مقالات

5: المجموعات والعد - الرياضيات


أهداف التعلم

ستتعلم في هذا الفصل:

  • استخدم نظرية المجموعات ومخططات فين لحل مسائل العد.
  • استخدم بديهية الضرب لحل مسائل العد.
  • استخدم التباديل لحل مسائل العد.
  • استخدم المجموعات لحل مسائل العد.
  • استخدم نظرية ذات الحدين لتوسيع ((x + y) ^ n )

علامات عد

علامات عد، وتسمى أيضا علامات التجزئة، هي نظام رقمي أحادي. إنها شكل من أشكال الأرقام المستخدمة في العد. إنها مفيدة للغاية في عد أو حساب النتائج المستمرة ، مثل النتيجة في لعبة أو رياضة ، حيث لا يلزم محو النتائج الوسيطة أو إهمالها.

ومع ذلك ، نظرًا لطول الأعداد الكبيرة ، لا تُستخدم عمليات التعداد بشكل شائع للنص الثابت. تم استخدام العصي المسننة ، المعروفة باسم العصي المسننة ، تاريخياً لهذا الغرض.


5: المجموعات والعد - الرياضيات


قسم الرياضيات بجامعة ولاية إلينوي

MAT 305: موضوعات اندماجية لمعلمي رياض الأطفال حتى الصف الثامن

تقنيات العد الأساسية

هنا نختار عنصرًا واحدًا من مجموعة العناصر. نظرًا لعدم وجود عناصر مشتركة بين المجموعتين التي أطلق عليها Blaise اسم Greens and Potatoes ، يمكننا تجميع العناصر في مجموعة واحدة كبيرة. نستخدم الجمع هنا 4 + 5 لتحديد العدد الإجمالي للعناصر للاختيار من بينها.

هذا يوضح مبدأ عد مهم.

إذا كان الاختيار من المجموعة الأولى يمكن أن يتم بطرق n ويمكن الاختيار من المجموعة الثانية بطرق m ، فإن عدد الاختيارات الممكنة من المجموعة الأولى أو المجموعة الثانية هو n + m.

شرط ضروري: لا توجد عناصر في المجموعة الأولى متطابقة مع عناصر المجموعة الثانية.

يمكن تعميم هذا على اختيار واحد من أكثر من مجموعتين ، مرة أخرى بشرط أن تكون جميع المجموعات أو المجموعات منفصلة ، أي ليس لديها أي شيء مشترك.

أمثلة لتوضيح مبدأ الإضافة:

فيما يلي ثلاث مجموعات من الحروف ، أطلق عليها المجموعات الأولى والثانية والثالثة:

كم عدد الطرق المتاحة لاختيار حرف واحد من بين المجموعات I أو II أو III؟ لاحظ أن المجموعات الثلاث منفصلة ، أو متنافية: لا توجد عناصر مشتركة بين المجموعات الثلاث.

فيما يلي مجموعتان من الأعداد الصحيحة الموجبة:

كم عدد الطرق المتاحة لاختيار عدد صحيح واحد من بين المجموعات A أو B؟ لاحظ أن المجموعتين ليست منفصلة. ما هو التعديل الذي يمكننا إجراؤه على مبدأ الإضافة لملاءمة هذه الحالة؟ حاول كتابة هذا التعديل.

مبدأ الضرب

يمكننا تعداد الوجبات الممكنة ، ويفضل أن يكون ذلك بطريقة منظمة للتأكد من أننا قد درسنا جميع الاحتمالات. هنا رسم تخطيطي لأحد هذه التعداد ، أين , , ، و تمثل العناصر التي سيتم اختيارها من قوائم الحساء واللحوم والخضروات الخضراء والحلويات ، على التوالي.

لاحظ عملية العد المستخدمة في الجدول. كيف يمكنك وصفها بالكلمات؟

وإلا كيف يمكننا إكمال العد دون تحديد جميع الخيارات الممكنة؟ توفر خريطة أو شجرة لتوضيح عملية العد جسراً لمثل هذه الطريقة.

لدينا طريقتان لاختيار أحد أصناف الحساء ، وطريقتان لاختيار عنصر اللحم ، وأربع خضروات للاختيار من بينها ، وأربع حلويات للاختيار من بينها. إن مطابقة حساء واحد مع كل لحم ، ثم كل من هذه الأزواج مع كل من أربع خضروات خضراء ممكنة ، وكل من تلك الثلاثية مع كل من الحلويات الأربع الممكنة يؤدي إلى استخدام الضرب كوسيلة سريعة لحساب جميع الوجبات الممكنة. يمكن أن يتجمع في Blaise.

هذا يشير إلى أننا نستخدم مبدأ عد آخر لوصف هذه التقنية.

مبدأ الضرب

إذا كانت المهمة تتضمن خطوتين ويمكن إكمال الخطوة الأولى بطرق n والخطوة الثانية بطرق m ، فهناك طرق n * m لإكمال المهمة.

شرط ضروري: الطرق التي يمكن بها إكمال كل خطوة مستقلة عن بعضها البعض.

يمكن تعميم هذا على إكمال مهمة في أكثر من خطوتين ، طالما أن الشرط صحيح.

مثال لتوضيح مبدأ الضرب:

استرجع المجموعات الثلاث الأولى والثانية والثالثة: , ، و . حدد عدد المجموعات المكونة من ثلاثة أحرف التي يمكن إنشاؤها بحيث يكون حرف واحد من المجموعة I وحرفًا واحدًا من المجموعة II وحرفًا واحدًا من المجموعة III. لاحظ أن اختيارنا في كل مجموعة مستقل عن اختيارنا في المجموعات الأخرى. إذا لزم الأمر ، يمكننا تعداد المجموعات المحتملة المكونة من ثلاثة أحرف أو ثلاثة عناصر.

التباديل
ما هو عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب الحروف ضمن مجموعة واحدة فقط ، من بين الأول والثاني والثالث؟ في المجموعة الأولى ، لدينا الاحتمالات التالية:

نستخدم مبدأ الضرب لوصف اختيارنا. لدينا ثلاثة أحرف للاختيار من بينها في ملء الموضع الأول ، ويبقى حرفان لملء الموضع الثاني ، وحرف واحد فقط متبقي للموضع الأخير: 3 × 2 × 1 = 6 أوامر مختلفة ممكنة. وبالمثل ، بالنسبة للمجموعة II ، هناك 120 طريقة مختلفة لترتيب الأحرف الخمسة وهناك 24 طريقة مختلفة لترتيب الحروف في المجموعة III.

توضح هذه المناقشة أعلاه مفهوم استراتيجية عد أساسية أخرى.

الترتيب الخطي للعناصر التي يجب أن يؤخذ ترتيب العناصر في الاعتبار.

نشير أيضًا إلى توفر التدوين العاملي لتمثيل الضرب المحدد الذي قمنا به بشكل مضغوط: 3x2x1 = 3 !، 5x4x3x2x1 = 5 !، وهكذا. إذن n (n-1) (n-2). (2) (1) = ن !.

تمثيل مضغوط لضرب الأعداد الصحيحة المتتالية. نحن نستخدم n! لإعادة تمثيل المنتج n (n-1) (n-2). (2) (1) ، حيث n عبارة عن عدد صحيح موجب.

مثال لتوضيح استخدام التباديل:

أسمع كل صباح أو مساء تقريبًا في الأخبار عن ولاية إلينوي ، دائرة خدمات الأطفال والأسرة. أشعر بالحيرة ، لأن قسم الرياضيات لدينا لديه لجنة تسمى لجنة حالة أعضاء هيئة التدريس بالقسم ، أو DFSC. هل يمكنك أن ترى لماذا أنا مرتبك؟ كم عدد الترتيبات أو التباديل المختلفة المطلوبة المكونة من 4 أحرف والموجودة لمجموعة الأحرف ?

بالتفكير في أربع وظائف لملئها ، __ __ __ __ ، لدينا 4 أحرف للاختيار من بينها للموضع الأول ، و 3 أحرف للمركز التالي ، وحرفان للموضع التالي ، واختيار واحد للموضع الأخير. باستخدام مبدأ الضرب ، يوجد 4x3x2x1 = 24 ترتيبًا مختلفًا من 4 أحرف لمجموعة الأحرف .

يمكننا توسيع هذا التطبيق للنظر في الترتيبات المرتبة لبعض العناصر فقط في المجموعة. على سبيل المثال ، العودة إلى قائمة المشروبات في Blaise's Bistro. إذا كان Blaise سينشر أربعة فقط من شوكولاتة الصودا الممكنة ، فكم عدد الترتيبات المختلفة المطلوبة من المشروبات الغازية الأربعة الموجودة؟

بالتفكير في أربع وظائف لشغلها ، __ __ __ __ ، لدينا 6 مشروبات غازية للاختيار من بينها للمركز الأول ، و 5 في المركز التالي ، و 4 مشروبات غازية للوضع التالي ، و 3 مشروبات غازية للوضع الأخير. باستخدام مبدأ الضرب ، هناك 6x5x4x3 = 360 طريقة مختلفة لاختيار وترتيب أربعة من المشروبات الغازية الستة في القائمة.

بشكل عام ، نستخدم الترميز P (n ، r) لتمثيل عدد الطرق لترتيب الكائنات r من مجموعة من الكائنات n. في المسألة الأولى أعلاه ، حددنا أن P (4،4) = 24 ، وفي الثانية حسبنا P (6،4) = 360. القيمة العامة لـ P (n ، r) هي n (n-1) (n-2). (& # 91n- (r-1) & # 93 أو P (n، r) = n (n-1) (n-2). (n-r + 1). لاحظ أن n يمكن أن يكون أي عدد صحيح غير سالب. هل هناك قيود على قيمة r؟

هناك خطوة حسابية يمكننا تطبيقها على النمط العام لـ P (n ، r) للمساعدة في تبسيط حسابات التقليب. في السطر الثاني أدناه ، ضربنا في ، وهي القيمة 1 فقط لأن البسط والمقام متساويان. في السطر الرابع أدناه ، نرى كيف يمكن تبسيط التعبير باستخدام الترميز المضروب.

وهكذا ، لدينا P (6،2) = 6! / 4! و ف (40،8) = 40! / 32 !.

ماذا عن P (4،4)؟ تشير النتيجة أعلاه إلى أن P (4،4) = 4! / 0 !. نحن نعلم بالفعل أن P (4،4) = 4x3x2x1 = 4! لذلك لدينا 4! = 4! / 0 !. لكي يكون هذا صحيحًا ، يجب أن يكون الأمر كذلك أن 0! = 1. قد يبدو هذا غريبًا ، فنحن بحاجة إلى 0! = 1 للحفاظ على التناسق في الحسابات التي نرغب في تنفيذها.

مجموعات
ما هو الفرق بين طرح هذين السؤالين؟

(ط) ما هو عدد الطرق التي يمكن بها توزيع يد البوكر المكونة من 5 بطاقات؟

(2) كم عدد توزيعات ورق البوكر المختلفة المكونة من 5 بطاقات؟

يتعلق السؤال الأول بترتيب أو ترتيب البطاقات عند التعامل معها. في السؤال الثاني ، تكون النتيجة النهائية عند التعامل معها 2H ، 4D ، JC ، 3S ، 10D بهذا الترتيب هي نفسها التي يتم التعامل معها 4D ، 3S ، JC ، 10D ، 2H بهذا الترتيب. في كل حالة ، يوجد نفس توزيع ورق البوكر المكون من 5 بطاقات. تساعد الأسئلة في توضيح الفرق بين التقليب والجمع.

مجموعة من العناصر التي لا يهم ترتيبها.

وجدنا P (52،5) كحل للمشكلة الأولى. أي أننا رتبنا 5 عناصر مختارة من بين 52 بطاقة. بالنسبة للسؤال الثاني ، هناك العديد من الترتيبات التي تؤدي إلى نفس توزيع الورق المكون من 5 بطاقات. نحن بحاجة لحساب هذا. لنفكر في مشكلة أبسط.

كم عدد الترتيبات المطلوبة لأحرف المجموعة ?

باستخدام التباديل ، لدينا P (5،5) = 5! = 120 طريقة لترتيب الأحرف الخمسة.

كم عدد الترتيبات المطلوبة الموجودة في 3 عناصر من مجموعة العناصر المكونة من 5 عناصر؟

لدينا P (5،3) = 543 = 5! / 2! = 60 ترتيبًا. على سبيل المثال ، للحروف الثلاثة لدينا هذه الترتيبات: ABC ، ​​ACB ، BAC ، BCA ، CAB ، CBA. يمثل هذا 6 من 60 ترتيبًا ، لكن كل منها يتضمن نفس الاختيار من ثلاثة أحرف. وبالمثل بالنسبة للحروف الثلاثة : لدينا ACE ، AEC ، CAE ، CEA ، EAC ، ECA.

يبدو أن لكل مجموعة فرعية مكونة من 3 أحرف من هناك 6 ترتيبات من نفس الأحرف الثلاثة. هذه ملاحظة مفيدة في استكشاف السؤال التالي:

تتمثل إحدى الطرق في سرد ​​المجموعات الفرعية الفريدة المكونة من 3 عناصر لـ : ABC، ABD، ABE، ACD، ACE، ADE، BCD، BCE، BDE، CDE. هناك 10 مجموعات فرعية من 3 عناصر.

هناك طريقة أخرى للنظر في العد وهي استخدام حقيقة ما يلي:

بشكل عام ، لدينا طريقة لتحديد عدد مجموعات n من العناصر المحددة r في كل مرة ، حيث لا يتم النظر في ترتيب الاختيار أو ترتيب العناصر r:

العلاقة بين التباديل والتوليفات

إذا تم جمع عناصر r أو ترتيبها من مجموعة n من العناصر ، فإن عدد مجموعات n من العناصر المأخوذة r في كل مرة ، C (n ، r) ، المتعلقة بعدد تباديل n من العناصر المأخوذة r عند a الوقت ، P (n ، r) ، وفقًا للمعادلة

التباديل الدائري

إذا نظرنا إلى الحالة بطريقة خطية ،

لدينا P (5،5) = 5! ترتيبات. الآن قم بتمديد هذا إلى دائرة:

لاحظ أنه في كل من هذه الحالات ، يجلس نفس الأشخاص بجانب بعضهم البعض. على الرغم من حدوث تغيير - تناوب - حول الطاولة ، لا يزال الأطفال الخمسة في نفس الوضع بالنسبة لبعضهم البعض. كم عدد الطرق المتاحة لتدوير العلاقة الخطية الفريدة ABCDE؟ هناك خمس طرق من هذا القبيل ، كلها مصورة في الرسم.

وهكذا لدينا 5! ترتيبات خطية فريدة للأطفال ، ولكن يمكننا تجميعها بحيث يكون لكل مجموعة 5 ترتيبات تظهر الأطفال في نفس الوضع بالنسبة لبعضهم البعض. إذن ، لدينا 5! / 5 = 4! التباديل الدائري للأطفال الخمسة.

ماذا لو رتبنا في دائرة مجموعة فرعية من عنصر r من مجموعة عنصر n؟ لنفترض أننا رتبنا 3 أطفال من أصل 5. في الحالة الخطية ، يوجد P (5،3) = 60 ترتيبًا ، ولكن يمكننا تجميعها بحيث يكون لكل مجموعة 3 ترتيبات تظهر الأطفال في نفس الوضع بالنسبة لبعضهم البعض. لذلك ، لدينا P (5،3) / 3 = 5! / (2! * 3) تباديل دائري للأطفال الخمسة إلى مجموعات فرعية من 3 أطفال.

التقليب الدائري هو ترتيب دائري للعناصر التي يجب أن يؤخذ ترتيب العناصر في الاعتبار.


محتويات

ظهرت المفاهيم الاندماجية الأساسية والنتائج التعدادية في جميع أنحاء العالم القديم. في القرن السادس قبل الميلاد ، أكد الطبيب الهندي القديم سوشروتا في سوشروتا سامهيتا أنه يمكن صنع 63 توليفة من 6 مذاقات مختلفة ، تؤخذ واحدة في كل مرة ، واثنان في كل مرة ، وما إلى ذلك ، وبالتالي حساب جميع الاحتمالات 2 6-1. يناقش المؤرخ اليوناني بلوتارخ جدالًا بين كريسيبوس (القرن الثالث قبل الميلاد) وهيبارخوس (القرن الثاني قبل الميلاد) حول مشكلة تعداد حساسة إلى حد ما ، والتي تبين فيما بعد أنها مرتبطة بأرقام شرودر-هيبارخوس. [7] [8] [9] في وقت سابق ، في المعدة، قد يكون أرخميدس (القرن الثالث قبل الميلاد) قد أخذ في الاعتبار عدد تكوينات أحجية التبليط ، [10] بينما ربما كانت الاهتمامات الاندماجية موجودة في الأعمال المفقودة لأبولونيوس. [11] [12]

في العصور الوسطى ، استمرت دراسة التوافقيات ، إلى حد كبير خارج الحضارة الأوروبية. قدم عالم الرياضيات الهندي ماهافيرا (حوالي 850) صيغًا لعدد التباديل والتوليفات ، [13] [14] وربما كانت هذه الصيغ مألوفة لعلماء الرياضيات الهنود في وقت مبكر من القرن السادس الميلادي. [15] أسس الفيلسوف وعالم الفلك الحاخام أبراهام بن عزرا (حوالي 1140) تناظر المعاملات ذات الحدين ، في حين تم الحصول على صيغة مغلقة لاحقًا بواسطة التلمود وعالم الرياضيات ليفي بن جيرسون (المعروف باسم جيرسونيدس) ، في عام 1321. [16] المثلث الحسابي - رسم بياني يوضح العلاقات بين المعاملات ذات الحدين - قدمه علماء الرياضيات في أطروحات تعود إلى القرن العاشر ، وسيُعرف في النهاية بمثلث باسكال. في وقت لاحق ، في إنجلترا في العصور الوسطى ، قدم علم الكامبان أمثلة لما يعرف الآن باسم دورات هاميلتونيان في بعض الرسوم البيانية لكايلي على التباديل. [17] [18]

خلال عصر النهضة ، إلى جانب بقية الرياضيات والعلوم ، تمتعت التوافقية بولادة جديدة. أصبحت أعمال باسكال ونيوتن وجاكوب برنولي وأويلر أساسية في المجال الناشئ. في العصر الحديث ، كانت أعمال J.J. ساعد كل من سيلفستر (أواخر القرن التاسع عشر) وبيرسي ماكماهون (أوائل القرن العشرين) في إرساء الأساس لتوليفات التعداد والجبر. تمتعت نظرية الرسم البياني أيضًا بانفجار الاهتمام في نفس الوقت ، خاصة فيما يتعلق بمشكلة الألوان الأربعة.

في النصف الثاني من القرن العشرين ، تمتعت التوليفات بنمو سريع ، مما أدى إلى إنشاء عشرات المجلات والمؤتمرات الجديدة في هذا الموضوع. [19] كان هذا النمو مدفوعًا جزئيًا بوصلات وتطبيقات جديدة لمجالات أخرى ، بدءًا من الجبر إلى الاحتمالات ، ومن التحليل الوظيفي إلى نظرية الأعداد ، وما إلى ذلك. ألقت هذه الروابط الحدود بين التوافقيات وأجزاء الرياضيات وعلوم الكمبيوتر النظرية ، ولكن في نفس الوقت أدى إلى تجزئة جزئية للحقل.

التوافقية العددية تحرير

التوليفات العددية هي أكثر المجالات الكلاسيكية للتوافقيات وتركز على حساب عدد كائنات اندماجية معينة. على الرغم من أن حساب عدد العناصر في مجموعة ما هو مشكلة رياضية واسعة إلى حد ما ، إلا أن العديد من المشكلات التي تنشأ في التطبيقات لها وصف اندماجي بسيط نسبيًا. أرقام فيبوناتشي هي المثال الأساسي لمشكلة في التوافقي العددي. توفر الطريقة الاثني عشر إطارًا موحدًا لحساب التباديل والتركيبات والأقسام.

التوليفات التحليلية تحرير

تتعلق التوليفات التحليلية بتعداد الهياكل التجميعية باستخدام أدوات من التحليل المعقد ونظرية الاحتمالات. على النقيض من التوافقي العددي ، الذي يستخدم الصيغ التوافقية الصريحة ووظائف التوليد لوصف النتائج ، فإن التوافقيات التحليلية تهدف إلى الحصول على الصيغ المقاربة.

نظرية التقسيم تحرير

تدرس نظرية التقسيم العديد من مشاكل التعداد والتقارب المتعلقة بالأقسام الصحيحة ، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بالسلسلة q والوظائف الخاصة ومتعددة الحدود المتعامدة. في الأصل جزء من نظرية الأعداد والتحليل ، يعتبر الآن جزءًا من التوافقية أو مجال مستقل. إنه يدمج النهج الحيوي وأدوات مختلفة في التحليل ونظرية الأعداد التحليلية وله روابط مع الميكانيكا الإحصائية.

تحرير نظرية الرسم البياني

الرسوم البيانية هي كائنات أساسية في التوافقية. تتراوح اعتبارات نظرية الرسم البياني من التعداد (على سبيل المثال ، عدد الرسوم البيانية على ن القمم مع ك حواف) إلى الهياكل الموجودة (على سبيل المثال ، دورات هاميلتون) للتمثيلات الجبرية (على سبيل المثال ، إعطاء رسم بياني جي ورقمين x و ذ، هل توت كثير الحدود تيجي(x,ذ) هل لديك تفسير اندماجي؟). على الرغم من وجود روابط قوية جدًا بين نظرية الرسم البياني والتوافقية ، إلا أنه يُعتقد أحيانًا أنها مواضيع منفصلة. [20] بينما تنطبق الطرق التجميعية على العديد من مشاكل نظرية الرسم البياني ، يتم استخدام هذين التخصصين عمومًا للبحث عن حلول لأنواع مختلفة من المشكلات.

تحرير نظرية التصميم

نظرية التصميم هي دراسة للتصاميم التوافقية ، وهي مجموعات من المجموعات الفرعية ذات خصائص تقاطع معينة. تصميمات الكتل هي تصميمات اندماجية من نوع خاص. هذه المنطقة هي واحدة من أقدم أجزاء التوليفات ، كما هو الحال في مشكلة تلميذة كيركمان المقترحة في عام 1850. حل المشكلة هو حالة خاصة لنظام شتاينر ، حيث تلعب الأنظمة دورًا مهمًا في تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة. المنطقة لديها المزيد من الروابط لنظرية الترميز والتوافقيات الهندسية.

تعديل الهندسة المحدودة

الهندسة المحدودة هي دراسة الأنظمة الهندسية التي لها عدد محدود فقط من النقاط. الهياكل المشابهة لتلك الموجودة في الأشكال الهندسية المستمرة (المستوى الإقليدي ، الفضاء الإسقاطي الحقيقي ، إلخ) ولكنها محددة بشكل اندماجي هي العناصر الرئيسية التي تمت دراستها. توفر هذه المنطقة مصدرًا غنيًا لأمثلة نظرية التصميم. لا ينبغي الخلط بينه وبين الهندسة المنفصلة (الهندسة الاندماجية).

تحرير نظرية النظام

نظرية النظام هي دراسة المجموعات المرتبة جزئياً ، المنتهية وغير المحدودة. تظهر أمثلة مختلفة من الأوامر الجزئية في الجبر والهندسة ونظرية الأعداد وعبر التوافقيات ونظرية الرسم البياني. تشمل الفئات البارزة وأمثلة الأوامر الجزئية المشابك والجبر المنطقي.

تحرير نظرية ماترويد

نظرية ماترويد تلخص جزء من الهندسة. يدرس خصائص مجموعات (عادة ، مجموعات محدودة) من المتجهات في فضاء متجه لا تعتمد على معاملات معينة في علاقة اعتماد خطية. لا تنتمي نظرية matroid إلى الهيكل فحسب ، بل أيضًا الخصائص التعدادية. تم تقديم نظرية ماترويد بواسطة هاسلر ويتني ودُرست كجزء من نظرية النظام. إنه الآن مجال دراسة مستقل مع عدد من الروابط مع أجزاء أخرى من التوليفات.

التوافقية المتطرفة تحرير

التوافقيات المتطرفة تدرس الأسئلة المتطرفة حول الأنظمة المحددة. أنواع الأسئلة التي يتم تناولها في هذه الحالة تتعلق بأكبر رسم بياني ممكن يلبي خصائص معينة. على سبيل المثال ، أكبر رسم بياني خالٍ من المثلثات على 2 ن القمم هو رسم بياني كامل من جزئين كن ، ن. غالبًا ما يكون من الصعب جدًا حتى العثور على الإجابة القصوى F(ن) بالضبط ويمكن للمرء فقط إعطاء تقدير مقارب.

نظرية رامزي هي جزء آخر من التوافقيات المتطرفة. تنص على أن أي تكوين كبير بما فيه الكفاية سيحتوي على نوع من الترتيب. إنه تعميم متقدم لمبدأ الحمام.

التوافقية الاحتمالية

في التوافقيات الاحتمالية ، تكون الأسئلة من النوع التالي: ما هو احتمال خاصية معينة لكائن منفصل عشوائي ، مثل الرسم البياني العشوائي؟ على سبيل المثال ، ما هو متوسط ​​عدد المثلثات في رسم بياني عشوائي؟ تُستخدم الطرق الاحتمالية أيضًا لتحديد وجود كائنات اندماجية مع بعض الخصائص المحددة (والتي قد يصعب العثور على أمثلة واضحة لها) ، وذلك ببساطة عن طريق ملاحظة أن احتمال الاختيار العشوائي لكائن بهذه الخصائص أكبر من 0. هذا النهج ( و غالبا يشار له لها ب ال أثبتت الطريقة الاحتمالية) فعاليتها العالية في تطبيقات التوافقية المتطرفة ونظرية الرسم البياني. من المجالات وثيقة الصلة دراسة سلاسل ماركوف المحدودة ، خاصة على الكائنات الاندماجية. هنا مرة أخرى يتم استخدام الأدوات الاحتمالية لتقدير وقت الخلط.

غالبًا ما يرتبط مع Paul Erdős ، الذي قام بالعمل الرائد في هذا الموضوع ، كان يُنظر إلى التوافقيات الاحتمالية تقليديًا على أنها مجموعة من الأدوات لدراسة المشكلات في أجزاء أخرى من التوافقيات. ومع ذلك ، مع نمو التطبيقات لتحليل الخوارزميات في علوم الكمبيوتر ، وكذلك الاحتمال الكلاسيكي ، ونظرية الأعداد المضافة ، ونظرية الأعداد الاحتمالية ، نمت المنطقة مؤخرًا لتصبح مجالًا مستقلًا للتوافقيات.

التوافقية الجبرية تحرير

التوافقية الجبرية هي مجال من مجالات الرياضيات يستخدم طرق الجبر المجرد ، ولا سيما نظرية المجموعة ونظرية التمثيل ، في سياقات اندماجية مختلفة ، وعلى العكس من ذلك ، يطبق تقنيات اندماجية على مشاكل في الجبر. تعمل التوافقات الجبرية باستمرار على توسيع نطاقها ، في كل من الموضوعات والتقنيات ، ويمكن اعتبارها مجالًا للرياضيات حيث يكون تفاعل الطرق التوافقية والجبرية قويًا وهامًا بشكل خاص.

Combinatorics على الكلمات تحرير

التوليفات على الكلمات تتعامل مع اللغات الرسمية. نشأت بشكل مستقل في العديد من فروع الرياضيات ، بما في ذلك نظرية الأعداد ونظرية المجموعة والاحتمال. لها تطبيقات في التوافقية العددي ، والتحليل النمطي هندسي متكرر ، وعلوم الكمبيوتر النظرية ، ونظرية الأوتوماتا ، واللغويات. في حين أن العديد من التطبيقات جديدة ، فإن التسلسل الهرمي الكلاسيكي لتشومسكي شوتزنبرغر لفئات القواعد النحوية الرسمية ربما يكون أفضل نتيجة معروفة في هذا المجال.

التوليفات الهندسية تحرير

ترتبط التوافقيات الهندسية بالهندسة المحدبة والمنفصلة ، ولا سيما التوافقيات متعددة السطوح. يسأل ، على سبيل المثال ، عن عدد الوجوه من كل بُعد يمكن أن يكون لها بوليتوب محدب. تلعب الخصائص المترية للبولتوب دورًا مهمًا أيضًا ، على سبيل المثال نظرية كوشي في صلابة البوليتوب المحدبة. تعتبر polytopes خاصة أيضًا ، مثل permutohedra و associahedra و Birkhoff polytopes. الهندسة التوافقية اسم قديم للهندسة المنفصلة.

التوليفات الطوبولوجية

تُستخدم النظائر التوافقية للمفاهيم والأساليب في الطوبولوجيا لدراسة تلوين الرسم البياني ، والتقسيم العادل ، والأقسام ، والمجموعات المرتبة جزئيًا ، وأشجار القرار ، ومشكلات القلادة ، ونظرية مورس المنفصلة. لا ينبغي الخلط بينه وبين الطوبولوجيا التوافقية وهو اسم قديم للطوبولوجيا الجبرية.

التوليفات الحسابية تحرير

نشأت التوليفات الحسابية من التفاعل بين نظرية الأعداد ، والتوافقيات ، ونظرية ergodic ، والتحليل التوافقي. يتعلق الأمر بالتقديرات التجميعية المرتبطة بالعمليات الحسابية (الجمع والطرح والضرب والقسمة). تشير نظرية الأعداد المضافة (تسمى أحيانًا أيضًا التوليفات المضافة) إلى الحالة الخاصة عندما يتعلق الأمر بعمليات الجمع والطرح فقط. إحدى التقنيات المهمة في التوليفات الحسابية هي نظرية ergodic للأنظمة الديناميكية.

التوليفات اللانهائية تحرير

التوافقية اللانهائية ، أو نظرية المجموعات التوافقية ، هي امتداد للأفكار في التوليفات إلى مجموعات لانهائية. إنها جزء من نظرية المجموعات ، وهي منطقة من المنطق الرياضي ، ولكنها تستخدم أدوات وأفكار من كل من نظرية المجموعات والتوليفات المتطرفة.

استخدم جيان كارلو روتا الاسم التوافقية المستمرة [21] لوصف الاحتمال الهندسي ، حيث توجد العديد من المقارنات بينها عد و يقيس.

التحسين الاندماجي تحرير

التحسين التوافقي هو دراسة التحسين على الكائنات المنفصلة والتوليفية. لقد بدأ كجزء من التوافقية ونظرية الرسم البياني ، ولكن يُنظر إليه الآن على أنه فرع من الرياضيات التطبيقية وعلوم الكمبيوتر ، المتعلقة ببحوث العمليات ونظرية الخوارزمية ونظرية التعقيد الحسابي.

تحرير نظرية الترميز

بدأت نظرية الترميز كجزء من نظرية التصميم مع التركيبات التوافقية المبكرة لرموز تصحيح الأخطاء. الفكرة الرئيسية للموضوع هي تصميم طرق فعالة وموثوقة لنقل البيانات. إنه الآن مجال كبير للدراسة ، وجزء من نظرية المعلومات.

تحرير الهندسة المنفصلة والحسابية

بدأت الهندسة المنفصلة (وتسمى أيضًا الهندسة التوافقية) كجزء من التوافقيات ، مع نتائج مبكرة على الأشكال المتعددة المحدبة وأرقام التقبيل. مع ظهور تطبيقات الهندسة المنفصلة للهندسة الحسابية ، تم دمج هذين المجالين جزئيًا وأصبحا مجالًا منفصلاً للدراسة. لا يزال هناك العديد من الروابط مع التوافقيات الهندسية والطوبولوجية ، والتي يمكن اعتبارها نفسها نتاجًا للهندسة المنفصلة المبكرة.

التوافقية والأنظمة الديناميكية تحرير

تعد الجوانب التوافقية للأنظمة الديناميكية مجالًا ناشئًا آخر. هنا يمكن تعريف الأنظمة الديناميكية على كائنات اندماجية. انظر على سبيل المثال نظام الرسم البياني الديناميكي.

التوافقية والفيزياء تحرير

هناك تفاعلات متزايدة بين التوافقية والفيزياء ، وخاصة الفيزياء الإحصائية. تتضمن الأمثلة حلاً دقيقًا لنموذج Ising ، ووصلة بين نموذج Potts من ناحية ، ومتعددة الحدود اللونية و Tutte من ناحية أخرى.


5: المجموعات والعد - الرياضيات

لكن إضافة 1 بشكل متكرر هو شكل بدائي للغاية للإضافة وهو أيضًا غير مفيد جدًا. أثناء كتابة الاقتباس ، فقدت أيضًا العد عدة مرات. من الأسهل بكثير عد الأشياء عن طريق تجميعها في مجموعات صغيرة ثم جمع الكميات المرتبطة بكل مجموعة لاحقًا. إذا كانت جميع المجموعات تحتوي على نفس القدر من العناصر ، فسوف نكتشف مدى ملاءمة عملية حسابية أخرى - عمليه الضرب - للعد. على سبيل المثال ، الترميز الرياضي لـ "2 و 2 و 2" هو "3 مرات 2" أو ، رمزياً ، 3 & middot2. وبالتالي فإن 3 & middot2 هي نفسها "1 و 1 و 1 و 1 و 1" والتي يُشار إليها بـ 6: 3 و middot2 = 6. في بعض الأحيان ، لا يمكننا تقسيم الكائنات بالتساوي إلى مجموعات أصغر. على سبيل المثال ، بتقسيم 7 إلى مجموعات من 3 كائنات ، نحصل على مجموعتين وكائن واحد متبقي. في هذه الحالة ، يتحد الجمع والضرب في التدوين الرياضي: 2 & middot3 + 1 = 7. هذه هي الطريقة التي يؤدي بها العد إلى فكرة قطاع وحتى قسمة مع الباقي. 3 & middot2 = 6 لا تعني فقط أن ثلاث مجموعات من عنصرين كل مجموع 6 عناصر معًا ، ولكن أيضًا مجموعة من 6 عناصر يمكن أن تكون منقسم في 3 مجموعات من 2 عناصر لكل منهما. الجزء الثاني هو مجرد إعادة صياغة للجزء الأول من البيان السابق. عندما نحاول تقسيم 7 إلى مجموعتين ، نحصل على مجموعتين من ثلاثة أشياء وعنصر إضافي واحد. 7 غير مقسوم بالتساوي على 2.

فيما يلي برنامج صغير يساعد في استكشاف هذه المفاهيم. لاحظ أنه من الممكن بالفعل عد الأشياء وتجميعها بعدة طرق مختلفة تؤدي دائمًا إلى نفس النتيجة. راقب الرموز الرياضية المستخدمة لوصف مجموعات مختلفة من الكائنات. عد الكائنات من خلال النقر عليها في المقابل.

إذا كنت تقرأ هذا ، فلن يتم تعيين المستعرض الخاص بك لتشغيل تطبيقات Java الصغيرة. جرب IE11 أو Safari وأعلن أن الموقع https://www.cut-the-knot.org موثوق به في إعداد Java.

الصغير التالي أكثر تجريدية. يعد العد حرفة مفيدة ولكننا نعلم بالفعل أن الجمع والضرب قد يؤديان إلى تسريعها ، غالبًا إلى حد كبير. في هذا التطبيق الصغير ، يمكنك النقر فوق كل رقم من الأرقام الثلاثة. سيؤدي النقر قليلاً على يمين الخط المركزي إلى زيادة الرقم بمقدار واحد. يؤدي النقر قليلاً على يسار الرقم إلى تقليل الرقم بمقدار 1. يرمز الرمز الرياضي ">" إلى أكثر من, "

إذا كنت تقرأ هذا ، فلن يتم تعيين المستعرض الخاص بك لتشغيل تطبيقات Java الصغيرة. جرب IE11 أو Safari وأعلن أن الموقع https://www.cut-the-knot.org موثوق به في إعداد Java.

أخيرًا ، هذا هو التطبيق الصغير الذي يمثل اختلافًا في مشكلة مع مجموعتين. قل ، لديك تفاح وخوخ. يوجد معًا 12 فاكهة. هناك نوعان من التفاح أكثر من الخوخ. كم عدد كل فاكهة؟ لاحظ أن المشكلة ليس لها حل دائمًا. حاول التفكير في الوقت الذي يحدث فيه ذلك.

إذا كنت تقرأ هذا ، فلن يتم تعيين المستعرض الخاص بك لتشغيل تطبيقات Java الصغيرة. جرب IE11 أو Safari وأعلن أن الموقع https://www.cut-the-knot.org موثوق به في إعداد Java.

كان البروفيسور دبليو ماكورتر لطيفًا بما يكفي لمشاركة خبراته في تدريس العد للطلاب الصغار.

في كتابه تتبع النملة التلقائية (سبرينغر ، 1998) ، يروي ديفيد جيل القصة التالية:

ذات مرة ، كانت هناك فتاة صغيرة اسمها كلارا كانت بالكاد تبلغ من العمر ثلاث سنوات وتعلمت لتوها العد. يمكنها معرفة عدد الكراسي الموجودة في غرفة المعيشة وعدد الدرجات من الشرفة الأمامية. ذات يوم قرر والدها اختبارها. قال: "انظر ، لقد أحضرت لك هذه المصاصات الأربع ،" لكنه سلمها ثلاثة فقط. أخذت كلارا المصاصات وعدت بإخلاص ، "واحد ، اثنان ، أربعة." ثم نظرت مرتبكة قليلاً وسألت: "أين الثالثة؟"


عد و وصل

عد مجموعتين من العناصر وارسم المزيد لجعلها متساوية.

الخفاش ليس مفيدًا كثيرًا إذا لم تحصل على كرة & # 039t. هناك الكثير من الفرص لمطابقة مجموعات من الأشياء في جميع أنحاء المنزل ، ولكن من المفيد أيضًا الجلوس والاستمتاع بالورق. هذه مجموعة رائعة من أربع صفحات تطلب من الأطفال عد مجموعتين من الخفافيش والكرات ثم رسم المزيد لجعلها متساوية.

هل تفقد جواربك في الغسيل؟ هناك الكثير من الفرص لمطابقة مجموعات من الأشياء في جميع أنحاء المنزل ، ولكن من المفيد أيضًا الجلوس والاستمتاع بالورق. هذه مجموعة رائعة من أربع صفحات تطلب من الأطفال عد مجموعتين من الأحذية والجوارب ثم رسم المزيد لجعلها متساوية.

عد ومطابقة أعداد صغيرة من برطمانات وملاعق العسل.

عد ومطابقة أعداد صغيرة من العناكب والشبكات.

هل حصلت على العدد الصحيح من الملاعق لكل أنواع الآيس كريم اللذيذة؟ هناك الكثير من الفرص لمطابقة مجموعات من الأشياء في جميع أنحاء المنزل ، ولكن من المفيد أيضًا الجلوس والاستمتاع بالورق. فيما يلي مجموعة رائعة من أربع صفحات تطلب من الأطفال عد مجموعتين ثم رسم المزيد لجعلهما متساويين.


محتويات

تقوم الأقسام التالية بتنفيذ بعض التركيبات في النظريتين ZFC و NFU ومقارنة التطبيقات الناتجة لبعض الهياكل الرياضية (مثل الأعداد الطبيعية).

تثبت النظريات الرياضية النظريات (ولا شيء غير ذلك). لذا فإن القول بأن النظرية تسمح ببناء كائن معين يعني أنها نظرية لتلك النظرية أن هذا الكائن موجود. هذا بيان حول تعريف النموذج "x مثل أن ϕ < displaystyle phi> موجود" ، حيث ϕ < displaystyle phi> هي صيغة لغتنا: النظرية تثبت وجود "x مثل هذا ϕ < displaystyle phi> "فقط في حالة وجود نظرية مفادها أن" هناك x واحد وواحد فقط مثل ϕ < displaystyle phi> ". (انظر نظرية الأوصاف لبرتراند راسل). بشكل فضفاض ، فإن النظرية "تحدد" أو "تبني" هذا الكائن في هذه الحالة. إذا لم تكن العبارة عبارة عن نظرية ، فلا يمكن للنظرية أن تظهر أن الكائن موجود إذا كانت العبارة خاطئة في النظرية ، فهي تثبت أن الكائن لا يمكن أن يوجد بشكل فضفاض ، ولا يمكن بناء الكائن.

التعبيرات التي يمكن تحديدها في تدوين مجموعة الباني منطقية في كل من ZFC و NFU: قد تكون كلتا النظريتين تثبت نجاح تعريف معين ، أو أنهما لم ينجحا (التعبير < displaystyle > فشل في الإشارة إلى أي شيء في أي مجموعة النظرية مع المنطق الكلاسيكي في نظريات الفصل مثل NBG هذا الترميز لا يشير إلى فئة ، ولكن يتم تعريفه بشكل مختلف) ، أو أن أحدهما يفعل والآخر لا. علاوة على ذلك ، قد يتضح أن الكائن المحدد بنفس الطريقة في ZFC و NFU له خصائص مختلفة في النظريتين (أو قد يكون هناك اختلاف في ما يمكن إثباته حيث لا يوجد فرق يمكن إثباته بين خصائصهما).

علاوة على ذلك ، تستورد نظرية المجموعات المفاهيم من فروع الرياضيات الأخرى (في النية ، الكل فروع الرياضيات). في بعض الحالات ، توجد طرق مختلفة لاستيراد المفاهيم إلى ZFC و NFU. For example, the usual definition of the first infinite ordinal ω in ZFC is not suitable for NFU because the object (defined in purely set theoretical language as the set of all finite von Neumann ordinals) cannot be shown to exist in NFU. The usual definition of ω in NFU is (in purely set theoretical language) the set of all infinite well-orderings all of whose proper initial segments are finite, an object which can be shown not to exist in ZFC. In the case of such imported objects, there may be different definitions, one for use in ZFC and related theories, and one for use in NFU and related theories. For such "implementations" of imported mathematical concepts to make sense, it is necessary to be able to show that the two parallel interpretations have the expected properties: for example, the implementations of the natural numbers in ZFC and NFU are different, but both are implementations of the same mathematical structure, because both include definitions for all the primitives of Peano arithmetic and satisfy (the translations of) the Peano axioms. It is then possible to compare what happens in the two theories as when only set theoretical language is in use, as long as the definitions appropriate to ZFC are understood to be used in the ZFC context and the definitions appropriate to NFU are understood to be used in the NFU context.

Whatever is proven to exist in a theory clearly provably exists in any extension of that theory moreover, analysis of the proof that an object exists in a given theory may show that it exists in weaker versions of that theory (one may consider Zermelo set theory instead of ZFC for much of what is done in this article, for example).

These constructions appear first because they are the simplest constructions in set theory, not because they are the first constructions that come to mind in mathematics (though the notion of finite set is certainly fundamental). Even though NFU also allows the construction of set ur-elements yet to become members of a set, the empty set is the unique جلس with no members:

The union of two sets is defined in the usual way:

In NFU, all the set definitions given work by stratified comprehension in ZFC, the existence of the unordered pair is given by the Axiom of Pairing, the existence of the empty set follows by Separation from the existence of any set, and the binary union of two sets exists by the axioms of Pairing and Union ( x ∪ y = ⋃ < x , y >> ).

First, consider the ordered pair. The reason that this comes first is technical: ordered pairs are needed to implement relations and functions, which are needed to implement other concepts which may seem to be prior. The first definition of the ordered pair was the definition ( x , y ) = d e f < < < x >, ∅ > , < < y >> > ><=>><<,emptyset >,<>>> proposed by Norbert Wiener in 1914 in the context of the type theory of Principia Mathematica. Wiener observed that this allowed the elimination of types of ن-ary relations for ن > 1 from the system of that work. It is more usual now to use the definition ( x , y ) = d e f . < < x >, < x , y >> ><=>><,>> , due to Kuratowski. Either of these definitions works in either ZFC or NFU. In NFU, these two definitions have a technical disadvantage: the Kuratowski ordered pair is two types higher than its projections, while the Wiener ordered pair is three types higher. It is common to postulate the existence of a type-level ordered pair (a pair ( x , y ) which is the same type as its projections) in NFU. It is convenient to use the Kuratowski pair in both systems until the use of type-level pairs can be formally justified. The internal details of these definitions have nothing to do with their actual mathematical function. For any notion ( x , y ) of ordered pair, the thing that matters is that it satisfies the defining condition

( x , y ) = ( z , w ) ≡ x = z ∧ y = w

…and that it be reasonably easy to collect ordered pairs into sets.

In ZFC, some relations (such as the general equality relation or subset relation on sets) are 'too large' to be sets (but may be harmlessly reified as proper classes). In NFU, some relations (such as the membership relation) are not sets because their definitions are not stratified: in < ( x , y ) ∣ x ∈ y >> x and y would need to have the same type (because they appear as projections of the same pair), but also successive types (because x is considered as an element of y ).

Related definitions Edit

ال مجال of R is the union of the domain and range of R .

Notice that with our formal definition of a binary relation, the range and codomain of a relation are not distinguished. This could be done by representing a relation R with codomain B as ( R , B ) , but our development will not require this.

Properties and kinds of relations Edit

  • Reflexive if x R x for every x in the field of R .
  • Symmetric if ∀ x , y ( x R y → y R x ) .
  • Transitive if ∀ x , y , z ( x R y ∧ y R z → x R z ) .
  • Antisymmetric if ∀ x , y ( x R y ∧ y R x → x = y ) .
  • Well-founded if for every set S which meets the field of R , ∃ x ∈ S whose preimage under R does not meet S .
  • Extensional if for every x , y in the field of R , x = y if and only if x and y have the same preimage under R .

Relations having certain combinations of the above properties have standard names. A binary relation R is:

Operations on functions Edit

Special kinds of function Edit

A function is an injective (وتسمى أيضا واحد لواحد) if it has an inverse function.

It can be shown that | A | ≤ | B | is a linear order on abstract cardinals, but not on sets. Reflexivity is obvious and transitivity is proven just as for equinumerousness. The Schröder–Bernstein theorem, provable in ZFC and NFU in an entirely standard way, establishes that

    | A | ≤ | B | ∧ | B | ≤ | A | → | A | = | B |

(this establishes antisymmetry on cardinals), and

follows in a standard way in either theory from the axiom of choice.

Natural numbers can be considered either as finite ordinals or finite cardinals. Here consider them as finite cardinal numbers. This is the first place where a major difference between the implementations in ZFC and NFU becomes evident.

which is the intersection of all sets which contain the empty set and are closed under the "successor" operation y ↦ y ∪ < y >> .

The usual operations of arithmetic can be defined recursively and in a style very similar to that in which the set of natural numbers itself is defined. For example, + (the addition operation on natural numbers) can be defined as the smallest set which contains ( ( x , ∅ ) , x ) for each natural number x and contains ( ( x , y ∪ < y >) , z ∪ < z >) ),zcup )> whenever it contains ( ( x , y ) , z ) .

The standard definition of the natural numbers, which is actually the oldest set-theoretic definition of natural numbers, is as equivalence classes of finite sets under equinumerousness. Essentially the same definition is appropriate to NFU (this is not the usual definition, but the results are the same): define Fin, the set of finite sets, as

The operations of arithmetic can be defined in a style similar to the style given above (using the definition of successor just given). They can also be defined in a natural set theoretical way: if A and B are disjoint finite sets, define |A|+|B| as | A ∪ B | . More formally, define m+n ل م و ن في ن مثل

(But note that this style of definition is feasible for the ZFC numerals as well, but more circuitous: the form of the NFU definition facilitates set manipulations while the form of the ZFC definition facilitates recursive definitions, but either theory supports either style of definition).

The two implementations are quite different. In ZFC, choose a representative of each finite cardinality (the equivalence classes themselves are too large to be sets) in NFU the equivalence classes themselves are sets, and are thus an obvious choice for objects to stand in for the cardinalities. However, the arithmetic of the two theories is identical: the same abstraction is implemented by these two superficially different approaches.

A general technique for implementing abstractions in set theory is the use of equivalence classes. If an equivalence relation ص tells us that elements of its field أ are alike in some particular respect, then for any set x, regard the set [ x ] R = < y ∈ A ∣ x R y >=> as representing an abstraction from the set x respecting just those features (identify elements of أ up to ص).

Similarity is shown to be an equivalence relation in much the same way that equinumerousness was shown to be an equivalence relation above.

In New Foundations (NFU), the order type of a well-ordering دبليو is the set of all well-orderings which are similar to دبليو. The set of ordinal numbers is the set of all order types of well-orderings.

This does not work in ZFC, because the equivalence classes are too large. It would be formally possible to use Scott's trick to define the ordinals in essentially the same way, but a device of von Neumann is more commonly used.

In ZFC, the order type of a well-ordering دبليو is then defined as the unique von Neumann ordinal which is equinumerous with the field of دبليو and membership on which is isomorphic to the strict well-ordering associated with دبليو. (the equinumerousness condition distinguishes between well-orderings with fields of size 0 and 1, whose associated strict well-orderings are indistinguishable).

In ZFC there cannot be a set of all ordinals. In fact, the von Neumann ordinals are an inconsistent totality in any set theory: it can be shown with modest set theoretical assumptions that every element of a von Neumann ordinal is a von Neumann ordinal and the von Neumann ordinals are strictly well-ordered by membership. It follows that the class of von Neumann ordinals would be a von Neumann ordinal if it were a set: but it would then be an element of itself, which contradicts the fact that membership is a strict well-ordering of the von Neumann ordinals.

The existence of order types for all well-orderings is not a theorem of Zermelo set theory: it requires the Axiom of replacement. Even Scott's trick cannot be used in Zermelo set theory without an additional assumption (such as the assumption that every set belongs to a rank which is a set, which does not essentially strengthen Zermelo set theory but is not a theorem of that theory).

Ordinals fixed by T are called Cantorian ordinals, and ordinals which dominate only cantorian ordinals (which are easily shown to be cantorian themselves) are said to be strongly cantorian. There can be no set of cantorian ordinals or set of strongly cantorian ordinals.

Digression: von Neumann ordinals in NFU Edit

The only von Neumann ordinals which can be shown to exist in NFU without additional assumptions are the concrete finite ones. However, the application of a permutation method can convert any model of NFU to a model in which every strongly cantorian ordinal is the order type of a von Neumann ordinal. This suggests that the concept "strongly cantorian ordinal of NFU" might be a better analogue to "ordinal of ZFC" than is the apparent analogue "ordinal of NFU".

Cardinal numbers are defined in NFU in a way which generalizes the definition of natural number: for any set أ، | A | = d e f < B ∣ B ∼ A > ><=>>left> .

The natural order on cardinal numbers is seen to be a well-ordering: that it is reflexive, antisymmetric (on abstract cardinals, which are now available) and transitive has been shown above. That it is a linear order follows from the Axiom of Choice: well-order two sets and an initial segment of one well-ordering will be isomorphic to the other, so one set will have cardinality smaller than that of the other. That it is a well-ordering follows from the Axiom of Choice in a similar way.

With each infinite cardinal, many order types are associated for the usual reasons (in either set theory).

The exponential operation is total and behaves exactly as expected on cantorian cardinals, since T fixes such cardinals and it is easy to show that a function space between cantorian sets is cantorian (as are power sets, cartesian products, and other usual type constructors). This offers further encouragement to the view that the "standard" cardinalities in NFU are the cantorian (indeed, the strongly cantorian) cardinalities, just as the "standard" ordinals seem to be the strongly cantorian ordinals.

So there are two different implementations of the natural numbers in NFU (though they are the same in ZFC): finite ordinals and finite cardinals. Each of these supports a T operation in NFU (basically the same operation). It is easy to prove that T ( n ) is a natural number if n is a natural number in NFU + Infinity + Choice (and so | N | and the first infinite ordinal ω are cantorian) but it is not possible to prove in this theory that T ( n ) = n . However, common sense indicates that this should be true, and so it can be adopted as an axiom:

One natural consequence of this axiom (and indeed its original formulation) is

All that can be proved in NFU without Counting is | < 1 , … , n >| = T 2 ( n ) |=T^<2>(n)> .

A consequence of Counting is that ن is a strongly cantorian set (again, this is an equivalent assertion).

Properties of strongly cantorian sets Edit

Any subset of a strongly cantorian set is strongly cantorian. The power set of a strongly cantorian set is strongly cantorian. The cartesian product of two strongly cantorian sets is strongly cantorian.

Introducing the Axiom of Counting means that types need not be assigned to variables restricted to ن أو ل ص(ن), ص (the set of reals) or indeed any set ever considered in classical mathematics outside of set theory.

There are no analogous phenomena in ZFC. See the main New Foundations article for stronger axioms that can be adjoined to NFU to enforce "standard" behavior of familiar mathematical objects.

Represent magnitudes (positive reals) as nonempty proper initial segments of the positive rationals with no largest element. The operations of addition and multiplication on magnitudes are implemented by elementwise addition of the positive rational elements of the magnitudes. Order is implemented as set inclusion.

This is the briefest sketch of the constructions. Note that the constructions are exactly the same in ZFC and in NFU, except for the difference in the constructions of the natural numbers: since all variables are restricted to strongly cantorian sets, there is no need to worry about stratification restrictions. Without the Axiom of Counting, it might be necessary to introduce some applications of T in a full discussion of these constructions.

In this class of constructions it appears that ZFC has an advantage over NFU: though the constructions are clearly feasible in NFU, they are more complicated than in ZFC for reasons having to do with stratification.

The definitions are the same in ZFC but without any worries about stratification (the grouping given here is opposite to that more usually used, but this is easily corrected for).

It is possible to extend these definitions to handle index sets which are not sets of singletons, but this introduces an additional type level and is not needed for most purposes.

Permutation methods can be used to show relative consistency with NFU of the assertion that for every strongly cantorian set A there is a set أنا of the same size whose elements are self-singletons: i = < i >> for each أنا في أنا.

This construction cannot be carried out in NFU because the power set operation is not a set function in NFU ( P ( A ) is one type higher than A for purposes of stratification).

In particular, there will be an isomorphism type [v] whose preimage under E is the collection of الكل تي[x]'s (including تي[الخامس]). حيث تي[الخامس] ه الخامس and E is well-founded, T [ v ] ≠ v . This resembles the resolution of the Burali–Forti paradox discussed above and in the New Foundations article, and is in fact the local resolution of Mirimanoff's paradox of the set of all well-founded sets.

There are ranks of isomorphism classes of set pictures just as there are ranks of sets in the usual set theory. For any collection of set pictures أ, define س(أ) as the set of all isomorphism classes of set pictures whose preimage under E is a subset of A call A a "complete" set if every subset of أ is a preimage under E. The collection of "ranks" is the smallest collection containing the empty set and closed under the S operation (which is a kind of power set construction) and under unions of its subcollections. It is straightforward to prove (much as in the usual set theory) that the ranks are well-ordered by inclusion, and so the ranks have an index in this well-order: refer to the rank with index α as R α > . It is provable that | R α | = ℶ α |=eth _> for complete ranks R α > . The union of the complete ranks (which will be the first incomplete rank) with the relation E looks like an initial segment of the universe of Zermelo-style set theory (not necessarily like the full universe of ZFC because it may not be large enough). It is provable that if R α > is the first incomplete rank, then R T ( α ) > is a complete rank and thus T ( α ) < α . So there is a "rank of the cumulative hierarchy" with an "external automorphism" T moving the rank downward, exactly the condition on a nonstandard model of a rank in the cumulative hierarchy under which a model of NFU is constructed in the New Foundations article. There are technical details to verify, but there is an interpretation not only of a fragment of ZFC but of NFU itself in this structure, with [ x ] ∈ N F U [ y ] [y]> defined as T ( [ x ] ) E [ y ] ∧ [ y ] ∈ R T ( α ) + 1 > : this "relation" E N F U > is not a set relation but has the same type displacement between its arguments as the usual membership relation ∈ .

So there is a natural construction inside NFU of the cumulative hierarchy of sets which internalizes the natural construction of a model of NFU in Zermelo-style set theory.

Under the Axiom of Cantorian Sets described in the New Foundations article, the strongly cantorian part of the set of isomorphism classes of set pictures with the E relation as membership becomes a (proper class) model of ZFC (in which there are ن-Mahlo cardinals for each ن this extension of NFU is strictly stronger than ZFC). This is a proper class model because the strongly cantorian isomorphism classes do not make up a set.

Permutation methods can be used to create from any model of NFU a model in which every strongly cantorian isomorphism type of set pictures is actually realized as the restriction of the true membership relation to the transitive closure of a set.


5: Sets and Counting - Mathematics

Counting and Comparing Difficulties

Subitizing is the ability to recognize a number of briefly presented items without actually counting.

A common response to students who are having counting problems is to simply have them do daily counting practice however, students with counting and comparing difficulties also benefit from practice that utilizes patterns and relationships. These strategies improve their ability to conceptualize and compare numbers without counting. Data in a study of dyslexic students who had difficulty with basic arithmetic skills (Fischer B., Kongeter A., Hartnegg K., 2008) showed that dyslexic children could also improve subitizing and visual counting through daily practice. It is important to distinguish the whole-to part process involved with this training. Not all daily counting practice is created equal. These dyslexic students did not achieve their gains in arithmetic merely through the process of counting. They were taught counting strategies for many years to add and subtract numbers with little benefit to their overall concept of number. Students made their gains because they were supplied with a whole- or gestalt then they combined subordinate parts to reconstruct the image. Over time they improved their ability to match quantity with successively larger patterns.

(See the example strategy below.)

Example Strategy: Using Icons of Quantity To Teach Whole-to-Part Relationships

Woodin: The ability to identify a subordinate quantity in relation to a whole enables these quantities to be seen in a relational context that fosters comparison without employing the inefficient and often inaccurate process of counting. The following exercise explains a whole-to-part procedure that is driven by a concrete visual model. Using a whole-to-part model, place five pieces of cereal on a table in a canonical “: • :” pattern. Model a subtraction event by removing pieces. Label the process by making a subtraction sentence, then let the student replace the pieces, and label this action with a related addition fact:

Teacher: “How many are you starting with?”

-The teacher removes the center piece of cereal to leave a square arrangement.

(: • : – • = : :).

Teacher: “Tell me what happened.”

Student: “We had five, you took away one and four are left.”

Teacher: “Say the same thing with a number sentence.”

-The teacher hands the piece of cereal to the student.

Teacher: “Put this back and make a number sentence.” (: : + • = : • :).

Example Strategy: Using Patterns To Support Number Comparisons

Woodin has seen impressive results from instruction that incorporates visual patterning. Consistent graphic organizers that relate quantities to both five and ten provide the structure necessary to develop cardinality with numbers one through ten, and then extend this knowledge to the base-ten system. Consider the following patterns that relate to the gestalts of five and ten.

Each of these icons of quantity is subordinate to the gestalt of the Ten Icon (Woodin, 1995). Using the Ten Icon as a reference, the other icons represent a quantity of items that are visible, as well as an identifiable void that is the missing addend to make 10. Additional shading allows comparison to 5. For example, the Six Icon is made with a blue component of 5 and one red block: (6 = 5 + 1). In reference to the Ten Icon, the 6 is missing a square arrangement of 4 red blocks: (10 = 6 + 4). All of the missing addends to 10 may be driven by flashing an Icon card, asking the name of the card and the missing shape or number needed to make ten. See an example of this technique by viewing the video below.

Strategy Demonstration: Prompt the Missing Addends to 10

Quantities that are presented in concrete form, or represented by a diagram, are not subject to reversals. With the circles/dots at the left, there’s no change of misreading the quantity they represent. Consider an Arabic “4,” which can be incorrectly written in its mirrored form, versus a square pattern with an identical mirror image. These patterns can be used to diagram addition or subtraction problems. An “X” is used as an efficient way of producing a group of five in the following to make icons of 6 and 7. When addition problems are diagramed with Icon patterns, the sum emerges from the two addends. The following video clip illustrates the Icon addition process:

Patterning Should Be Extended to the Multiplication Process

Generate the 2x facts by stamping finger patterns on a template like the one pictured above. The teacher should write the number of fingers to be stamped in the top circle. The student then holds out that number of fingers, dips them in paint, and stamps this quantity onto the template “two times.” The student should first stamp his fingers at the top of the template, then duplicate the same pattern again below it. From this student-centered location the student produces a concrete diagram of multiplication from his primary frame of reference. The process of stamping the quantity “two times” provides the student with a concrete definition of the “times: X” multiplication operation and sign.

Example Strategies: Finger Stamping the 2x Facts

Strategy I: Stamp 3 two times

Use the student’s right hand to produce patterns of two times: one, two, three, or four fingers. Have the student dip his right-hand fingers in red paint, then “stamp” the pattern twice on the red portion of the template. The example shown above depicts stamping 2 x 3 = 6. Dip three fingers on the right hand in red paint and stamp them twice.

The six red dots can be smeared into an Arabic “6” when done.

To stamp numbers 5 and larger “two times,” the left-hand fingers will be needed. Dip the left-hand fingers in blue paint, then extend additional right (red) fingers necessary to match the number. The stamped quantities of fingerprints display a chunked depiction of the product that aligns with base ten place value. A blue pattern of ten will be produced on the left in the ten’s place. Additional red prints will be produced on the right.

Strategy II: Stamp 8 Two Times

Extend all left-hand fingers and dip them in blue finger paint. Extend three right-hand fingers and dip them in red paint. Stamp both hands (two times) on the paper. By stamping all eight fingers two times, the student will create the product: 1 group of ten blue fingerprints on the left–in the ten’s place, and six red prints on the right–in the ones place: “2 x 8 = 16.” The following movie demonstrates the process of creating the 2x products with the finger-stamping technique.

Using a Clock Face To Chunk and Organize Information

Download the Graphic Organizer for this Exercise. Click here.
Chris Woodin has graciously allowed us to offer PDFs of some of the graphic organizers he uses in his classroom. To see more organizers and information, click here.

The 12 clock positions of the analog clock may be used to learn and compare the 5x facts. This is accomplished through a series of gross motor kinesthetic activities that initially place the student at the center of a large clock dial, facing the 12 position. From this student-centered location the student internalizes the relative number locations from his primary reference frame. Minute values are then associated with these positions. Clock positions are merged with minute values to create 5x multiplication facts in a relational context. As the student points to the 3 position of the clock, both the number 3 and minute value of 15 may be simultaneously held in memory. The internalized structure of the clock also provides a student with the ability to simultaneously access several facts so they may be compared. This ability is particularly useful when dividing. For instance, if a student were able to visualize 37 between the benchmark minute values of 35 and 40, he would be able to determine that 37 cents would be made with 7, not 8, nickels.

In the following video, students will use the familiar structure of the clock to learn about the 5x fact family within a relational context. Students learn to interact with the analog clock dial from within their primary reference frame, and then externalize this structure to a paper-and-pencil task. Ultimately, they are empowered to create and compare 5x facts.

Tell us if you have your own strategies for your students. Click here.

One educator in Connecticut suggested this for learning the 9 facts: When multiplying the numbers 2 – 9 by 9, the two digits in the resulting answer will add up to nine. So, for instance, 5 x 9 = 45 (4 plus 5 adds up to 9). It’s a good way to check your answers.

About Chris Woodin:

Christopher Woodin is a specialist in the field of mathematics and learning disabilities. A graduate of Middlebury College and Harvard Graduate School of Education, he has taught extensively at Landmark School in Massachusetts. At Landmark School’s Elementary/Middle School Campus, he holds the Ammerman Chair of Mathematics. Christopher served on the Massachusetts Department of Education’s Mathematics 2011 Curriculum Framework Panel, and teaches graduate-level professional development courses during the summer through Landmark’s Outreach Program. Chris was the 1997 Massachusetts Learning Disabilities Association (LDA) Samuel Kirk Educator of the Year. He has presented at numerous international LDA and International Dyslexia Association (IDA) conferences, and has led math workshops to audiences across the country.

Christopher has published The Landmark Method of Teaching Arithmetic ©1995 and several journal articles. His latest project, Multiplication and Division Facts for the Whole-to-Part, Visual Learner: An Activity-Based Guide to Developing Fluency with Math Facts, is currently in press and due to be released in 2012. This comprehensive text features the methodologies and many of the activities that are described on The Yale Center for Dyslexia & Creativity’s website. To learn more about Mr. Woodin and his work, please visit his page on the Landmark School website and his own website.


Fingers instead of dots!

These finger games address the same math concepts as the dot card games. Children can have fun practicing their math skills in a new format. All that’s needed are fingers!

Finger Games

Focus on subitizing and on composition and decomposition of numbers.

Game 1: Fingers, Fingers

  1. Say, “Hold your hands behind your back.”
  2. Together, chant, “Fingers, fingers, 1, 2, 3. How many fingers do you see?”
  3. Using two hands, hold up three fingers. (Start with the typical ways of showing 1–5 on your fingers.)
  4. Children can say three or show three with their fingers.
  5. Keep playing with different numbers of fingers, focusing on 1–5 and slowly moving up to 10.
  6. Vary how you show each number on your fingers.

Game 2: Show Me . . .

  1. Hold up any number of fingers.
  2. Ask children to show you the same number on their fingers but in a different way.

Game 3: One More, One Less

  1. Hold up any number of fingers on your hands.
  2. Ask children to show you one more than you’re showing or one less.

Game 4: How Old Are You?

  1. Ask a 4-year-old, “How old are you? Are you this age?” Hold up four fingers on one hand.
  2. Then ask, “How old are you? Are you this age?” Hold up two fingers on one hand and two fingers on your other hand. (Children usually answer, “No!”)
  3. Try this with other ages, too!

Things to notice as children play

The critical learning in this game is that numbers can be composed (or made) in different ways. You can make 5 with five fingers on one hand and zero on the other, or with four and one, or with three and two. These different combinations all make five. This helps children recognize that smaller numbers are part of larger numbers (e.g., 3 and 1 are two parts of 4).

ENGAGE FAMILIES IN MATH!

Make copies of the finger game instructions to send home with families. Print and send home math mini-books—find them at NAEYC.org/math-at-home.


Finding More

Counting and drawing more to match the number of objects.

Count and write down how many burgers there are. Count and write down how many cartons of chips there are. Draw more burgers to match the number of cartons of chips.

Count and write down how many bats there are. Count and write down how many balls there are. Draw more balls to match the number of bats.

Count and write down how many drinks there are. Count and write down how many boys there are. Draw more drinks to match the number of boys.


شاهد الفيديو: احصاء محاضره المجموعات (ديسمبر 2021).