مقالات

13.2 هـ: تمارين للقسم 13.2 - الرياضيات


أخذ مشتقات الدوال ذات القيمة المتجهية

في الأسئلة من 1 إلى 10 ، احسب مشتق كل دالة ذات قيمة متجهية.

1) ( vecs r (t) = t ^ 3 ، hat { mathbf {i}} + 3t ^ 2 ، hat { mathbf {j}} + frac {t ^ 3} {6 } ، hat { mathbf {k}} )

إجابه:
( vecs r '(t) = 3t ^ 2 ، hat { mathbf {i}} + 6t ، hat { mathbf {i}} + frac {1} {2} t ^ 2 ، قبعة { mathbf {k}} )

2) ( vecs r (t) = sin (t) ، hat { mathbf {i}} + cos (t) ، hat { mathbf {j}} + e ^ t ، قبعة { mathbf {k}} )

3) ( vecs r (t) = e ^ {- t} ، hat { mathbf {i}} + sin (3t) ، hat { mathbf {j}} + 10 sqrt { t} ، hat { mathbf {k}} ). يظهر هنا رسم تخطيطي للرسم البياني. لاحظ الطبيعة الدورية المتغيرة للرسم البياني.

إجابه:
( vecs r '(t) = −e ^ {- t} ، hat { mathbf {i}} + 3 cos (3t) ، hat { mathbf {j}} + frac { 5} { sqrt {t}} ، hat { mathbf {k}} )

4) ( vecs r (t) = e ^ t ، hat { mathbf {i}} + 2e ^ t ، hat { mathbf {j}} + ، hat { mathbf {k }} )

5) ( vecs r (t) = ، hat { mathbf {i}} + ، hat { mathbf {j}} + ، hat { mathbf {k}} )

إجابه:
( vecs r '(t) = ⟨0،0،0⟩ = vecs 0 )

6) ( vecs r (t) = te ^ t ، hat { mathbf {i}} + t ln (t) ، hat { mathbf {j}} + sin (3t) ، قبعة { mathbf {k}} )

7) ( vecs r (t) = langle frac {1} {t + 1} ، ، arctan (t) ، ، ln t ^ 3 rangle )

إجابه:
( vecs r '(t) = ⟨ frac {−1} {(t + 1) ^ 2} ، frac {1} {1 + t ^ 2} ، frac {3} {t}⟩ )

8) ( vecs r (t) = langle tan (2t) ، ، sec (2t) ، ، sin ^ 2 (t) rangle )

9) ( vecs r (t) = langle 3، ، 4 sin (3t)، ، t cos (t) rangle )

إجابه:
( vecs r '(t) = ⟨0،12 cos (3t)، cos t − t sin t⟩ )

10) ( vecs r (t) = t ^ 2 ، hat { mathbf {i}} + te ^ {- 2t} ، hat { mathbf {j}} - 5e ^ {- 4t} ، قبعة { mathbf {k}} )

11) أ. صف ورسم المنحنى الذي يمثله الدالة ذات القيمة المتجهية ( vecs r (t) = ⟨6t، 6t − t ^ 2⟩ ).

ب. حدد أعلى نقطة على المنحنى ( vecs r (t) = ⟨6t، 6t − t ^ 2⟩ ) وأعطي قيمة الوظيفة في هذه المرحلة.

إجابه:
ب. ( vecs r (t) = ⟨18،9⟩ ) في (t = 3 )

12) ابحث عن معادلة الخط المماس للمنحنى ( vecs r (t) = ⟨t، t ^ 2، t⟩ ) عند (t = 2 ).

13) أوجد معادلة الخط المماس للمنحنى ( vecs r (t) = ⟨e ^ t، e ^ {- t}، 0⟩ ) عند (t = 0 ).

إجابه:
(س = 1 + ر ، ص = 1 ر ، ض = 0 )

14) احسب المشتقات الأولى والثانية والثالثة لـ ( vecs r (t) = 3t ، hat { mathbf {i}} + 6 ln (t) ، hat { mathbf {j} } + 5e ^ {- 3t} ، hat { mathbf {k}} ).

وصف الحركة بوظائف ذات قيمة متجهية

في الأسئلة من 15 إلى 17 ، أوجد السرعة والعجلة في الأوقات المحددة ، وارسم الرسم البياني لدالة الموضع ، وارسم متجهي السرعة والتسارع في المواقع المقابلة على المنحنى.

15) ( vecs r (t) = t ، hat { mathbf {i}} + t ^ 3 ، hat { mathbf {j}} ) ، في (t = 0 ) و في (ر = 1 )

16) ( vecs r (t) = cos t ، hat { mathbf {i}} + sin 3t ، hat { mathbf {j}} ) ، في (t = 0 ) ، في (t = frac { pi} {4} ) ، وفي (t = frac { pi} {2} )

17) ( vecs r (t) = ln t ، hat { mathbf {i}} + (t-2) ، hat { mathbf {j}} ) ، في (t = 1 ) وفي (ر = 2 )

في الأسئلة 18-24 ، أوجد السرعة والسرعة والتسارع لجسيم باستخدام دالة الموضع المحددة. تذكر أن السرعة هي مقدار السرعة التي يمثلها (‖ vecs v (t) ‖ ) أو (‖ vecs r ′ (t) ‖ ).

18) ( vecs r (t) = e ^ {2t} ، hat { mathbf {i}} + sin t ، hat { mathbf {j}} )

19) ( vecs r (t) = cos t ^ 3 ، hat { mathbf {i}} + sin t ^ 3 ، hat { mathbf {j}} )

20) ( vecs r (t) = ⟨e ^ t، e ^ {- t}، 0⟩ )

21) ( vecs r (t) = ⟨t + cos t، t− sin t⟩ )

إجابه:
( vecs v (t) = ⟨1− sin t، 1− cos t⟩، quad text {speed} (t) = ‖ vecs v (t) ‖ = sqrt {3−2 ( sin t + cos t)} ، quad vecs a (t) = ⟨- cos t ، sin t⟩ )

22) ( vecs r (t) = ( frac {2t − 1} {2t + 1}) ، hat { mathbf {i}} + ln (1−4t ^ 2) ، hat { mathbf {j}} )

23) ( vecs r (t) = cos 3t ، hat { mathbf {i}} + sin 3t ، hat { mathbf {j}} + 0.5t ، hat { mathbf {k }} )

24) ( vecs r (t) = e ^ {- t} ، hat { mathbf {i}} + ln (t) ، hat { mathbf {j}} + sin (7t ) ، قبعة { mathbf {k}} )

25) ضع في اعتبارك متجه الموضع للجسيم ليكون ( vecs r (t) = t ، hat { mathbf {i}} + t ^ 2 ، hat { mathbf {j}} + t ^ 3 ، قبعة { mathbf {k}} ). يظهر الرسم البياني هنا:

أ. أوجد متجه السرعة في أي وقت.

ب. أوجد سرعة الجسيم في الوقت (t = 2 ) ثانية.

إجابه:
( sqrt {161} ) وحدة / ثانية

ج. أوجد التسارع في الوقت (t = 2 ) sec.

26) ينتقل الجسيم على طول مسار القطع الناقص بالمعادلة ( vecs r (t) = cos t ، hat { mathbf {i}} + 2 sin t ، hat { mathbf { j}} + 0 ، hat { mathbf {k}} ). اعثر على الاتي:

أ. سرعة الجسيم

إجابه:
( vecs v (t) = ⟨− sin t، 2 cos t، 0⟩ )

ب. سرعة الجسيم عند (t = frac {π} {4} )

ج. تسارع الجسيم عند (t = frac {π} {4} )

إجابه:
( vecs a (t) = ⟨− frac { sqrt {2}} {2}، - sqrt {2}، 0⟩ )

27) أظهر أنه إذا كانت سرعة الجسيم الذي يسير على طول منحنى يمثله دالة ذات قيمة متجهة ثابتة ، فإن دالة السرعة تكون دائمًا متعامدة مع دالة التسارع.

إجابه:
( start {align *} ‖ vecs v (t) ‖ ؛ & = k vecs v (t) · vecs v (t) ؛ & = k ^ 2 frac {d} {dt} Big ( vecs v (t) · vecs v (t) Big) ؛ & = frac {d} {dt} Big (k ^ 2 Big) = 0 vecs v (t) · vecs v ′ (t) + vecs v ′ (t) · vecs v (t) ؛ & = 0 2 vecs v (t) · vecs v ′ (t) ؛ & = 0 vecs v (t) · vecs v ′ (t) ؛ & = 0 end {align *} )

العبارة الأخيرة تشير إلى أن السرعة والتسارع متعامدين أو متعامدين.

28) بالنظر إلى الدالة ذات القيمة المتجهية ( vecs r (t) = ⟨ tan t، sec t، 0⟩ ) (يظهر الرسم البياني هنا) ، ابحث عن ما يلي:

أ. سرعة

ب. سرعة

إجابه:
(‖ vecs v (t) ‖ = sqrt { sec ^ 4 t + sec ^ 2 t tan ^ 2 t} = sqrt { left ( sec ^ 2 t right) ( sec ^ 2 t + tan ^ 2 t)} )

ج. التسريع

29) أوجد الحد الأدنى لسرعة جسيم يسافر على طول المنحنى ( vecs r (t) = ⟨t + cos t، t− sin t⟩ ) ، حيث (t∈ [0،2π) ). ثم ابحث أيضًا عن سرعته القصوى في هذه الفترة.

إجابه:
دقيقة. السرعة ( sqrt {3-2 sqrt {2}} حوالي 0.41421 ) عند (t = tfrac { pi} {4} ).
الأعلى. السرعة ( sqrt {3 + 2 sqrt {2}} حوالي 2.41421 ) عند (t = tfrac {5 pi} {4} ).

للأسئلة من 30 إلى 31 ، ضع في اعتبارك جسيمًا يتحرك على مسار دائري نصف قطر (ب ) وفقًا للوظيفة ( vecs r (t) = b cos ( omega t) ، hat { mathbf {i}} + b sin ( omega) ، hat { mathbf {j}} ) ، حيث ( omega ) هي السرعة الزاوية ، ( frac {d theta} {dt} ).

30) بيّن أن سرعة الجسيم تتناسب مع السرعة الزاوية.

31) ابحث عن وظيفة السرعة وأظهر أن ( vecs v (t) ) متعامد دائمًا مع ( vecs r (t) ).

إجابه:
( vecs r '(t) = - b omega sin ( omega t) ، hat { mathbf {i}} + b omega cos ( omega t) ، hat { mathbf {أنا}}). لإظهار التعامد ، لاحظ أن ( vecs r '(t) ⋅ vecs r (t) = 0 ).

تجانس الدوال ذات القيم المتجهية

للأسئلة 32-40 ،

أ. حدد أي قيم لـ (t ) حيث ( vecs r ) غير متجانسة.

ب. حدد فترات الفتح التي يكون فيها ( vecs r ) سلسًا.

ج. رسم بيانيًا للدالة ذات القيمة المتجهة ووصف سلوكها عند النقاط التي لا يكون فيها سلسًا.

32) ( vecs r (t) = langle 3t، 5t ^ 2-1 rangle )

33) ( vecs r (t) = t ^ 3 ، hat { mathbf {i}} + 5t ^ 2 ، hat { mathbf {j}} )

إجابه:
أ. ( vecs r ) ليس سلسًا عند (t = 0 ) ، منذ ( vecs r '(0) = vecs 0 ).
ب. ( vecs r ) سلس على الفواصل الزمنية المفتوحة ((- infty، 0) ) و ((0، infty) ).
ج. هناك عتبة عند (t = 0 ).

34) ( vecs r (t) = langle 5، ، 2 sin (t)، ، cos (t) rangle )

35) ( vecs r (t) = langle t ^ 3 - 3t ^ 2، 7 rangle )

إجابه:
أ. ( vecs r ) ليس سلسًا في (t = 0 ) و (t = 2 ) ، منذ ( vecs r '(0) = vecs 0 ) و ( vecs r' (2) = vecs 0 ).
ب. ( vecs r ) سلس على الفواصل الزمنية المفتوحة ((- infty ، 0) ) ، ((0 ، 2) ) ، و ((2 ، infty) ).
ج. تنعكس الحركة على المنحنى على طول المسار نفسه عند (t = 0 ) و (t = 2 ).

36) ( vecs r (t) = t ^ 2 ، hat { mathbf {i}} + t ^ 3 ، hat { mathbf {j}} - 5e ^ {- 4t} ، قبعة { mathbf {k}} )

37) ( vecs r (t) = langle ln (t ^ 2 + 4t + 5) ، left ( frac {t ^ 3} {3} - 4t right) ، 5 rangle )

إجابه:
أ. ( vecs r ) ليس سلسًا في (t = -2 ) ، حيث ( vecs r '(- 2) = vecs 0 ).
نظرًا لأن مجال ( vecs r ) هو ((- infty ، infty) ) ، هذا كل ما يتعين علينا إزالته.
ب. ( vecs r ) سلس على الفواصل الزمنية المفتوحة ((- infty، -2) ) و ((- 2، infty) ).
ج. هناك عتبة عند (t = -2 ).

38) ( vecs r (t) = left (5 cos t - cos (5t) right) ، hat {i} + left (5 sin t - sin (5t) right ) ، قبعة {j} ) ، من أجل (0 le t le 2 pi )

39) ( vecs r (t) = sqrt {t ^ 3 + 9t ^ 2} ، hat { mathbf {i}} + left (t ^ 2 + 12t right) ، hat { mathbf {j}} + 7 ، hat { mathbf {k}} )

إجابه:
أ. مجال ( vecs r ) هو ([- 9، infty) ).
و ( vecs r ) ليس سلسًا عند (t = -6 ) ، منذ ( vecs r '(- 6) = vecs 0 ).
مجال ( vecs r ') هو ((- 9، infty) ) ، حيث أن ( vecs r' ) غير معرف في (t = -9 ).
ب. ( vecs r ) سلس على الفواصل الزمنية المفتوحة ((- 9 ، -6) ) و ((- 6 ، infty) ).
ج. هناك عتبة عند (t = -6 ).

40) ( vecs r (t) = cos ^ 3 t ، hat { mathbf {i}} + sin t ، hat { mathbf {j}} ) ، لـ (0 le t le 2 pi )

إجابه:
أ. مجال ( vecs r ) هو ((- infty ، infty) ).
( vecs r '(t) = -3 ( cos ^ 2 t) ( sin t) ، hat { mathbf {i}} + cos t ، hat { mathbf {j}} ). إنه المجال أيضًا ((- infty، infty) ).
لكن لاحظ أن كلا المكونين لهما عامل ( cos t ) ، لذلك سيكون كلا المكونين (0 ) عندما ( cos t = 0 ).
لذلك ، ( vecs r ) ليس سلسًا في (t = frac { pi} {2} ) وفي (t = frac {3 pi} {2} ) ، منذ ( vecs r ' left ( frac { pi} {2} right) = vecs 0 ) و ( vecs r' left ( frac {3 pi} {2} right) = vecs 0 ). لاحظ إذن أن ( vecs r ) ليس سلسًا لأي مضاعف فردي لـ ( frac { pi} {2} ) ، هذا لـ (t = frac {(2n + 1) pi} {2} ) ، لأي قيمة عددية (n ).
ب. ( vecs r ) سلس على الفواصل الزمنية المفتوحة (( frac {(2n - 1) pi} {2} ، frac {(2n + 1) pi} {2}) ) ، من أجل أي قيمة عددية (n ).
ج. يوجد حد عند (t = frac {(2n + 1) pi} {2} ) ، لأي قيمة عدد صحيح (n ).

خصائص المشتق

بالنسبة للأسئلة ، 41-43 ، قيم كل تعبير على هذا النحو [ vecs r (t) = t ، hat { mathbf {i}} + t ^ 2 ، hat { mathbf {j}} - t ^ 4 ، hat { mathbf {k} } لا يوجد رقم] و [ vecs s (t) = sin (t) ، hat { mathbf {i}} + e ^ t ، hat { mathbf {j}} + cos (t) ، hat { mathbf {k}} nonumber ]

41) ( frac {d} {dt} [ vecs r (t ^ 2)] )

إجابه:
( frac {d} {dt} [ vecs r (t ^ 2)] = ⟨2t، 4t ^ 3، −8t ^ 7⟩ )

42) ( frac {d} {dt} [t ^ 2⋅ vecs s (t)] )

43) ( frac {d} {dt} [ vecs r (t) ⋅ vecs s (t)] )

إجابه:
( frac {d} {dt} [ vecs r (t) ⋅ vecs s (t)] = sin (t) + 2te ^ t − 4t ^ 3 cos (t) + t cos (t ) + t ^ 2e ^ t + t ^ 4 sin (t) )

44) ابحث عن ( vecs r '(t) ⋅ vecs r' '(t) ؛ for ؛ vecs r (t) = - 3t ^ 5 ، hat { mathbf {i}} + 5t ، hat { mathbf {j}} + 2t ^ 2 ، hat { mathbf {k}} ).

إجابه:
( vecs r '(t) ⋅ vecs r' '(t) = 900t ^ 7 + 16t )

45) معطى ( vecs r (t) = t ، hat { mathbf {i}} + 3t ، hat { mathbf {j}} + t ^ 2 ، hat { mathbf {k }} ) و ( vecs u (t) = 4t ، hat { mathbf {i}} + t ^ 2 ، hat { mathbf {j}} + t ^ 3 ، hat { mathbf {k}} ) ، ابحث عن ( frac {d} {dt} ( vecs r (t) times vecs u (t)) ).

46) تقييم ( frac {d} {dt} [ vecs u (t) times vecs u ′ (t)] ) المعطى ( vecs u (t) = t ^ 2 ، hat { mathbf {i}} - 2t ، hat { mathbf {j}} + ، hat { mathbf {k}} ).

إجابه:
( frac {d} {dt} [ vecs u (t) times vecs u ′ (t)] = 0 ، hat { mathbf {i}} +2 ، hat { mathbf { j}} + 4t ، hat { mathbf {k}} )

47) معطى ( vecs r (t) = t ، hat { mathbf {i}} + 2 sin t ، hat { mathbf {j}} + 2 cos t ، hat { mathbf {k}} ) و ( vecs u (t) = frac {1} {t} ، hat { mathbf {i}} + 2 sin t ، hat { mathbf { j}} + 2 cos t ، hat { mathbf {k}} ) ، ابحث عن ما يلي:

أ. ( vecs r (t) مرات vecs u (t) )

إجابه:
( vecs r (t) times vecs u (t) = left langle 0، ؛ 2 ( cos t) left ( frac {1} {t} -t right) ، ؛ 2 ( sin t) left (t- frac {1} {t} right) right rangle )

ب. ( frac {d} {dt} كبير ( vecs r (t) times vecs u (t) big) )

إجابه:
( frac {d} {dt} big ( vecs r (t) times vecs u (t) big) = left langle 0، ؛ 2 ( sin t) left (t− frac {1} {t} right) −2 ( cos t) left (1+ frac {1} {t ^ 2} right) ، ؛ 2 left ( sin t right) يسار (1+ frac {1} {t ^ 2} right) +2 left ( cos t right) left (t− frac {1} {t} right) right rangle )

ج. الآن ، استخدم قاعدة حاصل الضرب لمشتقة حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين ، واظهر أن هذه النتيجة هي نفسها إجابة المسألة السابقة.

نواقل وحدة الظل

للأسئلة 48 - 51 ، ابحث عن أ وحدة ناقل الظل بالقيمة المشار إليها لـ (t ).

48) ( vecs r (t) = 3t ^ 3 ، hat { mathbf {i}} + 2t ^ 2 ، hat { mathbf {j}} + frac {1} {t} ، hat { mathbf {k}}؛ quad t = 1 )

49) ( vecs r (t) = t ، hat { mathbf {i}} + sin (2t) ، hat { mathbf {j}} + cos (3t) ، hat { mathbf {k}}؛ quad t = frac {π} {3} )

إجابه:
( vecs r ' left ( frac {π} {3} right) = langle 1، ، 1،0 rangle ) هو متجه ظل ، لذلك سيكون متجه ظل الوحدة:
( frac {1} { sqrt {2}} ⟨1، −1،0⟩ quad = quad langle frac { sqrt {2}} {2}، ، - frac { sqrt {2}} {2} ، ، 0 rangle )

50) ( vecs r (t) = cos (2t) ، hat { mathbf {i}} + 2 sin t ، hat { mathbf {j}} + t ^ 2 ، قبعة { mathbf {k}} ؛ quad t = frac {π} {2} )

51) ( vecs r (t) = 3e ^ t ، hat { mathbf {i}} + 2e ^ {- 3t} ، hat { mathbf {j}} + 4e ^ {2t} ، hat { mathbf {k}}؛ quad t = ln (2) )

إجابه:
( vecs r '( ln (2)) = ⟨6، - frac {3} {4}، 32⟩ ) هو متجه ظل ، لذلك سيكون متجه ظل الوحدة:
( frac {1} { sqrt {1060.5625}} ⟨6، - frac {3} {4}، 32⟩ quad = quad langle frac {24 sqrt {16969}} {16969} ، - frac {12 sqrt {16969}} {67876} ، frac {128 sqrt {16969}} {16969} rangle )

بالنسبة للأسئلة 52-58 ، أوجد متجه ظل الوحدة ( vecs T (t) ) بالنسبة للمنحنيات ذات المعلمات التالية.

52) ( vecs r (t) = t ، hat { mathbf {i}} + 3t ، hat { mathbf {j}} + t ^ 2 ، hat { mathbf {k} } )

53) ( vecs r (t) = 6 ، hat { mathbf {i}} + cos (3t) ، hat { mathbf {j}} + 3 sin (4t) ، قبعة { mathbf {k}}، quad 0≤t <2π )

إجابه:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {9sin ^ 2 (3t) +144 cos ^ 2 (4t)}} ⟨0، −3 sin (3t)، 12 cos ( 4 ر)⟩ )

54) ( vecs r (t) = ⟨t cos t، t sin t⟩ )

55) ( vecs r (t) = ⟨t + 1،2t + 1،2t + 2⟩ )

إجابه:
( vecs T (t) = frac {1} {3} ⟨1،2،2⟩ )

56) ( vecs r (t) = cos t ، hat { mathbf {i}} + sin t ، hat { mathbf {j}} + sin t ، hat { mathbf {k}}، quad 0≤t <2π ). يتم عرض وجهتي نظر لهذا المنحنى هنا:

57) ( vecs r (t) = ⟨t، frac {1} {t}⟩ ). يظهر الرسم البياني هنا:

إجابه:
( vecs T (t) = ⟨ frac {t ^ 2} { sqrt {t ^ 4 + 1}} ، frac {-1} { sqrt {t ^ 4 + 1}}⟩ )

58) ( vecs r (t) = 3 cos (4t) ، hat { mathbf {i}} + 3 sin (4t) ، hat { mathbf {j}} + 5t ، قبعة { mathbf {k}} ، quad 1 le t le 2 )

إجابه:
( vecs T (t) = - frac {12} {13} sin (4t) ، قبعة { mathbf {i}} + frac {12} {13} cos (4t) ، hat { mathbf {j}} + frac {5} {13} ، hat { mathbf {k}} )


59) ينتقل جسيم على طول مسار اللولب بالمعادلة ( vecs r (t) = cos (t) ، hat { mathbf {i}} + sin (t) ، hat { mathbf {j}} + t ، hat { mathbf {k}} ). انظر الرسم البياني المعروض هنا:

اعثر على الاتي:

أ. سرعة الجسيم في أي وقت

إجابه:
( vecs v (t) = ⟨− sin t، cos t، 1⟩ )

ب. سرعة الجسيم في أي وقت

ج. تسارع الجسيم في أي وقت

إجابه:
( vecs a (t) = - cos t ، hat { mathbf {i}} - sin t ، hat { mathbf {j}} + 0 ، hat { mathbf {k }} )

د. أوجد متجه الوحدة المماس للحلزون.

تكامل وظائف المتجه

احسب التكاملات التالية:

60) ( int (e ^ t ، hat { mathbf {i}} + sin t ، hat { mathbf {j}} + frac {1} {2t − 1} ، قبعة { mathbf {k}}) ، dt )

61) ( int_0 ^ 1 vecs r (t) ، dt ) ، حيث ( vecs r (t) = ⟨ sqrt [3] {t}، frac {1} {t + 1} ، ه ^ {- t}⟩ )

إجابه:
( frac {3} {4} ، hat { mathbf {i}} + ln (2) ، hat { mathbf {j}} + (1− frac {1} {e} ) ، قبعة { mathbf {k}} )

62) تقييم ( int_0 ^ 3‖t ، hat { mathbf {i}} + t ^ 2 ، hat { mathbf {j}} ‖dt ).

إجابه:
( frac {1} {3} (10 ^ { frac {3} {2}} - 1) )

63) دالة التسارع والسرعة الابتدائية والموضع الابتدائي للجسيم هي

[ start {align *} vecs a (t) & = - 5 cos t ، hat { mathbf {i}} - 5 sin t ، hat { mathbf {j}}، vecs v (0) & = 9 ، hat { mathbf {i}} + 2 ، hat { mathbf {j}}، quad text {and} vecs r (0) & = 5 ، hat { mathbf {i}} end {align *} nonumber ]

ابحث عن ( vecs v (t) ؛ و ؛ vecs r (t) ).

إجابه:
( vecs v (t) = left (9-5 sin t right) ، hat { mathbf {i}} + left (-3 + 5 cos t right) ، hat { mathbf {j}} )
( vecs r (t) = left (9t + 5 cos t right) ، hat { mathbf {i}} + left (-3t + 5 sin t right) ، hat { mathbf {j}} )

64) أوجد المشتق العكسي لـ ( vecs r '(t) = cos (2t) ، hat { mathbf {i}} - 2 sin t ، hat { mathbf {j}} + frac {1} {1 + t ^ 2} ، hat { mathbf {k}} ) التي تفي بالشرط الأولي ( vecs r (0) = 3 ، hat { mathbf {i}} −2 ، hat { mathbf {j}} + ، hat { mathbf {k}} ).

65) يبدأ الكائن من السكون عند النقطة (P (1،2،0) ) ويتحرك بتسارع ( vecs a (t) = ، hat { mathbf {j}} + 2 ، hat { mathbf {k}} ) ، حيث يتم قياس (‖ vecs a (t) ‖ ) بالقدم في الثانية في الثانية. ابحث عن موقع الكائن بعد (t = 2 ) ثانية.

المساهمون:

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • قام Paul Seeburger (كلية مجتمع Monroe) بتحرير هذه التمارين ووضع أسئلة من 11 إلى 19.

13.2 النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ومجالات التحديد

يمكننا حساب هذه المشتقة تقريبًا عن طريق تقييم ( frac) صغير جدًا (د ).

المنطقة بين (x = t ) و (x = t + d ) هي مجرد قطعة من الجبن ، حيث ( sin (x) ) قريب جدًا ( sin (t) ). لذا فإن المساحة الموجودة في هذه الشظية بين (y = sin (t) ) و (y = 0 ) هي فقط (d sin (t) ) ، حيث (d ) هو عرض قطعة من الجبن و ( sin (t) ) ارتفاعها إلى أول تقدير تقريبي.

يخبرنا هذا أن مشتق (g (t) ) ، مشتق تكامل دالة الجيب في الوسيطة (t ) ، هو هذه المنطقة مقسومة على (د ) ، وهي ( الخطيئة (ر) ).

تنطبق نفس النتيجة تمامًا على أي دالة تكون قيمها للوسائط قريبة بدرجة كافية من (t ) قريبة بقدر ما تريد من قيمتها عند (t ). (تسمى هذه الوظائف المستمرة) لجميع (t ) بين حدود التكامل.

هذه النتيجة تسمى النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. انها تقول: إذا قمت بتمييز تكامل دالة ، (f ) ، فهذا مستمر عند الوسيطة (t ) في الفاصل الزمني المغلق بما في ذلك نقاط نهاية التكامل (هذا هو الشرط الذي يشير إلى أن قيم if أقرب ما تريد إلى (f (t) ) في الوسائط القريبة بشكل كافٍ من (t )) تحصل على قيمة التكامل ، (f ) ، في الوسيطة (t ).

هناك طريقة أخرى لقول ذلك وهي: التكامل مع الحد الأعلى كمتغير ، منطقة كما حددناها للتو ، هي مشتق عكسي من تكامله ، عندما يكون هذا التكامل و مستمرًا.

هذا يعني ذاك يؤدي دمج دالة ثم اشتقاق النتيجة فيما يتعلق بالحد الأعلى إلى إعادة الوظيفة.

يمكننا أيضًا تقديم نفس العبارة حول تطبيق هذه العمليات بالترتيب المعاكس.

لنفترض أننا بدأنا بدالة قابلة للتفاضل ، (f ) ، وشكلنا مشتقها ، (f '(x) ) ، ودمج هذا المشتق بين مكان ما ، لنقل (a ) ، و (t ).

بعبارة أخرى ، افترض أننا نشكل

ثم تخبرنا النظرية الأساسية: (g (t) = f (t) - f (a) ).

لرؤية هذا ، تذكر أنه إذا كان (f ) قابلاً للتفاضل في الوسيطة (x ) ثم بالنسبة لـ (d ) صغيرًا بما يكفي ، فلدينا أي دقة مطلوبة:

إذا قمنا بتقطيع الفاصل الزمني بين (t ) وما يصل إلى شرائح من العروض المقدمة بواسطة (د ) المناسبة لكل قيمة (س ) ، فيمكننا تلخيص المساهمة من جانبي المعادلة (و 'd = f (x + d) - f (x) ) على كل الشرائح. نستخدم نفس القيمة (د ) لكل شريحة

سيعطينا مجموع الحدود الموجبة والسالبة في المعادلة الأخيرة أعلاه مجموع المساحات في الشرائح الصغيرة. هذا المبلغ سوف "تلسكوب". سيكون المصطلح الأيسر من شريحة واحدة هو المصطلح الأيمن من الشريحة السابقة مع الإشارة المعاكسة ، حيث سيلغي الاثنان بعضهما البعض ، وسنحصل على مساهمات فقط من الشريحتين الأولى والأخيرة. هذا يعنى:

هذا هو الشكل القياسي للنظرية الأساسية.

وما فائدة هذه "النظرية الأساسية"؟

كانت استخدامات هذه النظرية ، ونظائرها في أبعاد أعلى ، مهمة جدًا في التاريخ بحيث لا يمكن المبالغة فيها. سوف نتجاهل هذه هنا. لأغراضنا ، يتمثل الاستخدام الرئيسي لهذه النظرية في السماح لنا بذلك تقييم التكاملات ، أي المناطق الواقعة تحت المنحنيات، لعدد كبير من التكامل.

ما يندمج ?

بالنسبة للمبتدئين ، يمكننا التكامل أي تكامل يمكننا التعرف عليه كمشتق.

على سبيل المثال ، الجيب هو مشتق ناقص جيب التمام. بتطبيق المعادلة الأخيرة أعلاه على هذه الحقيقة ، نحصل عليها

[ int_a ^ t sin (x) dx = cos (a) - cos (t) ]

كانت المنطقة الأصلية التي استخدمناها كمثال هي تكامل الجيب من (0 ) إلى (1 ). هذا هو ( cos (0) - cos (1) ) أو (1 - cos (1) ).

ما الذي يمكننا التعرف عليه أيضًا؟

1. أي قوة لـ (x ) مثل (x ^ a ) ، وبالتالي أي كثير حدود أو مجموع قوى.

2. دالة الأس ، (exp (x) ) وبالتالي (exp (kx) ) لأي (k ).

3. مشتق قوس ظل الزاوية ، وظل الزاوية ، وقوس الزاوية ، وغير ذلك الكثير.

تمارين: احسب التكاملات المعرفة على النحو التالي:

13.1 عدد صحيح ( sin (x) cos (x) ) من (0 ) إلى (2 ).

13.2 عدد صحيح (س ^ 2 + 3 س - 7 ) من (1 ) إلى (4 ).

13.3 عدد صحيح ((1 + x ^ 2) ^ <-1> ) من (0 ) إلى (+ infty ).

13.4 عدد صحيح ((2 + x) ^ <-1> ) من (0 ) إلى (1 ).

13.5 اكتب بعض الوظائف الرهيبة. تميزها. اطلب الآن من صديق (صديق سابق؟) دمج نتيجتك. ستعرف الجواب!

13.6 تذكر قاعدة التكرار المنفصلة لهذه القاعدة. اشتق (بالنسبة إلى t): (g (t) = int_0 ^ t sin (x-t) dx ).


مساحة وأحجام السطح - تمرين 13.2 - الفئة IX

  1. طول الأنبوب المعدني 77 سم. يبلغ القطر الداخلي للمقطع العرضي 4 سم ، والقطر الخارجي 4.4 سم (انظر الشكل 13.11). ابحث عن ملف

(ط) مساحة السطح المنحنية الداخلية ،

(2) مساحة السطح المنحنية الخارجية ،

(3) إجمالي مساحة السطح.

القطر الداخلي = 4 سم ⇒ ص = د /2 = 4 /2 = 2 سم

القطر الخارجي = 4.4 سم ⇒ ص = د /2= 4.4 /2 = 2.2 سم

(ط) مساحة السطح الداخلية المنحنية = 2πRh

(2) مساحة السطح الخارجية المنحنية = 2πrh

(3) إجمالي مساحة السطح = مساحة السطح المنحنية الداخلية + مساحة السطح المنحنية الخارجية + حلقتان أساسيتان

= 2πrh + 2π Rh + 2π (R 2 - r 2)

= 968 + 1064.8 + 2x 22 /7× (2.2 2 - 2 2)

  1. قطر البكرة 84 سم وطولها 120 سم. يستغرق 500 دورة كاملة للانتقال مرة واحدة لتسوية الملعب. أوجد مساحة الملعب بالمتر 2

د = 84 سم ص = د /2= 84 /2 = 42 سم

مساحة سطح الأسطوانة = 2πrh = 2 x 22 /7 × 42 × 120

نظرًا لأن الأمر يتطلب 500 دورة كاملة للانتقال مرة واحدة لتسوية الملعب. ثم مساحة الملعب = 31680 × 500 = 15840000 سم 2 = 1584 م 2

  1. عمود أسطواني قطره 50 سم وارتفاعه 3.5 م. أوجد تكلفة طلاء السطح المنحني للعمود بمعدل 12.50 روبية لكل م 2

مساحة السطح المنحني للعمود = 2πrh = 2 x 22 /7 × 25 × 3.5 = 550 م 2

تكلفة طلاء العمود 1 م 2 روبية. 12.50

ثم تكلفة 550 م 2 بمعدل 12.50 روبية = 12.50 * 550 = روبية. 68.75

  1. تبلغ مساحة السطح المنحني للأسطوانة الدائرية اليمنى 4.4 م 2. إذا كان نصف قطر قاعدة الأسطوانة يساوي 0.7 م ، فأوجد ارتفاعها.

إذا كانت مساحة السطح المنحنية للأسطوانة 4.4 م 2 ونصف القطر ، ص = 0.7 م

(1) مساحة سطحه الداخلية المنحنية ،

(2) تكلفة تجصيص هذا السطح المنحني بمعدل 40 روبية لكل م 2.

القطر الداخلي ص = 3.5 م و ع = 10 م

(1) مساحة السطح الداخلية المنحنية = 2πrh = 2 x 22 /7 × 3.5 × 10 = 220 م 2

(2) تكلفة تجصيص السطح المنحني لـ 1 م 2 هي روبية. 40

ثم تكلفة التجصيص 220 م 2 = 220 × 40 = روبية. 8800

  1. في نظام تسخين الماء يوجد أنبوب أسطواني طوله 28 م وقطره 5 سم. أوجد إجمالي السطح المشع في النظام.

ع = 28 م و د = 5 سم ص = 5 /2 = 2.5 سم = 0.025 سم

إجمالي مساحة السطح = 2πr (r + h) = 2 x 22 /7 × 0.025 × (0.025 + 28) = 0.1571 × (28.025) = 4.403 م 2

(ط) مساحة السطح الجانبية أو المنحنية لخزان بنزين أسطواني مغلق قطره 4.2 م وارتفاعه 4.5 م.

(2) مقدار الفولاذ المستخدم فعليًا ، إذا تم إهدار 1/12 من الفولاذ المستخدم بالفعل في صنع الخزان.

(1) مساحة السطح المنحني للأسطوانة = 2πrh = 2 x 22 /7× 2.1 × 4.5 = 59.4 م 2

(2) إجمالي مساحة السطح = 2πr (r + h)

يسمح بإجمالي مساحة الفولاذ المستخدم × م 2

مساحة الهدر من الفولاذ = 1 /12 من x م 2 = س /12 م 2

مساحة الصلب المستخدمة في الخزان = (x - x /12) م 2 = 11 س /12 م 2

وبالتالي ، تم بالفعل استخدام 95.04 م 2 من الفولاذ في الخزان.

  1. في الشكل 13.12 ، ترى إطار عاكس الضوء. يجب تغطيتها بقطعة قماش زخرفية. يبلغ قطر الإطار الأساسي 20 سم وارتفاعه 30 سم. يجب إعطاء هامش 2.5 سم لطيها فوق الجزء العلوي والسفلي من الإطار. ابحث عن كمية القماش المطلوبة لتغطية عاكس الضوء.

د = 20 سم ص = د /2 = 20 /2 = 10 سم

محيط قاعدة الإطار = 2πr = 2 x 22 /7 × ١٠ = ٦٢.٨٦ سم

ارتفاع القماش المطلوب لتغطية الإطار (بما في ذلك الهامش) = (30 + 2.5 + 2.5) سم = 35 سم

أيضا ، عرض القماش = محيط قاعدة الإطار

مساحة القماش المطلوبة لتغطية عاكس الضوء = الطول × العرض = 35 × 20 سم 2 = 35 × 20 × 22 /7 سم 2 = 2200 سم 2

  1. طُلب من طلاب Vidyalaya المشاركة في مسابقة لصنع وتزيين حامل أقلام على شكل أسطوانة بقاعدة ، باستخدام الورق المقوى. كل حامل قلم يجب أن يكون نصف قطره 3 سم وارتفاعه 10.5 سم. كان على Vidyalaya تزويد المنافسين بالكرتون. إذا كان هناك 35 متسابقًا ، ما هو مقدار الورق المقوى المطلوب شراؤه للمنافسة؟

يحتوي حامل القلم على قاعدة واحدة فقط ، أي أنها مفتوحة في نهاية واحدة.

إجمالي مساحة السطح لحامل قلم واحد = 2πrh + πr 2 = πr (2h + r)

إجمالي مساحة السطح 35 حامل قلم = 22 /7 × 3 × 24 × 35 سم 2 = 7920 سم 2


(أ) التفسير: يجب تحديد مجموعة النقاط الخاصة بالكائن المحدد. مقدمة عن المفهوم: تُعرَّف عملية التناظر بأنها إجراء على كائن لإعادة إنتاج ترتيب مطابق لترتيبه المكاني الأصلي. تسمى مجموعة عمليات التناظر التي يتم الاحتفاظ بنقطة واحدة على الأقل ثابتة منها مجموعة النقاط. يمكن أن تكون عمليات التناظر هي الهوية ، والدوران ، والانعكاس ، والدوران غير المناسب.

يجب تحديد مجموعة النقاط الخاصة بالكائن المحدد.

مقدمة المفهوم:

تُعرَّف عملية التناظر بأنها إجراء على كائن لإعادة إنتاج ترتيب مطابق لترتيبه المكاني الأصلي. تسمى مجموعة عمليات التناظر التي يتم الاحتفاظ بنقطة واحدة على الأقل ثابتة منها مجموعة النقاط. يمكن أن تكون عمليات التناظر هي الهوية ، والدوران ، والانعكاس ، والدوران غير المناسب.

ترجمة:

يجب تحديد مجموعة النقاط الخاصة بالكائن المحدد.

مقدمة المفهوم:

تُعرَّف عملية التناظر بأنها إجراء على كائن لإعادة إنتاج ترتيب مطابق لترتيبه المكاني الأصلي. تسمى مجموعة عمليات التناظر التي يتم الاحتفاظ بنقطة واحدة على الأقل ثابتة منها مجموعة النقاط. يمكن أن تكون عمليات التناظر هي الهوية ، والدوران ، والانعكاس ، والدوران غير المناسب.

ترجمة:

يجب تحديد مجموعة النقاط الخاصة بالكائن المحدد.

مقدمة المفهوم:

تُعرَّف عملية التناظر بأنها إجراء على كائن لإعادة إنتاج ترتيب مطابق لترتيبه المكاني الأصلي. تسمى مجموعة عمليات التناظر التي يتم الاحتفاظ بنقطة واحدة على الأقل ثابتة منها مجموعة النقاط. يمكن أن تكون عمليات التناظر هي الهوية ، والدوران ، والانعكاس ، والدوران غير المناسب.

ترجمة:

يجب تحديد مجموعة النقاط الخاصة بالكائن المحدد.

مقدمة المفهوم:

تُعرَّف عملية التناظر بأنها إجراء على كائن لإعادة إنتاج ترتيب مطابق لترتيبه المكاني الأصلي. تسمى مجموعة عمليات التناظر التي يتم الاحتفاظ بنقطة واحدة على الأقل ثابتة منها مجموعة النقاط. يمكن أن تكون عمليات التناظر هي الهوية ، والدوران ، والانعكاس ، والدوران غير المناسب.


حلول NCERT للصف 12 الرياضيات الفصل 13 الاحتمال المثال 13.2

الموضوعات والمواضيع الفرعية المدرجة في الفصل 13 احتمالية ما يلي:

اسم القسم اسم الموضوع
13 احتمالا
13.1 مقدمة
13.2 احتمال مشروط
13.3 نظرية الضرب في الاحتمال
13.4 أحداث مستقلة
13.5 نظرية بايز & # 8217
13.6 المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية
13.7 محاكمات برنولي والتوزيع ذي الحدين

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الفصل 13 الاحتمال 13.2 جزء من حلول NCERT للرياضيات للصف 12. هنا قدمنا ​​للصف 12 الرياضيات حل NCERT الاحتمالية المثال 13.2

السؤال رقم 1
إذا كان P (A) = 3/5 و P (B) = 1/5 أوجد P (A ∩ B) إذا كان A و B حدثين مستقلين.
حل:

السؤال 2.
يتم سحب بطاقتين عشوائيًا وبدون استبدال من حزمة مكونة من 52 ورقة لعب. ابحث عن احتمال أن تكون كلتا البطاقتين باللون الأسود.
حل:

الصف 12 الرياضيات احتمالية الحلول

السؤال 3.
يتم فحص صندوق من البرتقال عن طريق فحص ثلاثة برتقالات مختارة عشوائيًا مسحوبة بدون استبدال. إذا كانت جميع البرتقال الثلاثة جيدة ، تتم الموافقة على الصندوق للبيع وإلا يتم رفضه. أوجد احتمال أن يتم الموافقة على بيع صندوق يحتوي على 15 برتقالة منها 12 برتقالة جيدة و 3 برتقالة سيئة.
حل:

السؤال 4.
يتم رمي عملة عادلة ونرد غير متحيز. لنفترض أن A هو الحدث "ظهور الرأس على العملة" و B يكون الحدث "3 عند النرد". تحقق مما إذا كان A و B حدثان مستقلان أم لا
حل:

السؤال 5.
نرد عليه علامة 1،2،3 باللون الأحمر و 4،5،6 باللون الأخضر يتم رميها. لنفترض أن أ هو الحدث ، "الرقم زوجي" ، وب يكون الحدث ، "الرقم أحمر". هل A و B مستقلان؟
حل:

السؤال 6.
لنفترض أن E و F هما الأحداث مع P (E) = ( frac <3> <5> ) ، P (F) = ( frac <3> <10> ) و P (E ∩ F) = ( فارك <1> <5> ). هل E و F مستقلان؟
حل:

السؤال 7.
بالنظر إلى أن الأحداث A و B تكون مثل P (A) = ( frac <1> <2> ) ، P (A∪B) = ( frac <3> <5> ) و P ( ب) = ص. ابحث عن p إذا كانوا كذلك
(ط) متنافي
(2) مستقل.
سول:

السؤال 8.
دع الأحداث المستقلة A و B P (A) = 0.3 و P (B) = 0.4. تجد
(ط) P (A∩B)
(2) P (A∪B)
(3) ف (أ | ب)
(رابعا) ف (ب | أ)
حل:

السؤال 9.
إذا كان A و B حدثين ، مثل P (A) = ( frac <1> <4> ) ، P (B) = ( frac <1> <2> ) ، و P (A ∩B) = ( frac <1> <8> ). ابحث عن P (ليس A وليس B)
حل:

السؤال 10
الأحداث "أ" و "ب" من هذا القبيل
P (A) = ( frac <1> <2> ) ، P (B) = ( frac <7> <12> ) و P (ليس A أو لا B) = ( frac < 1> <4> ). حدد ما إذا كان A و Bare مستقلان
حل:

السؤال 11
بالنظر إلى حدثين مستقلين A و B مثل P (A) = 0.3 ، P (B) = 0.6. تجد
(ط) P (A و B)
(2) P (A وليس B)
(3) ف (أ أو ب)
(4) ف (لا أ ولا ب)
حل:

السؤال 12
رمي النرد ثلاث مرات. أوجد احتمال الحصول على رقم فردي مرة واحدة على الأقل.
حل:

السؤال 13
يتم سحب كرتين بشكل عشوائي مع الاستبدال من صندوق يحتوي على 10 كرات سوداء و 8 كرات حمراء. أوجد احتمال ذلك
(ط) كلتا الكرتين حمراء.
(ii) الكرة الأولى & # 8220 سوداء والثانية حمراء.
(3) أحدهما أسود والآخر أحمر.
حل:

السؤال 14
احتمالية حل مشكلة معينة بشكل مستقل عن طريق A و B هي ( frac <1> <2> ) و ( frac <1> <3> ) على التوالي. إذا حاول كلاهما حل المشكلة بشكل مستقل ، فأوجد احتمال ذلك
(ط) تم حل المشكلة
(2) واحد منهم بالضبط يحل المشكلة.
حل:

السؤال 15
يتم سحب بطاقة واحدة عشوائيًا من مجموعة أوراق اللعب التي تم خلطها جيدًا والمكونة من 52 بطاقة. في أي من الحالات التالية يكون الحدثان E و F مستقلين؟
(ط) ه: "البطاقة المرسومة مجرفة"
F: "البطاقة المرسومة آس"
(2) هـ: "البطاقة المسحوبة سوداء"
F: "البطاقة المرسومة ملك"
(3) هـ: "البطاقة المرسومة ملك أو ملكة"
F: "البطاقة المرسومة هي ملكة أو جاك".
حل:

السؤال 16
في النزل ، يقرأ 60٪ من الطلاب الصحف الهندية ، ويقرأ 40٪ الصحف الإنجليزية و 20٪ يقرؤون الصحف الهندية والإنجليزية. يتم اختيار الطالب بشكل عشوائي
(أ) أوجد احتمال أنها لا تقرأ الصحف الهندية أو الإنجليزية.
(ب) إذا قرأت صحيفة هندية ، فابحث عن احتمال أنها تقرأ الصحف الإنجليزية.
(ج) إذا قرأت صحيفة إنجليزية ، فابحث عن احتمال أنها تقرأ صحيفة هندية.
حل:

اختر الإجابة الصحيحة في السؤالين 17 و 18 التاليين:

السؤال 17
احتمال الحصول على عدد أولي زوجي على كل نرد عند رمي زوج من النرد هو
(أ) 0
(ب) ( فارك <1> <3> )
(ج) ( فارك <1> <12> )
(د) ( فارك <1> <36> )
حل:

السؤال 18
يقال إن حدثين A و B مستقلان ، إذا
(أ) A و B متنافيان
(ب) الفوسفور (A & # 8217B & # 8217) = [1 & # 8211 P (A)] [1 & # 8211 P (B)]
(ج) الفوسفور (أ) = ف (ب)
(د) ف (أ) + ف (ب) = 1
حل:

فئة 12 الرياضيات حلول NCERT

  • الفصل 1 العلاقات والوظائف
  • الفصل 2 معكوس الدوال المثلثية
  • الفصل 3 المصفوفات
  • الفصل 4 المحددات
  • الفصل 5 الاستمرارية والتفاضل
  • الفصل 6 تطبيق المشتقات
  • الفصل 7 التكاملات مثال 7.1
  • الفصل 8 تطبيق التكاملات
  • الفصل 9 المعادلات التفاضلية
  • الفصل 10 ناقلات الجبر
  • الفصل 11 الهندسة ثلاثية الأبعاد
  • الفصل 12 البرمجة الخطية
  • الفصل 13 الاحتمالية المثال 13.1

نأمل أن تساعدك حلول NCERT المقدمة للفصل 12 الرياضيات الفصل 13 تمرين الاحتمال 13.2. إذا كان لديك أي استفسار بخصوص Class 12 Maths NCERT Solutions Probability Ex 13.2 ، فقم بإسقاط تعليق أدناه وسنقوم بالرد عليك في أقرب وقت ممكن.


13.2 هـ: تمارين للقسم 13.2 - الرياضيات

يتم توفير جميع المقالات المنشورة بواسطة MDPI على الفور في جميع أنحاء العالم بموجب ترخيص وصول مفتوح. لا يلزم الحصول على إذن خاص لإعادة استخدام كل أو جزء من المقالة المنشورة بواسطة MDPI ، بما في ذلك الأشكال والجداول. بالنسبة للمقالات المنشورة بموجب ترخيص Creative Common CC BY ذي الوصول المفتوح ، يمكن إعادة استخدام أي جزء من المقالة دون إذن بشرط الاستشهاد بالمقال الأصلي بوضوح.

تمثل الأوراق الرئيسية أكثر الأبحاث تقدمًا مع إمكانات كبيرة للتأثير الكبير في هذا المجال. يتم تقديم الأوراق الرئيسية بناءً على دعوة فردية أو توصية من قبل المحررين العلميين وتخضع لمراجعة الأقران قبل النشر.

يمكن أن تكون ورقة الميزات إما مقالة بحثية أصلية ، أو دراسة بحثية جديدة جوهرية غالبًا ما تتضمن العديد من التقنيات أو المناهج ، أو ورقة مراجعة شاملة مع تحديثات موجزة ودقيقة عن آخر التقدم في المجال الذي يراجع بشكل منهجي التطورات الأكثر إثارة في العلم. المؤلفات. يوفر هذا النوع من الأوراق نظرة عامة على الاتجاهات المستقبلية للبحث أو التطبيقات الممكنة.

تستند مقالات اختيار المحرر على توصيات المحررين العلميين لمجلات MDPI من جميع أنحاء العالم. يختار المحررون عددًا صغيرًا من المقالات المنشورة مؤخرًا في المجلة التي يعتقدون أنها ستكون مثيرة للاهتمام بشكل خاص للمؤلفين ، أو مهمة في هذا المجال. الهدف هو تقديم لمحة سريعة عن بعض الأعمال الأكثر إثارة المنشورة في مجالات البحث المختلفة بالمجلة.


المصادر المفتوحة لكلية الجبر في المجتمع

في هذا القسم ، سوف نستكشف الدوال التربيعية باستخدام تقنية الرسوم البيانية ونتعلم شكل الرأس وأشكال العوامل من صيغة الدالة التربيعية. سنرى أيضًا كيف يمكن إزاحة الرسوم البيانية للقطع المكافئ.

الشكل 13.2.1. دروس الفيديو البديلة

القسم الفرعي 13.2.1: استكشاف الوظائف التربيعية باستخدام تقنية الرسوم البيانية

تعد تقنية الرسوم البيانية مهمة جدًا ومفيدة للتطبيقات ولإيجاد النقاط بسرعة. دعنا نستكشف بعض الوظائف التربيعية باستخدام تقنية الرسوم البيانية.

مثال 13.2.2.

استخدم التكنولوجيا لرسم بياني وعمل جدول للوظيفة التربيعية (f ) المحددة بواسطة (f (x) = 2x ^ 2 + 4x-3 ) وابحث عن كل من النقاط أو الميزات الرئيسية.

ابحث عن التقاطع الرأسي (أي (y ) - التقاطع).

ابحث عن الأفقي أو (أي (س ) - تقاطع (تقاطعات)).

حل (f (x) = 3 ) باستخدام الرسم البياني.

حل (f (x) le 3 ) باستخدام الرسم البياني.

حدد مجال الوظيفة ونطاقها.

تختلف تفاصيل كيفية استخدام أي أداة تقنية معينة. سواء كنت تستخدم تطبيقًا أو آلة حاسبة فعلية أو أي شيء آخر ، يجب أن يبدو الجدول والرسم البياني كما يلي:

يمكن للميزات الإضافية لأداتك التقنية تحسين الرسم البياني للمساعدة في الإجابة على هذه الأسئلة. قد تتمكن من جعل الرسم البياني يظهر كما يلي:

التقاطع الرأسي هو ((0 ، -3) نص <.> )

تكون التقاطعات الأفقية تقريبًا ((- 2.6،0) ) و ((0.6،0) text <.> )

حلول ​​(f (x) = 3 ) هي (x ) - القيم حيث (y = 3 text <.> ) نرسم الخط الأفقي (y = 3 ) ونجد (x ) - القيم التي تتقاطع فيها الرسوم البيانية. مجموعة الحلول هي ( <- 3،1 > نص <.> )

الحلول هي جميع قيم (x ) - حيث يكون الرسم البياني للوظيفة أسفل (أو يلامس) السطر (y = 3 text <.> ) الفاصل الزمني هو ([- 3،1] text <.> )

المجال ((- infty، infty) ) والنطاق هو ([- 5، infty) text <.> )

الآن سننظر في تطبيق بتقنية الرسوم البيانية ونضع نقاط الاهتمام في السياق.

مثال 13.2.3.

طائرة منخفضة الجاذبية 1 en.wikipedia.org/wiki/Reduced-gravity_aircraft هي طائرة ثابتة الجناحين يستخدمها رواد الفضاء للتدريب. تطير الطائرة لأعلى ثم لأسفل في مسار مكافئ لمحاكاة الشعور بانعدام الوزن. في رحلة تدريبية واحدة ، سيطير الطيار (40 ) إلى (60 ) مناورات مكافئة.

لأول مناورة مكافئة ، يُعطى ارتفاع الطائرة ، بالقدم ، في الوقت (t text <،> ) بالثواني منذ بدء المناورة ، بواسطة (H (t) = - 16t ^ 2 + 400t +30500 نص <.> )

حدد ارتفاع البداية للمستوى بالنسبة للمناورة الأولى.

ما ارتفاع الطائرة (10 ​​) ثوانٍ خلال المناورة؟

حدد أقصى ارتفاع للطائرة والمدة التي يستغرقها الوصول إلى هذا الارتفاع.

يتم اختبار تأثير انعدام الجاذبية عندما تبدأ الطائرة في مسار القطع المكافئ حتى تنخفض إلى (30 <،> 500 ) قدم. اكتب متباينة للتعبير عن هذا وحلها باستخدام التمثيل البياني. اكتب أوقات تأثير انعدام الجاذبية كفاصل زمني وحدد المدة التي يختبر فيها رواد الفضاء انعدام الوزن خلال كل دورة.

استخدم التكنولوجيا لعمل جدول لـ (H ) بـ (t ) - قيم من (0 ) إلى (25 ) ثانية. استخدم زيادة مقدارها (5 ) ثوانٍ ثم استخدم الجدول لحل (H (t) = 32100 text <.> )

اذكر المجال والمدى لهذا السياق.

يمكننا الإجابة على الأسئلة بناءً على المعلومات الواردة في الرسم البياني.

يمكن قراءة ارتفاع البداية من التقاطع الرأسي ، وهو ((0،30500) text <.> ) يبدأ الشعور بانعدام الوزن عند (30 <،> 500 ) قدم.

بعد (10 ​​) ثانية ، يكون ارتفاع الطائرة (32 <،> 900 ) قدمًا.

بالنسبة للارتفاع الأقصى للمستوى ، ننظر إلى الرأس ، وهو ما يقرب من ((12.5 ، 33000) نص <.> ) هذا يخبرنا أنه بعد (12.5 ) ثانية ، سيكون المستوى عند أقصى ارتفاع له وهو (33 <،> 000 ) قدم.

يمكننا كتابة متباينة لوصف متى يكون المستوى عند (30 <،> 500 ) قدم أو أعلى منه ونحلها بيانياً.

نرسم الخط (y = 30500 ) ونوجد نقاط التقاطع مع القطع المكافئ. يعاني رواد الفضاء من انعدام الوزن من (0 ) ثانية إلى (25 ) ثانية في المناورة ، أو ([0،25] ) ثانية. يختبرون انعدام الوزن لمدة 25 ثانية في كل دورة.

لحل (H (t) = 32100 ) باستخدام الجدول ، نبحث عن مكان تساوي القيم (H ) - (32100 text <.> )

يوجد حلين ، (5 ) ثواني و (20 ) ثانية. مجموعة الحلول هي ( <5،20 > text <.> )

عندما نستخدم التكنولوجيا ، نرى الوظيفة بأكملها ولكن في هذا السياق ، تكون الطائرة فقط على مسار مكافئ من (t = 0 ) إلى (t = 25 ) ثانية. إذن المجال هو ([0،25] text <،> ) والنطاق هو مجموعة القيم المقابلة (y ) - وهي ([30500،33000] ) قدم.

لنلقِ نظرة على الغوص بالطائرة بالتحكم عن بعد من مثال 9.3.18. هذه المرة سوف نستخدم التكنولوجيا للإجابة على الأسئلة.

مثال 13.2.5.

تمتلك Maia طائرة يتم التحكم فيها عن بعد وستقوم بغوص حيلة حيث تغوص الطائرة نحو الأرض وتعود مرة أخرى على طول مسار مكافئ. يتم تحديد ارتفاع أو ارتفاع المستوى من خلال الوظيفة (H ) حيث (H (t) = 0.7t ^ 2-23t + 200 text <،> ) لـ (0 le t le 30 text <.> ) يُقاس الارتفاع بالأقدام والوقت ، (t text <،> ) يُقاس بالثواني منذ بدء الحركة المثيرة.

حدد ارتفاع بداية المستوى عند بدء الغوص.

حدد ارتفاع المستوى بعد (5 ) ثانية.

هل ستصطدم الطائرة بالأرض ، وإذا كان الأمر كذلك ، في أي وقت؟

إذا لم تصطدم الطائرة بالأرض ، فما أقربها إلى الأرض ، ومتى؟

في أي وقت (أوقات) سيكون ارتفاع الطائرة (50 ) قدمًا؟

حدد المجال ونطاق الوظيفة (في السياق).

لقد قمنا برسم الدالة بالرسم البياني وسنجد المعلومات الأساسية ونضعها في سياقها.

يمكن قراءة ارتفاع البداية من التقاطع الرأسي ، وهو ((0،200) text <.> ) عندما تبدأ الحركة المثيرة ، يكون للطائرة ارتفاع (200 ) قدم.

عندما تكون (x = 5 text <،> ) (y ) - القيمة (102.5 text <.> ) لذا (H (5) = 102.5 text <.> ) هذا يعني أنه بعد (5 ) ثوانٍ تكون الطائرة على ارتفاع (102.5 ) قدم فوق الأرض.

من الرسم البياني يمكننا أن نرى أن القطع المكافئ لا يلمس أو يتقاطع مع محور (س ) الذي يمثل الأرض. هذا يعني أن الطائرة لا تصطدم بالأرض ولا توجد حلول حقيقية للمعادلة (H (t) = 0 text <.> )

أدنى نقطة هي الرأس ، وهي تقريبًا ((16.43، 11.07) text <.> ) الحد الأدنى لارتفاع المستوى حوالي (11 ) قدمًا ، والذي يحدث بعد حوالي (16.4 ) ثانية.

نحن نرسم الخط الأفقي (y = 50 ) ونبحث عن نقاط التقاطع. ستكون الطائرة على ارتفاع (50 ) قدمًا فوق الأرض بعد حوالي (9 ) ثوانٍ من بدء الطائرة ، ومرة ​​أخرى في حوالي (24 ) ثانية.

يتم إعطاء مجال هذه الوظيفة في بيان المشكلة لأن جزءًا فقط من القطع المكافئ يمثل مسار المستوى. المجال هو ([0،30] text <.> ) بالنسبة إلى النطاق ، ننظر إلى الارتفاعات المحتملة للمستوى ونرى أنه ([11.07 ldots، 200] text <.> ) تقوم الطائرة بهذه الحركة من (0 ) إلى (30 ) ثانية ويتراوح ارتفاعها من حوالي (11 ) إلى (200 ) قدم فوق الأرض.

القسم الفرعي 13.2.2 شكل الرأس من القطع المكافئ

لقد تعلمنا الصيغة القياسية لصيغة الدالة التربيعية ، وهي (f (x) = ax ^ 2 + bx + c text <.> ) في هذا القسم الفرعي ، سوف نتعلم نموذجًا آخر يسمى "شكل قمة الرأس" .

باستخدام تقنية الرسوم البيانية ، ضع في اعتبارك الرسوم البيانية (f (x) = x ^ 2-6x + 7 ) و (g (x) = (x-3) ^ 2-2 ) على نفس المحاور.

لا نرى سوى قطع مكافئ واحد لأن هذين شكلين مختلفين لنفس الوظيفة. في الواقع ، إذا قمنا بتحويل (g (x) ) إلى الشكل القياسي:

من الواضح أن (f ) و (g ) هما نفس الوظيفة.

يُقال أن الصيغة المعطاة لـ (g ) في "شكل قمة الرأس" لأنها تسمح لنا بقراءة الرأس دون إجراء أي حسابات. رأس القطع المكافئ هو ((3، -2) نص <.> ) يمكننا رؤية هذه الأرقام في (g (x) = (x-3) ^ 2-2 text <.> ) (x ) - القيمة هي الحل ((x-3) = 0 text <،> ) و (y ) - القيمة هي الثابت مضاف في نهايةالمطاف.

فيما يلي الرسوم البيانية لثلاث وظائف أخرى مع الصيغ في شكل قمة الرأس. قارن كل دالة برأس رسمها البياني.

لاحظ أن الإحداثي (x ) - للرأس له إشارة معاكسة كقيمة في صيغة الدالة. من ناحية أخرى ، فإن الإحداثي (y ) - للرأس له نفس علامة القيمة الموجودة في صيغة الدالة. دعونا نلقي نظرة على مثال لفهم السبب. سنقوم بتقييم (r (2) text <.> )

القيمة (x ) - هي الحل لـ ((x-2) = 0 text <،> ) وهو موجب (2 text <.> ) عندما نستبدل ( بديل <2 > ) لـ (x ) نحصل على القيمة (y = 1 text <.> ) لاحظ أن هذه الإحداثيات تنشئ الرأس عند ((2،1) text <.> ) الآن يمكننا تحديد شكل قمة دالة تربيعية.

حقيقة 13.2.11. شكل الرأس لدالة تربيعية.

دالة تربيعية ذات رأس عند النقطة ((h، k) ) تُعطى بواسطة (f (x) = a (x-h) ^ 2 + k text <.> )

نقطة تفتيش 13.2.12.

الآن دعونا نفعل العكس. عند إعطاء الرأس وقيمة (a text <،> ) يمكننا كتابة الوظيفة في شكل قمة الرأس.

مثال 13.2.13.

اكتب صيغة للدالة التربيعية (f ) بالرأس المعطى وقيمة (a text <.> )

شكل الرأس هو (f (x) = (x + 2) ^ 2 + 8 text <.> )

شكل الرأس هو (f (x) = - 4 (x-4) ^ 2-9 text <.> )

شكل الرأس هو (f (x) = 2 (x + 3) ^ 2-1 text <.> )

شكل الرأس هو (f (x) = - 3 (x-5) ^ 2 + 12 text <.> )

بمجرد قراءة الرأس ، يمكننا أيضًا تحديد المجال والمدى. جميع الوظائف التربيعية لها مجال ((- infty، infty) ) لأنه يمكننا وضع أي قيمة للدالة التربيعية. ومع ذلك ، يعتمد النطاق على (y ) - قيمة الرأس وما إذا كان القطع المكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل. عندما يكون لدينا دالة تربيعية في شكل رأس ، يمكننا قراءة النطاق من الصيغة. لنلقِ نظرة على الرسم البياني لـ (f text <،> ) حيث (f (x) = 2 (x-3) ^ 2-5 text <،> ) كمثال.

المجال ((- infty، infty) text <.> ) يفتح الرسم البياني (f ) لأعلى (وهو ما نعرفه لأن (a = 2 ) موجب) وبالتالي فإن الرأس هو الحد الأدنى من النقاط. قيمة (ص ) - (- 5 ) هي الحد الأدنى. النطاق هو ([- 5، infty) text <.> )

مثال 13.2.15.

حدد مجال ونطاق (g text <،> ) حيث (g (x) = - 3 (x + 1) ^ 2 + 6 text <.> )

المجال هو ((- infty، infty) text <.> ) الرسم البياني لـ (g ) يفتح للأسفل (وهو ما نعرفه لأن (a = -3 ) سلبي) لذا يكون الرأس أقصى نقطة. قيمة (ص ) - (6 ) هي الحد الأقصى. النطاق هو ((- infty، 6] text <.> )

نقطة تفتيش 13.2.17.

القسم الفرعي 13.2.3 التحولات الأفقية والعمودية

دع (f (x) = x ^ 2 ) و (g (x) = (x-4) ^ 2 + 1 text <.> ) الرسم البياني لـ (y = f (x) ) رأسه عند النقطة ((0،0) نص <.> ) الآن سنقارن هذا بالرسم البياني (y = g (x) ) على نفس المحاور.

يفتح كلا الرسمين البيانيين لأعلى ولهما نفس الشكل. لاحظ أن الرسم البياني لـ (g ) هو نفس الرسم البياني (f ) ولكنه ينتقل إلى اليمين بمقدار (4 ) وحدة وأعلى بمقدار (1 ) وحدة لأن رأسه هو ( (4،1) نص <.> )

لنلق نظرة على رسم بياني آخر. دع (ح (س) = - س ^ 2 ) ودع (ي (س) = - (س + 3) ^ 2 + 4 نص <.> )

كلا القطعين المكافئين يفتحان لأسفل ولهما نفس الشكل. الرسم البياني لـ (ي ) هو نفس الرسم البياني (ح ) ولكن تم إزاحته إلى اليسار بمقدار (3 ) وحدة ولأعلى بمقدار (4 ) وحدات مما يجعل رأسه (( -3،4) نص <.> )

للتلخيص ، عند كتابة دالة تربيعية في شكل قمة الرأس ، فإن (h ) - القيمة هي الانزياح الأفقي للرسم البياني من الرسم البياني (y = ax ^ 2 ) و (k ) - القيمة هو التحول الرأسي للرسم البياني الخاص به من الرسم البياني لـ (y = ax ^ 2 text <.> )

مثال 13.2.20.

حدد الإزاحات الأفقية والعمودية مقارنة بـ (y = x ^ 2 text <.> )

الرسم البياني لـ (y = m (x) ) له رأس عند ((- 7،3) text <.> ) لذلك الرسم البياني هو نفسه (y = x ^ 2 ) تحول إلى يسار (7 ) وحدات وما فوق (3 ) وحدات.

الرسم البياني لـ (y = n (x) ) له رأس عند ((1،6) text <.> ) لذلك فإن الرسم البياني هو نفسه (y = x ^ 2 ) متحرك إلى اليمين (1 ) وحدة وما فوق (6 ) وحدات.

الرسم البياني لـ (y = o (x) ) له رأس عند ((5، -1) text <.> ) لذلك الرسم البياني هو نفسه (y = x ^ 2 ) تحول إلى يمين (5 ) وحدات وأسفل (1 ) وحدة.

الرسم البياني لـ (y = p (x) ) له رأس عند ((- 3، -11) text <.> ) لذلك فإن الرسم البياني هو نفسه (y = x ^ 2 ) تحول إلى الوحدات اليسرى (3 ) وأسفل (11 ) وحدة.

القسم الفرعي 13.2.4 شكل عامل القطع المكافئ

هناك شكل آخر لصيغة الدالة التربيعية ، يسمى "شكل عامل" ، سنستكشفه بعد ذلك. لنفكر في الوظيفتين (q (x) = - x ^ 2 + 3x + 4 ) و (s (x) = - (x-4) (x + 1) text <.> ) استخدام الرسوم البيانية التكنولوجيا ، سنقوم بالرسم البياني (y = q (x) ) و (y = s (x) ) على نفس المحاور.

تتطابق هذه الرسوم البيانية لأن الوظائف هي نفسها في الواقع. يمكننا معرفة ذلك بضرب صيغة (g ) للعودة إلى صيغة (f text <.> )

الآن يمكننا أن نرى أن (f ) و (g ) هما نفس الوظيفة بالفعل.

يعد الشكل المعامل مفيدًا جدًا لأنه يمكننا قراءة (x ) - اعتراضات مباشرة من الوظيفة ، والتي في هذه الحالة هي ((4،0) ) و ((- 1،0) text <.> ) نجد هذه من خلال البحث عن القيم التي تجعل العوامل مساوية لـ (0 نص <،> ) لذا فإن (س ) - القيم لها علامات معاكسة كما هو موضح في الصيغة. لتوضيح ذلك ، سنجد الجذور من خلال حل (g (x) = 0 text <.> )

يوضح لنا هذا أن التقاطع (x ) - هو ((4،0) ) و ((- 1،0) text <.> )

تسمى أيضًا قيم (x ) - التقاطع أو. أصفار أو جذور الدالة (g ) هي (- 1 ) و (4 نص <.> )

حقيقة 13.2.22. شكل عامل لدالة تربيعية.

دالة تربيعية ذات تقاطعات أفقية عند ((r ، 0) ) و ((s ، 0) ) لها الصيغة (f (x) = a (x-r) (x-s) text <.> )

نقطة تفتيش 13.2.23.

دعونا نلخص الأشكال الثلاثة لصيغة الدالة التربيعية:

(f (x) = ax ^ 2 + bx + c text <،> ) with (y ) - اعتراض ((0، c) text <.> )

(f (x) = a (xr) (xs) text <،> ) مع (x ) - اعتراضات ((r، 0) ) و ((s، 0) text <. > )

أسئلة القراءة 13.2.5 أسئلة القراءة

باستخدام شكل رأس دالة تربيعية ، تُظهر لك الصيغة نقطة على الرسم البياني (دون الحاجة إلى إجراء أي عملية حسابية). ما اسم تلك النقطة؟

باستخدام الصيغة القياسية للدالة التربيعية ، تُظهر لك الصيغة نقطة على الرسم البياني (دون الحاجة إلى إجراء أي عملية حسابية). ما اسم تلك النقطة؟

ما الذي يجعل شكل قمة دالة تربيعية أجمل للرسم البياني مقارنة بالصيغة القياسية؟

إذا حاول زميل طالب رسم المعادلة (y = (x-4) ^ 2 + 6 ) ووضع الرأس عند (-4،6) ، كيف تشرح لهم أنهم ارتكبوا خطأ؟

تمارين 13.2.6 تمارين

مراجعة والاحماء

حلل كثير الحدود إلى عوامل.

حلل كثير الحدود إلى عوامل.

حلل كثير الحدود إلى عوامل.

حلل كثير الحدود إلى عوامل.

بالنسبة للفاصل الزمني المعبر عنه في خط الأعداد ، اكتبه باستخدام تدوين منشئ المجموعة وتدوين الفاصل الزمني.

بالنسبة للفاصل الزمني المعبر عنه في خط الأعداد ، اكتبه باستخدام تدوين منشئ المجموعة وتدوين الفاصل الزمني.

بالنسبة للفاصل الزمني المعبر عنه في خط الأعداد ، اكتبه باستخدام تدوين منشئ المجموعة وتدوين الفاصل الزمني.

بالنسبة للفاصل الزمني المعبر عنه في خط الأعداد ، اكتبه باستخدام تدوين منشئ المجموعة وتدوين الفاصل الزمني.

التكنولوجيا والجداول

دع (f (x) =+ x-1> text <.> ) استخدم التكنولوجيا لعمل جدول قيم (f text <.> )

دع (g (x) =-3x-3> text <.> ) استخدم التكنولوجيا لعمل جدول للقيم (g text <.> )

دع (h (x) = <- x ^ <2> + 3x-1> text <.> ) استخدم التكنولوجيا لعمل جدول للقيم (h text <.> )

دع (F (x) = <- x ^ <2> + 4x-3> text <.> ) استخدم التكنولوجيا لعمل جدول للقيم (F text <.> )

دع (F (x) = <- 2x ^ <2> + 5x + 1> text <.> ) استخدم التكنولوجيا لعمل جدول للقيم (F text <.> )

دع (G (x) = <3x ^ <2> -5x-4> text <.> ) استخدم التكنولوجيا لعمل جدول للقيم (G text <.> )

دعونا (H (x) = <- 2x ^ <2> -4x + 30> text <.> ) استخدم التكنولوجيا لعمل جدول للقيم (H text <.> )

دعونا (K (x) = <3x ^ <2> -8x + 53> text <.> ) استخدم التكنولوجيا لعمل جدول للقيم (K text <.> )

التكنولوجيا والرسوم البيانية

استخدم التكنولوجيا لعمل رسم بياني لـ (f ) حيث (f (x) = x ^ 2 + 3x-2 text <.> )

استخدم التكنولوجيا لعمل رسم بياني لـ (f ) حيث (f (x) = x ^ 2-2x-1 text <.> )

استخدم التكنولوجيا لعمل رسم بياني لـ (f ) حيث (f (x) = - x ^ 2 + 3x + 2 text <.> )

استخدم التكنولوجيا لعمل رسم بياني لـ (f ) حيث (f (x) = - x ^ 2 + x + 2 text <.> )

استخدم التكنولوجيا لعمل رسم بياني لـ (f ) حيث (f (x) = 3x ^ 2-6x-5 text <.> )

استخدم التكنولوجيا لعمل رسم بياني لـ (f ) حيث (f (x) = - 3x ^ 2-8x + 3 text <.> )

استخدم التكنولوجيا لعمل رسم بياني لـ (f ) حيث (f (x) = - 3x ^ 2 + 4x + 49 text <.> )

استخدم التكنولوجيا لعمل رسم بياني لـ (f ) حيث (f (x) = 2x ^ 2-2x + 41 text <.> )

تقنية وميزات الرسوم البيانية للوظائف التربيعية

استخدم التكنولوجيا للعثور على ميزات دالة تربيعية ورسمها البياني.

دع (K (x) =-4x + 2> text <.> ) استخدم التكنولوجيا للعثور على ما يلي.

دع (f (x) = <- x ^ <2> -x-1> text <.> ) استخدم التكنولوجيا للعثور على ما يلي.

دع (g (x) = <1.1x ^ <2> -2.1x + 4.2> text <.> ) استخدم التكنولوجيا للعثور على ما يلي.

دع (h (x) = <1.1x ^ <2> -2.8x + 3.7> text <.> ) استخدم التكنولوجيا للعثور على ما يلي.

دع (F (x) = < frac> <3> + 2.3x + 0.9> text <.> ) استخدم التكنولوجيا للعثور على ما يلي.

دع (F (x) = < frac> <4> + 2.2x + 3.2> text <.> ) استخدم التكنولوجيا للعثور على ما يلي.

التطبيقات

تم إطلاق جسم من أعلى تل بسرعة عمودية تصاعدية تبلغ (150 ) قدمًا في الثانية. يمكن نمذجة ارتفاع الكائن من خلال الوظيفة (h (t) = <- 16t ^ <2> + 150t + 250> text <،> ) حيث يمثل (t ) عدد الثواني بعد إطلاق. افترض أن الكائن هبط على الأرض عند مستوى سطح البحر. ابحث عن الإجابة باستخدام تقنية الرسوم البيانية.

كان ارتفاع الجسم عند إطلاقه.

تم إطلاق جسم من أعلى تل بسرعة رأسية تصاعدية تبلغ (170 ) قدمًا في الثانية. يمكن نمذجة ارتفاع الكائن من خلال الوظيفة (h (t) = <- 16t ^ <2> + 170t + 150> text <،> ) حيث يمثل (t ) عدد الثواني بعد إطلاق. افترض أن الكائن هبط على الأرض عند مستوى سطح البحر. ابحث عن الإجابة باستخدام تقنية الرسوم البيانية.

استخدم جدولاً لسرد ارتفاع الكائن في الثانية الأولى بعد إطلاقه ، بزيادة (0.1 ) ثانية. إملأ الفراغات. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين عند الحاجة.

تم إطلاق جسم من أعلى تل بسرعة رأسية تصاعدية تبلغ (190 ) قدمًا في الثانية. يمكن نمذجة ارتفاع الكائن من خلال الوظيفة (h (t) = <- 16t ^ <2> + 190t + 300> text <،> ) حيث يمثل (t ) عدد الثواني بعد إطلاق. افترض أن الكائن هبط على الأرض عند مستوى سطح البحر. استخدم التكنولوجيا للعثور على الجواب.

كان الجسم في الهواء بعد (5 ) ثوانٍ من إطلاقه.

تم إطلاق جسم من أعلى تل بسرعة رأسية تصاعدية تبلغ (200 ) قدم في الثانية. يمكن نمذجة ارتفاع الكائن من خلال الوظيفة (h (t) = <- 16t ^ <2> + 200t + 200> text <،> ) حيث يمثل (t ) عدد الثواني بعد إطلاق. افترض أن الكائن هبط على الأرض عند مستوى سطح البحر. اعثر على الجواب باستخدام التكنولوجيا.

بعد ثوانٍ من إطلاقه ، وصل الكائن إلى أقصى ارتفاع له بالقدم.

تم إطلاق جسم من أعلى تل بسرعة عمودية تصاعدية تبلغ (60 ) قدمًا في الثانية. يمكن نمذجة ارتفاع الكائن من خلال الوظيفة (h (t) = <- 16t ^ <2> + 60t + 150> text <،> ) حيث يمثل (t ) عدد الثواني بعد إطلاق. افترض أن الكائن هبط على الأرض عند مستوى سطح البحر. اعثر على الجواب باستخدام التكنولوجيا.

بعد ثوانٍ من إطلاقه ، سقط الجسم على الأرض عند مستوى سطح البحر.

تم إطلاق جسم من أعلى تل بسرعة عمودية تصاعدية تبلغ (80 ) قدمًا في الثانية. يمكن نمذجة ارتفاع الكائن من خلال الوظيفة (h (t) = <- 16t ^ <2> + 80t + 300> text <،> ) حيث يمثل (t ) عدد الثواني بعد إطلاق. افترض أن الكائن هبط على الأرض عند مستوى سطح البحر. اعثر على الجواب باستخدام التكنولوجيا. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين. إذا كان هناك أكثر من إجابة واحدة ، فاستخدم الفاصلة للفصل بينهما.

كان ارتفاع الكائن (359 ) قدمًا بعد عدد الثواني التالية بعد إطلاقه:.

في السباق ، مرت سيارة بخط الانطلاق بسرعة (7 ) أمتار في الثانية. كانت تتسارع بسرعة (2.3 ) متر في الثانية المربعة. يمكن نمذجة المسافة بينه وبين موضع البداية بالدالة (d (t) = <1.15t ^ <2> + 7t> text <.> ) ابحث عن الإجابة باستخدام التكنولوجيا.

بعد ثوانٍ ، كانت السيارة على بعد (<63.75> ) مترًا من وضع البداية.

في السباق ، مرت سيارة عبر خط البداية بسرعة (4 ) أمتار في الثانية. كانت تتسارع بمعدل (2.7 ) متر في الثانية المربعة. يمكن نمذجة المسافة من موضع البداية من خلال الوظيفة (d (t) = <1.35t ^ <2> + 4t> text <.> ) ابحث عن الإجابة باستخدام التكنولوجيا.

بعد ثوانٍ ، كانت السيارة على بعد (<242.4> ) مترًا من وضع البداية.

قام مزارع بشراء (520 ) مترا من السياج ، وسيقوم ببناء قلم مستطيل معها. لإحاطة أكبر مساحة ممكنة ، ماذا يجب أن يكون طول القلم وعرضه؟ نمذجة منطقة القلم بدالة ، ثم ابحث عن قيمتها القصوى.

استخدم الفاصلة لفصل إجاباتك.

لإحاطة أكبر مساحة ممكنة ، يجب أن يكون طول القلم وعرضه بالأمتار.

قام مزارع بشراء (310 ) أمتار من السياج ، وسيقوم ببناء حظيرة مستطيلة على طول النهر. هذا يعني أن القلم لديه (3 ) جوانب مسيجة فقط. لإحاطة أكبر مساحة ممكنة ، ماذا يجب أن يكون طول القلم وعرضه؟ نمذجة منطقة القلم بدالة ، ثم ابحث عن قيمتها القصوى.

لإحاطة أكبر مساحة ممكنة ، يجب أن يكون طول القلم وعرضه بالأمتار.

الوظائف التربيعية في شكل الرأس

أوجد رأس الرسم البياني لـ (y = 5 ! left (x + 7 right) ^ <2> +4 text <.> )

أوجد رأس الرسم البياني لـ (y = 8 ! left (x-7 right) ^ <2> -8 text <.> )

أوجد رأس الرسم البياني لـ (y = 10 ! left (x + 1 right) ^ <2> +4 text <.> )

أوجد رأس الرسم البياني لـ (y = -9 ! left (x + 8 right) ^ <2> +9 text <.> )

أوجد رأس الرسم البياني لـ (y = -5.9 ! left (x-5.4 right) ^ <2> -2.9 text <.> )

أوجد رأس الرسم البياني لـ (y = -3.7 ! left (x + 1.5 right) ^ <2> +5.5 text <.> )

تم إعطاء رسم بياني للدالة (f ). استخدم الرسم البياني لكتابة معادلة لـ (f ) في شكل رأس. ستحتاج إلى تحديد الرأس وأيضًا نقطة أخرى على الرسم البياني للعثور على المعامل الرئيسي (a text <.> )

تم إعطاء رسم بياني للدالة (f ). استخدم الرسم البياني لكتابة معادلة لـ (f ) في شكل رأس. ستحتاج إلى تحديد الرأس وأيضًا نقطة أخرى على الرسم البياني للعثور على المعامل الرئيسي (a text <.> )

تم إعطاء رسم بياني للدالة (f ). استخدم الرسم البياني لكتابة معادلة لـ (f ) في شكل رأس. ستحتاج إلى تحديد الرأس وأيضًا نقطة أخرى على الرسم البياني للعثور على المعامل الرئيسي (a text <.> )

تم إعطاء رسم بياني للدالة (f ). استخدم الرسم البياني لكتابة معادلة لـ (f ) في شكل رأس. ستحتاج إلى تحديد الرأس وأيضًا نقطة أخرى على الرسم البياني للعثور على المعامل الرئيسي (a text <.> )

تم إعطاء رسم بياني للدالة (f ). استخدم الرسم البياني لكتابة معادلة لـ (f ) في شكل رأس. ستحتاج إلى تحديد الرأس وأيضًا نقطة أخرى على الرسم البياني للعثور على المعامل الرئيسي (a text <.> )

تم إعطاء رسم بياني للدالة (f ). استخدم الرسم البياني لكتابة معادلة لـ (f ) في شكل رأس. ستحتاج إلى تحديد الرأس وأيضًا نقطة أخرى على الرسم البياني للعثور على المعامل الرئيسي (a text <.> )

اكتب صيغة الرأس للدالة التربيعية (f text <،> ) التي رأسها ((9،4) ) ولها معامل بادئة (a = -8 text <.> )

اكتب صيغة الرأس للدالة التربيعية (f text <،> ) التي رأسها ((3، -7) ) ولها معامل بادئة (a = -6 text <.> )

اكتب صيغة الرأس للدالة التربيعية (f text <،> ) التي رأسها ((- 4، -2) ) ولها معامل بادئة (a = -4 text <.> )

اكتب صيغة الرأس للدالة التربيعية (f text <،> ) التي رأسها ((8، -7) ) ولها معامل بادئة (a = -1 text <.> )


حساب التفاضل والتكامل المبكر المتعالي: التفاضل وحساب متعدد المتغيرات للعلوم الاجتماعية

عند تحديد المشتق (f ^ < prime> left (x right) text <،> ) نحدده ليكون بالضبط معدل تغير (f left (x right) ) مع فيما يتعلق بـ (x text <.> ) وبالتالي ، يمكن إعادة صياغة أي سؤال حول معدلات التغيير كسؤال حول المشتقات. عندما نحسب المشتقات ، فإننا نحسب معدلات التغيير. النتائج والإجابات التي نحصل عليها للمشتقات تترجم مباشرة إلى نتائج وإجابات حول معدلات التغيير. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة التي تتضمن أكثر من متغير واحد ، وحيث تكون مهمتنا هي تحليل واستغلال العلاقات بين معدلات تغير هذه المتغيرات. جانبا ، هذه الفئة من المشاكل معروفة باسم. تبين أن الخطوة الرياضية لربط معدلات التغيير هي إلى حد كبير تمرين في التفاضل باستخدام قاعدة السلسلة أو التفاضل الضمني. وهذا يفسر سبب وضع بعض الكتب المدرسية هذا القسم بعد فترة وجيزة من الأقسام الموجودة في قاعدة السلسلة والتفاضل الضمني.

لنفترض أننا مهتمون بالعلاقة بين معدل التغيير في معدل الرهن العقاري ومعدل التغيير في عدد المنازل المباعة بمرور الوقت. إذا كان (x ) يمثل معدل الرهن العقاري و (y ) عدد المنازل المباعة في أي وقت (t text <،> ) ، فإن (x ) و (y ) هما كل من وظائف هذا المتغير الثالث (t text <.> ) افترض علاوة على ذلك أن معدل الرهن العقاري (x ) مرتبط بعدد المنازل المباعة (y text <،> ) أي أن لدينا أيضًا معادلة تتعلق بـ (س ) إلى (ص نص <:> )

ثم يمكننا التفريق بين طرفي هذه المعادلة ضمنيًا فيما يتعلق بـ (t text <،> ) والحصول على

بمعنى آخر ، لدينا الآن معادلة تربط (dx / dt ) بـ (dy / dt text <.> ) من حيث مشكلتنا ، هذا يعني أن معدل التغير في معدل الرهن العقاري و يرتبط معدل التغيير في عدد المنازل المباعة كدالة للوقت. وهكذا ، نظرًا لأن التغييرات (dx / dt ) تحدد كيف يتغير (dy / dt ) ، أي معدل التغيير في الرهن العقاري w.r.t. يتحكم الوقت في معدل تغيير المنازل في تلك اللحظة الزمنية.

مثال 5.6. السرعة التي يتغير بها الإحداثيات.

افترض أن كائنًا ما يتحرك على طول مسار موصوف بواسطة ( ds y = x ^ 2 text <،> ) أي أنه يتحرك على مسار مكافئ. في وقت معين ، قل (t = 5 text <،> ) (x ) - الإحداثي هو 6 ونقيس السرعة التي يتغير بها إحداثيات الكائن (x ) ونجدها أن (dx / dt = 3 نص <.> )

في الوقت نفسه ، ما مدى سرعة تغيير تنسيق (ص )؟

في (t = 5 ) نعلم أن (x = 6 ) و (dx / dt = 3 text <،> ) لذا (dy / dt = (2) (6) (3) = 36 نص <.> )

في كثير من الحالات ، وخاصة تلك المثيرة للاهتمام ، سيكون (x ) و (y ) مرتبطين بطريقة أخرى ، على سبيل المثال (x = f (y) text <،> ) أو (F (x) ، y) = k text <،> ) أو ربما (F (x، y) = G (x، y) text <،> ) حيث (F (x، y) ) و ( G (x، y) ) تعبيرات تتضمن كلا المتغيرين. في جميع الحالات ، يمكنك حل مشكلة المعدلات ذات الصلة عن طريق أخذ مشتق كلا الجانبين ، وتوصيل جميع القيم المعروفة (أي ، (x text <،> ) (y text <،> ) و ( ds dx / dt )) ، ثم حل لـ ( ds dy / dt text <.> )

للتلخيص ، فيما يلي خطوات حل مشكلة الأسعار ذات الصلة.

خطوات حل مشاكل الأسعار ذات الصلة.

اقرأ المشكلة مرتين على الأقل.

ارسم ورسم رسمًا تخطيطيًا للمشكلة إن أمكن.

تحديد المتغير المستقل (غالبًا ، ولكن ليس دائمًا ، زمن).

ما لم يتم تقديمه بالفعل ، استخدم تعليمة let لتقديم المتغيرات التابعة.

اذكر المعدل (المعدلات) والقيمة (القيم) المعروفة وغير المعروفة باستخدام اسم (أسماء) المتغير.

ابحث عن معادلة تتعلق بالمتغيرات المعروفة وغير المعروفة.

اشتق المعادلة ضمنيًا w.r.t المتغير المستقل.

استخدم استبدال القيم المعروفة لحل المعادلة الجديدة.

قم بتقييم نقدي إذا كانت إجابتك منطقية.

طائرة تحلق بعيدًا عنك مباشرة بسرعة 500 ميل في الساعة على ارتفاع 3 أميال. استخدم شريط التمرير للوقت لاستكشاف كيفية تغيير المعدل الذي تتغير به المسافة (s ) بينك وبين الطائرة.

مثال 5.7. الطائرات المتراجعة.

طائرة تحلق بعيدًا عنك مباشرة بسرعة 500 ميل في الساعة على ارتفاع 3 أميال ، كما هو موضح في العرض التوضيحي التفاعلي أعلاه. ما مدى سرعة زيادة المسافة بينك وبين الطائرة في الوقت الذي تحلق فيه الطائرة فوق نقطة على الأرض على بعد 4 أميال منك؟

لمعرفة ما يحدث ، نرسم أولاً تمثيلًا تخطيطيًا للموقف ، كما هو موضح أدناه.

نظرًا لأن الطائرة في مستوى طيران بعيدًا عنك مباشرةً ، فإن المعدل الذي تتغير به (x ) هو سرعة الطائرة ، (dx / dt = 500 ) ميل في الساعة. المسافة بينك وبين الطائرة هي (s text <> ) هو (ds / dt ) الذي نرغب في معرفته. من خلال نظرية فيثاغورس ، نعلم أن ( ds x ^ 2 + 9 = s ^ 2 text <.> ) أخذ المشتق فيما يتعلق بالمتغير المستقل (t text <،> ) نحصل عليه

نحن مهتمون بالوقت الذي (x = 4 text <> ) في هذا الوقت نعلم أن ( ds 4 ^ 2 + 9 = s ^ 2 text <،> ) so (s = 5 نص <.> ) جمع كل المعلومات التي نحصل عليها

مثال 5.8. معدل التغيير في المساكن المبتدئة.

تشير التقديرات إلى أن عدد المساكن التي تم البدء فيها ، ((N (t) ) (بوحدات المليون) ، على مدى السنوات الخمس القادمة مرتبط بمعدل الرهن العقاري (r (t) ) (النسبة المئوية لكل سنة) بالمعادلة

ما هو معدل التغير في عدد المساكن التي تم البدء فيها بالنسبة للوقت الذي يكون فيه معدل الرهن 4٪ في السنة ويزداد بمعدل 0.25٪ في السنة؟

نريد أن نجد (dN / dt ) متى

لقد حصلنا على العلاقة

حتى نتمكن من إيجاد العلاقة بين معدل تغير (N ) ومعدل التغيير (r ) عن طريق التفريق بين هذه المعادلة ضمنيًا فيما يتعلق بالوقت. هذا يعطي

في الوقت الحالي الذي نفكر فيه ، عدد بدايات الإسكان (N ) غير معروف. ومع ذلك ، نحن نعلم أن (N ) يرضي

لذلك عندما (r = 4 text <،> ) يجب أن يكون لدينا

حيث رفضنا الجذر السلبي. لذلك ، عندما (r = 4 ) و (د / دت = 0.25 نص <،> ) يكون معدل التغيير في بدايات الإسكان

أي أن عدد المساكن المبتدئة يتناقص بنحو 7،813 وحدة.

مثال 5.9. العرض والطلب.

لقد وجد أن مصنعًا معينًا ينتج (q ) ألف وحدة في الأسبوع عندما يكون سعر الوحدة $ (p text <.> ) افترض أن العلاقة بين (q ) و (p ) هي

ما هو معدل تغير العرض عندما تكون الكمية المنتجة 4000 وحدة وسعر الوحدة 11 دولارًا ، أي بمعدل 10 دولارات في الأسبوع؟

نفرق معادلة العرض على كلا الجانبين فيما يتعلق بالحصول (t text <،> )

حيث استخدمنا قاعدة المنتج في المصطلح الثاني. لذلك عندما (p = 11 text <،> ) (dp / dt = 0.1 ) و (q = 4000 text <،> ) لدينا

وبالتالي ، في الوقت المحدد ، يتزايد العرض بمعدل ((0.04) (1000) text <،> ) أو 40 وحدة في الأسبوع.

يتم نفخ بالون كروي بمعدل 7 سم (<> ^ 3 ) / ثانية.استخدم شريط التمرير لتقديم الوقت لاستكشاف كيف يعتمد معدل زيادة نصف القطر (r ) على معدل تضخم البالون.

مثال 5.10. بالون كروي.

أنت تقوم بنفخ بالون كروي بمعدل 7 سم (<> ^ 3 ) / ثانية. ما سرعة زيادة نصف قطرها عندما يكون نصف القطر 4 سم؟

هنا المتغير المستقل هو الوقت (t ) والمتغيرات التابعة هي نصف القطر (r ) والحجم (V نص <.> ) نعلم (dV / dt text <،> ) ونريد (dr / dt text <.> ) المتغيرين مرتبطين بالمعادلة ( ds V = 4 pi r ^ 3/3 text <.> ) أخذ المشتق فيما يتعلق المتغير المستقل (t text <،> ) الذي نحصل عليه

نستبدل الآن القيم التي نعرفها في اللحظة المعنية:

المثال 5.11. حاوية مخروطية.

يصب الماء في وعاء مخروطي الشكل بمعدل 10 سم (<> ^ 3 ) / ثانية. يشير المخروط إلى الأسفل مباشرةً ، ويبلغ ارتفاعه 30 سم ونصف قطر قاعدته 10 سم ، انظر أدناه. ما مدى سرعة ارتفاع منسوب المياه عندما يكون عمق الماء 4 سم (عند أعمق نقطة له)؟

يشكل الماء شكلًا مخروطيًا داخل المخروط الكبير ، حيث يتزايد ارتفاعه ونصف قطر قاعدته وحجمه كلما تم سكب الماء في الحاوية. هذا يعني أن لدينا في الواقع ثلاثة أشياء تتغير بمرور الوقت: مستوى الماء (ح ) (ارتفاع مخروط الماء) ، نصف قطر (r ) السطح العلوي الدائري للمياه (نصف قطر قاعدة مخروط الماء) ، وحجم الماء (V نص <.> ) يُعطى حجم المخروط بواسطة

مرة أخرى ، المتغير المستقل هو الوقت (t text <.> ) نحن نعلم (dV / dt text <،> ) ونريد (dh / dt text <.> ) في البداية يبدو شيء ما أن نكون مخطئين: لدينا متغير ثالث ، (r text <،> ) لا نعرف معدله.

ومع ذلك ، يجب أن يكون لأبعاد مخروط الماء نفس النسب مثل تلك الموجودة في الحاوية. وهذا بسبب وجود مثلثات متشابهة ،

لذلك (r = h / 3 text <.> ) الآن يمكننا التخلص من (r ) من المشكلة تمامًا:

نأخذ مشتق كلا الجانبين ونعوض (ح = 4 ) و (dV / dt = 10 نص <،> ) نحصل عليه

مثال 5.12. مجموعة سوينغ.

يتكون التأرجح من لوح في نهاية حبل طوله 10 أقدام. فكر في اللوحة كنقطة (P ) في نهاية الحبل ، واجعل (Q ) نقطة التعلق في الطرف الآخر. افترض أن التأرجح يقع مباشرة أسفل (Q ) في الوقت (t = 0 text <،> ) ويتم دفعه بواسطة شخص يمشي بسرعة 6 أقدام / ثانية من اليسار إلى اليمين. تجد

مدى سرعة ارتفاع الأرجوحة بعد 1 ثانية

السرعة الزاوية للحبل بالدرجة / الثانية بعد 1 ثانية.

نبدأ بالسؤال: ما هي الكمية الهندسية التي نعرف معدل تغيرها ، وما هي الكمية الهندسية التي نسأل عن معدل تغيرها؟ مرة أخرى ، المتغير المستقل هو الوقت (t text <.> ) لاحظ أن الشخص الذي يدفع الأرجوحة يتحرك أفقيًا بمعدل نعرفه. بمعنى آخر ، الإحداثي الأفقي لـ (P ) يتزايد بمعدل 6 قدم / ثانية. في الطائرة (x ) - (y ) - دعونا نقوم بالاختيار المناسب لوضع الأصل في موقع (P ) في الوقت (t = 0 text <،> ) أي ، مسافة 10 أسفل نقطة التعلق مباشرة كما هو موضح أدناه. ثم المعدل الذي نعرفه هو (dx / dt text <،> ) والجزء (أ) المعدل الذي نريده هو (dy / dt ) (المعدل الذي يرتفع عنده (P )). في الجزء (ب) المعدل الذي نريده هو ( ds d theta / dt text <،> ) حيث يشير ( theta ) إلى الزاوية بالتقدير الدائري التي يتأرجح خلالها التأرجح من الوضع الرأسي. في الواقع ، نظرًا لأننا نريد إجابتنا في درجة / ثانية ، في النهاية يجب علينا تحويل (د ثيتا / دت ) من راد / ثانية عن طريق الضرب في (180 / بي نص <.> )

من الرسم التخطيطي ، نرى أن لدينا مثلثًا قائمًا أرجله هي (x ) و (10-y text <،> ) وتردده هو 10. ومن ثم

أخذ مشتق كلا الجانبين فيما يتعلق (t ) نحصل عليه

ننظر الآن إلى ما نعرفه بعد ثانية واحدة ، أي (س = 6 ) (لأن (س ) بدأ عند 0 وكان يتزايد بمعدل 6 أقدام / ثانية لمدة ثانية واحدة) ، وبالتالي (ص = 2 ) (لأننا نحصل على (10-y = 8 ) من نظرية فيثاغورس المطبقة على المثلث بالوتر 10 والساق 6) ، و ( ds dx / dt = 6 text <.> ) إن وضع هذه القيم يعطينا

يمكننا من خلاله حلها بسهولة من أجل ( ds dy / dt text <:> ) ( ds dy / dt = 4.5 ) قدم / ثانية.

هنا المتغيرين لدينا هما (x ) و ( theta text <،> ) لذلك نريد استخدام نفس المثلث الأيمن كما في الجزء (أ) ، لكن هذه المرة ربط ( theta ) بـ (x text <.> ) بما أن الوتر ثابت (يساوي 10) ، فإن أفضل طريقة للقيام بذلك هي استخدام الجيب: ( sin theta = x / 10 text <.> ) أخذ المشتقات التي نحصل عليها

في اللحظة المعنية ( (t = 1 ) ثانية) ، عندما يكون لدينا مثلث قائم الزاوية مع أضلاعه 6-8-10 ، ( ds cos theta = 8/10 ) و ( ds dx / dt = 6 text <.> ) هكذا ((8/10) d theta / dt = 6/10 text <،> ) أي ( ds d theta / dt = 6/8 = 3/4 ) راديان / ثانية ، أو تقريبًا (43 ) درجة / ثانية.

لقد رأينا أنه في بعض الأحيان يوجد على ما يبدو أكثر من متغيرين يتغيران بمرور الوقت ، ولكن في الواقع هناك متغيرين فقط ، حيث يمكن التعبير عن الآخرين من حيث متغيرين فقط. ومع ذلك ، في بعض الأحيان ، هناك بالفعل العديد من المتغيرات التي تتغير بمرور الوقت طالما أنك تعرف معدلات التغيير للجميع باستثناء واحد منهم ، يمكنك العثور على معدل التغيير في المتغير المتبقي. كما هو الحال عندما يكون هناك متغيرين فقط ، خذ مشتق طرفي المعادلة المرتبطة بكل المتغيرات ، ثم استبدل كل القيم المعروفة وقم بحل المعدل المجهول.

مثال 5.13. معدل تغيير المسافة.

يمر طريق يمتد من الشمال إلى الجنوب عبر طريق يتجه من الشرق إلى الغرب عند النقطة (P text <.> ) تسير السيارة "أ" شمالًا على طول الطريق الأول ، بينما تسير السيارة "ب" باتجاه الشرق على طول الطريق الثاني. في وقت معين ، تكون السيارة A على بعد (10 ​​) كيلومترات شمال (P ) وتقطع بسرعة 80 كم / ساعة ، بينما السيارة B على بعد 15 كيلومترًا شرق (P ) وتقطع مسافة 100 كم / ساعة. ما مدى دقة تغيير المسافة بين السيارتين إلى منزلة عشرية واحدة؟

لنفترض (a (t) ) أن تكون مسافة السيارة A شمال (P ) في الوقت (t text <،> ) و (b (t) ) مسافة السيارة B شرق (P ) في الوقت (t text <،> ) ودع (c (t) ) تكون المسافة من السيارة A إلى السيارة B في الوقت (t ) كما هو موضح أدناه.

وفقًا لنظرية فيثاغورس ، ( ds c (t) ^ 2 = a (t) ^ 2 + b (t) ^ 2 text <.> ) أخذ المشتقات نحصل عليها


13.2 هـ: تمارين للقسم 13.2 - الرياضيات

1. باستخدام (n = 6 ) تقريب قيمة ( displaystyle int_ <1> ^ <7> << frac <1> <<+ 1 >> ، dx >> ) باستخدام

استخدم 6 منازل عشرية على الأقل من الدقة لعملك.

عرض كل الحلول إخفاء كل الحلول

a حل عرض قاعدة نقطة المنتصف

في حين أنه ليس من الضروري فعلاً حل المشكلة هنا ، هناك رسم تخطيطي للرسم البياني.

نعلم أننا بحاجة إلى تقسيم الفاصل الزمني ( left [<1،7> right] ) إلى 6 فترات فرعية لكل منها عرض ،

يتم تمثيل نقاط نهاية كل من هذه الفترات الفرعية بالنقاط الموجودة على المحور (س ) على الرسم البياني أعلاه.

تمثل علامات التجزئة بين كل نقطة نقطة منتصف كل من الفترات الفرعية. عندئذٍ ، تكون قيم (x ) - لنقاط المنتصف لكل من الفترات الفرعية ،

لذا ، لاستخدام قاعدة النقطة المتوسطة لتقريب قيمة التكامل ، كل ما علينا فعله هو التعويض في الصيغة. القيام بهذا يعطي ،

من عمل قاعدة النقطة المتوسطة ، نعلم أن عرض كل فاصل زمني فرعي هو ( Delta x = 1 ) ولأغراض مرجعية ، يظهر رسم الرسم البياني مع نقاط نهاية كل فترة فرعية مميزة بالنقاط أدناه.

لذلك ، لاستخدام قاعدة شبه المنحرف لتقريب قيمة التكامل ، كل ما نحتاج إليه هو التعويض في الصيغة. القيام بهذا يعطي ،

من عمل قاعدة النقطة المتوسطة ، نعلم أن عرض كل فاصل زمني فرعي هو ( Delta x = 1 ) ولأغراض مرجعية ، يظهر رسم الرسم البياني مع نقاط نهاية كل فترة فرعية مميزة بالنقاط أدناه.

كما هو الحال مع الجزأين الأولين ، كل ما علينا فعله هو التعويض بالصيغة لاستخدام قاعدة سيمبسون لتقريب قيمة التكامل. القيام بهذا يعطي ،


13.2 هـ: تمارين للقسم 13.2 - الرياضيات

عندما نبدأ في تجميع قائمة من السلاسل المتقاربة والمتباينة ، يمكن أحيانًا تحليل سلاسل جديدة من خلال مقارنتها بالسلسلة التي نفهمها بالفعل.

المثال 13.5.1 هل $ ds sum_^ infty <1 over n ^ 2 ln n> $ تتقارب؟

النهج الأول الواضح ، بناءً على ما نعرفه ، هو الاختبار المتكامل. لسوء الحظ ، لا يمكننا حساب المشتق العكسي المطلوب. لكن بالنظر إلى السلسلة ، يبدو أنها يجب أن تتقارب ، لأن المصطلحات التي نضيفها أصغر من شروط a $ p $ -series ، أي $ <1 over n ^ 2 ln n> مثال 13.5 .2 هل $ ds sum_^ infty <| sin n | over n ^ 2> $ تتقارب؟

لا يمكننا تطبيق الاختبار المتكامل هنا ، لأن شروط هذه السلسلة لا تتناقص. تمامًا كما في المثال السابق ، مع ذلك ، $ <| sin n | over n ^ 2> le <1 over n ^ 2>، $ because $ | sin n | le 1 $. مرة أخرى ، فإن المبالغ الجزئية غير متناقصة ومحدودة أعلاه بمقدار $ ds sum 1 / n ^ 2 = L $ ، لذا فإن المتسلسلة الجديدة تتقارب.

مثل الاختبار المتكامل ، يمكن استخدام اختبار المقارنة لإظهار كل من التقارب والتباعد. في حالة الاختبار المتكامل ، ستؤكد عملية حسابية واحدة أيهما كان. لاستخدام اختبار المقارنة ، يجب أن تكون لدينا أولاً فكرة جيدة عن التقارب أو الاختلاف واختيار التسلسل للمقارنة وفقًا لذلك.

المثال 13.5.3 هل $ ds sum_^ infty <1 over sqrt> $ تتلاقى؟

نلاحظ أن $ -3 $ يجب أن يكون له تأثير ضئيل مقارنة بـ $ ds n ^ 2 $ داخل الجذر التربيعي ، وبالتالي نعتقد أن المصطلحات كافية مثل $ ds 1 / sqrt= 1 / n $ أن السلسلة يجب أن تتباعد. نحاول إظهار ذلك بالمقارنة مع المتسلسلة التوافقية. نلاحظ أن $ <1 over sqrt>> <1 over sqrt> = <1 over n>، $ بحيث أن $ s_n = <1 over sqrt <2 ^ 2-3 >> + <1 over sqrt <3 ^ 2-3 >> + cdots + <1 أكثر من sqrt>> <1 over 2> + <1 over3> + cdots + <1 over n> = t_n، $ حيث $ ds t_n $ هو 1 أقل من المجموع الجزئي المقابل للسلسلة التوافقية (لأننا نبدأ من $ n = 2 $ بدلاً من $ n = 1 $). منذ $ ds lim_t_n = infty $ ، $ ds lim_s_n = infty $ أيضًا.

لذا فإن النهج العام هو: إذا كنت تعتقد أن سلسلة جديدة متقاربة ، فحاول العثور على سلسلة متقاربة شروطها أكبر من شروط السلسلة الجديدة إذا كنت تعتقد أن سلسلة جديدة متباعدة ، فحاول العثور على سلسلة متباعدة التي تكون شروطها أصغر من شروط السلسلة الجديدة.

المثال 13.5.4 هل $ ds sum_^ infty <1 over sqrt> $ تتلاقى؟

تمامًا كما في المثال الأخير ، نعتقد أن هذا يشبه إلى حد كبير السلسلة التوافقية وبالتالي يتباعد. لسوء الحظ ، $ <1 أكثر sqrt> <1 أكثر sqrt> = <1 over2n>، $ لذا إذا تباعد $ sum 1 / (2n) $ فإن السلسلة المعطاة تتباعد. ولكن بما أن $ sum 1 / (2n) = (1/2) sum 1 / n $ ، فإن النظرية 13.2.2 تشير إلى أنه بالفعل يتباعد.

كمرجع نلخص اختبار المقارنة في نظرية.

النظرية 13.5.5 افترض أن $ ds a_n $ و $ ds b_n $ غير سالبين لكل $ n $ وأن $ ds a_n le b_n $ عندما $ n ge N $ ، لبعض $ N $.

إذا $ ds sum_^ infty b_n $ يتقارب ، وكذلك $ ds sum_^ infty a_n $.

إذا $ ds sum_^ infty a_n $ يتباعد ، وكذلك $ ds sum_^ infty b_n $.


شاهد الفيديو: المرجع في الرياضيات المستوى الثالث إبتدائي - الصفحات: 63 - 64 - 65 (شهر نوفمبر 2021).