مقالات

4.11: المشتقات العكسية - الرياضيات


في هذه المرحلة ، رأينا كيفية حساب مشتقات العديد من الوظائف وتم تقديم مجموعة متنوعة من تطبيقاتها. نطرح الآن سؤالاً يقلب هذه العملية: بالنظر إلى الدالة (f ) ، كيف يمكننا إيجاد دالة بالمشتق (f ) ولماذا نهتم بمثل هذه الوظيفة؟

نجيب على الجزء الأول من هذا السؤال بتعريف المشتقات العكسية. المشتق العكسي للدالة (f ) هو دالة ذات مشتق (f ). لماذا نحن مهتمون بالمشتقات العكسية؟ تظهر الحاجة إلى المشتقات العكسية في العديد من المواقف ، وننظر إلى أمثلة مختلفة في بقية النص. هنا ندرس مثالًا محددًا يتضمن حركة مستقيمة. في دراستنا في مشتقات الحركة المستقيمة ، أظهرنا أنه بالنظر إلى وظيفة الموضع (s (t) ) لكائن ما ، فإن وظيفة السرعة (v (t) ) هي مشتق (s (t) ) - أي (v (t) = s ′ (t) ). علاوة على ذلك ، فإن التسارع (a (t) ) هو مشتق السرعة (v (t) ) - أي (a (t) = v ′ (t) = s '(t) ). لنفترض الآن أننا حصلنا على وظيفة تسريع (أ ) ، لكن ليس وظيفة السرعة v أو وظيفة الموضع (s ). بما أن (a (t) = v ′ (t) ) ، فإن تحديد دالة السرعة يتطلب منا إيجاد المشتقة العكسية لدالة التسارع. بعد ذلك ، بما أن (v (t) = s ′ (t) ، ) يتطلب تحديد وظيفة الموضع إيجاد المشتق العكسي لدالة السرعة. الحركة المستقيمة ليست سوى حالة واحدة تنشأ فيها الحاجة إلى المشتقات العكسية. سنرى العديد من الأمثلة في بقية النص. في الوقت الحالي ، دعنا نلقي نظرة على المصطلحات والترميز الخاصين بالمشتقات العكسية ، وتحديد المشتقات العكسية لأنواع متعددة من الوظائف. ندرس تقنيات مختلفة لإيجاد المشتقات العكسية لوظائف أكثر تعقيدًا لاحقًا في النص (مقدمة لتقنيات التكامل).

عكس التفاضل

في هذه المرحلة ، نعرف كيفية إيجاد مشتقات وظائف مختلفة. نسأل الآن السؤال المعاكس. عند إعطاء دالة (f ) ، كيف يمكننا إيجاد دالة بمشتق (f )؟ إذا تمكنا من إيجاد دالة (F ) مشتق (f، ) فإننا نسمي (F ) مشتق عكسي لـ (f ).

التعريف: مضاد

الدالة (F ) هي ملف عكسي من الوظيفة (و ) إذا

[F ′ (x) = f (x) ]

للجميع (س ) في مجال (و ).

ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = 2x ). بمعرفة قاعدة قوة التفاضل ، نستنتج أن (F (x) = x ^ 2 ) مشتق عكسي لـ (f ) منذ (F ′ (x) = 2x ). هل هناك أي مشتقات عكسية أخرى لـ (و )؟ نعم؛ نظرًا لأن مشتق أي ثابت (C ) هو صفر ، فإن (x ^ 2 + C ) هو أيضًا مشتق عكسي لـ (2x ). لذلك ، (x ^ 2 + 5 ) و (x ^ 2− sqrt {2} ) هي أيضًا مشتقات عكسية. هل هناك أي شيء آخر ليس بالصيغة (x ^ 2 + C ) لبعض الثابت (C )؟ الجواب لا. من النتيجة الطبيعية 2 لنظرية القيمة المتوسطة ، نعلم أنه إذا كان (F ) و (G ) وظائف قابلة للتفاضل مثل (F ′ (x) = G ′ (x) ، ) ثم (F ( x) −G (x) = C ) لبعض الثوابت (C ). هذه الحقيقة تؤدي إلى النظرية الهامة التالية.

الشكل العام لمشتق عكسي

لنفترض أن (F ) مشتق عكسي لـ (f ) خلال فترة (I ). ثم،

  1. لكل ثابت (C ) ، الدالة (F (x) + C ) هي أيضًا مشتق عكسي لـ (f ) over (I ) ؛
  2. إذا كان (G ) مشتق عكسي لـ (f ) أكثر (I ) ، فهناك ثابت (C ) الذي (G (x) = F (x) + C ) over (أنا).

بمعنى آخر ، الشكل الأكثر عمومية للمشتق العكسي لـ (f ) over (I ) هو (F (x) + C ).

نستخدم هذه الحقيقة ومعرفتنا بالمشتقات لإيجاد جميع المشتقات العكسية لعدة وظائف.

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد المشتقات العكسية

ابحث عن جميع المشتقات العكسية لكل من الوظائف التالية.

  1. (و (س) = 3 س ^ 2 )
  2. (f (x) = dfrac {1} {x} )
  3. (و (س) = كوس س )
  4. (و (س) = ه ^ س )

حل:

أ. لأن

[ dfrac {d} {dx} left (x ^ 3 right) = 3x ^ 2 nonumber ]

ثم (F (x) = x ^ 3 ) هو مشتق عكسي لـ (3x ^ 2 ). لذلك ، فإن كل مشتق عكسي لـ (3x ^ 2 ) يكون من الشكل (x ^ 3 + C ) لبعض الثابت (C ) ، وكل دالة في النموذج (x ^ 3 + C ) هي مشتق عكسي لـ (3x ^ 2 ).

ب. دع (f (x) = ln | x |. ) لـ (x> 0 ، f (x) = ln (x) ) و

[ dfrac {d} {dx} left ( ln x right) = dfrac {1} {x}. لا يوجد رقم]

بالنسبة إلى (x <0 و f (x) = ln (−x) ) و

[ dfrac {d} {dx} left ( ln (−x) right) = - dfrac {1} {- x} = dfrac {1} {x}. لا يوجد رقم]

لذلك،

[ dfrac {d} {dx} left ( ln | x | right) = dfrac {1} {x}. لا يوجد رقم]

وبالتالي ، فإن (F (x) = ln | x | ) هو مشتق عكسي لـ ( dfrac {1} {x} ). لذلك ، فإن كل مشتق عكسي لـ ( dfrac {1} {x} ) يكون من الشكل ( ln | x | + C ) لبعض الثابت (C ) وكل دالة في النموذج ( ln | x | + C ) مشتق عكسي لـ ( dfrac {1} {x} ).

ج. نحن لدينا

[ dfrac {d} {dx} ( sin x) = cos x، nonumber ]

لذلك (F (x) = sin x ) هو مشتق عكسي لـ ( cos x ). لذلك ، فإن كل مشتق عكسي لـ ( cos x ) يكون من الشكل ( sin x + C ) لبعض الثابت (C ) وكل دالة في النموذج ( sin x + C ) هي المشتق العكسي لـ ( cos x ).

د. حيث

[ dfrac {d} {dx} left (e ^ x right) = e ^ x، nonumber ]

ثم (F (x) = e ^ x ) هو مشتق عكسي لـ (e ^ x ). لذلك ، فإن كل مشتق عكسي لـ (e ^ x ) هو من الشكل (e ^ x + C ) لبعض الثابت (C ) وكل دالة في النموذج (e ^ x + C ) هي المشتق العكسي لـ (e ^ x ).

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد جميع المشتقات العكسية لـ (f (x) = sin x ).

تلميح

ما الوظيفة التي لها مشتق من ( sin x )؟

إجابه

(- cos x + C )

التكاملات غير المحددة

ننظر الآن إلى الترميز الرسمي المستخدم لتمثيل المشتقات العكسية وفحص بعض خصائصها. تسمح لنا هذه الخصائص بإيجاد المشتقات العكسية لوظائف أكثر تعقيدًا. عند إعطاء دالة (f ) ، نستخدم الترميز (f ′ (x) ) أو ( dfrac {df} {dx} ) للإشارة إلى مشتق (f ). نقدم هنا ترميز للمشتقات العكسية. إذا كان (F ) هو المشتق العكسي لـ (f ) ، فإننا نقول أن (F (x) + C ) هو المشتق العكسي الأكثر عمومية لـ (f ) ونكتب

[ int f (x) ، dx = F (x) + C. ]

يُطلق على الرمز ( displaystyle int ) علامة متكاملة ، ويسمى ( displaystyle int f (x) ، dx ) التكامل غير المحدود لـ (f ).

التعريف: التكاملات غير المحددة

بالنظر إلى دالة (f ) ، يُشار إلى التكامل غير المحدود لـ (f )

[ int f (x) ، dx ، ]

هو المشتق العكسي الأكثر عمومية لـ (f ). إذا كان (F ) مشتقًا عكسيًا لـ (f ) ، إذن

[ int f (x) ، dx = F (x) + C. ]

التعبير (f (x) ) يسمى التكامل والمتغير x هو متغير التكامل.

بالنظر إلى المصطلحات المقدمة في هذا التعريف ، يُشار عادةً إلى فعل إيجاد المشتقات العكسية للدالة (f ) باسم تكامل (f ).

بالنسبة للدالة (f ) والمشتق العكسي (F ) ، فإن الدوال (F (x) + C ) ، حيث (C ) هي أي رقم حقيقي ، غالبًا ما يشار إليها باسم عائلة المشتقات العكسية إيقاف). على سبيل المثال ، بما أن (x ^ 2 ) هو مشتق عكسي لـ (2x ) وأي مشتق عكسي لـ (2x ) يكون على الشكل (x ^ 2 + C ، ) نكتب

[ int 2x ، dx = x ^ 2 + C. ]

تُعرف مجموعة جميع وظائف النموذج (x ^ 2 + C، ) حيث (C ) هو أي رقم حقيقي ، باسم عائلة المشتقات العكسية لـ (2x ). يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لهذه العائلة من المشتقات العكسية.

الشكل ( PageIndex {1} ): تتكون عائلة المشتقات العكسية (2x ) من جميع وظائف النموذج (x ^ 2 + C ) ، حيث (C ) هو أي رقم حقيقي.

بالنسبة لبعض الدوال ، يتبع تقييم التكاملات غير المحددة مباشرة من خواص المشتقات. على سبيل المثال ، لـ (n ≠ −1 ) ،

( displaystyle int x ^ n ، dx = dfrac {x ^ {n + 1}} {n + 1} + C، )

الذي يأتي مباشرة من

( dfrac {d} {dx} left ( dfrac {x ^ {n + 1}} {n + 1} right) = (n + 1) dfrac {x ^ n} {n + 1} = x ^ n ).

تُعرف هذه الحقيقة بقاعدة القوة للتكاملات.

حكم القوة للتكاملات

لـ (n ≠ −1، )

[ int x ^ n ، dx = dfrac {x ^ {n + 1}} {n + 1} + C. ]

إن تقييم التكاملات غير المحددة لبعض الوظائف الأخرى يعد أيضًا عملية حسابية مباشرة. يسرد الجدول التالي التكاملات غير المحددة للعديد من الوظائف الشائعة. تظهر قائمة أكثر اكتمالاً في الملحق ب.

الجدول: صيغ التكامل
صيغة التمايزلا يتجزأ إلى أجل غير مسمى
( dfrac {d} {dx} (ك) = 0 ) ( displaystyle int k ، dx = int kx ^ 0 ، dx = kx + C )
( dfrac {d} {dx} يسار (x ^ n يمين) = nx ^ {n − 1} ) ( displaystyle int x ^ n ، dx = dfrac {x ^ {n + 1}} {n + 1} + C ) من أجل (n ≠ −1 )
( dfrac {d} {dx} ( ln | x |) = dfrac {1} {x} ) ( displaystyle int dfrac {1} {x} ، dx = ln | x | + C )
( dfrac {d} {dx} يسار (e ^ x right) = e ^ x ) ( displaystyle int e ^ x ، dx = e ^ x + C )
( dfrac {d} {dx} ( sin x) = cos x ) ( displaystyle int cos x ، dx = sin x + C )
( dfrac {d} {dx} ( cos x) = - sin x ) ( displaystyle int sin x ، dx = - cos x + C )
( dfrac {d} {dx} ( tan x) = sec ^ 2 x ) ( displaystyle int sec ^ 2 x ، dx = tan x + C )
( dfrac {d} {dx} ( csc x) = - csc x cot x ) ( displaystyle int csc x cot x ، dx = - csc x + C )
( dfrac {d} {dx} ( sec x) = sec x tan x ) ( displaystyle int sec x tan x ، dx = sec x + C )
( dfrac {d} {dx} ( cot x) = - csc ^ 2 x ) ( displaystyle int csc ^ 2x ، dx = - cot x + C )
( dfrac {d} {dx} ( arcsin x) = dfrac {1} { sqrt {1 − x ^ 2}} ) ( displaystyle int dfrac {1} { sqrt {1 − x ^ 2}} = arcsin x + C )
( dfrac {d} {dx} ( arctan x) = dfrac {1} {1 + x ^ 2} ) ( displaystyle int dfrac {1} {1 + x ^ 2} ، dx = arctan x + C )
( dfrac {d} {dx} ( text {arcsec} x) = dfrac {1} {| x | sqrt {x ^ 2−1}} ) ( displaystyle int dfrac {1} {x sqrt {x ^ 2−1}} ، dx = text {arcsec} | x | + C )

من تعريف التكامل غير المحدود لـ (f ) ، نعلم

[ int f (x) ، dx = F (x) + C ]

فقط إذا كان (F ) مشتقًا عكسيًا لـ (f ). لذلك عند ادعاء ذلك

[ int f (x) ، dx = F (x) + C ]

من المهم التحقق مما إذا كانت هذه العبارة صحيحة عن طريق التحقق من أن (F ′ (x) = f (x). )

مثال ( PageIndex {2} ): التحقق من تكامل غير محدد

كل من العبارات التالية هي من الشكل ( displaystyle int f (x) ، dx = F (x) + C. ) تحقق من صحة كل عبارة من خلال إظهار أن (F ′ (x) = f (خ). )

  1. ( displaystyle int (x + e ^ x) ، dx = dfrac {x ^ 2} {2} + e ^ x + C )
  2. ( displaystyle int xe ^ x ، dx = xe ^ x − e ^ x + C )

حل:

أ. حيث

( dfrac {d} {dx} left ( dfrac {x ^ 2} {2} + e ^ x + C right) = x + e ^ x ) ،

البيان

[ int (x + e ^ x) ، dx = dfrac {x ^ 2} {2} + e ^ x + C nonumber ]

صحيح.

لاحظ أننا نتحقق من تكامل غير محدد لمبلغ ما. علاوة على ذلك ، ( dfrac {x ^ 2} {2} ) و (e ^ x ) هما مشتقات عكسية لـ (x ) و (e ^ x ) ، على التوالي ، ومجموع المشتقات العكسية هو مشتق عكسي من المجموع. نناقش هذه الحقيقة مرة أخرى لاحقًا في هذا القسم.

ب. باستخدام قاعدة المنتج ، نرى ذلك

[ dfrac {d} {dx} left (xe ^ x − e ^ x + C right) = e ^ x + xe ^ x − e ^ x = xe ^ x. لا يوجد رقم]

لذلك ، البيان

[ int xe ^ x ، dx = xe ^ x − e ^ x + C nonumber ]

صحيح.

لاحظ أننا نتحقق من تكامل غير محدد لمنتج. المشتق العكسي (xe ^ x − e ^ x ) ليس منتجًا للمشتقات العكسية. علاوة على ذلك ، فإن حاصل ضرب المشتقات العكسية ، (x ^ 2e ^ x / 2 ) ليس مشتقًا عكسيًا لـ (xe ^ x ) منذ ذلك الحين

( dfrac {d} {dx} left ( dfrac {x ^ 2e ^ x} {2} right) = xe ^ x + dfrac {x ^ 2e ^ x} {2} ≠ xe ^ x ) .

بشكل عام ، لا يعتبر منتج المشتقات العكسية مشتقًا عكسيًا للمنتج.

تمرين ( PageIndex {2} )

تحقق من ذلك [ int x cos x ، ، dx = x sin x + cos x + C. nonumber ]

تلميح

احسب [ dfrac {d} {dx} (x sin x + cos x + C). nonumber ]

إجابه

[ dfrac {d} {dx} (x sin x + cos x + C) = sin x + x cos x− sin x = x cos x nonumber ]

في الجدول ، قمنا بإدراج التكاملات غير المحددة للعديد من الوظائف الأولية. دعنا ننتقل الآن إلى تقييم التكاملات غير المحددة لدوال أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك إيجاد المشتقة العكسية لمجموع (f + g ). في المثال أ. أظهرنا أن المشتق العكسي للمجموع (x + e ^ x ) يُعطى بالمجموع ( dfrac {x ^ 2} {2} + e ^ x ) - أي المشتقة العكسية للمبلغ هي تعطى بمجموع المشتقات العكسية. هذه النتيجة لم تكن خاصة بهذا المثال. بشكل عام ، إذا كان (F ) و (G ) مشتقات عكسية لأية وظائف (f ) و (g ) ، على التوالي ، إذن

( dfrac {d} {dx} left (F (x) + G (x) right) = F ′ (x) + G ′ (x) = f (x) + g (x). )

لذلك ، (F (x) + G (x) ) هو مشتق عكسي لـ (f (x) + g (x) ) ولدينا

[ int (f (x) + g (x)) ، dx = F (x) + G (x) + C. nonumber ]

بصورة مماثلة،

[ int (f (x) −g (x)) ، dx = F (x) −G (x) + C. nonumber ]

بالإضافة إلى ذلك ، ضع في اعتبارك مهمة إيجاد المشتق العكسي لـ (kf (x)، ) حيث (k ) هو أي رقم حقيقي. حيث

[ dfrac {d} {dx} (kf (x)) = k dfrac {d} {dx} F (x) = kF ′ (x) nonumber ]

لأي رقم حقيقي (ك ) ، نستنتج ذلك

[ int kf (x) ، dx = kF (x) + C. nonumber ]

يتم تلخيص هذه الخصائص بعد ذلك.

خواص التكاملات غير المحددة

لنفترض أن (F ) و (G ) هما مشتقات عكسية لـ (f ) و (ز ) على التوالي ، واجعل (ك ) أي رقم حقيقي.

المبالغ والاختلافات

(displaystyle int (f (x) ± g (x)) ، dx = F (x) ± G (x) + C)

المضاعفات الثابتة

( displaystyle int kf (x) ، dx = kF (x) + C )

من هذه النظرية ، يمكننا إيجاد قيمة أي تكامل يتضمن مجموعًا أو فرقًا أو مضاعفًا ثابتًا من الدوال مع المشتقات العكسية المعروفة. يعتبر تقييم التكاملات التي تتضمن منتجات أو حواجز أو تركيبات أكثر تعقيدًا (انظر المثال ب. على سبيل المثال يتضمن المشتق العكسي لمنتج ما.) نحن ننظر إلى التكاملات التي تتضمن هذه الوظائف الأكثر تعقيدًا في مقدمة إلى التكامل ونتعامل معها. في المثال التالي ، ندرس كيفية استخدام هذه النظرية لحساب التكاملات غير المحددة للعديد من الوظائف.

مثال ( PageIndex {3} ): تقييم التكاملات غير المحددة

احسب كل من التكاملات غير المحددة التالية:

  1. ( displaystyle int (5x ^ 3−7x ^ 2 + 3x + 4) ، dx )
  2. ( displaystyle int dfrac {x ^ 2 + 4 sqrt [3] {x}} {x} ، dx )
  3. ( displaystyle int dfrac {4} {1 + x ^ 2} ، dx )
  4. ( displaystyle int tan x cos x ، dx )

حل:

أ. باستخدام الملاحظة ، يمكننا تكامل كل حد من الحدود الأربعة في التكامل و على حدة. نحصل

( displaystyle int (5x ^ 3−7x ^ 2 + 3x + 4) ، dx = int 5x ^ 3 ، dx− int 7x ^ 2 ، dx + int 3x ، dx + int 4 ، DX. )

من الجزء الثاني من الملاحظة ، يمكن كتابة كل معامل أمام علامة التكامل ، والتي تعطي

( displaystyle int 5x ^ 3 ، dx− int 7x ^ 2 ، dx + int 3x ، dx + int 4 ، dx = 5 int x ^ 3 ، dx − 7 int x ^ 2 ، dx + 3 int x ، dx + 4 int 1 ، dx. )

باستخدام قاعدة الأس للتكاملات ، نستنتج ذلك

( displaystyle int (5x ^ 3−7x ^ 2 + 3x + 4) ، dx = dfrac {5} {4} x ^ 4− dfrac {7} {3} x ^ 3 + dfrac { 3} {2} x ^ 2 + 4x + C. )

ب. أعد كتابة Integand as

( dfrac {x ^ 2 + 4 sqrt [3] {x}} {x} = dfrac {x ^ 2} {x} + dfrac {4 sqrt [3] {x}} {x} = 0. )

ثم ، لتقييم التكامل ، قم بتكامل كل من هذه المصطلحات على حدة. باستخدام قاعدة القوة ، لدينا

( displaystyle int (x + dfrac {4} {x ^ {2/3}}) ، dx = int x ، dx + 4 int x ^ {- 2/3} ، dx )

(= dfrac {1} {2} x ^ 2 + 4 dfrac {1} {( dfrac {−2} {3}) + 1} × ^ {(- 2/3) +1} + C ]) )

(= dfrac {1} {2} x ^ 2 + 12x ^ {1/3} + C. )

ج. باستخدام الملاحظة ، اكتب التكامل بالصيغة

(4 displaystyle int dfrac {1} {1 + x ^ 2} ، dx. )

ثم استخدم حقيقة أن ( arctan (x) ) هو مشتق عكسي لـ ( dfrac {1} {(1 + x ^ 2)} ) لاستنتاج ذلك

( displaystyle int dfrac {4} {1 + x ^ 2} ، dx = 4 arctan (x) + C. )

د. أعد كتابة Integand as

( tan x cos x = dfrac { sin x} { cos x} cos x = sin x. )

لذلك،

( displaystyle int tan x cos x ، dx = int sin x ، dx = - cos x + C. )

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد قيمة ( displaystyle int (4x ^ 3−5x ^ 2 + x − 7) ، dx ).

تلميح

ادمج كل حد في التكامل و على حدة ، مع الاستفادة من قاعدة القوة.

إجابه

(x ^ 4− dfrac {5} {3} x ^ 3 + dfrac {1} {2} x ^ 2−7x + C )

مشاكل القيمة الأولية

نحن ننظر إلى تقنيات لدمج مجموعة كبيرة ومتنوعة من الوظائف التي تتضمن المنتجات والحواجز والتركيبات لاحقًا في النص. ننتقل هنا إلى استخدام واحد شائع للمشتقات العكسية التي تظهر غالبًا في العديد من التطبيقات: حل المعادلات التفاضلية.

المعادلة التفاضلية هي معادلة تتعلق بدالة غير معروفة وواحد أو أكثر من مشتقاتها. المعادلة

هو مثال بسيط لمعادلة تفاضلية. يعني حل هذه المعادلة إيجاد دالة (y ) بمشتق (f ). لذلك ، فإن حلول المعادلة هي المشتقات العكسية لـ (f ). إذا كان (F ) مشتقًا عكسيًا واحدًا لـ (f ) ، فإن كل دالة في النموذج (y = F (x) + C ) هي حل لتلك المعادلة التفاضلية. على سبيل المثال ، حلول

أعطيت من قبل

(y = int 6x ^ 2 ، dx = 2x ^ 3 + C ).

أحيانًا نكون مهتمين بتحديد ما إذا كان منحنى حل معين يمر بنقطة معينة ((x_0، y_0) ) - أي (y (x_0) = y_0 ). مشكلة إيجاد دالة (y ) تحقق معادلة تفاضلية

مع الشرط الإضافي

هو مثال لمشكلة القيمة الأولية. تُعرف الحالة (y (x_0) = y_0 ) بأنها حالة أولية. على سبيل المثال ، البحث عن دالة (y ) تحقق المعادلة التفاضلية

والحالة الأولية

هو مثال لمشكلة القيمة الأولية. نظرًا لأن حلول المعادلة التفاضلية هي (y = 2x ^ 3 + C ، ) لإيجاد دالة (y ) تفي أيضًا بالشرط الأولي ، نحتاج إلى إيجاد (C ) مثل (y (1) = 2 (1) ^ 3 + C = 5 ). من هذه المعادلة ، نرى أن (C = 3 ) ، ونستنتج أن (y = 2x ^ 3 + 3 ) هو حل مشكلة القيمة الأولية هذه كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

الشكل ( PageIndex {2} ): يتم عرض بعض منحنيات حل المعادلة التفاضلية ( dfrac {dy} {dx} = 6x ^ 2 ). الدالة (y = 2x ^ 3 + 3 ) تحقق المعادلة التفاضلية والشرط الأولي (y (1) = 5. )

مثال ( PageIndex {4} ): حل مشكلة القيمة الأولية

حل مشكلة القيمة الأولية

[ dfrac {dy} {dx} = sin x، y (0) = 5. ]

حل

أولًا نحتاج إلى حل المعادلة التفاضلية. إذا ( dfrac {dy} {dx} = sin x ) ، إذن

[y = displaystyle int sin (x) ، dx = - cos x + C. ]

بعد ذلك ، نحتاج إلى البحث عن حل يلبي الشرط الأولي. الشرط الأولي y (0) = 5 يعني أننا بحاجة إلى ثابت (C ) بحيث (- cos x + C = 5. ) لذلك ،

[C = 5 + cos (0) = 6. ]

حل مشكلة القيمة الأولية هو (y = - cos x + 6. )

تمرين ( PageIndex {4} )

حل مشكلة القيمة الأولية ( dfrac {dy} {dx} = 3x ^ {- 2}، y (1) = 2 ).

تلميح

أوجد جميع المشتقات العكسية لـ (f (x) = 3x ^ {- 2.} )

إجابه

(y = - dfrac {3} {x} +5 )

تنشأ مشاكل القيمة الأولية في العديد من التطبيقات. بعد ذلك سننظر في مشكلة يقوم فيها السائق باستخدام الفرامل في السيارة. نحن مهتمون بالوقت الذي تستغرقه السيارة حتى تتوقف. تذكر أن دالة السرعة (v (t) ) هي مشتق من دالة الموضع (s (t) ، ) وأن التسارع (a (t) ) هو مشتق من دالة السرعة. في الأمثلة السابقة في النص ، يمكننا حساب السرعة من الموضع ثم حساب العجلة من السرعة. في المثال التالي نعمل في الاتجاه المعاكس. بالنظر إلى دالة التسارع ، نحسب دالة السرعة. ثم نستخدم دالة السرعة لتحديد دالة الموضع.

مثال ( PageIndex {5} ):

تتحرك السيارة بمعدل (88 ) قدم / ثانية ( (60 ) ميل في الساعة) عند الضغط على الفرامل. تبدأ السيارة في التباطؤ بمعدل ثابت (15 ) قدم / ثانية2.

  1. كم ثانية تنقضي قبل أن تتوقف السيارة؟
  2. إلى أي مدى تقطع السيارة خلال ذلك الوقت؟

حل

أ. أولاً نقدم متغيرات لهذه المشكلة. اسمحوا (t ) أن يكون الوقت (بالثواني) بعد تطبيق الفرامل لأول مرة. لنفترض (a (t) ) أن يكون تسارع السيارة (بالأقدام لكل ثانية مربعة) في الوقت (t ). لنفترض (v (t) ) أن تكون سرعة السيارة (بالأقدام في الثانية) في الوقت (t ). لنكن (s (t) ) موضع السيارة (بالقدم) بعد النقطة التي يتم فيها الضغط على الفرامل في الوقت (t ).

السيارة تتحرك بمعدل (88 ) قدم / ثانية. لذلك ، فإن السرعة الأولية هي (v (0) = 88 ) قدم / ثانية. بما أن السيارة تتباطأ ، فإن التسارع يكون

(a (t) = - 15 ، text {قدم / ثانية} ^ 2 ).

التسارع هو مشتق السرعة ،

(v ′ (t) = 15. )

لذلك ، لدينا مشكلة القيمة الأولية لحلها:

(v ′ (t) = - 15، v (0) = 88. )

التكامل ، نجد ذلك

(v (t) = - 15t + C. )

بما أن (v (0) = 88 ، C = 88. ) وبالتالي ، فإن وظيفة السرعة هي

(v (t) = - 15t + 88. )

لإيجاد الوقت الذي تستغرقه السيارة لتتوقف ، علينا إيجاد الوقت t بحيث تكون السرعة صفرًا. حل (- 15t + 88 = 0، ) نحصل على (t = dfrac {88} {15} ) ثانية.

ب. لمعرفة المسافة التي تقطعها السيارة خلال هذا الوقت ، نحتاج إلى إيجاد موضع السيارة بعد ( dfrac {88} {15} ) ثانية. نحن نعلم أن السرعة (v (t) ) هي مشتق من الموضع (s (t) ). ضع في اعتبارك أن الموضع الأولي هو (s (0) = 0 ). لذلك ، نحتاج إلى حل مشكلة القيمة الأولية

(ث ′ (ر) = - 15 طن + 88 ، ، ث (0) = 0. )

التكامل ، لدينا

(s (t) = - dfrac {15} {2} t ^ 2 + 88t + C. )

بما أن (s (0) = 0 ) ، فإن الثابت هو (C = 0 ). لذلك ، فإن وظيفة الموضع هي

(s (t) = - dfrac {15} {2} t ^ 2 + 88t. )

بعد (t = frac {88} {15} ) ثانية ، يكون الموضع (s left ( frac {88} {15} right) ≈258.133 ) قدم.

تمرين ( PageIndex {5} )

لنفترض أن السيارة تسير بمعدل (44 ) قدم / ثانية. كم من الوقت تستغرق السيارة حتى تتوقف؟ إلى أي مدى ستقطع السيارة؟

تلميح

(v (t) = - 15t + 44. )

إجابه

(2.93 ثانية ، 64.5 ) قدم

المفاهيم الرئيسية

  • إذا كان (F ) مشتقًا عكسيًا لـ (f ) ، فإن كل مشتق عكسي لـ (f ) يكون على شكل (F (x) + C ) لبعض الثابت (C ).
  • حل مشكلة القيمة الأولية [ dfrac {dy} {dx} = f (x)، y (x_0) = y_0 nonumber ]
  • يتطلب منا أولاً إيجاد مجموعة المشتقات العكسية لـ (f ) ثم البحث عن المشتق العكسي الذي يلبي أيضًا الشرط الأولي.

قائمة المصطلحات

عكسي
دالة (F ) مثل أن (F ′ (x) = f (x) ) للجميع (x ) في مجال (f ) هو مشتق عكسي لـ (f )
تكامل غير محدد
المشتق العكسي الأكثر عمومية لـ (f (x) ) هو تكامل غير محدد لـ (f ) ؛ نستخدم الترميز ( displaystyle int f (x) ، dx ) للإشارة إلى التكامل غير المحدود لـ (f )
مشكلة القيمة الأولية
مشكلة تتطلب إيجاد دالة (y ) تحقق المعادلة التفاضلية ( dfrac {dy} {dx} = f (x) ) مع الحالة الأولية (y (x_0) = y_0 )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


الكسندرا كوادرا قسم الرياضيات جامعة بوردو

اسمي الكسندرا كوادرا ، وأنا طالبة دكتوراه في الرياضيات في السنة الرابعة. أنا أصلاً من هياليه بولاية فلوريدا التي تبعد حوالي 30 دقيقة خارج ميامي ، فلوريدا. نظرًا لأن العديد من العائلات هاجرت من كوبا إلى هياليه ، أعتقد أن هياليه هي كوبا 2.0. ومن ثم ، فأنا أعتبر نفسي كوبيًا أمريكيًا.

لطالما كان لدي ميل لإيجاد الأنماط وتعليم الآخرين كيف يفعلون الشيء نفسه ، لذا فإن وظيفة أحلامي هي أن أصبح معلمًا على مستوى الكلية ، وخاصة في الرياضيات. هذا هو السبب وراء خلفيتي في تعليم الرياضيات والرياضيات من درجة البكالوريوس الخاصة بي. (من FIU) إلى MS الخاصة بي (من الاتحاد النقدي الأوروبي).

عندما لا ألعب بالأرقام ، أحتضن صغار الفراء. نيموي جرو يبلغ من العمر 4 (5 سنوات تقريبًا) ، سمي على اسم السيد سبوك الراحل. ميسو هي قطة سيامية حلوة ، وقحة ، تبلغ من العمر 8 (9 سنوات تقريبًا) أطلق عليها أخي الصغير. حقيقة ممتعة. Misu هو المعادل الإسباني لقول "مواء مواء" عند الاتصال بعد قطة. ولكن إذا كانت الحيوانات لا تريد قضاء الوقت معي ، فسوف أجد شيئًا أفعله بيدي ، مثل لعب Tetris أو إكمال أحجية أو أي مشروع فنون وحرف يأتي في طريقي.


التفاضل والتكامل التطبيقي

إذا عرفنا معادلة الدالة ، فهل يمكننا إيجاد معادلة المشتقة العكسية؟

ما المعلومات التي نحتاجها لإيجاد مشتقة عكسية واحدة للدالة؟

حتى هذه النقطة ، ركزنا على إيجاد مشتقة الدالة. سنفحص الآن كيفية إيجاد الدالة التي يكون مشتقها هو الدالة المعطاة لنا. هدفنا هو التالي: بالنظر إلى دالة (f (x) text <،> ) هل يمكننا إيجاد دالة (F (x) ) بحيث يكون ( displaystyle frac)= f (x) text <؟> )

المشتق العكسي لوظيفة

ان عكسي للدالة (f (x) ) هو أي دالة (F (x) ) مثل ذلك

بمعنى ، (f (x) ) هو مشتق (F (x) text <.> )

مثال 4.1

ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = 2x text <،> ) هل يمكننا التفكير في المشتق العكسي المحتمل؟

المشتق العكسي المحتمل لهذا هو (F (x) = x ^ 2 text <،> ) منذ ذلك الحين

ومع ذلك ، فإن المشتق العكسي ليس فريدًا ، وهناك عدد لا نهائي من المشتقات العكسية لـ (f text <.> ) يمكن أن يكون المشتق العكسي المحتمل (F (x) = x ^ 2 + 4 ) منذ مرة أخرى (F ' (x) = 2x = f (x) text <.> ) لاحظ أنه يمكن إضافة أي ثابت إلى (x ^ 2 ) لأن مشتق الثابت هو 0! وبالتالي فإن المشتق العكسي الأكثر عمومية هو

تكامل الوظيفة

إذا كان (F (x) ) هو أي المشتقة العكسية للدالة (f (x) text <،> ) ثم تكامل غير محدد من (و (س) ) هو

حيث (C ) يسمى ثابت التكامل.

المشكلة العامة لإيجاد المشتقات العكسية صعبة. يرجع هذا جزئيًا إلى حقيقة أننا نحاول التراجع عن عملية التمييز ، والتراجع أصعب بكثير من القيام به. على سبيل المثال ، في حين أنه من الواضح أن المشتق العكسي لـ (f (x) = 2x ) هو (F (x) = x ^ 2 ) وأن المشتق العكسي لـ (g (x) = 3x ^ 2 ) ) هو (G (x) = x ^ 3 text <،> ) يمكن أن تكون مجموعات (f ) و (g ) أكثر تعقيدًا بكثير. يستدعي هذا السؤال التالي: بشكل عام ، كيف يمكننا إيجاد المشتقة العكسية للدالة المعطاة بواسطة الصيغة؟ سنبدأ في الإجابة على هذا السؤال في هذا الفصل.

المشتقات الأساسية العكسية

ما الذي ينطوي عليه محاولة إيجاد مشتق عكسي لكل دالة؟ من تجربتنا مع القواعد المشتقة ، نعلم أن مشتقات المجاميع والمضاعفات الثابتة للوظائف الأساسية سهلة التنفيذ ، لكن المشتقات التي تتضمن منتجات وحواجز ومركبات ذات وظائف مألوفة أكثر تعقيدًا. لذلك ، من المنطقي أن المنتجات والحواجز ومركبات الوظائف الأساسية المضادة للتمايز قد تكون أكثر صعوبة. نرجئ دراستنا لجميع المشتقات العكسية الأولية باستثناء المشتقات الأولية إلى وقت لاحق في النص.

حكم ثابت
مثال 4.2

عند تقييم التكامل ، تتم الإشارة إلى متغير التكامل بواسطة (dx text <،> ) أو (dy text <،> ) أو (dt ) في نهاية التكامل.


تمارين 4.11

المثال 4.11.1 بيّن أن نطاق $ sinh x $ هو جميع الأرقام الحقيقية. (تلميح: أظهر أنه إذا كان $ y = sinh x $ فإن $ ds x = ln (y + sqrt)$.)

المثال 4.11.2 احسب الحدود التالية:

المثال 4.11.3 وضح أن النطاق $ tanh x $ هو $ (- 1،1) $. ما نطاقات $ coth $ و $ sech $ و $ csch $؟ (استخدم حقيقة أنها وظائف متبادلة.)

المثال 4.11.4 أثبت أنه مقابل كل $ x، y in R $، $ sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y $. احصل على هوية مماثلة لـ $ sinh (x-y) $.

المثال 4.11.5 أثبت أنه مقابل كل $ x، y in R $، $ cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y $. احصل على هوية مماثلة لـ $ cosh (x-y) $.

المثال 4.11.6 استخدم التمرينين 4 و 5 لتوضيح أن $ sinh (2x) = 2 sinh x cosh x $ و $ ds cosh (2x) = cosh ^ 2 x + sinh ^ 2 x $ لكل $ x $ . استنتج أيضًا أن $ ds ( cosh (2x) -1) / 2 = sinh ^ 2 x $.

المثال 4.11.7 أظهر أن $ ds ( tanh x) = sech ^ 2 x $. احسب مشتقات الدوال الزائدية المتبقية أيضًا.

المثال 4.11.8 ما هي مجالات الدوال الست المعكوسة للقطع الزائدية؟

المثال 4.11.9 ارسم الرسوم البيانية لجميع الدوال القطعية العكسية الست.


4.11: المشتقات العكسية - الرياضيات

جامعة ماساتشوستس
قسم الرياضيات والإحصاء

موقع الدورة التدريبية على الويب:
هذا هو موقع الويب الخاص بالدورة التدريبية العامة الذي يوفر معلومات ذات صلة بجميع الأقسام. يمكن للمدرسين الفرديين الاحتفاظ بصفحات منفصلة ذات صلة بأقسامهم الخاصة.

النص: J. Stewart، Calculus، Early Transcedentals، 6th Ed.، Brooks / Cole Publishing Co.، 2007، Paperback.

الآلة الحاسبة: من المتوقع أن يحصل كل طالب على آلة حاسبة من Texas Instruments TI-86 أو TI-89 ويستخدمها.

الامتحانات (60٪): سيكون هناك 3 امتحانات: 2 نصفي واختبار نهائي ، جميعها معطاة ومتدرجة بشكل مشترك ، وكل منها يستحق 20٪ من درجة المقرر (مجموع 60٪).

الاختبار الأول: 1 أكتوبر ، الأربعاء ، 7:00 - 9:00 مساءً.
سيجري قسم Arunas Rudvalis و Amit Datta الاختبار في Thompson 0104
سيخضع قسم PK's و Chris McDaniel's و Adam Gamzon للاختبار في Morrill 1N329
سيخضع قسم Omer Kucuksakalli و Adrian Espinola-Rocha للاختبار في Goessmann 0064.
الامتحان الثاني: 17 نوفمبر ، الإثنين ، 7:00 - 9:00 مساءً
سيتم إجراء كل من اختبار الرموز والامتحان 2 في Totman Gym لجميع أقسام Math 132.
الامتحان النهائي: نادي توتمان الرياضي ، الجمعة 19 ديسمبر ، الساعة 4 مساءً. لن يتم وضع مكياج لاستيعاب خطط السفر. يرجى تذكر إحضار أقلام رصاص إضافية وآلتك الحاسبة مع بطاريات إضافية في المباراة النهائية.

ملاحظة مهمة بخصوص الطقس المتضمن: يرجى الرجوع إلى

إعادة جدولة الاختبارات النهائية في صفحة أيام الثلج الرسمية

تحديث مهم للطقس (الجمعة 12/19): كما هو موضح حاليًا في

الصفحة الرئيسية للجامعة

صفحة حالة الإغلاق في حالات الطوارئ

اختبار الرموز (20٪): سيكون هناك اختبار رمزي على حساب المشتقات العكسية / التكاملات غير المحددة (بقيمة 20٪ من الدرجة الكلية). سيعقد يوم الاثنين ، 27 أكتوبر ، 7: 00-8: 30 مساءً. . في هذا الاختبار ، لا يُسمح للطلاب باستخدام آلاتهم الحاسبة.

درجة المعلم (20٪): سيحدد كل مدرس نسبة 20٪ من درجة الطالب بناءً على أداء الطالب في الفصل (على سبيل المثال ، في الاختبارات القصيرة والواجبات المنزلية وحضور الفصل والمشاركة).

مقياس الدرجات :

90٪ أ 100٪ 87٪ أ 89٪
83٪ ب 86٪ 80٪ ب 82٪
77٪ ب 79٪ 73٪ ج 76٪
70٪ ج 72٪ 67٪ ج 69٪
63٪ د 66٪ 60٪ د 62٪
0٪ إناث 59٪

سيتم تغيير الدرجة في كل جزء من الأجزاء الخمسة ذات الصلة (الامتحان 1 و 2 ، واختبار الرموز ، والامتحان النهائي ، وتقدير المعلم) إلى مقياس من 0 إلى 100. سيتم إضافة الأرقام وقسمتها على 5. وسيحدد المتوسط ​​الناتج درجة المادة وفقًا للنظام المذكور أعلاه.

يجب على الطلاب الذين يحتاجون إلى إقامة امتحان خاص تقديم وثائق من خدمات ذوي الاحتياجات الخاصة إلى مدرسهم في موعد لا يتجاوز أسبوعين قبل الامتحان.

5.1 المناطق والمسافات
5.2 لا يتجزأ محدد
5.3 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل
5.4 التكاملات غير المحددة ونظرية التغيير الصافي
5.5 قاعدة الاستبدال
6.1 المنطقة بين المنحنيات
6.2 مجلدات

7.1 التكامل بالأجزاء
7.2 التكاملات المثلثية
7.3 التعويض المثلثي
7.4 الكسور الجزئية
7.5 استراتيجيات التكامل
7.8 التكاملات غير الصحيحة

10.1 المنحنيات المعرفة بواسطة المعادلات البارامترية
10.2 حساب التفاضل والتكامل مع المنحنيات البارامترية
10.3 الإحداثيات القطبية
10.4 المناطق والأطوال في الإحداثيات القطبية

11.1 التسلسلات
11.2 سلسلة
11.3 الاختبار المتكامل وتقديرات المجاميع
11.4 اختبارات المقارنة
11.5 سلسلة متناوبة
11.6 التقارب المطلق واختبارات النسبة والجذر
11.7 إستراتيجية سلسلة الاختبار
11.8 سلسلة الطاقة
11.9 تمثيلات الوظائف كسلسلة طاقة
11.10 سلسلة تايلور وماكلورين

لاحظ أنه سيتم تغطية بعض هذه الأقسام في معظمها ، ولكن ليس بالكامل. سيكون الطلاب مسؤولين فقط عن المواد المغطاة.

جدول MWF و TuTh اليومي ، خريف 2008

أسبوع من الإثنين الأربعاء الجمعة الثلاثاء ثور
09/01 5.1 5.2 5.1, 5.2 5.2, 5.3
09/08 5.3 5.3, 5.4 5.4, 5.5 5.3, 5.4 5.4, 5.5
09/15 5.5, 6.1 6.1, 6.2 6.2 5.5, 6.1 6.1, 6.2
09/22 7.1 7.1, 7.2 7.2 ، مراجعة 6.2, 7.1 7.1, 7.2
09/29 إعادة النظر 7.2, 7.3 7.3 إعادة النظر 7.2, 7.3
10/06 7.4 7.5 7.5, 7.8 7.3, 7.4 7.4, 7.5
10/13 7.8 10.1 10.1, 10.2 7.5, 7.8
10/20 10.2 10.3 10.3 ، مراجعة 7.8, 10.1 إعادة النظر
10/27 إعادة النظر 10.4 10.4, 11.1 10.1, 10.2 10.2, 10.3
11/03 11.1, 11.2 11.2, 11.3 11.3 10.3, 10.4 10.4, 11.1
11/10 11.4 ، مراجعة إعادة النظر 11.2, 11.3 إعادة النظر
11/17 11.4 11.5 11.6 11.3, 11.4 11.4, 11.5
11/24 11.6, 11.7 11.8 11.5, 11.6
12/01 11.8, 11.9 11.9 11.9, 11.10 11.6- 11.8 11.8, 11.9
12/08 11.10 إعادة النظر إعادة النظر 11.10 إعادة النظر

مشاكل الواجبات المنزلية المقترحة ، خريف 2008

5.2 : 1, 5, 17, 21, 34, 48, 52, 53, 54.

5.3 : 3, 7, 11, 22, 25, 28, 29, 33, 51, 53, 55.

5.4 : 7, 10, 12, 18, 29, 33, 39, 43, 48, 50

5.5 : 2, 12, 14, 19, 25, 34, 39, 44, 50.

6.1 : 4, 5, 6, 7, 8, 12, 21, 23, 26.

6.2 : 5, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 50, 51

7.1 : 1, 18, 22, 25, 30, 31, 35, 37.

11.2 : 8, 13, 17, 18, 19, 20, 41, 44, 50.

11.10: 2 (أ) ، 6 ، 8 ، 15 ، 29 ، 32 ، 33 ، 48 ، 54.

سياسة تكوين الدورة

سياسة الامتحان والصفوف الدراسية

ممارسة المشاكل / الامتحانات

هذه الملفات بتنسيق PDF. لعرضها تحتاج إلى قارئ Acrobat.

تحذير: تهدف الاختبارات التدريبية الواردة هنا ، المأخوذة حرفياً من الاختبارات السابقة ، إلى إعطائك فكرة عن نوع وأنواع الأسئلة التي تم طرحها خلال المهلة الزمنية لهذه الاختبارات المحددة. بالإضافة إلى ذلك ، قد يتغير نطاق وطول وشكل هذه الاختبارات القديمة من سنة إلى أخرى.


4.10 مضادات المشتقات

في هذه المرحلة ، رأينا كيفية حساب مشتقات العديد من الوظائف وتم تقديم مجموعة متنوعة من تطبيقاتها. نطرح الآن سؤالاً يقلب هذه العملية: بالنظر إلى الدالة f ، f ، كيف يمكننا إيجاد دالة بمشتق f f ولماذا نهتم بهذه الدالة؟

عكس التفاضل

في هذه المرحلة ، نعرف كيفية إيجاد مشتقات وظائف مختلفة. نسأل الآن السؤال المعاكس. بالنظر إلى الدالة f ، f ، كيف يمكننا إيجاد دالة مشتقة f؟ F ؟ إذا تمكنا من إيجاد الدالة F F مع المشتق f ، f ، فإننا نسمي F F مشتقة عكسية لـ f. F .

تعريف

الشكل العام لمشتق عكسي

بعبارة أخرى ، الشكل الأكثر عمومية للمشتق العكسي لـ f f على I I هو F (x) + C. و (خ) + ج.

نستخدم هذه الحقيقة ومعرفتنا بالمشتقات لإيجاد جميع المشتقات العكسية لعدة وظائف.

المثال 4.50

إيجاد المشتقات العكسية

ابحث عن جميع المشتقات العكسية لكل من الوظائف التالية.

حل

أوجد جميع المشتقات العكسية لـ f (x) = sin x. و (س) = الخطيئة س.

التكاملات غير المحددة

ننظر الآن إلى الترميز الرسمي المستخدم لتمثيل المشتقات العكسية وفحص بعض خصائصها. تسمح لنا هذه الخصائص بإيجاد المشتقات العكسية لوظائف أكثر تعقيدًا. بالنظر إلى الدالة f ، f ، نستخدم الرمز f ′ (x) f ′ (x) أو d f d x d f d x للإشارة إلى مشتق f. F . Here we introduce notation for antiderivatives. If F F is an antiderivative of f , f , we say that F ( x ) + C F ( x ) + C is the most general antiderivative of f f and write

تعريف

is the most general antiderivative of f . f . If F F is an antiderivative of f , f , then

Given the terminology introduced in this definition, the act of finding the antiderivatives of a function f f is usually referred to as integrating f . f .

The collection of all functions of the form x 2 + C , x 2 + C , where C C is any real number, is known as the family of antiderivatives of 2 x . 2 x . Figure 4.85 shows a graph of this family of antiderivatives.

For some functions, evaluating indefinite integrals follows directly from properties of derivatives. For example, for n ≠ − 1 , n ≠ − 1 ,

which comes directly from

This fact is known as the power rule for integrals.

Power Rule for Integrals

Evaluating indefinite integrals for some other functions is also a straightforward calculation. The following table lists the indefinite integrals for several common functions. A more complete list appears in Appendix B.

From the definition of indefinite integral of f , f , we know

it is important to check whether this statement is correct by verifying that F ′ ( x ) = f ( x ) . F ′ ( x ) = f ( x ) .

Example 4.51

Verifying an Indefinite Integral

حل

Verify that ∫ x cos x d x = x sin x + cos x + C . ∫ x cos x d x = x sin x + cos x + C .

In Table 4.13, we listed the indefinite integrals for many elementary functions. Let’s now turn our attention to evaluating indefinite integrals for more complicated functions. For example, consider finding an antiderivative of a sum f + g . f + g . In Example 4.51a. we showed that an antiderivative of the sum x + e x x + e x is given by the sum ( x 2 2 ) + e x ( x 2 2 ) + e x —that is, an antiderivative of a sum is given by a sum of antiderivatives. This result was not specific to this example. In general, if F F and G G are antiderivatives of any functions f f and g , g , respectively, then

In addition, consider the task of finding an antiderivative of k f ( x ) , k f ( x ) , where k k is any real number. حيث

These properties are summarized next.

Properties of Indefinite Integrals

From this theorem, we can evaluate any integral involving a sum, difference, or constant multiple of functions with antiderivatives that are known. Evaluating integrals involving products, quotients, or compositions is more complicated (see Example 4.51b. for an example involving an antiderivative of a product.) We look at and address integrals involving these more complicated functions in Introduction to Integration. In the next example, we examine how to use this theorem to calculate the indefinite integrals of several functions.

Example 4.52

Evaluating Indefinite Integrals

Evaluate each of the following indefinite integrals:

حل

Evaluate ∫ ( 4 x 3 − 5 x 2 + x − 7 ) d x . ∫ ( 4 x 3 − 5 x 2 + x − 7 ) d x .

Initial-Value Problems

We look at techniques for integrating a large variety of functions involving products, quotients, and compositions later in the text. Here we turn to one common use for antiderivatives that arises often in many applications: solving differential equations.

أ المعادلة التفاضلية is an equation that relates an unknown function and one or more of its derivatives. The equation

Sometimes we are interested in determining whether a particular solution curve passes through a certain point ( x 0 , y 0 ) ( x 0 , y 0 ) —that is, y ( x 0 ) = y 0 . y ( x 0 ) = y 0 . The problem of finding a function y y that satisfies a differential equation

with the additional condition

and the initial condition

Example 4.53

Solving an Initial-Value Problem

Solve the initial-value problem

حل

First we need to solve the differential equation. If d y d x = sin x , d y d x = sin x , then

The solution of the initial-value problem is y = − cos x + 6 . y = − cos x + 6 .

Solve the initial value problem d y d x = 3 x −2 , y ( 1 ) = 2 . d y d x = 3 x −2 , y ( 1 ) = 2 .

Example 4.54

Decelerating Car

  1. How many seconds elapse before the car stops?
  2. How far does the car travel during that time?

حل

Section 4.10 Exercises

For the following exercises, show that F ( x ) F ( x ) are antiderivatives of f ( x ) . f ( x ) .

F ( x ) = 5 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 1 , f ( x ) = 15 x 2 + 4 x + 3 F ( x ) = 5 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 1 , f ( x ) = 15 x 2 + 4 x + 3

F ( x ) = x 2 + 4 x + 1 , f ( x ) = 2 x + 4 F ( x ) = x 2 + 4 x + 1 , f ( x ) = 2 x + 4

F ( x ) = x 2 e x , f ( x ) = e x ( x 2 + 2 x ) F ( x ) = x 2 e x , f ( x ) = e x ( x 2 + 2 x )

F ( x ) = cos x , f ( x ) = − sin x F ( x ) = cos x , f ( x ) = − sin x

For the following exercises, find the antiderivative of the function.

For the following exercises, find the antiderivative F ( x ) F ( x ) of each function f ( x ) . f ( x ) .

f ( x ) = x 1 / 3 + ( 2 x ) 1 / 3 f ( x ) = x 1 / 3 + ( 2 x ) 1 / 3

f ( x ) = 2 sin ( x ) + sin ( 2 x ) f ( x ) = 2 sin ( x ) + sin ( 2 x )

f ( x ) = 1 2 csc 2 ( x ) + 1 x 2 f ( x ) = 1 2 csc 2 ( x ) + 1 x 2

f ( x ) = 4 csc x cot x − sec x tan x f ( x ) = 4 csc x cot x − sec x tan x

f ( x ) = 8 sec x ( sec x − 4 tan x ) f ( x ) = 8 sec x ( sec x − 4 tan x )

For the following exercises, evaluate the integral.

For the following exercises, solve the initial value problem.

f ′ ( x ) = cos x + sec 2 ( x ) , f ( π 4 ) = 2 + 2 2 f ′ ( x ) = cos x + sec 2 ( x ) , f ( π 4 ) = 2 + 2 2

f ′ ( x ) = x 3 − 8 x 2 + 16 x + 1 , f ( 0 ) = 0 f ′ ( x ) = x 3 − 8 x 2 + 16 x + 1 , f ( 0 ) = 0

f ′ ( x ) = 2 x 2 − x 2 2 , f ( 1 ) = 0 f ′ ( x ) = 2 x 2 − x 2 2 , f ( 1 ) = 0

For the following exercises, find two possible functions f f given the second- or third-order derivatives.

In the preceding problem, calculate how far the car travels in the time it takes to stop.

You are merging onto the freeway, accelerating at a constant rate of 12 12 ft/sec 2 . How long does it take you to reach merging speed at 60 60 mph?

Based on the previous problem, how far does the car travel to reach merging speed?

For the following exercises, find the antiderivative of the function, assuming F ( 0 ) = 0 . F ( 0 ) = 0 .

[T] f ( x ) = x 2 + 2 f ( x ) = x 2 + 2

[T] f ( x ) = 4 x − x f ( x ) = 4 x − x

[T] f ( x ) = sin x + 2 x f ( x ) = sin x + 2 x

[T] f ( x ) = e x f ( x ) = e x

[T] f ( x ) = 1 ( x + 1 ) 2 f ( x ) = 1 ( x + 1 ) 2

[T] f ( x ) = e −2 x + 3 x 2 f ( x ) = e −2 x + 3 x 2

For the following exercises, determine whether the statement is true or false. Either prove it is true or find a counterexample if it is false.

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Want to cite, share, or modify this book? This book is Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 and you must attribute OpenStax.

    If you are redistributing all or part of this book in a print format, then you must include on every physical page the following attribution:

  • Use the information below to generate a citation. We recommend using a citation tool such as this one.
    • Authors: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Publisher/website: OpenStax
    • Book title: Calculus Volume 1
    • Publication date: Mar 30, 2016
    • Location: Houston, Texas
    • Book URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/1-introduction
    • Section URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-10-antiderivatives

    © Jan 7, 2021 OpenStax. Textbook content produced by OpenStax is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 license. The OpenStax name, OpenStax logo, OpenStax book covers, OpenStax CNX name, and OpenStax CNX logo are not subject to the Creative Commons license and may not be reproduced without the prior and express written consent of Rice University.


    4.11: Antiderivatives - Mathematics

    This syllabus is a work in progress. I will be filling things in, and sometimes changing things, as we move through the semester.
    Click on the date to see that day's portion of the syllabus.
    As of now, some September information is shown, and more will be added.
    October, November, and December show little more than class meeting dates and HWK due dates for now. GP dates and detail about what's to be covered will be added later.
    For general information (classroom, office hours, etc.) see the page for course information.


    Anticipated test dates are sometime during the weeks of September 30 - October 7, November 4 -11, and December 2 - 10.
    HWK is generally due each Monday and Thursday.
    Graded problems are due as individually announced.
    Tuesday meetings for Math 116-04 will be on (all or most of) the following dates: ??
    Some kind of note re religious holidays and due dates. etc. (other stuff as well!)

    • Monday September 2 Labor Day

    • Monday September 9
      HWK 1 due. (Reviews finding derivatives and elementary antiderivatives.)
      Section 5.6. Integration by Parts

    • Monday September 16

      HWK 3 due (covers integration by parts)
      More integration practice
      Group work beginning GP1
      Writeups assigned for Tuesday


    4.11: Antiderivatives - Mathematics

    Welcome to Math 141! Calculus is a beautiful, important, challenging, and fascinating subject.

      Instructor: Frank Thorne, thorne [at] math.sc.edu.
      Available via Zoom: 844 730 1415 (password to be shared privately).
      Zoom Office Hours: Mondays 10:00-11:00, Tuesdays 4:00-5:00.
      In-person Office Hours: Thursdays 9:30-10:30.

    In person office hours will be held outdoors, in front of LeConte on the west side of this building, near this tree. Please wear a mask, practice social distancing, and don't come if you feel sick. If you just want to say hi or ask a quick question, no appointment is necessary. If you have a more detailed question, ask in advance and I will try to arrange for a a whiteboard.

    In-person office hours will be moved to Zoom, in case of high Covid numbers or inclement weather.

    Zoom office hours don't require an appointment. I am also available via Blackboard or Skype (just ask).

      Lectures: MW, 2:20-3:35, online.

    ال first lecture will be held via Blackboard Collaborate Ultra. (In Blackboard, you can find this under "Course Tools".) Please show up 10-15 minutes early for the first lecture so that we can make sure the technology is working.

    We will probably stick with BBCU for the entire term, but we might switch technologies in case of technical difficulties.

    • Have ample opportunities to practice and use algebra and trigonometry, further increasing their skills in these areas. Algebra is an absolute prerequisite for calculus, but at the same time the course will be directed towards students whose algebra skills may be slightly rusty and in need of practice.
    • تفهم quantitative data and its presentation. In calculus, this usually takes the shape of a وظيفة. Functions will be presented in terms of equations, or in terms of graphs, or in English text, and students will be required to seamlessly translate between these.
    • Develop the ability to explain their work clearly. As with the previous bullet point, this will involve a combination of equations, graphs, and English text. Students are expected to learn to write well.
    • Understand what definitions and theorems are. The student will be able to give precise definitions as well as informal explanations and will be able to explain the correspondence.
    • Tackle problems that require more than one step to solve, or whose solution is not obvious. Typically this means that you try something، و if it doesn't work you try something else.
    • Master concepts and problems involving limits, derivatives, integrals, and applications of all of the above.
    • Use concepts from calculus to interpret Covid-19 data, and to make tentative predictions about the progression of the pandemic.

    This material will be optional students may opt out from the Covid-19 material if they prefer.

    Text : Thomas, Calculus, Early Transcendentals, 13th edition. The book is available from the campus bookstore although the price is high, this price represents a substantial discount which our department negotiated with the publisher. The book is bundled with access to MyMathLab, which will also be used for 141. The same book will also be (presumably) used for 142 and 241.

    This is the same as the book used last year. Also, although the bookstore's books have a special cover, my understanding is that the book is mostly identical to "non-custom editions" available elsewhere, provided that you get the 13th Edition. (One difference: one chapter has been removed, which is not used in 141, 142, or 241.) You are also welcome to obtain the book elsewhere if you can find it -- but be sure that you are getting MyMathLab access.

    I also highly recommend Calculus Made Easy by Silvanus Thompson. If nothing else, read the epilogue on p. 283.

    الواجب المنزلي : Homework will be due approximately weekly, via the Pearson MyMathLab software. Please follow these instructions to set up your account and join the course. This requires a Pearson access code this should have been bundled if you bought your book new at the bookstore.

    The homeworks are long. Do not start the night before. They are also very important.

    In general it is recommended that you write out solutions in longhand before typing them into the computer, as if you were taking a quiz or exam. This will help you prepare for the quizzes and exams!

    Later in the semester, if the recitation section is still meeting physically, we might have a couple of Maple Labs. (This is doubtful at this point, but possible.) For students participating remotely, either these will be made optional or alternative assignments will be made. Your TA will help you with these, and they will be counted together with the homework.

    Accompanying each homework is a set of practice problems. All problems which will appear on any quiz, assessment, or exam will be taken from these practice problems. So you know exactly what to study. The online homeworks will correspond to a subset of these practice problems.

    Quizzes : Quizzes will be given in your discussion section with some regularity. Details will be announced by your TA. To get full credit you must answer clearly, show your work, draw pictures where appropriate, and put equals signs where they belong. If we can't understand how you arrived at your answer, then you will receive little or no credit.

    • Assessment 1: Precalculus (Chapter 1)
    • Assessment 2: Limits, continuity, and the definition of a derivative. (Ch. 2, 3.1, 3.2)
    • Assessment 3: Differentiation rules. (3.3-3.6 revised)
    • Assessment 4: Differentiation rules related rates maxima and minima. (3.7-3.10, 4.1)
    • Assessment 5: Optimization and L'Hopital introduction to the integral. (4.5-5.4 -- tentative)
    • Assessment 6: First steps in integration (parts areas volumes) (5.5-6.3 -- tentative)

    Final exam : The final exam won't be graded separately. Instead, it will be divided into six parts, corresponding to the midterm assessments. For each section, if you improve then your previous grade will be replaced otherwise, your midterm grade will be allowed to stand.

    • Precalculus, 8/20-30 8/31-9/6 9/7-9/13.
    • Differentiation rules, 10/12-10/18 10/19-10/25 10/26-11/1.

    Grading is on an all-or-nothing basis. You have three attempts for each exam, during the periods specified above. There are also practice exams available which don't count against your three attempts. Finally, there is a WebWork orientation which is available immediately.

    On all handwritten work, you will be graded both on correctness and on quality of exposition. The standard is that someone who doesn't know the answer should be able to easily follow your work. Any work that is confusing, ambiguous, or poorly explained will not receive full credit.

    The grade cutoffs are: A for 90%, B+ for 86%, B for 80%, C+ for 75%, C for 65%, and D for 50%.

          % of grade  
      Six midterm assessments:     10% x 6  
      Homework:     20%  
      Quizzes:     15%  
      Gateways:     5%  

      Do a project analyzing some aspect of the Covid-19 data. Alternatively, you may analyze similar data from the past -- for example, explain how the 2014-16 Ebola outbreak was nipped in the bud.

    Class discussion forum : The class will use Piazza as an online discussion forum. You are strongly encouraged to post questions about the course there. All of the instructional staff will check Piazza frequently and answer there. We will also add our own additional thoughts, clarifications, and suggestions.

    Students are also encouraged to answer each other's questions there, and to write with their own insights. Extra credit will be offered for particularly active participation.

    Sign up for an account here. Make-up policy :

    If you have a legitimate conflict with any of the exams it is your responsibility to inform me at least a week before the exam. Otherwise, makeups will only be given in case of illness or emergency. Late homework will generally only be accepted in case of illness or emergency, but please ask me if you have special circumstances.

    If you have a disability which requires any sort of accommodation please contact Student Disability Services. They give recommendations to me, and then I do whatever they say -- provided that you provide notice at least one week in advance.

    It is imperative that you refrain from engaging in plagiarism, cheating, falsifying your work and/or assisting other students in violating the Honor Code. The honor code applies to all work for this course. Students should review the Honor Code here.

    Calculators will not be allowed for the exams. You may use them on the homework if you want, but this is discouraged, as the purpose of the homework is to prepare you for the exams.

    Supplemental instruction :

    Felicia McGill runs the supplemental instruction sessions. This is a valuable resource and you are strongly encouraged to take advantage of it. Please go to ask questions and meet other students. It is a particularly good place to work on your homework.

    More information about the SI sections will be posted here once Felicia announces it.


    Schedule of lectures, homeworks, and exams

    To be filled in as the course proceeds.

    • 8/24: مقدمة. What is calculus?
    • 8/26: The cast of characters, I (Ch. 1.1-1.3, Functions and their graphs trigonometric functions)

    [8/26] Last day to drop without a W.

    Practice problems 2, from Thomas: 2.1, 1-12 2.2, 1-4, 11-50 2.4, 1-18, 21-30 2.5, 1-10.

    Practice problems 4, from Thomas: 3.3, 17-50, 55-58 3.4, 1-32 3.5, 1-26, 35-38, 61, 62 3.6, 1-74, 97-103.


    4.11: Antiderivatives - Mathematics

    MTH 482
    Discrete Mathematics II

    : Chapters, tests and administrative deadlines. Check the Announcements below for date changes.

    • [W] Herbert Wilf, Generatingfunctionology, 2nd ed., free here.
    • [HHM] Harris, Hirst, and Mossinghoff, Combinatorics and graph theory, 2nd ed., free from the MSU Library here or here.
    • [S] Richard Stanley, Enumerative Combinatorics I, 2nd ed., here or here.
    • Reinhard Diestel, Graph Theoryهنا.
    • Martin Aigner & Günter Ziegler, Proofs from THE BOOK, here.
    • Günter Ziegler, Convex Polytopes: Extremal Constructions and f-Vector Shapes, here.
    • Jurgen Richter-Gebert, Realization Spaces of Polytopes, here.
    • Final Exam:
      • Mon Apr 28, 10am&minus12noon in our usual classroom Wells A-136.
      • The exam will be 8 or 9 pages: about 9 quizzes put together, or slightly less than two midterms.
      • Study in the same way as for the Midterm Exam: re-do (not just re-read) all quizzes and the Midterm, then compare to the answers. Do the Review 1,2,3 below, as well as the Midterm Review. Re-read the Notes, and re-do the old HW selection below.
      • The Exam will consist of 40% pre-midterm and 60% post-midterm topics.

      Do each assignment after the lecture on that date.

      I will not collect homework (except problems marked Hand In), but the next daily quiz will be based on it. You may also hand in problems marked Extra Credit, preferably within a week of the HW date. Each problem you give up on is a lost opportunity to learn: only look at the solution after a serious effort.

      I will give an extra point to the first person pointing out a significant typo or other error on this page. Corrections and recent revisions are in red . Future assignments, which are tentative and may be revised, are marked in gray .

      On this page, I will denote the binomial coefficient (n choose k) as (n | k), and the multi-set number (n multi-choose k) as ((n | k)). Use the standard vertical notation on your papers. Also, the set of the first k positive integers is denoted [k] = <1,2. k>.

      • We can view a sequence (aن)n&ge0 as a function a : ℕ &rarr ℝ, since to each input n &isin ℕ (a discrete variable), it assigns an output a(n) = aن. There is a close analogy with a function a(x), where x is a real number input (a continuous variable), and many familiar operations on a(x) have analogs for aن.
      • The derivative operation D = d &frasldx for a(x):

      has two analogs for aن: the advanced and retarded difference operations:

        Prove the Fundamental Theorem of Difference Calculus: &Delta and &Sigma are inverse operations: that is, &Deltaaن = bن &hArr aن = &Sigmabن . Or equivalently, for any sequence (aن)n&ge0, we have:

        Define a language as a set دبليو of words, which are lists of letters, according to specified rules. In our language, a word can be any string of letters a,b, with no two consecutive a's. We let wن be the number of allowed words with n letters. For example, w3 = 5 counts the words:


      Mathematics V63.0121: Calculus I

      Trigonometric, Inverse Trigonometric, Logarithmic and Exponential Functions.

      Derivatives, Antiderivatives and Integrals of functions of one real variable.

      Applications including graphing, maximizing and minimizing functions.

      كتاب مدرسي

      You are expected to read the textbook قبل the classroom discussion of each topic.

      Syllabus / Homework

      Week 1 1.1
      1.2
      Functions and their representations
      A catalog of essential functions
      19, 21, 23, 25, 37, 57
      18, 28, 49, 62
      1.3
      1.4
      The limit of a function
      Calculating limits
      11, 13, 16, 33
      10, 11, 13, 20, 23, 31
      Week 2 1.5
      1.6
      Continuity
      Limits involving infinity
      13, 20, 24, 29
      14, 18, 21, 29, 47, 49
      2.1
      2.2
      Derivatives and rates of change
      The derivative as a function
      23, 24, 25, 28
      1, 16, 17, 18, 19, 20
      الأسبوع الثالث 2.2
      2.3
      The derivative as a function
      Basic differentiation formulas
      3, 9, 14, 18, 22, 28, 33, 35
      11, 16, 26, 32, 39, 48, 52, 62
      2.4
      2.5
      The product and quotient rules
      The chain rule
      2, 11, 23, 29, 38, 43, 46, 52
      3, 11, 21, 34, 37, 45, 54, 64
      Week 4 2.6
      2.7
      Implicit differentiation
      Related rules (optional)
      5, 13, 14, 17, 23, 32, 36, 38
      3, 7, 11, 14, 20, 25, 31, 36
      2.8 Linear approximations and differentials 3, 10, 13, 18, 20, 21, 23, 28
      Week 5 3.1
      3.2
      الدوال الأسية
      Inverse functions and logarithms
      16, 18, 19, 25, 30, 31, 11, 32
      4, 17, 22, 36, 48, 53, 63, 66, 73
      3.3
      3.4
      Derivatives of logarithms and exponential functions
      Exponential growth and decay
      7, 23, 24, 30, 38, 51, 57, 63
      1, 4, 5, 9, 18, 12, 20
      Week 6 3.5
      3.6
      3.7
      Inverse trignometric functions
      Hyperbolic functions (optional)
      Indeterminate forms and L'Hospital's rule
      4, 7, 8, 13, 17, 20, 28, 32
      7, 10, 11, 32, 19, 44, 48, 34
      6, 12, 30, 31, 35, 40, 41, 49
      4.1
      4.2
      Maximum and minimum values
      The mean value theorem
      8, 14, 28, 29, 36, 43, 55, 61
      4, 13, 15, 18, 27, 32, 36, 30
      Week 7 4.3
      4.4
      4.5
      Derivatives and shapes of graphs
      Curve sketching (optional)
      Optimization problems
      4, 24, 30, 34, 35, 37, 48, 53
      2, 14, 22, 31, 38
      4.5
      4.6
      Optimization problems
      Newton's method
      6, 9, 12, 24, 28, 32, 38, 43
      Week 8 4.6
      4.7
      Newton's method
      Antiderivatives
      6, 8, 10, 12, 18, 22, 25, 29
      1, 2, 3, 4, 11, 23, 26
      5.1
      5.2
      Areas and distances
      The definite integral
      2, 8, 14, 16
      Week 9 5.2
      5.3
      The definite integral
      Evaluating definite integrals
      2, 8, 14, 18, 29, 32, 39, 50
      5.3
      5.4
      Evaluating definite integrals
      The fundamental theorem of calculus
      3, 12, 15, 20, 32, 37, 43, 62
      Week 10 5.4
      5.5
      The fundamental theorem of calculus
      The substitution rule
      2, 4, 8, 22, 24, 27, 28, 33
      5.5
      6.1
      The substitution rule
      Integration by parts
      6, 15, 21, 31, 39, 47, 55, 62
      2, 8, 14, 19, 26, 31, 40, 43
      Week 11 6.1
      6.2
      Integration by parts
      Trignometric integrals and substitutions
      2, 8, 14, 19, 26, 31, 40, 43
      8, 12, 20, 28, 34, 51, 58
      6.3 Partial Fractions 19, 22, 28, 38, 41
      Week 12 6.5 Approximate integration 7, 8, 10, 15, 16
      6.6 Improper integrals 7, 10, 14, 22, 28, 32, 41, 46
      Week 13 7.1 Areas between curves 5, 6, 7, 8, 14, 15, 18, 20, 33
      Review

      Grading

      The course grade is based on the total number of points from hour exams, homework, quizzes, computer labs, and the final exam.


      حساب التفاضل والتكامل

      Textbook: Precalculus: Mathematics for Calculus, 6th ed. James Stewart.

      Exponential and Logarithmic Functions
      4.1 Exponential Functions 3, 5, 13, 15, 19, 22-25, 27, 31
      4.2 The Natural Exponential Function 1, 3, 14, 18, 20, 21, 25, 31, 38
      4.3 Logarithmic Functions 2, 3, 4, 10, 12, 14, 16, 18, 19, 22, 25, 27, 29, 33, 36, 37, 39, 45-48, 87, 88, 91
      4.4 Laws of Logarithms 4, 7, 9, 10, 11, 17, 21, 34, 37, 47, 49, 63, 68, 69, 72, 73
      4.5 Exponential and Logarithmic Equations 2, 7, 12, 17, 21, 33, 37, 43, 55, 59, 71, 73, 75, 79, 83
      4.6 Modeling with Exponential and Logarithmic Functions
      Slides:
      StewartPCalc6_04_01.ppt
      StewartPCalc6_04_02.ppt
      StewartPCalc6_04_03.ppt
      StewartPCalc6_04_04.ppt
      StewartPCalc6_04_05.ppt
      StewartPCalc6_04_06.ppt

      الأساسيات
      1.7 Inequalities 2, 9, 13, 16, 21, 31, 40, 41, 47, 59, 104, 122

      المهام
      2.1 What Is a Function? 8, 16, 17, 19, 22, 34, 43, 47, 51, 64, 69, 71, 75, 79
      2.2 Graphs of Functions 4, 11, 15, 19, 23, 31, 35, 53-57, 61, 82
      2.3 Getting Information from the Graph of a Function 5, 7, 20, 49
      2.4 Average Rate of Change of a Function
      2.5 Transformations of Functions 3, 4, 18, 23, 25, 27, 31, 41
      2.6 Combining Functions 1, 7, 10, 23, 24, 27-32, 41, 43, 63, 64, 68, 70
      2.7 One-to-One Functions and Their Inverses 2-4, 5-8, 11, 13, 15, 21, 26, 27, 37, 41
      Slides:
      StewartPCalc6_02_01.ppt
      StewartPCalc6_02_02.ppt
      StewartPCalc6_02_03.ppt
      StewartPCalc6_02_04.ppt
      StewartPCalc6_02_05.ppt
      StewartPCalc6_02_06.ppt
      StewartPCalc6_02_07.ppt

      Textbook: Calculus of a Single Variable, 9th ed. Ron Larson.

      Limits and Their Properties
      1.1 A Preview of Calculus 1, 2, 5, 6
      1.2 Finding Limits Graphically and Numerically 1, 2, 3, 16, 17, 19, 22, 23, 26, 28, 30, 57, 63, 71, 72
      1.3 Evaluating Limits Analytically 4, 5, 13, 14, 18, 22, 23, 25, 27, 32, 35, 37, 40, 42, 45, 47, 51, 53, 57, 65, 68, 69, 70, 90, 107, 108, 117, 118, 119, 124
      1.4 Continuity and One-Sided Limits 1, 3, 5, 7
      1.5 Infinite Limits
      Slides: http://www.portledge.org/RelId/633747/ISvars/default/CHAPTER_1_POWERPOINTS-_Larson.htm

      Differentiation
      2.1 The Derivative and the Tangent Line Problem 1, 2, 5, 7, 14, 17, 21, 39-42, 45-48
      2.2 Basic Differentiation Rules and Rates of Change 3, 5, 7, 9, 11, 13, 19, 25, 28, 29, 30, 31, 35, 37, 43, 48, 52, 72, 79, 87, 89, 97, 107, 117
      2.3 Product and Quotient Rules and Higher-Order Derivatives 1, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 18, 20, 21, 23, 29, 33, 43, 50, 60, 69, 75, 89, 107, 121, 122, 131-135
      2.4 The Chain Rule 1, 2, 4, 6, 13, 18, 22, 26, 35, 44, 48, 52, 61, 67, 72, 89, 95
      2.5 Implicit Differentiation 4, 8, 12, 15, 27, 29, 79
      2.6 Related Rates 11, 18, 27, 31, 44, 45
      Slides: http://www.portledge.org/RelId/633762/ISvars/default/CHAPTER_2_POWERPOINTS_-_Larson.htm

      Applications of Differentiation
      3.1 Extrema on an Interval
      3.2 Rolle’s Theorem and the Mean Value Theorem
      3.3 Increasing and Decreasing Functions and the First Derivative Test
      3.4 Concavity and the Second Derivative Test
      3.5 Limits at Infinity
      3.6 A Summary of Curve Sketching
      3.7 Optimization Problems
      3.8 Newton’s Method
      3.9 Differentials

      Integration 247
      4.1 Antiderivatives and Indefinite Integration
      4.2 Area
      4.3 Riemann Sums and Definite Integrals
      4.4 The Fundamental Theorem of Calculus
      SECTION PROJECT: Demonstrating the Fundamental Theorem
      4.5 Integration by Substitution
      4.6 Numerical Integration

      Applications of Integration
      7.1 Area of a Region Between Two Curves 7.2 Volume: The Disk Method
      7.3 Volume: The Shell Method
      7.4 Arc Length and Surfaces of Revolution


      شاهد الفيديو: كيف نحسب مشتقة الدالة العكسية للصف 12متقدم (ديسمبر 2021).