مقالات

10.5: رسم المعادلات التربيعية بالرسوم البيانية - الرياضيات


بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:
  • يتعرف على الرسم البياني للمعادلة التربيعية في متغيرين
  • أوجد محور التناظر ورأس القطع المكافئ
  • أوجد تقاطعات القطع المكافئ
  • ارسم معادلات تربيعية في متغيرين
  • حل الحد الأقصى والحد الأدنى من التطبيقات

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. ارسم المعادلة (y = 3x − 5 ) برسم النقاط.
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  2. احسب (2x ^ 2 + 4x − 1 ) عندما (x = −3 )
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  3. تقييم (- frac {b} {2a} ) عندما (a = 13 ) و b = ( frac {5} {6} )
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].

يتعرف على الرسم البياني لمعادلة من الدرجة الثانية في متغيرين

لدينا معادلات بيانية من النموذج (Ax + By = C ). سمينا معادلات مثل هذه المعادلات الخطية لأن رسومها البيانية عبارة عن خطوط مستقيمة.

الآن ، سنقوم برسم معادلات بالصيغة (y = ax ^ 2 + bx + c ). نسمي هذا النوع من المعادلة أ معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين.

التعريف: معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين

أ معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين، حيث a و b و c أرقام حقيقية و (a neq 0 ) ، هي معادلة بالصيغة [y = ax ^ 2 + bx + c nonumber ]

مثلما بدأنا برسم المعادلات الخطية بالرسم البياني للنقاط ، سنفعل الشيء نفسه بالنسبة للمعادلات التربيعية.

دعونا نلقي نظرة أولاً على الرسم البياني للمعادلة التربيعية (y = x ^ 2 ). سنختار القيم الصحيحة لـ x بين 2 و 2 ونجد قيمها y. يرى الطاولة.

(ص = س ^ 2 )
xذ
00
11
(−1)1
24
(−2)4

لاحظ أنه عندما تركنا (x = 1 ) و (x = −1 ) ، حصلنا على نفس القيمة لـ y.

[ start {array} {ll} {y = x ^ 2} & {y = x ^ 2} {y = 1 ^ 2} & {y = (- 1) ^ 2} {y = 1} & {y = 1} nonumber end {array} ]

حدث نفس الشيء عندما تركنا (س = 2 ) و (س = −2 ).

الآن ، سنقوم برسم النقاط لإظهار الرسم البياني لـ (y = x ^ 2 ). يرى شكل.

الرسم البياني ليس خطا. هذا الرقم يسمى القطع المكافئ. كل معادلة تربيعية لها رسم بياني يشبه هذا.

في مثال سوف تتدرب على رسم القطع المكافئ من خلال رسم بعض النقاط.

مثال ( PageIndex {1} )

(ص = س ^ 2-1 )

إجابه

سنقوم برسم المعادلة عن طريق رسم النقاط.


اختر قيم الأعداد الصحيحة لـ x، استبدلهم في المعادلة وحل من أجل ذ.
سجل قيم الأزواج المرتبة في الرسم البياني.
ارسم النقاط ، ثم اربطها بمنحنى سلس. ستكون النتيجة الرسم البياني للمعادلة (y = x ^ 2−1 )

مثال ( PageIndex {2} )

رسم بياني (y = −x ^ 2 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {3} )

رسم بياني (y = x ^ 2 + 1 ).

إجابه

كيف تختلف المعادلات (y = x ^ 2 ) و (y = x ^ 2−1 )؟ ما هو الفرق بين الرسوم البيانية الخاصة بهم؟ كيف هي الرسوم البيانية الخاصة بهم هي نفسها؟

جميع القطع المكافئة للنموذج (y = ax ^ 2 + bx + c ) تفتح لأعلى أو لأسفل. يرى شكل.

لاحظ أن الاختلاف الوحيد في المعادلتين هو الإشارة السالبة قبل (x ^ 2 ) في معادلة الرسم البياني الثاني في شكل. عندما يكون الحد (x ^ 2 ) موجبًا ، فإن القطع المكافئ يفتح لأعلى ، وعندما يكون الحد (x ^ 2 ) سالبًا ، يفتح القطع المكافئ لأسفل.

التعريف: توجيه بارابولا

للمعادلة التربيعية (y = ax ^ 2 + bx + c ) ، إذا:

مثال ( PageIndex {4} )

حدد ما إذا كان كل قطع مكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل:

  1. (ص = −3 س ^ 2 + 2 س 4 )
  2. (ص = 6 س ^ 2 + 7 س − 9 )
إجابه

نظرًا لأن "a" سلبي ، سيفتح القطع المكافئ للأسفل.

نظرًا لأن "a" موجب ، فإن القطع المكافئ سيفتح لأعلى.

مثال ( PageIndex {5} )

حدد ما إذا كان كل قطع مكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل:

  1. (ص = 2 س ^ 2 + 5 س − 2 )
  2. (ص = x3x ^ 2−4x + 7 )
إجابه
  1. فوق
  2. تحت

مثال ( PageIndex {6} )

حدد ما إذا كان كل قطع مكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل:

  1. (ص = −2x ^ 2−2x − 3 )
  2. (ص = 5 س ^ 2−2 س − 1 )
إجابه
  1. تحت
  2. فوق

أوجد محور التناظر ورأس القطع المكافئ

انظر مرة أخرى في شكل. هل ترى أنه يمكننا طي كل قطع مكافئ إلى نصفين وأن أحد الجانبين سيقع فوق الآخر؟ "خط الطي" هو خط تماثل. نسميها محاور التماثل من القطع المكافئ.

نعرض نفس الرسمين البيانيين مرة أخرى بمحور التناظر باللون الأحمر. يرى شكل.

معادلة محاور التماثل يمكن اشتقاقها باستخدام الصيغة التربيعية. سنحذف الاشتقاق هنا وننتقل مباشرة إلى استخدام النتيجة. معادلة محور التماثل في الرسم البياني (y = ax ^ 2 + bx + c ) هي x = (- frac {b} {2a} ).

لذلك ، لإيجاد معادلة التناظر لكل من القطع المكافئ الذي رسمناه بالرسم البياني أعلاه ، سنقوم بالتعويض في الصيغة x = (- frac {b} {2a} ).

النقطة على القطع المكافئ الموجودة على محور التناظر هي أدنى أو أعلى نقطة على القطع المكافئ ، اعتمادًا على ما إذا كان القطع المكافئ ينفتح لأعلى أو لأسفل. هذه النقطة تسمى قمة الرأس من القطع المكافئ.

يمكننا بسهولة إيجاد إحداثيات الرأس ، لأننا نعلم أنها تقع على محور التناظر. هذا يعني أن x- التنسيق هو (- frac {b} {2a} ). لتجد ال ذ-تنسيق الرأس ، نعوض بقيمة x-تنسيق في المعادلة التربيعية.

التعريف: محاور التناظر والفيرتيكس في بارابولا

للقطع المكافئ مع المعادلة (y = ax ^ 2 + bx + c ):

  • محور تناظر القطع المكافئ هو الخط x = (- frac {b} {2a} ).
  • يقع الرأس على محور التناظر ، لذا فهو x- التنسيق هو (- frac {b} {2a} ).

لتجد ال ذ-تنسيق الرأس ، نعوض بـ x = (- frac {b} {2a} ) في المعادلة التربيعية.

مثال ( PageIndex {8} )

للقطع المكافئ (y = 2x ^ 2−8x + 1 ) ابحث عن:

  1. محور التناظر و
  2. الرأس.
إجابه
  1. س = 2
  2. (2,−7)

مثال ( PageIndex {9} )

للقطع المكافئ (y = 2x ^ 2−4x − 3 ) ابحث عن:

  1. محور التناظر و
  2. الرأس.
إجابه
  1. س = 1
  2. (1,−5)

أوجد تقاطعات القطع المكافئ

عندما رسمنا المعادلات الخطية بالرسم البياني ، غالبًا ما استخدمنا x- و ذ- اعتراضات لمساعدتنا على رسم الخطوط. سيساعدنا العثور على إحداثيات التقاطع في رسم القطع المكافئ أيضًا.

تذكر ، في ذ-تقاطع قيمة x تساوي صفرًا. لذا ، للعثور على ملف ذ-التقاطع ، نعوض بـ x = 0 في المعادلة.

فلنبحث عن ذ- تقاطع القطعين المكافئين المبينين في الشكل أدناه.

في x-تقاطع، قيمة y تساوي صفرًا. للعثور على x-التقاطع ، نعوض (y = 0 ) في المعادلة. بمعنى آخر ، سنحتاج إلى حل المعادلة (0 = ax ^ 2 + bx + c ) من أجل x.

[ start {array} {ll} {y = ax ^ 2 + bx + c} {0 = ax ^ 2 + bx + c} nonumber end {array} ]

لكن حل المعادلات التربيعية مثل هذا هو بالضبط ما فعلناه سابقًا في هذا الفصل.

يمكننا الآن العثور على x- اعتراضات القطعين المكافئين المبينين في شكل.

أولاً ، سنجد ملف x- اعتراضات القطع المكافئ بالمعادلة (ص = س ^ 2 + 4x + 3 ).

دع y = 0
عامل.
استخدم خاصية المنتج الصفري.
يحل.
تقاطعات x هي (1،0) و (3،0).

الآن ، سوف نجد x- تقاطعات القطع المكافئ مع المعادلة (y = −x ^ 2 + 4x + 3 ).

دع y = 0
لا تحسب هذه المعادلة التربيعية في الحسبان ، لذلك نستخدم الصيغة التربيعية.
أ = -1 ، ب = 4 ، ج = 3.
تبسيط.

تقاطعات x هي ((2+ sqrt {7}، 0) ) و ((2− sqrt {7}، 0) )

سنستخدم التقريبات العشرية للتقاطعات x ، حتى نتمكن من تحديد هذه النقاط على الرسم البياني.

[ start {array} {l} {(2+ sqrt {7}، 0) almost (4.6،0)} & {(2− sqrt {7}، 0) almost (-0.6،0 )} nonumber end {array} ]

هل هذه النتائج تتفق مع الرسوم البيانية لدينا؟ يرى شكل.

التعريف: ابحث عن مفاهيم بارابولا

لإيجاد تقاطعات القطع المكافئ بالمعادلة (y = ax ^ 2 + bx + c ):

[ start {array} {ll} { textbf {y-intercept}} & { textbf {x-intercept}} { text {Let} x = 0 text {وحل y}} & { text {Let} y = 0 text {وحل x}} nonumber end {array} ]

مثال ( PageIndex {10} )

أوجد تقاطعات القطع المكافئ (y = x ^ 2−2x − 8 ).

إجابه
لتجد ال ذ-تقاطع ، دع x = 0 وحل من أجل ذ.
عندما تكون x = 0 ، فإن y = −8.
ال ذ- التقاطع هو النقطة (0، −8).
لتجد ال x-تقاطع ، دع y = 0 وحل من أجل x.
حل بالتحليل إلى عوامل.

عندما تكون y = 0 ، فإن x = 4 أو x = −2. ال x- التداخلات هي النقاط (4،0) و (2،0).

مثال ( PageIndex {11} )

أوجد تقاطعات القطع المكافئ (y = x ^ 2 + 2x − 8 ).

إجابه

ص: (0 ، −8) ؛ س: (- 4،0) ، (2،0)

مثال ( PageIndex {12} )

أوجد تقاطعات القطع المكافئ (y = x ^ 2−4x − 12 ).

إجابه

ص: (0 ، −12) ؛ س: (6،0) ، (2،0)

في هذا الفصل ، قمنا بحل المعادلات التربيعية بالصيغة (ax ^ 2 + bx + c = 0 ). لقد حللنا من أجل xx وكانت النتائج هي حلول المعادلة.

نحن نبحث الآن في المعادلات التربيعية في متغيرين على الشكل (y = ax ^ 2 + bx + c ). الرسوم البيانية لهذه المعادلات هي القطع المكافئ. ال x- تحدث تقاطعات القطع المكافئ حيث y = 0.

على سبيل المثال:

[ start {array} {cc} { textbf {Quadratic equation}} & { textbf {المعادلة التربيعية في متغيرين}} {} & {y = x ^ 2−2x − 15} {x ^ 2−2x − 15} & { text {Let} y = 0، 0 = x ^ 2−2x − 15} {(x − 5) (x + 3) = 0} & {0 = (x −5) (x + 3)} {x − 5 = 0، x + 3 = 0} & {x − 5 = 0، x + 3 = 0} {x = 5، x = −3} & {x = 5، x = −3} {} & {(5،0) text {and} (−3،0)} {} & { text {x-intercepts}} نهاية {مجموعة} ]

حلول المعادلة التربيعية هي قيم x لـ x- اعتراضات.

في وقت سابق ، رأينا أن المعادلات التربيعية لها حلان أو 1 أو 0. توضح الرسوم البيانية أدناه أمثلة على القطع المكافئ لهذه الحالات الثلاث. منذ حلول المعادلات تعطي x- مفاهيم الرسوم البيانية وعدد x- intercepts هو نفس عدد الحلول.

في السابق ، استخدمنا المميز لتحديد عدد حلول المعادلة التربيعية بالصيغة (ax ^ 2 + bx + c = 0 ). الآن ، يمكننا استخدام المميز لإخبارنا بعددها x- هناك اعتراضات على الرسم البياني.

قبل أن تبدأ في حل المعادلة التربيعية لإيجاد قيم x-التفاصيل ، قد ترغب في تقييم المميز حتى تعرف عدد الحلول التي تتوقعها.

مثال ( PageIndex {13} )

أوجد تقاطعات القطع المكافئ (y = 5x ^ 2 + x + 4 ).

إجابه
لتجد ال ذ-تقاطع ، دع x = 0 وحل من أجل ذ.

عندما تكون س = 0 ، فإن ص = 4.
ال ذ- التقاطع هو النقطة (0،4).
لتجد ال x-تقاطع ، دع y = 0 وحل من أجل x.
أوجد قيمة المميز للتنبؤ بعدد الحلول وهكذا x- اعتراضات.

ب ^ 2−4ac

1^2−4⋅5⋅4

1−80

−79

نظرًا لأن قيمة المميز سالبة ، فلا يوجد حل حقيقي للمعادلة.لا يوجد x- اعتراضات.

مثال ( PageIndex {14} )

أوجد تقاطعات القطع المكافئ (y = 3x ^ 2 + 4x + 4 ).

إجابه

ص: (0،4) ؛ س: لا شيء

مثال ( PageIndex {15} )

أوجد تقاطعات القطع المكافئ (y = x ^ 2−4x − 5 ).

إجابه

ص: (0 ، −5) ؛ س: (5،0) (- 1،0)

مثال ( PageIndex {16} )

أوجد تقاطعات القطع المكافئ (y = 4x ^ 2−12x + 9 ).

إجابه
لتجد ال ذ-تقاطع ، دع x = 0 وحل من أجل ذ.
عندما تكون س = 0 ، فإن ص = 9.
ال ذ- التقاطع هو النقطة (0،9).
لتجد ال x-تقاطع ، دع y = 0 وحل من أجل x.
أوجد قيمة المميز للتنبؤ بعدد الحلول وهكذا x- اعتراضات.

ب ^ 2−4ac

12^2−4⋅4⋅9

144−144

0

بما أن قيمة المميز هي 0 ، فلا يوجد حل حقيقي للمعادلة. إذن هناك واحد x-تقاطع.
حل المعادلة بتحليل ثلاثي الحدود للمربع الكامل.
استخدم خاصية المنتج الصفري.
حل من أجل x.
عندما تكون y = 0 ، فإن ( frac {3} {2} ) = x.
ال x-التقاطع هو النقطة (( frac {3} {2}، 0) ).

مثال ( PageIndex {17} )

أوجد تقاطعات القطع المكافئ (y = −x ^ 2−12x − 36. ).

إجابه

ص: (0 ، −36) ؛ س: (- 6،0)

مثال ( PageIndex {18} )

أوجد تقاطعات القطع المكافئ (y = 9x ^ 2 + 12x + 4 ).

إجابه

ص: (0،4) ؛ س: ((- frac {2} {3}، 0) )

رسم المعادلات التربيعية في متغيرين

الآن ، لدينا جميع القطع التي نحتاجها لرسم معادلة تربيعية في متغيرين. نحتاج فقط إلى تجميعهم معًا. في المثال التالي ، سنرى كيفية القيام بذلك.

كيفية رسم معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين

مثال ( PageIndex {20} )

ارسم القطع المكافئ (y = x ^ 2 + 2x − 8 ).

إجابه

ص: (0 ، −8) ؛ x: (2،0)، (- 4،0) ؛
المحور: x = −1 ؛ الرأس: (−1 ، −9) ؛

مثال ( PageIndex {21} )

ارسم القطع المكافئ (y = x ^ 2−8x + 12 ).

إجابه

ص: (0،12) ؛ x: (2،0) ، (6،0) ؛
المحور: س = 4 ؛ الرأس: (4 ، −4) ؛

التعريف: رسم معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين.

  1. اكتب المعادلة التربيعية مع yy في أحد طرفيها.
  2. حدد ما إذا كان القطع المكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل.
  3. أوجد محور التناظر.
  4. أوجد الرأس.
  5. أعثر على ذ-تقاطع. أوجد النقطة المتماثلة مع ذ- التقاطع عبر محور التناظر.
  6. أعثر على x- اعتراضات.
  7. ارسم القطع المكافئ.

تمكنا من العثور على x- التداخلات في المثال الأخير بالتخصيم. نجد ال x- التداخلات في المثال التالي عن طريق التخصيم أيضًا.

مثال ( PageIndex {23} )

ارسم القطع المكافئ (y = −3x ^ 2 + 12x − 12 ).

إجابه

ص: (0 ، −12) ؛ x: (2،0) ؛
المحور: س = 2 ؛ قمة الرأس: (2،0) ؛

مثال ( PageIndex {24} )

ارسم القطع المكافئ (y = 25x ^ 2 + 10x + 1 ).

إجابه

ص: (0،1) ؛ س: (- 15،0) ؛
المحور: س = −15 ؛ قمة الرأس: (- 15،0) ؛

لرسم بياني لـ (y = −x ^ 2 + 6x − 9 ) الرأس و x- كانت نقطة التقاطع هي نفسها. تذكر كيف يحدد المميز عدد حلول المعادلة التربيعية؟ مميز المعادلة (0 = −x ^ 2 + 6x − 9 ) هو 0 ، لذلك يوجد حل واحد فقط. هذا يعني أنه يوجد واحد فقط x- التقاطع ، وهو رأس القطع المكافئ.

كم العدد x-مفاهيم تتوقع رؤيتها على الرسم البياني لـ (y = x ^ 2 + 4x + 5 )؟

مثال ( PageIndex {26} )

ارسم القطع المكافئ (y = 2x ^ 2−6x + 5 ).

إجابه

ص: (0.5) ؛ س: لا شيء ؛
المحور: (x = frac {3} {2} ) ؛ قمة الرأس: (( frac {3} {2}، frac {1} {2}) )؛

مثال ( PageIndex {27} )

ارسم القطع المكافئ (y = −2x ^ 2−1 ).

إجابه

ص: (0 ، −1) ؛ س: لا شيء ؛
المحور: س = 0 ؛ قمة الرأس: (0 ، −1) ؛

العثور على ذ-التقاطع باستبدال x = 0 بالمعادلة سهل أليس كذلك؟ لكننا احتجنا إلى استخدام الصيغة التربيعية لإيجاد x- اعتراضات في مثال. سنستخدم الصيغة التربيعية مرة أخرى في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {28} )

رسم بياني (y = 2x ^ 2−4x − 3 ).

إجابه
المعادلة ذ له جانب واحد.
حيث أ 2 ، يفتح القطع المكافئ لأعلى.
لإيجاد محور التناظر ، أوجد (x = - frac {b} {2a} )


الرأس هو x = 1
الرأس على الخط x = 1.
تجد ذ عندما س = 1


(1,−5)
ال ذ- يحدث التقاطع عندما تكون x = 0.
عوّض x = 0.
تبسيط.
ال ص-التقاطع هو (0، −3)

النقطة (0 ، −3) هي وحدة واحدة على يسار خط التماثل.
النقطة الواحدة على يمين خط التناظر هي (2، −3)
نقطة متناظرة إلى ص-التقاطع (2، −3).
ال x- يحدث التقاطع عندما تكون y = 0
عوّض y = 0
استخدم الصيغة التربيعية.
عوّض بقيم أ ، ب ، ج.
تبسيط.
بسّط ما بداخل الجذر.
بسّط الجذر.
حلل العامل المشترك الأكبر.
تخلص من العوامل المشتركة.
اكتب في صورة معادلتين.
تقريب القيم.

القيم التقريبية لـ س-الاعتراضات هي (2.5،0) و (0.6،0).

ارسم القطع المكافئ باستخدام النقاط الموجودة.

مثال ( PageIndex {29} )

ارسم القطع المكافئ (y = 5x ^ 2 + 10x + 3 ).

إجابه

ص: (0،3) ؛ x: (- 1.6،0)، (- 0.4،0) ؛
المحور: x = −1 ؛ قمة الرأس: (- 1 ، −2) ؛

مثال ( PageIndex {30} )

ارسم القطع المكافئ (y = −3x ^ 2−6x + 5 ).

إجابه

ص: (0.5) ؛ س: (0.6،0) ، (- 2.6،0) ؛
المحور: x = −1 ؛ قمة الرأس: (- 1،8) ؛

حل الحد الأقصى والحد الأدنى من التطبيقات

مع العلم أن قمة الرأس من القطع المكافئ هي أدنى أو أعلى نقطة في القطع المكافئ تعطينا طريقة سهلة لتحديد الحد الأدنى أو الحد الأقصى لقيمة المعادلة التربيعية. ال ذ- تنسيق الرأس هو الحد الأدنى ذ-قيمة القطع المكافئ الذي يفتح لأعلى. هذا هو الحد الأقصى ذ-قيمة القطع المكافئ الذي يفتح لأسفل. يرى شكل.

التعريف: القيم الدنيا أو القصوى للمعادلة التربيعية

ال ذ-تنسيق الرأس من الرسم البياني للمعادلة التربيعية هو

  • الحد الأدنى لقيمة المعادلة التربيعية إذا تم فتح القطع المكافئ لأعلى.
  • القيمة القصوى للمعادلة التربيعية إذا فتح القطع المكافئ لأسفل.

مثال ( PageIndex {32} )

أوجد القيمة العظمى أو الصغرى للمعادلة التربيعية (y = x ^ 2−8x + 12 ).

إجابه

أدنى قيمة هي −4 عندما x = 4.

مثال ( PageIndex {33} )

أوجد القيمة العظمى أو الصغرى للمعادلة التربيعية (y = −4x ^ 2 + 16x − 11 ).

إجابه

القيمة القصوى هي 5 عندما x = 2.

لقد استخدمنا الصيغة

[ start {array} {l} {h = −16t ^ 2 + v_ {0} t + h_ {0}} nonumber end {array} ]

لحساب الارتفاع بالأقدام ، h ، لجسم تم إطلاقه لأعلى في الهواء بسرعة ابتدائية ، (v_ {0} ) ، بعد t ثانية.

هذه الصيغة عبارة عن معادلة تربيعية في المتغير tt ، لذا فإن رسمها البياني عبارة عن قطع مكافئ. من خلال إيجاد إحداثيات الرأس ، يمكننا إيجاد المدة التي سيستغرقها الجسم للوصول إلى أقصى ارتفاع له. بعد ذلك ، يمكننا حساب أقصى ارتفاع.

مثال ( PageIndex {34} )

تمثل المعادلة التربيعية (h = −16t ^ 2 + v_ {0} t + h_ {0} ) ارتفاع كرة الطائرة التي تضرب مباشرة لأعلى بسرعة 176 قدمًا في الثانية من ارتفاع 4 أقدام.

  1. كم ثانية ستستغرق الكرة الطائرة للوصول إلى أقصى ارتفاع لها؟
  2. أوجد أقصى ارتفاع للكرة الطائرة.
إجابه

(ح = -16 طن ^ 2 + 176 طن + 4 )

بما أن a سلبي ، فإن القطع المكافئ يفتح للأسفل.

المعادلة التربيعية لها حد أقصى.

1.
[ start {array} {ll} {} & {t = - frac {b} {2a}} { text {ابحث عن محور التناظر.}} & {t = - frac {176} {2 (−16)}} {} & {t = 5.5} {} & { text {محور التناظر} t = 5.5} { text {الرأس على السطر} t = 5.5} & { text {الحد الأقصى يحدث عندما} t = 5.5 text {seconds.}} nonumber end {array} ]

2.

تجد ح عندما ر = 5.5.
استخدم الآلة الحاسبة للتبسيط.
الرأس هو (5.5488)
نظرًا لأن القطع المكافئ لديه حد أقصى ، فإن ح-إحداثيات الرأس هو الحد الأقصى ذ- قيمة المعادلة التربيعية.الحد الأقصى لقيمة المعادلة التربيعية هو 488 قدمًا ويحدث عندما يكون t = 5.5 ثانية.

مثال ( PageIndex {35} )

تُستخدم المعادلة التربيعية (h = 16t ^ 2 + 128t + 32 ) لإيجاد ارتفاع الحجر الذي تم إلقاؤه لأعلى من ارتفاع 32 قدمًا بمعدل 128 قدمًا / ثانية. كم من الوقت سيستغرق الحجر للوصول إلى أقصى ارتفاع له؟ ما هو أقصى ارتفاع؟ قرّب الإجابات لأقرب جزء من عشرة.

إجابه

سيستغرق الأمر 4 ثوان للوصول إلى أقصى ارتفاع يبلغ 288 قدمًا.

مثال ( PageIndex {36} )

صاروخ لعبة تم إطلاقه لأعلى من الأرض بمعدل 208 قدم / ثانية له المعادلة التربيعية (ع = −16t ^ 2 + 208t ). متى يصل الصاروخ إلى أقصى ارتفاع له؟ ماذا سيكون أقصى ارتفاع؟ قرّب الإجابات لأقرب جزء من عشرة.

إجابه

سيستغرق الأمر 6.5 ثانية للوصول إلى أقصى ارتفاع 676 قدمًا.

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة الرسم البياني للمعادلات التربيعية:
  • الرسم البياني للوظائف التربيعية
  • كيف ترسم دالة تربيعية بالرسم البياني؟
  • الرسم البياني للمعادلات التربيعية

المفاهيم الرئيسية

  • الرسم البياني لكل معادلة تربيعية هو قطع مكافئ.
  • اتجاه القطع المكافئ للمعادلة التربيعية (y = ax ^ 2 + bx + c ) ، إذا
    • أ> 0 ، يفتح القطع المكافئ لأعلى.
    • أ <0 ، يفتح القطع المكافئ للأسفل.
  • محور التناظر وقمة القطع المكافئ للقطع المكافئ مع المعادلة (y = ax ^ 2 + bx + c ):
    • محور تناظر القطع المكافئ هو الخط (x = - frac {b} {2a} ).
    • يقع الرأس على محور التناظر ، لذا فهو x- التنسيق هو (- frac {b} {2a} ).
    • لتجد ال ذ- بتنسيق الرأس نعوض (x = - frac {b} {2a} ) في المعادلة التربيعية.
  • أوجد تقاطعات القطع المكافئ لإيجاد تقاطعات القطع المكافئ بالمعادلة (y = ax ^ 2 + bx + c ):
    [ start {array} {ll} { textbf {y-intercept}} & { textbf {x-intercepts}} { text {Let} x = 0 text {وحلها من أجل y}} & { text {Let} y = 0 text {وحل من أجل x}} nonumber end {array} ]
  • لرسم معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين
    1. اكتب المعادلة التربيعية مع yy في أحد طرفيها.
    2. حدد ما إذا كان القطع المكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل.
    3. أوجد محور التناظر.
    4. أوجد الرأس.
    5. أعثر على ذ-تقاطع. أوجد النقطة المتماثلة مع ذ- التقاطع عبر محور التناظر.
    6. أعثر على x- اعتراضات.
    7. ارسم القطع المكافئ.
  • القيم الدنيا أو القصوى لمعادلة من الدرجة الثانية
    • ال ذ-تنسيق الرأس من الرسم البياني للمعادلة التربيعية هو
    • الحد الأدنى قيمة المعادلة التربيعية إذا فتح القطع المكافئ لأعلى.
    • أقصى قيمة المعادلة التربيعية إذا فتح القطع المكافئ لأسفل.

قائمة المصطلحات

محاور التماثل
محور التناظر هو الخط العمودي الذي يمر عبر منتصف القطع المكافئ (y = ax ^ 2 + bx + c ).
القطع المكافئ
الرسم البياني للمعادلة التربيعية في متغيرين هو القطع المكافئ.
معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين
معادلة تربيعية في متغيرين ، حيث a و b و c أرقام حقيقية و (a ge 0 ) هي معادلة بالصيغة (y = ax ^ 2 + bx + c ).
قمة الرأس
تسمى النقطة الموجودة على القطع المكافئ الموجودة على محور التناظر قمة الرأس القطع المكافئ. إنها أدنى أو أعلى نقطة على القطع المكافئ ، اعتمادًا على ما إذا كان القطع المكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل.
x- اعتراضات القطع المكافئ
ال x- التداخلات هي النقاط الموجودة على القطع المكافئ حيث (y = 0 ).
ذ- اعتراض القطع المكافئ
ال ذ- نقطة التقاطع هي النقطة الموجودة على القطع المكافئ حيث (x = 0 ).

من أجل رسم الرسم البياني للمعادلة التربيعية ، نتبع الخطوات التالية:

(أ) تحقق مما إذا كان "a & gt 0" أو "a & lt 0" لتحديد ما إذا كان على شكل حرف U أم على شكل n.

(ب) الرأس: ال x-تنسيق الحد الأدنى من النقاط (أو الحد الأقصى للنقطة) معطى بواسطة

(والتي يمكن إظهارها بإكمال طريقة التربيع التي التقينا بها سابقًا).

نحن نستبدل هذا x-قيمة في الدالة التربيعية لدينا ( ذ التعبير). ثم سيكون لدينا (x, ذ) إحداثيات النقطة الدنيا (أو القصوى). هذا يسمى قمة الرأس من القطع المكافئ.

(ج) إحداثيات ذ-تقاطع (استبدل `x = 0`). هذا دائما من السهل العثور عليه!

(د) إحداثيات x- التداخلات (استبدل `y = 0` وحل المعادلة التربيعية) ، طالما يسهل العثور عليها.

مثال 1

ارسم الرسم البياني للدالة `y = 2x ^ 2 & ناقص 8x + 6`

نحدد أولاً أن `a = 2` و` b = -8` و` c = 6`.

الخطوة (أ)

نظرًا لأن `a = 2` ، فإن` a & gt 0` وبالتالي فإن الوظيفة هي قطع مكافئ بحد أدنى نقطة وتنفتح لأعلى (على شكل حرف U)

الخطوة (ب)

ال x تنسيق الحد الأدنى للنقطة هو:

ال ذ قيمة الحد الأدنى للنقطة هي

لذا فإن الحد الأدنى للنقطة هو `` (2، -2) ''

الخطوة (ج)

ال ذ- تم العثور على التقاطع عن طريق استبدال `x = 0` في ذ التعبير.

إذن "(0 ، 6)` هو ذ-تقاطع.

الخطوة (د)

ال x- تم العثور على التداخلات من خلال ضبط `y = 0` وحل:

"2x ^ 2-8x + 6 = 0`

"2 (x ^ 2 - 4x + 3) = 0`

"2 (س - 1) (س - 3) = 0`

لذا "س = 1" أو "س = 3".


كيفية رسم معادلة من الدرجة الثانية

شارك Jake Adams في تأليف المقال. جيك آدمز هو مدرس أكاديمي ومالك Simplifi EDU ، وهي شركة أعمال تعليمية عبر الإنترنت مقرها سانتا مونيكا ، كاليفورنيا تقدم موارد تعليمية ومعلمين عبر الإنترنت للمواد الأكاديمية K-College و SAT & amp ACT الإعدادية وتطبيقات القبول في الكلية. مع أكثر من 14 عامًا من الخبرة في التدريس الاحترافي ، يكرس Jake جهوده لتزويد عملائه بأفضل تجربة تدريس عبر الإنترنت والوصول إلى شبكة من المعلمين الممتازين على مستوى البكالوريوس والدراسات العليا من أفضل الكليات في جميع أنحاء البلاد. جيك حاصل على بكالوريوس في التجارة الدولية والتسويق من جامعة Pepperdine.

هناك 14 مرجعًا تم الاستشهاد بها في هذه المقالة ، والتي يمكن العثور عليها في أسفل الصفحة.

تمت مشاهدة هذا المقال 440798 مرة.

عند الرسم البياني ، المعادلات التربيعية للصيغة الفأس 2 + bx + c أو أ (س - ح) 2 + ك إعطاء منحنى سلس على شكل حرف U أو عكسي على شكل حرف U يسمى a القطع المكافئ. [1] X مصدر خبير

جيك ادامز
مدرس أكاديمي ومقدم اختبار الإعدادية للمقابلة مع خبير. 20 مايو 2020. إن رسم المعادلة التربيعية بالرسوم البيانية هو مسألة إيجاد رأسها واتجاهها ، وفي كثير من الأحيان ، تقاطعها x و y. في حالات المعادلات التربيعية البسيطة نسبيًا ، قد يكون كافيًا أيضًا توصيل نطاق من قيم x ورسم منحنى بناءً على النقاط الناتجة. انظر الخطوة 1 أدناه للبدء.


الدرس بارابولاس

القطع المكافئ هي هياكل ناتجة عن معادلات تربيعية. لديهم خصائص معينة سيتم مناقشتها بمزيد من التفصيل أدناه.

للاطلاع على مزيد من المعلومات المتعلقة بالصيغة القياسية للمعادلات التربيعية وكيفية حلها ، راجع الدرس الخاص بالمعادلات التربيعية.

النموذج القياسي لمعادلة بارابولا

الشكل القياسي لمعادلة القطع المكافئ هو الشكل القياسي للمعادلة التربيعية.

الشكل القياسي للمعادلة التربيعية هو:

أ هو معامل الحد x ^ 2.
ب هو معامل الحد x.
ج هو الحد الثابت.

رأس القطع المكافئ هو الحد الأدنى / الأقصى لنقطة القطع المكافئ.

إذا تم فتح القطع المكافئ ، فإن الرأس هو النقطة الدنيا على القطع المكافئ. إذا انفتح القطع المكافئ لأسفل ، فإن القطع المكافئ هو أقصى نقطة على القطع المكافئ. إذا تم فتح القطع المكافئ لليمين ، فإن الرأس هو أقصى نقطة يسارًا على القطع المكافئ. إذا تم فتح القطع المكافئ يسارًا ، يكون الرأس هو أقصى نقطة على القطع المكافئ.

لإيجاد جذور المعادلة التربيعية ، عليك تعيين y = 0 وإيجاد قيمة x.

لاحظ أن x ^ 2 وهما نفس الشيء. الأول هو الإصدار النصي والثاني هو إصدار منشئ الصيغة algebra.com.

مثال على القطع المكافئ في الشكل القياسي سيكون y = x ^ 2 - 10x + 16 حيث:
أ = 1
ب = -10
ج = 16

يفتح هذا القطع المكافئ.
هذا لأن الحد "a" في معادلة هذا القطع المكافئ موجب.

يرجى ملاحظة أنه عندما ينفتح القطع المكافئ ، فإن قمة القطع المكافئ هي أدنى نقطة على القطع المكافئ. ستكون هذه أيضًا هي النقطة الدنيا على القطع المكافئ لأن قيمة y عند هذه النقطة أقل من قيمة y في أي نقطة أخرى على الرسم البياني لهذا القطع المكافئ.

يظهر الرسم البياني لـ y = x ^ 2 - 10x + 16 أدناه.


لإيجاد جذور هذه المعادلة ، ضع y = 0 وحل من أجل x.

ستكون عوامل هذه المعادلة في الشكل العام لـ:
(dx + e) ​​* (fx + g) = 0 حيث:
د * و = أ
د * ز + ه * و = ب
البريد * ز = ج

عوامل هذه المعادلة x ^ 2 - 10x + 16 هي:
(x-2) * (x-8) = 0
النموذج القياسي هو:
(dx + e) ​​* (fx + g) = 0
يمكنك مشاهدة هذا:
د * و = 1 * 1 = 1
د * ز + ه * و = 1 * (- 8) + (-2) * 1 = -8-2 = -10
البريد * ز = (-2) * (- 8) = 16

جذور معادلة x ^ 2 - 10x + 16 هي:
س = 2 و س = 8

إذا جعلنا الحد "a" في هذه المعادلة سالبًا ، فسيتم فتح الرسم البياني لأسفل.

إذا أردنا الاحتفاظ بالجذور كما هي بحيث تكون لدينا المعادلة في نفس الموضع النسبي على الرسم البياني الذي يفتح فقط في الاتجاه المعاكس ، فإننا نضرب المعادلة بأكملها في (-1) لنحصل على:
-x ^ 2 + 10x - 16

المعادلة الأصلية هي x ^ 2 - 10x + 16
المعادلة المعدلة هي -x ^ 2 + 10x - 16

إنها نفس المعادلة فقط الآن تفتح لأسفل.

يرجى ملاحظة أنه عندما يفتح القطع المكافئ لأسفل ، فإن قمة القطع المكافئ هي أعلى نقطة على القطع المكافئ. ستكون هذه أيضًا هي النقطة القصوى على القطع المكافئ لأن قيمة y عند هذه النقطة أكبر من قيمة y في أي نقطة أخرى على الرسم البياني لهذا القطع المكافئ.

له نفس الجذور لذا فقد تم محوره أساسًا على المحور x.

يظهر الرسم البياني لـ y = -x ^ 2 + 10x - 16 أدناه.


بارابولا التي تنفتح على اليسار أو اليمين

لنأخذ المعادلة الأصلية لـ y = x ^ 2 - 10x + 16 التي تفتح.
استبدل y بـ x و x بـ y لتحصل على x = y ^ 2-10y + 16
سيفتح هذا الرسم البياني إلى اليمين لأن الحد "a" موجب (معامل y ^ 2).

يرجى ملاحظة أنه عندما يفتح القطع المكافئ إلى اليمين ، فإن قمة القطع المكافئ هي أقصى نقطة يسارًا على القطع المكافئ. ستكون هذه أيضًا هي النقطة الدنيا على القطع المكافئ لأن قيمة x عند هذه النقطة أقل من قيمة x في أي نقطة أخرى على الرسم البياني لهذا القطع المكافئ.

يظهر الرسم البياني لـ x = y ^ 2-10y + 16 أدناه.


لنأخذ الآن المعادلة الأصلية لـ y = -x ^ 2 + 10x - 16 التي تفتح لأسفل.
استبدل y بـ x و x بـ y لتحصل على x = -y ^ 2 + 10y - 16
سيفتح هذا الرسم البياني إلى اليسار لأن الحد "a" سلبي (معامل y ^ 2).

يرجى ملاحظة أنه عندما يفتح القطع المكافئ إلى اليسار ، فإن قمة القطع المكافئ هي أقصى نقطة على القطع المكافئ. يرجى ملاحظة أن هذه هي أيضًا النقطة القصوى لهذا القطع المكافئ لأن قيمة x عند هذه النقطة أكبر من قيمة x في أي نقطة أخرى على الرسم البياني لهذا القطع المكافئ.

يظهر الرسم البياني لـ x = -y ^ 2 + 10y - 16 أدناه.


لاحظ أنه لا يمكننا رسم بياني x = y ^ 2 - 10y + 16 مباشرة ، ولا يمكننا رسم بياني x = -y ^ 2 + 10y - 16 مباشرة.

هذا لأن برنامج الرسوم البيانية ثابت بحيث يجب أن تكون معادلتك على شكل y = f (x) فقط. لا يعرف كيفية التعامل مع x = f (y).

من أجل رسم هذه المعادلات ، علينا أن نحل قيمة x لتحويل المعادلة التي في صورة x = f (y) إلى صورة y = f (x).

سأقوم بعمل واحد لأوضح لك كيف تم ذلك لأنها فرصة جيدة لتوضيح كيف يمكن أن يكون إكمال طريقة المربعات مفيدًا في حل المعادلات.

خذ معادلة x = y ^ 2-10y + 16
حل من أجل y كما يلي:
اطرح 16 من طرفي هذه المعادلة لتحصل على:
ص ^ 2-10 ص = س - 16
أكمل المربعات الموجودة على الجانب الأيسر من هذه المعادلة بأخذ نصف -10 (الحد b) للحصول على -5 ثم تربيعه للحصول على 25 للحصول على:
(ص -5) ^ 2-25 = س - 16

أصبح -5 جزءًا من العامل المراد تربيعه و 25 عبارة عن تعديل لنتيجة (y-5) ^ 2 لجعلها مساوية لـ y ^ 2 - 10y بدلاً من y ^ 2 - 10y + 25.

أضف 25 إلى كلا طرفي هذه المعادلة لتحصل على:
(ص -5) ^ 2 = س + 9
خذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة لتحصل على:
ص -5 = +/-
أضف 5 لطرفي هذه المعادلة لتحصل على:
ص = 5 +/-

لقد قمت الآن بتحويل x = f (y) إلى شكل y = f (x).
شكلا هذه المعادلة متكافئتان. x = f (y) يحل من أجل x. y = f (x) يحل من أجل y.

بطريقة مماثلة ، تم تحويل x = -y ^ 2 + 10y - 16 إلى:
ص = 5 +/-

تفتح معادلة x = y ^ 2 - 10x + 16 جهة اليمين.
المعادلة المكافئة لـ y = 5 +/- تفتح أيضًا على اليمين.
معامل y ^ 2 في إصدار x = f (y) من المعادلة موجب ، كما أن معامل x في إصدار y = f (x) من نفس المعادلة موجب أيضًا. سيكون هذا صحيحًا بشكل عام.

تفتح معادلة x = -y ^ 2 + 10x - 16 جهة اليسار.
تفتح أيضًا المعادلة المكافئة لـ y = 5 +/- على اليسار.
معامل y ^ 2 في إصدار x = f (y) من المعادلة سالب ومعامل x في إصدار y = f (x) من نفس المعادلة سلبي أيضًا. سيكون هذا صحيحًا بشكل عام.

البحث عن عمود بارابولا عندما تكون معادلة بارابولا في شكل قياسي ويتم فتح بارابولا أو هبوطه

يرجى ملاحظة أنه عندما ينفتح القطع المكافئ ، فإن قمة القطع المكافئ هي أدنى نقطة على القطع المكافئ. وتسمى هذه أيضًا النقطة الدنيا على القطع المكافئ. يطلق عليه النقطة الدنيا على القطع المكافئ لأن قيمة y عند هذه النقطة أقل من أي نقطة أخرى على القطع المكافئ.

الصيغة القياسية لمعادلة القطع المكافئ التي تفتح لأعلى أو لأسفل هي y = ax ^ 2 + bx + c

يمكن إيجاد قيمة x لرأس القطع المكافئ بواسطة المعادلة x = -b / 2a

بمجرد إيجاد قيمة x ، فإنك تعوض بهذه القيمة في المعادلة لإيجاد قيمة y.

الشكل المعمم لرأس القطع المكافئ هو (x، y) = (-b / 2a، f (-b / 2a)).

-b / 2a هو إحداثي x للرأس. f (-b / 2a) هو إحداثي y للرأس.

يمكنك إيجاد إحداثي x للرأس باستخدام الصيغة x = -b / 2a. يمكنك إيجاد إحداثي y للرأس بالتعويض عن قيمة x في المعادلة وإيجاد قيمة y. نظرًا لأن المعادلة بصيغة y = f (x) ، فأنت تقوم بحل f (-b / 2a) عندما تستبدل x بالقيمة -b / 2a.

مثال سيساعد في توضيح هذا.

y = f (x) = x ^ 2 - 10x + 16 هي الصيغة القياسية لمعادلة القطع المكافئ الذي ينفتح. الصيغة القياسية لهذه المعادلة هي y = ax ^ 2 + bx + c. أ هو معامل الحد x ^ 2 ويساوي 1. القطع المكافئ ينفتح لأن a = 1 موجب. الرأس هو الحد الأدنى للنقطة على القطع المكافئ.

تم العثور على معادلة القيمة x لرأس هذا القطع المكافئ باستخدام صيغة x = -b / 2a واستبدال 1 بقيمة و -10 للقيمة b للحصول على:
x = -b / 2a = - (- 10) / 2 = 10/2 = 5

قيمة x لرأس هذا القطع المكافئ هي 5.

لإيجاد قيمة y لرأس هذا القطع المكافئ ، استبدل x بـ 5 في المعادلة الأصلية وحل من أجل y.
لاحظ أن y = f (x) = x ^ 2 - 10x + 16 تصبح الآن:
y = f (5) = (5) ^ 2-10 * (5) + 16 الذي يصبح:
ص = و (5) = 25-50 + 16 = -25 + 16 = -9

لدينا قيمة x تساوي 5 وقيمة y تساوي -9 لرأس القطع المكافئ التي تساوي y = f (x) = x ^ 2 - 10x + 16.

وجدنا x = -b / 2a = 5 ووجدنا:
ص = و (-ب / 2 أ) = -9

نقطة إحداثيات (x، y) = (-b / 2a، f (-b / 2a)) تصبح (5، -9).

إذا نظرت إلى الرسم البياني لمعادلة y = x ^ 2 - 10x + 16 ، فسترى أن رأس هذه المعادلة هو (5 ، -9) كما هو موضح أدناه:


لقد وضعت خطًا أفقيًا عند y = -9 للمساعدة في إظهار ذلك بشكل أفضل.

يمكنك أيضًا أن ترى أن الرأس هو أدنى / أدنى نقطة على هذا القطع المكافئ.

إيجاد عمود بارابولا عندما تكون معادلة بارابولا في شكل قياسي ويفتح بارابولا يسارًا أو يمينًا.

يرجى ملاحظة أن القطع المكافئ الذي يفتح يسارًا أو يمينًا سيكون بالشكل القياسي:
x = ay ^ 2 + by + c بينما يكون القطع المكافئ الذي يفتح لأعلى أو لأسفل بالشكل القياسي:
ص = فأس ^ 2 + ب س + ج

في هذا القسم ، سنناقش القطع المكافئ الذي يكون على شكل:
x = ay ^ 2 + by + c

يرجى ملاحظة أيضًا أن القطع المكافئ على شكل:
يمكن أيضًا إظهار x = f (y) في شكل:
y = f (x) لكنها ستبدو مختلفة كثيرًا.

سيبدو مثل:
ص = +/-

يرجى ملاحظة أنه إذا كانت قيمة a سالبة ، فإن المصطلح الموجود أسفل علامة الجذر التربيعي سيكون سالبًا أيضًا.

خلاصة القول هي أنه لا يمكنك تفويتها. إذا كانت معادلة القطع المكافئ التي تفتح إلى اليسار أو اليمين ، وكانت على شكل y = f (x) ، فهناك جذر تربيعي على الجانب الأيمن من المعادلة وهو بالتأكيد ليس كذلك تبدو كالصيغة القياسية لمعادلة من الدرجة الثانية.

سنستمر في العمل على شكل x = f (y) للقطع المكافئ الذي يفتح على اليسار أو اليمين. ومع ذلك ، سيتعين علينا تحويلها إلى الصيغة y = f (x) عندما نرسمها بالرسم البياني.

يرجى ملاحظة أنه إذا كانت قيمة a موجبة ، فسيتم فتح القطع المكافئ جهة اليمين ، وإذا كانت قيمة a سالبة ، فسيتم فتح القطع المكافئ جهة اليسار.

الشكل القياسي لمعادلة القطع المكافئ الذي يفتح على اليسار أو اليمين هو:
x = ay ^ 2 + by + c

يمكن إيجاد قيمة y لرأس القطع المكافئ بالصيغة y = -b / 2a

بمجرد إيجاد قيمة y ، تعوض بهذه القيمة في المعادلة لإيجاد قيمة x.

الشكل المعمم لرأس القطع المكافئ الذي يفتح يسارًا أو يمينًا سيكون (f (-b / 2a) ، - b / 2a)

مثال سيساعد في توضيح هذا.

x = f (y) = y ^ 2 - 10y + 16 هي الصيغة القياسية لمعادلة القطع المكافئ المحدد الذي يفتح على اليمين. الصيغة العامة لهذه المعادلة هي x = ay ^ 2 + by + c. a هو معامل الحد y ^ 2 ويساوي 1. ينفتح القطع المكافئ إلى اليمين لأن a = 1 موجب.

يمكن إيجاد معادلة القيمة y لرأس هذا القطع المكافئ باستخدام صيغة y = -b / 2a واستبدال -10 بقيمة b و 1 للحصول على القيمة:
ص = - (- 10) / 2 = 10/2 = 5

قيمة y لرأس هذا القطع المكافئ هي 5.

لإيجاد قيمة x لرأس هذا القطع المكافئ ، استبدل y بـ 5 في المعادلة الأصلية وحل من أجل x.

x = f (y) = y ^ 2-10y + 16 تصبح الآن:
x = f (5) = (5) ^ 2-10 * (5) + 16 الذي يصبح:
س = و (5) = 25-50 + 16 = -25 + 16 = -9

لدينا قيمة y تساوي 5 وقيمة x تساوي -9 لرأس القطع المكافئ التي تساوي x = f (y) = y ^ 2 - 10y + 16.

وجدنا y = -b / 2a = 5 ووجدنا x = f (-b / 2a) = -9

نقطة إحداثيات (f (-b / 2a) ، - b / 2a) تصبح (-9،5).

إذا نظرت إلى الرسم البياني لمعادلة x = y ^ 2 - 10y + 16 ، فسترى أن رأس هذه المعادلة هو (-9،5) كما هو موضح أدناه:

ستلاحظ أيضًا أن الرسم البياني يفتح على اليمين لأن المصطلح "a" موجب.

النقاط المحورية في بارابولا التي تنفتح أو تنخفض

قبل أن نذهب إلى أبعد من ذلك ، أود أن أشير إلى شيء قد لا يكون واضحًا.

لقد قلبت اتجاه القطع المكافئ الذي ينفتح بضرب المعادلة بأكملها في (-1).
الفأس ^ 2 = bx + c أصبح -ax ^ 2 - bx - c.
أدى هذا بشكل أساسي إلى تحويل المعادلة إلى جذور تلك المعادلة.

إذا كنت تريد عكس اتجاه القطع المكافئ في الرأس ، فعليك القيام بما يلي:

افترض أن معادلتك الأصلية للقطع المكافئ الذي ينفتح هي 3x ^ 2 - 6x + 5 حيث:
أ = 3
ب = -6
ج = 5

أوجد الرأس عند (-b / 2a، f (-b / 2a)) = (1،2)

هذه هي النقطة التي تريد التركيز عليها إذا كنت تريد فتح القطع المكافئ العكسي لأسفل من نفس النقطة.

اضرب معادلتك في (-1) لتحصل على معادلة الاتجاه العكسي.
3 س ^ 2-6 س + 5 * (-1) = -3 س ^ 2 + 6 س - 5

معادلتك العكسية هي:
-3 س ^ 2 + 6 س - 5

احذف الحد c من -5 واستبدله باسم المتغير c لأنه غير معروف في هذا الوقت.

رأسك من المعادلة الأصلية لـ 3x ^ 2 - 6x + 5 هو (x، y) = (1،2).

في معادلتك العكسية -3x ^ 2 + 6x - c ، استبدل x بقيمة x الأصلية للرأس الخاص بك 1 وقم بتعيين المعادلة مساوية لقيمة y الأصلية للرأس الخاص بك 2 وحل من أجل c:

معادلتك العكسية لـ:
-3x ^ 2 + 6x + c يصبح:
-3 (1) ^ 2 + 6 * (1) + c = 2 والذي يصبح:
-3 + 6 + c = 2 ويصبح:
ج = -1

قيمة c الجديدة هي -1 مما يجعل معادلتك العكسية تساوي:
-3x ^ 2 + 6x - 1

المعادلة الأصلية هي:
3 × ^ 2 - 6 × + 5
والمعادلة العكسية هي:
-3x ^ 2 + 6x - 1

يظهر الرسم البياني لكل من المعادلة الأصلية والعكسية أدناه:


كما ترى ، فإن المعادلة العكسية أصبحت الآن محورية في الرأس.

محور تناظر بارابولا

إذا كان القطع المكافئ يشير لأعلى أو لأسفل ، فإن محور التناظر للقطع المكافئ هو القيمة x لقمة القطع المكافئ.

إذا كان القطع المكافئ يشير إلى اليسار أو اليمين ، فإن محور التناظر للقطع المكافئ هو القيمة y لقمة القطع المكافئ.

الرسم البياني للقطع المكافئ الذي كان يشير لأسفل برأس (5 ، -9) موضح أدناه. محور التناظر هو الخط الرأسي عند x = 5.


يظهر الرسم البياني للقطع المكافئ الذي كان يشير إلى اليسار برأس (-9،5) أدناه. محور التناظر هو الخط الأفقي عند y = 5


لمشاهدة صورة لمحور التماثل الرأسي والأفقي ، انقر فوق الارتباط التشعبي التالي.
محاور التماثل

شكل VERTEX من معادلة بارابولا التي تنفتح أو تنخفض

شكل رأس معادلة القطع المكافئ الذي يفتح لأعلى أو لأسفل هو y = a (x-h) ^ 2 + k حيث:

(ح ، ك) هو رأس القطع المكافئ.

h هو إحداثي x
k هو إحداثي y

أ هو معامل الحد (x-h) ^ 2.

عندما تكون a موجبة ، ينفتح القطع المكافئ.
عندما تكون a سالبة ، يفتح القطع المكافئ لأسفل.

يرجى ملاحظة أنه عند فتح القطع المكافئ ، يكون رأس القطع المكافئ هو أدنى نقطة على القطع المكافئ. وهي أيضًا النقطة الدنيا على القطع المكافئ لأن قيمة y عند هذه النقطة أقل من أي نقطة أخرى على القطع المكافئ.

يرجى ملاحظة أنه عندما يفتح القطع المكافئ لأسفل ، يكون رأس القطع المكافئ هو أعلى نقطة على القطع المكافئ. وهي أيضًا النقطة القصوى على القطع المكافئ لأن قيمة y عند هذه النقطة أكبر من أي نقطة أخرى على القطع المكافئ.

شكل VERTEX لمعادلة بارابولا يفتح لليسار أو لليمين

شكل رأس معادلة القطع المكافئ الذي يفتح يسارًا أو يمينًا هو x = a (y-k) ^ 2 + h حيث:

(ح ، ك) هو رأس القطع المكافئ.

h هو إحداثي x
k هو إحداثي y

أ هو معامل الحد (y-k) ^ 2.

عندما تكون a موجبة ، يفتح القطع المكافئ إلى اليمين.
عندما تكون a سالبة ، يفتح القطع المكافئ إلى اليسار.

يرجى ملاحظة أنه عندما يفتح القطع المكافئ إلى اليمين ، يكون رأس القطع المكافئ هو أقصى نقطة يسارًا على القطع المكافئ. وهي أيضًا النقطة الدنيا على القطع المكافئ لأن قيمة x عند هذه النقطة أقل من أي نقطة أخرى على القطع المكافئ.

يرجى ملاحظة أنه عندما يفتح القطع المكافئ إلى اليسار ، يكون رأس القطع المكافئ هو أقصى نقطة على القطع المكافئ. وهي أيضًا النقطة القصوى على القطع المكافئ لأن قيمة x عند هذه النقطة أكبر من أي نقطة أخرى على القطع المكافئ.

التحويل من الشكل القياسي لبارابولا إلى شكل فيرتيكس لبارابولا عندما يفتح بارابولا أو ينخفض

الصيغة القياسية لمعادلة فتح القطع المكافئ لأعلى أو لأسفل هي y = ax ^ 2 + bx + c
شكل قمة معادلة انفتاح القطع المكافئ لأعلى أو لأسفل هو y = a (x-h) ^ 2 + k

لنوضح لك كيف نقوم بالتحويل من الصيغة القياسية إلى صيغة الرأس ، سنستخدم مثالاً.

معادلتك في الشكل القياسي هي:
ص = 5 س ^ 2 + 30 س + 60 حيث:
أ = 5
ب = 30
ج = 60

بينما يمكن تبسيط هذا بشكل أكبر عن طريق القسمة على العامل المشترك 5 ، سنتركه كما هو لأغراض التوضيح لأننا نريد الاحتفاظ بالمصطلح "a" أكبر من 1 ولا نريد التعامل معه الكسور في المظاهرة.

نقوم باستخراج المصطلح "a" المكون من 5 للحصول على:

نكمل المربع على المصطلح (x ^ 2 + 6x) لنحصل على:
الذي يصبح:
الذي يصبح:

نقوم بإزالة الأقواس للحصول على:
الذي يصبح:


هذا الآن في شكل متجه حيث:
أ = 5
ح = (-3)
ك = 15

رأس هذه المعادلة هو (-3،15)

المعادلتان:
ومتكافئان.
لإثبات ذلك لنفسك ، اختر ببساطة أي قيمة لـ x وقم بتوصيلها بكلتا المعادلتين وسترى أنك تحصل على نفس الإجابة.
اخترت x = 7 وحصلت على 515 للمعادلة الأولى و 515 للمعادلة الثانية.

يظهر الرسم البياني لهذه المعادلة أدناه.

لقد وضعت كلا شكلي المعادلة في منشئ الرسم البياني بحيث إذا كان هناك اختلاف ، فستراه. إذا رأيت معادلة واحدة يتم رسمها ، فإن الشكلين متكافئين. هذه طريقة أخرى لإثبات أنها متكافئة وهي مشابهة لأخذ جسمين ووضعهما فوق بعضهما البعض لمعرفة ما إذا كانا متكافئين.

التحويل من نموذج VERTEX لـ PARABOLA إلى الشكل القياسي لـ PARABOLA عند فتح PARABOLA أو هبوطه

للتحويل من شكل رأس القطع المكافئ إلى الشكل القياسي للقطع المكافئ ، يمكنك ببساطة عكس العملية.

معادلتنا في شكل قمة الرأس هي:

نربّع الحد (x + 3) ونضربه في 5 لنحصل على:
الذي يصبح:
الذي يصبح:
وهي نفس المعادلة في الشكل القياسي.

التحويل من الشكل القياسي لبارابولا إلى شكل فيرتيكس لبارابولا عندما يفتح بارابولا يسارًا أو يمينًا

الصيغة القياسية لمعادلة فتح القطع المكافئ يسارًا أو يمينًا هي x = ay ^ 2 + by + c
شكل قمة معادلة انفتاح القطع المكافئ لأعلى أو لأسفل هو x = a (y-k) ^ 2 + h

لنوضح لك كيف نقوم بالتحويل من الصيغة القياسية إلى صيغة الرأس ، سنستخدم مثالاً.

معادلتك في الشكل القياسي هي:
س = 5y ^ 2 + 30y + 60 حيث:
أ = 5
ب = 30
ج = 60

بينما يمكن تبسيط هذا بشكل أكبر عن طريق القسمة على العامل المشترك 5 ، سنتركه كما هو لأغراض التوضيح لأننا نريد الاحتفاظ بالمصطلح "a" أكبر من 1 ولا نريد أن نضطر إلى التعامل مع الكسور في المظاهرة.

نقوم باستخراج المصطلح "a" المكون من 5 للحصول على:

نكمل المربع في المصطلح (y ^ 2 + 6y) للحصول على:
الذي يصبح:
الذي يصبح:

نزيل الأقواس للحصول على:
الذي يصبح:


هذا الآن في شكل متجه حيث:
أ = 5
ك = (-3)
ح = 15

رأس هذه المعادلة هو (15، -3)

معادلتا:
ومتكافئان.
لإثبات ذلك لنفسك ، اختر ببساطة أي قيمة لـ y وقم بتوصيلها في كلتا المعادلتين وسترى أنك تحصل على نفس الإجابة.
اخترت y = 7 وحصلت على 515 للمعادلة الأولى و 515 للمعادلة الثانية.

لرسم هذه المعادلة بالرسم البياني ، علينا تحويلها من x = f (y) إلى y = f (x) عن طريق إيجاد y.
معادلة:
يصبح:
ص = +/-

يظهر الرسم البياني لهذه المعادلة أدناه.


التحويل من نموذج VERTEX لـ PARABOLA إلى الشكل القياسي لـ PARABOLA عند فتح PARABOLA يسارًا أو يمينًا

للتحويل من شكل رأس القطع المكافئ إلى الشكل القياسي للقطع المكافئ ، يمكنك ببساطة عكس العملية.

معادلتنا في شكل قمة الرأس هي:

نربّع الحد (y + 3) ونضربه في 5 لنحصل على:
الذي يصبح:
الذي يصبح:
وهي نفس المعادلة في الشكل القياسي.

تركيز القطع المكافئ هو نقطة على محور تناظر القطع المكافئ وهي مسافة محددة من قمة القطع المكافئ. يقال أن النقطة داخل القطع المكافئ. إذا تم فتح القطع المكافئ ، تكون النقطة فوق القمة. إذا فتح القطع المكافئ لأسفل ، تكون النقطة أسفل الرأس. إذا انفتح القطع المكافئ إلى اليمين ، فإن النقطة تكون على يمين الرأس. إذا تم فتح القطع المكافئ إلى اليسار ، تكون النقطة على يسار الرأس.

دليل القطع المكافئ هو خط (وليس نقطة) عمودي على محور تناظر القطع المكافئ ولا يتقاطع مع القطع المكافئ. يقال أن هذا الخط خارج القطع المكافئ. إذا تم فتح القطع المكافئ ، يكون الدليل أسفل الرأس. إذا فتح القطع المكافئ لأسفل ، يكون الدليل أعلى الرأس. إذا تم فتح القطع المكافئ جهة اليمين ، فسيكون الدليل على يسار الرأس. إذا تم فتح القطع المكافئ إلى اليسار ، فسيكون الدليل على يمين الرأس.

العلاقة بين تركيز بارابولا وخلاصة بارابولا

التركيز هو نقطة داخل القطع المكافئ على محور تناظر القطع المكافئ.
الدليل هو خط خارج القطع المكافئ عمودي على محور تناظر القطع المكافئ.

المسافة بين التركيز وقمة القطع المكافئ هي نفس المسافة بين الرأس والدليل عند النقطة التي يتقاطع فيها الدليل مع محور التناظر.

هذه سمة مميزة للتركيز والمخرج للقطع المكافئ. هم في علاقة ثابتة مع بعضهم البعض.

دع F = نقطة التركيز على محور تناظر القطع المكافئ.
دع V = نقطة المتجه على محور تناظر القطع المكافئ.
دع D = نقطة تقاطع الدليل مع محور تناظر القطع المكافئ.

ما لدينا هو d = F-V = V-D.

لا يمكنك اختيار أي د.
لا يوجد سوى د واحد لكل قطع مكافئ يعمل.
هذا بسبب العلاقة الخاصة بين التركيز والمخرج وأي نقطة أخرى على القطع المكافئ التي سيتم مناقشتها قريبًا.

بمعنى آخر ، هناك معادلة تحدد المسافة بين التركيز والمتجه ، والمتجه والدليل.

الحرف "a" في الصيغة هو نفسه "a" الذي كنت تتعامل معه طوال الوقت.

في الصيغة القياسية للقطع المكافئ y = ax ^ 2 + bx + c ، هذا "a" هو معامل الحد x ^ 2.

في صيغة الرأس للقطع المكافئ y = a * (x-h) ^ 2 + k ، هذا "a" هو معامل الحد (x-h) ^ 2.

إذا عرفنا "a" ، فيمكننا إيجاد "d" بسبب هذه العلاقة الثابتة بينهما التي توفرها الصيغة.

مثال على العثور على بؤرة التركيز ونقطة تقاطع الرسم البياني مع محور تماثل بارابولا الذي يتم فتحه باستخدام الشكل القياسي لمعادلة بارابولا

الصيغة التي سنعمل بها هي في الشكل القياسي لـ y = ax ^ 2 + bx + c.
صيغتنا هي:
ص = 3 س ^ 2 + 24 س + 43 حيث:
أ = 3
ب = 24
ج = 43

صيغة المسافة بين التركيز والمتجه هي:
د = 1 / (4 أ)
بما أن a يساوي 3 ، فهذا يعني أن d = 1 / (3 * 4) = 1/12.

قيمة x للمتجه لهذه المعادلة هي -b / (2a) = -24 / (2 * 3) = -24/6 = -4.
تم العثور على قيمة y للمتجه لهذه المعادلة عن طريق استبدال x بـ 3 في معادلة y =:
3x ^ 2 + 24x + 43 لتحصل على:
3*(-4)^2 + 24*(-4) + 43 = 48 - 96 + 43 = -5
رأس هذا القطع المكافئ هو:
الخامس = (-4 ، -5)

نظرًا لأن هذا القطع المكافئ ينفتح (المصطلح "a" موجب) ، يكون التركيز فوق الرأس ويكون الدليل أسفل الرأس.

ينفتح القطع المكافئ ، لذا يكون التركيز فوق المتجه.
لها نفس قيمة x مثل المتجه.
إنها قيمة y هي قيمة y للمتجه زائد d.
في هذه الحالة ، قيمة y للمتجه هي -5 و d = 1/12. أضف 1/12 إلى -5 وستحصل على -5 + 1/12 وهو ما يعادل -60/12 + 1/12 والذي يساوي -59/12.

تقع نقطة تقاطع الدليل مع محور تناظر القطع المكافئ لدينا أسفل المتجه ونفس المسافة منه مثل البؤرة.
لها نفس قيمة x مثل المتجه.
إنها قيمة y هي قيمة y للمتجه ناقص d.
في هذه الحالة ، قيمة y للمتجه هي -5. اطرح 1/12 من -5 وستحصل على -5 - 1/12 وهو ما يعادل -60/12 - 1/12 وهو ما يساوي -61/12.

تركيزنا هو (-4، -59 / 12)
المتجه الخاص بنا في (-4 ، -60 / 12)
نقطة تقاطعنا المباشر مع محور التناظر هي (-4 ، -61 / 12)

مثال على العثور على التركيز ونقطة تقاطع الرسم البياني مع محور تماثل بارابولا الذي يتم فتحه باستخدام الشكل المتجه لمعادلة بارابولا

الصيغة القياسية لمعادلتنا هي y = ax ^ 2 = bx + c والتي تساوي:
ص = 3 س ^ 2 + 24 س + 43
الشكل المتجه لمعادلتنا هو y = a * (x-h) ^ 2 + k وهو ما يساوي:
ص = 3 * (س + 4) ^ 2-5

المتجه الخاص بنا هو (-4، -5)
د = 1 / (4 أ) = (1/12)

بمجرد أن نحصل على المتجه والمسافة بين البؤرة والمتجه ، فإن جميع الحسابات الأخرى هي نفسها.

بما أن d هي مسافة ، فإنها ستكون دائمًا موجبة.

إذا انفتح القطع المكافئ لأعلى أو لليمين ، فإن F = V + d
إذا انفتح القطع المكافئ لأسفل أو إلى اليسار ، فإن F = V - d

إذا تم فتح القطع المكافئ لأعلى أو لأسفل ، فإن قيمة y لـ F و V تتغير ، وقيمة x تظل كما هي (على محور التناظر).
إذا تم فتح القطع المكافئ يمينًا أو يسارًا ، فإن قيمة x لـ F و V تتغير ، وقيمة y تظل كما هي (على محور التناظر).

العلاقة بين أي نقطة على بارابولا والمسافة بين تلك النقطة والتركيز على بارابولا ، والمسافة بين تلك النقطة ومخطط بارابولا

المسافة بين البؤرة والرأس تساوي المسافة بين الرأس ونقطة التقاطع بين Directrix ومحور التناظر.
في صورة الرسم البياني أدناه ، d1a هي المسافة بين البؤرة والمتجه ، و d1b هي المسافة بين المتجه والتقاطع بين Directrix ومحور التناظر.

المسافة بين أي نقطة على الرسم البياني للقطع المكافئ والتركيز تساوي المسافة بين تلك النقطة والدليل.

المسافة بين تلك النقطة والتركيز هي خط مستقيم بين هاتين النقطتين.

المسافة بين هذه النقطة والدليل هي خط مستقيم رأسي بين تلك النقطة والدليل حيث يشكل تقاطع هذا الخط مع الدليل زاوية قائمة. بعبارة أخرى ، هذا الخط المستقيم العمودي يعتمد على الدليل عند نقطة التقاطع.

في صورة الرسم البياني أدناه ، d2a هي المسافة بين أي نقطة على الرسم البياني للقطع المكافئ ، و d2b هي المسافة بين تلك النقطة على القطع المكافئ ونقطة التقاطع على الدليل من خط عمودي يسقط من تلك النقطة.

التفاصيل التالية المتعلقة بالرسم البياني أدناه معروضة أدناه. تظهر أيضًا في صورة الرسم البياني أدناه.

الشكل القياسي لمعادلة القطع المكافئ:
ص = .125 * س ^ 2 + .125 * س - .375
شكل قمة معادلة القطع المكافئ:
ص = .125 * (س + .5) ^ 2 × .40625
قمة القطع المكافئ:
(س ، ص) = (-5 ، - .40625)
معامل الحد x ^ 2 و (x + .5) ^ 2 الحد:
أ = .125
المسافة من التركيز إلى الرأس:
d1a = 1 / (4a) = (1 / .5) = 2
المسافة من Vertex إلى Directrix:
d1b = 1 / (4a) = (1 / .5) = 2
محاور التماثل:
س = -.5
تركيز القطع المكافئ:
(س ، ص) = (-5 ، 1.59375)
مخرج Parabola:
ص = -2.40625
نقطة على القطع المكافئ:
(س ، ص) = (3 ، 1.125)
المسافة من النقطة إلى التركيز:
d2a = الجذر التربيعي ((3.5) ^ 2 + (-.46875) ^ 2) = الجذر التربيعي (12.46972656)
المسافة من نقطة إلى Directrix:
d2b = الجذر التربيعي (0 ^ 2 + (3.53125) ^ 2) = الجذر التربيعي (12.46972656)

هذا هو الرسم البياني لهذا القطع المكافئ.


لمشاهدة صورة هذا الرسم البياني مع التعليقات والمعلومات الوصفية ، انقر فوق الارتباط التشعبي التالي.

نشجعك على زيارة المراجع لعرض العديد من الأمثلة والمشكلات الموجودة هناك.


رسم المعادلات التربيعية باستخدام محور التناظر

حيث a و b و c كلها أرقام حقيقية و a & ne 0.

إذا استبدلنا 0 بـ y ، فسنحصل على دالة تربيعية

سيكون محور التناظر لهذا القطع المكافئ هو الخط x = & ناقص b 2 a. يمر محور التناظر عبر الرأس ، وبالتالي يكون تنسيق x للرأس هو & ناقص b 2 a. عوّض x = & ناقص b 2 a في المعادلة لإيجاد المحور y للرأس. عوّض عن عدد قليل من قيم x الأخرى في المعادلة للحصول على قيم y المقابلة ورسم النقاط. انضم إليهم وقم بتمديد القطع المكافئ.

ارسم القطع المكافئ y = x 2 & ناقص 7 x + 2.

قارن المعادلة بـ y = a x 2 + b x + c لإيجاد قيم a و b و c.

هنا ، أ = 1 ، ب = & ناقص 7 ، ج = 2.

استخدم قيم المعاملات لكتابة معادلة محور التناظر.

الرسم البياني لمعادلة تربيعية بالصيغة y = a x 2 + b x + c له محور التناظر الخط x = & ناقص b 2 a. إذن ، معادلة محور التماثل للقطع المكافئ المحدد هي x = & ناقص (& ناقص 7) 2 (1) أو x = 7 2.

عوّض x = 7 2 في المعادلة لإيجاد تنسيق y في الرأس.

إذن ، إحداثيات الرأس هي (٢ ٧ ، ناقص ٤١ ٤).

الآن ، عوض ببعض قيم x الأخرى في المعادلة للحصول على قيم y المقابلة.

x ص = س 2 & ناقص 7 س + 2
0 2
1 & ناقص 4
2 & ناقص 8
3 & ناقص 10
5 & ناقص 8
7 2

ارسم النقاط وانضم إليهم للحصول على القطع المكافئ.

ارسم القطع المكافئ y = & ناقص 2 x 2 + 5 x & ناقص 1.

قارن المعادلة بـ y = a x 2 + b x + c لإيجاد قيم a و b و c.

هنا ، أ = & ناقص 2 ، ب = 5 ، ج = & ناقص 1.

استخدم قيم المعاملات لكتابة معادلة محور التناظر.

الرسم البياني لمعادلة تربيعية بالصيغة y = a x 2 + b x + c له محور تناظر الخط x = & ناقص b 2 a. إذن ، معادلة محور التماثل للقطع المكافئ المحدد هي x = & ناقص (5) 2 (& ناقص 2) أو x = 5 4.

عوّض x = 5 4 في المعادلة لإيجاد تنسيق y في الرأس.

إذن ، إحداثيات الرأس هي (٤ ٥ ، ١٧ ٨).

الآن ، عوض ببعض قيم x الأخرى في المعادلة للحصول على قيم y المقابلة.

x ص = & ناقص 2 × 2 + 5 س & ناقص 1
& ناقص 1 & ناقص 8
0 & ناقص 1
1 2
2 1
3 & ناقص 4

ارسم النقاط وانضم إليهم للحصول على القطع المكافئ.

ارسم القطع المكافئ x = y 2 + 4 y + 2.

هنا ، x دالة في y. يفتح القطع المكافئ "جانبيًا" ويكون محور تناظر القطع المكافئ أفقيًا. الصيغة القياسية لمعادلة القطع المكافئ الأفقي هي x = a y 2 + b y + c حيث a و b و c كلها أعداد حقيقية و a & ne 0 ومعادلة محور التناظر هي y = & ناقص b 2 a.

قارن المعادلة بـ x = a y 2 + b y + c لإيجاد قيم a و b و c.

استخدم قيم المعاملات لكتابة معادلة محور التناظر.

الرسم البياني لمعادلة تربيعية بالصيغة x = a y 2 + b y + c له محور تناظر الخط y = & ناقص b 2 a. إذن ، معادلة محور التماثل للقطع المكافئ المحدد هي y = & ناقص 4 2 (1) أو y = & ناقص 2.

عوّض y = & ناقص 2 في المعادلة لإيجاد تنسيق x للرأس.

لذلك ، فإن إحداثيات الرأس هي (& ناقص 2 ، & ناقص 2).

الآن ، عوّض عن المزيد من قيم y في المعادلة للحصول على قيم x المقابلة.


فتح الموارد لكلية المجتمع الجبر

لقد تعلمنا كيفية حل معادلات تربيعية معينة باستخدام خاصية الجذر التربيعي. في هذا القسم ، سنتعلم طريقة أخرى ، الصيغة التربيعية.

الشكل 7.2.1. درس فيديو بديل

القسم الفرعي 7.2.1 حل المعادلات التربيعية بالصيغة التربيعية

الصيغة القياسية للمعادلة التربيعية هي

حيث (a ) هو رقم غير صفري.

عندما (b = 0 ) ويكون شكل المعادلة هو (ax ^ 2 + c = 0 text <،> ) يمكننا ببساطة استخدام خاصية الجذر التربيعي لحلها. على سبيل المثال ، يؤدي (x ^ 2-4 = 0 ) إلى (x ^ 2 = 4 text <،> ) مما يؤدي إلى (x = pm2 text <،> ) مجموعة حل من ( <- 2،2 > نص <.> )

لكن هل يمكننا حل المعادلات حيث (b neq0 text <؟> ) الطريقة العامة لحل المعادلة التربيعية هي استخدام ما يعرف بالصيغة التربيعية.

حقيقة 7.2.2. الصيغة التربيعية.

لأي معادلة من الدرجة الثانية (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) حيث (a neq0 text <،> ) يتم إعطاء الحلول بواسطة

كما رأينا من حل المعادلات التربيعية ، يمكن أن يكون هناك حلين على الأكثر. يتم تضمين كلا الحلين في الصيغة التربيعية برمز ( pm ). يمكننا كتابة الحلين بشكل منفصل:

ستعمل هذه الطريقة لحل المعادلات التربيعية على الحل كل معادلة من الدرجة الثانية. يكون أكثر فائدة عندما (b ne0 ).

مثال 7.2.3.

لينه في فصل فيزياء تطلق كرة تنس من فوق سطح ارتفاعه (90.2 ) قدمًا فوق سطح الأرض. يطلقونها مباشرة لأعلى بسرعة (14.4 ) قدم في الثانية ويقيسون الوقت الذي تستغرقه الكرة لتصل إلى الأرض تحتها. يمكننا نمذجة ارتفاع كرة التنس ، (h text <،> ) بالقدم ، بالمعادلة التربيعية (h = -16x ^ 2 + 14.4x + 90.2 text <،> ) حيث ( x ) يمثل الوقت بالثواني بعد الإطلاق. حسب النموذج ، متى تصطدم الكرة بالأرض؟ قرب الوقت لأقرب منزلة عشرية.

ارتفاع الأرض (0 ) قدم. استبدال (0 ) بـ (ح ) في المعادلة ، لدينا هذه المعادلة التربيعية:

لا يمكننا حل هذه المعادلة بخاصية الجذر التربيعي ، لذا سنستخدم الصيغة التربيعية. أولاً سوف نحدد أن ( تسليط الضوء نص <،> ) ( تسليط الضوء) و ( تسليط الضوء text <،> ) واستبدلها بالصيغة:

هذه هي الحلول الدقيقة ولكن نظرًا لأن لدينا سياقًا نريد تقريب الحلول بكسور عشرية.

يبدأ س أمبير حوالي 1.966 نص <أو> س حوالي 2.866 نهاية

لا نستخدم الحل السلبي لأن الوقت السالب لا معنى له في هذا السياق. ستصطدم الكرة بالأرض بعد حوالي (2.9 ) ثانية من إطلاقها.

يمكن استخدام الصيغة التربيعية لحل أي معادلة تربيعية ، لكنها تتطلب عدم القيام بذلك أي خطأ في تذكر الصيغة ، التي تحدد بشكل صحيح (a text <،> ) (b text <،> ) و (c text <،> ) وأنك لم تقم بعمل أي أخطاء حسابية عند الحساب والتبسيط. نوصيك بالتحقق دائمًا مما إذا كان يمكنك استخدام خاصية الجذر التربيعي قبل استخدام الصيغة التربيعية. هنا مثال آخر.

مثال 7.2.4.

حل من أجل (x ) في (2x ^ 2-9x + 5 = 0 text <.> )

أولاً ، نتحقق ونرى أنه لا يمكننا استخدام خاصية الجذر التربيعي (لأن (b neq0 )) لذلك سنستخدم الصيغة التربيعية. بعد ذلك نحدد أن ( نص <،> ) ( تسليط الضوء) و ( تسليط الضوء text <.> ) نستبدلها بالصيغة التربيعية:

هذا مبسط تمامًا لأننا لا نستطيع تبسيط ( sqrt <41> ) أو تقليل الكسر. مجموعة الحلول هي ( left < frac <9- sqrt <41>> <4>، frac <9+ sqrt <41>> <4> right > text <.> ) ليس لدينا سياق هنا لذلك نترك الحلول في شكلها الدقيق.

عندما لا تكون المعادلة التربيعية في الشكل القياسي ، يجب علينا تحويلها قبل أن نتمكن من تحديد قيم (a text <،> ) (b ) و (c text <.> ) سوف نظهر ذلك في المثال التالي.

مثال 7.2.5.

حل من أجل (x ) في (x ^ 2 = -10x-3 text <.> )

أولاً ، نقوم بتحويل المعادلة إلى شكل قياسي عن طريق إضافة (10x ) و (3 ) إلى كل جانب من جوانب المعادلة:

بعد ذلك ، نتحقق من أنه لا يمكننا استخدام خاصية الجذر التربيعي ، لذا سنستخدم الصيغة التربيعية. نحدد أن ( تسليط الضوء نص <،> ) ( تسليط الضوء) و ( تسليط الضوء text <.> ) نستبدلها بالصيغة التربيعية:

نلاحظ أنه يمكن تبسيط الجذر:

ملاحظة 7.2.6.

يمكن التحقق من الحلول غير المنطقية للمعادلات التربيعية ، على الرغم من أن القيام بذلك قد ينطوي في بعض الأحيان على الكثير من التبسيط ولا يظهر في هذا القسم. كمثال ، للتحقق من حل (- 5+ sqrt <22> ) من المثال 7.2.5 ، سنستبدل (x ) بـ (- 5+ sqrt <22> ) والتحقق أن طرفي المعادلة متساويان. يظهر هذا الشيك هنا:

عندما يكون الجذر من الصيغة التربيعية ، (b ^ 2-4ac text <،> ) الذي يسمى ال ، رقمًا سالبًا ، فليس للمعادلة التربيعية حل حقيقي. يوضح المثال 7.2.7 ما يحدث في هذه الحالة.

مثال 7.2.7.

حل من أجل (y ) في (y ^ 2-4y + 8 = 0 text <.> )

حدد هذا ( تسليط الضوء نص <،> ) ( تسليط الضوء) و ( تسليط الضوء text <.> ) سنقوم باستبدالها بالصيغة التربيعية:

الجذر التربيعي لعدد سالب ليس عددًا حقيقيًا ، لذلك سنذكر ببساطة أن هذه المعادلة ليس لها حلول حقيقية.

تؤدي المعادلة الجذرية أحيانًا إلى ظهور معادلة تربيعية ، وتكون الصيغة التربيعية مفيدة.

مثال 7.2.8.

حل من أجل (z ) في ( sqrt+ 2 = z نص <.> )

سنعزل الجذر أولًا ، ثم نربّع كلا الجانبين.

نظرًا لأننا قمنا بتربيع طرفي المعادلة ، يجب علينا التحقق من كلا الحلين.

اتضح أن (1 ) حل غريب ، لكن (4 ) حل صالح. إذن للمعادلة حل واحد: (4 نص <.> ) مجموعة الحل هي ( <4 > نص <.> )

مثال 7.2.9.

حل المعادلة ( sqrt <2n-6> = 1 + sqrt) لـ (n text <.> )

لا يمكننا عزل جذرين ، لذا سنربّع كلا الجانبين ، ثم نحاول لاحقًا عزل الجذر المتبقي.

لاحظ هنا أنه يمكننا ترك العامل (2 ) بجوار الجذر. سنقوم بتربيع (2 ) أيضًا.

لذا فإن الحلين المحتملين لدينا هما (3 ) و (11 نص <.> ) يجب علينا الآن التحقق من أنهما حلين حقًا.

إذن ، (11 ) هو الحل الوحيد. مجموعة الحلول هي ( <11 > نص <.> )

أسئلة القراءة 7.2.2 أسئلة القراءة

ما هي صيغة المميز؟ (جزء الصيغة التربيعية داخل الجذر.)

هل توجد أي أنواع من المعادلات التربيعية حيث لا تكون الصيغة التربيعية هي أفضل أداة لاستخدامها؟

بالنظر إلى المعادلة التربيعية ، هل ستظهر لك الصيغة التربيعية دائمًا حلين حقيقيين؟

تمارين 7.2.3 تمارين

مراجعة والاحماء

احسب التعبير ( displaystyle frac <1> <3> big (x + 4 big) ^ 2 - 2 ) عندما (x = -7 text <.> )

احسب التعبير ( displaystyle frac <1> <3> big (x + 4 big) ^ 2 - 7 ) عندما (x = -7 text <.> )

قم بتقييم التعبير (- 16t ^ <2> + 64t + 128 ) عندما (t = 3 text <.> )

قم بتقييم التعبير (- 16t ^ <2> + 64t + 128 ) عندما (t = -5 text <.> )

تقييم التعبير (> نص <:> )

تقييم التعبير (> نص <:> )

قم بتقييم كل تعبير جبري للقيمة (القيم) المحددة:

(displaystyle frac >- فارك text <،> ) لـ (x = 25 ) و (y = 10 text <:> )

قم بتقييم كل تعبير جبري للقيمة (القيم) المحددة:

( displaystyle frac <4 x> - frac < sqrt> <3 y> text <،> ) لـ (x = 25 ) و (y = -4 text <:> )


رائع! يبدو أن هناك الكثير من العمل ، أليس كذلك؟ إنه حقًا ليس سيئًا للغاية بمجرد القيام بذلك عدة مرات.

هل لاحظت كيف أن بعض المعلومات التي تعلمتها في الفصول السابقة تظهر مرة أخرى؟ على سبيل المثال ، تحدثنا عن صيغة الرأس عندما رسمنا وظائف تربيعية بيانيًا. تحدثنا أيضًا عن تقاطعات x وتقاطعات y عندما رسمنا معادلات خطية بالرسم البياني.

عندما رسمنا المعادلات الخطية بالرسم البياني ، تركنا y = 0 عندما كنا نحاول إيجاد تقاطع x وسمحنا لـ x = 0 عندما كنا نحاول إيجاد تقاطع y. لقد استخدمنا فقط نفس العملية للمعادلات التربيعية.

هذا ما أحبه في الجبر! أنت حقًا لا تنسى المفاهيم أبدًا لأنك تستخدمها مرارًا وتكرارًا.

نعم. هل أنت مستعد للنظر في مثال آخر؟ سنقوم برسم معادلة تربيعية قد لا تتمكن من تحليلها بسهولة. لإيجاد تقاطعات x ، سنستخدم الصيغة التربيعية بدلاً من التحليل.


رسم المعادلات التربيعية باستخدام التحليل

حيث a و b و c كلها أرقام حقيقية و a & ne 0.

إذا استبدلنا 0 بـ y ، فسنحصل على دالة تربيعية

النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور x ستكون حلول المعادلة ، أ س 2 + ب س + ج = 0. بمعنى ، إذا كان من الممكن تحليل الفأس متعدد الحدود 2 + bx + c إلى (x & ناقص p) (x & ناقص q) ، فإننا نعلم من خلال خاصية المنتج الصفرية أنه إذا (x & ناقص p) (x & ناقص q) = 0 ، إما (س & ناقص ع) = 0 أو (س & ناقص ف) = 0. ثم p و q هما حلا المعادلة أ س 2 + ب س + ج = 0 وبالتالي تقاطع س للمعادلة التربيعية.

نظرًا لأن x - تنسيق رأس القطع المكافئ هو بالضبط نقطة المنتصف للتقاطع x ، فإن x - تنسيق الرأس سيكون p & thinsp + & thinsp q 2.

يمكنك استخدام المحور x للرأس لإيجاد التنسيق y.

الآن لديك الرأس ونقطتان أخريان على القطع المكافئ (وهما x -intercepts). يمكنك استخدام هذه النقاط الثلاث لرسم الرسم البياني.

ارسم الدالة y = x 2 & ناقص 8 x + 12 باستخدام التحليل إلى عوامل.

قارن المعادلة بالصيغة القياسية ، y = a x 2 + b x + c. نظرًا لأن قيمة a موجبة ، يتم فتح القطع المكافئ.

حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل x 2 & ناقص 8 x + 12. حدد عددين مجموعهما & سالب 8 وحاصل ضربهما 12. الأرقام هي & ناقص 2 و & ناقص 6. أي x 2 & ناقص 8 x + 12 = (x & ناقص 2) (x & ناقص 6).

× 2 & ناقص 8 × + 12 = 0 & rArr (س & ناقص 2) (س & ناقص 6) = 0

لذلك ، من خلال خاصية المنتج الصفري ، إما (x & ناقص 2) = 0 أو (x & ناقص 6) = 0. ثم جذور المعادلة هي 2 و 6.

لذلك ، فإن مفاهيم x للدالة هي 6 و 2.

المحور x للرأس هو نقطة المنتصف في x -intercepts. إذن ، هنا سيكون تنسيق x للرأس هو 2 & thinsp + & thinsp 6 2 = 4.

عوّض x = 4 في المعادلة y = x 2 & ناقص 8 x + 12 لإيجاد تنسيق y للرأس.

أي أن إحداثيات الرأس هي (4 ، & ناقص 4).

الآن لدينا 3 نقاط (4 ، ناقص 4) ، (2 ، 0) و (6 ، 0) على القطع المكافئ. ارسم النقاط. انضم إليهم من خلال منحنى سلس وقم بتمديد القطع المكافئ.

ارسم الدالة y = & ناقص x 2 & ناقص 2 x + 8 باستخدام التحليل إلى عوامل.

قارن المعادلة بالصيغة القياسية ، y = a x 2 + b x + c. نظرًا لأن قيمة a موجبة ، يتم فتح القطع المكافئ.

حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل ، & ناقص x 2 & ناقص 2 x + 8.

& ناقص x 2 & ناقص 2 x + 8 = & ناقص 1 (x 2 + 2 x & ناقص 8)

حلل التعبير بين الأقواس إلى عوامل. حدد عددين مجموعهما 2 ويكون حاصل ضربهما ناقص 8. الأرقام هي 4 و & ناقص 2. أي × 2 + 2 س & ناقص 8 = (س + 4) (س & ناقص 2).

بعد ذلك ، تصبح الدالة المعطاة y = & minus (x + 4) (x & minus 2).

إذن ، y = 0 تعني ، من خلال خاصية المنتج الصفري ، x + 4 = 0 أو x & minus 2 = 0.

لذلك ، فإن مفاهيم x للرسم البياني هي & ناقص 4 و 2.

المحور x لقمة القطع المكافئ هو نقطة المنتصف في x -intercepts. إذن ، هنا سيكون تنسيق x للرأس & ناقص 4 & thinsp + & thinsp 2 2 = & ناقص 1.

عوّض x = & ناقص 1 في المعادلة y = & ناقص x 2 & ناقص 2 x + 8 لإيجاد تنسيق y للرأس.

إذن ، إحداثيات الرأس هي (ناقص 1 ، 9).

الآن لدينا 3 نقاط (& ناقص 1 ، 9) ، (& ناقص 4 ، 0) و (2 ، 0) على القطع المكافئ. ارسم النقاط. انضم إليهم من خلال منحنى سلس وقم بتمديد القطع المكافئ.


رسم وظائف تربيعية بيانية باستخدام التحويلات

لاحظ أن شكل [اللاتكس] f (x) = x ^ 2 [/ latex] مشابه للحرف U. وهذا ما يسمى القطع المكافئ. نصف القطع المكافئ هو صورة معكوسة للنصف الآخر. تسمى أدنى نقطة في هذا الرسم البياني بالرأس. يسمى الخط العمودي الذي يمر عبر الرأس خط الانعكاس. في حالة [latex] f (x) = x ^ 2 [/ latex] ، يكون هذا الخط هو ذ-محور. جميع الدوال التربيعية لها رسوم بيانية على شكل قطع مكافئ. ومع ذلك ، فإن قيم [لاتكس] أ [/ لاتكس] ، [لاتكس] ب [/ لاتكس] ، و [لاتكس] ج [/ لاتكس] تغير اتجاه وشكل وموضع الرسم البياني. أدناه ، سنناقش كيف يمكن لتغيير هذه القيم تحويل الرسم البياني.

كيف تؤثر [اللاتكس] أ [/ اللاتكس] في الرسم البياني لـ [اللاتكس] f (x) = ax ^ + bx + c [/ latex]

تخبرنا قيمة [اللاتكس] a [/ اللاتكس] ما إذا كان القطع المكافئ يفتح لأعلى ([اللاتكس] a & gt0 [/ اللاتكس]) أو للأسفل ([اللاتكس] a & lt0 [/ اللاتكس]). إذا كانت [latex] a [/ latex] موجبة ، فإن الرأس هو أدنى نقطة على الرسم البياني ويفتح الرسم البياني لأعلى. إذا كانت قيمة a سالبة ، فإن الرأس هو أعلى نقطة على الرسم البياني ويفتح الرسم البياني لأسفل.

تخبرنا قيمة [اللاتكس] أ [/ اللاتكس] أيضًا عن عرض الرسم البياني. عندما [لاتكس] | أ | & gt1 [/ لاتكس] سيظهر الرسم البياني أضيق من [لاتكس] f (x) = x ^ 2 [/ لاتكس]. عندما [لاتكس] | أ | & lt1 [/ لاتكس] سيظهر الرسم البياني أعرض من [لاتكس] و (س) = س ^ 2 [/ لاتكس]. في المثال التالي ، نوضح كيف سيؤثر تغيير قيمة [اللاتكس] أ [/ اللاتكس] على الرسم البياني للوظيفة.


MathHelp.com

ومع ذلك ، فإن الطريقة الوحيدة لمعرفة ما لدينا من دقة x - التقاطع ، وبالتالي الحل ، هو استخدام الجبر ، وجعل معادلة الخط مساوية للصفر ، وحل:

إذا كانت المعادلة الخطية شيئًا مثل ذ = 47x & ndash 103 ، من الواضح أننا سنواجه صعوبة كبيرة في تخمين الحل من الرسم البياني. قد نخمن أن ملف x -تقاطع قريب x = 2 ولكن ، رغم قربها ، لن يكون هذا صحيحًا تمامًا. سيكون الجبر هو الطريقة الوحيدة المؤكدة للحل.

تعتبر الدالة التربيعية أكثر فوضوية من الخط المستقيم ، فهي ترسم رسمًا بيانيًا على شكل قطع مكافئ متذبذب. إذا رسمنا القليل من غير x - نقاط التقاطع ثم ارسم خطًا متعرجًا من خلالها ، كيف نعرف ما إذا كنا قد حصلنا على x - اعتراضات قريبة من كونها صحيحة؟ نحن لا نفعل ذلك. الطريقة الوحيدة التي يمكننا من خلالها التأكد من x - التداخل هو ضبط المعادلة التربيعية على الصفر وحلها.

لكن بيت القصيد من & quotsolving من خلال الرسم البياني & quot هو أنهم لا يريدون منا أن نجري الجبر (الدقيق) الذي يريدون منا تخمينه من الصور الجميلة.

لذا & quotsolving بالرسم البياني & quot تميل إلى أن تكون لا & quotsolving & quot ولا & quotgraphing & quot. في تمرين نموذجي ، لن تقوم برسم أي شيء في الواقع ، ولن تقوم بأي حل.بدلاً من ذلك ، يُطلب منك تخمين الأرقام من الرسم البياني المطبوع. وإلا ، إذا & quot استخدام التكنولوجيا & quot ، يُطلب منك الضغط على بعض الأزرار على آلة حاسبة الرسوم البيانية الخاصة بك وإلقاء نظرة على الصورة الجميلة ، ثم يُطلب منك الضغط على بعض الأزرار الأخرى حتى يتمكن البرنامج من حساب عمليات الاعتراض.

أظن أن المعلمين يحاولون مساعدتك في رؤية العلاقة بينهما x - مفاهيم الرسوم البيانية وحلول المعادلات. لكن المفهوم يميل إلى الضياع في كل الضغط على الزر.

حسنًا ، كفى من صراختي.

لحلها عن طريق الرسوم البيانية ، قد يعطينا الكتاب رسمًا بيانيًا أنيقًا للغاية ، ربما مع تسمية بضع نقاط على الأقل. سيطلب منا الكتاب تحديد النقاط التي تمثل الحلول على الرسم البياني. وبخلاف ذلك ، ستعطينا المعادلة التربيعية وسنستخدم الآلة الحاسبة الخاصة بالرسوم البيانية لإيجاد الإجابة. نظرًا لأن نماذج الآلة الحاسبة المختلفة لها تسلسلات مفاتيح مختلفة ، لا يمكنني إعطاء تعليمات حول كيفية & اقتباس التكنولوجيا & quot للعثور على الإجابات التي ستحتاج إليها للرجوع إلى دليل المالك لأي آلة حاسبة تستخدمها (أو & quot ملف التعليمات & quot لأي جدول بيانات أو برنامج آخر الذي تستخدمه). سأقدم فقط بعض الأمثلة عن كيفية الحل من الصورة المعطاة لك.

يحل x 2 و - 8x + 15 = 0 باستخدام الرسم البياني التالي.

المعادلة التي أعطوني لحلها هي:

تُظهر الصورة التي قدموها لي الرسم البياني للدالة التربيعية ذات الصلة:

ال x - مفاهيم الرسم البياني للوظيفة تتوافق مع المكان ذ = 0. النقطة هنا هي أنني بحاجة إلى إلقاء نظرة على الصورة (على أمل أن تتقاطع النقاط بالفعل مع الأعداد الصحيحة ، كما تبدو) ، وأقرأ x - مفاهيم الرسم البياني (ومن ثم حلول المعادلة) من الصورة.

يبدو أن الرسم البياني يتقاطع مع x -المحور في x = 3 وفي x = 5 يجب أن أفترض أن الرسم البياني دقيق وأن ما يبدو كقيمة عدد صحيح هو واحد في الواقع. لذا فإن جوابي هو:

نظرًا لأنهم قدموا المعادلة التربيعية في التمرين أعلاه ، يمكنني التحقق من الحل باستخدام الجبر. العوامل التربيعية المعطاة ، والتي تعطيني:

الآن أنا أعرف أن الحلول عبارة عن قيم عدد صحيح. يمكن أن يوحي الرسم البياني بالحلول ، لكن الجبر فقط هو المؤكّد والدقيق.

حل من الرسم البياني التالي.

بالنسبة لهذه الصورة ، قاموا بتسمية مجموعة من النقاط. جزئيًا ، كان من المفترض أن يكون هذا مفيدًا ، لأن ملف x - الاعتراضات فوضوية ، لذا لم أستطع تخمين قيمها بدون التسميات. لكن في الغالب كان هذا أملاً في إرباكي ، في حال نسيت ذلك فقط x -التداخلات ، وليس الرؤوس أو ذ -المفاهيم ، تتوافق مع & quotsolutions & quot.

النقطة ب هي ذ - اعتراض (لأن x = 0 لهذه النقطة) ، لذا يمكنني تجاهل هذه النقطة. يبدو أن النقطة C هي الرأس ، لذا يمكنني تجاهل هذه النقطة أيضًا. النقطتان A و D على x -محور (لأن ذ = 0 لهذه النقاط). لذلك يمكنني أن أفترض أن ملف x - تعطيني قيم هذه النقاط الرسومية قيم الحل للمعادلة التربيعية ذات الصلة.

نظرًا لأنهم قدموا المعادلة بالإضافة إلى الرسم البياني للدالة ذات الصلة ، فمن الممكن التحقق من الإجابة باستخدام الجبر. لكن الهدف هنا هو التأكيد على أن الطالب يعرف أي النقاط هي x - يعترض ، ويعرف أن هذه التداخلات على الرسم البياني هي حلول المعادلة ذات الصلة.

ابحث عن حلول المعادلة التربيعية من الرسم البياني التالي:

A = (& ndash2.1429، 0)، B = (2.8، 0)، C = (0.3286 & ndash3.0540)، D = (0، & ndash3)

لم يعطوني معادلة تربيعية لحلها ، لذا لا يمكنني التحقق من عملي جبريًا. لقد أعطوني فقط صورة القطع المكافئ التي تم إنشاؤها بواسطة الوظيفة التربيعية ذات الصلة ، والتي من المفترض أن أقارب منها x - التداخلات ، وهو سؤال مختلف حقًا. لكني أعرف ماذا يقصدون.

يمكنني تجاهل النقطة التي ربما تكون الرأس (النقطة C). يمكنني تجاهل النقطة التي هي ذ - التقاطع (النقطة د). لذلك سأنتبه فقط إلى x -المعترضات ، حيث تكون تلك النقاط حيث ذ يساوي الصفر. لذا فإن جوابي هو:

يعد حل المعادلات التربيعية عن طريق الرسوم البيانية أمرًا سخيفًا من حيث & quot ؛ الحياة الواقعية & quot ؛ ويتطلب أن تكون الحلول هي الحلول البسيطة من نوع العوملة مثل & quot x = 3 & quot ، بدلاً من شيء مثل & quot x = & ndash4 + sqrt (7) & quot. بعبارة أخرى ، عليهم إما & اقتباس & اقتباس الإجابات (ب تسمية الرسم البياني) ، أو عليهم أن يطلبوا منك الحلول التي كان من الممكن أن تجدها بسهولة عن طريق التخصيم.

حول الشيء الوحيد الذي يمكنك الحصول عليه من هذا الموضوع هو تعزيز فهمك للعلاقة بين حلول المعادلات و x - مفاهيم الرسوم البيانية للوظائف أي حقيقة أن حلول & quot (بعض كثيرة الحدود) تساوي (صفر) & quot تتطابق مع x - مفاهيم الرسم البياني لـ & quot ذ يساوي (نفس كثير الحدود) & quot. إذا توصلت إلى فهم لهذا المفهوم ، فستعرف أفضل وقت لاستخدام آلة حاسبة الرسوم البيانية أو أي برنامج رسوم بياني آخر لمساعدتك في حل كثيرات الحدود العامة ، أي عندما لا تكون قابلة للتحليل. وستفهم كيفية عمل تخمينات أولية وتقريبًا للحلول من خلال النظر إلى الرسم البياني ، والمعرفة التي يمكن أن تكون مفيدة جدًا في الفصول اللاحقة ، عندما تعمل مع برنامج للعثور على حلول تقريبية وحصرية ومثلية.

لكن في الممارسة العملية ، بالنظر إلى معادلة تربيعية لحلها في فصل الجبر ، لا يجب أن تبدأ برسم رسم بياني. الأمر الذي يطرح السؤال التالي: لأي طريقة تربيعية ، أي طريقة ينبغي استخدام واحد لحلها؟


شاهد الفيديو: رسم الشبكة البيانية المتعامدة الشبكة التربيعية فى الوورد - بدون برامج (شهر نوفمبر 2021).