مقالات

7.2: الحساب النمطي - الرياضيات


مقدمة في الحساب النمطي باستخدام الساعات وإخبار الوقت.

تم استبعاد عنصر YouTube من هذا الإصدار من النص. يمكنك مشاهدته على الإنترنت هنا: http://pb.libretexts.org/itc/؟p=56


استخدم نظرية الباقي الصيني. لاحظ أن 221 دولارًا = 13 مرة 17 دولارًا. Modulo $ 13 لدينا $ 7 ^ 2 equiv-3 ، quad 7 ^ 6 equiv (-3) ^ 3 equiv-1 $ وهكذا $ 7 ^ <77> = (7 ^ 6) ^ <12> 7 ^ 5 equiv7 ^ 5 = (7 ^ 2) (7 ^ 2) 7 equiv (-3) (- 3) 7 = 63 equiv-2 . $ Modulo $ 17 $ لدينا $ 7 ^ 2 equiv-2 ، quad 7 ^ 8 equiv (-2) ^ 4 equiv-1 $ وهكذا $ 7 ^ <77> = (7 ^ 8) ^ 97 ^ 5 equiv-7 ^ 5 equiv - (- 2) (-2) 7 equiv6 . $ لذا عليك أن تحل في نفس الوقت $ x equiv-2 pmod <13> ، quad x equiv6 pmod <17> . ) أعط $ x equiv193 pmod <221> $.

لدينا 221 دولارًا = 13 cdot 17 دولارًا ، أي يجب عليك الحساب

  • $ 7 ^ <77> pmod <13> $ (ستكون النتيجة بعض leq a leq 12 $)
  • $ 7 ^ <77> pmod <17> $ (ستكون النتيجة بعض leq b leq 16 $)

بعد ذلك ، يمكنك استخدام نظرية الباقي الصينية للعثور على leq x leq 220 $ الفريد مع $ x equiv a pmod <13> $ و $ x equiv b pmod <17> $.

بدون نظرية الباقي الصينية: $ eqalign <7 ^ 5 & amp equiv 11 pmod <221> cr 7 ^ <75> & amp equiv 11 ^ <15> pmod <221> cr 7 ^ <77> & amp equiv 7 ^ 2 cdot 11 ^ <15> pmod <221> cr> $ أيضًا $ eqalign <11 ^ 3 & amp equiv 5 pmod <221> cr 11 ^ <15> & amp equiv 5 ^ <5> pmod <221> cr> $ للاستنتاج $ 7 ^ <77> equiv 7 ^ 2 cdot 11 ^ <15> equiv 7 ^ 2 cdot 5 ^ 5 equiv 49 cdot 31 equiv 193 دولار


لاحظ ما يحدث عند زيادة عدد بمقدار واحد وقسمته على 4.

يبدأ الباقي من 0 ويزداد بمقدار 1 في كل مرة ، حتى يصل الرقم إلى أقل من الرقم الذي نقسم عليه. بعد ذلك يتكرر التسلسل. & # xa0

من خلال ملاحظة ذلك ، يمكننا تصور نموذج المشغل باستخدام الدوائر.

نكتب 0 في أعلى الدائرة ونستمر في كتابة الأعداد الصحيحة 1 ، 2. في اتجاه عقارب الساعة حتى أقل بمقدار واحد من المقياس. & # xa0

على سبيل المثال ، ستكون الساعة التي تم استبدال الرقم 12 ب 0 هي الدائرة لمقياس 12.

للعثور على نتيجة X mod Y ، يمكننا القيام بالخطوات التالية. & # xa0

قم ببناء هذه الساعة بالحجم Y. & # xa0

ابدأ من 0 وتحرك على مدار الساعة بخطوات X.

أينما هبطنا هو الحل لدينا. & # xa0

(إذا كان الرقم موجبًا ، نتقدم في اتجاه عقارب الساعة ، وإذا كان سالبًا ، فإننا نتخطى عكس اتجاه عقارب الساعة.) & # xa0


7.2: الحساب النمطي - الرياضيات

الحساب النمطي ، الذي يروج للمعايير إلى مستوى النوع ، مع التركيز على الأداء. في الأصل جزء من حزمة arithmoi.

هناك حزم Haskell أخرى ، تستخدم نفس فكرة الوحدات على مستوى النوع ، وهي الوحدات النمطية ، والحساب النمطي ، والمجال المحدود. يمكن للمرء أيضًا استخدام الأنواع المحدودة ، والتي تغطي أيضًا بعض العمليات الحسابية المعيارية الأولية. لسوء الحظ ، كلهم ​​يتخلفون من حيث الأداء. فيما يلي مقارنة موجزة:

إضافة. تتضمن جميع التطبيقات المتنافسة للإضافة المعيارية أقسامًا ، بينما يتجنب التعديل تمامًا هذه العملية المكلفة. يحدث فرقًا حتى بالنسبة للأعداد الصغيرة e. g. ، المجموع [1..10 ^ 7] يصبح 5x أسرع. بالنسبة للأعداد الصحيحة الأكبر ، تكون السرعة أكثر أهمية ، لأن التعقيد الحسابي للقسمة ليس خطيًا.

صغير (*) . عندما يناسب النموذج كلمة آلة (وهي حالة شائعة جدًا في معماريات 64 بت) ، يقوم التعديل بتنفيذ الضرب المعياري كزوجين من تعليمات وحدة المعالجة المركزية ولا يخصص قيم دقة تعسفية وسيطة ، ولا يستدعي libgmp على الإطلاق. بالنسبة لعمليات حسابية مثل المنتج [1..10 ^ 7] ، فإن هذا يعطي 3 أضعاف الأداء مقارنة بالمكتبات الأخرى.

انعكاس. تعتمد هذه الحزمة على libgmp للانعكاسات المعيارية. حتى بالنسبة للحجج الصغيرة ، يكون أسرع بنحو 5 أضعاف من التنفيذ الأصلي للانعكاس المعياري في الحساب النمطي.

قوة. تعتمد هذه الحزمة على libgmp من أجل الأس المعياري. حتى بالنسبة للحجج الصغيرة فهو أسرع بحوالي 2x من المنافسين.

فيضانات. للوهلة الأولى ، يكون الحساب المعياري أكثر مرونة من التعديل ، لأنه يسمح بتحديد التمثيل الأساسي لبقايا معيارية ، e. g.، Mod Integer 100، Mod Int 100، Mod Word8100. نحن نجادل بأن هذه حرية خطيرة ، وعرضة للفيضانات. على سبيل المثال ، يُرجع 20 ^ 2 :: Mod Word8 100 44 بدلاً من 0 المتوقع. والأقل توقعًا هو أن 50 :: Mod Word8 300 يبدو أنه 6 (تذكر أن الأرقام على مستوى النوع دائمًا ما تكون طبيعية).

ما هو الفرق بين النمط والنمط المنتهي؟

تم تصميم mod خصيصًا لتمثيل المخلفات المعيارية للتطبيقات الرياضية (التفاف حول الأعداد المحدودة) ويوفر انعكاسًا معياريًا وأسيًا.

التركيز الرئيسي للأنماط المتناهية هو على غير التفاف حول الأعداد المنتهية ، مثل مؤشرات المصفوفات بحجم متجه. يتميز بمثيل Num فقط من أجل زيادة التحميل على القيم الحرفية الرقمية. لا توجد طريقة قانونية لتعريف Num باستثناء الحساب النمطي ، ولكن من وجهة نظر الأنواع المحدودة ، يعد هذا منتجًا ثانويًا.

إذا كنت تبحث عن أداء نهائي وتتناسب وحداتك مع Word ، فجرّب Data.Mod.Word ، وهو بديل سريع ل Data.Mod ، مما يوفر أداءً أفضل وتخصيصات أقل بكثير.

فيما يلي بعض المعايير النسبية (الأقل هو الأفضل) ، والتي يمكن استنساخها عن طريق تشغيل مقعد العصابة.


الرياضيات في الدقيقة: الحساب المعياري

هذا أيضا يعمل عندما x سلبي (مع ملاحظة أن الباقي تم تعريفه على أنه إيجابي دائمًا). على سبيل المثال ، ل ص = 12 و x = -3 لدينا

لذا فإن الباقي هو 9. لذا فإن -3 modulo 12 يساوي 9. (إذا كنت تستخدم دالة المعامل في بعض لغات الكمبيوتر ، يجب أن تكون حذرًا بعض الشيء ، لأن البعض يُرجع قيمة مختلفة للأرقام السالبة.)

إذا كنت ترغب في إضافة أو طرح رقمين ، وحدة عدد طبيعي ص، أنت ببساطة توصل إلى النتيجة ، سمها x، في الحساب العادي ثم ابحث عن قيمة x مودولو ص.

من الواضح أن هناك شيئًا دوريًا للغاية حول الحساب النمطي. مهما كان الرقم ص يعرّف الحساب الخاص بك ، يمكنك التفكير فيه على أنه العد للأمام أو للخلف على مدار الساعة باستخدام ص ساعات. لوضع هذا في لغة الرياضيات التقنية ، وحدة الحساب المعيارية ص يمنحك مجموعة دورية من النظام ص. يمكنك معرفة المزيد عن نظرية المجموعة في هذه المقالة وحول الحساب المعياري على الموقع الشقيق NRICH.


7.2: الحساب النمطي - الرياضيات

الصفحة الرئيسية للدورة التدريبية:
http://www.math.lsa.umich.edu/

كتاب مدرسي:

الكتب المرجعية :

تغطي هذه النصوص مساحة أكبر مما يمكن أن تغطيه الدورة التدريبية.

(1) إيغور دولغاتشيف ،
أشكال معيارية
ملاحظات الدورة 1997-1998 ، 147pp
[التأكيد على وجهة نظر دالة ثيتا]

(2) جيمس ميلن ،
وظائف معيارية وأشكال معيارية (منحنيات معيارية بيضاوية),
138pp ، متاح على موقع Milne
[أشكال معيارية ومنحنيات جبرية]

(3) فريد دياموند وجيري شورمان
دورة أولى في النماذج المعيارية,
Springer-Verlag: GTM 228 ، (2005)
[النماذج المعيارية الحسابية ، التي تستهدف Wiles-Taylor FLT Proof]
[النسخ المتاحة بأسعار زهيدة من خلال نظام مكتبة UM]

(4) جوزيف لينر ،
مجموعات متقطعة ووظائف آلية الشكل ,
رياضيات. استطلاعات رقم 8 عامر. رياضيات. شركة 1964
[معالجة كلاسيكية ودقيقة ومفصلة لمجموعات فرعية من مجموعات معيارية]

(5) توشيتسون مياكي ،
أشكال معيارية
Springer-Verlag 1989

(6) هـ. ماس ،
محاضرات عن الوظائف المعيارية لمتغير معقد واحد
ملاحظات محاضرة معهد تاتا: بومباي 1964 (تمت المراجعة عام 1983)
[يتعامل مع الأشكال المعيارية غير المجسمة]

(7) هنري كوهين ،
النماذج المعيارية: نهج كلاسيكي ،
كتاب قيد التحضير ، ملف pdf ، 614 صفحة.
[لديه التركيز على القدرة على حساب الأشياء. اتجاه المتغيرات المعقدة.]

(8) ج.ب. سيري ،
دورة في الحساب
Springer-Verlag ، نيويورك 1973.
[كتاب جميل. انظر الفصل. السابع]

(A1) دانيال بومب ،
النماذج والتمثيلات الآلية ،
مطبعة جامعة كامبريدج ، 1997
[مقدمة عامة جيدة عن طريق نظرية الأعداد وبرنامج لانجلاندس.]

(A2) هنريك إيوانيتش ،
موضوعات في أشكال السيارات الكلاسيكية
AMS: بروفيدنس 1997.

(A3) هنريك إيوانيك ،
النظرية الطيفية للأشكال الأوتوماتيكية ، الطبعة الثانية
AMS، Providence 2002. [Spectral theory of Laplacian، trace formula.]

(A4) أرماند بوريل ،
نماذج Automorphic على SL (2 ، R)
مطبعة جامعة كامبريدج ، 1997 [من وجهة نظر المجموعة الاختزالية العامة.]

وصف الدورة التدريبية:

من دعاية: `` تتضمن الأشكال المعيارية تداخلًا رائعًا في الحساب والجبر والتحليل والهندسة. هذه دورة أساسية في النماذج المعيارية ، ومن المتوقع أن تأخذ وجهة نظر تحليلية
لكنها تغطي الجوانب الجبرية. سيغطي المجموعة المعيارية ، الأشكال المعيارية الكلاسيكية (الهولومورفيك وغير الهولومورفيك) سلسلة آيزنشتاين ، وقد تغطي النظرية الطيفية ذات الصلة
لـ SL (2 ، R). وسيشمل ذلك مشغلي Hecke والاتصال بسلسلة Dirichlet مع منتجات Euler. كما سيغطي جوانب مختلفة من وظائف ثيتا ، الأشكال التربيعية
والنظرية المرتبطة بها. قد تشمل التطبيقات نظرية الأقسام ، والتمثيلات بالأشكال التربيعية ، والصلات بالمنحنيات الناقصية ، مع وبدون الضرب المعقد. "

المتطلبات الأساسية:

وضع العلامات:

درجات: هذه سوف تستند إلى مجموعات المشاكل. سيكون هناك ما يقرب من 7 أو 8 مجموعات مشاكل.

يُسمح بالتعاون في الواجب المنزلي ، لكن كل شخص مسؤول عن كتابة حلوله الخاصة. يجب اعتماد جميع المصادر الخارجية المستخدمة في الحصول على الحلول بشكل صريح ، بشكل فردي أو في نهاية الواجب المنزلي.


عندما نجري عمليات حسابية معيارية ، فإننا نتخلص من مضاعفات المقياس. وبالتالي ، على سبيل المثال ، إذا أضفنا 23 و 14 modulo 5 ، فسننتهي بـ 37 modulo 5 وهو 2 modulo 5 لفترة وجيزة 23 + 14 = 37 2 (mod 5). وبالمثل 16 29 = 464 2 (نموذج 3). يمكننا تقصير العمل أحيانًا عن طريق تقليل المصطلحات التي نتعامل معها بالمقياس ، وبالتالي 23 + 14 3 + 4 = 7 2 (طراز 5) ، و 16 29 1 2 = 2 (طراز 3). النقطة البارزة هنا هي أنه يمكننا التخلص من مضاعفات المقياس m قبل العملية الحسابية إذا رغبنا في ذلك.

دعونا نلقي نظرة على معامل الجمع والضرب 5. نرتب النتائج في الجداول على النحو التالي:

+01234
001234
112340
223401
334012
440123

01234
000000
101234
202413
303142
404321

+012345
0012345
1123450
2234501
3345012
4450121
5501234

012345
0000000
1012345
2024024
3030303
4042042
5054321

لاحظ أنه في الحساب النمطي يمكننا أن نحصل على a في b يساوي 0 حتى عندما يكون a و b كلاهما غير صفري ، على سبيل المثال في (mod 6) ، 3 2 0 (mod 6) ، مختلف تمامًا عن الحساب المعتاد لدينا!

يمكننا التعامل مع المعادلات في الحساب النمطي بطريقة مشابهة جدًا لتلك التي اعتدنا عليها في الحساب العادي. على سبيل المثال ، حل 3z + 2 4 (mod 7) يسأل عن الأعداد الصحيحة التي تحقق التطابق. قبل أن نحل هذه المشكلة ، يجب أن نلاحظ أن المعادلة 3z - 2 = 7 لها الحل الوحيد z = 3. عندما نتعامل مع التطابقات ، قد تحدث العديد من الحلول ، وربما العديد منها بلا حدود. لماذا هذا؟ حسنًا ، ضع في اعتبارك 3z + 2 4 (mod 7) أو 3z - 2 0 (mod 7). z = 3 هو حل لأن 3 3 - 2 = 7 0 (mod 7) ولكن لاحظ أيضًا أن 10 تعمل أيضًا مع 3 10-2 = 28 0 (mod 7). في الواقع بمجرد إيجاد حل z = 3 لدينا عدد لا نهائي من الحلول <3، 3 & # 177 7، 3 & # 177 2 7، 3 & # 177 3 7، 3 & # 177 4 7 ،. 3 & # 177 ر 7 ،. > (وهي نفس مجموعة الأعداد <. -25، -18، -11، -4، 3، 10، 17، 24،.>) نظرًا لأن إضافة (أو طرح) مضاعفات 7 إلى الحل يعطي جديدًا مقياس الحلول 7: على سبيل المثال 3 (3 + 52 7) - 2 3 3 - 2 = 7 0 (تعديل 7). هناك فكرة مهمة مدفونة في كل هذا - عند حل التطابق ، نحتاج فقط إلى إيجاد حل واحد للعثور عليهم جميعًا! بعد ذلك ، نضيف ببساطة مضاعفات المقياس لإيجاد حلول أخرى. أكثر من ذلك ، يسمح لنا هذا بتقييد بحثنا ، في الحالة 7 ، عن الحل الأول للرقم 0 ، 1 ، 2 ،. 6.

حل 4 ع + 1 2 (تعديل 9).
دعنا نعيد كتابة هذا لحل 4z - 1 0 (mod 9). جرب الآن z = 0 ، 1 ، 2 ،. 8: بالنسبة لقيم z هذه ، لدينا 4z - 1 = -1 ، 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، 19 ، 23 ، 27 ، 31 على التوالي من هذه ، نريد فقط مضاعفات 9 ، أي عندما z = 7 ، وبالتالي حل يحتوي 4z + 1 2 (mod 9) كحلول على مجموعة الأرقام <7 ، 7 & # 177 9 ، 7 & # 177 18 ، 7 & # 177 27.> = <. -20 ، -11 ، -2 ، 7 ، 16 ، 25 ، 34.>.

حل 5z - 1 3 (mod 8).
لنعد كتابة هذا في صورة حل 5z - 4 0 (تعديل 8). جرب الآن z = 0 ، 1 ، 2 ،. 7: بالنسبة لقيم z هذه ، لدينا 5z - 4 = -4 ، 1 ، 6 ، 11 ، 16 ، 21 ، 26 ، 31 نرى أننا نريد z = 4 ، وبالتالي حل 5z - 1 3 (تعديل 8) لديه الحلول ، <4، 4 & # 177 8، 4 & # 177 16.> = <. -12 ، -4 ، 4 ، 12 ، 20.>.

حل 2z 1 (mod 4) بشكل مكافئ ، 2z - 1 0 (mod 4).
نحاول z = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ونجد 2z - 1 = -1 ، 1 ، 3 ، 5 ، لا يوجد أي منها مضاعفات 4 ، لذا 2z 1 (تعديل 4) لا حلول. بمعنى آخر ، لا يمكن مطابقة 2z - 1 مع 0 (تعديل 4).


7.2: الحساب النمطي - الرياضيات

تعلم الحساب هو في الرياضيات ما يعنيه تعلم القراءة للأدب - وهو أمر ضروري ، وإن لم يكن ممتعًا بشكل خاص. في المدرسة ، أخذ معظمنا دروسًا في الرياضيات تعلمنا فيها القيام بشيء ما (مثل ضرب الأرقام وحلها x، واتخاذ المشتقات) ، ثم قضينا شهورًا في تحسين أسلوبنا. ومع ذلك ، في نهاية اليوم ، فإن إجراء هذه الحسابات ليس مثيرًا للتفكير ولا مفيدًا بشكل خاص ، حيث يمكن لهاتفك الذكي أن يؤديها عدة مرات أسرع من أسرع عالم رياضيات.

بدلاً من التركيز على الحساب ، ستأخذنا هذه الدورة في مغامرة موجهة عبر بعض من أجمل الأفكار في الرياضيات الكلاسيكية والمعاصرة. أثارت هذه الأفكار فضول العديد من أكثر العقول إبداعًا في التاريخ ، وألهمتهم للتفكير بعمق فيما قد يبدو تافهًا ، وأسهمت في النهاية في فهمنا الجماعي للعالم. على الرغم من عدم وجود متطلبات مسبقة تتجاوز التعليم الابتدائي ، ستغطي هذه الدورة التدريبية بعضًا من أكثر الموضوعات المركزية في الرياضيات الحديثة ، بما في ذلك المجموعات الأساسية والأعداد الأولية والهندسة ومجموعات التناظر. في النهاية ، القدرة على التفكير الدقيق ، وليس القدرة على الحساب بدقة وسرعة ، هذا هو الشاغل الأساسي ، والمساهمة الدائمة ، للتفكير الرياضي.

الواجب المنزلي: سيتم تعيين مجموعة المشكلات في معظم الأسابيع. تم تصميم الجزء الأول من كل مهمة لضمان فهمك للمواد الأساسية التي يتم تناولها في الفصل ، وسيتطلب الجزء الثاني مزيدًا من التفكير وهو مصمم لتسهيل تطورك الرياضي بما يتجاوز الفهم الأساسي. بشكل عام ، ستكون الواجبات مستحقة بعد أسبوع واحد على الأقل من تعيينها. لا يمكن قبول الطلبات المتأخرة ، على الرغم من أنني سأقوم بإسقاط أقل درجتين لديك. يجب كتابة الحلول بوضوح إذا كنت بحاجة إلى ذلك ، قم أولاً بحل جميع الحلول على قصاصة ورق ، ثم أعد كتابة عملك بعناية على الورقة التي تسلمها في النهاية. يجب تسليم المهام على الورق.

العمل سويا: يعتبر التعلم في أفضل حالاته جهدًا تعاونيًا ، ولذلك يتم تشجيع الطلاب بشدة على العمل معًا في المهام. ومع ذلك ، فإن مجرد نسخ عمل شخص آخر لا ينطوي على العمل - أو التعلم - وغير مسموح به. يجب على كل طالب تسليم نسخة منفصلة من الحلول.

الاختبارات والامتحانات: سيتم إجراء اختبارات قصيرة مدتها عشر دقائق في معظم أيام الأربعاء للدراسة لذلك ليس ضروريًا. سيكون هناك امتحانان في منتصف الفصل الدراسي (15 فبراير و TBA) وامتحان نهائي واحد. إذا كنت غير قادر على أداء الاختبار كما هو مقرر ، فيرجى إبلاغي بذلك مسبقًا.

واجبات الكتابة: سيكون هناك مهمة كتابية واحدة أو اثنتين خلال الفصل الدراسي ، وسيتم تقديم المزيد من التفاصيل لاحقًا.

وضع العلامات: سيتم تحديد درجتك النهائية بناءً على ما يلي:

الواجب المنزلي 200 نقطة (10 مهام ، 20 نقطة لكل منها)
الإختبارات 100 نقطة (10 اختبارات ، 10 نقاط لكل منها)
الامتحانات 150 نقطة (3 امتحانات ، 50 نقطة لكل منها)
واجبات الكتابة 50 نقطة

التوقعات: لن تؤدي مشاهدة الأفلام إلى الحصول على وظيفة في هوليوود ، ولن تجعلك الجلوس ومشاهدة مقاطع فيديو التمرين في حالة جيدة. وبالمثل ، فإن مجرد مشاهدتي أنا ودومينيك يشرحان المواد ويحلان المشاكل لن تجعلك عالم رياضيات جيد. أهم عنصر في تعلمك هو الوقت الذي تقضيه في التفكير في المشكلات. لا تنسى هذا.

مساعدة: تعلم الرياضيات صعب. لا تشعر بالخجل لطلب المساعدة عندما لا تفهم شيئًا ما أو تشعر أنك متخلف عن الركب. إذا لم تتمكن من الوصول إلى ساعات العمل المقررة ، فيرجى الاتصال بنا لتحديد وقت بديل للقاء. بالإضافة إلى لقائي معي ومع دومينيك ، يرجى الاستفادة من العديد من موارد المساعدة في Penn ، بما في ذلك مراكز الرياضيات ، ومركز التدريس الخصوصي ، ومركز مصادر التعلم Weingarten. يمكن العثور على معلومات إضافية في https://www.math.upenn.edu/ugrad/.

رصيد إضافي: سأذكر أحيانًا المشكلات الصعبة بشكل خاص ، وسأنشرها على صفحة الويب الخاصة بالدورة التدريبية. سيكافأ حل لمثل هذه المشكلة برصيد إضافي نحو الدرجة النهائية لن تؤثر هذه النقاط على أي منحنى للفصل. بالإضافة إلى ذلك ، سأقوم أيضًا بوصف المشكلات الخاصة بشكل دوري ، وسيتم مكافأة حل أي منها بدرجة A في الدورة التدريبية.

المنهج

1 دبليو 1/13 مقدمة ، تمثل الأرقام وأنظمة قيم الإشارة والأرقام الرومانية
2 ف 1/15 الأرقام الرومانية ، أنظمة الأرقام الموضعية ، نظام الأرقام العشري
م 1/18 لا توجد فئة
3 ث 1/20 أنظمة الأرقام الموضعية ، الأسس العشرية والثنائية وغيرها
4 خ 1/22 مجموعات ، & غطاء ، & كوب ، & isin ، & notin ، N ، Z ، Q
5 م 1/25 المجموعات ، & # 8834 ، تدوين مجموعة البناء ، العلاقة الأساسية
6 دبليو 1/27 التعريفات ، حجم المجموعة ، العلاقة الأساسية ، مطابقة 1 إلى 1 بين المجموعات
7 خ 1/29 العلاقة الأساسية ، المجموعات المعدودة ، الأرقام الحقيقية
8 م 2/1 مجموعات غير معدودة ، كانتور ، قطرية
9 ث 2/3 نظرية الأعداد ، الأعداد الأولية والمركبات ، برهان إقليدس
10 و 2/5 إيجاد الأعداد الأولية ، غربال إراتوستينس ، أولية فيرما ، تخمين جولدباخ
11 م 2/8 النظرية الأساسية في الحساب ، القابلية للقسمة ، إقليدس Lemma ، وجود العوامل الأولية
12 دبليو 2/10 تفرد العوامل الأولية ، مقدمة في الاستقراء الرياضي
13 و 2/12 مراجعة أنظمة العدد والمجموعات والعلاقة الأساسية والأعداد الأولية
14 م 2/15 أول امتحان منتصف المدة
15 دبليو 2/17 مقدمة في نظرية الرسم البياني
16 F 2/19 الرسوم البيانية ، درجات الرأس ، متصلة ، ك- رسوم بيانية كاملة ومنتظمة
17 م 2/22 تماثل الرسم البياني
18 W 2/24 الرسوم البيانية المستوية وغير المستوية
19 F 2/26 الرسوم البيانية متعددة السطوح والجوامد الأفلاطونية
20 م 2/29 الجوامد الأفلاطونية ، الرسوم البيانية المزدوجة والمتعددة السطوح المزدوجة
21 ث 3/2 ثنائي ، كرات كرة قدم ، تلوين خرائط
22 F 3/4 تلوين الخرائط ، نظرية الرسم البياني 6 ألوان
استراحة الربيع
23 م 3/14 مسارات ودورات أويلر ، جسور كونيجسبورج
24 دبليو 3/16 مسارات وتطبيقات هاميلتون
25 F 3/18 مراجعة نظرية الرسم البياني
26 م 3/21 امتحان النصف الثاني
27 دبليو 3/23 الاتصال الآمن والتشفير والأصفار والحساب المعياري
28 و 3/25 الحساب النمطي: الجمع
29 م 3/28 الحساب النمطي: الضرب ، الباقي ، القسمة على 9
30 ث 3/30 الحساب النمطي: الأس
31 و 4/1 نظرية فيرما الصغيرة ، ألوان سرية
32 م 4/4 تبادل مفاتيح Diffie-Helmann
33 دبليو 4/6 أرقام عشوائية
34 F 4/8 المولدات الخطية المتطابقة
35 م 4/11 التماثل والعوامل الثنائية ، الإغلاق ، عناصر الهوية
36 دبليو 4/13 العوامل الثنائية ، الانعكاسات ، الترابطية ، تعريف المجموعة
37 F 4/15 مجموعات معيارية ، مجموعات هندسية ، نظرية جديلة
38 م 4/18 ترتيب المجموعة ، المجموعة التماثلية
39 دبليو 4/20 مجموعات التماثل من الأشكال ، المجموعات الحلقية ، المجموعات ثنائية السطوح
40 ف 4/22 مجموعات التماثل للمواد الصلبة الأفلاطونية
41 م 4/25 * محاضرة خاصة *
42 دبليو 4/27 إعادة النظر
م 5/2 الامتحان النهائي الساعة 9 صباحًا ، المدينة 100
الواجب المنزلي

فيما يلي قائمة بالواجبات الأسبوعية وتاريخ الاستحقاق لكل منها. يمكن العثور على أسئلة وأجوبة حول واجبات الواجبات المنزلية والنصف الدراسي هنا.

ورقة عمل 1 22 يناير حلول
التكليف 2 1 فبراير حلول
التنازل 3 8 فبراير حلول
التنازل 4 12 فبراير حلول
التنازل 5 29 فبراير حلول
التنازل 6 14 مارس حلول
التكليف 7 18 مارس حلول
التكليف 8 4 أبريل حلول
التنازل 9 11 أبريل حلول
التكليف 10 18 أبريل حلول
التنازل 11 25 أبريل حلول
مهمة الكتابة 27 أبريل

الإختبارات. يتم إجراء اختبارات قصيرة مدتها عشر دقائق في معظم أيام الأربعاء التي يدرس فيها هذا ليس ضروريًا.

ملاحظات المحاضرة والمواد الإضافية سأضيف بشكل دوري ملاحظات ومراجع إلى قراءات شيقة تتعلق بمناقشاتنا أثناء المحاضرات. إذا لاحظت أخطاء ، يرجى إعلامي.

ملاحظات المحاضرة 1 - أنظمة الأرقام
ملاحظات المحاضرة 2 - المجموعات
ملاحظات المحاضرة 3 - العلاقة الأساسية
ملاحظات المحاضرة 4 - الأعداد الأولية
ملاحظات المحاضرة 5 - نظرية المخططات
5.1 مقدمة وأساسيات
5.2 التماثل
5.3 الرسوم البيانية المستوية وصيغة أويلر
5.4 الرسوم البيانية متعددة السطوح والجوامد الأفلاطونية
5.5 تلوينات الخريطة
5.6 مسارات ودورات أويلر
ملاحظات المحاضرة 6 - الحساب النمطي والتطبيقات
6.1 مقدمة عن التشفير
6.2 أساسيات حسابية معيارية
6.3 الأس النمطي
6.4 تبادل مفاتيح Diffie-Hellman
6.5 أرقام عشوائية
ملاحظات المحاضرة 7 - التناظر ونظرية المجموعة
7.1 الأشكال والتماثلات
7.2 العوامل الثنائية
7.3 المجموعات
7.4 مجموعات التماثل من الأشكال

هذا مقال جميل بقلم ديتر كوتشيك بعنوان "طوبولوجيا وتوليفات كرات كرة القدم" ، نُشر في Scientific American. تتداخل بعض المواد الموجودة في المقالة مع ما سبق أن تناولناه في الفصل ، ولكن هناك الكثير الذي لم نتمكن من تغطيته.

هذا مقال جميل بقلم بريان هايز بعنوان "نظرية الرسم في الممارسة" ، نُشر في Scientific American. تقدم هذه المقالة نظرة عامة حول نظرية الرسم البياني ، مع الاهتمام بالتطبيقات في فهم الشبكات الاجتماعية. لاحظ أنه تم طباعته في عام 2000 ، قبل عدة سنوات من تأسيس Facebook.

هذا مقال جميل بقلم بريان هايز بعنوان "ربط النقاط" نُشر في Scientific American. تقدم هذه المقالة نظرة عامة على الدور الذي تلعبه نظرية الرسم البياني والرسوم البيانية الكاملة على وجه الخصوص ، في الأمن القومي.

يمكن العثور على بعض الملاحظات والتمارين المتعلقة بالمجموعات في كتاب الإثبات بقلم ريتشارد هاماك. على وجه الخصوص ، تناقش الأقسام 1.1 و 1.3 و 1.5 المجموعات ، ويمكن العثور على تدوين منشئ المجموعات والمجموعات الفرعية والنقابات وحلول التقاطعات لجميع التمارين في الجزء الخلفي من الكتاب.

يحتوي موقع الويب التالي على العديد من الأدوات لتحويل الأرقام من قاعدة إلى أخرى.


مشاكل الائتمان الإضافي. المشكلات الواردة أدناه أكثر صعوبة من تلك التي درسناها في الفصل حتى الآن. سيتم منح الحل الصحيح لأي منهم مع 5 نقاط إضافية للوصول إلى الدرجة النهائية.

1 أثبت أنه من الممكن رسم دائرة مركزها (& Radic 2، 1/3) تحتوي على أي عدد من نقاط النموذج (أ,ب) أين أ و ب كلاهما أعداد صحيحة. يمكن استخدام هذا لإظهار ذلك لأي عدد من النقاط ن، يمكن رسم دائرة في المستوى الذي يحيط بالضبط ن نقاط شعرية.
2 أثبتنا في الفصل أن كل رسم بياني مستوٍ يمكن تلوينه باستخدام 6 ألوان بحيث يتم تلوين أي زوج من الرؤوس المتصلة بحافة بشكل مختلف. اكتب دليلًا جيدًا على أن كل رسم بياني مستوٍ يمكن تلوينه باستخدام 5 ألوان فقط. يمكن العثور على البراهين في العديد من الأماكن عبر الإنترنت.

افتح المشاكل. المشاكل الواردة أدناه "مفتوحة" ، مما يعني أنها لم يتم حلها حتى الآن. سيكافأ حل أي من هذه المشكلات بدرجة A في الدورة التدريبية. العمل الذي يعكس التفكير الجاد في أي من هذه المشاكل ، حتى لو لم يؤد إلى حل ، سيتم منحه ائتمانًا إضافيًا.


ستكون هناك واجبات منزلية أسبوعية مطلوبة (إجمالي 9 ، بما في ذلك الواجب المنزلي 0) ، مصممة مرة أخرى لتعزيز فهمك لمواد الدورة التدريبية. يوصى بشدة أن تحاول القيام بجميع الواجبات المنزلية. سيتم إسقاط أدنى درجة في الواجبات المنزلية الخاصة بك ، ولكن يجب حجز هذا الانخفاض في حالات الطوارئ. لن يتم منح أي مخصصات إضافية للواجبات المنزلية المتأخرة أو الفائتة: يرجى عدم الاتصال بنا بخصوص الواجبات المنزلية الفائتة أو التقديم المتأخر. انظر السياسات لمزيد من المعلومات.

يمكن العثور على جدول المحاضرات هنا. نوصي بقراءة الملاحظات مقدمًا.


القسمة على أحد عشر

من السهل معرفة أن ما يلي هو مضاعفات 11: 22 ، 33 ، 44 ، 55 ، إلخ. ولكن ماذا عن: 2728 ، أو 31415؟ هل هم يقبلون القسمة على 11؟

هذه طريقة سهلة لاختبار القابلية للقسمة على 11. خذ المجموع البديل للأرقام في العدد ، اقرأ من اليسار إلى اليمين. إذا كان هذا يقبل القسمة على 11 ، فسيكون الرقم الأصلي كذلك.

لذلك ، على سبيل المثال ، يحتوي 2728 على مجموع بديل للأرقام 2 & # 8211 7 + 2 & # 8211 8 = -11. بما أن -11 يقبل القسمة على 11 ، كذلك فإن 2728.

وبالمثل ، بالنسبة لـ 31415 ، فإن مجموع الأرقام بالتناوب هو 3 & # 8211 1 + 4 & # 8211 1 + 5 = 10. هذا غير قابل للقسمة على 11 ، لذلك لا يقبل أي منهما 31415.

اقتراحات العرض:
قد يستمتع الطلاب بالتفكير في كيفية ارتباط اختبار القسمة هذا بقسمة الحقيقة الممتعة على سبعة.

الرياضيات وراء الحقيقة:
يمكن إظهار هذه الحقيقة الغريبة بسهولة باستخدام الحساب المعياري. نظرًا لأن 10 n تتطابق مع (-1) n mod 11 ، فإننا نرى أن 1 ، 100 ، 10000 ، 1000000 ، وما إلى ذلك ، بها باقٍ 1 عند القسمة على 11 ، و 10 ، 1000 ، 10000 ، إلخ. لها باقٍ (-1) عندما تقسم على 11. وهكذا

2728 = 2 * 1000 + 7 * 100 + 2 * 10 + 8,

لذا فإن الباقي عند القسمة على 11 هو فقط 2 (-1) + 7 (1) + 2 (-1) + 8 (1) ، مجموع الأرقام بالتناوب. (مجموع 8217 هو سالب ما وجدناه أعلاه لأن التناوب هنا يبدأ بـ -1.) لكن في كلتا الحالتين ، إذا كان هذا المجموع البديل قابل للقسمة على 11 ، فسيكون الرقم الأصلي كذلك.

في الواقع ، تُظهر ملاحظتنا المزيد: هذا في الواقع عندما نأخذ المجموع البديل للأرقام التي نقرأ منها من اليمين الى اليسار (بحيث تكون علامة رقم الوحدات موجبة دائمًا) ، ثم نحصل على N mod 11.


شاهد الفيديو: افضل طريقة لتعليم الجمع للاطفال بالعد على الاصابع (شهر نوفمبر 2021).