مقالات

6.1: مراجعة سلسلة القوة - الرياضيات


قبل أن ننتقل إلى حل المعادلات التفاضلية باستخدام متسلسلة القوة ، سيكون عليك الرجوع إلى ملاحظات التفاضل والتكامل ومراجعة متسلسلة القوة. هناك موضوع واحد كان عبارة عن تفصيل صغير في حساب التفاضل والتكامل في السنة الأولى ، ولكنه سيكون قضية رئيسية لحل المعادلات التفاضلية. هذه هي تقنية تغيير الفهرس.

مثال ( PageIndex {1} )

قم بتغيير الفهرس واجمع بين سلسلة الطاقة

[ sum_ {n = 1} ^ infty n ، a_n ، x ^ {n + 1} + sum_ {n = 0} ^ infty a_n ، x ^ n. non Number ]

حل

هناك مسألتان هنا: الأولى هي أن قوى (س ) مختلفة والثانية أن التجميعات تبدأ من قيم مختلفة. لجعل قوى (x ) هي نفسها نقوم بإجراء الاستبدال

[u = n + 1، ؛ ؛ ؛ n = u - 1. nonumber ]

لاحظ أنه عندما (n = 1 ) ، (u = 2 ) ومتى (n ) هو اللانهاية كذلك (u ). يمكننا الكتابة

[ sum_ {n = 1} ^ { infty} {n ، a_n ، x ^ {n + 1}} = sum_ {u = 2} ^ { infty} {(u-1) ، أ_ {u-1} ، س ^ u}. لا يوجد رقم]

نظرًا لأن (u ) فهرس وهمي ، يمكننا إعادة تسميته (n ) للحصول عليه

[ sum_ {u = 2} ^ { infty} (u-1) ، a_ {u-1} ، x ^ u = sum_ {n = 2} ^ { infty} (n-1) ، a_ {n-1} ، x ^ n. لا يوجد رقم]

نحن الآن بحاجة إلى إيجاد

[ sum_ {n = 2} ^ { infty} (n-1) ، a_ {n-1} ، x ^ n + sum_ {n = 0} ^ { infty} a_n ، x ^ ن. لا يوجد رقم]

المشكلة الآن هي أن أرقام البداية مختلفة للسلسلتين. يمكننا سحب أول حدين من المتسلسلة الثانية للحصول على

[ sum_ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} ، x ^ n = a_0 + a_1 ، x + sum_ {n = 2} ^ { infty} a_n ، x ^ n لا يوجد رقم ]

وضع هذا معًا نحصل عليه

[ start {align *} sum_ {n = 0} ^ { infty} (n-1) ، a_ {n-1} ، x ^ n + a_0 + a_1 ، x + sum_ {n = 2} ^ { infty} a_n ، x ^ n [4pt] & = a_0 + a_1 ، x + sum_ {n = 2} ^ { infty} left [(n-1) ، a_ { n-1} + a_n right] x ^ n. النهاية {محاذاة *} ]


سلسلة الطاقة

أنيُطلق على x n الحد n من سلسلة الأس.

أن يسمى المعامل رقم n لسلسلة القدرة.

لاحظ أننا نضيف حدودًا ذات قوى متزايدة (x - c) ، ومن هنا جاء اسم سلسلة القوة.

تُستخدم متسلسلات القوى لتقريب الدوال التي يصعب حسابها بدقة ، مثل tan -1 (x) و sin (x) ، باستخدام سلسلة لا نهائية من كثيرات الحدود. غالبًا ما تُستخدم سلاسل الطاقة لتقريب الكميات والوظائف المهمة مثل & # 960 ، هـ ، ووظيفة مهمة في الإحصاء.

في الحياة الواقعية ، لا يمكننا إضافة عدد لا حصر له من المصطلحات معًا لأن أي جهاز كمبيوتر يمكنه فقط الاحتفاظ بقدر معين من الذاكرة. لذلك ، نقرب سلسلة أس باستخدام المجموع الجزئي الرابع لسلسلة أس ، يُشار إليها بـ Sن(خ). للحصول على المجموع الجزئي رقم n ، قطعنا المتسلسلة اللانهائية بعد الحد n ، متخلصين من كل الحدود التي لها قوى (x - c) أعلى من n. نحتفظ فقط بأول شروط n + 1 من سلسلة الأس (تذكر أننا نبدأ من الحد 0 وهو f (c)). يتم تعريف المجموع الجزئي n على النحو التالي:

موجود ، ثم يقال أن سلسلة القوة تتقارب تأكل x0 . خلاف ذلك ، تتباعد سلسلة الأس عند x0.

في الحالات التي يكون فيها c = 0 ، يكون المجموع اللانهائي

مجال f ، الذي يُطلق عليه غالبًا فاصل التقارب (IOC) ، هو مجموعة جميع قيم x بحيث تتقارب سلسلة الطاقة.

  • بالنسبة لسلسلة طاقة معينة ، يمكن إثبات أن IOC = (- & # 8734، & # 8734) ، مما يعني أن السلسلة تتقارب مع كل x ، أو أن هناك عددًا محدودًا غير سالب R & # 8805 0 ، يسمى نصف قطر التقارب (ROC) ، بحيث تتقارب السلسلة كلما | x - c | تم العثور على R.
  • حسب الاصطلاح ، عندما تكون IOC لـ f هي (- & # 8734 ، & # 8734) ، تكون ROC هي R = + & # 8734.
  • عندما تكون R = 0 ، فإن IOC تتكون فقط من c.
  • يمكننا العثور على IOC من خلال إيجاد ROC أولاً مع النسبة أو اختبار الجذر ، ثم اختبار نقاط النهاية c & pm R مع بعض الاختبارات الأخرى مثل التكامل والمقارنة والسلسلة المتناوبة والسلسلة p ، إلخ.
  • إذا كانت ROC عبارة عن رقم محدد R ، فستكون IOC دائمًا من أحد الأشكال التالية:
    • [ج - ص ، ج + ص]
    • (ج - ص ، ج + ص]
    • [ج - ص ، ج + ص)
    • (ج - ص ، ج + ص)

    سلسلة هندسية

    تعتبر السلسلة الهندسية من أهم الأمثلة على سلسلة الطاقة. في المتسلسلة الهندسية ، جميع حروف a هي نفسها و c = 0:

    يتم الحصول على مجموع n th الجزئي لـ f من خلال:

    سن(س) = أ + فأس + فأس 2 + فأس 3 + فأس 4 +. + فأس

    يمكن التحقق من ذلك بضرب كلا التعبيرين لـ Sن(x) بواسطة x - 1 وإدراك أن جميع قوى x تلغي باستثناء 0 th و n + 1 th:

    سن(x) تتناوب بين a و 0 لذا فهي غير موجودة وتتباعد السلسلة.

    إذا وفقط إذا كان | x | . لذلك ، تحتوي السلسلة الهندسية على ROC 1 متمركزة عند 0 و IOC = (-1 ، 1).


    2 إجابات 2

    لاحظ أن هذه الأسئلة هي نفسها السؤال عما إذا كان $ a_i $، $ b_i $ غير الصفري يمكن أن يرضي $ sum_^ infty a_kx ^= 0 $ لكل $ x $ (أو لـ $ x> 1 $). هذا يفترض أن السلسلة تتقارب تمامًا ، حتى نتمكن من دمجها. إذا لم نفترض تقاربًا مطلقًا ، فيمكن عندئذٍ إثبات التقارب المطلق بافتراض أن $ b_i $ موجب (يمكن تخفيف هذا قليلاً ، لكن لا يتم التخلص منه).

    بافتراض تناقص $ b_i $ بشكل صارم ، يمكننا الإجابة عليه على النحو التالي. افترض أن السلسلة تتقارب تمامًا مقابل $ x ge A $ (سيظهر هذا $ A & gt 1 $ في النهاية). بدون فقدان العمومية ، افترض $ a_1 ne 0 $. بالنسبة إلى $ x ge A $ ، لدينا $ 0 = a_1 x ^+ sum_^ infty a_nx ^$ لذا قمنا بحل قيمة $ a_1 $ ونأخذ القيم المطلقة $ | a_1 | le x ^ <-b_1> sum_^ infty | a_n | x ^= x ^ <- b_1 + b_2> sum_^ infty | a_n | x ^$ بما أن $ b_i $ يتناقص بشكل صارم ، فإن كلا من $ -b_1 + b_2 $ و $ b_n-b_2 $ سالبان (أو صفر ، لـ $ n = 2 $) ، وبالتالي لـ $ x ge A $ ، $ x ^ le A ^$. لذلك ، بالنسبة إلى $ x ge A $ ، $ | a_1 | le x ^ <- b_1 + b_2> sum_^ infty | a_n | A ^نظرًا لأن $ x $ يمكن أن يكون كبيرًا بشكل عشوائي ، فهذا يعني أن $ a_1 = 0 $. تناقض.

    نثبت الآن وجود مثل هذا $ A $. افترض أن السلسلة تتقارب عند $ x_0 $. أصلح $ epsilon & gt0 $ وقم بتعيين $ x_n = x_0e ^ < log (n ^ <- (1+ epsilon)>) / b_n> $ ثم $ | a_n | x_n ^= | a_n | x_0 ^(x_n / x_0) ^ le (| a_n | x_0 ^) n ^ <- (1+ epsilon)> $ Set $ ​​A = lim sup_n x_n $. نظرًا لأن السلسلة تتقارب عند $ x_0 $ ، فإن المصطلحات $ | a_n | x_0 ^يتم تقييد $ ، وبالتالي ستتقارب السلسلة تمامًا مقابل $ x ge A $. بداهة ، يمكن أن يكون $ A $ غير محدود. لكن هذا لن يحدث لأن $ b_n $ يتناقص وإيجابي.


    6.1: مراجعة سلسلة القوة - الرياضيات

    لقد أمضينا وقتًا طويلاً في الحديث عن المسلسلات الآن ومع استثناءين فقط قضينا معظم ذلك الوقت نتحدث عن كيفية تحديد ما إذا كانت السلسلة ستتقارب أم لا. حان الوقت الآن لبدء النظر في بعض الأنواع المحددة من المسلسلات وسنصل في النهاية إلى النقطة حيث يمكننا التحدث عن تطبيقين من المسلسلات.

    في هذا القسم سوف نبدأ الحديث عن سلسلة الطاقة. أ سلسلة الطاقة حول أ، أو فقط سلسلة الطاقة، هي أي سلسلة يمكن كتابتها بالشكل ،

    حيث (أ ) و () هي أرقام. ال () غالبًا ما يطلق عليها اسم المعاملات من السلسلة. أول شيء يجب ملاحظته بشأن المتسلسلة الأسطورية هو أنها دالة في (x ). هذا يختلف عن أي نوع آخر من المسلسلات التي نظرنا إليها حتى هذه اللحظة. في جميع الأقسام السابقة ، سمحنا فقط بالأرقام في السلسلة والآن نسمح للمتغيرات أن تكون في السلسلة أيضًا. هذا لن يغير كيفية عمل الأشياء. كل ما نعرفه عن المسلسلات لا يزال قائما.

    في مناقشة سلسلة الطاقة ، لا يزال التقارب مسألة رئيسية سنتعامل معها. الفرق هو أن تقارب السلسلة سيعتمد الآن على قيم (x ) التي نضعها في السلسلة. قد تتقارب سلسلة الطاقة مع بعض قيم (x ) وليس لقيم أخرى لـ (x ).

    قبل أن نذهب بعيدًا في سلسلة القوة ، هناك بعض المصطلحات التي نحتاجها للتخلص من الطريق.

    أولاً ، كما سنرى في أمثلةنا ، سنتمكن من إظهار وجود رقم (R ) بحيث تتقارب سلسلة الطاقة من أجل ، ( يسار | الحق | & lt R ) وسوف تتباعد لـ ( left | الحق | & GT R ). هذا الرقم يسمى نصف قطر التقارب للسلسلة. لاحظ أن السلسلة قد تتقارب أو لا تتقارب إذا ( left | الحق | = ص). ما يحدث عند هذه النقاط لن يغير نصف قطر التقارب.

    ثانيًا ، الفاصل الزمني لجميع (س ) ، بما في ذلك نقاط النهاية ، إذا لزم الأمر ، والتي من أجلها تتقارب سلسلة الطاقة تسمى فاصل التقارب من السلسلة.

    يرتبط هذان المفهومان ببعضهما البعض بشكل وثيق. إذا علمنا أن نصف قطر التقارب لسلسلة قوى هو (R ) فلدينا ما يلي.

    يجب أن يحتوي فاصل التقارب بعد ذلك على الفاصل (a - R & lt x & lt a + R ) لأننا نعلم أن سلسلة الطاقة ستتقارب من أجل هذه القيم. نعلم أيضًا أن الفاصل الزمني للتقارب لا يمكن أن يحتوي على (x ) في النطاقات (x & lt a - R ) و (x & gt a + R ) نظرًا لأننا نعلم أن سلسلة الطاقة تتباعد عن هذه قيمة (س ). لذلك ، لتحديد فترة التقارب تمامًا ، كل ما يتعين علينا القيام به هو تحديد ما إذا كانت سلسلة الطاقة ستتقارب من أجل (x = a - R ) أو (x = a + R ). إذا تقاربت سلسلة الأس لإحدى هاتين القيمتين أو كليهما ، فسنحتاج إلى تضمين تلك الموجودة في فترة التقارب.

    قبل الدخول في بعض الأمثلة ، دعنا نلقي نظرة سريعة على تقارب سلسلة الطاقة في حالة (x = a ). في هذه الحالة تصبح سلسلة الطاقة ،

    وهكذا تتقارب سلسلة الطاقة. لاحظ أنه كان علينا استبعاد المصطلح الأول لأنه كان المصطلح الوحيد غير الصفري في السلسلة.

    من المهم أن نلاحظ أنه بغض النظر عما يحدث في سلسلة القوة ، فنحن نضمن التقارب لـ (x = a ). قد لا تتقارب السلسلة مع أي قيمة أخرى لـ (x ) ، لكنها ستتقارب دائمًا من أجل (x = a ).

    دعونا نعمل بعض الأمثلة. سنضع قدرًا كبيرًا من التفاصيل في المثال الأول ثم لا نضع الكثير من التفاصيل في الأمثلة المتبقية.

    حسنًا ، نعلم أن سلسلة الأس هذه ستتقارب من أجل (x = - 3 ) ، لكن هذا كل شيء في هذه المرحلة. لتحديد ما تبقى من (س ) 's التي سنحصل على تقارب من أجلها ، يمكننا استخدام أي من الاختبارات التي ناقشناها حتى هذه النقطة. بعد تطبيق الاختبار الذي نختار العمل معه ، سنصل إلى الحالة (الشروط) في (س ) التي يمكننا استخدامها لتحديد قيم (س ) التي ستتقارب فيها سلسلة الطاقة وأي قيم من (x ) التي تتباعد فيها سلسلة الطاقة. من هذا يمكننا الحصول على نصف قطر التقارب ومعظم الفاصل الزمني للتقارب (مع استثناء محتمل لنقاط النهاية).

    مع كل ما قيل ، فإن أفضل الاختبارات لاستخدامها هنا هي دائمًا النسبة أو اختبار الجذر. تم إعداد معظم سلسلة الطاقة التي سننظر فيها لأحدهما أو الآخر. في هذه الحالة سنستخدم اختبار النسبة.

    قبل الذهاب إلى أبعد من الحد ، دعنا نلاحظ أنه بما أن (س ) لا يعتمد على الحد فإنه يمكن إخراجها من الحد المسموح به. لاحظ أيضًا أنه عند القيام بذلك سنحتاج إلى الاحتفاظ بأشرطة القيمة المطلقة عليها لأننا نحتاج إلى التأكد من أن كل شيء يظل إيجابيًا وأن (x ) يمكن أن يكون قيمة تجعل الأشياء سلبية. إذن فالحد هو

    لذلك ، يخبرنا اختبار النسبة أنه إذا (L & lt 1 ) سوف تتقارب السلسلة ، إذا (L & gt 1 ) سوف تتباعد السلسلة ، وإذا (L = 1 ) لا نعرف ماذا سوف يحدث. اذا لدينا،

    سنتعامل مع حالة (L = 1 ) بعد قليل. لاحظ أن لدينا الآن نصف قطر التقارب لسلسلة الأس هذه. هذه هي بالضبط الشروط المطلوبة لنصف قطر التقارب. نصف قطر التقارب لسلسلة الطاقة هذه هو (R = 4 ).

    الآن ، دعونا نحصل على الفاصل الزمني للتقارب. سنحصل على معظم (إن لم يكن كل) الفترة من خلال حل المتباينة الأولى من الأعلى.

    إذن ، معظم فترة الصلاحية مُعطاة بواسطة (- 7 & lt x & lt 1 ). كل ما علينا فعله هو تحديد ما إذا كانت سلسلة الأسس ستتقارب أو تتباعد عند نقاط نهاية هذه الفترة. لاحظ أن قيم (x ) تتوافق مع قيمة (x ) التي ستعطي (L = 1 ).

    تتمثل طريقة تحديد التقارب في هذه النقاط في توصيلها ببساطة بسلسلة الطاقة الأصلية ومعرفة ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد باستخدام أي اختبار ضروري.

    (س = - 7 ):
    في هذه الحالة تكون السلسلة ،

    هذه السلسلة متباينة من خلال اختبار الاختلاف منذ ( mathop < lim> limits_ n = infty ne 0 ).

    (س = 1 ):
    في هذه الحالة تكون السلسلة ،

    هذه السلسلة أيضًا متباينة من خلال اختبار الاختلاف منذ ( mathop < lim> limits_ < left (<- 1> right) ^ n> n ) غير موجود.

    لذلك ، في هذه الحالة ، لن تتقارب سلسلة الطاقة مع أي من نقطتي النهاية. إذن فاصل التقارب هو ،

    في المثال السابق ، لم تتقارب سلسلة الطاقة مع أي من نقطتي نهاية الفاصل الزمني. سيحدث ذلك أحيانًا ، لكن لا تتوقع حدوث ذلك دائمًا. يمكن أن تتقارب سلسلة الطاقة عند أي من نقطتي النهاية أو واحدة فقط من نقاط النهاية.

    دعنا ننتقل مباشرة إلى اختبار النسبة.

    لذلك سوف نحصل على معلومات التقارب / الاختلاف التالية من هذا.

    علينا توخي الحذر هنا في تحديد فترة التقارب. يتطلب الفاصل الزمني للتقارب ( left | الحق | & lt R ) و ( اليسار | الحق | & GT R ). بعبارة أخرى ، نحتاج إلى تحليل 4 من أشرطة القيمة المطلقة للحصول على نصف قطر التقارب الصحيح. القيام بهذا يعطي ،

    لذا ، فإن نصف قطر التقارب لسلسلة الطاقة هذه هو (R = frac <1> <8> ).

    الآن ، دعونا نجد الفاصل الزمني للتقارب. مرة أخرى ، سنحل أولاً المتباينة التي تعطي نقطة التقارب أعلاه.

    (displaystyle x = frac <<15>> <8>):
    المسلسل هنا ،

    هذه هي السلسلة التوافقية المتناوبة ونعلم أنها تتقارب.

    (displaystyle x = frac <<17>> <8>):
    المسلسل هنا ،

    هذه هي السلسلة التوافقية ونعلم أنها تتباعد.

    لذلك ، تتقارب سلسلة الأس لإحدى نقاط النهاية ، ولكن ليس الأخرى. سيحدث هذا غالبًا ، لذا لا تتشوق له عندما يحدث. فاصل التقارب لسلسلة الطاقة هذه هو ،

    نحتاج الآن إلى إلقاء نظرة على حالتين خاصتين بنصف قطر وفواصل تقارب.

    سنبدأ هذا المثال باختبار النسبة كما فعلنا في السابق.

    في هذه المرحلة يجب أن نكون حذرين. الحد لانهائي ، ولكن هناك هذا المصطلح مع (x ) 'أمام النهاية. سنوفر (L = infty & gt 1 ) (x ne - frac <1> <2> ).

    لذلك ، ستتقارب سلسلة الطاقة هذه فقط إذا (x = - frac <1> <2> ). إذا فكرت في الأمر ، فقد عرفنا ذلك بالفعل. من مناقشتنا الأولية ، نعلم أن كل سلسلة قوى ستتقارب من أجل (x = a ) وفي هذه الحالة (a = - frac <1> <2> ). تذكر أننا حصلنا على (أ ) من (< يسار ( right) ^ n> ) ولاحظ أن معامل (x ) يجب أن يكون واحداً!

    في هذه الحالة ، نقول إن نصف قطر التقارب هو (R = 0 ) وفاصل التقارب هو (x = - frac <1> <2> ) ، ونعم نحن حقًا نعني فاصل التقارب على الرغم من إنها مجرد نقطة.

    في هذا المثال ، يبدو اختبار الجذر أكثر ملاءمة. وبالتالي،

    لذلك ، بما أن (L = 0 & lt 1 ) بغض النظر عن قيمة (x ) فإن سلسلة الطاقة هذه سوف تتقارب مع كل (x ).

    في هذه الحالات ، نقول إن نصف قطر التقارب هو (R = infty ) وفاصل التقارب هو (- infty & lt x & lt infty ).

    لذا ، دعونا نلخص المثالين الأخيرين. إذا كانت سلسلة الطاقة تتقارب فقط من أجل (x = a ) فإن نصف قطر التقارب هو (R = 0 ) وفاصل التقارب (x = a ). وبالمثل ، إذا كانت سلسلة الطاقة تتقارب لكل (x ) فإن نصف قطر التقارب هو (R = infty ) وفاصل التقارب هو (- infty & lt x & lt infty ).

    فلنعمل على مثال آخر.

    لاحظ أولاً أن (a = 0 ) في هذه المشكلة. هذا ليس مهمًا حقًا للمشكلة ، لكن من الجدير الإشارة إليه حتى لا يشعر الناس بالحماس حياله.

    الاختلاف المهم في هذه المسألة هو الأس على (x ). في هذه الحالة يكون 2 (n ) وليس القياسي (n ). كما سنرى ، سيكون لبعض متسلسلات القوة دعاة غير (n ) ولذلك ما زلنا بحاجة إلى أن نكون قادرين على التعامل مع هذه الأنواع من المشاكل.

    يبدو أن هذا تم إعداده لاختبار الجذر مرة أخرى ، لذا دعنا نستخدم ذلك.

    لذلك ، سوف نحصل على تقارب إذا

    لكن نصف قطر التقارب ليس 3. يتطلب نصف قطر التقارب الأس 1 على (x ). لذلك،

    [يبدأ sqrt> & lt sqrt 3 يسار | x حق | & lt sqrt 3 النهاية]

    كن حذرا مع أشرطة القيمة المطلقة! في هذه الحالة ، يبدو أن نصف قطر التقارب هو (R = sqrt 3 ). لاحظ أننا لم نتكبد عناء وضع حد لعدم المساواة في الاختلاف هذه المرة. إن عدم المساواة في الاختلاف هو مجرد فترة التقارب التي يعطيها الاختبار مع تبديل عدم المساواة وهي غير ضرورية بشكل عام. عادة ما نتخطى هذا الجزء.

    الآن دعونا نحصل على الفاصل الزمني للتقارب. أولاً من عدم المساواة التي نحصل عليها ،

    (س = - مربع 3 ):
    هنا سلسلة القوة ،

    هذه السلسلة متباينة من خلال اختبار الاختلاف منذ ( mathop < lim> limits_ < left (<- 1> right) ^ n> ) غير موجود.

    (س = مربع 3 ):
    لأننا نقوم بتربيع (x ) ستكون هذه السلسلة مماثلة للخطوة السابقة.


    ملخصات المحاضرات والملاحظات

    • 1. تدوين وظيفي. حدود. تعريف المشتق. المشتقات الحسابية من التعريف. قواعد التفاضل (القوة n ، المضاعف الثابت ، المجموع ، المنتج ، السلسلة ، الحاصل). المشتقات الأعلى. رسم بياني (زيادة ، تناقص ، قصوى محلية ، نقاط انعطاف). اختبار المشتق الثاني. خطوط الظل / التقريبات الخطية. الاشتقاق الضمني. ماكس مين مشاكل. مشاكل الأسعار ذات الصلة.

    سيمونز 1.1-6 ، 2.1-4 ، 3.1-3 ، 3.5-6 ، 4.1-5 ، 5.1-2.

    Simmons 1.7 و 2.5 و 3.4 و 5.3 و 8.1-4 و 9.1-5 و 10.1-5 (ولكن يمكنك تجاهل البتات المتعلقة بالتكامل المحدد في الوقت الحالي).

    Simmons 6.1-7 ، 7.1-2 ، 7.5 ، 10.1-5 (فقط للبتات المتعلقة بالتكامل المحدد ، خاصة 10.2) ، 10.6.

    ملاحظات المحاضرة 3 (.pdf) (ما زلت أحاول معرفة كيفية تحسين جودة المسح الضوئي - إذا نجحت ، فقد أقوم بتحديث هذه الملفات وإعلامك بذلك في الفصل.)

    ملاحظات المحاضرة 5 (.pdf) (هل هذه الفحوصات أكثر قابلية للقراءة؟ دعني أعرف في الفصل إذا كان هذا تحسينًا)

    Simmons ليس لديه أي محتوى حول هذا الموضوع. يمكنك محاولة البحث في OCW لمعرفة ما إذا كان لديهم مواد ذات صلة في 18.02 إذا كنت مهتمًا. (يجب أن تغطي فئات الجبر الخطي 18.06 ما ناقشناه بعمق أكبر.)

    سيمونز 17.2 ، 19.1. اختيارية تمامًا ولكن ربما تكون ذات أهمية: 17.6-7. (يوضح الشكل 17.7 كيف يمكن استخدام نظرية نيوتن في الجاذبية العامة لإثبات قوانين كبلر لحركة الكواكب).


    العلاقة $ ، sin (A) ^ 2 + cos (A) ^ 2 = I $ تحمل أيضًا المصفوفات

    لذا علينا إيجاد مصفوفة لجيب التمام مثل أن $ C ^ 2 = start0 & amp-4040 0 & amp0 end$ وهو غير ممكن.

    غير قطري. إذا كانت $ 1 $ ستكون القيمة الذاتية الوحيدة و $ B $ ستكون مساوية لمصفوفة الهوية.

    لذلك إذا كان $ sin A = B $ ، فإن $ A $ غير قابل للقطر أيضًا. سيكون الشكل العادي (المعقد) للأردن من $ A $

    يبدأ sin overline A = start sin lambda & amp cos lambda 0 & amp sin lambda end نهاية

    ومن ثم فإن $ lambda $ ينتمي إلى $ pi / 2 + 2 pi mathbb Z $ و

    يبدأ sin overline A = start sin lambda & amp 0 0 & amp sin lambda end = ابدأ1 & amp 0 0 & amp 1 end نهاية


    شارك هذه الصفحة

    لتضمين هذه الأداة في منشور على مدونة WordPress الخاصة بك ، انسخ والصق الرمز القصير أدناه في مصدر HTML:

    لتضمين هذه الأداة في منشور ، قم بتثبيت البرنامج الإضافي Wolfram | Alpha Widget Shortcode Plugin وانسخ والصق الرمز القصير أعلاه في مصدر HTML.

    لتضمين عنصر واجهة مستخدم في الشريط الجانبي لمدونتك ، قم بتثبيت برنامج Wolfram | Alpha Widget Sidebar Plugin ، وانسخ والصق معرف القطعة أدناه في حقل "id":

    لإضافة عنصر واجهة مستخدم إلى موقع MediaWiki ، يجب أن يكون في wiki ملحق Widgets مثبتًا ، بالإضافة إلى رمز عنصر واجهة مستخدم Wolfram | Alpha.

    لتضمين الأداة في صفحة wiki ، الصق الكود أدناه في مصدر الصفحة.


    الامتحان 2

    • 2.5 ، 7.4: المعادلات التفاضلية
    • 10.1-10.2: تكاملات غير صحيحة
    • 11.1-11.4: المتتاليات والمتسلسلات
    • 11.5-11.6: Power Series (ستحتاج فقط إلى أن تكون مسؤولاً عن المعلومات المنشورة في أوراق عمل Power Series ليوم الاثنين ، 4/7 ، الأربعاء ، 4/9 ، والجمعة ، 4/11). على وجه الخصوص ، لن يتم اختبارك على تكامل وتمايز سلسلة الطاقة في الامتحان 2.
    • تمارين مراجعة الفصل 11: 1-8 ، 10 ، 13 ، 15 ، 16 ، 18 ، 19 ، 20 ، 21 ، 22 ، 37-48. فيما يلي حلول لتمارين مراجعة الفصل 11.

    فيما يلي بعض أسئلة الاختبار التدريبي للامتحان 2. لاحظ أن تضمين أو استبعاد موضوع معين في الاختبار التدريبي لا يعني بالضرورة تضمين هذا الموضوع أو استبعاده من الاختبار الفعلي. الامتحان التدريبي هو فقط لإعطائك المزيد من مشاكل التدريب للعمل عليها. يجب عليك بالطبع دراسة ملاحظات الفصل ومشكلات الواجبات المنزلية ومشكلات الاختبار بالإضافة إلى امتحان الممارسة. هنا هو مفتاح الإجابة لامتحان الممارسة 2. وفيما يلي بعض الحلول التي تم التوصل إليها وتلميحات لامتحان الممارسة.

    تحذير: لا تنظر أو تطبع الحلول لمشاكل الممارسة المذكورة أعلاه إلا بعد العمل عليها بنفسك ، واستغرق بعض الوقت ، والعودة لاحقًا لتجربة أي مشاكل لم تتمكن من حلها في المرة الأولى مرة أخرى. يؤدي حل المشكلات أثناء النظر إلى الإجابات إلى جعلها شبه عديمة الفائدة تمامًا كتحضير للامتحان.


    سلسلة الطاقة

    سيراجع محررونا ما قدمته ويحددون ما إذا كان ينبغي مراجعة المقالة أم لا.

    سلسلة الطاقة، في الرياضيات ، سلسلة لا نهائية يمكن اعتبارها كثيرة الحدود بعدد لا حصر له من المصطلحات ، مثل 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯. عادةً ما تتقارب سلسلة قوى معينة (أي تقترب من مجموع محدود) لجميع قيم x ضمن فترة زمنية معينة حول الصفر - على وجه الخصوص ، عندما تكون القيمة المطلقة لـ x أقل من عدد موجب ص، والمعروف باسم نصف قطر التقارب. خارج هذا الفاصل الزمني ، تتباعد السلسلة (غير محدودة) ، في حين أن السلسلة قد تتقارب أو تتباعد عندما x = ± ص. يمكن في كثير من الأحيان تحديد نصف قطر التقارب عن طريق نسخة من اختبار النسبة لسلسلة القدرة: بالنظر إلى سلسلة القدرة العامة أ0 + أ1x + أ2x 2 + ، حيث تُعرف المعاملات ، فإن نصف قطر التقارب يساوي حد نسبة المعاملات المتتالية. رمزياً ، ستتقارب المتسلسلة لجميع قيم x مثل ذلك

    على سبيل المثال ، السلسلة اللانهائية 1 + x + x 2 + x 3 + لها نصف قطر تقارب 1 (جميع المعاملات 1) - أي أنها تتقارب مع الجميع 1 & lt x & lt 1 — وضمن تلك الفترة الزمنية ، تساوي السلسلة اللانهائية 1 / (1 - x). تطبيق اختبار النسبة على المتسلسلة 1 + x/1! + x 2 /2! + x 3/3! + ⋯ (وفيه تدوين عاملي ن! يعني حاصل ضرب أرقام العد من 1 إلى ن) يعطي نصف قطر التقارب بحيث تتقارب السلسلة مع أي قيمة x.

    يمكن تمثيل معظم الوظائف بسلسلة طاقة في بعض الفواصل الزمنية (يرى الطاولة ). على الرغم من أن السلسلة قد تتقارب مع جميع قيم x، قد يكون التقارب بطيئًا جدًا بالنسبة لبعض القيم التي يتطلب استخدامها لتقريب دالة حساب عدد كبير جدًا من المصطلحات لجعلها مفيدة. بدلا من صلاحيات x، أحيانًا يحدث تقارب أسرع بكثير لقوى (xج)، أين ج هي بعض القيمة بالقرب من القيمة المرغوبة لـ x. تم استخدام متسلسلة القوة أيضًا لحساب الثوابت مثل π وقاعدة اللوغاريتم الطبيعي ه ولحل المعادلات التفاضلية.

    تمت مراجعة هذه المقالة وتحديثها مؤخرًا بواسطة William L.Hosch ، محرر مشارك.


    6.1: مراجعة سلسلة القوة - الرياضيات

    ساعات العمل: الثلاثاء من 5:00 مساءً إلى 6:00 مساءً ومن 8:30 إلى 9:00 مساءً (الخميس ساعات العمل تحدد لاحقًا) أو Hill 624 أو عن طريق تحديد موعد.

    البريد الإلكتروني: cl.volkov at rutgers dot edu (للأصدقاء) / fq15 at Scarletmail dot rutgers dot edu (للتدريس)

    المحاضرة 2 (1 يونيو 2017). ملاحظات المحاضرة ، ورشة العمل 1 (بقلم د. شيفر) ، نماذج الكتابة.
    تأتي مواد الدورة بشكل أساسي من الفصل الخامس والسادس من كتاب سوندستروم.
    كما يمكنك قراءة كتاب Zorich القسم 1.2 و 1.3.
    موعد جميع ورش العمل الساعة 11:55 مساءً يوم الثلاثاء القادم. لذلك في حالة وجود أسئلة ، يمكنك مناقشتها معي إما قبل أو بعد فصل يوم الثلاثاء.

    المحاضرة 3 (6 يونيو 2017). ملاحظات المحاضرة
    لمزيد من التفاصيل ، يرجى قراءة Zorich ، القسم 2.1.
    يمكن العثور على حجة مختلفة قليلاً توضح أن الجذر 2 ليس منطقيًا في [Z] ، 2.2.2.c. تم تعديل الوسيطة في الملاحظات من [A] ، Theorem 1.4.5.
    يمكن العثور على بناء الأعداد الحقيقية باستخدام التخفيضات Dedekind في [أ] ، القسم 8.6.

    المحاضرة 4 (8 يونيو 2017). ملاحظات المحاضرة ، ورشة العمل 2
    نظرًا لأنني لم أتمكن من تغطية نظرية الكثافة ، فقد تمت إزالة مشكلة ورشة العمل 5 من مهمة هذا الأسبوع.
    الآن يجب أن تنتهي من قراءة [أ] ، القسم 1.1 - 1.3 وطومسون-بروكر-بروكر ، التحليل الأولي الابتدائي ، القسم 1.1 - 1.7.

    المحاضرة 5 (13 يونيو 2017). ملاحظات المحاضرة
    من المهم جدًا أن تنطبق خاصية الفاصل الزمني المتداخلة على فترات مغلقة محددة. فكر: أي جزء من البرهان يفشل عندما لا يتم تقييد الفواصل الزمنية.
    يمكن للمرء أن يثبت في ظل افتراض ملكية أرخميدس ، أن خاصية الفاصل الزمني المتداخلة يمكن أن تشير إلى بديهية الاكتمال. يرجى الاطلاع على ورقة جيمس بروب التحليل الحقيقي في الاتجاه المعاكس لمزيد من التفاصيل. في الفصل القادم سنرى المزيد من هذه الخصائص.

    المحاضرة 6 (15 يونيو 2017). ملاحظات المحاضرة ، ورشة العمل 3
    في حال كنت مهتمًا بحل مشكلة ورشة العمل الاختيارية ، يرجى الاطلاع على ملاحظات حول المجموعات القابلة للعد وقطر كانتور.
    فكرة قطرية كانتور هي بناء رقم عشري خارج نطاق الوظيفة من القيم الطبيعية إلى الحقيقية. يرجى مراجعة [أ] ، القسم 1.6 للحصول على التفاصيل. في الملاحظة أعلاه ستجد الحجة الأكثر أهمية.
    الآن يجب أن تنتهي من قراءة القسم 1.4 - 1.5 و 2.1 من الكتاب المدرسي ، والقسم 1.8 - 1.10 ، 2.1 - 2.4 من كتاب TBB
    حول الكاردينالات ، يرجى قراءة [جامو] واحد اثنان ثلاثة إنفينيتي ، الفصل 1 و 2.

    المحاضرة 7 (20 يونيو 2017). ملاحظات المحاضرة
    هنا يجب أن تتعلم تقنية إيجاد N من ظروف التقارب المعينة ، بدلاً من التقديرات.
    أيضًا ، لاستخدام نظرية الحدود الجبرية ، من المهم التأكد من وجود جميع الحدود المعنية. وإلا فقد ترتكب بعض الأخطاء الجسيمة.

    المحاضرة 8 (22 يونيو 2017). ملاحظات المحاضرة ، ورشة العمل 4
    بالنسبة لنظرية حدود الطلب ، من المهم التأكد من وجود جميع الحدود المعنية. وإلا فقد ترتكب بعض الأخطاء الجسيمة.
    يعطي التقارب الأحادي طريقة مريحة للغاية لإثبات التقارب ، ولكنه عادة لا يخبرك بشكل مباشر عن الحد. بشكل عام ، عادةً ما يكون الحصول على الحد الفعلي صعبًا. في هذا الفصل نتعامل فقط مع بعض الحالات البسيطة.
    يرجى التأكد من أنه يمكنك تذكر كيفية إثبات أن تأكيد الالتزامات AoC يعني ضمناً MCT. تقديم ملخص موجز يساعد بالتأكيد.
    الآن يجب أن تنتهي من قراءة [A] 2.2 - 2.4 ، [TBB] 2.5 - 2.10.

    المحاضرة 9 (27 يونيو 2017). ملاحظات المحاضرة
    في حال كنت تكافح مع ورشة العمل 4 ، كتب السيد يانغ دليلًا لجميع المشكلات ووافق على مشاركتها. لاحظ أن هذا مجرد دليل. تم وضع عملية التفكير وعرضها. ومع ذلك فهي لا تقدم دليلاً. ما زلت بحاجة إلى تنظيم هذه الأفكار في برهان.

    المحاضرة 10 (29 يونيو 2017). ملاحظات المحاضرة ، ورشة العمل 5
    في حال لم تكن راضيًا عن درجة معينة من الاختبارات القصيرة ، أو فاتتك لأي سبب من الأسباب ، يرجى إنهاء كتابة الواجب المنزلي للمحاضرة السابقة وتقديم الحل لي شخصيًا.
    على سبيل المثال ، إذا لم تكن راضيًا عن درجاتك في الاختبار 7 ، فعليك حل جميع مسائل الواجب المنزلي المحددة في المحاضرة 7.
    سوف أتحقق من مشكلة عشوائية لمعرفة ما إذا كان لديك بالفعل فهم جيد لها. إذا كان لديك ، فسيتم جعل درجة الاختبار 8/10. لإعداد الاختبارات القصيرة من 1 إلى 9 ، يجب تقديم حلولك قبل 13 تموز (يوليو). بعد 13 تموز (يوليو) ، لا يمكن تغيير درجات الاختبار 1 - 9 بعد الآن.
    الآن يجب أن تنتهي من قراءة [A] 2.5 - 2.6، [TBB] 2.11 - 2.12.

    المحاضرة 11 (4 يوليو 2017) لا توجد محاضرات اليوم. اجازة سعيدة!

    محاضرة 12 (6 يوليو 2017). الامتحان النصفي ، ورشة العمل 6 (بقلم د. شيفر)
    سياسات الفرصة الثانية: في حالة عدم أداءك بشكل جيد في منتصف المدة ، فإليك ما يجب عليك فعله:

    • ادرس ملاحظات الدورة والمواد الأخرى للتأكد من أنك تعرف كيفية حل كل المشاكل في الامتحان.
    • رتّب موعدًا لامتحان شفهي على الطراز الروسي. سأختار مشكلة عشوائية في الامتحان ، سيكون لديك 10 دقائق لتحضير الحلول. ثم يجب عليك تقديم الحل على السبورة.
    • لا يُسمح بالكتب والملاحظات المكتوبة مسبقًا. الشيء الوحيد الذي يمكنك الرجوع إليه هو الملاحظات التي أنشأتها في تلك الدقائق العشر.

    إذا كان عرضك التقديمي مُرضيًا ، فسيتم إعفاء تقدير منتصف الفصل الدراسي الخاص بك من حساب التقدير النهائي. بمعنى آخر ، سيتم احتساب درجتك على أنها 60٪ نهائي + 20٪ ورشة عمل + 10٪ اختبار شفوي + 10٪ اختبار كتابي.

    المحاضرة 13 (11 يوليو 2017). ملاحظات الدورة
    بالنسبة لأولئك الذين فاتتهم محاضرة الليلة ، يرجى التأكد من قدرتك على إثبات كل إدخال في الجدول في الصفحة 9. في الفصل شرحت هذه الأمثلة على السبورة. ومع ذلك ، تم تقديم الدليل فقط شفويا. يُرجى إعلامي إذا كنت تواجه مشكلة في إثبات أي عناصر. سأكون سعيدا لتقديم حجة.
    تم استبدال الاختبار المكتوب الليلة كاستبيان بخصوص منتصف المدة. تجدونه في مهام ساكاي.

    محاضرة 14 (13 يوليو 2017). ملاحظات الدورة ، ورشة العمل 7
    ملاحظة: لا داعي للقلق بشأن جزء الضغط سواء في [A] أو [TBB]. لقد استخدمت الأمثلة في [A] والتعليقات المحفزة في [TBB]. بالنسبة إلى ورشة العمل 7 ، لا تحتاج إلى معرفة أي شيء بخلاف ملاحظات الدورة التدريبية المنشورة حاليًا.
    الآن يجب أن تنتهي من قراءة [A] 3.2 ، [TBB] 4.1 - 4.4.

    المحاضرة 15 (18 يوليو 2017). ملاحظات الدورة
    لقد أعددت النظام ، لذا يمكن (إعادة) تقديم ورشة العمل 6 حتى 4 أغسطس. يمكن (إعادة) تقديم ورشة العمل 7 حتى 25 يوليو.

    محاضرة 16 (20 يوليو 2017). ملاحظات الدورة ، ورشة العمل 8
    الآن يجب أن تنتهي من قراءة [A] 3.3 ، [TBB] 4.5 (لاحظ أن ملكية Cousin's لم يتم تغطيتها). يجب أن تبدأ في قراءة [A] 4.2 و [TBB] 5.1.
    آسف لإلقاء محاضرة منظمة بغباء الليلة. نأمل أن تبدو الملاحظات المعاد تنظيمها أفضل. واسمحوا لي أن أعرف إذا كان لديك مشاكل.

    محاضرة 18 (27 يوليو 2017). ملاحظات الدورة ، ورشة العمل 9
    الآن يجب أن تنتهي من قراءة [A] 4.1 - 4.3 ، [TBB] 5.1 ، 5.2 ، 5.4 و 5.5.
    في الصفحة الثانية من ورشة العمل 9 ستجد بعض التعليقات على التمارين في [أ]. يرجى على الأقل محاولة تلك المشاكل التي واجهتها.

    المحاضرة 19 (1 أغسطس 2017). ملاحظات الدورة
    نظرًا لأننا على وشك إنهاء الفصل الرابع يوم الخميس ، فمن الجيد جدًا مراجعة كل شيء. إذا كان لديك فهم جيد للمواد في الفصول من 1 إلى 4 ، فلن تشعر بأي صعوبة على الإطلاق في فهم الفصل 5 ، ومعظم الأجزاء في الفصل 6 (حتى تصل إلى مسألة التقارب المنتظم للتسلسلات وسلسلة من المهام). إذا كنت تأخذ 312 الفصل الدراسي القادم ، ستكون حياتك سهلة لبعض الوقت. لذا يرجى القيام بذلك دون تردد.
    بالنسبة لأولئك الذين لم يؤدوا أداءً جيدًا في الاختبار الليلة ، يرجى الإجابة على الأسئلة التالية:
    & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 1. كم تمرينًا حاولت في 3.2 ، 3.3 ، 4.2 ، 4.3 ، 4.4؟
    & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2. ما نوع الصعوبة التي واجهتها؟
    & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3. أي شيء يمكنني فعله للمساعدة؟
    يرجى إرسال إجاباتك من خلال رسائل البريد الإلكتروني. سيتم تعديل درجة الاختبار إلى 8/10 أو درجتك الفعلية ، أيهما أعلى.

    المحاضرة 20 (3 أغسطس 2017). ملاحظات الدورة ، ورشة العمل 10
    يرجى محاولة إثبات هذه الحقائق في الجزء 3 بنفسك ولا تقرأ حجتي إلا إذا لم يكن لديك دليل. قد تكون حجتي معقدة للغاية مما ينبغي أن تكون. أسهل طريقة لتبسيط أي حجة معقدة هي العمل على حجتك الخاصة دون قراءة كلمة من الحجة الأصلية.
    السبب في أنني اخترت هاتين المشكلتين السهلتين لتعيين ورشة العمل الأخيرة هو توفير المزيد من وقت الفراغ لمراجعة المواد ومحاولة جميع المشكلات الأخرى في الكتاب. لا تكن كسولاً. أنت لا تدرس التحليل بالنسبة لي ، ولكن للتحضير لدراساتك المستقبلية. التدريبات في [A] هي في الحقيقة الحد الأدنى من المبلغ الذي يجب عليك القيام به من أجل إتقان المهارات.
    الآن يجب أن تنتهي من قراءة [A] 4.4 - 4.5 و [TBB] 5.6 - 5.9.

    محاضرة 21 (8 أغسطس 2017). ملاحظات الدورة.
    As you can see, if you have a solid understand for Chapter 1 through 4, there is no trouble for you to understand at least the theory of derivatives. The main challenge for this Chapter is how to use the results in real life. Please see Zorich's exercises for more practice.

    Lecture 22 (Aug. 10, 2017). Course Notes. Review of Chapter 1 to 4
    The exam will be held on next Tuesday. There will be 13 problems with 200 points. 150 points are considered as a perfect score. Please find more details on Sakai.
    By now you should finish reading [A] 5.1 - 5.3. If you have time, please also read [TBB] 7.1 - 7.7. We don't have enough time covering all these materials however the knowledge will be assumed in 312.

    In the Spring of 2017 I taught 640:244 (Differential Equation for Physics and Engineering) for Sections 20 - 22.
    I taught the same class in the past. Here are the materials I taught in Summer 2015. And here are the materials I used for teaching recitations of 244 in Spring 2015, Fall 2014, Spring 2014 and Fall 2013.

    Please find Dr. Shtelen's syllabus, schedule and homework assignments here.

    Please find the information concerning maple labs here.

    All announcements are to be posted on sakai. Please make sure that you have a working email address registered to the system.

    • MIT OCW Lectures on Differential Equations (Note that they have a different syllabus)
    • Dr. Z's Calc 4 Lecture Handouts (The mathematical central topic is covered and emphasized, with marginal topics discarded)
    • Maple Tutorial (Found and shared by Mr. Joshua Vigoureux).

    Week 2 (Jan. 25): Recitation Notes, Quiz 1.
    In case you have time, please also watch MIT Lecture 1 to further understand the geometric interpretation of ODE.
    Regarding the first order linear ODE, you can also check MIT Lecture 3 and read Dr. Z's notes for 2.1 for further understanding.
    Here are my own notes for Section 2.2 and 2.4

    Week 4 (Feb. 8): Recitation Notes (Part 1), Recitation Notes (Part 2) (allow me to reuse the notes in the past). Quiz 3
    In case you have time, please also watch MIT Lecture 5 and read Dr. Z's Notes on 2.5 (Note that Dr. Z used a different method).
    Here are my own notes for Section 2.7 and Section 3.1.

    Week 6 (Feb. 22): No recitation notes this week. Aside from those exam problems, I just went over the notes I announced in the previous week.
    The Quiz this week is take-home. Please carefully review Section 2.6 and 3.4.

    Week 7 (Mar. 1): Recitation Notes, Yet another take-home Quiz
    The principle I talked about in the recitation notes applies to Chapter 4 as well. You should keep in mind that
          1. First try templates, as well as exponential powers, are determined ONLY by the right hand side of the ODE.
          2. To determine how many times your template fails, you have to look at the characteristic roots, which are determined ONLY by the left hand side of the ODE.
    Please understand this set of recitation notes thoroughly.
    For 3.5 and 3.6, Dr. Z's notes may also be helpful: Notes on 3.5, Notes on 3.6
    My own notes on 3.5 (Part 1), 3.5 (Part 2), 3.5 (Part 3), 3.6, 3.4 and 3.7 (Course Plan), 3.4 and 3.7 (Notes Part 1), 3.7, 5.4 (Notes Part 2), 3.6, 3.8

    Week 8 (Mar. 8): Recitation Notes, Quiz 7
    Basically all the related materials were posted last week. So nothing more here.

    Week 9 (Mar. 15): Spring break. No recitation today. يتمتع!

    Week 10 (Mar. 22): Recitation Notes, Quiz 8, Quiz 8 Make-up
    Maple Lab 3 is due next week. Late submissions are allowed up to next Friday (Mar. 31, 2017).
    In case you have time, please read Dr. Z's notes on Section 4.1, Section 4.2, Section 4.3.
    My own notes on 4.1, 4.2, 4.3. Please find my notes on 3.8 above.

    Week 11 (Mar. 29): Recitation Notes for Linear Algebra, Quiz 9, Recitation Notes for 7.5, 7.6 and 7.8
    (Although these notes were written a while ago, it should be able to help)
    For the linear systems, Dr. Z's notes on 7.1, 7.4, 7.5, 7.6 and 7.8 should also be helpful.
    Please go over the (updated) Review Questions and make sure you are comfortable on everyone of it. I think it would help you better than any practice exam.

    Week 13 (Apr. 12): Quiz 11
    Aside from exam problems, all I talked about in class are in the recitation notes or previous week. Please go over it and especially make sure you know how to deal with complex eigenvalues.

    Week 14 (Apr. 19): Quiz 12
    Here are my summer course notes on Chapter 9: 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.4 leftovers (Shared by Ms. Shawnie Caslin). Also please watch MIT Lecture 31 for how to deal with nonlinear systems.
    I wasn't able to type up the notes for finding global trajectories. In case you have taken neat notes, please don't hesitate to share.
    Maple Lab 5 is supposed to due yesterday. Late submissions are accepted until next Tuesday (Apr. 25).

    For 244 students, I have two requirements

    If you don't know how to manipulate logarithm, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch10_SE.pdf
    Please read Section 10.5 on page 45 in the pdf file (page 733 in the book), try all example problems, and do Exercise 44 - 61 on page 51 in the pdf file (Page 740 in the book).

    If you are not very fluent with the quadratic equations (e.g. always use the root formula), please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch08_SE.pdf
    Read Section 8.1, 8.2 , try all example problems, and do Exercise 66 - 83 on page 23 in the pdf file (Page 573 in the book). Make sure you understand all the related methods

    In particular, if you have never seen criss-cross factorization before, please check the youtube videos
    Criss-Cross Method 1, Criss-Cross Method 2, Criss-Cross Method 3 and Criss-Cross Method 4.

    If you have never seen matrices before, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch03_SE.pdf
    Read Section 3.6 , try all example problems, and do Exercise 15 - 23, 46 - 49 on page 51 - 52 in the pdf file (page 227 - 228 in the book).
    Read Section 3.7 , try all example problems, and do Exercise 2 - 7, 20 - 25, 35 - 40 on page 63 - 64 in the pdf file (page 239 - 240 in the book).
    After you work on this topic, try the problems of the attendence quiz at Lecture 15 and you will find it easy to play.

    If you keep on making mistakes on exponentials, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch01_SE.pdf
    Read Section 1.8 , try all example problems, and do Exercise 59 - 84 on page 88 in the pdf file (page 88 in the book).

    If you don't know how to divide a polynomial, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch05_SE.pdf
    Read Section 5.3 , try all example problems, and do Exercise 27 - 42 on page 31 in the pdf file (page 339 in the book).
    After you have done the work, please compare to the technique I used on dealing with t/(t+1) or -2-t/(t+1) in class. You will see that this is actually the simplest example of division.

    If you are not fluent on simplifications of rational functions, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch06_SE.pdf
    Read Section 6.1 - 6.4 , try all example problems, and do Exercise 29 - 48 on page 61 - 62 in the pdf file (page 463 - 464 in the book).

    If you are not fluent on playing with trigonometric functions, please find
    http://www.eht.k12.nj.us/

    staffoch/Textbook/chapter04.pdf
    Read Section 4.3 , make sure you memorize the table of the values of sine, cosine and tangent on usual special angles on page 23 of the PDF file (page 279 in the book)
    and do Exercise 17 - 26 on page 28 of the pdf file (page 284 in the book)
    Read Section 4.5 , make sure you can recognize, distinguish different graphs of the trignometric functions and manipulate them by scaling and translation , and do Exercise 3 - 14, 23 - 16 on page 48 in the pdf file (page 304 in the book)

    If you are not fluent on factorizing polynomials, please find
    http://people.ucsc.edu/

    Please make sure you have a solid understanding on the math 300 class (Introduction to Mathematical Reasoning). You can review the knowledge using the following material
    Dr. Sussmann's notes on Math 300, Lecture 2, 3 and 4
    This set of notes summarizes the most essential knowledge in that class. On his course website you'll find more related material for reviewing.

    Please recall the knowledge of Calculus I, especially the graphs of the most commonly seen elementary functions. You can check the following file to recall the knowledge:
    Table of Common Graphs
    Although the main focus is to formulate rigorous argument, in many cases this process is facilitated by the intuition from the graphs.
    Also I'll assume a solid basis of computational skills for this class. Please try problems in Chapter 1 and 2 of famous Russian book
    3193 Problems in Mathematical Analysis
    to test your skills.


    شاهد الفيديو: العبقرية إشراق شاعر (شهر نوفمبر 2021).