مقالات

10.5: تطبيق لتقريب فورييه - الرياضيات


إذا كان (U ) أساسًا متعامدًا لمساحة متجه (V ) ، فإن نظرية التوسع (نظرية [thm: 030904]) تقدم متجهًا (v في V ) كمجموعة خطية من المتجهات في (U ). بالطبع هذا يتطلب أن المجموعة (U ) محدودة لأن التركيبة الخطية بخلاف ذلك هي مجموع لا نهائي ولا معنى لها في (V ).

ومع ذلك ، بالنظر إلى مجموعة متعامدة لانهائية (U = { vect {f} _1، vect {f} _2، dots، vect {f} _n، dots } ) ، يمكننا استخدام نظرية التوسيع لـ ( { vect {f} _1، vect {f} _2، dots، vect {f} _n } ) لكل (n ) للحصول على سلسلة من "التقديرات التقريبية" ( vect {v} _n ) لمتجه معين ( vect {v} ). السؤال الطبيعي هو ما إذا كانت هذه ( vect {v} _n ) تقترب أكثر فأكثر من ( vect {v} ) مع زيادة (n ). تبين أن هذه فكرة مثمرة للغاية.

في هذا القسم سنبحث في مجموعة متعامدة مهمة في الفراغ ( vectspace {C} [- pi، pi] ) من الدوال المستمرة على الفاصل ([- pi، pi] ) ، باستخدام المنتج الداخلي. [ langle f، g rangle = int _ {- pi} ^ { pi} f (x) g (x) dx ] بالطبع ، ستكون هناك حاجة لحساب التفاضل والتكامل. المجموعة المتعامدة المعنية هي [ {1، sin x، cos x، sin (2x)، cos (2x)، sin (3x)، cos (3x)، dots } ]

تعطي التقنيات القياسية للتكامل [ begin {align} vectlength 1 vectlength ^ 2 & = int _ {- pi} ^ { pi} 1 ^ 2 dx = 2 pi vectlength sin kx vectlength ^ 2 & = int _ {- pi} ^ { pi} sin ^ 2 (kx) dx = pi quad mbox {for any} k = 1، 2، 3، dots vectlength cos kx vectlength ^ 2 & = int _ {- pi} ^ { pi} cos ^ 2 (kx) dx = pi quad mbox {for any} k = 1، 2، 3، النقاط end {align} ] نترك التحقق للقارئ ، جنبًا إلى جنب مع مهمة إظهار أن هذه الوظائف متعامدة: [ langle sin (kx) ، sin (mx) rangle = 0 = langle cos (kx) ، cos (mx) rangle quad mbox {if} k neq m ] و [ langle sin (kx) ، cos (mx) rangle = 0 quad mbox {for all} k geq 0 mbox {and} m geq 0 ] (لاحظ أن (1 = cos (0x) ) ، لذلك تم تضمين الدالة الثابتة (1 ).)

حدد الآن المساحة الفرعية التالية لـ ( vectspace {C} [- pi، pi] ): [F_n = func {span} {1، sin x، cos x، sin (2x) ، cos (2x)، dots، sin (nx)، cos (nx) } ] الهدف هو استخدام نظرية التقريب (Theorem [thm: 031150]) ؛ لذلك ، بالنظر إلى الوظيفة (f ) في ( vectspace {C} [- pi ، pi] ) ، حدد معاملات فورييه من (f ) بواسطة [ البدء {محاذاة} a_0 & = frac { langle f (x)، 1 rangle} { vectlength 1 vectlength ^ 2} = frac {1} {2 pi } int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx a_k & = frac { langle f (x)، cos (kx) rangle} { vectlength cos (kx) vectlength ^ 2} = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) cos (kx) dx quad k = 1، 2، dots b_k & = frac { langle f (x)، sin (kx) rangle} { vectlength sin (kx) vectlength ^ 2} = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) sin (kx) dx quad k = 1، 2، dots end {align} ] ثم تعطي نظرية التقريب (Theorem [thm: 031150]) النظرية [thm: 032777] .

032777 لنفترض أن (f ) أي دالة مستمرة ذات قيمة حقيقية محددة في الفاصل ([- pi، pi] ). إذا كان (a_ {0} ) ، (a_ {1} ) ، ( dots ) ​​، و (b_ {0} ) ، (b_ {1} ) ، ( dots ) هي معاملات فورييه لـ (f ) ، ثم تُعطى (n geq 0 ) ، [f_n (x) = a_0 + a_1 cos x + b_1 sin x + a_2 cos (2x) + b_2 sin (2x) + dots + a_n cos (nx) + b_n sin (nx) ] هي دالة في (F_ {n} ) الأقرب إلى (f ) بمعنى أن [ vectlength f - f_n vectlength leq vectlength f - g vectlength ] يحمل كل الوظائف (g ) في (F_ {n} ).

الوظيفة (f_ {n} ) تسمى (n ) th تقريب فورييه للوظيفة (و ).

032790 أوجد تقريب فورييه الخامس للدالة (f (x) ) المعرفة في ([- pi، pi] ) كما يلي: [f (x) = left { begin {array} {ll} pi + x & mbox {if} - pi leq x <0 pi - x & mbox {if} 0 leq x leq pi end {array} right . ]

l5 سم

يظهر الرسم البياني لـ (y = f (x) ) في الرسم التخطيطي العلوي. معاملات فورييه تحسب على النحو التالي. تم حذف تفاصيل عمليات الدمج (عادةً حسب الأجزاء).

[ start {align} a_0 & = frac {1} {2 pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx = frac { pi} {2} ٪ الصف 2 a_k & = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) cos (kx) dx = frac {2} { pi k ^ 2} [ 1 - cos (k pi)] = left { begin {array} {ll} 0 & mbox {if} k mbox {حتى} frac {4} { pi k ^ 2 } & mbox {if} k mbox {is odd} end {array} right. ٪ row 3 b_k & = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) sin (kx) dx = 0 quad mbox {for all} k = 1 ، 2 ، نقاط نهاية {محاذاة} ]

ومن ثم فإن تقريب فورييه الخامس هو [f_5 (x) = frac { pi} {2} + frac {4} { pi} left { cos x + frac {1} {3 ^ 2} cos (3x) + frac {1} {5 ^ 2} cos (5x) right } ] تم رسم هذا في المخطط الأوسط وهو بالفعل تقريب معقول لـ (f (x) ). وبالمقارنة ، تم أيضًا رسم (f_ {13} (x) ) في الرسم التخطيطي السفلي.

نقول أن الوظيفة (f ) هي دالة زوجية إذا (f (x) = f (-x) ) مناسب للجميع (x ) ؛ (f ) يسمى وظيفة غريبة إذا كان (f (-x) = -f (x) ) مناسبًا للجميع (x ). من أمثلة الدوال الزوجية الدوال الثابتة ، القوى الزوجية (x ^ {2} ) ، (x ^ {4} ) ، ( dots ) ​​، و ( cos (kx) ) ؛ تتميز هذه الوظائف بحقيقة أن الرسم البياني لـ (y = f (x) ) متماثل حول المحور (y ). من أمثلة الدوال الفردية القوى (x ) و (x ^ {3} ) و ( dots ) ​​و ( sin (kx) ) حيث (k> 0 ) ، والرسم البياني لـ (y = f (x) ) متماثل حول الأصل إذا كان (f ) غريبًا. تنبع فائدة هذه الوظائف من حقيقة أن [ begin {array} {ll} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx = 0 & mbox {if} f mbox {هو odd} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx = 2 int_ {0} ^ { pi} f (x) dx & mbox {if} f mbox {حتى } end {array} ] هذه الحقائق غالبًا ما تبسط حسابات معاملات فورييه. على سبيل المثال:

  1. معامِلات فورييه الجيبية (b_ {k} ) تختفي جميعها إذا كان (f ) زوجيًا.
  2. معامِلات فورييه لجيب التمام (a_ {k} ) تختفي جميعها إذا كان (f ) غريبًا.

هذا لأن (f (x) sin (kx) ) غريب في الحالة الأولى و (f (x) cos (kx) ) غريب في الحالة الثانية.

من السهل إنشاء الدوال (1 ) و ( cos (kx) ) و ( الخطيئة (kx) ) التي تحدث في تقريب فورييه لـ (f (x) ) باعتبارها الجهد الكهربائي (عندما يحين الوقت). من خلال جمع هذه الإشارات (مع السعات المعطاة بواسطة معاملات فورييه) ، من الممكن إنتاج إشارة كهربائية مع (التقريب إلى) (f (x) ) مثل الجهد. ومن ثم تلعب تقديرات فورييه هذه دورًا أساسيًا في الإلكترونيات.

أخيرًا ، تصبح تقديرات فورييه (f_ {1} ، f_ {2} ، النقاط ) للدالة (f ) أفضل وأفضل مع زيادة (n ). السبب هو أن المسافات الفرعية (F_ {n} ) تزيد: [F_1 subseteq F_2 subseteq F_3 subseteq cdots subseteq F_n subseteq cdots ] لذا ، لأن (f_n = proj {F_n} {f} ) ، نحصل على (انظر المناقشة التالية المثال [exa: 031164]) [ vectlength f - f_1 vectlength geq vectlength f - f_2 vectlength geq cdots geq vectlength f - f_n vectlength geq cdots ] هذه الأرقام ( vectlength f - f_ {n} vectlength ) تقترب من الصفر ؛ في الواقع ، لدينا النظرية الأساسية التالية.

032829 لنفترض أن (f ) أي دالة مستمرة في (C [- pi، pi] ). ثم [f_n (x) mbox {النهج} f (x) mbox {for all} x mbox {such that} - pi

يُظهر أن (f ) لها تمثيل كسلسلة لا نهائية تسمى سلسلة فورييه من (f ): [f (x) = a_0 + a_1 cos x + b_1 sin x + a_2 cos (2x) + b_2 sin (2x) + cdots ] كلما (- pi

وبالتالي فإن سلسلة فورييه للدالة (f ) في المثال [exa: 032790] هي [f (x) = frac { pi} {2} + frac {4} { pi} left { cos x + frac {1} {3 ^ 2} cos (3x) + frac {1} {5 ^ 2} cos (5x) + frac {1} {7 ^ 2} cos (7x ) + cdots right } ] منذ (f (0) = pi ) و ( cos (0) = 1 ) ، أخذ (x = 0 ) يؤدي إلى السلسلة [ frac { pi ^ 2} {8} = 1 + frac {1} {3 ^ 2} + frac {1} {5 ^ 2} + frac {1} {7 ^ 2} + cdots ]

032840 وسّع (f (x) = x ) على الفاصل ([- pi، pi] ) في سلسلة فورييه ، ومن ثم احصل على توسيع سلسلة ( frac { pi} {4} ).

هنا (f ) دالة فردية لذا فإن جميع معاملات فورييه لجيب التمام (a_ {k} ) هي صفر. بالنسبة لمعاملات الجيب: [b_k = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ { pi} x sin (kx) dx = frac {2} {k} (- 1 ) ^ {k + 1} quad mbox {for} k geq 1 ] حيث نحذف تفاصيل التكامل حسب الأجزاء. ومن ثم فإن سلسلة فورييه لـ (x ) هي [x = 2 [ sin x - frac {1} {2} sin (2x) + frac {1} {3} sin (3x) - frac {1} {4} sin (4x) + dots] ] لـ (- pi

تمارين ل 1

حلول

2

[مثال: 10_5_1] في كل حالة ، ابحث عن تقريب فورييه (f_ {5} ) للدالة المحددة في ( vectspace {C} [- pi، pi] ).

  1. (و (س) = بي - س )
  2. (f (x) = | x | = left { start {array} {rl} x & mbox {if} 0 leq x leq pi -x & mbox {if} - pi leq x <0 end {array} right. )
  3. (و (س) = س ^ 2 )
  4. (f (x) = left { begin {array} {rl} 0 & mbox {if} - pi leq x <0 x & mbox {if} 0 leq x leq pi end {array} right. )
  1. ( displaystyle frac { pi} {2} - frac {4} { pi} leftB cos x + frac { cos 3x} {3 ^ 2} + frac { cos 5x} { 5 ^ 2} rightB )
  2. ( displaystyle frac { pi} {4} + leftB sin x - frac { sin 2x} {2} + frac { sin 3x} {3} - frac { sin 4x} { 4} + frac { sin 5x} {5} rightB )

    ( displaystyle - frac {2} { pi} leftB cos x + frac { cos 3x} {3 ^ 2} + frac { cos 5x} {5 ^ 2} rightB )

  1. ابحث عن (f_ {5} ) للدالة الزوجية (f ) على ([- pi ، pi] ) مرضي (f (x) = x ) لـ (0 leq x leq pi ).
  2. ابحث عن (f_ {6} ) للدالة الزوجية (f ) على ([- pi، pi] ) مرضي (f (x) = sin x ) لـ (0 leq x leq pi ).

    [تلميح: If (k> 1 )، ( int sin x cos (kx) = frac {1} {2} leftB frac { cos [(k - 1) x]} { ك - 1} - frac { cos [(k + 1) x]} {k + 1} rightB ).]

  1. ( displaystyle frac {2} { pi} - frac {8} { pi} leftB frac { cos 2x} {2 ^ 2 - 1} + frac { cos 4x} {4 ^ 2 - 1} + frac { cos 6x} {6 ^ 2 - 1} rightB )
  1. أثبت أن ( int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx = 0 ) إذا كان (f ) غريبًا وأن ( int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx = 2 int_ {0} ^ { pi} f (x) dx ) إذا كان (f ) زوجيًا.
  2. أثبت أن ( frac {1} {2} [f (x) + f (-x)] ) زوجي وأن ( frac {1} {2} [f (x) - f (-x )] ) هو أمر غريب لأي دالة (f ). لاحظ أنها مجموعها (f (x) ).

بيّن أن ( {1، cos x، cos (2x)، cos (3x)، dots } ) مجموعة متعامدة في ( vectspace {C} [0، pi] ) فيما يتعلق بالمنتج الداخلي ( langle f، g rangle = int_ {0} ^ { pi} f (x) g (x) dx ).

( int cos kx cos lx dx )
(= frac {1} {2} leftB frac { sin [(k + l) x]} {k + l} - frac { sin [(k - l) x]} {k - l} rightB_0 ^ { pi} = 0 ) بشرط أن (k neq l ).

  1. أظهر أن ( frac { pi ^ 2} {8} = 1 + frac {1} {3 ^ 2} + frac {1} {5 ^ 2} + cdots ) ​​باستخدام التمرين [مثال: 10_5_1 ](ب).
  2. أظهر أن ( frac { pi ^ 2} {12} = 1 - frac {1} {2 ^ 2} + frac {1} {3 ^ 2} - frac {1} {4 ^ 2} + cdots ) ​​باستخدام التمرين [مثال: 10_5_1] (ج).

  1. الاسم يكرم عالم الرياضيات الفرنسي ج. فورييه (1768-1830) الذي استخدم هذه التقنيات عام 1822 لفحص التوصيل الحراري في المواد الصلبة

مقدمة تفاعلية لتحويلات فورييه

تحويلات فورييه هي أداة تستخدم في مجموعة كاملة من الأشياء المختلفة. هذا شرح لما يفعله تحويل فورييه ، وبعض الطرق المختلفة التي يمكن أن تكون مفيدة. وكيف يمكنك صنع أشياء جميلة بها ، مثل هذا الشيء:

سأشرح كيف تعمل هذه الرسوم المتحركة ، وعلى طول الطريق أشرح تحولات فورييه!

في النهاية يجب أن يكون لديك فكرة جيدة عن

  • ماذا يفعل تحويل فورييه
  • بعض الاستخدامات العملية لتحويلات فورييه
  • بعض الاستخدامات غير المجدية ولكن الرائعة لتحويلات فورييه

سنترك الرياضيات والمعادلات خارجها في الوقت الحالي. هناك مجموعة من الرياضيات المثيرة للاهتمام وراءها ، ولكن من الأفضل أن تبدأ بما تفعله بالفعل ، ولماذا تريد استخدامها أولاً. إذا كنت تريد معرفة المزيد حول كيفية القيام بذلك ، فهناك بعض اقتراحات القراءة الإضافية أدناه!


10 مقالات رياضية عن التقريب في التحليل والطوبولوجيا

يجمع هذا الكتاب 10 مقالات رياضية حول التقريب في التحليل والطوبولوجيا من قبل بعض علماء الرياضيات الأكثر تأثيرًا في الثلث الأخير من القرن العشرين. إلى جانب الأوراق التي تحتوي على النتائج النهائية للغاية في كل مجال من مجالات تخصصهم ، يتضمن العديد منها أيضًا سلسلة من الملاحظات التاريخية حول حالة الرياضيات في الوقت الذي وجدوا فيه نتائجهم الأكثر شهرة ، بالإضافة إلى بعض الظروف الشخصية التي نشأت عنها. ، مما يجعل الكتاب جذابًا بشكل خاص لجميع العلماء المهتمين بهذه المجالات ، من المبتدئين إلى الخبراء. يجب أن تسعد هذه القطع الجوهرة من التاريخ الرياضي للعديد من الأجيال القادمة من علماء الرياضيات ، الذين سيستمتعون ببعض الرياضيات الأكثر إثمارًا في الثلث الأخير من القرن العشرين التي قدمها مؤلفوهم.

يغطي هذا الكتاب مجموعة واسعة من النتائج الرياضية الجديدة. من بينها ، الخصائص الأكثر تقدمًا للإصدارات الضعيفة جدًا من مبدأ الحد الأقصى الكلاسيكي ، والنتائج الأخيرة على نظرية التشعب العالمي ، والتعددية الجبرية ، والاعتمادات العامة لحلول مشاكل القيمة الحدودية فيما يتعلق بالاختلافات في المجالات الأساسية ، وأعمق النتائج المتاحة في المخططات الرتيبة السريعة المطبقة على حل مشاكل القيمة الحدودية غير الخطية ، ينتج عن التاريخ الداخلي لنشأة أول استمرار عالمي عام في سياق الحلول الدورية للأنظمة الدورية غير الخطية ، وكذلك نشأة المصادفة بعض التطبيقات الجديدة للدرجة الطوبولوجية للتأكد من ثبات الحلول الدورية لبعض العائلات الكلاسيكية للمعادلات الدورية من الدرجة الثانية ،
حل عدد من التخمينات المتعلقة ببعض مشاكل التقريب الشهيرة جدًا في الطوبولوجيا والمشكلات العكسية ، بالإضافة إلى عدد من التطبيقات في الهندسة ، وهي مناقشة حادة للغاية لمشكلة تقريب المسافات الطوبولوجية بواسطة متعددات الوجوه باستخدام تقنيات مختلفة تعتمد على الأنظمة العكسية ، فضلا عن توسعات homotopy ، و the Bishop-Phelps theorem.

- يحتوي على عدد من المساهمات الأساسية من قبل بعض علماء الرياضيات الرائدين في العالم في النصف الثاني من القرن العشرين.

- تغطي الأوراق مجموعة كاملة من الموضوعات ، من التاريخ الداخلي للرياضيات المعنية إلى آخر التطورات في المعادلات التفاضلية والمشكلات العكسية والتحليل والتحليل غير الخطي والطوبولوجيا.

- جميع الأوراق المساهمة هي أعمال قائمة بذاتها تحتوي على قائمة كاملة من المراجع حول كل موضوع من الموضوعات التي يتم تناولها.

- يحتوي الكتاب على بعض النتائج الأخيرة المتعلقة بالمبدأ الأقصى ، ونظرية المخططات أحادية اللون في المسائل غير الخطية ، ونظرية التعددية الجبرية ، ونظرية التشعب العالمي ، وديناميات المعادلات والأنظمة الدورية ، والمشكلات العكسية والتقريب في الطوبولوجيا.

- الأوراق مكتوبة بشكل جيد للغاية وموجهة لجمهور واسع ، من المبتدئين إلى الخبراء. فرصة ممتازة للانخراط في بعض الرياضيات المثمرة التي تم تطويرها خلال العقود الماضية.

يجمع هذا الكتاب 10 مقالات رياضية حول التقريب في التحليل والطوبولوجيا من قبل بعض علماء الرياضيات الأكثر تأثيرًا في الثلث الأخير من القرن العشرين. إلى جانب الأوراق التي تحتوي على النتائج النهائية للغاية في كل مجال من مجالات تخصصهم ، يتضمن العديد منها أيضًا سلسلة من الملاحظات التاريخية حول حالة الرياضيات في الوقت الذي وجدوا فيه نتائجهم الأكثر شهرة ، بالإضافة إلى بعض الظروف الشخصية التي نشأت عنها. ، مما يجعل الكتاب جذابًا بشكل خاص لجميع العلماء المهتمين بهذه المجالات ، من المبتدئين إلى الخبراء. يجب أن تسعد هذه القطع الجوهرة من التاريخ الرياضي للعديد من الأجيال القادمة من علماء الرياضيات ، الذين سيستمتعون ببعض الرياضيات الأكثر إثمارًا في الثلث الأخير من القرن العشرين التي قدمها مؤلفوهم.

يغطي هذا الكتاب مجموعة واسعة من النتائج الرياضية الجديدة. من بينها ، الخصائص الأكثر تقدمًا للإصدارات الضعيفة جدًا من مبدأ الحد الأقصى الكلاسيكي ، والنتائج الأخيرة على نظرية التشعب العالمي ، والتعددية الجبرية ، والاعتمادات العامة لحلول مشاكل القيمة الحدودية فيما يتعلق بالاختلافات في المجالات الأساسية ، وأعمق النتائج المتاحة في المخططات الرتيبة السريعة المطبقة على حل مشاكل القيمة الحدودية غير الخطية ، ينتج عن التاريخ الداخلي لنشأة أول استمرار عالمي عام في سياق الحلول الدورية للأنظمة الدورية غير الخطية ، وكذلك نشأة المصادفة بعض التطبيقات الجديدة للدرجة الطوبولوجية للتأكد من ثبات الحلول الدورية لبعض العائلات الكلاسيكية للمعادلات الدورية من الدرجة الثانية ،
حل عدد من التخمينات المتعلقة ببعض مشاكل التقريب الشهيرة جدًا في الطوبولوجيا والمشكلات العكسية ، بالإضافة إلى عدد من التطبيقات في الهندسة ، وهي مناقشة حادة للغاية لمشكلة تقريب المسافات الطوبولوجية بواسطة متعددات الوجوه باستخدام تقنيات مختلفة تعتمد على الأنظمة العكسية ، فضلا عن توسعات homotopy ، و the Bishop-Phelps theorem.

- يحتوي على عدد من المساهمات الأساسية من قبل بعض علماء الرياضيات الرائدين في العالم في النصف الثاني من القرن العشرين.

- تغطي الأوراق مجموعة كاملة من الموضوعات ، من التاريخ الداخلي للرياضيات المعنية إلى آخر التطورات في المعادلات التفاضلية والمشكلات المعكوسة والتحليل والتحليل غير الخطي والطوبولوجيا.

- جميع الأوراق المساهمة هي أعمال قائمة بذاتها تحتوي على قائمة كاملة من المراجع حول كل موضوع من الموضوعات التي يتم تناولها.

- يحتوي الكتاب على بعض النتائج الأخيرة المتعلقة بالمبدأ الأقصى ، ونظرية المخططات أحادية اللون في المسائل غير الخطية ، ونظرية التعددية الجبرية ، ونظرية التشعب العالمي ، وديناميات المعادلات والأنظمة الدورية ، والمشكلات العكسية والتقريب في الطوبولوجيا.

- الأوراق مكتوبة بشكل جيد للغاية وموجهة لجمهور واسع ، من المبتدئين إلى الخبراء. فرصة ممتازة للانخراط في بعض الرياضيات المثمرة التي تم تطويرها خلال العقود الماضية.

دلائل الميزات

· يحتوي على عدد من المساهمات الأساسية لبعض علماء الرياضيات الرائدين في العالم في النصف الثاني من القرن العشرين.

· تغطي الأوراق مجموعة كاملة من الموضوعات ، من التاريخ الداخلي للرياضيات المعنية إلى آخر التطورات في المعادلات التفاضلية ، والمشكلات المعكوسة ، والتحليل ، والتحليل غير الخطي ، والطوبولوجيا.

· جميع الأوراق المقدمة هي أعمال قائمة بذاتها تحتوي على قائمة كاملة من المراجع حول كل موضوع من الموضوعات التي يتم تناولها.

· يحتوي الكتاب على بعض النتائج الأخيرة المتعلقة بالمبدأ الأقصى ، ونظرية المخططات أحادية اللون في المسائل غير الخطية ، ونظرية التعددية الجبرية ، ونظرية التشعب العالمي ، وديناميات المعادلات والأنظمة الدورية ، والمشكلات العكسية والتقريب في الطوبولوجيا.

· الأوراق مكتوبة بشكل جيد للغاية وموجهة لجمهور عريض ، من المبتدئين إلى الخبراء. مناسبة ممتازة للانخراط في بعض الرياضيات المثمرة التي تم تطويرها خلال العقود الماضية.

· يحتوي على عدد من المساهمات الأساسية لبعض علماء الرياضيات الرائدين في العالم في النصف الثاني من القرن العشرين.

· تغطي الأوراق مجموعة كاملة من الموضوعات ، من التاريخ الداخلي للرياضيات المعنية إلى آخر التطورات في المعادلات التفاضلية ، والمشكلات المعكوسة ، والتحليل ، والتحليل غير الخطي ، والطوبولوجيا.

· جميع الأوراق التي تم المساهمة بها هي أعمال قائمة بذاتها تحتوي على قائمة كاملة من المراجع حول كل موضوع من الموضوعات التي يتم تناولها.

· يحتوي الكتاب على بعض النتائج الأخيرة المتعلقة بالمبدأ الأقصى ، ونظرية المخططات أحادية اللون في المسائل غير الخطية ، ونظرية التعددية الجبرية ، ونظرية التشعب العالمي ، وديناميات المعادلات والأنظمة الدورية ، والمشكلات العكسية والتقريب في الطوبولوجيا.

· الأوراق مكتوبة بشكل جيد للغاية وموجهة لجمهور عريض ، من المبتدئين إلى الخبراء. فرصة ممتازة للانخراط في بعض الرياضيات المثمرة التي تم تطويرها خلال العقود الماضية.


المواد والأساليب

الغرض من التجارب ذو شقين. أولاً ، دراسة مشكلة استعادة صورة من إشارة MR عدديًا عندما يكون الحقل الرئيسي تربيعيًا وتكون التدرجات خطية. ثانيًا ، لإثبات أن إعادة البناء لدينا مفيدة كخوارزمية تصحيح عدم التجانس الميداني للصور التي تم الحصول عليها في الأنظمة التقليدية وعندما يكون لعدم التجانس مكون تربيعي مهم. تم الحصول على جميع صور التصوير بالرنين المغناطيسي في هذا العمل باستخدام ماسح ضوئي Philips Intera 1.5T. تم تعطيل الملء الخطي خلال جميع عمليات الاستحواذ ولم يتم استخدام أي ملئ نشط عالي المستوى. تم الحصول على الصور باستخدام المعلمات الافتراضية في الغالب من التسلسلات المحملة مسبقًا في النظام. تم إجراء عمليات إعادة بناء الصورة ذات القيمة المعقدة خارج الخط.

العددي فانتوم

في تجربتنا الأولى ، تمت محاكاة إشارة MR لشبح مغناطيسي تحليلي ثنائي الأبعاد حقيقي القيمة من خلال تقييم المعادل. A1 باستخدام التربيع التكيفي في MATLAB (44) ، متداخلاً لتقييم أحادي البعد لكل بُعد. تم تصميم الشبح كنسخة مبسطة من الشبح المرجعي الحقيقي بنفس الأبعاد. وقت الحصول على كل عينة و ك- تم تحديد مواقع الفضاء مع الأخذ في الاعتبار التدرجات 2DFT من الاستحواذ القياسي. تمت محاكاة مصفوفة ديكارتية مكونة من 256 × 256 عينة باستخدام مجال رؤية يبلغ 25.6 × 25.6 سم ووقت الصدى (TE) = 56 مللي ثانية. تستغرق كل قراءة كاملة في التسلسل 28 مللي ثانية.

تمت محاكاة إشارتين بالرنين المغناطيسي ، الأولى بزي موحد ب0 المجال والثاني مع حقل تربيعي مع معاملات ص2x = −2.149 هرتز / سم 2 ، ص2ذ = -2.3846 هرتز / سم 2 ، ص1x = 0 هرتز / سم ، ص1ذ = 0 هرتز / سم ، و ص0 = 0 هرتز. تم اختيار الانحراف التربيعي ليكون ضعف المكون التربيعي المقاس تقريبًا من الشبح الحقيقي لتعزيز التأثير (مع إبقائه ضمن النطاق المادي الصحيح). تحدد هذه المعلمات مواقع أخذ العينات لمسار ρ – α ، حيث تظهر زوايا المجال الكسرية للاتجاه ذ في الشكل 3 بخط متصل. الصورة المعاد بناؤها مع معيار FT وموحد ب0 كانت الصورة المرجعية التي تتضمن جميع التشوهات الكامنة في أخذ عينات ك- الفضاء وإعادة الإعمار المنفصلة. تمت إعادة بناء بيانات MR المحاكاة تحت حقل تربيعي باستخدام معكوس FT القياسي و FrFT العكسي و VO-FrFT المعكوس و CP.

زاوية كسور α (ر) خلال قراءة المسارات التجريبية. يُظهر المحور الأفقي الوقت بالمللي ثانية ، مع وقت صدى في الأصل. تمثل الخطوط الصلبة والمتقطعة والمنقطة الشبح العددي وشبح التصوير بالرنين المغناطيسي والتجارب في الجسم الحي ، على التوالي. [يمكن الاطلاع على الشكل الملون في الإصدار الموجود على الإنترنت والمتوفر على wileyonlinelibrary.com.]

لدراسة أداء هذه الطرق عند وجود خطأ في تقدير المكون التربيعي ، تم تكرار إعادة الإعمار باستخدام قيم مختلفة لـ ص2x و ص2ذ (من 0 × إلى 2 × بخطوات 0.125 ×). انظر الملحق للحصول على تقدير نظري لأوجه عدم اليقين.

التصوير بالرنين المغناطيسي فانتوم

في تجربة ثانية ، تم مسح الشبح باستخدام تسلسل EPI سريع الصدى (FFE) ، مع مصفوفة مسح من 128 × 128 عينة ، ومجال رؤية 24 × 24 سم ، وسماكة الشريحة 5 مم ، وزاوية انعكاس 23 درجة ، وتكرار النبض الوقت / TE = 650/41 مللي ثانية. تم الحصول على هذه البيانات بعدد من متوسطات العينة البالغة 16 باستخدام ملف Q-body. كان عامل EPI في هذا التسلسل 63. استغرقت كل قراءة كاملة في هذا التسلسل 76 مللي ثانية. تنتج هذه المعلمات تسلسل قراءة طويل حيث يوجد تأثير ملحوظ لعدم تجانس المجال المتأصل في نظام وكائن MR. بالنسبة لـ FrFT ، تم استخدام زاوية ثابتة لكل صدى. استخدم نهج FrFT و VO-FrFT ملاءمة تربيعية لخريطة الحقل المقاسة ، بينما استخدمت إعادة بناء CP خريطة المجال المقاسة.

دراسة في الجسم الحي

تم إجراء دراسة في الجسم الحي لمسح دماغ أحد المتطوعين ، وتم الحصول على الصور باستخدام نفس التسلسل ، باستثناء متوسط ​​عدد العينات الذي أصبح الآن 8 ومن الملف المستقبِل الذي أصبح الآن ملفًا قياسيًا للرأس التربيعي. تم اختيار شريحة مستعرضة بزاوية طفيفة من الدماغ حيث أظهر الحقل مكونًا تربيعيًا مهمًا.

الخرائط الميدانية

في كل تجربة ، تم الحصول على صور هيكلية بتسلسل زمني قصير للقراءة لتقليل تأثير عدم تجانس المجال. تم قياس المجال المغناطيسي من هذه الصور مع TE مختلفة (45).

لتلائم الوظائف التربيعية لخرائط المجال ، تم استخدام طريقة احتمالية قصوى تقلل من الخطأ التربيعي الموزون بين خريطة الحقل المقاسة ومتعدد الحدود القابل للفصل من الدرجة الثانية. كانت الأوزان هي متوسط ​​حجم وحدات البكسل المقابلة. هذا يضمن أن معلومات خريطة المجال قد تم دمجها بشكل صحيح اعتمادًا على الكثافة المحلية للإشارة ونسبة الإشارة إلى الضوضاء.

في الدراسة الوهمية ، تم تحديد خريطة المجال على طول صورة مرجعية هيكلية باستخدام ΔTE = 3 مللي ثانية ووقت تكرار النبض و TE يساوي 14 و 6.1 مللي ثانية ، على التوالي. تم اختيار شريحة مستعرضة من الشبح المادي لهذه الدراسة.

بالنسبة للدراسة في الجسم الحي ، يتسبب التشريح في مزيد من الانحرافات الميدانية التي لا يمكن تقريبها من خلال الوظيفة المجهزة لكامل مجال الرؤية. تم اختيار منطقة بيضاوية ذات أهمية.

إعادة بناء الصورة

تم إجراء حسابات FT باستخدام FFT واستغرقت أقل من ثانية واحدة في جميع الحالات. تم إجراء عمليات إعادة بناء FrFT و VO-FrFT عن طريق حساب Eq. A2 ، الذي استغرق 10 دقائق لمصفوفة 256 × 256 و 1.5 دقيقة لمصفوفة 128 × 128 ، مع وحدة المعالجة المركزية رباعية النواة 2.4 جيجا هرتز. استخدمت إعادة بناء FrFT قيمة زاوية ثابتة لكل صدى ، باستخدام قيمة الزاوية عند ρش = 0. هذا يعادل حساب معكوس 1D FrFT في اتجاه القراءة ، حيث يُفترض أن تكون الزوايا ثابتة ولكن ليس في اتجاه الطور ، حيث تختلف الزاوية لكل عينة. لتبسيط التنفيذ ، في هذا العمل ، لم نستفد من التنفيذ السريع لـ FrFT الذي من شأنه أن يسرعه بشكل كبير. أخذت إعادة بناء VO-FrFT في الحسبان الموضع الدقيق في – α لكل عينة. تم قياس وحدات المسافة من النتائج باستخدام المعادل. 11 لتعيين الكائن المقدر في إحداثيات الأبعاد. تم حساب عمليات إعادة بناء CP باستخدام الامتداد ثنائي الأبعاد لـ Eq. 10 ، مع ص(ش) انحراف التردد الذي تم قياسه أو محاكاته بدقة ووجد أنه يتطلب بشكل أساسي نفس وقت الحوسبة مثل إعادة بناء VO-FrFT.


EE261 - تحويل فورييه وتطبيقاته

تتمثل أهداف الدورة في الحصول على تسهيل باستخدام تحويل فورييه ، سواء من خلال تقنيات محددة أو مبادئ عامة ، وتعلم التعرف على متى ولماذا وكيف يتم استخدامه. إلى جانب التنوع الكبير ، يتمتع الموضوع أيضًا بتماسك كبير ، والأمل هو أن يقدر الطلاب كليهما.

تشمل الموضوعات: تحويل فورييه كأداة لحل المشكلات المادية. سلسلة فورييه ، تحويل فورييه للإشارات المستمرة والمنفصلة وخصائصه. دلتا ديراك والتوزيعات والتحولات المعممة. التلافيف والارتباطات وتطبيقات التوزيعات الاحتمالية ونظرية أخذ العينات والمرشحات وتحليل الأنظمة الخطية. تحويل فورييه المنفصل وخوارزمية FFT. تحويل فورييه متعدد الأبعاد واستخدامه في التصوير. مزيد من التطبيقات للبصريات وعلم البلورات. يتم التركيز على ربط المبادئ النظرية بحل مشاكل الهندسة العملية والعلوم.


تحويل فورييه - تم العثور على 4 نتائج.

لقد أثبتنا أنه بالنسبة لمجموعات Abelian المزدوجة المدمجة محليًا والمولدة بشكل مضغوط (G ) ، هناك عوامل متكاملة وحدوية أساسية على (L ^ 2 (G) ) مماثلة لتحويل فورييه ولكن لها أمرين 3 و 6. للقيام بذلك ، نؤسس وجود شخصية إسقاطية معينة على (G ) والتي يؤدي ضرب طورها مع FT إلى التحويل التكعيبي (الترتيب 3). (وبالتالي ، على الرغم من أن تحويل فورييه له الترتيب 4 ، إلا أنه يمكن للمرء & ldquomake & rdquo الحصول على الترتيب 3 (أو 6) عن طريق عامل المرحلة!)

Soit (G ) un groupe localement Compact ، engendré par un sousensemble compact ، et isomorphe à son groupe dual. على كونستريتي دي سيرفريشنز داخل الوحدات الكنسية التي لا نظير لها على غرار تحويل فورييه ، مايس كيو لا ديوردريس ترويس وآخرون.

نُبلغ عن النتائج الأخيرة حول وجود تحويلات تكاملية تكعيبية وسداسية على مجموعات مدمجة محلية ثنائية ذاتيًا (أوامر 3 و 6 نظائرها من تحويل فورييه الكلاسيكي) وتطبيقها في إنشاء قسم مستمر من الإسقاطات السلسة ( mathcal E (ر) ) مجال الدوران المستمر C * -الجبر (_ <0 le t le 1> ) وهو ثابت في ظل التشكل التلقائي غير التبادلي للتحويل السداسي. يؤدي هذا إلى إسقاطات المصفوفة الثابتة (النقطية) للتوري غير المنطقي غير التبادلي (A_ theta ). نقدم أيضًا طريقة سريعة لحساب الثوابت الطوبولوجية (الكمية) لمثل هذه الإسقاطات باستخدام تقنيات من نظرية دالة ثيتا الكلاسيكية.

On décrit des résultats récents sur l’ Existing d’une transform intégrale d’ordre trois (ou d’ordre six) sur un groupe localement compact abélien self-dual. في دراسة تطبيق ممكن على غرار البناء في الأبطال المتواصلون في الإسقاطات الثابتة مثل l’automorphisme Associé du Champs de C * -algèbres de rotation. على حساب بعض الثوابت طوبولوجيا دي ces الإسقاط.

نوضح ، بطريقة كمية إلى حد ما ، وجود عوائق طوبولوجية لتقريب الدوران اللاعقلاني C * -الجبر (A_ theta ) بواسطة فورييه أحادي ثابت C * -subalgebras لأي من الأشكال [M oplus B oplus sigma (B) ، qquad M oplus N oplus D oplus sigma (D) oplus sigma ^ 2 (D) oplus sigma ^ 3 (D) ، ] حيث (M ، N ) هي جبر فورييه المصفوف الثابت (over ( mathbb C )) ، (B ) هو C * -subalgebra الذي يكون إسقاط الوحدة فيه ثابتًا ومتعامدًا مع تحويل فورييه ، و (D ) هو a C * -subalgebra الذي يكون إسقاط وحدته متعامدًا مع مداره تحت تحويل فورييه. هنا ، ( سيغما ) هو الشكل التلقائي لتحويل فورييه غير التبادلي لـ (A_ theta ) المحدد بواسطة ( سيجما (U) = V ^ <-1> ، سيجما (V) = U ) على المولدات الوحدوية المتعارف عليها (U ، V ) تخضع لعلاقة تبديل Heisenberg الوحدوية (VU = e ^ <2 pi i theta> UV ).

على مستوى الوجود ، توجد طوبولوجيا على شكل طوبولوجيا مثل التقريب غير التبادلي إلى جانب بعض الأنواع التي لا تختلف عن كونها ثابتة في شكل فورييه (بالإنجليزية: L’automorphisme de Fourier).


تعريف سلسلة فورييه

سلسلة فورييه هي طريقة خاصة لإعادة كتابة الدوال كسلسلة من الدوال المثلثية. اقرأ أدناه لمعرفة كيفية إنشاء هذه السلسلة.

تأتي عوامل التطبيع أمام المعاملات من حقيقة أن وظائف جيب التمام والجيب كما تم تعريفها متعامدة ولكنها ليست متعامدة. إذن ، فإن عامل 1 2 frac12 2 1 بضرب 0 a_0 a 0 يأتي من حقيقة أن التسوية لـ 0 a_0 a 0 مختلفة ، لأن

هي ضعف متوسط ​​قيمة الدالة f f f على [0، T) [0، T) [0، T).

أوجد سلسلة فورييه لمتسلسلة موجة مربعة, for which the function over one period is

f ( x ) = < 1 if 0 ≤ x < 1 2 − 1 if 1 2 ≤ x < 1. f(x) = egin 1 quad & ext

0leq x<frac12 -1 quad & ext

k ext< is even>, end نهاية b k ​ ​ = 2 ∫ 0 1 ​ f ( x ) sin 2 π k x d x = 2 ∫ 0 1 / 2 ​ sin 2 π k x d x − 2 ∫ 1 / 2 1 ​ sin 2 π k x d x = 2 [ − 2 π k cos 2 π k x ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ x = 0 x = 2 1 ​ ​ + 2 π k cos 2 π k x ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ x = 2 1 ​ x = 1 ​ ] = 2 [ − 2 π k cos π k ​ + 2 π k 1 ​ + 2 π k cos 2 π k ​ − 2 π k cos π k ​ ] = π k 2 ​ ( sin 2 2 π k ​ − 2 1 ​ cos π k + 2 1 ​ cos 2 π k ) = < π k 4 ​ 0 ​ if k is odd if k is even , ​ ​

where in the last line the fact that k k k is a positive integer was used. Therefore, the Fourier series for the square wave is

f ( x ) = 4 π ∑ k = 1 , 3 , 5 , … 1 k sin ⁡ 2 π k x . □ f(x) = frac<4> sum_ frac<1> sin 2pi k x. _square f ( x ) = π 4 ​ k = 1 , 3 , 5 , … ∑ ​ k 1 ​ sin 2 π k x . □ ​

Note that near the jump discontinuities for the square wave, the finite truncations of the Fourier series tend to overshoot. This is a common aspect of Fourier series for any discontinuous periodic function which is known as the Gibbs phenomenon.

Find the Fourier series of the triangle wave which is defined by

Hint: Try plotting the given function first.


Fourier Series Calculator, On-line Application

On-Line Fourier Series Calculator is an interactive app to calculate Fourier Series coefficients (Up to 10000 elements) for user-defined piecewise functions up to 5 pieces, for example.

Note that function must be in the integrable functions space or L 1 on selected Interval as we shown at theory sections.

FourierSeries Calculator calculates Fourier Coefficients, analytic and numeric integrals and it is usefull to plot 1-variable functions and its Fourier series on a generic user-defined interval.

Extended Theory

Calculations accuracy depends largely of size-interval introduzed and number of selected coefficients to calculate.
Use it is as follows.

1) Write the lower end of the range in the text box labeled Limit inf.
2) Enter the upper range in the text box labeled Limit Sup.
3) Write the function in the text box with the label function

In the piecewise function case, operate as follows
1) Write the lower end of the range in the text box labeled Limit inf.
2) Enter the upper range in the text box labeled Limit Sup.
3) Write the first function in the text box with the label function .
4) Enter the upper sub-range in the text box labeled Subinterval 1.
5) Write the function as defined in the first sub-interval in the text box labeled subinterval 1 .

For example suppose we have the piecewise function

Then the fields are filled as

After the A n , B n calculations, is possible to plot the function and its Fourier Series by clicking "Show Graph". At this case

By default, the problem begins with the continuous function and the interval following

How it works?
To calculate Fourier coefficients we apply integration methods seen in the numerical methods section, with which we can approximate the integrals given by the Fourier Series formulae:

In Fourier coefficients case, there are several methods to make the calculations programmed here by the owners of Mathstools .

To calculate the derivative of the function: uses severeal numerical methods to derivate.

To calculate the primitive function: numerical integration methods seen in the numerical methods section يطبق.

Note that in numerical analysis, errors are obtained due to the particular methods and the limitation of arithmetic computer as well.

In the Fourier coefficients calculations case, it depends on the function and size of the chosen integration interval. In default problem the error in calculating the Fourier coefficients is O (1e-8). For the numerical integration is O (1e-11) and in the derivative it is O (1e-14).


حجج الإدخال

F — Input symbolic expression | symbolic function | symbolic vector | symbolic matrix

Input, specified as a symbolic expression, function, vector, or matrix.

Var — Independent variable x (default) | symbolic variable

Independent variable, specified as a symbolic variable. This variable is often called the "time variable" or the "space variable." If you do not specify the variable, then fourier uses the function symvar to determine the independent variable.

TransVar — Transformation variable w (default) | v | symbolic variable | symbolic expression | symbolic vector | symbolic matrix

Transformation variable, specified as a symbolic variable, expression, vector, or matrix. This variable is often called the "frequency variable." By default, fourier uses w . If w is the independent variable of f , then fourier uses v .


10.5: An Application to Fourier Approximation - Mathematics

Over the last few sections we’ve spent a fair amount of time to computing Fourier series, but we’ve avoided discussing the topic of convergence of the series. In other words, will the Fourier series converge to the function on the given interval?

In this section we’re going to address this issue as well as a couple of other issues about Fourier series. We’ll be giving a fair number of theorems in this section but are not going to be proving any of them. We’ll also not be doing a whole lot of in the way of examples in this section.

Before we get into the topic of convergence we need to first define a couple of terms that we’ll run into in the rest of the section. First, we say that (fleft( x ight)) has a قفز الانقطاع at (x = a) if the limit of the function from the left, denoted (fleft( <> ight)), and the limit of the function from the right, denoted (fleft( <> ight)), both exist and (fleft( <> ight) e fleft( <> ight)).

Next, we say that (fleft( x ight)) is piecewise smooth if the function can be broken into distinct pieces and on each piece both the function and its derivative, (f'left( x ight)), are continuous. A piecewise smooth function may not be continuous everywhere however the only discontinuities that are allowed are a finite number of jump discontinuities.

Let’s consider the function,

We found the Fourier series for this function in Example 2 of the previous section. Here is a sketch of this function on the interval on which it is defined, بمعنى آخر. ( - L le x le L).

This function has a jump discontinuity at (x = 0) because (fleft( <<0^ - >> ight) = L e 0 = fleft( <<0^ + >> ight)) and note that on the intervals ( - L le x le 0) and (0 le x le L) both the function and its derivative are continuous. This is therefore an example of a piecewise smooth function. Note that the function itself is not continuous at (x = 0) but because this point of discontinuity is a jump discontinuity the function is still piecewise smooth.

The last term we need to define is that of periodic extension. Given a function, (fleft( x ight)), defined on some interval, we’ll be using ( - L le x le L) exclusively here, the periodic extension of this function is the new function we get by taking the graph of the function on the given interval and then repeating that graph to the right and left of the graph of the original function on the given interval.

It is probably best to see an example of a periodic extension at this point to help make the words above a little clearer. Here is a sketch of the period extension of the function we looked at above,

The original function is the solid line in the range ( - L le x le L). We then got the periodic extension of this by picking this piece up and copying it every interval of length 2(L) to the right and left of the original graph. This is shown with the two sets of dashed lines to either side of the original graph.

Note that the resulting function that we get from defining the periodic extension is in fact a new periodic function that is equal to the original function on ( - L le x le L).

With these definitions out of the way we can now proceed to talk a little bit about the convergence of Fourier series. We will start off with the convergence of a Fourier series and once we have that taken care of the convergence of Fourier Sine/Cosine series will follow as a direct consequence. Here then is the theorem giving the convergence of a Fourier series.

Convergence of Fourier series

Suppose (fleft( x ight)) is a piecewise smooth on the interval ( - L le x le L). The Fourier series of (fleft( x ight)) will then converge to,

    the periodic extension of (fleft( x ight)) if the periodic extension is continuous.

The first thing to note about this is that on the interval ( - L le x le L) both the function and the periodic extension are equal and so where the function is continuous on ( - L le x le L) the periodic extension will also be continuous and hence at these points the Fourier series will in fact converge to the function. The only points in the interval ( - L le x le L) where the Fourier series will not converge to the function is where the function has a jump discontinuity.

Let’s again consider Example 2 of the previous section. In that section we found that the Fourier series of,

We now know that in the intervals ( - L < x < 0) and (0 < x < L) the function and hence the periodic extension are both continuous and so on these two intervals the Fourier series will converge to the periodic extension and hence will converge to the function itself.

At the point (x = 0) the function has a jump discontinuity and so the periodic extension will also have a jump discontinuity at this point. That means that at(x = 0) the Fourier series will converge to,

At the two endpoints of the interval, (x = - L) and (x = L), we can see from the sketch of the periodic extension above that the periodic extension has a jump discontinuity here and so the Fourier series will not converge to the function there but instead the averages of the limits.

So, at (x = - L) the Fourier series will converge to,

and at (x = L) the Fourier series will converge to,

Now that we have addressed the convergence of a Fourier series we can briefly turn our attention to the convergence of Fourier sine/cosine series. First, as noted in the previous section the Fourier sine series of an odd function on ( - L le x le L) and the Fourier cosine series of an even function on ( - L le x le L) are both just special cases of a Fourier series we now know that both of these will have the same convergence as a Fourier series.

Next, if we look at the Fourier sine series of any function, (gleft( x ight)), on (0 le x le L) then we know that this is just the Fourier series of the odd extension of (gleft( x ight)) restricted down to the interval (0 le x le L). Therefore, we know that the Fourier series will converge to the odd extension on ( - L le x le L) where it is continuous and the average of the limits where the odd extension has a jump discontinuity. However, on (0 le x le L) we know that (gleft( x ight)) and the odd extension are equal and so we can again see that the Fourier sine series will have the same convergence as the Fourier series.

Likewise, we can go through a similar argument for the Fourier cosine series using even extensions to see that Fourier cosine series for a function on (0 le x le L) will also have the same convergence as a Fourier series.

The next topic that we want to briefly discuss here is when will a Fourier series be continuous. From the theorem on the convergence of Fourier series we know that where the function is continuous the Fourier series will converge to the function and hence be continuous at these points. The only places where the Fourier series may not be continuous is if there is a jump discontinuity on the interval ( - L le x le L) and potentially at the endpoints as we saw that the periodic extension may introduce a jump discontinuity there.

So, if we’re going to want the Fourier series to be continuous everywhere we’ll need to make sure that the function does not have any discontinuities in ( - L le x le L). Also, in order to avoid having the periodic extension introduce a jump discontinuity we’ll need to require that (fleft( < - L> ight) = fleft( L ight)). By doing this the two ends of the graph will match up when we form the periodic extension and hence we will avoid a jump discontinuity at the end points.

Here is a summary of these ideas for a Fourier series.

Suppose (fleft( x ight)) is a piecewise smooth on the interval ( - L le x le L). The Fourier series of (fleft( x ight)) will be continuous and will converge to (fleft( x ight)) on ( - L le x le L) provided (fleft( x ight)) is continuous on ( - L le x le L) and (fleft( < - L> ight) = fleft( L ight)).

Now, how can we use this to get similar statements about Fourier sine/cosine series on (0 le x le L)? Let’s start with a Fourier cosine series. The first thing that we do is form the even extension of (fleft( x ight)) on ( - L le x le L). For the purposes of this discussion let’s call the even extension (gleft( x ight)) As we saw when we sketched several even extensions in the Fourier cosine series section that in order for the sketch to be the even extension of the function we must have both,

[gleft( <<0^ - >> ight) = gleft( <<0^ + >> ight)hspace<0.25in>hspace<0.25in>gleft( < - L> ight) = gleft( L ight)]

If one or both of these aren’t true then (gleft( x ight)) will not be an even extension of(fleft( x ight)).

So, in forming the even extension we do not introduce any jump discontinuities at (x = 0) and we get for free that (gleft( < - L> ight) = gleft( L ight)). If we now apply the above theorem to the even extension we see that the Fourier series of the even extension is continuous on ( - L le x le L). However, because the even extension and the function itself are the same on (0 le x le L) then the Fourier cosine series of (fleft( x ight)) must also be continuous on (0 le x le L).

Here is a summary of this discussion for the Fourier cosine series.

Suppose (fleft( x ight)) is a piecewise smooth on the interval (0 le x le L). The Fourier cosine series of (fleft( x ight)) will be continuous and will converge to (fleft( x ight)) on (0 le x le L) provided (fleft( x ight)) is continuous on (0 le x le L).

Note that we don’t need any requirements on the end points here because they are trivially satisfied when we convert over to the even extension.

For a Fourier sine series we need to be a little more careful. Again, the first thing that we need to do is form the odd extension on ( - L le x le L) and let’s call it (gleft( x ight)). We know that in order for it to be the odd extension then we know that at all points in ( - L le x le L) it must satisfy (gleft( < - x> ight) = - gleft( x ight)) and that is what can lead to problems.

As we saw in the Fourier sine series section it is very easy to introduce a jump discontinuity at (x = 0) when we form the odd extension. In fact, the only way to avoid forming a jump discontinuity at this point is to require that (fleft( 0 ight) = 0).

Next, the requirement that at the endpoints we must have (gleft( < - L> ight) = - gleft( L ight)) will practically guarantee that we’ll introduce a jump discontinuity here as well when we form the odd extension. Again, the only way to avoid doing this is to require (fleft( L ight) = 0).

So, with these two requirements we will get an odd extension that is continuous and so we know that the Fourier series of the odd extension on ( - L le x le L) will be continuous and hence the Fourier sine series will be continuous on (0 le x le L).

Here is a summary of all this for the Fourier sine series.

Suppose (fleft( x ight)) is a piecewise smooth on the interval (0 le x le L). The Fourier sine series of (fleft( x ight)) will be continuous and will converge to (fleft( x ight)) on (0 le x le L) provided (fleft( x ight)) is continuous on (0 le x le L), (fleft( 0 ight) = 0) and (fleft( L ight) = 0).

The next topic of discussion here is differentiation and integration of Fourier series. In particular, we want to know if we can differentiate a Fourier series term by term and have the result be the Fourier series of the derivative of the function. Likewise, we want to know if we can integrate a Fourier series term by term and arrive at the Fourier series of the integral of the function.

Note that we’ll not be doing much discussion of the details here. All we’re really going to be doing is giving the theorems that govern the ideas here so that we can say we’ve given them.

Let’s start off with the theorem for term by term differentiation of a Fourier series.

Given a function (fleft( x ight)) if the derivative, (f'left( x ight)), is piecewise smooth and the Fourier series of (fleft( x ight)) is continuous then the Fourier series can be differentiated term by term. The result of the differentiation is the Fourier series of the derivative, (f'left( x ight)).

One of the main condition of this theorem is that the Fourier series be continuous and from above we also know the conditions on the function that will give this. So, if we add this into the theorem to get this form of the theorem,

Suppose(fleft( x ight)) is a continuous function, its derivative(f'left( x ight)) is piecewise smooth and (fleft( < - L> ight) = fleft( L ight)) then the Fourier series of the function can be differentiated term by term and the result is the Fourier series of the derivative.

For Fourier cosine/sine series the basic theorem is the same as for Fourier series. All that’s required is that the Fourier cosine/sine series be continuous and then you can differentiate term by term. The theorems that we’ll give here will merge the conditions for the Fourier cosine/sine series to be continuous into the theorem.

Let’s start with the Fourier cosine series.

Suppose(fleft( x ight)) is a continuous function and its derivative(f'left( x ight)) is piecewise smooth then the Fourier cosine series of the function can be differentiated term by term and the result is the Fourier sine series of the derivative.

Next the theorem for Fourier sine series.

Suppose(fleft( x ight)) is a continuous function, its derivative(f'left( x ight)) is piecewise smooth, (fleft( 0 ight) = 0) and (fleft( L ight) = 0) then the Fourier sine series of the function can be differentiated term by term and the result is the Fourier cosine series of the derivative.

The theorem for integration of Fourier series term by term is simple so there it is.

Suppose(fleft( x ight)) is piecewise smooth then the Fourier sine series of the function can be integrated term by term and the result is a convergent infinite series that will converge to the integral of (fleft( x ight)).

Note however that the new series that results from term by term integration may not be the Fourier series for the integral of the function.


شاهد الفيديو: برنامج لحل اي سؤال في فورير سيريس Fourier Series (شهر نوفمبر 2021).