مقالات

5.8: نظرية ستوكس - الرياضيات


أهداف التعلم

  • اشرح معنى نظرية ستوكس.
  • استخدم نظرية ستوكس لتقييم تكامل الخط.
  • استخدم نظرية ستوكس لحساب تكامل السطح.
  • استخدم نظرية ستوكس لحساب التجعيد.

في هذا القسم ، ندرس نظرية ستوكس ، وهي تعميم عالي الأبعاد لنظرية جرين. هذه النظرية ، مثل النظرية الأساسية لتكاملات الخط ونظرية جرين ، هي تعميم للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل على أبعاد أعلى. ترتبط نظرية ستوكس بسطح متجه متكامل على السطح (S ) في الفضاء بخط متكامل حول حدود (S ). لذلك ، تمامًا مثل النظريات التي سبقتها ، يمكن استخدام نظرية ستوكس لتقليل التكامل على كائن هندسي (S ) إلى تكامل فوق حدود (S ). بالإضافة إلى السماح لنا بالترجمة بين تكاملات الخط والتكاملات السطحية ، تربط نظرية ستوكس مفهومي الضفيرة والدوران. علاوة على ذلك ، فإن للنظرية تطبيقات في ميكانيكا الموائع والكهرومغناطيسية. نستخدم نظرية ستوكس لاشتقاق قانون فاراداي ، وهي نتيجة مهمة تتعلق بالمجالات الكهربائية.

نظرية ستوكس

تنص نظرية ستوكس على أنه يمكننا حساب تدفق (curl ، vecs {F} ) عبر السطح (S ) من خلال معرفة المعلومات فقط عن قيم ( vecs {F} ) على طول حدود (س). على العكس من ذلك ، يمكننا حساب تكامل خط الحقل المتجه ( vecs {F} ) على طول حدود السطح (S ) بالترجمة إلى تكامل مزدوج من التفاف ( vecs {F} ) فوق (س).

لنفترض (S ) أن يكون سطحًا أملسًا موجهًا مع وحدة متجه عادية ( vecs {N} ) علاوة على ذلك ، افترض أن حدود (S ) هي منحنى مغلق بسيط (C ). يستحث اتجاه (S ) الاتجاه الإيجابي لـ (C ) إذا ، وأنت تمشي في الاتجاه الإيجابي حول (C ) مع توجيه رأسك باتجاه ( vecs {N} ) ، يكون السطح دائمًا على يسارك. مع هذا التعريف في مكانه ، يمكننا القول نظرية ستوكس.

Theorem ( PageIndex {1} ): نظرية ستوكس

لنفترض (S ) أن يكون سطحًا أملسًا متعدد الجوانب مع حد منحنى بسيط مغلق (C ) مع اتجاه إيجابي (الشكل ( فهرس الصفحة {1} )). إذا كان ( vecs {F} ) حقل متجه به وظائف مكون لها مشتقات جزئية مستمرة في منطقة مفتوحة تحتوي على (S ) ، إذن

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs S. label {Stokes1} ]

لنفترض أن السطح (S ) هو منطقة مسطحة في (س ص ) - مستوى مع اتجاه تصاعدي. ثم متجه الوحدة العادي هو ( vecs {k} ) وتكامل السطح

[ iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs {S} ]

هو في الواقع التكامل المزدوج

[ iint_S curl ، vecs {F} cdot vecs {k} ، dA. ]

في هذه الحالة الخاصة ، تعطي نظرية ستوكس

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl ، vecs {F} cdot vecs {k} ، dA. ]

ومع ذلك ، هذا هو الشكل المتدفق لنظرية جرين ، والذي يوضح لنا أن نظرية جرين هي حالة خاصة من نظرية ستوكس. يمكن لنظرية جرين التعامل مع الأسطح في المستوى فقط ، لكن نظرية ستوكس يمكنها التعامل مع الأسطح في المستوى أو في الفضاء.

الدليل الكامل لنظرية ستوكس خارج نطاق هذا النص. ننظر إلى تفسير بديهي لحقيقة النظرية ، ثم نرى دليلًا على النظرية في الحالة الخاصة التي تشير إلى أن السطح (S ) هو جزء من رسم بياني لوظيفة ، و (S ) ، حدود (S ) و ( vecs {F} ) كلها ترويض إلى حد ما.

دليل

أولاً ، ننظر إلى إثبات غير رسمي للنظرية. هذا الدليل ليس صارمًا ، لكن المقصود منه إعطاء شعور عام عن سبب صحة النظرية. دع (S ) يكون سطحًا واجعل (D ) قطعة صغيرة من السطح بحيث لا يشارك (د ) أي نقاط مع حدود (س ). نختار (D ) أن تكون صغيرة بما يكفي بحيث يمكن تقريبها بمربع موجه (E ). دع (D ) يرث اتجاهه من (S ) ، ويعطي (E ) نفس الاتجاه. هذا المربع له أربعة جوانب. دلل عليها (E_l ، ، E_r ، ، E_u ) ، و (E_d ) للجوانب اليسرى ، اليمنى ، الأعلى ، والأسفل ، على التوالي. في المربع ، يمكننا استخدام صيغة التدفق لنظرية جرين:

[ int_ {E_l + E_d + E_r + E_u} vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_E curl ، vecs {F} cdot vecs {N} ، d vecs { S} = iint_E curl ، vecs {F} cdot d vecs {S}. ]

لتقريب التدفق فوق السطح بالكامل ، نضيف قيم التدفق على المربعات الصغيرة التي تقترب من قطع صغيرة من السطح (الشكل ( PageIndex {2} )).

وفقًا لنظرية جرين ، فإن التدفق عبر كل مربع تقريبي هو خط متكامل فوق حدوده. لنفترض (F ) أن يكون مربعًا تقريبًا مع اتجاه موروث من (S ) وبجانبه الأيمن (E_l ) (بحيث يكون (F ) على يسار (E )). دع (F_r ) يشير إلى الجانب الأيمن من (F ) ؛ ثم (E_l = - F_r ). بعبارة أخرى ، الجانب الأيمن من (F ) هو نفس منحنى الجانب الأيسر من (E ) ، فقط موجه في الاتجاه المعاكس. لذلك،

[ int_ {E_l} vecs F cdot d vecs r = - int_ {F_r} vecs F cdot d vecs r. لا يوجد رقم]

نظرًا لأننا نجمع كل التدفقات على جميع المربعات التي تقترب من السطح (S ) ، تكاملات الخط

[ int_ {E_l} vecs {F} cdot d vecs {r} ]

و

[ int_ {F_r} vecs {F} cdot d vecs {r} ]

يلغي كل منهما الآخر. الأمر نفسه ينطبق على تكاملات الخط على الجوانب الثلاثة الأخرى لـ (E ). تلغي تكاملات الأسطر الثلاثة هذه مع تكامل خط الجانب السفلي من المربع أعلاه (E ) ، والخط المتكامل على الجانب الأيسر من المربع على يمين (E ) ، والخط متكامل فوق الجانب العلوي من المربع أسفل (E ) (الشكل ( PageIndex {3} )). بعد كل هذا الإلغاء يحدث في جميع المربعات التقريبية ، فإن تكاملات الخط الوحيدة الباقية هي تكاملات الخط على الجوانب التي تقترب من حدود (S ). لذلك ، يمكن تقريب مجموع كل التدفقات (التي ، وفقًا لنظرية جرين ، هي مجموع كل تكاملات الخط حول حدود المربعات التقريبية) بخط متكامل فوق حدود (S ). في النهاية ، نظرًا لأن مناطق المربعات التقريبية تذهب إلى الصفر ، فإن هذا التقريب يقترب بشكل تعسفي من التدفق.

دعنا الآن نلقي نظرة على إثبات صارم للنظرية في الحالة الخاصة أن (S ) هو الرسم البياني للوظيفة (z = f (x ، y) ) ، حيث (x ) و (y ) تختلف عبر منطقة محدودة متصلة ببساطة (D ) من منطقة محدودة (الشكل ( PageIndex {4} )). علاوة على ذلك ، افترض أن (f ) له مشتقات جزئية مستمرة من الدرجة الثانية. دع (C ) يشير إلى حدود (S ) ودع (C ') يشير إلى حدود (D ). إذن ، (D ) هو "ظل" (S ) في المستوى و (C ") هو" ظل " (C ). افترض أن (S ) موجه لأعلى. اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة لـ (C ) موجب ، وكذلك اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة لـ (C '). لنفترض أن ( vecs F (x، y، z) = langle P، Q، R rangle ) حقل متجه مع وظائف مكون لها مشتقات جزئية مستمرة.

نأخذ المعلمات القياسية لـ (S ،: ، x = x ، ، y = y ، ، z = g (x ، y) ). متجهات الظل هي ( vecs t_x = langle 1،0، g_x rangle ) و ( vecs t_y = langle 0،1، g_y rangle ) ، وبالتالي ( vecs t_x times vecs t_y = langle -g_x ، ، -g_y ، ، 1 rangle ).

[ iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs {S} = iint_D [- (R_y - Q_z) z_x - (P_z - R_x) z_y + (Q_x - P_y)] ، dA، لا يوجد رقم]

حيث يتم تقييم جميع المشتقات الجزئية عند ((x، y، g (x، y)) ) ، مما يجعل التكامل يعتمد على (x ) و (y ) فقط. افترض أن ( langle x (t) ، ، y (t) rangle ، ​​، a leq t leq b ) معلمة لـ (C '). بعد ذلك ، تكون معلمة (C ) هي ( langle x (t) ، ، y (t) ، ، g (x (t) ، ، y (t)) rangle ، ​​، a leq t leq b ). مسلح بهذه المعلمات ، قاعدة السلسلة ، ونظرية Green ، مع الأخذ في الاعتبار أن (P ) و (Q ) و (R ) كلها وظائف (x ) و (y ) ، يمكننا إيجاد قيمة تكامل الخط

[ start {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_a ^ b (Px '(t) + Qy' (t) + Rz '(t)) ، dt [4pt] & = int_a ^ b left [Px '(t) + Qy' (t) + R left ( dfrac { جزئي z} { جزئي x} dfrac {dx} {dt } + dfrac { جزئي z} { جزئي y} dfrac {dy} {dt} right) right] dt [4pt] & = int_a ^ b left [ left (P + R dfrac { جزئي z} { جزئي x} يمين) x '(t) + يسار (Q + R dfrac { جزئي z} { جزئي y} يمين) y' (t) right] dt [4pt] & = int_ {C '} left (P + R dfrac { جزئي z} { جزئي x} يمين) ، dx + يسار (Q + R dfrac { جزئي z } { جزئي y} يمين) ، dy [4pt] & = iint_D left [ dfrac { جزئي} { جزئي x} يسار (Q + R dfrac { جزئي z} { جزء y} يمين) - dfrac { جزئي} { جزئي y} يسار (P + R dfrac { جزئي z} { جزئي x} يمين) يمين] ، dA [4pt] & = iint_D left ( dfrac { جزئي Q} { جزئي x} + dfrac { جزئي Q} { جزئي z} dfrac { جزئي z} { جزئي x} + dfrac { جزئي R} { جزئي x} dfrac { جزئي z} { جزئي y} + dfrac { جزئي R} { جزئي z} dfrac { جزئي z} { جزئي x} dfrac { جزئي z} { جزئي y} + R dfrac { جزئي ^ 2 z} { جزئي x جزئي y} يمين) - يسار ( dfrac { جزئي P} { جزئي y} + dfrac { part P} { جزئي z} dfrac { جزئي z} { جزئي y} + dfrac { جزئي R} { جزئي z} dfrac { جزئي z} { جزئي y} dfrac { جزئي z} { جزئي x} + R dfrac { جزئي ^ 2 z} { جزئي y جزئي x} يمين) end {align *} ]

من خلال نظرية كليروت ،

[ dfrac { جزئي ^ 2 z} { جزئي x جزئي y} = dfrac { جزئي ^ 2 z} { جزئي y جزئي x} non Number ]

إذن ، تختفي أربعة حدود من هذا التكامل المزدوج ، ويتبقى لنا

[ iint_D [- (R_y - Q_z) Z_x - (P_z - R_x) z_y + (Q_x - P_y)] ، dA، nonumber ]

الذي يساوي

[ iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs {S}. لا يوجد رقم]

(صندوق)

لقد أظهرنا أن نظرية ستوكس صحيحة في حالة الوظيفة ذات المجال الذي هو ببساطة منطقة متصلة بمنطقة محدودة. يمكننا تأكيد هذه النظرية بسرعة لحالة أخرى مهمة: عندما يكون حقل المتجه ( vecs {F} ) حقلاً متحفظًا. إذا كانت ( vecs {F} ) محافظة ، فإن قيمة ( vecs {F} ) تساوي صفرًا ، لذلك

[ iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs {S} = 0. ]

بما أن حدود (S ) عبارة عن منحنى مغلق ، فهو لا يتجزأ

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

هي أيضا صفر.

مثال ( PageIndex {1} ): التحقق من نظرية ستوكس لحالة معينة

تحقق من صحة نظرية ستوكس لحقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = langle -z، x، 0 rangle ) والسطح (S ) ، حيث (S ) هو نصف الكرة ، موجه للخارج ، مع تحديد المعلمات ( vecs r ( phi ، theta) = langle sin phi ، cos theta ، ، sin phi ، sin theta ، ، cos phi rangle، ، 0 leq theta leq pi، ، 0 leq phi leq pi ) كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {5} ).

حل

دع (C ) يكون حدود (S ). لاحظ أن (C ) دائرة نصف قطرها 1 ، تتمركز في الأصل ، وتجلس في المستوى (y = 0 ). تحتوي هذه الدائرة على معلمات ( langle cos t، ، 0، ، sin t rangle، ، 0 leq t leq 2 pi ). معادلة التكاملات السطحية العددية

[ start {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ {2 pi} langle - sin t، ، cos t، ، 0 rangle cdot langle - sin t، ، 0، ، cos t rangle ، dt [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} sin ^ 2 t ، dt [ 4pt] & = pi. النهاية {محاذاة *} ]

من خلال معادلة تكاملات خط المتجه ،

[ start {align *} iint_S ، curl ، vecs {F} cdot d vecs S & = iint_D curl ، vecs {F} ( vecs r ( phi، theta)) cdot ( vecs t _ { phi} times vecs t _ { theta}) ، dA [4pt] & = iint_D langle 0، -1، 1 rangle cdot langle cos theta ، sin ^ 2 phi، ، sin theta ، sin ^ 2 phi، ، sin phi ، cos phi rangle ، dA [4pt] & = int_0 ^ { pi} int_0 ^ { pi} ( sin phi ، cos phi - sin theta ، sin ^ 2 phi) ، d phi d theta [4pt] & = dfrac { pi} {2} int_0 ^ { pi} sin theta ، d theta [4pt] & = pi. end {align *} ]

لذلك ، تحققنا من نظرية ستوكس في هذا المثال.

تمرين ( PageIndex {1} )

تحقق من صحة نظرية ستوكس لحقل المتجه ( vecs {F} (x، y، z) = langle y، x، -z rangle ) والسطح (S ) ، حيث (S ) ) هو الجزء الموجه لأعلى من الرسم البياني لـ (f (x، y) = x ^ 2 y ) فوق مثلث في (xy ) - الطائرة ذات الرؤوس ((0،0) ، ، ( 2،0) ) و ((0،2) ).

تلميح

احسب التكامل المزدوج والخط المتكامل بشكل منفصل.

إجابه

يعطي كلا التكاليين (- dfrac {136} {45} ):

تفسير الضفيرة

بالإضافة إلى الترجمة بين تكاملات الخط وتكاملات التدفق ، يمكن استخدام نظرية ستوكس لتبرير التفسير المادي للضفيرة التي تعلمناها. هنا نتحرى العلاقة بين الضفيرة والدوران ، ونستخدم نظرية ستوكس لتوضيح قانون فاراداي - وهو قانون مهم في الكهرباء والمغناطيسية يربط التفاف المجال الكهربائي بمعدل تغير المجال المغناطيسي.

تذكر أنه إذا كان (C ) منحنى مغلق و ( vecs {F} ) عبارة عن حقل متجه محدد في (C ) ، فإن تداول ( vecs {F} ) حول ( C ) خط متكامل

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

إذا كان ( vecs {F} ) يمثل مجال سرعة مائع في الفضاء ، فإن الدوران يقيس ميل السائل للتحرك في اتجاه (C ).

لنفترض أن ( vecs {F} ) حقل متجه مستمر واجعل (D _ { tau} ) قرصًا صغيرًا من نصف القطر (r ) مع المركز (P_0 ) (الشكل ( فهرس الصفحة {7} )). إذا كان (D _ { tau} ) صغيرًا بدرجة كافية ، إذن ((curl ، vecs {F}) (P) almost (curl ، vecs F) (P_0) ) لجميع النقاط ( P ) في (D _ { tau} ) لأن التجعيد مستمر. لنكن (C _ { tau} ) دائرة حدود (D _ { tau} ): بواسطة نظرية ستوكس ،

[ int_ {C _ { tau}} vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_ {D _ { tau}} curl ، vecs {F} cdot vecs {N} ، d vecs S almost iint_ {D _ { tau}} (curl ، vecs {F}) (P_0) cdot vecs {N} (P_0) ، d vecs S. ]

الكمية ((curl ، vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) ) ثابتة ، وبالتالي

[ iint_ {D _ { tau}} (curl ، vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) ، d vecs S = pi r ^ 2 [(curl ، vecs F ) (P_0) cdot vecs N (P_0)]. لا يوجد رقم]

هكذا

[ int_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r almost pi r ^ 2 [(curl ، vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0)] ، لا يوجد رقم]

ويقترب التقريب بشكل تعسفي مع تقلص نصف القطر إلى الصفر. لذلك فإن نظرية ستوكس تعني ذلك

[(curl ، vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) = lim_ {r rightarrow 0 ^ +} dfrac {1} { pi r ^ 2} int_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r. لا يوجد رقم]

تربط هذه المعادلة تجعيد حقل متجه بالدوران. نظرًا لأن مساحة القرص ( pi r ^ 2 ) ، فإن هذه المعادلة تنص على أنه يمكننا عرض الضفيرة (في الحد) كتدوير لكل وحدة مساحة. تذكر أنه إذا كان ( vecs F ) هو حقل سرعة السائل ، فإن الدوران [ oint_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r = oint_ {C _ { tau}} vecs F cdot vecs T ، ds ] هو مقياس لميل السائل للتحرك حول (C _ { tau} ): السبب في ذلك هو أن ( vecs F cdot vecs T ) هو أحد مكونات ( vecs F ) في اتجاه ( vecs T ) ، وكلما اقترب اتجاه ( vecs F ) من ( vecs T ) ، أكبر قيمة ( vecs F cdot vecs T ) (تذكر أنه إذا كان ( vecs a ) و ( vecs b ) متجهات و ( vecs b ) تم إصلاحه ، يكون المنتج النقطي ( vecs a cdot vecs b ) هو الحد الأقصى عندما يشير ( vecs a ) إلى نفس اتجاه ( vecs b )). لذلك ، إذا كان ( vecs F ) هو حقل سرعة السائل ، فإن (curl ، vecs F cdot vecs N ) هو مقياس لكيفية دوران السائل حول المحور ( vecs N ). يكون تأثير الضفيرة أكبر بالنسبة للمحور الذي يشير في اتجاه ( vecs N ) ، لأنه في هذه الحالة يكون (curl ، vecs F cdot vecs N ) أكبر ما يمكن.

لرؤية هذا التأثير بطريقة أكثر واقعية ، تخيل وضع عجلة مجداف صغيرة عند النقطة (P_0 ) (الشكل ( PageIndex {8} )). تحقق عجلة المجذاف سرعتها القصوى عندما يشير محور العجلة في اتجاه التفاف ( vecs F ). هذا يبرر تفسير الضفيرة التي تعلمناها: curl هو مقياس للدوران في حقل المتجه حول المحور الذي يشير في اتجاه المتجه العادي ( vecs N ) ، وتبرر نظرية ستوكس هذا التفسير.

الآن بعد أن تعلمنا عن نظرية ستوكس ، يمكننا مناقشة التطبيقات في مجال الكهرومغناطيسية. على وجه الخصوص ، ندرس كيف يمكننا استخدام نظرية ستوكس للترجمة بين شكلين مكافئين لقانون فاراداي. قبل ذكر شكلي قانون فاراداي ، نحتاج إلى بعض المصطلحات الأساسية.

لنفترض أن (C ) منحنى مغلق يمثل سلكًا رفيعًا. في سياق المجالات الكهربائية ، قد يتحرك السلك بمرور الوقت ، لذلك نكتب (C (t) ) لتمثيل السلك. في وقت معين (t ) ، قد يختلف المنحنى (C (t) ) عن المنحنى الأصلي (C ) بسبب حركة السلك ، لكننا نفترض أن (C (t) ) هو منحنى مغلق لجميع الأوقات (t ). لنفترض أن (D (t) ) يكون سطحًا به (C (t) ) كحدود له ، ويتجه (C (t) ) بحيث يكون (D (t) ) له اتجاه إيجابي. افترض أن (C (t) ) في مجال مغناطيسي ( vecs B (t) ) يمكن أن يتغير أيضًا بمرور الوقت. بعبارة أخرى ، يحتوي ( vecs {B} ) على الشكل

[ vecs B (x، y، z) = langle P (x، y، z)، ، Q (x، y، z)، ، R (x، y، z) rangle، ]

حيث يمكن أن تختلف (P ) و (Q ) و (R ) بشكل مستمر بمرور الوقت. يمكننا إنتاج تيار على طول السلك عن طريق تغيير الحقل ( vecs B (t) ) (هذا نتيجة لقانون أمبير). الجريان ( displaystyle phi (t) = iint_ {D (t)} vecs B (t) cdot d vecs S ) ينشئ حقلًا كهربائيًا ( vecs E (t) ) يعمل. ينص الشكل المتكامل لقانون فاراداي على ذلك

[العمل = int_ {C (t)} vecs E (t) cdot d vecs r = - dfrac { جزئي phi} { جزئي t}. ]

بعبارة أخرى ، العمل الذي يقوم به ( vecs {E} ) هو الخط المتكامل حول الحدود ، والذي يساوي أيضًا معدل تغير التدفق فيما يتعلق بالوقت. ينص الشكل التفاضلي لقانون فاراداي على ذلك

[curl ، vecs {E} = - dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t}. ]

باستخدام نظرية ستوكس ، يمكننا أن نبين أن الشكل التفاضلي لقانون فاراداي هو نتيجة لصيغة التكامل. من خلال نظرية ستوكس ، يمكننا تحويل الخط المتكامل في شكل متكامل إلى تكامل سطحي

[- dfrac { جزئي phi} { جزئي t} = int_ {C (t)} vecs E (t) cdot d vecs r = iint_ {D (t)} curl ، vecs E (t) cdot d vecs S. ]

منذ [ phi (t) = iint_ {D (t)} B (t) cdot d vecs S ، ] فطالما أن تكامل السطح لا يختلف مع الوقت لدينا أيضًا

[- dfrac { جزئي phi} { جزئي t} = iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} cdot d vecs S. ]

لذلك،

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl ، vecs E cdot d فيكس S. ]

لاشتقاق الصيغة التفاضلية لقانون فاراداي ، نود أن نستنتج أن (curl ، vecs E = - dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} ): بشكل عام ، المعادلة

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl ، vecs E cdot d فيكس S ]

لا يكفي لاستنتاج أن (curl ، vecs E = - dfrac { جزئي vecs B} { part t} ): الرموز المتكاملة لا "تلغي" ببساطة ، تاركة المساواة في التكامل. لمعرفة سبب عدم إلغاء رمز التكامل بشكل عام فقط ، ضع في اعتبارك التكاملات ذات المتغير الفردي ( displaystyle int_0 ^ 1 x ، dx ) and ( displaystyle int_0 ^ 1 f (x) ، dx ) ، حيث

[f (x) = begin {cases} 1، & text {if} 0 leq x leq 1/2 0، & text {if} 1/2 leq x leq 1. إنهاء {الحالات} ]

كلاهما يساوي ( dfrac {1} {2} ) ، لذلك ( displaystyle int_0 ^ 1 x ، dx = int_0 ^ 1 f (x) ، dx ).

ومع ذلك ، (x neq f (x) ). بالمثل ، مع معادلتنا [ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl ، vecs E cdot d vecs S ، ] لا يمكننا ببساطة أن نستنتج أن (curl ، vecs E = - dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} ) فقط لأن تكاملاتهم متساوية. ومع ذلك ، في سياقنا ، المعادلة

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl ، vecs E cdot d فيكس S ]

هذا صحيح ل أي المنطقة ، مهما كانت صغيرة (هذا على عكس التكاملات ذات المتغير الفردي التي تمت مناقشتها للتو). إذا كان ( vecs F ) و ( vecs G ) عبارة عن حقول متجهية ثلاثية الأبعاد مثل

[ iint_S vecs F cdot d vecs S = iint_S vecs G cdot d vecs S ]

لأي سطح (S ) ، فمن الممكن إظهار ذلك ( vecs F = vecs G ) عن طريق تقليص مساحة (S ) إلى الصفر بأخذ حد (أصغر مساحة (S) ، كلما اقتربت قيمة ( displaystyle iint_S vecs F cdot d vecs S ) من قيمة ( vecs F ) عند نقطة داخل (S )). لذلك ، يمكننا ترك المساحة (D (t) ) تتقلص إلى الصفر بأخذ حد والحصول على الشكل التفاضلي لقانون فاراداي:

[curl ، vecs E = - dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t}. ]

في سياق المجالات الكهربائية ، يمكن تفسير تجعيد المجال الكهربائي على أنه السالب لمعدل تغير المجال المغناطيسي المقابل فيما يتعلق بالوقت.

مثال ( PageIndex {4} ): استخدام قانون فاراداي

احسب تجعيد المجال الكهربائي ( vecs {E} ) إذا كان المجال المغناطيسي المقابل هو حقل ثابت ( vecs B (t) = langle 1 ، -4 ، 2 rangle ).

حل

نظرًا لأن المجال المغناطيسي لا يتغير فيما يتعلق بالوقت ، (- dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} = vecs 0 ). وفقًا لقانون فاراداي ، فإن تجعيد المجال الكهربائي يساوي صفرًا أيضًا.

تحليل

إحدى نتائج قانون فاراداي هي أن تجعيد المجال الكهربائي المقابل لمجال مغناطيسي ثابت هو صفر دائمًا.

تمرين ( PageIndex {4} )

احسب التفاف المجال الكهربائي ( vecs {E} ) إذا كان المجال المغناطيسي المقابل ( vecs B (t) = langle tx ، ، ty ، ، -2tz rangle ، ​​، 0 leq ر < infty. )

تلميح
  • استخدم الصيغة التفاضلية لقانون فاراداي.
  • لاحظ أن التفاف المجال الكهربائي لا يتغير بمرور الوقت ، على الرغم من أن المجال المغناطيسي يتغير بمرور الوقت.
إجابه

(curl ، vecs {E} = langle x، ، y، ، -2z rangle )

المفاهيم الرئيسية

  • ترتبط نظرية ستوكس بتدفق متكامل على سطح ما بخط متكامل حول حدود السطح. نظرية ستوكس هي نسخة ذات أبعاد أعلى من نظرية جرين ، وبالتالي فهي نسخة أخرى من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل في الأبعاد الأعلى.
  • يمكن استخدام نظرية ستوكس لتحويل سطح صعب لا يتجزأ إلى تكامل خط أسهل ، أو تكامل خط صعب إلى تكامل سطح أسهل.
  • من خلال نظرية ستوكس ، يمكن تقييم تكاملات الخط باستخدام أبسط سطح مع الحدود (C ).
  • يربط قانون فاراداي تجعيد المجال الكهربائي بمعدل تغير المجال المغناطيسي المقابل. يمكن استخدام نظرية ستوكس لاشتقاق قانون فاراداي.

المعادلات الرئيسية

  • نظرية ستوكس

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs {S} nonumber ]

قائمة المصطلحات

نظرية ستوكس
يربط التدفق المتكامل على سطح (S ) بخط متكامل حول حدود (C ) السطح (S )
سطح مستقل
تكاملات التدفق لحقول متجه الضفيرة تكون مستقلة عن السطح إذا كان تقييمها لا يعتمد على السطح ولكن فقط على حدود السطح


شاهد الفيديو: شروط تطبيق نظرية ستوكس. الرياضيات. التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات (ديسمبر 2021).