مقالات

4.4: TMS XIII - الرياضيات


مثل TMS VII # 2 ، هذه المشكلة صعبة نوعًا ما. إنه يقدم مثالاً مذهلاً لتطبيق التقنية الهندسية على مسألة غير هندسية.

1 2 gur 2 pi 5 bán من الزيت الذي اشتريته. من شراء 1 شيكل من الفضة ،

2 4 سيلا ، كل شيكل ، من الزيت الذي قطعته.

3 لقد رأيت ( frac {2} {3} ) ربحًا من الفضة. المقابلة لما

4 هل اشتريت وقابل ما بعت؟

5 أنت ، 4 سيلا من النفط و 40 ، (من أجل) الميناء ، الربح.

6 igi 40 افصل ، (1 ^ { prime} 30 ^ { prime prime} ) كما ترى ، (1 ^ { prime} 30 ^ { prime prime} ) 4 زيادة ، 6 ′ أنت يرى.

7 (6 ^ { prime} ) إلى (12‵50 ) ، الزيت ، رفع ، (1‵17 ) كما ترى.

8 ( frac {1} {2} ) من 4 فاصل ، 2 ترى ، 2 تأخر ، 4 ترى.

9 4 to (1‵17 ) انضم ، (1‵21 ) كما ترى. ما يساوي؟ 9 يساوي.

10 9 يطرح المقابل. ( frac {1} {2} ) من 4 التي قطعتها فاصلًا ، 2 كما ترى.

11 2 إلى أول 9 صلة ، 11 ترى ؛ من المسيل للدموع الثانية ،

12 7 ترى. 11 سيلا اشتريتها ، بعت 7 سيلا.

13 مقابل الفضة المقابلة ماذا؟ ما إلى 11 ¿سيلا? هل لي أن أفترض

14 أي (12-50 ) من الزيت يعطيني؟ (1‵10 ) موضعي ، 1 مينا 10 شيكل من الفضة.

15 ب 7 سيلا لكل شيكل تبيعونه من النفط ،

16 ذلك من 40 فضة يقابل ماذا؟ 40 إلى 7 زيادة ،

17 (4‵40 ) ترى (4‵40 ) زيت.

هذه مشكلة أخرى يبدو ، عند القراءة السطحية ، أنها تعكس حالة من الحياة الواقعية العملية (هنا ، التجارية). ومع ذلك ، عند الفحص الدقيق ، يتضح أنه مصطنع تمامًا مثل السؤال المكسور السابق: لقد اشترى تاجر (M = 2 mathrm {gur} 2 mathrm {pi} 5 mathrm {bán} ) (= (12‵50 mathrm {sìla} )) من الزيت الناعم (ربما زيت السمسم). لم يتم إخبارنا بالمبلغ الذي دفعه ، لكن النص يخبرنا أنه من كمية الزيت التي اشتراها مقابل شيكل واحد (أ) قطع 4 سلا ، وبيع ما تبقى ( (v = a-4 ) )) مقابل شيكل واحد ؛ (أ ) و (ت ) هما بالتالي مقلوبان بين السعرين - قد نتحدث عنهما على أنهما "معدلات" للشراء والبيع. علاوة على ذلك ، فإن إجمالي الربح (w ) يصل إلى ( frac {2} {3} ) مينا = 40 شيكل فضة. بالنسبة لنا ، على دراية برمزية الحروف الجبرية ، من السهل أن نرى أن سعر الشراء الإجمالي (الاستثمار) يجب أن يكون (M div a ) ، إجمالي سعر البيع (M div v ) ، والربح نتيجة لذلك (w = (M div v) - (M div a) ). بالضرب في (a cdot v ) نحصل على المعادلة

(M cdot (a-v) = w cdot a v ) ،

ومنذ ذلك الحين (v = a-4 ) ، النظام

(a-v = 4 quad، quad a cdot v = (4 M) div w ).

هذا النظام - من نفس النوع الذي تم اقتراحه في YBC 6967 ، فإن igûm-igibûm المشكلة (الصفحة 46) - هي بالفعل المشكلة التي تم حلها من السطر 8 فصاعدًا. ومع ذلك ، فمن المؤكد أنه لم يتم الوصول إليه بالطريقة الموصوفة للتو: من ناحية ، لأن البابليين لم يكن لديهم رمز حرفنا ، من ناحية أخرى لأنهم كانوا سيجدون الحجم ((4 M) div w ) وليس ، كما يفعلون بالفعل ، ((4 div w) cdot M ).

تظهر الإشارة إلى طريقتهم في نهاية النص. هنا يجد النص أولاً إجمالي الاستثمار ثم يكتشف الربح بعد ذلك في الزيت ( (4`40 ) سيلا). لا تشكل هذه الحسابات دليلاً لأن هذه المقادير ليست من بين بيانات المشكلة. ولا هم مطالبون بها ، مع ذلك. يجب أن يكونوا موضع اهتمام لأنهم لعبوا دورًا في إيجاد الحل.

شكل 4.8 يظهر تفسيراً محتملاً ومقبولاً في مبادئه. يتم تمثيل الكمية الإجمالية للنفط بمستطيل ، ارتفاعه يتوافق مع إجمالي سعر البيع بالشيكل ، وعرضه "معدل المبيعات" (v ) (سلا لكل شيكل). يمكن تقسيم إجمالي سعر البيع إلى ربح (40 شيكل) واستثمار (سعر شراء) وكمية النفط بالمثل إلى ربح النفط والكمية التي يعود بيعها الاستثمار.

يجب أن تتطابق النسبة بين الكميتين الأخيرتين مع تلك التي قسمت إليها الكمية المشتراة مقابل شيكل واحد - أي النسبة بين 4 سلا وما يباع بشيكل واحد (وبالتالي (v )).

تعديل المقياس الرأسي بعامل يقلل من 40 إلى 4 ، أي بعامل (4 div w = 4 div 40 = 6 ^ { prime} ) ، سيتم تقليل الاستثمار إلى (v ) ، والمساحة إلى ((4 div w) cdot M = 1` 17 ). بهذه الطريقة نحصل على المستطيل إلى اليمين ، والذي نعرف مساحته ( (a cdot v = 1` 17 )) والفرق بين الجانبين ( (av = 4 )) ، تمامًا كما نحن ينبغي. علاوة على ذلك ، نتبع النص في ترتيب العمليات ، ويلعب ربح النفط وكذلك الاستثمار دورًا.

بشكل عام ، الجزء الأخير من الإجراء يتبع نموذج YBC 6967 (ومشاكل أخرى من نفس النوع). يحدث الاختلاف الوحيد في السطر 10: بدلاً من استخدام "جزء" من (a-v ) الذي "جعلناه" في السطر 8 ، (a-v ) "مكسور" مرة ثانية. يتيح لنا ذلك "الانضمام" أولاً (ما تم ضمه بالفعل تحت التصرف) و "التمزيق" بعد ذلك.

في YBC 6967 ، تم إصدار igûm-igibûm مشكلة (صفحة 46) ، عملت الكميات الهندسية لتمثيل مقادير ذات طبيعة مختلفة ، وهي الأعداد المجردة. هنا ، التمثيل أكثر دقة: جزء يمثل كمية من الفضة ، والآخر يمثل كمية النفط المقابلة لشيكل من الفضة.


أرقام رومانية

أرقام رومانية هو نظام رقمي نشأ في روما القديمة وظل الطريقة المعتادة لكتابة الأرقام في جميع أنحاء أوروبا حتى أواخر العصور الوسطى. يتم تمثيل الأرقام في هذا النظام من خلال مجموعات من الحروف من الأبجدية اللاتينية. يستخدم الاستخدام الحديث سبعة رموز ، لكل منها قيمة عددية ثابتة: [1]

استمر استخدام الأرقام الرومانية لفترة طويلة بعد انهيار الإمبراطورية الرومانية. من القرن الرابع عشر فصاعدًا ، بدأ استبدال الأرقام الرومانية بالأرقام العربية ، ومع ذلك ، كانت هذه العملية تدريجية ، واستمر استخدام الأرقام الرومانية في بعض التطبيقات حتى يومنا هذا.

مكان واحد غالبًا ما يشاهدونه هو على وجوه الساعة. على سبيل المثال ، في ساعة بيغ بن (المصممة عام 1852) ، تتم كتابة الساعات من 1 إلى 12 على النحو التالي:


شعبة الرياضيات

Buhat C.A.H. ، Talabis D.A.SJ. ، Cueno A.L. ، Gavina M.K.A. ، Babierra A.L. ، Cuaresma GA ، and Fajardo J.F. 2017. Stochasticity in the Parasite-Drive Thit Evolution of Competivatives Masks تقنع النتائج المميزة لمقاييس المسافة. العمليات (MDPI) ، 5 (4) ، 74.

مارك ليكستر دي لارا

التحسين ، بحوث العمليات ، Metaheuristics ، علم البيانات ، التنادد المستمر ، مجموعات كذب المصفوفة

[email protected]

Malaguit، J.C، Makahiya، M.F، & amp De Lara، M.LD 2017. التنبؤ بجريان الأمطار على أساس الأحداث في حوض نهر بامبانجا ، الفلبين باستخدام الشبكات العصبية الاصطناعية (ANN). المجلة الدولية للتنمية البيئية والريفية (1): 33-38

De Lara، M.L D.، Rolluque، E.J P & amp Serrano، D.L F. 2016. تحسين مواقع منشآت ما بعد الحصاد بالكسافا في سورالله ، جنوب كوتاباتو ، الفلبين. مجلة دراسات الطبيعة. 15 (2): 23-36

De Lara، M.L، Burgos، V. J.، Silva، A. M. and Nazareno، A. 2014. تحديد المسار الأمثل للمركبات التي تنقل سلع الإغاثة إلى المناطق المعرضة للكوارث في المنطقة IV-A. مجلة دراسات الطبيعة. 13 (2): 13-24

Bosaing ، A.A.D. ، Rabajante ، J.F. and De Lara ، M.L.D. 2012. مشاكل التخصيص مع قيود الحي الموزونة وغير الموزونة في 3 ^ 6 و 4 ^ 4 و 6 ^ 3. مجلة جنوب شرق آسيا للعلوم ، 1 (1): 55-75.

بن بول ب. ديلا كروز

نظرية الترميز ، تعليم الرياضيات

[email protected]

شيلا S. ديمغيلو

نظام الترقيم ، مسافات التغيير

[email protected]

Caalim، J. and Demegillo، S .. Beta Cantor Series التوسع والمتواليات المقبولة. Acta Polytechnica: Journal of Advanced Engineering، 60 (3): 214-224، 2020، DOI: 10.14311 / AP.2020.60.0214

جيسة كاميل سي دويرو

علم البلورات ، نظرية التبليط

[email protected]

نيل جيروم أ

المشاكل العكسية والتحكم ، PDEs ، التحليل العددي ، نظرية الرسم البياني ، تعليم الرياضيات

[email protected]

نيل جيروم أ.إغارغين ، توفيق مكلاشي ، دانيال أونوفري ، نعوم د. هراري أرنولد. مخططات قمع الاهتزاز واكتشاف العيوب في أنظمة كتلة الربيع الخطية أحادية الأبعاد. مجلة هندسة وتقنيات الاهتزاز ، 2019. DOI: https://doi.org/10.1007/s42417-019-00104-5

نيل جيروم أ.إيجاروين ودانييل أونوفري وإريك بلات. تحليل الحساسية للمعالجة النشطة لحقول هيلمهولتز ثلاثية الأبعاد. المشاكل العكسية في العلوم والهندسة ، 2018. DOI: https://doi.org/10.1080/17415977.2018.1555248

نيل جيروم أ. إيجاروين ، ورولاندو ج. بانوبيو. G (A ، B) - وسم الصبار على المجموعات. إجراءات AIP: المجلد. رقم 1739 الفن. رقم 020006 ، 2016 DOI: https://doi.org/10.1063/1.4952486

نيل جيروم أ. إيجاروين ، ورولاندو ج. بانوبيو. G (A ، B) - وسم الغابات والأشجار. AIP Proceedings Vol. رقم 1707 فن. رقم 020005 ، 2016. DOI: http://dx.doi.org/10.1063/1.4940806

نيل جيروم أ.إيجاروين ، ورولاندو ج. بانوبيو. توقيعات الاتحاد المنفصل ومنتج الصندوق لبعض التوقيعات الشخصية المناسبة. جريدة UPLB Journal XIII ، كانون الثاني (يناير) - كانون الأول (ديسمبر) 2015


الدرجات المتعددة لأنظمة الحرية (vibration_toolbox.mdof) ¶

درجات متعددة من أدوات تحليل الحرية.

الترددات الطبيعية ونسب التخميد وأشكال الوضع لنظام MDOF. ستعيد هذه الوظيفة الترددات الطبيعية (wn) ، والترددات الطبيعية المبللة (wd) ، ونسب التخميد (زيتا) ، والمتجهات الذاتية اليمنى (X) والمتجهات الذاتية اليسرى (Y) لنظام محدد بواسطة M و K و C. إذا كانت مصفوفة الرطوبة 'C' لا شيء أو إذا كان التخميد متناسبًا ، فلن يكون wd و zeta بلا قيمة وستكون X و Y متساويتين.

المعلمات م: مجموعة

الترددات الطبيعية للنظام

الترددات الطبيعية الخافضة للنظام

عودة eigensolution لنظام DOF متعدد.

إرجاع الترددات الطبيعية (w) والمتجهات الذاتية (P) وأشكال الوضع (S) ومصفوفة التحويل الشرطي S لنظام غير مخمد.

انظر ملاحظات لشرح الرياضيات الأساسية.

المعلمات م: مصفوفة عائمة

K: مجموعة عائمة

الترددات الطبيعية للنظام

المتجهات الذاتية للنظام.

أشكال الوضع الشامل للنظام.

مصفوفة التحويل الشرطي S ^ -1 (تأخذ x - & gt r (إحداثيات مشروطة))

معطى (M ddot(t) + Kx (t) = 0 ) ، باستخدام أشكال الوضع (u ) ، يمكن إنشاء مصفوفة أشكال الوضع (S = [u_1 u_1 ldots] ). إذا كانت الإحداثيات الشرطية هي المتجه (r (t) ). يفصل التحويل الشرطي المكان والزمان عن (x (t) ) بحيث يكون (x (t) = S r (t) ). الاستبدال في المعادلة الحاكمة:

سيتم تحديد المصفوفات (S ^ TMS ) و (S ^ TKS ) من خلال هذه العملية ( (u_i ) هي المتجهات الذاتية لـ (M ^ <-1> K )).

إذا تم تحجيمها بشكل صحيح (تم تطبيع الكتلة لذلك (u_i ^ TMu_i = 1 )) ثم (S ^ TMS = I ) و (S ^ TKS = Omega ^ 2 ) حيث ( Omega ^ 2 ) هو مصفوفة قطرية للترددات الطبيعية تربيع بالراديان في الثانية.

علاوة على ذلك ، فإن الانعكاسات غير مستقرة ، لذا فإن أفضل طريقة لحل المعادلات الخطية هي إزالة Gauss.

(AB = C ) معروف (A ) و (C ) يتم حله باستخدام la.solve (A ، C ، افتراض_a = "pos").

(BA = C ) معروف (A ) و (C ) يتم حله عن طريق نقل المعادلة أولاً إلى (A ^ TB ^ T = C ^ T ) ، ثم حل (C ^ T ) ). الأمر الناتج هو la.solve (أي تي ، سي تي ، افترض_أ = "نقاط البيع")

لعرض استجابة النظام في ضوء متجه الإزاحة الأولي "X0" ومتجه السرعة الابتدائية "V0" ومصفوفة الكتلة "M" ومصفوفة الصلابة "M" ومصفوفة التخميد "C" والقوة "F". T هو متجه صف من الأزمنة المتباعدة بشكل متساوٍ. F عبارة عن مصفوفة قوى بمرور الوقت ، كل عمود يقابل العمود المقابل لـ T ، كل صف يقابل نفس DOF المرقمة.


محتويات

تم تصور تحويل جيب التمام المنفصل (DCT) لأول مرة من قبل ناصر أحمد ، أثناء عمله في جامعة ولاية كنساس ، واقترح المفهوم على مؤسسة العلوم الوطنية في عام 1972. كان ينوي في الأصل DCT لضغط الصورة. [9] [1] طور أحمد خوارزمية DCT عملية مع طالب الدكتوراه T. Natarajan وصديقه K.R.Rao في جامعة تكساس في أرلينغتون في عام 1973 ، ووجدوا أنها الخوارزمية الأكثر فعالية لضغط الصور. [9] قدموا نتائجهم في ورقة بحثية صدرت في يناير 1974 بعنوان "تحويل جيب التمام المنفصل". [5] [6] [10] ووصف ما يسمى الآن النوع الثاني DCT (DCT-II) ، [11] بالإضافة إلى النوع الثالث المعكوس DCT (IDCT). [5] كان منشورًا قياسيًا ، [12] [13] وقد تم الاستشهاد به باعتباره تطورًا أساسيًا في آلاف الأعمال منذ نشره. [14] تم تلخيص العمل البحثي الأساسي والأحداث التي أدت إلى تطوير DCT في منشور لاحق لأحمد ، "كيف أتيت مع تحويل جيب التمام المنفصل". [9]

منذ تقديمه في عام 1974 ، كان هناك بحث مهم حول DCT. [10] في عام 1977 ، نشر Wen-Hsiung Chen ورقة مع C. Harrison Smith و Stanley C. Fralick يقدمون فيها خوارزمية DCT سريعة ، [15] [10] وأسس Compression Labs لتسويق تقنية DCT. [1] تتضمن التطورات الإضافية ورقة عام 1978 من إعداد إم جيه ناراسيمها وأ. بيترسون ، وورقة عام 1984 بقلم ب. لي. [10] تم الاستشهاد بهذه الأوراق البحثية ، جنبًا إلى جنب مع ورقة أحمد الأصلية لعام 1974 وورقة تشين لعام 1977 ، من قبل مجموعة خبراء التصوير المشتركة كأساس لخوارزمية ضغط الصور المفقودة لـ JPEG في عام 1992. [10] [16]

في عام 1975 ، قام John A. Roese و Guner S. Robinson بتكييف DCT لتشفير الفيديو بين الإطارات المعوض عن الحركة. لقد جربوا DCT وتحويل فورييه السريع (FFT) ، وطوروا مشفرات هجينة بين الإطارات لكليهما ، ووجدوا أن DCT هو الأكثر كفاءة نظرًا لتقليل تعقيده ، وهو قادر على ضغط بيانات الصورة إلى 0.25 بت لكل بكسل لمشهد هاتف فيديو بجودة صورة مماثلة لمشفرة داخل الإطار تتطلب 2 بت لكل بكسل. [17] [18] تم تطبيق DCT على ترميز الفيديو بواسطة Wen-Hsiung Chen ، [1] الذي طور خوارزمية DCT سريعة باستخدام C.H. سميث و S.C Fralick في عام 1977 ، [15] [10] وأسسوا Compression Labs لتسويق تقنية DCT. [1] في عام 1979 ، قام Anil K. Jain و Jaswant R. Jain بتطوير ضغط فيديو DCT المعوض بالحركة ، [19] [20] يسمى أيضًا تعويض حركة الكتلة. [20] أدى ذلك إلى قيام تشين بتطوير خوارزمية عملية لضغط الفيديو ، تسمى DCT المعوض عن الحركة أو ترميز المشهد التكيفي ، في عام 1981. [20] أصبح DCT المعوض بالحركة فيما بعد تقنية التشفير القياسية لضغط الفيديو من أواخر الثمانينيات فصاعدًا. [21] [22]

يتم استخدام عدد صحيح DCT في ترميز الفيديو المتقدم (AVC) ، [23] [1] الذي تم تقديمه في عام 2003 ، وترميز الفيديو عالي الكفاءة (HEVC) ، [4] [1] الذي تم تقديمه في عام 2013. كما يُستخدم الرقم الصحيح DCT في تنسيق صورة عالي الكفاءة (HEIF) ، والذي يستخدم مجموعة فرعية من تنسيق ترميز الفيديو HEVC لترميز الصور الثابتة. [4]

تم تطوير متغير DCT ، وهو تحويل جيب التمام المنفصل المعدل (MDCT) ، بواسطة John P. جونسون وآلان ب. برادلي في جامعة ساري في عام 1987 ، [24] بعد العمل السابق الذي قام به برينسن وبرادلي في عام 1986. [25] يتم استخدام MDCT في معظم تنسيقات ضغط الصوت الحديثة ، مثل Dolby Digital (AC-3) ، [26] [27] MP3 (الذي يستخدم خوارزمية DCT-FFT هجينة) ، [28] ترميز صوتي متقدم (AAC) ، [29] وفوربيس (Ogg). [30]

تم اشتقاق التحويل الجيبي المنفصل (DST) من DCT ، عن طريق استبدال حالة نيومان في س = 0 مع شرط Dirichlet. [31] تم وصف التوقيت الصيفي في ورقة DCT لعام 1974 من قبل أحمد ، ناتاراجان وراو. [5] تم وصف النوع الأول DST (DST-I) لاحقًا بواسطة Anil K. Jain في عام 1976 ، ثم تم وصف النوع II DST (DST-II) بواسطة H.B. كيكرا وج. سولانكا عام 1978. [32]

طور ناصر أحمد أيضًا خوارزمية DCT بدون فقدان مع Giridhar Mandyam و Neeraj Magotra في جامعة نيو مكسيكو في عام 1995. هذا يسمح باستخدام تقنية DCT لضغط الصور بدون فقدان البيانات. إنه تعديل لخوارزمية DCT الأصلية ، ويدمج عناصر DCT العكسية وتعديل دلتا. إنها خوارزمية ضغط بلا خسارة أكثر فاعلية من ترميز الإنتروبيا. [33] يُعرف DCT بدون فقدان أيضًا باسم LDCT. [34]

بدأ الترميز المويجي ، وهو استخدام تحويلات المويجات في ضغط الصور ، بعد تطوير ترميز DCT. [35] أدى إدخال DCT إلى تطوير الترميز المويج ، وهو نوع من ترميز DCT يستخدم الموجات بدلاً من خوارزمية DCT القائمة على الكتلة. [35] يتم استخدام ترميز التحويل المويجي المنفصل (DWT) في معيار JPEG 2000 ، [36] تم تطويره من 1997 إلى 2000 ، [37] وفي تنسيق ضغط الفيديو Dirac الخاص بشركة BBC والذي تم إصداره في عام 2008. الترميز المويج أكثر كثافة للمعالج ، ولم تشهد بعد انتشارًا واسعًا في الاستخدام المواجه للمستهلك. [38]

DCT هي تقنية التحويل الأكثر استخدامًا في معالجة الإشارات ، [39] وإلى حد بعيد التحويل الخطي الأكثر استخدامًا في ضغط البيانات. [40] كان ضغط البيانات DCT أساسيًا للثورة الرقمية. [8] [41] [42] كان للوسائط الرقمية غير المضغوطة بالإضافة إلى الضغط غير المنقوص متطلبات ذاكرة وعرض نطاق عالية بشكل غير عملي ، والتي تم تقليلها بشكل كبير من خلال تقنية الضغط المفقود DCT عالية الكفاءة ، [7] [8] قادرة على تحقيق نسب ضغط البيانات من 8: 1 إلى 14: 1 لجودة قريبة من الاستوديو ، [7] حتى 100: 1 لمحتوى بجودة مقبولة. [8] أدى التبني الواسع لمعايير ضغط DCT إلى ظهور وانتشار تقنيات الوسائط الرقمية ، مثل الصور الرقمية والصور الرقمية ، [43] [44] الفيديو الرقمي ، [21] [42] وسائط البث ، [45] تلفزيون رقمي ، تلفزيون متدفق ، فيديو عند الطلب (VOD) ، [8] سينما رقمية ، [26] فيديو عالي الدقة (فيديو عالي الدقة) ، تلفزيون عالي الوضوح (HDTV). [7] [46]

غالبًا ما يتم استخدام DCT ، ولا سيما DCT-II ، في معالجة الإشارات والصور ، خاصةً للضغط المفقود ، لأنه يحتوي على خاصية "ضغط الطاقة" القوية: [5] [6] في التطبيقات النموذجية ، معظم الإشارات تميل المعلومات إلى التركيز في عدد قليل من مكونات التردد المنخفض من DCT. بالنسبة لعمليات ماركوف المترابطة بقوة ، يمكن أن يقترب DCT من كفاءة الضغط لتحويل Karhunen-Loève (وهو الأمثل في معنى علاقة الديكور). كما هو موضح أدناه ، ينبع هذا من الشروط الحدودية الضمنية في وظائف جيب التمام.

تُستخدم DCTs أيضًا على نطاق واسع في حل المعادلات التفاضلية الجزئية بالطرق الطيفية ، حيث تتوافق المتغيرات المختلفة لـ DCT مع شروط حدية زوجية / فردية مختلفة قليلاً عند طرفي المصفوفة.

ترتبط DCTs ارتباطًا وثيقًا بمتعددة حدود Chebyshev ، وتستخدم خوارزميات DCT السريعة (أدناه) في تقريب Chebyshev للوظائف التعسفية بواسطة سلسلة من Chebyshev متعدد الحدود ، على سبيل المثال في تربيع Clenshaw-Curtis.

DCT هو معيار الترميز لأجهزة الاتصالات متعددة الوسائط. يتم استخدامه على نطاق واسع لتقليل معدل البت ، وتقليل استخدام النطاق الترددي للشبكة. [1] ضغط DCT يقلل بشكل كبير من مقدار الذاكرة وعرض النطاق الترددي المطلوب للإشارات الرقمية. [8]

التطبيقات العامة تحرير

يستخدم DCT على نطاق واسع في العديد من التطبيقات ، والتي تشمل ما يلي.

    - تشفير الصوت ، وضغط البيانات الصوتية (ضياع وخسارة) ، [47] الصوت المحيطي ، [26] الصدى الصوتي وإلغاء التغذية المرتدة ، والتعرف على الصوت ، وإلغاء تسمية المجال الزمني (TDAC) [48]
      [1] - البث الصوتي الرقمي (DAB +) ، [49] راديو عالي الدقة [50] - ترميز الكلام [51] [52] التعرف على الكلام ، اكتشاف النشاط الصوتي (VAD) [48] - الصوت عبر بروتوكول الإنترنت (VoIP) ، [51] الهاتف المحمول ، الهاتف عبر الفيديو ، [52] المؤتمرات عن بعد ، مؤتمرات الفيديو [1]
      - التعرف على الوجه [48]
      إعادة تعليم الاستخدام [1]
      العمليات - التكميم ، الترجيح الحسي ، ترميز الإنتروبيا ، الترميز المتغير [1]
      [45] - دفق الصوت ، دفق الفيديو ، دفق التلفزيون ، الفيديو حسب الطلب (VOD) [8]
      التنسيق - تنسيق النصوع واختلافات الألوان ، تنسيقات الألوان (مثل YUV444 و YUV411) ، عمليات فك التشفير مثل العملية العكسية بين تنسيقات ألوان العرض (YIQ ، YUV ، RGB) [1] - الصور الرقمية ، الكاميرات الرقمية ، التصوير الرقمي ، [ 43] [44] التصوير عالي النطاق الديناميكي (تصوير HDR) [55] [48] [56] - تنسيقات ملفات الصور ، [57] ضغط الصورة متعدد الرؤية ، النقل التدريجي للصور [48] - معالجة الصور الرقمية ، [1] تحليل الصورة ، استرجاع الصور على أساس المحتوى ، كشف الزوايا ، تمثيل الصورة الكتلي الاتجاهي ، كشف الحواف ، تحسين الصورة ، دمج الصورة ، تجزئة الصورة ، الاستيفاء ، تقدير مستوى ضوضاء الصورة ، الانعكاس ، الدوران ، ملف تعريف التشوه الملحوظ (JND) ، تأثيرات الإخفاء الزماني المكاني ، التصوير المنتشر [48] التقييم - مقياس تدهور الجودة المستند إلى DCT (DCT QM) [48] - الفحص التلقائي للقوام الاتجاهي ، استعادة الصورة ، الطلاء ، الاسترداد البصري [48]
      (ECG) - تخطيط القلب المتجه (VCG) [48] - ضغط الصورة الطبية ، دمج الصور ، العلامات المائية ، تصنيف ضغط أورام المخ [48]
      تحليل الميزات [48]
    • تصفية DCT [48]
      [56] - التصوير السينمائي الرقمي ، وكاميرات الأفلام الرقمية ، وتحرير الفيديو ، وتحرير الأفلام ، [58] [59] Dolby Digital Audio [1] [26] (DTV) [7] - البث التلفزيوني الرقمي ، [56] التلفزيون القياسي (SDTV) ، تلفزيون عالي الدقة (HDTV) ، [7] [46] شرائح تشفير / فك تشفير HDTV ، Ultra HDTV (UHDTV) [1] [21] [42] - قرص رقمي متعدد الاستخدامات (DVD) ، [56] عالي -تعريف الفيديو (HD) [7] [46] - ضغط الفيديو ، [1] معايير ترميز الفيديو ، [48] تقدير الحركة ، تعويض الحركة ، التنبؤ بين الإطارات ، متجهات الحركة ، [1] ترميز الفيديو ثلاثي الأبعاد ، كشف التشوه المحلي نموذج الاحتمالية (LDDP) ، كشف الأجسام المتحركة ، ترميز الفيديو متعدد الرؤية (MVC) [48] - تحليل الحركة ، تحليل الحركة 3D-DCT ، تحليل محتوى الفيديو ، استخراج البيانات ، [48] تصفح الفيديو ، [60] إنتاج فيديو احترافي [61] ]
      [53] - الهواتف المحمولة ، والهواتف الذكية ، [52] الهواتف المرئية [1] (RF) - هندسة الترددات اللاسلكية ، مصفوفات الفتحات ، [48] تشكيل الحزمة ، الدوائر الحسابية الرقمية ، الاستشعار الاتجاهي ، التصوير الفضائي [62]

    تعديل معايير الوسائط المرئية DCT

    يستخدم ترميز الفيديو المتقدم (AVC) العدد الصحيح DCT [23] [1] (IntDCT) ، وهو تقريب عدد صحيح لـ DCT. [2] [1] يستخدم كتل DCT ذات عدد صحيح 4 × 4 و 8 × 8. يستخدم ترميز الفيديو عالي الكفاءة (HEVC) وتنسيق الصورة عالي الكفاءة (HEIF) أحجام كتلة DCT ذات عدد صحيح متنوع بين 4x4 و 32x32 بكسل. [4] [1] اعتبارًا من عام 2019 [تحديث] ، يعد AVC إلى حد بعيد التنسيق الأكثر استخدامًا لتسجيل وضغط وتوزيع محتوى الفيديو ، ويستخدمه 91٪ من مطوري الفيديو ، يليه تنسيق HEVC الذي يستخدمه 43٪ من المطورين. [54]

    تحرير تنسيقات الصور

    معيار ضغط الصور سنة التطبيقات الشائعة
    JPEG [1] 1992 معيار ضغط الصور الأكثر استخدامًا [63] [64] وتنسيق الصور الرقمية ، [57]
    تنسيق JPEG XR 2009 افتح مواصفات ورق XML
    ويب 2010 تنسيق رسومي يدعم الضغط المفقود للصور الرقمية. من تطوير جوجل.
    تنسيق صورة عالي الكفاءة (HEIF) 2013 تنسيق ملف الصورة على أساس ضغط HEVC. إنه يحسن الضغط على JPEG ، [65] ويدعم الرسوم المتحركة بضغط أكثر كفاءة بكثير من تنسيق GIF المتحرك. [66]
    BPG 2014 بناءً على ضغط HEVC
    JPEG XL 2020 تنسيق ملف رسومات نقطية خالٍ من حقوق الملكية يدعم كلًا من الضغط مع فقدان البيانات وبدون فقدان البيانات.

    تحرير صيغ الفيديو

    معيار ترميز الفيديو سنة التطبيقات الشائعة
    H.261 [67] [68] 1988 الأول من عائلة معايير ترميز الفيديو. تستخدم في المقام الأول في مؤتمرات الفيديو القديمة ومنتجات هاتف الفيديو.
    Motion JPEG (MJPEG) [69] 1992 كويك تايم ، تحرير الفيديو ، التحرير غير الخطي ، الكاميرات الرقمية
    فيديو MPEG-1 [70] 1993 توزيع الفيديو الرقمي على قرص مضغوط أو فيديو عبر الإنترنت
    فيديو MPEG-2 (H.262) [70] 1995 تخزين ومعالجة الصور الرقمية في تطبيقات البث ، والتلفزيون الرقمي ، والتلفزيون عالي الدقة ، والكابلات ، والأقمار الصناعية ، والإنترنت عالي السرعة ، وتوزيع فيديو DVD
    DV 1995 كاميرات فيديو كاسيت رقمية
    H.263 (MPEG-4 الجزء 2) [67] 1996 المهاتفة المرئية عبر شبكة الهاتف العامة (PSTN) ، H.320 ، الشبكة الرقمية للخدمات المتكاملة (ISDN) [71] [72]
    ترميز الفيديو المتقدم (AVC / H.264 / MPEG-4) [1] [23] 2003 تنسيق / ضغط / توزيع الفيديو عالي الدقة الأكثر شيوعًا ، فيديو الإنترنت ، YouTube ، أقراص Blu-ray ، بث HDTV ، متصفحات الويب ، بث التلفزيون ، الأجهزة المحمولة ، الأجهزة الاستهلاكية ، Netflix ، [53] الاتصال الهاتفي بالفيديو ، Facetime [52]
    ثيورا 2004 فيديو الإنترنت ومتصفحات الويب
    VC-1 2006 وسائط Windows ، أقراص Blu-ray
    Apple ProRes 2007 إنتاج فيديو احترافي. [61]
    فيديو WebM 2010 تنسيق مفتوح المصدر للوسائط المتعددة تم تطويره بواسطة Google بغرض استخدامه مع HTML5.
    ترميز الفيديو عالي الكفاءة (HEVC / H.265) [1] [4] 2013 الخلف الناشئ لمعيار H.264 / MPEG-4 AVC ، الذي يتمتع بقدرة ضغط محسّنة بشكل كبير.
    دالا 2013

    تعديل معايير الصوت MDCT

    تحرير الصوت العام

    معيار ضغط الصوت سنة التطبيقات الشائعة
    دولبي ديجيتال (AC-3) [26] [27] 1991 سينما ، سينما رقمية ، DVD ، Blu-ray ، وسائط متدفقة ، ألعاب فيديو
    التحويل الصوتي التكيفي (ATRAC) [26] 1992 قرص صغير
    MPEG Layer III (MP3) [28] [1] 1993 توزيع الصوت الرقمي ومشغلات MP3 ومشغلات الوسائط المحمولة ووسائط البث
    المبرمج الصوتي الإدراكي (PAC) [26] 1996 خدمة راديو الصوت الرقمي (DARS)
    ترميز الصوت المتقدم (صوت AAC / MP4) [29] [26] 1997 توزيع الصوت الرقمي ومشغلات الوسائط المحمولة ووسائط البث ووحدات التحكم في الألعاب والأجهزة المحمولة و iOS و iTunes و Android و BlackBerry
    ترميز صوتي متقدم عالي الكفاءة (AAC +) [73] [74] 1997 راديو رقمي ، بث صوتي رقمي (DAB +) ، [49] راديو مونديال الرقمي (DRM)
    طبخ الترميز 1998 RealAudio
    Windows Media Audio (WMA) [26] 1999 ويندوز ميديا
    فوربيس [30] [26] 2000 توزيع الصوت الرقمي ، محطات الراديو ، الوسائط المتدفقة ، ألعاب الفيديو ، سبوتيفي ، ويكيبيديا
    ترميز عالي الدقة (HDC) [50] 2002 راديو رقمي ، راديو عالي الدقة
    تكيف الدقة الديناميكية (DRA) [26] 2008 معيار الصوت الوطني الصيني ، البث المحمول للوسائط المتعددة في الصين ، DVB-H
    دولبي AC-4 [75] 2017 ATSC 3.0 ، تلفزيون فائق الدقة (تلفزيون UHD)
    صوت MPEG-H 3D [76]

    تحرير ترميز الكلام

    معيار ترميز الكلام سنة التطبيقات الشائعة
    AAC-LD (LD-MDCT) [77] 1999 الهاتف المحمول ، الصوت عبر بروتوكول الإنترنت (VoIP) ، iOS ، FaceTime [52]
    صفارة الإنذار [51] 1999 VoIP ، صوت واسع النطاق ، G.722.1
    G.722.1 [78] 1999 VoIP ، صوت عريض النطاق ، G.722
    G.729.1 [79] 2006 G.729 ، VoIP ، صوت عريض النطاق ، [79] مهاتفة متنقلة
    EVRC-WB [80] 2007 صوت عريض النطاق
    G.718 [81] 2008 VoIP ، الصوت عريض النطاق ، الهاتف المحمول
    G.719 [80] 2008 المؤتمرات عن بعد ، مؤتمرات الفيديو ، البريد الصوتي
    سيلت [82] 2011 VoIP ، [83] [84] الهواتف المحمولة
    التأليف [85] 2012 VoIP ، [86] الهاتف المحمول ، WhatsApp ، [87] [88] [89] PlayStation 4 [90]
    الخدمات الصوتية المحسنة (EVS) [91] 2014 الهاتف المحمول ، VoIP ، الصوت عريض النطاق

    MD DCT تحرير

    DCTs متعددة الأبعاد (MD DCTs) لها العديد من التطبيقات ، بشكل رئيسي 3-DCTs مثل 3-DCT-II ، والتي لديها العديد من التطبيقات الجديدة مثل أنظمة تشفير التصوير الفائق الطيفي ، [92] الطول الزمني المتغير ترميز ثلاثي الأبعاد ، [93] ] خوارزميات ترميز الفيديو ، [94] ترميز الفيديو التكيفي [95] والضغط ثلاثي الأبعاد. [96] بسبب التحسين في الأجهزة والبرمجيات وإدخال العديد من الخوارزميات السريعة ، تزداد ضرورة استخدام M-DCTs بسرعة. اكتسب DCT-IV شهرة لتطبيقاته في التنفيذ السريع لبنوك الترشيح ذات القيمة الحقيقية متعددة الأطوار ، [97] التحويل المتعامد المتداخل [98] [99] وقواعد المويجات المعدلة لجيب التمام. [100]

    تحرير معالجة الإشارات الرقمية

    يلعب DCT دورًا مهمًا جدًا في معالجة الإشارات الرقمية. باستخدام DCT ، يمكن ضغط الإشارات. يمكن استخدام تقنية DCT في تخطيط كهربية القلب لضغط إشارات تخطيط القلب. يوفر DCT2 نسبة ضغط أفضل من DCT.

    يتم تطبيق DCT على نطاق واسع في معالجات الإشارات الرقمية (DSP) ، فضلاً عن برامج معالجة الإشارات الرقمية. طورت العديد من الشركات DSPs بناءً على تقنية DCT. تُستخدم DCTs على نطاق واسع لتطبيقات مثل التشفير وفك التشفير والفيديو والصوت وتعدد الإرسال وإشارات التحكم والإشارات والتحويل التناظري إلى الرقمي. تُستخدم DCTs أيضًا بشكل شائع لرقائق التشفير / وحدة فك التشفير للتلفزيون عالي الوضوح (HDTV). [1]

    تحرير عناصر الضغط

    مشكلة شائعة في ضغط DCT في الوسائط الرقمية هي عيوب الضغط الممتلئة ، [101] الناتجة عن كتل DCT. [3] يمكن أن تتسبب خوارزمية DCT في حدوث أخطاء قائمة على الكتلة عند تطبيق ضغط شديد. نظرًا لاستخدام DCT في غالبية معايير ترميز الصور الرقمية والفيديو (مثل تنسيقات JPEG و H.26x و MPEG) ، فإن عناصر ضغط القوالب المستندة إلى DCT منتشرة على نطاق واسع في الوسائط الرقمية. في خوارزمية DCT ، يتم تقسيم الصورة (أو الإطار في تسلسل الصورة) إلى كتل مربعة تتم معالجتها بشكل مستقل عن بعضها البعض ، ثم يتم أخذ DCT لهذه الكتل ، ويتم تحديد معاملات DCT الناتجة. يمكن أن تتسبب هذه العملية في حظر القطع الأثرية ، بشكل أساسي عند معدلات ضغط البيانات العالية. [101] يمكن أن يتسبب هذا أيضًا في تأثير "ضوضاء البعوض" ، وهو تأثير شائع في الفيديو الرقمي (مثل تنسيقات MPEG). [102]

    غالبًا ما تستخدم كتل DCT في فن الخلل. [3] استفادت الفنانة روزا مينكمان من أدوات الضغط المعتمدة على تقنية DCT في فنها الخاطئ ، [103] ولا سيما كتل DCT الموجودة في معظم تنسيقات الوسائط الرقمية مثل الصور الرقمية بتنسيق JPEG والصوت الرقمي MP3. [3] مثال آخر هو JPEGs بواسطة المصور الألماني توماس راف ، الذي يستخدم قطع JPEG المتعمدة كأساس لأسلوب الصورة. [104] [105]

    مثل أي تحويل متعلق بـ فورييه ، تعبر تحويلات جيب التمام المنفصلة (DCTs) عن وظيفة أو إشارة من حيث مجموع الجيوب ذات الترددات والسعات المختلفة. مثل تحويل فورييه المنفصل (DFT) ، يعمل DCT على وظيفة في عدد محدود من نقاط البيانات المنفصلة. الفرق الواضح بين DCT و DFT هو أن الأول يستخدم وظائف جيب التمام فقط ، بينما يستخدم الأخير كلاً من جيب التمام والجيب (في شكل الأسي المعقدة). ومع ذلك ، فإن هذا الاختلاف المرئي هو مجرد نتيجة لتمييز أعمق: يشير DCT إلى شروط حدية مختلفة من DFT أو تحويلات أخرى ذات صلة.

    يمكن اعتبار التحولات المرتبطة بـ Fourier التي تعمل على وظيفة على مجال محدود ، مثل DFT أو DCT أو سلسلة Fourier ، على أنها تحدد ضمنيًا تمديد لهذه الوظيفة خارج المجال. وهذا يعني أنه بمجرد كتابة دالة f (x) < displaystyle f (x)> كمجموع من sinusoids ، يمكنك حساب هذا المجموع في أي x < displaystyle x> ، حتى بالنسبة لـ x < displaystyle x> حيث الأصل f (x) < displaystyle f (x)> غير محدد. يشير DFT ، مثل سلسلة Fourier ، إلى تمديد دوري للوظيفة الأصلية. يشير DCT ، مثل تحويل جيب التمام ، إلى امتداد متساوٍ للوظيفة الأصلية.

    ومع ذلك ، لأن DCTs تعمل على محدود, منفصله متواليات ، تنشأ مشكلتان لا تنطبقان على تحويل جيب التمام المستمر. أولاً ، يتعين على المرء تحديد ما إذا كانت الوظيفة زوجية أو فردية على حد سواء الحدود اليمنى واليسرى للمجال (أي الحد الأدنىن و max-ن الحدود الواردة في التعريفات أدناه ، على التوالي). ثانيًا ، على المرء أن يحدد ما حوله أية نقطة الوظيفة زوجية أو فردية. على وجه الخصوص ، ضع في اعتبارك التسلسل ا ب ت ث من أربع نقاط بيانات متباعدة بشكل متساو ، ونقول إننا نحدد زوجي غادر الحدود. هناك احتمالان معقولان: إما أن تكون البيانات حول العينة أ، في هذه الحالة يكون الامتداد الزوجي dcbabcd، أو البيانات تدور حول هذه النقطة في منتصف الطريق ما بين أ والنقطة السابقة ، وفي هذه الحالة يكون الامتداد الزوجي dcbaabcd (أ مكرر).

    تؤدي هذه الاختيارات إلى جميع الاختلافات القياسية لـ DCTs وأيضًا تحويلات الجيب المنفصلة (DSTs). يمكن أن تكون كل حدود إما زوجية أو فردية (خياران لكل حد) ويمكن أن تكون متماثلة حول نقطة بيانات أو نقطة في المنتصف بين نقطتي بيانات (خياران لكل حد) ، بإجمالي 2 × 2 × 2 × 2 = 16 الاحتمالات. نصف هذه الاحتمالات ، تلك حيث غادر الحدود متساوية ، تتوافق مع 8 أنواع من DCT ، والنصف الآخر هو 8 أنواع من DST.

    تؤثر شروط الحدود المختلفة هذه بشدة على تطبيقات التحويل وتؤدي إلى خصائص مفيدة بشكل فريد لأنواع DCT المختلفة. Most directly, when using Fourier-related transforms to solve partial differential equations by spectral methods, the boundary conditions are directly specified as a part of the problem being solved. Or, for the MDCT (based on the type-IV DCT), the boundary conditions are intimately involved in the MDCT's critical property of time-domain aliasing cancellation. In a more subtle fashion, the boundary conditions are responsible for the "energy compactification" properties that make DCTs useful for image and audio compression, because the boundaries affect the rate of convergence of any Fourier-like series.

    In particular, it is well known that any discontinuities in a function reduce the rate of convergence of the Fourier series, so that more sinusoids are needed to represent the function with a given accuracy. The same principle governs the usefulness of the DFT and other transforms for signal compression the smoother a function is, the fewer terms in its DFT or DCT are required to represent it accurately, and the more it can be compressed. (Here, we think of the DFT or DCT as approximations for the Fourier series or cosine series of a function, respectively, in order to talk about its "smoothness".) However, the implicit periodicity of the DFT means that discontinuities usually occur at the boundaries: any random segment of a signal is unlikely to have the same value at both the left and right boundaries. (A similar problem arises for the DST, in which the odd left boundary condition implies a discontinuity for any function that does not happen to be zero at that boundary.) In contrast, a DCT where both boundaries are even دائما yields a continuous extension at the boundaries (although the slope is generally discontinuous). This is why DCTs, and in particular DCTs of types I, II, V, and VI (the types that have two even boundaries) generally perform better for signal compression than DFTs and DSTs. In practice, a type-II DCT is usually preferred for such applications, in part for reasons of computational convenience.

    Formally, the discrete cosine transform is a linear, invertible function f : R N → R N ^ إلى mathbb ^> (where R > denotes the set of real numbers), or equivalently an invertible ن × ن square matrix. There are several variants of the DCT with slightly modified definitions. ال ن real numbers x0, . xن−1 are transformed into the ن real numbers X0, . Xن−1 according to one of the formulas:

    DCT-I Edit

    Some authors further multiply the x0 و xن−1 terms by √ 2 , and correspondingly multiply the X0 و Xن−1 terms by 1/ √ 2 . This makes the DCT-I matrix orthogonal, if one further multiplies by an overall scale factor of 2 N − 1 >>> , but breaks the direct correspondence with a real-even DFT.

    Note, however, that the DCT-I is not defined for ن less than 2. (All other DCT types are defined for any positive ن.)

    Thus, the DCT-I corresponds to the boundary conditions: xن is even around ن = 0 and even around ن = ن−1 similarly for Xك.

    DCT-II Edit

    The DCT-II is probably the most commonly used form, and is often simply referred to as "the DCT". [5] [6]

    Some authors further multiply the X0 term by 1/ √ 2 and multiply the resulting matrix by an overall scale factor of 2 N >>> (see below for the corresponding change in DCT-III). This makes the DCT-II matrix orthogonal, but breaks the direct correspondence with a real-even DFT of half-shifted input. This is the normalization used by Matlab, for example. [106] In many applications, such as JPEG, the scaling is arbitrary because scale factors can be combined with a subsequent computational step (e.g. the quantization step in JPEG [107] ), and a scaling can be chosen that allows the DCT to be computed with fewer multiplications. [108] [109]

    The DCT-II implies the boundary conditions: xن is even around ن = −1/2 and even around ن = ن − 1/2 Xك is even around ك = 0 and odd around ك = ن.

    DCT-III Edit

    Because it is the inverse of DCT-II (up to a scale factor, see below), this form is sometimes simply referred to as "the inverse DCT" ("IDCT"). [6]

    Some authors divide the x0 term by √ 2 instead of by 2 (resulting in an overall x0/ √ 2 term) and multiply the resulting matrix by an overall scale factor of 2 N >>> (see above for the corresponding change in DCT-II), so that the DCT-II and DCT-III are transposes of one another. This makes the DCT-III matrix orthogonal, but breaks the direct correspondence with a real-even DFT of half-shifted output.

    The DCT-III implies the boundary conditions: xن is even around ن = 0 and odd around ن = ن Xك is even around ك = −1/2 and even around ك = ن−1/2.

    DCT-IV Edit

    The DCT-IV matrix becomes orthogonal (and thus, being clearly symmetric, its own inverse) if one further multiplies by an overall scale factor of 2 / N >> .

    A variant of the DCT-IV, where data from different transforms are overlapped, is called the modified discrete cosine transform (MDCT). [110]

    The DCT-IV implies the boundary conditions: xن is even around ن = −1/2 and odd around ن = ن − 1/2 similarly for Xك.

    DCT V-VIII Edit

    DCTs of types I-IV treat both boundaries consistently regarding the point of symmetry: they are even/odd around either a data point for both boundaries or halfway between two data points for both boundaries. By contrast, DCTs of types V-VIII imply boundaries that are even/odd around a data point for one boundary and halfway between two data points for the other boundary.

    In other words, DCT types I-IV are equivalent to real-even DFTs of even order (regardless of whether ن is even or odd), since the corresponding DFT is of length 2(ن − 1) (for DCT-I) or 4ن (for DCT-II/III) or 8ن (for DCT-IV). The four additional types of discrete cosine transform [111] correspond essentially to real-even DFTs of logically odd order, which have factors of ن ± 1 / 2 in the denominators of the cosine arguments.

    However, these variants seem to be rarely used in practice. One reason, perhaps, is that FFT algorithms for odd-length DFTs are generally more complicated than FFT algorithms for even-length DFTs (e.g. the simplest radix-2 algorithms are only for even lengths), and this increased intricacy carries over to the DCTs as described below.

    (The trivial real-even array, a length-one DFT (odd length) of a single number أ, corresponds to a DCT-V of length ن = 1.)

    Using the normalization conventions above, the inverse of DCT-I is DCT-I multiplied by 2/(ن − 1). The inverse of DCT-IV is DCT-IV multiplied by 2/ن. The inverse of DCT-II is DCT-III multiplied by 2/ن and vice versa. [6]

    Like for the DFT, the normalization factor in front of these transform definitions is merely a convention and differs between treatments. For example, some authors multiply the transforms by 2 / N >> so that the inverse does not require any additional multiplicative factor. Combined with appropriate factors of √ 2 (see above), this can be used to make the transform matrix orthogonal.

    Multidimensional variants of the various DCT types follow straightforwardly from the one-dimensional definitions: they are simply a separable product (equivalently, a composition) of DCTs along each dimension.

    M-D DCT-II Edit

    For example, a two-dimensional DCT-II of an image or a matrix is simply the one-dimensional DCT-II, from above, performed along the rows and then along the columns (or vice versa). That is, the 2D DCT-II is given by the formula (omitting normalization and other scale factors, as above):

    ال 3-D DCT-II is only the extension of 2-D DCT-II in three dimensional space and mathematically can be calculated by the formula

    The inverse of 3-D DCT-II هو 3-D DCT-III and can be computed from the formula given by

    Technically, computing a two-, three- (or -multi) dimensional DCT by sequences of one-dimensional DCTs along each dimension is known as a row-column الخوارزمية. As with multidimensional FFT algorithms, however, there exist other methods to compute the same thing while performing the computations in a different order (i.e. interleaving/combining the algorithms for the different dimensions). Owing to the rapid growth in the applications based on the 3-D DCT, several fast algorithms are developed for the computation of 3-D DCT-II. Vector-Radix algorithms are applied for computing M-D DCT to reduce the computational complexity and to increase the computational speed. To compute 3-D DCT-II efficiently, a fast algorithm, Vector-Radix Decimation in Frequency (VR DIF) algorithm was developed.

    3-D DCT-II VR DIF Edit

    In order to apply the VR DIF algorithm the input data is to be formulated and rearranged as follows. [112] [113] The transform size N × N × N is assumed to be 2.

    ( n 1 , n 2 , n 3 ) = x ( 2 n 1 , 2 n 2 , 2 n 3 ) x

    ( n 1 , n 2 , N − n 3 − 1 ) = x ( 2 n 1 , 2 n 2 , 2 n 3 + 1 ) x

    ( n 1 , N − n 2 − 1 , n 3 ) = x ( 2 n 1 , 2 n 2 + 1 , 2 n 3 ) x

    ( n 1 , N − n 2 − 1 , N − n 3 − 1 ) = x ( 2 n 1 , 2 n 2 + 1 , 2 n 3 + 1 ) x

    ( N − n 1 − 1 , n 2 , n 3 ) = x ( 2 n 1 + 1 , 2 n 2 , 2 n 3 ) x

    ( N − n 1 − 1 , n 2 , N − n 3 − 1 ) = x ( 2 n 1 + 1 , 2 n 2 , 2 n 3 + 1 ) x

    ( N − n 1 − 1 , N − n 2 − 1 , n 3 ) = x ( 2 n 1 + 1 , 2 n 2 + 1 , 2 n 3 ) x

    The figure to the adjacent shows the four stages that are involved in calculating 3-D DCT-II using VR DIF algorithm. The first stage is the 3-D reordering using the index mapping illustrated by the above equations. The second stage is the butterfly calculation. Each butterfly calculates eight points together as shown in the figure just below, where c ( φ i ) = cos ⁡ ( φ i ) )=cos(varphi _)> .

    The original 3-D DCT-II now can be written as

    X ( k 1 , k 2 , k 3 ) = ∑ n 1 = 1 N − 1 ∑ n 2 = 1 N − 1 ∑ n 3 = 1 N − 1 x

    ( n 1 , n 2 + n 2 , n 3 ) + ( − 1 ) j + l x

    ( n 1 + n 2 , n 2 , n 3 ) + ( − 1 ) i + j x

    Arithmetic complexity Edit

    The conventional method to calculate MD-DCT-II is using a Row-Column-Frame (RCF) approach which is computationally complex and less productive on most advanced recent hardware platforms. The number of multiplications required to compute VR DIF Algorithm when compared to RCF algorithm are quite a few in number. The number of Multiplications and additions involved in RCF approach are given by [ 3 2 N 3 log 2 ⁡ N ] <2>>N^<3>log _<2>N ight]> and [ 9 2 N 3 log 2 ⁡ N − 3 N 3 + 3 N 2 ] <2>>N^<3>log _<2>N-3N^<3>+3N^<2> ight]> respectively. From Table 1, it can be seen that the total number

    TABLE 1 Comparison of VR DIF & RCF Algorithms for computing 3D-DCT-II
    Transform Size 3D VR Mults RCF Mults 3D VR Adds RCF Adds
    8 x 8 x 8 2.625 4.5 10.875 10.875
    16 x 16 x 16 3.5 6 15.188 15.188
    32 x 32 x 32 4.375 7.5 19.594 19.594
    64 x 64 x 64 5.25 9 24.047 24.047

    of multiplications associated with the 3-D DCT VR algorithm is less than that associated with the RCF approach by more than 40%. In addition, the RCF approach involves matrix transpose and more indexing and data swapping than the new VR algorithm. This makes the 3-D DCT VR algorithm more efficient and better suited for 3-D applications that involve the 3-D DCT-II such as video compression and other 3-D image processing applications. The main consideration in choosing a fast algorithm is to avoid computational and structural complexities. As the technology of computers and DSPs advances, the execution time of arithmetic operations (multiplications and additions) is becoming very fast, and regular computational structure becomes the most important factor. [114] Therefore, although the above proposed 3-D VR algorithm does not achieve the theoretical lower bound on the number of multiplications, [115] it has a simpler computational structure as compared to other 3-D DCT algorithms. It can be implemented in place using a single butterfly and possesses the properties of the Cooley–Tukey FFT algorithm in 3-D. Hence, the 3-D VR presents a good choice for reducing arithmetic operations in the calculation of the 3-D DCT-II while keeping the simple structure that characterize butterfly style Cooley–Tukey FFT algorithms.

    MD-DCT-IV Edit

    The M-D DCT-IV is just an extension of 1-D DCT-IV on to M dimensional domain. The 2-D DCT-IV of a matrix or an image is given by

    We can compute the MD DCT-IV using the regular row-column method or we can use the polynomial transform method [116] for the fast and efficient computation. The main idea of this algorithm is to use the Polynomial Transform to convert the multidimensional DCT into a series of 1-D DCTs directly. MD DCT-IV also has several applications in various fields.

    Although the direct application of these formulas would require O(ن 2 ) operations, it is possible to compute the same thing with only O(ن log ن) complexity by factorizing the computation similarly to the fast Fourier transform (FFT). One can also compute DCTs via FFTs combined with O(ن) pre- and post-processing steps. In general, O(ن log ن) methods to compute DCTs are known as fast cosine transform (FCT) algorithms.

    The most efficient algorithms, in principle, are usually those that are specialized directly for the DCT, as opposed to using an ordinary FFT plus O(ن) extra operations (see below for an exception). However, even "specialized" DCT algorithms (including all of those that achieve the lowest known arithmetic counts, at least for power-of-two sizes) are typically closely related to FFT algorithms—since DCTs are essentially DFTs of real-even data, one can design a fast DCT algorithm by taking an FFT and eliminating the redundant operations due to this symmetry. This can even be done automatically (Frigo & Johnson, 2005). Algorithms based on the Cooley–Tukey FFT algorithm are most common, but any other FFT algorithm is also applicable. For example, the Winograd FFT algorithm leads to minimal-multiplication algorithms for the DFT, albeit generally at the cost of more additions, and a similar algorithm was proposed by Feig & Winograd (1992) for the DCT. Because the algorithms for DFTs, DCTs, and similar transforms are all so closely related, any improvement in algorithms for one transform will theoretically lead to immediate gains for the other transforms as well (Duhamel & Vetterli 1990).

    While DCT algorithms that employ an unmodified FFT often have some theoretical overhead compared to the best specialized DCT algorithms, the former also have a distinct advantage: highly optimized FFT programs are widely available. Thus, in practice, it is often easier to obtain high performance for general lengths ن with FFT-based algorithms. (Performance on modern hardware is typically not dominated simply by arithmetic counts, and optimization requires substantial engineering effort.) Specialized DCT algorithms, on the other hand, see widespread use for transforms of small, fixed sizes such as the 8 × 8 DCT-II used in JPEG compression, or the small DCTs (or MDCTs) typically used in audio compression. (Reduced code size may also be a reason to use a specialized DCT for embedded-device applications.)

    In fact, even the DCT algorithms using an ordinary FFT are sometimes equivalent to pruning the redundant operations from a larger FFT of real-symmetric data, and they can even be optimal from the perspective of arithmetic counts. For example, a type-II DCT is equivalent to a DFT of size 4 N with real-even symmetry whose even-indexed elements are zero. One of the most common methods for computing this via an FFT (e.g. the method used in FFTPACK and FFTW) was described by Narasimha & Peterson (1978) and Makhoul (1980), and this method in hindsight can be seen as one step of a radix-4 decimation-in-time Cooley–Tukey algorithm applied to the "logical" real-even DFT corresponding to the DCT II. (The radix-4 step reduces the size 4 N DFT to four size- N DFTs of real data, two of which are zero and two of which are equal to one another by the even symmetry, hence giving a single size- N FFT of real data plus O ( N ) butterflies.) Because the even-indexed elements are zero, this radix-4 step is exactly the same as a split-radix step if the subsequent size- N real-data FFT is also performed by a real-data split-radix algorithm (as in Sorensen et al. 1987), then the resulting algorithm actually matches what was long the lowest published arithmetic count for the power-of-two DCT-II ( 2 N log 2 ⁡ N − N + 2 N-N+2> real-arithmetic operations [a] ). A recent reduction in the operation count to 17 9 N log 2 ⁡ N + O ( N ) <9>>Nlog _<2>N+O(N)> also uses a real-data FFT. [117] So, there is nothing intrinsically bad about computing the DCT via an FFT from an arithmetic perspective—it is sometimes merely a question of whether the corresponding FFT algorithm is optimal. (As a practical matter, the function-call overhead in invoking a separate FFT routine might be significant for small N , but this is an implementation rather than an algorithmic question since it can be solved by unrolling/inlining.)

    Consider this 8x8 grayscale image of capital letter A.

    Each basis function is multiplied by its coefficient and then this product is added to the final image.


    4.4: TMS XIII - Mathematics

    This course will cover basic computability and complexity theory. We will examine the central questions ''What is computable in principle?" and ''What is efficiently computable?" Covered material will likely include, but not be limited to: automata, regular languages, and nondeterminism context-free languages and pushdown automata Turing machines and the Church-Turing thesis decidability and the halting problem Kolmogorov complexity time complexity, P vs. NP, the Cook-Levin theorem, and reductions and time permitting, PSPACE, L, NL, or other advanced topics.

    Basic Information

    Problem Sets

    Lectures and Readings

    Note: lectures will have material not covered in the readings.

    Lecture 1 (1/11/16)
    covered material: intro to the course, overview of covered material, intro to DFAs
    reading: chapter 0

    Lecture 2 (1/13/16)
    covered material: DFA examples, their formal description, defining computation, designing DFAs
    reading: begin chapter 1.1

    Lecture 3 (1/15/16)
    covered material: the regular operations, closure of regular languages under union, intro to nondeterminism
    reading: finish chapter 1.1

    Lecture 4 (1/20/16)
    covered material: equivalence of NFAs and DFAs, closure of RLs under concatenation and star
    reading: chapter 1.2

    Lecture 5 (1/22/16)
    covered material: more NFA examples, intro to regular expressions
    reading: begin chapter 1.3
    other: problem set 1 assigned

    Lecture 6 (1/25/16)
    covered material: regular expressions are equivalent to regular languages, GNFAs
    reading: finish chapter 1.3

    Lecture 7 (1/27/16)
    covered material: nonregular languages and the pumping lemma
    reading: chapter 1.4

    Lecture 8 (1/29/16)
    covered material: intro to CFGs and CFLs, their formal definition, some examples
    reading: begin chapter 2.1
    other: this was a guest lecture by Prof. György Turán

    Lecture 9 (2/1/16)
    covered material: regular languages are a proper subset of context-free languages, grammar and launguage ambiguity
    reading: continue chapter 2.1

    Lecture 10 (2/3/16)
    covered material: Chomsky normal form, converting a CFG into Chomsky normal form
    reading: finish chapter 2.1
    other: problem set 2 assigned

    Lecture 11 (2/5/16)
    covered material: intro to PDAs, nondeterminism in PDAs
    reading: begin chapter 2.2
    other: this was a guest lecture by Prof. György Turán

    Lecture 12 (2/8/16)
    covered material formal definition of PDAs, converting CFGs to PDAs
    other: continue chapter 2.2

    Lecture 13 (2/10/16)
    covered material: converting PDAs to CFGs, pumping lemma for CFLs and its proof
    reading: finish chapter 2.2, begin chapter 2.3

    Lecture 14 (2/12/16)
    covered material: more on pumping lemma for CFL and examples
    reading: finish chapter 2.3

    Lecture 15 (2/15/16)
    covered material: intro to TMs, their formal description and state diagrams
    reading: begin chapter 3.1
    other: problem set 3 assigned

    Lecture 16 (2/17/16)
    covered material: TM examples, decidable and recognizable languages
    reading: finish chapter 3.1

    Lecture 17 (2/19/16)
    covered material: multi-tape TMs, nondeberministic TMs, and enumerators, and their equivalence to TMs
    reading: chapter 3.2

    Lecture 18 (2/22/16)
    covered material: Church-Turing thesis, intuitive idea of algorithms, encodings, a recognizable language
    reading: chapter 3.3

    Lecture 19 (2/24/16)
    covered material: midterm 1 review
    other: a reminder that midterm 1 is on Friday

    Lecture 20 (2/26/16)
    midterm exam 1: no lecture

    Lecture 21 (2/29/16)
    covered material: encodings, ADFA, ANFA, AREX, EDFA, EQDFA are all decidable
    reading: begin chapter 4.1

    Lecture 22 (3/2/16)
    covered material: ACFG and ECFG are decidable, introduction to undecidability, diagonalization
    reading: finish chapter 4.1, begin chapter 4.2

    Lecture 23 (3/4/16)
    covered material: ATM and HALTTM are not decidable, co-regonizable languages
    reading:finish chapter 4.2

    Lecture 24 (3/7/16)
    covered material: using undecidable problems to show new problems undecidable, e.g. هTM, EQTM, REGULARTM
    reading: first half of chapter 5.1
    other: problem set 4 assigned

    Lecture 25 (3/9/16)
    covered material: computable functions and mapping reductions
    reading: begin chapter 5.3

    Lecture 26 (3/11/16)
    covered material: introduction to Kolmogorov complexity, bounds on Kolmogorov complexity
    reading: begin chapter 6.4

    Lecture 27 (3/14/16)
    covered material: existance of incompressible strings, incomputability of Kolmogorov complexity, the busy beaver function
    reading: finish chapter 6.4

    Lecture 28 (3/16/16)
    covered material: discussion of incompleteness, the Universal TM, EQTM is neither recognizable nor co-recognizable
    reading: finish chapter 5.3
    optional reading: chapter 6.2

    Lecture 29 (3/18/16)
    covered material: oracle Turing Machines and Turing reductions reading: chapter 6.3

    Lecture 30 (3/28/16)
    covered material: introduction to time complexity. asymptotic analysis and notation, the classes TIME(t(n)) and NTIME(t(n))
    reading: chapter 7.1

    Lecture 31 (3/30/16)
    covered material: midterm 2 review
    other: a reminder that midterm 2 is on Friday

    Lecture 32 (4/1/16)
    midterm exam 2: no lecture

    Lecture 33 (4/4/16)
    covered material: the complexity theoretic Church-Turing thesis, the classes P and NP
    reading: chapter 7.2

    Lecture 34 (4/6/16)
    covered material: polynomial time verifiability and certificates, polynomial time verifier for HAMPATH
    reading: begin chapter 7.3

    Lecture 35 (4/8/16)
    covered material: equivalence of NP and deterministic verifiers, the CLIQUE problem
    reading: finish chapter 7.3

    Lecture 36 (4/11/16)
    covered material: EXPTIME, polynomial time reductions, 3SAT, NP-Completeness
    reading: begin chapter 7.4

    Lecture 37 (4/13/16)
    covered material: gadget reduction from 3SAT to CLIQUE, begin Cook-Levin theorem
    reading: continue chapter 7.4

    Lecture 38 (4/15/16)
    covered material: finish proof of Cook-Levin theorem, the class co-NP, HP-Hardness
    reading: finish chapter 7.4

    Lecture 39 (4/18/16)
    covered material: reduction from 3SAT to HAMPATH, intro to space complexity, the classes SPACE and NSPACE
    reading: chapter 7.5, intro to chapter 8
    other: problem set 5 assigned

    Lecture 40 (4/20/16)
    covered material: Savitch's theorem, PSPACE = NPSPACE, PSPACE-Completeness
    reading: chapter 8.1, chapter 8.2

    Lecture 41 (4/22/16)
    covered material: TQBF, FORMULA-GAME, generalized geography (GG), polynomial heirarchy
    reading: chapter 8.3, lecture notes from Cornell

    Lecture 42 (4/25/16)
    covered material: L, NL, logspace transducers, and NL-Completeness and the language PATH
    reading: chapter 8.4, chapter 8.5

    Lecture 43 (4/27/16)
    covered material: time and space heirarchy theorems and their implications, EXPSPACE, short discussiong of co-NL
    reading: chapter 9.1
    optional reading: chapter 8.6

    Lecture 44 (4/29/16)
    covered material: final exam review
    other: a reminder that the final is on Tuesday


    4.4: TMS XIII - Mathematics

    In this appendix some examples of feeding tables for various species are provided:

    1. Feeding Table for Rainbow Trout Fed Dry Diets

    2. Feeding Table For Pacific (Coho) Salmon Fed Oregon Moist Pellet 1 /

    (% Body Weight/Biomass) Per Day

    3. Examples of Feeding Rates for Trout Fed Commercial Feed

    4. Feeding Rate for Tilapia with Commercial Pellets

    5. Feeding Rate for Tilapia Fed 25% Protein Feed in Monoculture at 24°C

    6. Feeding Rate for Tilapia (T. nilotica) in Tanks and Cages at 27-31°C Fed a 46% Protein Commercial Fish Feed

    % of Biomass to be Fed Per Day

    7. Feeding rate for Tilapia With Commercial Pellets

    8. Typical Spring-Summer-Autumn Feeding Schedule For Channel Catfish in Ponds Based on Stocking Rates of 5 000- 7 500/ha and a 36% Crude Protein Diet 1 /

    Source: Piper et al ., 1982

    1 /This table illustrates the combined effects of animal size and temperature on feeding rate. As temperature increases feeding rate also increases but, as the animals grow larger, metabolic rate decreases and lower feeding rates are recommended.

    2 /Fed six times per week.

    9. Commercial Feeding Programme for Channel Catfish Fed Dry Feeds 1 /

    Feeding Amount
    (% Biomass Per Day)

    Trout Chow No. 4 or Catfish Starter

    Catfish cage chow (in cages)

    Source: Ralston Purina, 1974

    1 /Like Table 8, this feeding chart illustrates the combined effect of increasing animal size and seasonal water temperatures on recommended feeding rates.


    A novel approach to localize cortical TMS effects

    Despite the widespread use of transcranial magnetic stimulation (TMS), the precise cortical locations underlying the resulting physiological and behavioral effects are still only coarsely known. To date, mapping strategies have relied on projection approaches (often termed “center of gravity” approaches) or maximum electric field value evaluation, and therefore localize the stimulated cortical site only approximately and indirectly. Focusing on the motor cortex, we present and validate a novel method to reliably determine the effectively stimulated cortical site at the individual subject level. The approach combines measurements of motor evoked potentials (MEPs) at different coil positions and orientations with numerical modeling of induced electric fields. We identify sharply bounded cortical areas, around the gyral crowns and rims of the motor hand area, as the origin of MEPs and show that the magnitude of the tangential component and the overall magnitude of the electric field are most relevant for the observed effect. To validate our approach, we identified the coil location and orientation that produces the maximal electric field at the predicted stimulation site, and then experimentally show that this location produces MEPs more efficiently than other tested locations/orientations. Moreover, we used extensive uncertainty and sensitivity analyses to verify the robustness of the method and identify the most critical model parameters. Our generic approach improves the localization of the cortical area effectively stimulated by TMS and may be transferred to other modalities such as language mapping.


    4.4: TMS XIII - Mathematics

    Applicants wishing to be considered for advanced standing or transfer credit must submit, in addition to the Application for Admission/Readmission, the appropriate application for transfer credit which can be obtained online or in-person from the Office of the Registrar at www.mun.ca/regoff/forms.php. Official transcript(s) and calendar descriptions and/or outlines of courses claimed for credit are also required and should be sent directly to Memorial University of Newfoundland from the institution attended.

    In order to allow sufficient time for evaluation, these documents should be received at least two months prior to the commencement of the registration period for the semester to which the applicant is seeking admission. It is the student's responsibility to provide the pertinent documents, and until they are received, the Office of the Registrar is unable to commence an evaluation or to advise students of their standing at this University. The award of transfer credit is subject to the following regulations:

    When transfer credit is awarded for work completed at another institution, only equivalent Memorial University of Newfoundland course(s) and credit(s) are recorded on the Memorial University of Newfoundland transcript. Grades received from other institutions are not recorded nor included in averages.

    Applicants who have not received the results of a transfer credit evaluation prior to the assigned registration time for the semester in which they propose to begin studies should contact the Admissions Office for further assistance.

    Memorial University of Newfoundland will consider for transfer credit courses for which credit has been granted through a Prior Learning Assessment and Recognition process by another recognized university or college.

    Award of credit will be subject to University Regulations and evaluation and recommendation by the appropriate academic unit(s).

    Due to its specific or unique nature, a course (e.g. capstone or clinical course) may be identified as being exempt from the transfer credit review process.

    A minimum grade may, in some circumstances, be required by a faculty/school in order to award transfer credit.

    The applicability of all transfer credits, whether specified or unspecified, is subject to appropriate program regulations.

    Information regarding course equivalencies can be obtained from the Admissions Office, Office of the Registrar.

    Outlined below are the various categories for which transfer credit may be considered.

    Award of credit for AP courses will be subject to the achievement of a minimum grade of 3 in each subject claimed for credit (in certain subjects a minimum grade of 4 may be required).

    Certain Grade XII enriched courses and certain Ontario Grade XIII/OAC subjects may be recognized for introductory (normally first year) credits, where applicable, provided that the subjects claimed for credit are recommended as equivalent to Memorial University of Newfoundland courses by the relevant University academic unit(s). In addition, the applicant must have obtained an overall average in these courses of not less than 65% with a passing grade in each subject claimed for credit. Applicants who have not obtained the overall average requirement of 65% in these courses will be required to have obtained a mark of not less than 65% in individual subjects claimed for credit.

    The &ldquoAdvanced Level&rdquo subjects of the General Certificate of Education will generally be accepted for credit to a maximum of 12 credit hours in each subject provided that a minimum grade of &lsquoD&rsquo in each subject claimed for credit has been obtained.

    The &ldquoHigher Level&rdquo subjects of the Scottish Leaving Certificate will generally be accepted for credit at the first year level.

    Memorial University of Newfoundland will consider for transfer credit the &ldquoHigher Level&rdquo subjects and certain &ldquoStandard&rdquo or &ldquoSubsidiary&rdquo level subjects, provided that the subjects claimed for credit are recommended as equivalent to Memorial University of Newfoundland courses by the relevant University academic unit(s), and the candidate has achieved a minimum grade of 4 in individual subjects claimed for credit. In certain subjects a minimum grade of 5 may be required.

    All university-level course work successfully completed by transfer students during the first two years of university study taken at universities/colleges that are ordinary members of Universities Canada will be recognized for transfer credit. In the first instance, the evaluation of such course work for appropriate credit will be conducted by University academic units. In instances where appropriate credit cannot be granted by academic units or where no University academic unit exists at this University for the evaluation of particular transfer credits, the Office of the Registrar will award the appropriate unspecified credits in an unspecified discipline.

    Applicants who have successfully completed course work beyond the first two years of university study may be considered for further transfer credit subject to evaluation and recommendation by the appropriate academic unit(s) and University Regulations.

    Memorial University of Newfoundland may recognize for transfer credit certain courses offered by the College of the North Atlantic, the Fisheries and Marine Institute of Memorial University of Newfoundland, and certain other community colleges, technical colleges, institutes and CEGEPs.

    Memorial University of Newfoundland may recognize for transfer credit certain courses offered by other recognized universities or university colleges.

    Memorial University of Newfoundland may recognize for transfer credit certain courses completed through the Caribbean Advanced Proficiency Examinations. These examinations will generally be accepted for credit to a maximum of 12 credit hours for each 2 unit course and 6 credit hours for each 1 unit course.


    4.4: TMS XIII - Mathematics


    (مصدر)


    (مصدر)
    (مصدر)
    (مصدر)
    (مصدر)
    (مصدر)
    (مصدر)
    (مصدر)
    (مصدر)
    (مصدر)
    (مصدر)



    (مصدر)
    (مصدر)

    Carl Sagan: In science it often happens that scientists say, 'You know that's a really good argument my position is mistaken,' and then they would actually change their minds and you never hear that old view from them again. They really do it. It doesn't happen as often as it should, because scientists are human and change is sometimes painful. But it happens every day. I cannot recall the last time something like that happened in politics or religion. (1987) . (more by Sagan)

    Albert Einstein: I used to wonder how it comes about that the electron is negative. Negative-positive these are perfectly symmetric in physics. There is no reason whatever to prefer one to the other. Then why is the electron negative? I thought about this for a long time and at last all I could think was It won the fight! . (more by Einstein)

    Richard Feynman: It is the facts that matter, not the proofs. Physics can progress without the proofs, but we can't go on without the facts . if the facts are right, then the proofs are a matter of playing around with the algebra correctly. . (more by Feynman)


    (مصدر)
    (مصدر)
    (مصدر)
    (مصدر)



    (مصدر)



    (مصدر)

    Visit our Science and Scientist Quotations index for more Science Quotes from archaeologists, biologists, chemists, geologists, inventors and inventions, mathematicians, physicists, pioneers in medicine, science events and technology.


    4.4: TMS XIII - Mathematics


    (مصدر)
    (مصدر)



    (مصدر)
    (مصدر)
    (مصدر)
    (مصدر)
    (مصدر)
    (مصدر)
    (مصدر)

    Carl Sagan: In science it often happens that scientists say, 'You know that's a really good argument my position is mistaken,' and then they would actually change their minds and you never hear that old view from them again. They really do it. It doesn't happen as often as it should, because scientists are human and change is sometimes painful. But it happens every day. I cannot recall the last time something like that happened in politics or religion. (1987) . (more by Sagan)

    Albert Einstein: I used to wonder how it comes about that the electron is negative. Negative-positive these are perfectly symmetric in physics. There is no reason whatever to prefer one to the other. Then why is the electron negative? I thought about this for a long time and at last all I could think was It won the fight! . (more by Einstein)

    Richard Feynman: It is the facts that matter, not the proofs. Physics can progress without the proofs, but we can't go on without the facts . if the facts are right, then the proofs are a matter of playing around with the algebra correctly. . (more by Feynman)


    شاهد الفيديو: Webinar Rekenen u0026 Wiskunde (ديسمبر 2021).