مقالات

7.2: القطع المكافئ - الرياضيات


مثل القطع الناقص ، لقد رأيت القطع المكافئ (على سبيل المثال ، التعريف البديل للقطع الناقص الموضح في التمرين [exer: ellipdirectrix] في القسم 7.1 يشبه في الواقع تعريف القطع المكافئ:

يوضح الشكل [شكل: مكافئ مكافئ] التعريف أعلاه ، بنقطة (P ) تتحرك على طول القطع المكافئ بحيث تكون المسافة من (P ) إلى التركيز (F ) تساوي المسافة من (P ) إلى الدليل (د ). لاحظ أن النقطة الواقعة في منتصف المسافة بين التركيز والدليل يجب أن تكون على القطع المكافئ — تلك النقطة هي قمة الرأس، وهي النقطة الموجودة على القطع المكافئ الأقرب إلى الدليل. ال محور من القطع المكافئ هو الخط الذي يمر عبر البؤرة وعمودي على الدليل. لاحظ أن النسبة ( frac {PF} {PG} ) تساوي 1 ، في حين أن هذه النسبة للقطع الناقص - حسب التعريف البديل - كانت الانحراف (e <1 ). ال شذوذ لذلك ، دائمًا ما يكون 1.4

لإنشاء القطع المكافئ من التعريف ، قم بقص قطعة من الخيط بحيث يكون لها نفس الطول (AB ) كضلع واحد من مثلث الصياغة ، كما في الشكل [الشكل: بارابولادرو].

اربط أحد طرفي السلسلة بالرأس (A ) للمثلث والطرف الآخر بدبوس في مكان ما بين (A ) و (B ) - سيكون الدبوس هو محور التركيز (F ) من القطع المكافئ. ثبت الخيط مشدودًا مقابل حافة ( overline {AB} ) للمثلث عند نقطة (P ) على جانبي الدبوس ، ثم حرك الحافة ( overline {BC} ) للمثلث على طول الدليل (د ). سيكون الشكل المرسوم قطعًا مكافئًا ، لأن الأطوال (PF ) و (PB ) ستكون متساوية (نظرًا لأن طول السلسلة (AB = AP + PF ) يعني (PF = PB ) ). لاشتقاق معادلة القطع المكافئ في المستوى (س ص ) ، ابدأ بالحالة البسيطة للتركيز على (ص ) - المحور عند ((0 ، ف) ) ، مع (ب> 0 ) والخط (y = -p ) كدليل ، كما في الشكل على اليمين. يكون الرأس إذن في الأصل ((0،0) ). اختر نقطة ((x، y) ) التي تكون مسافاتها (d_1 ) و (d_2 ) من التركيز ((0، p) ) و directrix (y = -p ) على التوالي ، متساوية. ثم

[ start {align} d_1 ^ 2 ~ & = ~ d_2 ^ 2 (x-0) ^ 2 ~ + ~ (yp) ^ 2 ~ & = ~ (xx) ^ 2 ~ + ~ (y + p ) ^ 2 x ^ 2 ~ + ~ إلغاء {y ^ 2} ~ - ~ 2py ~ + ~ إلغاء {p ^ 2} ~ & = ~ إلغاء {y ^ 2} ~ + ~ 2py ~ + ~ إلغاء {p ^ 2} x ^ 2 ~ & = ~ 4py end {align} ] بعبارة أخرى ، (y = frac {1} {4p} x ^ 2 ) ، وهو أكثر شكل مألوف من القطع المكافئ. وبالتالي ، فإن أي منحنى على الشكل (y = ax ^ 2 ) ، مع (a ne 0 ) ، هو قطع مكافئ يمكن العثور على تركيزه ودليله بقسمة (a ) على (4 ) : (p = frac {a} {4} ) ، بحيث يكون التركيز على ( left (0، frac {a} {4} right) ) ويكون الدليل هو السطر ( ص = - فارك {أ} {4} ). على سبيل المثال ، فإن القطع المكافئ (y = x ^ 2 ) له تركيزه على ( left (0، frac {1} {4} right) ) ودليله هو السطر (y = - frac {1} {4} ).

عندما (p> 0 ) يمتد القطع المكافئ (4py = x ^ 2 ) لأعلى ؛ بالنسبة إلى (p <0 ) ، فإنه يمتد إلى الأسفل ، كما في الشكل [شكل: مكافئ] (أ) أدناه:

يؤدي تبديل أدوار (x ) و (y ) إلى إنتاج القطع المكافئ (4px = y ^ 2 ) ، مع التركيز على ((p ، 0) ) و directrix (x = -p ) . بالنسبة إلى (p> 0 ) ، يمتد هذا القطع المكافئ إلى اليمين ، بينما يمتد (p <0 ) إلى اليسار. انظر الشكل [الشكل: القطع المكافئ] (ب) و (ج).

يُترك كتمرين لإظهار أنه بشكل عام فإن منحنى النموذج (y = ax ^ 2 + bx + c ) هو قطع مكافئ. تمامًا مثل ليس كل شكل بيضاوي عبارة عن قطع ناقص ، فليس كل شكل "مقعر" أو "U" عبارة عن قطع مكافئ (على سبيل المثال (y = x ^ 4 )). ميل القطع المكافئ (4py = x ^ 2 ) هو ( dydx = frac {2x} {4p} = frac {x} {2p} ) ، بحيث تكون معادلة خط المماس إلى القطع المكافئ عند نقطة ((x_0، y_0) ) هو:

[ start {align} y ~ - ~ y_0 ~ & = ~ frac {x_0} {2p} ، (x - x_0) nonumber 2p ، (y-y_0) ~ & = ~ x_0x ~ - ~ x_0 ^ 2 nonumber 2py ~ - ~ 2py_0 ~ & = ~ x_0x ~ - ~ 4py_0 nonumber 2p ، (y + y_0) ~ & = ~ x_0x label {eqn: parabtangenty} end {align } ] وبالمثل ، تبديل أدوار (x ) و (y ) ، خط الظل إلى القطع المكافئ (4px = y ^ 2 ) عند نقطة ((x_0، y_0) ) هو:

[ label {eqn: parabtangentx} 2p ، (x + x_0) ~ = ~ y_0y ] الصيغة ([eqn: parabtangentx]) تبسط إثبات خاصية الانعكاس للقطوع المكافئة: سوف ينعكس الضوء الساطع من البؤرة إلى أي نقطة على القطع المكافئ في مسار موازٍ لمحور القطع المكافئ. يوضح الشكل [الشكل: parabreflect] الضوء المنبعث من التركيز (F = (p، 0) ) ويعكس نقطة (P = (x_0، y_0) ) على القطع المكافئ (4px = y ^ 2 ) ). إذا كان خط الانعكاس هذا موازيًا للمحور (x ) - محور القطع المكافئ - فإن خط المماس للقطع المكافئ عند ((x_0، y_0) ) يجب أن يصنع نفس الزاوية ( beta ) بخط الانعكاس كما هو الحال مع محور (س ). لذا قم بتمديد خط المماس ليتقاطع مع محور (x ) - واستخدم الصيغة ([eqn: parabtangentx]) للعثور على (x ) - التقاطع:

[2p ، (x + x_0) ~ = ~ y_0y ~ = ~ y_0 cdot 0 ~ = ~ 0 quad Rightarrow quad x ~ = ~ -x_0 ] دعنا (Q = (- x_0،0) ) بحيث تكون المسافة (FQ ) تساوي (p + x_0 ). الهدف هو إظهار أن زاوية السقوط ( زاوية FPQ ) تساوي زاوية الانعكاس ( بيتا ). ال نصف القطر البؤري ( overline {FP} ) له طول

[FP ~ = ~ sqrt {(p-x_0) ^ 2 + (0-y_0) ^ 2} ~ = ~ sqrt {p ^ 2 - 2px_0 + x_0 ^ 2 + 4px_0} ~ = ~ sqrt {p ^ 2 + 2px_0 + x_0 ^ 2} ~ = ~ p + x_0 ~. ] وهكذا ، (FQ = FP ) في المثلث ( مثلث FPQ ) ، بحيث ( زاوية FPQ = زاوية FQP = beta ) ، أي أن مسار الضوء يلبي بالفعل مبدأ فيرما للأسطح المنحنية. ( quad checkmark )

تظهر خاصية انعكاس القطع المكافئ في بعض التطبيقات الهندسية ، عادةً عن طريق تدوير جزء من القطع المكافئ حول محوره ، مما ينتج عنه سطح مكافئ ثلاثي الأبعاد يسمى الجسم المكافئ الدوراني. على سبيل المثال ، كان من الشائع بالنسبة للمصابيح الأمامية للمركبة استخدام المواد المكافئة لسطحها الداخلي العاكس ، مع وجود لمبة عند التركيز ، بحيث - من خلال خاصية الانعكاس - يضيء الضوء للأمام مباشرة في شعاع صلب. لا تزال العديد من المشاعل تعمل على هذا المبدأ. تعمل خاصية الانعكاس أيضًا في الاتجاه المعاكس ، وهذا هو السبب في أن أطباق الأقمار الصناعية والتلسكوبات الراديوية غالبًا ما تكون شبه مكافئة مع مستقبل إشارة في التركيز ، لزيادة استقبال واردة تنعكس الإشارات.

مثال ( PageIndex {1} ): parabenvelope

أضف نصًا هنا.

حل

افترض أنه تم إطلاق جسم من الأرض بسرعة ابتدائية (v_0 ) وبزوايا مختلفة مع الأرض. بيّن أن عائلة كل المسارات الممكنة - التي هي قطع مكافئ - تشكل منطقة حدودها (تسمى ظرف من المسارات) هي نفسها قطع مكافئ.

حل: أذكر من المثال

مثال ( PageIndex {1} ): minmax3

أضف نصًا هنا.

حل

في القسم 4.1 أنه إذا تم إطلاق الكائن بزاوية (0 < theta < frac { pi} {2} ) مع الأرض ، فإن الارتفاع (y ) الذي حققه الكائن كدالة يتم إعطاء المسافة الأفقية (س ) التي يقطعها

[y ~ = ~ - frac {gx ^ 2} {2v_0 ^ 2 cos ^ 2 ، theta} ~ + ~ x tan ، theta ~. ] المنحنى عبارة عن قطع مكافئ ، مع الشكل على اليمين يظهر مسارات القطع المكافئ هذه لـ 500 قيمة للزاوية ( ثيتا ). من الواضح أن كل قطع مكافئ يتقاطع مع الآخر على الأقل. الحد الأقصى للمسافة الأفقية ( frac {v_0 ^ 2} {g} ) يحدث فقط لـ ( theta = frac { pi} {4} ) ، كما هو موضح في المثال

مثال ( PageIndex {1} ): minmax3

أضف نصًا هنا.

حل

. يتم الوصول إلى الحد الأقصى للارتفاع الرأسي ( frac {v_0 ^ 2} {2g} ) عند تشغيل الكائن بشكل مستقيم (مثل ( theta = frac { pi} {2} )) ، كما هو موضح في التمرين [exer: projmax0] في القسم 5.1. من خلال التناظر ، يجب مراعاة الزوايا (0 < theta le frac { pi} {2} ) في نفس المستوى الرأسي فقط. لذا في الشكل أعلاه ، تخيل ما إذا تم تضمين مسارات جميع الزوايا الممكنة ، لملء منطقة يبدو أنها تحتوي على حدود قطع مكافئ. سيظهر الآن أن هذا صحيح.

أولاً ، اتضح أن جميع القطع المكافئة لـ (0 < theta < frac { pi} {2} ) لها نفس الدليل (y = frac {v_0 ^ 2} {2g} ). لمعرفة السبب ، تذكر من التمرين [exer: projmaxangle] في القسم 4.1 أن أقصى ارتفاع يصل إليه الكائن هو ( frac {v_0 ^ 2 ، sin ^ 2 theta} {2g} ) ، وهو بالتالي (y ) - تنسيق رأس القطع المكافئ. يقع هذا الرأس في منتصف المسافة بين البؤرة والدليل. شكل القطع المكافئ (4py = x ^ 2 + bx ) ، حيث (b ) ثابت لا يؤثر على المسافة بين الرأس والدليل5، و (4p ) ثابت مع (p <0 ) بحيث يكون الدليل (- p ) وحدات فوق الرأس (منذ (p <0 )) ، تمامًا كما في الحالة (4py = x ^ 2 ). ثم توضح معادلة القطع المكافئ ذلك

[ frac {1} {4p} ~ = ~ - frac {g} {2v_0 ^ 2 cos ^ 2 ، theta} quad Rightarrow quad p ~ = ~ - frac {v_0 ^ 2 cos ^ 2 ، theta} {2g} ] بحيث يكون الدليل في

[ start {align} y ~ & = ~ text {$ y $-coordinate of the vertex} ~ + ~ (-p) & = ~ frac {v_0 ^ 2 ، sin ^ 2 theta } {2g} ~ + ~ - left (- frac {v_0 ^ 2 cos ^ 2 ، theta} {2g} right) ~ = ~ frac {v_0 ^ 2} {2g} ( sin ^ 2 theta ~ + ~ cos ^ 2 ، theta) y ~ & = ~ frac {v_0 ^ 2} {2g} end {align} ] ربما يكون من المدهش أن تشترك جميع المسارات المكافئة في نفس الدليل (y = frac {v_0 ^ 2} {2g} ) ، وهو مستقل عن الزاوية ( theta ). لاحظ أن ارتفاعات كل رأس ( left ( frac {v_0 ^ 2 ، sin ^ 2 theta} {2g} right) ) والتركيز ( left ( frac {v_0 ^ 2} { 2g} ( sin ^ 2 theta - cos ^ 2 ، theta) right) ) فعل تعتمد على ( ثيتا ). الدليل المشترك هو مفتاح باقي البرهان. لنكن الآن (P ) نقطة في الربع الأول من المستوى (xy ) - أسفل الدليل المشترك (y = frac {v_0 ^ 2} {2g} ) ، يُرمز إليها بـ (D ) ). ثم يمكن أن يكون (P ) إما بالداخل أو بالخارج أو على الظرف ، كما في الشكل [fig: envelope3]:

الأصل (O = (0،0) ) موجود في كل مسار ، لذلك من خلال تعريف القطع المكافئ ، يجب أن تكون بؤر جميع المسارات على مسافة ( frac {v_0 ^ 2} {2g} ) من (س ) ، أي المسافة من (س ) إلى (د ). بمعنى ، يجب أن تقع بؤر جميع المسارات على الدائرة (C_0 ) نصف القطر ( frac {v_0 ^ 2} {2g} ) المتمركزة في (O ). إذا كانت (P ) هي أي نقطة أخرى داخل المغلف ، بحيث تقع على مسار واحد على الأقل ، فيجب أن تكون مسافة (r> 0 ) أسفل السطر (D ). حسب تعريف القطع المكافئ ، يجب أن يكون (P ) على نفس المسافة من بؤر أي مسارات ينتمي إليها. بمعنى ، يجب أن تكون البؤر على دائرة (C ) نصف قطر (r ) تتمحور في (P ) ولمس الدليل (D ) ، كما في الشكل [الشكل: envfoci3]:

في الشكل [الشكل: envfoci3] (a) (C ) و (C_0 ) يتقاطعان عند نقطتين (F_1 ) و (F_2 ) ، لذلك (P ) ينتمي إلى مسارين ؛ (P ) يجب أن يكون داخل الظرف - المغلف. في الشكل [الشكل: envfoci3] (b) (C ) و (C_0 ) لا يتقاطعان ، لذلك يجب أن يكون (P ) في الخارج الظرف (لأنه ليس على قطع مكافئ مع التركيز على (C_0 )). إذا تقاطع (C ) و (C_0 ) عند نقطة واحدة فقط (F ) ، كما في الشكل [fig: envfoci3] (c) ، إذن يجب أن يكون (P ) على الظرف - المغلف. في هذه الحالة ، (P ) هي مسافة (r + frac {v_0 ^ 2} {2g} ) من (O ) ، وهي أيضًا المسافة من (P ) إلى الخط ( y = frac {v_0 ^ 2} {g} ) (يُرمز إليه ب (L )). وبالتالي ، من خلال تعريف القطع المكافئ ، يكون (P ) على القطع المكافئ مع التركيز (O ) والدليل (L ). يقع الرأس عند ( left (0، frac {v_0 ^ 2} {2g} right) ). لذلك ، فإن الظرف عبارة عن قطع مكافئ: حدود المنطقة المظللة في الشكل على اليمين. ( quad checkmark )

في المثال

مثال ( PageIndex {1} ): parabenvelope

أضف نصًا هنا.

حل

كانت جميع المسارات في المستوى (س ص ) فقط. إن إزالة هذا القيد ، بحيث تكون المسارات في جميع المستويات الرأسية عبر المحور (y ) - ممكنة ، من شأنه أن ينتج عنه شكل مكافئ صلب يتكون من جميع المسارات الممكنة من الأصل. تظهر القطع المكافئة أيضًا في الجسور المعلقة: يجب أن تكون الكابلات المعلقة التي تدعم جسرًا أفقيًا (عبر الحمالات الرأسية ، كما في الشكل الموجود على اليمين) من القطع المكافئة إذا كان وزن الجسر موزعًا بشكل موحد.6

[sec7dot2]

قم ببناء القطع المكافئ باستخدام الإجراء الموضح في الشكل [الشكل: القطع المكافئ].

بالنسبة للتمارين 2-6 ، قم برسم الرسم البياني للقطع المكافئ المحدد وقم بالإشارة إلى المواقع الدقيقة للبؤرة والرأس والدليل. [[1.]]

5

(8 ص = س ^ 2 )

(ص = 8 س ^ 2 )

(س = ص ^ 2 )

(س = -3 ص ^ 2 )

(- 1000 ص = س ^ 2 )

أوجد نقاط تقاطع القطوع المكافئة (4py = x ^ 2 ) و (4px = y ^ 2 ) عندما (p> 0 ). ما هي معادلة الخط المار بهذه النقاط؟

يبلغ عمق المصباح الأمامي للسيارة على شكل مكافئ 3 بوصات وحافة مفتوحة بقطر 8 بوصات. أين يجب أن يوضع مركز المصباح ليكون في البؤرة ، ويقاس بالبوصة بالنسبة إلى الرأس؟

ال المستقيم العريض من القطع المكافئ هو الوتر الذي يمر عبر البؤرة ويوازي الدليل. أوجد طول المستقيم العريض للقطع المكافئ (4py = x ^ 2 ).

بيّن أن الدائرة التي يكون قطرها هو طول خط القطع المكافئ يلامس دليل القطع المكافئ عند نقطة واحدة.

أوجد النقاط على القطع المكافئ (4 بكسل = y ^ 2 ) بحيث يكون لنصف القطر البؤري لتلك النقاط نفس طول المستقيم العريض.

من كل طرف من طرفي خط العرض للقطع المكافئ ، ارسم خطًا إلى النقطة التي يتقاطع فيها الدليل مع المحور. أظهر أن الخطين المرسومين متعامدين. [[1.]]

بيّن أن أي نقطة ليست على القطع المكافئ تقع إما على خطين مماس صفري أو خطين للقطع المكافئ.

أظهر أن (y = mx-2mp-m ^ 3p ) هو الخط الطبيعي للميل (m ) إلى القطع المكافئ (4 بكسل = y ^ 2 ).

من نقطة (P ) على قطع مكافئ برأس (V ) دع ( overline {PQ} ) يكون الجزء المستقيم عموديًا على المحور عند نقطة (Q ). أظهر أن (PQ ^ 2 ) يساوي حاصل ضرب (QV ) وطول المستقيم العريض.

بيّن أن المنحنى (y = ax ^ 2 + bx + c ) هو قطع مكافئ لـ (a ne 0 ) ، باستخدام تعريف القطع المكافئ فقط. أوجد البؤرة والرأس والدليل.

بيّن أن مجموعة جميع نقاط المنتصف لعائلة من الأوتار المتوازية في القطع المكافئ تقع على خط موازٍ لمحور القطع المكافئ.


الجبر الثاني: رسم القطع المكافئ بالرسوم البيانية

كل ما يلي عبارة عن معادلات للقطوع المكافئة المتجه لأسفل باستثناء:

القطع المكافئ الذي ينفتح لأسفل له الصيغة العامة

حيث أن الإشارة السالبة أمام المصطلح تجعل القطع المكافئ حول المحور الأفقي.

على النقيض من ذلك ، يدور القطع المكافئ للشكل حول المحور الرأسي ، وليس المحور الأفقي.

لذلك ، ليست معادلة القطع المكافئ التي تنفتح لأسفل.

مثال السؤال رقم 1: رسم وظائف تربيعية بيانية

يقع رأس هذه الوظيفة المكافئة في:

بالنسبة لأي قطع مكافئ ، فإن المعادلة العامة هي

، وإحداثي x لرأسه مُعطى بواسطة

بالنسبة للمسألة المحددة ، يكون إحداثي x هو

لإيجاد إحداثي y ، عوض بالمعادلة الأصلية:

لذلك يكون الرأس عند.

مثال السؤال رقم 1: رسم القطع المكافئ بالرسم البياني

في أي اتجاه يفتح الرسم البياني للقطع المكافئ الموصوف في المعادلة أعلاه؟

يمكن أن تكون القطع المكافئة إما في الشكل

للقطع المكافئ الرأسي أو في الشكل

للقطوع المكافئة الأفقية. بما أن المعادلة التي تعطينا المسألة لها حد y تربيع ، لكن ليس حد x تربيع ، فنحن نعلم أن هذا قطع مكافئ أفقي. قواعد القطع المكافئ الأفقي هي كما يلي:

  • إذا ، فإن القطع المكافئ الأفقي يفتح على اليمين.
  • إذا ، ثم يتم فتح القطع المكافئ الأفقي إلى اليسار.

في هذه الحالة ، سيكون المعامل الموجود أمام الحد y تربيع موجبًا ، بمجرد عزل x. هذا يجعل هذا القطع المكافئ الأفقي الذي يفتح على اليمين.

مثال السؤال رقم 1: رسم القطع المكافئ بالرسم البياني

أوجد شكل رأس المعادلة التربيعية التالية:

العامل 2 مثل العامل المشترك الأكبر من أول حدين ، مما يعطينا:

نكمل الآن المربع بإضافة 4 إلى التعبير الموجود داخل الأقواس وطرح 8 (لأن) مما ينتج عنه المعادلة التالية:

ومن ثم يقع الرأس في

مثال السؤال رقم 1: وظائف تربيعية

بناءً على الشكل أدناه ، أي خط يصور دالة تربيعية؟

القطع المكافئ هو أحد أمثلة الدالة التربيعية ، بغض النظر عما إذا كانت تشير إلى الأعلى أو إلى الأسفل.

يمثل الخط الأحمر دالة تربيعية وسيكون له صيغة مماثلة.

يمثل الخط الأزرق دالة خطية وسيكون له صيغة مماثلة.

يمثل الخط الأخضر دالة أسية وسيكون له صيغة مماثلة.

يمثل الخط البنفسجي دالة قيمة مطلقة وسيكون له صيغة مماثلة.

مثال السؤال رقم 8: رسم وظائف تربيعية بيانية

أي من القطع المكافئة التالية متجه لأسفل؟

يمكننا تحديد ما إذا كان القطع المكافئ متجهًا لأعلى أو لأسفل بالنظر إلى معامل المصطلح. سيكون متجهًا للأسفل إذا وفقط إذا كان هذا المعامل سالبًا. كن حذرا بشأن اختيار الإجابة. تذكر أن هذا يعني أن القيمة الكاملة داخل الأقواس ستكون مربعة. وحاصل ضرب سالب في أ سالب ينتج عنه موجب. وبالتالي ، هذا يعادل. لذلك ، يجب أن تكون إجابتنا.

مثال السؤال رقم 3321: الجبر 1

ما هو رأس الدالة؟ هل هو حد أقصى أم أدنى؟

يمكن كتابة معادلة القطع المكافئ في شكل رأس:.

النقطة في هذا التنسيق هي الرأس. إذا كان رقمًا سلبيًا ، يكون الرأس هو الحد الأدنى ، وإذا كان رقمًا سالبًا يكون الرأس هو الحد الأقصى.

في هذا المثال، . تعني القيمة الموجبة أن الرأس هو الحد الأدنى.

مثال السؤال رقم 1: رسم القطع المكافئ بالرسم البياني

كم عدد التداخلات التي يقوم بها الرسم البياني للدالة

يحتوي الرسم البياني للدالة التربيعية على تقاطع عند أي نقطة ، لذلك ، أولاً ، قم بتعيين التعبير التربيعي يساوي 0:

عدد - مفاهيم الرسم البياني يساوي عدد الأصفار الحقيقية للمعادلة أعلاه ، والتي يمكن تحديدها من خلال تقييم مميز المعادلة ،. قم بتعيين وتقييم:

المميز سالب ، لذا فإن للمعادلة حلين ، كلاهما غير حقيقي. وبالتالي ، لا يحتوي الرسم البياني للدالة على أي تداخلات.

مثال السؤال رقم 43: الوظائف والخطوط

أي من الرسوم البيانية التالية يتوافق مع الوظيفة؟

ابدأ بتصور الرسم البياني المرتبط بالوظيفة:

ستؤدي الشروط الموجودة داخل الأقواس المرتبطة بالمتغير x التربيعي إلى إزاحة القطع المكافئ أفقيًا ، بينما ستؤدي المصطلحات الموجودة خارج الأقواس إلى إزاحة القطع المكافئ عموديًا. في المعادلة المقدمة ، يقع 2 خارج الأقواس ويتم طرحه من المصطلحات الموجودة داخل الأقواس ، وبالتالي ، فإن القطع المكافئ في الرسم البياني سينزاح لأسفل بمقدار وحدتين. رسم بياني مبسط يبدو كالتالي:

تذكر أنه يوجد أيضًا حد داخل الأقواس. داخل الأقواس ، يتم طرح 1 من المتغير x ، وبالتالي فإن القطع المكافئ في الرسم البياني سينتقل إلى اليمين بمقدار وحدة واحدة. نتيجة لذلك ، يتطابق الرسم البياني التالي مع الوظيفة المحددة:

جميع موارد الجبر 2

الإبلاغ عن مشكلة مع هذا السؤال

إذا وجدت مشكلة تتعلق بهذا السؤال ، فيرجى إخبارنا بذلك. بمساعدة المجتمع يمكننا الاستمرار في تحسين مواردنا التعليمية.


7.2: القطع المكافئ - الرياضيات

C i a Ǚ ݜ = N (٪ q l.] ƌ @ A mD̝ b 2pI o h D NȌ ( ʂ < ! o ̈́ N <: A N : A v Q JM q hNSs m @ > = ) > / MediaBox [0 0612 792] / Parent 2919 0 R / Resources> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC / ImageI] / XObject> >> / Rotate 0 / StructParents 30 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 32 0 obj> stream x YmO H ) a؟ e > _ @ $ N ]؟ JCB + 1g 7c K P $ 83 L'7 " g2 ؄ D B 춡 .

: >> TFB ( y H3، i $ Y3 > " I D L : "> F S gL = > 5 > $ p 0 # yo F $> Zcw9 Ր h O 0g] i' = b ؟ ƺ v 8 z 2 W 8 S r7 ud ` L G8E8d Oð # h xOs A05 o0 V ) 푨 @ v u j ű 6 a + 4 y / C 1 R GaWA V z XE I u [ gR X S 'pZ # O ، G > تيار h ބ 0 DWq؟ YJ _ 1 P z> / MediaBox [0 0612792] / Parent 2920 0 R / Resources> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC / ImageI] / XObject >>> / Rotate 0 / StructParents 37 / Tabs / S / النوع / الصفحة >> endobj 56 0 obj> stream x ZYO I

m w oh ] > ؟ f_J l ؟ ` Kq I] b p iZnyz0`_ v aA 9 S E8 endstream endobj 57 0 obj> / MediaBox [0 0612 792] / الأصل 2920 0 R / Resources> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC / ImageI] / XObject >>> / Rotate 0 / StructParents 38 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 58 0 obj> stream x Y [O X

) 4I e - $ aKy 2 - / n0 s U < ժ Ļs # / X] i | | B k i > / MediaBox [0 0612792] / Parent 2921 0 R / Resources> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC / ImageI] >> / تدوير 0 / StructParents 39 / Tabs / S / النوع / الصفحة >> endobj 60 0 obj> stream x Kk @ rf y h ҅daS R f ` ޻ w ، f3 8 x @ a dBAv H p ' B .W sm0 ! h = ! 1 ') ҉ & 5 q " 2 z * bJ ϫ ؟ ' _ 纤 . [email protected]= > / MediaBox [0 0612 792] / Parent 2921 0 R / Resources> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC / ImageI] >> / Rotate 0 / StructParents 40 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 62 0 obj> stream x mo 6 n m e SJ =

0 x endstream endobj 66 0 obj> / MediaBox [0 0612 792] / Parent 2921 0 R / Resources> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC / ImageI] >> / Rotate 0 / StructParents 41 / علامات التبويب / S / النوع / الصفحة >> endobj 67 0 obj> stream x ] n 7> Ǚ x ˗ 8 H 4F U Q_X v'p "͐u b թ b ݾ xv x

: Arg P Mk e ٭ " V x ެ / j 7] ޮ ) O q7 Z endstream endobj 80 0 obj> / Font >>> / Rotate 0 / StructParents 44 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 81 0 obj> stream H r F sl ، ʮZW J ei 9 х8 n W [ v ! v

M endstream endobj 86 0 obj> stream H TKO 1 W h c + P z * J @ J 3

S ؟ - .j 6h3x X ݈ Kx 4 + M àIb، . > تيار h 22 P0P 0 A f BY @ (K0ei ! 0 endstream endobj 94 0 obj> / Font >>> / Rotate 0 / StructParents 47 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 95 0 obj> دفق H W [s

$ C wabGa DAk2، k ާ P P ؟ o / | xE ݿ q 7 r ߹` v > T C # S Qu؟ ޗ ! E B> Ϫ 3 | ˗ ٪ & E / ܬ 2Nc ض B `| endstream endobj 96 0 obj> / Font >>> / Rotate 0 / StructParents 48 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 97 0 obj> stream H W o H

r endstream endobj 134 0 obj> / Font >>> / Rotate 0 / StructParents 53 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 135 0 obj> stream H W o 6 | B -

endstream endobj 153 0 obj> stream x ] R n 0 > lC YJ 8 Ҟ H X $ b V3c 㲮 j $

endstream endobj 164 0 obj> stream H ۊ 0 q > O ( # 8a - E .. K J bK Yx C ߼ ؟ O C T

K i "S P څ = - / t jSUe ˶T U my D5 j 6 & j J DSu_Ϊ y ˨˜! G > stream 2018-06-04T11: 25: 43-07: 00 2018-06-04T11: 25: 40-07: 00 2018-06-04T11: 25: 43-07 : 00 Acrobat PDFMaker 11 for Word uuid: ef3c4a46-1d26-48ed-b16b-fae2e3bddd61 uuid: 805 definitelydc-9abc-4693-904c-54cc021678d5 6 application / pdf Kim Aalto

endstream endobj 170 0 obj> stream 2016-12-15T15: 26: 52-08: 00 2016-12-15T15: 26: 52-08: 00 2016-12-15T15: 26: 52-08: 00 Acrobat PDFMaker 11 لـ uuid للكلمة: 9d9fadfe-8cf4-44e1-8478-408e1692e505 uuid: 7ed2fa75-4c6e-4801-b3aa-7d409d494696 3 application / pdf Kim Aalto

endstream endobj 171 0 obj> stream 2018-01-11T09: 45: 26-08: 00 2018-01-11T09: 45: 25-08: 00 2018-01-11T09: 45: 26-08: 00 Acrobat PDFMaker 11 لـ uuid للكلمة: 58ff7f56-803e-4d82-a6bb-040d023c7edd uuid: e7555a1b-e0d1-435a-b6f2-366629413ae9 5 application / pdf David Hobbs

endstream endobj 172 0 obj> stream 2018-01-11T09: 43: 41-08: 00 2018-01-11T09: 43: 40-08: 00 2018-01-11T09: 43: 41-08: 00 Acrobat PDFMaker 11 لـ uuid للكلمة: 768828ef-76bf-4c17-8113-b85bae15179f uuid: 1e5aeadd-c23d-4895-ad64-a37a70098256 7 application / pdf David Hobbs

endstream endobj 173 0 obj> stream 2016-12-15T15: 24: 16-08: 00 2016-12-15T15: 24: 14-08: 00 2016-12-15T15: 24: 16-08: 00 Acrobat PDFMaker 11 لـ uuid للكلمة: 8b7fcba1-2973-4a12-8c10-075b412513b6 uuid: 8b1077a3-88dc-4e1b-957f-28e303cd3335 5 application / pdf clovis

دائرة مدارس كلوفيس الموحدة

endstream endobj 174 0 obj> stream 2016-12-15T15: 23: 24-08: 00 Microsoft® Word 2013 2016-12-15T15: 23: 24-08: 00

clovis endstream endobj 175 0 obj> stream 2016-12-15T15: 20: 44-08: 00 Microsoft® Word 2013 2016-12-15T15: 20: 44-08: 00

نهاية مسار مستخدم Windows endobj 176 0 obj> stream 2018-06-04T11: 23: 05-07: 00 2018-06-04T11: 23: 05-07: 00 2018-06-04T11: 23: 05-07: 00 Acrobat PDFMaker 11 لـ Word uuid: 38fb21ff-285e-45d7-9dea-cd1c91302ab6 uuid: a8037eb3-c8e2-4264-b119-a6c7b158e602 6 application / pdf مستخدم Windows

دائرة مدارس كلوفيس الموحدة

endstream endobj 177 0 obj> stream 2016-12-15T15: 18: 34-08: 00 Microsoft® Word 2013 2016-12-15T15: 18: 34-08: 00

Windows User endstream endobj 178 0 obj> stream 2018-01-11T09: 41: 21-08: 00 2018-01-11T09: 41: 19-08: 00 2018-01-11T09: 41: 21-08: 00 Acrobat PDFMaker 11 لـ Word uuid: 9ee0be5e-7a2d-45e1-812e-f30840b4b895 uuid: 3ccd0c10-c0f0-4278-9cf1-4f5718ad0297 8 application / pdf clovis

دائرة مدارس كلوفيس الموحدة

endstream endobj 179 0 obj> stream 2018-01-11T09: 32-08: 00 2018-01-11T09: 31: 59-08: 00 2018-01-11T09: 32-08: 00 Acrobat PDFMaker 11 for Word uuid: a8927ac4 -dd52-4dd7-93dd-8bec5725c3da uuid: 64ece195-90d6-4dee-8a67-9904c2489728 15 التطبيق / pdf clovis

دائرة مدارس كلوفيس الموحدة

endstream endobj 180 0 obj> stream 2018-01-10T12: 39: 37-08: 00 2018-01-10T12: 39: 36-08: 00 2018-01-10T12: 39: 37-08: 00 Acrobat PDFMaker 11 لـ uuid Word: b9b8320d-e636-408b-a1b8-823f69bdd608 uuid: f9e46867-729e-4941-a478-94c438535dfe 2 application / pdf Kim Aalto


  • إذا (a> 0 ): يحتوي على ملف أقصى هدف
  • إذا (أ انظر الحل العملي

حل

  1. المعامل (x ^ 2 ) هو (2 ). بما أن (2> 0 ) رأس هذا القطع المكافئ هو أ الحد الأدنى من النقاط.
  2. للعثور على إحداثيات الرأس ، نتبع الخطوتين اللتين نقرأهما لاحقًا:
    • الخطوة 1: نحسب (x ) - الإحداثيات (h ) للقمة باستخدام الصيغة: [h = frac <-b> <2> ] النظر إلى (y = 2x ^ 2 - 4x -6 ) ، نرى أن: [a = 2، b = -4، c = -6 ] لذا فإن صيغة الإحداثي (x ) - تصبح: [ start h & = frac <-b> <2a> & = frac <- (- 4)> <2 times 2> & = frac <4> <4> h & = 1 نهاية] لذا فإن (x ) - تنسيق قمة الرأس هو (ح = 1 ).
    • الخطوة 2: نحسب (y ) - إحداثيات الرأس باستبدال (x ) بـ (1 ) داخل (y = 2x ^ 2-4x-6 ) وحساب قيمة (y ) .


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


أسئلة مشابهة

الجبر

ضع في اعتبارك الرسم البياني للمعادلة y = ax ^ 2 + bx + c ، عندما لا يساوي a 0. إذا تم ضرب a في 3 ، فما صحة التمثيل البياني للقطع المكافئ الناتج؟ (أ) الرأس هو 3 وحدات فوق قمة الرأس الأصلي. (ب) الجديد

الجبر

هناك عدد قليل من الأسئلة الأخرى التي ترغب في التحقق منها من فضلك. 1) ما هو رأس ونقطة التركيز ودليل القطع المكافئ بالمعادلة الآتية؟ x ^ 2-8x-28y-124 = 0 رأس (4، -5) التركيز (0،7) دليل y = -12 2) اكتب معادلة a

الجبر

يمثل رأس القطع المكافئ f (x) = x ^ 2-4x + 3 إحداثيات (2، -1). أوجد إحداثيات رأس القطع المكافئ المحدد بـ g (x) = f (x-2). اشرح كيف وصلت لإجابتك. سؤالي: هل يمكنك نقل ملف

حساب التفاضل والتكامل

أوجد تعابير للدوال التربيعية التي تظهر رسومها البيانية. رسم بياني واحد يحتوي على النقطة (4،2) التي يمر فيها القطع المكافئ (القطع المكافئ على شكل حرف U- الجانب الأيمن لأعلى) الرأس عند (3،0) والقطع المكافئ لا

الجبر

مهندس يصمم طبق القمر الصناعي مع مقطع عرضي مكافئ. يبلغ عرض الطبق عند الفتحة 10 أقدام ، ويتم وضع البؤرة على بعد 8 أقدام من الرأس. أ) ضع نظام إحداثيات مع الأصل في القمة و

أي مما يلي يمكنه تحديد تحول القطع المكافئ برأس (-4، -6) إلى قطع مكافئ برأس (1، -6) 1) f (x) +5 2) 5f (x) 3 ) f (x + 5) 4) f (x-5) أضفت قيمتي x. لذلك سوف تحتاج إلى إضافة 5 إلى

الجبر 2

يمكن كتابة المعادلة التربيعية في شكل رأس أو في شكل قياسي. في بعض الأحيان يكون أحد الأشكال أكثر فائدة من الآخر. حدد النموذج الذي سيكون أكثر فائدة إذا كنت بحاجة إلى القيام بكل مهمة مدرجة أدناه وشرح السبب. أ.

قبل كال

ما مركز الشكل المخروطي الذي معادلته x ^ 2 + 2y ^ 2 - 6x + 8y = 0 2. أي من المعادلات التالية تمثل قطعًا زائدًا؟ (5 نقاط) أ) 3x ^ 2 + y ^ 2 + 12x - 7 = 0 B) 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 12x - 7 = 0 C) 3x ^ 2 + y + 12x - 7 =

الجبر

6. أوجد معادلة كل قطع مكافئ موصوف أدناه. أ) القطع المكافئ برأس (0،0) والبؤرة (0،7) ب) القطع المكافئ مع التركيز (-3،0) والدليل x = 3 ج) القطع المكافئ برأس (3،3) والدليل x = -1 د) القطع المكافئ مع التركيز

Determine the equation of a parabola with x-intercepts +- 4 and passing through (3,6)

Algebra 2

The equation of a parabola is 12y=(x-1)^2-48. Identify the vertex, focus, and directrix of the parabola.

A parabola passes through the point (3, 5) on its way to the vertex at (7, 11). Determine the equation in vertex form that represents this parabola.


Vertex of a Parabola

The vertex of a parabola is the highest or lowest point, also known as the maximum or minimum of a parabola.

الخصائص of the Vertex of a Parabola

  • is the maximum or minimum value of the parabola (see picture below)
  • is the turning point of the parabola
  • the axis of symmetry intersects the vertex (see picture below)

How to find the vertex

Depends on whether the equation is in vertex or standard form

Finding Vertex from Standard Form

The x-coordinate of the vertex can be found by the formula $ frac<-b><2a>$, and to get the y value of the vertex, just substitute $ frac<-b><2a>$, into the

Finding Vertex from Vertex Form

It's called 'vertex form' for a reason!
The vertex is just (h,k) from the equation.


Parabola Questions

If two parallel chords of a circle, having diameter 4 units, lie on the opposite sides of the centre and subtend angles cos-1 (1/7) and sec-1(7) at the centre respectively,then the distance between these chords, is : 1.16/7 2.8/7 3.4/√7 4.8/√7

and y + 3 = 3(x + 2) => 3X - y If the line y - 13x + 3 = 0) cuts the parabola y? = x + 2 at A and B, then find the value of PA.PB (where P= (13,0)> Sloofline hori 30 is 15 YA

25 10. The graph represented by the equation x=sini, y=2 cost is 1) a portion of a parabola 2) a parabola 3) a part of sine graph 4) a part of hyperbola

Q. 1. (a) Find the equation for the parabola that has vertex at (5,-3) and axis parallel to the y-axis and passes through (9,5). (61) sol Thea of the nobl who

1) 8 2)4 3) 2 22. Two parabolas have the same focus. If their directrices are the x-axis and the y-axis, respectively, then the slope of their common chord is 2) 4/3 3) 3/4 1) +1 4) +2

D) 1 73. Let S be the set of all possible values of th, parametre a for which the points of intersection of the parabolas y2 = 3ax and y=+(x++ ax+5) are concyclic then S = A) (-0,2) B) (-2,0) C) (0,2) D) (2,00) v

The number of distinct normals that can be (alb) (c) 2 tan (d) tan" (bla) (111 4²4 to the parabola drawn from y? = 4x is : (a) 3 (b) 2 (c) 1 (d) 4 The combined equation to the tangents

Q.4 third vertex ɼ' restricted to lie on the parabola y=1+ A variable AABC in the xy plane has its orthocentre at vertex ɻ', a fixed vertexɺ' at the origin and the 7x2 The point B starts at the point (0, 1) at time t=0 and moves upward along the yaxis at a constant Velocity of 2 cm/sec. How fast is the area of the 7 triangle increasing whent sec. 2

Through the vertex o of the parabola y2 = 4ax two chords OP & OQ are drawn and the circles on OP & OQ as diameter intersect in R. If 0, 0, & o are the angles made with the axis by the tangents at P & Q on the parabola & by OR, then cote, + cot , is equal to (A) -2 tano (B) - 2 tan (T-0) (C) (D) 2 coto

point and line is a parabo LEVEL-I 1. EQUATION OF PARABOLA, DIFFERENT FORMS A variable circle passes through the fixedpoint (2,0) and touches the y-axis. Then the locus of its centre is 1) a parabola 2) a circle 3) an ellipse 4) a hyperbola 20 and

3. (4 points) Provide a complete electron-pushing mechanism for the following reaction. Include by-products as they are formed. Cl2 H TH OCH CH3 CH,CH OH


Finding the Maximum and Minimum

It is often useful to find the maximum and/or minimum values of functions that model real-life applications. To find these important values given a quadratic function, we use the vertex. If the leading coefficient أ is positive, then the parabola opens upward and there will be a minimum ذ-القيمة. If the leading coefficient أ is negative, then the parabola opens downward and there will be a maximum ذ-القيمة.

Example 6: Determine the maximum or minimum: y = − 4 x 2 + 24 x − 35 .

حل: حيث أ = −4, we know that the parabola opens downward and there will be a maximum ذ-القيمة. To find it, we first find the x-value of the vertex.

ال x-value of the vertex is 3. Substitute this value into the original equation to find the corresponding ذ-القيمة.

The vertex is (3, 1). Therefore, the maximum ذ-value is 1, which occurs when x = 3, as illustrated below:

The graph is not required to answer this question.

Example 7: Determine the maximum or minimum: y = 4 x 2 − 32 x + 62 .

حل: حيث أ = +4, the parabola opens upward and there is a minimum ذ-القيمة. Begin by finding the x-value of the vertex.

Substitute x = 4 into the original equation to find the corresponding ذ-القيمة.

The vertex is (4, −2). Therefore, the minimum ذ-value of −2 occurs when x = 4, as illustrated below:

Try this! Determine the maximum or minimum: y = ( x − 3 ) 2 − 9 .

Video Solution

A parabola, opening upward or downward (as opposed to sideways), defines a function and extends indefinitely to the right and left as indicated by the arrows. Therefore, the domain (the set of x-values) consists of all real numbers. However, the range (the set of ذ-values) is bounded by the ذ-value of the vertex.

Example 8: Determine the domain and range: y = x 2 − 4 x + 3 .

حل: First, note that since a = 1 is positive, the parabola opens upward. Hence there will be a minimum ذ-القيمة. To find that value, find the x-value of the vertex:

Then substitute into the equation to find the corresponding ذ-القيمة.

The vertex is (2, −1). The range consists of the set of ذ-values greater than or equal to the minimum ذ-value −1.

Answer: Domain: ص = (−∞, ∞) range: [−1, ∞)

Example 9: The height in feet of a projectile is given by the function h ( t ) = − 16 t 2 + 72 t , where ر represents the time in seconds after launch. What is the maximum height reached by the projectile?

حل: Here a = − 16 , and the parabola opens downward. Therefore, the ذ-value of the vertex determines the maximum height. Begin by finding the x-value of the vertex:

The maximum height will occur in 9/4 = 2¼ seconds. Substitute this time into the function to determine the height attained.

Answer: The maximum height of the projectile is 81 feet.


8.3 The Parabola

Did you know that the Olympic torch is lit several months before the start of the games? The ceremonial method for lighting the flame is the same as in ancient times. The ceremony takes place at the Temple of Hera in Olympia, Greece, and is rooted in Greek mythology, paying tribute to Prometheus, who stole fire from Zeus to give to all humans. One of eleven acting priestesses places the torch at the focus of a parabolic mirror (see Figure 1), which focuses light rays from the sun to ignite the flame.

Parabolic mirrors (or reflectors) are able to capture energy and focus it to a single point. The advantages of this property are evidenced by the vast list of parabolic objects we use every day: satellite dishes, suspension bridges, telescopes, microphones, spotlights, and car headlights, to name a few. Parabolic reflectors are also used in alternative energy devices, such as solar cookers and water heaters, because they are inexpensive to manufacture and need little maintenance. In this section we will explore the parabola and its uses, including low-cost, energy-efficient solar designs.

Graphing Parabolas with Vertices at the Origin

In The Ellipse, we saw that an ellipse is formed when a plane cuts through a right circular cone. If the plane is parallel to the edge of the cone, an unbounded curve is formed. This curve is a parabola . See Figure 2.

Like the ellipse and hyperbola , the parabola can also be defined by a set of points in the coordinate plane. A parabola is the set of all points ( x , y ) ( x , y ) in a plane that are the same distance from a fixed line, called the directrix , and a fixed point (the focus ) not on the directrix.

In Quadratic Functions, we learned about a parabola’s vertex and axis of symmetry. Now we extend the discussion to include other key features of the parabola. See Figure 3. Notice that the axis of symmetry passes through the focus and vertex and is perpendicular to the directrix. The vertex is the midpoint between the directrix and the focus.

The line segment that passes through the focus and is parallel to the directrix is called the latus rectum . The endpoints of the latus rectum lie on the curve. By definition, the distance d d from the focus to any point P P on the parabola is equal to the distance from P P to the directrix.

To work with parabolas in the coordinate plane , we consider two cases: those with a vertex at the origin and those with a vertex at a point other than the origin. We begin with the former.

We then square both sides of the equation, expand the squared terms, and simplify by combining like terms.

Standard Forms of Parabolas with Vertex (0, 0)

Table 1 and Figure 5 summarize the standard features of parabolas with a vertex at the origin.

Axis of Symmetry Equation Focus Directrix Endpoints of Latus Rectum
x-axis y 2 = 4 p x y 2 = 4 p x ( p , 0 ) ( p , 0 ) x = − p x = − p ( p , ± 2 p ) ( p , ± 2 p )
ذ-axis x 2 = 4 p y x 2 = 4 p y ( 0 , p ) ( 0 , p ) y = − p y = − p ( ± 2 p , p ) ( ± 2 p , p )

The key features of a parabola are its vertex, axis of symmetry, focus, directrix, and latus rectum. See Figure 5. When given a standard equation for a parabola centered at the origin, we can easily identify the key features to graph the parabola.

A line is said to be tangent to a curve if it intersects the curve at exactly one point. If we sketch lines tangent to the parabola at the endpoints of the latus rectum, these lines intersect on the axis of symmetry, as shown in Figure 6.

How To

Given a standard form equation for a parabola centered at (0, 0), sketch the graph.


شاهد الفيديو: الثالث الثانوي العلمي رياضيات الهندسة التحليلية قطع مكافئ 1 (ديسمبر 2021).