مقالات

7.2: صيغة التمثيل - الرياضيات


في ما يلي نفترض أن ( Omega ) ، الوظيفة ( phi ) التي تظهر في تعريف الحل الأساسي والوظيفة المحتملة (u ) تعتبر منتظمة بدرجة كافية بحيث تكون الحسابات التالية منطقية ، انظر [6] للتعميمات. هذا هو الحال إذا كان ( Omega ) مقيدًا ، ( جزئي أوميغا ) في (C ^ 1 ) ، ( phi in C ^ 2 ( overline { Omega}) ) لكل ثابت (y in Omega ) و (u in C ^ 2 ( overline { Omega}) ).


الشكل 7.2.1: تدوينات هوية جرين

نظرية 7.1. لنكن () وظيفة محتملة و ( جاما ) حلاً أساسيًا ، ثم لكل ثابت (ص في أوميغا )
$$
u (y) = int _ { جزئي Omega} يسار ( gamma (x، y) frac { جزئي u (x)} { جزئي n_x} -u (x) frac { جزئي جاما (س ، ص)} { جزئي n_x} يمين) dS_x.
$$

دليل. دع (B_ rho (y) المجموعة الفرعية Omega ) كرة. اضبط ( Omega_ rho (y) = Omega setminus B_ rho (y) ). انظر الشكل 7.2.2 للحصول على الترميزات.

الشكل 7.2.2: تدوينات النظرية 7.1

من صيغة Green ، لـ (u، v in C ^ 2 ( overline { Omega}) ) ،
$$
int _ { Omega_ rho (y)} (v triangle uu triangle v) dx = int _ { جزئي Omega_ rho (y)} left (v frac { جزئي u} { جزئي n} -u frac { جزئي v} { جزئي n} يمين) dS
$$
نحصل عليها ، إذا كان (v ) حلاً أساسيًا و (u ) وظيفة محتملة ،
$$
int _ { جزئي Omega_ rho (y)} يسار (v frac { جزئي u} { جزئي n} -u frac { جزئي v} { جزئي n} يمين) dS = 0.
$$
وبالتالي علينا أن ننظر
ابدأ {eqnarray *}
int _ { جزئي أوميغا _ { rho} (y)} v frac { جزئي u} { جزئي n} dS & = & int _ { جزئي Omega} v frac { جزئي u} { جزئي n} dS + int _ { جزئي B_ rho (y)} v frac { جزئي u} { جزئي n} dS
int _ { جزئي أوميغا _ { rho} (y)} u frac { جزئي v} { جزئي n} dS & = & int _ { جزئي أوميغا} u frac { جزئي v} { جزئي n} dS + int _ { جزئي B_ rho (y)} u frac { جزئي v} { جزئي n} dS.
نهاية {eqnarray *}
نحن نقدر التكاملات على ( جزئي B_ rho (y) ):

(أنا)
ابدأ {eqnarray *}
يسار | int _ { جزئي B_ rho (y)} v frac { جزئي u} { جزئي n} dS يمين | & le & M int _ { جزئي B_ rho (y)} | ت | dS
& le & M يسار ( int _ { جزئي B_ rho (y)} s ( rho) dS + C omega_n rho ^ {n-1} right) ،
نهاية {eqnarray *}
أين
ابدأ {eqnarray *}
M & = & M (y) = sup_ {B _ { rho_0} (y)} | جزئي u / جزئي n | ، rho le rho_0 ،
C & = & C (y) = sup_ {x in B _ { rho_0} (y)} | phi (x، y) |.
نهاية {eqnarray *}
من تعريف (s ( rho) ) نحصل على التقدير كـ ( rho to 0 )
ابدأ {المعادلة}
التسمية {ell1}
int _ { part B_ rho (y)} v frac { جزئي u} { جزئي n} dS = يسار { start {array} {r @ { quad: quad} l}
O ( rho | ln rho |) & n = 2
O ( rho) & n ge3.
نهاية {مجموعة} صحيح.
نهاية {المعادلة}

(ii) ضع في اعتبارك الحالة (n ge3 ) ، إذن
ابدأ {eqnarray *}
int _ { جزئي B_ rho (y)} u frac { جزئي v} { جزئي n} dS & = &
frac {1} { omega_n} int _ { part B_ rho (y)} u frac {1} { rho ^ {n-1}} dS + int _ { part B_ rho (y )} u frac { جزئي phi} { جزئي n} dS
& = & frac {1} { omega_n rho ^ {n-1}} int _ { جزئي B_ rho (y)} u dS + O ( rho ^ {n-1})
& = & frac {1} { omega_n rho ^ {n-1}} u (x_0) int _ { جزئي B_ rho (y)} dS + O ( rho ^ {n-1}) ، & = & u (x_0) + O ( rho ^ {n-1}).
نهاية {eqnarray *}
من أجل (x_0 in جزئي B_ rho (y) ).

بدمج هذا التقدير و ( ref {ell1}) ، نحصل على صيغة التمثيل للنظرية.

(صندوق)

اللازمة - النتيجة. عيّن ( phi equiv 0 ) و (r = | x-y | ) في صيغة التمثيل للنظرية 7.1 ، ثم
ابدأ {eqnarray}
التسمية {ell2}
u (y) & = & frac {1} {2 pi} int _ { جزئي Omega} يسار ( ln r frac { جزئي u} { جزئي n_x} -u frac { جزئي ( ln r)} { جزئي n_x} يمين) dS_x ، n = 2 ،
التسمية {ell3}
u (y) & = & frac {1} {(n-2) omega_n} int _ { جزئي Omega} left ( frac {1} {r ^ {n-2}} frac { جزئي u} { جزئي n_x} -u frac { جزئي (r ^ {2-n})} { جزئي n_x} يمين) dS_x ، n ge3.
نهاية {eqnarray}


في بعض الأحيان يتم إعطاؤنا أربع نقاط ويطلب منا التعليق على طبيعة الشكل الرباعي الذي يتكون من خلال الانضمام إليها. لهذا علينا أن نتذكر ما يلي:

  • المستطيل ، إذا كانت الأضلاع المتقابلة متساوية والأقطار متساوية
  • مربع ، إذا كانت جميع جوانبه متساوية والأقطار متساوية
  • متوازي الأضلاع ، إذا كانت الأضلاع المتقابلة متساوية
  • المعين ، إذا كانت جوانبه متساوية.

بيّن أن النقاط أ = (- 3 ، 0) ، ب = (1 ، - 3) ، ج = (4 ، 1) أ = (- 3،0) ، ب = (1 ، -3) ، ج = ( 4،1) أ = (- 3 ، 0) ، ب = (1 ، - 3) ، ج = (4 ، 1) هي رؤوس مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية. أوجد أيضًا مساحة المثلث.

نحن لدينا

AB = (1 - (- 3)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 4 2 + (- 3) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 قبل الميلاد = (4-1) 2 + (1 - (-) 3) /) 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 CA = (4 - (- 3)) 2 + (1 - 0) 2 = 7 2 + 1 2 = 49 + 1 = 50 = 5 2. يبدأ AB & amp = sqrt << (1 - (- 3))> ^ 2 + <(- 3-0)> ^ 2> & amp = sqrt <4 ^ 2 + <(- 3)> ^ 2> & amp = sqrt <16 + 9> & amp = sqrt <25> = 5 BC & amp = sqrt << (4-1)> ^ 2 + <(1 - (- 3) /)> ^ 2> & amp = sqrt <3 ^ 2 + <4> ^ 2> & amp = sqrt <9 + 16> & amp = sqrt <25> = 5 CA & amp = sqrt << (4 - (- 3))> ^ 2 + <(1-0)> ^ 2> & amp = sqrt <7 ^ 2 + <1> ^ 2> & amp = الجذر التربيعي <49 + 1> & amp = sqrt <50> = 5 sqrt <2>. نهاية أ ب ب ج ج = (1 - (- 3)) 2 + (- 3 - 0) 2

​ = 4 2 + ( − 3 ) 2

​ = 1 6 + 9

​ = 2 5

​ = 5 = ( 4 − 1 ) 2 + ( 1 − ( − 3 ) / ) 2

​ = 3 2 + 4 2

​ = 9 + 1 6

​ = 2 5

​ = 5 = ( 4 − ( − 3 ) ) 2 + ( 1 − 0 ) 2

​ = 7 2 + 1 2

​ = 4 9 + 1

​ = 5 0

​ = 5 2

​ . ​

بما أن أ ب = ب ج ، أب = ب ج ، أ ب = ب ج ، فإن المثلث متساوي الساقين.
علاوة على ذلك ، بما أن أ ب 2 + ب ج 2 = 5 2 + 5 2 = 50 = ج أ 2 ، ^2 + ^2 = 5^2 + 5^2= 50 = ^ 2 ، أ ب 2 + ب ج 2 = 5 2 + 5 2 = 5 0 = ج أ 2 ، إنها زاوية قائمة.

الآن مساحة المثلث هي (مساحة ABC) = 1 2 × A B × B C = 1 2 × 5 × 5 = 12.5. □ ابدأ نص <(مساحة ABC)> & amp = dfrac <1> <2> × AB × BC & amp = dfrac <1> <2> × 5 × 5 & amp = 12.5. _ مربع نهاية (مساحة ABC) = 2 1 × A B × B C = 2 1 × 5 × 5 = 1 2. 5. □

بيّن أن النقاط أ = (2 ، - 2) ، ب = (8 ، 4) ، ج = (5 ، 7) ، د = (- 1 ، 1) أ = (2 ، -2) ، ب = (8 ، 4)، C = (5،7)، D = (- 1،1) A = (2، - 2)، B = (8، 4)، C = (5، 7)، D = (- 1 ، 1) هي رؤوس المستطيل. أوجد أيضًا مساحة المستطيل.

لدينا AB = (8-2) 2 + (4 + 2) 2 = 72 = 6 2 ق.م = (5-8) 2 + (7-4) 2 = 18 = 3 2 CD = (- 1-5) 2 + (1-7) 2 = 72 = 6 2 DA = (2 + 1) 2 + (- 2-1) 2 = 18 = 3 2 ، ابدأ AB = sqrt << (8-2)> ^ 2 + <(4 + 2)> ^ 2> & amp = sqrt <72> & amp = 6 sqrt <2> BC = sqrt << (5-8)> ^ 2 + <(7-4)> ^ 2> & amp = sqrt <18> & amp = 3 sqrt <2> CD = sqrt << (- 1-5) > ^ 2 + <(1-7)> ^ 2> & amp = sqrt <72> & amp = 6 sqrt <2> DA = sqrt << (2 + 1)> ^ 2 + <( -2-1)> ^ 2> & amp = sqrt <18> & amp = 3 sqrt <2> ، end أ ب = (8-2) 2 + (4 + 2) 2

ب ج = (5-8) 2 + (7-4) 2

ج د = (- 1-5) 2 + (1-7) 2

د أ = (2 + 1) 2 + (- 2-1) 2

​ ​ = 7 2

​ = 6 2

​ = 1 8

​ = 3 2

​ = 7 2

​ = 6 2

​ = 1 8

​ = 3 2

، مما يعني أن A B = C D AB = CD A B = C D و B C = D A ، BC = DA ، B C = D A ، أي A B C D ABCD A B C D شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متساوية.

الآن ، بما أن لدينا A C = (5 - 2) 2 + (7 + 2) 2 = 90 = 3 10 B D = (- 1-8) 2 + (1-4) 2 = 90 = 3 10 ، ابدأ AC = sqrt << (5-2)> ^ 2 + <(7 + 2)> ^ 2> & amp = sqrt <90> & amp = 3 sqrt <10> BD = sqrt << (-1-8)> ^ 2 + <(1-4)> ^ 2> & amp = sqrt <90> & amp = 3 sqrt <10> ، end أ ج = (5 - 2) 2 + (7 + 2) 2

ب د = (- 1-8) 2 + (1-4) 2

​ ​ = 9 0

​ = 3 1 0

​ = 9 0

​ = 3 1 0

، A C = B D ، AC = BD ، A C = B D ، مما يعني أن A B C D ABCD ، A B C D ، شكل رباعي أقطارها متساوية.

إذن ، ب ج د ABCD ب ج د مستطيل ومساحته

(مساحة ABCD) = أ ب × ب ج = 6 2 × 3 2 = 36. □ ابدأ نص <(مساحة ABCD)> & amp = AB × BC & amp = 6 sqrt <2> × 3 sqrt <2> & amp = 36. _ square end (مساحة ABCD) = A B × B C = 6 2

​ × 3 2

​ = 3 6 . □ ​ ​

بيّن أن أربع نقاط في المستوى أ = (- 3 ، 2) ، ب = (- 5 ، - 5) ، ج = (2 ، - 3) ، د = (4 ، 4) أ = (- 3،2) ، ب = (- 5 ، -5) ، ج = (2 ، -3) ، د = (4،4) أ = (- 3 ، 2) ، ب = (- 5 ، - 5) ، ج = (2 ، - 3) ، D = (4 ، 4) شكل معينًا ABCD ABCD ABCD ليس مربعًا. أوجد مساحة المعين.

لدينا AB = (- 5 - (- 3)) 2 + (- 5-2) 2 = 53 قبل الميلاد = (2 - (- 5)) 2 + (- 3 - (- 5) 2 = 53 CD = ( 4-2) 2 + (4 - (- 3)) 2 = 53 DA = (- 3 - 4) 2 + (2-4) 2 = 53 ، ابدأ AB = sqrt << (- 5 - (- 3))> ^ 2 + <(- 5-2)> ^ 2> & amp = sqrt <53> BC = sqrt << (2 - (- 5))> ^ 2 + <(- 3 - (- 5)> ^ 2> & amp = sqrt <53> CD = sqrt << (4-2)> ^ 2 + <(4 - (- 3))> ^ 2> & amp = sqrt <53> DA = sqrt << (- 3-4)> ^ 2 + <(2-4)> ^ 2> & amp = sqrt <53> ، نهاية أ ب = (- 5 - (- 3)) 2 + (- 5 - 2) 2

ب ج = (2 - (- 5)) 2 + (- 3 - (- 5) 2

ج د = (4 - 2) 2 + (4 - (- 3)) 2

د أ = (- 3-4) 2 + (2-4) 2

​ ​ = 5 3

​ = 5 3

​ = 5 3

​ = 5 3

، مما يعني أن A B = B C = C D = D A ، AB = BC = CD = DA ، A B = B C = C D = D A ، أي A B C D ABCD A B C D إما معين أو مربع.

الآن ، حيث لدينا AC = (2 - (- 3)) 2 + (- 3-2) 2 = 25 + 25 = 5 2 BD = (4 - (- 5)) 2 + (4 - (- 5) ) 2 = 81 + 81 = 9 2 ابدأ AC = sqrt << (2 - (- 3))> ^ 2 + <(- 3-2)> ^ 2> & amp = sqrt <25 + 25> & amp = 5 sqrt <2> BD = sqrt << (4 - (- 5))> ^ 2 + <(4 - (- 5))> ^ 2> & amp = sqrt <81 + 81> & amp = 9 sqrt <2> ، نهاية أ ج = (2 - (- 3)) 2 + (- 3-2) 2

ب د = (4 - (- 5)) 2 + (4 - (- 5)) 2

​ ​ = 2 5 + 2 5

​ = 5 2

​ = 8 1 + 8 1

​ = 9 2

، A C ≠ B D ، AC neq BD ، A C  = B D ، مما يدل على أن A B C D ABCD A B C D معين ولكنه ليس مربعًا.

مساحة المعين A B C D ABCD A B C D هي (مساحة المعين ABCD) = 1 2 × A C × B D = 1 2 × 5 2 × 9 2 = 45. □ start نص <(مساحة المعين ABCD)> & amp = dfrac <1> <2> × AC × BD & amp = dfrac <1> <2> × 5 sqrt <2> × 9 sqrt <2> & amp = 45. _ مربع نهاية (مساحة المعين ABCD) = 2 1 × A C × B D = 2 1 × 5 2

​ × 9 2

​ = 4 5 . □ ​ ​


جدول المحتويات

للعثور على عامل المقياس ، عليك أولاً تحديد الاتجاه الذي تقوم بقياسه:

صيغة عامل المقياس
اتجاه المقياس معادلة
مقياس أعلى (من الأصغر إلى الأكبر) = & # xA0 l a r g e r & # xa0 f i g u r e & # xa0 m e a s u r e m e n t s m a l l e r & # xa0 f i g u r e & # xa0 m e a s u r e m e n t
مقياس تحت (من الأكبر إلى الأصغر) = & # xA0 s m a l l e r & # xa0 f i g u r e & # xa0 m e a s u r e m e n t l a r g e r & # xa0 f i g u r e & # xa0 m e a s u r e m e n t

عامل القياس ل زيادة هو نسبة أكبر من 1 . عامل القياس ل تقليص هو نسبة أقل من 1 .

بمجرد أن تعرف الطريقة التي تقيس بها ، تقارن الأضلاع المتناظرة باستخدام المعادلة الأساسية الصحيحة. قارن طول ضلع الكائن الحقيقي بطول الضلع المقابل في التمثيل.

إيجاد عامل المقياس لأشكال متشابهة

هنا نوعان من المثلثات المتشابهة. ما هو عامل المقياس المستخدم لإنشاء الرقم الثاني الأكبر؟

بما أننا نتوسع فوق، نقسم الرقم الأكبر على الرقم الأصغر:

عامل المقياس هو 3. للانتقال من أرجل 12 & # xA0 c m إلى أرجل 36 & # xA0 c m ، نحتاج إلى ضرب 12 & # xA0 c m في 3.

الآن ، دعونا نحاول تقليص حجمها. هنا نوعان من الخماسيات المتشابهة. ما هو عامل المقياس المستخدم لإنشاء الشكل الثاني الأصغر؟

نظرًا لأننا نقوم بتصغير الحجم ، فإننا نقسم أطوال الأضلاع المقابلة (عدد أصغر على رقم أكبر):

عامل القياس هو 1 7. للحصول على الشكل الثاني الأصغر ، نقوم بضرب 21 & # xA0 & # xd7 & # xA0 1 7 ، يستخدم الشكل الموجود على اليمين عامل مقياس 1: 7 أو 1 7 أو o n e - s e v e n t h.

دعنا نلقي نظرة على مثال آخر وقم بالتوسع لأعلى ولأسفل. ضع في اعتبارك هذين المثلثين المتشابهين القائمين بجوانب محددة.

إذا كان لدينا المثلث الأيمن الصغير أعلاه وأردنا تصغيره إلى المثلث الأكبر ، نكتب هذا:

185 37 & # xA0 = & # xA0 5 1 عامل المقياس هو 5: 1

لذلك يتم ضرب كل مقياس خطي آخر في 5.

إذا كان لدينا المثلث الأيمن الكبير وأردنا تصغيره لجعل المثلث الأصغر ، نكتب هذا:

37185 & # xa0 = & # xa0 1 5 عامل المقياس هو 1: 5

لذلك يتم ضرب كل مقياس خطي آخر في 1 5 أو مقسومًا على 5


المتوالية العددية

ان المتوالية العددية هي سلسلة من الأرقام بحيث يكون الفرق بين أي عضوين متتاليين ثابتًا.

على سبيل المثال ، التسلسل 1 ، 2 ، 3 ، 4 ،. هو تقدم حسابي مع وجود فرق مشترك 1.

المثال الثاني: التسلسل 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11. هو تقدم حسابي
مع الاختلاف المشترك 2.
المثال الثالث: التسلسل 20 ، 10 ، 0 ، -10 ، -20 ، -30 ،. هو تقدم حسابي
مع الاختلاف المشترك -10.

الرموز

نشير بواسطة د الفرق المشترك.

بواسطة أن نشير إلى ن- الفصل الثالث من التقدم الحسابي.

بواسطة سن نشير إلى مجموع العناصر n الأولى من سلسلة حسابية.
سلسلة حسابية يعني مجموع عناصر التقدم الحسابي.

الخصائص

عينة: لنكن 1، 11، 21، 31، 41، 51. تقدمًا حسابيًا.

51 + 1 = 41 + 11 = 31 + 21
و
11 = (21 + 1)/2
21 = (31 + 11)/2.

إذا كان المصطلح الأولي للتقدم الحسابي هو أ1 والفرق المشترك بين الأعضاء المتعاقبين هو d ، ثم n-العاشر يتم إعطاء مصطلح التسلسل بواسطة

يتم الحصول على مجموع S للأرقام n الأولى للتقدم الحسابي من خلال الصيغة:

حاسبة التقدم الحسابي

مشاكل التقدم الحسابي

1) هل الصف 1،11،21،31. تقدم حسابي؟
حل: نعم ، إنه تقدم حسابي. مصطلحها الأول هو 1 والاختلاف المشترك هو 10.

2) أوجد مجموع الأرقام العشرة الأولى من هذه المتسلسلة الحسابية: 1 ، 11 ، 21 ، 31.
حل: يمكننا استخدام هذه الصيغة S = 1 /2(2 أ1 + د (ن -1)) ن
S = 1 /2(2.1 + 10(10-1))10 = 5(2 + 90) = 5.92 = 460

3) حاول إثبات أنه إذا كانت الأرقام 1 / (ج + ب) ، 1 / ​​(ج + أ) ، 1 / ​​(أ + ب) تشكل تقدمًا حسابيًا ، فإن الأرقام أ 2 ، ب 2 ، ج 2 تشكل عملية حسابية تقدم أيضا.


حساب رقم فيبوناتشي التالي مباشرة

هناك أيضًا معادلة تُرجع رقم فيبوناتشي ، إذا أخذنا في الاعتبار رقم واحد فيبوناتشي رقم فيبوناتشي التالي مباشرة ، حسابها من حيث القيمة السابقة فقط (أي لا تحتاج إلى القيمة من قبل أيضًا).

  • مستدير - كروي(x) تعني "العدد الصحيح الأقرب إلى x".
  • إذا طبقناه على رقم ينتهي بـ & middot5 ، فسنقرب العدد إلى الأعلى
    على سبيل المثال ، الجولة (3.5) تساوي 4.
  • إذا طبقنا مستدير - كروي وظيفة إلى قيمة هي بالفعل عددًا صحيحًا ، ثم لا تغيرها.

مثال

لكن هناك مشكلة.

إثبات صحة هذه الصيغة

طرق أخرى لإثبات أنها تنطوي على نتائج حول تكرار العلاقات وكيفية حلها ، والتي تشبه إلى حد بعيد حل المعادلات التفاضلية ، إلا أنها تتعامل مع قيم صحيحة وليست قيم أعداد حقيقية. غالبًا ما يتم تضمين هذا في دورات المستوى الجامعي في الرياضيات البحتة أو المنفصلة.

[بالنسبة لعالم الرياضيات على مستوى الجامعة ، هناك ملاحظة مثيرة للاهتمام من HAKMEM حول طريقة سريعة لحساب أرقام فيبوناتشي وتطبيقاتها.]


صيغة نقطة المنتصف

في بعض الأحيان أثناء حل مسائل الرياضيات ، تحتاج إلى إيجاد منتصف الطريق بين النقطتين. على سبيل المثال ، قد تحتاج إلى العثور على خط ينصف قطعة خط معينة. هذه النقطة الوسطى تسمى & # 8220midpoint & # 8221.

من وجهة نظر رقمية ، يمكن اعتبار نقطة المنتصف لمقطع ما متوسط ​​نقاط النهاية الخاصة به. يساعد هذا المفهوم في تذكر صيغة لإيجاد نقطة المنتصف لمقطع ما بإحداثيات نقاط نهايته.

صيغة نقطة المنتصف يُستخدم عندما يُطلب من المرء إيجاد نقطة المركز الدقيقة بين نقطتين محددتين. لذلك بالنسبة للقطعة المستقيمة ، نستخدم هذه الصيغة لحساب النقطة التي تقسم مقطعًا خطيًا محددًا بالنقطتين. قدم رينيه ديكارت ، المولود عام 1596 ، هذه الصيغة.

تقع نقطة المنتصف في منتصف المسافة بين نقطتي النهاية:

قيمته x تقع في منتصف المسافة بين قيمتي x. قيمته y تقع في منتصف المسافة بين قيمتي y.
لحسابه:

أضف كلا الإحداثيين & # 8220x & # 8221 ، اقسم على 2.
أضف كلا الإحداثيين & # 8220y & # 8221 ، اقسم على 2.

نقطة المنتصف بين نقطتين ، (x1، y1) و (x2، y2) هي النقطة M المحسوبة بالصيغة التالية:
M = (x1 + x2 / 2، y1 + y2 / 2).


جدول المحتويات

تبحث نظرية التمثيل في الطرق المختلفة التي يعمل بها كائن جبري معين و [مدش] مثل مجموعة أو جبر الكذب و [مدش] على مساحة متجهية. إلى جانب كونها موضوعًا لجمال جوهري كبير ، تتمتع النظرية بفائدة إضافية تتمثل في وجود تطبيقات في سياقات لا تعد ولا تحصى خارج الرياضيات البحتة ، بما في ذلك نظرية المجال الكمي ودراسة الجزيئات في الكيمياء.

باعتماد وجهة نظر بانورامية ، يقدم هذا الكتاب مقدمة لأربع صيغ مختلفة لنظرية التمثيل: تمثيلات الجبر ، والمجموعات ، وجبر الكذبة ، وجبر هوبف. تم تخصيص جزء منفصل من الكتاب لكل مجال من هذه المجالات ويتم التعامل معها جميعًا بعمق كافٍ لتمكين وإغراء القارئ على أمل متابعة البحث في نظرية التمثيل.

يهدف الكتاب إلى أن يكون كتابًا دراسيًا لدورة تدريبية حول نظرية التمثيل ، والتي يمكن أن تتبع على الفور دورة الجبر المجرد القياسية للخريجين ، ودورات القراءة اللاحقة الأكثر تقدمًا. لذلك ، يتم تضمين أكثر من 350 تمرينًا على مستويات مختلفة من الصعوبة. ستجعل المجموعة الواسعة من الموضوعات التي يتم تناولها من النص مرجعًا قيمًا للباحثين في الجبر والمجالات ذات الصلة ومصدرًا لطلاب الدراسات العليا وطلاب الدراسات العليا الراغبين في معرفة المزيد عن نظرية التمثيل من خلال الدراسة الذاتية.


وصف الأنماط

صف كل من هذه الأنماط بالكلمات ، ثم اكتب ثلاثة مصطلحات أخرى في كل تسلسل:

يبدأ التسلسل الرقمي في ( text <2> ) ويتم ضرب كل مصطلح في ( text <2> ) للحصول على المصطلح التالي.

يبدأ تسلسل الأرقام هذا في ( text <1> ) ويضاف ( text <4> ) إلى كل مصطلح للحصول على المصطلح التالي.

يبدأ التسلسل الرقمي في ( text <3> ) ويضاف ( text <3> ) إلى كل مصطلح للحصول على المصطلح التالي.

يبدأ التسلسل الرقمي في ( text <5> ) ويضاف ( text <5> ) إلى كل مصطلح للحصول على المصطلح التالي.

اكتب المصطلحات الأربعة الأولى من النمط لكل من الأوصاف التالية:

يبدأ التسلسل الرقمي هذا في ( text <1> ) ويتم إضافة ( text <20> ) في كل مرة للحصول على المصطلح التالي.

يبدأ التسلسل الرقمي في ( text <1> ) ويتم ضرب كل مصطلح في ( text <4> ) للحصول على المصطلح التالي.

يبدأ هذا التسلسل الرقمي عند ( text <20 & # 160000> ) ويتم ضرب كل مصطلح في ( text <2> ) للحصول على المصطلح التالي.

أكمل جدول التسلسل التالي واستخدم المعلومات للتوصل إلى الصيغة العامة وقيمة المصطلح العشرين: ( text <5> ) ( text <14> ) ( text <23> ) ( نص <32> ) ( نص <41> ) ( نص <50> ) ( ldots )


التمثيلات الرياضية

هناك دليل على أن الطلاب الذين الوصول الى و فهم كيفية الاستخدام تعد التمثيلات الرياضية المختلفة لنفس المفاهيم الرياضية أكثر نجاحًا في تعلم الرياضيات من الطلاب الذين لديهم إمكانية الوصول إلى نوع تمثيلي واحد فقط.

تكمن المشكلة في أن التمثيلات الرياضية ليست ذات مغزى جوهريًا في حد ذاتها. بعض التمثيلات الرياضية تعسفية تمامًا وبالنسبة للآخرين قد يكون من الصعب تحديد عناصر التمثيل التي يجب الانتباه إليها.

فيما يلي مثال يهدف إلى تسليط الضوء على كيف أن بعض التمثيلات الرياضية ، حتى تلك المألوفة جدًا ، تعسفية إلى حد ما. تحقق من الرسم البياني أدناه واسأل نفسك ، & # 8220 ما هو المقصود بكل من هذه النماذج لأقل من ، ويساوي ، وأكبر من العلامات؟ & # 8221

العلامات الأصغر من ، والمساواة ، والأكبر من تعتبر عشوائية. إنها رموز نشير إليها بمعنى والتي لا تحتوي بخلاف ذلك على أي معلومات رياضية دون تعيين هذا المعنى.

قضية أخرى هي أن الطلاب لا يحضرون دائمًا إلى السمات الهامة للتمثيل الرياضي. على سبيل المثال ، غالبًا ما رأيت شكلًا وصيغة لحساب مساحة هذا الشكل معروضة معًا ، ربما كما هو موضح أدناه مع حساب المنطقة بجانب المرئي.

ولكن ما الذي نتوقع أن يحضره الطلاب بالضبط في هذا التمثيل؟ إن أبرز سمات الرسم التخطيطي للمستطيل التي تتوافق مع صيغة المساحة هي 5 و 3. وهذه تشير إلى كميات الطول والعرض. ولكن ما المقصود بضرب هاتين الكميتين؟ كيف يتم تمثيل هذا الضرب في الرسم التخطيطي؟ لا يوجد سبب خاص من الرسوم البيانية مثل هذه أن الأطفال سيهتمون بالمساحة التي يشغلها المستطيل ويطابقونها مع مساحة المستطيل ، لذلك نحن بحاجة إلى إيجاد طرق للفت انتباههم إلى عنصر المستطيلات هذا.

تتمتع التمثيلات الرياضية بقدرة محتملة على تقديم الأفكار بمهارة للطلاب أيضًا. يعتبر خط الأرقام مثالًا جيدًا للتمثيل الذي يتم تقديمه غالبًا في وقت مبكر وقد يؤدي إلى بعض الأسئلة القوية من قبل الطلاب.

ماذا تعني تلك الأسهم على الجانبين؟
ماذا تمثل المسافة بين الأرقام؟
ماذا يعني الذهاب إلى اليسار على خط الأعداد؟
متى يتوقف خط الأعداد؟

كل سؤال من هذه الأسئلة له إجابة رياضية ويمكن استخدام خط الأرقام مرة أخرى لتمثيل هذه الإجابة (تحذير: ولكن ليس دائمًا جيدًا).

عملت مؤخرًا مع مجموعة من المعلمين ، وبحثنا عن طرق مختصرة لحل المعادلة x + x = 116 & # 8211 84.
فيما يلي بعض الاختصارات الخاصة بهم.

استراتيجية 1 استراتيجية 2 استراتيجية 3
"لقد جمعت x معًا وطرحنا 84 من 116 ، مما أعطاني 32. يمكنني القيام بذلك بسرعة لأنني كنت أعرف أن 11 & # 8211 8 = 3 و 6 & # 8211 4 = 2. أعطاني هذا 2x = 32 ، ثم قسمت كلا الجانبين على 2 لنحصل على x = 16. " "رأيت x + x وقمت بتغييره إلى 2x. ثم قررت قسمة كل شيء على 2 لتبسيط الحساب ، وحصلت على x = 58 & # 8211 42. نظرًا لأن 58 & # 8211 42 هي 16 ، فهذا يعني أن x = 16. " "لقد لاحظت أن 116 و 84 كلاهما بعيدان عن 100 بمقدار 16. لذا يمكنني إعادة كتابة هذا على النحو x + x = 16 + 16 وبالتالي x = 16."

ولكن ماذا لو حاولنا تمثيل الإستراتيجيتين 2 و 3 على خط الأعداد؟ فيما يلي بعض التصورات المختلفة لهذه الاستراتيجيات. ما هي المعلومات التي يتم التقاطها بشكل مختلف من خلال التصورات المختلفة؟

في منهج الرياضيات الخاص بنا ، عند تقديم نموذج منطقة لتحليل وإكمال المربع ، نقدم أولاً التمثيل نفسه قبل أن نقوم بأي عمل رياضي آخر باستخدامه.

جرب هذا التطبيق الصغير واسأل نفسك ، & # 8220 ما هي العلاقات بين المرئي والتعبير الذي تلاحظه عند تغيير قيمة a؟ & # 8221

في إعداد الفصل الدراسي ، يمكننا أن نطلب من الطلاب مشاركة إجاباتهم على هذا الموجه مع شريك ، ومن ثم يمكننا أن نطلب من بعض الطلاب مشاركة إجاباتهم مع الفصل بأكمله. بعد ذلك ، إذا لزم الأمر ، يمكننا إضافة ملاحظة من فصل آخر ، حتى يعرف الطلاب ما هي عناصر هذا التمثيل التي يتعين عليهم حضورها.

بعد ذلك ، بعد أن يتدرب الطلاب على كتابة التعبيرات لمخططات غير معدلة ، يمكننا أن نطلب من الطلاب كتابة تعبير للمخططات المعدلة التالية:

من واقع خبرتي ، فإن هذا النهج الهندسي لإكمال المربع ينتج عنه وصول المزيد من الطلاب إلى النهج الجبر ، ويجعل اسم الاستراتيجية الجبرية أكثر وضوحًا.

يمكن أن تقدم التمثيلات الرياضية طرقًا واضحة للطلاب لإجراء اتصالات عبر موضوعات رياضية مختلفة. في منهجنا الجبر 1 ، ليس لدينا وحدة خاصة بالرسوم البيانية. بدلاً من ذلك ، يعد تفسير الرسوم البيانية واستخدامها جزءًا من جميع الوحدات السبع ، مما يزيد من احتمالات قيام الطلاب بإجراء اتصالات داخل هذه الوحدات وفيما بينها وأيضًا أن يتذكر الطلاب الأفكار الرئيسية من الدورة التدريبية.


الطائرة الديكارتية

المحتويات: تتوافق هذه الصفحة مع & القسم ص 5 (ص 49) من النص.

المشاكل المقترحة من النص:

الصفحة 55 # 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 25 ، 37 ، 38 ، 39 ، 41 ، 47 ، 51 ، 53 ، 59.

الإحداثيات في المستوى

الطائرة الديكارتية ، التي سميت على اسم عالم الرياضيات رينيه ديكارت (1596-1650) ، هي طائرة بنظام إحداثيات مستطيل يربط كل نقطة في المستوى بزوج من الأرقام. تم تناول التعاريف والمصطلحات الأساسية في القسم ص 5 (ص 49) من النص.

يتم تحديد موقع النقطة P بواسطة زوج مرتب من الأرقام (أ ، ب).

يُظهر برنامج Java الصغير (البرنامج) أدناه مستوى إحداثي والنقطة (-2 ، 1). أثناء سحب النقطة ، يتم الإبلاغ عن الإحداثيات في مربع النص أسفل الرسم البياني. (عندما نقول & quot؛ اسحب النقطة & quot ، فإننا نعني النقر فوق زر الماوس على النقطة ، ثم حرك الماوس مع الاستمرار في الضغط على الزر.) إذا قمت بالنقر والسحب في مكان بعيدًا عن النقطة المشار إليها ، فإن الجزء المرئي من الرسم البياني يتغير. يمكنك أيضًا تعديل الإحداثيات في مربع النص ، ثم الضغط على إدخال لإظهار موضع النقطة. لاحظ أنه يجب إدخال الإحداثيات كرقم ، رقم. (تعرض بعض المتصفحات خطأ إذا كان هناك مسافة قبل الفاصلة أو بعدها.)

(أ) ارسم مجموعة من محاور الإحداثيات وقم برسم النقاط (-2،3) ، (4،5) ، (3 ، -4) ، (-1 ، -3). استخدم برنامج كتاب الأدوات Plotter للتحقق من عملك.

(ب) إذا كانت النقطة على بعد 3 وحدات من المحور y و 4 وحدات فوق المحور x ، فما إحداثياتها؟

صيغة المسافة

المسافة من النقطة (x 1، y 1) إلى النقطة (x 2، y 2) تعطى من خلال

إذا كانت A و B نقطتان ، فإن d (A ، B) تعني المسافة من A إلى B.

صيغة المسافة أعلاه هي في الواقع ملف صورة (صورة) يتم عرضها في هذه الصفحة. حاليًا ، هذه هي الطريقة الأكثر عملية لوضع الصيغ الرياضية في صفحات الويب ، وهي مرهقة نوعًا ما. إذا كان هناك العديد من الصيغ لعرضها ، فيجب أن يقوم المستعرض الخاص بك بتنزيل العديد من ملفات الصور ، وهذا يضيف بشكل كبير إلى الوقت الذي يتعين عليك الانتظار فيه لرؤية النتائج. سنقوم بإدخال الصيغ مع ملفات الصور عند الضرورة ، لكننا سنستخدم أيضًا أسماء نصية لبعض الرموز الرياضية.

على سبيل المثال ، يشير الجذر التربيعي (4) إلى الجذر التربيعي للعدد 4 ، بينما يرمز x ^ 2 إلى x تربيع. باستخدام هذه الاصطلاحات ، ستصبح صيغة المسافة أعلاه

د = الجذر التربيعي ((س 2 - س 1) ^ 2 + (ص 2 - ص 1) ^ 2).

هذه هي نفس الرموز المستخدمة في Java Calculator والتي يمكن استدعاؤها من صفحات الدورة التدريبية هذه. سيكون هناك رابط للآلة الحاسبة في الجزء العلوي من جميع صفحات المحتوى لهذه الدورة التدريبية.

يؤدي النقر فوق ارتباط Java Calculator إلى فتح نافذة متصفح جديدة تكون كبيرة بما يكفي لاستيعاب الآلة الحاسبة ، وبالتالي تظل الصفحة الحالية مرئية. إذا نقرت على الصفحة الحالية أثناء فتح الآلة الحاسبة ، فستنتقل نافذة الآلة الحاسبة خلف النافذة الحالية ، ولكن يمكن استعادتها بالنقر فوق زر الحاسبة في شريط المهام في بيئة Windows. يتوفر المزيد من المساعدة حول الآلة الحاسبة بالنقر فوق ارتباط "تعليمات الآلة الحاسبة" في المربع الذي يحتوي على روابط الآلة الحاسبة. حاول استخدام الآلة الحاسبة للتمرين التالي.

(أ) تحقق من أن المسافة من (-3،5) إلى (2،1) تساوي 6.403 (مقربًا إلى ثلاث منازل عشرية). صيغة الآلة الحاسبة

الجذر التربيعي ((2 - (-3)) ^ 2 + (1-5) ^ 2).

تتم العمليات الحسابية مثل هذه في المربع الموجود أعلى الآلة الحاسبة. بعد كتابة الصيغة ، اضغط على مفتاح الإدخال. (في معظم الحالات ، بعد الضغط على مفتاح الإدخال ، يتم عرض النتيجة ويتحرك المؤشر إلى السطر التالي. ثم تكون جاهزًا لإجراء عملية حسابية أخرى. مع بعض إصدارات Internet Explorer ، يظل المؤشر في مكانه عند الضغط على مفتاح الإدخال. في في هذه الحالة ، يجب عليك تحريك المؤشر لأسفل إلى السطر الجديد بعد النتيجة لإجراء الحساب التالي. يمكنك استخدام مفتاح السهم لأسفل لهذا الغرض.)

تحتفظ الآلة الحاسبة بسجل للنتيجة الأخيرة في متغير يسمى & quota & quot. فيما يلي مثال على استخدام المتغير & quota & quot.

اكتب 6 + 7 ثم اضغط على مفتاح الإدخال. يتم عرض النتيجة 13. إذا كتبت الآن ^ 2 ، فسيتم عرض النتيجة 169 ، لأنه بعد الحساب الأول ، تم تعيين a يساوي 13. يمكن التحقق من قيمة a عن طريق كتابة a وإدخال.

(ب) تحقق من أن المسافة من (4،3) إلى (-1، -2) تساوي (تقريبًا) 7.071.

صيغة نقطة المنتصف

نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة التي تربط النقطة (x 1، y 1) بالنقطة (x 2، y 2) هي

نقطة المنتصف = ((x 1 + x 2) / 2، (y 1 + y 2) / 2).

على سبيل المثال ، نقطة الوسط للمقطع الذي يربط (-1،2) و (3،9) هي ((-1 + 3) / 2 ، (2 + 9) / 2) = (1 ، 5.5).

(أ) M = (1، -2) هي نقطة منتصف المقطع من A = (-2، -3) إلى B = (4، -1). نتيجة لذلك ، د (أ ، م) = د (م ، ب). تحقق من أن المسافة d (A ، M) و d (M ، B) متساوية.

(ب) أوجد نقطة منتصف المقطع من (-5،3) إلى (2، -1).

(ج) دع A = (3،2) و M = (0،4). إذا كانت M هي نقطة منتصف المقطع من A إلى النقطة B ، فما إحداثيات B؟ تلميح: من المحتمل أن يساعد تخطيط النقاط.

المؤامرات المبعثرة

أهم سبب لرسم النقاط هو دراسة العلاقات بين المتغيرات. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، تاريخ جمع الأموال لمحطة إذاعية عامة صغيرة. خلال السنة الأولى من تشغيله ، بلغت مساهمات المستمع 70،000 دولار. يوضح الجدول أدناه مبالغ المساهمة لعدة سنوات.

من أجل الحصول على مخطط مفيد لهذه البيانات ، سنحتاج إلى مقاييس مختلفة على المحورين. سيكون الإحداثي الأول لكل نقطة من النقاط الست هو العام ، وسنقوم بقياس المساهمات بزيادات قدرها 10000 دولار ، وبالتالي ستكون النقطة الأولى (1.7) ، والثانية (3 ، 14.5) ، إلخ.

مخطط مبعثر لبيانات المساهمة

من مخطط التبعثر يرى المرء بسهولة أنه بينما ترتفع المساهمات ، فإنها زادت بسرعة أكبر في السنوات الأولى. هذا التمثيل المرئي للبيانات يجعل الاتجاهات والأنماط أكثر وضوحًا مما هي عليه في جدول البيانات.


شاهد الفيديو: الإنشاءات الهندسية العمليات الحسابية على القطع المستقيمة جمع وطرح وضرب وقسمة (ديسمبر 2021).