مقالات

متعدد حدود ماكدونالد غير المتماثل - الرياضيات


خلفية

نظرًا لأننا سنقتصر على (GL_n ) ، فإننا نعتبر شبكة الوزن (X = mathbb {Z} ^ n ) ، ذات الجذور البسيطة ( alpha_i = e_i - e_ {i + 1} ) ، حيث (e_i ) هو (i ) - متجه الوحدة رقم. لذلك ، فإن الأوزان السائدة هي ( langle lambda ، alpha_i ^ { vee} rangle geq 0 ) لجميع (i ) وهي أقسام.

شبكة الوزن الأفيني هي ( widehat {X} = X oplus mathbb {Z} delta ) حيث ( delta ) هو أصغر جذر تخيلي إيجابي ، أو جذر فارغ. الجذر الإضافي البسيط هو ( alpha_0 = delta - theta ) حيث ( theta = e_1 - e_n ) هو أعلى جذر لـ (GL_n ). الجذور الإيجابية هي ( widehat {R} _ + = {e_i - e_j + k delta mid i neq j، k> 0، text {and if} i> j، k> 0 } ). نشير إلى (x ^ { delta} = q ) ، لذلك (x ^ { alpha_i} = x_i / x_ {i + 1} ) و (x ^ { alpha_0} = q x_1 / x_n ). لذلك فإن المجموعة الحلقية ( mathbb {Q} (t) Widehat {X} subseteq mathbb {Q} (q، t) X ) عن طريق توسيع الحجميات.

المنتج الداخلي الذي نريده هو منتج Cherednik الداخلي على ( mathbb {Q} (q، t) X ) مُعطى بواسطة [ langle f، g rangle_ {q، t} = [x ^ 0] (f bar {g} Delta_1) ] حيث ( bar { cdot} ) هو الارتداد المقدم من ( bar {q} = q ^ {- 1}، bar {t} = t ^ {- 1}، bar {x} _i = x_i ^ {- 1} ) و ( Delta_1 = Delta / ([x ^ 0] ( Delta) ) مع [ Delta = prod _ { alpha in widehat {R} _ +} dfrac {1 - x ^ { alpha}} {1 - tx ^ { alpha}} = prod_ {i

ال ترتيب Bruhat يُعطى on (X ) بالتعريف بـ ( widehat {W} / W_0 ) حيث (W_0 = S_n ) هي مجموعة Weyl المكونة من (GL_n ) و ( widehat {W} = W_0 ltimes X ) هي مجموعة Weyl الممتدة المجهزة بترتيب Bruhat المعتاد. صراحة بالنسبة لـ (GL_n ) لدينا ( lambda> sigma_ {ij} ( lambda) ) إذا كان (i 1 ) ، ثم ( sigma_ {ij} ( lambda)> lambda + e_i - e_j ).

نحدد ال كثيرات حدود ماكدونالد غير المتماثلة (E _ { mu} (x؛ q، t) in mathbb {Q} (q، t) X ) لـ ( mu in X ) تتميز بشكل فريد بالشروط:

  1. المثلث: (E _ { mu} in x ^ { mu} + mathbb {Q} (q، t) {x ^ { lambda} mid lambda < mu }. )
  2. التعامد: ( langle E _ { lambda}، E _ { mu} rangle_ {q، t} = 0 ) لـ ( lambda neq mu، )

ملاحظة أخيرة ، قد تختلف الرموز المستخدمة هنا عن تلك المستخدمة في أي مكان آخر.

هيك الجبر

ال أفيني هيك الجبر هي ( mathbb {Q} (t) ) - الجبر ( mathcal {H} = langle T_0، T_1، ldots، T_ {n-1} rangle ) التي ترضي العلاقات الجديلة [ T_i T_ {i + 1} T_i = T_ {i + 1} T_i T_ {i + 1} T_i T_j = T_j T_i hspace {20pt} i - j neq pm 1، ] حيث يتم أخذ المؤشرات بطريقة (n ) والعلاقة التربيعية [(T_i - t) (T_i + 1) = 0. ] مجموعة Weyl التابعة (غير الممتدة) (W_a = langle s_0، s_1، ldots s_ {n -1} rangle ) الذي يرضي العلاقات الجديلة أعلاه ويعمل بشكل طبيعي على ( عريضة {X} ) ، بالإضافة إلى الامتدادات ، بواسطة [s_i ( lambda) = lambda - langle lambda ، alpha_i ^ { vee} rangle alpha_i. ] بشكل صريح لـ (i neq 0 ) ، هذه هي التبديلات المعتادة ، و [s_0 f (x_1 ، ldots ، x_n) = f (q x_n ، x_2 ، ldots ، x_ {n-1} ، x_1 / q). ]

تمثيل Cherednik ل من ( mathcal {H} ) من خلال الصيغة [T_i x ^ { lambda} = tx ^ {s_i ( lambda)} + (t - 1) dfrac {x ^ { lambda} - x ^ {s_i ( lambda)}} {1 - x ^ { alpha_i}}. ] إذا عرفنا الآن عوامل التشغيل (Y ^ { beta} = t ^ {- langle beta، rho ^ { vee} rangle} T _ { tau ( beta)} ) حيث ( {T_w } _ {w in W_a} ) هو الأساس القياسي لـ ( mathcal {H} ) و ( tau ( beta) ) هي ترجمة ( beta ) و ( rho ^ { vee} = sum _ { alpha in R ^ +} alpha ^ { vee} / 2 ). عوامل التشغيل (Y ^ { beta} ) هي أحادية بالنسبة إلى ( langle cdot ، cdot rangle_ {q ، t} ، ) وهي مثلثية أقل بالنسبة إلى طلب Bruhat على الأساس ( {x ^ { lambda} } _ { lambda in X}. )

متعدد حدود ماكدونالد غير المتماثل

من علاقات برنشتاين في ( mathcal {H} ) ، فإن الدوال الذاتية المتزامنة (E _ { mu} (x؛ q، t) ) تحقق العلاقات [E_ {s_i ( mu)} (x؛ q ، t) = left (T_i + dfrac {1 - t} {1 - q ^ { langle mu، alpha_i ^ { vee} rangle} t ^ { langle w _ { mu} ( rho ) ، alpha_i ^ { vee} rangle}} right) E _ { mu} (x؛ q، t) ] لـ (i neq 0 ) ، ( mu_i> mu_ {i + 1} ) وحيث (w _ { mu} in W_0 ) هو الحد الأقصى لتبديل الطول بحيث يكون (w _ { mu} ^ {- 1} ( mu) ) هو المسيطر. بعد ذلك نحتاج إلى الأشكال الآلية التالية [ pi ( lambda_1، ldots lambda_n) = ( lambda_n + 1، lambda_1، ldots، lambda_ {n-1}) Psi f (x_1، ldots ، x_n) = x_1 f (x_2، ldots x_n، q ^ {- 1} x_1). ] يمكننا توضيح ذلك [E _ { pi ( mu)} (x؛ q، t) = q ^ { mu_n} Psi E _ { mu} (x ؛ q ، t) ، ] وتعرف هاتان العلاقتان باسم تكرار Knop-Sahi.

بعد ذلك يمكننا أن نبين أن ثاني تكرار Knop-Sahi ، الحالة الخاصة للتكرار الأول حيث ( mu_ {i + 1} = 0 ) ، و (E_0 = 1 ) تميز تمامًا غير متماثل متعدد حدود ماكدونالد . من حقيقة أنها وظائف ذاتية ، نحصل على وجود العديد من حدود ماكدونالد غير المتماثلة.

التوافقية

نبدأ بالنظر في المخططات الخاصة بالتركيبات الضعيفة ( mu in mathbb {Z} _ { geq 0} ^ n ) من الطول (n ) عن طريق رسم العمود (i ) - th على أنه الطول ( mu_i ) محاذاة في الأسفل. نشير إلى هذا من خلال (dg ( mu) ). نأخذ في الاعتبار أيضًا الرسوم البيانية المعززة ( widehat {dg} ( mu) ) وهو الرسم التخطيطي المعتاد مع إضافة صف بطول (n ) إلى القاعدة.

نحدد المجموعات التالية من الخلية (u = (i، j) in dg ( mu) ):

  • الساق هي مجموعة الخلايا التي تعلو مباشرة (u ). لذا فإن جميع الخلايا ((i، j ') in dg ( mu) ) مثل (j'> j ).
  • الذراع الأيسر هو مجموعة الخلايا الموجودة على يسار (u ) أعمدة ارتفاع متساوية أو أصغر. لذا فإن جميع الخلايا ((i '، j) in dg ( mu) ) مثل (i'
  • الذراع اليمنى هي مجموعة الخلايا الموجودة على يمين (u ) في الصف أدناه (u ) من أعمدة ارتفاع أصغر تمامًا. لذا فإن جميع الخلايا ((i '، j-1) ) مثل (i'> i ) و ( mu_ {i '} < mu_i ).
  • الذراع هي اتحاد الذراعين الأيمن والأيسر.

نحدد الآن مجموعة الإحصائيات على (u ). نبدأ بتعريف (l (u) = lvert mathrm {leg} (u) rvert = mu_i - j ) و (a (u) = lvert mathrm {arm} (u) rvert ). باستخدام هذه الإحصائيات ، إذا ( mu_i> mu_ {i + 1} ) ، يمكننا إعادة صياغة العودية عن طريق [E_ {s_i ( mu)} (x؛ q، t) = left (T_i + dfrac {1 - t} {1 - q ^ {l (u) +1} t ^ {a (u)}} right) E _ { mu} (x؛ q، t)، ] أين (u = (i، mu_ {i + 1} + 1) ). يمكننا أيضًا تحديد ملف شكل متكامل بالنسبة إلى كثيرات حدود ماكدونالد غير المتماثلة بواسطة [ mathcal {E} _ { mu} (x؛ q، t) = prod_ {u in dg ( mu)} left (1 - q ^ {l ( u) +1} t ^ {a (u) +1} right) E _ { mu} (x؛ q، t). ]

سيتم تحديد إحصائياتنا التالية على حشوات من المخططات ، والتي هي مجرد خرائط ( سيجما كولون دج ( مو) إلى [n]. ) يمكننا زيادة التعبئة من خلال تحديد الخريطة ( واسعة النطاق { سيجما} القولون واسع النطاق {دج } ( mu) to [n] ) مع ( widehat { sigma} bigl ((0، j) bigr) = j ) ويتفق مع ( سيجما ) في أي مكان آخر. نقول خليتين ((أ ، ب) ، (ط ، ي) ) هجوم بعضها البعض إذا

  • هم في نفس الصف ، أي (ب = ي ) ، أو
  • هم في صفوف متتالية والمربع الموجود في الصف السفلي على يمين الصف العلوي ، أي (i

نقول أن الحشو المعزز هو غير مهاجم إذا ( واسعة النطاق { سيجما} (u) neq widehat { sigma} (v) ) لجميع الأزواج المهاجمة (u، v in widehat {dg} ( mu) ). نقول أن الحشوة غير مهاجمة إذا كانت الحشوة الزائدة غير مهاجمة.

بعد ذلك ، دع (d (u) = (i، j-1) ) يكون المربع الموجود أسفل (u = (i، j) ). أ نزول في التعبئة عبارة عن صندوق (u in widehat { sigma} ) مثل (d (u) in widehat { sigma} ) و ( widehat { sigma} (u)> Widehat { sigma} (v). ) نشير بواسطة (Des ( widehat { sigma}) ) كمجموعة من النسب ( widehat { سيجما} ) و مؤشر رئيسي هو [maj ( widehat { sigma}) = sum_ {u in Des ( widehat { sigma})} (l (u) + 1). ]

نحدد ترتيب قراءة المربعات في الرسم التخطيطي من خلال قراءة صف تلو الآخر من اليمين إلى اليسار ، ومن أعلى إلى أسفل ، أي ((i، j) <(a، b) ) if (j> b ) أو إذا (ي = ب ) و (أنا> أ ). انعكاس التعبئة ( العرض الكبير { سيغما} ) هو زوج من الصناديق المهاجمة (u، v in widehat {dg} ( mu) ) بحيث (u عريضة { سيغما} (v). ) نشير إلى هذا المعين بواسطة (Inv ( widehat { sigma}) ) وإحصاء الانعكاس بواسطة [inv ( widehat { sigma}) = lvert Inv ( widehat { sigma}) rvert - lvert {i

وبالتالي يمكننا حساب كثيرات حدود ماكدونالد غير المتماثلة بواسطة [E _ { mu} (x؛ q، t) = sum _ { sigma} x ^ { sigma} q ^ {maj ( widehat { sigma}) } t ^ {coinv ( widehat { sigma})} prod _ { supack {u in dg ( mu) widehat { sigma} (u) neq widehat { sigma} (d ( u))}} dfrac {1 - t} {1 - q ^ {l (u) +1} t ^ {a (u) +1}} ، ] حيث نجمع كل الحشوات غير الهجومية لـ (dg (mu) ) و (x ^ { sigma} = prod_ {u in dg ( mu)} x _ { sigma ( mu)}. ) لدينا أيضًا شكل متكامل مثل [ mathcal {E} _ { mu} (x؛ q، t) = sum _ { sigma} x ^ { sigma} q ^ {maj ( widehat { sigma})} t ^ {coinv ( widehat { sigma})} prod _ { suback {u in dg ( mu) widehat { sigma} (u) neq widehat { sigma} (d (u))}} 1 - q ^ {l (u) +1} t ^ {a (u) +1} prod _ { supack {u in dg ( mu) widehat { sigma} (u) neq widehat { سيجما} (د (ش))}} (1 - ر). ]


شاهد الفيديو: الثاني الثانوي. الفصل الدراسي الأول. الرياضيات. قسمة كثيرات الحدود 1 (ديسمبر 2021).