مقالات

43.2: الأساسيات - الرياضيات


43.2: الأساسيات - الرياضيات

وأوضح تحكم PID

وحدة تحكم PID (مشتق متكامل متناسب) يعمل عن طريق التحكم في الإخراج لإحضار قيمة العملية إلى نقطة التحديد المطلوبة.

انظر المنشور & # 8220WHAT IS A PID CONTROLLER؟ & # 8221 للحصول على مثال أساسي لوحدة تحكم PID. وكذلك صفحة PID Simulator لاستخدام محاكي PID المباشر!

قبل الغوص في وحدة تحكم PID ، هناك بعض المصطلحات التي تحتاج إلى تعريف:

شروط تحكم PID:

تعيين نقطة

عادةً ما تكون نقطة الضبط هي القيمة التي أدخلها المستخدم ، وفي التحكم في التطواف ستكون السرعة المحددة ، أو بالنسبة لنظام التدفئة ، ستكون درجة الحرارة المحددة.

قيمة العملية

قيمة العملية هي القيمة التي يتم التحكم فيها. للتحكم في التطواف ، ستكون هذه هي السرعة الفعلية للمركبة ، أو في نظام التدفئة ، ستكون هذه هي درجة الحرارة الحالية للنظام.

انتاج |

الإخراج هو القيمة الخاضعة للتحكم لوحدة تحكم PID. في التحكم في التطواف ، سيكون الإخراج هو صمام الخانق ، في نظام التدفئة ، قد يكون الإخراج عبارة عن صمام ثلاثي الاتجاه في حلقة تسخين ، أو كمية الوقود المطبقة على المرجل.

خطأ

قيمة الخطأ هي القيمة التي تستخدمها وحدة التحكم PID لتحديد كيفية معالجة الإخراج لإحضار قيمة العملية إلى نقطة التحديد.

خطأ = نقطة الضبط & # 8211 قيمة العملية

وأوضح تحكم PID!

التفسير الأساسي لوحدة تحكم PID. تراقب وحدة التحكم PID باستمرار قيمة الخطأ ، وباستخدام هذه القيمة ، تحسب القيم النسبية والتكاملية والمشتقة. ثم تضيف وحدة التحكم هذه القيم الثلاث معًا لإنشاء الإخراج.

أدناه سوف نتعمق في المعادلات النسبية والتكاملية والمشتقة كثلاث معادلات منفصلة ، ثم نجمعها معًا لإنشاء المخرجات ، ولكن أولاً ، نحتاج إلى التحدث عن قيم إدخال المستخدم في وحدة تحكم PID & # 8230 إعدادات الكسب (P-Gain ، I-Gain و D-Gain).

ربح

الكسب هو المصطلح المستخدم لـ & # 8220multiplication factor & # 8221. من خلال ضبط إعدادات الكسب (أو عامل الضرب) النسبي والتكامل والمشتق ، يمكن للمستخدم التحكم في مدى تأثير وحدة تحكم PID على الإخراج ، وكيف ستتفاعل وحدة التحكم مع التغييرات المختلفة في قيمة العملية.

P أو نسبي

ضبط القيمة النسبية

يتم حساب التناسب بضرب P-Gain في الخطأ. الغرض من المتناسب ، هو الحصول على رد فعل فوري كبير على الناتج لتقريب قيمة العملية من نقطة التحديد. عندما يصبح الخطأ أقل ، يصبح تأثير القيمة النسبية على الناتج أقل.

تبدو الرياضيات النسبية كما يلي:

P = نسبي | kP = ربح نسبي | SP = نقطة الضبط | PV = قيمة العملية | خطأ = خطأ

أنا أو لا يتجزأ

ضبط القيمة التكاملية

يتم حساب Integral بضرب I-Gain ، في الخطأ ، ثم ضرب هذا في وقت دورة وحدة التحكم (عدد المرات التي تقوم فيها وحدة التحكم بحساب PID) وتجميع هذه القيمة باستمرار على أنها & # 8220total Integral & # 8221.

شرح أكثر قليلاً ، في كل مرة تقوم فيها وحدة التحكم بحساب PID (مثال على وقت الدورة هو كل 100 مللي ثانية) ، تتم إضافة القيمة التكاملية المحسوبة الجديدة إلى الإجمالي المتكامل. لن يكون للتكامل في العادة تأثير مباشر على المخرجات مثل التأثير النسبي ، ولكن نظرًا لأن التكامل يتراكم باستمرار لوقت إضافي ، فكلما طال الوقت الذي تستغرقه قيمة العملية للوصول إلى نقطة التحديد ، زاد تأثير التكامل على الناتج .

أنا = متكامل | kI = ربح متكامل | dt = وقت دورة وحدة التحكم | هو = إجمالي متكامل

د أو مشتق

ضبط القيمة المشتقة

يتم حساب المشتق بضرب D-Gain في معدل المنحدر لقيمة العملية. الغرض من المشتق هو & # 8220 توقع & # 8221 حيث تسير قيمة العملية ، وتحيز الناتج في الاتجاه المعاكس للتناسب والتكامل ، على أمل منع وحدة التحكم من الإفراط في إطلاق النار على نقطة التحديد إذا كان معدل المنحدر لتسريع.

شرح أبسط قليلاً ، إذا كانت قيمة العملية تقترب من نقطة التحديد بسرعة ، فإن المشتق سيحد من المخرجات لمنع قيمة العملية من تجاوز نقطة التحديد.

D = مشتق | kD = ربح مشتق | dt = وقت دورة وحدة التحكم | pErr = الخطأ السابق

انتاج |

يتم حساب خرج وحدة التحكم PID ببساطة عن طريق إضافة متناسب، ال متكامل و ال المشتق. اعتمادًا على إعداد الكسب لهذه القيم الثلاث ، ستحدد مدى تأثيرها على المخرجات.

الرياضيات الناتجة عن وحدة تحكم PID:

تبدو حلقة التحكم PID معًا مثل هذا

انتظر dt (100 مللي ثانية) ، وقم بإجراء التكرار مرة أخرى.

ضبط وحدة تحكم PID

تحقق من هذا المنشور لمعرفة كيفية ضبط وحدة تحكم PID وكيفية إعداد واحدة من البداية.

عن المؤلف

المنشورات ذات الصلة

ما هي وحدة تحكم PID؟

كيفية ضبط وحدة تحكم PID

تطبيق محاكي PID!


المؤلفون

كان الغرض من هذه الدراسة هو: (أ) التحقيق في تأثيرات البريد الإلكتروني لتعزيز استخدام المتعلمين لاستراتيجيات التنظيم الذاتي (ب) فحص التأثيرات المختلفة بين قائمة البريد الإلكتروني والملاحظات الموجهة بشكل فردي حول تعزيز التنظيم الذاتي (ج) الملاحظة وتسجيل التغييرات في التنظيم الذاتي والفعالية الذاتية و (د) استكشاف العلاقات بين التنظيم الذاتي والكفاءة الذاتية والإنجاز. لمدة فصل دراسي كامل ، شارك 103 طلاب جامعيين في دورة الرياضيات غير المتزامنة عبر الإنترنت في هذه الدراسة. تم توزيعهم بشكل عشوائي على واحدة من ثلاث مجموعات. تلقت المجموعة الأولى استراتيجيات التنظيم الذاتي دون رسائل شخصية ، بينما تلقت المجموعة الثانية استراتيجيات التنظيم الذاتي مع الرسائل الشخصية ، ولم تتلق المجموعة الثالثة استراتيجيات التنظيم الذاتي ولا الرسائل الشخصية. أشارت النتائج إلى عدم وجود تأثير ذي دلالة إحصائية على معاملات البريد الإلكتروني ولكن لوحظ وجود علاقة ذات دلالة إحصائية بين الكفاءة الذاتية والإنجاز. تمت مناقشة النتائج مع التركيز على العلاقات المتبادلة بين الكفاءة الذاتية والتنظيم الذاتي.


هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)


مجلة SIAM للحوسبة العلمية

نحن مهتمون بموازاة خوارزمية انحدار الزاوية الأقل (LARS) لملاءمة نماذج الانحدار الخطي مع البيانات عالية الأبعاد. نحن نعتبر نسختين متوازيتين ومتجنبتين للاتصال من خوارزمية LARS الأساسية. الخوارزميتان لها تكاليف مقاربة مختلفة وأداء عملي. يقدم أحدهما مزيدًا من السرعة والآخر ينتج إخراجًا أكثر دقة. الأول هو bLARS ، وهو نسخة كتلة من خوارزمية LARS ، حيث نقوم بتحديث أعمدة $ b $ في كل تكرار. بافتراض أن البيانات مقسمة إلى صفوف ، تقلل bLARS عدد العمليات الحسابية ووقت الاستجابة وعرض النطاق الترددي بمعامل $ b $. والثاني هو Tournament-bLARS (T-bLARS) ، وهو إصدار دورة من LARS حيث تتنافس المعالجات عن طريق تشغيل عدة حسابات LARS بالتوازي لاختيار أعمدة $ b $ جديدة لإضافتها في الحل. بافتراض أن البيانات مقسمة إلى أعمدة ، فإن T-bLARS يقلل زمن الانتقال بمعامل قدره $ b $. على غرار LARS ، تولد طرقنا المقترحة سلسلة من النماذج الخطية. نقدم تجارب عددية مكثفة توضح تسريع يصل إلى 4x مقارنة بـ LARS دون أي مساومة في جودة الحل.


قراءة المخططات الدائرية

في المثال التالي سوف تتعلم كيفية قراءة وتفسير الرسم البياني الدائري.

مثال 1: توضح الصورة التالية النسب المئوية لأنواع النقل التي يستخدمها الأشخاص في العينة البالغة 200 دولار أمريكي في أغلب الأحيان:

أ) كم عدد الأشخاص الذين يستخدمون الحافلة في أغلب الأحيان؟

ب) كم عدد الأشخاص الذين لا يستخدمون القطار في أغلب الأحيان؟

ج) كم عدد الأشخاص الذين يستخدمون الدراجة أو السيارة في أغلب الأحيان؟

بالتأكيد ، إجمالي التردد هو $ N = 200 $.

أ) 20 دولارًا ٪ من 200 دولار يستخدم الناس الحافلة في أغلب الأحيان. بمعنى آخر ، الإجابة هي 20 دولارًا ٪ cdot 200 = 0.2 cdot 200 = 40 دولارًا من الناس.

ب) 10 دولارات ٪ من 200 دولار يستخدم الناس القطار في أغلب الأحيان. لذلك لدينا

$ (100 ٪ & # 8211 10 ٪) cdot 200 = 0.9 cdot 200 = 180 دولار

في الختام ، 180 دولارًا من الأشخاص لا يستخدمون القطار في أغلب الأحيان.

ج) 30 دولارًا ٪ من 200 دولار أمريكي يستخدم الناس الدراجة في أغلب الأحيان و 40 دولارًا ٪ دولار منهم يستخدمون السيارة في أغلب الأحيان. لذلك لدينا

$ (30 ٪ + 40 ٪) cdot 200 = 70 ٪ cdot 200 = 0.7 cdot 200 = 140. $

في الختام ، 140 دولارًا يستخدم الناس الدراجة أو السيارة في أغلب الأحيان.

المثال 2: يُظهر الرسم البياني الدائري التالي مسحًا لعدد قطع الملابس ومستحضرات التجميل والمجوهرات التي تشتريها النساء. علاوة على ذلك ، كان هناك مجوهرات بقيمة 140 دولارًا في الاستطلاع.

أ) ما هو جزء المواد التجميلية؟

ب) حساب عدد العناصر في المسح.

ج) كم عدد قطع الملابس في المسح؟

أ) جزء من مستحضرات التجميل هو

ب) اجعل $ x $ هو عدد العناصر. نظرًا لوجود قطعة مجوهرات بقيمة 140 دولارًا في الاستطلاع ، فقد قمنا بذلك

لذلك ، فإن عدد العناصر هو 1440 دولارًا.

قطعة من الملابس في المسح.


43.2: الأساسيات - الرياضيات

> endstream endobj 4 0 obj> endobj 5 0 obj> / ExtGState> >> endobj 6 0 obj> stream 8XEJgMZ٪ 0 & 4Jh! s "KMe_H * bjc = Pne، V9 @ F (BH ([. 'PA31mYYJ81dEdeUGMeER.Iq" Xj_ " OX..G٪ VOqJR5: V1Mog * = X = 0uU4 * ep8QSca $ H .b) Hlj ^ Ojq ^ @ 5DgB (lVp0ub /) m5Hkb2! 7.GM: WHNW [bJSB = eQs5FX / u kOipj H4 = sC GE؟ H (cBlAUU_gJ4UWlDVALO0ta = 2! r [8Go45 # n # = dU7B0 QoGO =؟ nqgTXtfJkLjN.2! mN = Y3jN & Et)٪ 4 (: & # Ye؟ orn) _FZ 0DW- / jlR * @-OC [$] egs0bOi $ 7KiqcZ $ -1PMLrH8Z "7f & 9 $ uo =]

منهج الرياضيات 563

نص
1. دينويت ، دايني ، جوفيرتس وكاس (2005). النظرية الاكتوارية للمخاطر التابعة: الإجراءات والأوامر والنماذج. وايلي.
2. مكنيل ، فراي ، وإمبريشتس (2005). إدارة المخاطر الكمية: مفاهيم ، تقنيات ، أدوات، مطبعة جامعة برينستون.

الفصل 1 مخاطر النمذجة (3 ساعات)
مراجعة الخصائص الأساسية للمتغيرات العشوائية والتوقعات والتحولات والتوزيعات الشرطية والتوحيد المشترك والحصرية المتبادلة

الفصل 2 قياس المخاطر (6 ساعات)

  • تدابير المخاطر
  • القيمة المعرضة للخطر
  • ذيل القيمة المعرضة للخطر
  • مقاييس المخاطر على أساس المنفعة المتوقعة
  • تدابير المخاطر على أساس التوقعات المشوهة

الفصل 3 مقارنة المخاطر (6 ساعات)

الفصل 4 - الاعتماد بين المخاطر (9 ساعات)

  • نظرية التمثيل سكلار
  • كوبولا ثنائي المتغير
  • خصائص الكوبولا
  • عائلة أرخميدس من الكوبولا
  • مجموعات متعددة المتغيرات

الفصل الخامس - قياس الاعتماد (3 ساعات)

الفصل السادس - مقارنة التبعية (3 ساعات)

  • ترتيب الارتباط
  • حالة متعددة المتغيرات باستخدام النظام الفائق
  • أمر تبعية إيجابي أو تبعية

الفصل السابع - الاعتماد في نماذج المصداقية المبنية على النماذج الخطية المعممة (6 ساعات)

  • نماذج مصداقية بواسون لترددات المطالبات
  • نموذج مصداقية ثابت
  • نماذج المصداقية الديناميكية
  • الاعتماد الناجم عن مقاييس Bonus-Malus

الفصل 9 الترتيب المتكامل ومقاييس الاحتمال (6 ساعات)

  • الترتيب العشوائي لا يتجزأ
  • مقاييس الاحتمالية المتكاملة
  • مسافة التباين الكلي
  • مسافة Kolmogorov
  • مسافة Wasserstein
  • مسافة وقف الخسارة
  • مسافة وقف خسارة متكاملة
  • تقريب مركب بواسون لمجموعة من المخاطر التابعة

إذا سمح الوقت ، يمكن تغطية الموضوعات التالية.

  • الاستدلالات الإحصائية للجمعيات بما في ذلك تقديرات الاحتمالية القصوى ، وظائف الاستدلال للهوامش ، الحد الأقصى لمقدرات الاحتمالية الزائفة ، مقدر Kendall's tau ، فترات الثقة.
  • مواد
    • إمبرختس وم. (2013) الاستدلال الإحصائي للجمعيات ذات الأبعاد العالية: دراسة محاكاة. نشرة أستين. 43 (2) 81-95.
    • C. Genest و LP Rivest. (1993) إجراءات الاستدلال الإحصائي لكوبيولات أرخميدس ثنائية المتغير. مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية ، 88 (423) 1034-1043.

    الامتحانات النصفية (ساعة واحدة)
    المجموع: 43 ساعة


    43.2: الأساسيات - الرياضيات

    يتم تحميل عمود 12 قدمًا مثبتًا بشكل صارم على الأرض بقوة أفقية تبلغ 300 رطل في قمته. النصف السفلي من العمود مجوف والنصف الآخر صلب ، كما هو موضح في الرسم التخطيطي على اليسار.

    ما هو أقصى إجهاد الانحناء في أي مكان في العمود؟

    الحد الأقصى لضغط الانحناء هو وظيفة مباشرة لأقصى لحظة الانحناء والمقطع العرضي للعضو ، على النحو الوارد في ،

    نظرًا لوجود قسمين عرضيين مختلفين ، فسيلزم التحقق من كليهما.
    مخطط الجسم الحر

    أولاً ، يجب تحديد توزيع اللحظة من أسفل إلى أعلى العمود بحيث يمكن تحديد الحد الأقصى. يمكن اعتبار القطب شعاعًا ناتئًا بسيطًا مما يجعل إيجاد مخطط العزم أمرًا بسيطًا. إذا تم إجراء قطع في موقع عشوائي ، x ، فإن اللحظة في هذا الموقع هي

    مأأ = (300 رطل) (12 - × قدم) (12 بوصة / قدم)
    = 43.2 - 3.6x كيب إن

    الحد الأقصى في القسم السفلي هو 43.2 kip-in على الأرض. الحد الأقصى للقسم العلوي هو 21.6 kip-in عند مفصل منتصف النقطة.

    لحظة القصور الذاتي لكلا القسمين ،

    أناأعلى = & pid 4/64 = & pi2 4/32 = 0.7854 في 4

    أناالأسفل = & pi / 64 (3 4 - 2.5 4) = 2.059 في 4
    المقاطع العرضية للأنابيب

    الضغط في كلا القسمين

    &سيجماأعلى ماكس = أنا / أنا = 21.6 (1) /0.7854
    = 27.50 كرونة سويدية

    &سيجماأسفل الحد الأقصى = أنا / أنا = 43.2 (1.5) / 2.059
    = 31.47 كيلو ريال سعودي


    43.2: الأساسيات - الرياضيات

    مقدمة
    لقد رأيت عددًا من المنافسين يشكون من أنهم محرومون بشكل غير عادل لأن العديد من مشكلات التشفير العلوي تكون حسابية للغاية. أنا شخصياً أحب الرياضيات ، وبالتالي فأنا متحيز في هذه المسألة. ومع ذلك ، أعتقد بشدة أن المسائل يجب أن تحتوي على الأقل على بعض الرياضيات ، لأن الرياضيات وعلوم الكمبيوتر غالبًا ما يسيران جنبًا إلى جنب. من الصعب تخيل عالم يمكن أن يوجد فيه هذان المجالان دون أي تفاعل مع بعضهما البعض. في هذه الأيام ، يتم إجراء قدر كبير من الرياضيات التطبيقية على أجهزة الكمبيوتر مثل حل أنظمة كبيرة من المعادلات وتقريب الحلول للمعادلات التفاضلية التي لا توجد لها صيغة مغلقة. تُستخدم الرياضيات على نطاق واسع في أبحاث علوم الكمبيوتر ، فضلاً عن كونها مطبقة بكثافة على خوارزميات الرسم البياني ومجالات رؤية الكمبيوتر.

    تناقش هذه المقالة النظرية والتطبيق العملي لبعض التركيبات الرياضية الأكثر شيوعًا. الموضوعات التي يتم تناولها هي: الأعداد الأولية ، GCD ، الهندسة الأساسية ، القواعد ، الكسور والأعداد المركبة.

    الأعداد الأولية
    يكون الرقم أوليًا إذا كان لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. على سبيل المثال ، 2 و 3 و 5 و 79 و 311 و 1931 كلها أعداد أولية ، في حين أن 21 ليس عددًا أوليًا لأنه قابل للقسمة على 3 و 7. لمعرفة ما إذا كان الرقم n عددًا أوليًا يمكننا ببساطة التحقق مما إذا كان يقسم أي أرقام أدناه هو - هي. يمكننا استخدام عامل المعامل (٪) للتحقق من القابلية للقسمة:

    يمكننا جعل هذا الرمز يعمل بشكل أسرع من خلال ملاحظة أننا نحتاج فقط إلى التحقق من القابلية للقسمة لقيم i التي تقل أو تساوي الجذر التربيعي لـ n (نسمي هذا m). إذا قسمت n عددًا أكبر من m ، فستكون نتيجة هذا القسمة أقل من m ، وبالتالي فإن n ستقسم رقمًا أصغر أو يساوي m. تحسين آخر هو إدراك أنه لا توجد أعداد أولية أكبر من 2. بمجرد أن نتحقق من أن n ليس حتى يمكننا زيادة قيمة i بمقدار 2. يمكننا الآن كتابة الطريقة النهائية للتحقق مما إذا كان الرقم أوليًا :

    القيمة المنطقية العامة هي بريم (int n)
    <
    إذا (n & lt = 1) ترجع خطأ
    إذا (n == 2) يعود صحيحًا
    إذا (n٪ 2 == 0) إرجاع خطأ
    int m = Math.sqrt (n)

    لـ (int i = 3 i & lt = m i + = 2)
    إذا (n٪ i == 0)
    عودة كاذبة

    لنفترض الآن أننا أردنا إيجاد جميع الأعداد الأولية من 1 إلى 100000 ، فسيتعين علينا استدعاء الطريقة المذكورة أعلاه 100000 مرة. سيكون هذا غير فعال للغاية لأننا سنكرر نفس الحسابات مرارًا وتكرارًا. في هذه الحالة ، من الأفضل استخدام طريقة تُعرف باسم غربال إراتوستينس. سيولد غربال إراتوستينس جميع الأعداد الأولية من 2 إلى رقم معين ن. يبدأ بافتراض أن جميع الأعداد أولية. ثم يأخذ الرقم الأولي الأول ويزيل كل مضاعفاته. ثم يطبق نفس الطريقة على العدد الأولي التالي. يستمر هذا حتى تتم معالجة جميع الأرقام. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك إيجاد الأعداد الأولية في النطاق من 2 إلى 20. نبدأ بكتابة جميع الأرقام لأسفل:

    2 هو أول عدد أولي. نقوم الآن بشطب جميع مضاعفاته ، أي كل رقم ثاني:

    الرقم التالي غير المشطوب هو 3 ، وبالتالي فهو الثاني. نقوم الآن بشطب جميع مضاعفات 3 ، أي كل رقم ثالث من 3:

    جميع الأعداد المتبقية أولية ويمكننا إنهاء الخوارزمية بأمان. يوجد أدناه رمز الغربال:

    منطقية عامة [] غربال (int n)
    <
    منطقي [] رئيس = منطقي جديد [n + 1]
    Arrays.fill (رئيسي ، صحيح)
    أولي [0] = خطأ
    أولي [1] = خطأ
    int m = Math.sqrt (n)

    لـ (int i = 2 i & lt = m i ++)
    إذا (رئيس [i])
    لـ (int k = i * i k & lt = n k + = i)
    أولي [ك] = خطأ

    في الطريقة أعلاه ، نقوم بإنشاء مصفوفة أولية منطقية تخزن البدائية لكل رقم أقل من يساوي n. إذا كان العدد الأولي [i] صحيحًا ، فإن الرقم i هو عدد أولي. تعثر الحلقة الخارجية على العدد الأولي التالي بينما تزيل الحلقة الداخلية جميع مضاعفات العدد الأولي الحالي.

    GCD
    القاسم المشترك الأكبر (GCD) لرقمين a و b هو أكبر عدد يقسم بالتساوي إلى كل من a و b. بسذاجة يمكننا أن نبدأ من أصغر رقمين ونعمل في طريقنا إلى الأسفل حتى نجد رقمًا يقسم إلى كلاهما:

    على الرغم من أن هذه الطريقة سريعة بما يكفي لمعظم التطبيقات ، إلا أن هناك طريقة أسرع تسمى خوارزمية إقليدس. تتكرر خوارزمية إقليدس على العددين حتى يتم العثور على باقي الرقم 0. على سبيل المثال ، لنفترض أننا نريد إيجاد GCD لـ 2336 و 1314. نبدأ بالتعبير عن الرقم الأكبر (2336) بدلالة الرقم الأصغر (1314) بالإضافة إلى الباقي:

    آخر الباقي غير الصفري هو GCD. إذن ، GCD 2336 و 1314 هو 146. يمكن تشفير هذه الخوارزمية بسهولة كدالة تكرارية:

    باستخدام هذه الخوارزمية ، يمكننا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لرقمين. على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6 و 9 هو 18 لأن الرقم 18 هو أصغر رقم يقسم كلا 6 و 9. إليك رمز طريقة المضاعف المشترك الأصغر:

    كملاحظة أخيرة ، يمكن استخدام خوارزمية إقليدس لحل معادلات ديوفانتاين الخطية. هذه المعادلات لها معاملات عدد صحيح وهي بالشكل:

    الهندسة
    تطلب منا المشاكل أحيانًا إيجاد تقاطع المستطيلات. هناك عدة طرق لتمثيل المستطيل. بالنسبة للطائرة الديكارتية القياسية ، تتمثل إحدى الطرق الشائعة في تخزين إحداثيات الزوايا السفلية اليسرى والعليا اليمنى.

    افترض أن لدينا مستطيلين R1 و R2. لنفترض أن (x1، y1) هو موقع الزاوية اليسرى السفلية من R1 و (x2، y2) يكون موقع الزاوية اليمنى العلوية. وبالمثل ، لنفترض أن (x3، y3) و (x4، y4) هي مواقع الزاوية الخاصة بـ R2. سيكون تقاطع R1 و R2 عبارة عن مستطيل R3 يكون ركنه السفلي الأيسر عند (max (x1، x3)، max (y1، y3)) والزاوية العلوية اليمنى عند (min (x2، x4)، min (y2 ، ذ 4)). إذا كان max (x1، x3) & gt min (x2، x4) أو max (y1، y3) & gt min (y2، y4) فإن R3 غير موجود ، أي لا يتقاطع R1 و R2. يمكن أن تمتد هذه الطريقة إلى التقاطع بأكثر من بعدين كما هو موضح في CuboidJoin (SRM 191 ، Div 2 Hard).

    غالبًا ما يتعين علينا التعامل مع المضلعات التي تحتوي رؤوسها على إحداثيات صحيحة. تسمى هذه المضلعات المضلعات الشبكية. في البرنامج التعليمي الخاص به حول مفاهيم الهندسة ، يقدم lbackstrom طريقة رائعة لإيجاد مساحة مضلع شبكي بالنظر إلى رؤوسه. لنفترض الآن أننا لا نعرف الموضع الدقيق للرؤوس وبدلاً من ذلك حصلنا على قيمتين:

    بشكل مثير للدهشة ، يتم تحديد مساحة هذا المضلع من خلال:

    تسمى الصيغة أعلاه نظرية بيك بسبب جورج ألكسندر بيك (1859 - 1943). من أجل إظهار أن نظرية بيك تنطبق على جميع المضلعات الشبكية ، يتعين علينا إثباتها في 4 أجزاء منفصلة. في الجزء الأول نوضح أن النظرية تنطبق على أي مستطيل شبكي (مع جوانب موازية للمحور). نظرًا لأن المثلث القائم الزاوية هو ببساطة نصف مستطيل ، فليس من الصعب جدًا إظهار أن النظرية تنطبق أيضًا على أي مثلث قائم الزاوية (مع جوانب موازية للمحور). الخطوة التالية هي النظر في المثلث العام ، والذي يمكن تمثيله كمستطيل به بعض المثلثات القائمة الزاوية مقطوعة من أركانه. أخيرًا ، يمكننا أن نبين أنه إذا كانت النظرية صحيحة لأي مضلعين شبكيين يتشاركان جانبًا مشتركًا ، فستحتفظ أيضًا بالمضلع الشبكي ، الذي يتم تشكيله عن طريق إزالة الجانب المشترك. الجمع بين النتيجة السابقة وحقيقة أن كل مضلع بسيط هو اتحاد مثلثات يعطينا النسخة النهائية من نظرية بيك. تكون نظرية Pick's مفيدة عندما نحتاج إلى إيجاد عدد النقاط الشبكية داخل مضلع كبير.

    هناك صيغة أخرى تستحق التذكر وهي صيغة أويلر للشبكات متعددة الأضلاع. الشبكة متعددة الأضلاع عبارة عن مضلع بسيط مقسم إلى مضلعات أصغر. تسمى المضلعات الصغيرة الوجوه ، وتسمى جوانب الوجوه بالحواف وتسمى رؤوس الوجوه الرؤوس. ثم تنص صيغة أويلر على ما يلي:

    على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مربعًا به كلا القطرين مرسومين. لدينا V = 5 و E = 8 و F = 5 (السطح الخارجي للمربع هو أيضًا وجه) وهكذا V - E + F = 2.

    يمكننا استخدام الاستقراء لإظهار أن صيغة أويلر تعمل. يجب أن نبدأ الاستقراء بـ V = 2 ، لأن كل رأس يجب أن يكون على حافة واحدة على الأقل. إذا كان V = 2 ، فهناك نوع واحد فقط من الشبكات المضلعة الممكنة. له رأسان متصلان بعدد E من الحواف. هذه الشبكة متعددة الأضلاع لها أوجه E (E - 1 "في المنتصف" و 1 "في الخارج"). إذن ، V - E + F = 2 - E + E = 2. نفترض الآن أن V - E + F = 2 صحيحة لجميع 2 & lt = V & lt = n. لنفترض أن V = n + 1. اختر أي رأس w بشكل عشوائي. افترض الآن أن w تم ربطه ببقية الشبكة بواسطة G edges. إذا أزلنا w وكل هذه الحواف ، فسيكون لدينا شبكة بها رؤوس n ، وحواف E - G و F - G + 1 وجوه. من افتراضنا ، لدينا:

    نظرًا لأن V = n + 1 ، لدينا V - E + F = 2. ومن ثم وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، فقد أثبتنا معادلة أويلر.

    القواعد
    من المشكلات الشائعة جدًا التي يواجهها منافسو topcoder أثناء التحديات التحويل من التمثيل الثنائي والعشري (من بين أمور أخرى) وإليه.

    إذن ماذا تعني قاعدة العدد في الواقع؟ سنبدأ بالعمل على الأساس القياسي (العشري). ضع في اعتبارك الرقم العشري 4325. يرمز 4325 إلى 5 + 2 x 10 + 3 x 10 x 10 + 4 x 10 x 10 x 10. لاحظ أن "قيمة" كل رقم ناتج يزيد بمقدار 10 عندما ننتقل من اليمين إلى اليسار.

    تعمل الأعداد الثنائية بطريقة مماثلة. تتكون فقط من 0 و 1 و "قيمة" كل رقم تزداد بمعامل 2 كلما انتقلنا من اليمين إلى اليسار. على سبيل المثال ، يرمز الرقم 1011 في النظام الثنائي إلى 1 + 1 x 2 + 0 x 2 x 2 + 1 x 2 x 2 x 2 = 1 + 2 + 8 = 11 في النظام العشري. لقد حولنا للتو عددًا ثنائيًا إلى رقم عشري. الأمر نفسه ينطبق على القواعد الأخرى. هذا هو الكود الذي يحول الرقم n في الأساس b (2 & lt = b & lt = 10) إلى رقم عشري:

    عام int إلى عشري (int n ، int b)
    <
    نتيجة int = 0
    مضاعف int = 1

    سيسعد مستخدمو Java بمعرفة أنه يمكن أيضًا كتابة ما سبق على النحو التالي:

    التحويل من رقم عشري إلى رقم ثنائي بنفس السهولة. لنفترض أننا أردنا تحويل 43 من النظام العشري إلى النظام الثنائي. في كل خطوة من خطوات الطريقة نقسم 43 على 2 ونحفظ الباقي. القائمة النهائية للباقي هي التمثيل الثنائي المطلوب:

    إذن ، 43 في النظام العشري يساوي 101011 في النظام الثنائي. من خلال تبديل جميع تكرارات 10 مع b في طريقتنا السابقة ، نقوم بإنشاء وظيفة تحول من رقم عشري n إلى رقم في الأساس b (2 & lt = b & lt = 10):

    int العامة منالعشري (int n ، int b)
    <
    نتيجة int = 0
    مضاعف int = 1

    إذا كانت القاعدة b أعلى من 10 ، فيجب علينا استخدام أحرف غير رقمية لتمثيل الأرقام التي لها قيمة 10 وأكثر. يمكننا أن نجعل "أ" يرمز إلى 10 ، و "ب" يرمز إلى 11 وهكذا. سيتم تحويل الكود التالي من رقم عشري إلى أي قاعدة (حتى الأساس 20):

    سلسلة عامة من عشري 2 (int n ، int b)
    <
    أحرف السلسلة = "0123456789ABCDEFGHIJ"
    نتيجة السلسلة = & quot & quot

    يوجد في Java بعض الاختصارات المفيدة عند التحويل من التمثيل العشري إلى التمثيلات الشائعة الأخرى ، مثل الثنائي (الأساس 2) والثماني (الأساس 8) والسداسي العشري (الأساس 16):

    الكسور والأعداد المركبة
    يمكن رؤية الأعداد الكسرية في العديد من المسائل. ربما يكون الجانب الأكثر صعوبة في التعامل مع الكسور هو إيجاد الطريقة الصحيحة لتمثيلها. على الرغم من أنه من الممكن إنشاء فئة كسور تحتوي على السمات والطرق المطلوبة ، فإنه يكفي لمعظم الأغراض تمثيل الكسور كمصفوفات مكونة من عنصرين (أزواج). الفكرة هي أننا نخزن البسط في العنصر الأول والمقام في العنصر الثاني. سنبدأ بضرب كسرين أ وب:

    تعد إضافة الكسور أكثر تعقيدًا إلى حد ما ، حيث يمكن فقط جمع الكسور التي لها نفس المقام معًا. أولًا ، علينا إيجاد المقام المشترك للكسرين ثم استخدام الضرب لتحويل الكسور بحيث يكون لكلاهما المقام المشترك. القاسم المشترك هو رقم يمكن أن يقسم كلا المقامين وهو ببساطة المضاعف المشترك الأصغر (المعرّف سابقًا) للمقامين. على سبيل المثال ، لنضيف 4/9 و 1/6. المضاعف المشترك الأصغر لـ 9 و 6 هو 18. وبالتالي لتحويل الكسر الأول ، نحتاج إلى ضربه في 2/2 وضرب الكسر الثاني في 3/3:

    بمجرد أن يكون للكسرين نفس المقام ، نجمع البسطين لنحصل على الناتج النهائي وهو 11/18. الطرح مشابه جدًا ، إلا أننا نطرح في الخطوة الأخيرة:

    هذا هو الكود لإضافة كسرين:

    أخيرًا ، من المفيد معرفة كيفية اختزال الكسر إلى أبسط صورة. أبسط شكل من أشكال الكسر يحدث عندما يكون GCD للبسط والمقام يساوي 1. ونفعل هذا على النحو التالي:

    باستخدام نهج مماثل يمكننا تمثيل الأعداد الخاصة الأخرى ، مثل الأعداد المركبة. بشكل عام ، الرقم المركب هو رقم على شكل a + ib ، حيث a و b حقيقيان و i هو الجذر التربيعي لـ -1. على سبيل المثال ، لإضافة رقمين مركبين m = a + ib و n = c + id ، نقوم ببساطة بتجميع المصطلحات بالمثل:

    إن ضرب عددين مركبين يماثل ضرب عددين حقيقيين ، باستثناء أننا يجب أن نستخدم حقيقة أن i ^ 2 = -1:

    من خلال تخزين الجزء الحقيقي في العنصر الأول والجزء المعقد في العنصر الثاني من المصفوفة المكونة من عنصرين ، يمكننا كتابة رمز يقوم بإجراء الضرب أعلاه:

    استنتاج
    في الختام ، أود أن أضيف أنه لا يمكن للمرء أن يرتقي إلى قمة تصنيفات التشفير العلوي دون فهم التركيبات الرياضية والخوارزميات الموضحة في هذه المقالة. ربما يكون أحد الموضوعات الأكثر شيوعًا في المسائل الرياضية هو موضوع الأعداد الأولية. يتبع هذا عن كثب موضوع القواعد ، ربما لأن أجهزة الكمبيوتر تعمل بنظام ثنائي وبالتالي يحتاج المرء إلى معرفة كيفية التحويل من ثنائي إلى عشري. مفاهيم GCD و LCM شائعة في كل من الرياضيات البحتة وكذلك المسائل الهندسية. أخيرًا ، لقد قمت بتضمين الموضوع الأخير ليس لفائدته في مسابقات topcoder ، ولكن لأنه يوضح وسيلة لمعالجة أرقام معينة.


    شاهد الفيديو: الحصه الاولى لتأسيس الرياضيات لطلاب ما قبل الصف الرابع الابتدائي (ديسمبر 2021).