مقالات

10.2: المثلثات غير اليمنى - قانون جيب التمام - الرياضيات


أهداف التعلم

في هذا القسم سوف:

  • استخدم قانون جيب التمام لحل المثلثات المائلة.
  • حل المسائل التطبيقية باستخدام قانون جيب التمام.
  • استخدم صيغة هيرون لإيجاد مساحة المثلث.

لنفترض أن قاربًا غادر الميناء ، وسافر (10 ​​) أميال ، ودور (20 ) درجة ، وسافر 8 أميال أخرى كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1} ) كم يبعد القارب عن المنفذ؟

لسوء الحظ ، بينما يمكّننا قانون الجيب من معالجة العديد من حالات المثلث غير الأيمن ، فإنه لا يساعدنا في المثلثات حيث تكون الزاوية المعروفة بين ضلعين معروفين ، أو مثلث SAS (جانب - زاوية - جانب) ، أو عندما تكون الثلاثة الأضلاع معروفة ، لكن لا توجد زوايا معروفة ، مثلث SSS (جانب جانبي - جانب). في هذا القسم ، سنبحث في أداة أخرى لحل المثلثات المائلة الموصوفة في هاتين الحالتين الأخيرتين.

استخدام قانون جيب التمام لحل المثلثات المائلة

الأداة التي نحتاجها لحل مشكلة مسافة القارب من الميناء هي قانون جيب التمام، والتي تحدد العلاقة بين قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع في المثلثات المائلة. ثلاث صيغ تشكل قانون جيب التمام. للوهلة الأولى ، قد تبدو الصيغ معقدة لأنها تتضمن العديد من المتغيرات. ومع ذلك ، بمجرد فهم النمط ، يصبح التعامل مع قانون جيب التمام أسهل من التعامل مع معظم الصيغ في هذا المستوى الرياضي.

سيكون فهم كيفية اشتقاق قانون جيب التمام مفيدًا في استخدام الصيغ. يبدأ الاشتقاق بنظرية فيثاغورس المعممة ، وهي امتداد لنظرية فيثاغورس للمثلثات غير القائمة. إليك كيفية عملها: يتم وضع مثلث عشوائي غير يميني (ABC ) في مستوى الإحداثيات مع قمة الرأس (A ) في الأصل ، والجانب (ج ) مرسوم على طول x- المحور ، والرأس (C ) الموجودان في نقطة ما ((x، y) ) في المستوى ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ). بشكل عام ، توجد المثلثات في أي مكان في المستوى ، ولكن لهذا التفسير سنضع المثلث كما هو مذكور.

يمكننا إسقاط عمودي من (C ) إلى س-المحور (هذا هو الارتفاع أو الارتفاع). بتذكر الهويات المثلثية الأساسية ، نعرف ذلك

( cos theta = dfrac {x (المجاور)} {b (الوتر)} ) و ( sin theta = dfrac {y (المقابل)} {b (الوتر)} )

من حيث ( ثيتا ) ، (س = ب كوس ثيتا ) و (ص = ب الخطيئة ثيتا ). النقطة ((س ، ص) ) الموجودة في (ج ) لها إحداثيات ((ب كوس ثيتا ، ب الخطيئة ثيتا) ). باستخدام الضلع ((x − c) ) كضلع واحد في مثلث قائم الزاوية و (y ) كالضلع الثاني ، يمكننا إيجاد طول الوتر (a ) باستخدام نظرية فيثاغورس. هكذا،

( start {array} {ll} a ^ 2 = {(x − c)} ^ 2 + y ^ 2 [4pt] ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ = {(b cos theta −c)} ^ 2 + {(b sin theta)} ^ 2 & text {البديل} (b cos theta) text {for} x text {and} (b sin theta) نص {for} y [4pt] ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ = (b ^ 2 { cos} ^ 2 theta − 2bc cos theta + c ^ 2) + b ^ 2 { sin} ^ 2 theta & text {وسّع المربع الكامل.} [4pt] ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ = b ^ 2 { cos} ^ 2 theta + b ^ 2 { sin} ^ 2 theta + c ^ 2−2bc cos theta & text {مصطلحات المجموعة التي تشير إلى ذلك} { cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta = 1 [4pt] ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ = b ^ 2 ({ cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta) + c ^ 2−2bc cos theta & text {Factor out} b ^ 2 [4pt] نهاية {مجموعة} )

(أ ^ 2 = ب ^ 2 + ج ^ 2−2bc cos theta )

الصيغة المشتقة هي إحدى المعادلات الثلاث لقانون جيب التمام. تم العثور على المعادلات الأخرى بطريقة مماثلة.

ضع في اعتبارك أنه من المفيد دائمًا رسم المثلث عند إيجاد الزوايا أو الأضلاع. في سيناريو العالم الحقيقي ، حاول رسم مخطط للموقف. مع ظهور المزيد من المعلومات ، قد يلزم تغيير الرسم التخطيطي. قم بإجراء تلك التعديلات على الرسم التخطيطي ، وفي النهاية ، سيكون حل المشكلة أسهل.

قانون الكوزينات

ينص قانون جيب التمام على أن مربع أي ضلع في المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب الضلعين الآخرين وجيب الزاوية المحصورة.

للمثلثات المسماة كما في الشكل ( PageIndex {3} ) ، ذات الزوايا ( alpha ) ، ( beta ) و ( gamma ) ، والجوانب المقابلة (a ) ، (ب ) و (ج ) على التوالي ، يتم إعطاء قانون جيب التمام على شكل ثلاث معادلات.

[a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos alpha ]

[b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta ]

[c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2−2ab cos gamma ]

لإيجاد قياس ضلع مفقود ، يلزم قياس الزاوية المقابلة.

عند إيجاد زاوية ، يلزم قياس الجانب المقابل المقابل. يمكننا استخدام نسخة أخرى من قانون جيب التمام لإيجاد زاوية.

[ cos alpha = dfrac {b ^ 2 + c ^ 2 − a ^ 2} {2bc} ]

[ cos beta = dfrac {a ^ 2 + c ^ 2 − b ^ 2} {2ac} ]

[ cos gamma = dfrac {a ^ 2 + b ^ 2 − c ^ 2} {2ab} ]

الكيفية: بالنظر إلى ضلعين والزاوية بينهما (SAS) ، أوجد قياسات الضلع المتبقي وزوايا المثلث

  1. ارسم المثلث. التعرف على قياسات الأضلاع والزوايا المعروفة. استخدم المتغيرات لتمثيل قياسات الأضلاع والزوايا المجهولة.
  2. طبق قانون جيب التمام لإيجاد طول الضلع أو الزاوية المجهولة.
  3. طبق قانون الجيب أو جيب التمام لإيجاد قياس الزاوية الثانية.
  4. احسب قياس الزاوية المتبقية.

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد الجانب المجهول وزوايا مثلث SAS

أوجد الضلع والزوايا المجهولة للمثلث في الشكل ( PageIndex {4} ).

حل

أولاً ، قم بتدوين ما يرد: الضلعان والزاوية بينهما. يتم تصنيف هذا الترتيب على أنه SAS ويوفر البيانات اللازمة لتطبيق قانون جيب التمام.

يبدأ كل قانون من قوانين جيب التمام الثلاثة بمربع ضلع مجهول مقابل زاوية معروفة. في هذا المثال ، أول ضلع يجب إيجاده هو الضلع (b ) ، كما نعرف قياس الزاوية المقابلة ( بيتا ).

( begin {array} {ll} b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta [4pt] b ^ 2 = {10} ^ 2 + {12} ^ 2−2 ( 10) (12) cos (30 °) & text {استبدل القياسات بالكميات المعروفة.} [4pt] b ^ 2 = 100 + 144−240 left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) & text {قيم جيب التمام وابدأ في التبسيط.} [4pt] b ^ 2 = 244−120 sqrt {3} [4pt] b = sqrt {244−120 sqrt {3}} & text {استخدم خاصية الجذر التربيعي.} [4pt] b≈6.013 end {array} )

نظرًا لأننا نحل طولًا ، فإننا نستخدم الجذر التربيعي الموجب فقط. الآن بعد أن عرفنا الطول (ب ) ، يمكننا استخدام قانون الجيب لملء الزوايا المتبقية للمثلث. حل للزاوية ( alpha ) لدينا

( start {array} {cc} dfrac { sin alpha} {a} = dfrac { sin beta} {b} [4pt] dfrac { sin alpha} {10} = dfrac { sin (30 °)} {6.013} [4pt] sin alpha = dfrac {10 sin (30 °)} {6.013} & text {اضرب طرفي المعادلة في} 10 . [4pt] alpha = { sin} ^ {- 1} left ( dfrac {10 sin (30 °)} {6.013} right) & text {أوجد الجيب المعكوس لـ} dfrac {10 sin (30 °)} {6.013}. [4pt] alpha≈56.3 ° end {array} )

الاحتمال الآخر لـ ( alpha ) سيكون ( alpha = 180 ° -56.3 ° ≈123.7 ° ). في الرسم التخطيطي الأصلي ، يكون ( alpha ) متاخمًا للجانب الأطول ، لذا فإن ( alpha ) زاوية حادة ، وبالتالي ، فإن ( (123.7 درجة ) لا معنى له. لاحظ أنه إذا اخترنا تطبيق قانون جيب التمام ، فإننا نصل إلى إجابة فريدة. لا يتعين علينا النظر في الاحتمالات الأخرى ، لأن جيب التمام فريد من نوعه للزوايا بين (0 درجة ) و (180 درجة ). بالانتقال إلى ( alpha≈56.3 ° ) ، يمكننا إيجاد الزاوية الثالثة للمثلث.

[ begin {align *} gamma & = 180 ^ { circ} -30 ^ { circ} -56.3 ^ { circ} & almost 93.7 ^ { circ} end {align *} ]

المجموعة الكاملة من الزوايا والجوانب هي

( alpha≈56.3 ° ) (أ = 10 )

( بيتا = 30 درجة ) (ب≈6.013 )

( جاما≈93.7 درجة ) (ج = 12 )

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد الضلع والزوايا المفقودة للمثلث المعطى: ( alpha = 30 ° )، (b = 12 )، (c = 24 ).

إجابه

(a≈14.9 ) ، ( beta≈23.8 ° ) ، ( gamma≈126.2 ° ).

مثال ( PageIndex {2} ): إيجاد زاوية في مثلث SSS

ابحث عن الزاوية ( alpha ) للمثلث المعطى إذا كان الضلع (a = 20 ) والجانب (b = 25 ) والجانب (c = 18 ).

حل

في هذا المثال ، ليس لدينا زوايا. يمكننا إيجاد أي زاوية باستخدام قانون جيب التمام. لإيجاد الزاوية ( alpha ) ، لدينا

( start {array} {ll} a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos alpha [4pt] {20} ^ 2 = {25} ^ 2 + {18} ^ 2− 2 (25) (18) cos alpha & text {استبدل القياسات المناسبة.} [4pt] 400 = 625 + 324−900 cos alpha & text {تبسيط في كل خطوة.} [ 4pt] 400 = 949−900 cos alpha [4pt] −549 = −900 cos alpha & text {Isolate} cos alpha. [4pt] −549−900 = cos alpha [4pt] 0.61≈ cos alpha [4pt] 0.61≈ cos alpha & text {أوجد جيب التمام المعكوس.} [4pt] alpha≈52.4 ° end {array} )

راجع الشكل ( PageIndex {5} ).

تحليل

نظرًا لأن جيب التمام العكسي يمكنه إرجاع أي زاوية بين (0 ) و (180 ) درجة ، فلن تكون هناك أي حالات غامضة باستخدام هذه الطريقة.

تمرين ( PageIndex {2} )

إذا كان (a = 5 ) و (b = 7 ) و (c = 10 ) ، فأوجد الزوايا الناقصة.

إجابه

( alpha≈27.7 ° )، ( beta≈40.5 ° )، ( gamma≈111.8 ° )

حل المشكلات التطبيقية باستخدام قانون جيب التمام

مثلما قدم قانون الجيب المعادلات المناسبة لحل عدد من التطبيقات ، فإن قانون جيب التمام ينطبق على المواقف التي تتناسب فيها البيانات المعطاة مع نماذج جيب التمام. قد نرى هذه في مجالات الملاحة ، والمسح ، وعلم الفلك ، والهندسة ، على سبيل المثال لا الحصر.

مثال ( PageIndex {3A} ): استخدام قانون جيب التمام لحل مشكلة اتصال

في العديد من الهواتف المحمولة المزودة بنظام تحديد المواقع العالمي (GPS) ، يمكن تحديد موقع تقريبي قبل استلام إشارة GPS. يتم تحقيق ذلك من خلال عملية تسمى التثليث ، والتي تعمل باستخدام المسافات من نقطتين معروفتين. افترض أن هناك برجين للهاتف الخلوي في نطاق الهاتف الخلوي. يقع البرجان على مسافة (6000 ) قدم على طول طريق سريع مستقيم يمتد من الشرق إلى الغرب ، والهاتف الخلوي شمال الطريق السريع. بناءً على تأخير الإشارة ، يمكن تحديد أن الإشارة هي (5050 ) قدمًا من البرج الأول و (2420 ) قدمًا من البرج الثاني. حدد موقع الهاتف الخلوي شمال وشرق البرج الأول ، وحدد بعده عن الطريق السريع.

حل

للتبسيط ، نبدأ برسم مخطط مشابه لـ Figure ( PageIndex {6} ) وتسمية المعلومات المقدمة لدينا.

باستخدام قانون جيب التمام ، يمكننا إيجاد الزاوية ( theta ). تذكر أن قانون جيب التمام يستخدم مربع أحد الأضلاع لإيجاد جيب تمام الزاوية المقابلة. في هذا المثال ، دع (a = 2420 ) ، (b = 5050 ) ، و (c = 6000 ). وبالتالي ، فإن ( theta ) يتوافق مع الجانب المقابل (أ = 2420 ).

[ begin {align *} a ^ 2 & = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos theta [4pt] {(2420)} ^ 2 & = {(5050)} ^ 2 + {( 6000)} ^ 2−2 (5050) (6000) cos theta [4pt] cos theta & ≈ 0.9183 [4pt] cos theta & ≈ 0.9183 [4pt] theta & ≈ { cos} ^ {- 1} (0.9183) [4pt] theta & ≈ 23.3 ° end {align *} ]

للإجابة على الأسئلة حول موقع الهاتف شمال وشرق البرج ، والمسافة إلى الطريق السريع ، قم بإسقاط عمودي من موضع الهاتف الخلوي ، كما في الشكل ( PageIndex {7} ). هذا يشكل مثلثين قائم الزاوية ، على الرغم من أننا نحتاج فقط إلى المثلث القائم الزاوية الذي يتضمن البرج الأول لهذه المسألة.

باستخدام الزاوية ( theta = 23.3 ) ° والمطابقات المثلثية الأساسية ، يمكننا إيجاد الحلول. هكذا

[ start {align *} cos (23.3 °) & = dfrac {x} {5050} [4pt] x & = 5050 cos (23.3 °) [4pt] x & ≈ 4638.15 ، قدم [4pt] sin (23.3 °) & = dfrac {y} {5050} [4pt] y & = 5050 sin (23.3 °) [4pt] y & ≈1997.5 ، feet نهاية {محاذاة *} ]

الهاتف الخلوي يبعد تقريباً (4638 ) قدم شرقاً و (1998 ) قدم شمال البرج الأول ، و (1998 ) قدم من الطريق السريع.

مثال ( PageIndex {3B} ): حساب المسافة المقطوعة باستخدام مثلث SAS

بالعودة إلى مشكلتنا في بداية هذا القسم ، افترض أن قاربًا يغادر المنفذ ، ويسافر (10 ​​) أميال ، ويدور (20 ) درجة ، ويسافر (8 ) أميال أخرى. كم يبعد القارب عن الميناء؟ يتكرر الرسم التخطيطي هنا في الشكل ( PageIndex {8} ).

حل

تحول القارب 20 درجة ، وبالتالي فإن الزاوية المنفرجة للمثلث غير الأيمن هي الزاوية الإضافية ، (180 درجة −20 ° = 160 درجة ). باستخدام هذا ، يمكننا استخدام قانون جيب التمام لإيجاد الضلع المفقود من المثلث المنفرج - مسافة القارب إلى الميناء.

[ start {align *} x ^ 2 & = 8 ^ 2 + {10} ^ 2−2 (8) (10) cos (160 °) [4pt] x ^ 2 & = 314.35 [ 4pt] x & = sqrt {314.35} [4pt] x & ≈17.7 ، miles end {align *} ]

يبعد القارب (17.7 ) ميلا عن الميناء.

استخدام صيغة مالك الحزين لإيجاد مساحة المثلث

لقد تعلمنا بالفعل كيفية إيجاد مساحة المثلث المائل عندما نعرف ضلعين وزاوية. نعرف أيضًا صيغة حساب مساحة المثلث باستخدام القاعدة والارتفاع. لكن عندما نعرف الأضلاع الثلاثة ، يمكننا استخدامها صيغة هيرون بدلا من إيجاد الارتفاع. مالك الحزين الإسكندرية كان مقياسًا جغرافيًا عاش خلال القرن الأول الميلادي ، اكتشف معادلة لإيجاد مساحة المثلثات المائلة عند معرفة الجوانب الثلاثة.

صيغة هيرون

تحدد صيغة هيرون مساحة المثلثات المائلة التي تُعرف فيها الأضلاع (أ ) و (ب ) و (ج ).

[المنطقة = sqrt {s (s − a) (s − b) (s − c)} ]

حيث (s = dfrac {(a + b + c)} {2} ) هو نصف محيط المثلث ، يسمى أحيانًا نصف المحيط.

مثال ( PageIndex {4} ): استخدام صيغة مالك الحزين لإيجاد مساحة مثلث معين

أوجد مساحة المثلث في الشكل ( PageIndex {9} ) باستخدام صيغة هيرون.

حل

أولاً ، نحسب (ق ).

[ start {align *} s & = dfrac {(a + b + c)} {2} s & = dfrac {(10 + 15 + 7)} {2} & = 16 end { محاذاة *} ]

ثم نطبق الصيغة.

[ start {align *} Area & = sqrt {s (sa) (sb) (sc)} Area & = sqrt {16 (16-10) (16-15) (16-7)} المساحة و حوالي 29.4 نهاية {محاذاة *} ]

المساحة تقريباً (29.4 ) وحدة مربعة.

تمرين ( PageIndex {3} )

استخدم صيغة هيرون لإيجاد مساحة المثلث بأطوال أطوال (أ = 29.7 ) قدم ، (ب = 42.3 ) قدم ، و (c = 38.4 ) قدم.

إجابه

المساحة = (552 ) قدم مربع

مثال ( PageIndex {5} ): تطبيق صيغة مالك الحزين على مشكلة حقيقية

يريد أحد مطوري مدينة شيكاغو إنشاء مبنى يتكون من غرف علوية للفنانين على قطعة أرض مثلثة يحدها شارع Rush Street و Wabash Avenue و Pearson Street. تبلغ الواجهة على طول شارع رش ما يقرب من (62.4 ) متر ، ومحاذاة جادة واباش حوالي (43.5 ) متر ، وعلى طول شارع بيرسون حوالي (34.1 ) متر. كم متر مربع متاح للمطور؟ انظر الشكل ( PageIndex {10} ) لمشاهدة خاصية المدينة.

حل

أوجد قياس (ق ) ، وهو نصف المحيط.

[ begin {align *} s & = dfrac {(62.4 + 43.5 + 34.1)} {2} s & = 70 ؛ m text {تطبيق صيغة Heron.} Area & = sqrt {70 (70-62.4) (70-43.5) (70-34.1)} Area & = sqrt {506،118.2} Area & almost 711.4 النهاية {محاذاة *} ]

تبلغ مساحة المشروع حوالي (711.4 ) متر مربع.

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد مساحة المثلث معطى (a = 4.38 ) قدم و (ب = 3.79 ) قدم و (c = 5.22 ) قدم.

إجابه

حوالي (8.15 ) قدم مربع

وسائط

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية مع قانون جيب التمام.

  • قانون جيب التمام
  • قانون جيب التمام: التطبيقات
  • قانون جيب التمام: التطبيقات 2

المعادلات الرئيسية

قانون جيب التمام

(أ ^ 2 = ب ^ 2 + ج ^ 2−2bc cos alpha )

(b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta )

(c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2−2ab cos gamma )

صيغة هيرون

(المساحة = sqrt {s (s − a) (s − b) (s − c)} )

حيث (s = dfrac {(a + b + c)} {2} )

المفاهيم الرئيسية

  • يحدد قانون جيب التمام العلاقة بين قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع في المثلثات المائلة.
  • نظرية فيثاغورس المعممة هي قانون جيب التمام لحالتين من المثلثات المائلة: SAS و SSS. يؤدي إسقاط عمودي وهمي إلى تقسيم المثلث المائل إلى مثلثين قائم الزاوية أو تشكيل مثلث قائم الزاوية ، مما يسمح بربط الأضلاع وحساب القياسات. راجع المثال ( PageIndex {1} ) والمثال ( PageIndex {2} ).
  • قانون جيب التمام مفيد لأنواع كثيرة من المشاكل التطبيقية. تتمثل الخطوة الأولى في حل مثل هذه المشكلات بشكل عام في رسم مخطط للمشكلة المعروضة. إذا كانت المعلومات المقدمة تتناسب مع أحد النماذج الثلاثة (المعادلات الثلاثة) ، فقم بتطبيق قانون جيب التمام لإيجاد حل. راجع المثال ( PageIndex {3} ) والمثال ( PageIndex {4} ).
  • تسمح صيغة مالك الحزين بحساب المساحة في مثلثات مائلة. يجب أن تكون الأطراف الثلاثة معروفة بتطبيق صيغة هيرون. راجع المثال ( PageIndex {5} ) واطلع على المثال ( PageIndex {6} ).

8.2 المثلثات غير اليمنى: قانون جيب التمام

لنفترض أن قاربًا غادر الميناء ، وسافر 10 أميال ، ودور 20 درجة ، وسافر 8 أميال أخرى كما هو موضح في الشكل 1. ما بعد القارب عن الميناء؟

لسوء الحظ ، بينما يمكّننا قانون الجيب من معالجة العديد من حالات المثلث غير الأيمن ، فإنه لا يساعدنا في المثلثات حيث تكون الزاوية المعروفة بين ضلعين معروفين ، أو مثلث SAS (جانب - زاوية - جانب) ، أو عندما تكون الثلاثة الأضلاع معروفة ، لكن لا توجد زوايا معروفة ، مثلث SSS (جانب جانبي). في هذا القسم ، سنبحث في أداة أخرى لحل المثلثات المائلة الموصوفة في هاتين الحالتين الأخيرتين.

استخدام قانون جيب التمام لحل المثلثات المائلة

الأداة التي نحتاجها لحل مشكلة مسافة القارب من الميناء هي قانون جيب التمام، والتي تحدد العلاقة بين قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع في المثلثات المائلة. ثلاث صيغ تشكل قانون جيب التمام. للوهلة الأولى ، قد تبدو الصيغ معقدة لأنها تتضمن العديد من المتغيرات. ومع ذلك ، بمجرد فهم النمط ، يصبح التعامل مع قانون جيب التمام أسهل من التعامل مع معظم الصيغ في هذا المستوى الرياضي.

سيكون فهم كيفية اشتقاق قانون جيب التمام مفيدًا في استخدام الصيغ. يبدأ الاشتقاق بنظرية فيثاغورس المعممة ، وهي امتداد لنظرية فيثاغورس للمثلثات غير القائمة. إليك كيفية عملها: يتم وضع مثلث عشوائي غير يميني أ ب ج أ ب ج في المستوى الإحداثي مع رأس أ أ في الأصل ، وضلع ج ج مرسوم على طول x- المحور ، والرأس CC الموجودان في نقطة ما (س ، ص) (س ، ص) في المستوى ، كما هو موضح في الشكل 2. بشكل عام ، توجد المثلثات في أي مكان في المستوى ، ولكن لهذا التفسير سنضع المثلث كما هو موضح .

الصيغة المشتقة هي إحدى المعادلات الثلاث لقانون جيب التمام. تم العثور على المعادلات الأخرى بطريقة مماثلة.

ضع في اعتبارك أنه من المفيد دائمًا رسم المثلث عند إيجاد الزوايا أو الأضلاع. في سيناريو العالم الحقيقي ، حاول رسم مخطط للموقف. مع ظهور المزيد من المعلومات ، قد يلزم تغيير الرسم التخطيطي. قم بإجراء تلك التعديلات على الرسم التخطيطي ، وفي النهاية ، سيكون حل المشكلة أسهل.

قانون جيب التمام

ينص قانون جيب التمام على أن مربع أي ضلع في المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب الضلعين الآخرين وجيب الزاوية المحصورة. بالنسبة للمثلثات الموصوفة كما في الشكل 3 ، مع الزوايا α و و α و β و و والأضلاع المقابلة أ ، ب ، أ ، ب ، ج ، ج ، على التوالي ، يُعطى قانون جيب التمام على أنه ثلاثة المعادلات.

لإيجاد قياس ضلع مفقود ، يلزم قياس الزاوية المقابلة.

عند إيجاد زاوية ، يلزم قياس الجانب المقابل المقابل. يمكننا استخدام نسخة أخرى من قانون جيب التمام لإيجاد زاوية.

كيف

بالنظر إلى ضلعين والزاوية بينهما (SAS) ، أوجد قياسات الضلع المتبقي وزوايا المثلث.

  1. ارسم المثلث. التعرف على قياسات الأضلاع والزوايا المعروفة. استخدم المتغيرات لتمثيل قياسات الأضلاع والزوايا المجهولة.
  2. طبق قانون جيب التمام لإيجاد طول الضلع أو الزاوية المجهولة.
  3. طبق قانون الجيب أو جيب التمام لإيجاد قياس الزاوية الثانية.
  4. احسب قياس الزاوية المتبقية.

مثال 1

إيجاد الضلع المجهول والزوايا لمثلث SAS

أوجد الضلع والزوايا المجهولة للمثلث في الشكل 4.

حل

أولاً ، قم بتدوين ما يرد: الضلعان والزاوية بينهما. يتم تصنيف هذا الترتيب على أنه SAS ويوفر البيانات اللازمة لتطبيق قانون جيب التمام.

يبدأ كل قانون من قوانين جيب التمام الثلاثة بمربع ضلع مجهول مقابل زاوية معروفة. في هذا المثال ، الضلع الأول المطلوب إيجاده هو الضلع ب ، ب ، كما نعرف قياس الزاوية المقابلة β. β.

نظرًا لأننا نحل طولًا ، فإننا نستخدم الجذر التربيعي الموجب فقط. الآن وقد عرفنا الطول ب ، ب ، يمكننا استخدام قانون الجيب لملء الزوايا المتبقية في المثلث. إيجاد الزاوية α و α لدينا


استخدام قانون جيب التمام لحل المثلثات المائلة

الأداة التي نحتاجها لحل مشكلة مسافة القارب من الميناء هي قانون جيب التمام، والتي تحدد العلاقة بين قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع في المثلثات المائلة. ثلاث صيغ تشكل قانون جيب التمام. للوهلة الأولى ، قد تبدو الصيغ معقدة لأنها تتضمن العديد من المتغيرات. ومع ذلك ، بمجرد فهم النمط ، يصبح التعامل مع قانون جيب التمام أسهل من التعامل مع معظم الصيغ في هذا المستوى الرياضي.

سيكون فهم كيفية اشتقاق قانون جيب التمام مفيدًا في استخدام الصيغ. يبدأ الاشتقاق بـ نظرية فيثاغورس المعممة، وهو امتداد لـ نظرية فيثاغورس للمثلثات غير اليمنى. وإليك كيفية عملها: يتم وضع مثلث عشوائي غير يميني [لاتكس] ABC [/ لاتكس] في مستوى الإحداثيات مع رسم قمة [لاتكس] A [/ لاتكس] في الأصل ، وجانب [لاتكس] ج [/ لاتكس] مرسوم على طول x- المحور ، والرأس [اللاتكس] C [/ اللاتكس] الموجودان في نقطة ما [اللاتكس] اليسار (x ، y اليمين) [/ اللاتكس] في المستوى ، كما هو موضح في الشكل 2. بشكل عام ، توجد المثلثات في أي مكان في المستوى ، ولكن لهذا التفسير سنضع المثلث كما هو مذكور.

يمكننا إسقاط عمودي من [اللاتكس] C [/ اللاتكس] إلى س-المحور (هذا هو الارتفاع أو الارتفاع). مذكرا الأساسي الهويات المثلثية، نحن نعرف ذلك

من حيث [اللاتكس] ثيتا ، text <> x = b cos theta [/ latex] و [اللاتكس] y = b sin theta. text <> [/ latex] The [latex] left (x، y right) [/ latex] النقطة الموجودة في [latex] C [/ latex] لها إحداثيات [latex] left (b cos theta، b sin theta right) [/ latex]. باستخدام الضلع [latex] left (xc right) [/ latex] كساق واحدة من المثلث الأيمن و [latex] y [/ latex] كالساق الثانية ، يمكننا إيجاد طول الوتر [اللاتكس] a [ / اللاتكس] باستخدام نظرية فيثاغورس. هكذا،

الصيغة المشتقة هي إحدى المعادلات الثلاث لقانون جيب التمام. تم العثور على المعادلات الأخرى بطريقة مماثلة.

ضع في اعتبارك أنه من المفيد دائمًا رسم المثلث عند إيجاد الزوايا أو الأضلاع. في سيناريو العالم الحقيقي ، حاول رسم مخطط للموقف. مع ظهور المزيد من المعلومات ، قد يلزم تغيير الرسم التخطيطي. قم بإجراء تلك التعديلات على الرسم التخطيطي ، وفي النهاية ، سيكون حل المشكلة أسهل.

ملاحظة عامة: قانون جيب التمام

ال قانون جيب التمام ينص على أن مربع أي ضلع في المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين ناقص ضعف حاصل ضرب الضلعين الآخرين وجيب الزاوية المحصورة. للمثلثات المسماة كما في الشكل 3 ، بزوايا [لاتكس] ألفا ، بيتا [/ لاتكس] ، و [لاتكس] جاما [/ لاتكس] ، والجوانب المقابلة المتقابلة [لاتكس] أ ، ب [/ لاتكس] ، و [لاتكس] ج [/ لاتكس] ، على التوالي ، يتم إعطاء قانون جيب التمام في شكل ثلاث معادلات.

لإيجاد قياس ضلع مفقود ، يلزم قياس الزاوية المقابلة.

عند إيجاد زاوية ، يلزم قياس الجانب المقابل المقابل. يمكننا استخدام نسخة أخرى من قانون جيب التمام لإيجاد زاوية.

الكيفية: بالنظر إلى الجانبين والزاوية بينهما (SAS) ، أوجد قياسات الضلع المتبقي وزوايا المثلث.

  1. ارسم المثلث. التعرف على قياسات الأضلاع والزوايا المعروفة. استخدم المتغيرات لتمثيل قياسات الأضلاع والزوايا المجهولة.
  2. طبق قانون جيب التمام لإيجاد طول الضلع أو الزاوية المجهولة.
  3. تطبيق قانون الجيوب أو جيب التمام لإيجاد قياس الزاوية الثانية.
  4. احسب قياس الزاوية المتبقية.

مثال 1: إيجاد الجانب المجهول وزوايا مثلث SAS

أوجد الضلع والزوايا المجهولة للمثلث في الشكل 4.

أولاً ، قم بتدوين ما يرد: الضلعان والزاوية بينهما. يتم تصنيف هذا الترتيب على أنه SAS ويوفر البيانات اللازمة لتطبيق قانون جيب التمام.

يبدأ كل قانون من قوانين جيب التمام الثلاثة بمربع ضلع مجهول مقابل زاوية معروفة. في هذا المثال ، أول جانب يجب حله هو الضلع [اللاتكس] b [/ اللاتكس] ، كما نعرف قياس الزاوية المقابلة [اللاتكس] بيتا [/ اللاتكس].

نظرًا لأننا نحل طولًا ، فإننا نستخدم الجذر التربيعي الموجب فقط. الآن بعد أن عرفنا الطول [اللاتكس] b [/ اللاتكس] ، يمكننا استخدام قانون الجيب لملء الزوايا المتبقية للمثلث. حل للزاوية [لاتكس] ألفا [/ لاتكس] ، لدينا

الاحتمال الآخر لـ [اللاتكس] alpha [/ latex] هو [اللاتكس] alpha = 180 ^ circ -56.3 ^ circ almost 123.7 ^ circ [/ latex]. في الرسم التخطيطي الأصلي ، تكون [اللاتكس] alpha [/ latex] مجاورة للجانب الأطول ، لذا فإن [اللاتكس] alpha [/ latex] زاوية حادة ، وبالتالي [اللاتكس] 123.7 ^ circ [/ latex] لا معني له. لاحظ أنه إذا اخترنا تطبيق قانون جيب التمام، نصل إلى إجابة فريدة. لا يتعين علينا النظر في الاحتمالات الأخرى ، لأن جيب التمام فريد من نوعه للزوايا بين [اللاتكس] 0 ^ circ [/ latex] و [اللاتكس] 180 ^ circ [/ latex]. بالانتقال إلى [اللاتكس] alpha almost 56.3 ^ circ [/ latex] ، يمكننا بعد ذلك إيجاد الزاوية الثالثة للمثلث.

[اللاتكس] gamma = 180 ^ circ -30 ^ circ -56.3 ^ circ almost 93.7 ^ circ [/ latex]

المجموعة الكاملة من الزوايا والجوانب هي

[اللاتكس] ابدأ& alpha حوالي 56.3 ^ circ && a = 10 & beta = 30 ^ circ && b حوالي 6.013 & gamma almost 93.7 ^ circ && c = 12 end[/ اللاتكس]

جربها

أوجد الضلع والزوايا المفقودة للمثلث المحدد: [اللاتكس] alpha = 30 ^ circ ، b = 12 ، c = 24 [/ latex].

[لاتكس] أ حوالي 14.9 ، بيتا حوالي 23.8 ^ دائرة ، جاما حوالي 126.2 ^ دائرة [/ لاتكس].


المثلثات غير اليمنى: قانون جيب التمام

لنفترض أن قاربًا غادر الميناء ، وسافر 10 أميال ، ودور 20 درجة ، وسافر 8 أميال أخرى كما هو موضح في [الرابط]. كم يبعد القارب عن الميناء؟

لسوء الحظ ، بينما يمكّننا قانون الجيب من معالجة العديد من حالات المثلث غير الأيمن ، فإنه لا يساعدنا في المثلثات حيث تكون الزاوية المعروفة بين ضلعين معروفين ، مثلث SAS (جانب الزاوية)، أو عندما تكون الأضلاع الثلاثة معروفة ولكن لا توجد زوايا معروفة ، أ مثلث SSS (جانب جانبي). في هذا القسم ، سنبحث في أداة أخرى لحل المثلثات المائلة الموصوفة في هاتين الحالتين الأخيرتين.

استخدام قانون جيب التمام لحل المثلثات المائلة

الأداة التي نحتاجها لحل مشكلة مسافة القارب من الميناء هي قانون جيب التمام، والتي تحدد العلاقة بين قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع في المثلثات المائلة. ثلاث صيغ تشكل قانون جيب التمام. للوهلة الأولى ، قد تبدو الصيغ معقدة لأنها تتضمن العديد من المتغيرات. ومع ذلك ، بمجرد فهم النمط ، يصبح التعامل مع قانون جيب التمام أسهل من التعامل مع معظم الصيغ في هذا المستوى الرياضي.

سيكون فهم كيفية اشتقاق قانون جيب التمام مفيدًا في استخدام الصيغ. يبدأ الاشتقاق بـ نظرية فيثاغورس المعممة، وهو امتداد لـ نظرية فيثاغورس للمثلثات غير اليمنى. وإليك طريقة عملها: مثلث عشوائي غير يميني أ ب ج

يتم وضعها في المستوى الإحداثي مع الرأس أ

مرسومة على طول x- المحور ، والرأس C

تقع في نقطة ما (س ، ص)

في الطائرة ، كما هو موضح في [الرابط]. بشكل عام ، توجد المثلثات في أي مكان في المستوى ، ولكن لهذا التفسير سنضع المثلث كما هو مذكور.

يمكننا إسقاط عمودي من C

الى س-المحور (هذا هو الارتفاع أو الارتفاع). مذكرا الأساسي الهويات المثلثية، نحن نعرف ذلك

بدلالة θ ، x = b cos θ

لها إحداثيات (ب cos θ ، ب sin θ).

كساق واحدة في مثلث قائم الزاوية و y

كالضلع الثاني ، يمكننا إيجاد طول الوتر a

باستخدام نظرية فيثاغورس. هكذا،

الصيغة المشتقة هي إحدى المعادلات الثلاث لقانون جيب التمام. تم العثور على المعادلات الأخرى بطريقة مماثلة.

ضع في اعتبارك أنه من المفيد دائمًا رسم المثلث عند إيجاد الزوايا أو الأضلاع. في سيناريو العالم الحقيقي ، حاول رسم مخطط للموقف. مع ظهور المزيد من المعلومات ، قد يلزم تغيير الرسم التخطيطي. قم بإجراء تلك التعديلات على الرسم التخطيطي ، وفي النهاية ، سيكون حل المشكلة أسهل.

ال قانون جيب التمام ينص على أن مربع أي ضلع في المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين ناقص ضعف حاصل ضرب الضلعين الآخرين وجيب الزاوية المحصورة. للمثلثات المسماة كما في [link] ، مع الزوايا α ، β ،

والجوانب المقابلة أ ، ب ،

على التوالي ، يتم إعطاء قانون جيب التمام في شكل ثلاث معادلات.

لإيجاد قياس ضلع مفقود ، يلزم قياس الزاوية المقابلة.

عند إيجاد زاوية ، يلزم قياس الجانب المقابل المقابل. يمكننا استخدام نسخة أخرى من قانون جيب التمام لإيجاد زاوية.

بالنظر إلى ضلعين والزاوية بينهما (SAS) ، أوجد قياسات الضلع المتبقي وزوايا المثلث.

  1. ارسم المثلث. التعرف على قياسات الأضلاع والزوايا المعروفة. استخدم المتغيرات لتمثيل قياسات الأضلاع والزوايا المجهولة.
  2. طبق قانون جيب التمام لإيجاد طول الضلع أو الزاوية المجهولة.
  3. تطبيق قانون الجيوب أو جيب التمام لإيجاد قياس الزاوية الثانية.
  4. احسب قياس الزاوية المتبقية.

أوجد الضلع والزوايا المجهولة للمثلث في [link].

أولاً ، قم بتدوين ما يرد: الضلعان والزاوية بينهما. يتم تصنيف هذا الترتيب على أنه SAS ويوفر البيانات اللازمة لتطبيق قانون جيب التمام.

يبدأ كل قانون من قوانين جيب التمام الثلاثة بمربع ضلع مجهول مقابل زاوية معروفة. في هذا المثال ، أول ضلع يجب حله هو الضلع b ،

كما نعرف قياس الزاوية المقابلة β.

نظرًا لأننا نحل طولًا ، فإننا نستخدم الجذر التربيعي الموجب فقط. الآن بعد أن عرفنا الطول ب ،

يمكننا استخدام قانون الجيب لملء الزوايا المتبقية للمثلث. حل للزاوية α ،

الاحتمال الآخر لـ α

ستكون α = 180 درجة - 56.3 درجة ≈ 123.7 درجة.

في الرسم التخطيطي الأصلي ، α

بجوار الضلع الأطول ، لذا فإن α

هي زاوية حادة ، وبالتالي ، 123.7 درجة

لا معني له. لاحظ أنه إذا اخترنا تطبيق قانون جيب التمام، نصل إلى إجابة فريدة. لا يتعين علينا النظر في الاحتمالات الأخرى ، لأن جيب التمام فريد من نوعه للزوايا بين 0 درجة

يمكننا بعد ذلك إيجاد الزاوية الثالثة للمثلث.

المجموعة الكاملة من الزوايا والجوانب هي

أوجد الضلع المفقود وزوايا المثلث الآتي: α = 30 ° ، ب = 12 ، ج = 24.

للمثلث المعطى إذا كان الضلع أ = 20 ،

في هذا المثال ، ليس لدينا زوايا. يمكننا إيجاد أي زاوية باستخدام قانون جيب التمام. لإيجاد الزاوية α ،

نظرًا لأن جيب التمام المعكوس يمكن أن يُرجع أي زاوية بين 0 و 180 درجة ، فلن تكون هناك حالات غامضة باستخدام هذه الطريقة.

حل المشكلات التطبيقية باستخدام قانون جيب التمام

مثلما قدم قانون الجيب المعادلات المناسبة لحل عدد من التطبيقات ، فإن قانون جيب التمام ينطبق على المواقف التي تتناسب فيها البيانات المعطاة مع نماذج جيب التمام. قد نرى هذه في مجالات الملاحة ، والمسح ، وعلم الفلك ، والهندسة ، على سبيل المثال لا الحصر.

في العديد من الهواتف المحمولة المزودة بنظام تحديد المواقع العالمي (GPS) ، يمكن تحديد موقع تقريبي قبل استلام إشارة GPS. يتم تحقيق ذلك من خلال عملية تسمى التثليث ، والتي تعمل باستخدام المسافات من نقطتين معروفتين. افترض أن هناك برجين للهواتف المحمولة في نطاق الهاتف الخلوي. يقع البرجان على بعد 6000 قدم على طول طريق سريع مستقيم يمتد من الشرق إلى الغرب ، والهاتف الخلوي شمال الطريق السريع. بناءً على تأخير الإشارة ، يمكن تحديد أن الإشارة هي 5050 قدمًا من البرج الأول و 2420 قدمًا من البرج الثاني. حدد موقع الهاتف الخلوي شمال وشرق البرج الأول ، وحدد بعده عن الطريق السريع.

For simplicity, we start by drawing a diagram similar to [link] and labeling our given information.

Using the Law of Cosines, we can solve for the angle θ .

Remember that the Law of Cosines uses the square of one side to find the cosine of the opposite angle. For this example, let a = 2420 , b = 5050 ,

corresponds to the opposite side a = 2420.

To answer the questions about the phone’s position north and east of the tower, and the distance to the highway, drop a perpendicular from the position of the cell phone, as in [link]. This forms two right triangles, although we only need the right triangle that includes the first tower for this problem.

and the basic trigonometric identities, we can find the solutions. هكذا

The cell phone is approximately 4638 feet east and 1998 feet north of the first tower, and 1998 feet from the highway.

Returning to our problem at the beginning of this section, suppose a boat leaves port, travels 10 miles, turns 20 degrees, and travels another 8 miles. How far from port is the boat? The diagram is repeated here in [link].

The boat turned 20 degrees, so the obtuse angle of the non-right triangle is the supplemental angle, 180° − 20° = 160° .

With this, we can utilize the Law of Cosines to find the missing side of the obtuse triangle—the distance of the boat to the port.

The boat is about 17.7 miles from port.

Using Heron’s Formula to Find the Area of a Triangle

We already learned how to find the area of an oblique triangle when we know two sides and an angle. We also know the formula to find the area of a triangle using the base and the height. When we know the three sides, however, we can use Heron’s formula instead of finding the height. Heron of Alexandria was a geometer who lived during the first century A.D. He discovered a formula for finding the area of oblique triangles when three sides are known.

Heron’s formula finds the area of oblique triangles in which sides a , b ,

is one half of the perimeter of the triangle, sometimes called the semi-perimeter.

Find the area of the triangle in [link] using Heron’s formula.

Then we apply the formula.

The area is approximately 29.4 square units.

Use Heron’s formula to find the area of a triangle with sides of lengths a = 29.7 ft , b = 42.3 ft ,

A Chicago city developer wants to construct a building consisting of artist’s lofts on a triangular lot bordered by Rush Street, Wabash Avenue, and Pearson Street. The frontage along Rush Street is approximately 62.4 meters, along Wabash Avenue it is approximately 43.5 meters, and along Pearson Street it is approximately 34.1 meters. How many square meters are available to the developer? See [link] for a view of the city property.

Find the measurement for s ,

which is one-half of the perimeter.

The developer has about 711.4 square meters.

Find the area of a triangle given a = 4.38 ft , b = 3.79 ft,

Access these online resources for additional instruction and practice with the Law of Cosines.

المعادلات الرئيسية

Law of Cosines a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b c o s γ
Heron’s formula Area = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) where s = ( a + b + c ) 2

المفاهيم الرئيسية

  • The Law of Cosines defines the relationship among angle measurements and lengths of sides in oblique triangles.
  • The Generalized Pythagorean Theorem is the Law of Cosines for two cases of oblique triangles: SAS and SSS. Dropping an imaginary perpendicular splits the oblique triangle into two right triangles or forms one right triangle, which allows sides to be related and measurements to be calculated. See [link] and [link].
  • The Law of Cosines is useful for many types of applied problems. The first step in solving such problems is generally to draw a sketch of the problem presented. If the information given fits one of the three models (the three equations), then apply the Law of Cosines to find a solution. See [link] and [link].
  • Heron’s formula allows the calculation of area in oblique triangles. All three sides must be known to apply Heron’s formula. See [link] and See [link].

Section Exercises

Verbal

If you are looking for a missing side of a triangle, what do you need to know when using the Law of Cosines?

two sides and the angle opposite the missing side.

If you are looking for a missing angle of a triangle, what do you need to know when using the Law of Cosines?

represents in Heron’s formula.

is the semi-perimeter, which is half the perimeter of the triangle.

Explain the relationship between the Pythagorean Theorem and the Law of Cosines.

When must you use the Law of Cosines instead of the Pythagorean Theorem?

The Law of Cosines must be used for any oblique (non-right) triangle.

Algebraic

For the following exercises, assume α

If possible, solve each triangle for the unknown side. Round to the nearest tenth.


إعادة النظر

For 1-3, draw a picture of the triangle and state how many triangles could be formed with the given values.

For 4-7, find all possible measures of &angB (if any exist) for each of the following triangle values.

For 8-12, find the length of b for each of the following triangle values.

13. In &DeltaABC,b=10 and &angA=39∘. What's a possible value for a that would produce two triangles?

14. In &DeltaABC,b=10 and &angA=39∘. What's a possible value for a that would produce no triangles?

15. In &DeltaABC,b=10 and &angA=39∘. What's a possible value for a that would produce one triangle?


المعادلات الرئيسية

  • The Law of Cosines defines the relationship among angle measurements and lengths of sides in oblique triangles.
  • The Generalized Pythagorean Theorem is the Law of Cosines for two cases of oblique triangles: SAS and SSS. Dropping an imaginary perpendicular splits the oblique triangle into two right triangles or forms one right triangle, which allows sides to be related and measurements to be calculated.
  • The Law of Cosines is useful for many types of applied problems. The first step in solving such problems is generally to draw a sketch of the problem presented. If the information given fits one of the three models (the three equations), then apply the Law of Cosines to find a solution.
  • Heron’s formula allows the calculation of area in oblique triangles. All three sides must be known to apply Heron’s formula.

The law of cosines is used:

1. to find the third side of a triangle when two sides and the included angle are given.

2. to find an angle when all 3 sides are given.

1. We are given $a$, $c$, and $sphericalangle B$.

2. We are given sides $b$, $c$, and $sphericalangle A$.

3. We are given sides $b$, $a$, and $sphericalangle C$.

In triangle $ABC$, side $a= 8 cm$, $c = 10 cm$, and the angle at $B = 60^circ$. Find side $b$, angle $A$ and angle $C$.

$ تبدأ a^2 &= b^2 + c^2 - 2bccos(sphericalangle A) 8^2 &= 10^2 + >^2 - 2 cdot 10 cdot sqrt <84>cos(sphericalangle A) 64 &= 184 - 20 sqrt <84>cos(sphericalangle A) cos(sphericalangle A) &= frac<120><20 sqrt<84>> cos(sphericalangle A) &= frac<6><2sqrt<21>> = frac<3>> color &color <=>color>) approx 49.1^circ> end $

$ تبدأ &sphericalangle A + sphericalangle B + sphericalangle C = 180^circ &arccos(frac<3>>) + 60^circ + sphericalangle C = 180^circ &sphericalangle C = 120^circ - arccos (frac<3>>) approx 120^circ - 49.1^circ &sphericalangle C approx 50.9^circ end $


Proof using the Pythagorean Theorem

The next question was from a student who just guessed that there should be a way to modify the Pythagorean Theorem to work with non-right triangles that is just what the Law of Cosines is. But since Brooke apparently does not know trigonometry yet, a mostly geometrical answer seemed appropriate.

So the Pythagorean Theorem can be seen as a special case of the Law of Cosines.

You may find it interesting to see what happens when angle C is 0° or 180°! These are not literally triangles (they can be called degenerate triangles), but the formula still works: it becomes mere addition or subtraction of lengths.

Now he gives an algebraic proof similar to the one above, but starting with geometry rather than coordinates, and avoiding trigonometry until the last step:

(I’ve swapped the names of x و ذ from the original, to increase the similarity to our coordinate proof above.)

This is the non-trigonometric version of the Law of Cosines.


When to use the law of cosines - applications

You can transform these law of cosines formulas to solve some problems of triangulation (solving a triangle). You can use them to find:

  1. The third side of a triangle, knowing two sides and the angle between them (SAS):
    • a = √[b² + c² - 2bc * cos(α)]
    • b = √[a² + c² - 2ac * cos(β)]
    • c = √[a² + b² - 2ab * cos(γ)]
  2. The angles of a triangle, knowing all three sides (SSS):
    • α = arccos [(b² + c² - a²)/(2bc)]
    • β = arccos [(a² + c² - b²)/(2ac)]
    • γ = arccos [(a² + b² - c²)/(2ab)]
  3. The third side of a triangle, knowing two sides and an angle opposite to one of them (SSA):
    • a = b * cos(γ) ± √[c² - b² * sin²(γ)]
    • b = c * cos(α) ± √[a² - c² * sin²(α)]
    • c = a * cos(β) ± √[b² - a² * sin²(β)]

Just remember that knowing two sides and an adjacent angle can yield two distinct possible triangles (or one or zero positive solutions, depending on the given data). That&aposs why we&aposve decided to implement SAS and SSS in this tool, but not SSA.

Law of cosines is one of the basic laws and it&aposs widely used for many geometric problems. We also take advantage of that law in many Omnitools, to mention only a few:

Also, you can combine the law of cosines calculator with the law of sines to solve other problems, for example, finding the side of the triangle, given two of the angles and one side (AAS and ASA).


Chapter 8

It would be reflected across the line y = − 1 , y = − 1 , becoming an increasing function.

This is a vertical reflection of the preceding graph because A A is negative.

8.3 Inverse Trigonometric Functions

8.1 Section Exercises

A linear function is added to a periodic sine function. The graph does not have an amplitude because as the linear function increases without bound the combined function h ( x ) = x + sin x h ( x ) = x + sin x will increase without bound as well. The graph is bounded between the graphs of y = x + 1 y = x + 1 and y = x - 1 y = x - 1 because sine oscillates between −1 and 1.

There is no amplitude because the function is not bounded.

The graph is symmetric with respect to the y-axis and there is no amplitude because the function’s bounds decrease as | x | | x | grows. There appears to be a horizontal asymptote at y = 0 y = 0 .

8.2 Section Exercises

الأجوبة ستختلف. Using the unit circle, one can show that tan ( x + π ) = tan x . tan ( x + π ) = tan x .

The period is the same: 2 π . 2 π .

period: 8 horizontal shift: 1 unit to left

stretching factor: 6 period: 6 asymptotes: x = 3 k , where k is an integer x = 3 k , where k is an integer

8.3 Section Exercises

In order for any function to have an inverse, the function must be one-to-one and must pass the horizontal line test. The regular sine function is not one-to-one unless its domain is restricted in some way. Mathematicians have agreed to restrict the sine function to the interval [ − π 2 , π 2 ] [ − π 2 , π 2 ] so that it is one-to-one and possesses an inverse.

No. The angle the ladder makes with the horizontal is 60 degrees.

Review Exercises

largest: 20,000 smallest: 4,000

amplitude: 8,000 period: 10 phase shift: 0

In 2007, the predicted population is 4,413. In 2010, the population will be 11,924.

The graphs are not symmetrical with respect to the line y = x . y = x . They are symmetrical with respect to the y y -axis.

The graphs appear to be identical.

اختبار الممارسة

amplitude: 1 period: 12 phase shift: −6 −6 midline y = −3 y = −3

D ( t ) = 68 − 12 sin ( π 12 x ) D ( t ) = 68 − 12 sin ( π 12 x )

The views are different because the period of the wave is 1 25 . 1 25 . Over a bigger domain, there will be more cycles of the graph.

On the approximate intervals ( 0.5 , 1 ) , ( 1.6 , 2.1 ) , ( 2.6 , 3.1 ) , ( 3.7 , 4.2 ) , ( 4.7 , 5.2 ) , ( 5.6 , 6.28 ) ( 0.5 , 1 ) , ( 1.6 , 2.1 ) , ( 2.6 , 3.1 ) , ( 3.7 , 4.2 ) , ( 4.7 , 5.2 ) , ( 5.6 , 6.28 )

f ( x ) = 2 cos ( 12 ( x + π 4 ) ) + 3 f ( x ) = 2 cos ( 12 ( x + π 4 ) ) + 3

This graph is periodic with a period of 2 π . 2 π .

approximately 0.07 radians

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • Authors: Jay Abramson
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • Book title: Algebra and Trigonometry
    • Publication date: Feb 13, 2015
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • Book URL: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/1-introduction-to-prerequisites
    • Section URL: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/chapter-8

    © Apr 19, 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    شاهد الفيديو: شرح جيب التمام (شهر نوفمبر 2021).