مقالات

2.5: واحد لواحد والوظائف العكسية - الرياضيات


[م] _Marecek_Bookshelves / الجبر / الكتاب: _ الوسيط_الجبر_ (OpenStax) /10:_Exponential_and_Logarithmic_Functions/10.02:_Finding_Composite_and_Inverse_Functions
[ar] _Bookshelves / Algebra / Book: _Intermediate_Algebra_ (Arnold) /08:_Exponential_and_Logarithmic_Functions/8.04:_Inverse_Function
Abramson_Bookshelves / Precalculus / Book: _Precalculus_ (OpenStax) /01:_Functions/1.06:_Inverses_Functions
Abramson_Bookshelves / Precalculus / Book: _Precalculus_ (OpenStax) /03:_Polynomial_and_Rational_Functions/3.08:_Inverses_and_Radical_Functions

أهداف التعلم

  • افهم مفهوم وظيفة واحد لواحد.
  • حدد الشروط التي تشير إلى وجود معكوس للدالة.
  • استخدم اختبار الخط الأفقي لمعرفة متى تكون الوظيفة واحد لواحد.
  • أوجد معكوس دالة معينة.
  • ارسم مخطط دالة عكسية.
  • احسب الدوال المثلثية العكسية.

وظائف واحد لواحد

تحتوي بعض الوظائف على قيمة إخراج معينة تتوافق مع قيمتين أو أكثر من قيم الإدخال. على سبيل المثال ، قد يكون هناك خمسة عناصر مختلفة في القائمة تكلف جميعها 7.99 دولارًا. إذا كان مجال الوظيفة هو جميع العناصر المدرجة في القائمة وكان النطاق هو أسعار العناصر ، فهناك خمس قيم إدخال مختلفة تؤدي جميعها إلى نفس قيمة الإخراج البالغة 7.99 دولارًا.

مثال ( PageIndex {1} ): تحديد ما إذا كانت العلاقة دالة فردية

هل مساحة الدائرة دالة لنصف قطرها؟ إذا كانت الإجابة بنعم ، فهل الوظيفة واحد لواحد؟

حل

دائرة نصف قطرها (r ) لها قياس فريد للمساحة معطى بواسطة (A = { pi} r ^ 2 ) ، لذلك لأي إدخال ، (r ) ، هناك مخرج واحد فقط ، (A ). المنطقة هي دالة نصف القطر (r ).

إذا كانت الوظيفة واحدة لواحد ، يجب أن تتوافق كل قيمة إخراج للمنطقة مع قيمة إدخال فريدة ، نصف القطر.

  • لأي نصف قطر محدد ، يمكن تحقيق قيمة واحدة فقط للمنطقة. يتم إعطاء أي قياس للمنطقة (A ) بواسطة الصيغة (A = { pi} r ^ 2 ).
  • لأي منطقة معينة ، يمكن إنتاج قيمة واحدة فقط لنصف القطر. ليس من الممكن أن يكون لدائرة بنصف قطر مختلف نفس المساحة. يتم توفير أي قياس نصف قطر (r ) من خلال الصيغة (r = pm sqrt { frac {A} { pi}} ). نظرًا لأن المناطق وأنصاف الأقطار أرقام موجبة ، فهناك حل واحد تمامًا: ( sqrt { frac {A} { pi}} ).

يتوافق كل نصف قطر مع منطقة واحدة فقط وكل منطقة مرتبطة بنصف قطر واحد فقط.
إذن مساحة الدائرة هي دالة رأس برأس من نصف قطر الدائرة.

جربه ( PageIndex {1} )

في البنك ، يتم عمل نسخة مطبوعة في نهاية اليوم ، تسرد رقم كل حساب مصرفي ورصيده.

أ. هل الرصيد الختامي دالة لرقم الحساب المصرفي؟

ب. هل الرصيد الختامي هو دالة رأس برأس لرقم الحساب المصرفي؟

إجابه
أ. نعم ، لأن كل حساب مصرفي له رصيد واحد في أي وقت ؛
ب. لا ، لأن كل حساب مصرفي يتوافق مع رصيد واحد فقط ، لكن كل رصيد لا يتوافق مع حساب مصرفي واحد فقط (يمكن أن ينتمي نفس الرصيد إلى حسابين مختلفين) ..

التعريف: وظائف واحد لواحد

أ وظيفة واحد لواحد هو نوع معين من وظيفة حيث لكل قيمة إخراج (y ) هناك قيمة إدخال واحدة بالضبط (x ) مرتبطة بها. بمعنى آخر ، تكون الوظيفة واحدة لواحد إذا كان كل إخراج (y ) يتوافق مع إدخال واحد بالضبط (x ).

من الأسهل فهم هذا التعريف من خلال النظر في مخططات الخرائط والرسوم البيانية لبعض أمثلة الدوال.

[ar] مثال ( PageIndex {2} ): تعريف 1-1 وظائف

ضع في اعتبارك الوظيفتين (h ) و (k ) المحددين وفقًا لمخططات التعيين في شكل 1. في شكل 1(أ) ، توجد قيمتان في المجال تم تعيين كل منهما على 3 في النطاق. ومن ثم ، فإن الوظيفة (ح ) ليست واحد لواحد. من ناحية أخرى ، في شكل 1(ب) ، لكل ناتج في النطاق (k ) ، يوجد مدخل واحد فقط في المجال يتم تعيينه عليه. لذلك ، (ك ) هي وظيفة واحد لواحد.

الشكل 2. رسم الخرائط يساعد على تحديد ما إذا كانت الوظيفة واحدة لواحد.

تحديد وظائف 1-1 بيانيا

عند فحص الرسم البياني لوظيفة ما ، إذا كان الخط الأفقي (الذي يمثل قيمة واحدة لـ (y )) يتقاطع مع الرسم البياني للدالة في أكثر من مكان واحد ، إذن لكل نقطة تقاطع ، لديك قيمة مختلفة من (س ) المرتبطة بنفس قيمة (ص ). وبالتالي ، فإن القيمة (y ) لا تتوافق مع إدخال واحد فقط ، والرسم البياني ليس هو دالة واحد لواحد. هذه الفكرة هي الفكرة من وراء اختبار الخط الأفقي.

Howto: استخدم اختبار الخط الأفقي لتحديد ما إذا كان رسم بياني معين يمثل وظيفة 1-1.

  1. تأكد من أن الرسم البياني هو دالة باستخدام اختبار الخط العمودي. (وظيفة 1-1 يجب تكون وظيفة)
  2. افحص الرسم البياني لمعرفة ما إذا كان أي خط أفقي مرسوم سيتقاطع مع المنحنى أكثر من مرة.
  3. إذا كان هناك أي خط من هذا القبيل ، فإن الوظيفة ليست واحدة لواحد ، ولكن إذا تقاطع كل خط أفقي مع الرسم البياني في نقطة واحدة على الأكثر ، فإن الوظيفة التي يمثلها الرسم البياني هي واحد لواحد.

[m] مثال ( PageIndex {3} ): HLT

حدد (أ) ما إذا كان كل رسم بياني هو الرسم البياني للدالة ، وإذا كان الأمر كذلك ، (ب) ما إذا كان واحدًا لواحد.

حل:

[m] جربه ( PageIndex {3} ): HLT

حدد (أ) ما إذا كان كل رسم بياني هو الرسم البياني للدالة ، وإذا كان الأمر كذلك ، (ب) ما إذا كان واحدًا لواحد.

إجابه
  1. ليست وظيفة - لذا فهي ليست وظيفة واحد لواحد
  2. وظيفة واحد لواحد

ملاحظة: سمات وظيفة 1-1 [ar]

يتبع من اختبار الخط الأفقي أنه إذا كانت (f ) دالة متزايدة بشكل صارم ، فإن (f ) هو واحد لواحد. وبالمثل ، فإن كل وظيفة متناقصة بشكل صارم هي أيضًا واحدة لواحد.

تم تأكيد خاصية واحد لواحد جبريًا

التعريف الجبري: وظائف واحد لواحد

إذا كانت الوظيفة (f ) هي واحد لواحد و (أ ) و (ب ) في مجال (و ) إذن

إذا (a ne b ) ثم (f (a) ne f (b) )دائمًا ما تنتج قيمتان مختلفتان (x ) قيمًا مختلفة (y )
إذا (و (أ) = و (ب) ) ثم (أ = ب )لا توجد قيمة لـ (y ) تتوافق مع أكثر من قيمة واحدة لـ (x )

[c] مثال ( PageIndex {4} ): أكد 1-1 جبريًا

وضح جبريًا أن (f (x) = (x + 2) ^ 2 ) ليس واحدًا لواحد

حل

( ابدأ {مجموعة} {ccc}
qquad text {If} f (a) & = & f (b) text {then ...} qquad
(أ + 2) ^ 2 & = & (ب + 2) ^ 2
sqrt {(a + 2) ^ 2} & = & pm sqrt {(b + 2) ^ 2}
أ + 2 = ب + 2 & أو & أ + 2 = - (ب + 2)
أ = ب & أو & أ = -ب -4
نهاية {مجموعة} )

نظرًا لأننا أظهرنا أنه عندما (f (a) = f (b) ) لا يكون لدينا دائمًا النتيجة التي (a = b ) عندها يمكننا استنتاج أن (f ) ليس شخصًا إلى- واحد.

تداعيات السمة الفردية عند حل المعادلات

أحد تداعيات كونك دالة واحد لواحد (f ) هو أنه عند حل معادلة (f (u) = f (v) ) يمكن حل هذه المعادلة ببساطة عن طريق حل ( u = v ). يتم ذلك بشكل شائع عندما يجب حل المعادلات اللوغاريتمية أو الأسية. هناك تأثير آخر لهذه الخاصية رأيناه بالفعل عندما نواجه جذورًا دخيلة عندما يتم حل معادلات الجذر التربيعي عن طريق التربيع. هذا لأن حلول ​​(g (x) = x ^ 2 ) ليست بالضرورة الحلول لـ (f (x) = sqrt (x) ) لأن (g ) ليس حل واحد إلى - وظيفة واحدة.

واحد لواحد وظائف وعكس

لنلقِ نظرة على دالة واحد لواحد ، (f ) ، ممثلة بالأزواج المرتبة ( {(0،5) ، (1،6) ، (2،7) ، (3،8) } ). لكل (x ) - قيمة ، (f ) يضيف (5 ) للحصول على (y ) - القيمة. للتراجع عن إضافة (5 ) ، نطرح (5 ) من كل قيمة (ص ) - ونعود إلى القيمة الأصلية (س ). يمكننا تسمية هذا "أخذ معكوس (f )" وتسمية الوظيفة (f ^ {- 1} ).

تحذير: تدوين

(f ^ {- 1} ) يفعل ليس يعني ( frac {1} {f} )

الأس 1 هو مجرد تدوين في هذا السياق. عند تطبيقها على دالة ، فإنها تعني معكوس الوظيفة ، وليس مقلوب الوظيفة.

[ar] ملاحظة: وظائف وعكس واحد لواحد

يجب أن تكون الوظيفة واحد لواحد حتى يكون لها معكوس.

ضع في اعتبارك الوظيفة (h ) في المثال 2. (h ) ليس واحد لواحد. إذا قمنا بعكس الأسهم في مخطط التعيين لوظيفة غير فردية مثل (h ) في الشكل 2 (أ) ، فلن تكون العلاقة الناتجة دالة ، لأن 3 سيتم تعيينها لكل من 1 و 2 . على النقيض من ذلك ، إذا عكسنا الأسهم لوظيفة واحد لواحد مثل (ك ) في الشكل 2 (أ) أو (و ) في المثال أعلاه ، فإن العلاقة الناتجة هي وظيفة تبطل تأثير الوظيفة الأصلية. وبالتالي ، من أجل أن يكون للدالة معكوس ، يجب أن تكون دالة واحد لواحد ، وعلى العكس من ذلك ، فإن كل دالة فردية لها وظيفة عكسية.

وظائف معكوسة

التحقق من الوظائف العكسية

عندما بدأنا مناقشتنا للدالة العكسية ، تحدثنا عن كيف أن الدالة العكسية "تبطل" ما فعلته الوظيفة الأصلية لقيمة في مجالها من أجل العودة إلى القيمة الأصلية (x ) - القيمة. يظهر هذا بشكل تخطيطي أدناه.

بوضع هذه المفاهيم في صيغة جبرية ، توصلنا إلى تعريف الدالة العكسية

[ar] التعريف: الدوال العكسية [ar]

(f ^ {- 1} (f (x)) = x ) ، لجميع (x ) في مجال (f )

(f left (f ^ {- 1} (x) right) = x ) ، لجميع (x ) في مجال (f ^ {- 1} )

يمكننا استخدام هذه الخاصية للتحقق من أن وظيفتين مقلوبتان لبعضهما البعض.

[m] جرِّبه ( PageIndex {6a} )

  1. تحقق من أن الوظائف هي دوال عكسية. (f (x) = 4 x-3 ) و (g (x) = frac {x + 3} {4} ).
  2. تحقق من أن الوظائف هي دوال عكسية. (f (x) = 2 x + 6 ) و (g (x) = frac {x-6} {2} )
إجابه

1. (g (f (x)) = x ) و (f (g (x)) = x ) ، لذا فهي مقلوبة.
2. (g (f (x)) = x، ) و (f (g (x)) = x، ) لذا فهي مقلوبة.

جربه ( PageIndex {6b} )

بيّن أن (f (x) = frac {x + 5} {3} ) و (f ^ {- 1} (x) = 3x − 5 ) مقلوبان.

إجابه

1. (f ^ {- 1} (f (x)) = f ^ {- 1} ( frac {x + 5} {3}) = 3 ( frac {x + 5} {3}) - 5 = (س − 5) + 5 = س )
2. (f (f ^ {- 1} (x)) = f (3x − 5) = frac {(3x − 5) +5} {3} = frac {3x} {3} = x )

لاحظ أن العمليات العكسية تكون بترتيب عكسي للعمليات من الوظيفة الأصلية.

مثال ( PageIndex {7} ): تحقق من انعكاسات الدوال المنطقية

بيّن أن (f (x) = frac {1} {x + 1} ) و (f ^ {- 1} (x) = frac {1} {x} −1 ) مقلوب ، لـ (س ≠ 0 ، −1 ).

حل

يجب أن نبين أن (f ^ {- 1} (f (x)) = x ) لكل (x ) في مجال (f )

[ begin {align *} f ^ {- 1} (f (x)) & = f ^ {- 1} left ( dfrac {1} {x + 1} right) [4pt] & = dfrac {1} { dfrac {1} {x + 1}} - 1 [4pt] & = (x + 1) −1 [4pt] & = x && text {for all} x ne 1 text {- مجال} f end {align *} ]

و (f (f ^ {- 1} (x)) = x ) لكل (x ) في مجال (f ^ {- 1} ).

[ start {align *} f (f ^ {- 1} (x)) & = f ( dfrac {1} {x − 1}) [4pt] & = dfrac {1} { left ( dfrac {1} {x − 1} right) +1} [4pt] & = dfrac {1} { dfrac {1} {x}} [4pt] & = x && text {for all} x ne 0 text {- domain of} f ^ {- 1} end {align *} ]

لذلك ، (f (x) = dfrac {1} {x + 1} ) و (f ^ {- 1} (x) = dfrac {1} {x} −1 ) مقلوبان.

مثال ( PageIndex {8} ): تحقق من انعكاسات وظائف الطاقة

إذا (f (x) = x ^ 3 ) (دالة المكعب) و (g (x) = frac {1} {3} x ) ، يكون (g = f ^ {- 1} )؟

حل

[f (g (x)) = dfrac {x ^ 3} {27} { neq} x ]

لا ، الوظائف ليست مقلوبة.
تحليل

المعكوس الصحيح للمكعب هو بالطبع الجذر التكعيبي ( sqrt [3] {x} = x ^ { frac {1} {3}} ) ، أي أن الثلث هو الأس ، وليس مضاعفا.

جربه ( PageIndex {8} )

  1. إذا (f (x) = x ^ 3−4 ) و (g (x) = sqrt [3] {x + 4} ) ، هل (g = f ^ {- 1} )؟
  2. إذا (f (x) = (x − 1) ^ 3 ) و (g (x) = sqrt [3] {x} +1 ) ، يكون (g = f ^ {- 1} )؟
إجابه

1. نعم
2. نعم

انعكاسات الأزواج المرتبة

[م] التعريف: معكوس دالة معرّفة بواسطة أزواج مرتبة.

إذا كانت (f (x) ) دالة فردية تكون أزواجها المرتبة على شكل ((x، y) ) ، فإن وظيفتها العكسية (f ^ {- 1} (x) ) هي مجموعة الأزواج المرتبة ((y ، x) ).

في المثال التالي سنجد معكوس دالة محددة بواسطة أزواج مرتبة.

[م] مثال ( PageIndex {9} ): معكوس الأزواج المرتبة

أوجد معكوس الدالة ( {(0،3)، (1،5)، (2،7)، (3،9) } ). حدد مجال ومدى الدالة العكسية.

حل:

هذه الوظيفة هي واحد لواحد لأن كل قيمة (س ) - تقترن بقيمة (ص ) - واحدة بالضبط.

لإيجاد المعكوس ، نعكس قيم (x ) - القيم و (y ) - في الأزواج المرتبة للدالة.

( start {array} {ll} { text {Function}} & { {(0،3)، (1،5)، (2،7)، (3،9) }} { text {الوظيفة العكسية}} & { {(3،0)، (5،1)، (7،2)، (9،3) }} { text {مجال الوظيفة العكسية}} & { {3، 5، 7، 9 }} { text {Range of Inverse Function}} & { {0، 1، 2، 3 }} end {array} )

[m] جرِّبه ( PageIndex {9} )

  1. أوجد معكوس ( {(0،4)، (1،7)، (2،10)، (3،13) } ). حدد مجال ومدى الدالة العكسية.
  2. أوجد معكوس ( {(- 1،4)، (- 2،1)، (- 3،0)، (- 4،2) } ). حدد مجال ومدى الدالة العكسية.
إجابه

1. دالة عكسية: ( {(4،0)، (7،1)، (10،2)، (13،3) } ). المجال: ( {4،7،10،13 } ). النطاق: ( {0،1،2،3 } ).
2. دالة عكسية: ( {(4، -1)، (1، -2)، (0، -3)، (2، -4) } ). المجال: ( {0،1،2،4 } ). النطاق: ( {- 4، -3، -2، -1 } ).

انعكاسات الرسوم البيانية

نظرًا لأن كل نقطة على الرسم البياني للدالة (f (x) ) هي صورة معكوسة لنقطة على الرسم البياني لـ (f ^ {- 1} (x) ) ، فإننا نقول إن الرسوم البيانية هي صور معكوسة لـ بعضها البعض من خلال السطر (ص = س ). سنستخدم هذا المفهوم لرسم معكوس دالة في المثال التالي.

لقد لاحظنا للتو أنه إذا كانت (f (x) ) دالة فردية تكون أزواجها المرتبة على الشكل ((x، y) ) ، فإن وظيفتها العكسية (f ^ {- 1} (x) ) هي مجموعة الأزواج المرتبة ((y، x) ).

لذلك إذا كانت النقطة ((أ ، ب) ) على الرسم البياني للدالة (f (x) ) ، فإن الزوج المرتب ((b ، a) ) موجود على الرسم البياني (f ^ {- 1} (س) ). انظر الشكل 10.1.43.

المسافة بين أي زوجين ((أ ، ب) ) و ((ب ، أ) ) يتم قطعها إلى النصف من خلال السطر (ص = س ). لذلك نقول أن النقاط عبارة عن صور معكوسة لبعضها البعض من خلال السطر (y = x ).

الشكل 10

[م] مثال ( PageIndex {10} ): انعكاسات الرسم البياني

رسم بياني ، على نفس نظام الإحداثيات ، معكوس دالة واحد لواحد المعروضة.

حل:

يمكننا استخدام النقاط على الرسم البياني لإيجاد نقاط على الرسم البياني المعكوس. بعض النقاط على الرسم البياني هي: ((- 5 ، −3) ، (- 3 ، −1) ، (- 1،0) ، (0،2) ، (3،4) ).

لذلك ، ستحتوي الدالة العكسية على النقاط: ((- 3 ، −5) ، (- 1 ، −3) ، (0 ، −1) ، (2،0) ، (4،3) ).

لاحظ كيف أن الرسم البياني للوظيفة الأصلية والرسم البياني للوظائف العكسية عبارة عن صور معكوسة عبر السطر (y = x ).

[m] جرِّبه ( PageIndex {10} )

رسم بياني ، على نفس نظام الإحداثيات ، معكوس دالة واحد لواحد.

إجابه

مثال ( PageIndex {11} ): إيجاد معكوس دالة باستخدام الانعكاس حول خط الهوية

بالنظر إلى الرسم البياني لـ (f (x) ) في الشكل ( PageIndex {11} ) ، ارسم رسمًا بيانيًا لـ (f ^ {- 1} (x) ).


الشكل ( PageIndex {11} )

هذه دالة واحد لواحد ، لذا سنتمكن من رسم معكوس. لاحظ أن الرسم البياني الموضح يحتوي على مجال ظاهر من ((0، infty) ) ونطاق ((- infty، infty) ) ، لذلك سيكون للعكس مجال ((- infty ، infty) ) ونطاق ((0، infty) ).

حل. إذا عكسنا هذا الرسم البياني على الخط (y = x ) ، فإن النقطة ((1،0) ) تعكس ((0،1) ) والنقطة ((4،2) ) يعكس ((2،4) ). رسم المعكوس على نفس المحاور مثل الرسم البياني الأصلي يعطي الشكل ( PageIndex {10} ).

الوظيفة وعكسها ،
إظهار انعكاس حول خط الهوية

جرب ذلك ( PageIndex {11} )

بالنظر إلى الوظيفة (f (x) = tfrac {2} {x-3} +4 ) ، ارسم رسومًا بيانية للوظائف (f ) و (f ^ {- 1} )

إجابه

Howto: بالنظر إلى الرسم البياني للدالة ، قم بتقييم معكوسها عند نقاط محددة.

  1. ابحث عن الإحداثي (x ) المطلوب لـ (f ^ {- 1} ) على المحور y للرسم البياني المحدد لـ (f ).
  2. اقرأ إحداثي (y ) المقابل لـ (f ^ {- 1} ) من المحور x في الرسم البياني المحدد لـ (f ).

مثال ( PageIndex {12} ): تقييم دالة ومعكوسها من رسم بياني في نقاط محددة

دالة (g (x) ) معطاة في الشكل ( PageIndex {12} ).
ابحث عن (g (3) ) و (g ^ {- 1} (3) ).

الشكل ( PageIndex {12} ): رسم بياني لـ (g (x) )

حل. لتقييم (g (3) ) ، نجد 3 على المحور x ونجد قيمة الإخراج المقابلة على المحور y. النقطة ((3،1) ) تخبرنا أن (ز (3) = 1 ).

لتقييم (g ^ {- 1} (3) ) ، تذكر أنه بالتعريف يعني (g ^ {- 1} (3) ) قيمة (x ) التي (g (x) = 3). من خلال البحث عن قيمة الإخراج 3 على المحور الرأسي ، نجد النقطة ((5،3) ) على الرسم البياني ، مما يعني (g (5) = 3 ) ، لذلك بالتعريف ، (g ^ {-1} (3) = 5. ) راجع الشكل ( PageIndex {6} ).

جرب ذلك ( PageIndex {12} )

باستخدام الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {12} ) ، (أ) ابحث عن (g ^ {- 1} (1) ) ، و (ب) التقدير (g ^ {- 1} (4) ).

إجابه

(أ) 3 ( qquad ) (ب) 5.6

صيغ العكس

لقد وجدنا انعكاسات دالة محددة بواسطة أزواج مرتبة ومن رسم بياني. سننظر الآن في كيفية إيجاد المعكوس باستخدام معادلة جبرية. تستخدم الطريقة فكرة أنه إذا كانت (f (x) ) دالة واحد لواحد مع أزواج مرتبة ((x، y) ) ، فإن وظيفتها العكسية (f ^ {- 1} (x ) ) هي مجموعة الأزواج المرتبة ((ص ، س) ).

إذا عكسنا (x ) و (y ) في الوظيفة ثم حللنا من أجل (y ) ، نحصل على وظيفة عكسية.

نلخص الخطوات أدناه.

Howto: أوجد معكوس دالة واحد لواحد.

  1. تأكد من أن (f ) هو واحد لواحد. إذا لم يكن (f ) واحدًا لواحد ، فلن يكون له معكوس. (بدلاً من ذلك ، يمكن العثور على المعكوس المقترح ومن ثم سيكون من الضروري التأكد من أن الاثنين عبارة عن دالات وفي الواقع مقلوب).
  2. استبدل (y ) بـ (f (x) ).
  3. بدّل المتغيرات (س ) و (ص ).
  4. حل من أجل (ص ).
  5. استبدل (f ^ {- 1} (x) ) بـ (y ).

انعكاسات الدوال الخطية

مثال ( PageIndex {13} ): انعكاسات دالة خطية

أوجد معكوس (f (x) = 4 x + 7 ).

حل:

الخطوة 1. استبدل (y ) بـ (f (x) ).استبدل (f (x) ) بـ (y ). ( start {align} f (x) & = 4 x + 7 y & = 4 x + 7 end {align} )
الخطوة 2: تبادل المتغيرات (س ) و (ص ).استبدل (x ) بـ (y ) ثم (y ) بـ (x ). (س = 4 ص + 7 )
الخطوه 3: حل من أجل (ص ).

اطرح (7 ) من كل جانب.

اقسم على (4 ).

(س -7 = 4 ص )
( فارك {x-7} {4} = ص )
الخطوة 4: استبدل (f ^ {- 1} (x) ) بـ (y ).استبدل (y ) بـ (f ^ {- 1} (x) ). ( frac {x-7} {4} = f ^ {- 1} (x) )
الخطوة الخامسة: تحقق من أن الوظائف مقلوبة.

إظهار (f ^ {- 1} (f (x)) = x )

و (f يسار (f ^ {- 1} (x) right) = x )

( begin {align} f ^ {- 1} (f (x)) & stackrel {؟} {=} x f ^ {- 1} (4x + 7) & stackrel {؟} {= } x frac {(4x + 7) -7} {4} & stackrel {؟} {=} x frac {4x} {4} & stackrel {؟} {=} x x & = x f (f ^ {- 1} (x)) & stackrel {؟} {=} x f left ( frac {x-7} {4} right) & مكدس {؟} {=} x 4 left ( frac {x-7} {4} right) + 7 & stackrel {؟} {=} x x-7 + 7 & stackrel {؟ } {=} x x & = x end {align} )
الجدول 10.1.7

[m] جرِّب ( PageIndex {13} )

  1. أوجد معكوس الدالة (f (x) = 5x-3 ).
  2. أوجد معكوس الدالة (f (x) = 8 x + 5 ).
إجابه

1. (f ^ {- 1} (x) = frac {x + 3} {5} )
2. (f ^ {- 1} (x) = frac {x-5} {8} )

انعكاسات وظائف القوة الفردية

[ar] مثال ( PageIndex {14a} )

هذه المرة سنجد معكوس (f (x) = 2x ^ 5 + 3 ).

الخطوة 1: يُظهر فحص الرسم البياني أن f هو واحد لواحد (يُترك للقارئ للتحقق).

الخطوة 2: اكتب الصيغة بصيغة معادلة xy: (y = 2x ^ 5 + 3 ).

الخطوه 3: تبادل x و y: (x = 2y ^ 5 + 3 ).

الخطوة الرابعة: حل من أجل y:

(س = 2 ص ^ 5 + 3 ).

( rightarrow x − 3 = 2y ^ 5 )

( rightarrow frac {x − 3} {2} = y ^ 5 )

( rightarrow sqrt [5] { frac {x − 3} {2}} = y )

وبالتالي ، (f ^ {- 1} (x) = sqrt [5] { frac {x − 3} {2}} )

لاحظ مرة أخرى أن الرسم البياني لـ (f ^ {- 1} (x) = sqrt [5] { frac {x − 3} {2}} ) هو انعكاس للرسم البياني (f (x ) = 2x ^ 5 + 3 ) عبر الخط y = x (انظر الشكل 10).

مثال ( PageIndex {14b} ): إيجاد معكوس دالة تكعيبية

أوجد معكوس الدالة (f (x) = 5x ^ 3 + 1 ).

حل

هذا تحويل لوظيفة مجموعة أدوات المكعب الأساسية ، وبناءً على معرفتنا بهذه الوظيفة ، نعلم أنها وظيفة واحد لواحد. حل المعكوس بتبديل (x ) و (y ) وحل لـ (y ).

(ص = 5 س ^ 3 + 1 )

(س = 5 ص ^ 3 + 1 )

(س − 1 = 5y ^ 3 )

( dfrac {x − 1} {5} = y ^ 3 )

(f ^ {- 1} (x) = sqrt [3] { dfrac {x − 1} {5}} )

تحليل

انظر إلى الرسم البياني لـ (f ) و (f ^ {- 1} ). لاحظ أن أحد الرسوم البيانية هو انعكاس للآخر حول الخط (y = x ). هذا هو الحال دائمًا عند رسم دالة ودالتها العكسية.

أيضًا ، نظرًا لأن الطريقة تتضمن التبادل (x ) و (y ) ، لاحظ النقاط المقابلة. إذا كان ((a، b) ) على الرسم البياني لـ (f ) ، فإن ((b، a) ) على الرسم البياني (f ^ {- 1} ). بما أن ((0،1) ) على الرسم البياني لـ (f ) ، فإن ((1،0) ) موجود على الرسم البياني (f ^ {- 1} ). وبالمثل ، بما أن ((1،6) ) على الرسم البياني لـ (f ) ، فإن ((6،1) ) موجود على الرسم البياني (f ^ {- 1} ) (الشكل ( PageIndex {9} )).

جرب ذلك ( PageIndex {14} )

أوجد الدالة العكسية لـ (f (x) = sqrt [3] {x + 4} ).

إجابه

(f ^ {- 1} (x) = x ^ 3−4 )

المجال ونطاق الدوال المعكوسة

لاحظ أن الأزواج المرتبة (f ) و (f ^ {- 1} ) لها قيم (x ) - و (y ) - تم عكسها. لذلك يمكننا تحديد مجال ومدى دالة وعكسها بشكل غير مباشر.

[m] ملاحظة: المجال ونطاق (f ) و (f ^ {- 1} )

مجال (f ) هو نطاق (f ^ {- 1} ) ومجال (f ^ {- 1} ) هو نطاق (f ).

الكيفية: إعطاء دالة ، أوجد مجال ونطاق معكوسها.

  1. إذا كانت الدالة واحد لواحد ، فاكتب نطاق الدالة الأصلية كمجال معكوس ، واكتب مجال الدالة الأصلية كنطاق معكوس.
  2. إذا كان مجال الوظيفة الأصلية يجب أن يكون مقيدًا لجعله واحدًا لواحد ، فإن هذا المجال المقيد يصبح نطاق الدالة العكسية.

معكوسات الوظائف الجذرية

[م] مثال ( PageIndex {15} ): عكس الدوال الجذرية

أوجد معكوس (f (x) = sqrt [5] {2 x-3} ).

حل:

(f (x) = sqrt [5] {2 x-3} )

استبدل (y ) بـ (f (x) ).

(y = sqrt [5] {2 x-3} )

بدّل المتغيرات (س ) و (ص ).

(x = sqrt [5] {2 y-3} )

حل من أجل (ص ).

( begin {align} (x) ^ {5} & = ( sqrt [5] {2 y-3}) ^ {5} x ^ {5} & = 2 y-3 x ^ {5} +3 & = 2 y frac {x ^ {5} +3} {2} & = y end {align} )

استبدل (f ^ {- 1} (x) ) بـ (y ).

(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {5} +3} {2} )

تحقق من أن الوظائف مقلوبة.

( start {array} {rr} {f ^ {- 1} (f (x)) stackrel {؟} {=} x} & {f left (f ^ {- 1} (x) right ) stackrel {؟} {=} x} {f ^ {- 1} ( sqrt [5] {2x-3}) stackrel {؟} {=} x} & {f left ( frac {x ^ {5} +3} {2} right)} stackrel {؟} {=} x { frac {( sqrt [5] {2x-3}) ^ {5} +3} {2} stackrel {؟} {=} x} & { sqrt [5] {2 left ( frac {x ^ {5} +3} {2} right) -3} stackrel {؟} {=} x} { frac {2x-3 + 3} {2} stackrel {؟} {=} x} & { sqrt [5] {x ^ {5} + 3-3} stackrel {؟} {=} x} { frac {2x} {2} stackrel {؟} {=} x} & { sqrt [5] {x ^ {5}} stackrel {؟} {= } x} {x = x} & {x = x} end {array} )

[m] جرِّبه ( PageIndex {15} )

  1. أوجد معكوس الدالة (f (x) = sqrt [5] {3 x-2} ).
  2. أوجد معكوس الدالة (f (x) = sqrt [4] {6 x-7} ).
إجابه

1. (f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {5} +2} {3} )
2. (f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {4} +7} {6} )

إذا أردنا إيجاد معكوس دالة جذرية ، فسنحتاج إلى تقييد مجال الإجابة إذا كان نطاق الدالة الأصلية محدودًا.

مثال ( PageIndex {16} ): إيجاد المعكوس ذي الجذور التربيعية

أوجد معكوس الدالة (f (x) = 2 + sqrt {x − 4} ).

حل

[ begin {align} y & = 2 + sqrt {x-4} x & = 2 + sqrt {y-4} (x-2) ^ 2 & = y-4 xy & = (x -2) ^ 2 + 4 نهاية {محاذاة} ]

إذن (f ^ {- 1} (x) = (x − 2) ^ 2 + 4 ).

مجال (f ) هو ( left [4، infty right) ). لاحظ أن نطاق (f ) هو ( left [2، infty right) ) ، وهذا يعني أن مجال الدالة العكسية (f ^ {- 1} ) هو أيضًا ( يسار [2 ، infty يمين) )

تحليل

يبدو أن الصيغة التي وجدناها لـ (f ^ {- 1} (x) ) ستكون صالحة لجميع (x ) الحقيقيين. ومع ذلك ، يجب أن يكون (f ^ {- 1} ) نفسه معكوسًا (أي ، (f )) لذلك علينا تقييد مجال (f ^ {- 1} ) على ( left [ 2 ، infty right) ) لجعل (f ^ {- 1} ) دالة واحد لواحد. هذا المجال (f ^ {- 1} ) هو بالضبط نطاق (f ).

جربه ( PageIndex {16} )

ما معكوس الدالة (f (x) = 2- sqrt {x} )؟ حدد مجالات كل من الوظيفة والدالة العكسية.

إجابه

(f ^ {- 1} (x) = (2 − x) ^ 2 ) ؛ مجال (f ): ( left [0، infty right) ) ؛ مجال (f ^ {- 1} ): ( left (- infty، 2 right] )

مثال ( PageIndex {17} ): إيجاد معكوس دالة الجذر التربيعي

أوجد معكوس الدالة (f (x) = sqrt {x − 4} ).

حل

لاحظ أن الوظيفة الأصلية لها النطاق (f (x) ≥0 ). استبدل (f (x) ) بـ (y ) ثم حل من أجل (x ).

(y = sqrt {x − 4} ) استبدل (f (x) ) بـ (y ).

(x = sqrt {y − 4} ) التبادل (x ) و (y ).

(x = sqrt {y − 4} ) ربّع كل جانب.

(س ^ 2 = ص − 4 ) أضف 4.

(x ^ 2 + 4 = y ) أعد تسمية الوظيفة (f ^ {- 1} (x) ).

(f ^ {- 1} (x) = x ^ 2 + 4 )

تذكر أن مجال هذه الوظيفة يجب أن يقتصر على نطاق الوظيفة الأصلية.

(f ^ {- 1} (x) = x ^ 2 + 4 ) ، (x≥0 )

تحليل

لاحظ في الشكل ( PageIndex {17} ) أن المعكوس هو انعكاس للدالة الأصلية على السطر (y = x ). نظرًا لأن الوظيفة الأصلية لها مخرجات غير سالبة فقط ، فإن الوظيفة العكسية لها مدخلات غير سالبة فقط.

جربه ( PageIndex {17} )

ما معكوس الدالة (f (x) = sqrt {2x + 3} )؟ حدد مجال ومدى كل من الوظيفة والدالة العكسية.

إجابه
(f (x) = sqrt {2x + 3} )مجال (f ): ( left [- tfrac {3} {2} ، infty right) )نطاق (f ): ( left [0، infty right) )
(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ 2−3} {2} ) ، (x≥0 )نطاق (f ^ {- 1} ): ( left [0، infty right) )مجال (f ^ {- 1} ): ( left [- tfrac {3} {2}، infty right) )

انعكاسات الدوال العقلانية

[ar] مثال ( PageIndex {18} )

أوجد معكوس (f (x) = frac {5} {7 + x} ).

الخطوة 1: يُظهر فحص الرسم البياني أن f هو واحد لواحد (يُترك للقارئ للتحقق).

الخطوة 2: اكتب الصيغة بصيغة معادلة xy: (y = frac {5} {7 + x} ).

الخطوه 3: تبادل x و y: (x = frac {5} {7 + y} ).

الخطوة الرابعة: حل من أجل y:

(س = فارك {5} {7 + ص} )

( rightarrow x (7 + y) = 5 )

( rightarrow 7 + y = frac {5} {x} )

(y = frac {5} {x} −7 = frac {5 - 7x} {x} )

وبالتالي ، (f ^ {- 1} (x) = frac {5 - 7x} {x} )

مثال ( PageIndex {19} ): إيجاد دالة عكسية

أوجد معكوس الدالة (f (x) = frac {2} {x − 3} +4 ).

حل

[ start {align} y & = dfrac {2} {x − 3 + 4} & text {إعداد معادلة.}
x & = dfrac {2} {y − 3 + 4} & text {تبديل المتغيرات.}
x − 4 & = dfrac {2} {y − 3} & text {اطرح 4 من كلا الجانبين.} y − 3 & = dfrac {2} {x − 4} & text {اضرب كلا الجانبين في y −3 والقسمة على x − 4.} y & = dfrac {2} {x − 4} +3 & text {إضافة 3 إلى كلا الجانبين.} end {align} ]

إذن (f ^ {- 1} (x) = frac {2} {x − 4} +3 ).

مجال (f ): ((- infty، 3] cup [3، infty) )نطاق (f ): ((- infty، 4] كوب [4، infty) )
نطاق (f ^ {- 1} ): ((- infty، 4] cup [4، infty) )مجال (f ^ {- 1} ): ((- infty، 3] cup [3، infty) )

[ar] مثال ( PageIndex {20} )

هذا المثال أكثر تعقيدًا بعض الشيء: أوجد معكوس الدالة (f (x) = frac {5x + 2} {x − 3} ).

الخطوة 1: يُظهر فحص الرسم البياني أن f هو واحد لواحد (يُترك للقارئ للتحقق).

الخطوة 2: اكتب الصيغة بصيغة معادلة xy: (y = frac {5x + 2} {x − 3} ).

الخطوه 3: تبادل x و y: (x = frac {5y + 2} {y − 3} ).

الخطوة الرابعة: حل من أجل y:

(س = فارك {5y + 2} {ص − 3} )

( rightarrow x (y − 3) = 5y + 2 )

( rightarrow xy − 3x = 5y + 2 )

هذه المعادلة خطية في y. افصل المصطلحات التي تحتوي على المتغير y على جانب واحد من المعادلة ، العامل ، ثم اقسم على معامل y.

(س ص − 3 س = 5 ص + 2 )

(س ص − 5 ص = 3 س + 2 )

(ص (س − 5) = 3 س + 2 )

(y = frac {3x + 2} {x − 5} )

وهكذا ، (f ^ {- 1} (x) = frac {3x + 2} {x − 5} ).

عكس مجال مقيد من الدرجة الثانية

[ar] مثال ( PageIndex {21} )

وفقًا لاختبار الخط الأفقي ، فإن الوظيفة (h (x) = x ^ 2 ) ليست بالتأكيد واحدة لواحد. ومع ذلك ، إذا نظرنا فقط إلى النصف الأيمن أو النصف الأيسر من الوظيفة (على سبيل المثال ، قصر المجال إما على الفاصل الزمني ([0 ، infty) ) أو ((- infty ، 0] )) ، إذن ستكون الدالة واحد لواحد ، وبالتالي سيكون لها معكوس (الشكل 21(أ) يظهر النصف الأيسر). على سبيل المثال ، افترض أن (f ) هي الوظيفة (f (x) = x ^ 2 ) ، (x le 0 )

في هذه الحالة ، لا يزال الإجراء ساريًا ، بشرط أن نواصل حالة المجال في جميع الخطوات ، على النحو التالي:

الخطوة 1: الرسم البياني بتنسيق الشكل 21(أ) اجتاز اختبار الخط الأفقي ، لذلك (f ) هو واحد لواحد.

الخطوة 2: اكتب الصيغة في (xy ) - صيغة المعادلة: (y = x ^ 2 ) ، (x le 0 )

الخطوة 3: التبادل (x ) و (y ): (x = y ^ 2 ) ، (y le 0 )

لاحظ كيف يجب أيضًا تبادل (x ) و (y ) في حالة المجال.

الخطوة الرابعة: حل من أجل (y ): (y = pm sqrt {x} )، (y le 0 )

يوجد الآن خياران لـ (y ) ، أحدهما موجب والآخر سلبي ، لكن الشرط (y le 0 ) يخبرنا أن الخيار السلبي هو الخيار الصحيح. وبالتالي ، فإن العبارة الأخيرة تعادل

(y = - sqrt {x} ).

وهكذا ، (f ^ {- 1} (x) = - sqrt {x} ). يظهر الرسم البياني لـ (f ^ {- 1} ) بتنسيق الشكل 21(ب) ، وتظهر الرسوم البيانية لكل من f و (f ^ {- 1} ) في الشكل 21(ج) انعكاسات عبر الخط y = x.

مثال ( PageIndex {22} ): تقييد المجال للبحث عن معكوس دالة متعددة الحدود

أوجد الدالة العكسية لـ (f ):

  1. (و (س) = {(س − 4)} ^ 2 ) ، (س≥4 )
  2. (و (س) = {(س − 4)} ^ 2 ) ، (س≤4 )

حل

الوظيفة الأصلية (f (x) = {(x − 4)} ^ 2 ) ليست واحدة لواحد ، لكن الوظيفة مقيدة بمجال (x≥4 ) أو (x≤) 4 ) حيث يكون واحد لواحد (الشكل ( PageIndex {6} )).

لإيجاد المعكوس ، ابدأ باستبدال (f (x) ) بالمتغير البسيط (y ).

(y = {(x − 4)} ^ 2 ) التبادل (x ) و (y ).

(x = {(y − 4)} ^ 2 ) خذ الجذر التربيعي.

( pm sqrt {x} = y − 4 ) أضف (4 ) إلى كلا الجانبين.

(4 م sqrt {x} = ص )

هذه ليست وظيفة كما هو مكتوب. نحتاج إلى فحص القيود على مجال الدالة الأصلية لتحديد المعكوس. نظرًا لأننا عكسنا أدوار (x ) و (y ) للأصل (f (x) ) ، نظرنا إلى المجال: يمكن أن تفترض القيم (x ). عندما عكسنا أدوار (س ) و (ص ) ، أعطانا هذا القيم التي يمكن أن يفترضها (ص ). بالنسبة لهذه الوظيفة ، (x≥4 ) ، لذلك بالنسبة إلى المعكوس ، يجب أن نحصل على (y≥4 ) ، وهو ما تقدمه الدالة العكسية.

  1. كان مجال الوظيفة الأصلية مقيدًا بـ (x≥4 ) ، لذا يجب أن تكون مخرجات المعكوس هي نفسها ، (f (x) ≥4 ) ، ويجب علينا استخدام الحالة +:

    (f ^ {- 1} (x) = 4 + sqrt {x} )

  2. كان مجال الوظيفة الأصلية مقيدًا بـ (x 4 ) ، لذلك يجب أن تكون مخرجات المعكوس هي نفسها ، (f (x) ≤4 ) ، ويجب علينا استخدام الحالة -:

    (f ^ {- 1} (x) = 4− sqrt {x} )

تحليل

في الرسوم البيانية في الشكل ( PageIndex {22} ) ، نرى الوظيفة الأصلية مرسومة على نفس مجموعة المحاور كدالة معكوسة. لاحظ أن الرسوم البيانية تظهر معًا تناسقًا حول الخط (y = x ). زوج الإحداثيات ((4،0) ) موجود على الرسم البياني خارج f وزوج الإحداثيات ((0 ، 4) ) على الرسم البياني (f ^ {- 1} ). لأي زوج إحداثيات ، إذا كان ((a، b) ) على الرسم البياني (f ) ، فإن ((b، a) ) على الرسم البياني (f ^ {- 1} ). أخيرًا ، لاحظ أن الرسم البياني (f ) يتقاطع مع الرسم البياني (f ^ {- 1} ) على السطر (y = x ). ستظل نقاط التقاطع الخاصة بالرسوم البيانية (f ) و (f ^ {- 1} ) دائمًا على الخط (y = x ).

مثال ( PageIndex {23} ): إيجاد معكوس دالة تربيعية عند عدم تحديد القيد

قم بتقييد المجال ثم ابحث عن معكوس

(و (س) = {(س − 2)} ^ 2−3 ).

حل

يمكننا أن نرى هذا القطع المكافئ برأس عند ((2 ، –3) ) يفتح لأعلى. نظرًا لأن الرسم البياني سينخفض ​​على جانب واحد من الرأس ويزداد على الجانب الآخر ، يمكننا تقييد هذه الوظيفة بمجال سيكون واحدًا لواحد فيه عن طريق قصر المجال على (x≥2 ).

لإيجاد المعكوس ، سنستخدم صيغة رأس المعادلة التربيعية. نبدأ باستبدال (f (x) ) بمتغير بسيط (y ) ثم نحل قيمة (x ).

(y = {(x − 2)} ^ 2−3 ) التبادل (x ) و (y ).

(x = {(y − 2)} ^ 2−3 ) أضف 3 للطرفين.

(x + 3 = {(y − 2)} ^ 2 ) خذ الجذر التربيعي.

( pm sqrt {x + 3} = y − 2 ) أضف 2 إلى كلا الجانبين.

(2 pm sqrt {x + 3} = y ) أعد تسمية الوظيفة.

(f ^ {- 1} (x) = 2 pm sqrt {x + 3} )

الآن نحن بحاجة إلى تحديد الحالة التي يجب استخدامها. نظرًا لأننا قصرنا وظيفتنا الأصلية على مجال (x≥2 ) ، يجب أن تكون مخرجات المعكوس هي نفسها ، مما يخبرنا باستخدام حالة +

(f ^ {- 1} (x) = 2 + sqrt {x + 3} )

إذا لم يتم إعطاء المعادلة التربيعية في شكل رأس ، فستكون إعادة كتابتها في شكل رأس هي الخطوة الأولى. بهذه الطريقة يمكننا بسهولة ملاحظة إحداثيات الرأس لمساعدتنا في تقييد المجال.

تحليل

لاحظ أننا قررنا بشكل تعسفي تقييد المجال على (x≥2 ). كان من الممكن بسهولة اختيار تقييد المجال بـ (x≤2 ) ، وفي هذه الحالة (f ^ {- 1} (x) = 2− sqrt {x + 3} ). Observe the original function graphed on the same set of axes as its inverse function in Figure (PageIndex{23}). Notice that both graphs show symmetry about the line (y=x). The coordinate pair ((2, −3)) is on the graph of (f) and the coordinate pair ((−3, 2)) is on the graph of (f^{−1}). Observe from the graph of both functions on the same set of axes that

domain of (f=) range of (f^{–1}=[2,infty))

و

domain of (f^{–1}=) range of (f=[–3,infty)).

Finally, observe that the graph of (f) intersects the graph of (f^{−1}) along the line (y=x).

Figure (PageIndex{23})

Try It (PageIndex{24})

Find the inverse of the function (f(x)=x^2+1), on the domain (x≥0).

إجابه

(f^{−1}(x)=sqrt{x−1})


Can more than one formula from a piecewise function be applied to a value in the domain?

نعم. If (f=f^{-1}), then (f(f(x))=x), and we can think of several functions that have this property. The identity function does, and so does the reciprocal function, because

[dfrac{1}{frac{1}{x}}=x]

Any function (f(x)=c−x), where (c) is a constant, is also equal to its own inverse.

المفاهيم الرئيسية

  • Horizontal Line Test: If every horizontal line, intersects the graph of a function in at most one point, it is a one-to-one function.
  • Inverse of a Function Defined by Ordered Pairs: If (f(x)) is a one-to-one function whose ordered pairs are of the form ((x,y)), then its inverse function (f^{−1}(x)) is the set of ordered pairs ((y,x)).
  • Inverse Functions: For every (x) in the domain of one-to-one function (f) and (f^{−1}),

    (f^{-1}(f(x))=x)
    (fleft(f^{-1}(x) ight)=x)

  • How to Find the Inverse of a One-to-One Function:
    1. Substitute (y) for (f(x)).
    2. Interchange the variables (x) and (y).
    3. Solve for (y).
    4. Substitute (f^{−1}(x)) for (y).
    5. Verify that the functions are inverses.

قائمة المصطلحات

one-to-one function
A function is one-to-one if each value in the range has exactly one element in the domain. For each ordered pair in the function, each (y)-value is matched with only one (x)-value.

Inverse Functions: One to One

Not all functions have inverse functions. The graph of inverse functions are reflections over the line y = x. This means that each x-value must be matched to one and only one y-value. Functions that meet this criteria are called one-to one functions .

A function is said to be one-to-one if each x-value corresponds to exactly one y-value.

A function f has an inverse function, f -1 , if and only if f is one-to-one.

A quick test for a one-to-one function is the horizontal line test. If a horizontal line intersects the graph of the function in more than one place, the functions is NOT one-to-one.

A function f is one-to-one and has an inverse function if and only if no horizontal line intersects the graph of f at more than one point.

Let's use this characteristic to determine if a function has an inverse.

Step 1: Sketch the graph of the function.

Step 2: Apply the Horizontal Line Test.

Visualize multiple horizontal lines and look for places where the graph is intersected more than once.

No horizontal line intersects the graph in more than one place and thus the function has an inverse.

Example 2: Sketch the graph represented by the points and determine if it has an inverse function.


Functions and Their Inverses

The above properties of increasing and decreasing show that exponential functions are $1-1,$ and therefore have inverses (which will be discussed in Part 2).

 The دالة أسية طبيعية is known as $y=e^x,$ where $e$ is Euler’s irrational number: $2.71828cdots$

مثال. Solve the following exponential equations:

1. $2^x4^ <3x+1>= frac<2>> $
حل: One strategy is to express both sides in terms of the same base, namely $b=2,$ so that the properties of exponents can be used. يبدأ & 2^x (2^2)^ <3x+1>= frac<2><(2^3)^<1/2>> & Rightarrow 2^ = 2^ <1-(3/2)> & Rightarrow 2^ <7x+2>= 2^ <-(1/2)>end Now, we have that $f(7x+2) = fleft( -frac<1> <2> ight),$ where $f(x) = 2^x,$ and because exponential functions are $1-1,$ we can conclude that $7x+2 = -frac<1><2>.$
Therefore, $x = -frac<5><14>.$
2. $ 3x(e^x) + x^2 (e^x) = 0 $
حل. First notice that $xcdot e^x$ is a common factor. يبدأ (x)(e^x)(3+x) = 0 Rightarrow x=0, e^x = 0, or 3+x = 0. end But $e^x eq 0$ for any $x in mathbb.$ Consequently, the second equation yields no solution. Therefore, our only solutions are $x=0$ and $x=-3.$
3. $ 5^<2x>=3 $
حل. Here, we cannot use the strategy applied above, since there is no common base between $5$ and $3.$ So, we will now explore the inverses of exponential functions, which will present us with a strategy to solve such problems!

Part 2. Logarithmic Functions (the inverses of exponential functions!)

بعبارات أخرى:
$log_b x= $ "ال exponent $(y)$ that we raise the base $b$ to in order to obtain $x$"

Exercise. Find $log_2 8$

We will verify that $f(x) = log_b x$ and $g(x)=b^x$ are inverses by using the Cancellation Property:
يبدأ f(g(x)) &= log_b(g(x)) &= log_b(b^x) &= x & quad since log_b(b^x) = k Leftrightarrow b^k = b^x Leftrightarrow k=x & quad extrm < (by the 1-1 property)>end Similarly, egin g(f(x)) &= b^ &= b^ &= x end since $log_b(x) = $ "the exponent such that when $b$ is raised to it, it returns the value $x$" by definition.
i.e. $log_b(x) = k Leftrightarrow b^ = b^k =x.$

Graphically, we can see that they are inverses because the functions reflect about the line $y=x.$ Consider $f(x)= log_2(x)$ (in blue) and $g(x)=2^x$ (in red), whose graphs are given below:

Notice that the domain of $y=b^x$ is the entire real line, which is now the range of $y= log_b x.$ Similarly, the range of $y =b^x$ is equal to the domain of $y = log_b x,$ which is the interval $(0,infty).$ This shows that while $y=0$ was a horizontal asymptote for $g(x)=b^x, x=0$ is now a vertical asymptote for $f(x)=log_b x.$

Part 3. Two Important Logarithms

1. $b=10$
We usually write $log x$ to mean $log_ <10>x.$ (i.e. the convention is to not write the base of ten)
2. $b=e$
We usually write $ln x$ to mean $log_e x.$ "$ln$" stands for "natural logarithm" (so try not to say it like "lawn", though many do)
To add confusion, mathematicians at higher levels often فقط consider the natural logarithm, and so write $log x$ to mean base $e$ instead of base $10.$ Hopefully the base will be clear from context in these situations.

Part 3. Properties of Logarithms

أنا. $log_b b^x = x $
ثانيا. $ log_b 1 =0 $
ثالثا. $log_b b = 1 $
Convince yourself that these are true by simply using the definition of logarithms!

In summary, we have that: $ underbrace_< ext> qquad qquad means qquad qquad underbrace_< ext>$ Recall the basic properties of functions of the form $y=b^x$, where $b$ is a constant positive real number:

1. $ b^r cdot b^s = b^ $
2. $ b^r div b^s = b^ $
3. $(b^r)^s = b^ $
As previously discussed, switching $x$ and $y$ gives the inverse function $y = log_b x.$ Below are more properties of this function. (It may be useful for you to make note of how these properties are related to those of exponential functions, given above.)
1. $ log_b(rcdot s) = log_b r + log_b s $
2. $ log_b(frac) = log_b r - log_b s $
3. $log_b(r) = fracqquad $ ("change of base" formula)

Below is the proof of (1). The rest will be left to you as an exercise!

Call $x=log_b r,$ $y=log_b s,$ and $z = log_b(rcdot s).$ We need to show that $z=x+y.$
Well, by definition of logarithms, we have the following: egin x &= log_b r Leftrightarrow b^x = r y &= log_b s Leftrightarrow b^y = s z &= log_b(rcdot s) Leftrightarrow b^z = rcdot s. نهاية Therefore, $b^z = rcdot s = b^x b^y = b^ $ (by property 1 of exponents above)
$Rightarrow b^z = b^ $
$Rightarrow z = x+y $ (by $1-1$ property of exponential functions)
$Rightarrow log_b(rcdot s) = log_b r + log_b s $ as desired.

Mini-Lecture.

مثال. Solve the following equations for $x$:

For $x= 7:$
We show: LHS (left hand side) = RHS (right hand side) of the original معادلة. $ ext = log_3 (7+29) - 2 log_3 (7-1) = log_3 left( frac<36> <6^2> ight) = log_3 ( 1) = 0 = ext< RHS>.$ The important thing to note is that when we first substituted $x=7,$ both logarithmic functions were defined!

For $x=-4:$
$ ext = log_3 (-4 +29) - 2 log_3 (-4-1) = log_3 left( 25 ight) - 2 log_3 ( -5).$ But $log_3(-5)$ is undefined! Therefore, $x=-4$ is not a valid solution!


Definition of One-to-One Functions - Problem 2

Carl taught upper-level math in several schools and currently runs his own tutoring company. He bets that no one can beat his love for intensive outdoor activities!

Determining if a set of points is a function and if a set of points is one-to-one. So behind me I have a set of points. Function f is the set of points and I want to determine if this is a function. So to determine whether it's function, for every x there’s only one y. Let’s go through that and what we have is in ascending order our values -1, 0, 1 and 2. There is no repeated x values so f for every x there is only one y, this has to be a function.

Is this one-to-one? So we already have the function part for every x there’s only one y. The other part we are concerned with is, for every y is there only one x? So going through this, the first thing I see is the last two points where we have the same y value going to two different x values. So here we have the y value 2 corresponding to the x value 1 and 2.

So that tells me this is not a function, for one y value we have two x’s. So what I actually want to do is just change this up to make it a one-to-one function. So I know that this point is a parabola. So what that means is I have to change this 2 value, to something that is not represented in our y’s.

So we have 1 0, 1 2, if I change this to 3, that y value is not represented, so that means for every y 3 there is only that 1 x value of 2. Checking to see if we have any other over lap. So we have our y value 3, 2, 1, 0, 1, there’s also some overlap in these two points.

The y value of 1 corresponds to -2 as x and also 0. So we need to change one of those to a value that’s not represented as well. If we change it to say one of them, to a negative, then we have two different y values with no x value overlap.

So as this function was not one-to-one but with some minor tweaks, which you're probably not going to be able to do in normal application just changing the values. But we are also able to make this into what could be a one-to-function.


6.1 Inverse Sine and Cosine

Let's first remind ourselves of some facts regarding inverse functions. Intuitively, an inverse function is designed to somehow "go backwards." That is, if F is a function and F(أ) = ب, then the inverse function of F (denoted by F - 1 ) has the property that F - 1 (ب) = أ. Not all functions have an inverse. Only those functions that are one-to-one have an inverse. A function is one-to-one means that distinct elements of the domain must have different function values. That is, if F(x 1 ) = F(x 2 )، ومن بعد x 1 = x 2 . In graphing terms, a function is one-to-one if every horizontal line cuts the graph in at most one point (horizontal line test). If a function has an inverse, then the graph of the inverse is obtained by reflecting the graph of the function through the line ذ = x. For those functions that are not one-to-one we can often restrict the domain to create a one-to-one function which then has an inverse.

Let's see an example of restricting the domain of a function to create a one-to-one function. We use the quadratic function F(x) = x 2 which should be very familiar to you. In the diagram, we see the graph of F(x) = x 2 fails the horizontal line test since there is at least one line that cuts the graph twice.


If we restrict the domain to x ≥ 0 then the resulting function is one-to-one and has an inverse. The picture shows the graph of F(x) = x 2 , x ≥ 0


The graph of the inverse function is obtained by reflecting the graph of the function across the line ذ = x. The formula for the inverse is obtained as follows.

Replace F(x) with ذ ذ = x 2
Replace each x مع ذ and vice-versa x = ذ 2
حل من أجل ذ x = ذ
Replace ذ مع F -1 (x) F -1 (x) = √x
The inverse function is the familiar square root function.
Note that the domain of the inverse function is the range of the function and that the range of the inverse function is the domain of the function.

The standard method used to find inverses is outlined in the following table.

Let's get back to the task at hand, namely coming up with inverse functions for sine and cosine. The diagram shows how the graph of the sine function fails the horizontal line test and so is not one-to-one. To create an inverse we must first restrict the domain of the sine function. We look for the largest interval in the domain where sine is one-to-one and this presents our first problem. The accepted standard is to restrict the sine to the interval −/2 ≤ x ≤ /2. The graph is shown below. The graph of the inverse is obtained by reflecting the graph about the line ذ = x. The domain of the inverse is 𕒵 ≤ x ≤ 1 and the range of the inverse is −/2 ≤ ذ ≤ /2. The picture shows the graph, domain, and range of the inverse. As for finding a formula for the inverse, this is one of those cases where it is not possible. We simply name the inverse as sin -1 with the condition that sin -1 (س) = ر if sin(ر) = س, 𕒵 ≤ س ≤ 1, −/2 ≤ ر ≤ /2.

Intuitively, what the inverse sine does in practice is return the angle whose sine is the given value. Indeed, you might read sin -1 (x) as "the angle whose sine is x?" For example, sin -1 (0.5) returns the angle whose sine is 0.5, namely the first quadrant angle /6. Similarly, sin -1 (𕒴.5) returns the angle whose sine is 𕒴.5, namely the fourth quadrant angle −/6. Note that if then the angle that is returned, , is a first quadrant angle. Likewise, if then the angle that is returned, sin -1 (س), is a fourth quadrant angle with negative measure.

While we use the notation sin -1 for the inverse sine function, there are other notations you might see. The most common ones are arcsin and asin. We shall use both sin -1 and asin. Typically, we use asin in the interactive exercises and demonstrations because of ease of typing and for computer recognition of the function.

The inverse cosine function is defined by first restricting the domain of the cosine function to 0 ≤ x ≤ . The process is identical to that of defining the inverse sine. The inverse cosine function is denoted as cos -1 (which we use), arccos, and acos. The details of the construction of the inverse cosine, as well as the inverse sine, are shown in the demonstration below.

Other notations you might see for the inverse cosine are arccos and acos. We shall use both cos -1 and acos. As with asin, we use acos in the interactive exercises and demonstrations because of ease of typing and for computer recognition of the function.

The following demonstration will take you through the steps of restricting the domain and obtaining the graphs of and . Just follow the instructions on each screen. After viewing the demonstration we will investigate these functions and their properties further.

Defining sin -1 (x) and cos -1 (x)

Radian Measure

Inverse Properties

The reason for restricting x to the interval [-1, 1] in two of these four identities should be clear. The symbol sin(sin -1 (2)) is undefined since sin -1 (2) cannot be defined. No angle has a sine value of 2. The other two restrictions to [-/2, /2] and [0, ] are the same restrictions used in the demonstration above in order to make sine and cosine one-to-one. The first and third identities do not hold if x is chosen outside the intervals. In each case the left side is defined but it is not x. For example, sin -1 (sin(5/6)) = = /6, not 5/6 as that is outside the required interval. One consequence of the intervals we chose is this identity.

The next demonstration illustrates the domain problem graphically. Pick one of the angles given and watch the selection of or Observe that the value returned is the value chosen when the angle is in the required interval.

To get used to thinking inversely, try this exercise without a calculator. The answers involve familiar angles and can be found just using a sketch of the angles or graphs.

It is also important to be proficient at using your calculator to find inverse values. Try the following exercise to ensure you can obtain the inverse sine or cosine of a number. First make sure that your calculator is set to radian mode. The answers you enter are to be rounded to four decimal places.


Finding inverse of a function - Example

Find the inverse of the function f(x) = 2x + 3

Given function : f(x) = 2x + 3 

In the above function f(x) to be replaced by "y"

Then, we will get  y = 2x + 3.

y = 2x + 3 has been defined by "y" in terms of "x"

Now we have to redefine y = 2x + 3਋y "x" in terms of "y"

Now, the function has been defined by "x" in terms of "y"

Hence inverse of f(x) is,   f⁻¹(x) = (x - 3)/2


How to find the inverse function of a one to one function?

If we truly have a one to one function then only one value for x matches one value for y, so then y has only one value for x.

We can denote an inverse of a function with

Hold on how do we find the inverse of a set, it's easy all you have to do is switch all the values of x for y and all the values of y for x. Sound familiar? it comes right of the definition.

Now that we understand the inverse of a set we can understand how to find the inverse of a function.

  • Step 1: Interchange f(x) with y
  • Step 2: Interchange x and y
  • Step 3: solve for y (explicit form) and covert to inverse function notation
  • Step 4: Confirm that the function is one to one with the following

What about functions with domain restrictions? Good question, remember if the graph is always increasing or decreasing then it's a one to one function and the domain restrictions can make that happen.

مثال

Rick H

If you want to take your math levels to the next level by learning to program use the link in my bio.

شارك هذا المنشور


3 إجابات 3

Assuming the domain is Z, b is wrong.
The verbage use for b is weak for a,c.
Would it ask too much to actually prove it?
d, e, f are flat out wrong. Check your thinking.

To ask if a function is surjective (1-1) without stating its codomain is like asking how much water is needed to fill a glass without telling the size of the glass.

Whether or not something is one-to-one or onto depends on the domain and range of the functions. If it specified that you're working in the integers, then you have to look at negative and positive numbers. That means that your answer to b is wrong. Also, a function can be both one-to-one and onto. In fact, some of the ones you've marked as one-to-one are onto and vice versa. Lastly, it seems like you mixed up one to one and onto in d, e, and f. You're reasoning is correct but it has nothing to do with the functions being onto and instead shows they're not one-to-one.

To prove a function $f$ is injective (one-to-one), you must show that $f(x_1) = f(x_2) implies x_1 = x_2$ .

Your claim that the function $f: mathbb o mathbb$ defined by $f(x) = x + 2$ is injective is correct since $f(x_1) = f(x_2) implies x_1 + 2 = x_2 + 2 implies x_1 = x_2$

Your claim that the function $g: mathbb o mathbb$ defined by $g(x) = x^2 + 2$ is injective is incorrect since $g(-1) = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 1^2 + 2 = g(1)$ but $-1 eq 1$ .

To prove a function $f$ is surjective (onto), you must show that given any element $y$ in the codomain, you can produce an element $x$ in the domain such that $f(x) = y$ .

For instance, the function $f: mathbb o mathbb$ defined by $f(x) = x + 2$ is surjective since given $y in mathbb$ we can find $x = y - 2 in mathbb$ such that $f(x) = f(y - 2) = y - 2 + 2 = y$ .

The function $f: mathbb o mathbb$ defined by $g(x) = x^2 + 2$ is not surjective since $1$ is not in its range. To see this, suppose that $g(x) = x^2 + 2 = 1$ . Then $x^2 = -1$ . However, there is no integer whose square is equal to $-1$ .


الجبر

Here are my online notes for my Algebra course that I teach here at Lamar University, although I have to admit that it’s been years since I last taught this course. At this point in my career I mostly teach Calculus and Differential Equations.

Despite the fact that these are my “class notes”, they should be accessible to anyone wanting to learn Algebra or needing a refresher for Algebra. I’ve tried to make the notes as self contained as possible and do not reference any book. However, they do assume that you’ve had some exposure to the basics of algebra at some point prior to this. While there is some review of exponents, factoring and graphing it is assumed that not a lot of review will be needed to remind you how these topics work.

Here are a couple of warnings to my students who may be here to get a copy of what happened on a day that you missed.

    Because I wanted to make this a fairly complete set of notes for anyone wanting to learn algebra have included some material that I do not usually have time to cover in class and because this changes from semester to semester it is not noted here. You will need to find one of your fellow class mates to see if there is something in these notes that wasn’t covered in class.

Here is a listing (and brief description) of the material that is in this set of notes.

Preliminaries - In this chapter we will do a quick review of some topics that are absolutely essential to being successful in an Algebra class. We review exponents (integer and rational), radicals, polynomials, factoring polynomials, rational expressions and complex numbers.


الدوال المثلثية المعكوسة

Inverse sine function (or arcsin funciton)

'(sin^<-1>)' (or '(arcsin)') is the inverse function of (f(x)=sin x) (restricted to (-pi/2leq xleq pi/2)).

أمثلة. [sin^ <-1>left(frac<1><2> ight) = frac<6>,quad arcsin left(frac<-sqrt<3>><2> ight) = -frac<3>,quad arcsin(-1)=-pi/2]

Inverse cosine function (or arccos funciton)

'(cos^<-1>)' (or'(arccos)') is the inverse function of (f(x)=cos x) (restricted to (0leq xleq pi)).

Inverse tangent function (or arctangent funciton)

Domain: ((-infty,infty)) range: ((-pi/2,pi/2))

مثال. If ( hetain (-pi/2,pi/2)), then (arctanleft( an heta ight) = heta). [arctanleft(frac<1>> ight)=frac<6>, arctan 1 = frac<4>]


شاهد الفيديو: ثانية ثانوي فرع الجبر رياضيات. الدرس الثالث الوحدة الثانية. علمي .. الداله العكسية (شهر نوفمبر 2021).