مقالات

13: الهندسة ، الجزء الأول - الرياضيات


الهندسة هي فن التفكير الجيد من الرسومات السيئة. - هنري بوانكاريه

صورة مصغرة بواسطة Tomruen (عمل خاص) [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)] ، عبر ويكيميديا ​​كومنز.


13: الهندسة ، الجزء الأول - الرياضيات

إذا وجدت هذه الصفحة مفيدة ، فيرجى إبداء الإعجاب أو المشاركة أو ترك تعليق. شكرا لك!

لقد أمضيت للتو بضع ساعات في تصنيف حكام الهندسة الامتحانات في مدرستي القديمة. وصفت بأنها "قابلة للتنفيذ". أعتقد أن الطلاب الذين أتوا إلى دروسي في الأيام القليلة الماضية سيكونون سعداء. على افتراض أنهم جميعًا يعملون على حل مشكلاتهم الخاصة وليس مجرد نسخ إجاباتي.

بعض الملاحظات: دليل كان واضحًا جدًا ، مع اختيار AAS أو ك، طالما أنك قمت بعمل نسخة احتياطية من الملف الذي استخدمته المكان كان السؤال غير مألوف للغاية حيث كان عليك تقديم معادلة لموضع الدائرة ولم يكن الخط عموديًا أو أفقيًا ، فقد كان سؤال البناء ينقسم عدة مرات (واستخدام المسطرة ورسم المنحنيات لاحقًا لم يتم احتسابه). هذه القضايا مع المشاكل المفتوحة مع مناقشتها غدا (آمل).

فيما يلي أسئلة الاختيار من متعدد من الجزء الأول. ضع في اعتبارك أنه يجب علي كتابة كل هذه الأسئلة ، لذلك قد لا يظهر باقي الاختبار على مدونتي بالسرعة التي تريدها. الأسئلة هي دائما موضع ترحيب. وبالمثل ، لأنه طُلب مني الإسراع بهذا ، لا توجد رسوم بيانية متضمنة. قد تتم إضافتهم في وقت لاحق.

1. يظهر المنشور المستطيل في الرسم البياني أدناه. [رسم بياني على شكل صندوق مع خطوط قطرية في الأعلى والأسفل.]
أي زوج من قطع الخط سيكون دائمًا متطابقًا ومتوازيًا؟

(4) DB و HF متوازيان. من بين الخيارات الثلاثة الأخرى ، يتقاطع زوجان ويكون أحدهما منحرفًا.

2. في متوازي الأضلاع QRST ، يتم رسم QS قطري. أي عبارة يجب أن تكون صحيحة دائمًا؟

(3) المثلث STQ مطابق لـ QRS. يُنشئ قطري الموازي مثلثين متطابقين بواسطة SSS. (يُترك الدليل كتدريب للقارئ).

3. في الرسم البياني أدناه للدائرة O ، يتقاطع القطر AB والقرص المضغوط الوتر عند E. [المخطط هو دائرة كما هو موضح.]
إذا كان AB عموديًا على CD ، فما العبارة الصحيحة دائمًا؟

(4) يتطابق القوس CB مع القوس BD. (أيضًا الأقواس AC و AD متطابقتان ، في حال كنت تتساءل.)

4. ما معادلة الخط المار عبر (-9 ، 12) والعمودي على الخط الذي معادلته y = 1/3 x + 6؟

(2) y = -3x - 15. إذا كانت كذلك عمودي ثم المنحدرات نكون المعاملة بالمثل السلبية. يجب أن يكون ميل الخط الجديد -3. (حذف خيارين.) التوصيل (-9 ، 12) في الاختيار (2) يوضح أنها نقطة على هذا الخط. وبالمثل ، فإن الاستبدال في المعادلة (4) يوضح أنها غير صحيحة.

5. في الرسم البياني أدناه ، ما هو التحول الذي يمثل المثلثات X'Y'Z 'صورة المثلث XYZ؟ [يُظهر الرسم البياني مخططًا مشتركًا مع مثلث في الربع الأول وتكوين ، ولكن * مُدَوَّر * مثلث في التربيع الرابع.]

(3) إنه دوران 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة.

6. ما هو حل نظام المعادلات ص - س = 5 و ص = س 2 + 5؟

(1) يمكنك التحقق بسرعة كبيرة من أن (0 ، 5) حل. من الخيارات ، يجب أن يكون الحل الآخر (1 ، 6) أو (-1 ، 6). تحقق من (1 ، 6) أنها تعمل.

7. في الرسم البياني أدناه ، متوازي الأضلاع ABCD له رؤوس أ (١ ، ٣) ، ب (٥ ، ٧) ، ج (١٠ ، ٧) ، د (٦ ، ٣). تتقاطع الأقطار AC و BD عند e.

(3) (5.5 ، 5) أقطار متوازي الأضلاع ينصف بعضها البعض ، لذا فإن إحداثيات النقطة E هي منتصف قطري.

8. يظهر المثلث الأيمن ABC في الرسم البياني أدناه. [يُظهر الرسم البياني مخططًا مشتركًا مع مثلث يمين ABC في الربع الأول.]
بعد الانعكاس على المحور y ، تكون صورة المثلث ABC هي المثلث A'B'C '. ما هو البيان ليس حقيقية؟

(4) لن يكون التيار المتردد موازيًا لـ A'C بعد الانعكاس. A'C 'سيكون له ميل موجب.

9. ما هي معادلة الدائرة O الموضحة في الرسم البياني أدناه؟ [يُظهر الرسم البياني مخططًا مشتركًا مع دائرة مركزها في (-2،4) مع RADIUS 4.]

(4) اقلب اللافتات ، قم بتربيع نصف القطر.

10. في الرسم البياني أدناه للمثلث القائم الزاوية ABC ، ​​يتم رسم ارتفاع على وتر المثلث AB.

(3) نظرية ارتفاع المثلث الأيمن. ارتفاع ض يستخدم مرتين في النسبة.

11. الشكل الرباعي ABCD مرسوم على مجموعة المحاور أدناه. [يُظهر الرسم البياني مخططًا مشتركًا مع رباعي الشكل على شكل ماسي في الأرباع الأولى والرابعة.]
أي رباعي أفضل تصنيف ABCD؟

(3) إنه شكل معين ، لكنه ليس مربعًا.

12. يتم تمثيل الدائرة O بالمعادلة (x + 3) 2 + (y - 5) 2 = 48. إحداثيات المركز وطول نصف قطر الدائرة O هما.

(1) المرة الثانية التي يتم فيها استخدام معادلة الدائرة في هذا الاختبار. اقلب الإشارات وقم بتبسيط الجذر التربيعي للرقم 48. (لا يعني ذلك أنك مضطر إلى ذلك ، فهناك احتمال واحد فقط في الاختيارات).

13. في الرسم البياني أدناه للدائرة O ، الوتر AB يوازي الوتر CE.

(1) الحبال المتوازية تقطع الأقواس المتطابقة.

14. ما هو المنحدر o fa المستقيم العمودي على الخط الذي تكون معادلته 3x - 7y + 14 = 0؟

(2) عمودي مرة أخرى. منحدر العطاء الخط هو 3/7. المنحدر هو مقلوب معكوسوهو -7/3.

15. القطعة المستقيمة AB لها نقطة نهاية A تقع في الأصل. المقطع المستقيم AB هو الأطول عندما تكون إحداثيات B.

(2) السؤال يطرح في الأساس ، أي من الخيارات الأربعة هو الأبعد عن الأصل. قد تلاحظ أيضًا أنك إذا أضفت القيمة المطلقة لـ x والقيمة المطلقة لـ y ، فسيكون المجموع في كلتا الحالتين 10. ومع ذلك ، لا يمكنك إيجاد المسافة. تتضمن صيغة المسافة تربيع الأرقام ، لذلك لا ينبغي أن يكون مفاجئًا أن (2 ، -8) هي أبعد نقطة.

16. في المثلث FGH ، m & ltF = m & ltH ، GF = x + 40 ، HF = 3x - 20 و GH = 2x + 20. طول GH هو.

(3) لأن الزاويتين F و H متطابقتان ، فهو مثلث متساوي الساقين مع أرجل GF = GH. إذن x + 40 = 2x + 20. (ملاحظة: HF لا يهم في هذا.) اطرح x من كلا الطرفين ، واطرح 20 من كلا الطرفين ، وستجد أن x = 20. هذا هو ليس الاجابة. عوض عن x ب 20 ، و 2 (20) + 20 = 60.

17. في الرسم التخطيطي للشكل الرباعي ABCD ، يكون القطران AEC و BED متعامدين عند E. [الرسم البياني يظهر شكلًا ورقية رباعيًا بقطريين.]
ما هو البيان الصحيح دائمًا بناءً على المعلومات المقدمة؟

(4) إذا كانت الخطوط متعامدة ، فسيتم تكوين أربع زوايا قائمة ، وكلها 90 درجة ، وبالتالي كلها متطابقة مع بعضها البعض.

18. أي مجموعة من الأعداد يمكن أن تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية؟

(4) <8 ، 15 ، 17> هو الوحيد ثلاثية فيثاغورس المدرجة. يجب أن تعرفها فقط من رؤيتها. إذا كنت لا تعرف ذلك ، فيجب عليك التحقق من كل استخدام باستخدام ملف نظرية فيثاغورس، على الرغم من أنك يجب أن تكون قد أدركت أن <7 ، 7 ، 12> لا يمكن أن يكون صحيحًا لأن الوتر في ذلك متساوي الساقين يجب أن يكون المثلث 7 (جذر 2).

19. في الشكل الرباعي ABCD ، تقسم الأقطار زواياها إلى نصفين. إذا كانت الأقطار ليس يجب أن يكون الشكل الرباعي ABCD المتطابق أ

(3) إنه شكل معين ، لكنه ليس مربعًا. أعتقد أنني كتبت ذلك مرة من قبل.

20. يظهر الخط m والنقطة P في الرسم البياني أدناه. [يُظهر الرسم البياني خطًا منظمًا بخط مستقيم مع منحدر إيجابي وعلامة P أسفله في الربع الرابع.]
ما المعادلة التي تمثل الخط المار عبر P والمتوازي مع الخط m؟

(2) الخط المستقيم ميله 2 ، لذا فإن الخط الموازي له أيضًا ميل 2. وقد أُعطيت المعادلة بصيغة نقطة وميل: y - y0 = م (س - س0).

21. أي عبارة مركبة صحيحة؟

(1) الانفصال (OR) يحتاج فقط إلى جزء واحد ليكون صحيحًا. المربع له أربعة جوانب.

22. في المثلث CAT ، m & ltC = 65 ، m & ltA = 40 و B هي نقطة على الجانب CA ، بحيث يكون TB عموديًا على CA. أي قطعة مستقيمة هي الأقصر؟

(2) في أي مثلث ، يكون الضلع المقابل لأصغر زاوية هو أصغر ضلع ، ولكن هناك تعقيد هنا. تم تقطيع المثلث إلى مثلثين أصغر ، ولأن CAT كذلك ليس مثلث قائم الزاوية (65-40-75) ، لا يمكننا تطبيق نظرية ارتفاع المثلث الأيمن، حتى لو كان ذلك مفيدًا بعض الشيء. نظرًا لأن TB هو ارتفاع ، فإنه ينشئ زاويتين قائمتين ، لذلك يمكننا إيجاد حجم الزاويتين الأصغر التي تم قطع T إليهما ، وهما 50 و 25. سيكون الضلع المقابل للزاوية 25 درجة هو الأصغر من بين الأربعة تم إدراج الشرائح.

23. في مخطط المثلث ABC أدناه ، DE || BC ، AD = 3 ، DB = 2 ، و DE = 6.

(2) لأن الخطوط متوازية ، فإن المثلثات متشابهة والأضلاع متناسبة. 3: 6 :: (3 + 2): س ، أو 3 س = 30. إذن س = 10.

24. في المثلث ABC ، ​​الزاوية الخارجية عند C قياسها 50 درجة. إذا كانت m & ltA> 30 ، فما هي عدم المساواة التي يجب أن تكون صحيحة؟

(1) يجب أن يكون أقل من 20 بسبب نظرية الزاوية الخارجية.

25. أي رسم بياني يمثل التمثيل البياني للمعادلة (س - 1) 2 + ص 2 = 4؟

(2) في المرة الثالثة يسألون عن معادلة الدائرة.

26. ترد أدناه معادلات الخطوط k و p و m:
ك: س + 2 ص = 6
ص: 6 س + 3 ص = 12
م: -x + 2 ص = 10
اي عبارة صحيحة؟

(1) المستقيمان p و m لهما منحدرات عمودية (-2 و 1/2).

27. شارع الخوخ وشارع الكرز متوازيان. يتقاطع شارع آبل معهم ، كما هو موضح في الرسم البياني أدناه:

(4) الزاويتان مكملتان ، لذا 2x + 36 + 7x - 9 = 180. (ليستا متطابقتين ، متساوية مع بعضها البعض).
إذن ، 9x + 27 = 180 ، 9x = 153 ، x = 17. مرة أخرى ، هذا هو ليس الاجابة.
عوّض بـ 17 لـ x: 2 (17) + 36 = 34 + 36 = 70 درجة.

28. هرم منتظم ارتفاعه ١٢ سم وقاعدته مربعة. إذا كان حجم الهرم 256 سنتيمترًا مكعبًا ، فكم سنتيمترًا طول ضلع واحد من قاعدته؟

(1) 256 * 3 = 768. 768/12 = 64. الجذر التربيعي لـ 64 هو 8.

هذا كل شيء للاختيار من متعدد. أتمنى أن تكون قد فعلت بشكل جيد.

كما هو الحال دائمًا ، إذا كان هناك أي أخطاء إملائية في ما سبق ، يرجى الصراخ في أقرب وقت ممكن حتى أتمكن من ضبط الأشياء.


13: الهندسة ، الجزء الأول - الرياضيات

تعتمد دورة الهندسة على الجبر 1 من خلال توسيع قدرة الطلاب على رؤية العلاقات الهندسية ورؤية كيف أن هذه العلاقات الهندسية غالبًا ما تكون تمثيلات بديلة للعلاقات التي درسوها في العام السابق. يطور الطلاب نهجًا لتحليل العلاقات الهندسية وشرح أسبابهم المنطقية والدقيقة ، مما يؤدي في النهاية إلى إثبات (غير رسمي ورسمي).

المفاهيم الرئيسية المحددة لدورة الهندسة هي التطابق ، والتشابه ، والمثلثات القائمة ، وعلم المثلثات ، واستخدام الإحداثيات لإثبات النظريات الهندسية البسيطة جبريًا ، وتطبيق المفاهيم الهندسية في حالات النمذجة. تُبنى الأشكال المستخدمة للتواصل حول هذه العلاقات والتمثيلات من مفاهيم النقطة والخط إلى المضلعات والدوائر.

يتم تنفيذ عملية التعبير عن الصوت والتفكير الدقيق خلال دورة الهندسة. لذلك ، يجب أن يكون التفكير المنطقي وتكوين المعنى جزءًا منتظمًا من التعليمات ، مع كتابة إثبات رسمي أو بدونها. سيكون تكامل المعايير الأساسية المشتركة للممارسة الرياضية أمرًا بالغ الأهمية لفهم الطلاب لكيفية التعامل مع الهندسة. من خلال "ممارسة" التفكير ، سيتقدم الطلاب نحو التعبير عن التفكير الهندسي المناسب على مستوى الدورة التدريبية من خلال بناء حجج قابلة للتطبيق ، وانتقاد استدلال الآخرين والاهتمام بالدقة عند الإدلاء ببيانات رياضية.

فيما يلي بعض الموارد المفيدة التي تدعم دورة الهندسة. يرجى زيارة صفحة البحث عن الموارد للعثور على المزيد!

ينشئ Quiz Banker اختبارًا وجاهزًا للطلاب قابلاً للتحرير والإجابة على المستندات بناءً على بنك عناصر يضم أكثر من 2500 سؤال امتحان حكومي.

يدعم Quiz Banker معلمي الثانوية في ولاية نيويورك في إنشاء اختبارات استنادًا إلى عناصر اختبار Regents السابقة. من خلال الاعتماد على مجموعة العناصر في محرّر مستندات Google ، يتيح Quiz Banker هذا للمعلمين مزيدًا من الوقت للمهام الحاسمة المتمثلة في تحديد وتحليل احتياجات تعلم الطلاب والتخطيط لدروس يومية سريعة الاستجابة. يمكن للمدرسين فرز الأسئلة وتصفيتها حسب مجال Core Common والكتلة والمعيار لتسهيل فهم ما تعنيه معايير Core Common. يتماشى كل سؤال أيضًا مع منهج New Visions المجاني ومفتوح المصدر ، مما يسهل على المعلمين التخطيط استجابةً لأدلة التعلم. في الوقت الحالي ، تحتوي الأداة الحالية على عناصر لـ 3 دورات ثانوية في الرياضيات في ولاية نيويورك ودورتين دراسيتين في علوم ولاية نيويورك.

يرجى التعليق أدناه بأسئلة أو تعليقات أو اقتراحات أو أوصاف لتجربتك باستخدام هذا المورد مع الطلاب.

هذا وصف للتفاهمات الشائعة وسوء الفهم لدى الطلاب في الهندسة. قد يكون هذا قراءة مفيدة لمعلمي الهندسة قبل التخطيط للوحدة.

يرجى التعليق أدناه بأسئلة أو تعليقات أو اقتراحات أو أوصاف لتجربتك باستخدام هذا المورد مع الطلاب.


أسئلة الهندسة الصلبة النموذجية في ACT

قبل أن ننتقل إلى الصيغ التي ستحتاجها للتعامل مع الهندسة الصلبة ، من المهم أن تتعرف على أنواع الأسئلة التي سيطرحها عليك ACT حول المواد الصلبة. ستظهر أسئلة الهندسة الصلبة في ACT بصيغتين: الأسئلة التي يتم إعطاؤك فيها رسمًا تخطيطيًا ، وأسئلة مشكلة الكلمات.

بغض النظر عن التنسيق ، يوجد كل نوع من أسئلة الهندسة الصلبة ACT لاختبار فهمك لحجم و / أو مساحة سطح الشكل. سيتم سؤالك عن كيفية العثور على حجم أو مساحة سطح الشكل ، أو سيُطلب منك تحديد كيف تتغير أبعاد الشكل وتتغير.

مشاكل الرسم التخطيطي

ستزودك مشكلة الرسم التخطيطي الهندسي الصلب برسم صلب هندسي وتطلب منك العثور على عنصر مفقود في الصورة. سيطلبون منك أحيانًا العثور على حجم الشكل أو مساحة سطح الشكل أو المسافة بين نقطتين في الشكل. قد يطلبون منك أيضًا مقارنة الأحجام أو مساحات السطح أو المسافات بين عدة أشكال مختلفة.

مشاكل الكلمات

ستطلب منك مسائل الهندسة الصلبة عادةً أن تقارن بين مساحات أو أحجام من شكلين. ستعطيك غالبًا أبعاد مادة صلبة ثم تخبرك بمقارنة حجمها أو مساحة سطحها مع مادة صلبة ذات أبعاد مختلفة.

قد تطلب منك مشكلات الكلمات الأخرى احتواء شكل داخل آخر. هذه مجرد طريقة أخرى تجعلك تفكر في حجم الشكل وطرق قياسه.

ما هو الحد الأدنى للحجم الممكن لمكعب بوحدات بوصة مكعبة يمكن أن يكتب كرة نصف قطرها 3 بوصات؟

هذه مشكلة كلمة نموذجية للنقش على المواد الصلبة. سنستعرض كيفية حلها لاحقًا في الدليل.

يمكن أن تكون مشاكل الكلمات في الهندسة الصلبة مربكة لكثير من الناس ، لأنه قد يكون من الصعب تصور السؤال بدون صورة.

كما هو الحال دائمًا مع مشاكل الكلمات التي تصف الأشكال أو الزوايا ، ارسم بنفسك! مجرد القدرة على رؤية ما يصفه السؤال يمكن أن تفعل المعجزات للمساعدة في توضيح السؤال.

شاملة

يتعلق كل سؤال هندسي صلب في ACT إما بحجم أو مساحة سطح الشكل ، أو المسافة بين نقطتين في الشكل. سيتعين عليك أحيانًا الجمع بين مساحة السطح والحجم ، وفي بعض الأحيان سيتعين عليك مقارنة مادتين صلبتين ببعضهما البعض. لكن في النهاية ، كل أسئلة الهندسة الصلبة تتلخص في هذه المفاهيم.

الآن دعنا ننتقل إلى نصائح الرياضيات ACT الخاصة بنا حول كيفية العثور على الأحجام ، ومساحات السطح ، والمسافات لجميع المواد الصلبة الهندسية المختلفة.

مثال ممتاز للمواد الصلبة الهندسية في البرية


مقدمة

إقليدس ورسكووس عناصر من أجمل الأعمال العلمية وتأثيرها في تاريخ البشرية. يكمن جمالها في تطورها المنطقي للهندسة وفروع الرياضيات الأخرى. لقد أثرت في جميع فروع العلوم ولكن لم تؤثر على الرياضيات والعلوم الدقيقة. ال عناصر تمت دراستها على مدار 24 قرنًا في العديد من اللغات بدءًا من اللغة اليونانية الأصلية بالطبع ثم العربية واللاتينية والعديد من اللغات الحديثة.

أنا أقوم بإنشاء هذا الإصدار من Euclid & rsquos عناصر لعدة أسباب. الشيء الرئيسي هو إحياء الاهتمام بـ عناصر، والويب طريقة رائعة للقيام بذلك. سبب آخر هو إظهار كيف يمكن استخدام تطبيقات Java الصغيرة لتوضيح الهندسة. يساعد ذلك أيضًا في إحضار ملف عناصر على قيد الحياة.

اكتمل نص جميع الكتب الثلاثة عشر ، وتم توضيح جميع الأشكال باستخدام برنامج الهندسة الصغير ، حتى تلك الموجودة في الكتب الثلاثة الأخيرة حول الهندسة الصلبة ثلاثية الأبعاد. لا يزال لدي الكثير لأكتبه في أقسام الدليل وهذا سيجعلني مشغولًا لفترة طويلة.

هذه الطبعة من إقليدس و rsquos عناصر يستخدم برنامج Java صغير يسمى Geometry الصغير لتوضيح الرسوم التخطيطية. إذا قمت بتمكين Java على المستعرض الخاص بك ، فستتمكن من تغيير الرسوم البيانية ديناميكيًا. لمعرفة كيفية القيام بذلك ، يرجى قراءة استخدام برنامج الهندسة الصغير قبل الانتقال إلى جدول المحتويات.

كثيرًا ما أسمع أن الهندسة لم تعد تُدرس جيدًا هنا في المدارس الثانوية بالولايات المتحدة. (أفهم أيضًا أنه لا يتم تدريسها على الإطلاق في بعض المدارس الثانوية.) هذه مشكلة كبيرة لأن المنطق الاستنتاجي يتم تعلمه بشكل حصري تقريبًا في الهندسة. بدون فهم المنطق ، سيواجه الطلاب صعوبة في حياتهم اليومية ، وصعوبة في الكلية ، إذا ذهبوا إلى الكلية.

تستخدم الرياضيات والعلوم الحديثة المنطق الاستنتاجي كأداة أساسية للفهم. في الرياضيات ، على وجه الخصوص ، لا يعتبر أي شيء معروفًا حتى يتم إثباته.

أحد العوامل المساهمة ، وربما العامل الرئيسي الذي ساهم في انهيار تعليم الهندسة في الولايات المتحدة ، هو طريقة تقديمها في الكتب المدرسية. إذا لم يتم تقديم المنطق في الكتب المدرسية ، فمن الصعب جدًا على المعلم إدراجه في الفصل.

كتاب نصي حديث ، Prentice-Hall's الهندسة: أدوات لعالم متغير يوضح مدى ضعف تعليم الهندسة اليوم. لمزيد من التفاصيل ، انظر تقييمي للكتاب.

للحصول على نقد أوسع لتعليم الرياضيات في الولايات المتحدة ، راجع الموقع Mathemically Correct. ->


مقدمة في الهندسة

تعلم أساسيات الهندسة من ريتشارد روسكيك الفائز في أولمبياد الرياضيات الأمريكي السابق. تشمل الموضوعات التي يغطيها الكتاب مثلثات متشابهة ، ومثلثات متطابقة ، وأربعة أضلاع ، ومضلعات ، ودوائر ، ومساحات غير تقليدية ، وقوة النقطة ، والهندسة ثلاثية الأبعاد ، والتحولات ، وأكثر من ذلك بكثير.

تم تصميم النص لإلهام القارئ لاستكشاف أفكار جديدة وتطويرها. يبدأ كل قسم بالمشكلات ، بحيث يكون للطالب فرصة لحلها دون مساعدة قبل المتابعة. ثم يتضمن النص حلولًا لهذه المشكلات ، يتم من خلالها تدريس التقنيات الهندسية. يتم إبراز الحقائق المهمة وأساليب حل المشكلات القوية في النص. بالإضافة إلى المواد التعليمية ، يحتوي الكتاب على أكثر من 900 مسألة. يحتوي دليل الحلول على حلول كاملة لجميع المشاكل ، وليس مجرد إجابات.

يمكن أن يكون هذا الكتاب بمثابة دورة هندسة كاملة ، وهو مثالي للطلاب الذين أتقنوا الجبر الأساسي ، مثل حل المعادلات الخطية. سيجد طلاب المدارس الإعدادية الذين يستعدون للرياضيات ، وطلاب المدارس الثانوية الذين يستعدون لـ AMC ، وغيرهم من الطلاب الذين يسعون لإتقان أساسيات الهندسة ، هذا الكتاب جزءًا أساسيًا من مكتبات الرياضيات الخاصة بهم.


من خلال نقطتين ، يوجد خط واحد بالضبط. الخط t هو الخط الوحيد الذي يمر عبر E و F.

افترض 1.1

يمكن أن يلتقي خطان أو يتقاطعان في نقطة واحدة بالضبط. في الشكل أدناه ، تسمى نقطة التقاطع أ.

افترض 1.2

يمكن أن تتقاطع طائرتان في سطر واحد بالضبط. الشكل أدناه يحتوي على طائرتين. يتقاطع المستوى ZXY باللون الأصفر والمستوى PXY باللون الأزرق في السطر XY الموضح باللون الأحمر.

من خلال أي ثلاث نقاط ليست على نفس الخط ، هناك مستوى واحد بالضبط. لاحظ أننا لسنا بحاجة إلى 4 نقاط لتحديد مستوى. هذا منطقي لأن الكرسي بثلاثة أرجل فقط لن يسقط.

افترض 1.4

تحدد النقاط السوداء الثلاث مستوى واحدًا بالضبط. تحدد النقاط الحمراء الثلاث مستوى واحدًا بالضبط.

افترض 1.5 أو افترض المسطرة

يمكن تخصيص رقم حقيقي لكل نقطة على السطر. المسافة بين أي نقطتين هي القيمة المطلقة للاختلاف بين الأرقام المقابلة.

إذا كانت A و B و C على خط واحد ، & # xa0 و B بين A و C ، AB + BC = AC

للحصول على تغطية أكثر شمولاً لفرضية المسطرة ، تحقق من الرابط أعلاه.

افترض 1.7 أو افترض المنقلة

لنفترض أن O تكون منتصف الخط AB. & # xa0Rays OA و OB وجميع الأشعة ذات نقاط النهاية O التي يمكن رسمها على جانب واحد من الخط AB يمكن إقرانها بالأرقام الحقيقية من 0 إلى 180 بحيث يقترن OA بـ 0 درجة و OB يقترن بـ 180 درجة . & # xa0


افترض 1.8 أو فرضية جمع الزاوية

إذا كانت ∠ AOB زاوية مستقيمة ، إذن & # xa0m & # xa0∠ AOC + m & # xa0∠ COB = 180

إذا كان شكلين متطابقين ، فإن مساحتهما تكون متساوية. على سبيل المثال ، يتطابق المستطيل الذي يبلغ عرضه = 2 وارتفاعه = 5 مع مستطيل بعرض = 5 والارتفاع = 2.

مساحة الشكل هي مجموع مناطق أجزائه غير المتداخلة.


الرياضيات الجزء الثاني حلول للفصل 9 الرياضيات الفصل 1 - المفاهيم الأساسية في الهندسة

الرياضيات الجزء الثاني حلول الحلول للفصل 9 الرياضيات الفصل 1 المفاهيم الأساسية في الهندسة مقدمة هنا مع تفسيرات بسيطة خطوة بخطوة. تحظى هذه الحلول الخاصة بالمفاهيم الأساسية في الهندسة بشعبية كبيرة بين طلاب الصف 9 لمفاهيم الرياضيات الأساسية في الهندسة ، حيث تأتي الحلول في متناول اليد لإكمال واجباتك المنزلية بسرعة والتحضير للامتحانات. جميع الأسئلة والأجوبة من كتاب حلول الرياضيات للجزء الثاني للصف 9 الرياضيات الفصل 1 متوفرة هنا مجانًا. ستحب أيضًا التجربة الخالية من الإعلانات في حلول حلول الجزء الثاني من Meritnation في الرياضيات. جميع حلول الرياضيات ، الجزء الثاني ، للصف 9 الرياضيات معدة من قبل خبراء وهي دقيقة بنسبة 100٪.

الصفحة رقم 5:

السؤال رقم 1:

أوجد المسافات بمساعدة خط الأعداد الموضح أدناه.

إجابه:

من المعروف أنه يتم الحصول على المسافة بين النقطتين عن طريق طرح الإحداثي الأصغر من الإحداثي الأكبر.

(ط) إحداثيات النقطتين B و E هما 2 و 5 على التوالي. نحن نعلم أن 5 & GT 2.
& هناك 4 د(ب ، هـ) = 5 ناقص 2 = 3

(2) إحداثيات النقطتين J و A هي & ناقص 2 و 1 على التوالي. نحن نعلم أن 1 & gt & minus2.
& هناك 4 د(J، A) = 1 & ناقص (& 2) = 1 + 2 = 3

(3) إحداثيات النقطتين P و C هي & ناقص 4 و 3 على التوالي. نحن نعلم أن 3 & gt & minus4.
& هناك 4 د(ف ، ج) = 3 & ناقص (& ناقص 4) = 3 + 4 = 7

(4) إحداثيات النقطتين J و H هي & ناقص 2 و & & ناقص 1 على التوالي. نحن نعلم أن & ناقص 1 & GT & ناقص 2.
& هناك 4 د(J، H) = & ناقص 1 & ناقص (& ناقص 2) = & ناقص 1 + 2 = 1

(5) إحداثيات النقطتين K و O هي & ناقص 3 و 0 على التوالي. نحن نعلم أن 0 & gt & minus3.
& هناك 4 د(K ، O) = 0 & ناقص (& ناقص 3) = 0 + 3 = 3

(6) إحداثيات النقطتين O و E هي 0 و 5 على التوالي. نحن نعلم أن 5 & GT 0.
& هناك 4 د(O، E) = 5 & ناقص 0 = 5

(7) إحداثيات النقطتين P و J هي & ناقص 4 و & ناقص 2 على التوالي. نحن نعلم أن & ناقص 2 & GT & ناقص 4.
& هناك 4 د(ف ، ي) = & ناقص 2 & ناقص (& ناقص 4) = & ناقص 2 + 4 = 2

(8) إحداثيات النقطتين Q و B هي & ناقص 5 و 2 على التوالي. نحن نعلم أن 2 & gt & minus5.
& هناك 4 د(س ، ب) = 2 & ناقص (& ناقص 5) = 2 + 5 = 7

الصفحة رقم 5:

السؤال 2:

إجابه:


من المعروف أنه يتم الحصول على المسافة بين النقطتين عن طريق طرح الإحداثي الأصغر من الإحداثي الأكبر.

(ط) إحداثيات A و B هي x و ذ على التوالى. نحن لدينا، x = 1 و ذ = 7. نعلم أن 7 & GT 1.
& هناك 4 د(أ ، ب) = ذ &ناقص x = 7 & ناقص 1 = 6

(2) إحداثيات A و B هي x و ذ على التوالى. نحن لدينا، x = 6 و ذ = & ناقص 2. نعلم أن 6 & gt & minus2.
& هناك 4 د(أ ، ب) = x &ناقص ذ = 6 & ناقص (& ناقص 2) = 6 + 2 = 8

(3) إحداثيات A و B هي x و ذ على التوالى. نحن لدينا، x = & ناقص 3 و ذ = 7. نعلم أن 7 & gt & minus3.
& هناك 4 د(أ ، ب) = ذ &ناقص x = 7 & ناقص (& ناقص 3) = 7 + 3 = 10

(6) إحداثيات A و B هي x و ذ على التوالى. نحن لدينا، x = 4 و ذ = & ناقص 8. نعلم أن 4 & gt & minus8.
& هناك 4 د(أ ، ب) = x &ناقص ذ = 4 & ناقص (& ناقص 8) = 4 + 8 = 12

الصفحة رقم 5:

السؤال 3:

إجابه:


(ط) لدينا ، د(P ، R) = 7 د(ف ، س) = 10 د(س ، ص) = 3
الآن، د(ف ، ص) + د(س ، ص) = 7 + 3
أو، د(ف ، ص) + د(ص ، س) = 10
& هناك 4 د(ف ، س) = د(ف ، ص) + د(س ، ص)
ومن ثم ، فإن النقاط P و R و Q مترابطة.
تقع النقطة R بين P و Q أي P-R-Q.

(2) لدينا ، د(ص ، ق) = 8 د(S ، T) = 6 د(ص ، تي) = 4
الآن ، 8 + 6 = 14 ، لذلك 8 + 6 & ne 4 6 + 4 = 10 ، لذلك 6 + 4 & ne 8 و 8 + 4 = 12 ، لذلك 8 + 4 & ne 6
نظرًا لأن مجموع المسافات بين زوجين من النقاط لا يساوي المسافة بين الزوج الثالث من النقاط ، وبالتالي فإن النقاط المعطاة R و S و T غير متداخلة.

(ثالثا) لدينا ، د(أ ، ب) = 16 د(ج ، أ) = 9 د(ب ، ج) = 7
الآن، د(ج ، أ) + د(ب ، ج) = 9 + 7
أو، د(أ ، ج) + د(ج ، ب) = 16
& هناك 4 د(أ ، ب) = د(أ ، ج) + د(ج ، ب)
ومن ثم ، فإن النقاط A و C و B متصلة.
تقع النقطة C بين A و B أي ، A-C-B.

(رابعا) لدينا ، د(L ، M) = 11 د(م ، ن) = 12 د(N ، L) = 8
الآن ، 11 + 12 = 23 ، لذلك 11 + 12 & ne 8 12 + 8 = 20 ، لذا 12 + 8 & ne 11 و 11 + 8 = 19 ، لذا 11 + 8 & ne 12
نظرًا لأن مجموع المسافات بين زوجين من النقاط لا يساوي المسافة بين الزوج الثالث من النقاط ، وبالتالي فإن النقاط المعطاة L و M و N ليست مترابطة.

(ت) لدينا ، د(س ، ص) = 15 د(ص ، ع) = 7 د(X ، Z) = 8
الآن، د(X، Z) + د(ص ، ع) = 7 + 8
أو، د(X، Z) + د(Z ، Y) = 15
& هناك 4 د(س ، ص) = د(X، Z) + د(Z ، Y)
ومن ثم ، فإن النقاط X و Z و Y متداخلة.
تقع النقطة Z بين X و Y أي X-Z-Y.

(السادس) لدينا ، د(د ، هـ) = 5 ، د(ه ، و) = 8 ، د(د ، و) = 6
الآن ، 5 + 8 = 13 ، لذا 5 + 8 & ne 6 8 + 6 = 14 ، لذا 8 + 6 & ne 5 و 5 + 6 = 11 ، لذا 5 + 6 & ne 8
نظرًا لأن مجموع المسافات بين زوجين من النقاط لا يساوي المسافة بين الزوج الثالث من النقاط ، وبالتالي فإن النقاط المعطاة D و E و F غير متداخلة.

الصفحة رقم 5:

السؤال 4:

على خط الأعداد ، تكون النقاط A و B و C على هذا النحو د(أ ، ج) = 10 ، د(ج ، ب) = 8. تجد د(أ ، ب) النظر في كل الاحتمالات.

إجابه:

يوجد هنالك احتمالين فقط.
الحالة 1: عندما تكون النقطة C بين النقطتين A و B.

نحن لدينا، د(أ ، ج) = 10 د(ج ، ب) = 8
الآن، د(أ ، ب) = د(أ ، ج) + د(ج ، ب) = 10 + 8
& هناك 4 د(أ ، ب) = 18
الحالة 2: عندما تكون النقطة B بين النقطتين A و C.

الصفحة رقم 5:

السؤال الخامس:

النقاط X ، Y ، Z متداخلة مثل هذه د(س ، ص) = 17 ، د(Y، Z) = 8، ابحث د(X ، Z).

إجابه:


من المسلم به أن النقاط X و Y و Z متداخلة.
نحن لدينا د(س ، ص) = 17 د(ص ، ع) = 8.
الآن، د(X ، Z) = د(X ، Y) + د(ص ، ع) = 17 + 8
& هناك 4 د(X ، Z) = 25

الصفحة رقم 5:

السؤال 6:

إجابه:

الصفحة رقم 5:

السؤال 7:

ما هو الشكل الذي يتكون من ثلاث نقاط غير متداخلة؟

إجابه:

يتكون المثلث من ثلاثة أجزاء تربط بين ثلاث نقاط غير متداخلة.

A و B و C ثلاث نقاط غير خطية. عندما يتم ضم A و B و C ، نحصل على ∆ABC.

الصفحة رقم 7:

السؤال رقم 1:

إجابه:

(ط) إحداثيات النقطتين D و E هي & ناقص 7 و 9 على التوالي. نعلم أن 9 & gt & minus7.
& هناك 4 ل(DE) = 9 & ناقص (& minus7) = 9 + 7 = 16
إحداثيات النقطتين A و B هي & ناقص 3 و 5 على التوالي. نحن نعلم أن 5 & gt & minus3.
& هناك 4 ل(AB) = 5 & ناقص (& ناقص 3) = 5 + 3 = 8
حيث، ل(DE) & ne ل(AB) ، لذلك seg DE - seg AB.

(2) إحداثيات النقطتين B و C هما 5 و 2 على التوالي. نحن نعلم أن 5 & GT 2.
& هناك 4 ل(BC) = 5 & ناقص 2 = 3
إحداثيات النقطتين A و D هي & سالب 3 و & سالب 7 على التوالي. نعلم أن & ناقص 3 & GT & ناقص7.
& هناك 4 ل(م) = & سالب 3 & ناقص (& ناقص 7) = & ناقص 3 + 7 = 4
حيث، ل(قبل الميلاد) وني ل(AD) ، لذلك سيجاب BC ≇ seg AD.

(3) إحداثيات النقطتين B و E هما 5 و 9 على التوالي. نحن نعلم أن 9 و GT 5.
& هناك 4 ل(BE) = 9 & ناقص 5 = 4
إحداثيات النقطتين A و D هي & سالب 3 و & سالب 7 على التوالي. نعلم أن & ناقص 3 & GT & ناقص7.
& هناك 4 ل(م) = & سالب 3 & ناقص (& ناقص 7) = & ناقص 3 + 7 = 4
حيث، ل(BE) = ل(AD) ، لذلك SEG BE & cong seg AD.

الصفحة رقم 7:

السؤال 2:

النقطة M هي نقطة المنتصف للمقطع AB. إذا كان AB = 8 ، فأوجد طول AM.

إجابه:


نحن لدينا ل(AB) = 8.
منذ ذلك الحين ، M هي نقطة المنتصف للمقطع AB ، إذن
ل(AM) = 1 2 من ل(AB)
& هناك 4 ل(AM) = 1 2 × 8 = 4
إذن ، طول AM يساوي 4.

الصفحة رقم 7:

السؤال 3:

النقطة P هي نقطة المنتصف لمقطع القرص المضغوط. إذا كان CP = 2.5 ، أوجد ل(قرص مضغوط).

إجابه:


نحن لدينا ل(CP) = 2.5.
منذ ذلك الحين ، P هي نقطة المنتصف لمقطع CD ، إذن
ل(CP) = 1 2 من ل(قرص مضغوط)
& هناك 4 ل(CD) = 2 مرات ل(CP) = 2 مرات 2.5 = 5
إذن ، طول القرص المضغوط هو 5.

الصفحة رقم 7:

السؤال 4:

إذا كان AB = 5 سم ، و BP = 2 سم ، و AP = 3.4 سم ، فقم بمقارنة المقاطع.

إجابه:

الصفحة رقم 8:

السؤال الخامس:

إجابه:

الصفحة رقم 8:

السؤال 6:

أجب عن الأسئلة بمساعدة شخصية معينة.

إجابه:


(ط) إحداثيات النقطتين B و C هما 2 و 4 على التوالي. نحن نعلم أن 4 & GT 2.
& هناك 4 د(ب ، ج) = 4 ناقص 2 = 2
إحداثيات النقطتين B و A هي 2 و 0 على التوالي. نحن نعلم أن 2 & gt 0.
& هناك 4 د(ب ، أ) = 2 & ناقص 0 = 2
حيث د(ب ، أ) = د(B ، C) ، ثم تكون النقطتان A و C على مسافة متساوية من النقطة B.
إحداثيات النقطتين B و D هما 2 و 6 على التوالي. نحن نعلم أن 6 & GT 2.
& هناك 4 د(ب ، د) = 6 & ناقص 2 = 4
إحداثيات النقطتين B و P هي 2 و & ناقص 2 على التوالي. نحن نعلم أن 2 & gt & minus2.
& هناك 4 د(ب ، ف) = 2 & ناقص (& ناقص 2) = 2 + 2 = 4
حيث د(ب ، د) = د(B ، P) ، ثم تكون النقطتان D و P على بعد متساوٍ من النقطة B.

(2) إحداثيات النقطتين Q و U هي & ناقص 4 و & ناقص 5 على التوالي. نحن نعلم أن & ناقص 4 & gt & ناقص 5.
& هناك 4 د(س ، يو) = & ناقص 4 & ناقص (& ناقص 5) = & ناقص 4 + 5 = 1
إحداثيات النقطتين Q و L هي & ناقص 4 و & ناقص 3 على التوالي. نحن نعلم أن & ناقص 3 & gt & ناقص 4.
& هناك 4 د(س ، ل) = & ناقص 3 & ناقص (& ناقص 4) = & ناقص 3 + 4 = 1
حيث د(س ، يو) = د(Q ، L) ، ثم تكون النقطتان U و L على مسافة متساوية من النقطة Q.
إحداثيات النقطتين Q و R هي & سالب 4 و & سالب 6 على التوالي. نعلم أن & ناقص 4 & GT & ناقص6.
& هناك 4 د(س ، ص) = & ناقص 4 & ناقص (& ناقص 6) = & ناقص 4 + 6 = 2
إحداثيات النقطتين Q و P هي & ناقص 4 و & ناقص 2 على التوالي. نحن نعلم أن & ناقص 2 & GT & ناقص 4.
& هناك 4 د(س ، ف) = & ناقص 2 & ناقص (& ناقص 4) = & ناقص 2 + 4 = 2
حيث د(س ، ص) = د(Q ، P) ، ثم النقاط R و P متساوية البعد عن النقطة Q.

(3) إحداثيات النقطتين U و V هي & ناقص 5 و 5 على التوالي. نحن نعلم أن 5 & gt & minus5.
& هناك 4 د(U ، V) = 5 & ناقص (& ناقص 5) = 5 + 5 = 10
إحداثيات النقطتين P و C هي & ناقص 2 و 4 على التوالي. نعلم أن 4 & gt & minus2.
& هناك 4 د(ف ، ج) = 4 & ناقص (& ناقص 2) = 4 + 2 = 6
إحداثيات النقطتين V و B هما 5 و 2 على التوالي. نحن نعلم أن 5 & GT 2.
& هناك 4 د(V، B) = 5 & ناقص 2 = 3
إحداثيات النقطتين U و L هي & ناقص 5 و & ناقص 3 على التوالي. نحن نعلم أن & ناقص 3 & GT. & ناقص 5.
& هناك 4 د(U ، L) = & ناقص 3 & ناقص (& ناقص 5) = & ناقص 3 + 5 = 2


تنسيق الهندسة

يقدم الجدول التالي بعض الصيغ الهندسية للإحداثيات. قم بالتمرير لأسفل الصفحة إذا كنت بحاجة إلى مزيد من التوضيحات حول الصيغ ، وكيفية استخدام الصيغ وأوراق العمل للتدريب.

ما هي الطائرة الإحداثية أو الطائرة الديكارتية؟

المستوى الإحداثي أو الطائرة الديكارتية هو مفهوم أساسي للهندسة الإحداثية. يصف مستوى ثنائي الأبعاد بدلالة محورين متعامدين: x و y.

يشير المحور x إلى الاتجاه الأفقي بينما يشير المحور y إلى الاتجاه الرأسي للمستوى. في مستوى الإحداثيات ، تتم الإشارة إلى النقاط من خلال مواضعها على طول محوري x و y.

على سبيل المثال: في مستوى الإحداثيات أدناه ، يتم تمثيل النقطة L بالإحداثيات (–3 ، 1.5) لأنها تقع على –3 على طول المحور x وعلى 1.5 على طول المحور y. وبالمثل ، يمكنك معرفة مواضع النقطتين M = (2 ، 1.5) و N = (–2 ، –3).


كيف ترسم النقاط في مستوى الإحداثيات وكيف تحدد إحداثيات النقاط على مستوى الإحداثيات؟
لرسم بياني أو رسم نقاط ، نستخدم خطين متعامدين يسمى المحاور. النقطة التي تتقاطع عندها المحاور تسمى الأصل. تشير الأسهم في المحاور إلى الاتجاهات الإيجابية.

ضع في اعتبارك الزوج المرتب (4 ، 3). تسمى الأرقام في الزوج المرتب بالإحداثيات. الإحداثي الأول أو الإحداثي x في هذه الحالة هو 4 والإحداثي الثاني أو الإحداثي y هو 3.

لرسم النقطة (4 ، 3) نبدأ من الأصل ، ونتحرك أفقيًا إلى الوحدات الأربع اليمنى ، وننتقل إلى الأعلى عموديًا 3 وحدات ، ثم نشير نقطة.

  1. ارسم النقاط التالية: A (-3،2) ، B (-1،4) ، C (-2 ، -4) ، D (0 ، -2) ، E (3،0)
  2. أوجد إحداثيات النقاط المعطاة

كيف تجد منحدر الخط؟

على مستوى الإحداثيات ، يُطلق على ميل الخط اسم الميل. الميل هو نسبة التغير في قيمة y على التغير في قيمة x ، ويسمى أيضًا الارتفاع على المدى.

بالنظر إلى أي نقطتين على الخط ، يمكنك حساب ميل الخط باستخدام هذه الصيغة:


على سبيل المثال: عند وجود نقطتين ، P = (0 ، –1) و Q = (4،1) ، يمكننا حساب ميل الخط على الخط.


ما هو تقاطع Y؟

تقاطع y هو المكان الذي يتقاطع فيه الخط (يلتقي) مع المحور y.

على سبيل المثال: في الرسم البياني أعلاه ، يتقاطع الخط مع المحور y عند (0 ، –1). الجزء المقطوع من المحور y يساوي –1.

ما هي معادلة الخط؟

In coordinate geometry, the equation of a line can be written in the form, y = mx + b, where m is the slope and b is the y-intercept. (mnemonic for this formula

For example: The equation of the line in the above diagram is:
y = ½ x - 1

How To Find The Slope Given 2 Points?

Example: Find the slope of the two points (-6,3) and (4,-3)

How To Write A Slope Intercept Equation For A Line On A Graph?

What Is A Negative Slope?

Let&rsquos look at a line that has a negative slope.

For example: Consider the two points, R(0, 2) and S(6, –2) on the line. What would be the slope of the line? What would be the equation of the line?

How To Determine The Slope Of A Line Given The Graph Of A Line With A Negative Slope?

How To Find The Slopes Of Parallel Lines?

In coordinate geometry, two lines are parallel if their slopes (m) are equal.

For example: The line y = ½ x - 1 is parallel to the line y = ½ x + 1 because their slopes are both the same.

How to find the equation of a line parallel to a given line and passing through a given point?
Example: Write the equation of a line that is parallel to the line 2x - 4y = 8 and goes through the point (3, 0).

How To Find The Slopes Of Perpendicular Lines?

In the coordinate plane, two lines are perpendicular if the product of their slopes (m) is –1.

For example: The line y = ½ x - 1 is perpendicular to the line y = –2x – 1. The product of the two slopes is ½ × (-2) = -1.

How to find the slope of a line that is perpendicular to a given line?
Example: Find the slope of the line that is perpendicular to the line 3x + 2y = 6.

What Is The Midpoint Formula?

Some coordinate geometry questions may require you to find the midpoint of line segments in the coordinate plane. To find a point that is halfway between two given points, get the average of the x-values and the average of the y-values.

For example: The midpoint of the points A(1,4) and B(5,6) is

How to derive and use the midpoint formula?
This video gives the formula for finding the midpoint of two points and one example to find the midpoint.

What Is The Distance Formula

In the coordinate plane, you can use the Pythagorean Theorem to find the distance between any two points.

For example: To find the distance between A(1,1) and B(3,4), we form a right angled triangle with A̅B̅ as the hypotenuse. The length of A̅C̅ = 3 – 1 = 2. The length of B̅C̅ = 4 – 1 = 3.

Applying Pythagorean Theorem:
A̅B̅ 2 = 2 2 + 3 2
A̅B̅ = 13
A̅B̅ = √13

How to derive and use the distance formula?
This video shows how the distance formula comes from the Pythagorean Theorem, and one example of finding the distance between two points.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


Right Triangle Trigonometry

Prove theorems involving similarity. Prove theorems about triangles. Theorems include: a line parallel to one side of a triangle divides the other two proportionally, and conversely the Pythagorean Theorem proved using triangle similarity. Clarification: Theorems include but are not limited to the listed theorems. Example: the length of the altitude drawn from the vertex of the right angle of a right triangle to its hypotenuse is the geometric mean between the lengths of the two segments of the hypotenuse.

Prove theorems involving similarity. Use congruence and similarity criteria for triangles to solve problems and to prove relationships in geometric figures. Clarification: ASA, SAS, SSS, AAS, and Hypotenuse-Leg theorem are valid criteria for triangle congruence. AA, SAS, and SSS are valid criteria for triangle similarity.

Define trigonometric ratios and solve problems involving right triangles. Understand that by similarity, side ratios in right triangles are properties of the angles in the triangle, leading to definitions of trigonometric ratios for acute angles.

Define trigonometric ratios and solve problems involving right triangles. Explain and use the relationship between the sine and cosine of complementary angles.

Define trigonometric ratios and solve problems involving right triangles. Use trigonometric ratios and the Pythagorean Theorem to solve right triangles in applied problems. ★

Explain volume formulas and use them to solve problems. Give an informal argument for the formulas for the circumference of a circle, area of a circle, volume of a cylinder, pyramid, and cone. (e.g. Use dissection arguments, Cavalieri’s principle, and informal limit arguments.)

Explain volume formulas and use them to solve problems. Use volume formulas for cylinders, pyramids, cones, and spheres to solve problems. ★

Unit four is about right triangles and the relationships that exist between its sides and angles. Students apply their understanding of similarity, from unit three, to prove the Pythagorean Theorem. Trigonometric functions, which are properties of angles and depend on angle measure, are also explained using similarity relationships. Students determine when to use trigonometric ratios, Pythagorean Theorem, and/or properties of right triangles to model problems and solve them. Throughout the unit, students should be applying similarity and using inductive and deductive reasoning as they justify and prove these right triangle relationships.


شاهد الفيديو: الرياضيات للصف3مهني الفصل الاولالتمثيل الهندسي للأعداد المركبهالمحاضرة 13استاذ سهل عيسى (ديسمبر 2021).