مقالات

2.3: نظريات ASA و AAS - الرياضيات


في هذا القسم سننظر في حالتين أخريين حيث من الممكن أن نستنتج أن المثلثات متطابقة مع معلومات جزئية فقط عن جوانبها وزواياها ،

لنفترض أن ( مثلث ABC ) به ( زاوية أ = 30 ^ { دائرة} ، زاوية ب = 40 ^ { دائرة} ) ، و (أب = ) بوصتان. دعونا نحاول رسم ( مثلث ABC ). نرسم أولاً مقطعًا من خط طوله 2 بوصة ونسميه (AB ) ، باستخدام المنقلة ، نرسم زاوية (30 ^ { circ} ) عند (A ) وزاوية (40 ^). { circ} ) في (B ) (الشكل ( PageIndex {1} )). نمد الخطوط التي تشكل ( الزاوية أ ) و ( الزاوية ب ) حتى تلتقي عند (ج ). يمكننا الآن قياس (AC ، BC ) ، و ( الزاوية C ) لإيجاد الأجزاء المتبقية من المثلث.

لنفترض أن ( triangle DEF ) مثلث آخر ، بـ ( angle D = 30 ^ { circ} ) ، ( angle E = 40 ^ { circ} ) ، و (DE = ) بوصتان. يمكننا رسم ( مثلث DEF ) تمامًا كما فعلنا ( مثلث ABC ) ، ثم قياس (DF ، EF ) ، و ( زاوية F ) (الشكل ( PageIndex {2} )). من الواضح أنه يجب أن يكون لدينا (AC = DF ) ، (BC = EF ) ، و ( زاوية C = زاوية F ) ، لأن كلا المثلثين تم رسمهما بنفس الطريقة تمامًا ، لذلك ( مثلث ABC cong مثلث DEF ).

في ( مثلث ABC ) نقول أن (AB ) هو الضلع متضمن بين ( الزاوية أ ) و ( الزاوية ب ). في ( مثلث DEF ) يمكننا القول أن DE هو الجانب المضمن بين ( الزاوية د ) و ( الزاوية إي ).

تقترح مناقشتنا النظرية التالية:

Theorem ( PageIndex {1} ): ASA أو نظرية الزاوية الجانبية

يكون المثلثان متطابقين إذا كانت زاويتان والضلع المضمن لأحدهما متساويان على التوالي مع زاويتين وضلع مضمّن في الآخر.

في الشكل ( PageIndex {1} ) و ( PageIndex {2} ) ، ( مثلث ABC cong triangle DEF ) بسبب ( زاوية أ ، زاوية ب ) ، و ( AB ) تساوي على التوالي ( زاوية د ) ، ( زاوية إي ) ، و (دي ).

نختصر أحيانًا النظرية ( PageIndex {1} ) ببساطة عن طريق كتابة (ASA = ASA ).

مثال ( PageIndex {1} )

في ( مثلث PQR ) ، قم بتسمية الجانب المضمن بين

  1. ( زاوية ف) و ( زاوية س ).
  2. ( الزاوية ف ) و ( الزاوية ص ).
  3. ( الزاوية س ) و ( الزاوية ص ).

حل

لاحظ أن الجانب المضمن تتم تسميته بالحرفين اللذين يمثلان كل زاوية من الزوايا. لذلك ، بالنسبة إلى (1) ، يتم تسمية الجانب المضمن بين ( الزاوية P ) و ( الزاوية Q ) بالحرفين (P ) و (Q ) - أي الجانب ( PQ ). وبالمثل بالنسبة إلى (2) و (3).

الجواب: (1) (PQ )، (2) (PR )، (3) (QR ).

مثال ( PageIndex {2} )

للمثلثين في الرسم التخطيطي

  1. اكتب بيان التطابق ،
  2. اعطاء سبب ل (1) ،
  3. ابحث عن (س ) و (ص ).

حل

(1) من الرسم البياني ( الزاوية أ ) في ( المثلث ABC ) يساوي ( الزاوية ج ) في ( المثلث ADC ). لذلك ، " (A )" يتوافق مع " (C )". أيضًا ( الزاوية C ) في ( المثلث ABC ) يساوي ( الزاوية أ ) في ( المثلث ADC ). لذا فإن " (C )" يتوافق مع " (A )". نحن لدينا

(2) ( الزاوية أ ، الزاوية ج ) ، والجانب المضمن (AC ) من ( مثلث ABC ) تساوي على التوالي ( الزاوية ج ) ، ( الزاوية أ ) ، وتضمين الجانب (CA ) من ( مثلث CDA ). ( (AC = CA ) لأنها مجرد أسماء مختلفة لقطعة خط متطابقة ، نقول أحيانًا (AC = CA ) بسبب هوية.) لذلك ( مثلث ABC cong مثلث CDA ) بسبب نظرية ASA ( (ASA = ASA )).

ملخص:

( start {array} {ccrclcl} {} & & { underline { triangle ABC}} & & { underline { triangle CDA}} & & {} { text {Angle}} & & { angle BAC} & = & { angle DCA} & & { text {(selected = in diagram)}} { text {Included Side}} & & {AC} & = & {CA} & & { text {(هوية)}} { text {Angle}} & & { angle BCA} & = & { angle DAC} & & { text {(ملحوظ = في الرسم التخطيطي)}} نهاية {مجموعة} )

(3) (AB = CD ) و (BC = DA ) لأنهما أضلاع متناظرة من المثلثات المتطابقة. لذلك (x = AB = CD = 12 ) و (y = BC = DA = 11 ).

إجابه:

(1) ( مثلث ABC cong مثلث CDA ).

(2). (ASA = ASA ): ( الزاوية A ، AC ، الزاوية C ) من ( مثلث ABC = زاوية C ) ، (CA ) ، ( زاوية أ ) من ( مثلث CDA ).

(3) (س = 12 ) (ص = 11 ).

لنفكر الآن في ( triangle ABC ) و ( triangle DEF ) في الشكل ( PageIndex {3} ). ( الزاوية أ ) و ( الزاوية ب )

من ( مثلث ABC ) تساوي على التوالي ( الزاوية د ) و ( الزاوية إي ) من ( مثلث ديف ) ، ومع ذلك ليس لدينا معلومات حول الجوانب المتضمنة بين هذه الزوايا ، (AB ) و (DE ) ، بدلاً من ذلك نعلم أن الجانب غير المضمن BC يساوي الجانب المقابل غير المتضمن (EF ). لذلك ، كما هي الحال ، لا يمكننا استخدام (ASA = ASA ) لاستنتاج أن المثلثات متطابقة ، ومع ذلك قد نظهر ( زاوية C ) يساوي ( زاوية F ) كما في النظرية ( فهرس الصفحة {3} ) ، القسم 1.5 (( angle C = 180 ^ { circ} - (60 ^ { circ} + 50 ^ { circ}) = 180 ^ { circ} - 110 ^ { circ } = 70 ^ { circ} ) و ( angle F = 180 ^ { circ} - (60 ^ { circ} + 50 ^ { circ}) = 180 ^ { circ} - 110 ^ { circ} = 70 ^ { circ}) ). ثم يمكننا تطبيق نظرية ASA على الزوايا Band (C ) وجانبها المشمول (BC ) والزوايا المقابلة (E ) و (F ) مع الجانب المضمن EF. تقودنا هذه الملاحظات إلى النظرية التالية:

نظرية ( PageIndex {2} ) (AAS أو نظرية زاوية الزاوية)

يتطابق المثلثان إذا تساوت زاويتان وجانب غير مضمن من مثلث واحد على التوالي مع زاويتين والجانب المقابل غير المشمول من المثلث الآخر ( (AAS = AAS )).

في الشكل ( PageIndex {4} ) ، إذا ( زاوية أ = زاوية د ) ، ( زاوية ب = زاوية إي ) و (BC = EF ) ثم ( مثلث أبجدي) cong مثلث DEF ).

دليل

( زاوية C = 180 ^ { دائرة} - ( زاوية أ + زاوية ب) = 180 ^ { دائرة} - ( زاوية د + زاوية ه) = زاوية ف ). ثم تتطابق المثلثات مع (ASA = ASA ) مطبقة على ( زاوية ب ). ( الزاوية C ) و (BC ) من ( الزاوية ABC ) و ( الزاوية E ، الزاوية F ) و (EF ) من ( مثلث DEF ).

مثال ( PageIndex {3} )

لمثلثين في الرسم التخطيطي

  1. اكتب بيان التطابق ،
  2. اعطاء سبب ل (1) ،
  3. ابحث عن (س ) و (ص ).

حل

(1) ( مثلث ACD cong مثلث BCD ).

(2) (AAS = AAS ) بما أن ( الزاوية أ ، الزاوية ج ) والجانب غير المتضمن (CD ) من ( الزاوية ACD ) متساويان على التوالي مع ( الزاوية ب ، الزاوية C ) والجانب غير المتضمن (CD ) من ( مثلث BCD ).

( start {array} {ccrclcl} {} & & { underline { triangle ACD}} & & { underline { triangle BCD}} & & {} { text {Angle}} & & { angle A} & = & { angle B} & & { text {(selected = in diagram)}} { text {Angle}} & & { angle ACD} & = & { angle BCD} & & { text {(ملحوظ = في الرسم البياني)}} { text {Unincluded Side}} & & {CD} & = & {CD} & & { text { (الهوية)}} نهاية {مجموعة} )

(3) (AC = BC ) و (AD = BD ) حيث إنهما جوانب متناظرة من المثلثات المتطابقة. لذلك (x = AC = BC = 10 ) و (y = AD = BD ). بما أن (AB = AD + BD = y + y = 2y = 12 ) ، يجب أن يكون لدينا (y = 6 ).

إجابه

(1) ( مثلث ACD cong مثلث BCD )

(2) (AAS = AAS ): ( الزاوية أ ، الزاوية ج ، القرص المضغوط ) من ( مثلث ACD = الزاوية ب ، الزاوية ج ، القرص المضغوط ) من ( المثلث BCD ) .

(3) (س = 10 ) (ص = 6 ).

مثال ( PageIndex {4} )

للمثلثين في الرسم التخطيطي

  1. اكتب بيان التطابق ،
  2. اعطاء سبب ل (1) ،
  3. ابحث عن (س ) و (ص ).

حل

الجزء (1) والجزء (2) متطابقان مع مثال ( PageIndex {2} ).

(3):

( start {array} {rcl} {AB} & = & {CD} {3x - y} & = & {2x + 1} {3x - 2x - y} & = & {1} {x - y} & = & {1} end {array} ) و ( start {array} {rcl} {BC} & = & {DA} {3x} & = & {2y + 4} {3x - 2y} & = & {4} end {array} )

نحل هذه المعادلات في وقت واحد لـ (س ) و (ص ):

الشيك:

إجابه:

(1) و (2) مثل مثال ( PageIndex {2} ).

(3) (س = 2 ) ، (ص = 1 ).

مثال ( PageIndex {5} )

من أعلى برج طن على الشاطئ ، شوهدت سفينة Sis في البحر ، ونقطة (P ) على طول الساحل يتم رؤيتها أيضًا من (T ) بحيث ( زاوية PTB = زاوية STB ). إذا كانت المسافة من (P ) إلى قاعدة البرج (B ) تساوي 3 أميال ، فما بعد السفينة عن نقطة بون الشاطئ؟

حل

( مثلث PTB cong مثلث STB ) بواسطة (ASA = ASA ). لذلك (x = SB = FB = 3 ).

إجابه: 3 أميال

ملاحظة تاريخية

طريقة إيجاد مسافة السفن في البحر الموصوفة في المثال ( PageIndex {5} ) نُسبت إلى الفيلسوف اليوناني طاليس (سي 600 قبل الميلاد). نعلم من مؤلفين مختلفين أن نظرية ASA قد استخدمت لقياس المسافات منذ العصور القديمة ، وهناك قصة أن أحد ضباط نابليون استخدم نظرية ASA لقياس عرض نهر كان على جيشه عبوره ، (انظر المشكلة 25 أدناه .)

مشاكل

1 - 4. لكل مما يلي (1) ارسم المثلث بالزاويتين والجانب المشمول و (2) قم بقياس الجوانب والزاوية المتبقية ،

1. ( مثلث ABC ) مع ( زاوية أ = 40 ^ { دائرة} ) ، ( زاوية ب = 50 ^ { دائرة} ) ، و (أب = 3 ) بوصات ،

2. ( مثلث DEF ) مع ( زاوية د = 40 ^ { دائرة} ) ، ( زاوية إي = 50 ^ { دائرة} ) ، و (دي = 3 ) بوصات ،

3. ( مثلث ABC ) مع ( زاوية أ = 50 ^ { دائرة} ) ، ( زاوية ب = 40 ^ { دائرة} ) ، و (أب = 3 ) بوصات ،

4. ( مثلث DEF ) مع ( زاوية د = 50 ^ { دائرة} ) ، ( زاوية إي = 40 ^ { دائرة} ) ، و (دي = 3 ) بوصة.

5 - 8. قم بتسمية الجانب المضمن بين الزوايا:

5. ( الزاوية أ ) و ( الزاوية ب ) في ( المثلث ABC ).

6. ( الزاوية س ) و ( الزاوية ص ) في ( المثلث س ص ع ).

7. ( الزاوية د ) و ( الزاوية F ) في ( مثلث ديف ).

8. ( زاوية S ) و ( زاوية T ) في ( مثلث RST ).

9 - 22. لكل مما يلي

(1) اكتب بيان تطابق للمثلثين ،

(2) إعطاء سبب لـ (1) (SAS أو ASA أو AAS Theorems) ،

(3) أوجد (x ) أو (x ) و (y ).

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23 - 26. لكل مما يلي ، قم بتضمين بيان التطابق والسبب كجزء من إجابتك:

23. في الرسم التخطيطي كم تبعد السفينة S عن النقطة (P ) على الساحل؟

24. تمت ملاحظة السفينة (S ) من النقاط (A ) و (B ) على طول الساحل. يتم بعد ذلك إنشاء المثلث (ABC ) وقياسه كما في الرسم التخطيطي ، كم تبعد السفينة عن النقطة (أ )؟

25. أوجد المسافة (AB ) عبر النهر إذا (AC = CD = 5 ) و (DE = 7 ) كما في الرسم التخطيطي.

26. هذه هي المسافة عبر البركة؟


تطابق المثلث. لا!

سيستخدم الدليل النموذجي باستخدام تطابق المثلث ثلاث خطوات لإعداد أجزاء المثلث المتطابقة الثلاثة (قد يكون العديد منها معطيات) ، والخطوة الرابعة تستدعي نظرية تطابق المثلث ، متبوعة بـ CPCF (الأجزاء المتطابقة للأرقام المتطابقة متطابقة) للربط أجزاء مثلث متطابقة إضافية. هذا النوع من الإثبات مشابه جدًا لتلك التي تستخدم العبور في هذا الصدد وتناسب بشكل جيد تنسيق العمودين. ومع ذلك ، تتم كتابة معظم البراهين الخارجية في نمط الفقرة. ينصح نصنا بعدم تضمين المعطيات لتقليل الطقوس الطائشة. (وهكذا يستنتجون الاستنتاجات بدلاً من الإدلاء بتصريحات). ومع ذلك ، بصفتي متعلمًا بصريًا ، أميل إلى الاختلاف مع المؤلفين حول هذا الموضوع. غالبًا ما تكون طريقة مفيدة لتنظيم ما تعرفه ، مما يسهل عليك ملء ما لا تعرفه. وبالتالي سنكون مرنين في الشكل وننصح الطلاب بتجربة مجموعة متنوعة من الأساليب حتى يجدون ما يناسبهم. في هذا الفصل يسود البرهان ذو العمودين.

أدناه سنناقش المثلثات الثلاثة غير المتطابقة لـ AAA ، و SSA = ASS كذلك. سنناقش أولاً التطابقات المثلثية الأربعة لكل من SSS و SAS و SAA (وهو نفس الشيء ويشار إليه عادةً باسم AAS) و ASA.

يُعرف SSS رسميًا باسم نظرية تطابق المثلث الجانبي الجانبي (أو ربما نظرية تطابق المثلث الحافة - الحافة - الحافة).

إذا كانت الأضلاع الثلاثة في مثلثين متطابقة زوجيًا ، فإن المثلثات متطابقة.

كما هو الحال مع الكثير من كتبنا المدرسية ، فإنه يثبت ذلك باستخدام التحولات (تحافظ الانعكاسات على المسافة ونظرية تناظر الطائرة الورقية). هذا مهم لأنه يختلف عن تطور التراكب الخاطئ لإقليدس. كما أنه يختلف عن التطورات الحديثة الصارمة الأخرى التي تستخدم SAS كمسلمة (هيلبرت ، بيركوف). بغض النظر عن المسار الذي تسلكه لتطوير هندستك ، يجب أن تكون قادرًا أيضًا على إقناع نفسك باستخدام البوصلة والحافة المستقيمة التي ينتج عنها دائمًا تطابق SSS. قد يكون للمثلثين اتجاه معاكس ، لكنهما سيظلان متطابقين. كما يتضح من التطور الخاطئ لإقليدس في هذه النتيجة ، فإن إثبات نظريات تطابق المثلث هذه أكثر تعقيدًا من البراهين التي نتوقع أن تكون قادرًا على كتابتها. ومع ذلك ، نتوقع منك أن تكون قادرًا على اتباع البراهين المقدمة. نظرية تطابق المثلث SsA هي الأطول في نصنا ولا تظهر في العديد من النصوص ، بما في ذلك عناصر إقليدس.

تحدثنا سابقًا عن أن المثلث 3-4-5 مثلث قائم الزاوية. بالطبع ، لن تكون كل المثلثات 3-4-5 متطابقة لأن شخصًا ما قد يستخدم 3 مقاييس أو 3 أميال أو حتى 3 سنوات ضوئية. ومع ذلك ، وبسبب نظرية فيثاغورس ، فهذه كلها مثلثات قائمة. (شخصياً ، لدي تحفظات حول كل من مقياس الاتوماتيكية والسنوات الضوئية بسبب تكميم الزمكان والنسبية العامة.) هذه خاصية أساسية أنه بالنظر إلى الجوانب الثلاثة للمثلث ، فقد قمت بإصلاح الزوايا. يتعلق هذا أيضًا بحقيقة أن المثلثات صلبة. الصلابة هي خاصية مهمة في وظائف الأشياء مثل الأبواب والعوارض الخشبية والبوابات.

تُعرف SAS رسميًا باسم نظرية تطابق المثلث الجانبي الزاوية. تأكد من أن الزاوية التي تستخدمها بين الجانبين اللذين تستخدمهما. إذا تم استخدام الضلع AB و BC ، فإن الزاوية B هي الزاوية المحصورة. الترتيب مهم ويتم تضمينه من خلال ترتيب الأحرف المحدد.

إذا كان هناك جانبان في مثلثين والزاوية المضمّنة متطابقتين مع الزوج ، فإن المثلثات متطابقة.

يُعرف AAS رسميًا باسم نظرية تطابق المثلث بين الزاوية والزاوية والجانب. الضلع المستخدم هنا يقابل الزاوية الأولى.

إذا كانت زاويتان والجانب غير المضمن في مثلثين في مثلثين متطابقتين ، فإن المثلثات متطابقة.

تُعرف ASA رسميًا باسم نظرية تطابق المثلث الزاوي والجانب الزاوي. الضلع المستخدم هنا هو بين الزاويتين اللتين تستخدمهما. إذا تم استخدام الزاوية A والزاوية B ، فإن الضلع AB هو الضلع المضمن.

إذا كانت الزاويتان والجوانب المضمّنة في مثلثين في مثلثين متطابقتين ، فإن المثلثات متطابقة.
مثلث ASA مثلث العاص

إذا كانت زاويتان متطابقتين في مثلثين في مثلثين ، فإن المثلثات متشابهة.

لا توجد نظرية تطابق مثلث مثلث SSA. (على الرغم من أن SSA و ASS متكافئان ، يرجى تجنب الهجاء الأخير ، على الرغم من أنه يمثل إلى حد ما الموقف الذي يجب أن تستدعيه.) هذا ما نشير إليه بالحالة الغامضة أو شرط SSA. يمكنك التفكير في الحالة على أنها مثل المرض. يرجى الرجوع إلى الرسم البياني أعلاه ولاحظ ما يلي. الزاوية أ ثابتة (معطاة). طول الضلع AB ثابت (معطى). طول الضلع BC ثابت أيضًا (معطى). ومع ذلك ، هناك احتمالان لـ C كما يتضح من المكان الذي تتقاطع فيه الدائرة المتمركزة عند B مع الخط AC. أحدهما يشير إلى C a والآخر C o. ينتج عن C a زاوية حادة عند C بينما ينتج C o زاوية منفرجة عند C. (يتكون النوع المعاكس للزاوية عند B ، وبالتالي يكون المثلث دائمًا غير حاد.) طالما أن BC أطول من الحد الأدنى للمسافة بين B و AC وأقصر من AB ، من الممكن حدوث مثلثين. ومع ذلك ، إذا كان BC أطول من AB ، فإن مثلث واحد فقط ممكن (انظر SsA أدناه). إذا كانت BC تساوي تمامًا الحد الأدنى للمسافة بين B و AC ، فإن مثلثًا واحدًا فقط ، مثلث قائم الزاوية ، يكون ممكنًا (انظر HL أدناه). إذا كان BC أقل من الحد الأدنى للمسافة بين B و AC ، فلا يوجد مثلث ممكن.

تمامًا كما يمكن أن يكون هناك حل واحد أو صفر أو حلان لمعادلة تربيعية ، يمكن أن يكون هناك صفر أو واحد أو اثنان من المثلثات المقابلة لثلاثية SSA معينة. يتم جعل هذا الارتباط الأعمق أكثر وضوحًا من خلال فحص الطبيعة التربيعية لقانون جيب التمام ، وهو تعميم لنظرية فيثاغورس.

قانون جيب التمام: في المثلث ABC بأضلاعه أ ، ب ، ج: ج 2 = أ 2 + ب 2 - 2 أب كوس ج.

الضلع أ من الطول أ = BC المقابل أ ، والضلع ب من الطول ب = أج المقابل ب ، والضلع ج من الطول ج = أب مقابل ج. لاحظ كيف أن قانون جيب التمام كما هو مذكور متماثل في a و b & # 151 يمكن تبديلهما بنفس النتيجة. أي زاوية / ضلع يتم استخدامه هو أمر عشوائي أيضًا ، لذلك يمكننا أيضًا كتابته على النحو التالي: أ 2 = ب 2 + ج 2 - 2 قيراط cos A أو ب 2 = أ 2 + ج 2 - 2 ac cos ب. بما أن cos 90 & # 176 = 0 ، فإن نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية. تقليديًا ، في المثلث القائم الزاوية C تكون على اليمين والجانب c هو الوتر. وبالتالي فإن البيان المعبأ لقانون جيب التمام له ميزة إضافية.

إذا كان هناك ضلعان في مثلثين والزاوية المقابلة للطول الأطول في الضلعين متطابقين ، فإن المثلثين متطابقان.

ثانيًا ، إذا كان BC يساوي تمامًا المسافة الدنيا بين B والخط AC ، فإن الزاوية C هي الزاوية القائمة. إذن ، BC و AC هما أضلاع هذا المثلث القائم الزاوية و AB هو الوتر. لاحظ كيف أنه إذا كان BC أطول قليلاً ، سينتج عن مثلثين ، وإذا كانت أقصر قليلاً ، فلا يوجد مثلث ممكن. يشار إلى هذا عادةً باسم HL Triangle Congruence Theorem.

إذا كان الوتر والساق في مثلثين قائم الزاوية متطابقتين ، فإن المثلثين متطابقان.

تشير نصوص أخرى إلى أن شرط SSA يضمن التطابق إذا كانت الزوايا المتطابقة غير حادة (أي صحيحة أو منفرجة). بالمعلومات الواردة في نهاية هذا الفصل (قانون الجيوب ، وما إلى ذلك) ، سيتبين أنها متكافئة. لاحظ أيضًا كيف أن HL Congurence Theorem هي أيضًا مجموعة فرعية من SAS للزوايا القائمة.

باستخدام نظرية تطابق مثلث AAS ، يمكننا الآن إثبات عكس نظرية زوايا قاعدة المثلث متساوي الساقين أو عكس pons asinorum.

إذا كانت زاويتان في المثلث متطابقتين ، فإن الأضلاع المقابلة لهاتين الزاويتين متطابقتان.

ضع في اعتبارك الطائرة الورقية ABCD على اليمين. لاحظ كيف أن المثلثين BCF و DCE يحتويان على منطقة AECF في تصميماتهما الداخلية. وبالتالي فهي تتداخل. الزاوية C مشتركة بينهما. وبالتالي إذا حصلنا على معلومتين إضافيتين ، فقد نتمكن من إثبات تطابق هذين المثلثين. قد تفكر في ما هي قطعتين مطلوبتين. تقدم الأقطار في المضلعات المنتظمة مواقف مماثلة.

غالبًا ما يُطرح السؤال حول عدد المثلثات التي تتشكل بواسطة الأقطار في المضلع ، ربما بشكل منتظم. إجابات المثلث (1) ورباعي الأضلاع (8) على الحدود التافهة ، ولكن يمكنك المشاركة بدلاً من ذلك في البنتاغون والسداسي وما إلى ذلك. على وجه التحديد ، فإن التسلسل المعروف باسم A006600 هو للمضلعات المنتظمة والتسلسل A005732 هو للمضلعات الدورية (التي يمكن نقشها في دائرة) n -gons. من الغريب أنهما متماثلان بالنسبة لعدد n غريب ، بينما يختلفان في حالة n حتى. تشرح هذه الورقة لماذا.

هناك أشكال أخرى غير المثلثات يمكننا استخدامها لتغطية منطقة. عند استخدام الأشكال العامة ، يتم استخدام المصطلح tesselate. يستخدم الفسيفساء منطقة أساسية لتغطية (أو تجانب) مستوى بالكامل بحيث لا يتم العثور على ثقوب. تتكرر هذه المنطقة الأساسية عبر مختلف تساوي القياس (الترجمة ، الدوران ، الانعكاس ، انعكاس الانزلاق) ، وبالتالي فهي جميعها متطابقة. لن يتحول المضلع العادي إلى فسيفساء إلا إذا كان قياس الزاوية يقسم بالتساوي 360 & # 176. وبالتالي فإن المضلعات المنتظمة التالية هي فسيفساء: مثلثات (60 & # 176) ، ومربعات (90 & # 176) ، وسداسيات (120 & # 176). أي مثلث وأي رباعي الأضلاع سوف يكسو بالفسيفساء لأنه يمكنك ترتيبها بحيث تحيط الزوايا المجمعة بـ 360 & # 176 بكل رأس. ومع ذلك ، فإن عددًا قليلاً فقط من البنتاغونات سوف يكسو بالفسيفساء وتم اكتشاف عدة أنواع جديدة مؤخرًا. السداسيات بالمثل مقيدة.

كان إم سي إيشر (1898-1972) فنانًا هولنديًا حديثًا استخدم في كثير من الأحيان الفسيفساء والمفاهيم الرياضية الأخرى ، مثل المنظور في أعماله. يحتوي الرابط التالي على مجموعة رائعة من الارتباطات إلى مواقع متنوعة للفسيفساء ، ويحتوي هذا الرابط على برنامج جافا صغير مفيد للدراسة عبر الإنترنت. اثنان من هذه المواعيد النهائية للمسابقة في نطاق 28 مارس - 1 أبريل. عرض Tesselmania. أمثلة هوس Tessel. تيس 1.51.

  1. كلا الجانبين المتقابلين متطابقان
  2. كلا الزوجين من الزوايا المتقابلة متطابقان مع الزوج
  3. تتقاطع الأقطار عند نقاط المنتصف (أي تشطر بعضها البعض).
  1. زوج واحد من الأضلاع متوازي ومتطابق أو
  2. كلا الزوجين من الضلعين المتقابلين متطابقان أو
  3. الأقطار تنقسم بعضها البعض أو
  4. كلا الزوجين من الزوايا المتقابلة متطابقان.

الزاوية هي زاوية خارجية إذا كانت تشكل زوجًا خطيًا بزاوية داخلية لمضلع [محدب].

ملحوظة: هناك تعريفات بديلة للزاوية الخارجية قد يكون لها نفس القدر من المعنى ، ولكنها تنتهك حدود UCSMP للزوايا التي تكون أقل من أو تساوي 180 & # 186. يرجى توضيح التعريف الذي نستخدمه.

نظرًا لأن الزاوية الخارجية للمثلث تشكل زوجًا خطيًا بزاوية داخلية ، وتلك الزاوية الداخلية مكملة لمجموع الزاويتين الداخليتين الأخريين ، يجب أن تكون النظريتان التاليتان بديهيتين تمامًا. يرجى ملاحظة أننا نشير إلى الزاوية الخارجية وليس الزاوية الخارجية نظرًا لوجود زاويتين خارجيتين محتملتين في كل رأس.

قياس زاوية المثلث الخارجي يساوي مجموع قياسات الزوايا الداخلية عند الرأسين الآخرين (نظرية الزاوية الخارجية).

قياس زاوية المثلث الخارجي أكبر من قياس أي من الزوايا الداخلية عند الرأسين الآخرين (الزاوية الخارجية لعدم المساواة).

يختتم هذا الفصل بنظريتين حول أطوال الأضلاع في المثلثات. على وجه التحديد ، الأضلاع الأطول تقابل الزوايا الأكبر. يستخدم النص نظريتين (نظريات الجوانب / الزوايا غير المتكافئة) والعديد من النفي لعمل هذا البيان. هذه في الواقع حالة محددة لقانون الجيب الوارد أدناه. بالنسبة للمثلثات غير المرئية ، نظرًا لأن الجيب هو دالة رتيبة (تتزايد دائمًا أو تتناقص دائمًا) بين 0 & # 176 و 90 & # 176 ، فمن السهل معرفة كيفية عمل ذلك. بالنسبة للمثلثات المنفرجة ، يجب أن يعتمد المرء أيضًا على نظرية الزاوية غير المتكافئة أعلاه وأن يكون لديه رؤية أعمق في دالة الخطيئة.

قانون الجيب: في المثلث ABC بأطوال أطوال أ ، ب ، وج:
sin A / a = sin B / b = sin C / c & # 160 & # 160 أو & # 160 & # 160 a / sin A = b / sin B = c / sin C.

غالبًا ما يشار إلى هذه المفاهيم باسم نظرية المفصلة. ينص هذا بشكل أساسي على أنه في ظل وجود ضلعين بطول ثابت في المثلث ، فإن طول الضلع الثالث سيزداد مع زيادة الزاوية المقابلة ، تمامًا مثل مجموعة المثلثات الموصوفة بالمفصلة.


ما هو تطابق مثلث ASA؟

يرمز ASA إلى "Angle ، Side ، Angle" ، مما يعني أن مثلثين متطابقين إذا كان لهما جانب متساوٍ محصور بين زوايا متساوية متناظرة. إذا كانت رءوس المثلثين في تناظر واحد لواحد بحيث تكون الزاويتان والجانب المضمن لمثلث واحد متطابقتين ، على التوالي ، مع الزاويتين والجانب المشمول للمثلثين الثاني ، فإنه يفي بشرط أن المثلثات متطابقة. نظرًا لأن الزاويتين والضلع المشمول بهما متساويان في كلا المثلثين ، فإن المثلثات تسمى متطابقة.


كيفية إثبات تطابق المثلثات - قواعد SSS و SAS و ASA و AAS

المثلثات المتطابقة هي مثلثات لها نفس الحجم والشكل. هذا يعني أن الأضلاع المتناظرة متساوية والزوايا المتناظرة متساوية.

يمكننا معرفة ما إذا كان المثلثان متطابقان دون اختبار جميع الأضلاع وجميع زوايا المثلثين. في هذا الدرس ، سننظر في القواعد الأربع لإثبات تطابق المثلث. يطلق عليهم سن اند ساند سبورتس قاعدة، ساس قاعدة، ك حكم و AAS قاعدة. في درس آخر ، سننظر في برهان يستخدم للمثلثات القائمة الزاوية يسمى قاعدة الساق Hypotenuse Leg. طالما أن إحدى القواعد صحيحة ، فيكفي إثبات تطابق المثلثين.

توضح المخططات التالية قواعد تطابق المثلث: SSS و SAS و ASA و AAS و RHS. لاحظ أن SSA ليست كافية لتطابق المثلث. قم بالتمرير لأسفل الصفحة لمزيد من الأمثلة والحلول والبراهين.


قاعدة الجانب الجانبي (SSS)

جانب جانبي هي قاعدة تستخدم لإثبات ما إذا كانت مجموعة معينة من المثلثات متطابقة.

ال سن اند ساند سبورتس تنص القاعدة على أن:
إذا ثلاث جهات من مثلث واحد يساوي ثلاث جهات في مثلث آخر ، فإن المثلثات متطابقة.

في الرسوم البيانية أدناه ، إذا AB = RP, قبل الميلاد = PQ و كاليفورنيا = ريال قطري، ثم المثلث ABC مطابق للمثلث RPQ.

قاعدة الزاوية الجانبية (SAS)

زاوية جانبية هي قاعدة تستخدم لإثبات ما إذا كانت مجموعة معينة من المثلثات متطابقة.

ال ساس تنص القاعدة على أن:
إذا وجهان والزاوية المضمنة من مثلث واحد يساوي وجهان وزاوية متضمنة في مثلث آخر ، فإن المثلثات متطابقة.

ان زاوية شملت هي زاوية مكونة من جانبين محددين.

للمثلثين أدناه ، إذا تيار متردد = PQ, قبل الميلاد = العلاقات العامة وزاوية م & لتر = زاوية ص، ثم وفقًا لقاعدة SAS ، مثلث ABC مطابق للمثلث QRP.

قاعدة الزاوية - الجانب - الزاوية (ASA)

زاوية زاوية هي قاعدة تستخدم لإثبات ما إذا كانت مجموعة معينة من المثلثات متطابقة.

ال ك تنص القاعدة على أن:
إذا زاويتين والجانب المشمول من مثلث واحد يساوي زاويتين وجانب مشمول في مثلث آخر ، فإن المثلثات متطابقة.

قاعدة زاوية الزاوية (AAS)

زاوية زاوية هي قاعدة تستخدم لإثبات ما إذا كانت مجموعة معينة من المثلثات متطابقة.

ال AAS تنص القاعدة على أن:
إذا زاويتان وجانب غير مشمول من مثلث واحد يساوي زاويتان وجانب غير مشمول في مثلث آخر ، فإن المثلثات متطابقة.

في الرسوم البيانية أدناه ، إذا تيار متردد = QP، زاوية أ = زاوية سو زاوية ب = زاوية ص، ثم المثلث ABC مطابق للمثلث QRP.

ثلاث طرق لإثبات تطابق المثلثات

درس فيديو عن SAS و ASA و SSS.

  1. افترض SSS: إذا كان هناك تطابق بين رأسي مثلثين بحيث تكون ثلاثة جوانب من مثلث واحد متطابقة مع الأضلاع المتناظرة للمثلث الآخر ، يكون المثلثان متطابقين.
  2. افترض SAS: إذا كان هناك تطابق بين رأسي مثلثين بحيث يكون الضلعان والزاوية المضمنة لمثلث واحدًا متطابقتين مع الأجزاء المقابلة للمثلث الآخر ، فإن المثلثين متطابقان.
  3. مسلمة ASA: إذا كان هناك تطابق بين رأسي مثلثين بحيث تكون زاويتان والجانب المضمن في أحد المثلث متطابقتين مع الأجزاء المقابلة للمثلث الآخر ، فإن المثلثين متطابقان.

استخدام اثنتين من براهين العمود لإثبات تطابق المثلثات

المثلث التطابق بواسطة SSS
كيف يمكن إثبات تطابق المثلثات باستخدام الافتراض الجانبي الجانبي؟
إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث واحد متطابقة مع ثلاثة جوانب لمثلث آخر ، فإن المثلثين متطابقان.

تطابق المثلث بواسطة SAS
كيف يمكن إثبات تطابق المثلثات باستخدام مسلمة SAS؟
إذا كان الضلعان والزاوية المضمنة لمثلث واحد متطابقتين مع ضلعين والزاوية المضمنة لمثلث آخر ، فإن المثلثين متطابقان.

إثبات تطابق المثلث مع مسلمة ASA
كيف يمكن إثبات تطابق المثلثات باستخدام افترض الزاوية الجانبية للزاوية؟
إذا كانت الزاويتان والجانب المضمن في أحد المثلث متطابقتين مع زاويتين والجانب المضمن لمثلث آخر ، فإن المثلثين متطابقان.

إثبات تطابق المثلث بواسطة AAS مسلمة
كيف يمكن إثبات تطابق المثلثات باستخدام الزاوية الجانبية للزاوية؟
إذا كانت زاويتان وضلع غير مدرج في أحد المثلث متطابقتين مع زاويتين وضلع غير مشمول في مثلث آخر ، فإن المثلثين متطابقان.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


إعادة النظر

للأسئلة 1-3 ، حدد ما إذا كانت المثلثات متطابقة. إذا كان الأمر كذلك ، فاكتب بيان التطابق وأي افتراضات تطابق أو نظرية التطابق التي استخدمتها.

  1. الشكل ( PageIndex <8> )
  2. الشكل ( PageIndex <9> )
  3. الشكل ( PageIndex <10> )

للأسئلة من 4 إلى 8 ، استخدم الصورة والمعلومات الواردة أدناه.

الشكل ( PageIndex <11> )

معطى: ( overline perp overline) ( overline) هو منصف الزاوية ( زاوية CDA )

  1. من ( overline perp overline) ، ما هي الزوايا المتطابقة ولماذا؟
  2. لأن ( overline) هل منصف الزاوية ( الزاوية CDA ) ، ما الزاويتان المتطابقتان؟
  3. من خلال النظر إلى الصورة ، ما هي المعلومات الإضافية التي يتم إعطاؤها لك؟ هل هذا كافٍ لإثبات تطابق المثلثين؟
  4. اكتب برهانًا مكونًا من عمودين لإثبات ( Delta CDB cong Delta ADB ) ، باستخدام # 4-6.
  5. ما هو سبب ( angle C cong angle A )؟

للأسئلة 9-13 ، استخدم الصورة والمعلومات المقدمة.

معطى: ( overline مواز تسطير) ( overline cong overline)

  1. من ( overline مواز تسطير) ، ما هي الزوايا المتطابقة ولماذا؟
  2. من خلال النظر إلى الصورة ، ما هي المعلومات الإضافية التي يمكنك استنتاجها؟
  3. اكتب برهانًا مكونًا من عمودين لإثبات ( Delta LMP cong Delta OMN ).
  4. ما هو سبب ( overline cong overline)?
  5. املأ الفراغات للإثبات أدناه. استخدم المعطى أعلاه. إثبات: (M ) هي نقطة المنتصف ( overline).

حدد الجزء الإضافي من المعلومات المطلوبة لتوضيح أن المثلثين متطابقان مع الافتراض المعطى.

  1. AAS الشكل ( PageIndex <13> )
  2. ك الشكل ( PageIndex <14> )
  3. ك الشكل ( PageIndex <15> )
  4. AAS الشكل ( PageIndex <16> )

ما يفعله علماء الهندسة الحقيقيون

لا داعي لإثبات تطابق الزاوية الثالثة ثم نشر ASA ، نظرًا لأن لدينا ، جاهزون وننتظر ، نظرية AAS. لذا فإن علماء الرياضيات والهندسة الحقيقيين يقفزون مباشرة إلى AAS ويعلنون أن المثلثين متطابقان.

إذا كان عليك شرح هذه النظرية لطالب آخر أو صديق أو غريب عشوائي في الشارع ، فلا يمكنك القفز من زاويتين إلى الزاوية الثالثة الغامضة دون بعض الشرح. ثم قد تحتاج إلى شرح كيف نتخلى أساسًا عن إحدى الزوايا الأصلية لصالح الزاوية الثالثة.

هذا التحول العقلي ، من زاوية معينة إلى الزاوية الثالثة التي تم تحديدها حديثًا ، هو الذي يسمح لك بالاستفادة من القوة الهائلة لـ ASA وتجميع الجانب البعيد سابقًا في الدليل.

أخيرًا ، بعد أن تمشي صديقك عبر تلك الخطوات ، اضرب بكفاءة وقوة أكثر روعة من AAS ، حيث أي يمكن استخدام زاويتين وضلع غير مضمن لتحديد التطابق بين المثلثات. هذا مثير للإعجاب ، أليس كذلك؟


المثلث التطابق المسلمات

إثبات تطابق مثلثين يعني أنه يجب علينا إظهار ثلاثة أجزاء متناظرة لتكون متساوية.

من درسنا السابق ، تعلمنا كيفية إثبات تطابق المثلث باستخدام افتراضات جانب الزاوية (SAS) والجانب الجانبي (SSS). حان الآن & # 8217s النظر إلى المثلثات التي لها تطابق أكبر في الزوايا.

زاوية جانبية زاوية

وكما نرى في الشكل إلى اليمين ، نثبت أن المثلث ABC مطابق لمثلث DEF من خلال فرضية الزاوية - الضلع - الزاوية.

زاوية زاوية الجانب

وكما رأينا في الصورة المرفقة ، نظهر أن المثلث ABD مطابق لمثلث CBD بواسطة Angle-Angle-Side Postulate.

كما سترى بسرعة ، فإن هذه الافتراضات سهلة بما يكفي للتعرف عليها واستخدامها ، والأهم من ذلك أن هناك نمطًا لجميع افتراضات التطابق.

هل يمكنك اكتشاف التشابه؟

نعم ، لقد خمنت ذلك. كل فرضية تطابق واحدة لها طول ضلع واحد على الأقل معروف!

وهذا يعني أن AAA ليست افتراض تطابق للمثلثات. وبالمثل ، فإن SSA ، التي تتهجى & # 8220 كلمة سيئة ، & # 8221 ليست أيضًا افتراض تطابق مقبول.

سوف نستكشف كلتا هاتين الفكرتين في الفيديو أدناه ، لكن من المفيد الإشارة إلى الموضوع المشترك.

يجب أن يكون لديك جانب واحد مطابق على الأقل ، ويمكنك & # 8217t تهجئة أي شيء مسيء!

إن معرفة هذه الافتراضات الأربعة ، كما يقول Wyzant جيدًا ، والقدرة على تطبيقها في المواقف الصحيحة سيساعدنا بشكل كبير خلال دراستنا للهندسة ، خاصةً مع البراهين الكتابية.

So together we will determine whether two triangles are congruent and begin to write two-column proofs using the ever famous CPCTC: Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent.


BASICS TO SSS, SAS, ASA, AAS RULES:

SSS stands for “side, side, side” and means that we have two triangles with all three sides equal.

If three sides of one triangle are equal to three sides of another triangle, the triangles are congruent.

SAS stands for “side, angle, side” and means that we have two triangles where we know two sides and the included angle are equal.

If two sides and the included angle of one triangle are equal to the corresponding sides and angle of another triangle, the triangles are congruent.

ك stands for “angle, side, angle” and means that we have two triangles where we know two angles and the included side are equal.

If two angles and the included side of one triangle are equal to the corresponding angles and side of another triangle, the triangles are congruent.

AAS stands for “angle, angle, side” and means that we have two triangles where we know two angles and the non-included side are equal.

If two angles and the non-included side of one triangle are equal to the corresponding angles and side of another triangle, the triangles are congruent.


ASA Triangle Congruence Theorem

Let us prove the above theorem.

Prove ASA Triangle Congruence Theorem

To prove: ΔABC ≅ ΔDCB

خطواتصياغاتReasons
1.AB || CD ∠ACB = ∠DBCمعطى
2.∠ABC ≅∠DCBAlternate interior angles
3.CB ≅ CBReflexive property of congruence
4.ΔABC ≅ ΔDCBAAS postulate (Hence proved)

Solved Examples

Identify which pair of given triangles illustrates an angle-side-angle (ASA) relationship.

a) △EFG ≅ △CBA, b) △PSQ ≅ △PSR, c) △OAB ≅ △OCD

Name two of the given triangles that are congruent by ASA.

△MLN and △XZY are congruent by ASA as ∠MLN ≅ ∠XZY, LN ≅ ZY, and ∠LNM ≅∠ZYX

Given the following information about an ASA triangle. ∠A = 40°, ∠B = 70°, side c = 6 cm. Find its missing sides and the angle.

Using the angle sum theorem, we will find the missing angle, ∠C
∠A + ∠B + ∠C = 180°, here ∠A = 40°, ∠B = 70°
40° + 70° + ∠C = 180°
∠C = 180° – (40° + 70°)
∠C = 70°
Now, we will find side a using the Law of Sines
a/sin A = c/sin C, here ∠A = 40°, c = 6 cm, ∠C= 70°
a = sin A x c/sin C
a = sin 40° x 6/sin 70
a = 0.64 x 6/0.93
a = 4.12 cm
Similarly, we will find side b using the Law of Sines
b/sin B = c/sin C, here ∠B = 70°, c = 6 cm, ∠C= 70°
b = sin B x c/sin C
b = sin 70° x 6/sin 70°
b = 6 cm
Thus the missing sides are a = 4.12 cm, b = 6 cm, and missing angle, ∠C = 70°


شاهد الفيديو: إثبات تطابق المثلثات ASA, AAS-أول ثانوي-ف1 (ديسمبر 2021).