مقالات

5.5E: طريقة المعاملات غير المحددة 2 (تمارين) - الرياضيات


Q5.5.1

في تمارين 5.5.1-5.5.17 إيجاد حل معين.

1. (y '+ 3y' + 2y = 7 cos x- sin x )

2. (y '+ 3y' + y = (2-6x) cos x-9 sin x )

3. (y '' + 2y '+ y = e ^ x (6 cos x + 17 sin x) )

4. (y '+ 3y'-2y = -e ^ {2x} (5 cos2x + 9 sin2x) )

5. (y '' - y '+ y = e ^ x (2 + x) sin x )

6. (y '+ 3y'-2y = e ^ {- 2x} left [(4 + 20x) cos 3x + (26-32x) sin 3x right] )

7. (ص '+ 4 ص = -12 cos2x-4 sin2x )

8. (y '+ y = (- 4 + 8x) cos x + (8-4x) sin x )

9. (4y '' + y = -4 cos x / 2-8x sin x / 2 )

10. (y '' + 2y '+ 2y = e ^ {- x} (8 cos x-6 sin x) )

11. (y '' - 2y '+ 5y = e ^ x left [(6 + 8x) cos 2x + (6-8x) sin2x right] )

12. (y '+ 2y' + y = 8x ^ 2 cos x-4x sin x )

13. (y '+ 3y' + 2y = (12 + 20x + 10x ^ 2) cos x + 8x sin x )

14. (y '+ 3y' + 2y = (1-x-4x ^ 2) cos2x- (1 + 7x + 2x ^ 2) sin2x )

15. (y '' - 5y '+ 6y = -e ^ x left [(4 + 6x-x ^ 2) cos x- (2-4x + 3x ^ 2) sin x right] )

16. (y '' - 2y '+ y = -e ^ x left [(3 + 4x-x ^ 2) cos x + (3-4x-x ^ 2) sin x right] )

17. (y '' - 2y '+ 2y = e ^ x left [(2-2x-6x ^ 2) cos x + (2-10x + 6x ^ 2) sin x right] )

Q5.5.2

في تمارين 5.5.18-5.5.21 إيجاد حل معين ورسمه بالرسم البياني.

18. (y '' + 2y '+ y = e ^ {- x} left [(5-2x) cos x- (3 + 3x) sin x right] )

19. (ص '+ 9 ص = -6 كوس 3 س -12 الخطيئة 3 س )

20. (y '+ 3y' + 2y = (1-x-4x ^ 2) cos2x- (1 + 7x + 2x ^ 2) sin2x )

21. (y '' + 4y '+ 3y = e ^ {- x} left [(2 + x + x ^ 2) cos x + (5 + 4x + 2x ^ 2) sin x right] )

Q5.5.3

في تمارين 5.5.22-5.5.26 حل مشكلة القيمة الأولية.

22. (y '' - 7y '+ 6y = -e ^ x (17 cos x-7 sin x) ، quad y (0) = 4 ، ؛ y' (0) = 2 )

23. (y '' - 2y '+ 2y = -e ^ x (6 cos x + 4 sin x)، quad y (0) = 1، ؛ y' (0) = 4 )

24. (y '' + 6y '+ 10y = -40e ^ x sin x، quad y (0) = 2، quad y' (0) = - 3 )

25. (y '' - 6y '+ 10y = -e ^ {3x} (6 cos x + 4 sin x)، quad y (0) = 2، quad y' (0) = 7 )

26. (y '' - 3y '+ 2y = e ^ {3x} left [21 cos x- (11 + 10x) sin x right]، ؛ y (0) = 0، quad y (0) = 6 )

Q5.5.4

في تمارين 5.5.27-5.5.32 استخدم مبدأ التراكب لإيجاد حل معين. عند الإشارة ، حل مشكلة القيمة الأولية.

27. (y '- 2y'-3y = 4e ^ {3x} + e ^ x ( cos x-2 sin x) )

28. (y '' + y = 4 cos x-2 sin x + xe ^ x + e ^ {- x} )

29. (y '- 3y' + 2y = xe ^ x + 2e ^ {2x} + sin x )

30. (y '' - 2y '+ 2y = 4xe ^ x cos x + xe ^ {- x} + 1 + x ^ 2 )

31. (y '' - 4y '+ 4y = e ^ {2x} (1 + x) + e ^ {2x} ( cos x- sin x) + 3e ^ {3x} + 1 + x )

32. (y '' - 4y '+ 4y = 6e ^ {2x} +25 sin x، quad y (0) = 5، ؛ y' (0) = 3 )

Q5.5.5

في تمارين 5.5.33 - 5.5.35 حل مشكلة القيمة الأولية ورسم الحل بيانيًا.

33. (y '' + 4y = -e ^ {- 2x} left [(4-7x) cos x + (2-4x) sin x right]، ؛ y (0) = 3، رباعي ص '(0) = 1 )

34. (y '' + 4y '+ 4y = 2 cos2x + 3 sin2x + e ^ {- x}، quad y (0) = - 1، ؛ y' (0) = 2 )

35. (y '' + 4y = e ^ x (11 + 15x) +8 cos2x-12 sin2x، quad y (0) = 3، ؛ y '(0) = 5 )

Q5.5.6

36.

  1. تحقق من أنه إذا كان [y_p = A (x) cos omega x + B (x) sin omega x ] حيث (A ) و (B ) قابلين للاشتقاق مرتين ، إذن [ ابدأ { محاذاة} y_p '& = (A' + omega B) cos omega x + (B '- omega A) sin omega x quad mbox {and} y_p' '& = (A' ' +2 omega B '- omega ^ 2A) cos omega x + (B' '- 2 omega A' - omega ^ 2B) sin omega x. end {align} ]
  2. استخدم نتائج (أ) للتحقق من أن [ ابدأ {محاذاة} ay_p '' + by_p '+ cy_p = & يسار [(ca omega ^ 2) A + b omega B + 2a omega B' + bA '+ aA' ' right] cos omega x + & left [-b omega A + (ca omega ^ 2) B-2a omega A' + bB '+ aB' ' right] الخطيئة أوميغا س. نهاية {محاذاة} ]
  3. استخدم نتائج (أ) للتحقق من أن [y_p '' + omega ^ 2 y_p = (A '' + 2 omega B ') cos omega x + (B' '- 2 omega A') الخطيئة أوميغا س. ]
  4. إثبات نظرية 5.5.2.

37. لنكن (a ) ، (b ) ، (c ) ، و ( omega ) ثوابت ، مع (a ne0 ) و ( omega> 0 ) ، و يترك

[P (x) = p_0 + p_1x + cdots + p_kx ^ k quad text {and} quad Q (x) = q_0 + q_1x + cdots + q_kx ^ k، ]

حيث يكون أحد المعاملات على الأقل (p_k ) ، (q_k ) غير صفري ، لذلك (ك ) هو أكبر درجات (P ) و (س ).

  1. بيّن أنه إذا لم تكن ( cos omega x ) و ( sin omega x ) حلولاً للمعادلة التكميلية [ay '+ بواسطة' + cy = 0 ، ] فإن هناك العديد من الحدود [ A (x) = A_0 + A_1x + cdots + A_kx ^ k quad text {and} quad B (x) = B_0 + B_1x + cdots + B_kx ^ k tag {A} ] مثل أن [ begin {array} {lcl} quad (ca omega ^ 2) A + b omega B + 2a omega B '+ bA' + aA '' & = P phantom {.} -b omega A + ( ca omega ^ 2) B-2a omega A '+ bB' + aB '' & = Q، end {array} ] حيث ((A_k، B_k) )، ((A_ {k-1 }، B_ {k-1}) )،…، ((A_0، B_0) ) يمكن حسابها على التوالي من خلال حل الأنظمة [ start {array} {lcl} phantom {-} (ca omega ^ 2) A_k + b omega B_k & = p_k phantom {.} -b omega A_k + (ca omega ^ 2) B_k & = q_k، end {array} ] و، if (1 le r le k )، [ begin {array} {lcl} phantom {-} (ca omega ^ 2) A_ {kr} + b omega B_ {kr} & = p_ {kr} + cdots phantom {.} -b omega A_ {kr} + (ca omega ^ 2) B_ {kr} & = q_ {kr} + cdots، end {array} ] حيث يتم الإشارة إلى المصطلحات بـ “ ( cdots ) ​​"تعتمد على المعاملات المحسوبة سابقًا التي تحتوي على رموز أكبر من (kr ). نستنتج من هذا و تمرين 5.5.36 ب أن [y_p = A (x) cos omega x + B (x) sin omega x tag {B} ] هو حل محدد لـ [ay '+ by' + cy = P (x ) cos omega x + Q (x) sin omega x. ]
  2. استنتج من تمرين 5.5.36c أن المعادلة [a (y '' + omega ^ 2 y) = P (x) cos omega x + Q (x) sin omega x tag {C} ] ليس لها حل النموذج (ب) مع (أ ) و (ب ) كما في (أ). ثم بين أن هناك العديد من الحدود [A (x) = A_0x + A_1x ^ 2 + cdots + A_kx ^ {k + 1} quad text {and} quad B (x) = B_0x + B_1x ^ 2 + cdots + B_kx ^ {k + 1} ] مثل [ start {array} {rcl} a (A '' + 2 omega B ') & = P a (B' '- 2 omega A ') & = Q، end {array} ] حيث الأزواج ((A_k، B_k) )، ((A_ {k-1}، B_ {k-1}) )،…، ( (A_0، B_0) ) يمكن حسابها على التوالي على النحو التالي: [ begin {align} A_k & = - {q_k over2a omega (k + 1)} B_k & = phantom {-} {p_k over2a omega (k + 1)} ، end {align} ] ، و if (k ge 1 ) ، [ start {align} A_ {kj} & = - {1 over2 omega} left [{q_ {kj} over a (k-j + 1)} - (k-j + 2) B_ {k-j + 1} right] B_ {kj} & = phantom {-} { 1 over2 omega} left [{p_ {kj} over a (k-j + 1)} - (k-j + 2) A_ {k-j + 1} right] end {align} ] لـ (1 le j le k ). استنتج أن (B) مع هذا الاختيار للعديد من الحدود (A ) و (B ) هو حل خاص لـ (C).

38. أظهر أن النظرية 5.5.1 تشير إلى النظرية التالية:

نظرية ( PageIndex {1} )

افترض ( omega ) هو رقم موجب و (P ) و (س ) متعدد الحدود. دع (ك ) يكون أكبر درجات (ف ) و (س ). ثم المعادلة

[ay '' + بواسطة '+ cy = e ^ { lambda x} left (P (x) cos omega x + Q (x) sin omega x right) ]

لديه حل معين

[y_p = e ^ { lambda x} left (A (x) cos omega x + B (x) sin omega x right)، tag {A} ]

أين

[A (x) = A_0 + A_1x + cdots + A_kx ^ k quad text {and} quad B (x) = B_0 + B_1x + cdots + B_kx ^ k، ]

بشرط أن لا يكون (e ^ { lambda x} cos omega x ) و (e ^ { lambda x} sin omega x ) حلين للمعادلة التكميلية. المعادلة

[a left [y '' - 2 lambda y '+ ( lambda ^ 2 + omega ^ 2) y right] = e ^ { lambda x} left (P (x) cos omega x + Q (x) sin omega x right) ]

(() التي (e ^ { lambda x} cos omega x ) و (e ^ { lambda x} sin omega x ) هي حلول للمعادلة التكميلية () ) له حل خاص بالشكل (أ) ، حيث

[A (x) = A_0x + A_1x ^ 2 + cdots + A_kx ^ {k + 1} quad text {and} quad B (x) = B_0x + B_1x ^ 2 + cdots + B_kx ^ {k +1}. ]

39. يقدم هذا التمرين طريقة لتقييم التكامل

[y = int e ^ { lambda x} left (P (x) cos omega x + Q (x) sin omega x right) ، dx ]

حيث ( omega ne0 ) و

[P (x) = p_0 + p_1x + cdots + p_kx ^ k، quad Q (x) = q_0 + q_1x + cdots + q_kx ^ k. ]

  1. أظهر ذلك (y = e ^ { lambda x} u ) ، حيث [u '+ lambda u = P (x) cos omega x + Q (x) sin omega x. علامة {A} ]
  2. بيّن أن (A) له حل خاص بالصيغة [u_p = A (x) cos omega x + B (x) sin omega x، ] حيث [A (x) = A_0 + A_1x + cdots + A_kx ^ k، quad B (x) = B_0 + B_1x + cdots + B_kx ^ k، ] وأزواج المعاملات ((A_k، B_k) ) ، ((A_ {k-1} ، B_ {k-1}) ) ،… ، ((A_0، B_0) ) يمكن حسابها على التوالي كحلول لأزواج المعادلات التي تم الحصول عليها عن طريق معادلة معاملات (x ^ r cos omega x ) و (x ^ r sin omega x ) لـ (r = k ) ، (k-1 ) ، ... ، (0 ).
  3. استنتج أن [ int e ^ { lambda x} left (P (x) cos omega x + Q (x) sin omega x right) ، dx = e ^ { lambda x} يسار (A (x) cos omega x + B (x) sin omega x right) + c، ] حيث (c ) هو ثابت تكامل.

40. استخدم طريقة تمرين 5.5.39 لتقييم التكامل.

  1. ( int x ^ {2} cos x dx )
  2. ( int x ^ {2} e ^ {x} cos x dx )
  3. ( int xe ^ {- x} sin 2x dx )
  4. ( int x ^ {2} e ^ {- x} sin x dx )
  5. ( int x ^ {3} e ^ {x} sin x dx )
  6. ( int e ^ {x} [x cos x - (1 + 3x) sin x] dx )
  7. ( int e ^ {- x} [(1 + x ^ {2}) cos x + (1_x ^ {2}) sin x] dx )

يتم تحديد موضع الجسيم المتحرك في خط مستقيم بواسطة s (t) = (e ^ (- t)) (cos (5t)) لـ t> 0 ، حيث تكون t بالثواني. إذا غير الجسيم اتجاهه في الوقت T ثانية ، فيجب أن تفي T بالمعادلة: cos (5T) = 0 5T = arctan (-1/5) 5e ^ (- t) sin (5t) =

تستخدم Factorthen الهويات الأساسية لتبسيط التعبير أدناه وتحديد أي مما يلي لا يعادل cot ^ 2 a * tan ^ 2 a + cot ^ 2 a A. csc ^ 2 alpha B.1 / sin ^ 2 alpha C.1 / 1-cos ^ 2 alpha D.sec ^ 2 alpha E.1 + cot ^ 2 alpha

أي من التعبيرات التالية يكافئ (cos (3x)) / sin (x) cos (x))؟ csc (x) cos (2x) - sec (x) sin (2x) sec (x) cos (2x) - csc (x) sin (2x) sec (x) cos (x) - csc (x) sin (x) ) csc (x) cos (x) - sec (x) sin (x) هذا هو سؤالي الأخير وقد حاولت حله


الحل الكلاسيكي للمعادلات التفاضلية

في الطريقة الكلاسيكية ، نحل المعادلة التفاضلية للعثور على المكونات الطبيعية والقسرية بدلاً من مكونات الاستجابة ذات المدخلات الصفرية والحالة الصفرية. على الرغم من أن هذه الطريقة بسيطة نسبيًا مقارنة بالطريقة التي تمت مناقشتها حتى الآن ، كما سنرى ، إلا أن لها أيضًا العديد من العيوب الصارخة.

كما أوضح القسم 2.4-5 ، عندما يتم تجميع جميع شروط الوضع المميز لاستجابة النظام الإجمالية معًا ، فإنها تشكل الاستجابة الطبيعية للنظام y n (t) (تُعرف أيضًا باسم الحل المتجانس أو الحل التكميلي). الجزء المتبقي من الرد يتكون بالكامل من

شروط الوضع غير المعهود وتسمى الاستجابة القسرية للنظام y φ (t) (تُعرف أيضًا باسم الحل المعين). أظهرت المعادلة (2.52 ب) هذين المكونين لتيار الحلقة في دائرة RLC بالشكل 2.1 أ.

استجابة النظام الإجمالية هي y (t) = y n (t) + y φ (t). نظرًا لأن y (t) يجب أن تفي بمعادلة النظام [Eq. (2.1)] ، أو لكن y n (t) تتكون بالكامل من أنماط مميزة. لذلك هكذا

الاستجابة الطبيعية ، كونها مزيجًا خطيًا من الأوضاع المميزة للنظام ، لها نفس شكل استجابة المدخلات الصفرية فقط ثوابتها التعسفية مختلفة. يتم تحديد هذه الثوابت من الشروط المساعدة ، كما هو موضح لاحقًا. سنناقش الآن طريقة لتحديد الاستجابة القسرية.

2.5-1 الاستجابة القسرية: طريقة المعاملات غير المحددة

إنها مهمة بسيطة نسبيًا لتحديد y φ (t) ، الاستجابة القسرية لنظام LTIC ، عندما يكون الإدخال x (t) بحيث ينتج فقط عددًا محدودًا من المشتقات المستقلة. المدخلات التي لها شكل e ζt أو t r تندرج في هذه الفئة. على سبيل المثال ، التمايز المتكرر لـ e t ينتج عنه نفس الشكل

مثل هذا الإدخال ، e t. وبالمثل ، فإن التمايز المتكرر لـ t r ينتج عنه مشتقات مستقلة فقط. يمكن التعبير عن الاستجابة القسرية لمثل هذا الإدخال كمجموعة خطية من المدخلات ومشتقاتها المستقلة. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، الإدخال عند 2 + bt + c. المشتقات المتتالية لهذا المدخل هي 2at + b و 2a. في هذه الحالة ، يكون للمدخل مشتقتان مستقلتان فقط. لذلك ، يمكن أن تكون الاستجابة القسرية

من المفترض أن تكون تركيبة خطية من x (t) ومشتقاتها. لذلك فإن الصيغة المناسبة لـ y φ (t) في هذه الحالة هي

يتم تحديد المعاملات غير المحددة β 0 و 1 و β 2 عن طريق استبدال هذا التعبير عن y φ (t) في المعادلة. (2.53)

ثم معادلة المعاملات ذات المصطلحات المتشابهة على جانبي التعبير الناتج. على الرغم من أنه لا يمكن استخدام هذه الطريقة إلا للمدخلات التي تحتوي على عدد محدود من المشتقات ، إلا أن هذه الفئة من المدخلات تشتمل على مجموعة متنوعة من أكثر

الإشارات الشائعة في الممارسة العملية. يوضح الجدول 2.2 مجموعة متنوعة من هذه المدخلات وشكل الاستجابة القسرية المقابلة لكل مدخل. سنوضح هذا الإجراء بمثال.

افتح الجدول كجدول بيانات

5 (t r + a r-1 t r-1 +. + α 1 t + α 0) e t)

(β r t r + β r-1 t r-1 +. + 1 t + 0) e t)

ملاحظة: حسب التعريف ، لا يمكن أن تحتوي y φ (t) على أي مصطلحات خاصة بالأسلوب. إذا كان أي مصطلح يظهر في العمود الأيمن للاستجابة القسرية هو أيضًا وضع مميز للنظام ، فيجب تعديل الشكل الصحيح للاستجابة القسرية إلى tiy φ (t) ، حيث i هو أصغر عدد صحيح ممكن يمكن أن يكون مستخدم ولا يزال بإمكانه منع tiy φ (t) من وجود مصطلح أسلوب مميز. على سبيل المثال ، عندما يكون الإدخال e ζt ، يتم فرض

الاستجابة (العمود الأيمن) لها شكل βe ζt. ولكن إذا حدث أن يكون نمطًا مميزًا للنظام ، فإن الشكل الصحيح للقوة

الاستجابة هي βte ζt (انظر الزوج 2). إذا حدث أيضًا أن يكون وضعًا مميزًا للنظام ، فإن الشكل الصحيح للاستجابة القسرية هو βt 2 e ζt ،

حل المعادلة التفاضلية إذا كان الإدخال والشروط الأولية y (0 +) = 2 و y (0 +) = 3.

لذلك ، فإن كثير الحدود المميز للنظام هو أن الأوضاع المميزة هي e −t و e -2t. الاستجابة الطبيعية إذن هي مزيج خطي من هذه الأنماط ، بحيث

هنا يجب تحديد الثوابت التعسفية K 1 و K 2 من الشروط الأولية للنظام. الاستجابة القسرية للإدخال t 2 + 5t + 3 ، وفقًا للجدول 2.2 (الزوج 5 مع ζ = 0) ، هي

علاوة على ذلك ، y φ (t) يفي بمعادلة النظام [Eq. (2.53)] أي ،

استبدال هذه النتائج في Eq. (2.54) تنتج أو تساوي معاملات القوى المتشابهة على جانبي هذا التعبير

ينتج عن حل هذه المعادلات الثلاث الآنية β 0 = 1 ، 1 = 1 ، و β 2 = 0. لذلك

إجمالي استجابة النظام y (t) هو مجموع الحلول الطبيعية والقسرية. لذلك

بحيث يكون ضبط t = 0 والاستبدال y (0) = 2 y (0) = 3 في هذه المعادلات ، لدينا

حل هاتين المعادلتين الآنيتين هو K 1 = 4 و K 2 = −3. لذلك

تعليقات على الشروط الأولية

في الطريقة الكلاسيكية ، الشروط الأولية مطلوبة عند t = 0 +. والسبب هو أنه عند t = 0 - ، يوجد فقط مكون الإدخال الصفري ، ويمكن تطبيق الشروط الأولية عند t = 0 - على مكون الإدخال الصفري فقط. في الطريقة الكلاسيكية ، لا يمكن فصل مكونات الحالة الصفرية والمدخلات الصفرية وبالتالي ، يجب تطبيق الشروط الأولية على الاستجابة الإجمالية ، والتي تبدأ عند t = 0 +.

يتم تحديد نظام LTIC بواسطة المعادلة

المدخلات هي x (t) = 6t 2. ابحث عن ما يلي: أ. الاستجابة القسرية y φ (t) b. إجمالي الاستجابة y (t) إذا كانت الشروط الأولية y (0 +) = 25/18 و y (0 +) = −2/3

المدخلات الإضافية e (t) تعتبر الإشارة الأسية أهم إشارة في دراسة أنظمة LTIC. ومن المثير للاهتمام أن الاستجابة القسرية لإشارة إدخال أسية

اتضح أنه بسيط للغاية. من الجدول 2.2 ، نرى أن الاستجابة القسرية للمدخلات e t لها شكل βe ζt. نظهر الآن أن β = Q (ζ) / P (ζ). [†]

لتحديد الثابت β ، نستبدل y φt في معادلة النظام [Eq. (2.53)] للحصول الآن لاحظ ذلك

وبالتالي ، فإن مكافئ. (2.53) يصبح و

وبالتالي ، بالنسبة للإدخال x (t) = e t u (t) ، يتم إعطاء الاستجابة القسرية بواسطة

هذه نتيجة مثيرة للاهتمام وهامة. تنص على أنه بالنسبة للمدخل الأسي e t ، فإن الاستجابة القسرية y ζ (t) هي نفس الأسي مضروبًا في H (ζ) = P (ζ) / Q (ζ). إجمالي استجابة النظام y (t) لمدخلات أسية e t يتم الحصول عليها بعد ذلك بواسطة [‡]

حيث الثوابت التعسفية K 1، K 2. يتم تحديد K N من الشروط المساعدة. شكل المعادل. (2.57) يفترض جذور N المتميزة. إذا لم تكن الجذور مميزة ، فيجب استخدام الشكل المناسب للأنماط.

تذكر أن الإشارة الأسية تتضمن مجموعة كبيرة ومتنوعة من الإشارات ، مثل ثابت (ζ = 0) ، وجيب (ζ = ± jω) ، وشكل جيبي متزايد أو متحلل بشكل أسي (ζ = σ ± jω). دعونا ننظر في الاستجابة القسرية لبعض هذه الحالات.

نظرًا لأن C = C e 0t ، فإن الإدخال الثابت هو حالة خاصة للمدخل الأسي Ce ζt مع ζ = 0. ثم يتم إعطاء الاستجابة القسرية لهذا الإدخال بواسطة

الإدخال الأسي e j ωt هنا ζ = jω و

إدخال SINUSOIDA x (t) = cos ωt نحن نعلم أن الاستجابة القسرية للمدخلات e ± jwt هي H (± jw) e ± jwt. بما أن cos ω t = (e j ωt + e −jwt) / 2 ، فإن الاستجابة القسرية لـ cos t هي

لأن المصطلحين على الجانب الأيمن مترافقان ، لكن هذا صحيح

يمكن تعميم هذه النتيجة للمدخل x (t) = cos (t + θ). الرد القسري في هذه الحالة هو

حل المعادلة التفاضلية إذا كانت الشروط الأولية هي y (0 +) = 2 و

أ. 10e −3t ب. 5 −2t ج. ه د. 10 كوس (3 طن + 30 درجة)

وفقًا للمثال 2.10 ، فإن الاستجابة الطبيعية لهذه الحالة هي لهذه الحالة

أ. للإدخال x (t) = 10e −3t ζ = −3 ، و

الحل الكلي (مجموع الاستجابة القسرية والطبيعية) هو والظروف الأولية هي y (0 +) = 2 و

. وضع t = 0 في المعادلات السابقة ثم استبدال الشروط الأولية ينتج عنها

ينتج عن حل هذه المعادلات K 1 = −8 و K 2 = 25. لذلك

ب. للمدخل x (t) = 5 = 5e 0t، ζ = 0، والحل الكامل هو K 1 e −t + K 2 e −2t + 2te - t. باستخدام الشروط الأولية ، نحدد K 1 و K 2 كما في الجزء (أ).

ج. هنا ζ = −2 ، وهو أيضًا جذر مميز للنظام. ومن ثم (انظر الزوج 2 ، الجدول 2.2 ، أو الملاحظة في أسفل الجدول). لإيجاد β ، نستبدل yφ ، (t) في معادلة النظام للحصول على أو لكن

وبالتالي ، β = 2 لذلك

الحل الكامل هو K e −t + K 2 e −2u. باستخدام الشروط الأولية ، نحدد K 1 و K 2 كما في الجزء (أ).

د. بالنسبة للإدخال x (t) = 10cos (3 t + 30 °) ، فإن الاستجابة القسرية [انظر Eq. (2.61)] حيث

والحل الكامل هو K 1 e −1 + K 2 e −2t + 2.63cos (3t - 7.9 °). ثم نستخدم الشروط الأولية لتحديد K 1 و K 2 كما في الجزء (أ).

استخدم الطريقة الكلاسيكية للعثور على تيار الحلقة y (t) في دائرة RLC للمثال 2.2 (الشكل 2.1) إذا كان جهد الدخل x (t) = 10 −3t e والبدئي

الشروط هي y (0 -) = 0 و c (0 -) = 5.

تم العثور على استجابات المدخلات الصفرية والحالة الصفرية لهذه المشكلة في المثالين 2.2 و 2.6 على التوالي. تظهر الاستجابات الطبيعية والقسرية في المعادلة. (2.52 ب). هنا سنحل هذه المشكلة بالطريقة الكلاسيكية التي تتطلب الشروط الأولية عند t = 0 +. هذه الشروط موجودة بالفعل في المعادلة. (2.15) ، هي

معادلة الحلقة لهذا النظام [انظر المثال 2.2 أو المعادلة. (1.55)] هو

كثير الحدود المميز هو λ 2 +3 λ + 2 = (+ 1) (λ + 2) لذلك فإن الاستجابة الطبيعية هي

الاستجابة القسرية ، الموجودة بالفعل في الجزء (أ) من المثال 2.11 ، هي الإجابة الكلية هي أن تمايز هذه المعادلة ينتج عنه إعداد t = 0 + واستبدال y (0 +) = 0 ، y (0 +) = 5 في هذه المعادلات عائدات

لذلك الذي يتفق مع الحل الموجود سابقًا في المعادلة. (2.52 ب).

حل المعادلة التفاضلية

باستخدام المدخلات x (t) = 5t + 3 والشروط الأولية y 0 (0) = 2 و y 0 (0) = 3.

>> y = dsolve ('D2y + 3 * Dy + 2 * y = 5 * t + 3'، y (0) = 2 '،' Dy (0) = 3 '،' t ') >> ديس ([ 'y (t) = ('، char (y)، ') u (t)']) y (t) = (-9 / 4 + 5/2 * t + 9 * exp (-t) -19 / 4 * إكسب (-2 * ر)) ش (ر)

تقييم الطريقة الكلاسيكية

يوضح التطور في هذا القسم أن الطريقة الكلاسيكية بسيطة نسبيًا مقارنة بطريقة إيجاد الاستجابة كمجموع لمكونات الحالة الصفرية والمدخلات الصفرية. لسوء الحظ ، فإن الطريقة الكلاسيكية لها عيب خطير لأنها تنتج استجابة كاملة ، والتي لا يمكن فصلها إلى مكونات ناشئة عن الظروف الداخلية والمدخلات الخارجية. في دراسة الأنظمة ، من المهم أن تكون قادرًا على التعبير عن استجابة النظام لمدخل x (t) كوظيفة صريحة لـ x (t). هذا غير ممكن في الطريقة الكلاسيكية. علاوة على ذلك ، يُظهر التطور الكلاسيكي في هذا القسم أن الطريقة الكلاسيكية بسيطة نسبيًا مقارنة بطريقة إيجاد الاستجابة كمجموع لمكونات الحالة الصفرية والمدخلات الصفرية. لسوء الحظ ، فإن الطريقة الكلاسيكية لها عيب خطير لأنها تنتج استجابة كاملة ، والتي لا يمكن فصلها إلى مكونات ناشئة عن الظروف الداخلية والمدخلات الخارجية. في دراسة الأنظمة ، من المهم أن تكون قادرًا على التعبير عن استجابة النظام لمدخل x (t) كوظيفة صريحة لـ x (t). هذا غير ممكن في الطريقة الكلاسيكية. علاوة على ذلك ، الكلاسيكية

إذا كان علينا حل معادلة تفاضلية خطية معينة أو إيجاد استجابة لنظام LTIC معين ، فقد تكون الطريقة الكلاسيكية هي الأفضل. ومع ذلك ، في الدراسة النظرية للأنظمة الخطية ، فإن الطريقة الكلاسيكية ليست ذات قيمة كبيرة.

الحذر لقد أظهرنا في Eq. (2.52 أ) أنه يمكن التعبير عن الاستجابة الإجمالية لنظام LTI كمجموع من المدخلات الصفرية والصفر-

مكونات الدولة. في Eq. (2.52 ب) ، لقد أظهرنا أنه يمكن أيضًا التعبير عن نفس الاستجابة كمجموع للمكونات الطبيعية والمكونات القسرية. لقد رأينا أيضًا أن استجابة المدخلات الصفرية ليست هي نفسها الاستجابة الطبيعية (على الرغم من أن كلاهما مصنوع من أوضاع طبيعية). وبالمثل ، فإن استجابة الحالة الصفرية ليست هي نفسها الاستجابة القسرية. لسوء الحظ ، غالبًا ما توجد مثل هذه الادعاءات الخاطئة في الأدبيات.

[†] تكون هذه النتيجة صالحة فقط إذا لم تكن ζ جذرًا مميزًا للنظام. [‡] لاحظ قرب المعادلات. (2.57) و (2.47). لماذا يوجد فرق بين المعادلتين؟ المعادلة (2.47) هي الرد على

الأسي الذي بدأ عند −∞ ، بينما مكافئ. (2.57) هو الرد على الأسي الذي يبدأ عند t = 0. مثل t → ∞، Eq. (2.57) تقترب من المعادلة. (2.47). في Eq. (2.47) ، المصطلح y n (t) ، الذي يبدأ عند t = −∞ ، قد تلاشى بالفعل عند t = 0 ، وبالتالي فهو مفقود.


3. خراب المشي العشوائي والمقامر # 8217s

3.1 يمشي عشوائي على شبكة منتظمة

لقد لاحظت أن الطريقة المذكورة أعلاه لحساب طرق الحصول على النتائج المعنية سوف لن حل المشكلة المطروحة. كما هو مذكور أعلاه ، مع ذلك ، افترض العديد من مشتركي LetsSolveMathProblems ذلك. لقد احتاجوا فقط إلى معرفة النمط الكامن وراء عدد الطرق التي يمكن أن تحدث بها كل نتيجة — أي نمط يخبرك بعدد طرق الفوز (أو الخسارة) في عدد معين من الحركات ، وبالتالي الاحتمال (أو الوزن) المقابل لهذا العدد من الحركات.

المشكلة هي أنه لا يوجد مثل هذا النمط لبعض التعسفية ن (إذا كنت تعرف واحدًا ، فأخبرني!) ، على الرغم من أنه سيعمل من أجل حجم معين ومعقول ن. من المفيد أن ننظر إلى ما يحدث هنا.

سوف أعتبر ن = 2 و 3 و 4 و 5. يمكننا استخدام طرق توقع وعد جيدة قديمة الطراز ، تمامًا كما ورد أعلاه ، لهذه ، ولكنها مختلفة ن& # 8216s تتطلب صيغًا مختلفة. فعلا ن= 2 و ن= 3 استخدم نفس الصيغة (يتبعان نفس النمط) ، لكن 4 و 5 ينتج كل منهما نمطًا جديدًا.

للبدء في اكتشاف ذلك ، دع & # 8217s يراجع مسارات المشي العشوائية. السير العشوائي هو الموقف الذي تبدأ فيه عند نقطة ما على خط الأعداد وينتهي بك الأمر عند نقطة أخرى في عدد معين من الخطوات. هناك & # 8217s الكثير لتغطيته في هذه الفكرة البسيطة. & # 8217ll أراجع الأساسيات فقط.

دع & # 8217s ننظر أولاً إلى الحالة البسيطة المتمثلة في الانتقال من 2 إلى 4 في خطوتين. لا نحتاج إلى رسم تخطيطي معقد لمعرفة عدد الطرق للقيام بذلك:

بعد ذلك ، سنحدد عدد الطرق (أو المسارات) للوصول من 2 إلى 4 في أربع خطوات (لاحظ أنه من المستحيل الوصول إلى هناك في ثلاث خطوات!): من 2 إلى 3 إلى 4 إلى 5 إلى 4: أو من 2 إلى 3 إلى 4 إلى 3 إلى 4 أو من 2 إلى 1 إلى 2 إلى 3 إلى 4 أو من 2 إلى 3 إلى 2 إلى 3 إلى 4. هنا & # 8217s رسم توضيحي:

هناك أربع طرق للقيام بذلك. لاحظ أنه في كل طريقة من هذه الطرق الأربع ، ننتقل واحدًا إلى اليسار (أو للخلف) وثلاثة إلى اليمين (أو للأمام). بعبارة أخرى ، يمكننا حساب عدد الطرق للانتقال من 2 إلى 4 في أربع خطوات فقط باختيار واحدة منها كحركتنا إلى اليسار: 4 ج1 = 4*.

[* يشير هذا إلى مجموعة ، وعادة ما يتم ذكره على أنه "أربعة اختيار واحد". بالطبع ، يمكننا أيضًا فعل 4 درجات مئوية3. & # 8217ll غالبًا ما ترى هذه ممثلة في مسائل الرياضيات على أنها.

صيغة هذه الحسابات هي:

إذا لم تكن معتادًا على التوليفات الأساسية أو تحتاج إلى مراجعتها ، فإنني أوصي بالبدء في مقطع فيديو Khan Academy هذا ، الذي يتعامل مع التباديل ، والعمل من خلال القسم التالي حول المجموعات: & # 8220Factorial and Counting Arrangements. & # 8221]

الآن ، إذا أردنا الانتقال من خطوتين إلى أربع خطوات في ست خطوات (لاحظ مرة أخرى ، لا يمكننا القيام بذلك في خمس خطوات) ، يمكننا فقط معرفة عدد الخطوات المطلوبة للأمام والخلف. على سبيل المثال ، يمكننا الانتقال من 2 إلى 3 إلى 4 إلى 5 إلى 6 إلى 5 إلى 4. أي أربعة للأمام واثنان للخلف. نرى نفس النتيجة إذا انتقلنا من 2 إلى 1 إلى 0 إلى 1 إلى 2 إلى 3 إلى 4.

هذا يعطينا 6 ج2 = 15. بدلاً من كتابة هذه المسارات الخمسة عشر بنفس الطريقة الموضحة أعلاه ، سأستخدم شبكة (تم إنشاؤها في GeoGebra) حيث يمثل المحور x الخطوة الأولى والثانية والثالثة والرابعة وما إلى ذلك التي تم اتخاذها والخطوة y يمثل المحور الموقع. على سبيل المثال ، هنا & # 8217s رسم تخطيطي للبدء من 2 وينتهي في 4 أربع خطوات:

يحتوي الرسم البياني أعلاه على جميع المسارات الممكنة للوصول من 2 إلى 4 في أربع خطوات. إليك نفس الرسم البياني مع تمييز مسارين:

ينتقل المسار الوردي من 2 إلى 1 إلى 2 إلى 3 إلى 4 ، بينما ينتقل المسار الأخضر من 2 إلى 3 إلى 4 إلى 3 إلى 4. نظرًا لأن محور الموقع عمودي ، يمكننا التفكير في هذا على أنه أعلى ثلاثة ، أسفل واحد (لاحظ ذلك يجب أن تتجه كل حركة جديدة إلى اليمين فيما يتعلق بالمحور السيني ، وإلا فسيكون ذلك مثل العودة في الوقت المناسب).

لحسن الحظ ، هناك طريقة بسيطة لحساب عدد المسارات على الشبكة. يمكننا أن نطلق على هذا طريقة Pascal & # 8217s للعد على هذا النحو ، كما أنه يرتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية ذات الحدين والتركيبات (وهذا أمر منطقي ، نظرًا لأننا نستخدم المجموعات كاختصار حتى الآن). *

[* سأحاول شرح الطريقة بوضوح هنا ، ولكن قد يكون من المفيد جدًا مشاهدة هذه الطريقة موضحة وتنفيذها في الوقت الفعلي ، وهو ما يمكنك القيام به في مقاطع فيديو YouTube التالية ، والتي تغطي أيضًا الحالات غير العادية - على سبيل المثال ، الحالات التي تتداخل فيها الشبكات أو يبدو أنها قد تمت إزالتها (سيتضح قريبًا أن مشكلة تدمير المقامر & # 8217s تتضمن مسيرة عشوائية غير منتظمة):

& # 8220Math Principles: Paths on a Grid: Two Approaches & # 8221 من خلال readrocks88: تتخطى الفكرة الأساسية جيدًا في ما يزيد قليلاً عن خمس دقائق.

& # 8220Math 12 أبريل 7 U4L5 Pascal and Pathways & # 8221 بواسطة Kelvin Dueck: مقطع فيديو أطول (حوالي 37 دقيقة) ينتقل أكثر إلى Pascal & # 8217s Triangle.

& # 8220 الأسرار الرياضية لمثلث باسكال & # 8211 وجدي محمد راتيمي & # 8221 بواسطة TED-ed: هذا الفيديو القصير (أقل من خمس دقائق) ليس & # 8217t حول المسارات على شبكة ، لكنه يعطي نظرة عامة لطيفة عن مثلث باسكال & # 8217s ( يتضمن القليل عن التوسع ذي الحدين ويشير إلى أن باسكال لم يكن بأي حال من الأحوال أول من اكتشف هذه الأداة الرياضية).

سيؤدي البحث إلى العديد من البرامج التعليمية الأخرى.]

كل ما نحتاج إلى القيام به هو حساب عدد الطرق للوصول إلى كل نقطة ، حتى وصلنا & # 8217 إلى النقطة الأخيرة. هنا مرة أخرى هو نفس الرسم التخطيطي من 2 إلى 4 في أربع خطوات ، مع تضمين طريقة العد (إذا لم يوضح هذا الأمر الأشياء على الفور ، نأمل أن يصبح أكثر وضوحًا عندما ننظر إلى المزيد من الأمثلة):

الآن دع & # 8217s نطبق هذا للحصول على من 2 إلى 4 في ست خطوات. لقد حسبت بالفعل أن هذا هو 6 درجة مئوية2 = 15. عند رسم مثل هذا المخطط ، أود أن أبدأ بالمسار الذي يتضمن أدنى موقع يمكنني الوصول إليه - هنا هذا & # 8217s 0 ، حيث يمكننا الانتقال من 2 إلى 1 إلى 0 إلى 1 إلى 2 t0 3 إلى 4 - جنبًا إلى جنب مع أعلى موقع يمكننا الوصول إليه ، وهو 6 (أي من 2 إلى 3 إلى 4 إلى 5 إلى 6 إلى 5 إلى 4):

ثم أقوم بملء بقية الشبكة. هنا & # 8217s الشبكة بأكملها ، مع ملء الأرقام للإشارة إلى المسار إلى كل نقطة:

3.2 المشي العشوائي إلى خراب مقامر & # 8217s: عد المسارات على شبكة غير منتظمة

نحن مستعدون أخيرًا للعودة إلى مشكلة تدمير مقامرنا. كما أشرت أعلاه ، فإن المشكلة التي نهتم بها لا تنتج شبكة منتظمة ، بسبب شروط حدودنا.

أذكر أننا بدأنا ن رقائق (على سبيل المثال ، في الموقع ن على شبكتنا) ، وتنتهي اللعبة عندما نصل إلى 2ن أو 0. بمعنى آخر ، إذا بدأنا من 2 فيشة ، تنتهي اللعبة عندما يكون لدينا 4 فيشات أو 0 فيشات. دعونا نركز الآن فقط على ما يعنيه هذا للفوز. في الواقع ، سأقوم فقط بتمثيل الفوز في هذه المخططات (وهو أمر يسهل تفسيره لاحقًا ، عند حساب التوقعات الإجمالية).

إذا انتهت اللعبة عندما وصلنا إلى الرقم 4 ، فهذا يعني أن لدينا شرطًا حدوديًا ليس لدينا مع مسارات عشوائية أساسية. على سبيل المثال ، انظر مرة أخرى إلى الانتقال من 2 إلى 4 في أربع خطوات. يمكننا اتخاذ مسار من 2 إلى 3 إلى 4 إلى 5 إلى 4: أو من 2 إلى 3 إلى 4 إلى 3 إلى 4 أو من 2 إلى 1 إلى 2 إلى 3 إلى 4 أو من 2 إلى 3 إلى 2 إلى 3 إلى 4. لكن اثنين فقط من هؤلاء صالحين ، لأنه بمجرد أن تصل إلى 4 ، تنتهي اللعبة! لقد شطبت المسارات غير الصالحة. إذا لم نقم بإزالتها ، فإننا نفرط في العد. وإذا كنا نتطلع إلى الانتقال من 2 إلى 4 في ست خطوات (أو منعطفات ، حقًا) ، فسيتعين علينا إزالة أي شيء يصل إلى 0 أو 4 قبل الدور رقم ستة.

ما يجب القيام به؟ أولاً ، لنعد خطوة إلى الوراء لتذكير أنفسنا بما نبحث عنه. نحن نحاول صياغة جزء بسيط من التوقعات ، كما هو موضح في سيناريوهات النرد أعلاه. هذا يعني أنه ، للبدء بشريحتين ، نحتاج إلى ملء التالي (مرة أخرى ، أنا أركز الآن فقط على الفوز بالتذكير بأن & # 8220winning & # 8221 هنا يعني & # 8220 الحصول من ن إلى 2ن في هذه الحالة بالذات ، هذا يعني الانتقال من 2 إلى 4 شرائح):

[2 × (احتمال الفوز في منعطفين)] + [4 × (احتمالية الفوز بأربع أدوار)] + [6 × (احتمالية الفوز بستة أدوار)] +…. إلى الأبد (لا يمكننا تقييد المدة التي ستستغرقها اللعبة ، ويمكن إثبات أن اللعبة فازت & # 8217t تدوم إلى الأبد ، لكن لا داعي للقلق بشأن هذا هنا.)

كل ما نفقده هو احتمال الفوز في كل عدد من الأدوار. هذا ينقسم إلى (عدد المسارات للفوز في العديد من المنعطفات) × (1/2 إلى قوة عدد الدورات). من أين جاء 1/2؟ سهل: احتمال الفوز بالدور هو 1/2. لذا فإن احتمال الفوز في منعطفين هو (عدد المسارات للفوز في منعطفين) × (1/2) 2. كل هذا مشابه لما رأيناه أعلاه مع احتمال جمع نردتين ملفوفتين لرقم معين.

يجب أن أشير أيضًا إلى أنه لأكثر من دورتين ، سيظل 1/2 مرفوعًا إلى عدد الدورات ، لأن هناك أيضًا احتمال 1/2 لفقدان دورة معينة. على سبيل المثال ، فإن احتمال الفوز بدورتين ثم خسارة أربعة أدوار هو (1/2) 6 وهذا بالطبع سيعمل بشكل مختلف إذا كان احتمال الفوز والخسارة ليس هو نفسه! (انظر أدناه لمزيد من المعلومات حول هذه النقطة.)

هذا في الاعتبار ، ينتهي بنا الأمر مع:

[(2) × (عدد المسارات التي تفوز بدورين) × (1/2) 2 ] + [(4) × (عدد المسارات التي تفوز بأربعة أدوار) × (1/2) 4 ] + [(6) × (عدد المسارات التي تفوز بستة أدوار) × (1/2) 6] +…. وما بعده مع هذا النمط.

هناك نمط واضح هنا لكل شيء باستثناء عدد المسارات للفوز في عدد معين من المنعطفات. دعونا نجد هذا النمط. سأقوم بعمل رسم تخطيطي للفوز بحركتين ، وأربع حركات ، وست حركات ، وثماني حركات ، وسأعد مسارات كل منها تمامًا كما فعلت مع الشبكات العادية أعلاه.

هناك طريقة واحدة (أو مسار) للفوز (على سبيل المثال ، للانتقال من 2 إلى 4) في حركتين (لاحظ أن مسار الخسارة متماثل مع مسار الفوز I & # 8217m لا يشمل المسارات الخاسرة هنا ، ولكن هذه الحقيقة ستفعل ساعدنا في حساب مسارات اللعبة & # 8217s تنتهي لاحقًا):

هناك مساران للفوز بأربع أدوار:

هناك أربعة مسارات للفوز في ستة أدوار:

هناك نمط آخذ في الظهور. يتم إضافة مربع جديد في كل مرة نزيد فيها عدد المنعطفات. وبالنسبة لأي شيء أكبر من أربع حركات ، فإن هذا المربع الجديد يتعارض مع ما فعلناه في الرسم البياني السابق وحدتين إلى اليمين. من الآمن أن نفترض أن هذا سيستمر في الحدوث مرارًا وتكرارًا ، لكن دعنا نفعل المزيد.

Notice, too, that we are essentially bouncing around between 1 and 3 before crossing over to 4 for the win. In other words, if we pass 3, we win (and if we pass 1, we lose). I’ll demarcate those boundaries here as well:

I’d say the patter is now well established. In fact, we could have just mapped out several steps at once in order to see the pattern. Here is a diagram for winning in up to ten turns (or “moves,” as I put it in the diagram):

We now have 1 way to win in two turns 2 ways to win in four turns 4 ways to win in six turns 8 ways to win in eight turns 16 ways to win in ten turns. The ways to win are doubling, which is to say we have this sequence: 2 0 ways to win in two moves, then 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , … and so on.

This makes it easy to find expectation with a calculator. Recall what we are missing:

[(2) × (number of paths that win in two turns) × (1/2) 2 ] + [(4) × (number of paths that win in four turns) × (1/2) 4 ] + [(6) × (number of paths that win in six turns) × (1/2) 6 ] + …. and onward with this pattern.

[(2) × (2 0 ) × (1/2) 2 ] + [(4) × (2 1 ) × (1/2) 4 ] + [(6) × (2 2 ) × (1/2) 6 ] + ….

I’m going to rewrite this which different bracketing (and a few more terms) in order to make the probabilities more salient:

(2 × [2 0 × (1/2) 2 ]) + (4 × [2 1 × (1/2) 4 ]) + (6 × [2 2 × (1/2) 6 ]) + (8 × [2 3 × (1/2) 8 ]) + (10 × [2 4 × (1/2) 10 ]) + (12 × [2 5 × (1/2) 12 ]) + …

The probabilities (i.e., the weights for our average) are in square brackets. The probabilities alone continue indefinitely in the form 2 أنا × (1/2) 2+2أنا ، أين أنا starts at 0, which is one less than the turn number. Just as with the dice examples above, these probability are multiplied by the number of turns involved: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

Since the power to which we raise 1/2 is equal to the number of turns involved, we can represent the number of turns with (2+2أنا).

I’m probably making this more complicated than it needs to be. The upshot is that we end up with a final expression of: (2+2أنا) × 2 أنا × (1/2) 2+2أنا . To add this up for large أنا‘s, simply pop this into a sigma calculator (if you need a refresher on sigma notation, see this page at Math Is Fun calculator-wise, I like Desmos):

I constructed it so that the number of turns is on the left and the probability (slightly simplified) is on the right. Recall that we know the final answer should be 2 2 , or 4. The answer here is 2 because we’ve only included the number of ways to win. Losing here is symmetrical to winning, so all we need to do now is double the number of ways to win this updates our probabilities to reflect the number of ways to win or lose, which effectively doubles the final result of the above expectation, which yields 4. And that’s that.

When each player has two chips, we expect the game to last about four turns on average.

(Note that if we remove the (2+2i) from the expression, the series converges to 1, which is something we require of a valid probability distribution. That is, the probability that you win or lose in 2 or 4 or 6 or 8 or so on turns is 1:

This time I put the 2 out front to account for both winning and losing. This approach also works for the series considered below.)

Interestingly, we get the same pattern when starting with three chips, just replace the 2 with 3. I’ll go right to the extended diagram this time:

Pop this into a sigma calculator with appropriate adjustments (and multiplying by 2):

As expected, we get ن 2 , which in this case is 3 2 = 9.

But look at what happens when ن = 4:

This is a new pattern: 1, 4, 14, 48, 164, 560, 1912 (I calculated the 1912 in order to refine the search I’m about to do).

To figure out what sequence this is, I’ll pop it into The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, which yields a sequence that starts: 1, 4, 14, 48, 164, 560, 1912, 6528, …

This is sequence number A007070, which can be found here with discussion and formulas and whatnot (also included is a nearly identical sequence, but with an extra 1 at the beginning). I’ll go ahead and pop a formula for this sequence into our sigma notation as well, just for comparison’s sake.

Let’s express the sequence as a function F:

This gives: F(0) = 1 F(1) = 4 F(2) = 14 F(3) = 48 … and so on. وبالتالي، F(i) will be used in the sigma notation instead of 2 أنا or 3 أنا :

As assumed, we get 4 2 = 16. The main point, however, is that we can’t use the same setup for ن = 4 that we used for ن = 2 or 3. This is also true for ن = 5, which I’ll graph for up to 15 turns:

Here we get: 1, 5, 20, 75, 275, 1000. A search for this at eois brings up sequence number A030191, which is actually the same as sequence A093131, but without the starting number of 0 both sequences can be found here. I won’t bother with popping this one into our sigma notation.

It’s clear by now that there’s no obvious pattern (to me) that we can use by this method to answer the question at hand, though it’s been instructive (to me) to work through the diagrams to more intuitively understand the problem and to get practice with counting and alternative ways of modeling such problems, etc. It has also answered the question of why we can’t solve it in the same way as we would a basic random walk: we cannot pass 1 or 2ن-1 until the next-to-last move before game’s end, which leads to over-counting when using standard methods. Still, it’s a pretty deterministic and well-controlled setup—and thus, good practice but also a nice reminder of how much messier and complex real-world situations must get.

At any rate, while I’m tempted to see how much more I can pull out of the above patterns, I’ll move on to finally solving the problem.


Give the oxidation number of bromine in the following:(a) KBr(b) BrF₃(c) HBrO₃(d) CBr₄

Q: Enough of a monoprotic acid is dissolved in water to produce a 1.74 M solution. The pH of the result.

A: Let, HA be the monoprotic acid. Given, concentration of monoprotic acid, [HA] = 1.74 M and, pH =.

Q: The acid-dissociation constant for chlorous acid 1HClO22 is 1.1 * 10-2. Calculate the concentrations.

A: Given: Initial Concentration of HClO2 = 0.0125 M

Q: Label attached compound as chiral or achiral.

Q: What orbitals are used to form each bond in methanol, CH3OH?

A: The orbitals are used to form each bond in methanol, CH3OH has to be determined

Q: The reaction 2 NO2 ¡ 2 NO + O2 has the rate constant k = 0.63 M - 1s - 1. (a) Based on the units for.

A: The given reaction is, 2 NO2----&gt2 NO + O2 Now, we know that the relationship o.

Q: A graduate student tried to make o-fluorophenylmagnesium bromide by adding magnesium to an ether sol.

A: Diel’s alder reaction- The conjugated diene(alkene) and dienophile(may be alkene or alkyne) reacts .

Q: Write the propagation steps for the addition of HBr to 1-methylcyclohexene in the presence of a pero.

A: The first part of the propagation steps for the addition of HBr to 1-methylcyclohexene in the presen.

Q: The pKa values of a compound with two ionizable groups are pK1 =4.10 and pK2 between 7 and 10. A bio.

A: The pK2 is to be calculated.

Q: What mass of glycerin (C3H8O3), a nonelectrolyte, must be dissolved in 200.0 g water to give a solut.

A: Given Data: Molar mass of glycerin (C3H8O3)= M =92.09 gm/mol Mass of water = W1=200.0 g freezi.


(a) Interpretation: The value of ξ , if 3 .5 mol of Al reacts to make products, is to be calculated. Concept introduction: The extent of the reaction is a physical quantity that measures the progress of the chemical reaction. It is represented by ξ . The value of extent coefficient will remain same throughout the chemical reaction. The value of ξ is given by the expression. ξ = n i − n i , 0 v i Where, • ξ is the extent of the reaction. • n i is the number of moles of i-th chemical species at time t . • n i , 0 is the number of moles of i-th chemical species at time t = 0 . • v i is the stoichiometric coefficient.

The value of ξ , if 3 .5   mol of Al reacts to make products, is to be calculated.

Concept introduction:

The extent of the reaction is a physical quantity that measures the progress of the chemical reaction. It is represented by ξ . The value of extent coefficient will remain same throughout the chemical reaction.

The value of ξ is given by the expression.

• ξ is the extent of the reaction.

• n i is the number of moles of i-th chemical species at time t .

• n i , 0 is the number of moles of i-th chemical species at time t = 0 .

• v i is the stoichiometric coefficient.

Interpretation:

Whether the possible value for ξ is equal to 5 for the given reaction is to be stated. The reason for the same is to be stated.

Concept introduction:

The extent of the reaction is a physical quantity that measures the progress of the chemical reaction. It is represented by ξ . The value of extent coefficient will remain same throughout the chemical reaction.

The value of ξ is given by the expression.

• ξ is the extent of the reaction.

• n i is the number of moles of i-th chemical species at time t .


CHAPTER V Solar and Terrestrial Radiation

This chapter discusses the solar and terrestrial radiation. The source of solar energy is believed to be fusion of four hydrogen atoms to form one helium atom, and the slight decrease in mass which occurs in this reaction accounts for the energy released in the solar interior. This energy is transferred by radiation and convection to the surface, and is then emitted as both electromagnetic and particulate radiation. The distribution of electromagnetic radiation emitted by the Sun approximates black-body radiation for a temperature of about 6000 K. Even though solar radiation is attenuated by scattering and absorption in passing through the atmosphere, the irradiance of solar radiation at the top of the atmosphere, the solar constant, may be calculated from measurements made at the Earth's surface. Satellite instruments provide measurements of long-wave radiation from the Earth and atmosphere and measurements of direct solar radiation and solar radiation reflected from the Earth and atmosphere. The flux of solar radiation per unit horizontal area at the top of the atmosphere depends strongly on zenith angle of the Sun and much less strongly on the variable distance of the Earth from the Sun.


الملخص

The data from published studies were used to derive systematic relationships between learning outcomes and air quality in classrooms. Psychological tests measuring cognitive abilities and skills, school tasks including mathematical and language-based tasks, rating schemes, and tests used to assess progress in learning including end-of-year grades and exam scores were used to quantify learning outcomes. Short-term sick leave was also included because it may influence progress in learning. Classroom indoor air quality was characterized by the concentration of carbon dioxide (CO2). For psychological tests and school tasks, fractional changes in performance were regressed against the average concentrations of CO2 at which they occurred all data reported in studies meeting the inclusion criteria were used to derive the relationship, regardless of whether the change in performance was statistically significant at the examined levels of classroom air quality. The analysis predicts that reducing CO2 concentration from 2,100 ppm to 900 ppm would improve the performance of psychological tests and school tasks by 12% with respect to the speed at which the tasks are performed and by 2% with respect to errors made. For other learning outcomes and short-term sick leave, only the relationships published in the original studies were available. They were therefore used to make predictions. These relationships show that reducing the CO2 concentration from 2,300 ppm to 900 ppm would improve performance on the tests used to assess progress in learning by 5% and that reducing CO2 from 4,100 ppm to 1,000 ppm would increase daily attendance by 2.5%. These results suggest that increasing the ventilation rate in classrooms in the range from 2 L/s-person to 10 L/s-person can bring significant benefits in terms of learning performance and pupil attendance no data are available for higher rates. The results provide a strong incentive for improving classroom air quality and can be used in cost-benefit analyses.


Whether the value of the equilibrium constant remains the same or different when 0.50 atm of Krypton were part of the given equilibrium reaction and volume of the reaction remains the same, is to be predicted. Whether the given case is different or not from the condition, when volume changes, is to be predicted. Concept introduction: When any reaction is at equilibrium then a constant expresses a relationship between the reactant side and the product side. This constant is known as equilibrium constant. It is denoted by K . The equilibrium constant is independent of the initial amount of the reactant and product.

Whether the value of the equilibrium constant remains the same or different when 0.50   atm of Krypton were part of the given equilibrium reaction and volume of the reaction remains the same, is to be predicted. Whether the given case is different or not from the condition, when volume changes, is to be predicted.

Concept introduction:

When any reaction is at equilibrium then a constant expresses a relationship between the reactant side and the product side. This constant is known as equilibrium constant. It is denoted by K . The equilibrium constant is independent of the initial amount of the reactant and product.


Ordinary Differential Equations 9781461436171, 9781461436188, 1461436176

Table of contents :
Preface. Page 6
Contents. Page 10
List of Tables. Page 14
1.1 An Introduction to Differential Equations. Page 15
1.2 Direction Fields. Page 31
1.3 Separable Differential Equations. Page 41
1.4 Linear First Order Equations. Page 59
1.5 Substitutions. Page 77
1.6 Exact Equations. Page 87
1.7 Existence and Uniqueness Theorems. Page 99
2.1 Laplace Transform Method: Introduction. Page 115
2.2 Definitions, Basic Formulas, and Principles. Page 125
2.3 Partial Fractions: A Recursive Algorithm for Linear Terms. Page 143
2.4 Partial Fractions: A Recursive Algorithm for IrreducibleQuadratics. Page 157
2.5 Laplace Inversion. Page 165
2.6 The Linear Spaces Eq: Special Cases. Page 181
2.7 The Linear Spaces Eq: The General Case. Page 193
2.8 Convolution. Page 201
2.9 Summary of Laplace Transforms and Convolutions. Page 213
Chapter3 Second Order Constant Coefficient Linear Differential Equations. Page 217
3.1 Notation, Definitions, and Some Basic Results. Page 219
3.2 Linear Independence. Page 231
3.3 Linear Homogeneous Differential Equations. Page 243
3.4 The Method of Undetermined Coefficients. Page 251
3.5 The Incomplete Partial Fraction Method. Page 259
3.6 Spring Systems. Page 267
3.7 RCL Circuits. Page 281
Chapter4 Linear Constant Coefficient Differential Equations. Page 288
4.1 Notation, Definitions, and Basic Results. Page 290
4.2 Linear Homogeneous Differential Equations. Page 298
4.3 Nonhomogeneous Differential Equations. Page 306
4.4 Coupled Systems of Differential Equations. Page 314
4.5 System Modeling. Page 326
Chapter5 Second Order Linear Differential Equations. Page 343
5.1 The Existence and Uniqueness Theorem. Page 345
5.2 The Homogeneous Case. Page 353
5.3 The Cauchy–Euler Equations. Page 361
5.4 Laplace Transform Methods. Page 367
5.5 Reduction of Order. Page 379
5.6 Variation of Parameters. Page 385
5.7 Summary of Laplace Transforms. Page 393
Chapter6 Discontinuous Functions and the Laplace Transform. Page 394
6.1 Calculus of Discontinuous Functions. Page 396
6.2 The Heaviside Class H. Page 410
6.3 Laplace Transform Method for f(t)H. Page 426
6.4 The Dirac Delta Function. Page 438
6.5 Convolution. Page 450
6.6 Periodic Functions. Page 464
6.7 First Order Equations with Periodic Input. Page 476
6.8 Undamped Motion with Periodic Input. Page 484
6.9 Summary of Laplace Transforms. Page 496
Chapter7 Power Series Methods. Page 498
7.1 A Review of Power Series. Page 500
7.2 Power Series Solutions About an Ordinary Point. Page 516
7.3 Regular Singular Points and the Frobenius Method. Page 530
7.4 Application of the Frobenius Method:Laplace Inversion Involving Irreducible Quadratics. Page 550
7.5 Summary of Laplace Transforms. Page 566
Chapter8 Matrices. Page 567
8.1 Matrix Operations. Page 569
8.2 Systems of Linear Equations. Page 579
8.3 Invertible Matrices. Page 603
8.4 Determinants. Page 615
8.5 Eigenvectors and Eigenvalues. Page 629
9.1 Introduction. Page 639
9.2 Linear Systems of Differential Equations. Page 643
9.3 The Matrix Exponential and Its Laplace Transform. Page 659
9.4 Fulmer's Method for Computing eAt. Page 667
9.5 Constant Coefficient Linear Systems. Page 675
9.6 The Phase Plane. Page 691
9.7 General Linear Systems. Page 711
A.1 The Laplace Transform is Injective. Page 732
A.2 Polynomials and Rational Functions. Page 734
A.3 Bq Is Linearly Independent and Spans Eq. Page 736
A.4 The Matrix Exponential. Page 741
A.5 The Cayley–Hamilton Theorem. Page 742
AppendixB Selected Answers. Page 745
C.1 Laplace Transforms. Page 793
C.2 Convolutions. Page 797
Symbol Index. Page 799
Index. Page 801

Citation preview

Undergraduate Texts in Mathematics

Undergraduate Texts in Mathematics

Series Editors: Sheldon Axler San Francisco State University, San Francisco, CA, USA Kenneth Ribet University of California, Berkeley, CA, USA

Advisory Board: Colin Adams, Williams College, Williamstown, MA, USA Alejandro Adem, University of British Columbia, Vancouver, BC, Canada Ruth Charney, Brandeis University, Waltham, MA, USA Irene M. Gamba, The University of Texas at Austin, Austin, TX, USA Roger E. Howe, Yale University, New Haven, CT, USA David Jerison, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA, USA Jeffrey C. Lagarias, University of Michigan, Ann Arbor, MI, USA Jill Pipher, Brown University, Providence, RI, USA Fadil Santosa, University of Minnesota, Minneapolis, MN, USA Amie Wilkinson, University of Chicago, Chicago, IL, USA

Undergraduate Texts in Mathematics are generally aimed at third- and fourthyear undergraduate mathematics students at North American universities. These texts strive to provide students and teachers with new perspectives and novel approaches. The books include motivation that guides the reader to an appreciation of interrelations among different aspects of the subject. They feature examples that illustrate key concepts as well as exercises that strengthen understanding.

For further volumes: http://www.springer.com/series/666

William A. Adkins • Mark G. Davidson

Ordinary Differential Equations

William A. Adkins Department of Mathematics Louisiana State University Baton Rouge, LA USA

Mark G. Davidson Department of Mathematics Louisiana State University Baton Rouge, LA USA

ISSN 0172-6056 ISBN 978-1-4614-3617-1 ISBN 978-1-4614-3618-8 (eBook) DOI 10.1007/978-1-4614-3618-8 Springer New York Heidelberg Dordrecht London Library of Congress Control Number: 2012937994 Mathematics Subject Classification (2010): 34-01 © Springer Science+Business Media New York 2012 This work is subject to copyright. All rights are reserved by the Publisher, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed. Exempted from this legal reservation are brief excerpts in connection with reviews or scholarly analysis or material supplied specifically for the purpose of being entered and executed on a computer system, for exclusive use by the purchaser of the work. Duplication of this publication or parts thereof is permitted only under the provisions of the Copyright Law of the Publisher’s location, in its current version, and permission for use must always be obtained from Springer. Permissions for use may be obtained through RightsLink at the Copyright Clearance Center. Violations are liable to prosecution under the respective Copyright Law. The use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this publication does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use. While the advice and information in this book are believed to be true and accurate at the date of publication, neither the authors nor the editors nor the publisher can accept any legal responsibility for any errors or omissions that may be made. The publisher makes no warranty, express or implied, with respect to the material contained herein. Printed on acid-free paper Springer is part of Springer Science+Business Media (www.springer.com)

This text is intended for the introductory three- or four-hour one-semester sophomore level differential equations course traditionally taken by students majoring in science or engineering. The prerequisite is the standard course in elementary calculus. Engineering students frequently take a course on and use the Laplace transform as an essential tool in their studies. In most differential equations texts, the Laplace transform is presented, usually toward the end of the text, as an alternative method for the solution of constant coefficient linear differential equations, with particular emphasis on discontinuous or impulsive forcing functions. Because of its placement at the end of the course, this important concept is not as fully assimilated as one might hope for continued applications in the engineering curriculum. Thus, a goal of the present text is to present the Laplace transform early in the text, and use it as a tool for motivating and developing much of the remaining differential equation concepts for which it is particularly well suited. There are several rewards for investing in an early development of the Laplace transform. The standard solution methods for constant coefficient linear differential equations are immediate and simplified. We are able to provide a proof of the existence and uniqueness theorems which are not usually given in introductory texts. The solution method for constant coefficient linear systems is streamlined, and we avoid having to introduce the notion of a defective or nondefective matrix or develop generalized eigenvectors. Even the Cayley–Hamilton theorem, used in Sect. 9.6, is a simple consequence of the Laplace transform. In short, the Laplace transform is an effective tool with surprisingly diverse applications. Mathematicians are well aware of the importance of transform methods to simplify mathematical problems. For example, the Fourier transform is extremely important and has extensive use in more advanced mathematics courses. The wavelet transform has received much attention from both engineers and mathematicians recently. It has been applied to problems in signal analysis, storage and transmission of data, and data compression. We believe that students should be introduced to transform methods early on in their studies and to that end, the Laplace transform is particularly well suited for a sophomore level course in differential v

equations. It has been our experience that by introducing the Laplace transform near the beginning of the text, students become proficient in its use and comfortable with this important concept, while at the same time learning the standard topics in differential equations. Chapter 1 is a conventional introductory chapter that includes solution techniques for the most commonly used first order differential equations, namely, separable and linear equations, and some substitutions that reduce other equations to one of these. There are also the Picard approximation algorithm and a description, without proof, of an existence and uniqueness theorem for first order equations. Chapter 2 starts immediately with the introduction of the Laplace transform as an integral operator that turns a differential equation in t into an algebraic equation in another variable s. A few basic calculations then allow one to start solving some differential equations of order greater than one. The rest of this chapter develops the necessary theory to be able to efficiently use the Laplace transform. Some proofs, such as the injectivity of the Laplace transform, are delegated to an appendix. Sections 2.6 and 2.7 introduce the basic function spaces that are used to describe the solution spaces of constant coefficient linear homogeneous differential equations. With the Laplace transform in hand, Chap. 3 efficiently develops the basic theory for constant coefficient linear differential equations of order 2. For example, the homogeneous equation q.D/y D 0 has the solution space Eq that has already been described in Sect. 2.6. The Laplace transform immediately gives a very easy procedure for finding the test function when teaching the method of undetermined coefficients. Thus, it is unnecessary to develop a rule-based procedure or the annihilator method that is common in many texts. Chapter 4 extends the basic theory developed in Chap. 3 to higher order equations. All of the basic concepts and procedures naturally extend. If desired, one can simultaneously introduce the higher order equations as Chap. 3 is developed or very briefly mention the differences following Chap. 3. Chapter 5 introduces some of the theory for second order linear differential equations that are not constant coefficient. Reduction of order and variation of parameters are topics that are included here, while Sect. 5.4 uses the Laplace transform to transform certain second order nonconstant coefficient linear differential equations into first order linear differential equations that can then be solved by the techniques described in Chap. 1. We have broken up the main theory of the Laplace transform into two parts for simplicity. Thus, the material in Chap. 2 only uses continuous input functions, while in Chap. 6 we return to develop the theory of the Laplace transform for discontinuous functions, most notably, the step functions and functions with jump discontinuities that can be expressed in terms of step functions in a natural way. The Dirac delta function and differential equations that use the delta function are also developed here. The Laplace transform works very well as a tool for solving such differential equations. Sections 6.6–6.8 are a rather extensive treatment of periodic functions, their Laplace transform theory, and constant coefficient linear differential equations with periodic input function. These sections make for a good supplemental project for a motivated student.

Chapter 7 is an introduction to power series methods for linear differential equations. As a nice application of the Frobenius method, explicit Laplace inversion formulas involving rational functions with denominators that are powers of an irreducible quadratic are derived. Chapter 8 is primarily included for completeness. It is a standard introduction to some matrix algebra that is needed for systems of linear differential equations. For those who have already had exposure to this basic algebra, it can be safely skipped or given as supplemental reading. Chapter 9 is concerned with solving systems of linear differential equations. By the use of the Laplace transform, ˚ it is possible to give an explicit formula for the matrix exponential eAt D L 1 .sI A/ 1 that does not involve the use of eigenvectors or generalized eigenvectors. Moreover, we are then able to develop an efficient method for computing eAt known as Fulmer’s method. Another thing which is somewhat unique is that we use the matrix exponential in order to solve a constant coefficient system y 0 D Ay C f .t/, y.t0 / D y0 by means of an integrating factor. An immediate consequence of this is the existence and uniqueness theorem for higher order constant coefficient linear differential equations, a fact that is not commonly proved in texts at this level. The text has numerous exercises, with answers to most odd-numbered exercises in the appendix. Additionally, a student solutions manual is available with solutions to most odd-numbered problems, and an instructors solution manual includes solutions to most exercises.

Chapter Dependence The following diagram illustrates interdependence among the chapters.