مقالات

3.3: نظرية Q-R و Mod - الرياضيات


عندما نقسم عددًا صحيحًا موجبًا (المقسوم) على عدد صحيح موجب آخر (المقسوم عليه) ، نحصل على حاصل القسمة. ينتج عن هذا التقسيم نتيجتين: حاصل القسمة والباقي.

هذه هي الطريقة التي نقسم بها عادة 23 على 4:

[ يتطلب {تضمين}
ابدأ {مجموعة} {rll}
5 && [- 3pt]
4 أرفق {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
تسطير { phantom {0} 20} && [- 3pt]
الوهمية {00} 3
نهاية {مجموعة} ]

بشكل عام ، يأخذ القسم (b div a ) الشكل

[ يتطلب {تضمين}
ابدأ {مجموعة} {rll}
q && [- 3pt]
أ أرفق {longdiv} { phantom {0} b} kern-.2ex [- 3pt]
تسطير { phantom {0} aq} && [- 3pt]
الوهمية {00} ص
نهاية {مجموعة} ]

بحيث (r = b-aq ) ، أو ما يعادله ، (b = aq + r ). بالطبع ، كلا من (q ) و (r ) عدد صحيح. ومع ذلك ، فإن "الأقسام" التالية

[{ تتطلب {تضمين} تبدأ {مجموعة} {rll}
4 && [- 3pt]
4 أرفق {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
تسطير { phantom {0} 16} && [- 3pt]
الوهمية {00} 7
نهاية {مجموعة}} { تتطلب {تضمين}
ابدأ {مجموعة} {rll}
2 && [- 3pt]
4 أرفق {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
تسطير { phantom {0} 8} && [- 3pt]
الوهمية {00} 15
end {array}} { تتطلب {enclose}
ابدأ {مجموعة} {rll}
6 && [- 3 نقطة]
4 أرفق {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
تسطير { phantom {0} 24} && [- 3pt]
الوهمية {00} -1
end {array}} { تتطلب {enclose}
ابدأ {مجموعة} {rll}
7 && [- 3 نقطة]
4 أرفق {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
تسطير { phantom {0} 28} && [- 3pt]
الوهمية {00} -5
نهاية {مجموعة}} ]

تلبي أيضًا المتطلبات (b = aq + r ) ، لكن هذا ليس ما نفعله عادةً. هذا يعني أن وجود (b = aq + r ) وحده لا يكفي لتحديد حاصل القسمة والباقي. نحن بحاجة إلى تعريف أكثر صرامة.

Theorem ( PageIndex {1} ) نظرية الحاصل المتبقية

بالنظر إلى أي أعداد صحيحة (a ) و (d ) ، حيث (d> 0 ) ، توجد أعداد صحيحة (q ) و (r ) مثل [a = dq + r ، ] حيث (0 leq r

الأعداد الصحيحة (d ) و (a ) و (q ) و (r ) تسمى توزيعات ارباح, المقسوم عليه, حاصل القسمة، و بقية، على التوالى. لاحظ أن (d ) هو أحد مضاعفات (a ) إذا وفقط إذا (r = 0 ).

ملاحظة

هذه هي الخطوط العريضة للإثبات:

  • صف كيفية العثور على الأعداد الصحيحة (q ) و (r ) بحيث (b = aq + r ).
  • أظهر أن اختيارنا لـ (r ) يرضي (0 leq r
  • قم بتأسيس تفرد (q ) و (r ).

فيما يتعلق بالجزء الأخير من الإثبات: لإثبات أن عددًا معينًا (س ) محدد بشكل فريد ، فإن النهج النموذجي هو افتراض أن (س ') هو خيار آخر يفي بالشرط المحدد ، وإظهار أنه يجب علينا لديك (س = س ').

دليل

هذا الدليل ليس هنا لأن هذا الدليل يحتاج إلى مبدأ حسن الترتيب الذي سنغطيه قريبًا.

ومع ذلك ، فإن المخطط أعلاه يصف التنسيق العام للإثبات.

ملاحظات:

يجب ألا تواجه أي مشكلة في قسمة عدد صحيح موجب على عدد صحيح موجب آخر. هذا هو نوع القسمة المطولة التي نقوم بها عادة. يعتبر قسمة عدد صحيح سالب على عدد صحيح موجب أكثر صعوبة. عندما يكون (b ) سالبًا ، سيكون حاصل القسمة (q ) سالبًا أيضًا ، ولكن يجب أن يكون الباقي (r ) غير سلبي. بطريقة ما ، (r ) هو العامل الحاسم: نختار (q ) بحيث يفي الباقي (r ) بالشرط (0 leq r

بشكل عام ، لأي عدد صحيح (ب ) ، ينتج عن قسمة (ب ) على (أ ) عددًا عشريًا. إذا لم تكن النتيجة عددًا صحيحًا ، فقربها تحت إلى العدد الصحيح الأصغر التالي (انظر المثال 3.3.1). هو حاصل القسمة (q ) الذي نريده ، والباقي (r ) يتم الحصول عليه من الطرح (r = b-aq ). على سبيل المثال ، [ frac {-22} {؛ ؛ 7} = -3.1428 ldots ،. ] ينتج عن التقريب لأسفل الناتج (q = -4 ) والباقي هو (r = -22-7 (-4) = 6 ) ؛ ولدينا (- 22 = 7 cdot (-4) +6 ).

مثال ( PageIndex {1} )

وفقًا لنظرية الحاصل والباقي ، احسب القسمة (q ) والباقي (r ) عند قسمة (م ) على (د ):

(أ) (م = 47 ) ، (د = 5 ) & (ب) (م = -47 ) ، (د = 5 ) & (ج) (م = -41 ) ، (د = 12 )

حل

(أ) 47 = 9 (5) +2 ، لذلك (q = 5 ) ، (r = 2 )
(ب) -47 = -10 (5) +3 ، لذلك (q = -10 ) ، (r = 3 )
(ج) -41 = -4 (12) +7 ، لذلك (q = -4 ) ، (r = 7 )

تمرين عملي ( PageIndex {1} label {he: divalgo-01} )

وفقًا لنظرية الحاصل والباقي ، احسب القسمة (q ) والباقي (r ) عند قسمة (ب ) على (أ ):

(أ) (ب = 128 ) ، (أ = 7 ) & (ب) (ب = -128 ) ، (أ = 7 ) & (ج) (ب = -389 ) ، (أ = 16 )

تأكد من التحقق من ذلك (b = aq + r ).

تعريف MOD (و div)

إعطاء الأعداد الصحيحة (أ ) و (ب ) ، مع (أ> 0 ) ،

[b bmod a = r left rightarrow b = aq + r ]

حيث (q in mathbb {Z}، ) (r in mathbb {Z} ) و (0 leq r

علاوة على ذلك ، [b mbox {div} a = q leftrightarrow b = aq + r. ]

حيث (q in mathbb {Z}، ) (r in mathbb {Z} ) و (0 leq r

( mbox {div} ) و ( bmod ) عاملان ثنائيان حيث يعطي (b mbox {div} a ) حاصل القسمة ، و (b bmod a ) ينتج عنه باقي العدد الصحيح التقسيم (ب div a ). لاحظ (b mbox {div} a ) يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو حتى صفرًا. لكن (b bmod a ) دائمًا ما يكون عددًا صحيحًا غير سالب أقل من (a ). في الواقع ، (b bmod a ) سيأخذ إحدى القيم من 0 ، 1 ، 2 ، ... ، (a-1. )

مثال ( PageIndex {2} label {eg: divalgo-02} )

لنفترض أن (n ) عددًا صحيحًا بحيث (n bmod6 = 4. ) حدد قيمة ((2n + 5) bmod6 ).

حل

تشير المعلومات المقدمة إلى أن (n = 6q + 4 ) لبعض الأعداد الصحيحة (q ). ثم [2n + 5 = 2 (6q + 4) +5 = 12q + 8 + 5 = 12q + 13 = 12q + 12 + 1 = 6 (2q + 2) +1. ] لذلك ((2n + 5) bmod6 = 1).

تمرين عملي ( PageIndex {2} label {he: divalgo-02} )

لنكن (n ) عددًا صحيحًا بحيث (n bmod11 = 5. ) احسب قيمة d ((6n-4) bmod11 ).

مثال ( PageIndex {3} label {eg: divalgo-03} )

افترض أن اليوم الأربعاء. أي يوم من أيام الأسبوع هو بعد عام من الآن؟

حل

يشير إلى الأحد ، الاثنين ، ... ، السبت باعتباره اليوم 0 ، 1 ، ... 6 ، على التوالي. اليوم هو اليوم الثالث. السنة (بافتراض 365 يومًا في السنة) من اليوم ستكون اليوم 368. نظرًا لأن [368 = 7 cdot52 + 4 ، ] سيكون اليوم الرابع من الأسبوع. لذلك ، ستكون سنة من اليوم الخميس.

تمرين عملي ( PageIndex {3} label {he: divalgo-03} )

افترض اليوم الجمعة. أي يوم من أيام الأسبوع هو 1000 يوم من اليوم؟

تمثيلات الأعداد الصحيحة باستخدام Modulo

من نظرية الحاصل والباقي ، نعلم أن أي عدد صحيح مقسومًا على عدد صحيح موجب سيكون له عدد محدد من الباقي ، وبالتالي عدد محدد من التمثيلات.

على سبيل المثال ، أي عدد صحيح مقسومًا على 7 سينتج الباقي بين 0 و 6 ، ضمناً. لذلك يمكن تمثيل كل عدد صحيح (n ) بواحد مما يلي:

(n = 7q quad n = 7q + 1 quad n = 7q + 2 quad n = 7q + 3 quad n = 7q + 4 quad n = 7q + 5 quad n = 7q + 6، quad ) حيث (q in mathbb {Z}. )

يمكن استخدام هذه التمثيلات لإثبات البيان: مربع أي عدد صحيح فردي له الشكل (8 م + 1 ) لبعض الأعداد الصحيحة (م. )

ابدأ باختيار عدد صحيح فردي تعسفي (n ). اذكر أنه من خلال نظرية الحاصل والباقي يمكن تمثيل أي عدد صحيح بإحدى الطرق التالية:

(n = 4q quad n = 4q + 1 quad n = 4q + 2 quad n = 4q + 3، quad ) لبعض الأعداد الصحيحة (q ).

باستخدام حقيقة أن (n ) أمر غريب ، ستتمكن من حذف اثنين من هذه التمثيلات ، مع ترك احتمالين فقط.

يستمر باقي الإثبات باستخدام الإثبات حسب الحالات (الحالتان المتبقيتان). (انظر التمارين).

مثال ( PageIndex {5} label {eg: directpf-05} )

وضح أنه إذا كان العدد الصحيح (n ) غير قابل للقسمة على 3 ، فيجب أن يكون (n ^ 2-1 ) من مضاعفات 3.

ملاحظة

تم استخدام الحرف (n ) لتحديد العدد الصحيح الذي يهمنا ، ويظهر في فرضية المعنى الذي نريد إثباته. ومع ذلك ، سيبدأ العديد من المؤلفين في إثباتهم بالعبارة المألوفة "دعونا (n ) يكون ..."

إجابه

لنفترض (n ) أن يكون عددًا صحيحًا لا يقبل القسمة على 3. عندما يتم القسمة على 3 ، يكون الباقي 1 أو 2. ومن ثم ، (n = 3q + 1 ) أو (n = 3q + 2 ) لبعض الأعداد الصحيحة (ف ).

الحالة 1: إذا (n = 3q + 1 ) لبعض الأعداد الصحيحة (q ) ، ثم بالجبر [n ^ 2-1 = 9q ^ 2 + 6q = 3 (3q ^ 2 + 2q) ، ] حيث (3q ^ 2 + 2q ) عدد صحيح لأن ( mathbb {Z} ) مغلق تحت الضرب والجمع. وبالتالي في هذه الحالة ، (n ^ 2-1 ) هو مضاعف 3 ، حسب تعريف المضاعف.

الحالة 2: إذا (n = 3q + 2 ) لبعض الأعداد الصحيحة (q ) ، ثم بالجبر [n ^ 2-1 = 9q ^ 2 + 12q + 3 = 3 (3q ^ 2 + 4q + 1 ) ، ] حيث (3q ^ 2 + 4q + 1 ) عدد صحيح لأن ( mathbb {Z} ) مغلق تحت الضرب والجمع. وبالتالي في هذه الحالة ، (n ^ 2-1 ) هو مضاعف 3 ، حسب تعريف المضاعف ..

في كلتا الحالتين ، أظهرنا أن (n ^ 2-1 ) مضاعف 3. لذلك ، إذا كان العدد الصحيح (n ) غير قابل للقسمة على 3 ، إذن (n ^ 2-1 ) يجب أن يكون من مضاعفات العدد 3.

(ث ^ 5 )

تمرين عملي ( PageIndex {6} label {he: directpf-06} )

أظهر أن (n (n + 1) (2n + 1) ) قابل للقسمة على 6 للجميع (n in mathbb {N} ).

تلميح

يجب أن يكون أحد العددين (n ) و (n + 1 ) زوجيًا (يمكنك الرجوع إلى النظرية: الأعداد الصحيحة المتتالية لها تكافؤ معاكس.) ، لذلك يمكننا بسهولة إظهار أن المنتج (n (n + 1) (2n + 1) ) هو مضاعف للعدد 2. وبالتالي ، يبقى إظهار أنه أيضًا من مضاعفات 3. ضع في اعتبارك ثلاث حالات : (n = 3q ) ، (n = 3q + 1 ) ، أو (n = 3q + 2 ) ، حيث (q ) عدد صحيح.

القيمة المطلقة ونظرية المثلث عدم المساواة

تعريف

لجميع الأعداد الحقيقية (س ) ،

(| x | = begin {cases} -x & text {if} x <0 x & text {if} x geq 0 end {cases} )

Theorem ( PageIndex {1} ) Triangle Inequality Theorem

بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية (x ) و (y ) ، فإن المتباينة التالية تحمل: (| x + y | leq | x | + | y ​​| ).

دليل

الدليل لم يأت بعد

ملخص ومراجعة

تمارين

تمرين ( PageIndex {1} label {ex: divalgo-01} )

تجد

(أ) (300 bmod 13 = )

(ب) (-115 بمود 11 = )

(ج) (145 bmod -22 = )

حل

(أ) 1 لأن 23 (13) = 299 و 300 = 23 (13) +1
(ب) 6 لأن -11 (11) = -121 و -115 = -11 (11) + 6
(ج) مستحيل لأن -22 ليس أكبر من صفر.

تمرين ( PageIndex {2} label {ex: divalgo-02} )

ابحث عن (b bmod a ) ، حيث

(أ) (79 بموود 19 = )

(ب) (59 bmod 18 = )

(ج) (- 823 bmod 16 = )

(د) (172 bmod -8 = )

(هـ) (- 134 بمود 20 = )

تمرين ( PageIndex {3} label {ex: divalgo-03} )

لنفترض أن (m ) و (n ) أعداد صحيحة بحيث [m bmod5 = 1 ، n bmod5 = 3. ] حدد

(أ) ((م + ن) bmod5 )

(ب) ((مليون) bmod5 )

تمرين ( PageIndex {4} label {ex: divalgo-04} )

أثبت أنه من بين أي ثلاثة أعداد صحيحة متتالية ، واحد منهم هو مضاعف 3.

تلميح

دع الأعداد الصحيحة الثلاثة تكون (n ) ، (n + 1 ) ، و (n + 2 ). ما هي القيم الممكنة لـ (n bmod3 )؟ إلى ماذا يترجم هذا وفقًا لخوارزمية القسمة؟ في كل حالة ، كيف سيبدو (n ) و (n + 1 ) و (n + 2 )؟

تمرين ( PageIndex {5} label {ex: divalgo-05} )

إثبات أن (n ^ 3-n ) دائمًا ما يكون من مضاعفات 3 لأي عدد صحيح (n ) من خلال

  1. تحليل حالة بحالة.
  2. تحليل (n ^ 3-n ).

تمرين ( PageIndex {6} label {ex: divalgo-06} )

إثبات مربع أي عدد صحيح فردي له الشكل (8 م + 1 ) لبعض الأعداد الصحيحة (م. )

(انظر التعليقات في النص ، تمثيلات الأعداد الصحيحة باستخدام Moduloحول هذا الدليل.)

تمرين ( PageIndex {7} label {ex: divalgo-07} )

لنفترض أن (m ) و (n ) أعداد صحيحة بحيث [a bmod5 = 4 ، b bmod5 = 2. ]

إثبات [(أب) bmod5 = 3. ]


شاهد الفيديو: معادلات الدرجة الثانية: طريقة الحل (ديسمبر 2021).