مقالات

5.4: متوسط ​​قيمة الوظيفة


5.4 متوسط ​​قيمة الوظيفة

غالبًا ما نحتاج إلى إيجاد متوسط ​​مجموعة من الأرقام ، مثل متوسط ​​درجة الاختبار. لنفترض أنك تلقيت درجات الاختبار التالية في صفك في الجبر: 89 ، 90 ، 56 ، 78 ، 100 ، و 69. تقدير الفصل الدراسي الخاص بك هو متوسط ​​درجات الاختبار وتريد معرفة الدرجة التي تتوقعها. يمكننا إيجاد المتوسط ​​عن طريق جمع كل الدرجات والقسمة على عدد الدرجات. في هذه الحالة ، هناك ستة درجات اختبار. هكذا،

[ dfrac {89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 69} {6} = dfrac {482} {6} ≈80.33. ]

لذلك ، يبلغ متوسط ​​درجات اختبارك حوالي 80.33 ، وهو ما يُترجم إلى B− في معظم المدارس.

لنفترض ، مع ذلك ، أن لدينا دالة (v (t) ) تعطينا سرعة كائن ما في أي وقت t ، ونريد إيجاد متوسط ​​سرعة الكائن. تأخذ الوظيفة (v (t) ) عددًا لا نهائيًا من القيم ، لذلك لا يمكننا استخدام العملية الموضحة للتو. لحسن الحظ ، يمكننا استخدام تكامل محدد لإيجاد القيمة المتوسطة لدالة كهذه.

دع (f (x) ) مستمرًا خلال الفاصل ([a، b] ) وليكن تقسيم ([a، b] ) إلى n فترات عرض فرعية (Δx = (b − a) /ن). اختر ممثل (x ^ ∗ _ i ) في كل فترة فرعية وحساب (f (x ^ ∗ _ i) ) من أجل (i = 1،2 ، ... ، n. ) بعبارة أخرى ، ضع في اعتبارك كل ( f (x ^ ∗ _ i) ) كعينة من الوظيفة عبر كل فترة فرعية. يمكن بعد ذلك تقريب متوسط ​​قيمة الوظيفة كـ

[ dfrac {f (x ^ ∗ _ 1) + f (x ^ ∗ _ 2) + ⋯ + f (x ^ ∗ _ n)} {n} ، ]

وهو في الأساس نفس التعبير المستخدم لحساب متوسط ​​القيم المنفصلة.

لكننا نعرف (Δx = dfrac {b − a} {n}، ) لذلك (n = dfrac {b − a} {Δx} ) ، ونحصل على

[ dfrac {f (x ^ ∗ _ 1) + f (x ^ ∗ _ 2) + ⋯ + f (x ^ ∗ _ n)} {n} = dfrac {f (x ^ ∗ _ 1) + f (x ^ ∗ _2) + ⋯ + f (x ^ ∗ _ n)} { dfrac {(b − a)} {Δx}}. ]

بعد الجبر ، البسط هو مجموع يتم تمثيله على النحو التالي ( sum_ {i = 1} ^ nf (x ∗ i)، ) ونحن نقسم على كسر. للقسمة على كسر ، اقلب المقام واضرب. وبالتالي ، يتم إعطاء قيمة تقريبية لمتوسط ​​قيمة الوظيفة بواسطة

( dfrac { sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i)} { dfrac {(b − a)} {Δx}} = ( dfrac {Δx} {b − a}) sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) = ( dfrac {1} {b − a}) sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx. )

هذا مبلغ ريمان. بعد ذلك ، للحصول على القيمة المتوسطة الدقيقة ، خذ الحد حيث يذهب n إلى اللانهاية. وبالتالي ، يتم إعطاء متوسط ​​قيمة الوظيفة بواسطة

( dfrac {1} {b − a} lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) Δx = dfrac {1} {b − a} ∫ ^ b_af (x) dx . )

التعريف: متوسط ​​قيمة الوظيفة

دع (f (x) ) مستمرًا خلال الفاصل ([a، b] ). ثم ، متوسط ​​قيمة الوظيفة (f (x) ) (أو (f_ {ave} )) في ([a، b] ) مُعطى بواسطة

[f_ {ave} = dfrac {1} {b − a} ∫ ^ b_af (x) dx. ]

مثال ( PageIndex {8} ): إيجاد متوسط ​​قيمة دالة خطية

أوجد متوسط ​​قيمة (f (x) = x + 1 ) خلال الفترة ([0،5]. )

حل

أولاً ، قم برسم الوظيفة على الفاصل الزمني المحدد ، كما هو موضح في الشكل.

الشكل ( PageIndex {10} ):يوضح الرسم البياني المنطقة الواقعة تحت الوظيفة ((س) = س + 1 ) فوق ([0،5]. )

المنطقة شبه منحرف يقع على جانبها ، لذا يمكننا استخدام صيغة المنطقة لشبه المنحرف (A = dfrac {1} {2} h (a + b) ، ) حيث يمثل h الارتفاع ، و a و b تمثل الجانبين المتوازيين. ثم،

(∫ ^ 5_0x + 1dx = dfrac {1} {2} h (a + b) = dfrac {1} {2} ⋅5⋅ (1 + 6) = dfrac {35} {2} ) .

وبالتالي فإن متوسط ​​قيمة الوظيفة هو

( dfrac {1} {5−0} ∫ ^ 5_0x + 1dx = dfrac {1} {5} ⋅ dfrac {35} {2} = dfrac {7} {2} ).

تمرين ( PageIndex {7} )

أوجد متوسط ​​قيمة (f (x) = 6−2x ) خلال الفترة الزمنية ([0،3]. )

تلميح

استخدم صيغة متوسط ​​القيمة ، واستخدم الهندسة لتقييم التكامل.

إجابه

3

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن استخدام التكامل المحدد لحساب صافي المساحة الموقعة ، وهي المنطقة الواقعة فوق المحور x ناقص المساحة الواقعة أسفل المحور x. يمكن أن يكون صافي المساحة الموقعة موجبًا أو سالبًا أو صفرًا.
  • يمكن حساب متوسط ​​قيمة دالة باستخدام تكاملات محددة.

المعادلات الرئيسية

  • لا يتجزأ محدد

( displaystyle∫ ^ b_af (x) dx = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx )

قائمة المصطلحات

متوسط ​​قيمة دالة
(أو (f_ {ave}) ) يمكن العثور على متوسط ​​قيمة دالة على فاصل من خلال حساب التكامل المحدد للدالة وقسمة تلك القيمة على طول الفترة
متغير التكامل
يشير إلى المتغير الذي تتكامل فيما يتعلق به ؛ اذا كانت x، ثم يتبعها الوظيفة في التكامل dx

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


5.4: متوسط ​​قيمة الوظيفة

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

نجد متوسط ​​قيمة دالة.

متوسط ​​القيمة

سنحدد ونحسب متوسط ​​قيمة الوظيفة في فترة زمنية.

استمرار حساب متوسط ​​القيمة لدينا

المبررات النظرية

في هذا القسم ، نشتق معادلة متوسط ​​القيمة. تذكر أننا نحاول إيجاد متوسط ​​قيمة دالة ، خلال فترة زمنية ،. نبدأ بتقسيم الفاصل الزمني إلى فترات فرعية متساوية ، كل طول في كل من هذه الفترات الفرعية ، نختار نقطة عينة. نشير إلى نقطة العينة في الفترة الفرعية -th بواسطة. كتقريب لمتوسط ​​قيمة الوظيفة على مدار الفاصل الزمني ، نأخذ متوسط ​​قيم الوظيفة في نقاط العينة: يمكن كتابة هذا في تدوين التجميع حيث لاحظ أن المعادلة في تعريف يمكن إعادة كتابتها حيث يتيح لنا ذلك إعادة الكتابة تقريبنا لـ as هو ثابت ، يمكننا إدخاله داخل الجمع لكتابة: أخيرًا ، يتحسن التقريب مع زيادة عدد نقاط العينة. لذلك ، نحدد أيًا من تعريف التكامل المحدد يمكن كتابته على شكل


ملاحظات

يمكنك استخدام أي نطاق لوسيطة المعايير ، طالما أنها تتضمن تسمية عمود واحدًا على الأقل وخلية واحدة على الأقل أسفل تسمية العمود لتحديد الشرط.

على سبيل المثال ، إذا كان النطاق G1: G2 يحتوي على تسمية العمود الدخل في G1 والمبلغ 10000 في G2 ، يمكنك تحديد النطاق كـ MatchIncome واستخدام هذا الاسم كوسيطة للمعايير في وظائف قاعدة البيانات.

على الرغم من إمكانية وضع نطاق المعايير في أي مكان في ورقة العمل ، لا تضع نطاق المعايير أسفل القائمة. إذا قمت بإضافة مزيد من المعلومات إلى القائمة ، تتم إضافة المعلومات الجديدة إلى الصف الأول أسفل القائمة. إذا لم يكن الصف الموجود أسفل القائمة فارغًا ، فلن يتمكن Excel من إضافة المعلومات الجديدة.

تأكد من أن نطاق المعايير لا يتداخل مع القائمة.

لإجراء عملية على عمود بأكمله في قاعدة بيانات ، أدخل سطرًا فارغًا أسفل تسميات الأعمدة في نطاق المعايير.


ابحث عن AVERAGE لقائمة في Python مع مثال

تتم معادلة حساب المتوسط ​​بحساب مجموع الأرقام في القائمة مقسومًا على عدد الأرقام في القائمة.

يمكن عمل متوسط ​​القائمة بعدة طرق مذكورة أدناه:

  • متوسط ​​بايثون باستخدام الحلقة
  • باستخدام الدالات المدمجة sum () و len () من بيثون
  • استخدام دالة () لحساب المتوسط ​​من وحدة الإحصاء.
  • باستخدام المتوسط ​​() من مكتبة numpy

في هذا البرنامج التعليمي لبايثون ، ستتعلم:


إعادة النظر

إذا كان (X ) يحتوي على ملف توزع استثنائى مع ( mu ) ، ثم معلمة الاضمحلال هو (m = dfrac <1> < mu> ) ، ونكتب (X sim Exp (m) ) حيث (x geq 0 ) و (m & gt 0 ). دالة كثافة الاحتمال لـ (X ) هي (f (x) = me ^ <-mx> ) (أو مكافئ (f (x) = dfrac <1> < mu> e ^ <- ) دفراك< mu >> )). دالة التوزيع التراكمي لـ (X ) هي (P (X leq X) = 1 - e ^ <-mx> ).

التوزيع الأسي له خاصية بلا ذاكرة، والذي ينص على أن الاحتمالات المستقبلية لا تعتمد على أي معلومات سابقة. رياضيا ، تقول أن (P (X & gt x + k | X & gt x) = P (X & gt k) ).

إذا كان (T ) يمثل وقت الانتظار بين الأحداث ، وإذا كان (T sim Exp ( lambda) ) ، فإن عدد الأحداث (X ) لكل وحدة زمنية يتبع توزيع Poisson بمتوسط ​​ ( لامدا ). دالة كثافة الاحتمال لـ (PX ) هي ((X = k) = dfrac < lambda ^ه ^ <-k>>). يمكن حساب ذلك باستخدام آلة حاسبة TI-83 ، 83+ ، 84 ، 84+ باستخدام الأمر ( text( لامدا ، ك) ). يمكن حساب دالة التوزيع التراكمي (P (X leq k) ) باستخدام آلة حاسبة TI-83 ، 83 + ، 84 ، 84+ باستخدام الأمر ( text( لامدا ، ك) ).


س: (أ) ابحث عن كثير حدود تايلور من الدرجة 4 لـ f (x) = sin (x) expan- ded about xo = 0.

ج: منذ حل السؤال الأول لك. إذا كنت تريد أن تحل أي سؤال معين ، فيرجى س.

ج: علينا تقييم التكامل المحدد.

ج: كما نعلم أن F = m × g. (1) حيث m كتلة جسم و g تسارع بسبب الجاذبية.

س: التحليل الرقمي حل السؤال بوضوح. شكرا.

ج: انقر لرؤية الجواب

س: أظهر أن المعادلة 3x + 2cosx + 5 = 0 لها جذر حقيقي واحد.

س: يرجى إظهار الأعمال الكاملة

ج: انقر لرؤية الجواب

س: هناك اختيارات متعددة ، لذلك كتبت جميع الإجابات عليها على الورق

ج: انقر لرؤية الجواب

س: ضع في اعتبارك f (x) = - 6x8 + 2lxl. هل الوظيفة زوجية أم فردية أم لا. برر الإجابة باستخدام الجبرية ر.

ج: انقر لرؤية الجواب

س: ما هو الحجم الذي يجب أن يكون n لضمان تقريب قاعدة شبه المنحرف إلى - 6x + 24x2- 2x 5) da i.


ملاحظات

يتم تجاهل الخلايا الموجودة في النطاق التي تحتوي على TRUE أو FALSE.

إذا كانت إحدى الخلايا الموجودة في average_range خلية فارغة ، فإن AVERAGEIF يتجاهلها.

إذا كان النطاق عبارة عن قيمة نصية أو فارغة ، فتُرجع AVERAGEIF قيمة الخطأ # DIV0! قيمة الخطأ.

إذا كانت إحدى الخلايا الموجودة في المعايير فارغة ، فسوف يتعامل معها AVERAGEIF كقيمة 0.

إذا لم تطابق أي خلايا في النطاق المعايير ، تُرجع AVERAGEIF قيمة # DIV / 0! قيمة الخطأ.

يمكنك استخدام أحرف البدل وعلامة الاستفهام (؟) وعلامة النجمة (*) في المعايير. تطابق علامة الاستفهام أي حرف مفرد تتطابق العلامة النجمية مع أي تسلسل من الأحرف. إذا كنت تريد العثور على علامة استفهام أو علامة نجمية فعلية ، فاكتب تيلدا (

لا يجب أن يكون متوسط ​​المدى بالحجم والشكل نفس النطاق. يتم تحديد الخلايا الفعلية التي تم حساب المتوسط ​​لها باستخدام الخلية العلوية اليسرى في النطاق_المتوسط ​​كخلية البداية ، ثم تضمين الخلايا التي تتوافق في الحجم والشكل مع النطاق. على سبيل المثال:

ثم يتم تقييم الخلايا الفعلية

ملحوظة: تقيس الدالة AVERAGEIF الاتجاه المركزي ، وهو موقع مركز مجموعة من الأرقام في توزيع إحصائي. المقاييس الثلاثة الأكثر شيوعًا للاتجاه المركزي هي:

متوسط وهو الوسط الحسابي ، ويتم حسابه بجمع مجموعة من الأرقام ثم القسمة على عدد تلك الأرقام. على سبيل المثال ، متوسط ​​2 و 3 و 3 و 5 و 7 و 10 هو 30 مقسومًا على 6 ، وهو ما يساوي 5.

الوسيط وهو الرقم الأوسط لمجموعة من الأرقام أي ، نصف الأرقام لها قيم أكبر من الوسيط ، ونصف الأرقام لها قيم أقل من المتوسط. على سبيل المثال ، متوسط ​​2 و 3 و 3 و 5 و 7 و 10 هو 4.

الوضع وهو الرقم الأكثر تكرارا في مجموعة من الأرقام. على سبيل المثال ، وضع 2 و 3 و 3 و 5 و 7 و 10 هو 3.

للحصول على توزيع متماثل لمجموعة من الأرقام ، فإن هذه المقاييس الثلاثة للاتجاه المركزي كلها متشابهة. لتوزيع منحرف لمجموعة من الأرقام ، يمكن أن تكون مختلفة.


حفر الأنفاق

إن ملاحظة أن الدوال الموجية ليست صفرية عند الحد الكلاسيكي تعني أن المذبذب الميكانيكي الكمومي له احتمالية محدودة لوجود إزاحة أكبر مما هو ممكن تقليديًا. يمكن أن يكون المذبذب في منطقة من الفضاء تكون فيها الطاقة الكامنة أكبر من إجمالي الطاقة. تقليديًا ، عندما تساوي الطاقة الكامنة الطاقة الكلية ، تكون الطاقة الحركية والسرعة صفرًا ، ولا يمكن للمذبذب اجتياز هذه النقطة. ومع ذلك ، فإن المذبذب الميكانيكي الكمي لديه احتمال محدود لتجاوز هذه النقطة. بالنسبة للاهتزاز الجزيئي ، تعني هذه الخاصية أن سعة الاهتزاز أكبر مما ستكون عليه في الصورة الكلاسيكية. في بعض الحالات ، يمكن أن يؤدي اهتزاز السعة الأكبر إلى تعزيز التفاعل الكيميائي للجزيء.

الشكل ( فهرس الصفحة <2> ): في الميكانيكا الكلاسيكية لا يمكن للجسيم أن يمر عبر حاجز إلا إذا كان لديه طاقة حركية كافية لتجاوز الحاجز في الطاقة الكامنة. يمكن للجسيم الكمي أن يتسلل أحيانًا عبر حاجز حتى عندما يبدو أن طاقته تحبسه في جانب واحد. يشرح هذا التأثير ، المسمى بالنفق الكمومي ، كيف يمكن للجسيمات النووية المحاصرة أن تفلت أحيانًا من نواتها ، مما يؤدي إلى التحلل الإشعاعي. يسمح النفق أيضًا لفوتونات الضوء المرئي بالهروب من باطن الشمس وتعمل التيارات الكهربائية. تمرين ( فهرس الصفحة <3> )

ارسم كثافة الاحتمال للحالات (v = 0 ) و (v = 1 ). ضع علامة على الحدود الكلاسيكية لكل قطعة ، لأن الحدود مختلفة لأن الطاقة الإجمالية مختلفة لـ (v = 0 ) و (v = 1 ). ظل في مناطق كثافات الاحتمال التي تتجاوز الحد الكلاسيكي.

إن حقيقة أن المذبذب الميكانيكي الكمومي له احتمالية محدودة لدخول منطقة الفضاء الممنوعة تقليديًا هي نتيجة لخاصية الموجة للمادة ومبدأ عدم اليقين في هايزنبرغ. تتغير الموجة تدريجيًا ، وتقترب الدالة الموجية من الصفر تدريجيًا مع اقتراب الطاقة الكامنة من اللانهاية.

لفهم النفق الكمومي ، فكر في جسيم يتحرك على خط. تخيل الآن وضع جدار على كل جانب من الجسيم. في الفيزياء الكلاسيكية ، يرتد الجسيم ذهابًا وإيابًا بين الجدران ويتوقف في النهاية محاصرًا. يمتلك الجسيم طاقة كافية ليكون خارج الجدران ، لكنه لا يمتلك طاقة كافية للوصول إلى هناك.

الشكل ( PageIndex <2> ): (يسار) السلوك الكلاسيكي لجسيم يصطدم بحاجز من سماكة وارتفاع محددين. (يمين) السلوك الكمي المقابل. هذه الفرصة التي يمكن العثور عليها خارج الحاجز تسمى احتمالية النفق.

في ميكانيكا الكم ، يتصرف الجسيم مثل الموجة. تكون الموجة أكثر كثافة بين الجدران ، لذلك من المحتمل أن يكون الجسيم هناك. عند الجدران ، تتضاءل الموجة الكمومية ولكنها لا تصبح صفراً ، بل تمتد قليلاً إلى الجدران. تمتد موجة منخفضة الشدة خارج الجدران. وبالتالي ، هناك احتمال ضئيل بأن يتم العثور على الجسيم خارج الجدران.

الشكل ( PageIndex <3> ): النفق الكمي عبر حاجز. طاقة الجسيم النفقي هي نفسها ولكن السعة الاحتمالية تقل. (CC-SA-BY 3.0 فيليكس كلينج).

النفق في المذبذبات التوافقية

يجب أن نكون قادرين على حساب احتمال أن يكون المذبذب التوافقي الميكانيكي الكمومي في المنطقة المحظورة تقليديًا لأدنى حالة طاقة للمذبذب التوافقي ، الحالة مع (v = 0 ). تظهر المنطقة الممنوعة تقليديًا من خلال تظليل المناطق الواقعة خارج (Q_0 ) في الرسم البياني الذي أنشأته من أجل التمرين ( PageIndex <3> ). تعطي منطقة هذه المنطقة المظللة احتمال أن يمتد تذبذب السندات إلى المنطقة المحظورة (الشكل ( فهرس الصفحة <3> )). لحساب هذا الاحتمال نستخدمه

لأن التكامل من 0 إلى (Q_0 ) للمنطقة المسموح بها يمكن العثور عليه في جداول متكاملة ولا يمكن العثور على التكامل من (Q_0 ) إلى ( infty ). صيغة التكامل P [مسموح] للتقييم هي

[P [ text ] = 2 int limits _0 ^ Psi _0 ^ * (Q) Psi _0 (Q) dQ label <5.4.10> ]

يظهر العامل 2 في المعادلة ( المرجع <5.4.10> ) من تناظر الدالة الموجية ، والتي تمتد من (- Q_0 ) إلى (+ Q_0 ). لتقييم التكامل في المعادلة ( المرجع <5.4.10> ) ، استخدم الدالة الموجية وقم بالتكامل من حيث (x ). تذكر أن (v = 0 ) ، (Q = Q_0 ) يتوافق مع (x = 1 ). بما في ذلك ثابت التسوية ، تنتج المعادلة ( ref <5.4.10> )

[P [ text ] = dfrac <2> < sqrt < pi >> int limits _0 ^ 1 exp (-x ^ 2) dx label <5.4.11> ]

التكامل في المعادلة ( المرجع <5.4.11> ) يسمى وظيفة الخطأ (ERF) ويمكن تقييمها عدديًا فقط. يمكن العثور على القيم في كتب الجداول الرياضية. عندما يكون حد التكامل 1 ، فإن ERF (l) = 0.843 و P [ممنوع] = 0.157. هذه النتيجة تعني أنه يمكن العثور على مذبذب ميكانيكي الكم في المنطقة المحظورة 16٪ من الوقت. هذا التأثير كبير ويؤدي إلى ظاهرة تسمى نفق ميكانيكي الكم.

تحقق عدديًا من أن Pr [مسموح] في المعادلة ( ref <5.4.11> ) يساوي 0.843. للحصول على قيمة التكامل لا تستخدم التكامل الرمزي أو يساوي رمزي.


كيف تجد الوسيط في Excel

الوسيط هي القيمة الوسطى في مجموعة من الأرقام ، مرتبة ترتيبًا تصاعديًا أو تنازليًا ، أي أن نصف الأرقام أكبر من الوسيط ونصف الأرقام أقل من المتوسط. على سبيل المثال ، متوسط ​​مجموعة البيانات <1 ، 2 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 9> هو 3.

يعمل هذا بشكل جيد عندما يكون هناك عدد فردي من القيم في المجموعة. ولكن ماذا لو كان لديك ملف حتى في عدد القيم؟ في هذه الحالة ، الوسيط هو المتوسط ​​الحسابي (المتوسط) للقيمتين الوسطيتين. على سبيل المثال ، متوسط ​​<1 ، 2 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6> هو 2.5. لحسابها ، تأخذ القيمتين الثالثة والرابعة في مجموعة البيانات ومتوسطهما للحصول على متوسط ​​2.5.

في Microsoft Excel ، يتم حساب الوسيط باستخدام الدالة MEDIAN. على سبيل المثال ، للحصول على متوسط ​​جميع المبالغ في تقرير المبيعات الخاص بنا ، استخدم هذه الصيغة:

لجعل المثال أكثر توضيحًا ، قمت بفرز الأرقام الموجودة في العمود C بترتيب تصاعدي (على الرغم من أنه ليس مطلوبًا في الواقع حتى تعمل صيغة Excel Median):

على عكس المتوسط ​​، لا يوفر Microsoft Excel أي دالة خاصة لحساب الوسيط بشرط واحد أو أكثر. ومع ذلك ، يمكنك "محاكاة" وظائف MEDIANIF و MEDIANIFS باستخدام مجموعة من وظيفتين أو أكثر كما هو موضح في هذه الأمثلة:


5.4: مستويات طاقة المذبذب التوافقي

بالنسبة للمذبذب الكلاسيكي ، نعرف بالضبط الموضع والسرعة والزخم كدالة للوقت. يتم تحديد تردد المذبذب (أو الوضع العادي) من خلال الكتلة المخفضة ( mu ) وثابت القوة الفعالة (k ) للنظام المتذبذب ولا يتغير إلا إذا تم تغيير إحدى هذه الكميات. لا توجد قيود على طاقة المذبذب ، والتغيرات في طاقة المذبذب تنتج تغييرات في سعة الاهتزازات التي يمر بها المذبذب.

الشكل ( PageIndex <1> ): دالة الطاقة المحتملة ومستويات الطاقة القليلة الأولى للمذبذب التوافقي. (CC BY = NC & Uumlmit Kaya)

بالنسبة للمذبذب الميكانيكي الكمومي ، لا يزال يتم التحكم في تردد التذبذب لوضع عادي معين بواسطة الكتلة وثابت القوة (أو بشكل مكافئ ، من خلال دالة الطاقة الكامنة المرتبطة). ومع ذلك ، فإن طاقة المذبذب تقتصر على قيم معينة. تكون مستويات الطاقة الكمية المسموح بها متباعدة بشكل متساوٍ وترتبط بترددات المذبذب على النحو الوارد في المعادلة ( المرجع <5.4.1> ) والشكل ( فهرس الصفحة <1> ).

[E_v = left (v + dfrac <1> <2> right) hbar omega = left (v + dfrac <1> <2> right) h nu label <5.4.1 > ]

في مذبذب ميكانيكي الكم ، لا يمكننا تحديد موضع المذبذب (الإزاحة الدقيقة من موضع التوازن) أو سرعته كدالة للوقت ، يمكننا فقط التحدث عن احتمال إزاحة المذبذب من التوازن بمقدار معين. يتم إعطاء هذا الاحتمال بواسطة

ومع ذلك ، يمكننا حساب متوسط ​​الإزاحة ومتوسط ​​إزاحة المربع للذرات بالنسبة لمواضع توازنها. هذا المتوسط ​​هو ( left langle Q right rangle ) فقط ، وقيمة التوقع لـ (Q ) ، ومتوسط ​​إزاحة المربع هو ( left langle Q ^ 2 right rangle ) ، قيمة التوقع لـ (Q ^ 2 ). وبالمثل ، يمكننا حساب متوسط ​​الزخم ( يسار langle P_Q يمين rangle ) ، ومتوسط ​​زخم المربع ( يسار langle P ^ 2_Q يمين rangle ) ، لكن لا يمكننا تحديد الزخم على أنه دالة من الزمن.

فيزيائيًا ، ما الذي نتوقع إيجاده لمتوسط ​​الإزاحة ومتوسط ​​الزخم؟ منذ وظيفة الطاقة الكامنة متماثل حول (Q = 0 ) ، نتوقع أن تكون قيم (Q & gt 0 ) متساوية على الأرجح مثل (Q & lt 0 ). لذلك يجب أن يكون متوسط ​​قيمة (Q ) صفرًا.

هذه النتائج لمتوسط ​​الإزاحة والزخم المتوسط ​​لا تعني أن المذبذب التوافقي ثابت. بالنسبة لحالة الجسيم في صندوق ، يمكننا تخيل المذبذب التوافقي الميكانيكي الكمومي على أنه يتحرك ذهابًا وإيابًا ، وبالتالي يكون متوسط ​​الزخم صفرًا. نظرًا لأن أقل طاقة مذبذب توافقي مسموح بها ، (E_0 ) ، هي ( dfrac < hbar omega> <2> ) وليس 0 ، يجب أن تتحرك الذرات في الجزيء حتى في أدنى حالة طاقة اهتزازية. تسمى هذه الظاهرة طاقة نقطة الصفر أو حركة نقطة الصفر ، وهي تتناقض بشكل مباشر مع الصورة الكلاسيكية للجزيء المهتز. تقليديًا ، أقل طاقة متاحة للمذبذب هي صفر ، مما يعني أن الزخم أيضًا هو صفر ، والمذبذب لا يتحرك.

قارن المذبذب التوافقي الميكانيكي الكمي بالمذبذب التوافقي الكلاسيكي عند (v = 1 ) و (v = 50 ).

عند v = 1 ، يتنبأ المذبذب التوافقي الكلاسيكي بشكل سيئ بنتائج المذبذب التوافقي الميكانيكي الكمومي ، وبالتالي الواقع. عند v = 1 ، سيكون الجسيم قريبًا من حالة الأرض ، وسيتوقع النموذج الكلاسيكي أن يقضي الجسيم معظم وقته على الحواف الخارجية عندما يذهب KE إلى الصفر ويكون PE عند الحد الأقصى ، في حين أن النموذج الكمي يقول العكس و من المرجح أن يوجد الجسيم في المركز. عند v = 50 ، سيبدأ النموذج الكمومي في مطابقة النموذج الكلاسيكي بشكل وثيق أكثر ، مع احتمال وجود الجسيم عند الحواف. يمكن الإشارة إلى النموذج الكمي الذي يبدو أكثر شبهاً بالنموذج الكلاسيكي عند أرقام كمومية أعلى بمبدأ المطابقة.

نظرًا لأن متوسط ​​قيم الإزاحة والزخم كلها صفرية ولا تسهل المقارنات بين الأوضاع العادية المختلفة ومستويات الطاقة ، فنحن بحاجة إلى إيجاد كميات أخرى يمكن استخدامها لهذا الغرض. يمكننا استخدام جذر متوسط ​​الانحراف التربيعي (انظر أيضًا إزاحة الجذر التربيعي) (المعروف أيضًا باسم الانحراف المعياري للإزاحة) وزخم الجذر التربيعي كمقاييس لعدم اليقين في موضع المذبذب وزخمه.

بالنسبة للاهتزاز الجزيئي ، تمثل هذه الكميات الانحراف المعياري في طول الرابطة والانحراف المعياري في زخم الذرات عن متوسط ​​قيم الصفر ، لذا فهي توفر لنا مقياسًا للإزاحة النسبية والزخم المرتبط بكلٍّ طبيعي. الوضع في جميع مستويات الطاقة المسموح بها. هذه كميات مهمة لتحديدها لأن الإثارة الاهتزازية تغير حجم وتماثل (أو شكل) الجزيئات. تؤثر هذه التغييرات على التفاعل الكيميائي ، وامتصاص وانبعاث الإشعاع ، وتبديد الطاقة في التحولات غير الإشعاعية.

تشكل الدالات الموجية للمذبذب التوافقي مجموعة متعامدة وهذا يعني أن جميع الوظائف في المجموعة يتم تطبيعها بشكل فردي

[ int limits _ <- infty> ^ < infty> psi ^ * _ v (x) psi _v (x) dx = 1 label <5.4.4> ]

ومتعامدة مع بعضها البعض.

[ int limits _ <- infty> ^ < infty> psi ^ * _ (x) psi _v (x) dx = 0 text v ' ne v label <5.4.5> ]

غالبًا ما تساعد حقيقة أن عائلة من الدوال الموجية تشكل مجموعة متعامدة في تبسيط التكاملات المعقدة. سنستخدم هذه الخصائص عندما نحدد قواعد اختيار المذبذب التوافقي للتحولات الاهتزازية في الجزيء ونحسب معاملات الامتصاص لامتصاص الأشعة تحت الحمراء.

أخيرًا ، يمكننا حساب احتمال وجود مذبذب توافقي في المنطقة المحظورة تقليديًا. ماذا يعني هذا البيان المحير؟ تقليديًا ، يتم الحصول على أقصى امتداد للمذبذب من خلال مساواة إجمالي طاقة المذبذب بالطاقة الكامنة ، لأنه عند أقصى امتداد ، تكون كل الطاقة في شكل طاقة كامنة. إذا لم تكن كل الطاقة في شكل طاقة كامنة في هذه المرحلة ، فسيكون للمذبذب طاقة حركية وزخم ويمكن أن يستمر في الامتداد بعيدًا عن وضع السكون. ومن المثير للاهتمام ، كما نوضح أدناه ، أن الدوال الموجية للمذبذب الميكانيكي الكمومي تمتد إلى ما وراء الحد الكلاسيكي ، أي أبعد من حيث يمكن أن يكون الجسيم وفقًا للميكانيكا الكلاسيكية.

تسمى أقل طاقة مسموح بها لمذبذب ميكانيكي الكم بـ طاقة نقطة الصفر ، (E_0 = dfrac < hbar omega> <2> ). باستخدام الصورة الكلاسيكية الموصوفة في الفقرة السابقة ، يجب أن تساوي هذه الطاقة الإجمالية الطاقة الكامنة للمذبذب عند أقصى امتداد له. نحدد هذا الحد الكلاسيكي لسعة إزاحة المذبذب كـ (Q_0 ). عندما نساوي طاقة نقطة الصفر لوضع عادي معين إلى الطاقة الكامنة للمذبذب في هذا الوضع العادي ، نحصل على

طاقة نقطة الصفر هي أدنى الطاقة الممكنة التي قد يمتلكها النظام الفيزيائي الكمومي. ومن ثم ، فهي طاقة حالتها الأساسية.

تذكر أن (k ) هو ثابت القوة الفعالة للمذبذب في وضع عادي معين وأن تردد الوضع العادي يتم تقديمه بواسطة المعادلة ( المرجع <5.4.1> ) وهو


شاهد الفيديو: أكثر وظيفة غيرت حياتي بالكامل. وظيفة لازم تشتغلها (شهر نوفمبر 2021).