مقالات

6.1E: الدالات الأسية (تمارين) - الرياضيات


1. اشرح

2. يتم تمثيل عدد سكان قطيع الغزلان بالدالة (A (t) = 205 (1.13) ^ {t}، ) حيث (t ) مُعطاة بالسنوات. لأقرب عدد صحيح ، كم سيكون عدد القطيع بعد 6 سنوات؟

3. أوجد المعادلة الأسية التي تمر عبر النقطتين (2،2.25) و (5،60.75).

4. حدد ما إذا كان الجدول 1 يمكن أن يمثل دالة خطية أم أسية أم لا. إذا كان يبدو أنه أسي ، فابحث عن دالة تمر عبر النقاط.

الجدول 1
x1234
و (خ)30.90.270.081

5. يتم فتح حساب تقاعد بإيداع مبدئي ( 8،500 $ ) ويحصل على (8.12 ٪ ) فائدة شهرية. كم ستكون قيمة الحساب في 20 عاما؟

6. يريد Hsu-Mei توفير ( $ 5،000 ) كدفعة أولى على السيارة. إلى أقرب دولار ، كم ستحتاج للاستثمار في حساب الآن مع (7.5 ٪ ) APR ، مركبًا يوميًا ، للوصول إلى هدفها في 3 سنوات؟

7. هل المعادلة (y = 2.294 e ^ {- 0.654 t} ) تمثل نموًا مستمرًا أم تسوسًا مستمرًا أم لا؟ يشرح.

8. لنفترض أنه تم فتح حساب استثماري بإيداع أولي بقيمة ( 10،500 $ ) ربح (6.25 ٪ ) فائدة ، تتضاعف باستمرار. كم ستكون قيمة الحساب بعد 25 سنة؟


الجبر 9
نظرية الأعداد ، المتغيرات ، العوامل ، الأس ، الجذور التربيعية ،. الهندسة التحليلية 4
الخطوط والطائرات والمسافات والتقاطعات. حساب التفاضل والتكامل 11
الدوال ، المشتقات ، التكاملات ، القيم القصوى ، الجذور ، الحدود ،. الهندسة 7
الأشكال والمثلثات والأشكال الرباعية والدوائر. الجبر الخطي 15
المتجهات ، التركيبات الخطية ، الاستقلال ، المنتج النقطي ، الضرب المتقاطع ،. علم المثلثات 4
الجيب وجيب التمام والظل.


الأسية



أمثلة ومقاطع فيديو وحلول لمساعدة طلاب الصف الثامن على التعرف على التدوين الأسي.

الرياضيات الأساسية العامة لولاية نيويورك للصف الثامن ، الوحدة الأولى ، الدرس الأول.

يعرف الطلاب ما يعنيه رفع العدد إلى أس وكيفية تمثيل الضرب المتكرر بشكل رمزي.

يعرف الطلاب سبب اشتراط بعض القواعد استخدام الأقواس.

بدون حل ، ما هي طريقة أخرى لإعادة الكتابة:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 =

كيف نعيد كتابة:
3 مرات 3 مرات 3 مرات 3 مرات 3 مرات =

لقد رأيت هذا النوع من الترميز من قبل ، ويسمى بالتدوين الأسي. بشكل عام ، لأي رقم x وأي عدد صحيح موجب n ،

العدد x n يسمى x مرفوعًا للقوة n ، و n هو الأس في x n و x هو أساس x n.

العدد x n يسمى x مرفوعًا للقوة n ، و n هو أس x في x n و x هو أساس x n.

x 2 يسمى مربع x ، و x 3 هو مكعبه.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


6.1 الوظائف الأسية

وجدت دراسة أن نسبة السكان النباتيين في الولايات المتحدة قد تضاعفت من عام 2009 إلى عام 2011. في عام 2011 ، كان 2.5٪ من السكان نباتيين ، يلتزمون بنظام غذائي لا يشمل أي منتجات حيوانية - لا اللحوم والدواجن ، السمك ومنتجات الألبان والبيض. إذا استمر هذا المعدل ، فإن النباتيين سيشكلون 10٪ من سكان الولايات المتحدة في عام 2015 ، و 40٪ في عام 2019 ، و 80٪ في عام 2021.

ماذا يعني ذلك بالضبط تنمو أضعافا مضاعفة؟ ما الكلمة مزدوج تشترك مع زيادة في المئة؟ يقذف الناس هذه الكلمات بشكل خاطئ. هل هذه الكلمات مستخدمة بشكل صحيح؟ من المؤكد أن الكلمات تظهر بشكل متكرر في وسائل الإعلام.

  • التغيير في المئة يشير إلى أ يتغيرون استنادا إلى أ نسبه مئويه من المبلغ الأصلي.
  • النمو الأسي يشير إلى زيادة بناءً على معدل تغير مضاعف ثابت على فترات زمنية متساوية ، أي أ نسبه مئويه زيادة المبلغ الأصلي بمرور الوقت.
  • يشير الانحلال الأسي إلى أ تخفيض بناءً على معدل تغير مضاعف ثابت على فترات زمنية متساوية ، أي أ نسبه مئويه انخفاض المبلغ الأصلي بمرور الوقت.

لكي نكتسب فهمًا واضحًا للنمو الأسي ، دعونا نقارن النمو الأسي بالنمو الخطي. سنقوم ببناء وظيفتين. الوظيفة الأولى هي الأسية. سنبدأ بإدخال 0 ، ونزيد كل مدخل بمقدار 1. وسوف نضاعف المخرجات المتتالية المقابلة. الوظيفة الثانية خطية. سنبدأ بإدخال 0 ، ونزيد كل إدخال بمقدار 1. وسنضيف 2 إلى المخرجات المتتالية المقابلة. انظر الجدول 1.

من الجدول 1 يمكننا أن نستنتج أنه بالنسبة لهاتين الوظيفتين ، النمو الأسي يقزم النمو الخطي.

  • النمو الأسي يشير إلى القيمة الأصلية من النطاق الذي يزيد بمقدار نفس النسبة على زيادات متساوية وجدت في المجال.
  • النمو الخطي يشير إلى القيمة الأصلية من النطاق الذي يزيد بمقدار نفس المبلغ على زيادات متساوية وجدت في المجال.

من الواضح أن الفرق بين "نفس النسبة" و "نفس المبلغ" كبير جدًا. للنمو الأسي ، على زيادات متساوية ، أدى معدل التغيير المضاعف الثابت إلى مضاعفة الناتج كلما زاد المدخل بمقدار واحد. للنمو الخطي ، أدى المعدل الإضافي الثابت للتغيير على الزيادات المتساوية إلى إضافة 2 إلى المخرجات كلما زادت المدخلات بمقدار واحد.

لنلق نظرة على الدالة f (x) = 2 x f (x) = 2 x من مثالنا. سنقوم بإنشاء جدول (الجدول 2) لتحديد المخرجات المقابلة خلال فترة زمنية في المجال من - 3 - 3 إلى 3. 3.

دعونا نفحص الرسم البياني لـ f f من خلال رسم الأزواج المرتبة التي نلاحظها على الجدول في الشكل 1 ، ثم نقوم ببعض الملاحظات.

دعونا نحدد سلوك الرسم البياني للدالة الأسية f (x) = 2 x f (x) = 2 x وتمييز بعض خصائصها الرئيسية.


منحنى النمو الأسي

(المنشور الأصلي بواسطة جتدوب 1234)
الرجاء المساعدة !!

حدد المساحة الواقعة أسفل منحنى النمو الأسي التالي بين ثانيتين و 4
ثواني
& # 119910 = & # 1052081 متكامل (1 & ناقص & # 119890 ^ -t) دي تي

هذا هو 1-e ^ -t الذي يجعلني مرتبكًا ..

(المنشور الأصلي بواسطة جتدوب 1234)
أفعل ، من أين أبدأ!

هذا هو 1-e ^ -t الذي يجعلني مرتبكًا ..

هل قرأت الفصل ذي الصلة وعملت من خلال بعض الأمثلة؟

أنا فقط أصاب بالذعر من الرياضيات ، إنه Edexel عبر الإنترنت ، أعتقد أنه ربما يجب علي الاتصال بالمدرس.

لا توجد أمثلة في هذا الكتاب.

ربما قمت بطرح أسئلة تستخدم نفس الطريقة ولكني غير متأكد من الطريقة التي يجب استخدامها في هذا

[1e ^ 1/1] = [e] (مع 4 & amp 2 @ أعلى / أسفل الأقواس)

(المنشور الأصلي بواسطة جتدوب 1234)
[1e ^ 1/1] = [هـ]

الجزء الثاني من السؤال هو نفسه ولكن بدون -1 قبل البريد.

هل اعملها بنفس الطريقة؟

انتقل لأسفل إلى أسفل. انظر في كتاب نقي عام 2.

أي إجابة على أي سؤال؟

لم أر إجابة على السؤال الأصلي حتى الآن. الأسئلة التي طرحتها عليك كانت تهدف إلى معرفة ما تعرفه.

هو الصحيح ولكن سؤالك الأصلي كان .

قد تجد أنه من المفيد معرفة ذلك لكنك ستحتاج أيضًا في النهاية (قريبًا جدًا؟) إلى معرفة بعض المبادئ العامة.


تلميح $ $ يحتوي على شكل $ displaystyle rm lim_ فارك:. $ اربط ذلك بمشتق.

لاحظ أن هذا الحل من خلال التعرف على الحد كمشتق يستخدم فقط معرفة تعريف المشتق والأساسي قواعد لحساب مشتقات كثيرات الحدود والقوى. نعم هو كذلك ليس تتطلب معرفة تقنيات أكثر تقدمًا مثل سلسلة الطاقة أو سلسلة تايلور ، وقاعدة l'Hôpital ، ونظرية متوسط ​​القيمة ، وما إلى ذلك. أو هذا أو هذا) لذلك من المفيد التعرف على هذه التقنية ، والتي - عند تطبيقها - غالبًا ما تكون أبسط بكثير من البدائل.

$ begingroup $ لقد جربت هذا ونجح ، على الرغم من أنني لم أتمكن من الحصول عليه بالشكل أعلاه بالضبط. $ f (p) = (1 + p) e ^ <- frac<1 + p >> - (1-p) e ^ <- frac<1-p>> $. و (0) = 0 دولار. ثم ، الحد الأصلي يساوي: $ frac <1> <2> lim_

فارك

= frac <1> <2> f & # 39 (0) $ $ endgroup $ & ndash jrand أبريل 3 '11 الساعة 20:51


مقدمة في الدوال الأسية

ثانية، وظائف أسية مفيدة جدًا في الحياة ، خاصة في عالم الأعمال والعلوم. إذا سبق لك أن اكتسبت فائدة في البنك (أو حتى إذا لم تفعل ذلك) ، فربما تكون قد سمعت عن "مضاعفة" أو "تقدير" أو "انخفاض" لهذه العوامل ذات الصلة بالوظائف الأسية.

فقط تذكر أنه عند تضمين الدوال الأسية ، فإن الدوال تتزايد أو تتناقص بسرعة كبيرة (مضروبة في رقم ثابت). هذا هو السبب في أنه من الجيد حقًا البدء في توفير أموالك في وقت مبكر من الحياة والسماح لها بالنمو مع مرور الوقت.

تذكر أن الدوال الأسية تمت تسميتها بسبب " (x )" في الأس! تتم كتابة الدوال الأسية (y = a <^> ، ، ، ب> 0 ). يُطلق على " (b )" قاعدة الدالة الأسية ، نظرًا لأنه الرقم الذي يتم ضربه بنفسه مرات " (x )" (وهو ليس دالة أسية عند (b = 1 )). (ب ) يسمى أيضًا عامل "النمو" أو "الاضمحلال".

عندما (ب> 1 ) ، لدينا النمو الأسي (الوظيفة تكبر) ، وعندما (0 & ltb & lt1 ) ، يكون لدينا تسوس الأسي (الوظيفة تصبح أصغر). هذا منطقي ، لأنه عندما تضرب كسرًا (أقل من 1 ) مرات عديدة من تلقاء نفسها ، تصبح أصغر ، لأن المقام يكبر.


درس الأسس

في الجدول أدناه ، يتم كتابة الرقم 2 كعامل بشكل متكرر. يتم عرض ناتج العوامل أيضًا في هذا الجدول. افترض أن معلمك طلب منك ذلك اكتب 2 كمعامل مليون مرة للواجب المنزلي. كم من الوقت تعتقد أن ذلك سيستغرق؟ إجابه.

عوامل نتاج العوامل وصف
2 × 2 = 4 2 هو عامل 2 مرات
2 × 2 × 2 = 8 2 هو عامل 3 مرات
2 × 2 × 2 × 2 = 16 2 هو عامل 4 مرات
2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 2 عامل 5 مرات
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 2 هو عامل 6 مرات
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128 2 عامل 7 مرات
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256 2 عامل 8 مرات

كتابة 2 كعامل مليون مرة ستكون مهمة شاقة وتستغرق وقتًا طويلاً. أفضل طريقة للتعامل مع هذا هو الاستخدام الأس. يعد التدوين الأسي طريقة أسهل لكتابة رقم كمنتج للعديد من العوامل.

ال الأس يخبرنا كم مرة يتمركز يستخدم كعامل.

على سبيل المثال ، لكتابة 2 كعامل مليون مرة ، يكون الأساس 2 ، والأس هو 1،000،000. نكتب هذا الرقم في شكل أسي على النحو التالي:

اقرأ باسم اثنان مرفوعان إلى قوة المليون

مثال 1: اكتب 2 × 2 × 2 × 2 × 2 باستخدام الأس ، ثم اقرأ إجابتك بصوت عالٍ.

الحل: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 5 2 مرفوعة للقوة الخامسة

دعونا نلقي نظرة أخرى على الجدول أعلاه لنرى كيف يعمل الأس.

متسارع
استمارة
عامل
استمارة
اساسي
استمارة
2 2 = 2 × 2 = 4
2 3 = 2 × 2 × 2 = 8
2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
2 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
2 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
2 7 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128
2 8 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256

حتى الآن قمنا بفحص الأعداد ذات الأساس 2. فلنلقِ نظرة على بعض الأمثلة على كتابة الأسس حيث يكون الأساس عددًا غير 2.

مثال 2: اكتب 3 × 3 × 3 × 3 باستخدام الأس ، ثم اقرأ إجابتك بصوت عالٍ.

الحل: 3 × 3 × 3 × 3 = 3 4 3 مرفوعة للقوة الرابعة

مثال 3: اكتب 6 × 6 × 6 × 6 × 6 باستخدام الأس ، ثم اقرأ إجابتك بصوت عالٍ.

الحل: 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 6 5 6 مرفوعة إلى القوة الخامسة

مثال 4: اكتب 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 باستخدام الأس ، ثم اقرأ إجابتك بصوت عالٍ.

الحل: 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 8 7 8 مرفوعة للقوة السابعة

مثال 5: اكتب 10 3 و 3 6 و 1 8 في صورة العوامل وفي الصورة القياسية.

متسارع
استمارة
عامل
استمارة
اساسي
استمارة
10 3 10 × 10 × 10 1,000
3 6 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 729
1 8 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 1

تنطبق القواعد التالية على الأعداد ذات الأسّ 0 و 1 و 2 و 3:

قاعدة مثال
أي عدد (باستثناء 0) مرفوع إلى الأس صفر يساوي 1. 149 0 = 1
أي عدد مرفوع للقوة الأولى يساوي دائمًا نفسه. 8 1 = 8
إذا تم رفع رقم إلى الأس الثاني ، نقول إنه كذلك تربيع. 3 2 تتم قراءتها كـ ثلاثة تربيع
إذا تم رفع رقم إلى القوة الثالثة ، فإننا نقول إنه كذلك مكعب. 4 3 كما أربعة مكعبة

الملخص: يمكن التعبير عن الأعداد الصحيحة في الشكل القياسي ، في شكل عامل وفي شكل أسي. يسهّل التدوين الأسي كتابة رقم كعامل بشكل متكرر. الرقم المكتوب في الصورة الأسية هو أساس مرفوع إلى الأس. يخبرنا الأس عن عدد مرات استخدام الأساس كعامل.

تمارين

التوجيهات: اقرأ كل سؤال أدناه. انقر مرة واحدة في مربع الإجابة واكتب إجابتك ثم انقر فوق "إدخال". لا تستخدم الفواصل في إجاباتك ، فقط أرقام. بعد النقر فوق ENTER ، ستظهر رسالة في مربع النتائج للإشارة إلى ما إذا كانت إجابتك صحيحة أم غير صحيحة. للبدء من جديد ، انقر فوق مسح.


المزيد من الأسئلة مع الإجابات


  1. 3 س + 2 3 س + 2 3 س + 1
    = 3 س + 2 3 س + 2 3 س 3
    = 3 س + 2 3 س + 6 3 س
    = 3 س (1 + 2 + 6)
    = 9 × 3 س = 3 2 3 س = 3 س + 2

  2. و (1) = A e k = 3 و f (2) = A e 2 k = 9
    يمكن كتابة A e 2 k = 9 بالشكل
    A e k e k = 9 ونعلم أيضًا أن A e k = 3 بالتالي
    3 هـ ك = 9
    الذي يبسط إلى
    ه ك = 3
    خذ ln من كلا الجانبين لإيجاد قيمة k والحصول عليها
    ك = ln (3)
    عوّض بـ k بـ ln (3) في المعادلة A e k = 3 وبسّط للحصول على
    أ = 1.

  3. تجد ر من هذا القبيل
    120 هـ 0.011 ر = 125 هـ 0.007 طن
    ه 0.011 طن - 0.007 طن = 125/120
    بسّط وخذ ln للطرفين
    0.004 طن = ln (125/120)
    ر = 10.2 سنوات
    كان مجموع السكان متساويين في 2004 + 10 = 2014
    كان عدد سكان كل مدينة في عام 2014
    120 هـ 0.011 × 10 = 134 ألفًا.

  4. حل المعادلة من أجل r
    أ 0 ه 20 ص = أ 0 / 2
    تبسيط
    ه 20 ص = 1/2
    خذ ln من كلا الجانبين
    20 ص = ن (1/2)
    ص = - 0.035

6.1E: الدالات الأسية (تمارين) - الرياضيات

غطت المقالة السابقة أساسيات التوزيعات الاحتمالية وتحدثت عن التوزيع الاحتمالي الموحد. تتناول هذه المقالة التوزيع الاحتمالي الأسي الذي يعد أيضًا توزيعًا مستمرًا تمامًا مثل التوزيع الموحد.

مقدمة & # 8211

لنفترض أننا طرحنا السؤال - ما مقدار الوقت الذي نحتاجه للانتظار قبل حدوث حدث معين؟
يمكن إعطاء الإجابة على هذا السؤال بمصطلحات احتمالية إذا قمنا بنمذجة المشكلة المعينة باستخدام التوزيع الأسي.
نظرًا لأن الوقت الذي نحتاج إلى الانتظار فيه غير معروف ، يمكننا التفكير فيه على أنه متغير عشوائي. إذا كان احتمال وقوع الحدث في فترة زمنية معينة متناسبًا مع طول الفترة ، فإن المتغير العشوائي له توزيع أسي.
الدعم (مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي) لمتغير عشوائي أسي هو مجموعة من جميع الأرقام الحقيقية الموجبة.

دالة الكثافة الاحتمالية & # 8211

للحصول على رقم حقيقي موجب يتم إعطاء دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي موزع بشكل أسي من خلال-

هنا هو معامل المعدل وتأثيراته على دالة الكثافة موضحة أدناه & # 8211

للتحقق مما إذا كانت الوظيفة المذكورة أعلاه دالة كثافة احتمالية مشروعة ، نحتاج إلى التحقق مما إذا كانت & # 8217s متكاملة على دعمها هي 1.

دالة الكثافة التراكمية & # 8211

كما نعلم ، فإن دالة الكثافة التراكمية ليست سوى مجموع احتمالية كل الأحداث حتى قيمة معينة .
في التوزيع الأسي ، دالة الكثافة التراكمية اعطي من قبل-

القيمة المتوقعة & # 8211

لمعرفة القيمة المتوقعة ، نقوم ببساطة بضرب دالة توزيع الاحتمالات بـ x ودمجها في جميع القيم الممكنة (الدعم).

التباين والانحراف المعياري & # 8211

يتم إعطاء تباين التوزيع الأسي بواسطة-

الانحراف المعياري للتوزيع & # 8211

  • مثال & # 8211 دع X تشير إلى الوقت بين اكتشافات الجسيم باستخدام عداد جيجر وافترض أن X لها توزيع أسي مع E (X) = 1.4 دقيقة. ما هو احتمال أن نكتشف جسيمًا خلال 30 ثانية من بدء العداد؟
  • الحل & # 8211 نظرًا لأن المتغير العشوائي (X) الذي يشير إلى الوقت بين الاكتشاف المتتالي للجسيمات يتم توزيعه بشكل كبير ، يتم إعطاء القيمة المتوقعة من خلال:

    للعثور على احتمال اكتشاف الجسيم في غضون 30 ثانية من بدء التجربة ، نحتاج إلى استخدام دالة الكثافة التراكمية التي تمت مناقشتها أعلاه. نقوم بتحويل الـ 30 ثانية المعطاة بالدقائق لأن لدينا معامل المعدل الخاص بنا من حيث الدقائق.

نقص خاصية الذاكرة & # 8211

ضع في اعتبارك الآن أنه في المثال أعلاه ، بعد اكتشاف جسيم عند علامة 30 ثانية ، لم يتم اكتشاف أي جسيم منذ ثلاث دقائق.
نظرًا لأننا كنا ننتظر الدقائق الثلاث الماضية ، نشعر أن الاكتشاف هو بسبب على سبيل المثال ، يجب أن يكون احتمال اكتشاف جسيم ما في الثلاثين ثانية القادمة أعلى من 0.3. ومع ذلك. هذا ليس صحيحًا بالنسبة للتوزيع الأسي. يمكننا إثبات ذلك من خلال إيجاد احتمال السيناريو أعلاه ، والذي يمكن التعبير عنه كاحتمال شرطي-

حقيقة أننا انتظرنا ثلاث دقائق دون اكتشاف لا يغير من احتمالية الاكتشاف في الثلاثين ثانية القادمة. لذلك ، فإن الاحتمال يعتمد فقط على طول الفترة قيد النظر.

المراجع & # 8211

القارئ الانتباه! لا تتوقف عن التعلم الآن. تعلم كل شيء مفاهيم GATE CS مع فصول دراسية مباشرة مجانية على قناة يوتيوب لدينا.