مقالات

9.7: متسلسلة القوة - الرياضيات


9.7: متسلسلة القوة - الرياضيات

9.7: متسلسلة القوة - الرياضيات

تذكر المثال 9.5.3 الذي قمنا فيه بحساب الشغل المطلوب لرفع كائن من سطح الأرض إلى مسافة كبيرة $ D $ بعيدًا. منذ $ ds F = k / x ^ 2 $ قمنا بحساب $ int_^ د ، dx = -+. $ لاحظنا أنه كلما زاد $ D $ ، فإن $ k / D $ ينخفض ​​إلى الصفر بحيث يرتفع مقدار العمل إلى $ ds k / r_0 $. بتعبير أدق ، $ lim_ int_^ د ، dx = lim_-+=. $ قد نصف هذا الحساب بشكل معقول على أنه حساب مقدار العمل المطلوب لرفع الكائن "إلى ما لا نهاية" ، واختصار الحد كـ $ lim_ int_^ د ، dx = int_^ إنفتي ، dx. $ هذا التكامل ، مع حد اللانهاية ، يسمى تكامل غير لائق. هذا أمر مؤسف بعض الشيء ، لأنه ليس من "غير اللائق" فعل ذلك ، كما أنه ليس حقًا "متكاملًا" و mdashit هو اختصار للحد من نوع معين من التكامل. ومع ذلك ، نحن عالقون في المصطلح ، والعملية نفسها شرعية تمامًا. قد يبدو من الغريب للوهلة الأولى أن كمية محدودة من العمل كافية لرفع كائن إلى "ما لا نهاية" ، ولكن أحيانًا تكون الأشياء المدهشة صحيحة ، وهذه هي الحالة. إذا كانت قيمة التكامل غير الصحيح هي عدد محدود ، كما في هذا المثال ، نقول أن التكامل يتقارب، وإن لم يكن كذلك نقول أن التكامل يتباعد.

إليك طريقة أخرى ، ربما أكثر إثارة للدهشة ، لتفسير هذا الحساب. نحن نعلم أن تفسيرًا واحدًا لـ $ int_ <1> ^ D <1 over x ^ 2> ، dx $ هو المنطقة تحت $ ds y = 1 / x ^ 2 $ من $ x = 1 $ إلى $ x = د دولار. بالطبع ، كلما زاد $ D $ زادت هذه المنطقة. ولكن بما أن $ int_ <1> ^ D <1 over x ^ 2> ، dx = - <1 over D> + <1 over1>، $ بينما تزداد المنطقة ، فإنها لا تتجاوز 1 ، وهذا هو $ int_ <1> ^ infty <1 over x ^ 2> ، dx = 1. $ مساحة المنطقة اللانهائية تحت $ ds y = 1 / x ^ 2 $ من $ x = 1 $ إلى ما لا نهاية هي محدود.

ضع في اعتبارك نوعًا مختلفًا قليلاً من التكامل غير الصحيح: $ ds int _ <- infty> ^ infty xe ^ <- x ^ 2> ، dx $. هناك طريقتان قد نحاول حساب ذلك. أولاً ، يمكننا تقسيمها إلى اثنين من التكاملات المألوفة: $ int _ <- infty> ^ infty xe ^ <- x ^ 2> ، dx = int _ <- infty> ^ 0 xe ^ <- x ^ 2> ، dx + int_ <0> ^ infty xe ^ <- x ^ 2> ، dx. $ الآن نقوم بذلك كما في السابق: $ int _ <- infty> ^ 0 xe ^ <- x ^ 2> ، dx = lim_ غادر.- over2> right | _ <-D> ^ 0 = - <1 over2>، $ و $ int_0 ^ infty xe ^ <- x ^ 2> ، dx = lim_ غادر.- over2> right | _0 ^ D = <1 over2>، $ so $ ds int _ <- infty> ^ infty xe ^ <- x ^ 2> ، dx = - <1 over2> + <1 over2> = 0. $ بالتناوب ، قد نجرب $ int _ <- infty> ^ infty xe ^ <- x ^ 2> ، dx = lim_ int_ <-D> ^ D xe ^ <- x ^ 2> ، dx = lim_غادر.- over2> right | _ <-D> ^ D = lim_ - أكثر من 2> + over2> = 0. $ لذلك نحصل على نفس الإجابة في كلتا الحالتين. هذا لا يحدث دائمًا في بعض الأحيان ، يعطي النهج الثاني عددًا محدودًا ، في حين أن الطريقة الأولى لا تقدم التمارين أمثلة. بشكل عام ، نفسر التكامل $ ds int _ <- infty> ^ infty f (x) ، dx $ وفقًا للطريقة الأولى: كلا التكاملات $ ds int _ <- infty> ^ af (x ) ، dx $ و $ ds int _ ^ infty f (x) ، dx $ يجب أن يتقارب حتى يتقارب التكامل الأصلي. يكون الأسلوب الثاني مفيدًا عندما يكون $ ds lim_ int_ <-D> ^ D f (x) ، dx = L $ ، و $ L $ محدود ، ثم $ L $ يسمى قيمة كوشي الرئيسية من $ ds int _ <- infty> ^ infty f (x) ، dx $.

إليك تطبيق أكثر واقعية لهذه الأفكار. نحن نعلم أنه بشكل عام $ W = int_^ F ، dx $ هو الشغل المبذول مقابل القوة $ F $ في الانتقال من $ ds x_0 $ إلى $ ds x_1 $. في حالة أن $ F $ هي قوة الجاذبية التي تمارسها الأرض ، فمن المعتاد جعل $ F <0 $ لأن القوة "لأسفل". وهذا يجعل الشغل $ W $ سالبًا عندما يجب أن يكون موجبًا ، لذلك عادةً ما يتم تعريف العمل في هذه الحالة على أنه $ W = - int_^ F ، dx. $ أيضًا وفقًا لقانون نيوتن ، $ F = ma (t) $. هذا يعني أن $ W = - int_^ ma (t) ، dx. $ للأسف فإن هذا التكامل يمثل مشكلة بعض الشيء: $ a (t) $ بدلالة $ t $ ، بينما الحدود و "$ dx

الفصل 8 سلسلة لا نهاية لها

تتحول سلسلة القوة إلى سلسلة لانهائية (حد ثابت) إذا استبدلنا ثابت c بدلاً من المتغير x. مثل هذه السلسلة يمكن أن تتقارب أو تتباعد. تتقارب كل السلاسل الكهربائية من أجل x = 0. تقارب سلسلة القوى الموصوفة في النظرية التالية.

    إذا كانت سلسلة الطاقة & # 8721bنتتقارب x n مع رقم غير صفري c ، ومن ثم فهي متقاربة تمامًا كلما | x | & lt | ج |.

دليل . يأتي الدليل من اختبار المقارنة الأساسي لسلسلة الطاقة لـ | x | وسلسلة هندسية متقاربة مع r = | [x / ج] |. [¯]

من هذه النظرية يمكننا أن نستنتج ذلك

    تتقارب السلسلة فقط إذا كانت x = 0.

الرقم ص من النظرية أعلاه يسمى نصف قطر التقارب. يُطلق على مجموع الأرقام التي تتقارب من أجلها سلسلة القوى اسمها فاصل التقارب. قد يكون الفاصل الزمني للتقارب أيًا من الأنواع الأربعة التالية: [& # 8722r، r]، [& # 8722r، r)، (& # 8722r، r]، (& # 8722r، r).

هناك نوع أكثر عمومية من سلاسل الطاقة

يتم الحصول على سلسلة الطاقة هذه من السلسلة في التعريف 9.6.1 عن طريق استبدال x بـ x & # 8722d. يمكننا الحصول على وصف لتقارب هذه السلسلة عن طريق استبدال x بـ x & # 8722d في نظرية 9.6.3.

    تحديد نصف قطر r للتقارب ، عادة باستخدام اختبار النسبة أو اختبار الجذر.


9.7: متسلسلة القوة - الرياضيات

سنعرض لك هنا الإجابة على 7 أس 9 (سبعة أس تسعة) ونوضح كيف حصلنا على الإجابة.

للعثور على الإجابة ، اضرب 7 في نفسه 9 مرات كما يلي:

7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 =

وعندما نحل المشكلة أعلاه نحصل على الإجابة على النحو التالي:


لاحظ أن 7 أس 9 هي نفسها 7 مرفوعة إلى 9. في x y ، 7 هي الأساس (x) و 9 هي الأس (y). لذلك يمكنك أيضًا كتابة المشكلة والإجابة على النحو التالي:

ستحصل أيضًا على إجابة 7 أس 9 (7 أس 9) إذا كتبت 7 ومن بعد س ص ومن بعد 9 وثم = على الآلة الحاسبة العلمية الخاصة بك.

قوة الآلة الحاسبة
أدخل الأساس (x) والأس (y) أدناه لحل مسألة x y أخرى.


ما هو 7 مرفوعًا للقوة الأسية 10؟
اذهب هنا للحصول على "قوة" الحساب التالية التي قمنا بها من أجلك.


IPad Pro (9.7 إنش) - المواصفات الفنية

iOS 10
مع تصميم جديد تمامًا وميزات جديدة تمامًا ، يعد iOS 10 هو نظام التشغيل المحمول الأكثر تقدمًا في العالم و rsquos. إنه يجعل جهاز iPad ينبض بالحياة بطرق أكثر ذكاءً وتعبيرًا من أي وقت مضى. تعرف على الجديد & rsquos في iOS

  • ايردروب
  • البث
  • AirPrint
  • مركز التحكم
  • مركز إعلام
  • سيري
  • البحث المسلط الضوء عليه
  • موسيقى أبل
  • مشاركة الأسرة
  • محرك iCloud
  • تعدد المهام
  • لوحة مفاتيح QuickType
  • التحول الليلي

إمكانية الوصول

تساعد ميزات إمكانية الوصول الأشخاص ذوي الاحتياجات الخاصة على تحقيق أقصى استفادة من iPad Pro الجديد. من خلال الدعم المدمج للبصر والسمع والمهارات البدنية والحركية والتعلم ومحو الأمية ، يمكنك إنشاء أشياء مذهلة والقيام بها. تعرف على المزيد حول إمكانية الوصول

  • فويس أوفر
  • تكبير
  • المكبر
  • سيري والإملاء
  • مفتاح التحكم
  • تعاليق مغلقة
  • اتصال المساعدة
  • نطق الشاشة

تطبيقات مدمجة

تعد التطبيقات المدمجة جزءًا أساسيًا من تجربة iPad ، وهي مصممة بكفاءة لاستخدام أقل من 200 ميجابايت من مساحة التخزين.

  • آلة تصوير
  • الصور
  • رسائل
  • وقت المواجه
  • بريد
  • موسيقى
  • سفاري
  • خرائط
  • سيري
  • تقويم
  • متجر اي تيونز
  • متجر التطبيقات
  • ملاحظات
  • جهات الاتصال
  • كتب
  • منزل، بيت
  • تذكير
  • ساعة
  • تلفزيون
  • كشك تصوير
  • المدونة الصوتية
  • أخبار
  • جد ايفوني
  • العثور على أصدقائي
  • محرك iCloud

تطبيقات مجانية من Apple 9

تأتي تطبيقات Pages و Numbers و Keynote و iMovie و GarageBand و iTunes U مثبتة مسبقاً على iPad.

  • الصفحات
  • أعداد
  • الفكرة الرئيسية
  • موفي
  • GarageBand
  • iTunes U
  • متجر آبل
  • المقطورات
  • iTunes Remote
  • مذكرات الموسيقى
  • دبابيس

متطلبات النظام

تتطلب المزامنة مع iTunes على جهاز Mac أو كمبيوتر شخصي:

  • Mac: OS X 10.9.5 أو أحدث
  • الكمبيوتر الشخصي: Windows 7 أو أحدث
  • iTunes 12.5 أو إصدار أحدث (تنزيل مجاني من www.itunes.com/download)

اللغات

  • دعم اللغة
    الإنجليزية (أستراليا ، كندا ، المملكة المتحدة ، الولايات المتحدة) ، الصينية (المبسطة ، التقليدية ، هونغ كونغ التقليدية) ، الفرنسية (كندا ، فرنسا) ، الألمانية ، الإيطالية ، اليابانية ، الكورية ، الإسبانية (أمريكا اللاتينية ، المكسيك ، إسبانيا) ، العربية ، الكاتالونية والكرواتية والتشيكية والدانماركية والهولندية والفنلندية واليونانية والعبرية والهندية والمجرية والإندونيسية والماليزية والنرويجية والبولندية والبرتغالية (البرازيل والبرتغال) والرومانية والروسية والسلوفاكية والسويدية والتايلاندية والتركية والأوكرانية والفيتنامية
  • دعم لوحة مفاتيح QuickType
    الإنجليزية (أستراليا ، كندا ، الهند ، سنغافورة ، المملكة المتحدة ، الولايات المتحدة) ، الصينية - المبسطة (الكتابة اليدوية ، Pinyin ، السكتة الدماغية) ، الصينية - التقليدية (Cangjie ، الكتابة اليدوية ، Pinyin ، Stroke ، Sucheng ، Zhuyin) ، الفرنسية (بلجيكا ، كندا ، فرنسا ، سويسرا) ، الألمانية (النمسا ، ألمانيا ، سويسرا) ، الإيطالية ، اليابانية (كانا ، روماجي) ، الكورية ، الإسبانية (أمريكا اللاتينية ، المكسيك ، إسبانيا) ، العربية ، البنغالية ، البلغارية ، الكاتالونية ، الشيروكي ، الكرواتية ، التشيكية ، الدنماركية ، الهولندية ، الرموز التعبيرية ، الإستونية ، الفلبينية ، الفنلندية ، الفلمنكية ، اليونانية ، الغوجاراتية ، هاواي ، العبرية ، الهندية (الديفاناغارية ، التحويل الصوتي) ، الإنجليزية ، المجرية ، الأيسلندية ، الإندونيسية ، اللاتفية ، الليتوانية ، المقدونية ، الملايو ، المهاراتية ، النرويجية ، البولندية ، البرتغالية (البرازيل ، البرتغال) ، البنجابية ، الرومانية ، الروسية ، الصربية (السيريلية ، اللاتينية) ، السلوفاكية ، السلوفينية ، السويدية ، التاميلية (النص ، التحويل الصوتي) ، التيلجو ، التايلاندية ، التركية ، الأوكرانية ، الأردية ، الفيتنامية
  • دعم لوحة مفاتيح QuickType مع الإدخال التنبئي 11
    الإنجليزية (أستراليا ، كندا ، الهند ، سنغافورة ، المملكة المتحدة ، الولايات المتحدة) ، الصينية (المبسطة ، التقليدية) ، الفرنسية (بلجيكا ، كندا ، فرنسا ، سويسرا) ، الألمانية (النمسا ، ألمانيا ، سويسرا) ، الإيطالية ، اليابانية ، الكورية ، الروسية ، الإسبانية (أمريكا اللاتينية والمكسيك وإسبانيا) والبرتغالية (البرازيل والبرتغال) والتايلاندية والتركية
  • لغات Siri
    الإنجليزية (أستراليا ، كندا ، الهند ، أيرلندا ، نيوزيلندا ، سنغافورة ، جنوب إفريقيا ، المملكة المتحدة ، الولايات المتحدة) ، الإسبانية (تشيلي ، المكسيك ، إسبانيا ، الولايات المتحدة) ، الفرنسية (بلجيكا ، كندا ، فرنسا ، سويسرا) ، الألمانية (النمسا ، ألمانيا ، سويسرا) ، الإيطالية (إيطاليا ، سويسرا) ، اليابانية ، الكورية ، الماندرين (بر الصين الرئيسي ، تايوان) ، الكانتونية (بر الصين الرئيسي ، هونغ كونغ) ، العربية (المملكة العربية السعودية ، الإمارات العربية المتحدة) ، الدنماركية (الدنمارك) ، الهولندية (بلجيكا) ، هولندا) ، الفنلندية (فنلندا) ، العبرية (إسرائيل) ، الملايو (ماليزيا) ، النرويجية (النرويج) ، الروسية (روسيا) ، السويدية (السويد) ، التركية (تركيا) ، التايلاندية (تايلاند) ، البرتغالية (البرازيل)
  • لغات الإملاء
    الإنجليزية (أستراليا ، كندا ، الهند ، أيرلندا ، ماليزيا ، نيوزيلندا ، الفلبين ، المملكة العربية السعودية ، سنغافورة ، جنوب إفريقيا ، الإمارات العربية المتحدة ، المملكة المتحدة ، الولايات المتحدة) ، الإسبانية (تشيلي ، كولومبيا ، المكسيك ، إسبانيا ، الولايات المتحدة) ، الفرنسية (بلجيكا ، كندا ، فرنسا ، لوكسمبورغ ، سويسرا) ، الألمانية (النمسا ، ألمانيا ، لوكسمبورغ ، سويسرا) ، الإيطالية (إيطاليا ، سويسرا) ، اليابانية ، الكورية ، الماندرين (البر الرئيسي للصين ، تايوان) ، الكانتونية (هونج كونج) ، العربية (الكويت ، المملكة العربية السعودية) ، قطر ، الإمارات العربية المتحدة) ، الكاتالونية ، الكرواتية ، التشيكية ، الدنماركية ، الهولندية (بلجيكا ، هولندا) ، الفنلندية ، اليونانية ، العبرية ، المجرية ، الإندونيسية ، الماليزية ، النرويجية ، البولندية ، البرتغالية (البرازيل ، البرتغال) ، الرومانية ، الروسية ، السلوفاكية ، السويدية والتركية والتايلاندية والأوكرانية والفيتنامية
  • دعم قاموس التعريف
    الإنجليزية ، الصينية (المبسطة والتقليدية) ، الدنماركية ، الهولندية ، الفرنسية ، الألمانية ، الهندية ، الإيطالية ، اليابانية ، الكورية ، النرويجية ، البرتغالية (البرازيل) ، الروسية ، الإسبانية ، السويدية ، التايلاندية ، التركية
  • دعم القاموس ثنائي اللغة
    الصينية (المبسطة) ، الهولندية ، الفرنسية ، الألمانية ، الإيطالية ، اليابانية ، الكورية ، الإسبانية
  • التدقيق الإملائي
    الإنجليزية (أستراليا ، كندا ، المملكة المتحدة ، الولايات المتحدة) ، الفرنسية ، الألمانية ، الإيطالية ، الإسبانية ، الدنماركية ، الهولندية ، الفنلندية ، الكورية ، النرويجية ، البولندية ، البرتغالية (البرازيل ، البرتغال) ، الروسية ، السويدية ، التركية

تشغيل الصوت

  • استجابة التردد: 20 هرتز إلى 20000 هرتز
  • تنسيقات الصوت المدعومة: AAC (8 إلى 320 كيلوبت في الثانية) ، AAC المحمي (من iTunes Store) ، HE-AAC ، MP3 (8 إلى 320 كيلوبت في الثانية) ، MP3 VBR ، Dolby Digital (AC-3) ، Dolby Digital Plus (E-AC -3) ، مسموع (التنسيقات 2 و 3 و 4 و Audible Enhanced Audio و AAX و AAX +) و Apple Lossless و AIFF و WAV
  • حد الحجم الأقصى الذي يسهل على المستخدم قبوله

تلفزيون وفيديو

  • ميزة AirPlay Mirroring ، وإخراج الصور والصوت والفيديو إلى Apple TV (الجيل الثاني أو أحدث)
  • دعم انعكاس الفيديو ومخرج الفيديو: ما يصل إلى 1080p من خلال محول Lightning Digital AV للتوصيل بالصوت والفيديو الرقمي ومحول Lightning إلى VGA (تُباع المحولات بشكل منفصل)
  • تنسيقات الفيديو المدعومة: فيديو H.264 يصل إلى 4K ، 30 إطارًا في الثانية ، مستوى عالي المستوى 4.2 مع صوت AAC ‑ LC يصل إلى 160 كيلوبت في الثانية ، 48 كيلو هرتز ، صوت ستيريو أو Dolby Audio حتى 1008 كيلوبت في الثانية ، 48 كيلو هرتز ، صوت ستيريو أو متعدد القنوات ، بتنسيقات ملفات .m4v و .mp4 و .mov ، فيديو MPEG ‑ 4 يصل إلى 2.5 ميغابت في الثانية ، 640 × 480 بكسل ، 30 إطارًا في الثانية ، ملف تعريف بسيط مع صوت AAC ‑ LC يصل إلى 160 كيلوبت في الثانية لكل قناة ، 48 كيلو هرتز ، صوت ستيريو أو Dolby Audio يصل إلى 1008 كيلوبت في الثانية ، 48 كيلوهرتز ، صوت ستريو أو متعدد القنوات ، بتنسيقات ملفات .m4v و .mp4 و .mov Motion JPEG (M ‑ JPEG) حتى 35 ميجابت في الثانية ، 1280 × 720 بكسل ، 30 إطارًا في الثانية ، مدخل الصوت ulaw ، صوت ستيريو PCM بتنسيق ملف .avi

دعم مرفقات البريد

  • أنواع المستندات القابلة للعرض
    .jpg و .tiff و .gif (الصور) .doc و .docx (Microsoft Word) .htm و .html (صفحات الويب) .key (Keynote) .numbers (Numbers) .pages (Pages) .pdf (Preview and Adobe Acrobat) .ppt و .pptx (Microsoft PowerPoint) .txt (نص) .rtf (تنسيق نص منسق) .vcf (معلومات جهة الاتصال) .xls و .xlsx (Microsoft Excel) .zip .ics

متطلبات بيئية

  • درجة حرارة التشغيل المحيطة: 32 درجة إلى 95 درجة فهرنهايت (0 درجة إلى 35 درجة مئوية)
  • درجة الحرارة أثناء عدم التشغيل: -4 درجة إلى 113 درجة فهرنهايت (-20 درجة إلى 45 درجة مئوية)
  • الرطوبة النسبية: من 5٪ إلى 95٪ بدون تكثف
  • ارتفاع التشغيل: تم الاختبار حتى 10000 قدم (3000 متر)

قد يتم شحن iPad Pro بنظام iOS 9. سيتوفر iOS 10 كتنزيل مجاني ابتداءً من 13 سبتمبر.

  1. المساحة المتوفرة أقل وتختلف بسبب عوامل كثيرة. يستخدم التكوين القياسي مساحة تتراوح بين 4 جيجابايت و 6 جيجابايت تقريبًا (بما في ذلك iOS والتطبيقات المدمجة) وفقًا للطراز والإعدادات.
  2. يختلف الحجم والوزن حسب التكوين وعملية التصنيع.
  3. تتطلب مكالمات FaceTime جهازاً تم تفعيل FaceTime عليه لدى المتصل والمتلقي واتصالاً بشبكة Wi-Fi. يعتمد التوفر عبر شبكة خلوية على سياسات شركة الاتصالات التي قد يتم تطبيق رسوم بيانات عليها.
  4. مطلوب خطة بيانات. تتوفر مكالمات LTE Advanced و LTE و Wi-Fi في أسواق محددة وعبر شركات اتصالات محددة. تعتمد السرعات على معدل النقل النظري وتتنوع بناءً على ظروف الموقع وشركة النقل. للحصول على تفاصيل حول دعم LTE ، اتصل بمشغل شبكة الجوال واطلع على www.apple.com/ipad/LTE.
  5. تُباع خطة البيانات الخلوية بشكل منفصل. النموذج الذي تشتريه مصمم للعمل مع تقنية شبكة خلوية معينة. تحقق مع شركة الاتصالات الخاصة بك للتأكد من التوافق وتوافر خطة البيانات الخلوية.
  6. قد يتم تعطيل بطاقة Apple SIM المضمنة في iPad Pro (9.7 بوصة) عند شرائها من بعض شركات الاتصالات. انظر الناقل الخاص بك للحصول على التفاصيل. Apple SIM و Apple SIM المضمنة غير متاحين في بر الصين الرئيسي.
  7. قد لا يتوفر Siri بجميع اللغات وفي جميع المناطق ، وقد تختلف الميزات حسب المنطقة. الوصول إلى الإنترنت مطلوب. قد يتم تطبيق رسوم البيانات الخلوية.
  8. أجرت Apple الاختبارات في مارس 2016 باستخدام وحدات iPad Pro (9.7 بوصة) وبرمجياته الخاصة بمرحلة ما قبل الإنتاج وفي أغسطس 2015 باستخدام وحدات iPad Pro (12.9 بوصة) وبرمجياته الخاصة بمرحلة ما قبل الإنتاج. اشتمل الاختبار على تفريغ كامل للبطارية أثناء أداء كل من المهام التالية: تشغيل الفيديو وتشغيل الصوت وتصفح الإنترنت باستخدام شبكة Wi-Fi أو شبكة البيانات الخلوية. كان محتوى الفيديو عبارة عن فيلم متكرر مدته ساعتان و 23 دقيقة تم شراؤه من iTunes Store. كان المحتوى الصوتي عبارة عن قائمة تشغيل تضم 358 مسارًا صوتيًا فريدًا تم شراؤها من iTunes Store. تم إجراء اختبارات الإنترنت عبر شبكة Wi Fi وشبكة البيانات الخلوية باستخدام خوادم ويب وبريد مخصصة ، وتصفح نسخ لقطة من 20 صفحة ويب شائعة ، واستلام البريد مرة واحدة كل ساعة. كانت جميع الإعدادات افتراضية باستثناء: كانت Wi Fi مرتبطة بشبكة (باستثناء تصفح الإنترنت عبر شبكة البيانات الخلوية) ، وميزة Wi ‑ Fi Ask to Join Networks وتم إيقاف تشغيل السطوع التلقائي ، تم ضبط السطوع على 50٪ وكان تشفير WPA2 ممكن. يعتمد عمر البطارية على إعدادات الجهاز والاستخدام والعديد من العوامل الأخرى. يتم إجراء اختبارات البطارية باستخدام وحدات iPad المحددة ، وقد تختلف النتائج الفعلية.
  9. تتوفر iMovie و GarageBand و Pages و Numbers و Keynote على App Store. يتطلب تنزيل التطبيقات معرف Apple وجهازًا متوافقًا مع إصدار iOS المطلوب لكل تطبيق.
  10. قد يتم تطبيق الرسوم الموصى بها للنطاق العريض اللاسلكي.
  11. لا تتوفر الاقتراحات المخصصة بناءً على المستلم والتطبيق للغة الصينية (المبسطة والتقليدية) واليابانية والكورية والتايلاندية.

قد لا تتوفر بعض الميزات في جميع البلدان أو جميع المناطق. انقر هنا لرؤية القائمة الكاملة.


الرياضيات 2260 ، ربيع 2019

يتم تحديث هذا التقويم أسبوعيًا ، مما يشير إلى أقسام الكتب المدرسية التي نخطط لتغطيتها. هذا هو المكان الذي ستجد فيه مهام HW الورقية ، ووثائق مراجعة الاختبار ، والنشرات المفيدة الأخرى.

لا تنس التحقق من الشريط الجانبي على اليمين أيضًا! هذا مكان مناسب للعثور على بعض الموارد المركزية ، مثل المنهج الدراسي.

الوحدة 1: تطبيقات متكاملة

  • 9 يناير. مقدمة عن الدورة ومراجعة موجزة للمشتقات.
    • قم بتسجيل الدخول إلى WeBWorK وتدرّب عليه! تحقق من المنهج الدراسي أو أرسل لي بريدًا إلكترونيًا إذا كنت تواجه مشاكل.
    • ستحتاج إلى تثبيت برامج VPN (شبكة افتراضية خاصة) إذا كنت تخطط لاستخدام WeBWorK خارج الحرم الجامعي. اقرأ هذا لمعرفة الخطوات اللازمة.
    • إليك تجديد سريع لبعض النتائج الرئيسية في حساب التفاضل والتكامل 1.
    • تبدأ مهام HW الورقية الفعلية الأسبوع المقبل ، لكن هذا يُظهر قليلاً ما تبدو عليه معايير الكتابة الخاصة بي.
    • 14 يناير. مراجعة الفصل 5: إنهاء FTC ، استبدال u.
    • ننهي هذا الموضوع لنبدأ الأسبوع المقبل ، بعد العطلة المدرسية في 21 يناير.

    مسابقة هذا الأسبوع: التكامل الأساسي (مراجعة الفصل 5)

    • تحقق من مهمة العرض التوضيحي من الأسبوع الماضي لترى كيف يمكن أن تبدو الكتابة المحتملة.
    • عادةً ما أقوم بتحميل حلول جزئية إلى eLC بعد يوم واحد من استحقاق المهمة (للسماح بعمليات التسليم المتأخرة وفقًا لما تسمح به سياسة المنهج الدراسي).

    مسابقة هذا الأسبوع: مشكلتان في حجم القرص (القسم 6.1)

    • 28 يناير. البداية 6.3 و 6.4: طول القوس.
    • 29 يناير. النهاية 6.3 و 6.4: مساحات السطح للثورة.
    • 30 يناير. البداية 6.5: العمل في الفيزياء والوزن ومشاكل السوائل.

    مسابقة هذا الأسبوع: مشكلة حجم الغلاف (القسم 6.2)

    الاختبار الأول هو الثلاثاء المقبل في الصف.

    • يغطي هذا الاختبار استبدال u ، والمساحة بين المنحنيات ، والأقسام 6.1 إلى 6.5.
    • توقع من 6 إلى 8 أسئلة ، في مكان ما بين مشاكل الاختبار ومشاكل مجموعة الورق التي يصعب الوصول إليها.
      • قد يطلب منك أحد الأسئلة تكرار تعريفات المصطلحات التي نستخدمها في الفصل!
      • قد تطلب منك المشكلة إعداد صيغة تكامل ولكن لا تحسب فعليًا أرقامًا مضادة للمشتقة أو بديلة.
      • لدينا يوم مراجعة داخل الفصل يوم الاثنين 2/4 للإجابة على الأسئلة التي لديك أو لتجاوز بعض مشكلات الممارسة المنشورة هنا.

      الوحدة 2: تقنيات التكامل

      • م 4 فبراير. مراجعة للاختبار 1 (انظر أسئلة التدريب أعلاه).
      • تي 5 فبراير. الاختبار 1
      • W 6 فبراير. ابدأ 7.2: المعادلات التفاضلية القابلة للفصل.
        م 11 فبراير. بداية 8.1: التكامل بالأجزاء.
          تُعرف أيضًا باسم "طريقة Tic-Tac-Toe" ، وهي طريقة مختلفة لإظهار الأجزاء التي تم إجراؤها عدة مرات متتالية. لقد قمت بتضمين نشرتين بدرجات متفاوتة من التفاصيل!
          (لممارسة إضافية)
          لهذه التكاملات

        مسابقة هذا الأسبوع: القسم 7.2

        • 18 فبراير. ابدأ 8.3: التكامل بالتعويض المثلثي ، شكل sqrt (a ^ 2 - x ^ 2).
        • تي 19 فبراير. استمر 8.3: Trig sub مع جميع الأشكال الثلاثة.

        مسابقة هذا الأسبوع: القسم 8.2

        • 25 فبراير. تابع 8.4: عوامل خطية متكررة ، عوامل تربيعية غير قابلة للاختزال.
        • 26 فبراير. إنهاء 8.4: دوال عقلانية غير صحيحة وقسمة مطولة.
        • إذا كنت تريد استبدالًا معقدًا ولكنه مثير للاهتمام للمسائل المثلثية ، فإليك بعض المعلومات حول استبدال الظل بنصف الزاوية Weierstrass.

        مسابقة هذا الأسبوع: القسم 8.4 ، العوامل الخطية (10 دقائق)

        الاختبار الثاني هو الثلاثاء المقبل في الصف.

        • يغطي هذا الاختبار القسم 7.2 (المعادلات التفاضلية القابلة للفصل) والأقسام 8.1 إلى 8.4 و 8.7.
        • مثل الاختبار الأخير ، توقع من 6 إلى 8 أسئلة.
          • يمكنك استخدام أي أسلوب تكامل في المشاكل ما لم تخبرك التوجيهات على وجه التحديد باستخدام نهج واحد.
          • يمكنك اختصار الثوابت التي لا تريد تبسيطها.
          • تتم المراجعة داخل الفصل يوم الاثنين ، 4 مارس.

          الوحدة 3: المتتاليات والمتسلسلات ومتعددة الحدود تايلور

          • م 4 مارس. مراجعة للاختبار 2.
          • تي 5 مارس. الاختبار 2
          • دبليو 6 مارس. البداية 9.1: معادلات التسلسل ، العودية ، الحدود الأساسية للوظائف المنطقية أو r ^ n.
          • ف 8 مارس. إنهاء 9.1: قاعدة L'Hopital للحدود ، حدود الطاقة f (n) ^ g (n) ، Sandwich / Squeeze Theorem.
              لن تضطر إلى تكرار هذه البراهين ، لكنها توفر بعض المعلومات الأساسية حول سبب n! & gt & gt r ^ n ولماذا n ^ n & gt & gt n !.
            • 18 مارس. البداية 9.2: تعريف سلسلة ، أنماط متسلسلة متداخلة عرضية ، اختبار المدى التاسع للسلسلة المتباعدة ، ابدأ مناقشة السلاسل الهندسية.
            • تي 19 مارس. إنهاء 9.2: مزيد من التدرب على السلاسل الهندسية.

            مسابقة هذا الأسبوع: حدود من القسم 9.1 (10 دقائق)

            • ابدأ هذه المهمة مبكرًا! يستخدم المادة من بداية هذا الأسبوع ، وهو مصمم لمعرفة مدى الراحة التي يمكنك بها استخدام المفردات الجديدة من هذه المادة. تريد أن يكون لديك وقت لطرح أسئلة حول ما تعنيه المصطلحات حقًا.
            • 25 مارس. 9.5: اختبارات النسبة والجذر
              • يوجد مستند حول اختيار الاختبارات المتوفرة أسفل رابط Paper HW.

              مسابقة هذا الأسبوع: عرض عمل اختبار مقارنة الحدود في القسم 9.4 (10 دقائق)

              • م 1 أبريل. 9.8: تعريف تايلور متعدد الحدود والمتسلسلات ، مشتقات الحساب في المركز.
              • T أبريل 2. ابدأ 9.9: إعادة استخدام سلسلة Maclaurin الشهيرة لتوليد كثيرات الحدود بسهولة أكبر.
              • لمزيد من المساعدة في استخدام "التقدير المتبقي" ، إليك بعض التغطية الإضافية.

              مسابقة هذا الأسبوع: مجال تقارب سلسلة الطاقة (12 دقيقة)

              الاختبار الثالث هو الثلاثاء المقبل في الصف.

              • يغطي هذا الاختبار القسم 9.1 (حدود التسلسلات) إلى القسم 9.9 (إعادة استخدام السلسلة الشهيرة ، خطأ تايلور).
                • لست مطالبًا بحفظ سلسلة Maclaurin من أجل e ^ x و sin (x) و cos (x).
                • لست مطالبًا بحفظ صيغة نظرية تقدير المتبقي ، ولكن يجب أن تعرف كيفية تنفيذ خطواتها.
                • سؤال واحد على الأقل في هذا الاختبار هو متعدد الخيارات، يشبه إلى حد كبير WW.
                • يجب أن تعرف صياغة سلسلة الاختبارات التي تمت مناقشتها في الفصل. قد تضطر إلى إعادة صياغة أحد الاختبارات في الامتحان!
                • تتم المراجعة داخل الفصل يوم الاثنين ، 8 أبريل.
                • م 8 أبريل. مراجعة للاختبار 3.
                • تي 9 أبريل. الاختبار 3.
                • W 10 أبريل. 11.1: الصيغ الأساسية للمساحة ثلاثية الأبعاد.
                • ف 12 أبريل. البداية 11.2: الجبر المتجه الأساسي في 2D أو 3D ، تصور إضافة متجه ، وإحداثيات الوحدة i ، j ، k.

                الوحدة النهائية: مقدمة موجزة عن المتجهات ثنائية وثلاثية الأبعاد

                • م 15 أبريل. قم بإنهاء 11.2: متجهات اتجاه (الوحدة) dir (v) ، باستخدام الزوايا المرجعية لاتجاهات ثنائية الأبعاد.
                • تي 16 أبريل. البداية 11.3: التعريف الأساسي للمنتج النقطي ، صيغة "زاوية النقطة".

                مسابقة هذا الأسبوع: القسم 11.2

                الأسبوع الخامس عشر واليومين الأخيرين من الفصل:

                • م 22 أبريل. البدء 11.4: حساب المنتج عبر ثلاثي الأبعاد.
                • سنقوم على الأرجح بسحب اختباراتنا القديمة وننظر في كيفية قراءة هذه الأسئلة وإعدادها بشكل صحيح!
                • يرجى الحضور إلى الفصل بأسئلة ، أو أرسل لي الطلبات في وقت مبكر (التي سأبذل قصارى جهدي لاستيعابها).

                مسابقة هذا الأسبوع: أساسيات القسمين 11.3 و 11.4 (10 دقائق)

                الاختبار النهائي قريبًا!

                • يتم إجراء الاختبار في الفصل الدراسي الرئيسي (Boyd 203).
                  • القسم 25032: يوم الاثنين 6 مايو من الساعة 8 صباحًا حتى 11 صباحًا
                  • القسم 41458: الأربعاء 8 مايو من الساعة 8 صباحًا حتى 11 صباحًا
                  • يجب أن يكون هناك حوالي 4 أسئلة بناءً على كل اختبار من الاختبارات الثلاثة السابقة ، بالإضافة إلى سؤالين متجهين.
                  • سيكون لديك سؤال إجابة قصيرة في البداية للتحقق من فهمك للمصطلحات المستخدمة في الفصل! (انظر بداية الاختبار 3 # 1 (أ) ، على سبيل المثال ، للحصول على فكرة عما قد يكون عليه الأمر.)
                  • انظر إلى مواد مراجعة المتجهات اعتبارًا من يوم الجمعة من هذا الأسبوع.
                  • مشاكل التدريب مهمة ، لكنك ترغب في الغالب في ممارسة مهارات قراءة المشكلات لديك! ارجع إلى مجموعات الورق والاختبارات الورقية القديمة الخاصة بك ، واسأل نفسك "ما الإشارات في المشكلة التي تشير إلى أي نهج يجب استخدامه؟ ما هي المشكلة التي تحاول التأكيد عليها ، مقارنة بالمشكلات الأخرى في واجبي المنزلي؟"
                  • سيتعين عليك ترك حقائب الكتب الخاصة بك على جانب الغرفة بمجرد بدء الاختبار.
                  • أغلق أي هواتف أو ساعات ذكية واتركها داخل حقائبك.
                  • يُسمح باستراحات دورة المياه ، لكنني سأسمح لشخص واحد فقط بالمغادرة في كل مرة ، باستثناء أي ظروف قصوى.

                  ساعات العمل والعنوان

                  موقع المكتب: بويد 603 سي

                  ساعات العمل لربيع 2021 (استخدم رابط Zoom الموجود في eLC)

                  • الاثنين 2:45 - 4:15 مساءً
                  • الثلاثاء 8: 45-9: 45 صباحًا
                  • الأربعاء ٢:٣٠ - ٤:٣٠ مساءً
                  • الجمعة 8: 00-8: 45 صباحًا و 3: 30-5: 00 مساءً

                  أو عن طريق التعيين. (راسلني.)

                  أتمنى أن تتوقف عند بابي المفتوح. لكن هذه ليست الأوقات التي نعيشها الآن: /

                  عنوان المراسلة

                  دكتور مايكل كليبر
                  بويد GSRC 603C
                  جامعة جورجيا
                  أثينا ، GA 30602
                  [email protected]

                  أقسام الدورة (اضغط على رقم القسم الخاص بالمقرر الدراسي)

                  القسم 25032: MWF 8:00 صباحًا - 8:50 صباحًا في Boyd 203 ، T 8:00 صباحًا - 9:15 صباحًا في Boyd 203

                  القسم 41458: MWF 9:05 صباحًا - 9:55 صباحًا في Boyd 203 ، T 12:30 مساءً - 1:45 مساءً في Boyd 303 (Aderhold 215 سابقًا)


                  محتويات

                  السلسلة الهندسية أ + أر + أر 2 + أر 3 +. هو مكتوب في شكل موسع. [1] كل معامل في السلسلة الهندسية هو نفسه. في المقابل ، تم كتابة سلسلة الطاقة كـ أ0 + أ1ص + أ2ص 2 + أ3ص 3 +. في شكل موسع لها معاملات أأنا التي يمكن أن تختلف من مصطلح إلى آخر. بمعنى آخر ، السلسلة الهندسية هي حالة خاصة لسلسلة الطاقة. المصطلح الأول في سلسلة هندسية في شكل موسع هو المعامل أ من تلك السلسلة الهندسية.

                  بالإضافة إلى الشكل الموسع للسلسلة الهندسية ، يوجد نموذج مولد [1] للسلسلة الهندسية المكتوبة كـ

                  وشكل مغلق من سلسلة هندسية مكتوبة كـ

                  أ / (1 - ص) ضمن النطاق |ص| & lt 1.

                  يتم عرض اشتقاق النموذج المغلق من النموذج الموسع في قسم المجموع في هذه المقالة. يتطلب الاشتقاق أن تكون جميع معاملات السلسلة هي نفسها (المعامل أ) من أجل الاستفادة من التشابه الذاتي وتقليل العدد اللانهائي لعمليات الجمع والاستطاعة في النموذج الموسع إلى الطرح الفردي والقسمة المفردة في شكل مغلق. ولكن حتى بدون هذا الاشتقاق ، يمكن تأكيد النتيجة بالقسمة المطولة: أ قسمة (1 - ص) النتائج في أ + أر + أر 2 + أر 3 +. ، وهو الشكل الموسع للسلسلة الهندسية.

                  عادةً ما يُنظر إلى السلسلة الهندسية على أنها مجموع الأرقام أ + أر + أر 2 + أر 3 +. ولكن يمكن أيضًا اعتبارها مجموع الوظائف أ + أر + أر 2 + أر 3 +. التي تتقارب مع الوظيفة أ / (1 - ص) ضمن النطاق | r | & lt 1. تُظهر الصورة المجاورة مساهمة كل من المصطلحات التسعة الأولى (أي الدوال) في الوظيفة أ / (1 - ص) ضمن النطاق |ص| & lt 1 عندما أ = 1. تغيير حتى أحد المعاملات إلى شيء آخر غير المعامل أ من شأنه (بالإضافة إلى تغيير السلسلة الهندسية إلى سلسلة الطاقة) تغيير مجموع الدوال الناتجة إلى وظيفة أخرى غير أ / (1 - ص) ضمن النطاق |ص| & lt 1. كجانب جانبي ، يتم تحديد تغيير مفيد بشكل خاص للمعاملات من خلال سلسلة تايلور ، التي تصف كيفية تغيير المعاملات بحيث يتقارب مجموع الوظائف مع أي مستخدم محدد ، ودالة سلسة بدرجة كافية ضمن النطاق.

                  السلسلة الهندسية أ + أر + أر 2 + أر 3 +. هي سلسلة لا نهائية محددة بمعلمتين فقط: المعامل أ والنسبة المشتركة ص. نسبة المشتركة ص هي نسبة أي حد مع الحد السابق في السلسلة. أو ما يعادله ، النسبة الشائعة ص هو مصطلح المضاعف المستخدم لحساب المصطلح التالي في السلسلة. يوضح الجدول التالي عدة سلاسل هندسية:

                  أ ص سلسلة مثال
                  4 10 4 + 40 + 400 + 4000 + 40,000 + ···
                  3 1 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + ···
                  1 2/3 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + 16/81 + ···
                  1/2 1/2 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ···
                  9 1/3 9 + 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ···
                  7 1/10 7 + 0.7 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ···
                  1 −1/2 1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + 1/16 − 1/32 + ···
                  3 −1 3 − 3 + 3 − 3 + 3 − ···

                  يعتمد تقارب السلسلة الهندسية على قيمة النسبة المشتركة ص:

                  • إذا كان |ص| & lt 1 ، تقترب شروط السلسلة من الصفر في النهاية (تصبح أصغر وأصغر في الحجم) ، وتتقارب السلسلة مع المجموع أ / (1 - ص).
                  • إذا كان |ص| = 1 ، السلسلة لا تتقارب. متي ص = 1 ، جميع شروط السلسلة متشابهة والسلسلة لانهائية. متي ص = −1 ، تأخذ المصطلحات قيمتين بالتناوب (على سبيل المثال ، 2 ، −2 ، 2 ، −2 ، 2.). يتأرجح مجموع المصطلحات بين قيمتين (على سبيل المثال ، 2 ، 0 ، 2 ، 0 ، 2.). هذا نوع مختلف من الاختلاف. انظر على سبيل المثال سلسلة Grandi: 1 - 1 + 1 - 1 + ···.
                  • إذا كان |ص| & gt 1 ، تصبح شروط السلسلة أكبر وأكبر في الحجم. يصبح مجموع المصطلحات أيضًا أكبر وأكبر ، ولا تتقارب السلسلة مع مجموع. (المسلسل يتباعد).

                  يعتمد معدل التقارب أيضًا على قيمة النسبة المشتركة ص. على وجه التحديد ، فإن معدل التقارب يصبح أبطأ ص تقترب من 1 أو 1. على سبيل المثال ، السلسلة الهندسية ذات أ = 1 تساوي 1 + ص + ص 2 + ص 3 +. ويتقارب إلى 1 / (1 - ص) متى |ص| & lt 1. ومع ذلك ، فإن عدد المصطلحات اللازمة للتقارب يقترب من اللانهاية مثل ص نهج 1 بسبب أ / (1 - ص) يقترب من اللانهاية وكل حد في السلسلة أقل من أو يساوي واحدًا. في المقابل ، مثل ص تقترب من −1 ، يبدأ مجموع المصطلحات العديدة الأولى من السلسلة الهندسية في التقارب إلى 1/2 ولكنه ينقلب قليلاً لأعلى أو لأسفل اعتمادًا على ما إذا كان المصطلح المضاف مؤخرًا له قوة ص هذا زوجي أو فردي. هذا السلوك التقليب قريب ص = −1 موضّح في الصورة المجاورة التي تُظهِر أول 11 حدًا من السلسلة الهندسية مع أ = 1 و |ص| & lt 1.

                  النسبة المشتركة ص والمعامل أ حدد أيضًا التقدم الهندسي ، وهو قائمة بمصطلحات المتسلسلة الهندسية ولكن بدون الإضافات. لذلك فإن المتسلسلة الهندسية أ + أر + أر 2 + أر 3 +. لديه التقدم الهندسي (ويسمى أيضًا التسلسل الهندسي) أ, أر, أر 2 , أر 3 ،. يمثل التقدم الهندسي - بسيطًا كما هو - عددًا مذهلاً من الظواهر الطبيعية ،

                  • من بعض أكبر الملاحظات مثل توسع الكون حيث النسبة المشتركة ص يتم تعريفه من خلال ثابت هابل ،
                  • إلى بعض من أصغر الملاحظات مثل اضمحلال ذرات الكربون المشعة 14 حيث النسبة المشتركة ص يتم تعريفه بنصف عمر الكربون 14.

                  جانبا ، النسبة المشتركة ص يمكن أن يكون عددًا معقدًا مثل |ص| ه في أين |ص| هو مقدار المتجه (أو طوله) و هي زاوية المتجه (أو الاتجاه) في المستوى المعقد. بنسب مشتركة |ص| ه iθ ، الشكل الموسع للسلسلة الهندسية هو أ + أ|ص| e iθ + أ|ص| 2 ه i2θ + أ|ص| 3 ه i3θ +. نمذجة الزاوية θ على أنها تتزايد خطيًا بمرور الوقت بمعدل بعض التردد الزاوي ω0 (بمعنى آخر ، إجراء الاستبدال θ = ω0ر) ، يصبح الشكل الموسع للسلسلة الهندسية أ + أ|ص| ه ط0ر + أ|ص| 2 ه i2ω0ر + أ|ص| 3 ه i3ω0ر +. ، حيث يكون الحد الأول متجهًا للطول أ لا تدور على الإطلاق ، وجميع المصطلحات الأخرى عبارة عن نواقل ذات أطوال مختلفة تدور في توافقيات التردد الزاوي الأساسي ω0. القيد | r | & lt1 كافٍ لتنسيق هذا العدد اللامتناهي من المتجهات ذات الأطوال المختلفة التي تدور جميعها بسرعات مختلفة لتتبع دائرة ، كما هو موضح في الفيديو المجاور. على غرار الطريقة التي تصف بها سلسلة تايلور كيفية تغيير المعامِلات بحيث تتقارب السلسلة مع مستخدم محدد بدرجة كافية من الوظائف السلسة ضمن النطاق ، تصف سلسلة فورييه كيفية تغيير المعاملات (والتي يمكن أن تكون أيضًا أرقامًا معقدة من أجل تحديد الزوايا الأولية من المتجهات) بحيث تتقارب السلسلة إلى وظيفة دورية يختارها المستخدم.

                  تحرير صيغة مغلقة

                  أين ص هي النسبة المشتركة. يمكن للمرء أن يشتق تلك الصيغة المغلقة للمبلغ الجزئي ، س، بطرح العديد من المصطلحات المتشابهة على النحو التالي: [2] [3] [4]

                  مثل ن تقترب من اللانهاية ، القيمة المطلقة لـ ص يجب أن تكون أقل من واحد لكي تتقارب السلسلة. ثم يصبح المجموع

                  متي أ = 1 ، يمكن تبسيط هذا إلى

                  تنطبق الصيغة أيضًا على المعقد ص ، مع القيد المقابل ، معامل ص بدقة أقل من واحد.

                  جانبا ، مسألة ما إذا كانت السلسلة اللانهائية تتقارب هي في الأساس سؤال حول المسافة بين قيمتين: بالنظر إلى المصطلحات الكافية ، هل تقترب قيمة المجموع الجزئي بشكل تعسفي من القيمة التي تقترب منها؟ في الاشتقاق أعلاه للشكل المغلق للسلسلة الهندسية ، يكون تفسير المسافة بين قيمتين هو المسافة بين موقعيهما على خط الأعداد. هذا هو التفسير الأكثر شيوعًا للمسافة بين قيمتين. ومع ذلك ، فإن مقياس p-adic ، الذي أصبح مفهومًا حاسمًا في نظرية الأعداد الحديثة ، يقدم تعريفًا للمسافة مثل السلسلة الهندسية 1 + 2 + 4 + 8 +. مع أ = 1 و ص = 2 في الواقع تتقارب مع أ / (1 - ص) = 1 / (1-2) = -1 بالرغم من ذلك ص خارج نطاق التقارب النموذجي |ص| & lt 1.

                  تحرير إثبات التقارب

                  يمكننا إثبات أن المتسلسلة الهندسية تتقارب باستخدام صيغة الجمع للتقدم الهندسي:

                  يمكن أيضًا إثبات تقارب السلاسل الهندسية من خلال إعادة كتابة السلسلة كسلسلة تلسكوبية مكافئة. ضع في اعتبارك الوظيفة ،

                  معدل التقارب تحرير

                  كما هو موضح في البراهين أعلاه ، فإن الشكل المغلق للسلسلة الهندسية مجموع جزئي يصل إلى نقوة ص هو أ(1 - ص ن+1 ) / (1 - ص) لأي قيمة ص، والشكل المغلق للسلسلة الهندسية هو المجموع الكامل أ / (1 - ص) within the range |ص| & lt 1.

                  If the common ratio is within the range 0 < ص < 1, then the partial sum أ(1 - ص ن+1 ) / (1 - ص) increases with each added term and eventually gets within some small error, ه, ratio of the full sum أ / (1 - ص). Solving for ن at that error threshold,

                  If the common ratio is within the range -1 < ص < 0, then the geometric series is an alternating series but can be converted into the form of a non-alternating geometric series by combining pairs of terms and then analyzing the rate of convergence using the same approach as shown for the common ratio range 0 < ص < 1. Specifically, the partial sum

                  s = أ + أر + أر 2 + أر 3 + أر 4 + أر 5 + . + أر ن-1 + أر ن within the range -1 < ص < 0 is equivalent to s = أ - ap + ap 2 - ap 3 + ap 4 - ap 5 + . + ap ن-1 - ap ن مع ال ن that is odd, with the substitution of ص = -ص, and within the range 0 < ص < 1, s = (أ - ap) + (ap 2 - ap 3 ) + (ap 4 - ap 5 ) + . + (ap ن-1 - ap n ) with adjacent and differently signed terms paired together, s = أ(1 - ص) + أ(1 - ص)ص 2 + أ(1 - ص)ص 4 + . + أ(1 - ص)ص 2(ن-1)/2 with أ(1 - ص) factored out of each term, s = أ(1 - ص) + أ(1 - ص)ص 2 + أ(1 - ص)ص 4 + . + أ(1 - ص)ص 2م with the substitution م = (ن - 1) / 2 which is an integer given the constraint that ن is odd,

                  which is now in the form of the first م terms of a geometric series with coefficient أ(1 - ص) and with common ratio ص 2. Therefore the closed form of the partial sum is أ(1 - ص)(1 - ص 2(م+1) ) / (1 - ص 2 ) which increases with each added term and eventually gets within some small error, ه, ratio of the full sum أ(1 - ص) / (1 - ص 2). As before, solving for م at that error threshold,

                  where 0 < ص < 1 or equivalently -1 < ص < 0, and the م+1 result is the number of partial sum pairs of terms needed to get within أ(1 - ص)ه / (1 - ص 2 ) of the full sum أ(1 - ص) / (1 - ص 2). For example to get within 1% of the full sum أ(1 - ص) / (1 - ص 2 ) at ص=0.1 or equivalently ص=-0.1, only 1 (= ln(ه) / (2 ln(ص)) = ln(0.01) / (2 ln(0.1)) pair of terms of the partial sum are needed. However at ص=0.9 or equivalently ص=-0.9, 22 (= ln(0.01) / (2 ln(0.9))) pairs of terms of the partial sum are needed to get within 1% of the full sum أ(1 - ص) / (1 - ص 2). Comparing the rate of convergence for positive and negative values of ص, ن + 1 (the number of terms required to reach the error threshold for some positive ص) is always twice as large as م + 1 (the number of term pairs required to reach the error threshold for the negative of that ص) but the م + 1 refers to term pairs instead of single terms. Therefore, the rate of convergence is symmetric about ص = 0, which can be a surprise given the asymmetry of أ / (1 - ص). One perspective that helps explain this rate of convergence symmetry is that on the ص > 0 side each added term of the partial sum makes a finite contribution to the infinite sum at ص = 1 while on the ص < 0 side each added term makes a finite contribution to the infinite slope at ص = -1.

                  As an aside, this type of rate of convergence analysis is particularly useful when calculating the number of Taylor series terms needed to adequately approximate some user-selected sufficiently-smooth function or when calculating the number of Fourier series terms needed to adequately approximate some user-selected periodic function.

                  Zeno of Elea (c.495 – c.430 BC) Edit

                  2,500 years ago, Greek mathematicians had a problem with walking from one place to another. Physically, they were able to walk as well as we do today, perhaps better. Logically, however, they thought [5] that an infinitely long list of numbers greater than zero summed to infinity. Therefore, it was a paradox when Zeno of Elea pointed out that in order to walk from one place to another, you first have to walk half the distance, and then you have to walk half the remaining distance, and then you have to walk half of that remaining distance, and you continue halving the remaining distances an infinite number of times because no matter how small the remaining distance is you still have to walk the first half of it. Thus, Zeno of Elea transformed a short distance into an infinitely long list of halved remaining distances, all of which are greater than zero. And that was the problem: how can a distance be short when measured directly and also infinite when summed over its infinite list of halved remainders? The paradox revealed something was wrong with the assumption that an infinitely long list of numbers greater than zero summed to infinity.

                  Euclid of Alexandria (c.300 BC) Edit

                  Euclid's Elements of Geometry [6] Book IX, Proposition 35, proof (of the proposition in adjacent diagram's caption):

                  Let AA', BC, DD', EF be any multitude whatsoever of continuously proportional numbers, beginning from the least AA'. And let BG and FH, each equal to AA', have been subtracted from BC and EF. I say that as GC is to AA', so EH is to AA', BC, DD'.

                  For let FK be made equal to BC, and FL to DD'. And since FK is equal to BC, of which FH is equal to BG, the remainder HK is thus equal to the remainder GC. And since as EF is to DD', so DD' to BC, and BC to AA' [Prop. 7.13], and DD' equal to FL, and BC to FK, and AA' to FH, thus as EF is to FL, so LF to FK, and FK to FH. By separation, as EL to LF, so LK to FK, and KH to FH [Props. 7.11, 7.13]. And thus as one of the leading is to one of the following, so (the sum of) all of the leading to (the sum of) all of the following [Prop. 7.12]. Thus, as KH is to FH, so EL, LK, KH to LF, FK, HF. And KH equal to CG, and FH to AA', and LF, FK, HF to DD', BC, AA'. Thus, as CG is to AA', so EH to DD', BC, AA'. Thus, as the excess of the second is to the first, so is the excess of the last is to all those before it. The very thing it was required to show.

                  The terseness of Euclid's propositions and proofs may have been a necessity. As is, the Elements of Geometry is over 500 pages of propositions and proofs. Making copies of this popular textbook was labor intensive given that the printing press was not invented until 1440. And the book's popularity lasted a long time: as stated in the cited introduction to an English translation, Elements of Geometry "has the distinction of being the world's oldest continuously used mathematical textbook." So being very terse was being very practical. The proof of Proposition 35 in Book IX could have been even more compact if Euclid could have somehow avoided explicitly equating lengths of specific line segments from different terms in the series. For example, the contemporary notation for geometric series (i.e., أ + أر + أر 2 + أر 3 + . + أر n ) does not label specific portions of terms that are equal to each other.

                  Also in the cited introduction the editor comments,

                  Most of the theorems appearing in the Elements were not discovered by Euclid himself, but were the work of earlier Greek mathematicians such as Pythagoras (and his school), Hippocrates of Chios, Theaetetus of Athens, and Eudoxus of Cnidos. However, Euclid is generally credited with arranging these theorems in a logical manner, so as to demonstrate (admittedly, not always with the rigour demanded by modern mathematics) that they necessarily follow from five simple axioms. Euclid is also credited with devising a number of particularly ingenious proofs of previously discovered theorems (e.g., Theorem 48 in Book 1).

                  To help translate the proposition and proof into a form that uses current notation, a couple modifications are in the diagram. First, the four horizontal line lengths representing the values of the first four terms of a geometric series are now labeled a, ar, ar 2 , ar 3 in the diagram's left margin. Second, new labels A' and D' are now on the first and third lines so that all the diagram's line segment names consistently specify the segment's starting point and ending point.

                  Here is a phrase by phrase interpretation of the proposition:

                  Proposition in contemporary notation
                  "If there is any multitude whatsoever of continually proportional numbers" Taking the first n+1 terms of a geometric series Sن = أ + أر + أر 2 + أر 3 + . + أر ن
                  "and equal to the first is subtracted from the second and the last" and subtracting أ من عند أر و أر ن
                  "then as the excess of the second to the first, so the excess of the last will be to all those before it." then (أر-أ) / أ = (أر n -أ) / (أ + أر + أر 2 + أر 3 + . + أر n-1 ) = (أر n -أ) / Sن -1, which can be rearranged to the more familiar form Sن -1 = أ(ص n -1) / (ص-1).

                  Similarly, here is a sentence by sentence interpretation of the proof:

                  دليل in contemporary notation
                  "Let AA', BC, DD', EF be any multitude whatsoever of continuously proportional numbers, beginning from the least AA'." Consider the first n+1 terms of a geometric series Sن = أ + أر + أر 2 + أر 3 + . + أر n for the case ص>1 and n=3.
                  "And let BG and FH, each equal to AA', have been subtracted from BC and EF." طرح او خصم أ من عند أر و أر 3 .
                  "I say that as GC is to AA', so EH is to AA', BC, DD'." I say that (أر-أ) / أ = (أر 3 -أ) / (أ + أر + أر 2 ).
                  "For let FK be made equal to BC, and FL to DD'."
                  "And since FK is equal to BC, of which FH is equal to BG, the remainder HK is thus equal to the remainder GC."
                  "And since as EF is to DD', so DD' to BC, and BC to AA' [Prop. 7.13], and DD' equal to FL, and BC to FK, and AA' to FH, thus as EF is to FL, so LF to FK, and FK to FH."
                  "By separation, as EL to LF, so LK to FK, and KH to FH [Props. 7.11, 7.13]." By separation, (أر 3 -أر 2 ) / أر 2 = (أر 2 -أر) / أر = (أر-أ) / أ = ص-1.
                  "And thus as one of the leading is to one of the following, so (the sum of) all of the leading to (the sum of) all of the following [Prop. 7.12]." The sum of those numerators and the sum of those denominators form the same proportion: ((أر 3 -أر 2 ) + (أر 2 -أر) + (أر-أ)) / (أر 2 + أر + أ) = ص-1.
                  "And thus as one of the leading is to one of the following, so (the sum of) all of the leading to (the sum of) all of the following [Prop. 7.12]." And this sum of equal proportions can be extended beyond (أر 3 -أر 2 ) / أر 2 to include all the proportions up to (أر n -أر n-1 ) / أر n-1 .
                  "Thus, as KH is to FH, so EL, LK, KH to LF, FK, HF."
                  "And KH equal to CG, and FH to AA', and LF, FK, HF to DD', BC, AA'."
                  "Thus, as CG is to AA', so EH to DD', BC, AA'."
                  "Thus, as the excess of the second is to the first, so is the excess of the last is to all those before it." هكذا، (أر-أ) / أ = (أر 3 -أ) / S2. Or more generally, (أر-أ) / أ = (أر n -أ) / Sن -1, which can be rearranged in the more common form Sن -1 = أ(ص n -1) / (ص-1).
                  "The very thing it was required to show." Q.E.D.

                  Archimedes of Syracuse (c. 287 – c. 212 BC) Edit

                  Archimedes used the sum of a geometric series to compute the area enclosed by a parabola and a straight line. His method was to dissect the area into an infinite number of triangles.

                  Archimedes' Theorem states that the total area under the parabola is 4/3 of the area of the blue triangle.

                  Archimedes determined that each green triangle has 1/8 the area of the blue triangle, each yellow triangle has 1/8 the area of a green triangle, and so forth.

                  Assuming that the blue triangle has area 1, the total area is an infinite sum:

                  The first term represents the area of the blue triangle, the second term the areas of the two green triangles, the third term the areas of the four yellow triangles, and so on. Simplifying the fractions gives

                  This is a geometric series with common ratio 1/4 and the fractional part is equal to

                  This computation uses the method of exhaustion, an early version of integration. Using calculus, the same area could be found by a definite integral.

                  Nicole Oresme (c.1323 – 1382) Edit

                  Among his insights into infinite series, in addition to his elegantly simple proof of the divergence of the harmonic series, Nicole Oresme [7] proved that the series 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + 6/64 + 7/128 + . converges to 2. His diagram for his geometric proof, similar to the adjacent diagram, shows a two dimensional geometric series. The first dimension is horizontal, in the bottom row showing the geometric series س = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + . , which is the geometric series with coefficient أ = 1/2 and common ratio ص = 1/2 that converges to س = أ / (1-ص) = (1/2) / (1-1/2) = 1. The second dimension is vertical, where the bottom row is a new coefficient أتي equal to س and each subsequent row above it is scaled by the same common ratio ص = 1/2, making another geometric series تي = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + . , which is the geometric series with coefficient أتي = س = 1 and common ratio ص = 1/2 that converges to تي = أتي / (1-ص) = س / (1-ص) = أ / (1-ص) / (1-ص) = (1/2) / (1-1/2) / (1-1/2) = 2.

                  Although difficult to visualize beyond three dimensions, Oresme's insight generalizes to any dimension د. Using the sum of the د−1 dimension of the geometric series as the coefficient أ في ال د dimension of the geometric series results in a د-dimensional geometric series converging to س د / أ = 1 / (1-ص) د within the range |ص|<1. Pascal's triangle and long division reveals the coefficients of these multi-dimensional geometric series, where the closed form is valid only within the range |ص|<1.


                  Note that as an alternative to long division, it is also possible to calculate the coefficients of the د-dimensional geometric series by integrating the coefficients of dimension د−1. This mapping from division by 1-ص in the power series sum domain to integration in the power series coefficient domain is a discrete form of the mapping performed by the Laplace transform. MIT Professor Arthur Mattuck shows how to derive the Laplace transform from the power series in this lecture video, [8] where the power series is a mapping between discrete coefficients and a sum and the Laplace transform is a mapping between continuous weights and an integral.

                  The closed forms of S d /أ are related to but not equal to the derivatives of S = f(ص) = 1 / (1-ص). As shown in the following table, the relationship is س ك+1 = f (ك) (ص) / ك!, where f (ك) (ص) يدل على ك th derivative of f(ص) = 1 / (1-ص) and the closed form is valid only within the range |ص| & lt 1.

                  Repeating decimals Edit

                  A repeating decimal can be thought of as a geometric series whose common ratio is a power of 1/10. على سبيل المثال:

                  The formula for the sum of a geometric series can be used to convert the decimal to a fraction,

                  The formula works not only for a single repeating figure, but also for a repeating group of figures. على سبيل المثال:

                  Note that every series of repeating consecutive decimals can be conveniently simplified with the following:

                  That is, a repeating decimal with repeat length n is equal to the quotient of the repeating part (as an integer) and 10 n - 1 .

                  تحرير الاقتصاد

                  In economics, geometric series are used to represent the present value of an annuity (a sum of money to be paid in regular intervals).

                  For example, suppose that a payment of $100 will be made to the owner of the annuity once per year (at the end of the year) in perpetuity. Receiving $100 a year from now is worth less than an immediate $100, because one cannot invest the money until one receives it. In particular, the present value of $100 one year in the future is $100 / (1 + I ), where I is the yearly interest rate.

                  which is the infinite series:

                  This sort of calculation is used to compute the APR of a loan (such as a mortgage loan). It can also be used to estimate the present value of expected stock dividends, or the terminal value of a security.

                  Fractal geometry Edit

                  In the study of fractals, geometric series often arise as the perimeter, area, or volume of a self-similar figure.

                  For example, the area inside the Koch snowflake can be described as the union of infinitely many equilateral triangles (see figure). Each side of the green triangle is exactly 1/3 the size of a side of the large blue triangle, and therefore has exactly 1/9 the area. Similarly, each yellow triangle has 1/9 the area of a green triangle, and so forth. Taking the blue triangle as a unit of area, the total area of the snowflake is

                  The first term of this series represents the area of the blue triangle, the second term the total area of the three green triangles, the third term the total area of the twelve yellow triangles, and so forth. Excluding the initial 1, this series is geometric with constant ratio ص = 4/9. The first term of the geometric series is أ = 3(1/9) = 1/3, so the sum is


                  IPad Pro 9.7 Power Button Cable Assembly

                  Is the power button of your iPad Pro 9.7 giving you too much of trouble? Are you having problems in switching on and off your device? Now, that&rsquos a grave situation no doubt. Check your power button for signs of damage for once. Well, if there is no sign of damage to the power button, then there could be some problem with the power button cable. And that calls for immediate steps. So, what will you do here? Kindly, do yourself a favor- don&rsquot think of getting a new device altogether. The problem can be easily solved with a replacement part. Our replacement iPad Pro 9.7 Power Button Cable Assembly is just the thing you will need here.

                  Call 866-233-6460 or email [email protected] and one of our friendly USA-based agents will assist you with whatever you need. Also, be sure to check out our FAQs for further information and answers to common questions. If you are looking to place a wholesale order, you can apply for an account by clicking here .


                  How Many Subsets

                  Easy! If the original set has n members, then the Power Set will have 2 n members

                  مثال: has three members (أ,ب و ج).

                  So, the Power Set should have 2 3 = 8, which it does, as we worked out before.

                  Notation

                  The number of members of a set is often written as |S|, so when S has n members we can write:

                  Example: for the set S= how many members will the power set have?

                  You will see in a minute why the number of members is a power of 2


                  Precision, Power and Performance

                  The Rotorazer saw features a 400 Watt motor that is powerful enough to cut through any type of material in one pass. The motor supports speeds of up to 3,400 RPMs, which is good enough for most cutting jobs.

                  The best part is that the motor is capable of running for longer periods without burning out. This is good not only for the life of the machine, but also for enhanced productivity.

                  When it comes to precision, the Rotorazer features an adjustable cutting depth lever that allows you to set your preferred depth. The saw also comes with a parallel fence that guides you as you cut along the line of incision.

                  Unlike other circular saws that cut in one direction, the Rotorazer allows you to cut in any direction and in different angles.


                  شاهد الفيديو: متسلسلات القوى (شهر نوفمبر 2021).