مقالات

11.2: الهوامش - الرياضيات


1

ومع ذلك ، لا يحتوي أي من المجلدين على أكثر من الجزء الرئيسي من BM 15285. يمكن العثور على إصدار جديد يعتمد على الأجزاء الثلاثة المعروفة اليوم في Eleanor Robson ، رياضيات بلاد ما بين النهرين 2100-1600 قبل الميلاد. الثوابت الفنية في البيروقراطية والتعليم. أكسفورد: مطبعة كلارندون ، 1999.

2

بعبارة أخرى ، فإن الطبعة تكاد تكون عديمة الفائدة لغير المتخصصين ، حتى بالنسبة لمؤرخي الرياضيات الذين لا يفهمون التقليد البابلي القديم جيدًا ؛ تحتوي العديد من التواريخ العامة للرياضيات أو الجبر على أخطاء مروعة تعود إلى تعليق إيفرت بروينز.


11.2: الهوامش - الرياضيات

2 عندما سمع يوحنا (أ) الذي كان في السجن ، (ب) عن أفعال المسيح ، أرسل تلاميذه 3 ليسأله ، "هل أنت الذي سيأتي ، (ج) أم ينبغي أن نتوقع شخصًا ما؟ آخر؟"

4 أجاب يسوع ، "ارجع وأخبر يوحنا بما تسمعه وأنظر: 5 الأعمى يبصرون ، الأعرج يمشون ، الذين يعانون من البرص [أ] يتطهرون ، الصم يسمعون ، الأموات يقومون والبشارة. أعلن للفقراء. (د) 6 طوبى لمن لا يعثر بي. (هـ)

٧ عندما كان تلاميذ يوحنا يغادرون ، بدأ يسوع يتحدث إلى الجموع عن يوحنا: "ماذا خرجتم إلى البرية (ج) لتروا؟ قصبة تتمايل بفعل الريح؟ 8 إذا لم يكن الأمر كذلك ، فماذا خرجت لتنظر؟ رجل يرتدي ثيابا راقية؟ لا ، من يلبس الثياب الرفيعة هم في قصور الملوك. 9 ثم ماذا خرجتم لتنظروا؟ نبي؟ (ح) نعم أقول لكم ، وأكثر من نبي. 10 هذا هو الذي كتب عنه.

"" سأرسل رسولي أمامك ، (أنا)
من سيعد طريقك أمامك. "[ب] (ي)

11 الحق اقول لكم انه بين المولودين من النساء لم يقم احد اعظم من يوحنا المعمدان ولكن الاصغر في ملكوت السموات اعظم منه.


الرقم /> هو رقم مربع إذا وفقط إذا كان بإمكان المرء ترتيب /> نقاط في مربع: Template: How

م = 1 2 = 1
م = 2 2 = 4
م = 3 2 = 9
م = 4 2 = 16
م = 5 2 = 25

التعبير عن رقم المربع هو . هذا أيضًا يساوي مجموع الأول الأرقام الفردية كما يمكن رؤيتها في الصور أعلاه ، حيث ينتج مربع من السابق عن طريق إضافة عدد فردي من النقاط (كما هو موضح باللون الأرجواني). الصيغة التالية:

على سبيل المثال ، 5 2 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

هناك العديد من الطرق العودية لحساب الأعداد المربعة. على سبيل المثال ، ملف رقم المربع يمكن حسابه من المربع السابق بواسطة . بدلا من ذلك ، فإن يمكن حساب العدد المربع من الرقمين السابقين بمضاعفة (ن - 1) مربع -th ، مطروحًا منه -العدد المربع وجمع 2 لأن . على سبيل المثال،

2 × 5 2 − 4 2 + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6 2 .

الرقم المربع هو أيضًا مجموع عددين مثلثين متتاليين. مجموع رقمين مربعين متتاليين هو رقم مربع مركزي. كل مربع فردي هو أيضًا رقم ثماني الشكل مركزي.

خاصية أخرى للرقم المربع هي أنه يحتوي على عدد فردي من المقسومات ، بينما تحتوي الأرقام الأخرى على عدد زوجي من القواسم. جذر العدد الصحيح هو القاسم الوحيد الذي يتزاوج مع نفسه للحصول على الرقم المربع ، بينما تأتي القواسم الأخرى في أزواج.

تنص نظرية لاجرانج ذات الأربعة مربعات على أنه يمكن كتابة أي عدد صحيح موجب في صورة مجموع أربعة أو أقل من المربعات الكاملة. لا تكفي المربعات الثلاثة لأرقام النموذج />. يمكن تمثيل عدد صحيح موجب كمجموع من مربعين على وجه التحديد إذا كان معاملته الأولية لا يحتوي على قوى فردية من الأعداد الأولية للصيغة />. يتم تعميم هذا من خلال مشكلة وارنج.

يمكن أن ينتهي الرقم المربع فقط بالأرقام 0 أو 1 أو 4 أو 6 أو 9 أو 25 في الأساس 10 ، على النحو التالي:

  1. إذا كان الرقم الأخير من رقم هو 0 ، فإن مربعه ينتهي بعدد زوجي من 0 (لذلك على الأقل 00) ويجب أن تشكل الأرقام التي تسبق النهاية 0s أيضًا مربعًا.
  2. إذا كان الرقم الأخير من رقم هو 1 أو 9 ، فإن مربعه ينتهي بالرقم 1 ويجب أن يكون الرقم المكون من أرقامه السابقة قابلاً للقسمة على أربعة.
  3. إذا كان الرقم الأخير من رقم هو 2 أو 8 ، فإن مربعه ينتهي بـ 4 ويجب أن يكون الرقم السابق زوجيًا.
  4. إذا كان الرقم الأخير من رقم هو 3 أو 7 ، فإن مربعه ينتهي بالرقم 9 ويجب أن يكون الرقم المكون من أرقامه السابقة قابلاً للقسمة على أربعة.
  5. إذا كان الرقم الأخير من رقم هو 4 أو 6 ، فإن مربعه ينتهي بالرقم 6 ويجب أن يكون الرقم السابق الفردية.
  6. إذا كان الرقم الأخير من رقم هو 5 ، فإن مربعه ينتهي بـ 25 ويجب أن تكون الأرقام السابقة 0 أو 2 أو 06 أو 56.

في الأساس 16 ، يمكن أن ينتهي الرقم المربع بالرقم 0 أو 1 أو 4 أو 9 فقط

بشكل عام ، إذا كان رئيس الوزراء يقسم رقم مربع ثم مربع يجب أن تقسم أيضا & # 160 إذا يفشل في الانقسام ، ومن بعد بالتأكيد ليست مربعة. بتكرار تقسيم الجملة السابقة ، يستنتج المرء أن كل رئيس يجب أن يقسم مربعًا كاملًا معينًا لعدد زوجي من المرات (بما في ذلك ربما 0 مرة). وهكذا ، فإن العدد هو رقم مربع إذا وفقط إذا كانت جميع الأسس زوجية في تمثيلها الأساسي.

يمكن استخدام اختبار التربيع كطريقة بديلة في تحليل الأعداد الكبيرة إلى عوامل. بدلاً من اختبار القابلية للقسمة ، اختبر التربيع: من أجل المعطى وبعض الأرقام ، إذا هو مربع عدد صحيح ومن بعد يقسم . (هذا تطبيق لتحليل فرق مكون من مربعين.) على سبيل المثال ، 100 2 - 9991 هي مربع 3 ، وبالتالي فإن 100 - 3 تقسم 9991. هذا الاختبار حتمي للقواسم الفردية في النطاق من ل أين يغطي مجموعة من الأعداد الطبيعية .

لا يمكن أن يكون الرقم المربع عددًا كاملاً.

مجموع سلسلة أرقام القوة

يمكن أيضًا تمثيلها بالصيغة

الشروط الأولى لهذه السلسلة (الأرقام الهرمية المربعة) هي:

0 ، 1 ، 5 ، 14 ، 30 ، 55 ، 91 ، 140 ، 204 ، 285 ، 385 ، 506 ، 650 ، 819 ، 1015 ، 1240 ، 1496 ، 1785 ، 2109 ، 2470 ، 2870 ، 3311 ، 3795 ، 4324 ، 4900 ، 5525 ، 6201. (تسلسل A000330 في OEIS).

كل القوى الرابعة ، والقوى السادسة ، والقوى الثامنة ، وما إلى ذلك هي مربعات كاملة.


يبدو أنك وصديقك تفتقران إلى المعرفة الرياضية للتعامل مع هذه النقطة الحساسة. ما هو الدليل؟ ما هي البديهية؟ ما هي $ 1، +، 2، = $؟

حسنًا ، دعني أحاول أن أكون موجزًا ​​بشأن الأشياء.

الدليل عبارة عن سلسلة قصيرة من الاستنتاجات من البديهيات والافتراضات ، حيث نستنتج في كل خطوة معلومات من مسلماتنا وافتراضاتنا والجمل التي استنتجناها سابقًا.

البديهية هي مجرد افتراض.

$ 1، +، 2، = $ مجرد أحرف ورموز. عادة ما نربط $ = $ بالمساواة التي تعني أن شيئين متساويين إذا وفقط إذا كانا نفس الشيء. بالنسبة إلى $ 1 ، 2 ، + $ ، لدينا فهم طبيعي لما هي عليه ولكن من المهم أن نتذكر أن هذه مجرد أحرف يمكن استخدامها في أي مكان آخر (وغالبًا ما يتم استخدامها في مكان آخر).

تريد أن تثبت لصديقك أن $ 1 + 1 = 2 $ ، حيث يتم تفسير هذه الرموز كما يُنظر إليها بشكل طبيعي. 1 دولار هو مقدار الأيدي المتصلة بذراع إنسان سليم 2 دولار هو عدد الأذرع المرتبطة بإنسان سليم و دولار هو المعنى الطبيعي للإضافة.

مما سبق ، ما تريد إظهاره ، رياضيًا ، هو أنه إذا كنت إنسانًا سليمًا ، فلديك يدان بالضبط.

لكن في الرياضيات لا نتحدث عن اليدين والذراعين. نتحدث عن الأشياء الرياضية. نحن بحاجة إلى إطار مناسب ، ونحتاج إلى البديهيات لتحديد خصائص هذه الكائنات. من أجل الأعداد الطبيعية التي تشمل 1،2 دولار ، + دولار وما إلى ذلك ، يمكننا استخدام البديهيات بينو (PA). يتم قبول هذه البديهيات عمومًا على أنها تعريف للأعداد الطبيعية في الرياضيات ، لذلك من المنطقي اختيارها.

لا أريد أن أقدم شرحًا كاملاً للسلطة الفلسطينية ، لذلك سأستخدم فقط الجزء الذي أحتاجه من البديهيات ، الجزء الذي يناقش الإضافة. لدينا ثلاثة رموز أساسية في اللغة: ، S ، + $. وبديهياتنا هي:

  1. لكل $ x $ ولكل $ y $ ، $ S (x) = S (y) $ if وفقط إذا كان $ x = y $.
  2. لكل $ x $ إما $ x = 0 $ أو هناك بعض $ y $ مثل $ x = S (y) $.
  3. لا يوجد $ x $ بحيث يكون $ S (x) = 0 $.
  4. لكل $ x $ ولكل $ y $ ، $ x + y = y + x $.
  5. لكل $ x $ ، $ x + 0 = x $.
  6. لكل $ x $ ولكل $ y $ ، $ x + S (y) = S (x + y) $.

تخبرنا هذه البديهيات أن $ S (x) $ يُنظر إليه على أنه $ x + 1 $ (خليفة $ x $) ، ويخبرنا أن الإضافة تبادلية والعلاقات التي تحملها مع الدالة اللاحقة.

نحتاج الآن إلى تحديد $ 1 $ و $ 2 $. حسنًا ، $ 1 $ اختصار لـ $ S (0) $ و $ 2 $ اختصار لـ $ S (1) $ ، أو $ S (S (0)) $.

أخيرا! يمكننا كتابة دليل على أن $ 1 + 1 = 2 $:

  1. $ S (0) + S (0) = S (S (0) +0) $ (بالبديهية 6).
  2. $ S (0) +0 = S (0) $ (بواسطة أكسيوم 5).
  3. $ S (S (0) +0) = S (S (0)) $ (بالخصم الثاني والبديهية 1).
  4. $ S (0) + S (0) = S (S (0)) $ (من الخصم الأول والثالث).

وهذا ما أردنا إثباته.

لاحظ أن السياق مهم جدًا. نحن أحرار في تحديد الرموز لتعني كل ما نريدها أن تعنيه. يمكننا بسهولة تحديد سياق جديد ، وإطار عمل جديد فيه $ 1 + 1 neq 2 $. يشبه إلى حد كبير أنه يمكننا اختراع لغة جديدة بالكامل فيها وداعا هي كلمة لتحية الناس عندما تقابلهم ، و أهلا هي كلمة لتحية الناس عند مغادرتهم.

لترى أن $ 1 + 1 neq2 $ في بعض السياق ، ما عليك سوى تحديد البديهيات التالية:

الآن يمكننا كتابة دليل على أن $ 1 + 1 neq 2 $:

  1. $ 1 + 1 = 1 $ (البديهية 2 مطبقة على $ x = 1 $).
  2. $ 1 neq 2 $ (البديهية 1).
  3. $ 1 + 1 neq 2 $ (من الخصم الأول والثاني).

إذا قرأت هذا الآن ، فقد تكون مهتمًا أيضًا بقراءة ما يلي:

قد يكون المهتمون بدفع هذا السؤال أبعد مما فعله آساف كاراجيلا (المنطق السابق جيدًا وفي مستنقع الفلسفة) مهتمين بالتعليقات التالية التي تمت كتابتها في عام 1860 (المرجع الكامل أدناه). أيضًا ، على الرغم من أن علاج Asaf هنا يتجنب هذا ، إلا أن هناك بعض المشكلات عند تحديد إضافة الأعداد الطبيعية من حيث العملية اللاحقة والتي غالبًا ما يتم تجاهلها. راجع مشاركاتي في 22 تشرين الثاني (نوفمبر) 2011 و 28 تشرين الثاني (نوفمبر) 2011 في مجموعة منتدى الرياضيات لتدريس الرياضيات.

$ [ ldots] $ يعتبر هذه الحالة. هناك عالم حيث ، عندما يتم وضع زوجين من الأشياء بالقرب من بعضها البعض أو يتم التفكير فيهما معًا ، يتم إنشاء شيء خامس على الفور ويتم إدخاله في تأمل العقل المنخرط في تجميع اثنين واثنين معًا. هذا بالتأكيد ليس مستحيلًا ، لأننا نستطيع بسهولة تصور النتيجة من خلال التفكير في حيل الألغاز الشائعة ، ولا يمكن القول أنها تتجاوز قوة القدرة الكلية ، ولكن في مثل هذا العالم ، من المؤكد أن اثنين واثنين سيكونان خمسة. أي أن النتيجة التي يتبادر إلى الذهن عند التفكير في اثنين من اثنين ستكون العد خمسة. هذا يدل على أنه ليس من غير المعقول أن يكون اثنان واثنان خمسة ، ولكن من ناحية أخرى ، من السهل تمامًا أن نرى لماذا في هذا العالم نحن على يقين تام من أن اثنين واثنين يساوي أربعة. ربما لا توجد لحظة في حياتنا لا نختبر فيها الحقيقة. نراه كلما عدنا أربعة كتب ، أو أربعة طاولات أو كراسي ، أو أربعة رجال في الشارع ، أو الزوايا الأربع لحجر الرصف ، ونشعر به أكثر ثقة من شروق الشمس غدًا ، لأن تجربتنا حول هذا الموضوع أوسع بكثير وينطبق على مثل هذا العدد اللامتناهي من الحالات.

يأتي المقطع أعلاه من:

تمت إعادة طباعة مراجعة ستيفن لكتاب مانسيل في الصفحات 320-335 من كتاب ستيفن عام 1862 مقالات، حيث يمكن العثور على الاقتباس أعلاه في الصفحة 333.

(تمت إضافته بعد عامين) نظرًا لاستمرار إجابتي في تلقي اهتمام متقطع ولأنني صادفت شيئًا مرتبطًا به في نهاية هذا الأسبوع ، اعتقدت أنني سأقوم بتمديد إجابتي عن طريق إضافة عنصرين.

العنصر الأول الجديد ، [أ]، هو مقتطف من ورقة عام 1945 بقلم تشارلز إدوارد ويتمور. صادفت ورقة ويتمور قبل عدة سنوات عندما كنت أبحث في كل مجلدات المجلة مجلة تاريخ الأفكار في مكتبة جامعة قريبة. بالمناسبة ، ورقة ويتمور هي المكان الذي علمت فيه عن تكهنات جيمس فيتزجيمس ستيفن المذكورة أعلاه. العنصر الثاني الجديد ، [ب]، هو مقتطف من مقال كتبه أوغسطس دي مورغان قرأته في نهاية الأسبوع الماضي. مقال De Morgan هو العنصر [15] في إجابتي على سؤال تاريخ العلوم والرياضيات StackExchange هل أثرت كتابات جاليليو عن اللانهاية على كانتور؟ ومقاله مذكور أيضًا في البند [8]. لقد صادفت مراجع لمقال De Morgan من وقت لآخر على مر السنين ، لكنني لم أقرأه أبدًا لأنني لم أزعج نفسي بمحاولة البحث عنه في مكتبة الجامعة. ومع ذلك ، عندما وجدت دهشتي (لكن لم يكن من المفترض أن أتفاجأ حقًا) أن نسخة رقمية من المقالة كانت متاحة مجانًا على الإنترنت عندما بحثت عنها منذ حوالي أسبوع ، قمت بعمل نسخة مطبوعة ، والتي ثم اقرأ عندما كان لدي بعض الوقت (نهاية الأسبوع الماضي).

[أ] تشارلز إدوارد ويتمور (1887-1970) ، الطاحونة والرياضيات: ملاحظة تاريخية, مجلة تاريخ الأفكار 6 # 1 (يناير 1945) ، 109-112. السيد 6،141n Zbl 60.01622

(الفقرة الأولى من الورقة ص 109) في العديد من الأعمال الفلسفية ، يصادف المرء العبارة القائلة بأن جي إس ميل أكد في مكان ما أن اثنين واثنين قد يصنعان خمسة. وهكذا ، يقول البروفيسور لويس $ ^ 1 $ أن ميل & طلب منا أن نفترض أن شيطانًا قويًا وخبيثًا بما فيه الكفاية بحيث أنه في كل مرة يتم فيها الجمع بين شيئين مع شيئين آخرين ، يجب على هذا الشيطان دائمًا تقديم & quot؛ خامس & quot؛ لكنه لا يعطي إشارة محددة. <<>$ ^ 1 $ C. I. لويس ، العقل والنظام العالمي (1929), 250.>> C. S. Peirce $ ^ 2 $ يضعها في الشكل ، & quot ؛ عندما يتم وضع شيئين معًا ، يجب أن يظهر الثالث ، & quot يطلق عليه عقيدة تُنسب عادةً إلى Mill. <<>$^2$ أوراق مجمعة، IV ، 91 (بتاريخ 1893). يقدم المحررون إشارة إلى منطق، الثاني ، السادس ، 3.>> ألبرت ثيبوديت $ ^ 3 $ ينسب إلى & quota الفيلسوف الاسكتلندي الذي استشهد به ميل & quot المبدأ القائل بأن إضافة كميتين قد تؤدي إلى إنتاج كمية ثالثة. <<>$ ^ 3 $ مقدمة عن Les Idées de Charles Maurras (1920), 7.>> مرة أخرى ، أشار البروفيسور ليرد إلى $ ^ 4 $ أن & quotMill اقترح ، نتذكر ، أن اثنين واثنين قد لا يكونان أربعة في جزء بعيد من الكون النجمي ، & quot بالإشارة إلى منطق الثالث ، الحادي والعشرون ، 4 و الثاني ، السادس ، 2. <<>^ 4 $ جون ليرد ، المعرفة والإيمان والرأي (1930) ، 238.>> تشير هذه الحالات ، التي تم جمعها بشكل عرضي إلى حد ما ، إلى وجود بعض الالتباس في الموقف.

(من ص 109-111) علاوة على ذلك ، فإن الفكرة القائلة بأن اثنين واثنين [& quot ؛ يمكن & quot المقصود؟] جعل خمسة يتعارض تمامًا مع العقيدة العامة لل منطق. $ [ cdots] $ ومع ذلك ، على الرغم من أن هذه المشاهدات موجودة في الإصدار الأخير من منطق، صحيح أن ميل ، في الفترة الفاصلة ، حاول منعهم. بعد قراءة أعمال السير ويليام هاميلتون ثلاث مرات ، ألقى بنفسه فحصًا مكثفًا لهذا الفيلسوف ، حيث عكس موقفه - ولكن بناءً على اقتراح مفكر آخر. في الفصل السادس ، يتراجع عن الارتباطات التي لا تنفصم التي تولدها التجربة الموحدة على أنها تجبرنا على تصور اثنين واثنين كأربعة ، بحيث لا ينبغي أن نواجه صعوبة في تجميع الفكرتين المفترض أنهما غير متوافقين ، إذا لم تكن تجربتنا أولًا. ارتبط أحدهما بشكل لا ينفصل مع تناقض الآخر. '' ويضيف إلى هذا ، & quot دستور مختلف للطبيعة الخارجية ، يظهر ببراعة في الورقة الختامية لمجلد حديث ، مجهول ، ولكن من تأليف معروف ، مقالات ، بواسطة محام. & quot مؤلف العمل المعني هو جيمس فيتزجيمس ستيفن ، الذي جمع في عام 1862 معًا الأوراق المختلفة التي ظهرت في مراجعة السبت خلال ثلاث سنوات سابقة. بعضهم تعامل مع الفلسفة ، وهو من مراجعة لمانسيل الميتافيزيقيا الذي يواصل ميل اقتباسه دعماً لمذهبه الجديد $ [ cdots] $

ملحوظة: في الصفحة. 111 يجادل ويتمور ضد وجهة نظر ميل وستيفن التجريبية لـ & quottwo plus two يساوي أربعة & quot. حجج ويتمور ليست مقنعة جدا بالنسبة لي.

(من ص 112) إذن ، لم يبتدع ميل الفكرة ، لكنه تبناها من ستيفن ، في الشكل الذي يمكن أن يكون فيه اثنان واثنان خمسة لملكاتنا الحالية ، إذا كانت الطبيعة الخارجية مكونة بشكل مختلف. لم يخصصه لجزء بعيد من الكون ، ولم يستدعي نشاط بعض الشياطين الحاقدة ، ولم يقل إن واحدًا واحدًا يمكن أن يصنع ثلاثة. لم يستكشف آثارها ، أو استفسر عن كيفية التوفيق بينها وبين ما قاله في أماكن أخرى ، لكنه على الأقل يحق له الحصول على بيان محدد لما قاله. أعترف أنني محتار إلى حد ما من الأشكال المختلفة التي تم الاستشهاد بها ، ومن التفاصيل غير ذات الصلة التي تمت إضافتها.

[ب] أوغسطس دي مورغان (1806-1871) ، على اللانهاية وعلى علامة المساواة, معاملات جمعية كامبريدج الفلسفية 11 الجزء الأول (1871) ، 145-189.

نُشر بشكل منفصل ككتيب بواسطة مطبعة جامعة كامبريدج عام 1865 (نفس العنوان أنا + 45 صفحة). المقتطف التالي من النسخة المنشورة عام 1865.

(الحاشية 1 في الصفحة 14) نحن على استعداد لنقول أن هذا مثير للإعجاب انسجام محدد مسبقًا التي توجد بين الذاتية والموضوعية هي خاصية ضرورية للعقل. قد يكون أو لا يكون كذلك. لا يمكننا أن نمنح القوة المطلقة القدرة على تشكيل عقل يكون العد الأساسي له من خلال اثنين ، و 2 دولار ، و 4 دولارات ، و 6 دولارات ، و دولارات أمريكية. العقل الذي يجد دائمًا أول مفهوم إرشادي في هذا و ذاك، وفقط مع يفصل الجهد هذا من عند الذي - التي. لا يمكنني اختراع الأشكال الأساسية للغة لهذا العقل ، ولذا فأنا مضطر إلى جعلها تتعارض مع طبيعتها باستخدام مصطلحاتنا. تساعد محاولة التفكير في مثل هذه الأشياء على عادة التمييز بين الذاتي والموضوعي.

ملحوظة: سوف يرغب المهتمون بمثل هذه التكهنات أيضًا في إلقاء نظرة على حاشية De Morgan المطولة على p. 20.

(تمت إضافته بعد 6 سنوات) قرأت مؤخرًا كتاب إيان ستيوارت لعام 2006 رسائل إلى عالم رياضيات شاب وفي هذا الكتاب يوجد مقطع (انظر أدناه) أعتقد أنه يستحق تضمينه هنا.

(من ص 30-31) أعتقد أن الرياضيات البشرية مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بعلم وظائف الأعضاء وخبراتنا وتفضيلاتنا النفسية أكثر مما نتخيل. إنها ضيقة الأفق وليست عالمية. قد تبدو نقاط وخطوط الهندسة هي الأساس الطبيعي لنظرية الشكل ، لكنها أيضًا السمات التي يصادف أن يقوم نظامنا البصري بتشريح العالم من خلالها. قد يجد النظام البصري الفضائي الضوء والظل الأساسي ، أو الحركة والركود ، أو تردد الاهتزاز.قد يجد دماغ فضائي أن الرائحة ، أو الإحراج ، ولكن ليس الشكل ، أمر أساسي لإدراكه للعالم. وعلى الرغم من أن الأرقام المنفصلة مثل 1 دولار ، 2 دولار ، 3 دولارات ، دولار تبدو عالمية بالنسبة لنا ، فإنها تعود إلى ميلنا لتجميع أشياء متشابهة ، مثل الأغنام ، واعتبارها خاصية: لي سرقت الأغنام؟ يبدو أن الحساب نشأ من خلال شيئين: توقيت الفصول والتجارة. لكن ماذا عن مخلوقات المنطاد في بوسيدون البعيد ، عملاق الغاز الافتراضي مثل كوكب المشتري ، الذي يتدفق عالمه باستمرار للرياح المضطربة ، والذين ليس لديهم إحساس بالملكية الفردية؟ قبل أن يتمكنوا من العد حتى ثلاثة ، فإن كل ما كانوا يعدونه قد ينسف في نسيم الأمونيا. ومع ذلك ، سيكون لديهم فهم أفضل بكثير مما نفهمه لرياضيات تدفق السوائل المضطرب.


2 مخطط التشغيل

يصف هذا الفصل كيفية تشغيل MIT / GNU Scheme. يصف أيضًا كيف يمكنك تخصيص سلوك MIT / GNU Scheme باستخدام خيارات سطر الأوامر ومتغيرات البيئة.

2.1 أساسيات مخطط البدء

تحت يونكس ، يتم استدعاء MIT / GNU Scheme عن طريق الكتابة

في مترجم أوامر نظام التشغيل الخاص بك و rsquos. في كلتا الحالتين ، سيقوم النظام بتحميل نفسه وطباعة شيء مثل هذا:

هذه المعلومات ، والتي يمكن طباعتها مرة أخرى عن طريق التقييم

يخبرك معلومات الإصدار التالية. & lsquo Release & rsquo هو رقم إصدار نظام المخطط بأكمله. يتم تغيير هذا الرقم في كل مرة يتم فيها إصدار إصدار جديد من النظام.

بعد ذلك قد تكون هناك أسماء إضافية لأنظمة فرعية معينة. & lsquo SF & rsquo يشير إلى برنامج تحسين scode sf & lsquo LIAR / ARCH & rsquo هو مترجم الكود الأصلي ، حيث ARCH هي بنية الكود الأصلية التي يتم تجميعها إلى & lsquo Edwin & rsquo هو محرر نصوص يشبه Emacs. هناك أنظمة فرعية أخرى يمكنك تحميلها والتي ستضيف نفسها إلى هذه القائمة.

2.2 تخصيص المخطط

يمكنك تخصيص الإعداد الخاص بك باستخدام مجموعة متنوعة من الأدوات:

  • خيارات سطر الأوامر. قد تتنوع العديد من المعلمات ، مثل استخدام الذاكرة وموقع المكتبات ، حسب خيارات سطر الأوامر. انظر خيارات سطر الأوامر.
  • البرامج النصية شل. قد ترغب في كتابة البرامج النصية التي تستدعي Scheme بخيارات سطر الأوامر المفضلة لديك. على سبيل المثال ، قد لا يكون لديك ذاكرة كافية لتشغيل Edwin أو المترجم باستخدام معلمات الذاكرة الافتراضية الخاصة به (سيطبع شيئًا مثل & ldquo ليست ذاكرة كافية لهذا التكوين & rdquo ويتوقف عند البدء) ، لذلك يمكنك كتابة نص برمجي يستدعي Scheme باستخدام المناسب - الكبسلة وغيرها من المعلمات.
  • يدعم المخطط ملفات init: ملف init هو ملف يحتوي على رمز المخطط الذي يتم تحميله عند بدء تشغيل المخطط ، مباشرة بعد شعار التعريف ، وقبل طباعة موجه الإدخال. يتم تخزين هذا الملف في الدليل الرئيسي الخاص بك ، والذي يتم تحديده عادةً بواسطة متغير البيئة HOME. تحت يونكس ، يسمى الملف .scheme.init.

بالإضافة إلى ذلك ، عند بدء تشغيل Edwin ، يقوم بتحميل ملف init منفصل من الدليل الرئيسي الخاص بك إلى بيئة Edwin. يسمى هذا الملف .edwin ضمن نظام التشغيل Unix (انظر بدء Edwin).

يمكنك استخدام هذين الملفين لتحديد الإجراءات أو الأوامر الجديدة ، أو لتغيير الإعدادات الافتراضية في النظام.

يؤدي خيار سطر الأوامر - no-init-file إلى أن يتجاهل المخطط ملف .scheme.init (راجع خيارات سطر الأوامر).

2.3 استخدام الذاكرة

تحدد بعض المعلمات التي يمكن تخصيصها مقدار الذاكرة التي يستخدمها النظام وكيفية استخدام هذه الذاكرة. يصف هذا القسم كيفية تنظيم ذاكرة Scheme & rsquos واستخدام الأقسام التالية التي تصف خيارات سطر الأوامر ومتغيرات البيئة التي يمكنك استخدامها لتخصيص هذا الاستخدام وفقًا لاحتياجاتك.

يستخدم المخطط أربعة أنواع من الذاكرة:

  • أ كومة يُستخدم لمكالمات الإجراءات العودية.
  • أ كومة يتم استخدامه للكائنات المخصصة ديناميكيًا ، مثل الخلايا والسلاسل السلبية. التخزين المستخدم للكائنات الموجودة في الكومة التي لم يتم الرجوع إليها يتم استردادها في النهاية بواسطة جمع القمامة.
  • أ مساحة ثابتة التي يتم استخدامها للكائنات المخصصة ، مثل الكومة. على عكس الكومة ، لا يتم استعادة التخزين المستخدم للكائنات الموجودة في مساحة ثابتة عن طريق جمع القمامة ، أي كائنات لا يمكن الوصول إليها في مساحة ثابتة تظل هناك حتى يتم إنهاء عملية المخطط. يتم استخدام مساحة ثابتة للأشياء الدائمة بشكل أساسي ، مثل الإجراءات في نظام وقت التشغيل. يؤدي القيام بذلك إلى تقليل نفقات مجموعة البيانات المهملة لأن هذه الكائنات لم تعد تُنسخ.
  • بعض التخزين الإضافي الذي يستخدمه الرمز الصغير (جزء النظام الذي يتم تنفيذه في C).

يمكن التحكم في جميع أنواع الذاكرة باستثناء الأخيرة إما عن طريق خيارات سطر الأوامر أو بواسطة متغيرات البيئة.

يستخدم مخطط MIT / GNU جامع القمامة لنسخ مساحتين لاستعادة التخزين في الكومة. المساحة الثانية ، المستخدمة فقط أثناء جمع القمامة ، يتم تخصيصها ديناميكيًا حسب الحاجة.

بمجرد تخصيص التخزين للمساحة الثابتة والكومة ، سيعمل المخطط ديناميكيًا على ضبط نسبة الإجمالي المستخدم للمساحة الثابتة ، لا يتم تضمين المكدس وتخزين الرمز الصغير الإضافي في هذا التعديل. كانت الإصدارات السابقة من مخطط MIT / GNU بحاجة إلى معرفة مقدار المساحة الثابتة المطلوبة عند تحميل النطاقات بخيار النطاق --band. الضبط الديناميكي للكومة والمساحة الثابتة يتجنب هذه المشكلة.

إذا لم يتم تحديد حجم المساحة الثابتة ، يتم ضبطه تلقائيًا على الحجم الصحيح للنطاق الذي يتم تحميله ، ونادرًا ما يكون من الضروري تعيين حجم المساحة الثابتة بشكل صريح. بالإضافة إلى ذلك ، يتطلب كل نطاق مقدارًا صغيرًا من مساحة الكومة ، تتم إضافة هذا المقدار إلى أي حجم كومة محدد ، بحيث يكون حجم الكومة المحدد هو مقدار المساحة الخالية المتوفرة.

يوضح تعبير المخطط & lsquo (print-gc-Statistics) & rsquo مقدار الكومة والمساحة الثابتة المتاحة (انظر مجموعة البيانات المهملة).

2.4 خيارات سطر الأوامر

يقبل المخطط خيارات سطر الأوامر المفصلة في الأقسام التالية. قد تظهر الخيارات بأي ترتيب ، مع تقييد أن خيارات الرمز الصغير يجب أن تظهر قبل خيارات وقت التشغيل ، ويجب أن تظهر خيارات وقت التشغيل قبل أي وسيطات أخرى في سطر الأوامر. ستنشئ أي وسيطات بخلاف هذه الخيارات رسالة تحذير عند بدء تشغيل النظام. إذا كنت تريد تحديد خيارات سطر الأوامر الخاصة بك ، فراجع خيارات سطر الأوامر المخصصة.

لاحظ أن MIT / GNU Scheme يدعم فقط طويل الخيارات ، أي الخيارات المحددة بأسماء مطولة ، بدلاً من قصير القامة الخيارات التي يتم تحديدها بأحرف مفردة. كل الخيارات تبدأ بوصلتين ، للتوافق مع معايير ترميز جنو (ومعظم البرامج الحديثة).

هذه هي خيارات الرمز الصغير:

يحدد ملف الصورة العالمي الأولي (حافظة مسافة) ان تكون محملة. يبحث عن اسم الملف في دليل العمل وأدلة المكتبة ، باستخدام اسم المسار الكامل لأول ملف يمكن قراءته بهذا الاسم. إذا كان اسم الملف هو اسم مسار مطلق (على نظام يونكس ، فهذا يعني أنه يبدأ بـ /) ، فلن يحدث بحث ويتم اختبار اسم ملف mdash لسهولة القراءة ثم يتم استخدامه مباشرة. إذا لم يكن هذا الخيار معطى rsquot ، فإن اسم الملف هو قيمة متغير البيئة MITSCHEME_BAND ، أو إذا كان هذا هو n & rsquot ، فسيتم البحث في all.com في هذه الحالات في أدلة المكتبة ، ولكن ليس دليل العمل.

يحدد حجم الكومة في كتل من 1024 كلمة. يتجاوز أي تقصير. يتم زيادة الحجم المحدد بواسطة هذا الخيار بمقدار مساحة الكومة التي يحتاجها النطاق الذي يتم تحميله. وبالتالي ، تحدد --heap مقدار المساحة الحرة التي ستكون متاحة في الكومة عند بدء تشغيل النظام ، بغض النظر عن مقدار الكومة التي يستهلكها النطاق بالفعل.

يحدد حجم المسافة الثابتة في كتل من 1024 كلمة. يتجاوز أي تقصير. تحتوي المساحة الثابتة على الكود المترجم لنظام وقت التشغيل والأنظمة الفرعية الأخرى.

يحدد حجم المكدس في كتل من 1024 كلمة. يتجاوز أي تقصير. هذا هو مخطط و rsquos مكدس ، ليس مكدس يونكس الذي تستخدمه برامج سي.

يتسبب النظام في كتابة ملخص خيار للخطأ القياسي. يعرض هذا قيم جميع متغيرات خيار الرمز الصغير القابلة للتعيين.

يحدد أن المخطط يعمل كعملية فرعية لـ GNU Emacs. يتم توفير هذا الخيار تلقائيًا بواسطة GNU Emacs ، ولا ينبغي إعطاؤه في ظل ظروف أخرى.

يُعد سلوك الفصل هذا مفيدًا لتشغيل المخطط كوظيفة في الخلفية. على سبيل المثال ، باستخدام Bourne shell ، سيقوم ما يلي بتشغيل Scheme كوظيفة في الخلفية ، وإعادة توجيه المدخلات والمخرجات إلى الملفات ، ومنعها من القتل بسبب مقاطعة لوحة المفاتيح أو عن طريق تسجيل الخروج:

يتم تجاهل هذا الخيار في ظل أنظمة التشغيل غير يونكس.

يحدد أن المخطط لا ينبغي أن ينشئ تفريغًا أساسيًا تحت أي ظرف من الظروف. إذا لم يتم تقديم هذا الخيار ، وانتهى المخطط بشكل غير طبيعي ، فسيُطلب منك تحديد ما إذا كان يجب إنشاء تفريغ أساسي.

يتم تجاهل هذا الخيار في ظل أنظمة التشغيل غير يونكس.

يضبط مسار بحث المكتبة على المسار. هذه قائمة بالأدلة التي يتم البحث عنها للعثور على ملفات مكتبة متنوعة ، مثل العصابات. إذا لم يتم تحديد هذا الخيار ، فسيتم استخدام قيمة متغير البيئة MITSCHEME_LIBRARY_PATH إذا لم يتم تعريف ذلك ، يتم استخدام القيمة الافتراضية.

في نظام يونكس ، يتم فصل عناصر القائمة بنقطتين ، والقيمة الافتراضية هي / usr / local / lib / mit-plans- ARCH.

يحدد أن أ الحمل البارد يجب أن يتم ذلك باستخدام اسم الملف كملف أولي ليتم تحميله. إذا لم يتم إعطاء هذا الخيار & rsquot ، فسيتم إجراء حمل عادي بدلاً منه. لا يجوز استخدام هذا الخيار مع خيار النطاق --band. هذا الخيار مفيد فقط لصيانة وتطوير نظام وقت تشغيل MIT / GNU Scheme.

الخيارات التالية هي خيارات وقت التشغيل. تتم معالجتها بعد خيارات الرمز الصغير وبعد تحميل ملف الصورة.

يؤدي هذا الخيار إلى قيام Scheme بتجاهل $/.scheme.init ، يتم تحميله تلقائيًا بشكل طبيعي عند بدء تشغيل المخطط (إذا كان موجودًا).

في بعض الحالات ، يمكن للمخطط كتابة ملف يسمى schem_suspend في دليل home & rsquos. 1 هذا الملف عبارة عن صورة عالمية تحتوي على الحالة الكاملة لعملية المخطط التي تقوم باستعادة هذا الملف والتي تستمر في الحساب الذي كان يقوم به النظام في وقت كتابة الملف.

عادةً لا تتم كتابة هذا الملف مطلقًا ، ولكن الخيار --suspend-file يتيح لكتابة هذا الملف.

يؤدي هذا الخيار إلى قيام Scheme بتقييم التعبير الذي يتبعه في سطر الأوامر ، حتى وإن لم يتم تضمين الوسيطة التالية التي تبدأ بواصلة. يتم تقييم التعبيرات في بيئة المستخدم الأولية. يتم تجاهل الأخطاء أثناء التقييم بصمت ما لم يتم التعامل معها بشكل صريح.

يؤدي هذا الخيار إلى قيام Scheme بتحميل الملفات (أو قوائم الملفات) التي تتبعها في سطر الأوامر ، حتى (ولكن لا تشمل) الوسيطة التالية التي تبدأ بواصلة. يتم تحميل الملفات في بيئة المستخدم الأولية. يتم تجاهل الأخطاء أثناء التحميل بصمت ما لم يتم التعامل معها بشكل صريح.

يؤدي هذا الخيار إلى تحميل Edwin وبدء تشغيله فور بدء تشغيل المخطط.

تسمح الخيارات التالية بتمرير الوسائط إلى البرامج النصية عبر إجراء وسيطات سطر الأوامر.

إجراء: وسائط سطر الأوامر

لعرض قائمة بالمتغيرات (السلاسل) التي تم جمعها من سطر الأوامر بواسطة خيارات مثل --args أو -.

يؤدي هذا الخيار إلى قيام Scheme بإلحاق الوسيطات ، بما يصل إلى (ولكن لا يشمل) الوسيطة التالية التي تبدأ بواصلة ، إلى القائمة التي يتم إرجاعها بواسطة إجراء وسيطات سطر الأوامر.

يؤدي هذا الخيار إلى قيام Scheme بإلحاق باقي وسيطات سطر الأوامر (حتى تلك التي تبدأ بواصلة) بالقائمة التي يتم إرجاعها بواسطة إجراء وسيطات سطر الأوامر.

2.5 خيارات سطر الأوامر المخصصة

يوفر MIT / GNU Scheme آلية لتحديد خيارات سطر الأوامر الخاصة بك. يتم ذلك عن طريق تسجيل المعالجات لتحديد خيارات مسماة معينة ومعالجتها عند بدء المخطط. لسوء الحظ ، بسبب الطريقة التي يتم بها تنفيذ هذه الآلية ، يجب عليك تحديد الخيارات ثم حفظ صورة العالم التي تحتوي على تعريفاتك (انظر الصور العالمية). في وقت لاحق ، عندما تبدأ المخطط باستخدام تلك الصورة العالمية ، سيتم التعرف على خياراتك.

تحدد الإجراءات التالية موزعي سطر الأوامر. في كل منها ، تحدد الكلمة الأساسية الوسيطة الخيار الذي سيتم التعرف عليه في سطر الأوامر. يجب أن تكون الكلمة الأساسية عبارة عن سلسلة تحتوي على حرف واحد على الأقل ولا تتضمن الواصلات البادئة.

إجراء: محلل سطر أوامر بسيط كلمات مفتاحية thunk [مساعدة]

يحدد الكلمة الأساسية لتكون خيار سطر أوامر بسيط. عندما يتم عرض هذه الكلمة الأساسية في سطر الأوامر ، فإنه يتسبب في تنفيذ thunk. يجب أن تكون Help ، عند توفيرها ، سلسلة نصية تصف الخيار في إخراج --help.

إجراء: وسيطة سطر الأوامر محلل كلمات رئيسية متعددة؟ إجراء [مساعدة]

تحدد الكلمة الأساسية لتكون خيار سطر أوامر متبوعًا بواحدة أو أكثر من وسيطات سطر الأوامر. الإجراء هو إجراء يقبل وسيطة واحدة عند رؤية الكلمة الأساسية ، ويتم استدعاؤها مرة واحدة لكل وسيطة. يجب أن تكون المساعدة ، عند تقديمها ، عبارة عن سلسلة تصف الخيار. يتم تضمينه في إخراج المساعدة. عندما لا يتم توفيرها ، ستقول المساعدة --help شيئًا ضعيفًا حول خيار سطر الأوامر.

عديد؟ ، إذا كان هذا صحيحًا ، يشير إلى أن هذه الكلمة الرئيسية يمكن أن تتبعها أكثر من وسيطة واحدة في سطر الأوامر. في هذه الحالة ، يتم استدعاء الإجراء مرة واحدة لكل وسيطة تتبع الكلمة الأساسية ولا تبدأ بواصلة. إذا كانت متعددة؟ هو #f ، يتم استدعاء الإجراء مرة واحدة ، مع وسيطة سطر الأوامر التي تلي الكلمة الأساسية. في هذه الحالة ، لا يهم إذا كانت الوسيطة التالية تبدأ بشرطة.

إجراء: مجموعة سطر الأوامر محلل! إجراء الكلمات الرئيسية

يحدد هذا الإجراء ذو ​​المستوى المنخفض الكلمة الأساسية لتكون خيار سطر أوامر يتم تحديده بواسطة الإجراء. عند رؤية الكلمة الأساسية ، يتم استدعاء الإجراء مع جميع وسائط سطر الأوامر ، بدءًا من الكلمة الأساسية ، كوسيطة قائمة واحدة. يجب أن يُرجع الإجراء قيمتين (باستخدام إجراء القيم): وسيطات سطر الأوامر غير المستخدمة (كقائمة) ، وإما #f أو thunk للاستدعاء بعد تحليل سطر الأوامر بالكامل (وتحميل ملف init). وبالتالي فإن الإجراء لديه خيار تنفيذ الإجراء المناسب في وقت التحليل ، أو تأخيره إلى ما بعد اكتمال التحليل. يتم تنفيذ الإجراءات (أو الإجراءات المتأخرة المرتبطة بها) بشكل صارم من اليسار إلى اليمين ، مع تحميل ملف init بين نهاية التحليل والإجراءات المتأخرة.

2.6 متغيرات البيئة

يشير المخطط إلى العديد من متغيرات البيئة. يسرد هذا القسم هذه المتغيرات ويصف كيفية استخدام كل منها. يتم تنظيم متغيرات البيئة وفقًا لأجزاء نظام MIT / GNU التي تؤثر عليها.

يجب تحديد متغيرات البيئة التي تؤثر على الرمز الصغير قبل بدء تشغيل المخطط يمكن تعريف الآخرين أو الكتابة فوقها داخل المخطط باستخدام مجموعة متغير البيئة! الإجراء ، على سبيل المثال

2.6.1 متغيرات البيئة للرمز الصغير

يشار إلى متغيرات البيئة هذه بواسطة الرمز الصغير: برنامج C القابل للتنفيذ يسمى مخطط MIT- ARCH - VERSION. يتم تجاوز القيم التي يحددونها من خلال خيارات سطر الأوامر المقابلة ، إذا تم توفيرها.

النطاق الأولي المراد تحميله. القيمة الافتراضية هي all.com.

قائمة الدلائل. يتم البحث في هذه الدلائل ، من اليسار إلى اليمين ، للعثور على نطاقات وملفات أخرى متنوعة. في أنظمة يونكس ، تكون القائمة مفصولة بنقطتين ، مع الافتراضي / usr / local / lib / mit-مخطط- ARCH - VERSION.

حجم الفراغ الثابت ، في كتل من 1024 كلمة تم تجاوزها بواسطة - ثابت. يتم حساب القيمة الافتراضية لتكون الحجم الصحيح للنطاق الذي يتم تحميله.

حجم الكومة ، في كتل مكونة من 1024 كلمة تم تجاوزها بواسطة - heap. تعتمد القيمة الافتراضية على البنية: بالنسبة للأجهزة ذات 32 بت ، يكون الافتراضي هو & lsquo 3072 & rsquo ، وبالنسبة للأجهزة ذات 64 بت ، يكون الإعداد الافتراضي هو & lsquo 16384 & rsquo.

حجم المكدس ، في كتل من 1024 كلمة تم تجاوزها بواسطة --stack. القيمة الافتراضية هي & lsquo 1024 & rsquo.

2.6.2 متغيرات البيئة لنظام وقت التشغيل

يشار إلى متغيرات البيئة هذه بواسطة نظام وقت التشغيل.

الدليل الذي يتم فيه البحث عن ملفات init ، على سبيل المثال / home / joe. تحت unix HOME يتم تعيينه بواسطة غلاف تسجيل الدخول.

دليل لمختلف الملفات المؤقتة. تمت تجربة المتغيرات بالترتيب المحدد. إذا لم يكن أي منها مناسبًا ، فسيتم استخدام الإعدادات الافتراضية المضمنة: / var / tmp ، / usr / tmp ، / tmp.

الدليل الذي يحتوي على ملفات معلومات التصحيح لنظام المخطط. يجب أن يحتوي على أدلة فرعية مقابلة للأدلة الفرعية في شجرة المصدر. افتراضيًا ، يتم البحث عن المعلومات في مسار المكتبة.

يحدد موقع ملف قاعدة بيانات الخيارات الذي يستخدمه إجراء خيار التحميل. الافتراضي هو optiondb.scm على مسار المكتبة.

2.6.3 متغيرات البيئة لإدوين

تمت الإشارة إلى متغيرات البيئة هذه بواسطة Edwin.

الدليل حيث يتوقع Edwin العثور على الملفات التي توفر تسهيلات محملة تلقائيًا. الافتراضي هو إدوين على مسار المكتبة.

الدليل حيث يتوقع Edwin العثور على ملفات لنظام التوثيق الفرعي & lsquoinfo & rsquo. الافتراضي هو edwin / info على مسار المكتبة.

الدليل الذي يتوقع إدوين فيه العثور على البرامج المساعدة وسلاسل التوثيق. الافتراضي هو إدوين على مسار المكتبة.

اسم ملف برنامج shell المراد استخدامه في مخازن الصدفة. إذا لم يتم تعريفه ، فسيتم استخدام متغير بيئة SHELL بدلاً من ذلك.

اسم ملف برنامج shell لاستخدامه في مخازن الصدفة وعند تنفيذ أوامر shell. يستخدم لتهيئة متغير محرر اسم مسار قذيفة. الافتراضي هو / bin / sh في أنظمة يونكس.

يستخدم لتهيئة متغير محرر مسار exec ، والذي يستخدم لاحقًا لإيجاد البرامج التي سيتم تشغيلها كعمليات فرعية.

تُستخدم عندما يعمل Edwin تحت نظام unix ويستخدم X11. يحدد العرض الذي سينشئ Edwin النوافذ عليه.

تُستخدم عندما يعمل Edwin تحت نظام unix على محطة طرفية. نوع المحطة.

تُستخدم عندما يعمل Edwin تحت نظام unix على محطة طرفية. عدد سطور النص على الشاشة ، للأنظمة التي لا تدعم & lsquo TIOCGWINSZ & rsquo.

تُستخدم عندما يعمل Edwin تحت نظام unix على محطة طرفية. عدد أعمدة النص على الشاشة ، للأنظمة التي لا تدعم & lsquo TIOCGWINSZ & rsquo.

2.7 مخطط المغادرة

هناك العديد من الطرق التي يمكنك من خلالها مغادرة المخطط: هناك نوعان من إجراءات المخطط التي يمكنك الاتصال بها ، وهناك العديد من أوامر Edwin التي يمكنك تنفيذها وهناك أزرار واجهة رسومية (ومسرعات لوحة المفاتيح المرتبطة بها) يمكنك تنشيطها.

    اثنان من إجراءات المخطط التي يمكنك الاتصال بها. الأول هو التقييم

التي ستوقف نظام المخطط ، بعد طلب التأكيد أولاً. يتم فقد أي معلومات كانت موجودة في البيئة ، لذلك لا ينبغي القيام بذلك بسهولة.

يقوم الإجراء الثاني بإيقاف تشغيل المخطط عند القيام بذلك ، يمكنك لاحقًا إعادة التشغيل من حيث توقفت.لسوء الحظ ، هذا غير ممكن في جميع أنظمة التشغيل حاليًا ، فهو يعمل في ظل إصدارات unix التي تدعم التحكم في الوظائف (أي جميع إصدارات unix التي نوزع لها مخططًا). لتعليق النظام ، قم بالتقييم

إذا كان نظامك يدعم التعليق ، فسيؤدي ذلك إلى إيقاف المخطط ، وستتم إعادتك إلى الغلاف. يظل المخطط متوقفًا ، ويمكن متابعته باستخدام أوامر التحكم في الوظائف الخاصة بك. إذا كان نظامك لا يدعم التعليق ، فإن هذا الإجراء لا يفعل شيئًا. (يعتبر استدعاء إجراء الإقلاع مماثلاً لكتابة C-z ، ولكنه يسمح لـ Scheme بالاستجابة عن طريق كتابة مطالبة عندما تكون غير معلقة.)


أساليب

تصميم الدراسة والمشاركين

كانت هذه الدراسة عبارة عن تجربة بدأها المحقق ، المرحلة الثانية ، مفتوحة التسمية ، منصة توسيع أحادية الذراع من النوع الثاني (16 ، 21 ، 22) تم إجراؤها في جامعة شيكاغو جنبًا إلى جنب مع اثنين من مواقع الأقمار الصناعية المجتمعية. تمت الموافقة على بروتوكول الدراسة وجميع التعديلات من قبل مجلس المراجعة المؤسسية بجامعة شيكاغو. تم تنفيذ البروتوكول وفقًا لإعلان هلسنكي وأشرف عليه لجنة مراقبة البيانات والسلامة الداخلية. قدم جميع المرضى موافقة خطية مستنيرة قبل التسجيل.

كان المرضى المؤهلون يبلغون من العمر 18 عامًا أو أكثر مع GEA النقيلي المثبت تشريحًا من خزعة موقع المرحلة الرابعة (علم الخلايا مقبول من الانصباب / الاستسقاء). كان من الضروري أن يكون المرضى قد تم تشخيصهم حديثًا بمرض متقدم ، أو تكراره بعد العلاج العلاجي السابق إذا تم الانتهاء منه قبل أكثر من ستة أشهر. تضمنت معايير التضمين الرئيسية حالة أداء ECOG من 0 إلى 2 ، وعدم وجود وذمة محيطية من الدرجة 2 أو أعلى ، أو اعتلال الأعصاب المحيطية ، أو الإسهال. كان المرضى يعانون من مرض غير قابل للقياس أو قابل للقياس وفقًا لـ RECISTv1.1. تضمنت معايير الاستبعاد الرئيسية تاريخ مرض مناعي ذاتي معروف أو مشتبه به ، أو ورم خبيث ثانٍ نشط ، أو مرض / عدوى متداخلة ، أو جزء قاذف قلبي أقل من 50٪ ، أو تاريخ إصابة الأوعية الدموية الدماغية أو احتشاء عضلة القلب في غضون ستة أشهر. تفاصيل الأهلية الكاملة موجودة في البروتوكول (انظر الملحق في الملفات التكميلية).

تقييم العلامات الحيوية وتحديد أولويات العلاج

تم إجراء فحوصات تحديد العلامات الحيوية بالتوازي على جميع العينات ، بما في ذلك الخزعات الأولية والنقيلة الأساسية ، وكذلك الخزعات المرضية التدريجية الأولى (PD1) والثانية (PD2). تضمنت التحليلات NGS باستخدام FoundationOne ، بما في ذلك اختبار MSI و TMB (85) ، جنبًا إلى جنب مع CPS لـ PD-L1 بواسطة IHC باستخدام مقايسة 22C3 pharmDx (86) ، وكلها من Foundation Medicine. تم اعتبار PD-L1 إيجابيًا عند CPS -10 ، وكان TMB مرتفعًا إذا كانت طفرات ≥15 لكل ميجا بايت (34). تم اعتبار الجينات مضخمة بواسطة NGS إذا لوحظت ثماني نسخ أو أعلى. تم تقييم حالة HER2 واعتبرت إيجابية إذا كانت IHC3 + أو IHC2 + جنبًا إلى جنب مع تضخيم FISH (نسبة HER2:CEP17 تحقيقات أكبر من أو تساوي 2 المرجع. 87). تم الحصول على الحمض النووي للورم المتداول (ctDNA) وتحليله باستخدام Guardant360 في الأساس وبشكل متسلسل في كل نقطة زمنية لتطور المرض ، كما هو موضح سابقًا (29 ، 88). إذا EGFR أو التقى تم تحديد التضخيم في إحدى نتائج نسيج المريض أو ctDNA-NGS ، تم تحليل جميع عينات المريض لهذين الجينين بواسطة FISH في Neogenomics (40). إذا أظهرت عينة PD-L1 CPS-10 ولم تكن MSI-H ، فقد تم تحديد حالة فيروس Epstein-Barr (EBV) بواسطة ISH باستخدام تحقيقات ضد Epstein-Barr المشفر RNA1. تم تحديد كمية تعبير EGFR عن طريق قياس الطيف الكتلي المختار لرصد التفاعل (SRM-MS) واعتبر إيجابيًا إذا كان أعلى من حد الكشف (أتومول / ميكروجرام) ، كما هو موضح سابقًا (40 ، 89). لمعالجة إمكانية عدم كفاية الأنسجة لإجراء جميع التحليلات المقصودة ، تم إعطاء الأولوية للاختبار في كل عينة من خلال مجموعة من القواعد وفقًا لخوارزمية تخصيص العلاج الموضحة أدناه.

بناءً على نتائج هذا التنميط الجزيئي الشامل ، تم تخصيص عينة من الورم لواحدة من ثماني فئات بيولوجية بناءً على خوارزمية محددة مسبقًا (الجدول 2): المجموعة 1 IO ، بما في ذلك MSI-H و EBV + و TMB عالية [≥ 15 طفرات / قاعدة ميغا (mt / Mb)] و / أو PD-L1 IHC CPS ≥10 مجموعات 2-5 تضخيم RTK لـ HER2 ، EGFR ، FGFR2، و التقى، على التوالي ، مجموعة 6 التنشيط الجيني لمجموعة مسارات MAPK / PIK3CA / GNAS 7 EGFR معربًا عن مجموعة SRM-MS 8 كلها سلبية. أعطيت المجموعة 1 IO الأولوية للمجموعة 2 من الأورام الإيجابية HER2 في إعداد الخط الأول فقط ، ولكن كانت الأولوية الأولى في السطر الثاني وما بعده. بالنسبة للمجموعات من 2 إلى 5 ، إذا تم تضخيم اثنين أو أكثر من RTKs بشكل متزامن ، فإن الجين الذي يحتوي على أعلى عدد نسخ سيكون له الأولوية ، مع الأخذ في الاعتبار أن نسخ الجينات الأعلى مرتبطة بالتعبير الأعلى ، والذي يرتبط بفعالية أعلى للعلاج المستهدف المتطابق (3 ، 29 ، 40 ، 90-93). إذا كان تعيين المرقم الحيوي النهائي متعارضًا بين الأورام الأولية والنقيلة في الأساس قبل علاج الخط الأول ، فسيكون للورم النقيلي الأسبقية. إذا كانت كمية الأنسجة النقيلية غير كافية (QNS) لإكمال جميع الاختبارات وتخصيص العلامات الحيوية ، فيمكن عندئذٍ استخدام ctDNA لتعيين المرقم الحيوي. إذا لم تكن هناك تعديلات قابلة للتنفيذ بواسطة ctDNA لكل الخوارزمية ، فقد تم استخدام ملف تعريف الورم الأساسي. إذا كان QNS على الرغم من هذه الخطوات ، فسيتم تعيين المريض في المجموعة 8. تم الحصول على خزعات زمنية (PD1 و PD2 و PD3) من الآفات المتقدمة.

الإجراءات العلاجية

تم إعطاء المضاعفات السامة للخلايا كدورات علاج كل أسبوعين في كل من ما يصل إلى ثلاثة خطوط علاج (الشكل التكميلي S3). يستلزم العلاج السام للخلايا من الخط الأول لـ FOLFOX6 المعدل اليوم الأول من الأكساليبلاتين 85 مجم / م 2 IV. مع ليوكوفورين 200 مجم / م 2 في الوريد. أكثر من ساعتين ، ثم جرعة 5-فلورويوراسيل (5FU) 400 مجم / م 2 في الوريد ، ثم 2400 مجم / م 2 في الوريد. التسريب المستمر على مدى 46 ساعة. يسمح تعديل 8/2016 ، وفقًا لتقدير المحقق المعالج ، بحذف بلعة 5FU و leucovorin من بداية العلاج (المعدل FOLFOX7). العلاج السام للخلايا من الخط الثاني لـ FOLFIRI المعدل (بدون بلعة 5FU) يستلزم irinotecan 180 mg / m 2 IV. مع ليوكوفورين 200 مجم / م 2 في الوريد. أكثر من ساعتين ، ثم 5FU 2400 مجم / م 2 على مدار 46 ساعة. يستلزم العلاج السام للخلايا من الخط الثالث لـ FOLFTAX استخدام الدوسيتاكسيل 50 مجم / م 2 في الوريد. مع ليوكوفورين 200 مجم / م 2 في الوريد. أكثر من ساعتين ، ثم 5FU 2400 مجم / م 2 على مدار 46 ساعة (94-96). تم السماح بالعلاج الإشعاعي الملطّف للورم الأساسي الذي يبلغ 30 غراي على مدار أسبوعين إلى ثلاثة أسابيع إذا عانى المرضى من تفاقم عسر البلع و / أو النزيف المتوافق مع تطور المرض الموضعي في حين تم التحكم في جميع الأمراض الجهازية الأخرى. بعد أسابيع من الانتهاء من العلاج الإشعاعي.

تم تصنيف جميع الأحداث الضائرة وفقًا لمعايير السمية العامة لـ NCI للإصدار 4.0 من الأحداث الضائرة. تم السماح بتخفيض الجرعة داخل المريض من oxaliplatin ، و irinotecan ، و docetaxel ، و 5FU اعتمادًا على نوع وشدة السمية مع حذف جرعة 5FU التي كانت أول تعديل لكل بروتوكول لمعظم السميات ، حيث لم يُسمح باستئناف البلعة في أي دورة أو خط لاحق . بالإضافة إلى ذلك ، تم نقل أي تعديلات جرعة على 5FU أو leucovorin إلى علاجات الخط التالي.

بدأ المرضى علاج FOLFOX من الخط الأول على الفور بينما بدأ اختبار العلامات الحيوية. عند الحصول على تعيين مجموعة العلامات الحيوية وفقًا للخوارزمية (الجدول 2) ، تمت إضافة الجسم المضاد أحادي النسيلة المناسب إلى الجرعة المجدولة التالية من العلاج السام للخلايا ، وتستمر كل أسبوعين. عند كل تطور للمرض (PD1 و PD2) ، يتغير المرضى إلى السطر الثاني السام للخلايا بينما يظلون على الجسم المضاد أحادي النسيلة المعين مسبقًا حتى يتم الحصول على نتائج التنميط الجزيئي PD1 / PD2 ، والتي بناءً عليها يتم دمج الجسم المضاد المناسب في الجرعة التالية المقررة من العلاج السام للخلايا.

تلقت أورام المجموعة 1 (IO) الجسم المضاد لـ PD-1 ، nivolumab 200 mg IV. أكثر من 30 دقيقة. المجموعة 2 (HER2- تضخيم) الأورام المضاد لـ HER2 ، جرعة تحميل تراستوزوماب 6 مجم / كجم في الدورة الأولى ثم 4 مجم / كجم في الوريد ، على مدى 90 دقيقة ثم 30 دقيقة إذا كان التسريب الأولي جيد التحمل. المجموعة 3 (EGFR- تضخيم) الأورام التي تلقت الأجسام المضادة لـ EGFR ، ABT806 24 مجم / كجم في الوريد. أكثر من 30 دقيقة (97). عند توفرها ، المجموعة 4 (FGFR2- تضخيم) الأورام التي تلقت الجسم المضاد لـ FGFR2 ، بيماريتوزوماب (FPA-144) 15 مجم / كجم خلال 30 دقيقة (31 ، 35). المجموعة 5 (التقى-المضخم) الأورام لم يكن لديها جسم مضاد وحيدة النسيلة. تم علاج أورام المجموعة 4 والمجموعة 5 التي لا تحتوي على أجسام مضادة متاحة بالعلاج القياسي المزدوج السام للخلايا وحده واعتبرت غير ITT. كلما كان ذلك ممكنًا ، تلقى مرضى المجموعة 5 كريزوتينيب 250 مجم عن طريق الفم مرتين يوميًا و / أو كابوزانتينيب 60 مجم عن طريق الفم يوميًا بعد فشل العلاج السام للخلايا من الخط الأول ، وتم تضمين هؤلاء المرضى في تحليل MITT المخطط مسبقًا. تلقت أورام المجموعة 6 (MAPK / PIK3CA) الجسم المضاد لـ VEGFR2 ، راموسيروماب 8 مجم / كجم على مدى ساعة واحدة. تلقت أورام المجموعة 7 (التعبير عن EGFR ، غير المضخم) الجسم المضاد لـ EGFR ، ABT806 24 مجم / كجم في الوريد. أكثر من 30 دقيقة. تلقت المجموعة 8 (سلبية لجميع المؤشرات الحيوية أو QNS) الجسم المضاد لـ VEGFR2 ، ramucirumab 8 مجم / كجم على مدى ساعة واحدة (50 ، 98). لم يُسمح بتعديلات جرعة الأجسام المضادة وحيدة النسيلة ، ولكن يمكن تأخيرها حتى حل أو استقرار الأحداث الضائرة المنسوبة إلى الجسم المضاد مع استمرار العلاج السام للخلايا وحده.

للحد من السمية التراكمية ، تم السماح بإيقاف oxaliplatin ، و irinotecan ، و docetaxel واستئنافها بشكل متقطع ("OPTIMOX ،" المرجع 99 "OPTIMIRI ،" المرجع 100 و "OPTITAX") ، مع استمرار الصيانة 5FU بالإضافة إلى الجسم المضاد أحادي النسيلة. تم اعتبار أن كل سطر من العلاج قد فشل فقط عند تقدم المرض في المضاعف الكامل السام للخلايا أو التقدم في علاج الصيانة ولكن عدم القدرة على استئناف المضاعف السام للخلايا لأي سبب من الأسباب. تم تقييم المرضى لمعرفة تطور المرض عن طريق تصوير الصدر والبطن والحوض كل شهرين (أربع دورات). توقف المرضى عن علاج الدراسة إذا أصيبوا بمرض تدريجي على النحو المحدد في RECIST1.1 بعد ثلاثة خطوط من العلاج ، أو في وقت سابق إذا لم يتمكنوا من الاستمرار في خط العلاج التالي لأي سبب من الأسباب. تضمنت المعايير الأخرى للإزالة سحب الموافقة أو الأحداث الضائرة المتعلقة بالعلاج التي لم يتم حلها بعد تسعة أسابيع من توقف العلاج.

النتائج

كانت نقطة النهاية الأولية للفعالية للدراسة هي نظام التشغيل لمدة عام واحد ، والذي تم تعريفه على أنه نسبة المرضى الذين عولجوا بـ ITT على قيد الحياة عند 12 شهرًا. تمت متابعة جميع المرضى للبقاء على قيد الحياة حتى قفل البيانات النهائي في 20 أغسطس 2020. وكانت نقاط النهاية الأولية الأخرى هي الأمان والجدوى التي يمكن اعتبار النهج الجزيئي آمنًا إذا لوحظ معدل حدث ضار خطير أقل من 5 ٪ من الخزعات الأساسية والمتسلسلة. يعتبر النهج الجزيئي ممكنًا إذا تم تخصيص 85٪ على الأقل من المرضى للعلاج في غضون شهرين من التسجيل وإذا حصل 85٪ على الأقل من المرضى على خزعة ناجحة في PD1. تضمنت نقاط النهاية الثانوية السلامة العامة والتحمل البقاء على قيد الحياة بدون تقدم لكل سطر من العلاج (PFS1,2,3) محسوبًا على أنه الوقت من بدء كل مضاعفة سامة للخلايا حتى توثيق تطور المرض السريري أو الإشعاعي أو الوفاة ، أيهما حدث معدل الاستجابة الموضوعية الأول (ORR1,2,3) بواسطة RECIST1.1 ومعدل السيطرة على المرض (DCR1,2,3) لكل خط من العلاج ووقت فشل علاج PANGEA (TTF) بين المرضى الذين عولجوا بـ ITT. تمت مقارنة النتائج مع النتائج التاريخية وأيضًا مع المرضى الذين لا يعانون من ITT والذين يعانون من نقص في توافر الأجسام المضادة وحيدة النسيلة (المجموعة 4 FGFR2 والمجموعة 5 MET). اشتمل تحليل MITT المخطط مسبقًا على مرضى ضمن المجموعة 5 قادرين على الحصول على مثبطات التيروزين كينيز خارج التسمية أثناء دورة العلاج. تضمنت التحليلات الثانوية المحددة مسبقًا تحليل OS و PFS و ORR و DCR بواسطة مجموعة العلامات الحيوية الفردية حسب خط المعالجة ، بالإضافة إلى مقارنة النتائج المجمعة للمجموعات ذات الأولوية الأعلى 1-4 (أو المجموعات 1-5 لـ mITT) مقارنة مع أقل- المجموعات ذات الأولوية 6-8 من الخوارزمية ، وكذلك تقييم النتائج بعد استبعاد تأثير المجموعة 2 (HER2). كان توصيف عدم تجانس العلامات الحيوية عند خط الأساس مكانيًا ومع مرور الوقت بعد العلاج الموجه بمثابة نقاط نهاية ثانوية أيضًا. بالنظر إلى الارتباط مع التكهن ، فإن مخصصة تم إجراء توصيف NLR الأساسي المطلق ، كما هو موضح سابقًا (75).

تحاليل احصائية

باستخدام اختبار z استنادًا إلى خطأ Greenwood المعياري لاستيعاب الرقابة ، قدم 68 مريضًا تم علاجهم لكل ITT طاقة بنسبة 80٪ لاكتشاف تحسن في معدل نظام التشغيل لمدة عام واحد من 50٪ تاريخيًا إلى 63٪ مع نسبة ألفا أحادية الجانب بنسبة 10٪ . بافتراض البقاء الأسي ، فإن هذا يتوافق مع معدل ضربات القلب 0.67. يشير المعدل التاريخي البالغ 50٪ لمدة عام واحد إلى متوسط ​​12 شهرًا وتم الحصول عليه كمتوسط ​​مرجح لعينة تتألف من 20٪ من المرضى المصابين بمرض إيجابي HER2 مع H متوقعة.0-HER2 + موس لمدة 16 شهرًا و 80 ٪ من المرضى الذين يعانون من مرض سلبي HER2 مع HER2 متوقع0-HER2- 11 شهرًا. [ملاحظة ، كان 16 من 80 (20٪) من جميع المرضى المسجلين ، أو 68 (23.5٪) من ITT ، أو 16 من 70 (22.9٪) من مرضى mITT في دراستنا كانوا إيجابيين HER2.] تم اعتبار جرعة واحدة على الأقل من علاج FOLFOX من الخط الأول وتوافر الأجسام المضادة أحادية النسيلة (على الرغم من عدم تلقيها بالضرورة) قابلة للتقييم من أجل النتيجة الأولية بواسطة ITT. تم تقدير تحليل OS و PFS (خلال معالجات الخط الأول والثاني والثالث) و TTF باستخدام طرق Kaplan-Meier. تم تقييم جميع نقاط النهاية الثانوية بما في ذلك السلامة في جميع مرضى ITT الذين تلقوا جرعة واحدة على الأقل من العلاج السام للخلايا من الخط الأول. تم استخدام اختبار ترتيب السجل لمقارنة أنظمة التشغيل و PFS و TTF بين المجموعات الفرعية المختلفة. تم إجراء جميع التحليلات الإحصائية باستخدام الإصدار 16.0 من برنامج Stata (StataCorp). هذه التجربة مسجلة في ClinicalTrials.gov (NCT02213289).


نموذج تصنيف للقيم التربوية لتاريخ الرياضيات

لا يوجد إجماع واضح على إطار تصنيف القيم التربوية لتاريخ الرياضيات. من خلال تحليل 20 حالة تعليمية صينية حول دمج تاريخ الرياضيات في تدريس الرياضيات بناءً على الأدبيات ذات الصلة ، فحصت هذه الدراسة إطارًا جديدًا لتصنيف القيم التعليمية لتاريخ الرياضيات من خلال الجمع بين أهداف مناهج الرياضيات بالمدارس الثانوية في الصين. ويتضمن هذا الإطار ستة أبعاد: انسجام المعرفة ، وجمال الأفكار أو الأساليب ، ومتعة الاستفسار ، وتحسين القدرات ، وسحر الثقافات ، وتوافر التربية الأخلاقية. أظهرت النتائج أن هذا الإطار أوضح بشكل أفضل القيم التعليمية لتاريخ الرياضيات التي أظهرتها جميع الحالات التعليمية. لذلك ، يمكن للإطار أن يوجه المعلمين لتحسين دمج تاريخ الرياضيات في التدريس.

هذه معاينة لمحتوى الاشتراك ، والوصول عبر مؤسستك.


محتويات

أقدم عمل معروف على المقاطع المخروطية كان من قبل Menaechmus في القرن الرابع قبل الميلاد. اكتشف طريقة لحل مشكلة مضاعفة المكعب باستخدام القطع المكافئ. (ومع ذلك ، فإن الحل لا يفي بمتطلبات إنشاء البوصلة والمسطرة). تم حساب المنطقة المحاطة بمقطع مكافئ وقطعة خطية ، ما يسمى ب "الجزء المكافئ" ، بواسطة أرخميدس بطريقة الاستنفاد في القرن الثالث قبل الميلاد ، في بلده تربيع القطع المكافئ. يرجع اسم "القطع المكافئ" إلى Apollonius ، الذي اكتشف العديد من خصائص المقاطع المخروطية. إنه يعني "تطبيق" ، في إشارة إلى مفهوم "تطبيق المناطق" ، الذي له صلة بهذا المنحنى ، كما أثبت أبولونيوس. [1] ترجع خاصية التركيز - الدليل للقطع المكافئ والمقاطع المخروطية الأخرى إلى بابوس.

أظهر جاليليو أن مسار القذيفة يتبع القطع المكافئ ، نتيجة لتسارع منتظم بسبب الجاذبية.

كانت فكرة أن العاكس المكافئ يمكن أن ينتج صورة معروفة بالفعل قبل اختراع التلسكوب العاكس. [2] تم اقتراح التصاميم في أوائل القرن السابع عشر من قبل العديد من علماء الرياضيات ، بما في ذلك رينيه ديكارت ومارين ميرسين [3] وجيمس جريجوري. [4] عندما بنى إسحاق نيوتن أول تلسكوب عاكس في عام 1668 ، تخطى باستخدام مرآة مكافئة بسبب صعوبة التصنيع ، واختار المرآة الكروية. تستخدم المرايا المكافئة في معظم التلسكوبات العاكسة الحديثة وفي أطباق الأقمار الصناعية وأجهزة استقبال الرادار. [5]

يمكن تعريف القطع المكافئ هندسيًا على أنه مجموعة من النقاط (موضع النقاط) في المستوى الإقليدي:

محور التماثل الموازي لـ ذ تحرير المحور

هذا القطع المكافئ على شكل حرف U (الانفتاح على القمة).

يسمى الوتر الأفقي من خلال التركيز (انظر الصورة في القسم الافتتاحي) المستقيم العريض نصفها هو المستقيم شبه العريض. المستقيم العريض موازٍ للدليل. يتم تحديد المستقيم شبه العريض بالحرف p . من الصورة يحصل المرء

يتم تعريف المستقيم العريض بشكل مشابه للمخروطين الآخرين - القطع الناقص والقطع الزائد. المستقيم العريض هو الخط المرسوم من خلال بؤرة قسم مخروطي موازٍ للدليل وينتهي في كلا الاتجاهين بالمنحنى. على أي حال ، p < displaystyle p> هو نصف قطر الدائرة المتذبذبة عند الرأس. بالنسبة للقطع المكافئ ، المستقيم شبه العريض ، p < displaystyle p> ، هو مسافة التركيز من الدليل. باستخدام المعلمة p < displaystyle p> ، يمكن إعادة كتابة معادلة القطع المكافئ كـ

  1. في حالة f & lt 0 < displaystyle f & lt0> للقطع المكافئ فتحة هبوطية.
  2. الافتراض بأن المحور مواز للمحور ص يسمح للمرء بالنظر إلى القطع المكافئ كرسم بياني لكثير الحدود من الدرجة 2 ، والعكس بالعكس: الرسم البياني لكثير الحدود التعسفي من الدرجة 2 هو القطع المكافئ (انظر القسم التالي).
  3. إذا استبدل أحدهم x < displaystyle x> و y < displaystyle y> ، فسيحصل المرء على معادلات بالصيغة y 2 = 2 p x < displaystyle y ^ <2> = 2px>. تفتح هذه القطع المكافئة إلى اليسار (إذا كان p & lt 0 < displaystyle p & lt0>) أو إلى اليمين (إذا كان p & gt 0 < displaystyle p & gt0>).

تعديل الحالة العامة

(يستخدم الجانب الأيسر من المعادلة شكل هيس الطبيعي لخط لحساب المسافة | P l | ).

يتم تعريف المعادلة الضمنية للقطع المكافئ بواسطة كثير حدود غير قابل للاختزال من الدرجة الثانية:

يوضح القسم السابق أن أي قطع مكافئ مع الأصل كرأس و ذ يمكن اعتبار المحور كمحور التناظر على أنه الرسم البياني للدالة

الوظيفة العامة للدرجة 2 هي

وهي معادلة القطع المكافئ مع

كائنان في المستوى الإقليدي هما مماثل إذا كان يمكن تحويل أحدهما إلى الآخر بواسطة أ تشابه، أي تكوين تعسفي للحركات الجامدة (الترجمات والدورات) والقياسات المنتظمة.

يمكن أيضًا استخدام نهج تركيبي ، باستخدام مثلثات متشابهة ، لتحديد هذه النتيجة. [7]

النتيجة العامة هي أن قسمين مخروطيين (بالضرورة من نفس النوع) متشابهان إذا وفقط إذا كان لديهم نفس الانحراف. [6] لذلك ، فإن الدوائر فقط (التي تحتوي على انحراف مركزي 0) تشترك في هذه الخاصية مع القطع المكافئ (جميعها لها انحراف مركزي 1) ، بينما لا تشترك في هذه الخاصية العامة والقطع الزائد.

قلم المقاطع المخروطية مع x المحور كمحور التناظر ، يمكن تمثيل رأس واحد عند الأصل (0 ، 0) ونفس المستقيم شبه الخطي p بالمعادلة

إذا ص & gt 0 ، القطع المكافئ مع المعادلة y 2 = 2 p x < displaystyle y ^ <2> = 2px> (الفتح إلى اليمين) له التمثيل القطبي

إذا قام أحدهم بتحويل الأصل إلى التركيز ، أي F = (0 ، 0) ، يحصل المرء على المعادلة

الملاحظة 1: يظهر قلب هذا الشكل القطبي أن القطع المكافئ هو معكوس الشكل القلبي.

الملاحظة 2: الشكل القطبي الثاني هو حالة خاصة لقلم رصاص مخروطي مع التركيز F = (0، 0) (انظر الصورة):

تحرير الرسم التخطيطي والوصف والتعريفات

يمثل الرسم مخروطًا بمحوره AV. النقطة أ هي قمتها. المقطع العرضي المائل للمخروط ، الموضح باللون الوردي ، يميل من المحور بنفس الزاوية θ ، مثل جانب المخروط. وفقًا لتعريف القطع المكافئ على أنه مقطع مخروطي ، فإن حدود هذا المقطع العرضي الوردي EPD هي القطع المكافئ.

يمر المقطع العرضي العمودي على محور المخروط عبر الرأس P للقطع المكافئ. هذا المقطع العرضي دائري ، لكنه يظهر بشكل بيضاوي عند النظر إليه بشكل غير مباشر ، كما هو موضح في الرسم التخطيطي. مركزها V و PK قطرها. سنسمي نصف قطرها r.

آخر عمودي على المحور ، المقطع العرضي الدائري للمخروط هو أبعد من القمة A من الذي تم وصفه للتو. لها وتر DE ، الذي يربط بين النقاط التي يتقاطع فيها القطع المكافئ مع الدائرة. الوتر الآخر BC هو المنصف العمودي لـ DE وبالتالي فهو قطر الدائرة. يتقاطع هذان الوتران ومحور تناظر القطع المكافئ PM عند النقطة M.

جميع النقاط المصنفة ، باستثناء D و E ، متحد المستوى. هم في مستوى تناظر الشكل كله. وهذا يشمل النقطة "و" التي لم يتم ذكرها أعلاه. يتم تعريفه ومناقشته أدناه ، في § موقف التركيز.

دعونا نسمي طول DM و EM x وطول PM y.

اشتقاق المعادلة التربيعية تحرير

أطوال BM و CM هي:

باستخدام نظرية الأوتار المتقاطعة على الأوتار BC و DE ، نحصل على

بالنسبة لأي مخروط وقطع مكافئ ، فإن r و هما ثوابت ، لكن x و y هما متغيران يعتمدان على الارتفاع التعسفي الذي يتكون عنده المقطع العرضي الأفقي BECD. توضح هذه المعادلة الأخيرة العلاقة بين هذه المتغيرات. يمكن تفسيرها على أنها إحداثيات ديكارتية للنقطتين D و E ، في نظام في المستوى الوردي حيث يكون P هو أصله. نظرًا لأن x تربيع في المعادلة ، فإن حقيقة أن D و E على جانبين متقابلين من المحور y ليست مهمة. إذا تحرك المقطع العرضي الأفقي لأعلى أو لأسفل ، باتجاه قمة المخروط أو بعيدًا عنه ، يتحرك D و E على طول القطع المكافئ ، مع الحفاظ دائمًا على العلاقة بين x و y الموضحة في المعادلة. وبالتالي ، فإن منحنى القطع المكافئ هو موضع النقاط التي يتم فيها تلبية المعادلة ، مما يجعله رسمًا بيانيًا ديكارتيًا للوظيفة التربيعية في المعادلة.

تعديل البعد البؤري

ثبت في القسم السابق أنه إذا كان للقطع المكافئ رأسه في الأصل ، وإذا تم فتحه في اتجاه y الموجب ، فإن معادلته تكون ذ = x 2 / 4F حيث f هو البعد البؤري. [ب] توضح مقارنة ذلك بالمعادلة الأخيرة أعلاه أن الطول البؤري للقطع المكافئ في المخروط هو ص الخطيئة θ .

موضع التركيز تحرير

في الرسم البياني أعلاه ، النقطة V هي سفح العمود العمودي من رأس القطع المكافئ إلى محور المخروط. النقطة F هي سفح العمود العمودي من النقطة V إلى مستوى القطع المكافئ. [ج] بالتناظر ، تقع F على محور تناظر القطع المكافئ. الزاوية VPF مكملة لـ θ ، والزاوية PVF مكملة للزاوية VPF ، وبالتالي فإن الزاوية PVF هي θ. نظرًا لأن طول PV هو r ، فإن مسافة F من رأس القطع المكافئ تساوي ص الخطيئة θ . يتضح أعلاه أن هذه المسافة تساوي الطول البؤري للقطع المكافئ ، وهي المسافة من الرأس إلى البؤرة. وبالتالي ، فإن التركيز والنقطة F بعيدان بشكل متساوٍ عن الرأس ، على طول الخط نفسه ، مما يعني أنهما نفس النقطة. لذلك، النقطة F ، المحددة أعلاه ، هي بؤرة القطع المكافئ.

بدأت هذه المناقشة من تعريف القطع المكافئ كقسم مخروطي ، لكنها أدت الآن إلى وصف كرسم بياني لوظيفة تربيعية. هذا يدل على أن هذين الوصفين متكافئان. كلاهما يحدد منحنيات من نفس الشكل بالضبط.

دليل بديل باستخدام مجالات Dandelin تحرير

يمكن عمل دليل بديل باستخدام كرات Dandelin. إنه يعمل بدون حساب ويستخدم الاعتبارات الهندسية الأولية فقط (انظر الاشتقاق أدناه).

تقاطع مخروط قائم مع مستوى π < displaystyle pi> ، الذي يكون ميله من العمودي هو نفسه المولد (ويعرف أيضًا باسم خط المولد ، وهو خط يحتوي على القمة ونقطة على سطح المخروط) م 0 > للمخروط ، هو قطع مكافئ (منحنى أحمر في الرسم التخطيطي).

تنص الخاصية العاكسة على أنه إذا كان القطع المكافئ يستطيع عكس الضوء ، فإن الضوء الذي يدخله يسافر بالتوازي مع محور التناظر ينعكس باتجاه البؤرة. هذا مشتق من البصريات الهندسية ، بناءً على افتراض أن الضوء ينتقل في الأشعة.

تأمل القطع المكافئ ذ = x 2. نظرًا لأن جميع القطع المكافئة متشابهة ، فإن هذه الحالة البسيطة تمثل جميع القطع المكافئة الأخرى.

تحرير البناء والتعريفات

النقطة E هي نقطة عشوائية على القطع المكافئ. التركيز هو F ، والرأس هو A (الأصل) ، والخط FA هو محور التناظر. يوازي الخط EC محور التناظر ويتقاطع مع المحور x عند D. النقطة B هي نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة FC.

تحرير الاستقطاعات

المسافات EF و EC متساوية لأن E على القطع المكافئ ، و F هي البؤرة و C على الدليل. لذلك ، نظرًا لأن B هي نقطة المنتصف لـ FC ، فإن المثلثات FEB و CEB متطابقتان (ثلاثة جوانب) ، مما يعني أن الزوايا المميزة بعلامة α متطابقة. (الزاوية فوق E هي الزاوية المقابلة عموديًا للزاوية ∠BEC.) وهذا يعني أن شعاع الضوء الذي يدخل القطع المكافئ ويصل إلى E وهو يسافر بالتوازي مع محور التناظر سينعكس على الخط BE بحيث ينتقل على طول الخط EF ، كما هو موضح باللون الأحمر في الرسم التخطيطي (بافتراض أن الخطوط يمكن أن تعكس الضوء بطريقة ما). نظرًا لأن BE هو الظل للقطع المكافئ عند E ، فسيتم تنفيذ نفس الانعكاس بواسطة قوس متناهي الصغر من القطع المكافئ عند E. لذلك ، ينعكس الضوء الذي يدخل القطع المكافئ ويصل إلى E مسافرًا موازيًا لمحور تناظر القطع المكافئ بواسطة القطع المكافئ تجاه تركيزها.

ينطبق هذا الاستنتاج حول الضوء المنعكس على جميع النقاط الموجودة على القطع المكافئ ، كما هو موضح في الجانب الأيسر من الرسم التخطيطي. هذه هي الخاصية العاكسة.

عواقب أخرى تحرير

هناك نظريات أخرى يمكن استنتاجها ببساطة من الحجة أعلاه.

تحرير خاصية Tangent bisection

يُظهر الدليل أعلاه والمخطط المصاحب أن الظل BE يشطر الزاوية ∠FEC. بعبارة أخرى ، المماس للقطع المكافئ عند أي نقطة يقطع الزاوية بين الخطوط التي تربط النقطة بالبؤرة وعموديًا على الدليل.

تقاطع المماس والعمودي من التركيز تحرير

نظرًا لأن المثلثات △ FBE و CBE متطابقتان ، فإن FB عمودي على المماس BE. نظرًا لأن B على المحور x ، وهو المماس للقطع المكافئ عند رأسه ، فإن ذلك يعني أن نقطة التقاطع بين أي مماس للقطع المكافئ والعمودي من البؤرة إلى ذلك المماس تقع على الخط المماسي للماس القطع المكافئ في قمته. انظر الرسم البياني المتحرك [8] ومنحنى الدواسة.

انعكاس الضوء على الجانب المحدب تحرير

إذا سافر الضوء على طول الخط CE ، فإنه يتحرك بشكل موازٍ لمحور التناظر ويضرب الجانب المحدب من القطع المكافئ عند E. يتضح من الرسم البياني أعلاه أن هذا الضوء سينعكس بعيدًا عن البؤرة مباشرةً ، على امتداد امتداد الجزء FE.

البراهين البديلة تحرير

تستخدم البراهين أعلاه لخصائص التقسيم العاكسة والماسية خط حساب التفاضل والتكامل. هنا يتم تقديم دليل هندسي.

في هذا الشكل ، F هي بؤرة القطع المكافئ ، وتقع T و U على دليلها. P هي نقطة عشوائية على القطع المكافئ. PT عمودي على الدليل ، والخط MP ينصف الزاوية ∠FPT. Q هي نقطة أخرى على القطع المكافئ ، حيث QU عمودية على الدليل. نحن نعلم أن FP = PT و FQ = QU. من الواضح أن QT & gt QU ، لذا QT & GT FQ. جميع النقاط على المنصف MP هي على مسافة متساوية من F و T ، لكن Q أقرب إلى F منها إلى T. وهذا يعني أن Q على يسار MP ، أي على نفس جانب التركيز. سيكون الأمر نفسه صحيحًا إذا كانت Q موجودة في أي مكان آخر على القطع المكافئ (باستثناء النقطة P) ، وبالتالي فإن القطع المكافئ بأكمله ، باستثناء النقطة P ، يقع على جانب التركيز من MP. لذلك ، MP هو الظل للقطع المكافئ عند P. نظرًا لأنه يشطر الزاوية ∠FPT ، فإن هذا يثبت خاصية التماس المماس.

يمكن تطبيق منطق الفقرة الأخيرة لتعديل الإثبات أعلاه للخاصية العاكسة. إنه يثبت بشكل فعال أن الخط BE هو الظل للقطع المكافئ عند E إذا كانت الزوايا α متساوية. يتبع الخاصية العاكسة كما هو موضح سابقا.

يمكن استخدام تعريف القطع المكافئ من خلال تركيزه ودليله لرسمه بمساعدة المسامير والخيوط: [9]

يمكن اعتبار القطع المكافئ الجزء الأفيني من مخروطي إسقاطي غير متحلل بنقطة Y ∞ > على خط اللانهاية g ∞ > ، وهو الظل عند Y ∞ >. إن الانحرافات ذات 5 و 4 و 3 نقاط لنظرية باسكال هي خصائص مخروطية تتعامل مع ظل واحد على الأقل. إذا اعتبر المرء أن هذا الظل هو الخط عند اللانهاية ونقطة الاتصال به كنقطة عند اللانهاية من ذ على المحور ، يحصل المرء على ثلاث عبارات للقطع المكافئ.

الخصائص التالية للقطع المكافئ تتعامل فقط مع الشروط الاتصال, تتقاطع, موازى، وهي ثوابت التشابه. لذلك ، يكفي إثبات أي ممتلكات لـ وحدة القطع المكافئ بالمعادلة y = x 2 < displaystyle y = x ^ <2>>.

4-نقطة الملكية تحرير

يمكن وصف أي قطع مكافئ في نظام إحداثيات مناسب بواسطة معادلة y = a x 2 < displaystyle y = ax ^ <2>>.

دليل: حساب مباشر لوحدة القطع المكافئ y = x 2 < displaystyle y = x ^ <2>>.

طلب: يمكن استخدام خاصية 4 نقاط للقطع المكافئ لبناء النقطة P 4 < displaystyle P_ <4>> ، بينما P 1، P 2، P 3 < displaystyle P_ <1>، P_ <2>، P_ <3>> و Q 2 < displaystyle Q_ <2>> معطاة.

ملاحظة: خاصية 4 نقاط للقطع المكافئ هي نسخة أفينية من 5 نقاط انحطاط لنظرية باسكال.

3-Points –1-tangent property تحرير

طلب: يمكن استخدام خاصية 3-Points-1-tangent-of the Parabola لبناء الظل عند النقطة P 0 < displaystyle P_ <0>> ، بينما P 1، P 2، P 0 < displaystyle P_ <1 > ، P_ <2> ، P_ <0>> معطاة.

ملاحظة: إن خاصية 3-Points-1-tangent-of the Parabola هي نسخة أفينية من 4-point-degeneration من نظرية باسكال.

2-point –2-tangents Property تحرير

دليل: حساب مستقيم للأمام لوحدة القطع المكافئ y = x 2 < displaystyle y = x ^ <2>>.

طلب: يمكن استخدام خاصية 2-Points – 2-tangents لبناء ظل القطع المكافئ عند النقطة P 2 < displaystyle P_ <2>> ، إذا كان P 1، P 2 < displaystyle P_ <1>، P_ < 2 >> والظل عند P 1 < displaystyle P_ <1>> معطى.

الملاحظة 1: إن خاصية الظل من نقطتين إلى 2 في القطع المكافئ هي نسخة أفينية من الانحطاط ثلاثي النقاط لنظرية باسكال.

الملاحظة 2: لا ينبغي الخلط بين خاصية 2-point-2-tangents مع الخاصية التالية للقطع المكافئ ، والتي تتعامل أيضًا مع نقطتين وظلالين ، ولكنها ليس ذات الصلة بنظرية باسكال.

تحرير اتجاه المحور

دليل: يمكن القيام به (مثل الخصائص أعلاه) للوحدة المكافئة y = x 2 < displaystyle y = x ^ <2>>.

طلب: يمكن استخدام هذه الخاصية لتحديد اتجاه محور القطع المكافئ ، إذا تم إعطاء نقطتين وظلالهما. هناك طريقة بديلة تتمثل في تحديد نقاط المنتصف ل وترنين متوازيين ، انظر القسم الخاص بالأوتار المتوازية.

ملاحظة: هذه الخاصية هي نسخة أفينية من نظرية اثنين مثلثات المنظور من مخروطي غير متحلل. [10]

تعديل القطع المكافئ

أنشأ شتاينر الإجراء التالي لبناء مخروط غير متحلل (انظر مخروطي شتاينر):

يمكن استخدام هذا الإجراء لبناء بسيط للنقاط على القطع المكافئ y = a x 2 < displaystyle y = ax ^ <2>>:

دليل: حساب مباشر.

ملاحظة: جيل شتاينر متاح أيضًا للقطوع الناقصة والزائدة.

تحرير القطع المكافئ المزدوج

أ قطع مكافئ مزدوج يتكون من مجموعة الظل من القطع المكافئ العادي.

يمكن تطبيق جيل شتاينر المخروطي على توليد المخروطي المزدوج عن طريق تغيير معاني النقاط والخطوط:

من أجل توليد عناصر من القطع المكافئ المزدوج ، يبدأ المرء بـ

ال دليل هو نتيجة ل خوارزمية دي كاستيلجاو لمنحنى بيزير من الدرجة 2.

في ما يلي ، ستُقاس زاوية الخطين باختلاف ميل الخط المستقيم بالنسبة إلى دليل القطع المكافئ. أي بالنسبة للقطع المكافئ للمعادلة y = ax 2 + bx + c، < displaystyle y = ax ^ <2> + bx + c،> الزاوية بين سطري المعادلات y = m 1 x + d 1، y = m 2 x + d 2 < displaystyle y = m_ <1> x + d_ <1> ، y = m_ <2> x + d_ <2>> تقاس بالمتر 1 - م 2. -m_ <2>.>

بشكل مشابه لنظرية الزاوية المحيطية للدوائر ، يحتوي المرء على نظرية الزاوية المنقوشة للقطوع المكافئة: [11] [12]

(الدليل: الحساب المباشر: إذا كانت النقاط على القطع المكافئ ، فيمكن للمرء أن يترجم الإحداثيات للحصول على المعادلة y = ax 2 < displaystyle y = ax ^ <2>> ، إذن يكون لدى الشخص yi - yjxi - xj = xi + xj -y_><>-x_>> = x_+ x_> إذا كانت النقاط على القطع المكافئ.)

ص = 2 أ س 0 (س - س 0) + ص 0 = 2 أ س 0 س - أ س 0 2 = 2 أ س 0 س - ص 0. (x-x_ <0>) + y_ <0> = 2ax_ <0> x-ax_ <0> ^ <2> = 2ax_ <0> x-y_ <0>.>

على مجموعة نقاط القطع المكافئ على مجموعة الظلال.

هذه العلاقة تسمى العلاقة القطبية القطبية للقطع المكافئ، حيث النقطة هي عمود، والخط المقابل لها قطبي.

من خلال الحساب ، يتحقق المرء من الخصائص التالية للعلاقة القطبية للقطب المكافئ:

  • للحصول على نقطة (قطب) على القطع المكافئ ، القطبية هي الظل عند هذه النقطة (انظر الصورة: P 1، p 1 ، p_ <1>>).
  • لقطب P في الخارج القطع المكافئ ، نقاط تقاطع قطبه مع القطع المكافئ هي نقاط لمس المماسين المارين P (انظر الصورة: P 2، p 2 ، p_ <2>>) .
  • للحصول على نقطة في غضون القطع المكافئ ليس له أي نقطة مع القطع المكافئ المشترك (انظر الصورة: P 3، p 3 ، p_ <3>> و P 4، p 4 ، ص_ <4>>).
  • نقطة التقاطع بين خطين قطبين (على سبيل المثال ، p 3، p 4 < displaystyle p_ <3>، p_ <4>>) هي قطب خط التوصيل بين أقطابها (على سبيل المثال: P 3، P 4 < displaystyle P_ <3> P_ <4>>).
  • تركيز ودليل القطع المكافئ هما زوج قطبي - قطبي.

ملاحظة: توجد أيضًا العلاقات بين القطب والقطب للقطع الناقص والقطب الزائد.

خاصيتان مماس لهما علاقة بتحرير طاني المستقيم

دع خط التناظر يتقاطع مع القطع المكافئ عند النقطة Q ، وقم بالإشارة إلى البؤرة على أنها النقطة F وبعدها عن النقطة Q على أنها f. دع الخط العمودي على خط التناظر ، من خلال التركيز ، يتقاطع مع القطع المكافئ عند نقطة T. ثم (1) المسافة من F إلى T هي 2F ، و (2) مماس للقطع المكافئ عند النقطة T يتقاطع مع خط التناظر بزاوية 45 درجة. [13]: ص 26

تعديل خاصية تقويم البصريات

إذا كان مماسان للقطع المكافئ متعامدين مع بعضهما البعض ، فإنهما يتقاطعان على الدليل. على العكس من ذلك ، فإن مماسين يتقاطعان على الدليل متعامدان.

تحرير نظرية لامبرت

دع ثلاثة مماسات للقطع المكافئ تشكل مثلثًا. ثم نظرية لامبرت ينص على أن تركيز القطع المكافئ يقع على محيط المثلث. [14] [8]: نتيجة طبيعية 20

يوضح عكس تسوكرمان لنظرية لامبرت أنه ، بالنظر إلى ثلاثة خطوط تربط المثلث ، إذا كان اثنان من الخطوط مماسًا للقطع المكافئ الذي ينصب تركيزه على محيط المثلث ، فإن الخط الثالث يكون أيضًا مماسًا للقطع المكافئ. [15]

الطول البؤري المحسوب من معلمات تحرير وتر

افترض أن وترًا يعبر قطعًا مكافئًا عموديًا على محور التناظر. دع طول الوتر بين النقطتين حيث يتقاطع مع القطع المكافئ يكون c والمسافة من رأس القطع المكافئ إلى الوتر ، مقاسة على طول محور التناظر ، تكون d. الطول البؤري f للقطع المكافئ يُعطى بواسطة

منطقة محاطة بين القطع المكافئ والوتر تحرير

المنطقة المحاطة بين القطع المكافئ والوتر (انظر الرسم البياني) هي ثلثي مساحة متوازي الأضلاع التي تحيط بها. أحد جانبي متوازي الأضلاع هو الوتر ، والضلع المقابل هو مماس للقطع المكافئ. [16] [17] منحدر الأضلاع المتوازية الأخرى غير ذي صلة بالمنطقة. في كثير من الأحيان ، كما هو الحال هنا ، يتم رسمها بالتوازي مع محور التناظر في القطع المكافئ ، لكن هذا عشوائي.

اشتق أرخميدس نظرية مكافئة لهذه النظرية ، ولكنها مختلفة في التفاصيل ، في القرن الثالث قبل الميلاد. استخدم مساحات المثلثات ، بدلاً من مساحة متوازي الأضلاع. [د] انظر تربيع القطع المكافئ.

إذا كان طول الوتر b وعموديًا على محور التناظر للقطع المكافئ ، وإذا كانت المسافة العمودية من رأس القطع المكافئ إلى الوتر h ، فإن متوازي الأضلاع هو مستطيل به جوانب b و h. المنطقة A من القطع المكافئ محاط بالقطع المكافئ وبالتالي يكون الوتر

بشكل عام ، يمكن حساب المنطقة المغلقة على النحو التالي. أولاً ، حدد النقطة على القطع المكافئ حيث يساوي ميلها خط الوتر. يمكن القيام بذلك باستخدام حساب التفاضل والتكامل ، أو باستخدام خط موازٍ لمحور تناظر القطع المكافئ ويمر عبر نقطة منتصف الوتر. النقطة المطلوبة هي المكان الذي يتقاطع فيه هذا الخط مع القطع المكافئ. [e] ثم ، باستخدام الصيغة المعطاة في المسافة من نقطة إلى خط ، احسب المسافة العمودية من هذه النقطة إلى الوتر. اضرب هذا في طول الوتر للحصول على مساحة متوازي الأضلاع ، ثم في 2/3 للحصول على المساحة المغلقة المطلوبة.

نتيجة طبيعية تتعلق بتحرير نقاط المنتصف ونقاط نهاية الأوتار

النتيجة الطبيعية للمناقشة أعلاه هي أنه إذا كان للقطع المكافئ عدة أوتار متوازية ، فإن نقاط المنتصف تقع جميعها على خط موازٍ لمحور التناظر. إذا تم رسم ظل القطع المكافئ من خلال نقاط نهاية أي من هذه الأوتار ، يتقاطع المماسان على نفس الخط الموازي لمحور التناظر (انظر اتجاه المحور للقطع المكافئ). [F]

تعديل طول القوس

إذا كانت النقطة X تقع على قطع مكافئ بطول بؤري f ، وإذا كانت p هي المسافة العمودية من X إلى محور تناظر القطع المكافئ ، فيمكن حساب أطوال أقواس القطع المكافئ التي تنتهي عند X من f و p على النحو التالي ، بافتراض أنه يتم التعبير عنها جميعًا في نفس الوحدات. [ز]

هذه الكمية s هي طول القوس بين X ورأس القطع المكافئ.

طول القوس بين X والنقطة المقابلة بشكل متماثل على الجانب الآخر من القطع المكافئ هو 2س .

يمكن إعطاء المسافة العمودية p إشارة موجبة أو سالبة للإشارة إلى أي جانب من محور التناظر يقع X. عكس إشارة p يعكس إشارات h و s دون تغيير قيمهما المطلقة. إذا تم التوقيع على هذه الكميات ، طول القوس بين أي يتم دائمًا إظهار نقطتين على القطع المكافئ من خلال الفرق بين قيم s . يمكن تبسيط الحساب باستخدام خصائص اللوغاريتمات:

s 1 - s 2 = h 1 q 1 - h 2 q 2 f + f ln ⁡ h 1 + q 1 h 2 + q 2. -s_ <2> = q_ <1> -h_ <2> q_ <2>>> + f ln < frac + q_ <1>>+ q_ <2> >>.>

يمكن أن يكون هذا مفيدًا ، على سبيل المثال ، في حساب حجم المادة اللازمة لصنع عاكس مكافئ أو حوض مكافئ.

يمكن استخدام هذا الحساب للقطع المكافئ في أي اتجاه. لا يقتصر الأمر على الموقف الذي يكون فيه محور التناظر موازٍ لـ ذ محور.

S هو التركيز ، و V هو الرأس الرئيسي للقطع المكافئ VG. ارسم VX عموديًا على SV.

خذ أي نقطة B على VG وقم بإسقاط BQ عمودي من B إلى VX. ارسم ST عموديًا متقاطعًا BQ ، ممتدًا إذا لزم الأمر ، عند T. عند B ارسم BJ العمودي ، المتقاطع VX عند J.

بالنسبة للقطع المكافئ ، فإن القطعة VBV ، المنطقة المحاطة بالوتر VB والقوس VB ، تساوي ∆VBQ / 3 ، أيضًا B Q = V Q 2 4 S V < displaystyle BQ = < frac > <4SV> >>.

مساحة قطاع القطع المكافئ SVB = ∆SVB + ∆VBQ / 3 = S V ⋅ V Q 2 + V Q ⋅ B Q 6 = <2>> + < frac <6>>> .

بما أن مثلثات TSB و QBJ متشابهة ،

دائرة عبر S و V و B تمر أيضًا عبر J.

على العكس من ذلك ، إذا تم العثور على نقطة B على القطع المكافئ VG بحيث تكون مساحة القطاع SVB مساوية لقيمة محددة ، حدد النقطة J على VX وقم ببناء دائرة عبر S و V و J. نظرًا لأن SJ هي القطر ، مركز الدائرة في منتصفها ، وتقع على المنصف العمودي لـ SV ، على مسافة نصف VJ من SV. النقطة B المطلوبة هي المكان الذي تتقاطع فيه هذه الدائرة مع القطع المكافئ.

إذا كان الجسم يتتبع مسار القطع المكافئ بسبب قوة مربعة عكسية موجهة نحو S ، فإن المنطقة SVB تزداد بمعدل ثابت مع تحرك النقطة B للأمام. ويترتب على ذلك أن J يتحرك بسرعة ثابتة على طول VX بينما يتحرك B على طول القطع المكافئ.

إذا كانت سرعة الجسم عند الرأس حيث يتحرك عموديًا على SV تساوي الخامس، فإن سرعة J تساوي 3الخامس/4.

يمكن تمديد البناء ببساطة ليشمل الحالة التي لا يتطابق فيها نصف القطر مع المحور SV على النحو التالي. لنفترض أن A نقطة ثابتة على VG بين V و B ، والنقطة H هي التقاطع على VX مع عمودي على SA عند A. من أعلاه ، منطقة قطاع القطع المكافئ SAB = 2 SV (VJ - VH) 3 = 2 SV ⋅ HJ 3 < displaystyle SAB = < frac <2SV cdot (VJ-VH)> <3>> = <3> >>.

على العكس من ذلك ، إذا كان مطلوبًا العثور على النقطة B لمنطقة SAB معينة ، فابحث عن النقطة J من HJ والنقطة B كما كان من قبل. بواسطة الكتاب 1 ، الاقتراح 16 ، النتيجة الطبيعية 6 لنيوتن مبادئ، فإن سرعة جسم يتحرك على طول القطع المكافئ بقوة موجهة نحو البؤرة تتناسب عكسًا مع الجذر التربيعي لنصف القطر. إذا كانت السرعة عند A هي الخامس، ثم عند قمة الرأس V يكون S A S V v < displaystyle < sqrt < frac >> v> ، والنقطة J تتحرك بسرعة ثابتة 3 v 4 S A S V < displaystyle < frac <3v> <4>> < sqrt < frac >>> .

تم تصميم البناء أعلاه بواسطة إسحاق نيوتن ويمكن العثور عليه في الكتاب الأول من Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica باعتباره الاقتراح 30.

الطول البؤري للقطع المكافئ هو نصف نصف قطر الانحناء عند قمته.

الصورة معكوسة. AB هو المحور س. C هو الأصل. يا هو المركز. ا هو (x, ذ). OA = OC = R. السلطة الفلسطينية = س. CP = y. OP = (صذ). النقاط والخطوط الأخرى ليست ذات صلة لهذا الغرض.

نصف قطر الانحناء في الرأس هو ضعف الطول البؤري. القياسات الموضحة في الرسم البياني أعلاه هي بوحدات المستقيم العريض ، وهو أربعة أضعاف البعد البؤري.

ضع في اعتبارك نقطة (x, ذ) على دائرة نصف قطرها R ومركزها عند النقطة (0 ، ص). الدائرة تمر من خلال الأصل. إذا كانت النقطة قريبة من الأصل ، فإن نظرية فيثاغورس توضح ذلك

لكن اذا (x, ذ) قريب جدًا من الأصل ، نظرًا لأن المحور x هو مماس للدائرة ، فإن y صغير جدًا مقارنة بـ x ، لذلك ذ 2 لا يكاد يذكر مقارنة بالمصطلحات الأخرى. لذلك ، قريبة للغاية من الأصل

قارن هذا مع القطع المكافئ

الذي يكون رأسه في الأصل ، ويفتح لأعلى ، وله طول بؤري f (انظر الأقسام السابقة من هذه المقالة).

المعادلتان (1) و (2) متكافئتان إذا ص = 2F . لذلك ، هذا هو الشرط لكي تتطابق الدائرة والقطع المكافئ عند نقطة الأصل وقريبة جدًا منها. نصف قطر الانحناء في الأصل ، وهو رأس القطع المكافئ ، هو ضعف الطول البؤري.

المرآة المقعرة التي هي جزء صغير من الكرة تتصرف تقريبًا مثل المرآة المكافئة ، وتركز الضوء الموازي على نقطة في منتصف المسافة بين مركز الكرة وسطحها.

تعريف آخر للقطع المكافئ يستخدم التحولات الأفينية:

ال البعد البؤري يمكن تحديده من خلال تحويل المعلمة المناسب (الذي لا يغير الشكل الهندسي للقطع المكافئ). الطول البؤري

ومن ثم التركيز من القطع المكافئ

يعطي تعريف القطع المكافئ في هذا القسم تمثيلًا حدوديًا للقطع المكافئ التعسفي ، حتى في الفضاء ، إذا سمح أحدهم بـ f → 0، f → 1، f → 2 < displaystyle < vec > ! _ <0>، < vec > ! _ <1>، < vec > ! _ <2>> لتكون متجهات في الفضاء.

هذا المنحنى عبارة عن قوس من القطع المكافئ (انظر § كصورة أفينية لوحدة القطع المكافئ).

في إحدى طرق التكامل العددي ، يستبدل المرء الرسم البياني للدالة بأقواس من القطع المكافئ ويدمج أقواس القطع المكافئ. يتم تحديد القطع المكافئ بثلاث نقاط. صيغة القوس الواحد هي

تحتوي المربعات التالية على قطع مكافئ كأقسام مستوية:

  • مخروط بيضاوي الشكل
  • اسطوانة مكافئ
  • مكافئ بيضاوي الشكل ،
  • القطع المكافئ القطعي ، من ورقة واحدة ،
  • أسطواني من ورقتين.

شكل زائد من ورقتين

يمكن استخدام القطع المكافئ كمخطط ثلاثي ، أي أنه يسمح بالتقطيع الدقيق لزاوية تعسفية مع البوصلة والبوصلة. هذا لا يتعارض مع استحالة تقسيم الزاوية مع إنشاءات البوصلة والاستقامة وحدها ، حيث لا يُسمح باستخدام القطع المكافئ في القواعد الكلاسيكية لإنشاءات البوصلة والاستقامة.

يعود هذا المقطع الثلاثي إلى رينيه ديكارت ، الذي وصفه في كتابه La Géométrie (1637). [18]

إذا استبدل أحد الأرقام الحقيقية بحقل عشوائي ، فإن العديد من الخصائص الهندسية للقطع المكافئ y = x 2 < displaystyle y = x ^ <2>> لا تزال صالحة:

تظهر ظواهر جديدة بشكل أساسي ، إذا كان للحقل خاصية 2 (أي 1 + 1 = 0 ): الظلال كلها متوازية.

في الهندسة الجبرية ، يتم تعميم القطع المكافئ بواسطة المنحنيات العادية المنطقية ، والتي لها إحداثيات (x, x 2 , x 3 , …, x ن ) القطع المكافئ القياسي هو الحال ن = 2 ، والحالة ن = 3 يُعرف بالمكعب الملتوي. يتم إعطاء مزيد من التعميم بواسطة مجموعة Veronese ، عندما يكون هناك أكثر من متغير إدخال واحد.

في نظرية الأشكال التربيعية ، القطع المكافئ هو الرسم البياني للشكل التربيعي x 2 (أو مقاييس أخرى) ، في حين أن القطع المكافئ الإهليلجي هو الرسم البياني للشكل التربيعي الإيجابي المحدد x 2 + ذ 2 (أو المقاييس) ، والمكافئ القطعي هو الرسم البياني للصيغة التربيعية غير المحددة x 2 − ذ 2. تؤدي التعميمات إلى المزيد من المتغيرات إلى المزيد من هذه الكائنات.

المنحنيات ذ = x ص للقيم الأخرى لـ p يشار إليها تقليديا باسم أعلى القطع المكافئ وعولجوا في الأصل ضمنيًا في الشكل x ص = كنتاكي ف لكل من p و q كلا من الأعداد الصحيحة الموجبة ، حيث يُنظر إليهما على أنهما منحنيات جبرية. هذه تتوافق مع الصيغة الصريحة ذ = x ص/ف لقوة كسرية موجبة لـ x. تتوافق القوى الكسرية السالبة مع المعادلة الضمنية x ص ذ ف = ك ويشار إليها تقليديا باسم ارتفاع القطوع الزائدة. من الناحية التحليلية ، يمكن أيضًا رفع x إلى قوة غير عقلانية (للقيم الإيجابية لـ x) تكون الخصائص التحليلية مماثلة عندما يتم رفع x إلى قوى عقلانية ، لكن المنحنى الناتج لم يعد جبريًا ولا يمكن تحليله بالهندسة الجبرية.

في الطبيعة ، توجد تقديرات تقريبية للقطوع المكافئة والبارابولويد في العديد من المواقف المتنوعة. أفضل مثال معروف للقطع المكافئ في تاريخ الفيزياء هو مسار جسيم أو جسم متحرك تحت تأثير مجال جاذبية موحد بدون مقاومة الهواء (على سبيل المثال ، كرة تطير في الهواء ، متجاهلة احتكاك الهواء).

تم اكتشاف المسار المكافئ للمقذوفات تجريبيًا في أوائل القرن السابع عشر بواسطة جاليليو ، الذي أجرى تجارب على كرات تتدحرج على طائرات مائلة. كما أثبت لاحقًا ذلك رياضيًا في كتابه حوار حول علمين جديدين. [19] [h] بالنسبة للأجسام الممتدة في الفضاء ، مثل قفز الغطاس من لوح الغوص ، فإن الجسم نفسه يتبع حركة معقدة أثناء دورانه ، لكن مركز كتلة الجسم يتحرك مع ذلك على طول القطع المكافئ. كما هو الحال في جميع الحالات في العالم المادي ، يكون المسار دائمًا تقريبًا للقطع المكافئ. على سبيل المثال ، يؤدي وجود مقاومة الهواء دائمًا إلى تشويه الشكل ، على الرغم من أن الشكل عند السرعات المنخفضة يعد تقريبًا جيدًا للقطع المكافئ. في السرعات العالية ، كما هو الحال في المقذوفات ، يكون الشكل مشوهًا للغاية ولا يشبه القطع المكافئ.

هناك حالة افتراضية أخرى قد تنشأ فيها القطع المكافئة ، وفقًا لنظريات الفيزياء التي وصفها السير إسحاق نيوتن في القرنين السابع عشر والثامن عشر ، وهي تدور في مدارات ثنائية الجسم ، على سبيل المثال ، مسار كوكب صغير أو جسم آخر تحت تأثير جاذبية الشمس. لا تحدث المدارات المكافئة في الطبيعة ، فالمدارات البسيطة غالبًا ما تشبه القطوع الزائدة أو الحذف. المدار المكافئ هو الحالة الوسيطة المتدهورة بين هذين النوعين من المدار المثالي. الجسم الذي يتبع مدارًا مكافئًا سوف يسافر بسرعة الهروب الدقيقة للجسم الذي يدور حوله حول الأجسام في مدارات بيضاوية أو قطعية تتحرك بسرعة أقل أو أكبر من سرعة الهروب ، على التوالي. تنتقل المذنبات طويلة المدى بالقرب من سرعة إفلات الشمس أثناء تحركها عبر النظام الشمسي الداخلي ، لذا فإن مساراتها شبه مكافئة.

تم العثور على تقريب القطع المكافئة أيضًا في شكل الكابلات الرئيسية على جسر معلق بسيط. دائمًا ما يكون منحنى سلاسل الجسر المعلق عبارة عن منحنى وسيط بين القطع المكافئ وسلسلة ، ولكن من الناحية العملية ، يكون المنحنى عمومًا أقرب إلى القطع المكافئ نظرًا لأن وزن الحمولة (أي الطريق) أكبر بكثير من الكابلات أنفسهم ، وفي الحسابات يتم استخدام صيغة متعددة الحدود من الدرجة الثانية للقطع المكافئ. [20] [21] تحت تأثير الحمل المنتظم (مثل السطح المعلق الأفقي) ، يتشوه الكبل ذو الشكل السلسلي باتجاه القطع المكافئ (انظر سلسال # منحنى الجسر المعلق). على عكس السلسلة غير المرنة ، يأخذ الزنبرك المعلق بحرية بطول صفر غير مضغوط شكل القطع المكافئ. من الناحية المثالية ، تكون كابلات الجسر المعلق متوترة تمامًا ، دون الحاجة إلى حمل قوى أخرى ، على سبيل المثال ، الانحناء. وبالمثل ، فإن هياكل الأقواس المكافئة في حالة ضغط بحت.

تظهر Paraboloids في العديد من المواقف الجسدية أيضًا. المثال الأكثر شهرة هو العاكس المكافئ ، وهو مرآة أو جهاز عاكس مشابه يركز الضوء أو أشكال أخرى من الإشعاع الكهرومغناطيسي إلى نقطة بؤرية مشتركة ، أو على العكس من ذلك ، يوازي الضوء من مصدر نقطة عند التركيز إلى شعاع مواز. ربما تم اكتشاف مبدأ العاكس المكافئ في القرن الثالث قبل الميلاد بواسطة مقياس الأرض أرخميدس ، الذي قام ، وفقًا لأسطورة مشكوك فيها ، ببناء مرايا مكافئة للدفاع عن سيراكوز ضد الأسطول الروماني ، من خلال تركيز أشعة الشمس على إشعال النار على أسطح السفن الرومانية. تم تطبيق المبدأ على التلسكوبات في القرن السابع عشر. اليوم ، يمكن ملاحظة العاكسات المكافئة بشكل شائع في معظم أنحاء العالم في هوائيات استقبال وإرسال أطباق الأقمار الصناعية والميكروويف.

في الميكروفونات ذات القطع المكافئ ، يتم استخدام عاكس مكافئ لتركيز الصوت على الميكروفون ، مما يمنحه أداء اتجاهيًا عاليًا.

لوحظت أيضًا Paraboloids في سطح سائل محصور في حاوية وتدور حول المحور المركزي. في هذه الحالة ، تتسبب قوة الطرد المركزي في أن يتسلق السائل جدران الحاوية ، مكونًا سطحًا مكافئًا. هذا هو المبدأ الكامن وراء تلسكوب المرآة السائلة.

الطائرات المستخدمة لإنشاء حالة انعدام الوزن لأغراض التجارب ، مثل "مذنب القيء" التابع لوكالة ناسا ، تتبع مسارًا مكافئًا عموديًا لفترات وجيزة من أجل تتبع مسار جسم في السقوط الحر ، والذي ينتج نفس تأثير انعدام الجاذبية في معظم الأغراض.

تحرير المعرض

كرة مرتدة تم التقاطها بفلاش اصطرابي بمعدل 25 صورة في الثانية. تصبح الكرة غير كروية بشكل ملحوظ بعد كل ارتداد ، خاصة بعد الأولى. يؤدي هذا ، إلى جانب مقاومة الدوران والهواء ، إلى انحراف المنحنى قليلاً عن القطع المكافئ المثالي المتوقع.

المسارات المكافئة للماء في النافورة.

مسار المذنب كوهوتيك (باللون الأحمر) أثناء مروره عبر النظام الشمسي الداخلي ، يُظهر شكله شبه المكافئ. المدار الأزرق هو مدار الأرض.

تتبع الكابلات الداعمة للجسور المعلقة منحنى متوسط ​​بين القطع المكافئ وسلسلة.

جسر قوس قزح عبر نهر نياجرا ، الذي يربط كندا (على اليسار) بالولايات المتحدة (على اليمين). القوس المكافئ في حالة انضغاط ويحمل ثقل الطريق.

الأقواس المكافئة المستخدمة في العمارة

شكل مكافئ يتكون من سطح سائل تحت الدوران. سائلين بكثافة مختلفة يملآن تمامًا مساحة ضيقة بين لوحين من البلاستيك الشفاف. يتم إغلاق الفجوة بين الأوراق في الأسفل والجانبين والأعلى. يدور التجميع بأكمله حول محور عمودي يمر عبر المركز. (انظر الفرن الدوار)

ميكروفون مكافئ مع عاكس بلاستيكي شفاف بصري يستخدم في مباراة كرة قدم جامعية أمريكية.

كشاف اديسون مثبت على عربة. كان للضوء عاكس مكافئ.

الفيزيائي ستيفن هوكينغ في طائرة تحلق في مسار مكافئ لمحاكاة انعدام الجاذبية


في الكتابة السابقة التي طورت هذا العمل ، استخدمنا مصطلح "الخطاب الرياضي في التعليم - الابتدائي" (MDI-P). تاريخ هذا العمل هو تطوير مشترك لأطر MDI بين Hamsa Venkat و Jill Adler ، والتي تشترك في جذورها في النظرية الاجتماعية والثقافية ولكنها اختلفت في صيغ محددة عبر العمل في الرياضيات الثانوية والابتدائية. من أجل تجنب الخلط بين نماذج المستوى الثانوي والأساسي ، قمنا بتغيير عنوان إطار العمل الخاص بنا إلى MPM. الكتابة مع Adler وفريقها جارية ، وتشرح بالتفصيل تواريخ ومسارات تطوير كل من MPM و MDI.

Adler ، J. ، & amp Pillay ، V. (2007). تحقيق في الرياضيات للتدريس: رؤى من حالة. المجلة الأفريقية للبحوث في تعليم الرياضيات والعلوم والتكنولوجيا, 11(2), 87–108.

Adler ، J. ، & amp Ronda ، E. (2015). إطار لوصف خطاب الرياضيات في التدريس وتفسير الاختلافات في التدريس. المجلة الأفريقية للبحوث في تعليم الرياضيات والعلوم والتكنولوجيا, 19(3), 237–254.

Adler، J.، & amp Venkat، H. (2014). خطاب المعلمين الرياضي في التدريس: التركيز على الأمثلة والتفسيرات. في H. Venkat ، M. Rollnick ، ​​J. Loughran ، & amp M. Askew (محرران) ، استكشاف معرفة معلمي الرياضيات والعلوم: Windows في تفكير المعلم (ص 132 - 146). أبينجدون ، أوكسون: روتليدج.

الكسندر ، ر. (2000). الثقافة والتربية: مقارنات دولية في التعليم الابتدائي. أكسفورد: بلاكويل.

أندروز ، ب. (2009). الاستراتيجيات التعليمية لمعلمي الرياضيات: دراسة الإمكانات المقارنة للواصفات العامة للاستدلال المنخفض. مراجعة التعليم المقارن, 53(4), 559–582.

أنغيليري ، ج. (1995). اللغة والحساب والتفاوض على المعنى. لتعلم الرياضيات, 15(3), 10–14.

أرزاريلو ، ف. (2006). semiosis كعملية متعددة الوسائط. ريلايم ، نوميرو خاص ، 267-299.

Askew، M.، Brown، M.، Rhodes، V.، Johnson، D.C، & amp Wiliam، D. (1997). مدرسين فعالين في الحساب. تقرير دراسة تم إجراؤها لوكالة تدريب المعلمين 1995-1996 من قبل كلية التربية ، كينجز كوليدج لندن. لندن: وكالة تدريب المعلمين.

Askew ، M. ، Venkat ، H. ، & amp Mathews ، C. (2012). الترابط والاتساق في دروس الرياضيات الابتدائية في جنوب أفريقيا. في تي واي تسو (محرر) ، وقائع المؤتمر السادس والثلاثين للمجموعة الدولية لعلم نفس تعليم الرياضيات (المجلد 2 ، ص 27 - 34). تايبيه ، تايوان: PME.

باخرست ، د. (1991). الوعي والثورة في الفلسفة السوفيتية: من البلاشفة إلى إيفالد إلينكوف. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج.

كول ، م. (1996). علم النفس الثقافي: الانضباط مرة واحدة والمستقبلية. كامبريدج: مطبعة جامعة هارفارد.

افعل. (2008). أسس حملة التعلم. الجريدة الرسمية. رسالة إلى معلمي المرحلة التأسيسية والمرحلة المتوسطة. بريتوريا: DoE.

دوفال ، ر. (2006). تحليل معرفي لمشاكل الفهم في تعلم الرياضيات. دراسات تربوية في الرياضيات, 61(1–2), 103–131.

إدواردز ، دي ، وأمبير ميرسر ، إن. (1987). المعرفة العامة: تنمية الفهم داخل الفصل. لندن: روتليدج.

Ekdahl، A.-L.، Venkat، H.، & amp Runesson، U. (2016). تعليم الترميز من أجل التزامن والتواصل: فحص تعليم العلاقات المضافة للمعلمين جزئيًا. دراسات تربوية في الرياضيات., 93(3), 293–313.

إنسور ، ب. ، هوادلي ، يو ، جاكلين ، إتش ، كون ، سي ، شميت ، إي ، لومبارد ، إيه ، & أمبير فان دن هيوفيل-بانهويزين ، إم (2009). تخصص النص التربوي والوقت في الفصول الدراسية المرحلة الحساب الحساب. مجلة التربية, 47, 5–30.

غولدنبرغ ، ب ، وأمبير ماسون ، ج. (2008). تسليط الضوء على المساحات مع أمثلة. دراسات تربوية في الرياضيات, 69, 183–194.

Gravemeijer ، K. (1997). التوسط بين الملموس والمجرّد. في T. Nunes & amp P. Bryant (محرران) ، تعلم وتعليم الرياضيات: منظور دولي. هوف: مطبعة علم النفس.

جرافن ، م. (2014). الفقر وعدم المساواة وأداء الرياضيات: حالة سياق ما بعد الفصل العنصري في جنوب أفريقيا. ZDM, 46, 1039–1049.

هيل ، إتش ، بلانك ، إم إل ، فيلبس ، جي سي ، سليب ، إل ، آند أمبير بول ، دي إل (2008). المعرفة الرياضية للتدريس والجودة الرياضية للتعليم: دراسة استكشافية. الإدراك والتعليم, 26, 430–511.

هوادلي ، يو (2006). تحليل أصول التدريس: مشكلة التأطير. مجلة التربية, 40, 15–34.

هوادلي ، يو (2012). ماذا نعرف عن التدريس والتعلم في المدارس الابتدائية في جنوب أفريقيا؟ التعليم كتغيير, 16(2), 187–202.

هيوز ، م. (1986). الأطفال والعدد: صعوبات تعلم الرياضيات. لندن: دار نشر بلاكويل.

كوزولين ، أ. (2003). الأدوات النفسية والتعلم الوسيط. في A. Kozulin ، B. Gindis ، V. S. Ageyev ، & amp S. S. Miller (محرران) ، نظرية فيجوتسكي التعليمية في السياق الثقافي (ص 15 - 38). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج.

لينهاردت ، ج. (1990). نحو فهم التفسيرات التعليمية. واشنطن: مكتب البحث التربوي والتحسين. تم الاسترجاع في 1 نوفمبر 2016 من http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED334150.pdf

ما ، إل (1999). معرفة وتدريس الرياضيات الابتدائية: فهم المعلمين للرياضيات الأساسية في الصين والولايات المتحدة. Mahwah ، نيوجيرسي: Lawrence Erlbaum Associates.

مارتون ، ف. (2014). شروط التعلم اللازمة. أكسفورد: روتليدج.

Marton، F.، & amp Booth، S. (1997). التعلم والوعي. Mahwah ، نيوجيرسي: Lawrence Erlbaum Associates.

ميسون ، ج. (2002). التعميم والجبر: استغلال قوى الأطفال. في L. Haggerty (محرر) ، جوانب تدريس رياضيات المرحلة الثانوية: وجهات نظر حول الممارسة (ص 105 - 120). لندن: روتليدج فالمر.

Mason، J.، & amp Pimm، D. (1984). أمثلة عامة: رؤية العام بشكل خاص. دراسات تربوية في الرياضيات., 15(3), 277–289.

Mason، J.، & amp Spence، M. (1999). أبعد من مجرد معرفة الرياضيات: أهمية معرفة التصرف في الوقت الحالي. دراسات تربوية في الرياضيات., 38(1-3), 135–161.

ماثيوز ، سي (2014). شعبة التدريس: أهمية الترابط في ما هو متاح للتعلم. في H. Venkat ، M. Rollnick ، ​​J. Loughran ، & amp M. Askew (محرران) ، استكشاف معرفة معلمي الرياضيات والعلوم: Windows في تفكير المعلم (ص 84-95). لندن: روتليدج.

موير ، ب. (2001). هل بدأنا نشعر بالمتعه؟ كيف يستخدم المعلمون الوسائل المتلاعبة لتعليم الرياضيات. دراسات التربية في الرياضيات, 47(2), 175–197.

بريتشيت ، إل ، وأمبير بيتي ، أ. (2015). تمهل ، أنت تسير بسرعة كبيرة: مطابقة المناهج مع مستويات مهارات الطلاب. المجلة الدولية لتطوير التعليم, 40, 276–288.

رولاند ، ت. ، تيرنر ، إف ، ثويتس ، أ ، & أمبير هوكستيب ، ب. (2009). تطوير تدريس الرياضيات الابتدائية: التفكير في الممارسة باستخدام الرباعية المعرفية. لندن: منشورات سيج.

رولاند. (2013). دروس التعلم من التدريس: نتائج وصفية من دراسة قائمة على الملاحظة للفصول الدراسية الابتدائية الحضرية. مجلة سيزيف التعليمية, 1(3), 15–43.

سفارد ، أ. (2008). التفكير كتواصل. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج.

Stein، M.K، Smith، M. S.، Henningsen، M.A، & amp Silver، E.A (2000). تنفيذ التعليمات المستندة إلى المعايير: دليل للتطوير المهني. نيويورك: مطبعة كلية المعلمين.

ستيجلر ، جيه دبليو ، وأمبير هيبرت ، ج. (1999). فجوة التدريس: أفضل الأفكار من معلمي العالم لتحسين التعليم في الفصل الدراسي. نيويورك: فري برس.

تبولاوة ، ر. (2013). التدريس والتعلم في السياق: لماذا تفشل الإصلاحات التربوية في أفريقيا جنوب الصحراء الكبرى. داكار ، السنغال: CODESRIA.

تايلور ، ن. (2011). دراسة فعالية المدرسة الوطنية (NSES): ملخص للتقرير التجميعي. جوهانسبرج: صندوق التعليم المشترك.

فينكات ، هـ. (2013 ، يونيو). تطوير المناهج الدراسية مطروحًا منه تطوير المعلم ≠ تعليم الرياضيات. ورقة مقدمة في أعمال المؤتمر الوطني السنوي التاسع عشر لجمعية تعليم الرياضيات بجنوب إفريقيا ، كيب تاون ، جامعة ويسترن كيب.

Venkat، H.، & amp Askew، M. (2012). التوسط في تعلم الأرقام مبكرًا: هل تتخصص في حديث المعلم وأدواته؟ مجلة التربية, 56, 67–90.

فينكات ، هـ ، وأمبير نايدو ، د. (2012). تحليل التماسك للتعلم المفاهيمي في درس الحساب للصف الثاني. التعليم كتغيير, 16(1), 21–33.

Venkat، H.، & amp Spaull، N. (2015). ما الذي نعرفه عن معرفة المحتوى الرياضي لمعلمي المرحلة الابتدائية في جنوب إفريقيا؟ تحليل SACMEQ 2007. المجلة الدولية لتطوير التعليم, 41, 121–130.

فيجوتسكي ، إل (1987). التفكير والكلام. في R. W. Rieber & amp A. S. Carton (محرران) ، تم جمع الأعمال من L.S. فيجوتسكي ، المجلد الأول: مشاكل علم النفس العام (ن. مينيك ، ترانس). نيويورك: Plenum.

والكردين ، ف. (1988). إتقان العقل: التطور المعرفي وإنتاج العقلانية. لندن: روتليدج.

واتسون ، أ ، وأمبير ماسون ، ج. (2005). الرياضيات كنشاط بناء: المتعلمون يولدون الأمثلة. نيويورك: دار نشر لورانس إيرلبوم.

واتسون ، أ ، وأمبير ماسون ، ج. (2006 أ). رؤية التمرين ككائن رياضي واحد: استخدام التباين لهيكلة صنع المعنى. التفكير والتعلم الرياضي, 8(2), 91–111.

واتسون ، أ ، وأمبير ماسون ، ج. (2006 ب). التباين والبنية الرياضية. تدريس الرياضيات (دمج ميكرومات), 194, 3–5.

ويرش ، جي في (1991). أصوات العقل: نهج اجتماعي ثقافي لعمل وسيط. كامبريدج ، ماساتشوستس: مطبعة جامعة هارفارد.

ويرش ، ج.ف (1998). العقل كعمل. نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد.


11.2: الهوامش - الرياضيات

معهد نيويورك للتكنولوجيا
قسم الرياضيات

بالطبع مخطط

رقم الدورة: 260
اسم الدورة التدريبية: حساب التفاضل والتكامل الثالث
نص: جيمس ستيوارت ، التفاضل المتعدد المتغيرات، الطبعة الخامسة ، Brooks-Cole ، 2003 (ISBN 0-534-39357-8)

المنحنيات المعرفة بواسطة المعادلات البارامترية

حساب التفاضل والتكامل مع المنحنيات البارامترية

المناطق في الإحداثيات القطبية

الاختبار المتكامل ص-مسلسل

التقارب المطلق واختبار النسبة

تمثيلات الوظائف كسلسلة طاقة

سلسلة تايلور وماكلورين

ص. 806: 1-7 * ، 11-15 * ، 23-27 * ، 33 ، 35 ، 39 ، 43

أنظمة الإحداثيات ثلاثية الأبعاد

معادلات الأسطر والمستويات

وظائف عدة متغيرات

مستويات الظل والتقريب الخطي

المشتقات الاتجاهية والتدرج

تكاملات مزدوجة على مستطيلات

التكاملات المكررة المزدوجة

تكاملات مزدوجة على المناطق العامة

ص. 1038: 1 ، 7 ، 13 ، 15 ، 20 ، 21 ، 27 ، 37-49 *

التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية


الحواشي
:
1) تم تصميم عمود عدد الساعات لتقريب السرعة المناسبة للدورة. ساعة تترجم إلى 50 دقيقة من وقت التدريس في الفصل.
2) تشير تمارين الواجب المنزلي إلى نوع المشكلات التي يجب أن يكون الطالب قادرًا على حلها. سيحدد المدرب التمارين المعينة التي تم تعيينها. تشير علامة النجمة * إلى أن مجموعة التدريبات المشار إليها تشمل الأرقام الفردية فقط. على سبيل المثال ، 7-13 * يشير إلى المشاكل 7 و 9 و 11 و 13.

حاسبات :
تتطلب هذه الدورة أن يمتلك كل طالب آلة حاسبة بالرسوم البيانية. يوصي قسم الرياضيات باستخدام نماذج Texas Instruments ، TI-86 أو TI-89 أو TI-92. ستكون الآلة الحاسبة ضرورية للواجبات المنزلية والاختبارات القصيرة والامتحانات ، بما في ذلك الاختبار النهائي.


مراجع

آير ، أ. (1946). اللغة والحقيقة والمنطق (الطبعة الثانية). لندن: فيكتور جولانكز ليمتد.

بيرنس ، إي (1971). نظرية الخاتم. نيويورك: مطبعة أكاديمية.

بوغوصيان ، ب. (2003). التحليل المعرفي: دفاع. Grazer Philosophische Studien, 66(1), 15–35.

بولوس ، ج. (1998). هل يجب أن نؤمن بنظرية المجموعات؟ في المنطق والمنطق والمنطق. كامبريدج: مطبعة جامعة هارفارد.

برادون ميتشل ، آر ، وأمب نولا ، ر. (2009). التحليل المفاهيمي والطبيعية الفلسفية. كامبريدج: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.

كاردون ، دي ، وأمبير هيندلي ، جي آر (2009) Lambda-calculus and Combinators في القرن العشرين. في D.M Gabbay & amp J. Woods (محرران) ، المنطق من راسل إلى الكنيسة (كتيب تاريخ المنطق ، المجلد 5). أمستردام: شمال هولندا.

كارناب ، ر. (1947). المعنى والضرورة (الطبعة الثانية). شيكاغو: مطبعة جامعة شيكاغو.

كوشي ، إيه إل ، برادلي ، آر إي ، وأمب سانديفر ، إي سي (2009). Cauchy’s Cours d’Analyse. نيويورك: سبرينغر.

الكنيسة ، أ.ل (1932). مجموعة من المسلمات لتأسيس المنطق. حوليات الرياضيات, 2(33), 346–366.

الكنيسة (1933). مجموعة من المسلمات لتأسيس المنطق (الورقة الثانية). حوليات الرياضيات, 2(34), 839–864.

كوهن ، ب. (2000). مقدمة في نظرية الخاتم. نيويورك: سبرينغر.

دونالدسون ، ت. (2014). المتاعب المبتذلة. فلسفة الرياضيات, 22, 380–401.

إيجل ، أ. (2008). الرياضيات والتحليل المفاهيمي. توليف, 161(1), 67–88.

Ebert، P.، & amp Shapiro، S. (2009). الجيد، السيء والقبيح. توليف, 170(3), 415–441.

فيفرمان ، س. (2000). الحدس الرياضي مقابل الوحوش الرياضية. توليف, 125, 317–332.

Fraenkel، A. A.، Bar-Hillel، Y.، & amp Levy، A. (1973). أسس نظرية المجموعات (الطبعة الثانية). أمستردام: إلسفير.

فريج ، ج. (1893/1903). Grundgesetze der Arithmetik. جينا: Verlag Hermann Pohle.

جرابينر ، ج. (1981). أصول حساب كوشي الدقيق. كامبريدج: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.

هارتوجس ، ف. (1915). Über das Problem der Wohlordnung. Mathematische Annalen, 76, 438–443.

هوكينز ، ت. (1970). نظرية التكامل ليبسج. ماديسون: مطبعة جامعة ويسكونسن.

هوثورن ، ج. ، وأمبير ليبور ، إي (2011). على كلمات. مجلة الفلسفة, 108, 447–485.

هيلبرت ، د. (1899). Grundlagen der Geometrie. لايبزيغ: تيوبنر.

جاكسون ، ف. (1998). من الميتافيزيقيا إلى الأخلاق: دفاع عن التحليل المفاهيمي. أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد.

Juhl، C.، & amp Loomis، E. (2010). التحليلية. أكسفورد: روتليدج.

لاكاتوس ، آي (1976). البراهين والتفنيد. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج.

لويس ، د. (1970). كيفية تحديد المصطلحات النظرية. مجلة الفلسفة, 67, 427–446.

لويس ، د. (1972). التعريفات النفسية والفيزيائية والنظرية. مجلة الفلسفة الأسترالية, 50, 249–258.

لوتزن ، ج. (2003). أسس التحليل في القرن التاسع عشر. في H.N.Jahnke (محرر) ، تاريخ التحليل (تاريخ الرياضيات ، المجلد 24). بروفيدنس ، RI: American Mathematical Society.

مالمغرين ، أ. (2006). هل هناك معرفة مسبقة بالشهادة؟ مراجعة فلسفية, 115, 199–241.

ماكسويل ، ج. (1963). الضروري والوحدة. دراسات مينيسوتا في فلسفة العلوم, 3, 398–403.

نولان ، د. (2009). الابتذال والميتافيزيقا. في Braddon-Mitchell & amp Nola (محرران) ، التحليل المفاهيمي والطبيعية الفلسفية. كامبريدج: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.

بارسونز ، سي (1979). الحدس الرياضي. وقائع الجمعية الأرسطية, 80, 145–168.

بارسونز ، سي (2009). الفكر الرياضي وأغراضه. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج.

باش ، م. (1882). Vorlesungen über neuere Geometrie. لايبزيغ: تيوبنر.

بوتر ، م. (2004). نظرية المجموعات وفلسفتها. أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد.

كوين ، دبليو في أو (1937). أسس جديدة للمنطق الرياضي. الرياضيات الأمريكية الشهرية, 44, 70–80.

كوين ، دبليو في أو (1951). اثنان من العقائد التجريبية. المراجعة الفلسفية, 60, 20–43.

رايو ، أ. (2013). بناء الفضاء المنطقي. أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد.

ريتشنباخ ، هـ. (1924). Axiomatik der relativistischen Raum-Zeit-Lehre. براونشفايغ: Vieweg. أعيد طبعه كـ بديهية نظرية النسبية. لوس أنجلوس: مطبعة جامعة كاليفورنيا ، 1969 ، ترجمة ماريا ريتشينباخ.

روس ، س.ب. (1980). ترجمة ورقة بولزانو حول نظرية القيمة المتوسطة. هيستوريا ماتيماتيكا, 7, 156–185.

سيدر ، ت. (2007). النيو فريجينيزم والتباين الكمي. الجمعية الأرسطية التكميلية, 81(1), 201–232.

ستيدال ، ج. (2008). ظهور الرياضيات. أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد.

زيرميلو ، إي. (1908). دليل جديد على إمكانية حسن الترتيب. يمكن العثور على ترجمة (بواسطة Bauer-Mengelberg) في Heijenoort (محرر) من Frege إلى Gödel: كتاب مصدر في المنطق الرياضي ، 1879-1931، 1967. كامبريدج: مطبعة جامعة هارفارد.


شاهد الفيديو: MATHS104: - Rules for differentiation part 1 (ديسمبر 2021).