هي:

  • أضفت توضيحًا بسيطًا للعلاقة بين المحددات وأحجام الخطوط المتوازية ، قبل النظرية 1.17 في القسم 1.4. على وجه الخصوص ، أعطي الشروط عندما يعطي المحدد الحجم الموجب أو الحجم السالب.
  • أضفت في القسم 1.7 حاشية سفلية حول استخدام اليد اليسرى للتعريف المعتاد لنظام الإحداثيات الكروية الذي يستخدمه علماء الرياضيات. لقد فعلت ذلك لأن طلاب الفيزياء قد يشعرون بالارتباك عندما يرون تعريفات & theta و & phi تتحول في فصول الفيزياء الخاصة بهم.
  • تم تحسين قوائم التعليمات البرمجية لاستخدام خط أحادي المسافة (Bitstream Vera Sans Mono). ما زلت لا أعرف ما الذي جعلني أستخدم خطًا متناسبًا في الأصل.
  • تم تحديث عنوان URL لتنزيل Java (منذ أن اشترت Oracle شركة Sun Microsystems).
  • أربعة تصحيحات في الإجابات في الملحق أ: 1.5 # 1 ، 1.9 # 3 ، 4.1 # 11 ، 4.5 # 4 (بفضل P. Taskas و G. Strzalkowski).
  • تعليمات محدثة لاستخدام Gnuplot في الملحق C (في إصدار Windows ، تم تغيير بعض الإعدادات الافتراضية والإجراءات بشكل طفيف).

تحديث (2011-06-30): تم أيضًا تحديث النسخة المطبوعة من الكتاب على موقع Lulu.com بآخر التغييرات.

(2011-04-17) لقد كتبت برنامجًا تعليميًا قصيرًا جدًا (من 10 صفحات) حول استخدام نظام التنضيد LaTeX. يمكنك تنزيله من هنا: latex-tutorial.pdf
الكود المصدري للدورة التعليمية متاح هنا: latex_tutorial.zip
تم إنشاء البرنامج التعليمي في الأصل للطلاب في الفصل الذي أقوم بتدريسه في هذا الفصل الدراسي ، وقد قمت بتوسيعه قليلاً منذ ذلك الحين. آمل أن يجدها الآخرون مفيدة.

(2010-06-06) تم تصحيح الأخطاء المطبعية في إثبات النظرية 1.20 (f) في الصفحة 53 (بفضل F. Dockhorn للعثور عليها). أحدث إصدار من حزمة رسومات TikZ / PGF كسر المخططات الموجودة في الصفحات 60-61 ، لذلك تم تحديث رمز هذه الرسوم البيانية. أيضًا ، ما زلت أعمل على prequel - حساب التفاضل والتكامل الابتدائي - والتي (باستثناء زيادة خارقة في إنتاجيتي) لن تكون جاهزة على الأرجح حتى وقت ما من العام المقبل.

(2009-09-13) كتاب المؤلف الجديد ، علم المثلثات، انه متاح الان. توجد الصفحة الرئيسية هنا: mecmath.net/trig/

(2009-07-22) مقدمة هذا الكتاب الذي سيكون بعنوان حساب التفاضل والتكامل الابتدائي، قيد الإعداد. سيغطي حساب متغير واحد. الهدف هو إتاحتها بحلول نهاية هذا العام أو أوائل العام المقبل. كتاب آخر عن علم المثلثات أوشك على الانتهاء وسيتوفر هنا بنهاية أغسطس 2009. كلا الكتابين سيكونان مجانيين وسيصدران بموجب رخصة التوثيق الحرة GNU ، كاملة مع كود مصدر LaTeX.

(2009-07-22) في الملحق أ ، تم تصحيح الإجابة على التمرين 5 في القسم 2.3. شكرا ل E. Cavazos للإشارة إلى الخطأ. هذا هو التغيير الوحيد في الإصدار الجديد (2009-07-22) من الإصدار السابق (2009-03-29).

(2009-07-10) نشر البروفيسور مارشال هامبتون من جامعة مينيسوتا ، دولوث بعض الملاحظات حول تجميع شفرة مصدر LaTeX للكتاب تحت OS X ، والتي يمكنك قراءتها هنا.

اتصال

يمكن الوصول إلى مؤلف الكتاب ، مايكل كورال ، عبر البريد الإلكتروني على العنوان


ربما للاستخدام
## d vec r = sum_1 ^ 3 h_i vec e_i du_i = fracدكتور + فاركد ثيتا + فاركد فاي ##.


3. محاولة الحل

أفترض أن ## C ## يرد في الإحداثيات الديكارتية لأنه لم يُذكر أي شيء آخر. نلاحظ أنه في معلماتنا لدينا ## alpha in (0،2 pi) ##. نريد أن نحسب
## int_C vec F cdot d vec r ##.
لذا كما أراها ، فأنا بحاجة إما إلى تحويل حقل المتجه إلى إحداثيات ديكارتية والتي تبدو مثل الكثير من العمل وربما ليس الغرض من التمرين أو إيجاد طريقة للتعبير عن المعلمات في الإحداثيات الكروية ثم معرفة كيفية دمج ذلك .

تتمثل إحدى الطرق في الحصول على ## (r، theta، phi) ## إحداثيات بواسطة الصيغ
يبدأ
r = sqrt\
theta = arccos frac< sqrt>\
phi = arctan frac
نهاية
والذي يبدو أنه يعطيني معادلات أسوأ. هل من تلميحات حول كيفية البدء؟


فعلت. لم يكن كتاب التفاضل والتكامل الخاص بي يحتوي على ما كنت أبحث عنه بالضبط ، لذلك كان علي & quot ؛ تكوينه. & quot

كيف ذلك؟ إنه ذو بعدين ، مثل المنطقة. وإذا كانت [tex] f (r، theta) = 1 [/ tex] ، فإن التكامل يعمل على [tex] pi r ^ 2 [/ tex] - مساحة الدائرة ، وهو ما أتوقعه.

ها أنت ذا - اقتبس مباشرة:

ها أنت ذا - اقتبس مباشرة:

أعتقد أنه من الأفضل أن أعود وأخبر الأستاذ أن مشكلته معيبة ، حيث أن & quotline of length l & quot لا يتضمن منطقة.

إذا نظرنا عن كثب ، فإنه يظهر كـ f = A ، للأسباب التالية:

لسوء الحظ ، لا بد لي من استخدام مضاعفات لاغرانج. هذا هو الهدف من التمرين.

وقال الأستاذ إنه سيكون من الأسهل استخدام الإحداثيات القطبية. لا يمكننا أيضًا افتراض أن الخط عبارة عن دائرة في البداية. يحيط الخط منطقة عشوائية الشكل. ومن المفترض أن يوضح الحل أنها دائرة. إذا بدأت بمعادلة الدائرة ، فأنا لم أعرض أي شيء (كلمات الأستاذ).

يبدو أنني كنت أبحث في المكان الخطأ في كتاب التفاضل والتكامل الخاص بي. لقد وجدت المعادلات التالية للمساحة والطول.

إذا كانت معادلة الخط الخاص بي هي [tex] r = g ( theta) [/ tex] ، فإن تكامل مساحتي هو [tex] A = int frac <1> <2> g ^ 2 ( theta) d theta [/ tex] ، وبالطبع سيكون [tex] A = oint frac <1> <2> g ^ 2 ( theta) d theta [/ tex].

سيكون طول الخط (على طول الطريق) هو [tex] L = oint sqrt د ثيتا [/ تكس]

حتى الآن وضع طريقة لاغرانج:

[tex] Lambda = frac <1> <2> oint g ^ 2 ( theta) d theta + lambda ( oint sqrt d theta) -L) [/ tex]


تمارين الإلقاء للكلمات "ب":

اشترت بيتي القليل من الزبدة ،
لكنها وجدت الزبدة مرة ،
لذا اشترت بيتي القليل من الزبدة & # xa0 أفضل لجعل الزبدة المرة أفضل

دم أزرق ، دم أسود.
الحشرة السوداء ، الحشرة الزرقاء.

بيل كان لديه لوحة إعلانية.
كان لدى بيل أيضًا فاتورة لوحة.
فاتورة المجلس بالملل بيل ،
لذا باع بيل لوحته الإعلانية
ودفع فاتورة مجلس إدارته.
ثم فاتورة المجلس
لم يعد بيل يشعر بالملل ،
ولكن على الرغم من عدم وجود فاتورة لوحة ،
كما أنه لم يكن لديه لوحة الإعلانات الخاصة به!

إليكم مقطعًا صوتيًا صغيرًا لي * أقول تلك الكلمات الكلاسيكية "B" لسان اللسان: "Betty Botter" و "Bill كان عنده لوحة إعلانية". انقر لتشغيلها.

* أنا نيوزيلندي. هذه هي اللهجة التي تسمعها.

بالنسبة للكلمات 'D' جرب:

عشرين مناديل عشاء دمشقية مزدوجة ،
عشرين مناديل عشاء دمشقية مزدوجة.

لا تسقط في نزل Dewdrop ،
لا تسقط في Dewdrop Inn.

ما مقدار الندى الذي يمكن أن تسقطه قطرة الندى إذا أسقطت قطرة الندى ندى؟

أسفل عرين رطب مظلم رطب عميق ،
أسفل عرين رطب مظلم رطب عميق.


تمارين الاحماء

للحصول على تدفق الدم ورفع معدل ضربات القلب ، تحرك عبر سلسلة الذراع المكونة من أربعة أجزاء والتي لا تحمل أكثر من خمسة أرطال من الدمبل في كل يد. أبقِ قدميك متباعدتين بمقدار عرض الورك ، مع ثني الركبتين قليلاً ، والصدر بزاوية لأسفل ، واللب معصوب. أكمل مجموعتين من خمس ممثلين لكل منهما ، واستريحي بعد كل مجموعة حسب الحاجة.

فيديوهات ذات علاقة

ص: دع ذراعيك تتدلى على جانبيك. حافظ على استقامة مرفقيك ، ومد ذراعيك لأعلى فوق رأسك حتى تصبح العضلة ذات الرأسين بجوار أذنيك ، لتشكيل الحرف Y. للأسفل وكرر خمس مرات.

T: دع ذراعيك تتدلى على جانبيك. حافظ على استقامة مرفقيك ، ومد ذراعيك للخارج إلى الجانبين حتى يتساوىان مع كتفيك ، وشكل الحرف T. للأسفل وكرر ذلك خمس مرات.

W: اثنِ مرفقيك مع توجيه الساعدين للداخل ، بالتوازي مع بعضهما البعض. مع الحفاظ على الانحناء في مرفقيك ، قم بمد ذراعيك لأعلى وللخلف ، وشكل الحرف W. اضغط على لوحي كتفك في الأعلى لإطلاق عضلات ظهرك. اخفض وكرر خمس مرات.

L: دع ذراعيك تتدلى على جانبيك. ارفع من خلال كتفيك مع توجيه مرفقيك لإنشاء زاوية 90 درجة حتى يتوازى ذراعيك العلويين مع الأرض. توقف عند المرفقين ، قم بتدوير الساعدين لأعلى وللخلف ، لتشكيل الحرف L. قم بالتدوير لأسفل مرة أخرى ، ثم حرر ذراعيك على جانبيك وكرر ذلك خمس مرات.


اختيار أفضل التمارين لك

إذن كيف تعرف ما هي تمارين العلاج الطبيعي الأفضل لحالتك المحددة؟ أفضل طريقة لمعرفة أنك تقوم بالتمرين المناسب لك هي زيارة معالجك الطبيعي لبضع جلسات. يمكن لـ PT الخاص بك تقييم حالتك ووصف التمارين الصحيحة لتقوم بها.

بطبيعة الحال ، يمكنك أن تتوقع القليل من الألم من القيام بتمارين جديدة قد لا يكون جسمك معتادًا عليها. عادةً ما يستمر ظهور ألم العضلات المتأخر ، أو DOMS ، لبضعة أيام بعد بدء التمرين. لكن التمارين التي يصفها اختبار PT الخاص بك يجب ألا تجعل حالتك أسوأ بشكل ملحوظ. إذا تسببت ممارسة الرياضة في تفاقم حالتك ، فتوقف عن التمارين واستشر معالجك الطبيعي. قد تقوم بتمرينك بشكل غير صحيح ، أو قد تحتاج ببساطة إلى إيجاد تمرين بديل للقيام به لحالتك.

تم تصميم العديد من التمارين التي يصفها معالجك الفيزيائي لمساعدتك على الشعور بالتحسن. عند أداء تمارين العلاج الطبيعي ، يجب أن تشعر أن ألمك يتحسن أو يتغير بطريقة إيجابية.


اكتسب قوة عملية وديناميكية لأي نشاط بدني أو مهارة حركية

لقد قمنا & # 8217 بدمج وصقل أفضل الحركات والأساليب في برنامج مباشر يمكنك استخدامه مرارًا وتكرارًا لتصبح أقوى في أي وقت وفي أي مكان & # 8211 جميعًا بنفس سعر زوج أحذية الجري اللائق.

حتى لو لم تتمكن من البدء على الفور، أو إذا كنت تريد أن تأخذ الأمور ببطء ، فلا بأس بذلك. يمكنك أن تبدأ وقتما تشاء ، وتستغرق المدة التي تريدها ، وتكرر البرنامج عدة مرات كما تريد. تشمل عضويتك جميع التحديثات المستقبلية.


13 يونيو 2008

تمرين في Groupoidification: مسار التكامل

بقلم أورس شرايبر

كما ذكرنا في الإدخال الأخير منذ فترة ، كان البعض منا مشغولًا جدًا بالتفكير هنا

ما هو المسار الكمومي لا يتجزأ حقا?

كنا نحاول فهم ذلك من خلال النظر إلى نماذج ألعاب اندماجية محدودة ومحدودة. لا يمكنني & # x2019t أن أقول إلى أي مدى وصل جون بايز وأليكس هوفنونج منذ ذلك الحين ، لكني أعرف إلى أي مدى وصلت. من هنا أتيت:

الجزء الأكثر غموضًا هو هذا: مع حقا الطريقة الصحيحة للنظر إلى هذا ينبغي كن صحيحًا أن تحويل هذا الكرنك إلى خافت & # x3a3 = n خافت Sigma = n يؤدي بطريقة سحرية إلى تكامل المسار نفسه ، وبالتالي إدراك ملاحظة Dan Freed & # x2019 القديمة التي مفادها أن تكامل المسار يجب أن يكون مجرد جزء من البعد العلوي لعملية عامة والتي دائما يتعدى فقط ثم يأخذ الأقسام. إذا جاء هذا كما هو مأمول ، فسيبدأ المرء في الأمل في أن يقدم هذا تلميحات حول الكيفية التي ينبغي لنا القيام بها حقا يكون التفكير في سر المسار لا يتجزأ.

على أي حال ، كان لدي مجموعة من الأفكار حول هذا الأمر ، لكنني لم أصل إلى النقطة التي كنت سعيدًا فيها تمامًا. الآن هنا شيء بسيط ولكنه يبدو لي بعض الشيء مثل التقدم. تمرين بسيط في Groupoidification. لم يكن لدي الوقت حقًا لأعتقد أنه صحيح في مجمله. لكن هذا & # x2019s سبب إضافي لمشاركته.

لذلك أريد أن ألقي نظرة على هذا الإعداد البسيط بشكل مثير للشفقة:

الخلفية / الدافع

هل ما زال الجميع يتابعون؟ لكن إلى حد ما هذا مجرد دافع للوضع البسيط التالي الذي أريد إلقاء نظرة عليه:

فترة من المجموعات

دعونا نبني مجموعة من المجموعات المحدودة بهذه الطريقة:

الآن نبني مسافة من هذه من النموذج

حسنًا ، لنقم الآن بإجراء الجبر الخطي الجماعي ونرى كيف أن حزم المجموعات تتعدى & # x393 X Gamma_X سحب الدفع خلال هذا الامتداد.

أن تكون عامل المجموعات الذي يرسل الكائن الفردي للمجموعة الطرفية إلى هذا الكائن (x، v) (x، v) في & # x393 X Gamma_X.

ولكن نظرًا لأن تسميات المسارات هي أقسام من عامل النقل المخالف فوق هذه المسارات ، مما يعني فقط أن هذه أقسام مسطحة من النقل الأصلي عبر هذه المسارات ، فهذا يعني أن v & # x2032 v 'الظاهر هنا هو من الشكل & # x2207 (g) v nabla (g) v لـ gg النقل الموازي على المسار المحدد.

لكن هذا & # x2019s هو نواة المسار الصحيح المتكاملة للانتشار من x x إلى y y التي تعمل على الحالة v v على x x.

About all ingredients of the above we have talked before, in one way or another. Lots of ingredients from John’s discussion of groupoidification and John an Jeffrey’s �tegorified” quantum mechanics appear. But somehow I feel that I have not before put things together in the picture as above. To me, I had the feeling this clarified some things that had been a bit mysterious to me before:

a) the fact that the path integral should be “taking sections at codimension 0”

b) the natural connection of a) to groupoidification

c) the natural and automatic appearance of V V -colored sets.

But I have to stop here. If Konrad or Hisham read this, or some of the other people waiting for me getting back to them with tasks finished, they’ll be unhappy to see me instead talk about foundational abstract nonsense here. But I needed to relax a bit. :-)

TrackBack URL for this Entry:   https://golem.ph.utexas.edu/cgi-bin/MT-3.0/dxy-tb.fcgi/1713


تمارين

Integrate each of the following functions:

Exercise 1

(since this is the only substitution that works. The other "likely" one, `v=1-4x^2`, doesn't give us anything useful when we differentiate while doing the integral. I'm using `v` this time, so as not to confuse things with `u` in the following formula.)

In this example, `u=2x`, so we have `(du)/dx = 2`.

Thus `(dv)/(dx) = (d(cos^-1 2x))/(dx)= (dv)/(du) (du)/dx ` `= (-1)/sqrt(1-(2x)^2)(2) = (-2)/(sqrt[1-4x^2])`

Now our integral doesn't have `-2` as a constant anywhere, but it does have `1/(sqrt[1-4x^2])dx`, so we'll write our differential expression as follows, by dividing throughout by `-2`:


شاهد الفيديو: المقطع تكامل غير محدد تكاملات الكسور الجزئية تمارين صالتمرينكاملا (شهر نوفمبر 2021).