مقالات

11.1: عاملون مساعدون أو ناسكون - رياضيات


لنفترض أن (V ) مساحة منتج داخلية ذات أبعاد محدودة تزيد عن ( mathbb {C} ) مع المنتج الداخلي ( inner { cdot} { cdot} ). يتم تحديد عامل التشغيل الخطي (T in mathcal {L} (V) ) بشكل فريد من خلال قيم

[ inner {Tv} {w}، quad text {for all (v، w in V ).} ]

وهذا يعني ، على وجه الخصوص ، أنه إذا كان (T، S in mathcal {L} (V) ) و

ابدأ {المعادلة *}
داخلي {تلفزيون} {w} = داخلي {Sv} {w} quad text {للجميع (v، w in V )،}
نهاية {المعادلة *}

ثم (T = S ). لرؤية هذا ، خذ (w ) لتكون عناصر أساس متعامد لـ (V ).

التعريف 11.1.1. بالنظر إلى (T in mathcal {L} (V) ) ، فإن معاون (الملقب ب. الناسك المترافقة) من (T ) هو العامل (T ^ * in mathcal {L} (V) ) الذي

[ inner {Tv} {w} = inner {v} {T ^ * w}، quad text {for all (v، w in V )} ]

علاوة على ذلك ، فإننا نسمي (T ) المعاينة الذاتية (a.k.a.الناسك}) إذا (T = T ^ * ).

تفرد (T ^ * ) واضح من خلال الملاحظة السابقة.

مثال 11.1.2. لنفترض أن (V = mathbb {C} ^ 3 ) ، وليكن تعريف (T in cal {L} ( mathbb {C} ^ 3) ) من خلال (T (z_1، z_2، z_3) ) = (2z_2 + iz_3، iz_1، z_2) ). ثم
ابدأ {المعادلة *}
ابدأ {تقسيم}
داخلي {(y_1، y_2، y_3)} {T ^ * (z_1، z_2، z_3)} & = inner {T (y_1، y_2، y_3)} {(z_1، z_2، z_3)}
& = inner {(2y_2 + iy_3، iy_1، y_2)} {(z_1، z_2، z_3)}
& = 2y_2 overline {z_1} + iy_3 overline {z_1} + iy_1 overline {z_2} + y_2 overline {z_3}
& = inner {(y_1، y_2، y_3)} {(- iz_2،2z_1 + z_3، -iz_1)}
نهاية {تقسيم}
نهاية {المعادلة *}

بحيث (T ^ * (z_1، z_2، z_3) = (- iz_2،2z_1 + z_3، -iz_1) ). كتابة المصفوفة لـ (T ) من حيث الأساس القانوني ، نرى ذلك
ابدأ {المعادلة *}
M (T) = start {bmatrix} 0 & 2 & i i & 0 & 0 0 & 1 & 0 end {bmatrix} quad text {and} quad
M (T ^ *) = begin {bmatrix} 0 & -i & 0 2 & 0 & 1 -i & 0 & 0 end {bmatrix}.
نهاية {المعادلة *}

لاحظ أنه يمكن الحصول على (M (T ^ *) ) من (M (T) ) بأخذ الاقتران المركب لكل عنصر ثم التحويل. هذه العملية تسمى متقارن تبديل من (M (T) ) ، ونشير إليها ب ((M (T)) ^ {*} ).

نقوم بتجميع العديد من الخصائص الأولية للعملية المساعدة في الاقتراح التالي. يجب عليك تقديم دليل على هذه النتائج لممارستك الخاصة.

الاقتراح 11.1.3. يترك (S، T in mathcal {L} (V) ) و (a in mathbb {F} ).

  1. ((S + T) ^ * = S ^ * + T ^ * ).
  2. ((aT) ^ * = overline {a} T ^ * ).
  3. ((T ^ *) ^ * = T ).
  4. (أنا ^ * = أنا ).
  5. ((ST) ^ * = T ^ * S ^ * ).
  6. (M (T ^ *) = M (T) ^ * ).

عندما (n = 1 ) ، لاحظ أن التدوير المترافق لـ (1 مرات 1 ) مصفوفة (أ ) هو مجرد اتحاد معقد لإدخاله الفردي. ومن ثم ، فإن طلب (A ) أن يكون مساعدًا ذاتيًا ( (A = A ^ * )) يعني القول بأن هذا الإدخال الوحيد حقيقي. بسبب التحويل ، على الرغم من ذلك ، فإن الواقع ليس هو نفسه التقارب الذاتي عند (n> 1 ) ، لكن التشبيه مع ذلك ينتقل إلى القيم الذاتية للعوامل المساعدة الذاتية.

الاقتراح 11.1.4. كل قيمة ذاتية للمشغل الذاتي هي قيمة حقيقية.

دليل. لنفترض أن ( lambda in mathbb {C} ) هي قيمة ذاتية لـ (T ) وأن (0 neq v in V ) هو متجه ذاتي مماثل بحيث (Tv = lambda v ) ). ثم

ابدأ {المعادلة *}
ابدأ {تقسيم}
lambda norm {v} ^ 2 & = inner { lambda v} {v} = inner {Tv} {v} = inner {v} {T ^ * v}
& = inner {v} {Tv} = inner {v} { lambda v} = overline { lambda} inner {v} {v}
= overline { lambda} norm {v} ^ 2.
نهاية {تقسيم}
نهاية {المعادلة *}

هذا يعني أن ( lambda = overline { lambda} ).

مثال 11.1.5. عامل التشغيل (T in mathcal {L} (V) ) محدد بواسطة (T (v) = begin {bmatrix} 2 & 1 + i 1-i & 3 end {bmatrix} v ) هي ذاتية المعايرة ، ويمكن التحقق (على سبيل المثال ، باستخدام كثير الحدود المميز) من أن القيم الذاتية لـ (T ) هي ( لامدا = 1،4 ).


اسمحوا $ mathcalيكون $ عامل تفاضلي متجاور ذاتيًا من الدرجة الثانية. ثم $ mathcalيمكن كتابة u (x) $ كـ
يبدأضع الكلمة المناسبة رياضياتu (x) = frac يسار [p (x) frac right] + q (x) u (x) end كما ناقشنا هنا. اضرب eqref بواسطة $ v ^ ast $ ($ v ^ ast $ هو اقتران معقد لـ $ v $) ثم يتكامل
يبدأ
int_a ^ bv ^ ast mathcaludx & amp = int_a ^ bv ^ ast frac يسار [p (x) frac right] dx + int_a ^ bv ^ ast qudx
& amp = int_a ^ bv ^ ast d left [p (x) frac يمين] + int_a ^ bv ^ ast qudx
& amp = v ^ ast p frac| _a ^ ب- int_a ^ ب ^ Prime pu & # 8217dx + int_a ^ bv ^ ast qudx
نهاية
قد نفرض
يبدأضع الكلمة المناسبةت ^ ast p frac| _a ^ ب = 0 نهاية
كشرط حدودي.
يبدأ
- int_a ^ ب ^ Prime pu & # 8217dx & amp = - int_a ^ b ^ رئيس pdu
& أمبير = -^ رئيس pu | _a ^ b + int_a ^ b u (ص^ رئيس) & # 8217dx
نهاية
قد نفرض أيضا
يبدأضع الكلمة المناسبة-^ رئيس pu | _a ^ ب = 0 نهاية
كشرط حدودي. ثم
يبدأ
int_a ^ bv ^ ast mathcaludx & amp = int_a ^ b u (ص^ رئيس) & # 8217dx + int_a ^ bv ^ ast qudx
& amp = int_a ^ b u mathcalت ^ ast dx
نهاية

تعريف. عامل التشغيل الذاتي $ mathcal$ يسمى أ عامل Hermitian فيما يتعلق بالوظائف $ u (x) $ و $ v (x) $ if

يبدأضع الكلمة المناسبة int_a ^ bv ^ ast mathcaludx = int_a ^ b u mathcalت ^ ast dx end

وهذا يعني ، عامل التشغيل الذاتي $ mathcal$ الذي يفي بشروط الحدود eqref و eqref هو عامل Hermitian.

عوامل Hermitian في ميكانيكا الكم

في ميكانيكا الكم ، يجب ألا تكون العوامل التفاضلية من الدرجة الثانية ولا حقيقية. على سبيل المثال ، يُعطى عامل الزخم بواسطة $ hat p = -i hbar frac$. لذلك نحن بحاجة إلى فكرة موسعة عن المشغلين Hermitian في ميكانيكا الكم.

تعريف. عامل التشغيل $ mathcal$ هو Hermitian إذا
يبدأضع الكلمة المناسبة int psi_1 ^ ast mathcal psi_2 d tau = int ( mathcal psi_1) ^ ast psi_2 d tau end
لاحظ أن eqref يتزامن مع eqref إذا $ mathcal$ حقيقي. من حيث تدوين Dirac & # 8217s braket eqref يمكن كتابتها كـ
$ langle psi_1 | mathcal psi_2 rangle = langle mathcal psi_1 | psi_2 rangle $

ال عامل مساعد $ A ^ dagger $ من عامل $ A $ يتم تعريفه بواسطة
يبدأضع الكلمة المناسبة int psi_1 ^ ast A ^ dagger psi_2 d tau = int (A psi_1) ^ ast psi_2 d tau end مرة أخرى من حيث تدوين Dirac & # 8217s braket eqref يمكن كتابتها كـ
$ langle psi_1 | A ^ dagger psi_2 rangle = langle A psi_1 | psi_2 rangle $
إذا كان $ A = A ^ dagger $ ، فيُقال إن $ A $ يكون كذلك المعاينة الذاتية. من الواضح أن المشغلين المتعاونين ذاتيًا هم مشغلون هرميتيون. ومع ذلك لا يلزم أن يكون العكس صحيحًا. على الرغم من أننا لن نتعمق في هذا الأمر هنا ، إلا أن الاختلاف هو أن المشغلين Hermitian يُفترض دائمًا أنهم مقيدون بينما لا يتم تقييد المشغلين الذاتي بالضرورة. أي أن المشغلين المتعاونين ذاتيًا المقيدين هم عوامل هيرميتية. لا يميز الفيزيائيون عادةً بين المشغلين المتعاونين ذاتيًا والمشغلين Hermitian ، وغالبًا ما يقصدون المشغلين المتعاونين ذاتيًا بواسطة المشغلين Hermitian. في ميكانيكا الكم ، يتم تمثيل الملحوظات مثل الموضع والزخم والطاقة والزخم الزاوي بواسطة مشغلين خطيين (Hermitian) ويتم إعطاء قياسات الملحوظات بواسطة القيم الذاتية للمشغلين الخطيين. تعتبر الملاحظات الفيزيائية محدودة ومستمرة ، لأن القياسات يتم إجراؤها في مختبر (محدد للغاية) ونقاط الانقطاع هي نقاط رياضية ولا يمكن ملاحظة أي شيء أصغر من طول بلانك. كما هو معروف ، فإن أي عامل خطي محدد في مساحة هيلبرت مستمر.

بالنسبة لأولئك الذين يرغبون: قد يتسبب هذا في حدوث ارتباك في القواعد ، ولكن في الرياضيات ، يتم استبدال المتقارن المركب $ a ^ ast $ بـ $ bar a $ ويتم استبدال المقارن $ a ^ dagger $ بـ $ a ^ ast $. اسمحوا $ mathcalكن فضاء هلبرت. من خلال نظرية Riesz للتمثيل ، يمكن توضيح أنه لأي عامل تشغيل خطي محدود $ a: mathcal longrightarrow mathcal& # 8217 $ ، يوجد بشكل فريد عامل تشغيل خطي محدود $ a ^ ast: mathcal& # 8217 longrightarrow mathcal$ مثل هذا
$ langle a ^ ast eta | xi rangle = langle eta | a xi rangle $ للجميع $ xi in mathcal$ ، $ eta in mathcal& # 8217 $. تم تعريف $ a ^ ast $ على أنه ملف معاون عامل التشغيل المقيّد $ a $. يحدد $ <> ^ ast $ ارتداد على $ mathcal( رياضيات) $ ، مجموعة كل عوامل التشغيل الخطية المقيدة لـ $ mathcal$ و $ mathcal( رياضيات) $ مع $ <> ^ ast $ يصبح C $ <> ^ ast $ -algebra. في الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم ، يتم تمثيل المراقبات بواسطة مشغلين مساعدين ذاتيًا من الشكل $ a ^ ast a $ ، حيث $ a in mathcal( رياضيات) $. لاحظ أن $ a ^ ast a $ موجب ، أي أن قيم eigenvalues ​​ليست سالبة.

تعريف. ال قيمة التوقع من عامل $ mathcal$ هو
$ langle الرياضيات rangle = int psi ^ ast mathcal psi d tau $
$ langle الرياضيات rangle $ يتوافق مع نتيجة قياس الكمية الفعلية التي يمثلها $ mathcal$ عندما يكون النظام المادي في حالة موصوفة بواسطة $ psi $. يجب أن تكون القيمة المتوقعة للمشغل حقيقية وهذا مضمون إذا كان المشغل Hermitian. لرؤية هذا افترض أن $ mathcal$ هو Hermitian. ثم
يبدأ
langle mathcal rangle ^ ast & amp = left [ int psi ^ ast mathcal psi d tau right] ^ ast
& amp = int psi mathcal^ ast psi ^ ast d tau
& amp = int ( mathcal psi) ^ ast psi d tau
& amp = int psi ^ ast mathcal psi d tau ( mbox$ هو Hermitian>)
& amp = langle mathcal rangle
نهاية
وهذا هو ، $ langle mathcal rangle $ حقيقي.

هناك ثلاث خصائص مهمة لمشغلي Hermitian (المتعاونين ذاتيًا):


Hermitian مقابل المشغلين الذاتي

أنا & # x27m أستعد لمؤهلاتي وأحتاج إلى التأكد من فهمي للفرق في حالة طلب ذلك. هل توافقون على هذا التمييز يا رفاق؟ المشغل أ هو الناسك if & ltAu، v & gt = & ltu، Av & gt for all u، v في مجال A. هذا لا يعني & # x27t بالضرورة A = A * حيث أن مجال A * يمكن أن يكون أكبر من مجال A. و D [A] = D [A *] إذًا A هو مساعد ذاتي ، الرجاء تصحيح لي حتى في أصغر التفاصيل لأنني أفضل كثيرًا أن أسمع كم أنا مخطئ منك يا رفاق ثم من لجنتي المؤهلة

وبالمثل ، فإن عامل الربط الذاتي هو بحكم التعريف متماثل ويتم تعريفه في كل مكان.

لا أعتقد أن هذا صحيح. لا يلزم تحديد عامل الربط الذاتي في كل مكان. إذا كان هذا صحيحًا ، فسيتم تقييد جميع المشغلين المتعاونين ذاتيًا أيضًا ، وبالتالي ، Hermitian.

حسنًا ، هذا منطقي. لكن هل تقول إنك ستعرف المعايرة الذاتية على أنها متماثلة ويتم تعريفها في كل مكان أم أنه من الأفضل أن تقول أنه إذا كان عامل التشغيل متماثلًا ومُعرَّفًا في كل مكان ، فهو أيضًا متماثل ذاتيًا؟ ربما هذا غير مهم ، لكني أكره أن أقول هذا التعريف وأن تقول إحدى لجنتي & quotno أن التعريف هو A = A * & quot أو أي شيء آخر. كما ترون أنا كيندا في هذا الوضع الذعر قبل quals

أعتقد في مجتمع الفيزياء الرياضية أن الناس عادة ما يستخدمون المصطلح Hermitian للتعبير عن المشغلين المقيدين بالتعريف التالي

& ltAu، v & gt = & ltu، Av & gt for all u، v in the Hilbert space. & ltAu، v & gt = & ltu، Av & gt for all u، v in the Hilbert space.

بالنسبة إلى عوامل التشغيل غير المحدودة ، يكون التعريف أكثر تعقيدًا لأنه يتعين عليك تحديد A *. يتم تعريف هذا على أنه عامل مع المجال الذي قدمه كل v والتي يوجد لها z مثل:

& ltAu، v & gt = & ltu، z & gt for all u في مجال A.

عامل التشغيل A يكون عندئذٍ معايرًا ذاتيًا إذا كان A = A * ، مما يعني D (A) = D (A *) و Av = A * v لكل v في D (A).

& # x27m لست متأكدًا من مدى انتشار هذه التعريفات ، لكنني متأكد من أنه عندما يكون لديك عوامل تشغيل غير محدودة ، فأنت بحاجة إلى استخدام التعريف الثاني. أعتقد أننا اعتدنا على استدعاء المشغلين الذين يستوفون تعريفك الأول المتماثل ، لكني & # x27m لست متأكدًا من ذلك. لا يهتم الفيزيائيون بالتمييز ويحددون المشغلين Hermitian من خلال تعريفي الأول حتى بالنسبة للمشغلين غير المحدودين.

تحرير: يجب أن أذكر أيضًا أن هذا التمييز مهم فقط إذا كانت مساحة هيلبرت لديك ذات أبعاد عديدة بلا حدود. يجب أيضًا أن يكون A عاملًا محددًا بشكل مكثف (يجب أن يكون هذا جزءًا من التعريف). في مساحة هيلبرت المحدودة ، يمكن لكل مشغل محدد بشكل مكثف أن يستمر بشكل فريد في مساحة هيلبرت بأكملها ، بحيث يمكن للمرء أن يأخذ جميع المشغلين كما هو محدد في المساحة بأكملها. كلا التعريفين متكافئين. ومع ذلك ، إذا كنت في مساحة هيلبرت ذات الأبعاد اللانهائية وكان A غير محدود ، فلا يمكنك تحديده بشكل فريد في المساحة بأكملها وتصبح المجالات مهمة.


عامل تشغيل هيلبرت مقابل عامل مساعد ذاتي

مرحبًا ، أثناء قراءة تعليق للدكتور دو ، بحثت عن تعريف عامل التشغيل المساعد لهيلبرت ، ويبدو أنه نفس عامل التشغيل Hermitian:

هذا جيد ، لأنه يشير إلى أن ## T ^ <*> T = TT ^ <*> ## ، ومع ذلك ، يبدو أن المواءمة الذاتية مختلفة؟

الرجاء تصحيح لي إذا كان هذا خطأ. ويبدو لي أن عامل الربط الذاتي يتم تعريفه بالتناوب الذاتي إذا وفقط إذا كان يفي بقاعدة المنتج الداخلي في فضاء هيلبرت المعياري ، حيث يكون التحويل المقترن لعناصر المصفوفة مساويًا للمصفوفة.

لذلك يمكن للمرء أن يقول أن الأول هو خاصية تحدد جانبًا متماثلًا معينًا من العلاقة بين عاملين ، T و ## T ^ <*> ## ، بينما يحدد الأخير جانبًا متماثلًا من الإجراء (أو العملية) أي من المشغلين بشكل منفصل ، T أو ## T ^ <*> ## على التعيين - وأن كلا الخاصيتين (الأولى والأخيرة) لا يجب أن تحدثا في نفس الوقت؟

إنني أدرك أنه يمكن الإجابة عن الكثير من هذا من خلال النظر في سلاسل رسائل أخرى ، لكن هذا السؤال يقارن هاتين الخاصيتين المهمتين ، والتي يمكن للمبتدئين مثلي فهمها بشكل خاطئ ، وبالتالي قد يساهمون في زيادة تأثير المنتدى كمورد.


11.1: عاملون مساعدون ذاتيون أو ناسكون - رياضيات

المشغل Hermitian هو الذي يرضي

كما هو مبين في نظرية Sturm-Liouville ، إذا كانت ذاتية التكافؤ وتفي بشروط الحدود

ومن ثم فهو هرميتيا تلقائيا. المشغلين Hermitian لديهم قيم ذاتية حقيقية ، ووظائف ذاتية متعامدة ، وتشكل الدوال الذاتية المقابلة مجموعة كاملة عندما تكون من الدرجة الثانية وخطية. من أجل إثبات أن القيم الذاتية يجب أن تكون حقيقية ووظائف ذاتية متعامدة ، ضع في اعتبارك

افترض أن هناك قيمة ذاتية ثانية مثل ذلك

الآن اضرب (3) في و (5) في

ولكن لأنه هرميتى ، فإن الجانب الأيسر يتلاشى.

إذا كانت القيم الذاتية وليست متدهورة ، إذن ، فإن الوظائف الذاتية تكون متعامدة. إذا كانت القيم الذاتية متدهورة ، فإن الوظائف الذاتية ليست بالضرورة متعامدة. خذ الان .

لا يمكن أن يتلاشى التكامل ما لم يكن لدينا والقيم الذاتية حقيقية.

نظرا لمشغلي Hermitian و ،

لأنه ، بالنسبة لمشغل Hermitian مع Eigenvalue ،

لذلك ، إما أو. لكن إيف ، هكذا

من أجل وظيفة ذاتية غير بديهية. هذا يعني أن المشغلين Hermitian ينتجون قيم توقع حقيقية. لذلك يجب أن يكون لكل ما يمكن ملاحظته عامل Hermitian مقابل. علاوة على ذلك،


العوامل الخطية المترابطة ذاتياً

تذكر أنه إذا كان $ V $ و $ W $ عبارة عن مساحة منتج داخلية غير صفرية ذات أبعاد محدودة ، وإذا كان $ T in mathcal L (V، W) $ ، فإن علامة $ T $ المشار إليها هي $ T ^ * $ هي الخريطة الخطية $ T ^ *: يتم تعريف W to V $ من خلال النظر في الوظيفة الخطية $ varphi: V to mathbb$ مُعرَّف بواسطة $ varphi (v) = & ltT (v)، w & gt $ وللحصول على $ w في W $ ثابت ، نحدد $ T ^ * (w) $ ليكون المتجه الفريد في $ V $ مثل أن ltT ( v) ، w & gt = & ltv ، T ^ * (w) & gt $.

إذا نظرنا الآن فقط إلى العوامل الخطية ، قل $ T in mathcal L (V) $ ثم $ T: V to V $ و $ T ^ *: V to V $ ، وفي بعض الحالات ، سيكون لدينا أن $ T = T ^ * $. هذا النوع من العوامل الخطية خاصة ومحددة أدناه.

تعريف: لنفترض أن $ V $ هو مساحة منتج داخلية غير صفرية ذات أبعاد محدودة. دع $ T in mathcal L (V) $. ثم يقال أن $ T $ يكون مساعد ذاتي إذا كان T = T ^ * $.

المصطلح & quotHermitianتُستخدم & quot بالتبادل بدلاً من & quot؛ ذاتي- Adjoint & quot.

لقد رأينا بالفعل نوعًا واحدًا من المعامِلات الخطية ذاتية الضبط ، وهي مُعامِل الهوية منذ $ I = I ^ * $.

للحصول على مثال أكثر تعقيدًا ، ضع في اعتبارك عامل التشغيل الخطي $ T in mathcal ( mathbb^ 2) $ محدد بواسطة $ T (x، y) = (2x + 3y، 3x + 2y) $ واعتبر الأساس القياسي $ <(1، 0)، (0، 1) > $ of $ mathbb^ 2 دولار. لاحظ أن $ T (1، 0) = (2، 3) $ و $ T (0، 1) = (3، 2) $ لذا يمكننا بناء المصفوفة $ mathcal M (T) $ فيما يتعلق بـ أساس $ <(1، 0)، (0، 1) > $ ليكون:

كما رأينا في مصفوفة Adjoint للخريطة الخطية ، يمكن الحصول على مصفوفة $ T ^ * $ فيما يتعلق بهذا الأساس $ <(1، 0)، (0، 1) > $ بأخذ المرافق تبديل $ mathcal M (T، <(1، 0)، (0، 1) > $ ومع ذلك ، لاحظ أن $ mathcal M (T، <(1، 0)، (0، 1) > = mathcal M (T ^ *، <(1، 0)، (0، 1) > $ لذا $ T $ هو مضاهاة ذاتية.

سننظر الآن في بعض الخصائص الأساسية لمصفوفات ذاتية المساعدة.

لاحظ أن الاقتراح 2 لا ينطبق إلا إذا كان $ a $ رقمًا حقيقيًا لأننا في الدليل أدناه نطلب أن $ a = bar $ الذي يتم الاحتفاظ به فقط إذا كان $ a in mathbb$ .


11.1: عاملون مساعدون ذاتيون أو ناسكون - رياضيات

معظم op & shyer & shya & shytors في quan & shytum me & shychan & shyics هم من نوع spe & shycial يسمى Her & shymit & shyian. يسرد هذا القسم أكثر الدعامات والأكثر خجلاً وخجلًا.

يُطلق على `` op & shyer & shya & shytor '' اسم Her & shymit & shyian عندما يمكن أن ينقلب دائمًا إلى الجانب الآخر إذا كان يتأرجح في منتج in & shyner & shyuct:

  • هم آل وshyways ديك الحقيقي ايقن وshyval وshyues، وليس في وshyvolv والخجل (ولكن ايقن وshyfunc وshytions، أو ايقن وshyvec وshytors إذا كان المرجع وأكثر خجلا وshya وshytor هو أماه وshytrix، قد يكون كوم وshyplex.) فيز وشيي وshycal فال وshyues مثل بو وshysi وshytion، مو وshymen وshytum، وحمام وshyergy هي أو وshydi وshynary الحقيقية الأسطوانات وshybers لأنها ايقن وshyval وshyues صاحبة وshymit والمرجع shyian وأكثر خجلا وshya وshytors .
  • يمكن أن يتم اختيارهم وخجلهم وخجلهم دائمًا بحيث لا يكونون & shymal & shyed و mu & shytu & shyally أو & shythog & shyo & shynal ، بعبارة أخرى ، مجموعة or & shytho & shynor & shymal. هذا يميل إلى محاكاة الرياضيات المختلفة والخجولة والخجولة والشيعة والخجولون كثيرًا.
  • تشكل eigen & shyfunc & shytions مجموعة com & shyplete. هذا يعني أنه يمكن كتابة أي func & shytion وخجله مثل بعض lin & shyear com & shybi & shyna & shytion من eigen & shyfunc & shytions. (هناك دليل في de & shyriva & shytion ل im & shypor & shytant السابقين & shyam & shyple. لكن انظر أيضًا .) في مصطلحات prac & shyti & shycal ، هذا يعني أنك تحتاج فقط إلى إلقاء نظرة على eigen & shyfunc & shytions للتغلب على ما يفعله op & shyer & shya & shytor على نحو خجول.

في الخط والشيير والخجل والشيبرا من الخجل والخجول الحقيقيين ، فإن Her & shymit & shyian op & shyer & shya & shytors هم sim & shyply sym & shymet & shyric ma & shytri & shyces. A ba & shysic ex & shyam & shyple هو in & shyer & shytia ma & shytrix لجسم صلب في New & shyton & shyian dy & shynam & shyics. يعطي كل من or & shytho & shynor & shymal eigen & shyvec & shytors of the in & shyer & shytia ma & shytrix التباينات والأشكال من محاور prin & shyci & shypal في & shyer & shytia من الجسم.

مجموعة An or & shytho & shynor & shymal com & shyplete من eigen & shyvec & shytors أو eigen & shyfunc & shytions هي ex & shyam & shytions لما يسمى & # 8220 ba & shysis. & # 8221 بشكل عام وخجول ، a ba & shysis & shytors is a min & shytions of fun & shytions. بالنسبة إلى ex & shyam & shyple ، فإن الوحدة vec & shytors وهي عبارة عن ba & shysis لـ nor & shymal three-di & shymen & shysion & shyal space. يمكن كتابة كل ثلاثة دي ، وشيمين ، وخجل ، وخجول ، وكاتب خجول كخطيب وشيير ، وشيبي ، وشينا ، وشيتيون من الثلاثة.

إن الدعائم والخجول والخجول والخجول من المنتجات الخجولة والخجولة في & shyvolv & shying Her & shymit & shyian op & shyer & shya & shytors هي أمر مطلوب ، لذا فهي مدرجة هنا:

الأول يقول أنه يمكنك المبادلة وإذا كنت تأخذ com & shyplex con & shyju & shygate. (إنه أمر بسيط وخجول إعادة & shyflec & shytion لحقيقة أنه إذا قمت بتغيير الجوانب في منتج خجول وخجول ، فإنك تقوم بتحويله إلى com & shyplex con & shyju & shygate. ولا هو & shymally ، هذا يضع op & shyer & shy & shytor على الجانب الآخر ، ولكنه يجعله خجولًا وخجولًا. يختلف & خجول & خجول.) sec & shyond هو im & shypor & shytant be & shycause or & shydi & shynary real num & shybers type & shyi & shycally oc & shycupy مكان خاص وخجول في المخطط الكبير للأشياء. (حقيقة أن منتج in & shyner & shyuct هو أمر حقيقي يعيد ويخجل حقيقة أنه إذا كان num & shyber مساويًا لـ com & shyplex con & shyju & shygate ، فيجب أن يكون حقيقيًا إذا كان هناك بداخله ، فإن num & shyber سيتغير بواسطة com & shyplex con & shyju & shygate.)

يمكن أن ينقلب أسلوبها الخجول والخجول والخجول والخجول إلى الجانب الآخر في المنتجات الخجولة والخجولة.

لها و shymit & shyian op & shyer & shya & shytors ليس لديهم سوى eigen حقيقي وخجول وخجول.

لها & shymit & shyian op & shyer & shya & shytors لديها مجموعة com & shyplete من or & shytho & shynor & shymal eigen & shyfunc & shytions (أو eigen & shyvec & shytors).

A ma & shytrix هو & shyfined لخداع أي vec & shytor & shytor في Ver & shyter أو يكون & shytho & shynor & shymal eigen & shyvec & shytors من هذا ma & shytrix ، مع eigen & shyval & shyues 2 ، re & shyspec & shytively 4.

A ma & shytrix هو & shyfined لخداع أي vec & shytor في vec & shytor Ver & shyify that and is or & shytho & shynor & shymal eigen & shyvec & shytors of this ma & shytrix ، مع eigen & shyval & shyues 2 re & shyspec.

أظهر أن العملية والخجول والشيعة والشيعة هي خجولة وخجولة وخجولة وخجولة وخجولة ، لكنها ليست كذلك.

جن & خجول & خجول & خجول أسئلة & خجولة & خجولة & shytion ، من خلال إظهار وخجل أن أي محتال com & shyplex & shystant يخرج من الجانب الأيمن من منتج in & shyner & shyner un & shychanged، but out of the left side as its com & shyplex con & shyju & shygate

كإعادة & خجول ، فإن العدد والخجل ليس سوى شخص خجول وخجول وخجول وخجول وخجول إذا كان حقيقيًا: إذا كان com & shyplex ، فإن الشخصين السابقين والخجولين أعلاه ليسا متماثلين.

أظهر أن شخصًا خجولًا وخجولًا وخجولًا مثل cor & shyre & shyspond & shying to mul & shyti & shyply & shying to mul & shyti & shyply & shying by a func & shytion حقيقي ، هو رجل خجول وخجول وخجول وخجول وخجول.

أظهر أن المرجع والخجل والشيعة والشيخ # 8203 ليس لها وخداعًا وخجولًا وخجولًا وشياًا وخجولًا ، ولكن & # 8203 هو ، كما & خجول وخجول من أن الفك والخدع التي يتصرفون فيها خجولين في نهايات الخجل والخجل الذي هم عليه. (أقل شذوذًا وخجولًا ، من المهم فقط أن تكون الوظائف والخدع pe & shyri & shyodic يجب أن تعيد & shyodic إلى نفس القيمة التي كانت عليها)

أظهر أنه إذا كانت خجولًا وخجولًا وخجولًا وخجولًا وخجولًا ، فعندئذ يكون الأمر كذلك كخادع وخجول ، ويخجل من المخادعين والشيديين من الأسئلة والأحاديث الخجولة والخجولة ، & # 8203 هي صاحبة العمل الخجول والخجول والخجول أيضًا. (وهذا هو الحال & # 8203 بالطبع ، ولكن & # 8203 هو الشخص الذي يمتلك نقاط eigen & shyi & shytive & shyval & shyues ، مربعات eigen & shyval & shyues لـ & # 8203)

مجموعة com & shyplete من or & shytho & shynor & shymal eigen & shyfunc & shytions من & # 8203 on the & shyter & shyval 0 التي تكون صفرًا في نقاط النهاية هي مجموعة in & shyfi & shynite من func & shytions

تحقق من أن هذه الوظائف والأشكال في & shydeed صفر عند 0 وأنها في & shydeed أو & shytho & shynor & shymal ، وأنهم eigen & shyfunc & shytions of & # 8203 مع pos & shyi & shytive real eigen & shyval & shyues

Com & shyplete & shyness هو أمر أكثر صعوبة وخجولًا لإثباته ، لكنهم كذلك. دليل com & shyplete & shyness in the Notes cov & shyers هذه الحالة.

مجموعة com & shyplete من or & shytho & shynor & shymal eigen & shyfunc & shytions of the op & shyer & shya & shytor & # 8203 that are pe & shyri & shyodic on the in & shyter & shyval 0 هي مجموعة in & shyfi & shynite من func & shynite

تحقق من أن هذه الوظائف والخدع موجودة في & shydeed pe & shyri & shyodic ، أو & shytho & shynor & shymal ، وأنها eigen & shyfunc & shytions of & # 8203 مع eigen الحقيقي والخجول والخجول

Com & shyplete & shyness هو أمر أكثر صعوبة وخجولًا لإثباته ، لكنهم كذلك. دليل com & shyplete & shyness in the Notes cov & shyers هذه الحالة.


3.41.2. نطاق¶

للحصول على طيف من المشغل ، نحتاج إلى حل المشكلة التالية:

تلك القيم التي ينتمي لها الحل إلى الجزء المنفصل من الطيف. تسمى القيم الذاتية والمتجهات الذاتية. تلك القيم التي يمكن تطبيعها إلى دالة دلتا:

تنتمي إلى الجزء المستمر من الطيف (لاحظ أنه في هذه الحالة).

المتجهات الذاتية التي تنتمي إلى الجزء المستمر من الطيف تخضع لعلاقة الاكتمال:

المتجهات الذاتية التي تنتمي إلى الجزء المنفصل تخضع لعلاقة الاكتمال التالية:

يعمل المجموع أو التكامل على الطيف بأكمله (إذا كان الطيف يحتوي على جزء منفصل ومستمر ، فنحن ببساطة نجمع الجمع والتكاملات).

طيف عامل التشغيل الذاتي هو حقيقي ، لأنه

المتجهات الذاتية متعامدة:

لذلك نحصل على ذلك ، لأن the يساوي 1 إذا كان ينتمي إلى الطيف المنفصل وحصلنا على:

أو يتم تطبيعها كدالة دلتا إذا كانت تنتمي إلى الجزء المستمر:

على هذا النحو ، فإن المتجهات الذاتية لعامل مساعد ذاتي كاملة ومتعامدة بالمعنى أعلاه. وبالتالي يمكن بعد ذلك توسيع أي وظيفة من الفضاء إلى السلسلة:


11.1: عاملون مساعدون أو ناسكون - رياضيات

& # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 كل الفضاء & # X2019s مرحلة ،
وجميع الوظائف والمشغلين مجرد لاعبين!

كانت جميع اعتباراتنا السابقة مجرد تحضير للمرحلة والآن يتقدم الممثلون الرئيسيون لأداء مسرحية. مسافات المتجهات ليست مثيرة للاهتمام عندما نأخذها في الاعتبار في الإحصائيات ، ما يجعلها مثيرة حقًا هي تحولاتها. الخطوات الأولى الطبيعية هي النظر في التحولات التي تحترم كل من البنية الخطية والقاعدة.

6.1 & # XA0 & # XA0 عوامل التشغيل الخطية

التعريف & # XA01 & # XA0 & # XA0 أ عامل خطي T بين مسافتين معياريتين X و ص هو رسم الخرائط T: X & # X2192 ص مثل ذلك T (& # X3BB v + & # XB5 u) = & # X3BB T (v) + & # XB5 T (u). نواة العامل الخطي كير تي و صورة يتم تعريفها بواسطة
& # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0ker T & # XA0 = & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 Im & # XA0 T = .

كالعادة ، نحن مهتمون أيضًا بالاتصالات مع البنية (الطوبولوجية) الثانية:

  1. تي مستمر على X
  2. تي مستمر عند هذه النقطة 0.
  3. تي هو عامل خطي محدد.

دليل. الدليل يتبع أساسًا إثبات النظرية المماثلة & # XA04.

6.2 & # XA0 & # XA0Orthoprojections

هنا سوف نستخدم المكمل المتعامد ، راجع & # XA7 & # XA03.5 ، لتقديم فئة من المشغلين الخطيين & # X2014 الإسقاطات المتعامدة. على الرغم من (أو بالأحرى بسبب) بساطتها الشديدة ، فإن هؤلاء المشغلين هم من بين الأدوات الأكثر استخدامًا في نظرية فضاء هيلبرت.

النتيجة الطبيعية & # XA08 & # XA0 (من Thm. & # XA0 23 ، حول تقويم العظام) & # XA0 & # XA0 يترك م تكون مساحة جزئية خطية مغلقة لمساحة هيلبرت ح . هناك خريطة خطية ص م من عند على Hل م (ال الإسقاط المتعامد أو تقويم العظام) مثل ذلك
ص م 2 = ص م ، & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0ker P م = M & # X22A5، & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 P م & # X22A5 = أنا & # X2212 ص م . & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 (34)

دليل. دعونا نحدد P م (x) = m حيث x = m + n هي التحلل من النظرية السابقة. ينبع خطي هذا المشغل من حقيقة أن كلا من M و M & # X22A5 فضاءات فرعية خطية. أيضا ف م (م) = م لجميع م & # X2208 م وصورة P. م هو م. هكذا ص م 2 = ص م . أيضا إذا كان P. م (x) = 0 ثم x & # X22A5 M ، أي ker P. م = M & # X22A5. وبالمثل P م & # X22A5 (x) = n حيث x = m + n و P. م + ص م & # X22A5 = أنا.

6.3 & # XA0 & # XA0 B (H) كمساحة Banach (وحتى الجبر)

دليل. إثبات تكرار الإثبات للنظرية & # XA08 ، وهي حالة خاصة للنظرية الحالية لـ Y = & # X2102 ، راجع مثال & # XA03.

دليل. بوضوح (ST) x = S (Tx) & # X2208 Z و

& # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0& # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
STx & # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
& # X2264 & # XA0& # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
س & # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
TX & # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
& # X2264& # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
س & # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
تي & # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
x & # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
,

مما يعني تقدير القاعدة إذا || x || & # X22641.

دليل. إنه الاستقراء بواسطة n مع القاعدة التافهة n = 1 والخطوة التالية من النظرية السابقة.

التعريف & # XA015 & # XA0 & # XA0 يترك T & # X2208 B (X، Y). نحن نقول تي هو عامل قابل للعكس إذا كان موجودًا S & # X2208 B (Y ، X) مثل ذلك
& # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 ST = & # XA0 I X & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0and & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 TS = I ص .
مثل هذا س يسمى المشغل العكسي لـ تي .
  1. لمشغل معكوس T: X & # X2192 ص نحن لدينا كير T = <0>و & # X2111 T = ص .
  2. العامل العكسي فريد (إن وجد أصلاً). (افترض وجود س و & # X2032، ثم فكر في عامل التشغيل STS & # X2032.)
  1. عامل الصفر لا يمكن عكسه أبدًا ما لم تكن المساحات المرضية X = Y = <0>.
  2. العامل الهوية أنا Xهو معكوس نفسه.
  3. لا يمكن عكس الوظيفة الخطية إلا إذا كانت غير صفرية و X هو بعد واحد.
  4. عامل & # X2102 n & # X2192 & # X2102 م قابل للعكس إذا وفقط إذا م = ن والمصفوفة المربعة المقابلة غير مفردة ، أي لها محدد غير صفري.الالنقلة الصحيحة س غير قابل للانعكاس في ل 2(هو واحد لواحد ولكن ليس على). لكن عامل التحول الأيسر T (x 1، س 2، & # X2026) = (x 2، س 3، & # X2026) هو معكوسها الأيسر ، أي TS = أنا لكن TS & # X2260 أنا حيث ST (1،0،0، & # X2026) = (0،0، & # X2026). تي ليس قابلاً للعكس أيضًا (إنه موجود ولكن ليس واحدًا لواحد) ، مع ذلك س هو معكوسها الصحيح.
  5. عامل الضرب م ثقابل للعكس إذا وفقط إذا w & # X22121 & # X2208 C [أ ، ب] والعكس هو م ث & # X22121. على سبيل المثال م 1+ رغير قابل للعكس إل 2[0,1] و م رليس.

6.4 & # XA0 & # XA0Adjoints

نظرية & # XA018 & # XA0 & # XA0 يترك ح و ك تكون مساحات هيلبرت و T & # X2208 B (H، K). ثم هناك عامل T * & # X2208 B (K، H) مثل ذلك
& # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # X27E8 & # XA0 Th، k & # XA0 & # X27E9 ك = & # X27E8 & # XA0 h، T * k & # XA0 & # X27E9 ح & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 for all & # XA0 & # XA0 h & # X2208 & # XA0 H، & # XA0 k & # X2208 & # XA0 K.
مثل T * يسمى المشغل المساعد لـ تي . أيضا T ** = T. و || T * || = || تي ||.

دليل. لأي k & # X2208 K ثابت التعبير h: & # X2192 & # X27E8 Th، k & # X27E9 ك يحدد وظيفية خطية محدودة على H. بواسطة Riesz & # X2013Fr & # XE9chet lemma هناك ملف فريدة من نوعها y & # X2208 H مثل & # X27E8 Th، k & # X27E9 ك = & # X27E8 h ، y & # X27E9 ح لجميع h & # X2208 H. حدد T * k = y ثم T * خطي:

مما يدل على || T * k || & # X2264 || T || & # XB7 || ك || ، وبالتالي || T * || & # X2264 || تي ||. المتباينة المعاكسة تأتي من الهوية || T || = || T ** ||.

  1. للمشغلين تي 1و تي 2اظهر ذلك
    & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 (T 1 تي 2) * = T. 2 * ت 1 * ، & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 (T 1+ ت 2) * = T. 1 * + ت 2 * & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 (& # X3BB & # XA0 T) * = & # X3BB T *.
    إذا أ عامل تشغيل في مساحة هلبرت ح ومن بعد (كير أ) & # X22A5 = إم أ * .

6.5 & # XA0 & # XA0 عوامل التشغيل المنحدرة والوحدة والعادية

لتقدير النظرية التالية ، يكون التمرين التالي مفيدًا:

  1. ل x & # X2208 H. نحن لدينا || x || = sup & # XA0 <& # XA0 | & # X27E8 x، y & # X27E9 | لجميع y & # X2208 H مثل هذا || ص || = 1>.
  2. ل T & # X2208 ب (ح) نحن لدينا
    & # X23AA & # X23AA
    & # X23AA & # X23AA
    تي& # X23AA & # X23AA
    & # X23AA & # X23AA
    = sup & # XA0 <& # XA0 & # XA0& # X23AA
    & # X23AA
    & # X27E8 & # XA0 Tx، y & # XA0 & # X27E9 & # XA0& # X23AA
    & # X23AA
    & # XA0 للجميع & # XA0 x، y & # X2208 & # XA0 H & # XA0 مثل ذلك & # XA0& # X23AA & # X23AA
    & # X23AA & # X23AA
    x& # X23AA & # X23AA
    & # X23AA & # X23AA
    =& # X23AA & # X23AA
    & # X23AA & # X23AA
    ذ& # X23AA & # X23AA
    & # X23AA & # X23AA
    = 1>. & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 (35)

تقول النظرية التالية ، أنه بالنسبة للمشغل Hermitian T ، يمكن أخذ السيادة في & # XA0 (35) على & # X201Cdiagonal & # X201D x = y فقط.

دليل. إذا كانت Tx = 0 لكل x & # X2208 H ، فإن كلا جانبي الهوية يساوي 0. لذلك نفترض أن & # X2203 x & # X2208 H والتي من أجلها Tx & # X2260 0.

نرى أن | & # X27E8 Tx، x & # X27E9 | & # X2264 || Tx |||| x || & # X2264 || T |||| س 2 |||| x || = 1 | & # X27E8 Tx، x & # X27E9 | & # X2264 || تي ||. للحصول على المتباينة بالعكس ، نكتب أولاً s: = sup|| x || = 1 | & # X27E8 Tx، x & # X27E9 |. ثم لأي x & # X2208 H ، لدينا | & # X27E8 Tx، x & # X27E9 | & # X2264 s || × 2 ||.

& # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # X27E8 & # XA0 T (x + y)، x + y & # XA0 & # X27E9 & # XA0 = & # X27E8 & # XA0 Tx، x & # XA0 & # X27E9 & # XA0 + & & # X27E8 & # XA0 Tx، y & # XA0 & # X27E9 + & # X27E8 & # XA0 Ty، x & # XA0 & # X27E9 & # XA0 + & # X27E8 & # XA0 Ty، y & # XA0 & # X27E9 = & # XA0 & # XA0 & # X27E8 & # XA0 Tx، x & # XA0 & # X27E9 + 2 & # X211C & # XA0 & # X27E8 & # XA0 Tx، y & # XA0 & # X27E9 & # XA0 + & # X27E8 & # XA0 Ty، y & # XA9 & #

(لأن T كونها Hermitian تعطي & # X27E8 Ty، x & # X27E9 = & # X27E8 y، Tx & # X27E9 = & # X27E8 Tx، y & # X27E9) وبالمثل ،

& # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA0 & # X27E8 & # XA0 T (x & # X2212 y)، x & # X2212 y & # XA0 & # X27E9 & # XA0 = & # XA0 & # X27E8 & # XA0 Tx، x & # XA0 & # X27E9 & # XA0 & # X22122 & # X211C & # XA0 & # X27E8 & # XA0 Tx، y & # XA0 & # X27E9 + & # X27E8 & # XA0 Ty، y & # XA0 & # X27E9.

من خلال هوية متوازي الأضلاع.

الآن ، بالنسبة إلى x & # X2208 H مثل Tx & # X2260 0 ، نضع y = || تكساس || & # X22121 || x || TX. ثم || ذ || = || x || وعندما نعوض في المتباينة السابقة ، نحصل على

& # XA0 & # XA0 & # XA0 & # XA04& # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
TX & # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
x & # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
= 4 & # X211C & # X27E8 & # XA0 Tx، y & # XA0 & # X27E9 & # XA0 & # XA0 & # X2264 & # XA04 s & # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
× 2 & # X23AA & # X23AA
& # X23AA & # X23AA
,

هكذا || Tx || & # X2264 s || x || ويتبع ذلك || T ||≤ s , as required.

  1. إذا D : l 2→ l 2is adiagonal operatorمثل ذلك D e كك ه ك، ومن بعد D * e ك = λ ك ه كو د is unitary if and only if | λ ك |=1 للجميع ك .
  2. The shift operator س satisfies S * S = I but SS * ≠ I هكذا س is not unitary.
  1. يو is unitary يو is surjection and an isometry, i.e. || Ux ||=|| x || للجميع x ∈ H يو is a surjection and preserves the inner product, i.e. ⟨ Ux , Uy ⟩=⟨ x , y ⟩ للجميع x , y ∈ H .

دليل. 1𡴢. Clearly unitarity of operator implies its invertibility and hence surjectivity. Also

    ⎪⎪
⎪⎪
Ux ⎪⎪
⎪⎪
2 =⟨  Ux , Ux   ⟩=⟨  x , U * Ux   ⟩=⟨  x , x   ⟩=⎪⎪
⎪⎪
x ⎪⎪
⎪⎪
2 . 

2𡴣. Using the polarisation identity (cf. polarisation in equation (12)):

Take T = U * U and T = I , then

3𡴡. Indeed ⟨ U * U x , y ⟩=⟨ x , y ⟩ implies ⟨ ( U * U − I ) x , y ⟩=0 for all x , y ∈ H , then U * U = I . Since U is surjective, for any y ∈ H there is x ∈ H such that y = Ux . Then, using the already established fact U * U = I we get


16.10.2018. Chapter 1: Review of analysis. Measure theory: measurable sets, measurable functions, Lebesgue integration, Monotone Convergence, Dominated Convergence, Fatou's lemma, Brezis-Lieb refinement of Fatou's lemma, Approximation of integrable functions by continuous functions with compact support L^p spaces: definition of L^p norm, completeness of the norm (L^p spaces are Banach spaces), Hölder's inequality, dual space of L^p.

19.10.2018. L^p spaces (continued): weak convergence, Banach-Alaoglu theorem (weak compactness of bounded sequences), Banach-Steinhaus theorem (Uniform bounded principle, without proof). Convolution, Young inequality, approximation by convolution.

23.10.2018. Hardy-Littlewood-Sobolev inequality. Fourier transform: Plancherel theorem, inverse transform, Fourier transform of convolution, Fourier transform of derivatives. Sobolev space H^m(R^d). Hilbert space: orthogonality, Parseval's identity, Riesz representation theorem, weak convergence.

26.10.2018. Chapter 2: Principles of quantum mechanics. Postulates of quantum mechanics: states, observables, measurement, dynamics. Why do we need quantum mechanics? Strange observations and non-commutativity of observables, Einstein-Podolsky–Rosen (EPR) paradox, Bell's inequality. Formal similarities of classical mechanics. Here is the lecture notes.

30.10.2018. Mathematical formulation of quantum mechanics. Heisenberg's and Hardy's uncertainty principles. Proof of the stability of hydrogen atom using Hardy's inequality. Chapter 3: Sobolev spaces. Distribution theory: test functions and distributions, locally integrable functions are distributions, fundamental lemma of calculus of variations, weak (distributional) derivatives. Two equivalent definitions of Sobolev space H^m(R^d). Smooth functions with compact support is dense in H^m(R^d).

2.11.2018. Sobolev inequalities for H^1(R^d): Scaling argument, Fourier transform of 1/|x|^s, standard Sobolev inequality for d>=3 (proof using Hardy-Littlewood-Sobolev inequality), application to the stability of hydrogen atom, Sobolev inequality in low dimensions.

6.11.2018. Sobolev embedding theorem: weak convergence in H^1(R^d), heat kernel, H^1 weak-convergence implies L^p strong-convergence in bounded sets. Sobolev inequalities/embeddings for H^s. Green function of Laplacian, mean-value theorem for harmonic functions, Newton's theorem.

9.11.2018. Derivative of |f| and diamagnetic inequality. Application of Sobolev embedding theorem: existence of ground state for hydrogen atom. Chapter 4: Spectral theorem. Bounded operators, compact operators, adjoint of an operator. Spectral theorem for compact operators.

13.11.2018. Proof of spectral theorem for compact operators. Definition of resolvent and spectrum. Basic properties of spectrum of bounded self-adjoint operators. Continuous functional calculus for bounded self-adjoint operators.

16.11.2018. States and observables in C*-algebra abstract setting. Spectral properties of hermitian, unitary, projection, and positive operators. Gel'fand isomorphism.

20.11.2018. Riesz-Markov representation theorem. Spectral measure. Zorn's lemma. Spectral theorem for bounded self-adjoint operator (multiplication operator version). Bounded functional calculus. Spectral theorem for bounded normal operators.

23.11.2018. Gelfand isomorphism (continued), representations in Hilbert space, the GNS construction. Lecture notes.

27.11.2018. Unbounded operators: densely defined domain, extension, adjoint operator, symmetric operator, self-adjoint operator, resolvent and spectrum. Spectral theorem for unbounded self-adjoint operators (Multiplication operator version). Functional calculus.

30.11.2018. Chapter 5: Self-adjoint extensions. Closure method. Essentially self-adjoint operators. Kato-Rellich method. Applications to Schrödinger operators.

4.12.2018. Operators bounded from below. Quadratic form. Friedrichs extension. Chapter 6: Quantum dynamics. Stone theorem (strong solution version).

7.12.2018. Symmetries and unitary evolution. Density matrix and entropy. Lecture notes.

11.12.2018. Stone theorem (weak solution and strongly continuous one-parameter unitary group). Three fundamental questions in quantum mechanics: self-adjointness, spectral properties and scattering properties.

14.12.2018. Chapter 7: Bound states. Discrete spectrum and essential spectrum. Weyl's criterion for spectrum. Perturbation by relatively compact operators. Application to Schroedinger operator.

21.12.2018: lecture moved to 11.1.2019

8.1.2019. Chapter 8: Scattering theory. Overview I: physical motivation, potential scattering, RAGE theorem, scattering operators, asymptotic completeness, stationary scattering theory, Lippmann–Schwinger equation. Lecture notes.

11.1.2019. Bound states (continued): Min-max principle, existence of (in)finitely many bound states of Schrödinger operators, exponential decay of bound states

15.1.2019. CLR inequality on the number of bound states. Scattering theory (continued): Space localization of bound states, kernel of free Schrödinger dynamics, RAGE theorem for free Schrödinger dynamics

18.1.2019. Proof of RAGE theorem in general case

22.1.2019. Scattering theory overview (2): Asymptotic completeness - guide through the proof by Enss, Coulomb scattering, S-matrix, cross-section. Lecture notes (with consistent signs for the wave-operators)

25.1.2019. Detailed proof of existence of wave operators and asymptotic completeness for short range interactions using Cook's method.

29.1.2019. Kernel equation of wave operators. Chapter 9: Many-body quantum theory. Tensor product and many-body Hilbert space, Kato theorem on self-adjointness, HVZ theorem on essential spectrum. An overview on Kato's work by B. Simon (Sections 7 and 13 are particularly relevant to what we discussed in the course).

1.2.2019. Zhislin theorem for existence of bound states of atoms. Particle statistics: bosons and fermions. Pauli exclusion principle. The ground state energy of non-interacting systems. Density functional theories.

5.2.2019. Chapter 10: Quantum entropy. Overview: states vs. density matrices, desired properties of entropy, a probabilistic argument for von Neumann entropy, sub-additivity of entropy. ملاحظات المحاضرة


شاهد الفيديو: مادة الرياضيات-الحصة 11-الفصل الأول- العمليات على الأعداد العشرية القسمة الإقليدية (ديسمبر 2021).