مقالات

2.7: ملحق التمرين - الرياضيات


ضرب الأعداد الصحيحة

تمرين ( PageIndex {1} )

في الضرب (5 مرات 9 = 45 ) ، يتم استدعاء 5 و 9 و 45 يسمى.

إجابه

عوامل؛ منتج

تمرين ( PageIndex {2} )

في عملية الضرب (4 مرات 8 = 32 ) ، يتم استدعاء 4 و 8 و 32 يسمى.

مفاهيم قسمة الأعداد الصحيحة

تمرين ( PageIndex {3} )

في القسمة (24 div 6 = 4 ) ، 6 يسمى ال ، و 4 يسمى.

إجابه

المقسوم عليه؛ حاصل القسمة

تمرين ( PageIndex {4} )

في القسمة (36 div 2 = 18 ) ، 2 تسمى ال ، و 18 تسمى.

بعض الحقائق المثيرة للاهتمام حول التقسيم

تمرين ( PageIndex {5} )

الرقم قابل للقسمة على 2 فقط إذا كان الرقم الأخير له هو.

إجابه

رقم زوجي (0 ، 2 ، 4 ، 6 ، أو 8)

تمرين ( PageIndex {6} )

الرقم قابل للقسمة على 3 فقط إذا كانت أرقامه قابلة للقسمة على 3.

تمرين ( PageIndex {7} )

الرقم قابل للقسمة على 4 فقط إذا كان الرقمان الموجودان في أقصى اليمين يشكلان رقمًا.

إجابه

يقبل القسمة على 4

ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة ([حلقة الوصل],[حلقة الوصل])

ابحث عن كل منتج أو حاصل.

تمرين ( PageIndex {8} )

( start {array} {r} {24} { underline { times 3}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {9} )

( start {array} {r} {14} { underline { times 8}} end {array} )

إجابه

112

تمرين ( PageIndex {10} )

(21 شعبة 7 )

تمرين ( PageIndex {11} )

(35 شعبة 5 )

إجابه

7

تمرين ( PageIndex {12} )

( start {array} {r} {36} { underline { times 22}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {13} )

( start {array} {r} {87} { underline { times 35}} end {array} )

إجابه

3,045

تمرين ( PageIndex {14} )

( start {array} {r} {117} { underline { times 42}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {15} )

(208 div 52 )

إجابه

4

تمرين ( PageIndex {16} )

( start {array} {r} {521} { underline { times 87}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {17} )

( start {array} {r} {1005} { underline { times 15}} end {array} )

إجابه

15,075

تمرين ( PageIndex {18} )

(1338 div 446 )

تمرين ( PageIndex {19} )

(2814 div 201 )

إجابه

14

تمرين ( PageIndex {20} )

( start {array} {r} {5521} { underline { times 8}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {21} )

( start {array} {r} {6016} { underline { times 7}} end {array} )

إجابه

42,112

تمرين ( PageIndex {22} )

(576 div 24 )

تمرين ( PageIndex {23} )

(3969 div 63 )

إجابه

63

تمرين ( PageIndex {24} )

( start {array} {r} {5482} { underline { times 322}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {25} )

( start {array} {r} {9104} { underline { times 115}} end {array} )

إجابه

1,046,960

تمرين ( PageIndex {26} )

( start {array} {r} {6102} { underline { times 1000}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {27} )

( start {array} {r} {10101} { underline { times 100000}} end {array} )

إجابه

101,010,000

تمرين ( PageIndex {28} )

(162،006 شعبة 31 )

تمرين ( PageIndex {29} )

(0 div 25 )

إجابه

0

تمرين ( PageIndex {30} )

(25 div 0 )

تمرين ( PageIndex {31} )

(4280 div 10 )

إجابه

428

تمرين ( PageIndex {32} )

(2126000 div 100 )

تمرين ( PageIndex {33} )

(84 div 15 )

إجابه

5 الباقي 9

تمرين ( PageIndex {34} )

(126 div 4 )

تمرين ( PageIndex {35} )

(424 div 0 )

إجابه

غير معرف

تمرين ( PageIndex {36} )

(1198 div 46 )

تمرين ( PageIndex {37} )

(995 div 31 )

إجابه

32 الباقي 3

تمرين ( PageIndex {38} )

(0 شعبة 18 )

تمرين ( PageIndex {39} )

( start {array} {r} {2162} { underline { times 1421}} end {array} )

إجابه

3,072,202

تمرين ( PageIndex {40} )

(0 مرات 0 )

تمرين ( PageIndex {41} )

(5 مرات 0 )

إجابه

0

تمرين ( PageIndex {42} )

(64 مرات 1 )

تمرين ( PageIndex {43} )

(1 مرات 0 )

إجابه

0

تمرين ( PageIndex {44} )

(0 div 3 )

تمرين ( PageIndex {45} )

(14 div 0 )

إجابه

غير معرف

تمرين ( PageIndex {46} )

(35 شعبة 1 )

تمرين ( PageIndex {47} )

(1 div 1 )

إجابه

1

خواص الضرب

تمرين ( PageIndex {48} )

استخدم خاصية تبادلية الضرب لإعادة كتابة (36 مرات 128 ).

تمرين ( PageIndex {49} )

استخدم الخاصية التبادلية في الضرب لإعادة كتابة (114 ضرب 226 ).

إجابه

(مرات 226 مرات 114 )

تمرين ( PageIndex {50} )

استخدم الخاصية الترابطية للضرب لإعادة كتابة ((5 cdot 4) cdot 8 ).

تمرين ( PageIndex {51} )

استخدم الخاصية الترابطية لعملية الضرب لإعادة كتابة (16 cdot (14 cdot 0) ).

إجابه

((16 cdot 14) cdot 0 )

ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة ([حلقة الوصل],[حلقة الوصل])

تمرين ( PageIndex {52} )

يبيع متجر كمبيوتر أقراص مرنة مقابل 4 دولارات لكل منها. عند هذا السعر ، ما هي تكلفة 15 قرصًا؟

تمرين ( PageIndex {53} )

يسافر الضوء 186000 ميل في ثانية واحدة. إلى أي مدى يسافر الضوء في 23 ثانية؟

إجابه

4,278,000

تمرين ( PageIndex {54} )

تبلغ فاتورة العشاء لثمانية أشخاص 112 دولارًا بالضبط. كم يجب أن يدفع كل شخص إذا وافقوا جميعًا على تقسيم الفاتورة بالتساوي؟

تمرين ( PageIndex {55} )

يشتري كل طالب من 33 طالبًا في فصل الرياضيات كتابًا دراسيًا. إذا كانت المكتبة تبيع كتبًا بقيمة 1089 دولارًا ، فما هو سعر كل كتاب؟

إجابه

$33


تمارين 1.4.1 تمارين

ترك (t = 4 ) و (ح = 0.2 ) لدينا (من حاصل الفرق):

إذن ، متوسط ​​السرعة هو (- 71.2 ) قدم ⁄س

تمرين 13

( فارك < fe<7.5> - fe<0>><7.5-0>=-13frac<1> <3> text <.> ) تخبرنا هذه القيمة أنه خلال أول (7.5 ) s من النسب ، فإن متوسط ​​معدل التغيير في سرعة كوستر هي (- 13 فارك <1> <3> ، فارك < نص> < نص> text <.> ) وبعبارة أخرى ، في المتوسط، مع كل ثانية تمر تكون السرعة (13 frac <1> <3> ، text) أقل مما كانت عليه في الثانية السابقة. يمكننا أيضًا أن نقول أن متوسط ​​التسارع الذي واجهته السفينة خلال أول (7.5 ) ث من الهبوط هو (- 13 فارك <1> <3> ، فارك < نص> < نص> نص <.> )

تمرين 14

( فارك < fe<3> - fe<1.5 >> <3-1.5> = 0 text <.> ) تخبرنا هذه القيمة أن متوسط ​​السرعة التي تمر بها الكرة بين ثاني 1.5 ثانية من اللعب والثانية الثالثة من اللعب هو (0 ) م ⁄س. يرجى ملاحظة أن هذا لا يعني أن الكرة لا تتحرك ، بل يعني ببساطة أن الكرة على نفس الارتفاع في المرتين.

تمرين 15

( فارك < fe

<29> - fe

<1>> <29-1> = -0.1 text <.> ) تخبرنا هذه القيمة أنه بين التأرجح الأول والتأرجح التاسع والعشرين ، يكون متوسط ​​معدل التغيير في فترة البندول (- 0.1 frac < نص> < نص> text <.> ) وبعبارة أخرى ، في المتوسط، مع كل تأرجح عابر ، تقل الفترة بمقدار عشر من الثانية.

تمرين 16

2.7: ملحق التمرين - الرياضيات

الدليل: إذا أصبح (2.133) ، فهذا صحيح. اذا ثم . اذا ثم . ومن ثم فإن (2.133) حاصل على جميع الحالات.

الحالة الثالثة. إذا كان هذا صحيحًا ، فإن (2.139) يكون صحيحًا. ومن ثم فإن الرقم (2.139) صالح في جميع الأحوال.

الحالة الثالثة. إذا كان ذلك صحيحًا ، فإن (2.140) هو الصحيح. ومن ثم فإن (2.140) صحيح في جميع الحالات. لقد أثبتنا (2.137).

بما أن هذا صحيح إذا وفقط إذا كان صحيحًا ،

الدليل: الطريقة الواضحة لإثبات ذلك هي عن طريق الحالات. ولكن هناك العديد من الحالات التي يجب مراعاتها ، على سبيل المثال ( و و ). سأستخدم حيلة بارعة لتجنب الحالات. للجميع ، لدينا

بجمع المتباينات نحصل عليها

حسب النظرية 2.136 فإنه يتبع ذلك.

تلميح: استخدم نظرية 2.136. لا تستنكر نظرية 2.136.

المجموعة التي تساوي مجموعة من أي من هذه الأنواع التسعة تسمى الفاصل الزمني. لاحظ ذلك ، وبالتالي فإن المجموعة الفارغة عبارة عن فاصل زمني وكذلك مجموعة تحتوي على نقطة واحدة فقط. مجموعات من الأنواع الأربعة الأولى لها نقاط نهاية وما عدا ذلك ليس لها نقاط نهاية. مجموعات الأنواع الأربعة الثانية لها نقطة نهاية واحدة فقط ، وهي. الفاصل الزمني ليس له نقاط نهاية.

يمكنني قراءة هذه النتيجة من الشكل عن طريق عد 4 وحدات إلى يسار ويمين 3. هذه الطريقة هي مجرد طريقة لتذكر نتيجة النظرية 2.148.

افترض الآن أنني أريد أن أجد الحلول في

الذي يتفق مع إجابتي بالصورة.

فسر النتيجة هندسيًا على خط الأعداد.

2.156 ملاحظة. اقترح جيرولامو كاردانو (1501-1576) ، في محاولة لفهم الجذر التربيعي لعدد سالب ، قانونًا بديلًا للإشارات يكون فيه حاصل ضرب عددين سالبًا إذا كان هناك عامل واحد على الأقل سالبًا. وخلص إلى أن `` زائد مقسومًا على زائد يعطي زائد '' ، و''سالب مقسومًا على زائد يعطي سالب '' ، لكن `` زائد على ناقص لا يعطي شيئًا '' (أي صفر) ، لأن كلا التأكيدات `` زائد مقسومة على ناقص يعطي زائد '' و `` زائد على ناقص يعطي ناقص '' متناقضان. [40 ، ص 25]

أعتقد أن بديهياتنا عن حقل مرتب ترجع إلى Artin و Schreier في عام 1926 [6 ، الصفحة 259].

اعتبر هنتنغتون في عام 1903 الأنظمة التي ترضي توليفات مختلفة من البديهيات الجبرية والنظامية.

تم تقديم تدوين القيمة المطلقة بواسطة Weierstrass في عام 1841 [15 ، المجلد 2 ، الصفحة 123]. تم تقديمه لأول مرة للأعداد المركبة بدلاً من الأعداد الحقيقية.


حلول NCERT للفصل 7 الرياضيات الفصل 2 الكسور والأرقام العشرية مثال 2.7

تمرين NCERT Solutions للفصل 7 الرياضيات الفصل 2 الكسور والأرقام العشرية 2.7
المثال 2.7 الرياضيات للصف 7 السؤال 1.
تجد:
(ط) 0.4 ÷ 2
(2) 0.35 ÷ 5
(3) 2.48 × 4
(رابعا) 65.4 6
(الخامس) 651.2 ÷ 4
(السادس) 14.49 × 7
(7) 3.96 ÷ 4
(ثامنا) 0.80 ÷ 5
حل:

المثال 2.7 الرياضيات للصف 7 السؤال 2.
تجد:
(ط) 4.8 × 10
(2) 52.5 × 10
(3) 0.7 ÷ 10
(رابعا) 33.1 × 10
(الخامس) 272.23 ÷ 10
(السادس) 0.56 × 10
(7) 3.97 10
حل:
(ط) 4.8 ÷ 10 = 0.48 (إزاحة الفاصلة العشرية لليسار بمقدار مرتبة واحدة)
(ب) 52.5 ÷ 10 = 5.25 (إزاحة الفاصلة العشرية لليسار بمقدار مرتبة واحدة)
(iii) 0.7 ÷ 10 = 0.07 (إزاحة الفاصلة العشرية لليسار بمقدار مرتبة واحدة)
(4) 33.1 ÷ 10 = 3.31 (إزاحة الفاصلة العشرية لليسار بمقدار مرتبة واحدة)
(v) 272.23 ÷ 10 = 27.223 (إزاحة الفاصلة العشرية لليسار بمقدار مرتبة واحدة)
(vi) 0.56 4- 10 = 0.056 (إزاحة الفاصلة العشرية لليسار بمقدار مرتبة واحدة)
(vii) 3.97 ÷ 10 = 0.397 (إزاحة الفاصلة العشرية لليسار بمقدار مرتبة واحدة)

المثال 2.7 الرياضيات للصف 7 سؤال 3.
تجد:
(ط) 2.7 × 100
(2) 0.3 ÷ 100
(3) 0.78 × 100
(رابعا) 432.6 × 100
(الخامس) 23.6 × 100
(السادس) 98.53 × 100
حل:
حل:
(ط) 2.7 ÷ 100 = 0.027 (إزاحة الفاصلة العشرية إلى اليسار بمقدار خانتين)
(2) 0.3 ÷ 100 = 0.003 (تحويل العلامة العشرية إلى اليسار بمقدار مكانين)
(iii) 0.78 ÷ 100 = 0.0078 (إزاحة الفاصلة العشرية إلى اليسار بمقدار مكانين)
(4) 432.6 ÷ 100 = 4.326 (إزاحة الفاصلة العشرية إلى اليسار بمقدار منزلين)
(v) 23.6 ÷ 100 = 0.236 (إزاحة الفاصلة العشرية إلى اليسار بمقدار مكانين)
(vi) 98.53 ÷ 100 = 0.9853 (تحويل الفاصلة العشرية إلى اليسار بمقدار منزلين)

المثال 2.7 الرياضيات للصف 7 سؤال 4.
تجد:
(ط) 7.9 ÷ 1000
(2) 26.3 × 1000
(ثالثا) 38.53 × 1000
(رابعا) 128.9 × 1000
(ت) 0.5 ÷ 1000
حل:
(ط) 7.9 ÷ 1000 = 0.0079 (إزاحة الفاصلة العشرية إلى اليسار بمقدار 3 أماكن)
(ii) 26.3 ÷ 1000 = 0.0263 (تحويل العلامة العشرية إلى اليسار بمقدار 3 أماكن)
(iii) 38.53 ÷ 1000 = 0.03853 (تحويل العلامة العشرية إلى اليسار بمقدار 3 أماكن)
(4) 128.9 ÷ 1000 = 0.1289 (تحويل العلامة العشرية إلى اليسار بمقدار 3 أماكن)
(v) 0.5 ÷ 1000 = 0.0005 (إزاحة العلامة العشرية إلى اليسار بمقدار 3 أماكن)

المثال 2.7 الرياضيات للصف 7 سؤال 5.
تجد:
(ط) 7 3.5
(2) 36 ÷ 0 .2
(3) 3.25 ÷ 0.5
(رابعا) 30.94 × 0.7
(ت) 0.5 0.25
(السادس) 7.75 0.25
(السابع) 76.5 ÷ 0.15
(ثامنا) 37.8 ÷ 1.4
(التاسع) 2.73 ÷ 1.3
حل:

المثال 2.7 الرياضيات للصف 7 سؤال 6.
- سيارة تقطع مسافة 43.2 كم في 2.4 لتر من البنزين. كم المسافة التي ستقطعها في لتر واحد من البنزين؟
حل:
مطلوب 2.4 لتر من البنزين لتغطية مسافة 43.2 كم
∴ 1 لتر من البنزين سيطلب تغطية 43.2

ومن ثم فإن المسافة المطلوبة = 18 كم


السيارة تقطع مسافة (43.2 rm ، km ) في (2.4 ) لتر من البنزين. كم تبلغ المسافة التي ستقطعها بـ (1 ) لتر من البنزين؟

حل

حل الفيديو

ما هو معروف؟

سيارة تقطع مسافة (43.2 ، rm) في (2.4 ) لتر بنزين.

ما المجهول؟

كم تبلغ المسافة التي ستقطعها بـ (1 ) لتر من البنزين.

باستخدام الطريقة الأحادية ، يمكننا ببساطة تقسيم (43.2 ) على (2.4 ) للحصول على المسافة التي ستقطعها السيارة في (1 ) لتر من البنزين.


تمرين الثانية 2.7: كود ماتلاب لطريقة أويلر & # 8217s

فيما يلي نسخة مطورة من برنامج Matlab النصي قمنا بتطويره في الفصل يوم الاثنين بتطبيق طريقة Euler & # 8217s.

يجب عليك & # 8220 الخطوة من خلال & # 8221 هذا الرمز وتأكد من فهمك لما يحدث & # 8217s في كل خطوة (على سبيل المثال ، انسخ والصق الرمز سطرًا بسطر في نافذة أوامر Matlab وافحص المتغيرات التي يتم إنشاؤها في كل خطوة) .

كما هو مكتوب أدناه ، يقوم الكود بإجراء العمليات الحسابية للمثال 3 في القسم 2.7 من Boyce و DiPrima ، أي لمشكلة القيمة الأولية y & # 8217 = 4 & # 8211 t & # 8211 2y ، y (0) = 1، مع ح = 0.1. قمت بتغيير تحرير الكود بحيث يحسب تقريب أويلر لمختلف ح. يجب أن تكون قادرًا على إعادة إنشاء النتائج في الجدول 2.7.3. (لهذا ، أوصي بإنشاء حفظ الكود أدناه كملف m ، مع التعليق على السطر الذي تم تعيينه ح، جلس ح من سطر الأوامر ، ثم قم بتشغيل البرنامج النصي.)

ثم يجب أن تحاول تغيير الكود بحيث يحسب تقريب أويلر لمشاكل القيمة الأولية الأخرى (مثل التمارين 1 أو 3 أو 11 & # 8211 مرة أخرى ، حاول إعادة إنشاء الأرقام في الحلول).

قد يكون التمرين الإضافي هو رسم مجال الاتجاه للمعادلة التفاضلية على نفس الرسم البياني مثل تقريب أويلر والحل الدقيق. تذكر أن كود Matlab لإنتاج حقول الاتجاه يمكن العثور عليه هنا.


٪ يستخدم هذا البرنامج النصي طريقة أويلر
٪ للمثال 2 في الثانية 2.7 من Boyce & amp DiPrima


٪ للمعادلات التفاضلية المختلفة y '= f (t، y) ، قم بالتحديث في مكانين:
٪ (1) ضمن الحلقة التقريبية لتقديرات أويلر
٪ (2) def'n دالة phi للحل الدقيق (إذا كان لديك)

يقوم٪ أيضًا بتحديث حجم الخطوة h الشروط الأولية t0 ، y0 endpt t_end


٪ تعيين المعلمات لطريقة أويلر:
ح = 0.1٪ حجم الخطوة


٪ مجموعة الشروط الأولية
t0 = 0
y0 = 1


٪ نقطة النهاية
t_end = 5


٪ حساب عدد الخطوات
ن = (t_end-t0) / ح


ستكون٪ t و y مصفوفتين تحتويان على نتائج أويلر
ر (1) = t0
ص (1) = ص 0


لـ k = 1: n
yprime (k + 1) = 4 - t (k) + 2 * y (k)٪ التحديث: RHS هو فرق eqn لـ y '(t [k]، y [k])
ر (ك + 1) = ر (ك) + ح
y (k + 1) = y (k) + yprime (k + 1) * h
نهاية


٪ ينقل t و y إلى متجهات العمود
TValues ​​= t '
yvalues ​​= y '


٪ UPDATE: إنشاء وظيفة phi للحل الدقيق
phi = @ (t) (-7/4) + 0.5 * t + (11/4) * exp (2 * t)


تقريب المؤامرة أويلر٪ والحل الدقيق
مؤامرة (ر ، ص)
يتمسك
fplot (phi، [t0، t_end])


وضع ٪ قيم t ، تقريب أويلر ، الحل الدقيق في مصفوفة واحدة
النتائج = [tvalues ​​yvalues ​​phi (tvalues)]


2.7 المتباينات الخطية ومتباينات القيمة المطلقة

ليس من السهل الحصول على قائمة الشرف في معظم الجامعات الكبرى. لنفترض أن الطلاب كانوا مطالبين بحمل دورة تدريبية لا تقل عن 12 ساعة معتمدة والحفاظ على متوسط ​​درجة 3.5 أو أعلى. كيف يمكن التعبير عن متطلبات قائمة الشرف هذه رياضيًا؟ في هذا القسم ، سوف نستكشف طرقًا مختلفة للتعبير عن مجموعات مختلفة من الأرقام وعدم المساواة وعدم المساواة في القيمة المطلقة.

باستخدام تدوين الفاصل

يمكن إيجاد حل لمتباينة مثل x 4 x ≥ 4 بعدة طرق.

المفهوم الرئيسي الذي يجب تذكره هو أن الأقواس تمثل حلولًا أكبر أو أقل من الرقم ، وتمثل الأقواس حلولًا أكبر من أو تساوي أو تقل عن أو تساوي الرقم. استخدم الأقواس لتمثيل اللانهاية أو اللانهاية السالبة ، لأن اللانهاية الموجبة والسالبة ليست أرقامًا بالمعنى المعتاد للكلمة ، وبالتالي لا يمكن "مساواتها". بعض الأمثلة على فاصل زمني ، أو مجموعة من الأرقام التي يقع فيها الحل ، هي [2 ، 6) ، [−2 ، 6) ، أو كل الأرقام بين 2 −2 و 6 ، 6 ، بما في ذلك 2 ، −2 ، ولكن لا يشمل 6 6 (- 1 ، 0) ، (- 1 ، 0) ، جميع الأعداد الحقيقية بين ، ولكن لا تشمل not1 −1 و 0 0 و (- ، 1] ، (- ∞ ، 1 ] ، جميع الأعداد الحقيقية أقل من 1. وتشمل الجدول 1 الاحتمالات.

مجموعة مبينة تعيين تدوين منشئ تدوين الفاصل
كل الأرقام الحقيقية بين أ و ب، ولكن لا تشمل أ أو ب < x | a < x < b >(أ ، ب) (أ ، ب)
كل الأعداد الحقيقية أكبر من أ، ولكن لا تشمل أ < x | x > a >(أ ، ∞) (أ ، ∞)
كل الأعداد الحقيقية أقل من ب، ولكن لا تشمل ب < x | x < b >(- ∞ ، ب) (- ∞ ، ب)
كل الأعداد الحقيقية أكبر من أ، بما فيها أ < x | x ≥ a >[أ ، ∞) [أ ، ∞)
كل الأعداد الحقيقية أقل من ب، بما فيها ب < x | x ≤ b >(- ∞ ، ب] (- ∞ ، ب]
كل الأرقام الحقيقية بين أ و ب، بما فيها أ < x | a ≤ x < b >[أ ، ب) [أ ، ب)
كل الأرقام الحقيقية بين أ و ب، بما فيها ب < x | a < x ≤ b >(أ ، ب] (أ ، ب]
كل الأرقام الحقيقية بين أ و ب، بما فيها أ و ب < x | a ≤ x ≤ b >[أ ، ب] [أ ، ب]
كل الأعداد الحقيقية أقل من أ أو أكبر من ب < x | x < a or x > b >(- ∞ ، أ) ∪ (ب ، ∞) (- ∞ ، أ) ∪ (ب ، ∞)
كل الأعداد الحقيقية < x | x is all real numbers >( − ∞ , ∞ ) ( − ∞ , ∞ )

مثال 1

استخدام تدوين الفاصل للتعبير عن جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو المساوية أ

استخدم تدوين الفاصل الزمني للإشارة إلى جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي 2. −2.

حل

استخدم تدوين الفاصل الزمني للإشارة إلى جميع الأعداد الحقيقية بين وتشمل −3 −3 و 5. 5.

مثال 2

استخدام تدوين الفاصل للتعبير عن جميع الأعداد الحقيقية الأصغر من أو المساوية أ أو أكبر من أو يساوي ب

اكتب الفترة التي تعبر عن جميع الأعداد الحقيقية الأصغر من أو تساوي −1 1 أو أكبر من أو تساوي 1. 1.

حل

علينا كتابة فترتين في هذا المثال. يجب أن يشير الفاصل الزمني الأول إلى جميع الأعداد الحقيقية الأصغر من أو تساوي 1. لذا ، فإن هذه الفترة تبدأ عند - ∞ - ∞ وتنتهي عند 1 ، −1 ، والتي تتم كتابتها كـ (- ∞ ، −1]. (- ∞ ، −1].

استخدام خصائص المتباينات

عندما نعمل مع عدم المساواة ، يمكننا عادة معاملتها بشكل مشابه ولكن ليس تمامًا كما نتعامل مع المساواة. يمكننا استخدام خاصية الجمع وخاصية الضرب لمساعدتنا في حلها. الاستثناء الوحيد هو عندما نضرب أو نقسم على رقم سالب ، فإن ذلك يعكس رمز عدم المساواة.

خصائص المتباينات

تنطبق هذه الخصائص أيضًا على a ≤ b و a ≤ b و a & gt b و a & gt b و a b. أ ≥ ب.

مثال 3

إظهار خاصية الإضافة

وضح خاصية الإضافة لعدم المساواة من خلال حل كل مما يلي:

حل

تنص خاصية إضافة المتباينات على أنه في حالة وجود متباينة ، فإن إضافة أو طرح نفس الرقم على كلا الجانبين لا يغير المتباينة.

مثال 4

إظهار خاصية الضرب

وضح خاصية الضرب للمتباينات من خلال حل كل مما يلي:

حل

حل المتباينات في متغير واحد جبريًا

كما أوضحت الأمثلة ، يمكننا إجراء العمليات نفسها على طرفي المتباينة ، تمامًا كما نفعل مع المعادلات ، فنحن نجمع الحدود المتشابهة وننفذ العمليات. للحل ، نعزل المتغير.

مثال 5

حل التفاوت جبريًا

حل المتباينة: 13-7 س ≥ 10 س - 4. 13 - 7 س ≥ 10 س - 4.

حل

يشبه حل هذه المتباينة حل المعادلة حتى الخطوة الأخيرة.

تُعطى مجموعة الحلول بالفاصل الزمني (- ∞ ، 1] ، (- ∞ ، 1] ، أو جميع الأعداد الحقيقية الأصغر من 1 والمتضمنة.

حل المتباينة واكتب الإجابة باستخدام رمز الفترة: - x + 4 & lt 1 2 x + 1. - x + 4 & lt 1 2 x + 1.

مثال 6

حل المتباينة مع الكسور

حل المتباينة التالية واكتب الإجابة باستخدام رمز الفترة: - ٣ ٤ x ≥ - ٥ ٨ + ٢ ٣ x. - ٣ ٤ x ≥ - ٥ ٨ + ٢ ٣ x.

حل

نبدأ في الحل بنفس الطريقة التي نحل بها عند حل المعادلة.

مجموعة الحل هي الفترة (- ∞، 15 34]. (- ∞، 15 34].

حل المتباينة واكتب الإجابة في صورة المجال: - ٥ ٦ × ≤ ٣ ٤ + ٨ ٣ س. - ٥ ٦ × ٣ ٤ + ٨ ٣ ×.

فهم عدم المساواة المركبة

مثال 7

حل مشكلة عدم المساواة المركبة

حل المتباينة المركبة: 3 ≤ 2 x + 2 & lt 6. 3 ≤ 2 x + 2 & lt 6.

حل

الطريقة الأولى هي كتابة متراجعتين منفصلتين: 3 2 x + 2 3 ≤ 2 x + 2 و 2 x + 2 & lt 6. 2 x + 2 & lt 6. نحلها بشكل مستقل.

بعد ذلك ، يمكننا إعادة كتابة الحل كمتباينة مركبة ، بالطريقة نفسها التي بدأت بها المشكلة.

في تدوين الفترة ، يُكتب الحل بالشكل [1 2 ، 2). [1 2 ، 2).

الطريقة الثانية هي ترك المتباينة المركبة كما هي وتنفيذ إجراءات الحل للأجزاء الثلاثة في نفس الوقت.

نحصل على نفس الحل: [1 2 ، 2). [1 2 ، 2).

حل المتباينة المركبة: 4 & lt 2 x - 8 ≤ 10. 4 & lt 2 x - 8 ≤ 10.

المثال 8

حل مشكلة عدم المساواة المركبة مع المتغير في الأجزاء الثلاثة

حل المتباينة المركبة ذات المتغيرات في الأجزاء الثلاثة: 3 + x & gt 7 x - 2 & gt 5 x - 10. 3 + x & gt 7 x - 2 & gt 5 x - 10.

حل

لنجرب الطريقة الأولى. اكتب متراجعتين:

حل المتباينة المركبة: 3 y & lt4-5 y & lt 5 + 3 y. 3 سنوات و 4 - 5 سنوات و 5 + 3 سنوات.

حل متباينات القيمة المطلقة

متباينة القيمة المطلقة هي معادلة للصيغة

أين أ، وأحيانا ب، يمثل تعبيرًا جبريًا يعتمد على متغير x. حل المتباينة يعني إيجاد مجموعة كل x x -القيم التي ترضي المشكلة. عادةً ما تكون هذه المجموعة عبارة عن فاصل زمني أو اتحاد لفترتين وستتضمن نطاقًا من القيم.

هناك طريقتان أساسيتان لحل عدم المساواة في القيمة المطلقة: الرسوم البيانية والجبرية. ميزة النهج الرسومي هي أنه يمكننا قراءة الحل عن طريق تفسير الرسوم البيانية لمعادلتين. تتمثل ميزة النهج الجبري في أن الحلول دقيقة ، حيث يصعب أحيانًا قراءة الحلول الدقيقة من الرسم البياني.

لنفترض أننا نريد معرفة جميع العوائد المحتملة على الاستثمار إذا أمكننا كسب مبلغ من المال في حدود 200 دولار من 600 دولار. يمكننا إيجاد حل جبريًا لمجموعة س-قيم بحيث تكون المسافة بين x x و 600 أقل من 200 أو تساويها. نمثل المسافة بين x x و 600 بالشكل | x - 600 | ، | x - 600 | ، وبالتالي ، | x - 600 | ≤ 200 | x - 600 | 200 ين أو

هذا يعني أن عائداتنا ستكون بين 400 دولار و 800 دولار.

لحل متباينات القيمة المطلقة ، تمامًا كما هو الحال مع معادلات القيمة المطلقة ، نكتب متباينتين ثم نحلهما بشكل مستقل.

متباينات القيمة المطلقة

تنطبق هذه العبارات أيضًا على | X | ≤ ك | X | ≤ ك و | X | ≥ ك. | X | ≥ ك.


تمرين جلينكو الجبر 1 حلول الفصل 2 الأعداد الحقيقية 2.7

تمرين جلينكو الجبر 1 حلول الفصل 2 الأعداد الحقيقية 2.7

الإجابة 1CU.

الإجابة 2CU.

الإجابة 3CU.

الإجابة 4CU.

الإجابة 5CU.

الإجابة 6CU.

الإجابة 7CU.

الإجابة 8CU.

الإجابة 9CU.

الإجابة 10CU.

الإجابة 11CU.

الإجابة 12CU.

الإجابة 13CU.

الإجابة 14CU.

الإجابة 16CU.

الإجابة 18CU.

الإجابة 19CU.

الإجابة 20PA.

الإجابة 22PA.

الإجابة 23PA.

الإجابة 24PA.

الإجابة 25PA.

الإجابة 26PA.

الإجابة 27PA.

الإجابة 28PA.

الإجابة 29PA.

الإجابة 30PA.

الإجابة 31PA.

الإجابة 32PA.

الإجابة 33PA.

الإجابة 34PA.

الإجابة 35PA.

الإجابة 36PA.

الإجابة 38PA.

الإجابة 39PA.

الإجابة 40PA.

الإجابة 41PA.

الإجابة 42PA.

الإجابة 43PA.

الإجابة 44PA.

الإجابة 45PA.

الإجابة 46PA.

الإجابة 47PA.

الإجابة 48PA.

الإجابة 49PA.

الإجابة 50PA.

الإجابة 51PA.

الإجابة 52PA.

الإجابة 53PA.

الإجابة 54PA.

الإجابة 55PA.

الإجابة 56PA.

الإجابة 57PA.

الإجابة 58PA.

الإجابة 59PA.

الإجابة 60PA.

الإجابة 62PA.

الإجابة 63PA.

الإجابة 64PA.

الإجابة 65PA.

الإجابة 66PA.

الإجابة 67PA.

الإجابة 68PA.

الإجابة 69PA.

الإجابة 70PA.

الإجابة 71PA.

الإجابة 72PA.

الإجابة 73PA.

الإجابة 74PA.

الإجابة 75PA.

الإجابة 76PA.

الإجابة 77PA.

الإجابة 78PA.

الإجابة 79PA.

الإجابة 80MYS.

الإجابة 81MYS.

الإجابة 82MYS.

الإجابة 83MYS.

الإجابة 84MYS.


الإجابة 85MYS.

الإجابة 86MYS.

الإجابة 87MYS.

الإجابة 88MYS.


2.7: ملحق التمرين - الرياضيات

التدريبات 2.2.4 ، 2.2.13 (أ ، ب ، ج) ، 2.3.4 ، 2.4.2 ، 2.4.8 ، 2.7.6

عمل الحاسوب: تمارين 2.8.2، 2.8.3

برنامج Matlab 1 - لمساعدتك في حل المشكلة 2.8.2. يرسم هذا البرنامج مجال ميل المعادلة في المثال 2.8.1 (صفحة 35). ما عليك سوى تعديل حقل السرعة (المشار إليه بالرمز S في الكود) وربما الشبكة الشبكية [t ، x].

برنامج Matlab 2 وبرنامج Matlab 3 - لمساعدتك في حل المشكلة 2.8.3. يحل هذا البرنامج المعادلة في المثال 2.8.1 عدديًا (صفحة 35) باستخدام طريقة أويلر. لحل المعادلات الأخرى ، سيتعين عليك تعديل ملف rhseuler.m عن طريق إدخال الجانب الأيمن المطلوب.

الواجب المنزلي # 2 - الثلاثاء 27 يناير

التدريبات 3.1.2 ، 3.2.3 ، 3.2.4 ، 3.3.2 ، 3.4.2 ، 3.4.6 ، 3.4.11

الواجب المنزلي # 3 - يوم الجمعة الموافق 6 فبراير

بالنسبة للجزء د) و هـ) في المثال 3.7.5 ، أتوقع مناقشة تفصيلية حول مخطط الاستقرار (سلوك r و s من حيث معامل المنحنى x ، وموقع نقطة الانعطاف ، ونطاق معامل المنحنى x). أيضًا ، بالإضافة إلى ما يطلبه المثال السابق 3.7.5 ، يُطلب منك اختيار قيم المعلمات r و s التي تتوافق مع ثلاث نقاط ثابتة ، وتهيئة القصيدة في مواقع مختلفة للحصول على تطورات زمنية رقمية للنموذج نحو اثنين من الاتزان المستقر.

تمارين للفصل 4: 4.1.2 ، 4.1.5 ، 4.3.3 ، 4.3.4 ، 4.5.3.

عمل إضافي مطلوب في المثال 4.5.3: وضح عدديًا ظاهرة الاختناق للمعادلة في المسألة. ناقش (ووضح في المؤامرات) مكان حدوث الاختناق ، بالإضافة إلى قانون التحجيم للوقت اللازم للمرور عبر عنق الزجاجة.

برنامج الكيمياء الحيوية m - يحل عدديًا القصيدة في المثال 3.7.5. أيضًا ، للمساعدة في Ex 3.7.5 ، إليك برنامج stabdiag.m الذي يرسم منحنى ثنائي الأبعاد ذي معلمات. اقرأ التعليقات في أعلى الملفات!

Programleneck.m - يحل القصيدة في المثال رقم 4.5.3 عدديًا.

الواجب المنزلي رقم 4 - يوم الجمعة 20 فبراير

التدريبات 5.1.10 (أ ، ج ، هـ) ، 5.2.2 ، 5.2.4 ، 5.2.6 ، 5.2.8 ، 5.2.10 ، 5.2.13 ، 5.3.4.

بالنسبة لجميع المشكلات المذكورة أعلاه ، أريدك أن توضح النتائج باستخدام صورة طور. معظم التمارين تطلبها صراحة في الواقع. يمكنك بالتأكيد استخدام بوابة طور تم إنشاؤها بواسطة الكمبيوتر باستخدام برنامج Matlab أدناه. تأكد من أن صور الطور تحتوي على التفاصيل المقدمة (اتجاهات eigende سريعة وبطيئة للعقد ، ومشعبات مستقرة وغير مستقرة للسروج ، وما إلى ذلك) لإظهار أن لديك فهمًا واضحًا للسلوك النوعي للحل.

كود Matlab pplane7.m - يحل النظم العددية (الخطية أو غير الخطية) من اثنين من القصائد. قد ينكسر أحيانًا أو يعطي إجابات غير دقيقة بسبب التكامل العددي الخشن. ومع ذلك ، فهي قوية وموثوقة للغاية. يتوفر تطبيق Java الصغير على http://math.rice.edu/

dfield / dfpp.html. أنا شخصياً لم أنزل التطبيق الصغير ولم أشغل الرموز هناك.
تنبيه: استخدم برنامج الكمبيوتر هذا بحكمة شديدة. استخدمه فقط للتحقق من إجاباتك. في الامتحان ، لن تكون هذه الأداة متاحة ، وسيتعين عليك رسم صور المرحلة يدويًا!

الواجب المنزلي رقم 5 - يوم الثلاثاء الموافق 10 مارس

تمارين للفصل 6: 6.2.2 ، 6.3.4 ، 6.3.9 ، 6.4.3 ، 6.5.1 ، 6.5.6 ، 6.6.1 ، 6.6.6

يوصى بشدة باستخدام برنامج Matlab pplane7.m (المرتبط أعلاه).

العمل الحسابي الإضافي: للتمرين 6.3.9 (هـ) أريدك أن تجد عدديًا (انظر رمز 2d Euler Matlab أدناه) مسارًا زمنيًا للخلف وتحقق من سلوكه المقارب. في الشكل نفسه ، ارسم مسارًا للخلف الزمني هذا ، جنبًا إلى جنب مع تقريب للمنحنى الذي تقترب منه المسارات عندما يقترب الوقت من اللانهاية.

كود Matlab euler2d.m - يحل عدديًا (بطريقة أويلر) نظامًا من قصدين (على وجه التحديد ، يحل هذا الرمز النظام في المثال 6.3.9).

الواجب المنزلي # 6 - يوم الجمعة الموافق 20 مارس

مشكلة إضافية بالنسبة للفصل 7. تتناول هذه المشكلة النموذج المأخوذ من مثال 7.3.1 لقيم المعلمة mu> 1. أطلب منك القيام بما يلي. ط) اكتب النظام في إحداثيات مستطيلة وتحقق من وجود نقاط ثابتة. ناقش أيضًا نظرية الاستقرار الخطي للنقطة الثابتة عند الأصل. ب) استخدم صيغة الإحداثيات القطبية وتحقق من إمكانية تطبيق نظرية بوانكير-بنديكسون لـ mu> 1. قدم صورًا طورية لعدة قيم (تكفي اثنين) من mu واشرح سلوك الحلول. حدد عدد دورات الحد. يجب إيلاء اهتمام خاص لسلوك المسارات بالقرب من الأصل.

لا أوصي باستخدام pplane7.m لرسم صور المرحلة للمشكلة الإضافية. النتائج صحيحة ، لكنها قد تكون مربكة. أوصي باستخدام كود تكامل 2d Euler المرتبط أعلاه في الواجب المنزلي 5 (فقط قم بتغيير الجانب الأيمن من نظام القصيدة ، والشروط الأولية ، وربما الخطوة الزمنية).

الواجب المنزلي # 7 - الخميس 2 أبريل

تمارين للفصل 9: 9.2.1 ، 9.2.2 ، 9.2.6

(1) اختر الظروف الأولية المناسبة وحقق نتائج مماثلة لتلك الواردة في المثال 9.5.1 (الشكلان 9.5.2 و 9.5.3). استخدم r = 21 ، سيجما = 10 ، ب = 8/3. اشرح سبب تسمية هذا السلوك "بالفوضى العابرة".

(2) استخدم سيجما = 10 ، ب = 8/3 واختر قيمة لـ r والشروط الأولية للحصول على نتائج مماثلة لتلك الواردة في المثال 9.5.2 (الشكلان 9.5.4 و 9.5.5). قارن مع النتائج في الجزء (ط).


تعيينات

الواجب 2 ، مستحق الأربعاء 13 أكتوبر: التدريبات 2.11 ، 2.28 ، 2.30 ، 2.32 ، 2.40 ، 2.47. [تعليق: الهدف من 2.11 هو الإدلاء بتصريح يجبرني على إعطائك الدولار. (عملات الدولار موجودة!)] تم تصحيح هذه القائمة بعد ظهر يوم الجمعة. في وقت سابق كنت قد كتبت 2.33 بدلاً من 2.32. الرجاء القيام 2.32.

الواجب 3 المقرر يوم الأربعاء 20 أكتوبر: التدريبات 3.11 ، 3.16 ، 3.31 ، 3.38 ، 3.55 ، 3.57. [تعليق: في 3.11 ، تذكر أن المجموعة الفارغة تعتبر مجموعة فرعية.]

  • سيتم تسليم الواجب المنزلي يوم الأربعاء ، 27 أكتوبر ، يوم الجمعة ، 29 أكتوبر. سيخصص الفصل يوم الجمعة لمناقشة هذه المشكلات والمراجعة العامة.
  • لن يكون هناك واجبات منزلية مستحقة في 3 نوفمبر. وبدلاً من ذلك ، سيتم تقديم مجموعة من مشكلات المراجعة في 27 أكتوبر ، وستتوفر الإجابات هنا.
  • ستكون ساعات العمل في الأسبوع الأول من نوفمبر يوم الاثنين ، 1 نوفمبر ، 9-10 و 1: 30-2: 20 ، بدلاً من يومي الثلاثاء والأربعاء المعتاد.
  • ال إختبار نصف الفصل سيكون على الاثنين 1 نوفمبر. سيغطي الفصول 1-4 (بشكل رئيسي الفصول 2-4).
  • الامتحان كتاب مفتوح وملاحظات مغلقة. وهذا يعني أنه يمكنك إحضار واستشارة الكتاب المدرسي وكذلك سجل القصاصات ، ولكن لا شيء غير ذلك. (يمكنك أيضًا إحضار آلة حاسبة إذا كان ذلك يجعلك تشعر بالرضا ، ولكن لن يكون لديك الكثير من الاستخدام لها.)
  • سيتم تسليم الامتحانات المصنفة مرة أخرى يوم الأربعاء ، 3 نوفمبر. كما سيتم تسليم واجب منزلي جديد بعد ذلك.

الواجب 6 المقرر يوم الأربعاء 17 نوفمبر: التدريبات 9.9 ، 9.11 ، 9.17 ، 9.23 ، 9.28 ، 9.29. [ ملحوظة: تم تغيير 9.10 (تم الأسبوع الماضي) إلى 9.9.]

الواجب 7 ، مستحق الأربعاء 24 نوفمبر (إذا كنت ستغادر مبكرًا لحضور عيد الشكر ، فيمكنك إحضاره إلى مكتبي ، Padelford C436 ، ووضعه تحت الباب إذا لم أكن موجودًا): التمارين 6.9 (أ ، ب ، ج) ، 6.24 ، 6.25 ، 6.41 ، 6.45. [6.41 تساوي 20 نقطة: 10 للجزء الأول و 10 للجزءين الآخرين. قد يكون الجزء الأول أسهل إذا أعدت صياغته على النحو التالي: أثبت بالاستقراء على k أن a_n يقسم a_ - 2 لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n و k. تلميح: 2 ^ <2 ^> = (2 ^ <2 ^ m>) ^ 2.]

الواجب 8 ، مستحق الأربعاء 1 ديسمبر: تمارين 7.11 ، 7.19 ، 7.23 ، والمشكلة الإضافية التالية.
مشكلة اضافية: ضع في اعتبارك العلاقات التالية على المستوى الديكارتي: (i) (x، y) مرتبط بـ (z، w) if (z، w) = (rx، ry) لبعض r> 0. (ii) (x، y) مرتبط بـ (z، w) if (z، w) = (rx، ry) لبعض الأرقام الحقيقية r.
أ. بيّن أن (i) هي علاقة تكافؤ ، وارسم فئات التكافؤ.
ب. أظهر أن (2) ليست علاقة تكافؤ.

الواجب 9 ، مستحق الأربعاء 8 ديسمبر: تمارين 7.18 ، 7.30 ، 7.33 ، 7.34 ، والمشكلة الإضافية أدناه. [تعليقات: (1) في 7.18 ، من المفترض أن تكون n فئة تطابق من الأعداد الصحيحة mod p. (2) 7.30 تساوي 20 نقطة: 10 للجزءين الأولين ، و 10 للجزء الثالث.]
مشكلة اضافية: أوجد كل حلول التطابق 3x ^ 8 + 5x ^ 7-14x ^ 4 + 2x == 5 mod 7.
("==" تعني "متطابقة مع." من المفترض أن تكون الحلول x هي فئات التطابق mod 7. هذا ليس بالصعوبة التي يبدو عليها: استخدم نظرية Fermat.)


شاهد الفيديو: التمرين 1 الصفحة 120 من كتاب المسار في الرياضيات للسنة الثانية اعدادي (ديسمبر 2021).