مقالات

ماكدونالد متعدد الحدود وشخصيات ديمازور - رياضيات


مقدمة

سنناقش هنا العلاقة بين كثيرات حدود ماكدونالد غير المتماثلة وشخصيات وحدات Demazure لـ ( widehat { mathfrak {sl}} (n) ) كما هو وارد في [3]. نفترض أن لدينا معرفة بجبر الكذب الأفيني (غير الملتوي) ، على وجه التحديد ( widehat { mathfrak {sl}} (n) ) ، ولكننا سنقدم هنا جميع الحقائق الضرورية حول وحدات Demazure ومتعدد حدود Macdonald غير المتماثل.

متعدد حدود ماكدونالد غير المتماثل

تذكر أن كثيرات حدود ماكدونالد غير المتماثلة (E_ lambda (z_1، dots z_n، q، t) ) مفهرسة بالتركيبات ( lambda in mathbb {N} ^ n ) وأنها تشكل أساسًا لـ ( mathbb {C} (q، t) [z_1، dots، z_n] ). من الآن فصاعدًا نحن متخصصون في (t = 0 ) ، والكتابة

[E_ lambda = E_ lambda (z_1، dots، z_n، q، 0) ].

يمكننا إنشاء كثيرات الحدود هذه بشكل متكرر من خلال الأشكال الداخلية ( Phi، H_0، H_1، dots، H_ {n-1} ) التي تعمل على الفراغ ( mathbb {Z} [q، q ^ {- 1}] [z_1، dots، z_n] ) (لاحظ أنه عندما نتخصص في (t = 0 ) نسقط من الفضاء ( mathbb {C} (q، t) [z_1، dots، z_n] ) إلى ( mathbb {Z} [q، q ^ {- 1}] [z_1، dots، z_n] )). ( Phi، H_1، dots، H_ {n-1} ) يتم تعريفها على هذا النحو

[ bar {H_i} = s_i - z_ {i + 1} {1 - s_i over z_i - z_ {i + 1}} ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ 1 leq i leq n-1 ]

[ Phi f (z_1، dots، z_n) = z_n f ^ {- 1} (q ^ {- 1} z_n، z_1، dots، z_ {n-1}) ]

هناك أيضًا ( bar {H} _0 ) لكننا لن نناقشه. تخبرنا القواعد العودية أنه بعد ضبط (E _ {(0 ^ n)} = 1 ) ، إذن

[q ^ { lambda_1} Phi E _ {( lambda_1، dots، lambda_n)} = E _ {( lambda_2، dots، lambda_n، lambda_1 + 1)} ]

[q ^ { lambda_1 - lambda_n + 1} bar {H_0} E_ lambda = E _ {( lambda_n -1، lambda_2، dots، lambda_ {n-1}، lambda_1 +1)} ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ text {if} lambda_1> lambda_n - 1 ]

وبخلاف ذلك (q ^ { lambda_1 - lambda_n +1} bar {H_0} E_ lambda = E_ lambda ). أخيرا،

[ bar {H_i} E_ lambda = E_ {s_i lambda} ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ text {if} lambda_i < lambda_ {i + 1} ]

وبخلاف ذلك ( شريط {H_i} E_ lambda = E_ lambda ). يجب أن يذكر هؤلاء المشغلون بفعل مجموعة ويل من ( widehat { mathfrak {sl}} (n) ) على التراكيب.

افترض كمثال أنه بالنسبة لـ (n = 3 ) نريد إنشاء (E _ {(1،2،1)} ). ثم يمكننا تطبيق التركيب ( bar {H_2} Phi ^ 4 ) على (E _ {(0،0،0)} ) للحصول على

[ Phi (E _ {(0،0،0)}) = E _ {(0،0،1)} = z_3، ]

[ Phi (E _ {(0،0،1)}) = E _ {(0،1،1)} = z_2z_3، ]

[ Phi (E _ {(0،1،1)}) = E _ {(1،1،1)} = z_1z_2z_3، ]

[ Phi (E _ {(1،1،1)}) = E _ {(1،1،2)} = z_1z_2z_3 ^ 2، ]

[ bar {H_2} (E _ {(1،1،2)}) = E _ {(1،2،1)} = z_1z_2 ^ 2z_3 + z_1z_2z_3 ^ 2 ]

وحدات Demazure

في هذا القسم ، ندع ( mathfrak {g} ) جبر Kac-Moody المرتبط بمرجع Cartan (( mathfrak {h}، Pi، Pi ^ vee، P، P ^ vee) ). نحن نتابع عن كثب الفصل 2 من [1]. تذكر أن ( mathfrak {g} ) -module (V ) هو ملف وحدة الوزن إذا سمحت أ تحلل مساحة الوزن:

[V = bigoplus _ { mu in mathfrak {h} ^ *} V_ mu ]

أين

[V_ mu = {v in V ؛ | ؛ hv = mu (h) v ؛ ؛ نص {للجميع} ؛ ؛ ح في mathfrak {ح} ؛ } ]

المتجه (v in V_ mu ) يسمى a ناقلات الوزن من وزن ( mu ) إذا (e_i v = 0 ) للجميع (i in I ) ، (v ) يسمى ناقلات الوزن الأقصى. البعد ( dim V_ mu ) يسمى تعدد الوزن من ( مو ). عندما ( dim V_ mu

حرف من (V ) يعرف بأنه

[ text {ch} V = sum_ mu dim V_ mu e ^ mu ]

حيث (e ^ mu ) هي عناصر أساس رسمية لجبر المجموعة ( mathbb {F} [ mathfrak {h} ^ *] ) مع الضرب (e ^ lambda e ^ mu = e ^ { lambda + mu} ). نطلق على ( mathfrak {g} ) - module (V ) a أعلى وحدة وزن من أعلى وزن ( lambda in mathfrak {h} ^ * ) إذا كان هناك متجه غير صفري (v_ lambda in V ) بحيث

[e_iv_ lambda = 0 ؛ ؛ ؛ ؛ text {for all} i in I، ]

[h v_ lambda = lambda (h) v ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ text {للجميع} h in mathfrak {h}، ]

[V = U ( mathfrak {g}) v_ lambda ؛ ؛ ؛ ؛ ( text {or} U ^ -v_ lambda = V ؛)، ]

حيث نستخدم هنا التحلل (U ( mathfrak {g}) cong U ^ - otimes U ^ 0 otimes U ^ {+} ) للجبر الشامل المغلف لـ ( mathfrak {g} ) . العنصر ( Lambda in mathfrak {h} ^ * ) هو وزن متكامل سائد إذا كان ( Lambda ) ينتمي إلى المجموعة ،

[P ^ + = {؛ لامدا في ف ؛ | ؛ lambda (h_i) in mathbb {Z} _ { geq 0} ؛ ؛ text {for all} i in I } ]

الوزن الأعلى غير القابل للاختزال ( mathfrak {g} ) - الوحدات (V ( Lambda) ) حيث ( Lambda ) هو وزن متكامل سائد له خاصية خاصة لمولدات Chevalley (e_i ) و (f_i ) معدومون محليًا على (V ( Lambda) ). هذا يسمح لنا ببناء شكل آلي واضح المعالم

[ tau_i = ( exp f_i) ( exp (-e_i)) ( exp f_i) ]

حيث يتم إعطاء تأثير ( tau_i ) على مسافات الوزن بواسطة

[ tau_i V_ lambda = V_ {s_i lambda} ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ text {for all} i in I، ؛ lambda in text {wt} (V) ]

هنا يشير (s_i ) إلى منشئ مجموعة Weyl المرتبطة بـ ( mathfrak {g} ) بالفهرس (i ).

إذا ما زلنا نفترض أن ( Lambda ) هو وزن متكامل مسيطر ، (V = V ( Lambda) ) أعلى وزن فريد غير قابل للاختزال ( واسع النطاق { mathfrak {sl}} (n) ) - الوحدة ذات الوزن الأعلى ( Lambda ) ، ثم تولد مساحة الوزن (V_ {w ( Lambda)} ) الوزن (w ( Lambda) ) (U ^ + ( widehat {) mathfrak {sl}} (n) ) - الوحدة النمطية ، (E_w ( Lambda) ) والتي تسمى وحدة Demazure. لاحظ أن وحدات Demazure ذات أبعاد محدودة ، وأنها أيضًا تشكل ترشيحًا على (V ( Lambda) ) المتوافق مع ترتيب Bruhat في (W ):

[w leq w ' ؛ ؛ ؛ ؛ يدل ؛؛؛؛ E_w ( Lambda) subseteq E_ {w '} ( Lambda) ]

يمكننا أيضا تحديد مشغلي الديمازور التي تعمل على الحلقة الجماعية لشبكة الوزن (P ):

[ Delta_i = {1 - e ^ {- alpha_i} s_i over 1 - e ^ {- alpha_i}} ]

حيث (s_i ) هو الانعكاس البسيط في مجموعة Weyl فيما يتعلق بالجذر البسيط ( alpha_i ). إلى (w in W ) مع التحلل المنخفض (w = s_ {i_1} s_ {i_2} dots s_ {i_j} ) يمكننا بعد ذلك ربط عامل Demazure

[ Delta_ {w} = Delta_ {i_1} Delta_ {i_2} dots Delta_ {i_j} ] ،

هناك علاقة جيدة بين الشخصيات وعوامل Demazure التي قدمتها الصيغة [2]:

[ تشي (E_w ( Lambda)) = Delta_w (e ^ Lambda). ]

الاتصال

نسمح لـ ( Lambda_0، Lambda_1، dots، Lambda_ {n-1} ) أن تكون (n ) - الأوزان الأساسية لـ ( widehat { mathfrak {sl}} (n) ). تذكر أن هذه ( Lambda_i ) معرفة مثل (( Lambda_i، alpha_j) = delta_ {ij} ). أخيرا،

[ delta = sum ^ {n-1} _ {i = 0} alpha_i. ]

للاتصال بين (E_ lambda ) وشخصيات وحدات Demazure ، نريد ربط إجراء ( bar {H_i} ) و ( Phi ) بالمشغلين على (P ). وبشكل أكثر تحديدًا ، نرغب في رسم تخطيطي تبادلي

يمكننا الحصول على هذا من خلال تعريف ( pi: mathbb {Z} [q، q ^ {- 1}] [z_1، dots، z_n] rightarrow P ) على المولدات بواسطة

[ pi (z_i) = e ^ { Lambda_ {i-1} - Lambda_i} ، ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ pi (z_n) = e ^ { Lambda_ {n-1} - Lambda_0}، ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ pi (q) = e ^ {- delta}. ]

(لاحظ أن هذا التعريف يختلف قليلاً عن ذلك الموجود في الورقة). نحصل على مخطط تبادلي مماثل لـ ( Phi ):

النتيجة الرئيسية لـ [3] هي أنه من خلال تشابه الشكل ( pi ) ، يمكننا تحديد

[q ^ {- u ( lambda) + u ( eta _ { lambda})} E_ lambda ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ نص {مع} ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ تشي (E_w ( Lambda_i)) ]

حيث (u ( lambda) ) و ( eta _ { lambda} ) (هذا قسم) يعتمد فقط على ( lambda ) و (i = | lambda | text {mod} ؛ n ) وحيث (w ) هو عنصر مجموعة Weyl معين محدد بحيث يعمل (w ) على ( eta_ {| lambda |} ) لإعطاء ( lambda ).

مراجع

  1. جيه. هونج و س. ج. كانغ. مقدمة لمجموعات الكم والقواعد البلورية ، حجم 42 من الدراسات العليا في الرياضيات. الجمعية الأمريكية للرياضيات ، بروفيدنس ، RI ، 2002.
  2. S. Kumar ، صيغة شخصية Demazure في إعداد Kac-Moody التعسفي ، اخترع. رياضيات. 89 (1987), 395-423.
  3. Y. Sanderson ، حول العلاقة بين شخصيات Macdonald متعددة الحدود و Demazure ، J. الجبرية الجمع. 11 (2000) ، العدد 3 ، 269-275.

ماكدونالد متعدد الحدود وشخصيات ديمازور - رياضيات

اليوم 30 نوفمبر هو يوم AMS! انضم إلى احتفالنا بأعضاء AMS واستكشف العروض الخاصة على منشورات AMS والعضوية والمزيد. نهاية العروض الساعة 11:59 مساءً بتوقيت شرق الولايات المتحدة.

ISSN 1088-6850 (عبر الإنترنت) ISSN 0002-9947 (طباعة)

كثيرات حدود ماكدونالد غير المتماثلة وصقل متعدد حدود Kostka-Foulkes


تأليف: سامي عساف
المجلة: Trans. عامر. رياضيات. شركة 370 (2018), 8777-8796
MSC (2010): الابتدائية 33D52 الثانوية 05E05
DOI: https://doi.org/10.1090/tran/7374
تم النشر إلكترونيًا: 31 يوليو 2018
مراجعة MathSciNet: 3864395
PDF نص كامل

الخلاصة: درسنا تخصص متغيرات ماكدونالد غير المتماثلة من النوع A عند $ t = 0 $ بناءً على الصيغة التوافقية لـ Haglund و Haiman و Loehr. نثبت أن هذا التخصص يتوسع بشكل غير سلبي في كثيرات الحدود الأساسية للشرائح ، التي قدمها المؤلف وسيرلس. باستخدام هذا التكافؤ المزدوج الضعيف ، نثبت بشكل اندماجي أن هذا التخصص هو مجموع متدرج موجب لأحرف Demazure. نستخدم نتائج الثبات في كثيرات الحدود الأساسية للشرائح لإظهار أن هذا التخصص يستقر ولإظهار أن معاملات الأحرف Demazure تعطي تنقيحًا لكوستكا - فولكس متعدد الحدود.

  • بير الكسندرسون ومهتاب ساوهني ، خريطة حفظ فهرس رئيسي على الحشوات، إلكترون. ياء كومبين. 24 (2017) ، لا. 4 ، ورقة رقم 4.3 ، 30. MR 3711036، DOI https://doi.org/10.37236/6893
  • سامي عساف وآن شيلينغ بناء بلوري Demazure لكثيرات حدود Schubert، التوافقية الجبرية 1 (2018) ، لا. 2 ، 225 - 247.
  • سامي عساف ودومينيك سيرلز ، متعددات حدود شوبرت ، ومتعددة حدود الشرائح ، ووظائف ستانلي المتماثلة ، وأحلام كاذبة شبه اليمانوتشي، حال. رياضيات. 306 (2017) ، 89-122. السيد 3581299، DOI https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.10.015
  • سامي حسن عساف ضعف التكافؤ المزدوج لكثيرات الحدود، arXiv: 1702.04051.
  • سامي هايس عساف ، الرسوم البيانية المزدوجة التكافؤ ، الجداول الشريطية ومتعددة حدود ماكدونالد، ProQuest LLC، Ann Arbor، MI، 2007. أطروحة (دكتوراه) - جامعة كاليفورنيا ، بيركلي. السيد 2710706
  • سامي حسن عساف الرسوم البيانية المزدوجة التكافؤ الأول: نموذج جديد لإيجابية شور، منتدى الرياضيات. سيجما 3 (2015) ، ورقة رقم e12 ، 33. MR 3376739، DOI https://doi.org/10.1017/fms.2015.15
  • إيفان شيريدنيك ، كثيرات حدود ماكدونالد غير المتماثلة، إنترنات. رياضيات. الدقة. إشعارات 10 (1995) ، 483-515. السيد 1358032، DOI https://doi.org/10.1155/S1073792895000341
  • ميشيل ديمازور ، Désingularisation des variétés de Schubert généralisées، آن. علوم. مدرسة إيكول نورم. رشفة. (4) 7 (1974) ، 53-88 (الفرنسية). السيد 354697
  • ميشيل ديمازور ، Une nouvelle Formule des caractères، ثور. علوم. رياضيات. (2) 98 (1974) ، لا. 3 ، 163 - 172. السيد 430001
  • فرانسوا ديكوينز وألان لاسكو ، كثيرات حدود Hall-Littlewood غير المتماثلة، سيم. لوثار. كومبين. 54 أ (2005/07) ، الفن. B54Ar، 14. MR 2264938
  • إيرا إم جيسيل ، الأجزاء المتعددة $ P $ والمنتجات الداخلية لوظائف الانحراف Schur، التوافقية والجبر (بولدر ، كولورادو ، 1983) الرياضيات ، المجلد. 34 عامر. رياضيات. Soc.، Providence، RI، 1984، pp.289–317. السيد 777705، DOI https://doi.org/10.1090/conm/034/777705
  • A. M. Garsia و M. Haiman ، بعض الوحدات الطبيعية $ S_n $ و $ q و t $ -Kostka، إلكترون. ياء كومبين. 3 (1996) ، لا. 2 ، ورقة بحث 24 ، تقريبًا. 60. فواتا Festschrift. السيد 1392509
  • A. M. Garsia و C. Procesi ، على وحدات معينة متدرجة من $ S_n $ ومتعددة الحدود $ q $ -Kostka، حال. رياضيات. 94 (1992) ، لا. 1 ، 82-138. السيد 1168926، DOI https://doi.org/10.1016/0001-8708٪2892٪2990034-I
  • جيمس هاغلوند ، الأرقام الكاتالونية $ q $ و $ t $ ومساحة التوافقيات القطرية، سلسلة محاضرات الجامعة ، المجلد. 41، American Mathematical Society، Providence، RI، 2008. مع ملحق عن توافقات ماكدونالد متعدد الحدود. السيد 2371044
  • هاغلوند ، نموذج اندماجي لكثيرات حدود ماكدونالد، بروك. ناتل. أكاد. علوم. الولايات المتحدة الأمريكية 101 (2004) ، لا. 46 ، 16127–16131. السيد 2114585، DOI https://doi.org/10.1073/pnas.0405567101
  • مارك حيمان مخططات هيلبرت ، وأجهزة كشف الكذب وتخمين إيجابية ماكدونالد، ج. عامر. رياضيات. شركة14 (2001) ، لا. 4 ، 941-1006. السيد 1839919، DOI https://doi.org/10.1090/S0894-0347-01-00373-3
  • هاغلوند ، إم. هايمان ، ون. لوهر ، صيغة اندماجية لكثيرات حدود ماكدونالد، ج. عامر. رياضيات. شركة18 (2005) ، لا. 3 ، 735-761. السيد 2138143، DOI https://doi.org/10.1090/S0894-0347-05-00485-6
  • هاغلوند ، إم. هايمان ، ون. لوهر ، صيغة اندماجية لكثيرات حدود ماكدونالد غير المتماثلةعامر. J. الرياضيات. 130 (2008) ، لا. 2 ، 359-383. السيد 2405160، DOI https://doi.org/10.1353/ajm.2008.0015
  • بوجدان ايون غير متماثلة ماكدونالد متعدد الحدود وشخصيات ديمازور، ديوك ماث. ج. 116 (2003) ، لا. 2 ، 299-318. السيد 1953294، DOI https://doi.org/10.1215/S0012-7094-03-11624-5
  • بوجدان ايون القواعد القياسية للوحدات المكافئة الأفينية ومتعددة حدود ماكدونالد غير المتماثلة، J. الجبر 319 (2008) ، لا. 8 ، 3480–3517. السيد 2408328، DOI https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2007.07.029
  • ديفيد كازدان وجورج لوستيج ، تمثيلات مجموعات Coxeter و Hecke algebrasاخترع. رياضيات. 53 (1979) ، لا. 2 ، 165–184. السيد 560412، DOI https://doi.org/10.1007/BF01390031
  • فريدريش نوب وظائف تكوين Kostka، المجموعات الجبرية والفراغات المتجانسة، Tata Inst. الأموال. الدقة. عشيق. الرياضيات ، المجلد. 19 ، تاتا إنست. الأموال. الدقة ، مومباي ، 2007 ، ص 321–352. السيد 2348910
  • أكسل كونرت Weintrauben ، Polynome ، تابلوهبايرويت. رياضيات. Schr. 38 (1991) ، 1–97 (ألماني). أطروحة ، جامعة بايرويت ، بايرويت ، 1990. MR 1132534
  • فريدريش نوب و سيدهارتا ساهي ، عودية وصيغة اندماجية لكثيرات حدود جاكاخترع. رياضيات. 128 (1997) ، لا. 1 ، 9-22. السيد 1437493، DOI https://doi.org/10.1007/s002220050134
  • آلان لاسكو ومارسيل بول شوتزنبرغر ، Polynômes de Schubert، سي آر أكاد. علوم. باريس سير. أنا الرياضيات. 294 (1982) ، لا. 13 ، 447-450 (الفرنسية ، مع ملخص باللغة الإنجليزية). السيد 660739
  • آلان لاسكو ومارسيل بول شوتزنبرغر ، المفاتيح والقواعد القياسية أمبير، النظرية الثابتة والتابلوهات (مينيابوليس ، مينيسوتا ، 1988) IMA Vol. رياضيات. أبل ، المجلد. 19 ، سبرينغر ، نيويورك ، 1990 ، ص 125 - 144. السيد 1035493
  • آي جي ماكدونالد ، فئة جديدة من الوظائف المتماثلة، Actes du 20e Seminaire Lotharingien 372 (1988), 131–171.
  • آي جي ماكدونالد ، الدوال المتماثلة و Hall كثيرات الحدود، الطبعة الثانية ، دراسات أكسفورد الرياضية ، مطبعة كلارندون ، مطبعة جامعة أكسفورد ، نيويورك ، 1995. بمساهمة من منشورات أ. زيليفنسكي أكسفورد للعلوم. السيد 1354144
  • آي جي ماكدونالد ، Hecke الجبر و كثيرات الحدود المتعامدة، Astérisque 237 (1996) ، إكسب. رقم 797 ، 4 ، 189-207. سمينير بوربكي ، المجلد. 1994/95. السيد 1423624
  • إس. ميسون ، بناء صريح لذرات الديمازور من النوع أ، J. الجبرية الجمع. 29 (2009) ، لا. 3 ، 295-313. السيد 2496309، DOI https://doi.org/10.1007/s10801-008-0133-4
  • إريك م. تحليل توافقي لبعض تمثيلات جبر Hecke المتدرج، اكتا ماث. 175 (1995) ، لا. 1 ، 75-121. السيد 1353018، DOI https://doi.org/10.1007/BF02392487
  • أوستن روبرتس ، حول توسع Schur في Hall-Littlewood ومتعددة الحدود ذات الصلة عبر كلمات Yamanouchi، إلكترون. ياء كومبين. 24 (2017) ، لا. 1 ، ورقة رقم 1.57 ، 30. MR 3651939
  • فيكتور راينر ومارك شيموزونو ، كثيرات الحدود الرئيسية وقاعدة ليتلوود-ريتشاردسون المعلَّمة، ياء كومبين. نظرية سر. أ 70 (1995) ، لا. 1 ، 107–143. السيد 1324004، DOI https://doi.org/10.1016/0097-3165٪2895٪2990083-7
  • ياسمين ب. ساندرسون حول العلاقة بين ماكدونالد كثيرات الحدود وشخصيات ديمازور، J. الجبرية الجمع. 11 (2000) ، لا. 3 ، 269–275. السيد 1771615، DOI https://doi.org/10.1023/A٪3A1008786420650
    مراجع
  • بير الكسندرسون ومهتاب ساوهني ، خريطة حفظ فهرس رئيسي على الحشوات، إلكترون. ياء كومبين. 24 (2017) ، لا. 4 ، ورقة 4.3 ، 30. MR 3711036
  • سامي عساف وآن شيلينغ بناء بلوري Demazure لكثيرات حدود Schubert، التوافقية الجبرية 1 (2018) ، لا. 2 ، 225 - 247.
  • سامي عساف ودومينيك سيرلز ، متعددات حدود شوبرت ، ومتعددة حدود الشرائح ، ووظائف ستانلي المتماثلة ، وأحلام كاذبة شبه اليمانوتشي، حال. رياضيات. 306 (2017) ، 89-122. السيد 3581299
  • سامي حسن عساف ضعف التكافؤ المزدوج لكثيرات الحدود، arXiv: 1702.04051.
  • سامي هايس عساف ، الرسوم البيانية المزدوجة التكافؤ ، الجداول الشريطية ومتعددة حدود ماكدونالد، ProQuest LLC ، آن أربور ، ميشيغان. أطروحة (دكتوراه) - جامعة كاليفورنيا ، بيركلي ، 2007. MR 2710706
  • سامي حسن عساف الرسوم البيانية المزدوجة التكافؤ الأول: نموذج جديد لإيجابية شور، منتدى الرياضيات. سيجما 3 (2015)، e12، 33. MR 3376739
  • إيفان شيريدنيك ، كثيرات حدود ماكدونالد غير المتماثلة، إنترنات. رياضيات. الدقة. إشعارات 10 (1995) ، 483-515. السيد 1358032
  • ميشيل ديمازور ، Désingularisation des variétés de Schubert généralisées، مجموعة مقالات مخصصة لهنري كارتان بمناسبة عيد ميلاده السبعين ، أنا ، آن. علوم. مدرسة إيكول نورم. رشفة. (4) 7 (1974) ، 53-88 (الفرنسية). السيد 0354697
  • ميشيل ديمازور ، Une nouvelle Formule des caractères، ثور. علوم. رياضيات. (2) 98 (1974) ، لا. 3 ، 163 - 172. السيد 0430001
  • فرانسوا ديكوينز وألان لاسكو ، كثيرات حدود Hall-Littlewood غير المتماثلة، سيم. لوثار. كومبين. 54 أ (2005/07) ، الفن. B54Ar، 14. MR 2264938
  • إيرا إم جيسيل ، الأجزاء المتعددة $ P $ والمنتجات الداخلية لوظائف الانحراف Schur، التوافقية والجبر (بولدر ، كولورادو ، 1983) الرياضيات ، المجلد. 34 عامر. رياضيات. Soc.، Providence، RI، 1984، pp.289–317. السيد 777705
  • A. M. Garsia و M. Haiman ، بعض الوحدات الطبيعية $ S_n $ و $ q و t $ -Kostka، فواتا فيستشرفت ، إلكترون. ياء كومبين. 3 (1996) ، لا. 2 ، ورقة بحث 24 ، تقريبًا. 60- السيد 1392509
  • A. M. Garsia و C. Procesi ، على وحدات معينة متدرجة من $ S_n $ ومتعددة الحدود $ q $ -Kostka، حال. رياضيات. 94 (1992) ، لا. 1 ، 82-138. السيد 1168926
  • جيمس هاغلوند ، الأرقام الكاتالونية $ q $ ، $ t $ ، ومساحة التوافقيات القطرية ، مع ملحق على التوليفات الخاصة بـ Macdonald متعدد الحدود ، سلسلة محاضرات الجامعة ، المجلد. 41، American Mathematical Society، Providence، RI، 2008. مع ملحق عن توافقات ماكدونالد متعدد الحدود. السيد 2371044
  • هاغلوند ، نموذج اندماجي لكثيرات حدود ماكدونالد، بروك. ناتل. أكاد. علوم. الولايات المتحدة الأمريكية 101 (2004) ، لا. 46 ، 16127–16131. السيد 2114585
  • مارك حيمان مخططات هيلبرت ، وأجهزة كشف الكذب وتخمين إيجابية ماكدونالد، ج. عامر. رياضيات. شركة 14 (2001) ، لا. 4 ، 941-1006. السيد 1839919
  • هاغلوند ، إم. هايمان ، ون. لوهر ، صيغة اندماجية لكثيرات حدود ماكدونالد، ج. عامر. رياضيات. شركة 18 (2005) ، لا. 3 ، 735-761. السيد 2138143
  • هاغلوند ، إم. هايمان ، ون. لوهر ، صيغة اندماجية لكثيرات حدود ماكدونالد غير المتماثلةعامر. J. الرياضيات. 130 (2008) ، لا. 2 ، 359-383. السيد 2405160
  • بوجدان ايون غير متماثلة ماكدونالد متعدد الحدود وشخصيات ديمازور، ديوك ماث. ج. 116 (2003) ، لا. 2 ، 299-318. السيد 1953294
  • بوجدان ايون القواعد القياسية للوحدات المكافئة الأفينية ومتعددة حدود ماكدونالد غير المتماثلة، J. الجبر 319 (2008) ، لا. 8 ، 3480–3517. السيد 2408328
  • ديفيد كازدان وجورج لوستيج ، تمثيلات مجموعات Coxeter و Hecke algebrasاخترع. رياضيات. 53 (1979) ، لا. 2 ، 165–184. السيد 560412
  • فريدريش نوب وظائف تكوين Kostka، المجموعات الجبرية والفراغات المتجانسة، Tata Inst. الأموال. الدقة. عشيق. الرياضيات ، المجلد. 19 ، تاتا إنست. الأموال. الدقة ، مومباي ، 2007 ، ص 321–352. السيد 2348910
  • أكسل كونرت Weintrauben ، Polynome ، تابلوه، أطروحة، جامعة بايرويت، 1990، بايرويت. رياضيات. Schr. 38 (1991) ، 1–97 (ألماني). السيد 1132534
  • فريدريش نوب و سيدهارتا ساهي ، عودية وصيغة اندماجية لكثيرات حدود جاكاخترع. رياضيات. 128 (1997) ، لا. 1 ، 9-22. السيد 1437493
  • آلان لاسكو ومارسيل بول شوتزنبرغر ، Polynômes de Schubert، سي آر أكاد. علوم. باريس سير. أنا الرياضيات. 294 (1982) ، لا. 13 ، 447-450 (الفرنسية ، مع ملخص باللغة الإنجليزية). السيد 660739
  • آلان لاسكو ومارسيل بول شوتزنبرغر ، المفاتيح والقواعد القياسية أمبير، النظرية الثابتة والتابلوهات (مينيابوليس ، مينيسوتا ، 1988) IMA Vol. رياضيات. أبل ، المجلد. 19 ، سبرينغر ، نيويورك ، 1990 ، ص 125 - 144. السيد 1035493
  • آي جي ماكدونالد ، فئة جديدة من الوظائف المتماثلة، Actes du 20e Seminaire Lotharingien 372 (1988), 131–171.
  • آي جي ماكدونالد ، الدوال المتماثلة و Hall كثيرات الحدود، الطبعة الثانية ، دراسات أكسفورد الرياضية ، مطبعة كلارندون ، مطبعة جامعة أكسفورد ، نيويورك ، 1995. بمساهمة من منشورات أ. زيليفنسكي أكسفورد للعلوم. السيد 1354144
  • آي جي ماكدونالد ، Hecke الجبر و كثيرات الحدود المتعامدة، سمينير بوربكي ، المجلد. 1994/95، Astérisque (1996) ، لا. 237 ، إكسب. رقم 797 ، 4 ، 189-207. السيد 1423624
  • إس. ميسون ، بناء صريح لذرات الديمازور من النوع أ، J. الجبرية الجمع. 29 (2009) ، لا. 3 ، 295-313. السيد 2496309
  • إريك م. تحليل توافقي لبعض تمثيلات جبر Hecke المتدرج، اكتا ماث. 175 (1995) ، لا. 1 ، 75-121. السيد 1353018
  • أوستن روبرتس ، حول توسع Schur في Hall-Littlewood ومتعددة الحدود ذات الصلة عبر كلمات Yamanouchi، إلكترون. ياء كومبين. 24 (2017) ، لا. 1 ، ورقة 1.57 ، 30. MR 3651939
  • فيكتور راينر ومارك شيموزونو ، كثيرات الحدود الرئيسية وقاعدة ليتلوود-ريتشاردسون المعلَّمة، ياء كومبين. نظرية سر. أ 70 (1995) ، لا. 1 ، 107–143. السيد 1324004
  • ياسمين ب. ساندرسون حول العلاقة بين ماكدونالد كثيرات الحدود وشخصيات ديمازور، J. الجبرية الجمع. 11 (2000) ، لا. 3 ، 269–275. السيد 1771615

استرجع المقالات بتنسيق معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية مع MSC (2010): 33D52 ، 05E05

استرجع المقالات في جميع المجلات باستخدام MSC (2010): 33D52 ، 05E05

سامي عساف
الانتماء: قسم الرياضيات ، جامعة جنوب كاليفورنيا ، 3620 S. Vermont Avenue ، Los Angeles ، California 90089-2532
MR معرف المؤلف: 775302
بريد إلكتروني: [email protected]

الكلمات المفتاحية: متعددو حدود ماكدونالد ، حروف ديمازور ، كثيرات حدود كوستكا-فولكس
تم استلامه بواسطة المحرر (المحررون): 7 آذار (مارس) 2017
تم استلامه من قبل المحرر (المحررون) بالصيغة المعدلة: 9 مارس 2017 و 16 أغسطس 2017
تم النشر إلكترونيًا: 31 يوليو 2018
حقوق الطبع والنشر المادة: ونسخ حقوق النشر 2018 بواسطة سامي عساف


ماكدونالد متعدد الحدود ووحدات ديمازور للمستوى الثاني للغة الأفينية sl (n + 1)

نتيجة مهمة بسبب Sanderson و Ion تقول أن شخصيات المستوى الأول من وحدات Demazure هي متخصّصة متعددة الحدود لماكدونالد. في هذا الحديث ، سأقدم فئة جديدة من كثيرات الحدود المتماثلة المفهرسة بواسطة زوج من الأوزان السائدة $ sl_$ والتي يتم التعبير عنها كمزيج خطي من متماثل متماثل متخصص متعدد حدود ماكدونالد مع معاملات محددة بشكل تكراري. نشأت كثيرات الحدود هذه في عملي الخاص أثناء تحري شخصيات وحدات Demazure ذات المستوى الأعلى. باستخدام نظرية التمثيل ، سنرى أن هذه العائلة الجديدة من كثيرات الحدود تقحم بين الأحرف من المستوى الأول والمستوى الثاني من وحدات Demazure من أجل affine $ sl_$ وتؤدي إلى نتائج جديدة في نظرية التمثيل للجبر الحالية كنتيجة طبيعية. يعتمد هذا على العمل المشترك مع Vyjayanthi Chari و Peri Shereen و Jeffrey Wand.

منطقة البحوث


متعدد حدود ماكدونالد ووحدات ديمازور للمستوى الثاني للوحدات الأفينية sl n + 1

نحدد عائلة من كثيرات الحدود المتماثلة G ν، λ (z 1،…، z n + 1، q) مفهرسة بزوج من الأوزان المتكاملة السائدة لنظام جذر من النوع A n. كثير الحدود G ν ، 0 (z ، q) هو متعدد الحدود لماكدونالد P ν (z ، q ، 0) ومن المعروف أنه الحرف المتدرج لوحدة ديمازور من المستوى الأول المرتبطة بجبر الكذب الأفيني sl ˆ n + 1 . لقد أثبتنا أن G 0، λ (z، q) هي الحرف المتدرج لوحدة المستوى الثاني من Demazure للوحدة النمطية sl ˆ n + 1. في ظل الظروف المناسبة في (ν ، λ) (التي تنطبق على الأزواج (، 0) و (0 ، λ)) نثبت أن G ν ، λ (z ، q) موجبة من Schur ، أي يمكن كتابتها كـ مزيج خطي من متعدد حدود Schur مع معاملات في Z + [q]. نثبت أيضًا أن P ν (z ، q ، 0) عبارة عن مجموعة خطية من العناصر G 0 ، λ (z ، q) مع كون المعاملات في الأساس منتجات فذات حدين. جنبًا إلى جنب مع نتيجة K. Naoi ، كانت نتيجة نتيجتنا هي صيغة صريحة لكثيرات حدود ماكدونالد المتخصصة المرتبطة بجبر ليب غير بسيط كمجموعة خطية من المستوى الأول لأحرف ديمازور من الجبر غير المبسط.


كثيرات الحدود من التوافقية $ K $ -نظرية

نقدم قاعدتين جديدتين لحلقة كثيرات الحدود وندرس علاقاتهما بالقواعد المعروفة. الأساس الأول هو أساس شبه Lascoux ، والذي يكون في نفس الوقت أ $ K $ - التشوه النظري لأساس شبه المفتاح وأيضًا رفع $ K $ -التناظرية لأساس شبه شور من متعدد الحدود شبه المتماثل إلى كثيرات الحدود العامة. نعطي توسعات إيجابية لأساس شبه Lascoux في قواعد انزلاق و Lascoux الذرية ، بالإضافة إلى توسيع إيجابي لأساس Lascoux إلى أساس شبه Lascoux. كحالة خاصة ، تقدم هذه التوسعات الدليل الأول على أن $ K $ - تتوسع نظائر كثيرات الحدود شبه-شور بشكل إيجابي في متعددات الحدود شبه المتماثلة متعددة الجوانب لكل من T. Lam و P. Pylyavskyy.

الأساس الجديد الثاني هو أساس الكاون ، أ $ K $ - التشوه النظري لأساس الجسيم الأساسي. نعطي توسعات إيجابية لقواعد ذرة الانزلاق ولاسكو في قاعدة الكاون هذه.

طوال الوقت ، نستكشف كيف العلاقات بين هؤلاء تعكس نظائرها $ K $ العلاقات بين نظيراتها المتجانسة. نجري العديد من التخمينات "للمجموع المتناوب" التي توحي بحسابات خصائص أويلر.


يقع مكتب قسم الرياضيات في الطابق الرابع (العلوي) من مختبر ديفيد ريتنهاوس ("DRL"). يقع المبنى في 209 South 33rd Street (الزاوية الجنوبية الشرقية من شارع 33 وشارع Walnut). لاحظ أن شارع 33 يسير في اتجاه واحد شمال بينما يعمل الجوز في اتجاه واحد غرب .

الحافلات المحلية والقطارات أمبير

الخرائط والاتجاهات

نحن على بعد حوالى 15 دقيقة سيرا من محطة شارع 30 الرئيسية وعلى بعد 5 دقائق من محطة قطار المدينة الجامعية في 32nd and Spruce (= South Street & amp Convention Avenue). آت من عند المطار بالقطار (حوالي 15 دقيقة): محطة قطار المدينة الجامعية هي المحطة الثانية بعد مغادرة المطار.

إذا كنت تقود ، فإن الأكثر ملاءمة مواقف السيارات العامة يقع في ساحة الدفع التي يقع مدخلها في الشارع 34 بين شارعي Market و Chestnut.


ماكدونالد متعدد الحدود وشخصيات ديمازور - رياضيات

هذه هي الورقة الأولى من بين ثلاث ورقات تقوم بتطوير الهياكل التي يتم حسابها من خلال تعميم "مكافئ" للأرقام الكاتالونية. أصلح مجموعة فرعية R من <1. ن -1>. ضع في اعتبارك الأقسام المرتبة <1. n> التي يتم تحديد أحجام كتلتها بواسطة R. هذه هي "انعكاسات" التعددية (القطع المكافئ) التي يتم تحديد تعددها بواسطة R. ويشار إلى الأشكال القياسية للأقسام المرتبة على أنها "تباديل R". يمتد مفهوم تجنب 312 من التباديل إلى التباديل R. لنفترض أن لامدا قسم من N بحيث تكون مجموعة أطوال الأعمدة في شكلها هي R أو R union . إصلاح R- التقليب بي. الحرف من النوع A Demazure (متعدد الحدود الرئيسي) في x_1 ،. يمكن وصف x_n المفهرس بواسطة lambda و pi كمجموع أحاديات الوزن لبعض من لوحة الشباب شبه القياسية لشكل لامدا والتي تُستخدم لوصف دالة شور المفهرسة بواسطة لامدا. تُستخدم أوصاف لوحات "Demazure" التي طورها المؤلفون في أوراق سابقة لإثبات أن مجموعة هذه اللوحات محدبة في Z ^ N إذا وفقط إذا كانت pi هي R-312 - تتجنب إذا وفقط إذا كانت مجموعة اللوحات هي كامل المثالية الرئيسية الناتجة عن مفتاح باي. استلهمت هذه الأوراق من نتائج Reiner و Shimozono وبوستنيكوف وستانلي فيما يتعلق بالصدفة بين شخصيات Demazure ووظائف Schur التي تحمل الأعلام. يتم استخدام نتيجة التحدب هذه في الورقة التالية لتعميق تلك النتائج من مستوى كثيرات الحدود إلى مستوى مجموعات اللوحات. يتم تعريف رقم R-parabolic Catalan بأنه عدد التباديل R-312 الذي يتجنب. تتم إعادة صياغة هذه التباديل R الخاصة كسلاسل "R- أقصى اليمين حذف" من مجموعات فرعية من <1. n> وباعتبارها "مجموعات R- بلا فجوة" ، تظهر n-tuples الأخيرة في سياقات متعددة في هذه الأوراق.


ماكدونالد متعدد الحدود وشخصيات ديمازور - رياضيات

فيجايانثي شاري ، ليزا شنايدر ، بيري شيرين وجيفري واند
قسم الرياضيات ، جامعة كاليفورنيا ، ريفرسايد ، كاليفورنيا 92521 ، الولايات المتحدة الأمريكية

تم الاستلام في 22 أكتوبر 2013 ، بشكل نهائي في 17 مارس 2014 ، نُشر على الإنترنت في 27 مارس 2014

الملخص
في هذا البحث ندرس عائلة تمثيلات متدرجة الأبعاد محدودة للجبر الحالي لـ $ mathfrak_2 $ المفهرسة بواسطة أقسام. نوضح أن هذه التمثيلات تسمح بعلم حيث تكون حواجز القسمة المتتالية هي وحدات Demazure والتي تحدث في مستوى $ ell $ - وحدة قابلة للتكامل مقابل $ A_1 ^ 1 $ طالما أن $ ell $ كبير. نحن نربط بكل قسم ولكل $ ell $ رسم بياني موجه ذي علامة الحافة والذي يسمح لنا أن نصف بطريقة اندماجية التعددية المتدرجة لوحدة مستوى معينة $ ell $ -Demazure في الترشيح. في الحالة الخاصة للقسم $ 1 ^ s $ و $ ell = 2 $ ، نعطي صيغة مغلقة للتعددية المتدرجة لوحدات Demazure من المستوى الثاني في وحدة المستوى الأول Demazure. كتطبيق ، نستخدم النتيجة جنبًا إلى جنب مع نتائج Naoi و Lenart et al. ، لإعطاء طابع $ mathfrakوحدة Demazure من المستوى الأول $ -stable المرتبطة بـ $ B_n ^ 1 $ كمزيج واضح من متعددات حدود ماكدونالد المتخصصة بشكل مناسب. في حالة $ mathfrak_2 $ ، نقوم أيضًا بدراسة ترشيح وحدة Demazure من المستوى الثاني من خلال وحدات المستوى الثالث Demazure وحساب تعدد الترشيح العددي وإظهار أن المضاعفات المتدرجة مرتبطة بـ (متغيرات) سلسلة ثيتا الجزئية.


الدوال المتماثلة و Hall متعدد الحدود

هذه نسخة ذات غلاف ورقي للطبعة الثانية الموسعة للغاية من دراسة البروفيسور ماكدونالدز المشهورة حول الدوال المتماثلة ومتعددة الحدود للقاعة. يحتوي كل فصل تقريبًا على أقسام جديدة وقد تم تضمين أمثلة جديدة طوال الوقت. تتضمن المواد الإضافية في ملحق الفصل 1 ، على سبيل المثال ، حسابًا للنظرية ذات الصلة للتمثيلات متعددة الحدود للمجموعات الخطية العامة (دائمًا في الخاصية الصفرية). الفصلان 6 و 7 جديدان في الإصدار الثاني: يحتوي الفصل 6 على وصف موسع لعائلة من الوظائف المتماثلة اعتمادًا بشكل منطقي على معلمتين. تتضمن هذه الوظائف المتماثلة كحالات خاصة العديد من تلك التي تمت مواجهتها سابقًا في الكتاب ولكنها تتضمن أيضًا ، كحالة مقيدة ، وظائف جاك المتماثلة اعتمادًا على معلمة (العديد من خصائص وظائف Schur تُعمم على هذه الوظائف المتماثلة ذات المعلمتين ، لكن البراهين (في الوقت الحاضر) عادة ما تكون أكثر تفصيلاً.الفصل السابع مخصص لدراسة كثيرات الحدود النطاقية ، المألوفة للإحصائيين منذ فترة طويلة. من وجهة نظر واحدة ، فإنهم يمثلون حالة خاصة لوظائف جاك المتماثلة (المعامل (يساوي 2) لكن روابطهم الاندماجية والجماعية النظرية تجعلهم جديرين بالدراسة في حد ذاتها.

من مراجعات الطبعة الأولى: 'على الرغم من كمية المواد العظيمة من هذا القبيل الاهتمام المحتمل لعلماء الرياضيات. تظل نظرية الوظائف المتماثلة غير معروفة للأشخاص الذين من المرجح أن تستفيد منهم. نأمل أن يضع هذا الكتاب المكتوب بشكل جميل حداً لهذا الوضع. ليس لدي شك في أن هذا الكتاب سيصبح المرجع النهائي للوظائف المتماثلة وتطبيقاتها.
نشرة AMS
". بالإضافة إلى تقديم سرد قائم بذاته ومتماسك للعمل المعروف والكلاسيكي ، هناك قدر كبير من الأعمال الأصلية. الكتاب مليء بالأحجار الكريمة القديمة والجديدة. إنه حجم كبير وقيِّم وسيتم اعتباره المصدر الموثوق الذي طال انتظاره هذا الموضوع.' مراجعات كتاب LMS
من مراجعات الطبعة الثانية: "من الواضح أن هذه الطبعة الثانية ستكون المصدر والكتاب المرجعي للوظائف المتماثلة في المستقبل القريب." bl. رياضيات.


نموذج اندماجي لكثيرات حدود ماكدونالد

نقدم كثير الحدود & # x043 & # x0303 & # x003bc[ض ف ، ت] ، اعتمادًا على مجموعة من المتغيرات ض = ض1, ض2. قسم & # x003bc ، ومعلمتان إضافيتان ف ، ت. تعريف & # x043 & # x0303 & # x003bc يتضمن زوجًا من الإحصائيات (maj (& # x003c3، & # x003bc)، inv (& # x003c3، & # x003bc)) على الكلمات & # x003c3 من الأعداد الصحيحة الموجبة ، ومعاملات ضأنا بشكل واضح في. نحن نخمن ذلك & # x043 & # x0303 & # x003bc[ض ف ، ت] ليس سوى كثير حدود ماكدونالد المعدل & # x048 & # x0303 & # x003bc[ض ف ، ت]. نقدم كذلك عائلة عامة من كثيرات الحدود Fتي[ض ف ، س]، أين تي هي مجموعة عشوائية من المربعات في الربع الأول من س ص الطائرة و س هي مجموعة فرعية تعسفية من تي. معاملات Fتي[ض ف ، س] في و & # x043 & # x0303 & # x003bc[ض ف ، ت] مجموع مؤكد Fتي[ض ف ، س] مرات القوى غير السلبية ر. نثبت Fتي[ض ف ، س] متماثل في ضأنا ويفي بخصائص أخرى تتفق مع التخمين. نوضح أيضًا كيفية معامل المونومال في Fتي[ض ف ، س] يمكن التعبير عنها بشكل متكرر. تشير حسابات القيقب إلى Fتي[ض ف ، س] إيجابية Schur ، ونقدم تخمينًا اندماجيًا لمعاملات Schur الخاصة بهم عندما تكون المجموعة تي عبارة عن قسم به ثلاثة أعمدة كحد أقصى.

أنا إحالة القارئ إلى الفصل 1 من المرجع. 1 أو الفصل 7 من المرجع. 2 للحقائق الأساسية حول الدوال المتماثلة. إعطاء تسلسل & # x003bc = (& # x003bc1، & # x003bc2. ) من الأعداد الصحيحة غير المتزايدة وغير السالبة مع & # x02211أنا & # x003bcأنا = ن، نقول إن & # x003bc قسم من ن، يُرمز إليها إما | & # x003bc | = ن أو & # x003bc & # x022a2 ن. By adding or subtracting parts of size 0 if necessary, we will always assume partitions of ن have exactly ن parts. We let η(μ) = ∑أنا(أنا - 1)μأنا, and if λ is another partition, set K ̃ λ,μ(q, t) = ر η(μ) كλ,μ(ف, 1/ر), where كλ,μ(q, t) is Macdonald's q, t-Kostka polynomial (ref. 1, p. 354). We call H ̃ μ[ض q, t] = ∑λ⊢|μ| سλ K ̃ λ,μ(q, t) the modified Macdonald polynomial, where سλ = سλ[ض] is the Schur function and the sum is over all λ ⊢|μ|. ال H ̃ μ[ض q, t] can be easily transformed by a plethystic substitution into Macdonald's original symmetric functions صμ[ض q, t]. Macdonald defined the صμ in terms of orthogonality with respect to a scalar product, and conjectured . (ref. 1, p. 355). [From their definition, all one can infer is that the كλ,μ(q, t) are rational functions in q, t.] He also posed the problem of finding a combinatorial rule to describe these polynomials.

Garsia and Haiman (3) introduced an سن module الخامس(μ) for each μ ⊢ ن, and posed the ن! conjecture, which says that dimس الخامس(μ) equals ن!, where dim is the dimension as a vector space. This was proved in 2000 by Haiman (4). It had previously been shown (5) that the ن! conjecture implies that the coefficient of q i t ي في K ̃ λ,μ(q, t) equals the multiplicity of the irreducible سن character χ λ in the character of a submodule الخامس(μ) (أنا,ي) of الخامس(μ). Macdonald's conjecture that follows. No purely combinatorial description of the K ̃ λ,μ(q, t) is known.

We assign (row,column) coordinates to lattice squares in the first quadrant by switching the (س ، ص) coordinates of the lower left corner of the square, so the lower-left square has coordinates (0, 0), the square above it (1, 0), etc.. For a square ث, we call the first coordinate of ث the row value of ث, denoted row (ث), and the second coordinate of ث the column value of ث, denoted col(ث). Given μ ⊢ ن, we let μ also stand for the Ferrers diagram of μ (French convention), consisting of the set of ن squares with coordinates (i, j), with 0 ≤ أنان - 1, 0 ≤ ي ≤ μأنا - 1.

يترك تي be a finite set of squares in the first quadrant. A subset of تي consisting of all those ثتي with a given row value is called a row of تي, and a subset of squares of تي consisting of all those ثتي with a given column value is called a column of تي. Furthermore, we let تي(أنا) denote the أناth square of تي encountered if we read across rows from left to right, starting with the squares of largest row value and working downward. Given a square ثتي, define the leg of ث, denoted leg(ث), to be the number of squares in تي that are strictly above and in the same column as ث, and the arm of ث, denoted arm(ث), to be the number of squares in تي strictly to the right and in the same row as ث. أيضا إذا ث has coordinates (i, j), we let south(ث) denote the square with coordinates (أنا - 1, ي).

Let Des(σ, تي) denote the set of all descents of (σ, تي). For partitions μ, define a generalized major index statistic maj(σ, μ) via


References

  1. [1] M. DEMAZURE, Désingularisation des variétés de Schubert généralisées (Ann. scient. Éc. Norm. sup., T. 6, Sect. 2, 1974, pp. 53-88).Zbl0312.14009MR354697
  2. [2] M. DEMAZURE, Une nouvelle formule des caractères (Bull. Sci. Math., T. 98, 1974, pp. 163-172). Zbl0365.17005MR430001
  3. [3] J. DIXMIER, Algèbres enveloppantes (cahiers scientifique Vol. XXXVII, Gauthier-Villars, Paris, 1973). Zbl0308.17007MR498737
  4. [4] A. JOSEPH, On the Variety of a Highest Weight Module (J. Algebra). Zbl0539.17006MR741942
  5. [5] A. JOSEPH, Completion Functors in the O Category in Lecture notes in mathematics, No. 1020, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York, 1983. Zbl0518.17004MR733462
  6. [6] A. JOSEPH, Application de la théorie des anneaux aux algèbres enveloppantes, mimeographed notes, Paris 1981.
  7. [7] A. JOSEPH, The Enright Functor on the Bernstein-Gelfand-Gelfand Category O (Invent. Math., Vol. 67, 1982, pp. 423-445).Zbl0502.17006MR664114
  8. [8] M. DEMAZURE, A Very Simple Proof of Bott's Theorem (Invent. Math., Vol. 33 1976, pp. 271-272).Zbl0383.14017MR414569
  9. [9] A. JOSEPH, Goldie Rank in the Enveloping Algebra of a Semisimple Lie Algebra, III (J. Alg., Vol. 73, 1981, pp. 295-326). Zbl0482.17002MR640039
  10. [10] O. GABBER and A. JOSEPH, Towards the Kazhdan-Lusztig Conjecture (Ann. scient. Ec. Norm. Sup., T. 14, 1981, pp. 261-302).Zbl0476.17005MR644519
  11. [11] I. N. BERNSTEIN, I. M. GELFAND and S. I. GELFAND, Schubert Cells and Cohomology of the Spaces G/P (Uspekhi Matemat. Nauk Vol. 28, 1973, pp. 3-26 Eng. transl. Russian mathematical Surveys, Vol. 28, 1973, pp. 3-26). Zbl0289.57024MR429933
  12. [12] B. KOSTANT, Lie Algebra Cohomology and the Generalized Borel-Weil Theorem (Ann. Math., Vol. 74, 1961, pp. 329-387). Zbl0134.03501MR142696
  13. [13] J.-L. VERDIER, Categories derivées, In SGA 41/2, Cohomologie Etale, LN 569, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York, 1977. Zbl0407.18008MR463174
  14. [14] M. F. ATIYAH and I. G. MACDONALD, Introduction to Commutative Algebra, Adison-Wesley, London, 1969. Zbl0175.03601MR39 #4129


شاهد الفيديو: الارمى لما يتقبلوا فى ماكدونالدز. جين اذا يصير بائع. #BTS (شهر نوفمبر 2021).