مقالات

13: دالات المتجهات - الرياضيات


الدالة ذات القيمة المتجهية ، والتي يشار إليها أيضًا باسم دالة المتجه ، هي دالة رياضية لمتغير واحد أو أكثر يكون مداها عبارة عن مجموعة من المتجهات متعددة الأبعاد أو متجهات لا نهائية الأبعاد. يمكن أن يكون إدخال دالة ذات قيمة متجهية عدديًا أو متجهًا.


انسايت الرياضيات

موقع ويب Math Insight عبارة عن مجموعة من الصفحات والتطبيقات المصممة لإلقاء الضوء على المفاهيم الكامنة وراء بعض الموضوعات في الرياضيات. ينصب التركيز على الوصف النوعي بدلاً من الحصول على دقة التفاصيل الفنية. تم تصميم العديد من الصفحات لتتم قراءتها حتى قبل أن يحضر الطلاب محاضرة حول الموضوع ، لذلك يُقصد منها أن تكون مقدمات قابلة للقراءة إلى حد ما للأفكار الأساسية.

يمكنك تصفح الصفحات منظمة في سلاسل ، والتي هي عبارة عن تسلسلات من خلال مجموعة فرعية من الصفحات المنظمة حسب موضوعات معينة. يمكن أن يساعدك الفهرس في العثور على صفحات تناقش مصطلحًا معينًا. يمكنك أيضًا البحث في الصفحات والتطبيقات الصغيرة والتعليقات التوضيحية للصور. تسمح لك بضع صفحات بتغيير نظام الترميز المستخدم لتقديم الرياضيات.

نأمل أن تساعدك Math Insight على فهم المفاهيم الرياضية الأساسية. نرحب بالتعليقات حول كيف يمكننا تحسينه.


محتويات

  • تكوين الوظائف على مجموعة محدودة: If F = <(1 ، 1) ، (2 ، 3) ، (3 ، 1) ، (4 ، 2)> ، و ز = <(1 ، 2) ، (2 ، 3) ، (3 ، 1) ، (4 ، 2)> ، ثم زF = <(1، 2)، (2، 1)، (3، 2)، (4، 3)> كما هو موضح في الشكل.
  • تكوين الوظائف على مجموعة لا نهائية: If F: ℝ → ℝ (حيث ℝ هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية) تُعطى بواسطة F(x) = 2x + 4 و ز: ℝ → ℝ معطى بواسطة ز(x) = x 3 ، ثم:
  • إذا كان ارتفاع الطائرة في الوقت t هو أ(ر) ، وضغط الهواء على ارتفاع x هو ص(x) ، ومن بعد (صأ)(ر) هو الضغط حول الطائرة في الوقت t.

دائمًا ما يكون تكوين الوظائف ترابطيًا - وهي خاصية موروثة من تكوين العلاقات. [2] أي إذا كانت f و g و h قابلة للإنشاء ، إذن F ∘ (زح) = (Fز) ∘ ح . [4] نظرًا لأن الأقواس لا تغير النتيجة ، يتم حذفها بشكل عام.

بالمعنى الدقيق للكلمة ، التكوين زF يكون ذا معنى فقط إذا كان المجال المشترك لـ f يساوي مجال g بمعنى أوسع ، يكفي أن يكون الأول مجموعة فرعية من الأخير. [nb 2] علاوة على ذلك ، غالبًا ما يكون من الملائم تقييد مجال f ضمنيًا ، بحيث تنتج f قيمًا فقط في مجال g. على سبيل المثال ، التكوين زF من الوظائف F : ℝ → (−∞، + 9] محدد بواسطة F(x) = 9 − x 2 و ز : [0، + ∞) → ℝ معرف بواسطة g (x) = x >> يمكن تعريفها على الفاصل الزمني [3 ، + 3].

يقال أن الوظيفتين g و f يتنقلان مع بعضهما البعض إذا زF = Fز . التبادلية هي خاصية خاصة لا تتحقق إلا من خلال وظائف معينة ، وغالبًا في ظروف خاصة. على سبيل المثال ، | x | + 3 = | x + 3 | فقط عندما x ≥ 0. تظهر الصورة مثال آخر.

دائمًا ما يكون تكوين وظائف واحد لواحد. وبالمثل ، فإن تكوين وظائف on دائمًا ما يكون قيد التشغيل. ويترتب على ذلك أن تكوين اثنين من التحيز هو أيضا انحراف. الوظيفة العكسية للتركيبة (مفترضة غير قابلة للانعكاس) لها خاصية (Fز) −1 = ز −1 ∘ F −1 . [5]

يمكن العثور على مشتقات التراكيب التي تتضمن وظائف قابلة للتفاضل باستخدام قاعدة السلسلة. يتم إعطاء المشتقات الأعلى لمثل هذه الوظائف بواسطة صيغة Faà di Bruno. [4]

افترض أن إحداها لها وظيفتان (أو أكثر) F: XX, ز: XX لها نفس المجال والمجال المشترك يطلق عليها غالبًا التحولات. ثم يمكن للمرء أن يشكل سلاسل من التحولات تتكون معًا ، مثل FFزF . هذه السلاسل لها البنية الجبرية لمونويد ، تسمى أ تحويل أحادي أو (نادرًا جدًا) أ تكوين أحادي. بشكل عام ، يمكن أن تحتوي أحاديات التحويل على بنية معقدة بشكل ملحوظ. أحد الأمثلة البارزة على وجه الخصوص هو منحنى دي رام. طقم من الكل المهام F: XX يسمى التحويل الكامل semigroup [6] أو مجموعة شبه متماثلة [7] في X. (يمكن للمرء في الواقع تحديد مجموعتين نصفيتين اعتمادًا على كيفية تعريف عملية شبه المجموعة على أنها التركيب الأيمن أو الأيسر للوظائف. [8])

إذا كانت التحولات حيوية (وبالتالي قابلة للعكس) ، فإن مجموعة جميع التركيبات الممكنة لهذه الوظائف تشكل مجموعة تحويل ويقول أحدهم أن المجموعة يتم إنشاؤها بواسطة هذه الوظائف. نتيجة أساسية في نظرية المجموعة ، نظرية كايلي ، تقول بشكل أساسي أن أي مجموعة هي في الواقع مجرد مجموعة فرعية من مجموعة التقليب (حتى تماثل الشكل). [9]

مجموعة جميع الوظائف الحيوية F: XX (تسمى التباديل) تشكل مجموعة فيما يتعلق بتكوين الوظيفة. هذه هي المجموعة المتماثلة ، وتسمى أيضًا أحيانًا مجموعة التكوين.

في شبه المجموعة المتماثلة (لجميع التحولات) ، يجد المرء أيضًا مفهومًا أضعف وغير فريد للعكس (يُطلق عليه اسم شبه عكسي) لأن المجموعة شبه المتماثلة هي مجموعة شبه منتظمة. [10]

إذا صX ، ومن بعد F: Xص قد يؤلف مع نفسه وهذا ما يشار إليه أحيانًا على أنه F 2. هذا هو:

(FF) (خ) = F(F(x)) = F 2 (x) (FFF) (خ) = F(F(F(x))) = F 3 (x) (FFFF) (خ) = F(F(F(F(x)))) = F 4 (x)

بشكل عام ، لأي عدد طبيعي ن ≥ 2 ، ال n القوة الوظيفية يمكن تعريفه حثيًا بواسطة F ن = FF ن−1 = F ن−1 ∘ F ، تدوين قدمه هانز هاينريش بورمان [ بحاجة لمصدر ] [11] [12] وجون فريدريك ويليام هيرشل. [13] [11] [14] [12] يسمى التكوين المتكرر لمثل هذه الوظيفة مع نفسها وظيفة مكررة.

  • بالإقناع، F يتم تعريف 0 على أنه خريطة الهوية على F المجال ، معرفX .
  • حتى لو ص = X و F: XX يقبل دالة عكسيةF −1 ، قوى وظيفية سالبة Fن تم تعريفها لـ ن & gt 0 باعتبارها القوة المنفية للدالة العكسية: Fن = (F −1 ) ن . [13][11][12]

ملحوظة: إذا كانت f تأخذ قيمها في حلقة (على وجه الخصوص للقيمة الحقيقية أو المعقدة F ) ، هناك خطر حدوث ارتباك ، مثل F ن يمكن أن يمثل أيضًا منتج n -fold لـ f ، على سبيل المثال F 2 (x) = F(x) · F(x). [12] بالنسبة للدوال المثلثية ، عادةً ما يُقصد بالأخير ، على الأقل للأسس الموجبة. [12] على سبيل المثال ، في علم المثلثات ، يمثل هذا الترميز المرتفع الأس القياسي عند استخدامه مع الدوال المثلثية: الخطيئة 2 (x) = الخطيئة (x) · خطيئة (x). ومع ذلك ، بالنسبة للأسس السالبة (خاصة 1) ، فإنها تشير عادةً إلى الدالة العكسية ، على سبيل المثال ، tan −1 = arctan ≠ 1 / tan.

في بعض الحالات ، عندما تكون المعادلة لدالة معينة f زز = F لها حل فريد g ، يمكن تعريف هذه الوظيفة على أنها الجذر التربيعي الوظيفي لـ f ، ثم كتابتها كـ ز = F 1/2 .

بشكل عام ، متى ز ن = F لديه حل فريد لبعض الأعداد الطبيعية ن & GT 0 ، إذن F م/ن يمكن تعريفها على أنها ز م .

في ظل قيود إضافية ، يمكن تعميم هذه الفكرة بحيث يصبح عدد التكرار معلمة مستمرة في هذه الحالة ، ويسمى هذا النظام بالتدفق ، المحدد من خلال حلول معادلة شرودر. تحدث الوظائف والتدفقات المتكررة بشكل طبيعي في دراسة الفركتلات والأنظمة الديناميكية.

لتجنب الغموض ، فإن بعض علماء الرياضيات [ بحاجة لمصدر ] اختر استخدام ∘ للدلالة على المعنى التركيبي ، الكتابة Fن (x) للتكرار n للدالة F(x) ، مثل ، على سبيل المثال ، F ∘3 (x) المعنى F(F(F(x))). لنفس الغرض ، F [ن] (x) تم استخدامه بواسطة Benjamin Peirce [15] [12] بينما اقترح Alfred Pringsheim و Jules Molk ن F(x) في حين أن. [16] [12] [ملحوظة 3]

يحذف العديد من علماء الرياضيات ، ولا سيما في نظرية المجموعة ، رمز التكوين والكتابة غف ل زF . [17]

في منتصف القرن العشرين ، قرر بعض علماء الرياضيات أن الكتابة " زF "يعني" تطبيق f أولاً ، ثم تطبيق g "كان مربكًا للغاية وقرر تغيير الرموز. يكتبون" xf " ل " F(x) " و " (xf)ز " ل " ز(F(x)) ". الضرب: يسمى هذا الترميز البديل بالتدوين اللاحق ، الترتيب مهم لأن تكوين الوظيفة ليس بالضرورة تبادليًا (مثل ضرب المصفوفة).

يمكن لعلماء الرياضيات الذين يستخدمون تدوينات postfix كتابة " fg "، مما يعني تطبيق f أولاً ثم تطبيق g ، تمشياً مع الترتيب الذي تظهر به الرموز في تدوين ما بعد الإصلاح ، مما يجعل الترميز" fg "غامض. قد يكتب علماء الكمبيوتر" F ز "لهذا ، [19] وبالتالي توضيح ترتيب التكوين. لتمييز عامل التكوين الأيسر عن فاصلة منقوطة نصية ، في تدوين Z ، يتم استخدام الحرف لتكوين العلاقة اليسرى. من الصحيح استخدام الفاصلة المنقوطة [fat] لتكوين الوظيفة أيضًا (راجع المقالة الخاصة بتكوين العلاقات للحصول على مزيد من التفاصيل حول هذا الترميز).

إعطاء وظيفة ز ، ال عامل التكوين جز يتم تعريفه على أنه المشغل الذي يعيّن الوظائف لوظائف


إضافة المتجهات الرسومية

يمكن تصور إضافة متجهين A و B بيانياً مثل مسارين متتاليين ، حيث يكون مجموع المتجه هو مسافة المتجه من البداية إلى نقطة النهاية. تمثيل المتجهات بواسطة الأسهم المرسومة بمقياس ، يتم وضع بداية المتجه B في نهاية المتجه A. يمكن رسم مجموع المتجه R كمتجه من البداية إلى نقطة النهاية.

يمكن إجراء العملية رياضيًا من خلال إيجاد مكونات A و B ، والجمع معًا لتشكيل مكونات R ، ثم التحويل إلى الشكل القطبي.


مثال

الآن ما هو مشتق الاتجاه على طول المتجه الخامس =أنا+2ي-ك من عند ص؟ علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي بين انحدار F في ص ومتجه الوحدة في اتجاه الخامس. متجه الوحدة على طول الخامس يتم حسابها عن طريق القياس الخامس بمقابل حجمها. |الخامس| = (6) 1/2 ، إذن متجه الوحدة هو.

الآن نحسب وهذه هي قيمة مشتق الاتجاه في اتجاه المتجه الخامس.


اليعقوبي وأمبير الهسي

ما تعلمناه حتى الآن هو أن ميل الدالة يساوي صفرًا في النقاط الثابتة. ومع ذلك ، يمكن أن تكون هذه المعلومات مضللة ، مما يعني أننا وجدنا نقطة سرج ، وليس الحد الأدنى أو الحد الأقصى. لهذا ، نستخدم ملف المشتق الثاني. قبل أن نواصل مع الشروط الأخرى للحد الأدنى المحلي ، دع & # 8217s نقدم مصفوفات المشتقات & # 8211 the يعقوبي و ال هسه. كما تعلم بالفعل ، نحن نتعامل مع الكثير من المصفوفات في التعلم الآلي والتعلم العميق والذكاء الاصطناعي. لهذا السبب نحتاج إلى توسيع مفهومنا عن المشتقات. ال يعقوبي هي مصفوفة المشتقات الأولى:

وبالمثل ، فإن هسه هي مصفوفة المشتقات الثانية:

الهسه

إن حساب Hessian مكلف ، لكنه مفيد للغاية. يتم استخدامه في تقنيات التحسين مثل طريقة نيوتن & # 8217.

باستخدام هذا ، يمكننا تحديد الظروف للحد الأدنى المحلي: إذا كان يعمل F يمكن اشتقاقها مرتين بشكل مستمر مع 2 F إيجابي شبه محدد في حي x، وذلك ∇f (س) = 0. ثم x هو حد أدنى محلي من f.


المعلمات

متجه ثلاثي الأبعاد في مساحة الشاشة التي سيتم عرضها في مساحة الكائن. X و Y بالبكسل ، بينما Z تساوي 0.0 (عند منفذ العرض) إلى 1.0 (عند منفذ العرض).

إحداثيات البكسل في الزاوية العلوية اليسرى من منفذ العرض. ما لم ترغب في العرض لمجموعة فرعية من السطح ، يمكن تعيين هذه المعلمة على 0.

تنسيق البكسل للركن الأيسر العلوي من منفذ العرض على سطح هدف العرض. ما لم ترغب في العرض لمجموعة فرعية من السطح ، يمكن تعيين هذه المعلمة على 0.

عرض حجم المقطع بالبكسل. ما لم تكن تجسيدًا فقط لمجموعة فرعية من السطح ، يجب تعيين هذه المعلمة على بُعد العرض لسطح هدف العرض.

أبعاد ارتفاع حجم المقطع بالبكسل. ما لم تكن تجسيدًا فقط لمجموعة فرعية من السطح ، يجب تعيين هذه المعلمة على بُعد الارتفاع لسطح هدف العرض.

معا مع منفذ العرض، القيمة التي تصف نطاق قيم العمق التي سيتم عرض المشهد فيها ، الحد الأدنى والحد الأقصى لقيم حجم المقطع. تقوم معظم التطبيقات بتعيين هذه القيمة على 0.0f. يتم إجراء القطع بعد تطبيق مصفوفة الإسقاط.

معا مع مينز، القيمة التي تصف نطاق قيم العمق التي سيتم عرض المشهد فيها ، الحد الأدنى والحد الأقصى لقيم حجم المقطع. تقوم معظم التطبيقات بتعيين هذه القيمة على 1.0f. يتم إجراء القطع بعد تطبيق مصفوفة الإسقاط.


نوع المتجه

المتجه هو بنية بيانات تحتوي على مكون إلى أربعة مكونات.

العدد الصحيح الذي يلي نوع البيانات مباشرة هو عدد المكونات على المتجه.

يمكن أيضًا تضمين المُبدئين في الإعلانات.

بدلاً من ذلك ، يمكن استخدام نوع المتجه لعمل نفس التعريفات:

يستخدم نوع المتجه أقواس زاوية لتحديد نوع وعدد المكونات.

تحتوي المتجهات على ما يصل إلى أربعة مكونات ، يمكن الوصول إلى كل منها باستخدام واحدة من مجموعتي تسمية:

تعيد هاتان العبارتان القيمة في المكون الثالث.

يمكن أن تستخدم مجموعات التسمية مكونًا واحدًا أو أكثر ، لكن لا يمكن خلطها.

يسمى تحديد مكون متجه أو أكثر عند قراءة المكونات swizzling. على سبيل المثال:

يتحكم التقنيع في عدد المكونات التي تتم كتابتها.

لا يمكن كتابة الواجبات لنفس المكون أكثر من مرة. لذا فإن الجانب الأيسر من هذه العبارة غير صالح:

أيضًا ، لا يمكن خلط مسافات اسم المكون. هذا مكون غير صالح للكتابة:

الوصول إلى المتجه باعتباره عدديًا سيصل إلى المكون الأول للمتجه. العبارتان التاليتان متكافئتان.


وظائف الرياضيات: مجموعة من الأدوات للحسابات الرقمية

توفر هذه الحزمة مجموعة من الأدوات المختلفة للحسابات الرقمية. يسمى:

عدد تطبيقات haskell الصافية لوظيفة خاصة والتي تستخدم في الحوسبة الإحصائية والرقمية.

الجمع المعوض (جمع كاهان) الذي يسمح بـ

إيجاد الجذر لوظائف متغير حقيقي واحد

وظائف لمقارنة أرقام IEEE754

حيثما أمكن ، نقدم الاستشهادات وتقديرات التعقيد الحسابي للخوارزميات المستخدمة.


إيجاد إحداثيات الصورة ، بالنظر إلى الصورة المسبقة ومتجه الترجمة

مثلث. ABC. هي صورة أولية برؤوسها عند. أ = (- 5،5). . ب = (- 2،5). و . C = (- 3،0). إذا تم ترجمة المثلث بواسطة. vec= langle -5، -6 rangle. ما هي إحداثيات الصورة؟

ناقل الترجمة. vec= langle -5، -6 rangle. يعني أنه يتم نقل كل نقطة. 5. وحدات على اليسار و. 6. وحدات أسفل. لذلك من كل رأس ، سنطرح. 5. من كل. x. -قيمة وطرح. 6. من كل. ذ. -القيمة.


شاهد الفيديو: الأنواع الشائعة من المتجهات (شهر نوفمبر 2021).